2019年1月浙江省高中数学学考试题及解答

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最后最您生活愉快 ~O(∩_∩)O ~2019年1月浙江省学考数学试卷及答案满分100分，考试卷时间80分钟一、选择题（本大题共18小题，每小题3分，共54分。

每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分。

） 1.已知集合{1,3,5}A =，{3,5,7}B =，则A B =（ ）A.{1,3,5}B.{1,7}C.{3,5}D.{5} 解析：答案为C ，由题意可得{3,5}AB =.2.函数5()log (1)f x x =-的定义域是（ ）A.(,1)(1,)-∞+∞B.[0,1)C.[1,)+∞D.(1,)+∞解析：答案为D ，若使函数有意义，则10x ->，解得1x >，故函数的定义域为(1,)+∞.3.圆22(2)9x y +-=的半径是（ ）A.3B.2C.9D.6 ，解析：答案为A ， ∵29r =，故3r =. 4.一元二次不等式270x x -<的解集是（ ）A.{|07}x x <<B.{|0x x <或7}x >C.{|70}x x -<<D.{|7x x <-或0}x >，解析：答案为A ，解不等式可得{|07}x x <<.5.双曲线22194x y -=的渐近线方程是（ ） A.32y x =±B.23y x =±C.94y x =±D.49y x =± 解析：答案为B ，∵双曲线方程为22194x y -=，3a =，2b =，焦点在x 轴上，∴渐近线方程为b y x a =±，即23y x =±. 6.已知空间向量(1,0,3)a =-，(3,2,)b x =-，若a b ⊥，则实数x 的值是（ ） A.1- B.0 C.1 D.2 解析：答案为C ，∵a b ⊥，∴130(2)30x -⨯+⨯-+⨯=，解得1x =.7.cos15cos75︒⋅︒=（ ）A.32 B.12 C.34 D.14解析：答案为D ，11cos15cos75sin 75cos75sin15024︒⋅︒=︒︒=︒=.8.若实数x ，y 满足不等式组1003x y x y +≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩，则2x y -的最大值是（ ）A.9-B.1-C.3D.7 解析：答案为C ，画出可行域如图所示，约束条件对应的平面区域是以点(1,0)-，(3,0)和(1,4)-所组成的三角形区域（含边界），易知当2z x y =-过(3,0)点时取得最大值，最大值为3.9.若直线l 不平行于平面α，且l α⊄，则下列结论成立的是（ ） A.α内的所有直线与l 异面 B.α内不存在与l 平行的直线 C.α内存在唯一的直线与l 平行 D.α内的直线与l 都相交解析：答案为B ，由已知得，l 与α相交，设l O α=，则α内过点O 的直线与l 相交，故A 不正确；不过O 的直线与l 异面，故D 不正确；α内不存在与l 平行的直线，所以B 正确，C 不正确.10.函数2()22x xx f x -=+的图象大致是（ ）A. B. C.D.解析：答案为A ，∵2()()()22xxx f x f x ---==+，∴函数()f x 为偶函数，故排除B ，D.又∵无论x 取何值，()f x 始终大于等于0，∴排除C ，故选A.11.若两条直线1:260l x y +-=与2:70l x ay +-=平行，则1l 与2l 间的距离是（ ） A.5 B.25 C.52 D.55解析：答案为D ，∵12//l l ，∴1120a ⨯-⨯=，解得2a =，∴2:270l x y +-=， ∴1l ，2l 22512=+ 12.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是（ ）A.πB.2πC.3πD.4π 解析：答案为B ，由三视图可知，该几何体为球的四分之一.其表面积为：22124224r S r πππ=⨯+⨯=. 13.已知a ，b 是实数，则“||a b >”是“22a b >”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析：答案为A ，充分性：∵||a b >，∴a b >，又2x y =是单调递增函数，∴22a b >，故充分性成立；必要性：∵22a b >，2x y =是单调增函数，∴a b >，取2a =，3b =-，满足a b >，但||a b <，故必要性不成立；∴“||a b >”是“22a b >”的充分不必要条件.14.已知数列{}n a ，是正项等比数列，且37236a a +=5a 的值不可能是（ ） A.2 B.4 C.85 D.83解析：答案为C ，由题意可知，373753723232626620)n a a a a a a a a +=⋅==>， 即52a ≥，∴5a 不可能是85.15.如图，四棱锥1111ABCD A B C D -中，平面11A B CD ⊥平面ABCD ，且四边形ABCD 和四边形11A B CD 都是正方形，则直线1BD 与平面11A B CD 所成角的正切值是（ ） A.22 B.3223解析: 答案为C ，连接1A C ，交1BD 于点O ，由对称性可知，112OC AC =， ∵ABCD 是正方形，∴BC CD ⊥. 又∵平面11A B CD ⊥平面ABCD ，平面11A B CD平面ABCD CD =，∴BC ⊥平面11A B CD ，∴BOC ∠即为直线1BD 与平面11A B CD 所成夹角，不妨设AD a =，则 tan 22BCBOC OCa ∠===.16.如图所示，椭圆的内接矩形和外切矩形的对角线所在的直线重合，且椭圆的两焦点在内接矩形的边上，则该椭圆的离心率是（ ）A.22 B.32 C.23 D.33解析：答案为A ，如图建立直角坐标系，则点坐标为：2(,)b A c a ，利用相似可知AF bOF a=，即b c =，2a c = ∴2e =. 17.数列{}n a ，{}n b 用图象表示如下，记数列{}n n a b 的前n 项和为n S ，则（ ）A.14S S >，1011S S <B.45S S >，1013S S <C.14S S <，1011S S >D.45S S <，1013S S >解析：答案为B ，由图易知，当4n ≤时，0n a <；当5n ≥时，0n a >；当10n ≤时，0n b <；当11n ≥时，0n b >.令n n n c a b =，可得当4n ≤时，0n c >；当510n ≤≤时，0n c <，当11n ≥时，0n c >，故n S 在14n ≤≤时单调递增，410n ≤≤时单调递减，在10n ≥时单调递增.18.如图，线段AB 是圆的直径，圆内一条动弦CD 与AB 交于点M ，且22MB AM ==，现将半圆ACB 沿直径AB 翻折，则三棱锥C ABD -体积的最大值是（ ）A.23B.13C.3D.1 解析：答案为D ，设翻折后CM 与平面ABD 所成的角为α，则三棱锥C ABD -的高为sin CM α，所以111(sin )sin 326C ABD V AB DM DMA CM AB DM CM α-=⨯⨯∠⨯≤⨯⨯，又3AB =，2DM CM AM BM ⨯=⨯=，所以体积的最大值为1. 二、填空题（本大题共4小题，每空3分，共15分.）19.已知等差数列{}n a 中，11a =，35a =，则公差d = ▲ ，5a = ▲ . 答案：2，9；解析：∵11a =，35a =，∴125d +=，解得2d =；又532a a d =+，∴59a =. 20.若平面向量a ，b 满足||6a =，||4b =，a 与b 的夹角为60︒，则()a a b ⋅-= ▲ . 答案：24解析：2221()||||||cos 60664242a ab a a b a a b ⋅-=-⋅=-=-⨯⨯=. 21.如图，某市在进行城市环境建设中，要把一个四边形ABCD 区域改造成公园，经过测量得到1AB km =，2BC km =，3CD km =，4AD km =，且120ABC ∠=︒，则这个区域的面积是 ▲ 2km . 337+解析：∵2222cos 7AC AB BC AB BC ABC =+-⋅∠=， ∴222AC CD AD +=，∴90ACD ∠=︒，∴1372ACD S AC CD ∆=⋅=13sin 2ABC S BC AB ABC ∆=⋅⋅∠=337ABC ACD S S ∆∆++=. 22.已知函数22()21f x x x x a =+--.当[1,)x ∈+∞时，()0f x ≥恒成立，则实数a 的取值范围是 ▲ .答案：[2,1]-设21[1,)t x =-+∞，则212t x +=，则()0f x ≥等价于222211()022t t at a +++--≥，即42243440(1)t t at a t ++--≥≥.一方面，由于当1t =时，不等式28440a a --≥成立，从而 21a -≤≤.另一方面，设422()4344(1)f t t t at a t =++--≥， 则 3()48448440f t t t a a '=+-≥+-≥>，因此()f t 在[1,)+∞上单调递增， 因此2()(1)8440f t f a a ≥=--≥，从而21a -≤≤. 综上所述，所求的实数a 的取值范围为[2,1]-.三、解答题（本大题共3小题，共31分.）23.已知函数()sin()sin()cos 66f x x x x ππ=++-+，x R ∈.（Ⅰ）求(0)f 的值；（Ⅱ）求函数()f x 的最小正周期； （Ⅲ）求函数()f x 的最大值. 解析：（Ⅰ）(0)sinsin()cos066f ππ=+-+1=. （Ⅱ）因为()2sin coscos 6f x x x π=+2sin()6x π=+，所以，函数()f x 的最小正周期为2π.（Ⅲ）由（Ⅱ）得，当且仅当2()3x k k Z ππ=+∈时，函数()f x 的最大值是2.24. 如图，已知抛物线21:4C x y =和抛物线22:C x y =-的焦点分别为F 和F '，N 是抛物线1C 上一点，过N 且与1C 相切的直线l 交2C 于A ，B 两点，M 是线段AB 的中点.（Ⅰ）求||FF '；（Ⅱ）若点F 在以线段MN 为直线的圆上，求直线l 的方程.解析：（Ⅰ）由题意得，(1,0)F ，1(0,)4F '-，所以5||4FF '=.（Ⅱ）设直线l 的方程为：y kx m =+，联立方程组24x yy kx m⎧=⎨=+⎩，消去y ，得2440x kx m --=，因为直线l 与1C 相切，所以216160k m ∆=+=，得2m k =-，且N 的坐标为2(2,)k k .联立方程组22x y y kx k⎧=-⎪⎨=-⎪⎩，消去y ，得220x kx k +-=， 设11(,)A x y ，22(,)B x y ，00(,)M x y ，则12x x k +=-，22x x k ⋅=-， 所以12022x x k x +==-，20032y kx m k =+=-. 因为点F 在以线段MN 为直径的圆上，所以0FM FN ⋅=，即42320k k +-=， 解得223k =，经检验满足题意，故直线l的方程是233y x =±-. 25.设a R ∈，已知函数2211()||||f x x x ax x x=++-+. （Ⅰ）当0a =时，判断函数()f x 的奇偶性； （Ⅱ）若()46f x x ≥-恒成立，求a 的取值范围；（Ⅲ）设b R ∈，若关于x 的方程()8f x b =-有实数解，求22a b +的最小值. 解析：（Ⅰ）当0a =时，2211()||||f x x x x x=++-. ()f x 的定义域是(,0)(0,)-∞+∞，且()()f x f x -=，所以()f x 是偶函数.（Ⅱ）由已知得222,12,01()2,102,1x ax x ax x xf x ax x x x ax x ⎧+≥⎪⎪+<<⎪=⎨⎪-+-<<⎪⎪+≤-⎩，当1x ≥时，2246x ax x +≥-恒成立，即max 6(24)a x x≥--+，所以4a ≥- 当01x <<时，246ax x x +≥-恒成立，即2624a x x≥--恒成立，因为26244x x --<-，所以4a ≥-； 当10x -<<时，246ax x x -+≥-恒成立，即2624a x x≤-+，因为262412x x-+>，所以12a ≤；当1x ≤-时，2246x ax x +≥-恒成立，即min 6(24)a x x≤--+，所以4a ≤+综上所述，a的取值范围是44a -≤≤+ （Ⅲ）设0x 是方程()8f x b =-的解，则0()8f x b =-.当0||1x ≥时，20028x ax b +=-，即200280ax b x -++=， 所以(,)a b 是直线200280x x y x -++=上的点，22≥=≥=，当且仅当22x =时，等号成立. 当00||1x <<时，0028||ax b x +=-，即00280||ax b x -++=， 所以(,)a b 是直线00280x x y x -++=上的点，22|8|8++>>=因为>≥当且仅当||a =，4b =时，22a b +的最小值是48.2019年1月浙江省学考数学参考答案一、选择题（本大题共18小题，每小题3分，共54分.）二、填空题（本大题共4小题，每空3分，共15分.）19．2，9 20. 24 21.222. []2,1- 三、解答题（本大题共3小题，共31分.） 23．解： （Ⅰ）(0)sinsin()cos066f ππ=+-+1=. （Ⅱ）因为()2sin coscos 6f x x x π=+2sin()6x π=+，所以，函数()f x 的最小正周期为2π.（Ⅲ）由（Ⅱ）得，当且仅当2()3x k k Z ππ=+∈时，函数()f x 的最大值是2.24. 解：（Ⅰ）由题意得，(1,0)F ，1(0,)4F '-，所以5||4FF '=. （Ⅱ）设直线l 的方程为：y kx m =+，联立方程组24x y y kx m⎧=⎨=+⎩，消去y ，得2440x kx m --=，因为直线l 与1C 相切，所以216160k m ∆=+=，得2m k =-，且N 的坐标为2(2,)k k .联立方程组22x y y kx k⎧=-⎪⎨=-⎪⎩，消去y ，得220x kx k +-=， 设11(,)A x y ，22(,)B x y ，00(,)M x y ，则12x x k +=-，22x x k ⋅=-，所以12022x x k x +==-，20032y kx m k =+=-. 因为点F 在以线段MN 为直径的圆上，所以0FM FN ⋅=，即42320k k +-=， 解得223k =，经检验满足题意，故直线l 的方程是6233y x =±-.25.解： （Ⅰ）当0a =时，2211()||||f x x x x x=++-. ()f x 的定义域是(,0)(0,)-∞+∞，且()()f x f x -=，所以()f x 是偶函数. （Ⅱ）由已知得222,12,01()2,102,1x ax x ax x x f x ax x x x ax x ⎧+≥⎪⎪+<<⎪=⎨⎪-+-<<⎪⎪+≤-⎩， 当1x ≥时，2246x ax x +≥-恒成立，即max 6(24)a x x≥--+，所以443a ≥- 当01x <<时，246ax x x +≥-恒成立，即2624a x x≥--恒成立， 因为26244x x--<-，所以4a ≥-； 当10x -<<时，246ax x x -+≥-恒成立，即2624a x x ≤-+，因为262412x x-+>， 所以12a ≤；当1x ≤-时，2246x ax x +≥-恒成立，即min 6(24)a x x≤--+，所以4a ≤+ 综上所述，a的取值范围是44a -≤≤+ （Ⅲ）设0x 是方程()8f x b =-的解，则0()8f x b =-.当0||1x ≥时，20028x ax b +=-，即200280ax b x -++=， 所以(,)a b 是直线200280x x y x -++=上的点，22≥=≥=，当且仅当202x =时，等号成立. 当00||1x <<时，0028||ax b x +=-，即00280||ax b x -++=， 所以(,)a b 是直线00280x x y x -++=上的点，22|8|8++>>=因为>≥当且仅当||a =，4b =时，22a b +的最小值是48.结尾处，小编送给大家一段话。