各种三角形边长的计算公式

各种三角形边长的计算公式

解三角形

解直角三角形（斜三角形特殊情况）：

勾股定理 ,只适用于直角三角形（外国叫“毕达哥拉斯定理”） a^2+b^2=c^2,

其中 a 和 b 分别为直角三角形两直角边,c 为斜边 .勾股弦数是指一组能使勾股定理关系成立的三个正整数.比如：3,4,5. 他们分别是 3,4 和 5 的倍数 .常见的勾股弦数有： 3,4,5 ；6,8,10 ； 5,12,13;10,24,26; 等等 .

解斜三角形：

在三角形ABC a/SinA=b/SinB=中 , 角A,B,C

c/SinC=2R

的对边分别为a,b,c. 则有

(R 为三角形外接圆半径 )

（ 1 ）正弦定理

（ 2 ）余弦定理

a^2=b^2+c^2-2bc*CosA b^2=a^2+c^2-2ac*CosB

c^2=a^2+b^2-2ab*CosC注：勾股定理其实是余弦定理的一种特殊情况（.3）余弦定理变形公式cosA=(b^2+C^2-a^2)/2bC cosb=(a^2+c^2-b^2)/2aC

cosC=(a^2+b^2-C^2)/2ab

斜三角形的解法：

已知条件定理应用一般解法

一边和两角（如a、B、C）正弦定理由A+B+C=180˙,求角A,由正弦定理求出 b 与 c,在有解时有一解.

两边和夹角(如 a、b 、c) 余弦定理由余弦定理求第三边c,由正弦定理求出小边

所对的角 ,再由 A+B+C=180˙求出另一角,在有解时有一解.

三边 (如 a、 b、 c) 余弦定理由余弦定理求出角 A 、B,再利用 A+B+C=180˙,求出角 C 在有解时只有一解 .

两边和其中一边的对角( 如 a 、 b 、 A)正弦定理由正弦定理求出角B,由A+B+C=180˙求出角C,在利用正弦定理求出C边,可有两解、一解或无解.

勾股定理（毕达哥拉斯定理）

内容：在任何一个直角三角形中,两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平

方.几何语言：若△ABC 满足∠ABC=90 °,则 AB2+BC 2=AC 2 勾股定理的逆定理也

成立 ,即两条边长的平方之和等于第三边长的平方 ,则这个三角形是直角三角形几

何语言：若△ABC 满足 ,则∠ABC=90 °.

[3] 射影定理（欧几里得定理）

内容：在任何一个直角三角形中 ,作出斜边上的高 ,则斜边上的高的平方等于高所

在斜边上的点到不是两直角边垂足的另外两顶点的线段长度的乘积 .几何语言：若△ABC 满足∠ABC=90 °,作 BD ⊥AC,则 BD2 ＝AD ×DC 射影定理的拓展：若△

ABC满足∠ABC=90°,作BD ⊥ AC,(1)AB 2 =BD ·BC(2)AC 2 ;=CD ·BC

(3)ABXAC=BCXAD

正弦定理

内容：在任何一个三角形中,每个角的正弦与对边之比等于三角形面积的两倍与

三边边长和的乘积之比几何语言：在△ABC 中,sinA/a=sinB/b=sinC/c=2S三

角形 /abc结合三角形面积公式,可以变形为a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R（R是

外接圆半径）

余弦定理

内容：在任何一个三角形中,任意一边的平方等于另外两边的平方和减去这两边

的 2 倍乘以它们夹角的余弦几何语言：在△ABC中,a2=b 2+c 2-2bc×cosA此定

理可以变形为： cosA= （ b 2+c 2-a 2 ）÷2bc