第四讲分整数规划
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第四讲 0 1整数线性规划要点
? ??
x25 、? 项x1目3和4只能选中一项 x3i 、? 项0,1目5被i ?选1中,2,的? 前,5提是项目 1被选中;如何
在 满足上述条件下选择一个最好的投资
解：设 xi为决方策案变，量使（投i资? 1收,2益,?最,5大)
?1 投资第i个项目
xi ? ?
?0 不投资第i个项目
项目
1 2 3 4
整数规划建模举例
练习1 ：组合投资问题。
某财团有 B 万元的资金，经过其考察选中 n个投资
项目，其中第 j个项目需投资金额为 a j 万元，预
计获利 c j（ j ? 1,2..., n）万元，由于种种原因，
有两个附加条件：第一，项目 2和项目3至少选择一
个；第二项目 5，6，7恰好选择两个。问应如何选
例1：一个旅行者要到某地作两周的带包旅行 ,装背包时,他 发现除了已装的必需物件外,他还能再装5公斤重的东西.他 打算从下列4种东西中选取,使增加的重量不超过5公斤又 能使使用价值最大.这4种东西的重量和使用价值( 这里用打 分数的办法表示价值) 如下表所示,问旅行者应该选取哪些 物件为好？
解：建立模型为 max Z=6x 1 ? 7 x 2 ? 3 x3 ? 9 x4
在 满足上述条件下选择一个最好的投资
解：设 xi为决方策案变，量使（投i资? 1收,2益,?最,5大)
?1 投资第i个项目
xi ? ?
?0 不投资第i个项目
项目
1 2 3 4
投资额 （万元） 210 300 100 130
投资收益 （万元） 150 210 60 80
Z表示投资效益
5
260
180
max=150*x1+210*x2 +60*x3+80*x4+180* x5; 210*x1+300*x2+100 *x3+130*x4+260*x5 <=600; x1+x2+x3>=1; x3+x4=1; x5<=x1; @bin(x1); @bin(x2); @bin(x3); @bin(x4); @bin(x5);
第四章整数规划
整数规划问题的提出
实际问题有时要求线性规划模型给出整数解 的条件。例如，求产品的件数，设备的台数， 建设厂房数,装货车皮数,完成一项工作的人数 等。分数和小数的最优解就不合要求。在线 性规划中，要求解答满足整数条件，这样的 问题叫整数线性规划问题。有些线性规划问 题，如运输问题，利用表上作业法求解可以 证明其解答自动满足整数性要求。但对大多 数线性规划问题，单纯形算法不能保证这一 点。因而要谋求整数线性规划解法的新路。
第 四章
整数规划
Integer Programming（IP）
第四章 整数规划
第一节整数规划问题的提出 第二节割平面法 第三节分枝定界法 第四节 0-1型整数规划 第五节 指派问题
第一节 整数规划问题的提出
一、整数规划问题的一般形式 二、整数规划问题的例子 三、整数规划问题解的特点 四、整数规划问题的求解方法 五、求解整数规划问题的步骤
3.整数规划问题的数学模型一般形式
Max(或Min)
Z
=
n
ΣCjXj
j=1
n
Σaij xj ≤(或=,或≥)bi i=1,2 ,…, m
j=1
Xj≥0
j=1,2,…, n
Xj 部分或全部为整数
4.整数规划的分类
(1)混合整数规划： 是指它的某些决策变量部分 为整数。
(2)纯整数规划： 是指它的全部决策变量皆 整数时。
b` = Ni + fi
0＜ fi ＜ 1 , Ni 为整数
例如：若 b = 2.35 ，则 N = 2 ，f = 0.35；
若 b = -1.45 ，则 N = -2 ，f = 0.55
Xj +∑NiK Xk + ∑ fiK Xk = Ni + fi
第4章 整数规划
第四章
整数规划
整数规划问题的提出
整数规划模型与一般的线性规划模型 的区别仅在于： 的区别仅在于：整数规划的变量要求 部分的或全部的为整数。例如： 部分的或全部的为整数。例如：
m Z = x + x2 ax 1 14 1 x +9x2 ≤ 51 −6x +3x2 ≤1 1 x , x ≥ 0且 整 为 数 1 2
(纯整数规划问题) 纯整数规划问题)
解：设xi为第i天开始上班的人数： 为第i天开始上班的人数： Min： Min：z=x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7 s.t. x1 +x4+x5+x6+x7≥17 +x5+x6+x7≥13 x1+x2 x1+x2+x3 +x6+x7≥15 x1+x2+x3+x4+ +x7≥19 x1+x2+x3+x4+x5 ≥14 x2+x3+x4+x5+x6 ≥16 x3+x4+x5+x6+x7≥11 xi≥0 （ i=1,2,…,7） i=1,2,…,7）
例：某市6 例：某市6个区，希望设 置最少消防站以便节省 费用。条件：
必须保证在城区任何地方发 生火警时，消防车能在15 生火警时，消防车能在15分 15分 钟之内赶到现场。各区之间 消防车行驶的时间见右表。
请确定设站方案。
布点问题的数学模型： 0－1规划 布点问题的数学模型：
设0−1为决策变量，当表示i地区设站，表示i 为决策变量，当表示i地区设站，表示i 地区不设站。这样根据消防车15分钟赶到现 地区不设站。这样根据消防车15分钟赶到现 场的限制，可得到如下模型
整数规划
整数规划问题的提出
整数规划模型与一般的线性规划模型 的区别仅在于： 的区别仅在于：整数规划的变量要求 部分的或全部的为整数。例如： 部分的或全部的为整数。例如：
m Z = x + x2 ax 1 14 1 x +9x2 ≤ 51 −6x +3x2 ≤1 1 x , x ≥ 0且 整 为 数 1 2
(纯整数规划问题) 纯整数规划问题)
解：设xi为第i天开始上班的人数： 为第i天开始上班的人数： Min： Min：z=x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7 s.t. x1 +x4+x5+x6+x7≥17 +x5+x6+x7≥13 x1+x2 x1+x2+x3 +x6+x7≥15 x1+x2+x3+x4+ +x7≥19 x1+x2+x3+x4+x5 ≥14 x2+x3+x4+x5+x6 ≥16 x3+x4+x5+x6+x7≥11 xi≥0 （ i=1,2,…,7） i=1,2,…,7）
例：某市6 例：某市6个区，希望设 置最少消防站以便节省 费用。条件：
必须保证在城区任何地方发 生火警时，消防车能在15 生火警时，消防车能在15分 15分 钟之内赶到现场。各区之间 消防车行驶的时间见右表。
请确定设站方案。
布点问题的数学模型： 0－1规划 布点问题的数学模型：
设0−1为决策变量，当表示i地区设站，表示i 为决策变量，当表示i地区设站，表示i 地区不设站。这样根据消防车15分钟赶到现 地区不设站。这样根据消防车15分钟赶到现 场的限制，可得到如下模型
运筹学第四章--整数规划和分配问题(新)aPPT课件
-
1
整数线性规划的一般形式: n max(或min)z cj xj j 1
n
aij xj ( 或 ）bi (i 1,2,...m)
j 1
xj 0( j 1,2,...n),且部分或全部取整数
例1.求下述整数规划问题的最优解
max z 3x1 2x2
2x1 3x2 14 x1 0.5x2 4.5
先不考虑整数解的限制，用单纯形法求 解其松弛问题，如果求得的解恰好是整数解， 则得整数规划最优解，停止计算。否则，将 松弛问题分解为两个子问题（也称后继问 题），每个子问题都是在原松弛问题的基础 上增加一个变量取整数的约束条件，这样就 缩小了原来的可行域，然后用单纯形法求解， 直至得到最终结果。
-
21
-
23
例.用分枝定界法求下述数整规划问题的最优
maxz 3x1 2x2
2x1 3x2 14 x1 0.5x2 4.5 x1, x2 0,且均取整数值
-
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-
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29
第四节 割平面法 一、割平面法的基本思想
先不考虑整数条件，用单纯形法求解其 松弛问题，若得整数解，即得整数规划最优 解。否则，增加线性约束条件（称为割平面 方程），将原问题的可行域切割掉一部分， 被切割掉的都是非整数解，再用单纯形法求 解新的线性规划问题，依次进行下去，直到 使问题的最优解恰好在可行域的某个具有整 数坐标的顶点上得到。
0.5 + 0.4 x4 + 0.4 x5≥ 1
-
35
2. 借助单纯形表法
对求解整数规划问题的松弛问题（LP问题）得到
最优单纯形表，设xi=bi 是最优解中取分数值（分数 部分最大）的基变量，则有
整数规划_精品文档
整数规划引言：整数规划是一类特殊的数学优化问题，其中一部份或者全部变量被限制为整数。
整数规划问题在许多领域都有广泛的应用，如物流、生产计划、金融投资等。
随着科技的不断发展，整数规划的应用场景和求解方法也在不断扩展和深化。
一、整数规划的定义与分类定义：整数规划是一种特殊的数学优化问题，其目标是最小化或者最大化一个数学表达式（目标函数），同时满足一系列约束条件，且一部份或者全部决策变量被限制为整数。
分类：根据问题的特性，整数规划可以分为以下几种类型：0-1背包问题：决策变量只能取0或者1。
彻底背包问题：决策变量可以取任意非负整数。
整数线性规划：线性规划的变种，要求部份或者全部决策变量为整数。
二次整数规划：目标函数或者约束条件包含二次项。
二、整数规划的应用场景生产计划：在创造业中，整数规划可以用于优化生产流程、物料需求计划等。
物流优化：通过整数规划可以解决货物配送路线、车辆调度等问题。
金融投资：整数规划在投资组合优化、风险管理等领域有广泛应用。
资源分配：整数规划可用于解决资源分配问题，如人员调度、设备配置等。
组合优化：如旅行商问题（TSP）、装箱问题等，都是整数规划的典型应用场景。
三、整数规划的求解算法穷举法：通过逐个测试所有可能的解来找到最优解，但只适合于小规模问题。
分支定界法：一种基于树结构的搜索算法，能够处理较大规模的问题。
遗传算法：摹拟生物进化过程的优化算法，适合处理大规模问题。
摹拟退火算法：借鉴物理中退火过程的优化算法，具有避免陷入局部最优解的能力。
蚁群算法：摹拟蚂蚁觅食行为的优化算法，适合于求解具有离散变量的优化问题。
元胞遗传算法：将遗传算法和元胞自动机结合，能够处理更复杂的问题。
粒子群算法：摹拟鸟群觅食行为的优化算法，具有简单易实现的特点。
深度学习算法：利用神经网络进行求解，特别在处理大规模、高维度的问题时表现出色。
四、整数规划软件介绍CPLEX：由IBM开辟的商业优化软件，支持整数规划、线性规划、混合整数规划等多种优化问题。
第四章 整数规划
第四章整数规划第一节整数规划的数学模型及解的特点第二节解纯整数规划的割平面法第三节分支定界法第四节0-1型整数规划第五节指派问题整数规划的数学模型及解的特点一、整数规划数学模型的一般形式要求一部分或全部决策变量必须取整数值的规划问题称为整数规划( integer programming，简记IP )。
不考虑整数条件，由余下的目标函数和约束条件构成的规划问题称为该整数规划问题的松弛问题(slack problem)。
若松弛问题是一个线性规划，则称该整数规划问题为整数线性规划( integer liner programming )。
本章仅讨论整数线性规划。
∑==nj jj x c z 1min)max(或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=≥=≥=≤∑=中部分或全部取整数j j n j i j ij x n j x m i b x a ),,1(0),,1(),(1 ∑==nj jj x c z 1min)max(或⎪⎩⎪⎨⎧=≥=≥=≤∑=),,1(0),,1(),(1n j x m i b x a j nj i j ij 松弛问题为1. 纯整数线性规划(pure integer liner programming )：指全部决策变量都必须取整数值的整数线性规划。
有时，也称为全整数规划。
2. 混合整数线性规划(mixed integer liner programming)：指决策变量中有一部分必须取整数值，另一部分可以不取整数值的整数线性规划。
3. 0-1型整数线性规划( zero-one integer liner programming)：指决策变量只能取值0 或1 的整数线性规划。
例：某服务部门各时段（每2小时为一时段）需要服务员人数见表，按规定服务员连续工作8小时（即四个时段）为一班。
现在要求安排服务员的工作时间，使服务部门服务员总数最少。
时段12345678服务员最少数目10891113853设在第j 时段开始上班的服务员人数为x j 。
管理运筹学讲义 第4章-整数规划(4学时)
例如，产品的件数、机器的台数、装货的车数、完成工作的人 数等，分数或小数解显然是不合理的。
• 要求部分或全部决策变量是整数的线性规划问题，则称 为整数规划(Integer Programming)。
当要求全部决策变量的取值都为非负整数的，则称为纯整数规 划或全整数规划(Pure IP) ； 仅要求部分决策变量的取值为整数，而另一部分不一定要求取 整数，则称为混合整数规划(Mixed IP)
cj CB
2 3 λj 3 2 0 0
XB x2 x1
x1
0 1 0
x2
1 0 0
x3
1/2 －1/4 －1/4
x4
－1/2 3/4 －5/4
b
5/2 13/4
最优解X=(13/4，5/2，0，0)T，x1 、x2不满足整数要求，选择x2行进行分割： 5 1 1 2 2 3 2 4 2 1 1 1 2 4 2 3 2 4 2
10 OM:SM
第一节 整数规划问题引言
三、 整数规划解的特点
3、完全枚举法
从图4-2可知，整数规划问题的可行解集是相应的线性规划 问题的可行域内的整数格子点，它是一个有限集。显然，我们 还有另一种方法，即将所有的可行解依次代入目标函数，比较 所得的目标函数的大小，从而得到最优解。这个方法称为完全 枚举法。如上例有整数可行解有７个，所以得到最优解（ 0， 2），最优值为10。 对于决策变量较少，可行的整数解又较少时，这种穷举法 有时是可行的，并且也是有效的。但对于大型的整数规划问题， 可行的整数解数量很多，用穷举法求解是不可能的。因此，如 何巧妙构造枚举过程是必须研究的问题，目前用得较多的是将 完全枚举法变成部分枚举法。常用的求解整数规划的方法有分 枝定界法和割平面法，对于特别的0-1规划问题的求解，可以采 用隐枚举法和匈牙利法。下面分别介绍。
• 要求部分或全部决策变量是整数的线性规划问题，则称 为整数规划(Integer Programming)。
当要求全部决策变量的取值都为非负整数的，则称为纯整数规 划或全整数规划(Pure IP) ； 仅要求部分决策变量的取值为整数，而另一部分不一定要求取 整数，则称为混合整数规划(Mixed IP)
cj CB
2 3 λj 3 2 0 0
XB x2 x1
x1
0 1 0
x2
1 0 0
x3
1/2 －1/4 －1/4
x4
－1/2 3/4 －5/4
b
5/2 13/4
最优解X=(13/4，5/2，0，0)T，x1 、x2不满足整数要求，选择x2行进行分割： 5 1 1 2 2 3 2 4 2 1 1 1 2 4 2 3 2 4 2
10 OM:SM
第一节 整数规划问题引言
三、 整数规划解的特点
3、完全枚举法
从图4-2可知，整数规划问题的可行解集是相应的线性规划 问题的可行域内的整数格子点，它是一个有限集。显然，我们 还有另一种方法，即将所有的可行解依次代入目标函数，比较 所得的目标函数的大小，从而得到最优解。这个方法称为完全 枚举法。如上例有整数可行解有７个，所以得到最优解（ 0， 2），最优值为10。 对于决策变量较少，可行的整数解又较少时，这种穷举法 有时是可行的，并且也是有效的。但对于大型的整数规划问题， 可行的整数解数量很多，用穷举法求解是不可能的。因此，如 何巧妙构造枚举过程是必须研究的问题，目前用得较多的是将 完全枚举法变成部分枚举法。常用的求解整数规划的方法有分 枝定界法和割平面法，对于特别的0-1规划问题的求解，可以采 用隐枚举法和匈牙利法。下面分别介绍。
系统工程---第四章 整数规划
问题B2 x1=2.25 x2=4 f2=272.5
90 f * 285
max f 50x1 40x 2 4 x1 5 x 2 29 3 x1 2 x 2 16 问题B4 x 2 3 x 4 1 x1 , x 2 0
继续对问题B1和 B2进行分解， 因f1 >f2，先分解B1为B3和 B4
例3 求解0-1规划
max f x x x x x x x x x x x x x x , x , x 或
① ② ③ ④
90 f * 288.5 由 x2=3.285 得到两个分枝如下：
max f 50x1 40x 2 4 x1 5 x 2 29 3x1 2 x 2 16 问题B1 x2 3 x1 , x 2 0
max f 50x1 40x 2
整数规划问题A
max(min)f ( x) c j x j
j 1 n
其松弛问题B
max(min)f ( x) c j x j
j 1 n
n a ij x j (, )bi , i 1,2, , m j 1 x j 0 且为整数, j 1,2, , n
f f1
再用观察法找到 A的一个整数可行解，求其目标函数值作为 f*的下界，记为f，这时有 f f * f Step3 判断 f 是否等于 f 。如果 f f ，则 A 的最优解即为 其目标函数值等于 f 的那个整数可行解。否则，进行Step4。
Step4 分枝，在B的最优解中任选一个不符合整数条件的变量 xj=bj，以[bj]表示小于bj的最大整数。构造两个约束条件：
第04章 整数规划
第4章整数规划在前面讨论的线性规划问题中，决策变量的取值可以是整数也可以是小数或分数，但在有些实际问题中，决策变量只有取整数才有意义。
例如，生产或配备的机器的台数，完成工作需要的人数等等。
这时，若得到的解为小数或分数就不符合要求，粗看起来，似乎只要把已得到的带有小数或分数的解，经过“四舍五人”的办法，就可得到问题的整数解。
但这常常是不行的，因为化整后的解不一定是可行的解。
或虽是可行解，但不一定是最优解，因此，对于此类问题有必要另行研究。
我们把有变量限制为整数的规划问题称为整数规划（Integer Programming）。
在整数规划中，若所有变量都限制为整数，称为纯整数规划；若仅有一部分变量限制为整数，称为混合整数规划。
在纯整数规划中，若所有变量的取值仅限于0或1，称为0－1型整数规划。
对于整数规划的求解，还没有像线性规划中单纯形法那样普遍有效的方法。
但已经出现了一系列的算法，常用的有分枝定界法、隐枚举法、匈牙利法等。
下面分别进行介绍。
1 分枝定界法在求解整数规划时，首先容易想到的方法就是穷举变量的所有可行的整数组合，然后比较它们的目标函数值以确定最优解。
对于小规模问题，这个方法是可行的，也是有效的。
而对于大规模问题，可行的整数组合数很大，穷举法是不可能的。
所以，一般采取的方法是仅检查可行的整数组合中的一部分来确定最优的整数解，分枝定界法（Branch and Bound Method）就是这样的一种方法。
分枝定界法是以求相应的线性规划问题的最优解为出发点，如果这个解不符合整数条件，就将原问题分为几个部分，每部分都增加了决策变量为整数这样的约束条件，这样就缩小了原线性规划问题的可行域。
考虑到整数规划的最优解不会更优于线性规划的最优解，对于求最大值问题来说，相应的线性规划的目标函数的最大值就成为整数规划目标函数值的上界。
分枝定界法就是利用这个性质进行求解的。
现举例说明这种方法。
例4—1 求解下列整数规划问题解先不考虑整数约束，求解相应的线性规划，得因x1、x2不满足整数条件，故需进行分枝迭代。
运筹学 第四章 整数规划与分配问题
第四章 整数规划与分配问题
冯大光制作
(4)
沈阳农业大学
第四章 整数规划与分配问题
冯大光制作
第二节 分配问题与匈牙利法
在实际中经常会遇到这样的问题，有n 项不同 的任务，需要n 个人分别完成其中的一项，但由 于任务的性质和各人的专长不同，因此各人去 完成不同的任务的效率（或花费的时间或费用） 也就不同。于是产生了一个问题，应指派哪个 人去完成哪项任务，使完成 n 项任务的总效率 最高（或所需时间最少），这类问题称为指派 问题或分配问题。
种下料方式可以得到各种零件的毛坯数以及每种
零件的需要量，如表所示。问怎样安排下料方式， 使得即满足需要，所用的原材料又最少？
沈阳农业大学
第四章 整数规划与分配问题
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设：xj 表示用Bj (j=1.2…n) 种方式下料根数模型：
x1 … xn
零件 方 个数 式 零件
A1 b1 Am am1 amn bm
沈阳农业大学
第四章 整数规划与分配问题
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逻辑变量的应用
沈阳农业大学
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沈阳农业大学
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(3)两组条件满足其中一组
若 x1 4，则 x2 1 ；否则（即 x1 4 时） 2 3 x
列的零元素，则只要令这些零元素位置的 xij 1 ，其 n n 余的 xij 0 ，则 z aij xij 就是问题的最优解．
i 1 j 1
沈阳农业大学
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如效率 矩阵为
系统工程---第四章 整数规划
各分枝问题的解可能出现的情况
序号 问题 B 1 问题 B 2 无可行解 无可行解 1 无可行解 整数解 2 无可行解 非整数解 3 整数解 整数解 4 非整数解 5 整数解，目标函 数优于问题 B 2 整数解 非整数解，目标 6 函数优于问题 B 1
说 明 整数规划无可行解 此整数解即最优解 对问题 B 2 继续分枝 较优的一个为最优解 问题 B 1 的解即最优解 问 题 B1 停 止 分 枝 ( 剪 枝 ) ， 其 整 数解 为 界， 对问题 B 2 继续分枝
满足约
束条件？
f值
（0，0，0） （0，0，1） （0，1，0） （0，1，1） （1，0，0） （1，0，1） （1，1，0） （1，1，1）
√ √ √
0 5 -2
3 8
×
√ √
× ×
最优解为X*= （1，0，1）
隐枚举法
所谓隐枚举法就是只检查变量取值组合的一部分就能求得 问题最优解的方法。其基本思路是：先找到一组可行解， 增加一个过滤条件，然后改进过滤值，直至不能改进为止。
问题B2 x1=2.25 x2=4 f2=272.5
90 f * 285
max f 50x1 40x 2 4 x1 5 x 2 29 3 x1 2 x 2 16 问题B4 x 2 3 x 4 1 x1 , x 2 0
继续对问题B1和 B2进行分解， 因f1 >f2，先分解B1为B3和 B4
第四章 整数规划
一、 整数规划简介
•整数规划是数学规划的一个重要分支，它研究的是一类 要求其部分或全部变量取整数的最优化问题。
•要求所有的解xj 为整数，称为纯整数规划
•要求部分的xj 为整数，称为混合整数规划
运筹学：第4章 整数规划与分配问题
2021/4/18
17
资源 金属板（吨） 劳动力（人月） 机器设备（台月）
小号容器 2 2 1
中号容器 4 3 2
大号容器 8 4 3
解：设 x1, x2, x3 分别为小号容器、中号容器和大号容 器的生产数量。
0， 不生产j型号容器 y j 1， 生产j型号容器
建立如下的数学模型：
2021/4/18
为：
C
j
(x
j
)
K 0,
j
c
j
x
j
,
xj 0 xj 0
其中 K j 是与产量无关 的生产准备费用
n
目标函数： min z C j (x j )
j 1
定义
0 y j 1
则原问题可表示为
xj 0
xj 0
n
min z (c j x j K j y j ) j 1
s.t
0 x j Myj
y
j
0或1
2021/4/18
10
§2.2 应用举例
例1 东方大学计算机实验室聘用4名大学生（代号
1,2,3,4）和2名研究生（代号5,6）值班。已知各学生从 周一至周五每天可安排的值班时间及每人每小时报酬见下 表所示。
学生 代号
1 2 3 4 5 6
酬金 (元/h) 10.0 10.0
9.9 9.8 10.8 11.3
2021/4/18
29
（0） 8
2
5
11 （0） 5
4
2
3 （0） 0
0
11
4
5
根据上图，k=2，
周一 6 0 4 5 3 0
每天可安排的值班时间(h) 周二 周三 周四
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第四部分 整数规划
主要内容： 主要内容： 1. 整数规划问题 2. 指派问题及匈牙利方法 3. 一般的指派问题
§4.1 整数规划问题
在前面讨论的LP问题中， 在前面讨论的 问题中，对决策变量只限于不能 问题中 取负值的连续型数值，即可以是正分数或正小数。 取负值的连续型数值，即可以是正分数或正小数。 然而在许多经济管理的实际问题中， 然而在许多经济管理的实际问题中，决策变量只有 非负整数才有实际意义。对求整数最优解的问题， 非负整数才有实际意义。对求整数最优解的问题， 称为整数规划(Integer Programming)(简记为 简记为IP). 称为整数规划 简记为 又称约束条件和函数均为线性的IP为整数线性规划 又称约束条件和函数均为线性的 为整数线性规划 (Integer Linear Programming)(简记为 LP)。 简记为I 简记为 。
max z = 10 x 1 + 8 x 2 + 7 x 3 + 6 x 4 + 9 x 5 6 x 1 + 4 x 2 + 2 x 3 + 4 x 4 + 5 x 5 ≤ 15 x1 + x 2 + x 3 = 1 x2 + x4 = 1 x ≤ x 4 3 x j = 0或 1
固定费用问题)有三种资源被用于生产三种产品 例3 (固定费用问题 有三种资源被用于生产三种产品，资源量、 固定费用问题 有三种资源被用于生产三种产品，资源量、 产品单件可变费用售价、 产品单件可变费用售价、资源单件耗量及组成三种产品生产的 固定费用见下表.要求制定一个生产计划，使总收益最大 固定费用见下表 要求制定一个生产计划，使总收益最大. 要求制定一个生产计划 单件耗量 产品 资源
1 2 ① 3 6 4 5 解：令 1 xj = 0 ③ 11 ② 8 7 ④ 10 9
当某防火区域由第 j个消防站负责时 当某防火区域不由第 j个消防站负责时
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
( j = 1 , 2 , 3 , 4)
对各防火区域可分别列出以下约束条件： 对各防火区域可分别列出以下约束条件： 防火区1： 防火区 ：x 1 + x 2 ≥ 1 防火区2： 防火区 ：x 1 + x 2 ≥ 1 防火区3： 防火区 ： x 1 = 1 防火区4： 防火区 ：x 1 + x 3 ≥ 1 防火区5： x 3 ≥ 1 防火区 ： 防火区6： 防火区6： x 1 + x 3 + x 4 ≥ 1 防火区7： 防火区 ： x 1 + x 4 ≥ 1 防火区8： 防火区 ：x 1 + x 2 + x 4 ≥ 1 防火区9： 防火区 ： x 2 + x 4 ≥ 1 防火区10： 防火区 ：x 4 = 1 x 防火区11： 防火区 ： 3 + x 4 ≥ 1 由上述约束条件知： 由上述约束条件知： 必须 x1 , x3 , x4为1， ， 可为0，也可为1， x2可为 ，也可为 ， 由此，消防站②可 由此，消防站② 以关闭而不影响任 务的执行
项目A、C、E之间必须且只需选择一项： 之间必须且只需选择一项： 项目 、 、 之间必须且只需选择一项 项目B、 之间必须且只需选择一项 之间必须且只需选择一项： 项目 、D之间必须且只需选择一项：
项目C的实施要以项目 的实施为前提条件 项目 的实施要以项目D的实施为前提条件： 的实施要以项目 的实施为前提条件： 归纳起来，其数学模型为： 归纳起来，其数学模型为：
∑ ∑
3）目标函数：总费用包括两部分， （3）目标函数：总费用包括两部分，一是仓库租用 费用，二是运输费用， 费用，二是运输费用，因此总费用表示为
min z =
∑ [g
i =1
n
i
yi +
∑c
j =1
m
ij
x ij ]
•整数规划是数学规划的一个重要的分枝， 整数规划是数学规划的一个重要的分枝， 整数规划是数学规划的一个重要的分枝 在实践中有广泛的应用背景， 在实践中有广泛的应用背景，如著名的指 派问题、背包问题、 派问题、背包问题、旅行推销商问题都是 整数规划问题. 整数规划问题. •整数规划又是最难求解的问题之一，至今 整数规划又是最难求解的问题之一， 整数规划又是最难求解的问题之一 还没有找到有效算法. 还没有找到有效算法.
x1 + x 2 ≥ 8 x1 + x 2 + x 3 ≥ 9 x1 + x 2 + x 3 + x4 ≥ 11 x 2 + x 3 + x4 + x5 ≥ 13 x + x + x ≥ 8 4 5 3 x4 + x5 ≥ 5 x5 ≥ 3 x , x , x , x , x ≥ 0且为整数 1 2 3 4 5
解：分析，该问题是由一个仓库选用和一个运输问 分析， 题综合而成。 题综合而成。设 表示租用仓库i的固定运营费 即固定成本）； 的固定运营费（ gi表示租用仓库 的固定运营费（即固定成本）； di表示仓库 的允许容量； 表示仓库i的允许容量 的允许容量； Cij表示从仓库 运送货物到销售点 j 处的单位费用 表示从仓库i （即可变成本） 即可变成本） （1）决策变量：xij表示从租用的仓库 i 运送给销售 ）决策变量： 的货物量； 点 j 的货物量；
A B C 1 2 3
资源量
500 300 100
2 2 1 4 100 8
4 3 2 5 150 10
8 4 3 6 200 12
单件可变费用 固定费用 单件售价
解：总收益等于销售收入减去生产上述产品的固定费用和可变 费用之和. 费用之和 建模碰到的困难主要是事先不能确切知道某种产品 是否生产，因而不能确定相应的固定费用是否发生 下面借助 是否生产，因而不能确定相应的固定费用是否发生.下面借助 0–1变量解决这个困难设 j是第 种产品的产量，j=1 , 2 , 3 , 再设 变量解决这个困难设x 是第j种产品的产量 种产品的产量， 变量解决这个困难设
1 , 若仓库 yi = 0 , 若仓库 i 被租用 i 不被租用
（2）约束条件：此处的约束条件只有运输问题的产 ）约束条件： 量约束和销量约束，表示为 量约束和销量约束，表示为:
n xi j = b j ( j = 1 , 2 , ... , m ) i =1 m xi j ≤ d i yi ( i = 1 , 2 , ... , n ) j =1
解：决策变量：设 决策变量：
0 xj = 1
表示项目 j不被选中 表示项目 j被选中
( j = 1 , 2 , 3 , 4 , 5)
目标函数：期望收益最大： 目标函数：期望收益最大： max z = 10 x1 + 8 x 2 + 7 x 3 + 6 x 4 + 9 x5 约束条件：投资额限制条件 约束条件：投资额限制条件: 6x1+4x2+2x3+4x4+5x5≤15 x1+x3+x5=1 x2+x4=1 x3 ≤ x4
时 段
1
10
2
8
3
4
5
6
7
8
服务员最少数目
9 11 13 5 3 min z = x1 + x 2 +8x 3 + x4 + x5
解：设在第j时段开始时上班 x1 ≥ 10 设在第 时段开始时上班 的服务员人数为xj，由于第 由于第j 的服务员人数为 时段开始时上班的服务员将 在第(j+3)时段结束时下班， 时段结束时下班， 在第 时段结束时下班 故决策变量只需考虑x 故决策变量只需考虑 1 , x2 , x3 , x4 , x5，此问题的数学模 ， 型为： 型为：
例6（仓库选用问题） （仓库选用问题） 某决策者拟在n个仓库中决定租用其中的几个， 某决策者拟在 个仓库中决定租用其中的几个，以 个仓库中决定租用其中的几个 满足m个销售点对货物的需要 满足 个销售点对货物的需要. 每个销售点的需要量 个销售点对货物的需要 必须从租用的仓库中得到满足, bj(j=1 , 2 , … , m)必须从租用的仓库中得到满足 且只 必须从租用的仓库中得到满足 能从租用的仓库得到满足. 而对租用的仓库必须支付 能从租用的仓库得到满足 固定的运营费（如租金、管理费等 同时， 固定的运营费（如租金、管理费等) , 同时，还应决 定从租用的哪个仓库中运多少货物到销售点处, 定从租用的哪个仓库中运多少货物到销售点处 以使 总的费用为最小. 总的费用为最小
一、整数线性规划模型的建立
•例1 某单位有 个拟选择的投资项目，其所需投资额与期望 例 某单位有5个拟选择的投资项目 个拟选择的投资项目， 收益如下表。由于各项目之间有一定联系， 、 、 之间必 收益如下表。由于各项目之间有一定联系，A、C、E之间必 须选择一项且仅需选择一项； 和 之间需选择也仅需选择一 须选择一项且仅需选择一项；B和D之间需选择也仅需选择一 两项目密切相关， 的实施必须以 的实施必须以D的实施 项；又由于C和D两项目密切相关，C的实施必须以 的实施 又由于 和 两项目密切相关 为前提条件，该单位共筹集资金 万元 万元， 为前提条件，该单位共筹集资金15万元，问应该选择哪些项 目投资，使期望收益最大？ 目投资，使期望收益最大？ 项 目 A B C D E 所需投资额（万元） 所需投资额（万元） 6 4 2 4 5 期望收益（万元） 期望收益（万元） 10 8 7 6 9
根据变量取整数的情况,将整数规划分为： 根据变量取整数的情况 将整数规划分为： 分为 （1）纯整数规划，所有变量都取整数 ）纯整数规划，所有变量都取整数. （2）混合整数规划，一部分变量取整数 一部分变 ）混合整数规划，一部分变量取整数,一部分变 量取实数. 量取实数 （3）0-1整数规划 ,所有变量均取 或1. 所有变量均取0或 ） 整数规划 所有变量均取 求解整数规划常用的算法有：分枝定界法、 求解整数规划常用的算法有：分枝定界法、 割平面法； 割平面法； 求解0-1的还有：隐枚举法、匈牙利法。 求解 的还有：隐枚举法、匈牙利法。 的还有
主要内容： 主要内容： 1. 整数规划问题 2. 指派问题及匈牙利方法 3. 一般的指派问题
§4.1 整数规划问题
在前面讨论的LP问题中， 在前面讨论的 问题中，对决策变量只限于不能 问题中 取负值的连续型数值，即可以是正分数或正小数。 取负值的连续型数值，即可以是正分数或正小数。 然而在许多经济管理的实际问题中， 然而在许多经济管理的实际问题中，决策变量只有 非负整数才有实际意义。对求整数最优解的问题， 非负整数才有实际意义。对求整数最优解的问题， 称为整数规划(Integer Programming)(简记为 简记为IP). 称为整数规划 简记为 又称约束条件和函数均为线性的IP为整数线性规划 又称约束条件和函数均为线性的 为整数线性规划 (Integer Linear Programming)(简记为 LP)。 简记为I 简记为 。
max z = 10 x 1 + 8 x 2 + 7 x 3 + 6 x 4 + 9 x 5 6 x 1 + 4 x 2 + 2 x 3 + 4 x 4 + 5 x 5 ≤ 15 x1 + x 2 + x 3 = 1 x2 + x4 = 1 x ≤ x 4 3 x j = 0或 1
固定费用问题)有三种资源被用于生产三种产品 例3 (固定费用问题 有三种资源被用于生产三种产品，资源量、 固定费用问题 有三种资源被用于生产三种产品，资源量、 产品单件可变费用售价、 产品单件可变费用售价、资源单件耗量及组成三种产品生产的 固定费用见下表.要求制定一个生产计划，使总收益最大 固定费用见下表 要求制定一个生产计划，使总收益最大. 要求制定一个生产计划 单件耗量 产品 资源
1 2 ① 3 6 4 5 解：令 1 xj = 0 ③ 11 ② 8 7 ④ 10 9
当某防火区域由第 j个消防站负责时 当某防火区域不由第 j个消防站负责时
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
( j = 1 , 2 , 3 , 4)
对各防火区域可分别列出以下约束条件： 对各防火区域可分别列出以下约束条件： 防火区1： 防火区 ：x 1 + x 2 ≥ 1 防火区2： 防火区 ：x 1 + x 2 ≥ 1 防火区3： 防火区 ： x 1 = 1 防火区4： 防火区 ：x 1 + x 3 ≥ 1 防火区5： x 3 ≥ 1 防火区 ： 防火区6： 防火区6： x 1 + x 3 + x 4 ≥ 1 防火区7： 防火区 ： x 1 + x 4 ≥ 1 防火区8： 防火区 ：x 1 + x 2 + x 4 ≥ 1 防火区9： 防火区 ： x 2 + x 4 ≥ 1 防火区10： 防火区 ：x 4 = 1 x 防火区11： 防火区 ： 3 + x 4 ≥ 1 由上述约束条件知： 由上述约束条件知： 必须 x1 , x3 , x4为1， ， 可为0，也可为1， x2可为 ，也可为 ， 由此，消防站②可 由此，消防站② 以关闭而不影响任 务的执行
项目A、C、E之间必须且只需选择一项： 之间必须且只需选择一项： 项目 、 、 之间必须且只需选择一项 项目B、 之间必须且只需选择一项 之间必须且只需选择一项： 项目 、D之间必须且只需选择一项：
项目C的实施要以项目 的实施为前提条件 项目 的实施要以项目D的实施为前提条件： 的实施要以项目 的实施为前提条件： 归纳起来，其数学模型为： 归纳起来，其数学模型为：
∑ ∑
3）目标函数：总费用包括两部分， （3）目标函数：总费用包括两部分，一是仓库租用 费用，二是运输费用， 费用，二是运输费用，因此总费用表示为
min z =
∑ [g
i =1
n
i
yi +
∑c
j =1
m
ij
x ij ]
•整数规划是数学规划的一个重要的分枝， 整数规划是数学规划的一个重要的分枝， 整数规划是数学规划的一个重要的分枝 在实践中有广泛的应用背景， 在实践中有广泛的应用背景，如著名的指 派问题、背包问题、 派问题、背包问题、旅行推销商问题都是 整数规划问题. 整数规划问题. •整数规划又是最难求解的问题之一，至今 整数规划又是最难求解的问题之一， 整数规划又是最难求解的问题之一 还没有找到有效算法. 还没有找到有效算法.
x1 + x 2 ≥ 8 x1 + x 2 + x 3 ≥ 9 x1 + x 2 + x 3 + x4 ≥ 11 x 2 + x 3 + x4 + x5 ≥ 13 x + x + x ≥ 8 4 5 3 x4 + x5 ≥ 5 x5 ≥ 3 x , x , x , x , x ≥ 0且为整数 1 2 3 4 5
解：分析，该问题是由一个仓库选用和一个运输问 分析， 题综合而成。 题综合而成。设 表示租用仓库i的固定运营费 即固定成本）； 的固定运营费（ gi表示租用仓库 的固定运营费（即固定成本）； di表示仓库 的允许容量； 表示仓库i的允许容量 的允许容量； Cij表示从仓库 运送货物到销售点 j 处的单位费用 表示从仓库i （即可变成本） 即可变成本） （1）决策变量：xij表示从租用的仓库 i 运送给销售 ）决策变量： 的货物量； 点 j 的货物量；
A B C 1 2 3
资源量
500 300 100
2 2 1 4 100 8
4 3 2 5 150 10
8 4 3 6 200 12
单件可变费用 固定费用 单件售价
解：总收益等于销售收入减去生产上述产品的固定费用和可变 费用之和. 费用之和 建模碰到的困难主要是事先不能确切知道某种产品 是否生产，因而不能确定相应的固定费用是否发生 下面借助 是否生产，因而不能确定相应的固定费用是否发生.下面借助 0–1变量解决这个困难设 j是第 种产品的产量，j=1 , 2 , 3 , 再设 变量解决这个困难设x 是第j种产品的产量 种产品的产量， 变量解决这个困难设
1 , 若仓库 yi = 0 , 若仓库 i 被租用 i 不被租用
（2）约束条件：此处的约束条件只有运输问题的产 ）约束条件： 量约束和销量约束，表示为 量约束和销量约束，表示为:
n xi j = b j ( j = 1 , 2 , ... , m ) i =1 m xi j ≤ d i yi ( i = 1 , 2 , ... , n ) j =1
解：决策变量：设 决策变量：
0 xj = 1
表示项目 j不被选中 表示项目 j被选中
( j = 1 , 2 , 3 , 4 , 5)
目标函数：期望收益最大： 目标函数：期望收益最大： max z = 10 x1 + 8 x 2 + 7 x 3 + 6 x 4 + 9 x5 约束条件：投资额限制条件 约束条件：投资额限制条件: 6x1+4x2+2x3+4x4+5x5≤15 x1+x3+x5=1 x2+x4=1 x3 ≤ x4
时 段
1
10
2
8
3
4
5
6
7
8
服务员最少数目
9 11 13 5 3 min z = x1 + x 2 +8x 3 + x4 + x5
解：设在第j时段开始时上班 x1 ≥ 10 设在第 时段开始时上班 的服务员人数为xj，由于第 由于第j 的服务员人数为 时段开始时上班的服务员将 在第(j+3)时段结束时下班， 时段结束时下班， 在第 时段结束时下班 故决策变量只需考虑x 故决策变量只需考虑 1 , x2 , x3 , x4 , x5，此问题的数学模 ， 型为： 型为：
例6（仓库选用问题） （仓库选用问题） 某决策者拟在n个仓库中决定租用其中的几个， 某决策者拟在 个仓库中决定租用其中的几个，以 个仓库中决定租用其中的几个 满足m个销售点对货物的需要 满足 个销售点对货物的需要. 每个销售点的需要量 个销售点对货物的需要 必须从租用的仓库中得到满足, bj(j=1 , 2 , … , m)必须从租用的仓库中得到满足 且只 必须从租用的仓库中得到满足 能从租用的仓库得到满足. 而对租用的仓库必须支付 能从租用的仓库得到满足 固定的运营费（如租金、管理费等 同时， 固定的运营费（如租金、管理费等) , 同时，还应决 定从租用的哪个仓库中运多少货物到销售点处, 定从租用的哪个仓库中运多少货物到销售点处 以使 总的费用为最小. 总的费用为最小
一、整数线性规划模型的建立
•例1 某单位有 个拟选择的投资项目，其所需投资额与期望 例 某单位有5个拟选择的投资项目 个拟选择的投资项目， 收益如下表。由于各项目之间有一定联系， 、 、 之间必 收益如下表。由于各项目之间有一定联系，A、C、E之间必 须选择一项且仅需选择一项； 和 之间需选择也仅需选择一 须选择一项且仅需选择一项；B和D之间需选择也仅需选择一 两项目密切相关， 的实施必须以 的实施必须以D的实施 项；又由于C和D两项目密切相关，C的实施必须以 的实施 又由于 和 两项目密切相关 为前提条件，该单位共筹集资金 万元 万元， 为前提条件，该单位共筹集资金15万元，问应该选择哪些项 目投资，使期望收益最大？ 目投资，使期望收益最大？ 项 目 A B C D E 所需投资额（万元） 所需投资额（万元） 6 4 2 4 5 期望收益（万元） 期望收益（万元） 10 8 7 6 9
根据变量取整数的情况,将整数规划分为： 根据变量取整数的情况 将整数规划分为： 分为 （1）纯整数规划，所有变量都取整数 ）纯整数规划，所有变量都取整数. （2）混合整数规划，一部分变量取整数 一部分变 ）混合整数规划，一部分变量取整数,一部分变 量取实数. 量取实数 （3）0-1整数规划 ,所有变量均取 或1. 所有变量均取0或 ） 整数规划 所有变量均取 求解整数规划常用的算法有：分枝定界法、 求解整数规划常用的算法有：分枝定界法、 割平面法； 割平面法； 求解0-1的还有：隐枚举法、匈牙利法。 求解 的还有：隐枚举法、匈牙利法。 的还有