3.2整数规划的求解方法

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线性规划知识点总结

线性规划知识点总结标题：线性规划知识点总结引言概述：线性规划是运筹学中的一种最基本的数学规划方法，广泛应用于生产、运输、金融等领域。

通过线性规划，可以优化资源分配，最大化利润或者最小化成本。

本文将对线性规划的基本概念、线性规划模型、解决方法、应用领域和优缺点进行总结。

一、基本概念1.1 线性规划的定义：线性规划是一种数学优化方法，其目标是在一组线性约束条件下，找到使目标函数取得最大值或者最小值的决策变量的取值。

1.2 决策变量和目标函数：线性规划中，决策变量是需要确定的未知数，而目标函数则是需要优化的目标，通常是最大化利润或者最小化成本。

1.3 约束条件：线性规划模型中的约束条件是对决策变量的限制，可以是等式约束或者不等式约束，用来限制决策变量的取值范围。

二、线性规划模型2.1 标准形式和非标准形式：线性规划模型可以分为标准形式和非标准形式，标准形式要求目标函数是最小化形式，约束条件是等式约束；非标准形式则没有这些限制。

2.2 线性规划的矩阵形式：线性规划可以用矩阵形式表示，目标函数和约束条件可以用矩阵的乘法来表示，这样可以简化问题的求解过程。

2.3 整数规划和混合整数规划：在实际应用中，有时需要考虑变量的取值只能是整数的情况，这时就需要用到整数规划或者混合整数规划。

三、解决方法3.1 单纯形法：单纯形法是解决线性规划问题的经典方法，通过不断挪移顶点来找到最优解，是一种高效的求解方法。

3.2 对偶理论：对偶理论是线性规划的重要理论基础，通过对原问题的对偶问题进行求解，可以得到原问题的最优解。

3.3 整数规划的分支定界法：对于整数规划问题，可以采用分支定界法来求解，通过不断分支和剪枝来逐步逼近最优解。

四、应用领域4.1 生产计划优化：线性规划可以用来优化生产计划，确定最佳生产量和资源分配，以最大化利润或者最小化成本。

4.2 运输网络优化：在物流领域，线性规划可以用来优化运输网络，确定最佳的运输路径和运输量，以提高运输效率。

3.2纯整数规划的求解

分枝定界法的迭代原理
分枝线性规划(其目的是求整数解) 求其最优解(图解法，单纯形法) 该分枝不需要再分枝整数解最优解若目标值>其它分枝最优值, 则是最优整数解,终止.
判断该整数解是否最优否则, 其它分枝问题继续分枝,得整数解,比较目标值,得到最优整数解. 分枝
非整数解不用分枝 (已判明该分枝中不可能有整数最优解) 比较分枝问题最优值决定先分哪一枝
x1 5
LP5: X=(5, 5) Z5=35
LP4: X=(4, 6) Z4=34
作业1 用分支定界法求解：
max Z x1 x2
s .t .
max Z x1 x2
s .t .
9 51 9 51 x1 x 2 x1 x 2 14 14 14 14 松弛问题 1 1 LP1 2 x1 x 2 2 x1 x2 3 3 x1 , x2 0 x1 , x2 0, 整数
x1 4, x2 7
解集：空集
X 3 (4.33,6)T , Z 3 35.33 x1 4.33 用图解法解LP3，得到最优解：选择目标值最大的分支LP3进行分支，增加约束：x1 4,x1 5
得到两个分支线性规划LP4， LP5：
max Z 4 x1 3 x2 s .t . 1.2 x1 0.8 x2 10 LP3 2 x1 2.5 x2 25
max Z x1 x2
9 51 x1 x 2 14 14 1 LP1 2 x1 x 2 3 x1 , x2 0
s .t .
x2
3 10 29 A( , ) Z 2 3 6
S1
0 1 2 3
x1

整数规划求解题技巧

整数规划求解题技巧整数规划（Integer Programming，IP）是线性规划（Linear Programming，LP）的扩展，它要求所有变量的取值必须是整数。

整数规划常用于求解实际问题中的最优决策，具有广泛的应用领域，如运输、生产、资源分配等。

下面我将介绍一些整数规划求解题的技巧。

1. 转化为纯整数规划：将实际问题转化为纯整数规划问题可以简化模型。

纯整数规划要求所有变量的取值都必须是整数，没有连续变量的限制。

通过建立合适的约束条件和目标函数，可以将问题转化为纯整数规划问题进行求解。

2. 松弛约束：对于某些约束条件，如果将其从等式形式变为不等式形式且松弛一些限制，可以增加问题的可行解空间。

这样可以使得模型具有更多的可行解，从而提高求解效率。

3. 分枝定界法：分枝定界法是一种常用的求解整数规划问题的方法。

它将整数规划问题划分为多个子问题，通过不断划分和求解这些子问题，逐步逼近最优解。

分枝定界法通常包括两个步骤：分枝和定界。

分枝是指将问题分解为多个子问题，每个子问题都是原问题的一个可能解。

定界是指通过对子问题的求解，确定上界和下界，从而缩小搜索范围。

4. 启发式算法：启发式算法是一种常用的求解整数规划问题的方法，它通过启发式规则和策略来指导搜索过程。

启发式算法不保证找到最优解，但可以在较短时间内找到近似最优解。

常见的启发式算法包括贪心算法、模拟退火算法、遗传算法等。

5. 接近最优策略：在实际问题中，有时求解整数规划问题的时间复杂度非常高，甚至是NP-hard难题。

面对这种情况，可以采取接近最优的策略。

即对于一个相对较大的整数规划问题，先求解一个近似最优解，然后逐步优化，以此来降低问题的复杂度。

6. 问题分解：对于大规模的整数规划问题，可以将问题分解成多个较小的子问题。

通过对这些子问题的求解，可以逐步逼近整体问题的最优解。

问题分解可以提高求解效率，同时可以充分利用问题的结构特点。

7. 约束松弛法：约束松弛法是一种将整数规划问题转化为线性规划问题进行求解的方法。

整数规划问题的求解

max Z 4 x1 3 x 2 1.2 x1 0.8 x 2 10 2 x1 2.5 x 2 25 LP 21 : x1 4，x 2 6 x1 , x 2 0
C o 3 4
x1
分支定界法
x2
A
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由于Z 21 Z 1，选择 LP 21进行分枝，增加约束 x1 4及x1 5，得线性规划 LP 211 及LP 212 ：
10
A
x2 7不可行
max Z 4 x1 3 x 2 1.2 x1 0.8 x 2 10 2 x1 2.5 x 2 25 LP 22 : x1 4，x 2 7 x1 , x 2 0
B 6 LP1
LP21
LP21:X=(4.33,6),Z21=35.33
整数规划问题的求解
整数规划问题的求解方法：分支定界法和割平面法
Page 1
匈牙利法（指派问题）
分支定界法
分支定界法的解题步骤：
Page 2
1）求整数规划的松弛问题最优解；若松弛问题的最优解满足整数要求，得到整数规划的最优解,否则转下一步； 2）分支与定界：任意选一个非整数解的变量xi，在松弛问题中加上约束： xi≤[xi] 和 xi≥[xi]+1 组成两个新的松弛问题，称为分枝。新的松弛问题具有特征：当原问题是求最大值时，目标值是分枝问题的上界；当原问题是求最小值时，目标值是分枝问题的下界。检查所有分枝的解及目标函数值，若某分枝的解是整数并且目标函数值大于（max）等于其它分枝的目标值，则将其它分枝剪去不再计算，若还存在非整数解并且目标值大于(max)整数解的目标值，需要继续分枝，再检查，直到得到最优解。

3.2整数规划的求解方法

解法概述
当人们开始接触整数规划问题时，常会有如下两种初始想法：因为可行方案数目有限，因此经过一一比较后，总能求出最好方案，例如，背包问题充其量有2n-1种方式；连线问题充其量有n!种方式；实际上这种方法是不可行。
设想计算机每秒能比较 1000000个方式，那么要比较完20!（大于2*1018）种方式，大约需要800年。比较完260 种方式，大约需要360世纪。
先放弃变量的整数性要求，解一个线性规划问题，然后用“四舍五入”法取整数解，这种方法，只有在变量的取值很大时，才有成功的可能性，而当变量的取值较小时，特别是0-1规划时，往往不能成功。
整数规划的图解法
例求下列问题：
Max Z=3x1+13x2
s.t.2x1+9x2 40 11x1-8x2 82
最通常的松驰问题是放弃变量的整数性要求后，（P）为线性规划问题。
分枝定界法步骤一般求解对应的松驰问题，可能会出现下面几种情况：若所得的最优解的各分量恰好是整数，则这个解也是原整数规划的最优解，计算结束。
分枝定界法步骤一般求解对应的松驰问题，可能会出现下面几种情况：若所得的最优解的各分量恰好是整数，则这个解也是原整数规划的最优解，计算结束。
定界：把满足整数条件各分枝的最优目标函数值作为上（下）界，用它来判断分枝是保留还是剪枝。（对目标求max的ILP问题,松弛问题的最优值是ILP的最优值的一个上界，松弛问题的任一整数可行解对应的目标函数值都是ILP的一个下界）
定界：把满足整数条件各分枝的最优目标函数值作为上（下）界，用它来判断分枝是保留还是剪枝。剪枝：把那些子问题的最优值与界值比较，凡不优或不能更优的分枝全剪掉，直到每个分枝都查清为止。

求解整数规划常用的方法有分枝定界法和割平面法

2
寻找割平面方程
（1）由单纯形最终表得到决策变量非整数解方程，设 1 x1 ai k xk bi 为
k
其中bi是基变量的非整数解。（2）将aik和bi分解为整数N和正真分数f 两部分之和
a ik N ik f ik , bi N ni f bi
2
将（2）代入(1)中,然后将整数置于方程左边，分数置于方程右变，即
xi
N
k
ik x k
N bi f bi
f
k
ik xk
0
(3)得割平面方程
f bi
f
k
ik x k
0
3
整数线性规划模型的求解——分枝定界法
基本思想通过分枝枚举来寻找最优解。首先不考虑对变量的整数要求，求解相应的线性规划模型，如求得最优解不符合整数要求，则把原模型分解为两部分，每一部分都增加新的约束条件以减少相应线性规划模型的可行域。通过不断分解，逐步逼近满足要求的整数最优解，在这个过程中包括了“分枝”和 “定界”两个关键步骤。
1 1 1 0
利用这一性质，可以使原系数矩阵(cij)变换成含有
很多0元素的新系数矩阵
11 c ij ，而最优解保持不变。
匈牙利法是针对目标要求极小化问题提出的基本原理：为了实现目标极小，在系数矩阵元素cij≥0条件下，如果能使矩阵具有一组处于不同行不同列的零元素cij’＝0，画上圈符号 “◎”，表示对应该元素的决策变量xij=1，未画圈元素对应的决策变量xij＝0，那么目标的数值 z’＝0为最小，这样的组合解x就是最优解。所以匈牙利法又称画圈法。画圈法的关键是如何实现系数矩阵具有一组处于不同行又不同列的0元素（独立零），并保证所画的圈的个数等于矩阵的阶数。

整数规划的求解方法有哪些

整数规划的求解方法有哪些在线性规划问题中，有些最优解可能是分数或小数，但对于某些具体问题，常要求某些变量的解必须是整数。

例如，当变量代表的是机器的台数，工作的人数或装货的车数等。

为了满足整数的要求，初看起来似乎只要把已得的非整数解舍入化整就可以了。

实际上化整后的数不见得是可行解和最优解，所以应该有特殊的方法来求解整数规划。

在整数规划中，如果所有变量都限制为整数，则称为纯整数规划;如果仅一部分变量限制为整数，则称为混合整数规划。

整数规划的一种特殊情形是01规划，它的变数仅限于0或1。

不同于线性规划问题，整数和01规划问题至今尚未找到一般的多项式解法。

组合最优化通常都可表述为整数规划问题。

两者都是在有限个可供选择的方案中，寻找满足一定约束的最好方案。

有许多典型的问题反映整数规划的广泛背景。

例如，背袋(或装载)问题、固定费用问题、和睦探险队问题(组合学的对集问题)、有效探险队问题(组合学的覆盖问题)、旅行推销员问题, 车辆路径问题等。

因此整数规划的应用范围也是极其广泛的。

它不仅在工业和工程设计和科学研究方面有许多应用，而且在计算机设计、系统可靠性、编码和经济分析等方面也有新的应用。

整数规划是从1958年由R.E.戈莫里提出割平面法之后形成独立分支的，30多年来发展出很多方法解决各种问题。

解整数规划最典型的做法是逐步生成一个相关的问题，称它是原问题的衍生问题。

对每个衍生问题又伴随一个比它更易于求解的松弛问题(衍生问题称为松弛问题的源问题)。

通过松弛问题的解来确定它的源问题的归宿，即源问题应被舍弃，还是再生成一个或多个它本身的衍生问题来替代它。

随即，再选择一个尚未被舍弃的或替代的原问题的衍生问题，重复以上步骤直至不再剩有未解决的衍生问题为止。

目前比较成功又流行的方法是分支定界法和割平面法，它们都是在上述框架下形成的。

0-1规划在整数规划中占有重要地位，一方面因为许多实际问题，例如指派问题、选地问题、送货问题都可归结为此类规划，另一方面任何有界变量的整数规划都与0-1规划等价，用0-1规划方法还可以把多种非线性规划问题表示成整数规划问题，所以不少人致力于这个方向的研究。

整数规划方法

割平面法是R.E.Gomory于1958年提出的一种方法，它主要用于求解纯ILP。割平面法是用增加新的约束来切割可行域，增加的新约束称为割平面方程或切割方程。其基本思路为：若其松弛问题的最优解X*不满足整数约束，则从X*的非整分量中选取一个，用以构造一个线性约束条件，将其加入原松弛问题中，形成一个新的线性规划，然后求解之。若新的最优解满足整数要求，则它就是整数规划的最优解；否则重复上述步骤，直到获得整数最优解为止。
用割平面法求整数规划问题最优解的步骤： 1. 求整数规划问题所对应的线性规划问题的最优解。如果是整数解，则停止计算，否则，进行下一步。 2. 由最终单纯形表得到：
xi aik xk bi
k
xi 是基变量
将a ik，bi 都分解为整数部分和非负真分数之和， N f 即:
aik N ik f ik bi N i f i 0 f ik 1 0 fi 1
为最终获得整数最优解，每次增加的线性约束条件应当两个基本性质：（1）已获得的不符合整数要求的LP最优解不满足该线性约束条件，从而不可能在以后的解中出现；（2）凡整数可行解均满足该线性约束条件，因而整数最优解始终被保留在每次剩余的线性规划可行域中。
例1 用割平面法求解整数规划问题
max z x1 x 2 x1 x 2 1 3 x x 4 1 2 s.t. x1 , x 2 0 x1 , x 2是整数
继续求解定界，重复下去，直到得到最优解为止。
7
二、整数规划求解方法
2. 分枝定界法一般步骤
1)将原整数规划问题（A）去掉所有的整数约束变为线性规划问题（B），用线性规划的方法求解问题（B）:

求解整数规划问题的分支定界法

求解整数规划问题的分支定界法整数规划问题是运筹学和数学中非常重要的一个分支，它本身又有着非常广泛的应用，例如资源分配、制造流程规划等等。

但是，由于整数规划问题的复杂性，导致绝大部分问题都是NP困难问题，即使运用最先进的算法，也很难找到一个高效的解决方案。

然而，分支定界法就是其中一种能够求解整数规划问题的有效方法。

一、什么是整数规划整数规划是指在线性规划（LP）问题的基础上，需要将变量的取值限制为整数类型（不是实数类型），其数学描述如下所示：$$\begin{aligned} \max \ \ & c^Tx \\s.t. \ \ & Ax \leq b\\& x_i\in\mathbb{Z} \ \ (i=1,2,...,n)\end{aligned}$$其中$c,x, b$以及 $A$分别是问题中的参数，表示目标函数的系数、变量向量、约束条件以及约束矩阵。

二、什么是分支定界法分支定界法，又被称为分支剪枝法，是求解整数规划问题的一个常用方法。

它的核心思想在于，将整数规划问题分解为多个子问题，并通过将问题空间不断地分割，不断缩小问题的范围，从而找到最优解。

分支定界法大致分为以下几个步骤：（1）确定目标函数与约束条件，即整数规划问题的数学模型；（2）运用松弛法将整数规划问题转化为线性规划问题，从而求解该线性规划问题及其最优解；（3）根据最优解的情况，判断该最优解是否为整数解，如果不是，则选择其中一个变量进行分支（通常是将其约束为下取整和上取整）；（4）根据变量的分支，得到两个新的整数规划问题，需要分别对其进行求解；（5）执行步骤（3）和（4），直到分支出的所有问题均已求解完毕，即得到原问题的最优解。

三、分支定界法的优缺点分支定界法虽然是一种有效的求解整数规划问题的方法，但是也有其优点和缺点。

优点：（1）能够精确求解整数规划问题。

（2）适用于各种规模的整数规划问题，虽然时间复杂度大，但是运作效率相对较高。

求解整数规划的方法

求解整数规划的方法整数规划是一种最优化问题，其解决方案限制了决策变量必须取整数值。

整数规划的应用非常广泛，涉及到许多实际问题，如制造业生产调度、物流优化、资源分配等。

在本文中，我们将介绍几种常用的整数规划方法。

一、分支定界法分支定界法是一种常用的整数规划求解方法，它通过不断将解空间分割为子问题并求解这些子问题，最终找到整数规划的最优解。

具体步骤如下：1. 初始时，将整数规划问题转化为一个线性规划问题，并求解线性规划问题的松弛解。

2. 如果松弛解满足整数约束条件，则找到一个整数解，更新当前最优解。

3. 如果松弛解不满足整数约束条件，则选择一个变量将其分割为两个子问题，并分别求解这两个子问题。

4. 对每个子问题，递归地应用上述步骤，直到找到一个整数解或者确定当前子问题的上界小于当前最优解。

5. 最终，得到整数规划的最优解。

分支定界法的优点是能够保证找到最优解，但其缺点是计算复杂度较高，特别是在问题规模较大时，会导致计算时间过长。

二、整数规划的近似算法当整数规划问题规模较大时，找到精确解的计算复杂度可能变得非常高，此时可以考虑使用近似算法来求解。

近似算法的思想是通过放松整数约束条件，将整数规划问题转化为一个线性规划问题，并对线性规划问题进行求解。

然后，根据线性规划问题的解，对整数规划问题进行修正，得到整数规划问题的一个近似解。

三、割平面法割平面法是一种常用的整数规划求解方法，它通过添加一系列线性不等式（割平面）来逐步减小可行解空间，最终找到整数规划的最优解。

具体步骤如下：1. 初始时，将整数规划问题转化为一个线性规划问题，并求解线性规划问题的松弛解。

2. 如果松弛解满足整数约束条件，则找到一个整数解，更新当前最优解。

3. 如果松弛解不满足整数约束条件，则根据当前松弛解所对应的目标函数值，添加一系列线性不等式（割平面）来限制可行解空间。

4. 对添加了割平面约束的线性规划问题，继续求解，并更新最优解。

5. 重复以上步骤，直到找到一个整数解或者确定当前问题的上界小于当前最优解。

近似求解整数规划问题的数值方法

近似求解整数规划问题的数值方法数值方法是求解数学问题的重要工具，在整数规划问题的求解中也有着广泛的应用。

整数规划问题是指决策变量需取整数的优化问题，其在供应链管理、制造业、金融风险管理等领域具有重要应用。

然而，由于整数规划问题的NP-hard性质，精确求解方法在大规模问题上面临巨大挑战，因此近似求解方法成为研究的热点之一。

本文将介绍近似求解整数规划问题的数值方法，包括基于松弛问题的方法、基于启发式算法的方法以及近似策略的方法。

一、基于松弛问题的方法基于松弛问题的方法是一种常用的近似求解整数规划问题的方法。

该方法的核心思想是将整数要求放宽，转化为求解相应的线性规划问题。

然后，根据线性规划问题的解来确定整数决策变量的取值。

常见的基于松弛问题的方法有割平面方法和次梯度法。

割平面方法是一种经典且有效的近似求解整数规划问题的方法。

它通过不断添加线性不等式约束，逐步逼近整数解的可行域，从而获得更好的近似解。

割平面方法的主要优点是求解过程可控，不需要事先给定可行解。

然而，割平面方法的缺点是在求解大规模问题时耗时较长。

次梯度法是一种使用次梯度作为搜索方向的方法，通过不断更新决策变量的取值来逼近整数解。

次梯度法的优点是可以得到问题的局部解，不需要求解整个问题。

然而，次梯度法的缺点是对初始解的依赖性较强，容易陷入局部最优解。

二、基于启发式算法的方法启发式算法是一种通过启发式规则进行搜索的方法，常用于求解复杂优化问题。

在近似求解整数规划问题中，基于启发式算法的方法能够有效地找到接近最优解的近似解。

常见的基于启发式算法的方法有遗传算法和模拟退火算法。

遗传算法是一种模拟生物进化的算法，通过选择、交叉和变异等操作对解空间进行搜索，最终找到最优解。

遗传算法的优点是适用于大规模问题，并且可以找到全局最优解。

然而，遗传算法的缺点是收敛速度较慢，容易陷入局部最优解。

模拟退火算法是一种模拟固体退火过程的算法，通过接受较差解的概率来跳出局部最优解，以便找到全局最优解。

转载整数规划求解方法

转载整数规划求解方法整数规划整数规划的数学模型及解的特点解纯整数规划的割平面法分支定界法0-1型整数规划指派问题与匈牙利法整数规划的数学模型及解的特点整数规划IP(integerprogramming):在许多规划问题中，如果要求一部分或全部决策变量必须取整数。

例如，所求的解是机器的台数、人数、车辆船只数等，这样的规划问题称为整数规划，简记IP。

松弛问题(slackproblem):不考虑整数条件，由余下的目标函数和约束条件构成的规划问题称为该整数规划问题的松弛问题。

若松弛问题是一个线性规化问题，则该整数规划为整数线性规划(integerlinearprogramming)。

一、整数线性规划数学模型的一般形式整数线性规划问题可以分为以下几种类型1、纯整数线性规划(pureintegerlinearprogramming):指全部决策变量都必须取整数值的整数线性规划。

有时，也称为全整数规划。

2、混合整数线性规划(mixedintegerlinerprogramming):指决策变量中有一部分必须取整数值，另一部分可以不取整数值的整数线性规划。

3、0-1型整数线性规划(zero-oneintegerlinerprogramming):指决策变量只能取值0或1的整数线性规划。

二、整数规划的解的特点相对于松弛问题而言，二者之间既有联系，又有本质的区别(1)整数规划问题的可行域是其松弛问题的一个子集(2)整数规划问题的可行解一定是其松弛问题的可行解(3)一般情况下，松弛问题的最优解不会刚好满足变量的整数约束条件，因而不是整数规划的可行解，更不是最优解(4)对松弛问题的最优解中非整数变量简单的取整，所得到的解不一定是整数规划问题的最优解，甚至也不一定是整数规划问题的可行解(5)求解还是要先求松弛问题的最优解，然后用分支定界法或割平面法。

解纯整数规划的割平面法基本思路:通过增加新的约束来切割可原问题伴随规划的可行域，使它在不断缩小的过程中，将原问题的整数最优解逐渐暴露且趋于可行域极点的位置，这样就有可能用单纯形法求出。

整数规划的两种数学模型解法

规划模型求解指导老师：组员：组员分工实际的内容：1·简要介绍线性规划的历史线性规划是运筹学中最基本、应用最广泛的分支。

规划模型是一类有着广泛应用的确定性的系统优化模型，1939年，苏联数学家康托洛维奇出版《生产组织和计划中的数学方法》一书.1947年，美国数学家丹兹格提出了线性规划问题的单纯形求解方法.1951年，美国经济学家库普曼斯（J.C.Koopmans,1910—1985）出版《生产与配置的活动分析》一书.1950～1956年，线性规划的对偶理论出现.1960年，丹兹格与沃尔夫（P.Wolfe）建立大规模线性规划问题的分解算法.1975年，康托洛维奇与库普曼斯因“最优资源配置理论的贡献”荣获诺贝尔经济学奖.1978年，苏联数学家哈奇扬（L.G.Khachian）提出求解线性规划问题的多项式时间算法（内点算法），具有重要理论意义.1984年，在美国贝尔实验室工作的印度裔数学家卡玛卡（N.Karmarkar）提出可以有效求解实际线性规划问题的多项式时间算法——Karmarkar算法.线性规划的基本点就是在满足一定约束条件下，使预定的目标达到最优. 现在线性规划已不仅仅是一种数学理论和方法，而且成了现代化管理的重要手段，是帮助管理者与经营者做出科学决策的一个有效的数学技术.历史表明，重要数学概念对数学发展的作用是不可估量的，函数概念对数学发展的影响，可以说是贯穿古今、旷日持久、作用非凡，回顾函数概念的历史发展，看一看函数概念不断被精炼、深化、丰富的历史过程，是一件十分有益的事情，它不仅有助于我们提高对函数概念来龙去脉认识的清晰度，而且更能帮助我们领悟数学概念对数学发展，数学学习的巨大作用。

2·线性规划的原理：线性规划是合理利用、调配资源的一种应用数学方法。

它的基本思路就是在满足一定的约束条件下，使预定的目标达到最优。

它的研究内容可归纳为两个方面：一是系统的任务已定，如何合理筹划，精细安排，用最少的资源(人力、物力和财力)去实现这个任务；二是资源的数量已定，如何合理利用、调配，使任务完成的最多。

整数规划求解方法

整数规划求解方法
整数规划是一种优化问题，其中决策变量被限制为整数。

求解整数规划问题的方法有以下几种：
1. 枚举法：对整数规划的决策变量进行枚举计算，找到满足约束条件的整数解并计算目标函数的值。

虽然这种方法可以保证找到最优解，但是在决策变量较多时计算复杂度非常高。

2. 列生成法/分支定界法：将整数规划转化为线性规划问题，然后利用线性规划求解方法求解。

通过不断添加新的决策变量，同时利用剪枝技术来减少搜索空间，从而求得整数规划的最优解。

3. 隐枚举法：通过将整数规划问题转化为混合整数规划问题，然后利用线性松弛来求解。

通过求解线性松弛问题的松弛变量，来判断是否满足整数约束条件，进而判断是否需要继续搜索。

4. 启发式方法/元启发式方法：基于某种特定的启发规则进行搜索，通过局部搜索和全局搜索相结合的方式来求解整数规划问题。

常见的启发式算法有遗传算法、粒子群算法等。

5. 对偶法/割平面法：通过对目标函数和约束条件进行线性组合，构建一个对偶问题，并求解对偶问题来间接求得原问题的最优解。

需要根据具体的整数规划问题来选择合适的求解方法。

有些方法适用于特定类型的整数规划问题，所以需要根据问题特点来选择合适的方法。

同时，对于大规模的整数规划问题，可能需要结合多种方法进行求解。

运筹学-第三章-整数规划

于是，对原问题增加两个新约束条件，将原问题分为两个子问题，即有
max z 40x1 90x2
max z 40x1 90x2
9x1 7x2 56
s.t
7 x1
20 x2
70
x1 4
x1, x2 0
（LP1）
9x1 7x2 56
和
s.t
7
x1
20
x2
70
（LP2）
x1 5
表 3.1
货物体积（米 3/箱）重量（百公斤/箱）利润（百元/箱）
甲
5
2
20
乙
4
5
10
托运限制 24 米 3
13 百公斤
解：设x1，x2 分别为甲、乙两种货物的托运箱数，则数学模型可以表示为：
max z 20x1 10x2
5x1 4x2 24 2x1 5x2 13 x1, x2 0, x1, x2整数
其中，目标函数表示追求最大的卫星实验价值；第1,2个约
束条件表示体积和重量的限制；第3-5个约束条件表示特定的卫
星装载要求,该问题的决策变量是0-1整数变量。
3.2.3隐枚举法从上面两个例子可以看出，此类型问题是整数规划中的特
殊情形，其中决策变量 xi 的取值只能为0或1，此时变量 xi 称为0-1变量，这类问题被称为0-1整数规划。对于 xi 的取值的 0-1约束，可以转化成下述整数约束条件：xi 1, xi 0, xi Z
目前对于整数规划问题的求解主要有两种方法：分支定解法和割平面法。本章仅介绍分枝定界法，该方法在上世纪60年代由Land Doig和Dakin等人提出，其具有灵活且便于计算机求解的优点，所以现在已成为解决整数规划问题的重要方法。下面通过例子说明分支定界方法的算法思想和步骤。

3.3.2简单的线性规划问题(整数最优解)

1.应准确建立数学模型，即根据题意找出约束条件，确定线性目标函数。 2.用图解法求得数学模型的解，即画出可行域，在可行域内求得使目标函数取得最值的解.(一般最优解在直线或直线的交点上，要注意斜率的比较。） 3.要根据实际意义将数学模型的解转化为实际问题的解，即结合实际情况求得最优解。
二、练习（教材P91 T1、2）
12
例题6 某工厂现有两种大小不同规格的钢板可截成 A、B、C三种规格，每张钢板可同时截得三种规示：格的小钢板的块数如下表所
规格类型钢板类型
A规格
2 1
B规格
1 2
C规格
1 3
第一种钢板
第二种钢板
某顾客需要A,B,C三种规格的成品分别为15，18，27块，若你是经理,问各截这两种钢板多少张既能满足顾客要求又使所用钢板张数最少。解：设需截第一种钢板x张，第二种钢板y张，分钢板总张数为Z则, 2x+y≥15, 析 x+2y≥18, 问 x+3y≥27, 目标函数 : 题 x≥0 z = x + y : y≥0
平移L找交点及交点坐标
x 27
x+3y=27
2x+y=15
x+2y=18
当直线L经过点A时z=x+y=11.4, 但它不是最优整数解. 解得交点B,C的坐标B(3,9)和C(4,8)
作直线x+y=12
直线x+y=12经过的整点是B(3,9)和C(4,8)，它们是最优解.
{
2x+y≥15, x+2y≥18, x+3y≥27, x≥0, x∈N* y≥0 y∈N*
y
15 9
B(3,9)

整数规划问题的求解策略探讨

整数规划问题的求解策略探讨整数规划问题是指在约束条件下，目标函数为整数线性函数的优化问题。

在实际应用中，整数规划问题广泛存在于生产调度、资源分配、网络设计等领域。

由于整数规划问题的复杂性，其求解过程需要采用合适的策略和方法。

本文将探讨整数规划问题的求解策略，包括分枝定界法、割平面法、启发式算法等，并分析它们的优缺点及适用场景。

一、分枝定界法分枝定界法是求解整数规划问题最常用的方法之一。

其基本思想是通过不断地将问题分解为子问题，并对每个子问题进行求解，直到找到最优解为止。

在分枝定界法中，通常采用深度优先搜索或广度优先搜索的方式遍历搜索空间，通过对搜索树的分支进行限界，剪去一些不必要的分支，从而提高求解效率。

分枝定界法的优点在于能够确保找到最优解，尤其适用于规模较小的整数规划问题。

然而，对于规模较大的问题，分枝定界法的计算复杂度会随着搜索空间的增大而急剧增加，导致求解时间过长。

因此，在实际应用中，需要结合问题的特点和求解需求来选择是否采用分枝定界法。

二、割平面法割平面法是另一种常用的整数规划求解方法。

该方法通过引入额外的线性约束（割平面）来逐步逼近整数规划问题的最优解。

割平面法的核心思想是通过不断添加线性不等式约束，将整数规划问题的凸包逼近到凸壳，从而逐步缩小搜索空间，最终找到最优解。

割平面法的优点在于能够有效地提高求解效率，尤其适用于存在大量连续约束的整数规划问题。

然而，割平面法的实现过程较为复杂，需要对问题的线性松弛模型进行求解，并不断生成有效的割平面。

因此，对于一些特定结构的整数规划问题，割平面法可能并不是最优的求解策略。

三、启发式算法除了传统的分枝定界法和割平面法外，启发式算法也被广泛应用于整数规划问题的求解中。

启发式算法是一类基于经验和规则的启发式搜索方法，通过模拟生物进化、群体智能等自然现象，寻找最优解或近似最优解。

常见的启发式算法包括遗传算法、蚁群算法、模拟退火算法等。

这些算法在求解整数规划问题时，能够有效地避免陷入局部最优解，提高求解速度和质量。

整数规划模型的构建及求解方法

整数规划模型的构建及求解方法整数规划是一种数学优化问题，其目标是在给定的约束条件下，寻找能够使目标函数最大或最小的整数解。

在实际应用中，整数规划模型常被用于决策问题的求解，如生产计划、物流调度、资源分配等。

本文将介绍整数规划模型的构建方法以及常用的求解方法。

一、整数规划模型的构建方法1.确定决策变量：首先需要确定问题中的决策变量，即可用整数来表示的变量。

这些变量一般代表决策问题中的选择或分配方案。

例如，在生产计划问题中，决策变量可以是不同产品的生产数量。

2.定义目标函数：目标函数是整数规划问题中要最大化或最小化的指标。

根据问题的具体要求，可将目标函数设定为各个决策变量的线性组合或非线性函数。

例如，生产计划问题中，目标函数可以是利润的最大化或成本的最小化。

3.确定约束条件：约束条件用于限制决策变量的取值范围，以满足问题的实际限制。

约束条件可以是等式或不等式。

例如，在物流调度问题中，约束条件可以包括产品的需求量、供应量以及运输容量等。

4.完善模型：为了更准确地描述问题，还需要考虑一些特殊约束条件和问题的具体要求。

例如，某些决策变量可能需要满足某种关系或限制条件，或者需要指定某些变量的取值范围。

二、整数规划模型的求解方法1.穷举法：穷举法是最简单直接的求解方法，即将所有可能的整数解都列举出来，并计算对应的目标函数值，最后选取最优解。

然而，穷举法由于计算复杂度高，只适用于问题规模较小的情况。

2.分支定界法：分支定界法是一种逐步缩小解空间的方法。

通过将整数规划问题分解成若干个子问题，并为每个子问题设定上下界，不断迭代求解，最终找到最优解。

这种方法可以高效地搜索整数解空间，但对于规模较大的问题，计算时间可能会很长。

3.割平面法：割平面法是一种逐步划分解空间的方法。

它通过添加割平面来修正原始线性规划松弛的解，使其成为整数解。

这种方法能够快速收敛到最优解，并且具有较好的计算效率。

4.分枝定界法：分枝定界法是将分支定界法和割平面法相结合的方法。

运筹学第二版3.2 整数规划的求解

max Z c j x j ,
j 1 n
与它对应的线性规划问题即松弛问题（B）为：
max Z c j x j ,
j 1 n
n aij x j bi (i 1,2,, m), j 1 x j 0且是整数( j 1,2,...n).
n aij x j bi (i 1,2,, m), j 1 x j 0( j 1,2,..., n).
xi
j m 1
j m 1
n
b
n
ij x j
bi 0 , 称为割平面的来源行．
[b
f
n
ij ] x j
[bi 0 ] f i 0
j m 1
f
n
ij x j .
为了使x i（i=1,2，…，m）是整数，上式右端必须是整式．又注意到 f ij 0, x j 0
（2.25，3.75）
B2
B1
( B1 )
max Z 5 x1 8 x2 , x1 x2 6, 5 x1 9 x2 45, x2 3, x1 , x2 0.
( B2 )
max Z 5 x1 8 x2 , x1 x2 6, 5 x1 9 x2 45, x2 4, x1 , x2 0.
解（1）设（A）的松弛问题为（B0），不考虑整数约束，利用单纯形法求解（B0），其可行解域如图1所示，解得最优解为： x 1=2.25，x 2=3.75，且Z0=41.25．．
（2.25，3.75）
图1
图2

因x 1，x 2都是小数，可任选一个进行分枝．今选 x 2=3.75，对问题（B0）分别增加约束条件： x 2[3.75]=3 和 x 2[3.75]+1=4, 将（B0）分解成为两个子问题（B1）和（B2）．

整数规划问题的求解

❖ x8+x9+x10<=2;
❖ x11+x12>=1;
❖ x13+x14+x15+x16>=3;
❖ @bin(x1); ❖ @bin(x2); ❖ @bin(x3); ❖ @bin(x4); ❖ @bin(x5); ❖ @bin(x6); ❖ @bin(x7); ❖ @bin(x8); ❖ @bin(x9); ❖ @bin(x10); ❖ @bin(x11); ❖ @bin(x12); ❖ @bin(x13); ❖ @bin(x14); ❖ @bin(x15); ❖ @bin(x16);
❖ 事实上，整数规划问题与一般的规划问题相比，其可行解不再是连续的，而是离散的．由于离散问题比连续问题更难以处理，因而，整数规划要比一般的线性规划难解得多．目前常用的方法有分支定界法、割平面法等，但手工计算都非常繁琐．
❖ 目前，规模较大的整数规划问题通常通过计算机软件来处理，接下来本文介绍如何通过 Lingo软件来求解整数规划问题．
0
❖ Total nonzeros:
6
❖ Nonlinear nonzeros:
0
❖ Variable
Value
Reduced Cost
❖ X1
7.000000
-15.00000
❖ X2
0.000000
-12.00000
❖ Row
Slack or Surplus Dual Price
❖1
105.0000
❖ 例3.2.2 用Lingo软件求解例3.1.2． ❖ 解编写Lingo程序如下．
❖ max=30*x1+42*x2+20*x3+35*x4+40*x5+36*x6+48*x7+38* x8+