电子科技大学,电磁场与电磁波。第一章 矢量分析
电动力学电磁场与电磁波课件第1章矢量分析
矢量分析
本课程约定
? 物理量符号上方用“ ? ”或粗斜? 印刷体代表矢量 ,例如电场强度矢量E
? 物理量符号上方用“ ? ”代表单
位矢量,例如e?x,e?y,e?z 分别代表 x,
y,z 方?向的单位矢量, r? 代表位置 矢量 r 的单位矢量
第一章 矢量分析
e??
?
单位圆
x
?e??
??
?
? e?xcos?
? e?ysin?
?
? e?ρ
xy 平面上的投影图
?
矢量表示: A ? e?? A? ? e?? A? ? e?z Az
z
e?z
位置矢
r ? e?? ? ? e??? ? e?z z ???
?
位置矢量 : r ? e?? ? ? e?zz
? P(?, ?, z) r
场物理量随时间变化。本课程主要讨论随 时间正弦或余弦变化的时变场,称时谐场
标量场( Scalar Field )
场物理量是标量,如温度场,电位场等
场矢物量理场量(是矢Ve量c,to如r F电ie场ldE??)r?,t?
2. 三种常用的坐标系
直角坐标系 基本变量: x, y, z
z
? P(x,y,z) r
e?x ? e?x ? e?y ? e?y ? e?z ? e?z ? 0
e?z e?y
e?x ?e?y ? e?y ?e?z ? e?z ?e?x ? 0
e?x
e?x ?e?x ? e?y ?e?y ? e?z ?e?z ? 1
??
? ? e?x e?x e?x
A?B ? AxBx ? AyBy ? Az Bz A ? B ? Ax Ay Az
矢量分析【电磁场与波+电子科技大学】
面元矢量与此矢量相合时,极限值为最大值,也就是
该矢量的模。这个矢量称为 的旋度(curl),记为
或
,故有
其中 是 在面元矢量 (用 表示其方向)上的投影。
第47页
电磁场与电磁波 第一章__矢量分析
旋度:若在矢量场 中的一点M 处存在矢量 , 的方向
是 在该点环流面密度最大的方向,它的模就是这个最大
的环流面密度。矢量 称为矢量场 在点M 的旋度,记
为
或
。
说明:
① 在流体力学中,旋度表示了旋转的强弱即大小;在电磁场中,
不存在旋转强弱的意义;
② 旋度与环流中C 的形状、取向无关,只与场在M 点的量 本身有关;
③ 旋度场: 与矢量场 中的点一一对应得到的新的矢量场
第48页
电磁场与电磁波 第一章__矢量分析
第23页
电磁场与电磁波 第一章__矢量分析 1.3.2/3 方向导数和梯度 方向导数意义:表示场沿某方向的空间变化率
梯度的意义:描述标量场在某点的最大变化率及其 变化最大的方向
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电磁场与电磁波 第一章__矢量分析
定义算符:
←哈密顿算符
数量场u 的梯度是矢量(是空间坐标点的函数) 梯度的大小为该点标量函数u 的最大变化率,即最大方向导数 梯度的方向为该点最大方向导数的方向 梯度场:数量场u 中每点都有一个梯度而形成的矢量场
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电磁场与电磁波 第一章__矢量分析 直角坐标梯度: 圆柱坐标梯度: 球 坐 标 梯度:
第26页
电磁场与电磁波 第一章__矢量分析
梯度运算公式:
k为常数
第27页
电磁场与电磁波 第一章__矢量分析
{例} 考虑一个二维标量场 求此标量场的等值面,求u 的梯度 任取一闭合的积分回路,证明
电磁场与电磁波课件第一章 矢量分析
第一章 矢量分析
矢量场A的散度可表示为哈密顿微分算子▽与矢量A的标量
积, 即
divA A
A
x
ex
y
ey
z
ez
( Axex
Ayey
Azez )
Ax Ay Az x y z
(A B) A B
(A) A A
第一章 矢量分析
第一章 矢量分析
图 1-3 法线方向的取法
第一章 矢量分析
将曲面S各面元上的A·dS相加,它表示矢量场A穿过整个曲面 S的通量,也称为矢量A在曲面S上的面积分:
SdS SA ndS
如果曲面是一个封闭曲面,则
SA dS
第一章 矢量分析
1.3.2 矢量场的散度
lim SA dS
V 0 V
称此极限为矢量场A在某点的散度,记为divA,即散度的定义式为
grad (uv) vgradu ugradv 或 (uv) vu uv
grad
u v
1 v2
(vgradu
ugradv
或
u v
1 v2
(vu
uv)
grad[ f (u)] f ' (u)gradv 或 [ f (u)] f ' (u)u
第一章 矢量分析
例1-4 设标量函数r是动点M(x, y, z)的矢量r=xex+yey+zez的模,
(x y)2 z 0
或
z (x y)2
第一章 矢量分析
例1-2 求矢量场A=xy2ex+x2yey+zy2ez的矢量线方程。 解: 矢量线应满足的微分方程为
dx xy 2
电磁场与电磁波讲义(电子科大第三版)
第一章 矢量分析仅具有大小特征的量为标量,标量的空间分布构成标量场,标量场可用一个标量函数),(t r u来描述;不仅具有大小而且具有方向特征的量称为矢量,矢量的空间分布构成矢量场,矢量场可用一个矢量函数),(t r F来描述。
矢量分析是研究场在空间的分布和变化规律的基本数学工具:标量场在空间的变化规律由其梯度来描述,矢量场在空间的变化规律通过场的散度和旋度来描述,因此本章的重点是标量场的梯度、矢量场的散度和旋度的概念及其运算规律。
1.1 矢量代数1.矢量的表示矢量A 可用一条有方向的线段表示,线段的长度表示矢量A的大小,称为矢量的模;箭头的指向表示矢量A 的方向。
用A e表示与矢量A 同方向的单位矢量,则A e A A=; AA e A=2.矢量的加法 矢量的加法遵循平行四边形法则,加法运算符合结合律和交换律。
交换律:A B B A+=+;结合律:)()(C B A C B A++=++两个矢量的相减可以归结为相加运算。
3.矢量的乘法(1)标量与矢量相乘矢量A 与标量k 的乘积A k 为矢量,大小为A k 。
若0>k ,A k 与A同向;若0<k ,Ak 与A反向。
(2)矢量的标积或点积 θcos AB B A =⋅标积的运算符合交换律和分配律:A B B A⋅=⋅;C A B A C B A ⋅+⋅=+⋅)((3)矢量的矢积或叉积大小:θsin AB ;即等于矢量A 和B构成的平行四边形的面积。
方向:与矢量A 和B垂直,其指向由右手螺旋决定。
矢量积不服从交换律,但服从分配律:A B B A⨯-=⨯;C A B A C B A ⨯+⨯=+⨯)( (4)标量三重积(三矢量的混合积)形式:)(C B A⨯⋅几何意义:等于矢量C B A,,构成的平行六面体的体积性质:a.把三个矢量按循环次序轮换,其积不变。
)()()(B A C A C B C B A⨯⋅=⨯⋅=⨯⋅b.只把两矢量对调,其积差一负号。
矢量分析【电磁场与波+电子科技大学】
只要 以 面体,故
即可。
z
点为顶点作一个平行六 x
经过左右两面的通量为:
(x,y,z +△z)
y △z
M●(x,y,z) △y
△x
(x+△x,y,z)
(x,y+△y,z)
用偏微分代替偏增量,得:
第36页
电磁场与电磁波 第一章__矢量分析 同理,前后、上下面的通量分别为:
故从该平行六面体穿出的通量为:
; 没有 分量,则
,所以
第42页
电磁场与电磁波 第一章__矢量分析
微分面积:
e
单位长度( z=1 )圆柱面的通量:
e e
第43页
电磁场与电磁波 第一章__矢量分析
第五节 矢量的环流与旋度
(Circulation and Rotation of Vector Field) 不是所有的矢量场都由通量源激发。存在另一类 不同于通量源的源,它所激发的矢量场的力线是闭合的, 它对于任何闭合曲面的通量为零但在场所定义的空间中 闭合路径的积分不为零。
例如:流速场
、电场
是矢量场
第6页
电磁场பைடு நூலகம்电磁波 第一章__矢量分析
3、场的表示
矢量
,
矢量场
一个矢量场对应着三个标量场
第7页
电磁场与电磁波 第一章__矢量分析 1.1.2 矢量的加法和减法
B
A+B
A
矢量的加法
B
A
-B A-B
矢量的减法
B
第8页
电磁场与电磁波 第一章__矢量分析
1.1.3 矢量的乘法 矢量的点积(标积):
的环流面密度。矢量 称为矢量场 在点M 的旋度,记
《电磁场与电磁波》复习纲要(含答案)
S
第二类边值问题(纽曼问题) 已知场域边界面上的位函数的法向导数值,即 第三类边值问题(混合边值问题) 知位函数的法向导数值,即
|S f 2 ( S ) n
已知场域一部分边界面上的位函数值,而其余边界面上则已
|S1 f1 ( S1 )、 | f (S ) S 2 2 n 2
线处有无限长的线电流 I,圆柱外是空气(µ0 ),试求圆柱内 外的 B 、 H 和 M 的分布。 解:应用安培环路定理,得 H C dl 2 H I I H e 0 磁场强度 2π I e 0 a 2 π 磁感应强度 B I e 0 a 2 π 0 I B e 2π M H 磁化强度 0 0 0
C
F dl F dS
S
5、无旋场和无散场概念。 旋度表示场中各点的场量与旋涡源的关系。 矢量场所在空间里的场量的旋度处处等于零,称该场为无旋场(或保守场) 散度表示场中各点的场量与通量源的关系。 矢量场所在空间里的场量的散度处处等于零,称该场为无散场(或管形场) 。 6、理解格林定理和亥姆霍兹定理的物理意义 格林定理反映了两种标量场 (区域 V 中的场与边界 S 上的场之间的关系) 之间满足的关系。 因此,如果已知其中一种场的分布,即可利用格林定理求解另一种场的分布 在无界空间,矢量场由其散度及旋度唯一确定 在有界空间,矢量场由其散度、旋度及其边界条件唯一确定。 第二章 电磁现象的普遍规律 1、 电流连续性方程的微分形式。
D H J t B E t B 0 D
D ) dS C H dl S ( J t B E dl dS S t C SB dS 0 D dS ρdV V S
电磁场与电磁波—矢量分析
两个矢量的点积:写成
A B
其值为: A B AB cos
A
点积的性质:
θ
交换律 分配律 按乘数比例
A B C A B A C k A B kA B A kB
A B B A
若该物理量为矢量,则称矢量场, 可用矢性函数表示F(x,y,z); F(x,y,z,t) f(x,y,z,t)
若该物理量与时间无关,则该场称为静态场; 若该物理量与时间有关,则该场称为动态场或称为时变场。
第一章
矢量分析
笛卡尔坐标系
我们的标量函数(标量场)通常用笛卡 尔坐标系表示,我们的矢性函数也可以 用笛卡尔坐标系来表示 根据矢量的运算规则,多个矢量可以进 行矢量相加,反过来,一个矢量以可以 分解为多个矢量的和
B
第一章
矢量分析
两个矢量的叉积:写成 r F M 其值为: r F rF sin e n
M
r
F
第一章
矢量分析
叉积的性质:
不服从交换律 但服从分配 按乘数比例
A B C A B A C kA B k A B A kB
0
第一章
矢量分析
△z
z
若函数φ=φ(x, y, z)在点M0(x0, y0, z0)处可 微, cosα 、 cosβ 、 cosγ 为 l 方向的方向余弦, 则函数 φ在点M0处沿l方向的方向导数必定存 在,且为
γ M0 α
△x
ρ
β
M
电子科技大学电磁场与电磁波课件第一章+矢量分析1
思考:计算圆柱、球的表面积、体积?
球坐标系中的线元、面元和体积元
14
线元矢量 d l e d r e r d e r sin d r
面元矢量 2 d S e d l d l e r d d r r rsin
d S e d l d l e r d r d r
A B Ax Bx ex ey Ay By ez Az Bz
A A 矢量 与B 的叉积
叉积仅服从分配律。
9
混合运算: —— 标量三重积 A ( B C ) B ( C A ) C ( A B ) A ( B C ) ( A C ) B ( A B ) C —— 矢量三重积
( A B ) C A C B C —— 分配律 ( A B ) C A C B C —— 分配律
10
1.2 三种常用的正交坐标系
三维空间点的位置可通过三条相互正交曲线的交点来确定。 正交曲线坐标系:三条正交曲线组成的确定三维空间任意点 位置的体系;
e
ey
ez 0 0 1 ez cos sin 0
e
ey
e
ex
圆柱坐标与 球坐标系
e
sin cos 0
ex
e
o
单位圆
x
直角坐标系与柱坐标系之间 坐标单位矢量的关系
0 0 1
ey
z
ez
er
e
直角坐标与 球坐标系
电磁场与电磁波(矢量分析)
◇ 定义标量函数 u( x, y, z) 沿给定方向 l 的变化率。 an l
M
u u u u u lim lim PM l u 0 u0 PM
u
P
u x , y , z , 为标量场 在P点沿 l 方向的方 向性导数。其大小与方向 l 有关。
dl r sind
h r sin
面积元:
dSr dl dl r 2 sin dd dS dlr dl r sin drd dS dlr dl rdrd
体积元:
d dlr dl dl r 2 sindrdd
1.2.4 三种坐标系的坐标变量之间的关系
在矢量场中,若 A = 0,称之为有源场, 称为(通量)
=0,称之为无源场。
散度的计算公式的推导: 在直角坐标系中,曲面上的通量可表示为
A dS Ax dS x Ay dS y Az dS z
s
在闭合面上 A 的通量为
A dS Ax dS x Ay dS y Az dS z
Ay
Az Az A x y ( A z ) x y xyz z z 上下一对表面穿出的净通量 z z
前后一对表面穿出的净通量 A yz ( A Ax x)yz Ax xyz x x
x
x
故从平行六面体穿出的净通量为
S
AdS
0
三、散度的物理意义 ◇ 矢量的散度是一个标量,是空间坐标点的函数。 ◇ 散度代表矢量场的通量源的分布特性。
• A A= 0 (无源)
= 0 (正源) A
A= 0 (负源)
电磁场与电磁波理论第1章
1-2
《电磁场与电磁波理论》
基本要求
第1章 矢量分析与场论
◘ 掌握矢量和场的基本概念; ◘ 掌握矢量的代数运算和场量的梯度、散度、旋度
以及拉普拉斯运算; ◘ 了解矢量分析过程中所需的恒等式和基本定理.
1-3
《电磁场与电磁波理论》
三种常用的正交坐标系
第1章 矢量分析与场论
直角坐标系 圆柱坐标系 球面坐标系 几点说明
第1章 矢量分析与场论
矢量与矢量的表示法 矢量的代数运算
1-10
《电磁场与电磁波理论》
矢量与矢量的表示法
第1章 矢量分析与场论
1. 矢量与单位矢量 2. 矢量表示法 3. 位置矢量与距离矢量
1-11
《电磁场与电磁波理论》
1.矢量与单位矢量
第1章 矢量分析与场论
♥ 矢量——在三维空间中的一根有方向的线段. ♥ 该线段的长度 代表该矢量的模, ♥ 该线段的方向 代表该矢量的方向
《电磁场与电磁波理论》
第1章 矢量分析与场论
第1章 矢量分析与场论
主要内容
基本要求
三种常用的正交坐标系
物理量的分类
1.1 矢量的代数运算 1.2 场的微分运算 1.3 矢量的恒等式和基本定理 1.4 常用正交曲线坐标系
1-1
《电磁场与电磁波理论》
主要内容
第1章 矢量分析与场论
电磁理论的一个重要的概念就是关于场的概念.此外, 有很多物理量都是矢量,一些用来描述电磁现象基本规律 的方程也都是矢量函数的微分方程或积分方程.因此,矢 量分析和场论是电磁理论的重要的数学基础.本章仅讨论 在电磁理论中所需要的矢量分析与场论中的基本内容,包 括矢量的基本代数运算和场量的梯度、散度、旋度和拉 普拉斯运算以及矢量场的恒等式和基本定理.最后,还给 出了三种常用坐标系及其梯度、散度、旋度等算子在这 三种坐标系中的表示式.
第1章矢量分析
F dS S
S1 F dS1
S2 F dS2
S3 F dS3
S4 F dS4
S5 F dS5
S6 F dS6
aˆx aˆz 0, aˆy aˆy 1,
aˆy aˆz 0 aˆz aˆz 1
A B (Axaˆx Ayaˆy Azaˆz ) (Bxaˆx Byaˆy Bzaˆz )
Ax Bx Ay By Az Bz
•结论: 两矢量点积等于对应分量的乘积之和。
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
其中:dl ,dS 和 dV 称为微分元。
dS
dl
1. 直角坐标系
在直角坐标系中,坐标变量为(x,y,z),如图,做一微分体元。
线元:dlx dxaˆx
dly dyaˆy
面元: dSx dydzaˆx dSy dxdzaˆy
dlz dzaˆz dl dxaˆx dyaˆy dzaˆz
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
3.乘法:
(1)标量与矢量的乘积:
k 0 方向不变,大小为|k|倍
kA k | A | aˆ
k
0
k 0 方向相反,大小为|k|倍
(2)矢量与矢量乘积分两种定义
a. 标量积(点积):
B
A B | A| | B | cos
A
两矢量的点积含义: 一矢量在另一矢量方向上的投影与另一矢量模的乘积,
定义: A BC | A|| B || C | sin cos
含义: 标量三重积结果为三矢量构成
的平行六面体的体积 。
h BC
A C
B
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
V A (BC) C (A B) B (C A)
(电子科技大学)电磁场与电磁波1
A
矢量 A B的夹角 与
A B ⊥
A⋅ B =0
A// B
A⋅ B = A B
ex ⋅ey =ey ⋅ez =ez ⋅ex =0
ex ⋅ex =ey ⋅ey =ez ⋅ez =1
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
6
(4)矢量的矢积(叉积) )矢量的矢积(叉积)
∇ C =0 (C ) =C u ∇ u ∇ 梯度运算的基本公式: ∇ 梯度运算的基本公式: (u±v) =∇ ±∇ u v (u ) =u v+v u ∇ v ∇ ∇ f (u) = f ′(u)∇ ∇ u
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
18
描述了空间标量场。 例1.2.1 设一标量函数ϕ (x,y,z) = x2+y2-z 描述了空间标量场。 试求: 试求: 在点P(1,1,1)处的梯度,以及表示该梯度方向的 处的梯度, (1) 该函数ϕ 在点 处的梯度 单位矢量; 单位矢量; (2) 求该函数ϕ 沿单位矢量 el= ex cos60°+ey cos45° + ez cos60° ° ° ° 方向的方向导数,并以点P(1,1,1)处的方向导数值与该点的梯度值 方向的方向导数,并以点 处的方向导数值与该点的梯度值 作以比较,得出相应结论。 作以比较,得出相应结论。 由梯度计算公式, 解 (1)由梯度计算公式,可求得 点的梯度为 由梯度计算公式 可求得P点的梯度为
若 A⊥ B,则 A×B = A B 若 A// B ,则 A×B =0
AB sin θ
A
矢量A与 B的叉积
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
7
(5)矢量的混合运算
电磁场与电磁波第1章矢量分析
例:已知一矢量场F=axxy-ayzx, 试求:
(1) 该矢量场的旋度;
(2) 该矢量沿半径为3的四分 之一圆盘的线积分, 如图所 示, 验证斯托克斯定理。
y B
r= 3
O
Ax
四分之一圆盘
第 7、8 学时 1.4 标量的方向导数和梯度
1.4.1标量的方向导数和梯度
一个标量场u可以用一个标量函数来表示。在直角坐标 系中, 可将u表示为
lim l A dl
SP S
称固定矢量R为矢量A的 旋度,记作
rotA=R
上式为旋度矢量在n方 向的投影,如图所示, 即
A dl
lim l
SP S
rotn A
ro tA
n
旋涡面
P l
旋度及其投影
矢量场的旋度仍为矢量。在直角坐标系中,旋度的表达式为
rotA
ax
Az y
Ay z
a
y
Ax z
Az x
z
l
式 中 , 当 Δl→0 时 δ→0 。 将 上 式 两 边 同 除 以 Δl 并 取 极限得到方向导数的计算公式:
u u cos u cos u cos
l x
y
z
ห้องสมุดไป่ตู้
其中,cosα, cosβ, cosγ为l方向的方向余弦。
1.4.4 标量场的梯度
1. 梯度的定义
方向导数为我们解决了函数u(P)在给定点处沿某个方向的 变化率问题。然而从场中的给定点P出发,标量场u在不 同方向上的变化率一般说来是不同的,那么,可以设想,
▽ ·(▽ ×A)≡0
即如果有一个矢量场B的散度等于零,则该矢量B就可 以用另一个矢量A的旋度来表示,即当 ▽ ·B=0 则有
电磁场电磁波-第一章 矢量分析(1.4-5)
环流面密度矢量→旋涡源密度矢量 旋涡源密度矢量。 物理意义 ◇ 环流面密度矢量 旋涡源密度矢量。
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
•
直角坐标系中 rot x F、rot y F 、rot z F 的表达式 的示意图如图所示。 推导 rot x F 的示意图如图所示
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
1.5.2. 矢量场的旋度(∇× F) 矢量场的旋度( 矢量场的环流给出了矢量场与积分回路所围曲面内旋涡源 宏观联系。为了给出空间任意点矢量场与旋涡源的关系, 宏观联系。为了给出空间任意点矢量场与旋涡源的关系,引入 矢量场的旋度。 矢量场的旋度。 (1)环流面密度 ) 过点M 作一微小曲面∆ 它的边界曲线记为C, 过点 作一微小曲面∆S ,它的边界曲线记为 ,曲面的法 与曲线的绕向成右手螺旋法则。 线方向 n与曲线的绕向成右手螺旋法则。当∆S→0 时,极限 →
闭合曲面的通量从宏观上建立了矢量场通过闭合曲面的通 闭合曲面的通量从宏观上建立了矢量场通过闭合曲面的通 宏观上 量与曲面内产生矢量场的源的关系。 量与曲面内产生矢量场的源的关系。
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
1.4.3. 矢量场的散度 散度: 向某点无限收缩时, 散度:当闭合面 S 向某点无限收缩时,矢量 F 通过该闭合面S 的 通量与该闭合面包围的体积之比的极限称为矢量场 F 在该 点的散度, 表示, 点的散度,以 div F 表示,即
环流的概念 矢量场对于闭合曲线C 的环流定义为该矢量对闭合 矢量场对于闭合曲线 环流定义为该矢量对闭合 曲线C 的线积分, 曲线 的线积分,即
Γ = ∫C F(x, y, z) ⋅ dl
如果矢量场的任意闭合回路的环流恒为零,称该矢量场为无 如果矢量场的任意闭合回路的环流恒为零,称该矢量场为无 旋场,又称为保守场。 旋场,又称为保守场。 保守场 如果矢量场对于任何闭合曲线的环流不为零, 如果矢量场对于任何闭合曲线的环流不为零,称该矢量场为 有旋矢量场,能够激发有旋矢量场的源称为旋涡源。电流是 有旋矢量场,能够激发有旋矢量场的源称为旋涡源。 旋涡源 磁场的旋涡源。 磁场的旋涡源。
第1章电磁场与电磁波
(球面)
rr
位置矢量:r err
er e
e P(r0,0,0)
设:A er Ar e A e A B er Br e B e B
0(半平面)
球坐标系
A B er Ar Br e A B e A B
AgB Ar Br A B A B
对应分量积之和
各分量为对应分量之和
1.2.1 直角坐标系
单位矢量:ex , ey , ez,遵循右手螺旋法
任意矢量:A ex Ax ey Ay ez Az
位置矢量:r ex x ey y ez z
设:Av evx Ax evy Ay evz Az
v B
evx
Bx
evy
By
evz
Bz
v A
v B
evx
(
Ax
Bx
)
evy
电子科技大学
第1章 矢量分析
本章主要介绍与电磁场理论有关的矢量分析方法及定理 主要内容
矢量代数 常用正交坐标系 标量场的梯度 矢量场的散度和旋度 无旋场与无散场 格林定理和亥姆霍兹定理
1.1 矢量代数
电子科技大学
1.1.1 标量和矢量
标量:只有大小没有方向的物理量(温度、高度、电压等)
矢量:既有大小又有方向的物理量(力、速度、电磁场强度等)
矢量的表示
图示法:用一条有方向的线段表示,其长度表示矢量的大
小即矢量的模,箭头指向表示矢量的方向
书写法:粗体或在符号上加箭头,如 A、b 或 Av、bv
矢量的模:矢量A的模表示为
A
A
v A
单位矢量:模为1的矢量称为单位矢量,如eA,表示与矢 量A同方向的单位矢量,显然有
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电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
在直角坐标系中,两矢量的叉积运算如下: z
A B ( A x a ˆ x A y a ˆ y A z a ˆ z ) ( B x a ˆ x B y a ˆ y B z a ˆ z )
o y
x
(A y B z A z B y )a ˆx (A z B x A x B z)a ˆy (A x B y A y B x )a ˆz
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
矢量: AAxa ˆxAya ˆyAza ˆz
z
模的计算: |A| Ax2Ay2Az2
Az
A
单位矢量:
a ˆ|A A||A A x|a ˆx|A A y|a ˆy|A A z|a ˆz
o
Ax
cosa ˆxcosa ˆycosa ˆz x
Ay
y
方向角与方向余弦: , ,
2.矢量:不仅有大小,而且有方向的物理量。
如:力 F 、速度 v 、电场 E 等
矢量表示为: A | A | aˆ
其中:|
A
|
为矢量的模,表示该矢量的大小。
aˆ 为单位矢量,表示矢量的方向,其大小为1。
所以:一个矢量就表示成矢量的模与单位矢量的乘积。
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
例1:在直角坐标系中, x 方向的大小为 6 的矢量如何表示?
定义: A B C |A ||B ||C |s inc o s hBC A
含义:
C
标量三重积结果为三矢量构成
的平行六面体的体积 。
B
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
V A ( B C ) C ( A B ) B ( C A ) hBC
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电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
1.1.2 矢量的运算
A = ex Ax + ey Ay + ez Az
矢量的加法和减法
B = ex Bx + ey By + ez Bz
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电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
说明:圆柱坐标系下矢量运算方法: 说明:圆柱坐标系下矢量运算方法:
A = eρ Aρ + eφ Aφ + ez Az B = eρ Bρ + eφ Bφ + ez Bz
加减: 加减: ± B = eρ ( Aρ ± Bρ ) + eφ ( Aφ ± Bφ ) + ez ( Az ± Bz ) A 标积: i B = (eρ Aρ + eφ Aφ + ez Az )i(eρ Bρ + eφ Bφ + ez Bz ) 标积: A
r = ex x + ey y + ez z
dl = exdx + eydy + ezdz
x
x = x0 (平面) 平面)
直角坐标系
z
dS z = ez dxdy
dS y = e y dxdz
dSx = exdlydlz = exdydz
dz
dSy = eydlxdlz = eydxdz
dSz = ezdlxdly = ezdxdy
y
1.2.4 坐标单位矢量之间的关系
直角坐标与 直角坐标与 圆柱坐标系
eρ
eφ
ey
eφ ez
er
cosφ sin φ 0
ex
sin φ cosφ 0
eφ
ey
ez 0 0 1
eρ
φ
ex
φ
单位圆
o
圆柱坐标与 圆柱坐标与 球坐标系
eθ eφ
sin θ cosθ 0
ex
eρ
0 0 1
ey
ez cosθ sin θ 0
r = eρ ρ + ez z
dr = eρdρ + eφ ρdφ + ezdz
dSρ = eρdlφdlz = eρ ρdφdz dSφ = eφdlρdlz = eφdρdz dSz = ezdlρdlφ = ez ρdρdφ
圆柱坐标系
体积元
dV = ρdρdφdz
圆柱坐标系中的线元, 圆柱坐标系中的线元,面元和体积元
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电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
三种坐标系有不同适用范围: 三种坐标系有不同适用范围:
1,直角坐标系适用于场呈面对称分布的问题求解,如无限大 直角坐标系适用于场呈面对称分布的问题求解, 面对称分布的问题求解 面电荷分布产生电场分布. 面电荷分布产生电场分布. 2,柱面坐标系适用于场呈轴对称分布的问题求解,如无限长 柱面坐标系适用于场呈轴对称分布的问题求解, 轴对称分布的问题求解 线电流产生磁场分布. 线电流产生磁场分布. 3,球面坐标系适用于场呈点对称分布的问题求解,如点电荷 球面坐标系适用于场呈点对称分布的问题求解, 点对称分布的问题求解 产生电场分布. 产生电场分布.
加减: ± B = er ( Ar ± Br ) + eθ ( Aθ ± Bθ ) + eφ ( Aφ ± Bφ ) 加减: A 标积: 标积: i B = (er Ar + eθ Aθ + eφ Aφ )i(er Br + eθ Bθ + eφ Bφ ) A
= Ar Br + Aθ Bθ + Aφ Bφ
Ai B = A B cos θ AB = Ax Bx + Ay By + Az Bz
说明: 说明: 1,矢量的点积符合交换律和分配律: 矢量的点积符合交换律和分配律:
B
θ AB
A
Ai B = Bi A
Ai( B + C ) = Ai B + AiC
2,两个矢量的点积为标量
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电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
1.1 矢量代数
1.1.1 标量和矢量
标量与矢量 标量:只有大小,没有方向的物理量 电压U 电荷量Q 能量W 的物理量( 标量:只有大小,没有方向的物理量(电压U,电荷量Q,能量W等) 的物理量( 磁场强度) 矢量:既有大小,又有方向的物理量 作用力, 矢量:既有大小,又有方向的物理量(作用力,电,磁场强度) 矢量的代数表示
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
1.2.3 球面坐标系
坐标变量 坐标单位矢量 位置矢量 线元矢量 面元矢量
r,θ,φ
er , eθ , eφ
r = er r
dr = er dr + eθ rdθ + eφ rsinθdφ
球坐标系
dSr = erdlθ dlφ = er r2sinθdθdφ dSθ = eθ dlrdlφ = ez rsinθdrdφ dSφ = eφdlrdlθ = eφ rdrdθ
= Aρ Bρ + Aφ Bφ + Az Bz
eρ
矢积: 矢积: × B = Aρ A
eφ Aφ Bφ
ez Az = eρ ( Aφ Bz Az Bφ ) + eφ ( Az Bρ Aρ Bz ) Bz
+ ez ( Aρ Bφ Aφ Bρ )
Bρ
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H B D A 矢量可表示为: 矢量可表示为: = eA A 其中 e A = A A A 为模值,表征矢量的大小; 模值,表征矢量的大小 大小; eA为单位矢量,表征矢量的方向; 单位矢量,表征矢量的方向 方向;
矢量的几何表示: 矢量的几何表示:用一条有方向的线段来表示
F
E
A
矢量的几何表示
说明:矢量书写时,印刷体为场量符号加粗,如 D .教材 说明:矢量书写时,印刷体为场量符号加粗, 为场量符号加粗 上的矢量符号即采用印刷体. 上的矢量符号即采用印刷体.
直角坐标系与柱坐标系之间 坐标单位矢量的关系
x
z
ez
θ θ
er
eρ
直角坐标与 直角坐标与 球坐标系
ez er sin θ cosφ sin θ sin φ cosθ eθ cosθ sin φ cosθ sin φ sin θ eφ cosφ sin φ 0
θ
单位圆
eθ
r
o
柱坐标系与球坐标系之间 坐标单位矢量的关系
A ± B = ex ( Ax ± Bx ) + ey ( Ay ± By ) + ez ( Az ± Bz )
说明: 说明: 1,矢量的加法符合交换律和结合律: 矢量的加法符合交换律和结合律: 交换律
A+ B = B + A
( A + B) + C = A + ( B + C )
2,矢量相加和相减可用平行四边形法则求解: 矢量相加和相减可用平行四边形法则求解: 平行四边形法则求解
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第1章 矢量分析
1.3 标量场的梯度
标量场和矢量场
确定空间区域上的每一点都有确定物理量与之对应, 确定空间区域上的每一点都有确定物理量与之对应,称在该区 域上定义了一个场 域上定义了一个场. 如果物理量是标量,称该场为标量场. 如果物理量是标量,称该场为标量场. 标量场 例如:温度场,电位场,高度场等. 例如:温度场,电位场,高度场等. 如果物理量是矢量,称该场为矢量场. 如果物理量是矢量,称该场为矢量场. 矢量场 例如:流速场,重力场,电场,磁场等. 例如:流速场,重力场,电场,磁场等. 如果场与时间无关,称为静态场,反之为时变场 时变场. 如果场与时间无关,称为静态场,反之为时变场. 静态场 从数学上看,场是定义在空间区域上的函数: 从数学上看,场是定义在空间区域上的函数: 静态标量场和矢量场可分别表示为: 静态标量场和矢量场可分别表示为: 时变标量场和矢量场可分别表示为: 时变标量场和矢量场可分别表示为:
体积元
dV = r2sinθdrdθdφ
球坐标系中的线元, 球坐标系中的线元,面元和体积元
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第1章 矢量分析
说明:球面坐标系下矢量运算: 说明:球面坐标系下矢量运算:
A = er Ar + eθ Aθ + eφ Aφ
B = er Br + eθ Bθ + eφ Bφ
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
第一章 矢量分析
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第1章 矢量分析
本章内容
本章重点介绍与矢量场分析有关的数学基 础内容. 础内容. 矢量代数 常用正交坐标系 标量场的梯度 标量场的梯度 矢量场的散度 矢量场的散度 矢量场的旋度 矢量场的旋度 拉普拉斯运算 亥姆霍兹定理
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
A× B
矢量的矢积(叉积) 矢量的矢积(叉积)
ex A × B = en AB sin θ AB = Ax Bx