九年级第4讲 相似与三角形、四边形综合拓展

图1
A
M C
Q
D
A O
图2
P M C Q F
D
A O
图3
D
Q
M P
B
F
B
B
C
F
勤奋 博学 笃志 感恩 2． （2016 日照）如图，在矩形 ABCD 中，AD＝4，AB＝m（m≥4） ，点 P 是 AB 边上的任意一点，连接 PD， 过点 P 作 PQ⊥PD，交射线 BC 于点 Q． （1）当 m＝10 时，若存在点 P，使得点 Q 与点 C 重合，求 AP 的长； （2）当点 Q 在 BC 边上，且 PQ＝PD 时，求 m 的取值范围；判断此时四边形 PQCD 的面积是否为定值， 并说明理由； （3）当点 P 从 A 点运动到 B 点时，求线段 DQ 的中点所经过的路径长（用含 m 的代数式表示） ． （直接写 出结果，不必写出解答过程） ． D C
图1
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3 MN； 3
E
M
D
A
E
D
A N
E
M
D
C
B
备用图
C
B
F
图2
G C
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【过关检测】
1． （2016 武汉模拟）已知平行四边形 ABCD 的对角线 AC、BD 交于点 O，M 为射线 OD 上一点，过点 M 的直线分别交 AD、CD 于点 P、Q，与 BA、BC 的延长线交于点 E、F． （1）如图 1，若 M 为线段 OD 的中点，EF∥AC，求证：PE＝QF； （2）如图 2，若 M 为线段 OD 的中点，EF 与 AC 不平行，求证：PE＋QF＝2PQ； （3）如图 3，若点 M 在 OD 的延长线上，BM＝nDM，EF 与 AC 不平行，直接写出 PE、QF、PQ 三者之 间满足的等量关系． （用含 n 的式子表示） E E E P O
F (G) C H F G D C D
备用图
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H
D
图1
图2
C
勤奋 博学 笃志 感恩 4． （2016 莱芜）在矩形 ABCD 中，M 为 BC 边上一点， AD BC 于点 D ，MF⊥AM，分别交 AC、CD 于 E、F，BH⊥AC，分别交 AM、AC 于 G、H． （1）求证：△BGM∽△CEF； A D （2）如图 1，若 M 为 BC 边中点，BC＝ A D(F) ME H 2AB，求 的值； H F MG G E E G （3）如图 2，若 M 为 BC 边中点，BC＝
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（3）如图 3，当 AD∶AO∶BO＝1∶n∶2 n时，过点 C 作 CM 垂直 BD 于 M，求 A D O B P M C 图2 O A D
CM 的值． PM
A P D
P B C
M B C
图1
图3
O
勤奋 博学 笃志 感恩 【例 3】 （2016 三明）如图 1，在矩形 ABCD 中，AB＝2，点 P 在边 AD 上，AP＝1，∠BPC＝90°． （1）求 BC 的长； （2）如图 2，将直角∠BPC 绕点 P 顺时针旋转，角的两边分别交线段 AB、BC 于点 E、F，当点 E 和点 A 重合时停止． A P D A P D ①∠PEF 的大小是否发生变化？请 说明理由； E ②当 EF∥AC 时，求 EF 的长． （3） 直接写出从开始到停止，线段 B C F B C EF 的中点经过的路径长．
第4讲
【学习目标】
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相似与三角形、四边形综合拓展
1．灵活运用相似的基本模型； 2．四边形、相似三角形结合的动态综合问题的解题策略．
【教学重难点】
一、考点 1：相似与三角形综合拓展 知识点与方法技巧梳理：
四边形、相似三角形结合的动态综合问题的解题策略
要熟知相似三角形的基本模型及每种模型的对应边、对应角及比例式．有时，我们遇到的题目的图形 中可能没有这些基本的相似模型，这时就需要构造辅助线． 【例 1】 （2013 成都）如图，点 B 在线段 AC 上，点 D、E 在 AC 同侧，∠A＝∠C＝90°，BD⊥BE，AD＝ BC． （1）求证：AC＝AD＋CE； （2）若 AD＝3，CE＝5，点 P 为线段 AB 上的动点，连接 DP，作 PQ⊥DP，交射线 BE 于点 Q． ①当点 P 与 A、B 两点不重合时，求 ②当点 P 从 A 点运动到 AC 的中点时，求线段 DQ 的中点所经过的路径（线段）长． （直接写出结果，不 必写出解答过程） E D Q DP 的值； PQ
Q A P B
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勤奋 博学 笃志 感恩 3．（2016 上海模拟）在矩形 ABCD 中，AB＝4，BC＝3，E 是 AB 边上的一个动点（不与点 A、B 重合）， EF⊥CE 交 AD 于 F，过点 E 作∠AEH＝∠BEC，交射线 AD 于 G，交射线 CD 于 H． （1）如图 1，当点 G 与点 F 重合时，求 AE 的长； （2）如图 2，当点 G 在线段 FD 上时，设 BE＝x，DH＝y，求 y 与 x 的函数关系式，并写出自变量 x 的取 值范围； （3）连接 AC，以 E、F、G 为顶点的三角形能否与△AEC 相似，如果能，请求出 AE 的长；如果不能，请 说明理由． E E A B A B A B
图1 图2
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勤奋 博学 笃志 感恩 【例 4】 （2016 鞍山）在矩形 ABCD 中，点 E 是 AD 边上一点，∠ABE＝30°，BE＝DE，连接 BD．动点 M 从点 E 出发沿射线 ED 运动，过点 M 作 MN∥BD 交直线 BE 于点 N．
（1）如图 1，当点 M 在线段 ED 上时，求证：BE＝MD＋ （2）若 BC＝6，设 MN 长为 x，以 M、N、D 为顶点的三角形面积为 y，求 y 关于 x 的函数关系式； （3）在（2）的条件下，当点 M 运动到线段 ED 的中点时，连接 NC，过点 M 作 MF⊥NC 于 F，MF 交对 角线 BD 于点 G（如图 2） ，求线段 MG 的长． A N B
A
P
B
C
勤奋 博学 笃志 感恩 【例 2】 （2016 厦门）已知线段 AO⊥BO，C 为 OB 的中点，D 为 AO 上一点，连接 AC、BD 交于点 P．
（1）如图 1，当 AO＝BO 且 D 为 AO 中点时，求 （2）如图 2，当 AO＝BO 且
AD 1 CM 的值； 时，过点 C 作 CM 垂直 BD 于 M，求 AO 4 PM AP 的值； PC
n·AB，
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①直接写出
②当 AB＝1 时，求 EF 的长（用含 n 的代数式表示） ．
ME 的值； M2
M
C
2016 秋季初三数学讲义 勤奋 博学 笃志 感恩 5．已知□EFGH 的顶点 E、G 分别在□ABCD 的边 AD、BC 上，顶点 F、H 在□ABCD 的对角线 BD 上． （1）如图 1，求证：BF＝DH； AB HE 1 BF （2）如图 2，若∠HEF＝∠A＝90°， ＝ ＝ ，求 的值； BC EF 2 FH AB HE BF 3 （3）如图 1，当∠HEF＝∠A＝120°， ＝ ＝k， ＝ 时，求 k 的值． BC EF FH 7 A E D A E D F H F B G
图2
H
B
图1
G
C
C