三角函数图象的平移和伸缩

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三角函数图象的平移和伸缩

三角函数图象的平移和伸缩之杨若古兰创作

函数sin()y A x k ωϕ=++的图象与函数sin y x =的图象之间可以通过变更

A k

ωϕ，，，来彼此转化．A ω，影响图象的外形，k ϕ，影响图象与x 轴交点的

地位．由A 惹起的变换称振幅变换，由ω惹起的变换称周期变换，它们都是伸缩变换；由ϕ惹起的变换称相位变换，由k 惹起的变换称上下平移变换，它们都是平移变换．

既可以将三角函数的图象先平移后伸缩也能够将其先伸缩后平移．变换方法如下：先平移后伸缩

sin y x =的图象

ϕϕϕ<−−−−−−−→向左(>0)或向右(0)

平移个单位长度

得sin()y x ϕ=+的图象()

ωωω

−−−−−−−−−→横坐标伸长(0<<1)或缩短(>1)

到原来的纵坐标不变得sin()y x ωϕ=+的图象()

A A A >−−−−−−−−−→纵坐标伸长(1)或缩短(0<<1)

为原来的倍横坐标不变得sin()y A x ωϕ=+的图象(0)(0)

k k k ><−−−−−−−→向上或向下平移个单位长度

得sin()y A x k ϕ=++的图象．

先伸缩后平移

sin y x =的图象(1)(01)

A A A ><<−−−−−−−−−→纵坐标伸长或缩短为原来的倍(横坐标不变)

得sin y A x =的图象(01)(1)

()

ωωω

<<>−−−−−−−−−→横坐标伸长或缩短到原来的纵坐标不变得sin()y A x ω=的图象

三角函数中的平移与伸缩变换

三角函数中的平移与伸缩变换三角函数是数学中的重要概念之一，通过平移和伸缩变换可以对三角函数图像进行调整和变化。本文将探讨三角函数中的平移与伸缩变换，并说明它们对函数图像的影响。

一、平移变换

平移变换是指将函数图像沿着坐标轴平行移动的过程。在三角函数中，平移变换会改变函数的水平位置。具体而言，对于三角函数y = f(x)，平移变换可以表示为y = f(x ± b)，其中b为平移量。

1. 正弦函数的平移变换

正弦函数y = sin(x)在平移变换下，可以写作y = sin(x ± b)。当b为正值时，图像向左平移；当b为负值时，图像向右平移。平移量b的绝对值越大，图像平移的距离越远。

2. 余弦函数的平移变换

余弦函数y = cos(x)的平移变换形式为y = cos(x ± b)。与正弦函数类似，当b为正值时，图像向左平移；当b为负值时，图像向右平移。平移量b的绝对值越大，图像平移的距离越远。

3. 正切函数的平移变换

正切函数y = tan(x)在平移变换下，可以写作y = tan(x ± b)。与正弦函数和余弦函数不同，正切函数的平移变换会导致图像的水平拉伸与

压缩。当b为正值时，图像向左平移；当b为负值时，图像向右平移。平移量b的绝对值越大，图像平移的距离越远。

二、伸缩变换

伸缩变换是指将函数图像在x轴或y轴上进行拉伸或压缩的过程。

在三角函数中，伸缩变换会改变函数图像的形状和振幅。具体而言，

对于三角函数y = f(x)，伸缩变换可以表示为y = af(bx)，其中a为纵向

伸缩因子，b为横向伸缩因子。

三角函数的平移与伸缩

三角函数在数学中起着重要的作用，其中平移和伸缩是其常见的变

化形式。平移和伸缩能够改变三角函数的图像位置和形状，为解决实

际问题和简化计算提供了便利。本文将介绍三角函数的平移和伸缩，

并且给出相应的示例，以便读者更好地理解和应用。

一、平移的概念和效果

平移是指二维图形在平面上按照指定方向和距离进行移动的过程。

对于三角函数而言，平移会改变其图像的位置，但不会改变图像的形状。具体来说，平移会使得三角函数的图像沿着 x 轴或 y 轴方向发生

移动。

以正弦函数为例，正弦函数的一般公式为 y = A*sin(Bx+C)+D，其

中A 表示振幅，B 表示周期的倒数，C 表示相位角，D 表示纵向偏移。平移主要通过改变 C 和 D 的值来实现。

当 C > 0 时，正弦函数图像向右平移 C 个单位；当 C < 0 时，正弦

函数图像向左平移 |C| 个单位。当 D > 0 时，正弦函数图像向上平移 D

个单位；当 D < 0 时，正弦函数图像向下平移 |D| 个单位。

二、伸缩的概念和效果

伸缩是指图形在某个方向上改变尺寸大小的过程。对于三角函数而言，伸缩会改变其图像的形状，但不会改变图像的位置。具体来说，

伸缩会使得三角函数的图像在 x 轴和 y 轴方向上发生相应的拉伸或压缩。

以正弦函数为例，伸缩主要通过改变 A 和 B 的值来实现。

当 A > 1 时，正弦函数图像在 y 轴方向上被拉伸；当 0 < A < 1 时，

正弦函数图像在 y 轴方向上被压缩。当 B > 1 时，正弦函数图像在 x 轴方向上被压缩；当 0 < B < 1 时，正弦函数图像在 x 轴方向上被拉伸。

三角函数图象的平移和伸缩

得 y =A sin(

x +

)的图象⎯

向

⎯上平

(

⎯

移

⎯

个

)或

单

向⎯

位

下长

⎯

度

⎯)

→ 得 y = A sin(x +

)+k 的图象．

y = sin x

纵坐标不变

横坐标向左平移 π/3 个单位纵

坐标不变横坐标缩短为原来的1/2

y = sin(x + )

y = sin(2 x + )

横坐标不变

纵坐标伸长为原来的3倍

先伸缩后平移

纵坐标伸长(A 1)或缩短(0A 1)

y =sin x 的图象 ⎯⎯⎯

⎯⎯⎯⎯⎯⎯→

y = 3sin(2x +

三角函数图象的平移和伸缩

函数y = A sin(x +

) + k 的图象与函数 y = sin x 的图象之间可以通过变化 A ，

，

，k 来相互转化． A ，影响图象的形状，

，k 影响图象与x 轴交点的位置．由A 引起的变换称振幅变换，由

引起的变换称周期变

换，它们都是伸缩变换；由

引起的变换称相位变换，由k 引起的变换称上下平移变换，它们都是平移变换．

既可以将三角函数的图象先平移后伸缩也可以将其先伸缩后平移．变换方法如下：先平移后伸缩向左(

>0)或向右(

y = sin x 的图象

⎯⎯平

⎯

移

⎯

个单

⎯

位长

⎯

度

⎯→

得 y = sin(x +)的图象

横坐标伸长(0<<1)或缩短

(>1)

到原来的1(纵坐标不变)

得 y = sin(x +)的图象纵坐标伸长(A 1)或缩短(0

横坐标伸长(0

1)或缩短(1)

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ 到原来的

(纵坐标不变)

向左(

0)或向右(

得 y = A sin(x ) 的图象 ⎯⎯⎯平移

⎯个

⎯

单位

⎯⎯→

得 y = A sin x (

三角函数图象的平移和伸缩

三角函数的图象及性质

函数sin()y A x k ωϕ=++的图象与函数sin y x =的图象之间可以通过变化A k ωϕ，，，来相互转化．A ω，影响图象的形状，k ϕ，影响图象与x 轴交点的位置．由A 引起的变换称振幅变换，由ω引起的变换称周期变换，它们都是伸缩变换；由ϕ引起的变换称相位变换，由k 引起的变换称上下平移变换，它们都是平移变换．

既可以将三角函数的图象先平移后伸缩也可以将其先伸缩后平移．变换方法如下：先平移后伸缩

sin y x =的图象ϕϕϕ<−−−−−−−→向左(>0)或向右(0)

平移个单位长度

得sin()y x ϕ=+的图象()ωωω

−−−−−−−−−→横坐标伸长(0<<1)或缩短(>1)

到原来的纵坐标不变得sin()y x ωϕ=+的图象()A A A >−−−−−−−−−→纵坐标伸长(1)或缩短(0<<1)

为原来的倍横坐标不变得sin()y A x ωϕ=+的图象(0)(0)

k k k ><−−−−−−−→向上或向下平移个单位长度

得sin()y A x k ϕ=++的图象．先伸缩后平移

sin y x =的图象(1)(01)

A A A ><<−−−−−−−−−→纵坐标伸长或缩短为原来的倍(横坐标不变)

得sin y A x =的图象(01)(1)

()

ωωω

<<>−−−−−−−−−→横坐标伸长或缩短到原来的纵坐标不变得sin()y A x ω=的图象

(0)(0)

三角函数的平移与伸缩变换_整理

函数y=Asin（3%+⑺的图像

（1）物理意义：y=A sin（3%十①）（A>0,3>0）,x£[0,+8）表示一个振动量时，A

称为振幅，T=至f=1

称为频率，3%十中称为相位，中称为初相。

①，T

（2）函数y=A sin（3%+中）+k的图像与y=sin%图像间的关系：

①函数y=sin%的图像纵坐标不变，横坐标向左（3>0）或向右（3<0）平移1^1个单位得y=sin（%十①）的图像；

②函数y=sin

（%+①）图像的纵坐标不变，横坐标变为原来的-,得到函数3

y=sin（3%+中）的图像；

③函数y=sin（3%+中）图像的横坐标不变，纵坐标变为原来的A倍，得到函数

y=A sin（3%+明的图像；

④函数y=A sin（3%+中）图像的横坐标不变，纵坐标向上（k>0）或向下（k<0）,得至1」y=A sin（3%+中）+k的图像。

要特别注意，若由y=sin（3%）得至1」y=sin（3%+中）的图像，则向左或向右平移应平

移1-1个单位。

-对y=sin（%+-）图像的影响

一般地，函数y=sin（%+-）的图像可以看做是把正弦函数曲线上所有的点向

____当->0时）或向（当-<0时）平移-个单位长度得到的

注意：左右平移时可以简述成“”

3对y=sin3%图像的影响

函数y=sin3%%e R（3>0且3中1）,的图像可以看成是把正弦函数上所有的点的

横坐标（3>1）或（0<3<1）到原来的1倍（纵坐标不变）。

A对y=Asin%的影响

三角函数图象的平移和伸缩(后面有高考题练习)

三角函数图象的平移和伸缩

函数sin()y A x k ωϕ=++的图象与函数sin y x =的图象之间可以通过变化A k ωϕ，，，来相互转化．A ω，影响图象的形状，k ϕ，影响图象与x 轴交点的位置．由A 引起的变换称振幅变换，由ω引起的变换称周期变换，它们都是伸缩变换；由ϕ引起的变换称相位变换，由k 引起的变换称上下平

移变换，它们都是平移变换．

sin y x =2sin 214y x =++ ⎪⎝

⎭

解：（方法一）①把sin y x =的图象沿x 轴向左平移π

4个单位长度，得πsin 4y x ⎛⎫=+ ⎪⎝

⎭

的图象；②

将所得图象的横坐标缩小到原来的1

2，得πsin 24y x ⎛⎫=+ ⎪⎝

⎭

的图象；

③将所得图象的纵坐标伸长到原来的2倍，得π2sin 24y x ⎛⎫

=+ ⎪⎝

⎭

的图象；④最后把所得图象沿y 轴向上平移1个单位长度得到

π2sin 214y x ⎛

⎫=++ ⎪⎝

⎭的图象．

（方法二）①把sin y x =的图象的纵坐标伸长到原来的2倍，得2sin y x =的图象；②将所得图象的横坐标缩小到原来的1

2，得2sin 2y x =的图象；③将所得图象沿x 轴向左平移π8

个单位长度得

π2sin 28y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象；④最后把图象沿y 轴向上平移1个单位长度得到π2sin 214y x ⎛

⎫=++ ⎪⎝

⎭的图象．

说明：无论哪种变换都是针对字母x 而言的．由sin 2y x =的图象向左平移π

个单位长度得到的

函数图象的解析式是πsin 28y x ⎛⎫=+ ⎪⎝

三角函数平移伸缩变换规律

三角函数的平移变换可以使用如下的规律来表示：

对于正弦函数y = sin x，

向右平移a 个单位：y = sin (x - a)

向左平移a 个单位：y = sin (x + a)

对于余弦函数y = cos x，

向右平移a 个单位：y = cos (x - a)

向左平移a 个单位：y = cos (x + a)

对于正切函数y = tan x，

向右平移a 个单位：y = tan (x - a)

向左平移a 个单位：y = tan (x + a)

对于三角函数的伸缩变换，可以使用如下的规律来表示：

对于正弦函数y = sin x，

伸长k 倍：y = k * sin x

缩短k 倍：y = sin (x / k)

对于余弦函数y = cos x，

伸长k 倍：y = k * cos x

缩短k 倍：y = cos (x / k)

对于正切函数y = tan x，

伸长k 倍：y = k * tan x

缩短k 倍：y = tan (x / k)

请注意，三角函数的伸缩变换并不会改变函数的周期，所以伸长或缩短k 倍都不会改变函数的形态。

三角函数图象的平移和伸缩

既可以将三角函数的图象先平移后伸缩也可以将其先伸缩后平移．变换方法如下：先平移后伸缩

sin y x =的图象ϕϕϕ<−−−−−−−→向左(>0)或向右(0)

平移个单位长度

得sin()y x ϕ=+的图象()ωωω

−−−−−−−−−→横坐标伸长(0<<1)或缩短(>1)

到原来的纵坐标不变得sin()y x ωϕ=+的图象()

A A A >−−−−−−−−−→纵坐标伸长(1)或缩短(0<<1)

为原来的倍横坐标不变得sin()y A x ωϕ=+的图象(0)(0)

k k k ><−−−−−−−→向上或向下平移个单位长度

得sin()y A x k ϕ=++的图象．先伸缩后平移

sin y x =的图象(1)(01)

A A A ><<−−−−−−−−−→纵坐标伸长或缩短为原来的倍(横坐标不变)

得sin y A x =的图象(01)(1)

()

ωωω

<<>−−−−−−−−−→横坐标伸长或缩短到原来的纵坐标不变得sin()y A x ω=的图象

(0)(0)ϕϕϕω

><−−−−−−−→向左或向右平移

个单位

得sin ()y A x x ωϕ=+的图象(0)(0)

高二数学三角函数的平移与伸缩变换

高二数学三角函数的平移与伸缩变换高二数学：三角函数的平移与伸缩变换

三角函数是数学中重要的概念之一，掌握其基本性质，特别是平移

与伸缩变换，对于解题和理解函数图像有着重要的作用。本文将详细

介绍高二数学中三角函数的平移与伸缩变换的相关知识。

一、平移变换

平移变换是指将函数的图像整体移动到不同位置的操作。以正弦函

数为例，若将其向右平移c个单位，则函数的表示形式为y=sin(x-c)。

平移的基本原理是通过改变函数中自变量x的值，使得整个函数的

图像沿x轴平移。具体来说，若函数原本在点(x,y)上取值，在平移后，将在点(x+c,y)上取值。

平移变换的特点是不改变函数的周期，只改变其相位差。在正弦函

数中，相位差指的是函数图像与正弦曲线在x轴上的交点的水平距离。通过平移变换，相位差可以通过改变c的值来调整。

二、伸缩变换

伸缩变换是指将函数的图像进行纵向或横向的拉伸或压缩操作。

纵向伸缩的表示形式为y=a*sin(x)，其中a为正实数。当a>1时，

函数图像纵向拉伸；当0<a<1时，函数图像纵向压缩。

横向伸缩的表示形式为y=sin(ax)，其中a为正实数。当a>1时，函

数图像横向压缩；当0<a<1时，函数图像横向拉伸。

伸缩变换的基本原理是通过改变函数中自变量x的值，使得函数的

周期发生改变。在正弦函数中，周期指的是函数图像中两个相邻正弦

波之间的最短距离。通过伸缩变换，周期可以通过改变a的值来调整。

三、平移与伸缩的综合应用

在实际问题中，平移与伸缩常常同时存在，需要综合应用这两种变换。

三角函数图象的平移和伸缩

函数sin()y A x k ωϕ=++的图象与函数sin y x =的图象之间可以经由过程变更

A k

ωϕ，，，来互相转化．A ω，影响图象的外形,k ϕ，影响图象与x 轴交点的地

位．由A 引起的变换称振幅变换,由ω引起的变换称周期变换,它们都是伸缩变换;由ϕ引起的变换称相位变换,由k 引起的变换称高低平移变换,它们都是平移变换．

既可以将三角函数的图象先平移后伸缩也可以将其先伸缩后平移．变换办法如下：先平移后伸缩

sin y x =的图象

ϕϕϕ<−−−−−−−→向左(>0)或向右(0)

平移个单位长度

得sin()y x ϕ=+的图象

()

ωωω

−−−−−−−−−→横坐标伸长(0<<1)或缩短(>1)

到原来的纵坐标不变得sin()y x ωϕ=+的图象

()

A A A >−−−−−−−−−→纵坐标伸长(1)或缩短(0<<1)为原来的倍横坐标不变

得sin()y A x ωϕ=+的图象

(0)(0)k k k ><−−−−−−−→向上或向下平移个单位长度

得sin()y A x k ϕ=++的图象．

先伸缩后平移

sin y x =的图象

(1)(01)A A A ><<−−−−−−−−−→纵坐标伸长或缩短为原来的倍(横坐标不变)

得sin y A x =的图象(01)(1)

()

ωωω

<<>−−−−−−−−−→横坐标伸长或缩短到原来的纵坐标不变

得

sin()

y A x ω=的图象

(0)(0)ϕϕϕ

三角函数图象的平移和伸缩

三角函数图象的平移和伸缩之邯郸勺丸创作

函数

sin()y A x k

ωϕ=++的图象与函数

sin y x

=的图象之间可以通过变更

A k

ωϕ，，，来相互转化．A ω，影响图象的形状，k ϕ，影响图象与x 轴交点的位置．由

A 引起的变换称振幅变换，由ω引起的变换称周期变换，它们都是伸缩变换；

由ϕ引起的变换称相位变换，由k 引起的变换称上下平移变换，它们都是平移变换．

既可以将三角函数的图象先平移后伸缩也可以将其先伸缩后平移．变换方法如下：先平移后伸缩 sin y x =的图象ϕϕϕ<−−−−−−−→向左(>0)或向右(0)

平移个单位长度

得sin()y x ϕ=+的图象()

ωωω

−−−−−−−−−→横坐标伸长(0<<1)或缩短(>1)

到原来的纵坐标不变得sin()y x ωϕ=+的图象()

A A A >−−−−−−−−−→纵坐标伸长(1)或缩短(0<<1)

为原来的倍横坐标不变得sin()y A x ωϕ=+的图象(0)(0)

k k k ><−−−−−−−→向上或向下平移个单位长度

得sin()y A x k ϕ=++的图象．

先伸缩后平移

sin y x =的图象(1)(01)

A A A ><<−−−−−−−−−→纵坐标伸长或缩短为原来的倍(横坐标不变)

得sin y A x =的图象(01)(1)

()

ωωω

<<>−−−−−−−−−→横坐标伸长或缩短到原来的纵坐标不变得sin()y A x ω=的图象

三角函数图象的平移和伸缩

既可以将三角函数的图象先平移后伸缩也可以将其先伸缩后平移．变换方法如下：先平移后伸缩

sin y x =的图象ϕϕϕ<−−−−−−−→向左(>0)或向右(0)

平移个单位长度

得sin()y x ϕ=+的图象()ωωω

−−−−−−−−−→横坐标伸长(0<<1)或缩短(>1)

到原来的纵坐标不变得sin()y x ωϕ=+的图象()A A A >−−−−−−−−−→纵坐标伸长(1)或缩短(0<<1)

为原来的倍横坐标不变得sin()y A x ωϕ=+的图象(0)(0)

k k k ><−−−−−−−→向上或向下平移个单位长度

得sin()y A x k ϕ=++的图象．先伸缩后平移

sin y x =的图象(1)(01)

A A A ><<−−−−−−−−−→纵坐标伸长或缩短为原来的倍(横坐标不变)

得sin y A x =的图象(01)(1)

()

ωωω

<<>−−−−−−−−−→横坐标伸长或缩短到原来的纵坐标不变得sin()y A x ω=的图象

(0)(0)

ϕϕϕω

><−−−−−−−→向左或向右平移

个单位

得sin ()y A x x ωϕ=+的图象(0)(0)

三角函数图象的平移和伸缩

函数 y Asi n ( x) k的图象与函数 y sin x 的图象之间可以通过变化 A，，，k来相互转

化． A，影响图象的形状，，k影响图象与x 轴交点的位置．由 A 引起的变换称振幅变换，由引起的变换称周期变换，它们都是伸缩变换；由引起的变换称相位变换，由k 引起的变换称上下平移变换，它们都

是平移变换．

既可以将三角函数的图象先平移后伸缩也可以将其先伸缩后平移．

变换方法如下：先平移后伸缩

y sin x 的图象向左 ( >0) 或向右 (0)平移个单位长度

得 y sin( x) 的图象横坐标伸长 (0<<1) 或缩短 ( >1)到原来的

(纵坐标不变 )

得 y sin(x) 的图象纵坐标伸长 ( A 1) 或缩短 (0< A <1)为原来的 A倍 (横坐标不变 )

得 y Asin(x) 的图象向上 ( k 0) 或向下 ( k 0)平移 k 个单位长度

得 y Asin( x) k 的图象．

y sin x纵坐标不变

横坐标向左平移

π/3个单位

纵坐标不变

横坐标缩短

为原来的 1/2

横坐标不变

纵坐标伸长为原

来的 3倍

先伸缩后平移

y sin x 的图象纵坐标伸长 ( A 1)或缩短 (0 A 1)

为原来的 A倍( 横坐标不变 )

y sin(x)

y sin(2x)

y 3sin(2x)

得 y

Asin x 的图象横坐标伸长 (0 1) 或缩短 ( 1)

到原来的 1

(纵坐标不变 )

得 y

Asin( x) 的图象

向左 ( 0)或向右 ( 0)

平移

个单位

得 y

Asin x( x ) 的图象

三角函数图象的平移和伸缩

河北张军红

既可以将三角函数的图象先平移后伸缩也可以将其先伸缩后平移．变换方法如下：先平移后伸缩

sin y x =的图象ϕϕϕ<−−−−−−−→向左(>0)或向右(0)

平移个单位长度

得sin()y x ϕ=+的图象()ωωω

−−−−−−−−−→横坐标伸长(0<<1)或缩短(>1)

到原来的纵坐标不变得sin()y x ωϕ=+的图象()

A A A >−−−−−−−−−→纵坐标伸长(1)或缩短(0<<1)

为原来的倍横坐标不变得sin()y A x ωϕ=+的图象(0)(0)

k k k ><−−−−−−−→向上或向下平移个单位长度

得sin()y A x k ϕ=++的图象．先伸缩后平移

sin y x =的图象(1)(01)

A A A ><<−−−−−−−−−→纵坐标伸长或缩短为原来的倍(横坐标不变)

得sin y A x =的图象(01)(1)

()

ωωω

<<>−−−−−−−−−→横坐标伸长或缩短到原来的纵坐标不变得sin()y A x ω=的图象

三角函数的平移与伸缩规律探究

三角函数的平移与伸缩规律探究三角函数是高中数学中的重要内容，它包括正弦函数、余弦函数和

正切函数。在学习三角函数的过程中，我们不仅要了解其定义和性质，还需要深入研究平移与伸缩规律。本文将就三角函数的平移和伸缩规

律展开探究，并给出相应的例子进行说明。

一、平移规律

1. 正弦函数的平移

正弦函数表示为y = A*sin(Bx+C) + D，其中A、B、C、D为常数。其中C决定了函数的平移效果，具体规律如下：

- 当C > 0时，图像向左平移|C|个单位；

- 当C < 0时，图像向右平移|C|个单位；

例如，对于y = sin(x+π/2)这个函数，其图像相对于y = sin(x) 的图

像向左平移π/2 个单位。

2. 余弦函数的平移

余弦函数表示为y = A*cos(Bx+C) + D，其中A、B、C、D为常数。其中C决定了函数的平移效果，具体规律如下：

- 当C > 0时，图像向左平移|C|个单位；

- 当C < 0时，图像向右平移|C|个单位；

例如，对于y = cos(x-π/3)这个函数，其图像相对于y = cos(x) 的图像向右平移π/3 个单位。

3. 正切函数的平移

正切函数表示为y = A*tan(Bx+C) + D，其中A、B、C、D为常数。其中C决定了函数的平移效果，具体规律如下：

- 当C > 0时，图像向左平移|C|个单位；

- 当C < 0时，图像向右平移|C|个单位；

例如，对于y = tan(x-π/6)这个函数，其图像相对于y = tan(x) 的图像向右平移π/6 个单位。