广东省清远市2015届高三上学期期末考试数学理试题
2016届广东省清远市高三上学期期末考试理科数学试题(扫描版)
清远市2015—2016学年度第一学期期末教学质量检测高三理科数学 一、选择题：序号 12 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 AB D BC AD C D C B A二、填空题13.（2，-2）; 14. 2或-1 ； 15.14.1或102； 16.509． 16试题分析：∵123a b +=，∴823229a b ab ab ab +=≥⇒≥，当且仅当2a b =时，等号成立，∴()()501222429a b ab a b ab ++=+++=+=，即()()12a b ++的最小值是509． 三、解答题17.（本小题满分12分）已知函数)(21cos 2sin 23)(2R x x x x f ∈--=,设ABC ∆的内角C B A ,,的对应边分别为c b a ,,，且0)(,3==C f c . （1）求C 的值.（2）若向量)sin ,1(A m =与向量)sin ,2(B n =共线，求ABC ∆的面积.解：（1）∵12cos 212sin 23)(--=x x x f …………….1分 1)62sin()(--=πx x f …………….2分 由0)(=C f 得1)62sin(=-πC ，…………………………..3分 又∵611626πππ<-<-C ……………………….4分 ∴262ππ=-C ，……………………….5分 即C=3π……………………….6分 （2）∵向量)sin ,1(A m =与向量)sin ,2(B n =共线∴B A sin sin 2=，………………………7分∴a b 2=，①………………………8分由余弦定理，得322=-+ab b a ②……………………….9分∴由①②得2,1==b a ……………………….10分∴ABC ∆的面积为23sin 21=C ab ……………………….12分 18. 已知: 如图，等腰直角三角形ABC 的直角边AC=BC=2，沿其中位线DE 将平面ADE折起，使平面ADE ⊥平面BCDE ，得到四棱锥A BCDE -，设CD 、BE 、AE 、AD 的中点分别为M 、N 、P 、Q .（1）求证：M 、N 、P 、Q 四点共面；（2）求证：平面ABC ⊥平面ACD ；（3）求异面直线BE 与MQ 所成的角.解：(1)由条件有PQ 为ADE ∆的中位线，∴PQ ∥DE ……………………….1分又∵ MN 为梯形BCDE 的中位线 ∴MN ∥DE ，……………………….2分∴PQ ∥MN ……………………….3分∴ M 、N 、P 、Q 四点共面．。
2015年广东高考理科数学试题及答案(完整版)
2015年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（理科）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1、若集合()(){}410M x x x =++=，()(){}410N x x x =--=，则M N =（ ）A ．{}1,4B ．{}1,4--C ．{}0D ．∅2、若复数()32z i i =-（i 是虚数单位），则z =（ ）A ．23i -B ．23i +C ．32i +D ．32i -3、下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（ ）A．y = B ．1y x x =+ C ．122x x y =+ D ．x y x e =+ 4、袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球．从袋中任取2个球，所取的2个球中恰有1个白球，1个红球的概率为（ ）A ．521B ．1021C ．1121D ．1 5、平行于直线210x y ++=且与圆225x y +=相切的直线的方程是（ ）A ．250x y ++=或250x y +-= B．20x y ++=或20x y +=C ．250x y -+=或250x y --= D．20x y -+=或20x y -=6、若变量x ，y 满足约束条件4581302x y x y +≥⎧⎪≤≤⎨⎪≤≤⎩，则32z x y =+的最小值为（ ）A ．4B ．235C ．6D ．3157、已知双曲线C:22221x y a b -=的离心率54e =，且其右焦点为()2F 5,0，则双曲线C 的方程为（ ） A ．22143x y -= B ．221916x y -= C ．221169x y -= D ．22134x y -= 8、若空间中n 个不同的点两两距离都相等，则正整数n 的取值（ ）A ．至多等于3B ．至多等于4C ．等于5D ．大于5二、填空题（本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．）（一）必做题（11~13题）9、在)41的展开式中，x 的系数为 ． 10、在等差数列{}n a 中，若3456725a a a a a ++++=，则28a a += ．11、设C ∆AB 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若3a =，1sin 2B =，C 6π=，则b = ．12、某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了 条毕业留言．（用数字作答）13、已知随机变量X 服从二项分布(),n p B ，若()30E X =，()D 20X =，则p = ．（二）选做题（14、15题，考生只能从中选作一题）14、（坐标系与参数方程选做题）已知直线l 的极坐标方程为2sin 24πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，点A 的极坐标为722,4π⎛⎫A ⎪⎝⎭，则点A 到直线l 的距离为 ． 15、（几何证明选讲选做题）如图1，已知AB 是圆O 的直径，4AB =，C E 是圆O 的切线，切点为C ，C 1B =．过圆心O 作C B 的平行线，分别交C E 和C A 于点D 和点P ，则D O = ．三、解答题16.（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中，已知向量(1) 若m n ⊥，求tan x 的值；(2) 若m 与n 的夹角为3π，求x 的值. 17. （本小题满分12分）某工厂36名工人年龄数据如下表（1） 用系统抽样法从36名工人中抽取容量为9的样本，且在第一分段里用随机抽样法抽到的年龄数据为44，列出样本的年龄数据；（2） 计算（1）中样本的均值x 和方差2s ；（3） 36名工人中年龄在x s -和x s +之间有多少人？所占百分比是多少（精确到0.01％）？18.（本小题满分14分）如图2，三角形PDC 所在的平面与长方形ABCD 所在的平面垂直，4,6,3PD PC AB BC ====，点E 是CD 的中点，点、F G 分别在线段、AB BC 上，且2,2AF FB CG GB ==.(1) 证明：PE FG ⊥； (2) 求二面角P AD C --的正切值；(3) 求直线PA 与直线FG 所成角的余弦值.19. （本小题满分14分）设1a >，函数2()(1)x f x x e a =+-(1) 求()f x 的单调区间； (2) 证明()f x 在(,)-∞+∞上仅有一个零点；(3) 若曲线()y f x =在点P 处的切线与x 轴平行，且在点M （m,n ）处的切线与直线OP 平行，（O 是坐标原点），证明：1m ≤-.20. （本小题满分14分）已知过原点的动直线l 与圆221:650C x y x +-+=相交于不同的两点A 、B.(1) 求圆1C 的圆心坐标；(2) 求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程；(3) 是否存在实数k,使得直线:(4)l y k x =-与曲线C 只有一个交点？若存在，求出k 的取值范围；若不存在，说明理由.21. （本小题满分14分） 数列{a }n 满足：*12122......3,2n n n a a na n N -+++=-∈. (1) 求3a 的值；(2) 求数列{a }n 的前 n 项和n T ；(3) 令111111,(1......)(2),23n n n T b a b a n n n-==+++++≥证明：数列{}n b 的前n 项和S n 满足22ln n S n <+2015年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（理科）参考答案。
广东省13市2015届高三上学期期末考试数学理试题分类汇编：圆锥曲线
广东省13市2015届高三上学期期末考试数学理试题分类汇编圆锥曲线一、选择题1、（广州市2015届高三）已知双曲线22:13x C y -=的左，右焦点分别为1F ，2F ，过点2F 的直线与双曲线C 的右支相交于P ，Q 两点，且点P 的横坐标为2，则△1PFQ 的周长为AB． CD． 2、（惠州市2015届高三）设双曲线22221x y a b-=的虚轴长为2，焦距为，则此双曲线的离心率为( )．B.323、（江门市2015届高三）在同一直角坐标系中，直线143=+yx 与圆044222=--++y x y x 的位置关系是 A ．直线经过圆心 B ．相交但不经过圆心 C ．相切 D ．相离4、（汕尾市2015届高三）中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线的一条渐近线与直线112y x =+平行，则它的离心率为（ ）ABCD5、（韶关市2015届高三）过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点F 作垂直于x 轴的直线，交双曲线的渐近线于,A B 两点，若OAB ∆（O 为坐标原点）是等边三角形，则双曲线的离心率为 ( )ABCD ．2二、填空题1、（潮州市2015届高三）已知抛物线（）的准线与圆相切，则的值为2、（佛山市2015届高三）已知点()2,0A -、()0,4B 到直线l :10x my +-=的距离相等,则实数m 的值为3222y px =0p >()22316x y -+=p_________3、（揭阳市2015届高三）抛物线218y x =恒谦网上到焦点的距离等于6的点的坐标为 4、（清远市2015届高三）已知圆C ：22240x y x y +-+=，直线：L ：x ＋y ＋a ＝0（a ＞0），圆心到直线L 的a 的值为＿＿＿5、（深圳市2015届高三）已知圆C ：05822=-+++ay x y x 经过抛物线E ：y x 42=的焦点，则抛物线E 的准线与圆C 相交所得弦长为 三、解答题1、（潮州市2015届高三）已知椭圆（）经过点，离心率为，动点（）．求椭圆的标准方程；求以（为坐标原点）为直径且被直线截得的弦长为的圆的方程；设是椭圆的右焦点，过点作的垂线与以为直径的圆交于点，证明线段的长为定值，并求出这个定值．2、（佛山市2015届高三）已知曲线E :2211x y m m +=-. (Ⅰ) 若曲线E 为双曲线,求实数m 的取值范围；(Ⅱ) 已知4m =,()1,0A -和曲线C :()22116x y -+=.若P 是曲线C 上任意一点,线段PA 的垂直平分线为l ,试判断l 与曲线E 的位置关系,并证明你的结论.3、（广州市2015届高三）已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为，且经过点()0,1．圆22221:C x y a b +=+. （1）求椭圆C 的方程；（2）若直线l ():0y kx m k =+≠与椭圆C 有且只有一个公共点M ，且l 与圆1C 相交于,A B 两点，问AM BM +=0是否成立？请说明理由．4、（惠州市2015届高三）已知抛物线21:2C y px =(0)p >的焦点F 以及椭圆22222:1y xC a b+=(0)a b >>的上、22221x y a b +=0a b >>122⎛⎫P ⎪ ⎪⎝⎭2()2,t M 0t >()1()2OM O 3450x y --=2()3F F OM OM N ON下焦点及左、右顶点均在圆22:1O x y +=上．（1）求抛物线1C 和椭圆2C 的标准方程；（2）过点F 的直线交抛物线1C 于,A B 两不同点，交y 轴于点N ，已知1NA AF λ=，2NB BF λ=，求12λλ+的值；（3）直线l 交椭圆2C 于,P Q 两不同点，,P Q 在x 轴的射影分别为','P Q ，''10OP OQ OP OQ ⋅+⋅+=，若点S 满足OS OP OQ =+， 证明：点S 在椭圆2C 上．5、（江门市2015届高三）在平面直角坐标系xOy 中，点A 、B 的坐标分别是) 3 , 0 (-、) 3 , 0 (，直线AM 、BM 相交于点M ，且它们的斜率之积是21-． ⑴求点M 的轨迹L 方程；⑵若直线 l 经过点) 1 , 4 (P ，与轨迹L 有且仅有一个公共点，求直线 l 的方程．6、（揭阳市2015届高三）已知双曲线C的焦点分别为12(F F -,且双曲线C经过点P .（1）求双曲线C 的方程；（2）设O 为坐标原点，若点A 在双曲线C 上，点B在直线x =上，且0⋅=OA OB ，是否存在以点O为圆心的定圆恒与直线AB 相切？若存在，求出该圆的方程，若不存在，请说明理由.7、（清远市2015届高三）已知双曲线Γ的焦点为（0,-2）和（0,2）,离心率为332，过双曲线Γ的上支上一点作双曲线Γ的切线交两条渐近线分别于点（A 、B 在x 轴的上方）. （1）求双曲线Γ的标准方程；（2）探究是否为定值，若是求出该定值，若不是定值说明理由.8、（汕尾市2015届高三）椭圆22221(0)x y a b a b +=>>过点(1,2，12,F F 分别为椭圆的左右焦点且12||2F F =。
2015年广东省高考数学试卷(理科)含解析
A．{1，4}
B．{﹣1，﹣4}
C．[0}
D∅
．
2．（5 分）（2015•广东）若复数 z=i（3﹣2i）（i 是虚数单位），则 =（ ）
A．2﹣3i
B．2+3i
C．3+2i
D 3﹣2i
．
3．（5 分）（2015•广东）下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（ ）
A．y=
B．y=x+
C．y=2x+
21．（14 分）（2015•广东）数列{an}满足：a1+2a2+…nan=4﹣
，n∈N+．
（1）求 a3 的值； （2）求数列{an}的前 n 项和 Tn；
（3）令 b1=a1，bn=
+（1+ + +…+ ）an（n≥2），证明：数列{bn}的前 n 项和 Sn 满足
a2+a8=
．
11．（5 分）（2015•广东）设△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c．若 a= ，
sinB= ，C= ，则 b=
．
12．（5 分）（2015•广东）某高三毕业班有 40 人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业
留言，那么全班共写了
条毕业留言．（用数字作答）
13．（5 分）（2015•广东）已知随机变量 X 服从二项分布 B（n，p），若 E（X）=30，D
Colin291210657
2015 年广东省高考数学试卷（理科）
一、选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，满分 40 分．在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的．） 1．（5 分）（2015•广东）若集合 M={x|（x+4）（x+1）=0}，N={x|（x﹣4）（x﹣1）=0}，则 M∩N=（ ）
广东省清远市高三数学上学期期末考试试题 文
清远市2015—2016学年度第一学期期末教学质量检测高三文科数学本试卷共4页，共24小题，满分150分,考试用时120分钟.参考公式：锥体的体积公式v=,31sh 其中S 为锥体的底面积，h 为锥体的高.第一卷（选择题，共60分）一、选择题：（本大题共12小题,每小题5分,共60分.每小题只有一个选项是符合题目要求的,请把正确答案的代号填入答题卡中.）1. 若集合{}0A x x =≥，且A B B =I ，则集合B 可能是（ ）A.{}1,2B.{}1x x ≤C.{}1,0,1-D. R2．在复平面内，复数iZ +=14的虚部为( ) A. 2 B . -2 C. 2iD. 223．cos=（ ）A ．B ．C ．D ．4．已知命题q p ,，则“p ⌝为假命题”是“q p ∧是真命题”的（ ） A ．充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件5．如图程序框图中，若输入4,10m n ==，则输出a ，i 的值分别是（ ）A. 12, 4B. 16, 5C. 20, 5D. 24, 66.在某次测量中得到的A 样本数据如下：72，74，74，76，76，76，77，77，77，77.若B 样本数据恰好是A 样本数据每个都减2后所得数据，则A ，B 两样本的下列数字特征对应相同的是( )A ．众数B ．平均数C ．中位数D ．标准差 7．下列四个函数中，既是奇函数又在(0，＋∞)上为增函数的是( ) A ．21ln x y -= B ．xy3= C ．x x y 22-= D ． 3x y =8．已知函数()f x 的图像是连续不断的，有如下的x ，()f x 的对应表:x1 2 3 4 5 6 ()f x 136.1315.552－3.9210.8812.488－23.064则函数f x 存在零点的区间有( ) （A ）区间[2,3]和[3,4]（B ）区间[1,2]和[4,5]（C ）区间[2,3]、[3,4]和[4,5] （D ）区间[2,3]、[3,4]和[5,6]9．一个几何体的三视图如图所示，正视图为直角三角形、侧视图为等边三角形，俯视图为直角梯形，则该几何体的体积等于（ ）A ．3B ．23C ． 33D ．4310．若,x y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥+-≥+00220y mx y x y x 且y x z -=2的最大值为2，则m 的值为（ ）.A —2 B. —1 .C 1 D. 211．己知函数2()f x x bx =+的图象在点(1,(1))A f 处的切线l 与直线3x －y ＋2＝0平行，若函数)(sin )(x f x g =,则函数)(x g 的最大值是（ ）.A -21B. 0 .C 2 D. 不存在 12．设函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c ∈R )，若x ＝－1为函数xe xf y ⋅=)(的一个极值点，则下列图象不可能．．．为)(x f y =的图象是( )第二卷（非选择题，共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的横线上） 13．已知点()0,1A ，()2,1B ，向量，)2,3(-=AC , 则 向量 =BC _________ 14．从区间]1,0[内任取两个数，则这两个数的和不大于65的概率是为 . 15.⊿ABC 满足C A B sin cos sin =，则⊿ABC 是_________三角形。
广东省13市2015届高三上学期期末考试数学理试题分类汇编：立体几何
广东省13市2015届高三上学期期末考试数学理试题分类汇编立体几何一、选择、填空题1、（潮州市2015届高三）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）ABC ．D ． 2、（佛山市2015届高三）已知异面直线,a b 均与平面α相交,下列命题:①存在直线m α⊂,使得m a ⊥或m b ⊥； ②存在直线m α⊂,使得m a ⊥且m b ⊥；③存在直线m α⊂,使得m 与a 和b 所成的角相等. 其中不正确．．．的命题个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 3、（广州市2015届高三）用a ,b ,c 表示空间中三条不同的直线, γ表示平面, 给出下列命题: ① 若a b ⊥, b c ⊥, 则a ∥c ; ② 若a ∥b , a ∥c , 则b ∥c ; ③ 若a ∥γ, b ∥γ, 则a ∥b ; ④ 若a ⊥γ, b ⊥γ, 则a ∥b . 其中真命题的序号是A ．① ②B ．② ③ C．① ④ D ．② ④4、（惠州市2015高三）空间中，对于平面和共面．．的两直线、，下列命题中为真命题的是( )． A.若，，则 B.若，，则 C.若、与所成的角相等，则 D.若，，则5、（江门市2015届高三）如图1，某几何体的正视图、侧视图和俯视图分别是直角三角形、等腰三角形和半圆，则该几何体的体积为π+2π+2ππαm n m α⊥m n ⊥//n α//m α//n α//m n m n α//m n m α⊂//n α//m nA ．4B ．8C ．π2D ．π46、（揭阳市2015届高三）一几何体的三视图如图3示, 则该几何体的体积为________7、（清远市2015届高三）某几何体的三视图如下图所示：其中正视图和侧视图都是上底为3，下底为9，高为4的等腰梯形，则该几何体的全面积为＿＿＿＿ 8、（汕头市2015届高三）给出下列命题，其中错误命题的个数为( ) （1）直线a 与平面不平行，则a 与平面内的所有直线都不平行； （2）直线a 与平面不垂直，则a 与平面内的所有直线都不垂直； （3）异面直线a 、b 不垂直，则过a 的任何平面与b 都不垂直； （4）若直线a 和b 共面，直线b 和c 共面，则a 和c 共面A ．1 B2 C3 D 4αααα9、（汕尾市2015届高三）已知直线l ⊥平面α，直线m ⊆平面β恒谦网，则下列四个结论：①若//αβ，则l m ⊥ ②若αβ⊥，则//l m③若//l m ，则αβ⊥④若l m ⊥，则//αβ。
广东省清远市2015届高三上学期期末考试理综试卷.pdf
生的信号转换过程是
。
（5）调查表明，心脑血管疾病、高血压、疲劳综合征甚至过劳死等病症，正在威胁着知识分子的健康和生命。据
图分析，过度疲劳可使人体的免疫功能下降的原因可能是
。
29．（16分）
（1）接种在MS培养基中的栝楼种子，如先经加水浸没的萌发率为75%，不加水浸没的萌发率为2.5%，说明栝楼种子
．X位于元素周期表中第二周期ⅤA族
．X、Y、Z三种元素氢化物的稳定性依次减弱
．由X、Y和氢三种元素形成的化合物中只有共价键
D．23．表中陈述I、II均正确，且两者在反应原理上相似的是
选项陈述I陈述IIA向酚酞溶液中加Na2O2，溶液先变红后褪色向石蕊溶液中通入Cl2，溶液先变红后褪色B将SO2和
萌发需要
。2）（3）在MS培养基中，使用了以下一些激素组合（如表2），以上培养基均能诱导叶盘缓慢长
出黄绿色的愈伤组织，其中组B2和组B3诱导产生的愈伤组织在培养30天后分化出小芽点，并迅速长大成无根苗，两组的
分化率分别为25.0%和14.3%。可见0.2mg/LNAA与激动素(6-BA等)配合可诱导栝楼叶片?
（4）人类也会出现三体或单体28．(16分) 下图表示人体神经－体液－免疫相互调节的关系模式图。请据图回答：
（1）图中神经－体液调节途径涉及的主要结构是
、肾上腺、甲状腺和性腺。
性激素和甲状腺激素的分泌过程存在分级调节过程，当内环境中的性激素和甲状腺激素含量过高，
会通过
调节维持相关激素的水平的稳定。
A．果树生长有典型的向光性，这与其体内背光侧生长素分布较多有关
B．火龙果成熟时，脱落酸和乙烯的含量明显降低
C．火龙果枝条扦插不易生根，可用高浓度的生长素类似物处理
广东省清远市高三数学上学期期末试卷 理(含解析)
广东省清远市2015届高三上学期期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，每小题只有一个选项是符合题目要求的）1．（5分）图中阴影部分表示的集合是（）A．∁U（A∩B）B．∁U（A∪B）C．A∩（∁U B）D．（∁U A）∩B2．（5分）已知a，b∈R，i是虚数单位，若a+bi与2﹣i互为共轭复数，则（a+bi）2=（）A．5﹣4i B．5+4i C．3﹣4i D．3+4i3．（5分）已知=（a，﹣2），=（1，1﹣a），且∥，则a=（）A．﹣1 B．2或﹣1 C．2 D．﹣24．（5分）阅读如图的程序框图，若输入m=2，n=3，则输出a=（）A．6 B．4 C．3 D．25．（5分）下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（）A．y=x+1 B．y=﹣x2C．D．y=x|x|6．（5分）设平面α与平面β相交于直线l，直线a在平面α内，直线b在平面β内，且b⊥l，则“a⊥b”是“α⊥β”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C ． 充要条件D ． 既不充分也不必要条件7．（5分）已知实数x ，y 满足约束条件，若z=2x+y 的最小值为3，则实数b=（）A ．B ．C ． 1D ．8．（5分）设定义在（0，+∞）上的函数f （x ）=，g （x ）=f （x ）+a ，则当实数a 满足2＜a ＜时，函数y=g （x ）的零点个数为（）A ． 1B ． 2C ． 3D ． 4二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共30分）（一）必做题（9-13题）9．（5分）图中阴影部分的面积等于．10．（5分）在边长为2的正方形ABCD 的内部任取一点P ，使得点P 到正方形ABCD 各顶点的距离都大于1的概率是．11．（5分）几何体的三视图如图所示：其中正视图和侧视图都是上底为3，下底为9，高为4的等腰梯形，则该几何体的全面积为．12．（5分）已知圆C ：x 2+y 2﹣2x+4y=0，直线L ：x+y+a=0（a ＞0），圆心到直线L 的距离等于，则a 的值为．13．（5分）如图所示，椭圆中心在坐标原点，F为左焦点，当⊥时，该椭圆被称为“黄金椭圆”，其离心率为，类比“黄金椭圆”，可推算出“黄金双曲线”的离心率e等于．（二）选做题（考生只能从中选做一题，两题全答的，只计前一题的得分）【几何证明选讲选做题】14．（5分）如图，∠B=∠D，AE⊥BC，∠ACD=90°，且AB=6，AC=4，AD=12，则∠ACB=．【极坐标和参数方程选做题】15．在极坐标系中，点A（2，）与曲线θ=（ρ∈R）上的点的最短距离为．五、解答题（本大题共6小题，共80分，解答题应写出必要的文字说明，推理证明过程或演算步骤）16．（12分）已知函数f（x）=sinx•cosx﹣cos2x（x∈R）．（1）求函数f（x）的最小值和最小正周期；（2）设△ABC的内角A、B、C的对边分别a、b、c，且c=，f（C）=1，求三角形ABC的外接圆面积．17．（12分）为了解学生身高情况，某校以10%的比例对2015届高三年级的700名学生按性别进行分层抽样调查，测得身高情况的统计图如图：（1）估计该校学生身高在170～185cm之间的概率；（2）从样本中身高在180～190cm之间的男生中任选2人，其中身高在185～190cm之间的人数记为X，求X的分布列和期望．18．（14分）在等腰直角△BCP中，BC=PC=4，∠BCP=90°，A是边BP的中点，现沿CA把△ACP 折起，使PB=4，如图1所示．（1）在三棱锥P﹣ABC中，求证：平面PAC⊥平面ABC；（2）在图1中，过A作BC的平行线AE，AE=2，过E作AC的平行线与过C作BA的平行线交于D，连接PE，PD得到图2，求直线PB与平面PCD所成角的大小．19．（14分）已知双曲线Γ的焦点为（0，﹣2）和（0，2），离心率为，过双曲线Γ的上支上一点P作双曲线Γ的切线交两条渐近线分别于点A，B（A，B在x轴上方）．（1）求双曲线Γ的标准方程；（2）探究•是否为定值，若是，求出该定值，若不是，说明理由．20．（14分）设数列{a n}的前n项和为S n，且满足a1=2，a n+1=2S n+2（n=1，2，3…）（1）求a2；（2）求数列{a n}的通项公式；（3）设b n=，求证：b1+b2+…+b n＜．21．（14分）设函数f（x）=﹣aln（1+x），g（x）=ln（1+x）﹣bx．（1）若函数f（x）在x=0处有极值，求函数f（x）的最大值；（2）①若b是正实数，求使得关于x的不等式g（x）＜0在（0，+∞）上恒成立的b的取值范围；②证明：不等式﹣lnn≤（n∈N*）．广东省清远市2015届高三上学期期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，每小题只有一个选项是符合题目要求的）1．（5分）图中阴影部分表示的集合是（）A．∁U（A∩B）B．∁U（A∪B）C．A∩（∁U B）D．（∁U A）∩B考点：Venn图表达集合的关系及运算．专题：集合．分析：根据Venn图和集合之间的关系进行判断．解答：解：由Venn图可知，阴影部分的元素为属于A且不属于B的元素构成，所以用集合表示为A∩（∁U B）．故选：C．点评：本题主要考查Venn图表达集合的关系和运算，比较基础．2．（5分）已知a，b∈R，i是虚数单位，若a+bi与2﹣i互为共轭复数，则（a+bi）2=（）A．5﹣4i B．5+4i C．3﹣4i D．3+4i考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出．解答：解：∵a+bi与2﹣i互为共轭复数，∴a=2，b﹣1=0，解得a=2，b=1．∴（a+bi）2=（2+i）2=3+4i．故选：D．点评：本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义，属于基础题．3．（5分）已知=（a，﹣2），=（1，1﹣a），且∥，则a=（）A．﹣1 B．2或﹣1 C．2 D．﹣2考点：平面向量共线（平行）的坐标表示．专题：平面向量及应用．分析：根据两向量平行的坐标表示，列出方程，求出a的值即可．解答：解：∵=（a，﹣2），=（1，1﹣a），且∥，∴a（1﹣a）﹣（﹣2）×1=0，化简得a2﹣a﹣2=0，解得a=2或a=﹣1；∴a的值是2或﹣1．故选：B．点评：本题考查了平面向量平行的坐标表示的应用问题，是基础题目．4．（5分）阅读如图的程序框图，若输入m=2，n=3，则输出a=（）A．6 B．4 C．3 D．2考点：程序框图．专题：图表型；算法和程序框图．分析：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：当a=6时，满足条件“n整除a？”，退出循环，输出a的值为6．解答：解：根据流程图所示的顺序，可知：m=2，n=3，i=1，a=2不满足条件“n整除a？”，i=2，a=4不满足条件“n整除a？”，i=3，a=6满足条件“n整除a？”，退出循环，输出a的值为6．故选：A．点评：根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：：①分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中即要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）⇒②建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型③解模．5．（5分）下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（）A．y=x+1 B．y=﹣x2C．D．y=x|x|考点：函数奇偶性的判断；函数单调性的判断与证明．专题：探究型．分析：对于A，非奇非偶；对于B，是偶函数；对于C，是奇函数，但不是增函数；对于D，令f（x）=x|x|=，可判断函数既是奇函数又是增函数，故可得结论．解答：解：对于A，非奇非偶，是R上的增函数，不符合题意；对于B，是偶函数，不符合题意；对于C，是奇函数，但不是增函数；对于D，令f（x）=x|x|，∴f（﹣x）=﹣x|﹣x|=﹣f（x）；∵f（x）=x|x|=，∴函数是增函数故选D．点评：本题考查函数的性质，考查函数的奇偶性与单调性的判断，属于基础题．6．（5分）设平面α与平面β相交于直线l，直线a在平面α内，直线b在平面β内，且b⊥l，则“a⊥b”是“α⊥β”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：证明题．分析：分析题可知：在题目的前提下，由“a⊥b”不能推得“α⊥β”，由面面垂直的性质定理可由“α⊥β”推出“a⊥b”，从而可得答案．解答：解：由题意可得α∩β=l，a⊂α，b⊂β，若再满足a⊥b，则不能推得α⊥β；但若满足α⊥β，由面面垂直的性质定理可得a⊥b故“a⊥b”是“α⊥β”的必要不充分条件．故选B点评：本题考查充要条件的判断，涉及空间中的线面位置关系，属基础题．7．（5分）已知实数x，y满足约束条件，若z=2x+y的最小值为3，则实数b=（）A．B．C．1 D．考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，根据z=2x+y的最大值为3，先确定取得最大值时的最优解，即可求出b的值．解答：解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．由z=2x+y得y=﹣2x+z，平移直线y=﹣2x+z，由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点A时，直线y=﹣2x+z的截距最小，此时z最小为3，即2x+y=3．由，解得，即A（，），此时点A也在直线y=﹣x+b上．即=﹣+b，即b=．故选：A点评：本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，先确定最优解以及，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．8．（5分）设定义在（0，+∞）上的函数f（x）=，g（x）=f（x）+a，则当实数a满足2＜a＜时，函数y=g（x）的零点个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4考点：根的存在性及根的个数判断；分段函数的应用．专题：计算题；分类讨论；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．分析：当0＜x≤1时，f（x）=﹣（+2x），分析可知g（x）=f（x）+a有2个零点；当x ＞1时，令x2﹣2x﹣+a=0可判断函数y=g（x）有1个零点；从而确定零点的个数即可．解答：解：①当0＜x≤1时，f（x）=﹣（+2x）；故f（x）在（0，]上是增函数，f（x）≤﹣2；f（x）在（，1]上是减函数，﹣≤f（x）＜﹣2；故当2＜a＜时，g（x）=f（x）+a有2个零点；②当x＞1时，令g（x）=f（x）+a=0得，x2﹣2x﹣+a=0，△=4+4（﹣a）=4（﹣a）＞0；故方程x2﹣2x﹣+a=0有两个不同的根；而对称轴为x=1；故函数y=g（x）有1个零点；综上所述，函数y=g（x）的零点个数为3；故选：C．点评：本题考查了分类讨论的思想应用及函数的单调性的判断与应用，同时考查了函数的零点与方程的根的关系应用，属于中档题．二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共30分）（一）必做题（9-13题）9．（5分）图中阴影部分的面积等于1．考点：定积分．专题：计算题；导数的概念及应用．分析：根据题意，所求面积为函数3x2在区间上的定积分值，再用定积分计算公式加以运算即可得到本题答案．解答：解：根据题意，该阴影部分的面积为=x3=（13﹣03）=1故答案为：1点评：本题求曲线围成的曲边图形的面积，着重考查了定积分的几何意义和积分计算公式等知识，属于基础题．10．（5分）在边长为2的正方形ABCD的内部任取一点P，使得点P到正方形ABCD各顶点的距离都大于1的概率是．考点：几何概型．专题：概率与统计．分析：根据已知条件，求出满足条件的正方形ABCD的面积，及动点P到定点A的距离|PA|＜1对应平面区域的面积，代入几何概型计算公式，即可求出答案．解答：解：由题意，正方形的面积为2×2=4，使得点P到正方形ABCD各顶点的距离都大于1的P的集合为如图的阴影部分的面积为4﹣π，由几何概型的公式点P到正方形ABCD各顶点的距离都大于1的概率是得；故答案为：点评：本题考查了几何概型的运用；几何概型的概率估算公式中的“几何度量”，可以为线段长度、面积、体积等，而且这个“几何度量”只与“大小”有关，而与形状和位置无关．解决的步骤均为：求出满足条件A的基本事件对应的“几何度量”N（A），再求出总的基本事件对应的“几何度量”N，最后根据公式求值．11．（5分）几何体的三视图如图所示：其中正视图和侧视图都是上底为3，下底为9，高为4的等腰梯形，则该几何体的全面积为210．考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：由几何体的三视图可得几何体是正四棱台，连接BD，B′D′，过B′分别作下底面及BC的垂线交BD于E，BC于F，根据正视图和侧视图都是上底为3，下底为9，高为4的等腰梯形，可得A′B′′=3，AB=9，棱台的高为B′E=4，求出正四棱台的斜高与正四棱台的高，进而根据有关的公式求出几何体的全面积．解答：解：∵正视图和侧视图都是上底为3，下底为9，高为4的等腰梯形，∴A′B′=3，AB=9，棱台的高为B′E=4，∴侧棱BB′==，斜高B′F==5，∴全面积S=32+92+4×=210，故答案为：210．点评：本题借助几何体的三视图考查几何体表面积D计算，考查了学生的空间想象能力与识图，用图能力．12．（5分）已知圆C：x2+y2﹣2x+4y=0，直线L：x+y+a=0（a＞0），圆心到直线L的距离等于，则a的值为3．考点：直线与圆的位置关系．专题：直线与圆．分析：求出圆心坐标和半径，根据点到直线的距离公式进行求解即可．解答：几何概型的概率公式圆的标准方程为（x﹣1）2+（y+2）2=5，则圆心坐标为（1，﹣2），半径R=，则圆心到直线的距离d=，则|a﹣1|=2，解得a=3或a=﹣1（舍），故答案为：3点评：本题主要考查圆心到直线的距离的计算，求出圆的标准方程是解决本题的关键．13．（5分）如图所示，椭圆中心在坐标原点，F为左焦点，当⊥时，该椭圆被称为“黄金椭圆”，其离心率为，类比“黄金椭圆”，可推算出“黄金双曲线”的离心率e等于．考点：椭圆的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由题意可得，FA2=FB2+BA2，把该式转化为关于a，b，c的方程，然后利用c2=b2+a2，可得关于e的二次方程，解出即可解答：解：由题意可得，FA2=FB2+BA2，即（a+c）2=c2+b2+a2+b2，整理得b2=ac，∴c2﹣a2﹣ac=0两边同除以a2，得0=e2﹣e﹣1，∵e＞1∴e=答案为：点评：本题考查双曲线的简单性质、基本量的求解，属基础题，正确理解新定义是关键．（二）选做题（考生只能从中选做一题，两题全答的，只计前一题的得分）【几何证明选讲选做题】14．（5分）如图，∠B=∠D，AE⊥BC，∠ACD=90°，且AB=6，AC=4，AD=12，则∠ACB=30°．考点：相似三角形的性质．专题：计算题；立体几何．分析：证明△ABE∽△ADC，可得，=，即可得出结论．解答：解：∵AE⊥BC，∠ACD=90°，∠B=∠D，∴△ABE∽△ADC，∴=，∵AB=6，AC=4，AD=12，∴=，∴∠ACB=30°，即可得出结论故答案为：30°．点评：本题考查三角形相似的证明，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．【极坐标和参数方程选做题】15．在极坐标系中，点A（2，）与曲线θ=（ρ∈R）上的点的最短距离为1．考点：简单曲线的极坐标方程．专题：坐标系和参数方程．分析：把极坐标化为直角坐标，再利用点到直线的距离公式即可得出．解答：解：点A（2，）化为直角坐标A，即A．曲线θ=（ρ∈R）化为，即y=x，∴点A（2，）与曲线θ=（ρ∈R）上的点的最短距离d==1．故答案为：1．点评：本题考查了把极坐标化为直角坐标、点到直线的距离公式，属于基础题．五、解答题（本大题共6小题，共80分，解答题应写出必要的文字说明，推理证明过程或演算步骤）16．（12分）已知函数f（x）=sinx•cosx﹣cos2x（x∈R）．（1）求函数f（x）的最小值和最小正周期；（2）设△ABC的内角A、B、C的对边分别a、b、c，且c=，f（C）=1，求三角形ABC的外接圆面积．考点：正弦定理；三角函数的化简求值；三角函数的周期性及其求法；正弦函数的定义域和值域．专题：计算题．分析：（I）通过二倍角公式以及两角差的正弦函数化简函数的表达式，借助正弦函数的最值求函数f（x）的最小值，利用周期公式求出函数最小正周期；（II）利用f（C）=1，求出C，利用正弦定理求出外接圆的直径，然后求出面积．解答：解：（I）∵=∵x∈R，∴∴﹣1，∴f（x）=的最小值是﹣1，f（x）=的最小正周期为：T==π，故函数的最小正周期是π．（II）∵f（C）=1∴sin（2C﹣）=1，且0＜2C＜2π，∴2C﹣=，∴C=．由正弦定理得到：2R=（R为外接圆半径），∴R=1．∴三角形ABC的外接圆面积为S=π．点评：考查三角恒等变形，正弦定理，解三角形．考查计算能力．17．（12分）为了解学生身高情况，某校以10%的比例对2015届高三年级的700名学生按性别进行分层抽样调查，测得身高情况的统计图如图：（1）估计该校学生身高在170～185cm之间的概率；（2）从样本中身高在180～190cm之间的男生中任选2人，其中身高在185～190cm之间的人数记为X，求X的分布列和期望．考点：离散型随机变量的期望与方差；频率分布直方图；离散型随机变量及其分布列．专题：概率与统计．分析：（1）由统计图知，先求出样本中身高在170～185 cm之间的学生的人数，再由样本容量，求出样本中学生身高在170～185 cm之间的频率，由此能估计该校学生身高在170～185 cm之间的概率．（2）由题意可知X=0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和期望．解答：解：（1）由统计图知，样本中身高在170～185 cm之间的学生有14+13+4+3+1=35（人），…（2分）样本容量为70，…（3分）所以样本中学生身高在170～185 cm之间的频率f==0.5．…（4分）故由f估计该校学生身高在170～185 cm之间的概率P1=0.5．…（5分）（2）由题意可知X=0，1，2，…（7分）P（X=0）===，…（8分）P（X=1）==，…（9分）P（X=2）==，…（10分）∴X的分布列为：X 0 1 2P…（11分）X的期望为EX==．…（12分）点评：本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意可能事件概率计算公式和排列组合知识、频率分布直方图的合理运用．18．（14分）在等腰直角△BCP中，BC=PC=4，∠BCP=90°，A是边BP的中点，现沿CA把△ACP 折起，使PB=4，如图1所示．（1）在三棱锥P﹣ABC中，求证：平面PAC⊥平面ABC；（2）在图1中，过A作BC的平行线AE，AE=2，过E作AC的平行线与过C作BA的平行线交于D，连接PE，PD得到图2，求直线PB与平面PCD所成角的大小．考点：平面与平面垂直的判定；直线与平面所成的角．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：（1）根据面面垂直的判定定理即可证明平面PAC⊥平面ABC；（2）根据线面所成角的定义先求出线面角然后根据三角形的边角关系进行求解即可．解答：证明：（1）在三棱锥P﹣ABC中，依题意可知：PA⊥AC，…1分∵PA=AB=，PB=4，∴PA2+AB2=PB2，…2分，则PA⊥AB，…3分又AB∩AC=A，则PA⊥平面ABC，…5分∵PA⊂平面PAC，∴平面PAC⊥平面ABC．…6分（2）由（1）知PA⊥AB，又AB⊥AC，PA∩AC=A，∴AB⊥平面PAC，…7分∵AB∥CD，∴CD⊥平面PAC，…8分过A作AH⊥PC于H，则CD⊥AH，…9分又∵PC∩CD=C，∴AH⊥平面PCD，…10分又AB∥CD，AB⊄平面PCD，∴AB∥平面，∴点A到平面PCD的距离等于点B到平面PCD的距离．…11分∵在Rt△PAC中，PA=2，AC=2，PC=4，∴PC边上的高AH=2，即为点A到平面PCD的距离，…12分设直线PB与平面PCD所成角为θ，则，…13分又，所以，即直线PB与平面PCD所成角的大小为； (14)点评：本题主要考查空间面面垂直的判定依据直线和平面所成角的求解，考查学生的推理和计算能力．19．（14分）已知双曲线Γ的焦点为（0，﹣2）和（0，2），离心率为，过双曲线Γ的上支上一点P作双曲线Γ的切线交两条渐近线分别于点A，B（A，B在x轴上方）．（1）求双曲线Γ的标准方程；（2）探究•是否为定值，若是，求出该定值，若不是，说明理由．考点：双曲线的简单性质．专题：平面向量及应用；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）依题意可设双曲线的标准方程为﹣=1（a＞0，b＞0），由c=2，=，b2=c2﹣a2，解出a，b，即可得到双曲线方程；（2）•是定值2．设出直线AB的方程，联立双曲线方程，消去y，由判别式为0，可得k2+b2=3，再由双曲线的渐近线方程和直线AB的方程联立，可得A，B的横坐标之积和纵坐标之积，结合向量的数量积的坐标表示，计算即可得到定值．解答：解：（1）依题意可设双曲线的标准方程为﹣=1（a＞0，b＞0），∵c=2，=，b2=c2﹣a2，∴a=，b=1，∴双曲线的标准方程为﹣x2=1．（2）•是定值2，理由如下：设直线AB：y=kx+b（b＞0），由得（k2﹣3）x2+2kbx+b2﹣3=0，则k2﹣3≠0，△=（2kb）2﹣4（k2﹣3）（b2﹣3）=0，解得k2+b2=3，设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1＞0，y2＞0，由双曲线渐近线方程：y2﹣3x2=0与y=kx+b联立，得（k2﹣3）x2+2kbx+b2=0，则k2﹣3≠0，△=（2kb）2﹣4（k2﹣3）b2＞0，则x1x2===﹣1，y1y2=3|x1x2|=3，∴•=x1x2+y1y2=﹣1+3=2．点评：本题考查双曲线的方程和性质，主要考查联立直线方程和双曲线方程，消去未知数，运用判别式和韦达定理，同时考查向量的数量积的坐标表示，考查运算能力，属于中档题和易错题．20．（14分）设数列{a n}的前n项和为S n，且满足a1=2，a n+1=2S n+2（n=1，2，3…）（1）求a2；（2）求数列{a n}的通项公式；（3）设b n=，求证：b1+b2+…+b n＜．考点：数列的求和；数列递推式．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）由已知条件利用递推公式能求出a2．（2）由a n+1=2S n+2，得当n≥2时，a n=2S n﹣1+2，从而a n+1=3a n（n≥2），从而得到{a n}是首项为2，公比这3的等比数列，由此能求出a n=2×3n﹣1．（3）由a n+1=2S n+2，得S n==3n﹣1，从而b n===，由此利用裂项求和法能证明b1+b2+…+b n＜．解答：（1）解：∵a1=2，a n+1=2S n+2（n=1，2，3…），∴a2=2S1+2=2a1+2=6．（2）解：∵a1=2，a n+1=2S n+2（n=1，2，3…）①∴当n≥2时，a n=2S n﹣1+2，②①﹣②，得a n+1=3a n（n≥2），∵a1=2，a2=6，∴a n+1=a n，n∈N*，∴{a n}是首项为2，公比这3的等比数列，∴a n=2×3n﹣1．（3）证明：∵a n+1=2S n+2，∴S n==3n﹣1，…（10分）b n====…（12分）∴b1+b2+…+b n=（）+（）+…+（）=．…（14分）点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查不等式的证明，解题时要认真审题，注意构造法和裂项求和法的合理运用．21．（14分）设函数f（x）=﹣aln（1+x），g（x）=ln（1+x）﹣bx．（1）若函数f（x）在x=0处有极值，求函数f（x）的最大值；（2）①若b是正实数，求使得关于x的不等式g（x）＜0在（0，+∞）上恒成立的b的取值范围；②证明：不等式﹣lnn≤（n∈N*）．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数求闭区间上函数的最值．专题：分类讨论；导数的概念及应用；导数的综合应用；不等式的解法及应用．分析：（1）求出函数的导数，由极值可得f′（0）=0，解得a=1，再求f（x）的单调区间，可得极大值，也为最大值；（2）①求得g（x）的导数，对b讨论，（i）若b≥1，（ii）若b≤0，（iii）若0＜b＜1，通过导数判断单调性，即可求得b的范围；②由以上可得，＜ln（1+x）＜x（x＞0），取x=，得＜ln（1+）＜，通过求和和对数的性质即可得证．解答：解：（1）由已知得：f′（x）=﹣，又∵函数f（x）在x=0处有极值∴f′（0）=﹣=0，即a=1∴f（x）=﹣ln（1+x），f′（x）=﹣=，∴当﹣1＜x＜0时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；当x＞0时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；∴函数f（x）的最大值为f（0）=0；（2）①由已知得：g′（x）=﹣b，（i）若b≥1，则x≥0时，g′（x）≤0，∴g（x）在∴g（x）在[0，+∞）上为增函数，∴g（x）＞g（0）=0，不能使g（x）＜0在（0，+∞）上恒成立；（iii）若0＜b＜1，则g′（x）=0，可得x=﹣1，当0≤x＜﹣1，g′（x）≥0，g（x）在[0，﹣1）上递增，此时g（x）＞g（0）=0，不能使g（x）＜0在（0，+∞）上恒成立，综上可得，b的取值范围为[1，+∞）；②证明：由以上可得，＜ln（1+x）＜x（x＞0），取x=，得＜ln（1+）＜，令x n=﹣lnn，取x1=，x n﹣x n﹣1=﹣ln（1+）＜﹣=＜0，因此x n＜x n﹣1＜…＜x1=，则有不等式﹣lnn≤（n∈N*）．点评：本题考查导数的运用：求单调区间和极值、最值，同时考查函数的单调性的运用，对数的运算性质和求和方法，运用分类讨论的思想方法是解题的关键．。
广东省清远市高三上学期理数期末(一模)数学试卷
广东省清远市高三上学期理数期末(一模)数学试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分）(2017·上高模拟) 设集合A={x|﹣1＜x＜2}，B={x|y=lg（x﹣1）}，则A∩（∁RB）=（）A . （﹣1，1）B . [2，+∞）C . （﹣1，1]D . [﹣1，+∞）2. （2分）(2020·漳州模拟) 复数满足，则（）A .B .C .D .3. （2分）定义在R上的函数f（x）对任意x1 ， x2（x1≠x2）都有＜0，且函数y=f（x+1）的图象关于原点对称，若s，t满足不等式f（s2﹣2s）≤﹣f（2t﹣t2+2），则当1≤s≤4时，的取值范围是（）A . [﹣3，﹣）B . [﹣3，﹣ ]C . [﹣5，﹣）D . [﹣5，﹣ ]4. （2分） (2017高一下·荥经期中) 在等比数列{an}中，a1=﹣16，a4= 则q=（）A . q=B . q=﹣C . q=4D . q=﹣45. （2分）(2017·衡阳模拟) 已知函数f（x）=ex（x﹣b）（b∈R）．若存在x∈[ ，2]，使得f（x）+xf′（x）＞0，则实数b的取值范围是（）A . （﹣∞，）B . （﹣∞，）C . （﹣，）D . （，+∞）6. （2分）已知为不同的直线，为不同的平面，给出下列四个命题：①若，则；②若，则；③若，则；④若，则.其中所有正确命题的序号是（）A . ①②B . ②③C . ①③D . ①④7. （2分） (2019高二下·宁夏月考) 按流程图的程序计算，若开始输入的值为，则输出的的值是（）A . 231B .C .D . 68. （2分） (2020高三上·渭南期末) 2010-2018年之间，受益于基础设施建设对光纤产品的需求，以及个人计算机及智能手机的下一代规格升级，电动汽车及物联网等新机遇，连接器行业增长呈现加速状态．根据该折线图，下列结论正确的个数为（）①每年市场规模量逐年增加；②增长最快的一年为2013～2014；③这8年的增长率约为40％；④2014年至2018年每年的市场规模相对于2010年至2014年每年的市场规模，数据方差更小，变化比较平稳A . 1B . 2C . 3D . 49. （2分） (2017高二下·成都期中) 已知F1 ， F2分别为双曲线C：﹣ =1的左、右焦点，若存在过F1的直线分别交双曲线C的左、右支于A，B两点，使得∠BAF2=∠BF2F1 ，则双曲线C的离心率e的取值范围是（）A . （3，+∞）B . （1，2+ ）C . （3，2+ ）D . （1，3）10. （2分） (2020高三上·渭南期末) 唐代诗人李欣的是古从军行开头两句说“百日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”诗中隐含着一个有缺的数学故事“将军饮马”的问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为，若将军从出发，河岸线所在直线方程，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为（）A .B .C .D .11. （2分） (2019高一上·郁南月考) 为了得到函数y=4sin(x- )的图象，只要把函数y=3cos（－x)的图象上所有的点（）A . 纵坐标缩短到原来的倍，再向左平移个单位长度B . 纵坐标伸长到原来的倍，再向右平移个单位长度C . 横坐标缩短到原来的倍，再向左平移个单位长度D . 横坐标伸长到原来的倍，再向右平移个单位长度12. （2分）(2017·鞍山模拟) 定义在（0，+∞）的函数f（x）的导函数f'（x）满足x3f'（x）+8＞0，且f（2）=2，则不等式的解集为（）A . （﹣∞，2）B . （﹣∞，ln2）C . （0，2）D . （0，ln2）二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）(2020·晋城模拟) 对于等差数列和等比数列，我国古代很早就有研究成果，北宋大科学家沈括在《梦溪笔谈》中首创的“隙积术”，就是关于高阶等差级数求和的问题.现有一货物堆，从上向下查，第一层有2个货物，第二层比第一层多3个，第三层比第二层多4个，以此类推，记第层货物的个数为，则数列的通项公式 ________，数列的前项和 ________.14. （1分） (2018高一下·龙岩期末) 如图，在同一个平面内，向量的模分别为1，，，与的夹角为，且，与的夹角为135°.若，则 ________．15. （1分） (2018高二下·辽宁期末) 在的二项展开式中，常数项为________．16. （1分）(2020·长春模拟) 三棱锥中，⊥平面，, ,，则三棱锥的外接球的表面积为________.三、解答题 (共7题；共65分)17. （10分）(2013·北京理) 如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1C1C是边长为4的正方形．平面ABC⊥平面AA1C1C，AB=3，BC=5．（1）求证：AA1⊥平面ABC；（2）求证二面角A1﹣BC1﹣B1的余弦值；（3）证明：在线段BC1上存在点D，使得AD⊥A1B，并求的值．18. （10分）(2018高一下·新乡期末) 已知的三个内角分别为，，，且.（1）求；（2）已知函数，若函数的定义域为，求函数的值域.19. （10分）(2018·佛山模拟) 从某企业生产的产品的生产线上随机抽取件产品,测量这批产品的一项质量指标值,由测量结果得如图所示的频率分布直方图：(Ⅰ) 估计这批产品质量指标值的样本平均数和样本方差 (同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；(Ⅱ) 若该种产品的等级及相应等级产品的利润(每件)参照以下规则(其中为产品质量指标值):当 ,该产品定为一等品,企业可获利 200 元；当且，该产品定为二等品,企业可获利 100 元；当且，该产品定为三等品,企业将损失 500 元；否则该产品定为不合格品,企业将损失 1000 元．(ⅰ)若测得一箱产品(5 件)的质量指标数据分别为：76、85、93、105、112,求该箱产品的利润；(ⅱ)设事件；事件；事件 . 根据经验,对于该生产线上的产品,事件发生的概率分别为0.6826、0.9544、0.9974.根据以上信息,若产品预计年产量为10000件,试估计该产品年获利情况.(参考数据: )20. （10分） (2018高二下·盘锦期末) 已知函数，其中a>0．（Ⅰ）求证：函数f(x)在x=1处的切线经过原点；（Ⅱ）如果f(x)的极小值为1，求f(x)的解析式．21. （10分）(2017·江苏) 如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆E： =1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1 ， F2 ，离心率为，两准线之间的距离为8．点P在椭圆E上，且位于第一象限，过点F1作直线PF1的垂线l1 ，过点F2作直线PF2的垂线l2 ．（Ⅰ）求椭圆E的标准方程；（Ⅱ）若直线l1 ， l2的交点Q在椭圆E上，求点P的坐标．22. （5分）在平面直角坐标系xoy中，直线l的参数方程为：（t为参数），以O为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρcos2θ=sinθ，直线l与曲线C交于M，N两点（点M在点N的上方）．（Ⅰ）若a=0，求M，N两点的极坐标；（Ⅱ）若P（a，0），且，求a的值．23. （10分）(2017·佛山模拟) 已知不等式|x+3|﹣2x﹣1＜0的解集为（x0 ，+∞）（Ⅰ）求x0的值；（Ⅱ）若函数f（x）=|x﹣m|+|x+ |﹣x0（m＞0）有零点，求实数m的值．参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共7题；共65分) 17-1、17-2、17-3、18-1、18-2、19-1、20-1、21-1、22-1、23-1、。
【数学】广东省清远市高三上学期期末教学质量检测试题(理)(解析版)
广东省清远市高三上学期期末教学质量检测数学试题一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】解出集合N，然后进行交集的运算即可．M＝{x|0≤x≤2}，N＝{0，1，2}；∴M∩N＝{0，1，2}．故选：D．2.设复数满足(其中为虚数单位)，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】先将已知条件化为，再利用复数除法运算化简求得的表达式.【依题意可知，故，故选C.3.等比数列中，满足，且成等差数列，则数列的公比为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】根据，且成等差数列，列出关于公比的方程，从而可得的值.因为，且成等差数列，所以，即,解得或（舍去），所以数列的公比为，故选B.4.如图为某几何体的三视图，图中的三个正方形的边长均为2，则该几何体的体积为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】根据三视图判断出几何体是由一个正方体挖掉一个圆锥得到，由此计算几何体的体积.由三视图可知，该几何体是由一个正方体挖掉一个圆锥得到，正方体的体积为，圆锥的体积为，故所求几何体的体积为.故选B.5.从应届高中生中选拔飞行员，已知这批学生体型合格的概率为，视力合格的概率为，假设各项标准互不影响，从中任选一名学生，则该生恰有一项合格的概率为（ ） A.B.C. D.【答案】D【解析】先求得两项都合格以及两项都不合格的概率，用减去这两个概率求得恰有一项合格的概率.两项都合格的概率为，两项都不合格的概率为，故恰有一项合格的概率为.故选D.6.如图，矩形中曲线的方程分别是，在矩形内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】利用定积分计算得阴影部分的面积，在利用几何概型概率计算公式求得所求的概率.依题意的阴影部分的面积，根据用几何概型概率计算公式有所求概率为，故选A.7.世界上最古老的数学著作《莱茵德纸草书》中有一道这样的题目：把磅面包分给个人，使每人所得成等差数列，且使较大的两份之和是较小的三份之和，则最小的份为（）A. 磅 B. 磅 C. 磅 D. 磅【答案】D【解析】设出等差数列的首项和公差，利用已知条件列方程组并转化为的形式，由此求得最小分的磅数.由于数列为等差数列，设最小一份为，且公差为，依题意可知，即，解得.故选D.8.下列命题中正确的是（）A. 在中，是为等腰三角形的充要条件B. “”是“”成立的充分条件C. 命题“”的否定是“”D. 命题“若，则或”的逆否命题是“若或，则”【答案】B【解析】利用特殊的等腰三角形排除A选项，直接证明B选项正确，利用特称命题的否定是全称命题的知识排除C选项.利用逆否命题的知识排除D选项，由此得出正确选项.当时，三角形为等腰三角形，但是，排除A选项.构造函数，，故函数在上单调递增，所以当时，，即，故B选项正确.特称命题的否定是全称命题，不需要否定，故C选项错误.“或”的否定应该是“且”，故D选项错误.综上所述，本小题选B.9.将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象如图所示，则函数的解析式是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】根据函数g （x ）的图象知， =﹣=，∴T =π， ∴ω==2； 由五点法画图知，x =时，ωx +φ=2×+φ=，解得φ=； ∴g （x ）=sin （2x +）；又f （x ）向左平移个单位后得到函数g （x ）的图象， ∴f （x ）=sin[2（x ﹣）+]=sin （2x ﹣）． 故选：A ． 10.已知，给出下列三个结论：①；②；③.中所有的正确结论的序号是（ ）A. ①②B. ①③C. ②③D. ①②③ 【答案】A 【解析】代入的特殊值，对错误序号进行排除，由此得到正确选项. 不妨设，满足.代入验证①成立，代入②成立，代入③错误，由此排除B,C,D 三个选项，本小题选A.11.在正方体中，分别在是线段的中点，以下结论：①直线丄直线；②直线与直线异面；③直线丄平面；④，其中正确的个数是（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4 【答案】C 【解析】在平面内作出的平行直线，根据中位线得到，由此得到②错误.根据平面得到①③正确，利用中位线及勾股定理证得④正确.由此得出正确的个数为个.过作交于，过作交于，连接.由于分别为的中点，故，故四边形为矩形，故，由于，故②判断错误.由于，所以平面，所以且直线丄平面，即①③正确.由勾股定理得，故，故④判断正确.综上所述，正确的个数为个，故选C.12.半圆的直径，为圆心，是半圆上不同于的任意一点，若为半径上的动点，则的最小值是（ ）A. 2B. 0C. -2D. 4 【答案】C 【解析】将转化为，利用向量数量积运算化简，然后利用基本不等式求得表达式的最小值.画出图像如下图所示，,等号在，即为的中点时成立.故选C.二、填空题（每题5分，满分20分） 13.的常数项是__________．【答案】-7【解析】根据乘法的分配率，要乘以中的常数项，要乘以中含的项，将这两种情况相加，得到表达式的常数项.展开式中的常数项为，展开式中含的项为.由此.14.设向量，若单位向量．．．．满足，则__________．【答案】 【解析】根据，即它们的数量积为零列方程，化简后可求得的值.由于，故，即，解得. 15.某校为了解高三学生身体素质情况，从某项体育测试成绩中随机抽取个学生成绩进行分析，得到成绩频率分布直方图（如图所示），已知成绩在的学生人数为，且有个女生的成绩在中，则__________；现由成绩在的样本中随机抽取2名学生作指导工作，记所抽取学生中女生的人数为，则的数学期望是__________．【答案】 (1). (2).【解析】先利用频率和为求得的值.根据的学生人数及频率，计算出的值.根据的频率计算出该组的总人数，利用超几何分布概率计算公式求得分布列，由此求得的数学期望.由，解得.依题意，则.成绩在的人数为，其中个为女生，个为男生.的可能取值为.，故.16.对于三次函数有如下定义：设是函数的导函数，是函数的导函数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”.若点是函数的“拐点”，也是函数图像上的点，则函数的最大值是__________．【答案】【解析】求出函数的导数，二次导函数，通过函数的“拐点”，求出b，化简函数h（x）x为一个角的一个三角函数的形式，然后求解最大值．g'（x）＝3x2﹣2ax+b，g''（x）＝6x﹣2a，则a＝3，又g（1）＝﹣3，得b＝4，所以h（x）＝sin x+2cos2x＝sin x-2+2,令sinx=t,则t，即求y=+t+2 ，t时的最大值，当时，y有最大值．故答案为：.三、解答题（本大题共7小题，共70分，答题应写出必要的文字说明，推理证明过程或演算步骤。
广东省13市2015届高三上学期期末考试数学理试题分类汇编：三角函数
广东省13市2015届高三上学期期末考试数学理试题分类汇编三角函数一、选择、填空题1、（潮州市2015届高三）已知函数()()sin f x x ωϕ=A +（0A >，0ω>，2πϕ<）的部分图象如图所示，则ϕ=（ ）A ．6π-B ．6π C ．3π- D ．3π2、（佛山市2015届高三）如图1,为了测量河对岸A 、B 两点之间的距离,观察者找到一个点C ,从C 点可以观察到点A 、B ；找到一个点D ,从D 点可以观察到点A 、C ；找到一个点E ,从E点可以观察到点B、C；并测量得到一些数据:2CD =,23CE =,45D ∠=︒,105ACD ∠=︒,48.19ACB ∠=︒,75BCE ∠=︒,E ∠=60︒,则A 、B 两点之间的距离为_________.(其中cos 48.19︒取近似值23)3、（广州市2015届高三）将函数sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向左平移6π个单位，再向上 平移1个单位，所得图象的函数解析式是 A ．22cos y x =B ．22sin y x =BADCE图1C ．1sin 23y x π⎛⎫=++⎪⎝⎭D ．cos 2y x =4、（江门市2015届高三）在ABC ∆中，A ∠、B ∠、C ∠的对边分别为a 、b 、c ，若075=∠A 、060=∠B 、10=c ，则=bA ．35B ．65C ．310D ．6105、（汕尾市2015届高三）在ABC ∆学科网中，角A 、B 、C 的对边分别为,,a b c ，若1,45,a B ABC =∠=∆的面积2S =，则b 边长6、（韶关市2015届高三）已知α为第二象限角，54sin =α，则sin(2)πα+= .A 2425- .B 2425 .C 1225.D 1225-二、解答题1、（潮州市2015届高三）已知函数()2cos 6f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，R x ∈． ()1求()f π的值；()2若2635f πα⎛⎫+=⎪⎝⎭，,02πα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，求()2f α的值．2、（佛山市2015届高三）已知函数()sin 4f x x πω⎛⎫=-⎪⎝⎭(0ω>,x ∈R )的最小正周期为π.(Ⅰ) 求6f π⎛⎫⎪⎝⎭； (Ⅱ) 在图3给定的平面直角坐标系中,画出函数()y f x =在区间,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的图像,并根据图象写出其在,22ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上的单调递减区间.3、（广州市2015届高三）已知函数()sin cos f x x a x =+(x ∈R )，4π是函数()f x 的一个零点.（1）求a 的值，并求函数()f x 的单调递增区间； （2）若α,0,2πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且1045f πα⎛⎫+=⎪⎝⎭，33545f πβ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，求()s i n αβ+的值.4、（惠州市2015届高三）已知函数()sin()f x A x ωϕ=+，x ∈R （其中ππ0,0,22A ωϕ>>-<<），其部分图像如图2所示． （1）求函数()f x 的解析式；（2）已知横坐标分别为1-、1、5的三点,,M N P 都在函数()f x 的图像上，求sin MNP ∠的值．5、（江门市2015届高三）已知函数)cos (sin sin 2)(x x x x f +=，R x ∈．⑴求)(x f 的最小正周期T 和最大值M ； ⑵若31)82(-=+παf ，求αcos 的值．6、（揭阳市2015届高三）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为,,a b c 且a c >，已知ABC ∆的面积32S =，4cos 5B =，32b =. （1）求a 和c 的值； （2）求cos()BC -的值．7、（清远市2015届高三）已知函数1()3sin cos cos 2().2f x x x x x R =⋅-∈（1）求函数()f x 的最小值和最小正周期；（2）设ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且︒=30B ,3,()1c f C ==，判断△ABC 的形状，并求三角形ABC 的面积.8、（汕头市2015届高三）已知函数)32sin(2)(π+=x x f ，R x ∈.图2y x2-1-01-1123456（1）在给定的直角坐标系中，运用“五点法”画出该函数在⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈65,6ππx 的图像。
广东省13市2015届高三上学期期末考试数学理试题分类汇编：立体几何
广东省13市2015届高三上学期期末考试数学理试题分类汇编立体几何一、选择、填空题 1、（潮州市2015届高三）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）A ．233π+ B ．2323π+C ．232π+D ．23π+ 2、（佛山市2015届高三）已知异面直线,a b 均与平面α相交,下列命题: ①存在直线m α⊂,使得m a ⊥或m b ⊥； ②存在直线m α⊂,使得m a ⊥且m b ⊥；③存在直线m α⊂,使得m 与a 和b 所成的角相等. 其中不正确．．．的命题个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 3、（广州市2015届高三）用a ,b ,c 表示空间中三条不同的直线, γ表示平面, 给出下列命题: ① 若a b ⊥, b c ⊥, 则a ∥c ; ② 若a ∥b , a ∥c , 则b ∥c ; ③ 若a ∥γ, b ∥γ, 则a ∥b ; ④ 若a ⊥γ, b ⊥γ, 则a ∥b . 其中真命题的序号是A ．① ②B ．② ③ C．① ④ D ．② ④ 4、（惠州市2015高三）空间中，对于平面α和共面．．的两直线m 、n ，下列命题中为真命题的是( )．A.若m α⊥，m n ⊥，则//n αB.若//m α，//n α，则//m nC.若m 、n 与α所成的角相等，则//m nD.若m α⊂，//n α，则//m n 5、（江门市2015届高三）如图1，某几何体的正视图、侧视图和俯视图分别是直角三角形、等腰三角形和半圆，则该几何体的体积为A．4B．8C．π2D．π46、（揭阳市2015届高三）一几何体的三视图如图3示, 则该几何体的体积为________7、（清远市2015届高三）某几何体的三视图如下图所示：其中正视图和侧视图都是上底为3，下底为9，高为4的等腰梯形，则该几何体的全面积为＿＿＿＿8、（汕头市2015届高三）给出下列命题，其中错误命题的个数为( )（1）直线a与平面α不平行，则a与平面α内的所有直线都不平行；（2）直线a与平面α不垂直，则a与平面α内的所有直线都不垂直；（3）异面直线a、b不垂直，则过a的任何平面与b都不垂直；（4）若直线a和b共面，直线b和c共面，则a和c共面A． 1 B 2 C 3 D 49、（汕尾市2015届高三）已知直线l ⊥平面α，直线m ⊆平面β，则下列四个结论：①若//αβ，则l m ⊥ ②若αβ⊥，则//l m③若//l m ，则αβ⊥ ④若l m ⊥，则//αβ学科网。
2015-2016学年度第一学期末清远高三理科综合试题
2015-2016学年度第一学期末清远高三理科综合试题清远市2015―2016学年度第一学期期末教学质量检测高三理科综合试卷本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
第Ⅰ卷1至5页，第Ⅱ卷6至16页，共300分。
考试时间150分钟。
注意事项：1．答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卷上。
考生要认真核对答题卷上条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致。
2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑，如需要改动用橡皮擦干净，再选涂其他答案标号。
第Ⅱ卷用黑色墨水签字笔在答题卷上书写作答。
在试题卷上作答，答案无效。
3．考试结束。
监考人员将试卷、答题卷一并收回。
可能用到的相对原子质量：H-1 O-16 C-12 S-32 Na-23 Ca-40 Fe-56 Cu-64第Ⅰ卷（选择题共126分）本卷共21小题，每小题6分，共126分一、选择题：本题共13小题，每小题6分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．下列关于化合物的叙述，正确的是A．DNA是生物的主要遗传物质，它的组成元素有C、H、O、N，部分含S、P B．纤维素是植物细胞壁的主要成分，它的基本组成单位是葡萄糖C．动物细胞之间的细胞间质主要成分是蛋白质，可用胃蛋白酶处理动物组织D．磷脂是细胞膜的主要成分，也是线粒体、中心体、叶绿体等生物膜的主要成分2．研究表明，某些癌细胞和正常分化的细胞在有氧条件下产生的ATP总量没有明显差异，但癌细胞即使在氧供应充分的条件下也主要是通过无氧呼吸途径获取能量。
据此判断下列说法错误的是A．癌细胞的线粒体可能存在功能异常B．癌细胞从内环境中摄取并用于细胞呼吸的葡萄糖比正常细胞多很多C．原癌基因位于线粒体内，癌细胞的呼吸作用不同于正常细胞D．有氧条件下，癌细胞中与无氧呼吸有关的酶仍有较高的活性3．下列有关生物遗传和变异的说法正确的是A．DNA上的一个个片段代表一个个基因，DNA碱基的改变称为基因突变B．复制后的一条染色体含有两个DNA分子，一个是原来的母分子，一个是子分子C．一个基因中碱基A含量为X，转录出来的mRNA中碱基U含量为X/2 D．翻译过程有遵循碱基互补配对原则高三理科综合试卷第1 页共16 页4．右图为某家族甲、乙两种遗传病的系谱图。
广东省13市2015届高三上学期期末考试数学理试题分类汇编：数列
广东省13市2015届高三上学期期末考试数学理试题分类汇编数列一、选择题1、（潮州市2015届高三）已知数列{}n a 为等比数列，且222013201504a a x dx +=-⎰，则()20142012201420162a a a a ++的值为（ ）A ．2πB ．2πC ．πD ．24π2、（惠州市2015届高三）数列{}n a ，满足对任意的n N +∈，均有12n n n a a a ++++为定值．若792,3,a a == 984a =，则数列{}n a 的前100项的和100S =( )．A.132B.299C.68D.99 3、（揭阳市2015届高三）已知数列}{n a 的前n 项和212n S n n =+，则2232a a -的值为 A ．9 B ．18 C ．21 D ．1124、（汕头市2015届高三）已知等差数列{}n a 的公差为2,若431,,a a a 成等比数列, 则2a =( )A ． 4-B 6-C 8-D 10-5、（汕尾市2015届高三）已知{}n a 为等差数列，且388a a +=，则10S 的值为（ ） A ．40B ．45C ．50D ．556、（深圳市2015届高三）如果自然数a 的各位数字之和等于8，我们称a 为“吉祥数”。
将所有“吉祥数”从小到大排成一列321,,a a a …，若2015=n a ，则=n （ ） A. 83 B 。
82 C 。
39 D 。
37二、填空题1、（广州市2015届高三）已知数列{}n a 是等差数列，且34512a a a ++=，则1237a a a a ++++的值为2、（江门市2015届高三）已知数列{}n a 满足411-=a ，111--=n n a a （1>n ），计算并观察数列{}n a 的前若干项，根据前若干项的变化规律推测，=2015a3、（韶关市2015届高三）数列{}n a 满足13n n a a +=,*n N ∈,且前3项之和等于13,则该数列的通项公式n a =4、（珠海市2015届高三）已知等差数列{}n a 的前n 项和记为n S ，且35a =，36S =，则7a = 三、解答题1、（潮州市2015届高三）已知数列{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，且222n n S a n =+（n *∈N ）． ()1求n a ，n S ；()2若k a ，22k a -，21k a +（k *∈N ）是等比数列{}n b 的前三项，设112233n n na b a b a b a b T =+++⋅⋅⋅+，求n T ．2、（佛山市2015届高三）数列{}n a 学科网的前n 项和为n S ，已知112a =，2(1)n n S n a n n =--(n ∈*N ).(Ⅰ) 求23,a a ；(Ⅱ) 求数列{}n a 的通项； (Ⅲ)设+11n n n b S S =,数列{}n b 的前n 项和为n T ,证明:52n T <(*n ∈N ).3、（广州市2015届高三）已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足：()11n n aS a a =--，a 为常数，且0a ≠，1a ≠．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若13a =，设1111n n n n n a a b a a ++=-+-，且数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证：13n T <．4、（惠州市2015届高三）已知数列{}n a 的前n 项和()12n n n a S +=，且11a=．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）令ln n n b a =，是否存在k (2,)k k N ≥∈，使得k b 、1k b +、2k b +成等比数列．若存在，求出所有符合条件的k 值；若不存在，请说明理由．5、（江门市2015届高三）已知{}n a 是等差数列，32=a ，53=a ．⑴求数列{}n a 的通项公式；⑵对一切正整数n ，设1)1(+⋅-=n n n n a a n b ，求数列{}n b 的前n 项和n S ．6、（揭阳市2015届高三）已知函数31()(1)1()2x f x f f ax b ===+3，，4，数列{}n x 满足113()2n n x x f x +==，．（1）求23x x ，的值；（2）求数列{}n x 的通项公式； （3）证明：12233334n n x x x +++<．7、（清远市2015届高三）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足21=a ,221+=+n n S a ()1,2,3n =．（1）求2a ； （2）数列{}n a 的通项公式； （3）设nn n n S S a b 11++=,求证：2121<+++n b b b ．8、（汕头市2015届高三）已知数列{}n a 的通项公式是12n n a -=，数列{}n b 是等差数列，令集合{},....,.......,,21n a a a A =，{},....,.......,,21n b b b B =，n ∈*N ．将集合B A 中的元素按从小到大的顺序排列构成的数列记为{}n c .（1）若n c n =，n ∈*N ，求数列{}n b 的通项公式；（2）若φ=B A ，数列{}n c 的前5项成等比数列，且11c =，98c =，求满足154n n c c +>的正整数n 的取值集合.9、（汕尾市2015届高三）已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S 满足242n n n S a a =+．（1）求1a 的值；（2）求{}n a 的通项公式； （3）求证：*222121111,2n n N a a a ++⋅⋅⋅+<∈。
广东省清远市高三上学期期末数学试卷(理科)
广东省清远市高三上学期期末数学试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）已知集合M={3，log2a}，N={a，b}，若M∩N={0}，则M∪N=（）A . {0，1，2}B . {0，1，3}C . {0，2，3}D . {1，2，3}2. （2分）已知是复数，i是虚数单位，在复平面中对应的点为P，若P对应的复数是模等于2的负实数，那么=（）A .B .C .D .3. （2分）以下四个命题中：①从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每10分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是分层抽样；②两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于1；③在某项测量中，测量结果服从正态分布．若在(0,1)内取值的概率为0.4，则在(0,2)内取值的概率为0.8 ；④对分类变量X与Y的随机变量K2的观测值k来说，k越小，判断“X与Y有关系”的把握程度越大．其中真命题的个数为（）A . 1B . 2C . 3D . 44. （2分）下面程序的运行结果是（）i＝1S＝0WHILE i<＝4S＝S*2＋1i＝i＋1WENDPRINT SENDA . 3B . 7C . 15D . 175. （2分）已知约束条件表示面积为1的直角三角形区域，则实数k的值为（）A . 1B . -1C . 0D . -26. （2分）过双曲线C：（a＞0，b＞0）的右顶点作x轴的垂线与C的一条渐近线相交于A．若以C的右焦点为圆心、半径为2的圆经过A、O两点（O为坐标原点），则双曲线C的方程为（）A .B .C .D .7. （2分）(2017·武汉模拟) 将二项式（x+ ）6展开式中各项重新排列，则其中无理项互不相邻的概率是（）A .B .C .D .8. （2分） (2016高一下·岳阳期中) 若函数y=sin（ωx+φ）（ω＞0）的部分图象如图，则ω=（）A . 5B . 4C . 3D . 29. （2分）不等式≤0的解集为（）A . {x| ≤x≤2}B . {x|x＞2或x≤ }C . {x| ≤x＜2}D . {x|x＜2}10. （2分）一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，则这个几何体的外接球的表面积为（）A .B .C .D .11. （2分）(2016·大连模拟) 过抛物线y2=4x的焦点F的直线交抛物线于A、B两点，分别过A、B两点作准线的垂线，垂足分别为A′、B′两点，以线段A′B′为直径的圆C过点（﹣2，3），则圆C的方程为（）A . （x+1）2+（y﹣2）2=2B . （x+1）2+（y﹣1）2=5C . （x+1）2+（y+1）2=17D . （x+1）2+（y+2）2=2612. （2分） (2016高一上·厦门期中) 已知f（x）= 满足对任意x1≠x2都有＜0成立，那么a的取值范围是（）A . （0，1）B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）设α，β为两个不重合的平面，m，n为两条不重合的直线，给出下列四个命题：①若m⊥n，m⊥α，n⊄α，则n∥α；②若m⊥n，m∥α，n∥β，则α⊥β；③若α⊥β，α∩β=m，n⊂α，n⊥m则n⊥β；④若n⊂α，m⊂β，α与β相交且不垂直，则n与m一定不垂直．其中，所有真命题的序号是________ ．14. （1分） (2016高一下·无锡期末) 已知△ABC的面积为S，在边AB上任取一点P，则△PAC的面积大于的概率为________．15. （1分） (2016高一上·如东期中) 函数有一零点所在的区间为（n0 ， n0+1）（），则n0=________．16. （1分） (2016高一下·衡水期末) 在△ABC中，BD为∠ABC的平分线，AB=3，BC=2，AC= ，则sin∠ABD 等于________．三、解答题 (共8题；共65分)17. （10分） (2017高一下·芮城期末) 已知是单调递增的等差数列，首项，前项和为，数列是等比数列，首项，且 .（1）求数列和的通项公式；（2）设，求数列的前项和；18. （5分）(2017·上高模拟) 某公司在迎新年晚会上举行抽奖活动，有甲，乙两个抽奖方案供员工选择．方案甲：员工最多有两次抽奖机会，每次抽奖的中奖率均为，第一次抽奖，若未中奖，则抽奖结束，若中奖，则通过抛一枚质地均匀的硬币，决定是否继续进行第二次抽奖，规定：若抛出硬币，反面朝上，员工则获得500元奖金，不进行第二次抽奖；若正面朝上，员工则须进行第二次抽奖，且在第二次抽奖中，若中奖，则获得1000元；若未中奖，则所获得奖金为0元．方案乙：员工连续三次抽奖，每次中奖率均为，每次中奖均可获得奖金400元．（Ⅰ）求某员工选择方案甲进行抽奖所获奖金X（元）的分布列；（Ⅱ）试比较某员工选择方案乙与选择方案甲进行抽奖，哪个方案更划算？19. （10分） (2016高二下·卢龙期末) 如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，点D是BC的中点．（1）求证：A1B∥平面ADC1；（2）若AB⊥AC，AB=AC=1，AA1=2，求平面ADC1与ABA1所成二面角的正弦值．20. （5分）(2017·武邑模拟) 已知A为椭圆 =1（a＞b＞0）上的一个动点，弦AB，AC分别过左右焦点F1 ， F2 ，且当线段AF1的中点在y轴上时，cos∠F1AF2= ．（Ⅰ）求该椭圆的离心率；（Ⅱ）设，试判断λ1+λ2是否为定值？若是定值，求出该定值，并给出证明；若不是定值，请说明理由．21. （10分） (2015高二下·河南期中) 设f（x）=x3+ax2+bx+1的导函数f′（x）满足f′（x）=2a，f′（2）=﹣b，（1）求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）设g（x）=f′（x）ex，求函数g（x）的单调区间．22. （5分）(2017·扬州模拟) 如图，已知△ABC内接于⊙O，连结AO并延长交⊙O于点D，∠ACB=∠ADC．求证：AD•BC=2AC•CD．23. （10分）在平面直角坐标系中，曲线C的参数方程为（α为参数），点P的坐标为．（1）试判断曲线C的形状为何种圆锥曲线；（2）已知直线l过点P且与曲线C交于A，B两点，若直线l的倾斜角为45°，求|PA|•|PB|的值．24. （10分） (2017高二下·中原期末) 已知函数f（x）=﹣x2+ax+4，g（x）=|x+1|+|x﹣1|．（1）当a=1时，求不等式f（x）≥g（x）的解集；（2）若不等式f（x）≥g（x）的解集包含[﹣1，1]，求a的取值范围．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共8题；共65分) 17-1、17-2、18-1、19-1、19-2、20-1、21-1、21-2、22-1、23-1、23-2、24-1、24-2、。
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清远市2015届高三上学期期末考试数学（理）试题第一卷（选择题 40分）一、选择题（40分）1、图中阴影部分表示的集合是（ ）A 、U C AB （） B 、UC AB （）C 、U A C B （）D 、U C A B （） 2、已知a ，b ∈R ，i 是虚数单位，若a ＋bi 与2－i 互为共轭复数，则（a ＋bi ）2＝（ ） A 、5－4i B 、5＋4i C 、3－4i D 、3＋4i 3、已知(,2),(1,1)m a n a =-=-，且//m n ，则a ＝（ ）A 、－1B 、2或－1C 、2D 、－2 4、阅读如图的程序框图，若输入m ＝2，n ＝3，则输出a ＝（ ）A 、6B 、4C 、3D 、2 5、下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（ ） A 、y ＝x ＋1 B 、y ＝－x 2 C 、y ＝1xD 、y ＝x ｜x ｜ 6、设平面α与平面β相交于直线m ，直线a 在平面α内，直线b 在平面β内，且b ⊥m ，则“a ⊥b ”是“α⊥β”的（ ）A 、充分不必要条件B 、必要不充分条件C 、充要条件D 、既不充分也不必要条件7、已知实数x ，y 满足约束条件20x y y x y x b -≥⎧⎪≥⎨⎪≥-+⎩，若2z x y =+的最小值为3，则实数b ＝（ ）A 、94 B 、32 C 、1 D 、348、设定义在（0，＋∞）上的函数212.012(),()()32,12x x xf xg x f x a x x x ⎧--<≤⎪⎪==+⎨⎪-->⎪⎩，则当实数a 满足522a <<时，函数y ＝g （x ）的零点个数为（ ） A 、1 B 、2 C 、3 D 、4第二卷（非选择题，共110分）二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在答题卡的横线上） （一）必做题(9～13题)9、图中阴影部分的面积等于＿＿＿＿＿＿10、在边长为2的正方形ABCD 的内部任取一点P ，使得点P 到正方形ABCD 各顶点的距离都大于1的概率是＿＿＿＿＿11、某几何体的三视图如下图所示：其中正视图和侧视图都是上底为3，下底为9，高为4的等腰梯形，则该几何体的全面积为＿＿＿＿＿12、已知圆C ：22240x y x y +-+=，直线：L ：x ＋y ＋a ＝0（a ＞0），圆心到直线L 的距，则a 的值为＿＿＿＿13、如图所示，椭圆中心在坐标原点，F 为左焦点，当FB AB ⊥时，该椭圆被称为“黄金椭圆”，可推算出“黄金双曲线的离心率e 等于＿＿＿＿＿（二）选做题（14、15题,考生只能从中选做一题,两题全答的,只计前一题的得分） 14. (几何证明选讲选做题) 如图，∠B ＝∠D ，AE ⊥BC ，∠ACD ＝90º，且AB ＝6，AC ＝4，AD ＝12，则∠ACB ＝＿＿＿＿＿＿15.(极坐标与参数方程选做题) 在极坐标系中，点A （2，6π）与曲线()3R πθρ=∈上的点的最短距离为＿＿＿＿＿三、解答题（本大题共6小题，共80分，解答题应写出必要的文字说明，推理证明过程或演算步骤）16．(本小题满分12分)已知函数1()cos cos 2().2f x x x x x R =⋅-∈（1）求函数()f x 的最小值和最小正周期；（2）设ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且︒=30B ,()1c f C ==，判断△ABC 的形状，并求三角形ABC 的面积.17. （本题满分12分）为了解学生身高情况，某校以10%的比例对高三年级的700名学生按性别进行分层抽样调查，测得身高情况的统计图如右： （1）估计该校学生身高在170～185 cm 之间的概率； （2）从样本中身高在180～190 cm 之间的男生中任选2人,其中从身高在185～190 cm 之间选取的人数记为Ｘ，求Ｘ的分布列和期望。
18 .（本题满分14分）在等腰直角△BCP 中，BC=PC=4,∠BCP=90°,A 是边BP 的中点，现沿CA 把△ACP 折起，使PB=4，如图1所示。
（1）在三棱锥P-ABC 中，求证：平面PAC ⊥平面ABC;（2）在图1中,过A 作BC 的平行线AE,AE=2,过E 作AC 的平行线与过C 作BA 的平行线交于D,连接PE 、PD 得到图2， 求直线PB 与平面PCD 所成角的大小.19.（本题满分14分）已知双曲线Γ的焦点为（0,-2）和（0,2）,离心率为332，过双曲线Γ的上支上一点P 作双曲线Γ的切线交两条渐近线分别于点,A B （A 、B 在x 轴的上方）. （1）求双曲线Γ的标准方程；（2）探究OA OB ⋅是否为定值，若是求出该定值，若不是定值说明理由.20. (本小题满分14分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足21=a ,221+=+n n S a ()1,2,3n =．（1）求2a ； （2）数列{}n a 的通项公式； （3）设n n n n S S a b 11++=,求证：2121<+++n b b b ．21.（本题满分14分）设函数()ln(1),()ln(1)1xf x a xg x x bx x=-+=+-+. (1)若函数()f x 在0x =处有极值，求函数()f x 的最大值；（2）①若b 是正实数，求使得关于x 的不等式()0g x <在()0,+∞上恒成立的b 取值范围； ②证明：不等式.)*(21ln 112N n n k knk ∈≤-+∑=清远市2015届上学期期末教学质量检测高三理科数学答案第二卷（非选择题，共110分）三、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在答题卡的横线上） （一）必做题(9～13题) 9 .1 10.44π- 11. 210 12. .3 13. 5＋12（二）选做题（14、15题,考生只能从中选做一题,两题全答的,只计前一题的得分） 14. (几何证明选讲选做题) 30° 15.(极坐标与参数方程选做题) 1三、解答题（本大题共6小题，共80分，解答题应写出必要的文字说明，推理证明过程或演算步骤） 16．解：(1)x x x x f 2cos 21cos sin 3)(-⋅=＝x x 2cos 212sin 23- ………1分 =sin(2)6x π-………2分1sin(2)16x R x π∈∴-≤-≤………3分 ()f x ∴的最小值是-1 ……4分22T ππ∴==，故其最小正周期是π ………5分(2) ∵1)(=C f 1)62sin(=-∴πC…………7分又∵0<2C <2π，∴6116-26πππ<<-C ……8分 ∴26-2ππ=C ，3C π∴=………9分∵B=6π，∴A=2π，∴△ABC 是直角三角形………10分 由正弦定理得到：B bsin =2sin c C ==，∴1=b ………11分 设三角形ABC 的面积为S, ∴S=23………12分17. 解：（1）由统计图知，样本中身高在170～185 cm 之间的学生有14＋13＋4＋3＋1＝35（人）， ……2分 样本容量为70， ……3分所以样本中学生身高在170～185 cm 之间的频率f ＝7035＝0.5．……4分故由f 估计该校学生身高在170～185 cm 之间的概率Ｐ1＝0.5． ……5分(2)由题意可知X =0，1，2 ……7分 ()1581261214=⋅==C C C X P , ……8分 ()5215602624====C C X P ……9分 ()15122622===C C X P ……10分 ∴X 的分布列为……11分X 的期望为()32151********=⨯+⨯+⨯=X E 。
……12分 18 .解：（1）在三棱锥P-ABC 中，依题意可知：AC PA ⊥…………1分∵PA=AB=22,PB=4 222PB PB PA =+∴,…………2分 则AB PA ⊥ …………3分 又ＡＢAC A ⋂=，则PA ⊥平面ABC…………5分∵⊂PA 平面PAC ∴平面PAC ⊥平面ABC. …………6分 （2）方法一：由（1）知AB PA ⊥,又A AC PA AC AB =⋂⊥,，∴⊥AB 平面PAC …………7分 ∵AB ∥CD ∴⊥CD 平面PAC …………8分 过Ａ作PC AH ⊥于Ｈ，则AH CD ⊥ …………9分 又∵C CD PC =⋂ ∴AH CD ⊥平面P…………10分又AB ∥CD ，AB ⊄平面CD P ， ∴AB//平面CD P ，∴点A 到平面CD P 的距离等于点B 到平面CD P 的距离. …………11分 ∵在Rt △PAC 中，，，PC = 4 ∴PC 边上的高AH=2，此即为点A 到平面PCD 的距离 …………12分设直线PB 与平面PCD 所成角为θ，则21sin 42h PB θ===，…………13分 又0,2πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以,6πθ=即直线PB 与平面PCD 所成角的大小为6π； …………14分 方法二：由(1)知AB ，AC ，AP 两两相互垂直，分别以AB ，AC ，AP 为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则A(0,0，0)，，0,0)，C (0，，0)，P (0,0，)……9分 （解法一）∵AB ∥CD ，AC AB ⊥ ∴AC CD ⊥， 又AC ∥ED ∴四边形ACDE 是直角梯形∵AE = 2 ，AE ∥BC ，∴∠BAE = 135°，因此∠CAE = 45°.…………10分sin 452CD AE =⋅︒==所以，，0).∴(0,CP =-，(CD =…………11分设(,,)m x y z =是平面PCD 的一个法向量，则0,0m CP m CD ⋅=⋅=∴⎪⎩⎪⎨⎧=-=+-0202222x z y 解得0,,x y z ==取1,y =得(0,1,1)m = …………12分又(BP =-设θ表示向量BP 与平面PCD 的法向量m 所成的角， 则1cos 2m BP m BPθ⋅==…………13分 ∴,3πθ=即直线PB 与平面PCD 所成角的大小为6π. …………14分（解法二）∵AB ∥CD ，∴)0,0,22(,==ABAB CD λ …………10分 ∴(0,CP =-，…………11分设(,,)m x y z =是平面PCD 的一个法向量，则0,0m CP m CD ⋅=⋅=即0=⋅∴⎪⎩⎪⎨⎧==+-02202222x z y 解得0,,x y z ==取1,y =得(0,1,1)m = …………12分则1cos 2m BP m BPθ⋅==…………13分 ∴,3πθ=即直线PB 与平面PCD 所成角的大小为6π. …………14分19.解：（1）依题意可设双曲线的标准方程为12222=-bx a y (0,0>>b a ）………1分∵c=2，………2分332=a c ………3分 ∴1,3==b a ………4分∴双曲线的标准方程为1322=-x y .………5分（2）OA OB ⋅是定值2，理由如下：………6分设直线AB ：0,>+=b b kx y （没有b>0，不得分这1分）………7分由⎩⎨⎧=-+=3322x y bkx y 得()0323222=-++-b kbx x k0)3)(3(4)2(,032222=---=∆≠-b k kb k ………8分解得322=+b k ………9分设00),(),(212211>>y y y x B y x A ，，则、双曲线渐近线方程：0322=-x y 与b kx y +=联立，………10分得 02)3222=++-b kbx x k （，0)3(4)2(,032222>--=∆≠-b k kb k …11分1-32221=-=k b x x ，………12分 ||32121x x y y ⋅==3 ………13分∴OA OB ⋅=2121y y x x +=2 ………14分 （没有021>y y 、导致情况多种的扣2分）20. 证明：（1）∵221+=+n n S a ∴62222112=+=+=a S a ……………2分 （2）∵221+=+n n S a ……①∴当2≥n 时，221+=-n n S a ……② （没有n ≥2扣1分） ∴①-②得, )2(31≥=+n a a n n ……… ………5分∵21=a ,62=a ∴)(3*1N n a a n n ∈=+ ………7分（没有验证n=1成立扣1分）}{n a 是首项为2，公比为3的等比数列，132-⨯=n n a ………8分(3)∵221+=+n n S a ∴13121-=-=+n n n a S ………10分 （或者由公式计算得，公式对的1分，化简对得1分）131131)13)(13()13()13()13)(13(32111111---=-----=--⨯==++++++n n n n n n n n n n n n n S S a b ………12分 (说明：也可以1111111+++++-=-==n n n n n n n n n n S S S S S S S S a b )∴)131131()131131()131131(1322121---++---+---=++++n n n b b b21131211<--=+n ………………14分 21.解：（1）由已知得：()21()11a f x xx '=-++， ………1分又∵函数()f x 在0x =处有极值 ∴()21(0)01010af '=-=++，即1a = ……2分 ∴()ln(1),1x f x x x =-++ ()()2211()111xf x x x x -'=-=+++ ………3分 ∴,当()1,0x ∈-时，()0f x '>，()f x 单调递增；当()0,x ∈+∞时，()0f x '<，()f x 单调递减；………4分（或者列表） ∴函数()f x 的最大值为(0)0f =………5分（2）①由已知得：1()1g x b x'=-+………6分 (i)若1b ≥，则[)0,x ∈+∞时，1()01g x b x'=-≤+∴()ln(1)g x x bx =+-在[)0,+∞上为减函数，∴()ln(1)(0)0g x x bx g =+-<=在()0,+∞上恒成立； ………7分 (ii)若0b ≤，则[)0,x ∈+∞时，1()01g x b x'=->+ ∴()ln(1)g x x bx =+-在[)0,+∞上为增函数，∴()ln(1)(0)0g x x bx g =+->=，不能使()0g x <在()0,+∞上恒成立；…8分 (iii)若01b <<，则1()01g x b x '=-=+时，11x b =-， 当10,1x b ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭时，()0g x '≥，∴()ln(1)g x x bx =+-在10,1b ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭上为增函数，此时()ln(1)(0)0g x x bx g =+->=，∴不能使()0g x <在()0,+∞上恒成立；9分综上所述，b 的取值范围是[)+∞,1. ………10分②由以上得：ln(1)(0)1xx x x x <+<>+, ………11分 取1x n =得：111ln(1)1n n n<+<+ ………12分令21ln 1nn k kx n k ==-+∑， ………13分 则112x =，()1222111ln 101111n n n n x x n n n n n n -⎛⎫-=-+<-=-< ⎪+-++⎝⎭. 因此1112n n x x x -<<⋅⋅⋅<=. ∴)*(21ln 112N n n k knk ∈≤-+∑= ………14分。