3.2整数规划的求解方法

x1+2x2 6
x1,x2 0 x1 4 无可行解，剪去。
对(P1) x1 3 选 x2进行分枝： x2 8
(P11) x2 1无可行解 (P12) x2
2
7
6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 x1 Pp 12
（P11） Min Z= x1+4x2 s.t. 2x1+ x2 8
例 用分枝定界法求解：
Max Z=4x1+3x2
s.t. 3x1+4x2 12
4x1+2x2 9 x1,x2 0 整数
用单纯形法可解得相应的松驰问题 的最优解（6/5，21/10）Z=111/10 为各分枝的上界。
分枝：X1 1,x1 2
x2 4 3 2
P1
1
0
1
P2 2
3
4
定界：把满足整数条件各分枝的 最优目标函数值作为上（下）界， 用它来判断分枝是保留还是剪枝。 （对目标求max的ILP问题,松弛问 题的最优值是ILP的最优值的一个 上界，松弛问题的任一整数可行 解对应的目标函数值都是ILP的一 个下界）
定界：把满足整数条件各分枝的 最优目标函数值作为上（下）界， 用它来判断分枝是保留还是剪枝。 剪枝：把那些子问题的最优值与 界值比较，凡不优或不能更优的 分枝全剪掉，直到每个分枝都查 清为止。
解法概述
当人们开始接触整数规划问题 时，常会有如下两种初始想法： 因为可行方案数目有限，因此 经过一一比较后，总能求出最 好方案，例如，背包问题充其 量有2n-1种方式；连线问题充其 量有n!种方式；实际上这种方法 是不可行。
设想计算机每秒能比较 1000000个方式，那么要比较 完20!（大于2*1018）种方式， 大约需要800年。比较完260 种方式，大约需要360世纪。
B(9.2,2.4)
X1 2 X2 3 X1 6 P
P1
P2 P3
X2
X1
3
X1
X2 2
4
P4
7
X2
3
P5
2 分枝定界解法 （Branch and Bound Method) 原问题的松驰问题：任何整数规 划（IP），凡放弃某些约束条件 （如整数要求）后，所得到的问 题（P） 都称为（IP）的松驰问题。
先放弃变量的整数性要求， 解一个线性规划问题，然后 用“四舍五入”法取整数解， 这种方法，只有在变量的取 值很大时，才有成功的可能 性，而当变量的取值较小时， 特别是0-1规划时，往往不能 成功。
整数规划的图解法
例 求下列问题：
Max Z=3x1+13x2
s.t.2x1+9x2 40 11x1-8x2 82
若松驰问题无可行解，则原整数 规划问题也无可行解，计算结束。
若松驰问题有最优解，但其各分 量不全是整数，则这个解不是原 整数规划的最优解，转下一步。
若松驰问题有最优解，但其各分 量不全是整数，则这个解不是原 整数规划的最优解，转下一步。 从不满足整数条件的基变量中任 选 一个xl进行分枝，它必须满足xl [xl ] 或xl [xl ] +1中的一个，把这 两个约束条件加进松弛问题P中， 形成两个互不相容的子问题P1和 P2，即改进的松弛问题 。
x1
两个子问题：
（P1）Max Z=4x1+3x2
s.t. 3x1+4x2 12
4x1+2x2 9 x1,x2 0 ， x1 1
用单纯形法可解得相应的（P1）的 最优解（1，9/4） Z=10(3/4)
（P2）Max Z=4x1+3x2
s.t. 3x1+4x2 12
4x1+2x2 9
x1+2x2 6
x1,x2 0， x1 3 ，x2 1 无可行解，剪去。
（P12）
Min Z= x1+4x2
s.t. 2x1+ x2 8
x1+2x2 6 x1,x2 0， x1 3 ，x2 2
用单纯形法可解得（P12）的最优 解（2，2）Z=10
X1
4
X2 1
4
为空集
7
6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 x1 P p1
（P1）
Min Z= x1+4x2
s.t. 2x1+ x2 8
x1+2x2 6 x1,x2 0 x1 3
用单纯形法可解得（P1）的最优解 （3，3/2）Z=9
（P2） Min Z= x1+4x2 s.t. 2x1+ x2 8
P2:无可行解
P:(10/3,4/3) Z=26/3 X1 3 P1:(3,3/2) Z=9
P11:无可行解
X2
2
P12:(2,2) Z=10
原问题的最优解（2，2） Z=10
注：求解混合整数规划问题，只对整数变 量分支，对非整数变量不分支。
x1,x2 0,且取整数值
可行域OABD内整数点，放弃整数要求 后，最优解B(9.2,2.4) Z0=58.8，而原 整数规划最优解I(2,4) Z0=58，实际上 B附近四个整点(9,2)(10,2)(9,3)(10,3)都 x2 不是原规划最优解。
5 D 4 3 2 1 O 1 2 3 4 5 6 7 A8 9 10 x1 I(2,4)
用单纯形法可解得相应的（P12） 的最优解（0，3） Z=9
X1
2
P2:(2,1/2) Z=9(1/2)
P:(6/5,21/10) Z=111/10 X1 1 P1:(1,9/4) Z=10(3/4)
X2 2 P : (1,2) Z=10 11
X2
3 P
12:
(0,3) Z=9
原问题的最优解（1，2） Z=10
x1,x2 0 ， x1 2
用单纯形法可解得相应的（P2）的 最优解（2，1/2） Z=9(1/2)
再对（P1）分枝：X1 1
x2 4 3 2 P12
（P11） x2 2
（P12） x2 3
P1
1 P11 0 1
P2 2
3
4
x1
Байду номын сангаас
（P1）两个子问题：
（P11）Max Z=4x1+3x2
B(9.2,2.4)
假如能求出可行域的“整点凸包” （包含所有整点的最小多边形 OEFGHIJ），则可在此凸包上求线性 规划的解，即为原问题的解。但当决 x2 策变量多时求“整点凸包”十分困难。
5 D 4 3 2 1 O 1 2 3 4 5 I(2,4) J I
H
G F 6 E 7 A8 9
B(9.2,2.4)
最通常的松驰问题是放弃变 量的整数性要求后，（P）为线性 规划问题。
分枝定界法步骤 一般求解对应的松驰问题，可能 会出现下面几种情况： 若所得的最优解的各分量恰好是 整数，则这个解也是原整数规划 的最优解，计算结束。
分枝定界法步骤 一般求解对应的松驰问题，可能 会出现下面几种情况： 若所得的最优解的各分量恰好是 整数，则这个解也是原整数规划 的最优解，计算结束。
例 用分枝定界法求解：
Min Z= x1+4x2
s.t. 2x1+ x2 8
x1+2x2 6 x1,x2 0 整数
用单纯形法可解得相应的松驰问题 的最优解（10/3，4/3）Z=26/3为 各分枝的下界。
x2 8
7
6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 x1 p
选 x1进行分枝： (P1) x1 3 x2 8 (P2) x1
s.t. 3x1+4x2 12
4x1+2x2 9 x1,x2 0 ,x1 1, x2 2
用单纯形法可解得相应的（P11） 的最优解（1，2） Z=10
（P1）两个子问题：
（P12）Max Z=4x1+3x2
s.t. 3x1+4x2 12
4x1+2x2 9 x1,x2 0 ,x1 1, x2 3
10
x1
假如把可行域分解成五个互不相交的 子问题P1 P2 P3 P4 P5之和, P3 P5的定义 域都是空集,而放弃整数要求后P1最优 解I(2,4),Z1=58 P2最优解(6,3),Z2=57 P4 x2 最优解(98/11,2),Z =52(8/11) 4
5 D 4 3 2 1 O 1 2 3 4 P1 P2 P4 5 6 7 A8 9 10 x1 I(2,4)