数学建模 -整数规划
数学建模简介及数学建模常用方法
数学建模简介及数学建模常用方法数学建模，简单来说，就是用数学的语言和方法来描述和解决实际问题的过程。
它就像是一座桥梁，将现实世界中的复杂问题与数学的抽象世界连接起来，让我们能够借助数学的强大工具找到解决问题的有效途径。
在我们的日常生活中，数学建模无处不在。
比如，当我们规划一次旅行，考虑路线、时间和费用的最优组合时；当企业要决定生产多少产品才能实现利润最大化时；当交通部门设计道路规划以减少拥堵时，这些背后都有着数学建模的身影。
那么，数学建模具体是怎么一回事呢？数学建模首先要对实际问题进行观察和分析，明确问题的关键所在，确定需要考虑的因素和变量。
然后，根据这些因素和变量，运用数学知识建立相应的数学模型。
这个模型可以是一个方程、一个函数、一个图表，或者是一组数学关系。
接下来，通过对模型进行求解和分析，得到理论上的结果。
最后，将这些结果与实际情况进行对比和验证，如果结果不符合实际，就需要对模型进行修正和改进，直到得到满意的结果。
数学建模的过程并不是一帆风顺的，往往需要不断地尝试和调整。
但正是这种挑战，让数学建模充满了魅力和乐趣。
接下来，让我们了解一下数学建模中常用的一些方法。
第一种常用方法是线性规划。
线性规划是研究在一组线性约束条件下，如何使一个线性目标函数达到最优的数学方法。
比如说，一个工厂要生产两种产品，每种产品需要不同的资源和时间，而工厂的资源和时间是有限的，那么如何安排生产才能使利润最大呢？这时候就可以用线性规划来解决。
第二种方法是微分方程模型。
微分方程可以用来描述一些随时间变化的过程，比如人口的增长、传染病的传播、物体的运动等。
通过建立微分方程，并求解方程，我们可以预测未来的发展趋势，从而为决策提供依据。
第三种是概率统计方法。
在很多情况下，我们面临的问题具有不确定性，比如市场需求的波动、天气的变化等。
概率统计方法可以帮助我们处理这些不确定性，通过收集和分析数据，估计概率分布，进行假设检验等，为决策提供风险评估和可靠性分析。
零基础学会数学建模
数学建模知识——之新手上路一、数学模型的定义现在数学模型还没有一个统一的准确的定义，因为站在不同的角度可以有不同的定义。
不过我们可以给出如下定义：“数学模型是关于部分现实世界和为一种特殊目的而作的一个抽象的、简化的结构。
”具体来说，数学模型就是为了某种目的，用字母、数学及其它数学符号建立起来的等式或不等式以及图表、图像、框图等描述客观事物的特征及其内在联系的数学结构表达式。
一般来说数学建模过程可用如下框图来表明：数学是在实际应用的需求中产生的，要解决实际问题就必需建立数学模型，从此意义上讲数学建模和数学一样有古老历史。
例如，欧几里德几何就是一个古老的数学模型，牛顿万有引力定律也是数学建模的一个光辉典范。
今天，数学以空前的广度和深度向其它科学技术领域渗透，过去很少应用数学的领域现在迅速走向定量化，数量化，需建立大量的数学模型。
特别是新技术、新工艺蓬勃兴起，计算机的普及和广泛应用，数学在许多高新技术上起着十分关键的作用。
因此数学建模被时代赋予更为重要的意义。
二、建立数学模型的方法和步骤1. 模型准备要了解问题的实际背景，明确建模目的，搜集必需的各种信息，尽量弄清对象的特征。
2. 模型假设根据对象的特征和建模目的，对问题进行必要的、合理的简化，用精确的语言作出假设，是建模至关重要的一步。
如果对问题的所有因素一概考虑，无疑是一种有勇气但方法欠佳的行为，所以高超的建模者能充分发挥想象力、洞察力和判断力，善于辨别主次，而且为了使处理方法简单，应尽量使问题线性化、均匀化。
3. 模型构成根据所作的假设分析对象的因果关系，利用对象的内在规律和适当的数学工具，构造各个量间的等式关系或其它数学结构。
这时，我们便会进入一个广阔的应用数学天地，这里在高数、概率老人的膝下，有许多可爱的孩子们，他们是图论、排队论、线性规划、对策论等许多许多，真是泱泱大国，别有洞天。
数学建模
数学建模报告我选做的是第一题——关于01背包问题，现将我的分析过程，计算方法以及运算结果报告如下。
1、 分析题题目涉及背包问题，提供3个容积分别是1000毫升、1500毫升、2000毫升的包，练出了7件必需带的物品体积分别为：400毫升、300毫升、150毫升、250毫升、450毫升、760毫升、190毫升；并且给出10件可带可不带物品的体积和价格。
经过分析知道题目要求合理的安排就是要在固定的3个包里装物品使在不超过背包的体积的前提下使所带的物品价值最高，（也就是在目的地所卖物品花费的钱最少）。
又因为发现在7件必需带的物品中400+150+760+190=1500，刚好把容积为1500毫升的包充满，300+250+450=1000毫升刚好把容积为1000毫升的包充满所以这两个包按照上面的安排已经充分利用，所以不再考虑往里面再装东西。
于是问题转换为：一个背包的额问题，其容积为2000毫升，要求在10件可带可不带的物品中做出合理的安排。
2、 目标函数的建立令1,0,i i x i ⎧=⎨⎩表示物品被装入包表示物品未被装入包则问题可写为：12345678910max z 1545100705075200902030x x x x x x x x x x =+++++++++123456789102003505004303201207004202501002000.t.1i x x x x x x x x x x s x +++++++++<=⎧⎨=⎩或0(i=1,2,310) 3、求解及结果解法一利用lingo 软件求解，在lingo 中输入如下程序：max 100x3+75x6+200x7+90x8+30x10st200x1+350x2+500x3+430x4+320x5+120x6+700x7+420x8+250x9+100x10<=2000endint x1int x2int x3int x4int x5int x6int x7int x8int x9int x10求解结果为：Global optimal solution found.Objective value: 495.0000Objective bound: 495.0000Infeasibilities: 0.000000Extended solver steps: 0Total solver iterations: 0Variable Value Reduced CostX3 1.000000 -100.0000X6 1.000000 -75.00000X7 1.000000 -200.0000X8 1.000000 -90.00000X10 1.000000 -30.00000X1 0.000000 0.000000X2 0.000000 0.000000X4 0.000000 0.000000X5 0.000000 0.000000X9 0.000000 0.000000Row Slack or Surplus Dual Price1 495.0000 1.0000002 160.0000 0.000000由计算结果知，物品3、6、7、8、10；被装入包中，所带物品的价值最高是495元，包剩余空间是160毫升，以上安排为最合理最经济的方案。
数学建模方法总结
1.席位分配问题(宿舍分配问题)：比例模型、Q值法、d’Hondt法。
席位分配模型中, 按比例分配法存在较大缺陷, D’Hondt 法不能解决不公平的大小问题, Q 值法不能解决“分配资格”问题。
2.人员分配：线性规划，人员分配，最大收益，LINGO软件
3.贫困生认定工作：模糊综合评价理论, 模糊评价；聚类分析；综合评价
数学建模算法：蒙特卡罗算法，数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法，线性规划、整数
规划、多元规划、二次规划等规划类算法，图论算法，动态规划、回溯搜索、分支定界
最优化理论三大经典算法：模拟退火算法、神经网络算法、遗传算。
数学建模的方法和步骤
数学建模的方法和步骤数学建模（Mathematical modeling）是指运用数学方法及理论来描述某一实际问题，并在此基础上构建数学模型，进而对问题进行分析和求解的过程。
数学建模是一个综合应用学科，它将数学、物理、化学、工程、统计学、计算机科学等学科有机结合起来，用数学语言对现实世界进行描述，可用于各种领域的问题求解，如经济、金融、环境、医学等多个领域。
下面我将从数学建模的方法和步骤两方面来探讨这一学科。
一、数学建模的方法数学建模方法是指解决某一具体问题时所采用的数学建模策略和概念。
数学建模方法可分为以下几类：1.现象模型法：这种方法总是从某一实际问题的具体现象入手，把事物之间的关系量化为一种数学模型。
2.实验模型法：这种方法通过一些特定的实验，首先收集实验数据，然后通过分析数据建立一种数学模型，模型中考虑实验误差的影响。
3.参数优化法：这种方法通常是指通过找到最优参数的一种方法建立一个数学模型。
4.时间序列模型法：这种方法主要是通过观察时间内某一变量的变化，构建该变量的时间序列特征，从而建立一个时间序列模型。
二、数学建模的步骤数学建模步骤是指解决一个实际问题时所采用的数学建模过程，根据一些经验和规律推导出一个可行的模型。
数学建模步骤通常分为以下几步：1.钟情问题的主要方面并进行分析：首先要分析问题的背景和主要的影响因素，以便制定一个可行的局部策略。
2.建立初步模型：通过向原问题中引入某些常数或替换一些符号为某一特定变量，以使模型更方便或更加精确地描述问题。
3.策略选择和评估：要选择一个最优的策略，需要在模型的基础上进行评估，包括确定哪个方案更优等。
4.内容不断完善：在初步模型的基础上，不断加深对问题的理解，以逐步提高模型描述问题的准确度和逼真度。
5.模型的验证和验证：要验证模型，需要将模型应用到一些简单问题中，如比较不同方案的结果，并比较模型结果与实际情况。
总之，数学建模是一种复杂的、长期的、有启发性的过程，它要求从一个模糊的、自由的问题开始，通过有计划、有方法的工作，构建出一个能够解决实际问题的数学模型。
第二讲：数学建模的基本方法和步骤
第二讲 数学建模的基本方法和步骤数学建模面临的实际问题是多种多样的，建模的目的不同、分析的方法不同、采用的数学工具不同，所得模型的类型也不同，我们不能指望归纳出若干条准则，适用于一切实际问题的数学建模方法。
下面所谓基本方法不是针对具体问题而是从方法论的意义上讲的。
（注：用最初等的方法解决，越受人尊重）一 数学建模的基本方法一般说来数学建模的方法大体上可分为机理分析和测试分析两种。
⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩机理分析： 是根据对客观事物特性的认识，找出反映内部机理的数 量规律，建立的数学模型常有明确的物理或现实意义。
建模方法测试分析： 将研究对象看作一个“黑箱”（意思是内部机理看不清 楚），通过对测量数据的统计分析，找出与数据拟合最 好的模型。
面对于一个实际问题用哪一种方法建模，主要取决于人们对研究对象的了解程度和建模目的。
如果掌握了一些内部机理的知识，模型也要求具有反映内部特征的物理意义，建模就应以机理分析为主。
而如果对象的内部机理规律基本上不清楚，模型也不需要反映内部特征，那么可以用测试分析。
对于许多实际问题也常常将两种方法结合起来，用机理分析建立模型结构，用测试分析确定模型的参数。
二 数学建模的一般步骤建模要经过哪些步骤并没有一定的模式，通常与问题性质和建模的目的等有关。
下面给出建模的一般步骤，如图1.2所示。
⑴ 模型准备：了解实际背景，明确建模目的，搜索必要信息，弄清对象的主要特征，形成一个比较清晰的“问题”（即问题的提出）。
情况明才能方法对，在这个阶段要深入调查研究，虚心向实际工作者请教，尽量掌握第一手资料。
⑵模型假设：根据对象的特征和建模目的，抓住问题的本质，忽略次要因素，作出必要的、合理的简化假设。
对于建模的成败这是非常重要和困难的一步。
假设不合理或太简单，会导致错误的或无用的模型；假设作得过分详细，试图把复杂对象的众多因素都考虑进去，会使你很难或无法继续下一步的工作。
常常需要在合理与简化之间作出恰当的折衷，要不段积累经验，并注意培养和充分发挥对事物的洞察力和判断力。
数学建模 四大模型总结
四类基本模型1 优化模型1.1 数学规划模型线性规划、整数线性规划、非线性规划、多目标规划、动态规划。
1.2 微分方程组模型阻滞增长模型、SARS 传播模型。
1.3 图论与网络优化问题最短路径问题、网络最大流问题、最小费用最大流问题、最小生成树问题(MST)、旅行商问题(TSP)、图的着色问题。
1.4 概率模型决策模型、随机存储模型、随机人口模型、报童问题、Markov 链模型。
1.5 组合优化经典问题● 多维背包问题(MKP)背包问题：n 个物品，对物品i ，体积为i w ，背包容量为W 。
如何将尽可能多的物品装入背包。
多维背包问题：n 个物品，对物品i ，价值为i p ，体积为i w ，背包容量为W 。
如何选取物品装入背包，是背包中物品的总价值最大。
多维背包问题在实际中的应用有：资源分配、货物装载和存储分配等问题。
该问题属于NP 难问题。
● 二维指派问题(QAP)工作指派问题：n 个工作可以由n 个工人分别完成。
工人i 完成工作j 的时间为ij d 。
如何安排使总工作时间最小。
二维指派问题（常以机器布局问题为例）：n 台机器要布置在n 个地方，机器i 与k 之间的物流量为ik f ，位置j 与l 之间的距离为jl d ，如何布置使费用最小。
二维指派问题在实际中的应用有：校园建筑物的布局、医院科室的安排、成组技术中加工中心的组成问题等。
● 旅行商问题(TSP)旅行商问题：有n 个城市，城市i 与j 之间的距离为ij d ，找一条经过n 个城市的巡回（每个城市经过且只经过一次，最后回到出发点），使得总路程最小。
● 车辆路径问题(VRP)车辆路径问题（也称车辆计划）：已知n 个客户的位置坐标和货物需求，在可供使用车辆数量及运载能力条件的约束下，每辆车都从起点出发，完成若干客户点的运送任务后再回到起点，要求以最少的车辆数、最小的车辆总行程完成货物的派送任务。
TSP 问题是VRP 问题的特例。
● 车间作业调度问题(JSP)车间调度问题：存在j 个工作和m 台机器，每个工作由一系列操作组成，操作的执行次序遵循严格的串行顺序，在特定的时间每个操作需要一台特定的机器完成，每台机器在同一时刻不能同时完成不同的工作，同一时刻同一工作的各个操作不能并发执行。
数学建模(数学分支)
建模背景
数学技术
建模应用
近半个多世纪以来，随着计算机技术的迅速发展，数学的应用不仅在工程技术、自然科学等领域发挥着越来 越重要的作用，而且以空前的广度和深度向经济、管理、金融、生物、医学、环境、地质、人口、交通等新的领 域渗透，所谓数学技术已经成为当代高新技术的重要组成部分。
数学模型（Mathematical Model）是一种模拟，是用数学符号、数学式子、程序、图形等对实际课题本质 属性的抽象而又简洁的刻画，它或能解释某些客观现象，或能预测未来的发展规律，或能为控制某一现象的发展 提供某种意义下的最优策略或较好策略。数学模型一般并非现实问题的直接翻版，它的建立常常既需要人们对现 实问题深入细微的观察和分析，又需要人们灵活巧妙地利用各种数学知识。这种应用知识从实际课题中抽象、提 炼出数学模型的过程就称为数学建模（Mathematical Modeling）。
应用数学去解决各类实际问题时，建立数学模型是十分关键的一步，同时也是十分困难的一步。建立数学模 型的过程，是把错综复杂的实际问题简化、抽象为合理的数学结构的过程。要通过调查、收集数据资料，观察和 研究实际对象的固有特征和内在规律，抓住问题的主要矛盾，建立起反映实际问题的数量关系，然后利用数学的 理论和方法去分析和解决问题。这就需要深厚扎实的数学基础、敏锐的洞察力和想象力、对实际问题的浓厚兴趣 和广博的知识面。数学建模是联系数学与实际问题的桥梁，是数学在各个领域广泛应用的媒介，是数学科学技术 转化的主要途径。数学建模在科学技术发展中的重要作用越来越受到数学界和工程界的普遍重视，它已成为现代 科技工作者必备的重要能力之一。
为了适应科学技术发展的需要和培养高质量、高层次科技人才，数学建模已经在大学教育中逐步开展，国内 外越来越多的大学正在进行数学建模课程的教学和参加开放性的数学建模竞赛，将数学建模教学和竞赛作为高等 院校的教学改革和培养高层次的科技人才的一个重要方面，许多院校正在将数学建模与教学改革相结合，努力探 索更有效的数学建模教学法和培养面向21世纪的人才的新思路，与我国高校的其它数学类课程相比，数学建模具 有难度大、涉及面广、形式灵活，对教师和学生要求高等特点，数学建模的教学本身是一个不断探索、不断创新、 不断完善和提高的过程。为了改变过去以教师为中心、以课堂讲授为主、以知识传授为主的传统教学模式，数学 建模课程指导思想是：以实验室为基础、以学生为中心、以问题为主线、以培养能力为目标来组织教学工作。
数学建模
在假设的基础上，利用适当的数学工具来刻划各变量常量之间的数学关系，建立相应的数学结构（尽量用简单的数学工具）。
模型求解
利用获取的数据资料，对模型的所有参数做出计算（或近似计算）。
模型分析
对所要建立模型的思路进行阐述，对所得的结果进行数学上的分析。
模型检验
将模型分析结果与实际情形进行比较，以此来验证模型的准确性、合理性和适用性。如果模型与实际较吻合，则要对计算结果给出其实际含义，并进行解释。如果模型与实际吻合较差，则应该修改假设，再次重复建模过程。
建模应用
数学是研究现实世界数量关系和空间形式的科学，在它产生和发展的历史长河中，一直是和各种各样的应用问题紧密相关的。数学的特点不仅在于概念的抽象性、逻辑的严密性、结论的明确性和体系的完整性，而且在于它应用的广泛性。自从20世纪以来，随着科学技术的迅速发展和计算机的日益普及，人们对各种问题的要求越来越精确，使得数学的应用越来越广泛和深入，特别是在21世纪这个知识经济时代，数学科学的地位会发生巨大的变化，它正在从国家经济和科技的后备走到了前沿。经济发展的全球化、计算机的迅猛发展、数学理论与方法的不断扩充，使得数学已经成为当代高科技的一个重要组成部分和思想库，数学已经成为一种能够普遍实施的技术。培养学生应用数学的意识和能力已经成为数学教学的一个重要方面。
第二条 竞赛内容
题目有较大的灵活性供参赛者发挥其创造能力。参赛者应根据题目要求，完成一篇包括模型的假设、建立和求解、计算方法的设计和计算机实现、结果的分析和检验、模型的改进等方面的论文（即答卷）。
第三条 竞赛形式、规则和纪律
1．全国统一竞赛题目，采取通讯竞赛方式，以相对集中的形式进行。
2．竞赛每年举办一次，一般在某个周末前后的三天内举行。
数学建模方法详解
数学建模方法详解数学建模是指利用数学方法来研究和分析实际问题，并通过构建数学模型来描述和解决这些问题的过程。
数学建模具有很高的理论性和广泛的应用性，可以应用于科学、工程、经济等众多领域。
下面详细介绍几种常用的数学建模方法。
一、优化建模方法优化建模方法是指在给定的约束条件下，寻求其中一种目标函数的最优解。
该方法常用于生产、运输、资源分配等问题的优化调度。
优化建模的一般步骤包括确定决策变量、建立目标函数和约束条件、制定求解算法以及分析和验证最优解。
二、动力系统建模方法动力系统建模方法是指将实际问题转化为一组微分方程或差分方程，研究系统在时间上的演化规律。
该方法可以用于描述和预测物理、生物、经济等多个领域的系统行为。
动力系统建模的关键在于建立正确的微分方程或差分方程，并选择合适的求解方法。
三、决策分析建模方法决策分析建模方法是指将决策问题转化为数学模型，并采用数学方法进行决策分析和评估。
该方法常用于风险管理、投资决策、供应链管理等领域。
决策分析建模的关键在于准确描述决策者的目标和偏好，并选择合适的决策规则进行决策分析。
四、统计建模方法统计建模方法是指利用统计学理论和方法来描述和分析实际问题。
该方法多用于数据分析、预测和模式识别等领域。
统计建模的过程包括收集数据、建立概率模型、估计模型参数以及进行模型检验和应用。
五、图论建模方法图论建模方法是指利用图论的理论和方法来描述和分析网络结构和关联关系。
该方法常用于社交网络分析、路径规划、电力网络优化等领域。
图论建模的关键在于构建网络模型，并选择适当的图算法进行分析和优化。
六、随机模型建模方法随机模型建模方法是指利用随机过程和概率论的理论和方法来描述和分析随机现象。
该方法常用于金融风险管理、信号处理、系统可靠性评估等领域。
随机模型建模的关键在于建立正确的随机过程模型，并进行概率分布和随机变量的分析。
七、模拟建模方法模拟建模方法是指利用计算机仿真技术来模拟和分析实际问题。
数学建模知识点总结
数学建模知识点总结一、数学建模的基本概念数学建模是指利用数学方法和技术对实际问题进行数学化描述和求解的过程。
数学建模的核心是将实际问题抽象化为数学模型，并通过数学方法对模型进行求解，从而得出对实际问题的合理解释和解决方案。
二、数学建模的基本步骤1. 问题的分析与建模：对实际问题进行深入分析，明确问题的目标和约束条件，然后将问题转化为数学模型的形式。
数学模型可以是代数方程、差分方程、微分方程、优化问题等。
2. 模型的求解：根据具体问题的特点，选择合适的数学方法和技术对模型进行求解。
常见的数学方法包括数值计算、概率统计、优化算法等。
3. 模型的验证与评估：对求解得到的数学模型进行验证，检验模型的有效性和可行性。
可以通过实际数据的拟合度、模型的稳定性等方面来评估模型的质量。
4. 结果的解释与应用：将数学模型的求解结果进行解释和分析，得出对实际问题的合理解释和解决方案。
根据实际需求，可以对模型进行调整和优化，进一步提高模型的准确性和实用性。
三、常见的数学建模方法和技术1. 线性规划：线性规划是一种优化方法，用于解决目标函数线性、约束条件线性的优化问题。
通过线性规划可以求解最大化或最小化目标函数的最优解，广泛应用于生产调度、资源分配等领域。
2. 非线性规划：非线性规划是一种优化方法，用于解决目标函数非线性、约束条件非线性的优化问题。
非线性规划相比线性规划更加复杂，但可以处理更为实际的问题，如经济增长模型、能源消耗模型等。
3. 微分方程模型：微分方程模型是一种描述系统演化过程的数学模型，广泛应用于物理、生物、经济等领域。
通过求解微分方程模型，可以揭示系统的动力学行为和稳定性特征。
4. 差分方程模型：差分方程模型是一种递推关系式，描述系统在离散时间点上的变化规律。
差分方程模型常用于描述离散事件系统、人口增长模型等。
5. 概率统计模型：概率统计模型是一种利用概率统计方法对随机事件进行建模和分析的方法。
通过概率统计模型，可以对实际问题的不确定性进行量化和分析，如风险评估、市场预测等。
数学建模教学大纲
数学建模教学大纲【课程编码】 JSZB0240【适用专业】 信息与计算科学【课 时】 78【学 分】 4【课程性质、目标和要求】数学建模是信息与计算科学专业的一专业课。
它是研究如何将数学方法和计算机知识结合起来用于解决实际问题的一门边缘交叉学科，是集经典数学、现代数学和实际问题为一体的一门新型课程，是应用数学解决实际问题的重要手段和途径。
本课程主要介绍数学建模的概述、初等模型、简单优化模型、微分方程模型、差分方程模型、概率统计模型、图论模型、线性规划模型等模型的基本建模方法及求解方法.数学建模是继本科生高等数学、工程数学之后为了进一步提高运用数学知识解决实际问题的基本技能，培育和训练综合能力所开设的一门新学科。
通过具体实例的引入使学生掌握数学建模基本思想、基本方法、基本类型，学会进行科学研究的一般过程，并能进入一个实际操作的状态。
通过数学模型有关概念、特征的学习和数学模型应用实例的介绍，培养学生数学推导计算和简化分析能力，熟练运用计算机能力；培养学生联想、洞察能力,综合分析能力；培养学生应用数学方法解决实际问题的能力。
【教学时间安排】本课程计4学分，78学时（理论学时54,实验学时24） 学时分配如下：序号课程内容课时备注（教学形式）1建立数学模型4课堂讲授 作业 辅导2初等模型4课堂讲授 作业 辅导3简单的优化模型4课堂讲授 作业 辅导4数学规划模型8课堂讲授 作业 辅导5微分方程模型6课堂讲授 作业 辅导6差分方程模型4课堂讲授 作业辅导7离散模型6课堂讲授 作业 辅导8概率统计模型8课堂讲授 作业 辅导9动态优化模型6课堂讲授 作业 辅导10大作业讲评：露天矿生产的车辆安排4课堂讲授 课堂讨论11实验1：LINDO软件的使用方法4上机练习 12实验2：LINGO软件的使用方法4上机练习13实验3：用LINDO/LINGO软件包求解部分优化建模赛题4上机练习14实验4：用Matlab进行统计回归分析4上机练习15实验5：用Matlab作散点插值4上机练习16实验6：用Matlab作数据拟合4上机练习合 计78【教学内容要点】第一章 建立数学模型一、学习目的要求 使学生正确了解数学描述和数学建模不同于常规数学理论的思维特征，了解数学模型的意义及分类，掌握建立数学模型的一般方法及步骤。
数学建模常用方法介绍
数学建模常用方法介绍数学建模是指利用数学方法对实际问题进行数学描述和分析的过程。
它是数学与实际问题相结合的一种科学研究方法。
在数学建模中，常用的方法有线性规划、非线性规划、动态规划、数值模拟、统计分析等。
下面将介绍这些常用的数学建模方法。
1.线性规划线性规划是一种优化问题的数学描述方法，可以用于求解最优化问题，例如最大化利润或最小化成本。
线性规划的基本思想是在一定的约束条件下，通过线性目标函数和线性约束条件，寻找最优解。
线性规划常用的算法有单纯形法、内点法等。
2.非线性规划非线性规划是一种在约束条件下求解非线性最优化问题的方法。
与线性规划不同，非线性规划中目标函数和/或约束条件是非线性的。
非线性规划的求解方法包括梯度下降法、牛顿法等。
3.动态规划动态规划是一种常用的求解最优化问题的方法，它可以用于求解具有重叠子问题结构的问题。
动态规划将原问题分解为一系列子问题，并通过保存子问题的解来避免重复计算，从而降低计算复杂度。
动态规划常用于求解最短路径问题、背包问题等。
4.数值模拟数值模拟是通过数值方法对实际问题进行计算机模拟和仿真的方法。
数值模拟在现代科学和工程中得到广泛应用。
数值模拟方法包括有限差分法、有限元法、蒙特卡洛方法等。
5.统计分析统计分析是通过数理统计方法对数据进行分析和推断的方法。
统计分析可以帮助我们了解数据的分布、关系和趋势，并做出科学的推断和预测。
统计分析方法包括假设检验、方差分析、回归分析等。
除了以上常用方法，还有一些其他常用的数学建模方法，例如图论、随机过程、优化算法等。
不同的问题需要选用不同的数学建模方法。
为了解决实际问题，数学建模需要结合实际背景和需求，在数学建模的过程中运用合适的数学方法，建立准确的模型，并通过数学分析和计算机辅助求解，得到符合实际情况的解答和结论。
数学建模的过程不仅仅是将数学工具应用于实际问题，更要注重问题的形式化、合理性和可行性。
在实际建模过程中，需要对问题进行适当的简化和假设，并考虑到模型的稳定性和可靠性。
数学建模的方法和步骤
数学建模的基本方法
机理分析没有统一的方法，主要通过实例研究 机理分析没有统一的方法，主要通过实例研究 (Case Studies)来学习。以下建模主要指机理分析. 来学习。 模的一般步骤
模型准备 模型检验 模型应用 模 型 准 备 了解实际背景 搜集有关信息 明确建模目的 掌握对象特征 形成一个 比较清晰 问题” 的“问题” 模型假设 模型分析 模型构成 模型求解
描述、优化、预报、决策、 描述、优化、预报、决策、… 白箱 灰箱 黑箱
数学建模的一般步骤
模 型 假 设 针对问题特点和建模目的 作出合理的 简化的假设 作出合理的、简化的假设 合理 在合理与简化之间作出折中 用数学的语言、 用数学的语言、符号描述问题 发挥想像力 发挥想像力 使用类比法 使用类比法
模 型 构 成
尽量采用简单的数学工具
数学建模的一般步骤
模型 求解 模型 分析 模型 检验 各种数学方法、软件和计算机技术 各种数学方法、软件和计算机技术. 如结果的误差分析、统计分析、 如结果的误差分析、统计分析、 模型对数据的稳定性分析. 模型对数据的稳定性分析 与实际现象、数据比较， 与实际现象、数据比较， 检验模型的合理性、适用性. 检验模型的合理性、适用性
模型应用
数学建模的全过程
现 实 世 界 现实对象的信息 验证 现实对象的解答 解释 表述
(归纳)
数学模型 求解 (演绎) 数学模型的解答
数 学 世 界
表述 根据建模目的和信息将实际问题“翻译”成数学问 根据建模目的和信息将实际问题“翻译” 选择适当的数学方法求得数学模型的解答. 求解 题. 选择适当的数学方法求得数学模型的解答 解释 将数学语言表述的解答“翻译”回实际对 将数学语言表述的解答“翻译” 象. 用现实对象的信息检验得到的解答. 验证 用现实对象的信息检验得到的解答
数学建模课程大纲
数学建模课程大纲一、课程简介数学建模是一门应用数学课程，旨在培养学生运用数学工具和方法解决实际问题的能力。
本课程将通过理论讲授、案例分析和实践操作等方式，帮助学生全面理解数学建模的基本原理和基本方法，培养学生的问题分析、问题建模和问题求解等能力。
二、课程目标1.了解数学建模的基本概念和原则；2.掌握数学建模的常用方法和工具；3.培养学生的实际问题解决能力；4.发展学生的团队合作和沟通能力。
三、课程内容1.数学建模的概述1.1 数学建模的定义和分类1.2 数学建模的基本步骤1.3 数学建模的实际应用领域2.问题分析与问题建模2.1 问题分析和问题定义2.2 数据收集和处理2.3 模型假设和模型建立2.4 模型参数的选择和调整3.模型求解与结果分析3.1 模型求解的方法和技巧3.2 模型求解的稳定性和精度分析3.3 结果解释和对比分析4.数学建模软件的应用4.1 常用数学建模软件介绍4.2 数学建模软件的基本操作和应用案例四、教学方法与评价1.教学方法本课程将采用讲授、案例分析和实践操作相结合的教学方法。
通过课堂讲解学生基本理论知识，通过案例分析让学生熟悉解决实际问题的思路和方法，通过实践操作让学生尝试应用数学建模软件解决实际问题。
2.课程评价本课程将通过平时表现、作业和实践项目等多种评价方式来评价学生的学习情况。
具体评价方式将在开课前和学生明确。
五、参考教材与参考资料1.参考教材-《数学建模导论》王磊著北京大学出版社-《数学建模方法与应用》李明著清华大学出版社2.参考资料-《数学建模基础与方法》秦立和著上海交通大学出版社-《数学建模综合实例与方法》张志国著高等教育出版社六、作业与实践项目1.作业安排学生将根据课程内容安排完成一定数量的作业，包括理论推导题、模型建立题、实践操作题等。
作业将用于检查学生对课程知识的掌握情况。
2.实践项目学生将参与一个或多个与数学建模相关的实践项目，通过团队合作解决实际问题，并撰写实践报告。
数学建模方法
法
建
模
原理关键词： 随机 分布 模拟
建模方法：
方法1 利用理论分布,基于对问题的实际、合理的假设,选择 适当的理论分布模拟随机变量,
方法2 基于实际数据的频率作近似模拟,
随机性存储模型是研究不确定性因素下随机库存模 型中的多时期存储控制系统,着重分析连续存盘的存储控 制系统在不同情况下确定的安全库存量的最优采购策略, 可分为需求为离散型随机变量的存储模型和需求为连续 型随机变量的存储模型,
模糊综合评判方法： 1. 模糊综合评判提点法击添加文本 2. 确定因素集、评判集、模糊评判矩阵
点击添加文本
线性规划是数学规划的一个重要组成部分,它
起源于工业生产组织管理的决策问题,在数学上它
用来确定多变量线性函数在变量满足线性约束条
线
件下的最优值,
性
规
划
模
型
原理关键词： 多变量 线性函数 最优值
一般线性规划的数学模型：
式说明层次的递阶结构与因素的从属关系, 2. 构造判断矩阵 3. 当相互比较因素的重要性能够用具有实际意义的比
值说明时,判断矩阵相应的值则可以取这个比值, 3. 层次单排序及其一致性检验 4. 通过判断矩阵的特征根得到特征向量,经过一系列归
化后即为同一层次相关因素对于上一层次某因素相对重 要性的排序权值,然后进行一致性检验, 4. 层次总排序 5. 计算同一层次所有因素对于最高层相对重要性的排 序, 5. 层次总排序的一致性检验 6. 这一步骤也是从高到低逐层进行的,
设P x 为顾客对煤炭需求量xkg的概率,显然
0 P(x)dx1
供应部门收益的期望值：
Q
g ( Q ) E [ y ( x ) ] 0 ( 1 x 4 9 Q ) P ( x ) d Q x ( 1 Q 5 1 x ) P 0 ( x ) dx
数学建模的方法和步骤
数学建模的方法和步骤数学建模是将实际问题抽象为数学模型，并通过数学方法进行分析和求解的过程。
数学建模方法和步骤如下：一、问题理解与分析：1.了解问题的背景和目标，明确问题的具体需求；2.收集相关的数据和信息，理解问题的约束条件；3.划定问题的范围和假设，确定问题的数学建模方向。
二、问题描述与假设：1.定义问题的数学符号和变量，描述问题的数学模型；2.提出问题的假设，假定问题中的未知参数或条件。
三、建立数学模型：1.根据问题的特点选择合适的数学方法，包括代数、几何、概率统计等；2.基于问题的约束条件和假设，通过推理和分析建立数学方程组或函数模型；3.利用数学工具求解数学模型。
四、模型验证与分析：1.对建立的数学模型进行验证，检验解的合理性和有效性；2.分析模型的稳定性、灵敏度和可行性。
五、模型求解与结果解读：1.利用数学软件、计算机程序或手工计算的方法求解数学模型；2.对模型的解进行解释、分析和解读，给出问题的答案和解决方案。
六、模型评价与优化：1.对建立的数学模型和求解结果进行评价，判断模型的优劣；2.如果模型存在不足，可以进行优化和改进，重新调整模型的参数和假设。
七、实施方案和应用：1.根据模型的求解结果，制定实施方案和行动计划；2.将模型的解决方案应用到实际问题中，监测实施效果并进行调整。
八、报告撰写与展示：1.将建立的数学模型、求解方法和结果进行报告撰写；2.使用图表、表格等方式进行结果展示，并进行清晰的解释和讲解。
九、模型迭代和改进：1.随着问题的发展和实际情况的变化，及时调整和改进建立的数学模型；2.针对模型的不足，进行迭代和改进，提高模型的准确性和实用性。
总结：数学建模方法和步骤的关键是理解问题、建立数学模型、求解和分析结果。
在建模的过程中，需要根据实际问题进行合理的假设，并灵活运用数学知识和工具进行求解。
同时，对模型的验证、评价和优化也是不可忽视的环节，能够提高模型的可靠性和可行性。
数学建模基础(入门必备)
一、数学模型的定义现在数学模型还没有一个统一的准确的定义，因为站在不同的角度可以有不同的定义。
不过我们可以给出如下定义：“数学模型是关于部分现实世界和为一种特殊目的而作的一个抽象的、简化的结构。
”具体来说，数学模型就是为了某种目的，用字母、数学及其它数学符号建立起来的等式或不等式以及图表、图象、框图等描述客观事物的特征及其内在联系的数学结构表达式。
一般来说数学建模过程可用如下框图来表明：数学是在实际应用的需求中产生的，要解决实际问题就必需建立数学模型，从此意义上讲数学建模和数学一样有古老历史。
例如，欧几里德几何就是一个古老的数学模型，牛顿万有引力定律也是数学建模的一个光辉典范。
今天，数学以空前的广度和深度向其它科学技术领域渗透，过去很少应用数学的领域现在迅速走向定量化，数量化，需建立大量的数学模型。
特别是新技术、新工艺蓬勃兴起，计算机的普及和广泛应用，数学在许多高新技术上起着十分关键的作用。
因此数学建模被时代赋予更为重要的意义。
二、建立数学模型的方法和步骤1. 模型准备要了解问题的实际背景，明确建模目的，搜集必需的各种信息，尽量弄清对象的特征。
2. 模型假设根据对象的特征和建模目的，对问题进行必要的、合理的简化，用精确的语言作出假设，是建模至关重要的一步。
如果对问题的所有因素一概考虑，无疑是一种有勇气但方法欠佳的行为，所以高超的建模者能充分发挥想象力、洞察力和判断力，善于辨别主次，而且为了使处理方法简单，应尽量使问题线性化、均匀化。
3. 模型构成根据所作的假设分析对象的因果关系，利用对象的内在规律和适当的数学工具，构造各个量间的等式关系或其它数学结构。
这时，我们便会进入一个广阔的应用数学天地，这里在高数、概率老人的膝下，有许多可爱的孩子们，他们是图论、排队论、线性规划、对策论等许多许多，真是泱泱大国，别有洞天。
不过我们应当牢记，建立数学模型是为了让更多的人明了并能加以应用，因此工具愈简单愈有价值。
数学建模步骤和方法
数学建模步骤和方法**《数学建模步骤和方法：带你玩转数学世界》**嘿，朋友！今天咱来唠唠数学建模这档子事儿。
你可别一听数学建模就头疼，觉得这是啥超级高大上、难搞的东西。
其实啊，就跟咱平时搭积木、玩拼图差不多，只要掌握了步骤和方法，那都不是事儿！第一步，咱得搞清楚问题是啥。
这就好比你接到一个神秘任务，得先知道要干啥对吧？比如说，题目是计算一个城市的最佳公交路线规划。
那咱就得想想，这到底要考虑哪些因素呢？是人们出行的高峰时间、各个区域的人流量，还是公交的运营成本啥的。
我跟你讲，我之前有一次，没仔细看清楚问题，就一股脑地开始算，结果算到一半才发现，哎呀，完全搞错方向啦，那叫一个悲催！弄明白了问题，接下来就是第二步，收集数据啦。
这就像准备做饭得先买菜一样。
数据从哪儿来呢？可以去网上搜搜，也可以去实地考察考察。
比如说刚才那个公交路线的问题，咱可以去公交公司问问数据，或者在路边蹲点数数人流量。
有一次我为了收集数据，大热天的在路边站了好几个小时，差点没被晒成肉干！第三步，那就是选择合适的模型啦。
这就好比你要去参加派对，得选一套合适的衣服。
不同的问题适合不同的模型，比如线性规划、动态规划等等。
可别选错了，不然就像穿着睡衣去参加婚礼，那可就尴尬啦。
第四步，建立模型。
这可是关键的一步，得把收集到的数据和选好的模型结合起来。
想象一下，这就像是搭积木，把一块块的数据当成积木块，按照模型的规则搭建起来。
有时候可能会遇到一些小麻烦，比如说数据对不上，或者模型太复杂算不出来。
别着急，慢慢调整，就像搭积木歪了，咱重新摆摆就行。
第五步，求解模型。
这就像是要解开一个谜题，得用各种数学方法和工具来算出结果。
要是遇到解不出来的，别慌，先看看是不是哪里出错了，或者换个方法试试。
我曾经有一次，算了半天都没结果，后来才发现是一个公式用错了，真是哭笑不得。
第六步，对结果进行分析和检验。
这就好比你做好了一道菜，得尝尝味道咋样。
看看结果合不合理，符不符合实际情况。
数学建模简介及数学建模常用方法
数学模型是对于现实世界的一个特定对象，一个特定目的，根据特有的内在规律，做出一些必要的假设，运用适当的数学工具，得到一个数学结构。
简单地说：就是系统的某种特征的本质的数学表达式（或是用数学术语对部分现实世界的描述），即用数学式子（如函数、图形、代数方程、微分方程、积分方程、差分方程等）来描述（表述、模拟）所研究的客观对象或系统在某一方面的存在规律。
随着社会的发展，生物、医学、社会、经济……各学科、各行业都涌现现出大量的实际课题，亟待人们去研究、去解决。
但是，社会对数学的需求并不只是需要数学家和专门从事数学研究的人才，而更大量的是需要在各部门中从事实际工作的人善于运用数学知识及数学的思维方法来解决他们每天面临的大量的实际问题，取得经济效益和社会效益。
他们不是为了应用数学知识而寻找实际问题（就像在学校里做数学应用题），而是为了解决实际问题而需要用到数学。
而且不止是要用到数学，很可能还要用到别的学科、领域的知识，要用到工作经验和常识。
特别是在现代社会，要真正解决一个实际问题几乎都离不开计算机。
可以这样说，在实际工作中遇到的问题，完全纯粹的只用现成的数学知识就能解决的问题几乎是没有的。
你所能遇到的都是数学和其他东西混杂在一起的问题，不是“干净的”数学，而是“脏”的数学。
其中的数学奥妙不是明摆在那里等着你去解决，而是暗藏在深处等着你去发现。
也就是说，你要对复杂的实际问题进行分析，发现其中的可以用数学语言来描述的关系或规律，把这个实际问题化成一个数学问题，这就称为数学模型。
数学模型具有下列特征：数学模型的一个重要特征是高度的抽象性。
通过数学模型能够将形象思维转化为抽象思维，从而可以突破实际系统的约束，运用已有的数学研究成果对研究对象进行深入的研究。
数学模型的另一个特征是经济性。
用数学模型研究不需要过多的专用设备和工具，可以节省大量的设备运行和维护费用，用数学模型可以大大加快研究工作的进度，缩短研究周期，特别是在电子计算机得到广泛应用的今天，这个优越性就更为突出。
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松弛问题 L0： max z 30x1 20x 2 2 x1 3 x 2 14.5 s.t 4 x1 x 2 16.5 x1 0, x 2 0
z 2 130 剪枝 ( IP)的最优解：x 3，x 2 1 2
最优值：Z * 130
s. t.
4x1 2x 2 18
x1,x 2 0 x1,x 2为整数
整数 规划 (IP)
实例一 整数规划问题
2.模型求解 设整数规划问题为A，与它相应的线 format short c=[-3;-2]; 性规划为问题B，先来求解问题B。 a=[2,3;4,2]; 先不考虑解的整数限制，问题B的 b=[14;18]; 最优解：x1=3.25，x2=2.5， 最优值： lb=[0;0]; [x,Fval] =linprog(c,a,b,[],[],lb) z=14.75。 解法一： 1）舍去小数：取x1=3，x2=2，算出目标函数值z=13。 2 ）试探：如取 x1=4 ， x2=1 时， z=14 ，如取 x1=3 ， x2=3 时， 不满足约束条件，通过比较得到模型的最优整数解。
结论 1 ：（IP）的最优解一定在某个子问题中 2 ：子问题的可行域 父问题的可行域 子问题的最优解 ≤ 父问题的最优值 3 ：子问题中的整数解都是（IP）的可行解
m ax z 30x1 20x 2 L0 : x1 2 3.5，x x 2 .5 , z 0.5 155 14 x1 32 2 4 x1 x 2 16.5 s.t x 0, x 0 1 17 2 3， x1 , L2 : x 4，x 1 x x 2为整数 L1 : x1 2 , 6 1 2 2 440
数学建模
19:01
第三部分 整数规划
应用实例分析 整数规划问题的几种求解方法
分枝界定法 隐枚举法 匈牙利法 蒙特卡洛法
实验准备
19:01
实例一 整数规划问题
例1 整数规划问题
某厂拟购进甲、乙两类机床生产新产品。已知甲、乙机床进 价分别为2万元和3万元；安装占地面积分别为4m2和2m2； 投后的收益分别为300元/日和200元/日。厂方目前仅有资金 14万元，安装面积18m2。
4x1+x2=16.5
3 L3：xx21 2 z 3 130 关闭
11 L4 x1 4 ，x2 3 285 z3 z4 2
· · · · · ·
·
2x1+3x2=14.5
L5 x1 2，x2 7
剪枝 z 130 5
2
L6 剪枝
无可行解
· · · · · · · · · 1 2 3 4 5 6 7
整数规划
整数规划（Integer Programming）
数学规划中的变量（部分或全部）限制为整数时，称 为整数规划。若在线性规划模型中，变量限制为整数， 则称为整数线性规划。
整数规划分类：
（1）变量全限制为整数时，称纯（完全）整数规划。
（2） 变量部分限制为整数的，称混合整数规划。
19:01
x 2 2 .5
子问题
( L1 ) max z 30x1 20x 2 ( L ) max z 30x 20x 2 1 2 2 x1 3 x 2 14.5 2 x1 3x2 14.5 4 x1 x 2 16.5 4 x1 x2 16.5 s.t s.t x1 3 x1 4 x1 0, x 2 0 x1 0, x2 0
cx
i 1
7
s. t.
bx
i 1
7
在东区，由A1，A2，A3 三个点中至多选两个； 在西区，由A4，A5两个 点中至少选一个； 在南区，由A6，A7两个 点中至少选一个。
i i
B
x1 x2 x3 2
x4 x5 1 x6 x7 1
xi 0或1
0-1 型整数规划
19:01
分枝定界法
分枝定界法
（1）分枝：通常，把全部可行解空间反复地分割为越 来越小的子集，称为分枝； （2）定界：并且对每个子集内的解集计算一个目标下 界（对于最小值问题），这称为定界。 （3）剪枝：在每次分枝后，凡是界限超出已知可行解 集目标值的那些子集不再进一步分枝，这样，许多子 集可不予考虑，这称剪枝。 求解生产进度问题、旅行推销员问题、工厂选址问题、 背包问题及分配问题。
1 当决策取方案 P时 x 当决策不取方案 P(即取P) 时 0
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0-1 型整数规划
例4—互相排斥的计划
某厂拟用集装箱托运甲乙两种货物，每箱的体积、重 量、可获利润以及托运所受限制如表格所示。问两种货物 各托运多少箱，可使获得利润为最大?
货物
体 积 每箱（米3） 重 量 每箱（百公斤） 利 润 每箱（百元）
实例一 整数规划问题
2.模型求解 图解法（单纯形法）求得的最优解分别为： B1最优解： x1=3，x2=8/3，z1=43/3 B2最优解： x1=4，x2=1，z2=14
实例一 整数规划问题
2.模型求解 4）对问题B1在进行分枝，得问题B11和B12
Max z 3x1 2x 2
s. t.
问题B1和B2。
19:01
分枝定界法
19:01
分枝定界法
例2
对 max z 30x1 20x 2 2 x1 3 x 2 14.5 4 x1 x 2 16.5 s.t x1 0, x 2 0 x1 , x 2为整数
L1 · · · · · ·
松弛问 题的可 行域
甲型 进价（万元） 利润（百元） 2 3 占地面积（m2）4 乙型 3 2 2 现有量 15 18
•为使收益最大，厂方应购进甲、乙机床各多少台？
实例一 整数规划问题
1.模型建立
设设应购进甲、乙机床台数分别为x1和x2，工厂的 收益为z。
Max
z 3x1 2x 2
2x1 3x 2 14
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分枝定界法
分枝定界法步骤
（1）求解整数规划问题A对应的线性规划问题B（松弛 问题）；
（2）分枝，在松弛问题B的最优解中任选一个不符合
整数条件的变量xj，其值为bj，以[bj]表示小于bj的最大 整数，构造两个约束条件 x j bj 和x j bj 1 将这两个约束条件，分别加入问题B，求两个后继规划
0-1 型整数规划
决策变量只能取0或1的整数规划，叫做0-1整数规划。 决策变量称为0-1变量(二进制变量、逻辑变量)。 0-1变量作为逻辑变量，常被用来表示系统是否处于某 个特定状态，或者决策时是否取某个特定方案。 在实际问题中引入0-1变量，可以把各种情况需要分别 讨论的数学规划问题统一在一个问题中讨论了。
0-1 型整数规划
模型分析
条件
5x 1 4x 2 24 yM 7x 1 3x 2 45 (1 y )M
y 0
5 x1 4 x 2 24 7 x1 3x 2
松弛问题 ( L0 )： max z 30x1 20x 2 2 x1 3 x 2 14.5 s.t 4 x1 x 2 16.5 x1 0, x 2 0
·
松弛问题的最优解： x1 3.5, x 2 2.5
L2 · · · · · · · · · 1 2 3 4 5 6 7
Max z 3x1 2x 2
s. t.
2x1 3x 2 14 4x1 2x 2 18 x1,x 2 0
Max z 3x1 2x 2
s. t.
x1 3 (分枝约束）
2x1 3x 2 14 4x1 2x 2 18 x1,x 2 0 x1 4(分枝约束）
问题B11数学模型：
Max z 3x1 2x 2
s. t.
问题B12数学模型：
2x1 3x 2 14 4x1 2x 2 18 x1,x 2 0
2x1 3x 2 14 4x1 2x 2 18 x1,x 2 0
x1 3
x2 2 (分枝约束）
x1 3
x2 3 (分枝约束）
实例一 整数规划问题
2.模型求解 求解问题B11和B12 得到：
B11最优解： x1=3，x2=2，z11=13 B12最优解： x1=2.5，x2=3，z12=13.5
5）此时由于所有子问题的目标值均小于或等于z2，故问题A 的目标函数最优值z* =z2=14，最优解为x1=4，x2=1。
实例一 整数规划问题
2.模型求解 解法二： 设整数规划问题为A，与它相应的线性规划为问题B 1）不考虑解的整数限制，问题B的最优解：x1=3.25，
x2=2.5， 最优值：z=14.75
实例一 整数规划问题
2.模型求解
因为2与3之间无整数，故这两个子集的整数解必与原 可行集合整数解一致，这一步骤称为分枝。对问题A分枝 构成两个子问题称为B1和B2。 问题B1数学模型： 问题B2数学模型：
19:01
整数规划
整数规划求解方法分类
（1）分枝定界法—可求纯或混合整数线性规划。 （2）割平面法—可求纯或混合整数线性规划。
（3）隐枚举法—求解“0-1”整数规划：
①过滤隐枚举法； ②分枝隐枚举法。
（4）匈牙利法—解决指派问题（特殊“0-1”规划）。
（5）蒙特卡洛法—求解各种类型规划。