必修四第三章三角恒等变换-作业

合集下载

(好题)高中数学必修四第三章《三角恒等变形》测试(包含答案解析)(4)

一、选择题1．若10,0,cos ,sin 2243423ππππβαβα⎛⎫⎛⎫<<-<<+=-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则cos 2βα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（） AB．C． D2．已知sin 410πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，02πα<<，则tan α的值为（） A ．12-B ．12C ．2D ．12-或2 3．已知tan α，tan β是方程2506x x a -+=的两个实数根，且()tan 1αβ+=，则实数a =（）A ．16B ．116C ．512D ．7124．已知函数()sin cos f x a x b x =+，其中,a b ∈R ，且0ab ≠，若()π4f x f ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭对一切x ∈R 恒成立，则（）. A ．ππ56f f ⎛⎫⎛⎫>⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．()5π2f x f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭C ．π4f x ⎛⎫-⎪⎝⎭是偶函数 D ．π4f x ⎛⎫+⎪⎝⎭是奇函数 5．函数2()sin 2f x x x =+-()cos(2)2 3 (0)6g x m x m m π=--+>，若对任意1[0,]4x π∈，存在2[0,]4x π∈，使得12()()g x f x =成立，则实数m 的取值范围是（） A ．4(1,)3B ．2(,1]3C ．2[,1]3D ．4[1,]36．设等差数列{}n a 满足：()22222222272718sin cos cos cos sin sin 1sin a a a a a a a a -+-=+，公差()1,0d ∈-．若当且仅当11n =时，数列{}n a 的前n 项和n S 取得最大值，则首项1a 的取值范围是（） A ．9,10ππ⎛⎫⎪⎝⎭B ．11,10ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．9,10ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．11,10ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭7．已知()2020cos2020f x x x =+的最大值为A ，若存在实数1x ，2x ，使得对任意的实数x ，总有()()()12f x f x f x ≤≤成立，则12A x x -的最小值为（） A ．2020π B ．1010π C ．505π D ．4040π 8．已知cos 2π3)4αα=+，则1tan tan αα+等于（） A ．92B ．29C ．9-2D ．2-99．函数()sin ([,0])f x x x x π=∈-的单调递增区间是（） A ．5[,]6ππ--B ．5[,]66ππ-- C ．[,0]3π-D ．[,0]6π-10．已知()sin 2cos x x x ϕ+=+对x ∈R 恒成立，则cos 2ϕ=（） A ．25-B ．25C ．35D ．3511．已知直线3x −y +1=0的倾斜角为α，则1sin22α= A ．310 B ．35 C ．−310D ．11012．已知cos()63πα+=sin(2)6πα-的值为（） A．3B ．13C ．13-D．3-二、填空题13．已知α、0,2πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，sin α=，()cos αβ+=()cos 2αβ+=______.14．已知,2παπ⎛⎫∈⎪⎝⎭，3tan 24α=．则2sin 2cos αα+=______．15．在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称.若3sin 4α=，则()cos αβ-=______. 16．求值：sin 50sin 30sin10cos50cos30sin10︒+︒︒︒-︒︒=_______17．已知4sin 3cos 0+=αα，则2sin 23cos +αα的值为____________.18．已知cos 2βα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，cos 2αβ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，且0,22βπα⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，0,22απβ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，则2αβ+的值为__________. 19．已知sin10cos102cos140m ︒-︒=︒，则m =_________.20．化简4cos80︒︒=________.三、解答题21．（1）求值：4sin 220tan320-︒︒；（2）已知43sin ,4544x x πππ⎛⎫+=--<<⎪⎝⎭，求22cos sin 2x x +的值.22．已知2()2sin ()142xf x π=+-．（1）求()(2)3g x f x π=-的递增区间；（2）是否存在实数k ，使得不等式(2)(4)()(4)()32f x k f x k f x π+-⋅+-⋅+<对任意22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，的恒成立，若存在，求出k 的取值范围；若不存在，说明理由． 23．已知1sin cos 5αα+=，其中0απ<<. （1）求11sin cos αα+的值；（2）求tan α的值.24．在下列三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答． ①函数1()cos sin (0)2264f x x x ωωπω⎛⎫⎛⎫=+-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．②函数1()sin +cos()(0)2224f x x x x ωωωω⎛⎫⎛⎫=> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； ③函数()1()sin 0,||22f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭对任意x ∈R 都有5()06f x f x π⎛⎫+-= ⎪⎝⎭成立；已知_______（填所选条件序号），函数()f x 图象的相邻两条对称轴之间的距离为2π．（1）求3f π⎛⎫⎪⎝⎭的值；（2）求函数()f x 的单调递增区间和对称中心､对称轴．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 25．已知函数()cos23f x x =-，()2cos 4g x a x a =-.（1）求函数()()2h x x f x =+的最大值；（2）当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()()f x g x >恒成立，求a 的取值范围.26．已知函数2()[2sin()sin ]cos 3f x x x x x π=++．（1）求函数()f x 的最小正周期和单调递减区间；（2）若函数()f x 的图象关于点(,)m n 对称，求正数m 的最小值；【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【分析】由cos cos 2442βππβαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦展开计算正余弦值代入可得答案. 【详解】因为10,cos 243ππαα⎛⎫<<+= ⎪⎝⎭，所以3444πππα<+<，sin +43πα⎛⎫= ⎪⎝⎭，因为02πβ-<<，所以4422ππβπ<-<，又因为sin 423πβ⎛⎫-=⎪⎝⎭，所以cos 423πβ⎛⎫-= ⎪⎝⎭ 而cos cos +2442βππβαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦， cos +cos sin +sin 442442ππβππβαα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭133==. 故选：A.【点睛】三角函数式的化简要遵循“三看”原则：（1）一看“角”，这是最重要的一环，通过看角之间的区别和联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式；（2）而看“函数名称”看函数名称之间的差异，从而确定使用公式，常见的有“切化弦”；（3）三看“结构特征”，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，如“遇到分式通分”等.2．C解析：C 【分析】由同角间的三角函数关系先求得cos()4πα-，再得tan()4πα-，然后由两角和的正切公式可求得tan α．【详解】 ∵02πα<<，∴444πππα-<-<，∴cos 410πα⎛⎫-=⎪⎝⎭， ∴sin 14tan 43cos 4παπαπα⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭-== ⎪⎛⎫⎝⎭- ⎪⎝⎭， ∴tan tan 44ππαα⎡⎤⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦1tan 11432111tan 34παπα⎛⎫-++ ⎪⎝⎭===⎛⎫--- ⎪⎝⎭.故选：C ．【点睛】思路点睛：本题考查三角函数的求值．考查同角间的三角函数关系，两角和的正切公式．三角函数求值时首先找到“已知角”和“未知角”之间的联系，选用恰当的公式进行化简求值．注意三角公式中“单角”与“复角”的区别与联系，它们是相对的．不同的场景充当的角色可能不一样．如题中4πα-在tan tan4tan 41tan tan 4παπαπα-⎛⎫-=⎪⎝⎭+作为复角，但在tan tan 44ππαα⎡⎤⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦中充当“单角”角色．3．A解析：A 【分析】首先利用韦达定理求得5tan tan 6αβ+=，tan tan a αβ⋅=，再结合()tan 1αβ+=，利用两角和正切公式得到关于a 的等量关系式，求得结果. 【详解】因为tan α，tan β是方程2506x x a -+=的两个实数根，所以有5tan tan 6αβ+=，tan tan a αβ⋅=，因为()tan 1αβ+=，所以有5611a=-，所以16a =，故选：A. 【点睛】思路点睛：该题考查的是有关两角和正切公式，解题思路如下：（1）先利用韦达定理，写出两根和与两根积；（2）利用两角和正切公式，结合题中条件，得到等量关系式，求得结果.4．B解析：B 【分析】利用辅助角公式可得()()f x x ϕ=+，又()π4f x f ⎛⎫≤⎪⎝⎭对一切x ∈R 恒成立知π422f a ⎛⎫=+=⎪⎝⎭a b =，整理得()sin 4f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，利用正弦函数的单调性可判断A ，利用诱导公式以及三角函数的奇偶性可判断选项BCD ，进而可得正确选项. 【详解】由0ab ≠知0a ≠且0b ≠，利用辅助角公式可得()()sin cos f x a x b x x ϕ=+=+，其中tan baϕ=，又()π4f x f ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭对一切x ∈R 恒成立，知π4f ⎛⎫⎪⎝⎭是()f x 的最值，所以πππsin cos 44422f b a a b ⎛⎫=+=+= ⎝⎪⎭，即22221122a b ab a b +++=，所以2211022a b ab +-=，即()2102a b -=，所以a b =，tan 1b a ϕ==，可得4πϕ=，所以()sin 4f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，对于选项A ：9sin sin 55420f ππππ⎛⎫⎛⎫=+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，5sin sin 66412f ππππ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又因为5912202πππ<<，则59sin sin 1220ππ<，当0a >时，ππ56f f ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当0a <时，ππ56f f ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选项A 不正确；对于选项B ：sin sin 5π5π11π3π2244sin 4f x x x x π⎛⎫-=--- ⎪⎝⎛⎫⎛⎫⎛⎫+== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎭()ππ4sin sin 4x f x x π⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭--+，故选项B 正确；对于选项C ：sin sin ππ444x x f x π⎛⎫--⎛⎫=+= ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭是奇函数，故选项C 不正确；对于选项D ：si πππ442n sin cos 4f x x x x π⎛⎫⎛⎫=+== ⎪ ⎪⎛⎫+++ ⎪⎭⎝⎭⎝⎭⎝是偶函数，故选项D 不正确，故选：B 【点睛】关键点点睛：本题的关键点是从已知条件()π4f x f ⎛⎫≤⎪⎝⎭对一切x ∈R 恒成立，知π4f ⎛⎫ ⎪⎝⎭是()f x 的最值，π422f a ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，从而得()sin 4f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，属于中档题.5．D解析：D 【解析】222221f x sin x x sin x cos x =+-=+-（））12222222223sin x x sin x cos x sin x π==+=+（）（），当0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，552[]21[12]3366min x f x sin f x ππππ+∈∴==∴∈，，（），（），，对于22306g x mcos x m m π=--+（）（）（＞），2[]2[]36662m x mcos x m ππππ-∈--∈，，（），，3[33]2g x m m ∴∈-+-（），，∵对任意10,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，存在20,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得()()12g x f x =成立，331232m m ⎧-+≥⎪∴⎨⎪-≤⎩ ，解得实数m 的取值范围是41,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦．故选D ．【点睛】本题考查三角函数恒等变换，其中解题时问题转化为求三角函数的值域并利用集合关系是解决问题的关键，6．D解析：D 【解析】因为22222222272718sin cos cos cos sin sin 1sin()a a a a a a a a -+-=+，所以由余弦二倍角公式、平方差公式及两角和与差的余弦公式可得2272718cos 2cos()cos()1sin()a a a a a a a -+-+=+，再运用积化和差公式可得227181cos 2[cos 2cos 2]21sin()a a a a a -++=+，即72181[cos 2cos 2]21sin()a a a a -=+，再由差化积公式可得727218sin()sin()1sin()a a a a a a --+=+．由于{}n a 是等差数列，因此1827a a a a +=+，即1827sin()sin()a a a a +=+，所以72sin()1a a -=-即sin51d =-注意到()1,0d ∈-，则()55,0d ∈-，所以5210d d ππ=-⇒=-，故对称轴方程故等差数列的前n 项和是1(1)2n n n S na d -=+，即221()()222020n d d S n a n n a n ππ=+-=-++，其对称轴是1202a n ππ+=，由题设可得1202123222a ππ+<<，即11110a ππ<<，应选答案D ．点睛：解答本题的关键是先借助三角变换中的两角和差的余弦公式、余弦二倍角公式、积化和差与和差化积公式等三角变换公式进行化简，再借助差数列的定义和性质求出等差数列的公差10d π=-，然后将等差数列的前n 项和公式1(1)2n n n S na d -=+变形为221()()222020n d d S n a n n a n ππ=+-=-++，借助对称轴11n =的位置建立不等式组1202123222a ππ+<<，进而求得数列首项的取值范围是11110a ππ<<． 7．B解析：B化简函数()f x 的解析式可得周期与最大值，对任意的实数x ，总有()()()12f x f x f x ≤≤成立，即12x x -半周期的整数倍，代入求最小值即可．【详解】()2020cos 20202sin 20206f x x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，则220201010T ππ==，2A = 1212210101010A x x ππ-≥⨯⨯=故选：B 【点睛】本题考查正弦函数的性质，考查三角恒等变换，考查周期与最值的求法，属于中档题．8．A解析：A 【分析】先利用cos 2sin 22παα⎛⎫=+ ⎪⎝⎭结合cos 2π)4αα=+cos 46πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭的值，然后利用二倍角公式得到24cos 22cos 1249ππαα⎛⎫⎛⎫+=+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即4sin 29α=，又12tan tan sin 2ααα+=，将4sin 29α=代入便可解出答案. 【详解】因为sin 22sin cos cos 2244π4)444πππααααπαππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭⎝⎭===+ ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则cos 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭ 所以24cos 22cos 1249ππαα⎛⎫⎛⎫+=+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又4cos 2sin 229παα⎛⎫+=-=- ⎪⎝⎭，所以4sin 29α=，所以1sin cos 1229tan 4tan cos sin sin cos sin 229ααααααααα+=+====.故选：A.本题考查诱导公式，考查正弦、余弦的二倍角公式及其应用，难度一般，解答时公式的变形运用是关键.9．D解析：D 【解析】()sin 23f x x x sin x π⎛⎫==-⎪⎝⎭，因为[],0x π∈-4,,333x πππ⎡⎤∴-∈--⎢⎥⎣⎦，由1,323x πππ⎡⎤-∈--⎢⎥⎣⎦，得,06x π⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，函数()[]()sin ,0f x x x x π=∈-的单调递增区间是,06π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，故选D.10．D解析：D 【分析】利用两角和的正弦公式进行展开，结合恒成立可得cos ϕ，最后根据二倍角公式得结果. 【详解】由题可知，cos sin sin 2cos x x x x ϕϕ+=+，则cosϕ=，sin ϕ=，所以283cos22cos 1155ϕϕ=-=-=，故选：D. 【点睛】本题主要考查了两角和的余弦以及二倍角公式的应用，通过恒成立求出cos ϕ是解题的关键，属于中档题.11．A解析：A 【分析】由题意利用直线的倾斜角和斜率求出tanα的值，再利用三角恒等变换，求出要求式子的值．【详解】直线3x-y+1=0的倾斜角为α，∴tanα=3，∴2221133sin222219110sin cos tan a sin cos sin cos tan αααααααα=⋅====+++，故选A ．【点睛】本题主要考查直线的倾斜角和斜率，三角恒等变换，属于中档题．12．B解析：B 【解析】∵cos 63πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则5sin 2sin 2sin 26662ππππααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=-++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦][221cos 2[2cos 11]6633ππαα⎛⎫⎛⎫=-+=-+-=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选B.二、填空题13．【分析】利用同角三角函数的平方关系求得的值然后利用两角和的余弦公式可求得的值【详解】因为则又所以所以故答案为：【点睛】本题考查利用两角和的余弦公式求值同时也考查了同角三角函数基本关系的应用考查计算能解析：2【分析】利用同角三角函数的平方关系求得cos α、()sin αβ+的值，然后利用两角和的余弦公式可求得()cos 2αβ+的值. 【详解】因为α、0,2πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则0αβ<+<π，又10sin，()cos αβ+=cos α==()sin 5αβ+==，所以()()()()cos 2cos cos cos sin sin αβααβααβααβ+=++=+-+⎡⎤⎣⎦-=故答案为：2. 【点睛】本题考查利用两角和的余弦公式求值，同时也考查了同角三角函数基本关系的应用，考查计算能力，属于中等题.14．【分析】由正切的二倍角公式求得用正弦二倍角公式变形化用1的代换化求值式为关于析二次齐次分式再弦化切后求值【详解】因为所以或（舍）所以故答案为：【点睛】本题考查二倍角公式考查同角间的三角函数解题关键是解析：12-【分析】由正切的二倍角公式求得tan α，用正弦二倍角公式变形化用“1”的代换化求值式为关于sin ,cos αα析二次齐次分式，再弦化切后求值．【详解】因为22tan 3tan 21tan 4ααα==-，所以tan 3α=-或13（舍），所以222222sin cos cos 2tan 11sin 2cos sin cos tan 12ααααααααα+++===-++．故答案为：12-．【点睛】本题考查二倍角公式，考查同角间的三角函数．解题关键是由221sin cos αα=+化待求值式为关于sin ,cos αα析二次齐次分式，然后利用弦化切求值．15．；【分析】根据角的终边关于轴对称得到以及两角差的余弦公式即可求出【详解】因为角与角均以为始边它们的终边关于轴对称所以所以故答案为：【点睛】本题主要考查了三角函数定义的应用两角差的余弦公式同角三角函数解析：18；【分析】根据角的终边关于y 轴对称得到cos cos ,sin sin αβαβ=-=，以及两角差的余弦公式即可求出. 【详解】因为角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称，所以3cos cos ,sin sin 4αβαβ=-==，所以()22cos cos cos sin sin sincos αβαβαβαα-=+=-22sin 1α=-92116=⨯- 18= 故答案为：18【点睛】本题主要考查了三角函数定义的应用，两角差的余弦公式，同角三角函数的关系，属于中档题.16．【分析】根据代入原式利用正余弦的和差角公式求解即可【详解】故答案为：【点睛】本题主要考查了非特殊角的三角函数化简与求值需要根据所给的角度与特殊角的关系并利用三角恒等变换进行求解属于中档题【分析】根据506010︒=︒-︒，代入原式利用正余弦的和差角公式求解即可. 【详解】()()sin 6010sin 30sin10sin 50sin 30sin10cos50cos30sin10cos 6010cos30sin10︒-︒+︒︒︒+︒︒=︒-︒︒︒-︒-︒︒sin 60cos10cos60sin10sin 30sin10cos60cos10sin 60sin10cos30sin10︒︒-︒︒+︒︒=︒︒+︒︒-︒︒sin 60cos10tan 60cos60cos10︒︒==︒=︒︒【点睛】本题主要考查了非特殊角的三角函数化简与求值，需要根据所给的角度与特殊角的关系，并利用三角恒等变换进行求解.属于中档题.17．【分析】由已知式求出利用同角三角函数间的平方关系和商数关系将化为代入即可求值【详解】则故答案为：【点睛】本题考查了同角三角函数间的平方关系和商数关系正余弦其次式的计算二倍角的正弦公式属于中档题解析：2425【分析】由已知式求出3tan 4α=-，利用同角三角函数间的平方关系和商数关系，将2sin 23cos +αα化为22tan 3tan 1αα++，代入即可求值. 【详解】4sin 3cos 0αα+=，3tan 4α∴=-，则22222sin cos 3cos sin 23cos sin cos ααααααα++=+22tan 3tan 1αα+=+232()343()14⨯-+=-+ 2425=. 故答案为：2425. 【点睛】本题考查了同角三角函数间的平方关系和商数关系，正、余弦其次式的计算，二倍角的正弦公式，属于中档题.18．【分析】求出和再由两角和余弦公式求得然后可得角的大小【详解】∵且∴同理∴又由得∴故答案为：【点睛】本题考查已知三角函数值求角一般要求角可先这个角的某个三角函数值最好先确定这个角的范围选用在此范围内三解析：4π．【分析】求出sin()2βα-和sin()2αβ-，再由两角和余弦公式求得cos 2αβ+，然后可得角的大小．【详解】∵cos 2βα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，cos 2αβ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，且0,22βπα⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，0,22απβ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，∴sin()25βα-==sin()2αβ-=， ∴coscos[()()]cos()cos()sin()sin()2222222αββαβαβααβαβαβ+=-+-=-----2==，又由0,22βπα⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，0,22απβ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭得(0,)2αβπ+∈，∴2αβ+4π=．故答案为：4π．【点睛】本题考查已知三角函数值求角．一般要求角可先这个角的某个三角函数值，最好先确定这个角的范围，选用在此范围内三角函数是单调的函数求函数值后再确定角的大小．19．【分析】化简得再利用诱导公式与和差角公式化简求解即可【详解】由题故答案为：【点睛】本题主要考查了根据余弦的诱导公式与和差角公式化简求解的问题需要根据题中的角跟特殊角的关系用和差角公式属于中档题【分析】化简得sin102cos140cos10m ︒-︒=︒,再利用诱导公式与和差角公式化简cos140︒求解即可.【详解】由题()sin102cos 1030sin102cos140cos10cos10m ︒+︒+︒︒-︒==︒︒sin102cos10cos302sin10sin 302cos10cos302cos30cos10cos10︒+︒︒-︒︒︒︒===︒=︒︒.【点睛】本题主要考查了根据余弦的诱导公式与和差角公式化简求解的问题.需要根据题中的角跟特殊角的关系用和差角公式,属于中档题.20．1【分析】利用诱导公式得到通分整理后由利用两角差的正弦公式展开化简后得到答案【详解】故答案为：【点睛】本题考查诱导公式进行化简求值利用两角差的正弦公式进行化简求值属于中档题解析：1 【分析】利用诱导公式，得到cos80sin10︒︒=，通分整理后，由()sin 20sin 3010︒︒︒=-，利用两角差的正弦公式，展开化简后，得到答案. 【详解】4cos80︒︒=()2sin 3010cos10︒︒︒︒-==cos10cos110︒︒︒︒+==. 故答案为：1.【点睛】本题考查诱导公式进行化简求值，利用两角差的正弦公式进行化简求值，属于中档题.三、解答题21．（1）2）825. 【分析】（1）利用诱导公式，同角三角函数的基本关系，二倍角公式，两角和的正弦与余弦公式以及辅助角公式求解即可；（2）先利用已知条件得到4x π+的范围，进而求出cos 4x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值，再利用二倍角公式和诱导公式求解即可. 【详解】（1）4sin 220tan320-︒︒()()sin 18040tan 360404︒+︒-︒-=︒ sin 440tan 40︒+=-︒ sin 440sin 40cos 40︒︒=-+︒sin 40cos 40sin 40cos 440︒︒+︒-=︒sin80sin 40co 402s -=︒+︒︒()0sin 3010cos 402cos1︒+︒+︒=-︒0sin 30cos10cos32cos 0sin10co 01s 4︒+︒︒+︒︒=-︒3cos1022cos 40-︒︒︒==（2）344x ππ-<<， 422x πππ∴-<+<，则cos 04x π⎛⎫+> ⎪⎝⎭，所以3cos 45x π⎛⎫+=⎪⎝⎭，又2cos 22cos 1x x =-，cos 2sin 2sin 22sin cos 2444x x x x x ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭432425525⎛⎫=⨯-⨯=- ⎪⎝⎭，则22412cos cos 2112525x x =+=-+=； sin 2cos 2cos 224x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2972cos 12142525x π⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+-=-⨯-= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以21782cos sin 2252525x x +=+=；【点睛】关键点睛：本题主要考查了三角函数与三角恒等变换问题.灵活的运用诱导公式，同角三角函数的基本关系，二倍角公式，两角和的正弦与余弦公式以及辅助角公式是解决本题的关键. 22．（1）5[,],1212k k Z πππ-+∈；（2）存在，14k <<【分析】（1）利用二倍角公式化简可得()sin f x x =，从而可得()sin(2)3g x x π=-，由正弦函数的单调性可得222232k x k πππππ-+≤-≤+，k Z ∈，解不等式即可.（2）不等式化为2sin cos (4)(sin cos )3x x k x x ⋅+-+<，令sin cos [t x x =+∈-，不等式等价为2(4)40t k t +--<在⎡-⎣恒成立，令函数2()(4)4,m t t k t =+--根据二次函数根的分布只需(1)0m m -<⎧⎪⎨<⎪⎩，解不等式即可.【详解】（1）解：2()2sin ()1cos()sin 422x f x x x ππ=+-=-+=， ()(2)sin(2)33g x f x x ππ=-=-，222232k x k πππππ-+≤-≤+解得5,1212k x k k Z ππππ-+≤≤+∈，函数()g x 的递增区间为5[,],1212k k Z πππ-+∈；（2）假设存在这样的实数k ,则不等式即为2sin cos (4)(sin cos )3x x k x x ⋅+-+<,令sin cos ,t x x =+则()22sin cos 11sin cos 22x x t x x +--⋅==则不等式()221(4)3(4)40t k t t k t ⇔-+-<⇔+--<又sin cos )4t x x x π=+=+，由,02x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦π，3,444x πππ⎡⎤∴+∈-⎢⎥⎣⎦，所以sin cos )[4t x x x π=+=+∈-令函数2()(4)4,m t t k t =+--即2()(4)40,t m t t k t ⎡=+--<∈-⎣恒成立，由一元二次方程根的分布，只需(1)0101404)20m k k m k ⎧-<-<⎧⎪⎪⇒⇒<<⎨<--<⎪⎩ 【点睛】关键点点睛：本题考查了三角恒等变换、三角函数的性质、三角不等式恒成立以及一元二次方程根的分布，解题的关键是将不等式通过换元法转化为2(4)40t k t +--<在⎡-⎣恒成立，考查了分析能力、运算求解能力.23．（1）115sin cos 12αα+=-；（2）4tan 3α=-. 【分析】（1）将等式1sin cos 5αα+=两边平方，可求出sin cos αα的值，进而可求得11sin cos αα+的值；（2）法一：利用同角三角函数的基本关系可求得sin cos αα-的值，结合已知条件可得出关于sin α、cos α的方程组，解出sin α、cos α的值，进而可求得tan α的值；法二：由弦化切可得出222sin cos tan 12sin cos tan 125αααααα==-++，可得出关于tan α的二次方程，由已知条件可得出tan 1α<-，由此可求得tan α的值. 【详解】（1）由1sin cos 5αα+=①，得()21sin cos 12sin cos 25αααα+=+=.12sin cos 25αα∴=-，所以，111sin cos 5512sin cos sin cos 1225αααααα++===--；（2）法一：由（1）知12sin cos 25αα=-，0απ<<，sin 0α>，cos 0α<，sin cos 0αα∴->.()249sin cos 12sin cos 25αααα∴-=-=，7sin cos 5αα∴-=②.由①②得，4sin 5α，3cos 5α=-，sin 4tan cos 3∴==-ααα；法二：由（1）知12sin cos 25αα=-，22sin cos 1αα+=，22sin cos 12sin cos 25αααα∴=-+. 2222sin cos 12cos sin cos 25cos αααααα∴=-+，即2tan 12tan 125αα=-+，整理可得212tan 25tan 120αα++=，得4tan 3α=-或3tan 4α=-. 因为0απ<<，所以sin 0α>，cos 0α<，又1sin cos 05αα+=>，所以sin cos αα>，tan 1α∴<-，所以4tan 3α=-. 【点睛】方法点睛：在利用同角三角函数的基本关系求值时，可利用以下方法求解：（1）应用公式时注意方程思想的应用，对于sin cos αα+、sin cos αα-、sin cos αα这三个式子，利用()2sin cos 12sin cos αααα±=±可以知一求二；（2）关于sin α、cos α的齐次式，往往化为关于tan α的式子． 24．条件性选择见解析，（1）14；（2）单调递增区间为,,36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦；对称中心的坐标为,0,212k k Z ππ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭；对称轴为直线26k x ππ=+，k Z ∈. 【分析】选择条件①：()fx 11cos cos222224x x x ωωω⎛⎫⎛⎫=+- ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11cos sin 426x x x πωωω⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，再根据相邻两对称轴之间距离为2π，可得ω从而求出()f x ；选择条件②：()f x 11sin cos sin 4426x x x πωωω⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，相邻两对称轴之间距离为2π，可得ω，从而求出()f x ；选择条件③：()f x 相邻两对称轴之间距离为2π，求出ω，对任意x ∈R 都有5()06f x f x π⎛⎫+-= ⎪⎝⎭成立，则()f x 的图象关于5,012π⎛⎫ ⎪⎝⎭对称，可求出ϕ，从而得出()f x ；（1）由于选择哪种情况，都有1()sin 226f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，代入3f π⎛⎫⎪⎝⎭可得答案. （2）分别根据正弦函数的单调递增区间、对称中心、对称轴可得答案. 【详解】选择条件①：依题意，()1cos sin 2264f x x x ωωπ⎛⎫⎛⎫=+-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即有：()11cos cos22224f x x x x ωωω⎫⎛⎫=+-⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭，化简得：211()cos cos 22224f x x x x ωωω⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，即有：11()cos sin 4426f x x x x πωωω⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，又因为()f x 相邻两对称轴之间距离为2π，则周期为π，从而2ω=，从而1()sin 226f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ ；选择条件②：依题意，()1cos cos 2224f x x x x ωωω⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即有：11()cos sin 4426f x x x x πωωω⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，又因为()f x 相邻两对称轴之间距离为2π，则周期为π，从而2ω=，从而1()sin 226f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；选择条件③：依题意，()f x 相邻两对称轴之间距离为2π，则周期为π，从而2ω=，对任意x ∈R 都有5()06f x f x π⎛⎫+-= ⎪⎝⎭成立，则()f x 的图象关于5,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称，则5212k πϕπ⨯+=，k Z ∈，由||2ϕπ<知6π=ϕ，从而1()sin 226f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；（1）由于选择哪种情况，都有1()sin 226f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以11sin 233264f πππ⎛⎫⎛⎫=⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. （2）1()sin 226f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，单调递增区间为2222621,k x k k z πππππ-≤+≤+∈，解得,,36x k k k Z ππππ⎡⎤∈-+∈⎢⎥⎣⎦，从而()f x 的单调增区间为,,36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦ 又由2,6x k k Z ππ+=∈，所以212k x k Z ππ=-∈，，得()f x 的对称中心的坐标为,0,212k k Z ππ⎛⎫-∈⎪⎝⎭， ()f x 的对称轴为直线2,62x k k Z πππ+=+∈，即26k x ππ=+，k Z ∈. 【点睛】关键点点睛：本题考查了三角函数解析式的化简，以及三角函数的图象与性质的应用，其中解答中利用三角恒等变换的公式，化简函数的解析式，再利用三角函数的图象与性质求解是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.25．（1）-1；（2）()4-+∞【分析】（1）易得()2sin 233h x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，再利用正弦函数的性质求解. （2）将0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()()f x g x >恒成立，转化为0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，22cos 2cos 440x a x a -+->恒成立，令[]cos 0,1t x =∈，利用二次函数的性质求()22244r t t at a =-+-的最小值即可.【详解】（1）因为函数()cos23f x x =-，所以()2cos 232sin 233h x x x x π⎛⎫=+-=+- ⎪⎝⎭，当22,32x k k Z πππ+=+∈，即 ,12x k k Z ππ=+∈时， sin 213x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以()h x 的最大值是-1；（2）因为0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()()f x g x >恒成立，所以0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，cos232cos 4x a x a >--恒成立，所以0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，22cos 2cos 440x a x a -+->恒成立，令[]cos 0,1t x =∈ ()22244r t t at a =-+- 当02a ≤，即 0a ≤时， ()()min 0440r t r a ==->，解得 1a >，此时无解；当012a <<，即 02a <<时， ()2min 44022a a r t r a ⎛⎫==-+-> ⎪⎝⎭，解得44-<+，此时42a -<；当12a ≥，即 2a ≥时， ()()min 1220r t r a ==->，解得 1a >，此时2a ≥；综上：a 的取值范围是()4-+∞【点睛】方法点睛：恒成立问题的解法：若()f x 在区间D 上有最值，则()()min ,00x D f x f x ∀∈>⇔>；()()max ,00x D f x f x ∀∈<⇔<；若能分离常数，即将问题转化为：()a f x >（或()a f x <），则()()max a f x a f x >⇔>；()()min a f x a f x <⇔<.26．（1）T π=，7[,],1212++∈k k k Z ππππ；（2）3π. 【分析】（1）先利用三角恒等变换，将函数转化为()2sin(2)3f x x π=+，再利用正弦函数的性质求解.（2）根据函数()f x 的图象关于点(,)m n 对称，令2()3m k k Z ππ+=∈求解. 【详解】（1）2()[2sin()sin ]cos 3=++f x x x x x π2(sin sin )cos =++-x x x x x2(2sin )cos =+x x x x222sin cos sin )x x x x =+-sin 222sin(2)3x x x π==+， T π=，由3222232k x k πππππ+≤+≤+，解得71212k x k ππππ+≤≤+，则()f x 的单调递减区间是7[,],1212++∈k k k Z ππππ. （2）2()3+=∈m k k Z ππ，,26∴=-∈k m k Z ππ 又0m >m ∴的最小值为3π. 【点睛】方法点睛：1．讨论三角函数性质，应先把函数式化成y ＝A sin(ωx ＋φ)(ω>0)的形式． 2．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)和y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期为2T ωπ=，y ＝tan(ωx ＋φ)的最小正周期为T πω=. 3．对于函数的性质(定义域、值域、单调性、对称性、最值等)可以通过换元的方法令t ＝ωx ＋φ，将其转化为研究y ＝sin t 的性质．。

(好题)高中数学必修四第三章《三角恒等变形》测试卷(包含答案解析)(1)

一、选择题1．已知函数44()cos sin f x x x =-在区间,()4t t t R π⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦上的最大值为()M t ，最小值为()N t 则函数()()()g t M t N t =-的最小值为（） A1- B ．1C．2D．12-2．已知0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，2sin 2cos21αα-=，则cos α的值为（） A ．15BCD3．已知函数2()2sin cos (0)f x x x x ωωωω=->图像的相邻两条对称轴之间的距离为2π，则2f π⎛⎫= ⎪⎝⎭（） A．1B．1--C ．0D．-4．已知tan 2α=，则sin cos 2sin cos αααα+=-（）A ．1B ．1-C ．2D ．2-5．已知2π()2sin ()1(0)3f x x ωω=+->，给出下列判断： ①若函数()f x 的图象的两相邻对称轴间的距离为π2，则=2ω； ②若函数()f x 的图象关于点π(,0)12对称，则ω的最小值为5； ③若函数()f x 在ππ[,]63-上单调递增，则ω的取值范围为1(0,]2； ④若函数()f x 在[0,2π]上恰有7个零点，则ω的取值范围为4147[,)2424. 其中判断正确的个数为（） A ．1 B ．2C ．3D ．46．已知3cos 25α=，()0,2απ∈，则sin 4απ+⎛⎫= ⎪⎝⎭（） AB． CD． 7．已知cos 2π)4αα=+1tan tan αα+等于（）A ．92B ．29C ．9-2D ．2-98．已知0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，1cos 63πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin α的值等于（）A B C D ． 9．已知直线3x −y +1=0的倾斜角为α，则1sin22α= A ．310 B ．35 C ．−310D ．11010．已知函数22()2sin cos ()sin (0)24x f x x x ωπωωω=-->在区间25[,]36ππ-上是增函数，且在区间[0,]π上恰好取得一次最大值，则ω的范围是（）A ．3(0,]5B ．13[,]25C ．13[,]24D ．15[,)2211．已知()4cos 5αβ+=，()1cos 5αβ-=，则tan tan αβ⋅的值为（） A ．12B ．35C ．310-D ．3512．在ABC 中，若sin 2sin cos B A C =，那么ABC 一定是（） A ．等腰直角三角形 B ．等腰三角形 C ．直角三角形D ．等边三角形二、填空题13．在ABC 中，A ∠，B ，C ∠对应边分别为a ，b ，c ，且5a =，4b =，()31cos 32A B -=，则ABC 的边c =________. 14．已知α满足1sin 3α=，那么ππcos cos 44αα⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值为________. 15．若函数()()()sin cos 2f x x x πϕϕϕ⎛⎫=+++< ⎪⎝⎭为偶函数，则ϕ=______.16．已知cos 25βα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，cos 210αβ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，且0,22βπα⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，0,22απβ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，则2αβ+的值为__________. 17．下列判断正确的有___________.①如果θ是第一象限角，那么恒有sin02θ>；②sin 200a ︒=，则tan 200︒=③若()f x 的定义域为R ，周期为4，且满足()()f x f x -=-，则()f x 在[4,8]x ∈-至少有7个零点； ④若0,,0,66x y ππ⎛⎫⎛⎫∈∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且cos tan x y x ⋅=，则x y <. 18．在直角三角形ABC 中，C ∠为直角，45BAC ∠>，点D 在线段BC 上，且13CD CB =，若1tan 2DAB ∠=，则BAC ∠的正切值为_____.19．在半径为2的半圆形钢板上截取一块面积最大的矩形，则最大面积是________. 20．设,(0,)αβπ∈，cos α，cos β是方程26320x x -=-的两根，则sin sin αβ=_________.三、解答题21．（1）若3tan =4α-，求sin cos sin cos αααα+-的值；（2）已知锐角,αβ满足11cos()14αβ+=-，若sin()7αβ-=，求cos β的值.22．已知函数21()cos2sin 12sin 22x f x x x ⎛⎫=+⋅- ⎪⎝⎭，3()224g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.（1）对任意的[]12,0,x x t ∈，当12x x <时，均有()()()()1212f x f x g x g x -<-成立，求正实数t 的最大值；（2）在满足（1）的条件时，若方程[()()1]2()2()10a f x g x f x g x ⋅-+-+-=在区间,4t π⎛⎫- ⎪⎝⎭上有解，求实数a 的取值范围.23．设函数2()cos cos 6f x x x x π⎛⎫=⋅-+ ⎪⎝⎭. （1）求()f x 的最小正周期和单调递增区间；（2）当,122x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求函数()f x 的最大值和最小值.24．已知函数()sin (cos )2f x x x x =+-. （1）求3f π⎛⎫⎪⎝⎭的值及函数()f x 的单调增区间；（2）若,122x ππ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦，不等式()2m f x m <<+恒成立，求实数m 的取值集合. 25．已知函数2()sin 22sin 6f x x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭. （1）求512f π⎛⎫⎪⎝⎭；（2）求()f x 的单调递增区间及最小正周期.（3）若(0,)2πα∈，且()22f α=，求sin α.（4）若tan 2β=，求3()cos 22f ββ+的值.26．已知函数()4sin cos 3f x x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭（1）求函数()f x 的最小正周期和单调递增区间；（2）当,64x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，求()f x 的最值及取到最值时x 的值；（3）若函数()()g x f x m =-在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个不同的零点1x ，2x ，求实数m 的取值范围，并求()12tan x x +的值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】先利用平方差公式、同角三角函数关系以及二倍角公式将函数变形为()cos 2f x x =，然后发现区间长度刚好是四分之一个周期，从而利用余弦函数的对称性，得到当区间,4t t π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，关于cos 2y x =的对称轴对称时，此时最大值与最小值的差值最小，求出此时的最大值和最小值，即可得到答案．【详解】函数44222222()cos sin (cos sin )(cos sin )cos sin cos 2f x x x x x x x x x x =-=+-=-=，所以函数()f x 的周期为22T ππ==，区间,()4t t t R π⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦的区间长度刚好是函数()f x 的四分之一个周期，因为()f x 在区间,()4t t t R π⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦上的最大值为()M t ，最小值为()N t ，由函数cos 2y x =的对称性可知，当区间,4t t π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，关于2y cos x =的对称轴对称时，此时最大值与最小值的差值最小，即函数()()()g t M t N t =-取最小值，区间,4t t π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，的中点为428t tt t ππ-+==-，此时()f t 取得最值±1，不妨()f t 取得最大值()=1M t ，则有cos 2()18t π-=，解得224t k ππ-=，所以,,8t k k Z ππ=+∈所以()cos 2cos 2cos 44N t t k πππ⎛⎫==+==⎪⎝⎭故()()()g t M t N t =-取最小值为12-．故选：D ．【点睛】关键点睛：本题考查了三角函数的最值，涉及了二倍角公式的应用、同角三角函数关系的应用、三角函数的周期性、对称性的应用，解题的关键是分析出当区间,4t t π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦关于cos 2y x =的对称轴对称时，此时最大值与最小值的差值最小.2．D解析：D 【分析】利用二倍角公式化简得到2sin cos ,αα=再利用同角的平方关系求解. 【详解】由题得24sin cos 12cos 1,ααα+-= 所以24sin cos 2cos ,ααα=因为0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以2sin cos ,αα=因为22221sin cos 1,cos cos 14αααα+=∴+=，所以24cos ,(0,),cos 52πααα=∈∴= 故选：D 【点睛】方法点睛：三角函数求值常用的方法有：三看（看角、看名、看式）三变（变角、变名、变式）.3．D解析：D 【分析】先将函数化简整理，根据相邻对称轴之间距离求出周期，确定1ω=，再求2f π⎛⎫⎪⎝⎭. 【详解】因为()21cos 22sin cos sin 22xf x x x x x ωωωωω-=-=- πsin 222sin 23x x x ωωω⎛⎫=+=+- ⎪⎝⎭由题意知()f x 的最小正周期为π22π⨯=，所以2π2πω=，即1ω=，所以()π2sin 23f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭π2sin 23f ππ⎛⎫⎛⎫=+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：D. 【点睛】本题考查了三角函数的性质，关键点是根据已知条件先化简正弦函数的解析式，还要熟练掌握三角函数的性质才能正确的解题，属于中档题.4．A解析：A 【分析】已知正切值要求正余弦值，可以利用商的关系将“弦化切”，代入数值即可. 【详解】原式分子分母同除以cos α得原=tan 12112tan 141αα++==--故选：A. 【点睛】已知正切值求正余弦值,通常有两种做法：一是将所求式子分子分母同除cos α或2cos α，化为tan α求解；二是利用sin tan cos ααα=得sin tan cos ααα=代入消元即可. 5．C解析：C 【分析】先将()f x 化简，对于①，由条件知，周期为π，然后求出ω；对于②，由条件可得2()612k k Z ωπππ+=∈，然后求出16()k k Z ω=-+∈，即可求解；对于③，由条件，得2362()22362k k Z k ωππππωππππ⎧-+-+⎪⎪∈⎨⎪++⎪⎩，然后求出ω的范围；对于④，由条件，得74221212πππππωωωω-<-，然后求出ω的范围；，再判断命题是否成立即可．【详解】解：2π2ππ()2sin ()1=-cos(2)=sin(2)336f x x x x ωωω=+-++， ∴周期22T ππωω==． ①．由条件知，周期为π，1w ∴=，故①错误；②．函数()f x 的图象关于点π(,0)12对称，则2()612k k Z ωπππ+=∈， 16()k k Z ω∴=-+∈，(0)>ω∴ω的最小值为5，故②正确；③．由条件，ππ[,]63x ∈-，ππ2π236636x πωπωω-+≤+≤+ 由函数()f x 在ππ[,]63-上单调递增得2362()22362k k Z k ωππππωππππ⎧-+-+⎪⎪∈⎨⎪++⎪⎩， 12ω∴≤，又0>ω，102ω∴<，故③正确．④．由()sin(2)06f x x πω=+=得2()6x k k Z πωπ+=∈,解得()212k x k Z ππωω=-∈ ()sin(2)6f x x πω=+且()f x 在[0，2]π上恰有7个零点，可得74221212πππππωωωω-<-， ∴41472424ω<，故④正确；故选：C 【点睛】本题考查了三角函数的图象与性质，考查了转化思想和推理能力，属中档题．关键点点睛：利用整体思想，结合正弦函数的图像和性质是根据周期，对称，单调性，零点个数求求解参数的关键.6．C解析：C 【分析】根据2α是4α的二倍角求出sin α的值，再求cos 4α和sin 4απ+⎛⎫⎪⎝⎭的值. 【详解】因为2α是4α的二倍角，所以2311cos 152sin 4225αα--===，又()0,2απ∈，所以0,42a π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以sin 4545αα===cos ；所以sin sin sin cos cos sin 4444445252104απαπαπαπ+⎛⎫⎛⎫=+=+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故选：C. 【点睛】本题考查了二倍角的余弦公式，考查了同角公式，考查了两角和的正弦公式，属于中档题.7．A解析：A 【分析】先利用cos 2sin 22παα⎛⎫=+ ⎪⎝⎭结合cos 2π3)4αα=+得出cos 46πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭的值，然后利用二倍角公式得到24cos 22cos 1249ππαα⎛⎫⎛⎫+=+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即4sin 29α=，又12tan tan sin 2ααα+=，将4sin 29α=代入便可解出答案. 【详解】因为sin 22sin cos cos 2244π4)444πππααααπαππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭⎝⎭===+ ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，43πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则cos 46πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以24cos 22cos 1249ππαα⎛⎫⎛⎫+=+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又4cos 2sin 229παα⎛⎫+=-=- ⎪⎝⎭，所以4sin 29α=，所以1sin cos 1229tan 4tan cos sin sin cos sin 229ααααααααα+=+====.故选：A. 【点睛】本题考查诱导公式，考查正弦、余弦的二倍角公式及其应用，难度一般，解答时公式的变形运用是关键.8．C解析：C 【分析】求出sin 6απ⎛⎫+⎪⎝⎭，然后由两角差的正弦公式计算．【详解】∵0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴2,663πππα⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，∴sin 63πα⎛⎫+==⎪⎝⎭， ∴sin sin sin cos cos sin 666666ππππππαααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+-+⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦1132=-⨯=故选：C ．【点睛】本题考查两角差的正弦公式，考查同角间的三角函数关系，在应用三角公式化简求值时，要注意已知角与未知角之间的关系，以确定先用哪一个公式变形．9．A解析：A 【分析】由题意利用直线的倾斜角和斜率求出tanα的值，再利用三角恒等变换，求出要求式子的值．【详解】直线3x-y+1=0的倾斜角为α，∴tanα=3，∴2221133sin222219110sin cos tan a sin cos sin cos tan αααααααα=⋅====+++，故选A ．【点睛】本题主要考查直线的倾斜角和斜率，三角恒等变换，属于中档题．10．B解析：B 【分析】先化简函数，根据()f x 在区间25,36ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数，则为函数含有零的增区间的子集，再根据区间[]0,π上恰好取得一次最大值，则取得最大值时对应的最小正数解属于[]0,π，最后取交集.【详解】因为()222sin cos sin 24x f x x x ωπωω⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，()2sin 1sin sin x x x ωωω=+-，22sin sin sin x x x ωωω=+-，sin x ω=，令22,22k x k k Z πππωπ-+≤≤+∈，则22,22k k x k Z ππππωωωω-+≤≤+∈，因为()f x 在区间25,36ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数， 25,23,2262,k k k Z ππππωωωωππ⎡⎤∴-++∈⎢⎥⎣⎦⎡⎤-⊆⎢⎥⎣⎦所以223562ππωππω⎧-≤-⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩，解得35ω≤，令2,2x k k Z πωπ=+∈，因为在区间[]0,π上恰好取得一次最大值，所以02ππω≤≤，所以12ω≥，所以ω的取值范围是1325ω≤≤. 故选：B. 【点睛】本题主要考查三角函数的单调性和最值以及二倍角公式的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.11．B解析：B 【分析】根据两角和与差的余弦函数的公式，联立方程组，求得13cos cos ,sin sin 210αβαβ==-，再结合三角函数的基本关系式，即可求解.【详解】由4cos()cos cos sin sin 5αβαβαβ+=-=，1cos()cos cos sin sin 5αβαβαβ-=+=，联立方程组，可得13cos cos ,sin sin 210αβαβ==-，又由sin sin 3tan tan cos()cos cos 5αβαβαβαβ=+==-.故选：B. 【点睛】本题主要考查了两角和与差的余弦函数，以及三角函数的基本关系式的化简、求值，其中解答中熟记三角恒等变换的公式，准确运算是解答的关键，着重考查运算与求解能力.12．B解析：B 【分析】利用两角和与差公式化简原式，可得答案．【详解】因为sin 2sin cos B A C =，所以sin()2sin cos A C A C +=所以sin cos cos sin 2sin cos A C A C A C += 所以sin cos cos sin 0A C A C -= 所以sin()0A C -=, 所以0A C -=, 所以A C =.所以三角形是等腰三角形. 故选：B. 【点睛】本题考查三角恒等变换在解三角形中的应用，考查两角和与差公式以及两角和与差公式的逆用，考查学生计算能力，属于中档题．二、填空题13．6【分析】由可知然后由可求再由正弦定理三角函数恒等变换的应用可求由可求结合同角平方关系可求代入进而可求进而根据余弦定理可求的值【详解】解：可知由正弦定理于是可得又可得可得由余弦定理可得故答案为：6【解析：6 【分析】由a b >可知A B >，然后由cos()A B -可求sin()A B -，再由正弦定理，三角函数恒等变换的应用可求cos B ，由cos cos[()]cos()cos sin()sin A A B B A B B A B B =-+=---可求cos A ，结合同角平方关系可求sin A ，代入cos()cos cos sin sin A B A B A B +=-，进而可求cos C ，进而根据余弦定理可求c 的值．【详解】解：a b >， A B ∴>，31cos()32A B -=， ∴可知(0,)2A B π-∈，sin()A B ∴-==，由正弦定理，sin 5sin 4A aB b ==，于是可得5sin 31sin sin[()]sin()cos sin cos()sin 432B A A B B A B B B A B B B ==-+=-+-=+，3sin B B ∴，sin cos 22B B 1+=，又B A <，可得3cos 4B =，3139cos cos[()]cos()cos sin()sin 32416A AB B A B B A B B ∴=-+=---⨯=，可得sin A ，931cos cos()cos cos sin sin 1648C A B A B A B ∴=-+=-+=⨯=，∴由余弦定理可得6c ．故答案为：6．【点睛】本题主要考查了正弦定理、同角三角函数的基本关系及和差角的三角公式的综合应用，同时考查了运算的能力，属于中档题．14．【分析】化简原式为即得解【详解】由题得故答案为：【点睛】本题主要考查和角差角的余弦考查二倍角的余弦意在考查学生对这些知识的理解掌握水平解析：718【分析】化简原式为21(12sin )2α-，即得解. 【详解】由题得cos()cos()sin )+sin )4422ππαααααα+-=-⋅222111(cos sin )cos 2(12sin )222αααα=-==- 117(12)2918=-⨯=. 故答案为：718【点睛】本题主要考查和角差角的余弦，考查二倍角的余弦，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.15．【分析】先用辅助角公式函数化简为由偶函数的条件可知是函数的对称轴则又由求得的值【详解】由得因为是偶函数故为其对称轴则又因为所以故答案为：【点睛】本题考查了三角函数的恒等变换三角函数的奇偶性对称性属于解析：4π【分析】先用辅助角公式函数化简为())4f x x πϕ=++，由偶函数的条件可知，0x =是函数的对称轴，则()42k k Z ππϕπ+=+∈，又由2πϕ<求得ϕ的值.【详解】由()()()sin cos ()2f x x x πϕϕϕ=+++<得())4f x x πϕ=++，因为()f x 是偶函数，故0x =为其对称轴，()42k k Z ππϕπ+=+∈，则()4k k ϕπ=π+∈Z ，又因为2πϕ<，所以4πϕ=.故答案为：4π. 【点睛】本题考查了三角函数的恒等变换，三角函数的奇偶性，对称性，属于中档题.16．【分析】求出和再由两角和余弦公式求得然后可得角的大小【详解】∵且∴同理∴又由得∴故答案为：【点睛】本题考查已知三角函数值求角一般要求角可先这个角的某个三角函数值最好先确定这个角的范围选用在此范围内三解析：4π．【分析】求出sin()2βα-和sin()2αβ-，再由两角和余弦公式求得cos 2αβ+，然后可得角的大小．【详解】∵cos 2βα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，cos 2αβ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，且0,22βπα⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，0,22απβ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，∴sin()25βα-==sin()2αβ-=，∴coscos[()()]cos()cos()sin()sin()2222222αββαβαβααβαβαβ+=-+-=-----==，又由0,22βπα⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，0,22απβ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭得(0,)2αβπ+∈，∴2αβ+4π=．故答案为：4π．【点睛】本题考查已知三角函数值求角．一般要求角可先这个角的某个三角函数值，最好先确定这个角的范围，选用在此范围内三角函数是单调的函数求函数值后再确定角的大小．17．③【分析】①利用来判断；②利用来判断；③通过来判断；④通过当时有恒成立来判断【详解】解：①由已知则此时在第一或第三象限有可能小于零错误；②是第三象限角所以则与矛盾错误；③由已知为奇函数故则又所以则有解析：③ 【分析】 ①利用24k k θπππ来判断；②利用sin 2000a ︒=<来判断；③通过(0)0f =，(2)0f =来判断； ④通过当0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，有tan sin ααα>>恒成立来判断. 【详解】解：①由已知22,2k k k Z ππθπ，则,24k k kZ θπππ，此时2θ在第一或第三象限，sin2θ有可能小于零，错误；②200︒是第三象限角，所以sin 2000a ︒=<，则tan 2000︒=<，与tan 2000︒>矛盾，错误；③由已知()f x 为奇函数，故(0)0f =，则(4)(4)(8)(0)0f f f f -====，又(2)(24)(2)(2)f f f f =-=-=-，所以(2)0f =，则有(2)(2)(6)0f f f =-==，则()f x 在[4,8]x ∈-至少有7个零点，正确； ④当0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，有tan sin ααα>>恒成立，证明：单位圆中当0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，如图点P 为角α的终边与单位圆的交点，由图可知OPA 的面积小<扇形OPA 的面积小<OTA 的面积则211111sin 111tan 222ααα⋅⋅⋅<⋅⋅<⋅⋅⋅，整理得tan sin ααα>>. 若0,,0,66x y ππ⎛⎫⎛⎫∈∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，tan cos tan tan x x x y y >=⋅>，所以x y >，故错误. 故答案为：③ 【点睛】本题考查函数周期性的应用，考查当0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，有tan sin ααα>>恒成立这个性质的灵活应用，考查角所在象限和三角函数值符号的关系，是中档题.18．3【分析】在直角三角形中设利用两角差的正切公式求解【详解】设则故故答案为：3【点睛】此题考查在直角三角形中求角的正切值关键在于合理构造角的和差关系其本质是利用两角差的正切公式求解解析：3 【分析】在直角三角形中设3BC =，3AC x =<，1tan tan()2DAB BAC DAC ∠=∠-∠=，利用两角差的正切公式求解. 【详解】设3BC =，3AC x =<，则31tan ,tan BAC DAC x x∠=∠= 22221tan tan()13321x x DAB BAC DAC x x x ∠=∠-∠===⇒=++，故tan 3BAC ∠=. 故答案为：3 【点睛】此题考查在直角三角形中求角的正切值，关键在于合理构造角的和差关系，其本质是利用两角差的正切公式求解.19．4【分析】做出图像由三角函数定义设其中一个顶点坐标从而表示矩形的长与宽进而表示面积求出最大值【详解】由题可构建图像根据三角函数的定义可知所以矩形的面积当时故答案为：4【点睛】本题考查三角函数定义的实解析：4 【分析】做出图像，由三角函数定义设其中一个顶点坐标，从而表示矩形的长与宽，进而表示面积，求出最大值. 【详解】由题可构建图像根据三角函数的定义，可知()2cos ,2sin A αα 所以矩形的面积4cos 2sin 4sin2S ααα=⋅= 当4πα=时，max 4sin 244S π⎛⎫=⋅= ⎪⎝⎭故答案为：4 【点睛】本题考查三角函数定义的实际应用，注意建模，再借助三角函数求最值，属于中档题.20．【分析】由韦达定理得由平方后化为然后凑配成的代数式再代入求值【详解】由是方程的两根所以从而又由知从而【点睛】关键点睛：本题考查三角函数的平方关系考查韦达定理解题关键是利用平方关系化正弦为余弦解答本题 7【分析】由韦达定理得cos cos ,cos cos αβαβ+，由sin sin αβ平方后化为cos ,cos αβ，然后凑配成cos cos ,cos cos αβαβ+的代数式，再代入求值．【详解】由cos α，cos β是方程26320x x -=-的两根所以11cos cos ,cos cos 23αβαβ+==-，从而()()222(sin sin )1cos 1cos αβαβ=--22221cos cos cos cos αβαβ=--+222212cos cos cos cos (cos 2cos cos cos )αβαβααββ=++-++22(1cos cos )(cos cos )αβαβ=+-+22114171329436⎛⎫⎛⎫=--=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.又由,(0,)αβπ∈知sin sin 0αβ>，从而sin sin 6αβ= 【点睛】关键点睛：本题考查三角函数的平方关系，考查韦达定理，解题关键是利用平方关系化正弦为余弦，解答本题的关键是将()()222(sin sin )1cos 1cos αβαβ=--化为22(1cos cos )(cos cos )αβαβ+-+的形式，属于中档题.三、解答题21．（1）17-；（2）2【分析】（1）原式可变形，上下同时除以cos α，代入3tan =4α-后，计算结果；（2）利用角的变换，先求()()cos2cos βαβαβ=+--⎡⎤⎣⎦，展开后代入三角函数值，化简求值，最后求cos β的值. 【详解】（1）原式上下同时除以cos α，变形为31tan 1143tan 1714αα-++==----；（2）0,022ππαβ<<<<，0αβπ∴<+<，22αβππ∴-<-<，()11cos 14αβ+=-，()sin 14αβ∴+==()sin 7αβ-=，()1cos 7αβ∴-=， ()()cos2cos βαβαβ=+--⎡⎤⎣⎦()()()()cos cos sin sin αβαβαβαβ=+-++-111147⎛⎫=-⨯ ⎪⎝⎭ 12=，()20,βπ∈，236ππββ∴=⇒=，cos 2β∴=【点睛】思路点睛：本题第一问是关于sin ,cos αα的齐次分式，上下都是一次形式，则上下同时除以cos α，若上下都是二次形式，则上下同时除以2cos α，第二问是角的变换，将条件中的角看成一个整体，表示结论中的角，再求三角函数值. 22．（1）4π；（2）32a <.【分析】（1）构造()()()h x f x g x =-，由单调性的定义得出()h x 在区间[0,]t 上为增函数，结合正弦型函数的单调性，得出正实数t 的最大值.（2）方程[()()1]2()2()10a f x g x f x g x ⋅-+-+-=有解，可分离参数为2()112()1()1h x a h x h x +==-++，在,44ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上有解，再根据()h x 的值域，求解实数a 的取值范围. 【详解】解：（1）依题可知：1()cos 2sin cos 2f x x x x =+sin 224x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，又∵()()()()1212f x f x g x g x -<-，∴()()()()1122f x g x f x g x -<-，令()()()h x f x g x =-，则3()222424h x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭222424x x ππ⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ sin 2x =.∵()()12h x h x <，∴()h x 在[]0,t 上单调递增， ∵22222k x k ππππ-≤≤+，∴()44k x k k Z ππππ-≤≤+∈，∴4t π≤，即t 的最大值为4π. （2）∵[()()1]2()2()10a f x g x f x g x ⋅-+-+-=，∴(2)[()()]10a f x g x a --+-=， ∴2()112()1()1h x a h x h x +==-++，即12sin 21a x =-+在,44ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上有解，∵1sin 21x -<<，∴32a <. 【点睛】函数的单调性是函数的重要性质之一，它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中.某些数学问题从表面上看似乎与函数的单调性无关，但如果我们能挖掘其内在联系，抓住其本质，那么运用函数的单调性解题，能起到化难为易、化繁为简的作用.因此对函数的单调性进行全面、准确的认识，并掌握好使用的技巧和方法，这是非常必要的.根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.23．（1）T π=，单调递增区间为()5,1212k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦；（2）最大值为12，最小值为14-. 【分析】（1）本题首先可通过三角恒等变换将函数解析式转化为()1sin 223f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，然后通过周期计算公式即可求出最小正周期，通过正弦函数的单调性即可求出单调递增区间；（2）本题可根据,122x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦得出22,363x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，然后根据正弦函数的性质即可求出最值. 【详解】（1）2()cos cos 64f x x x x π⎛⎫=⋅-- ⎪⎝⎭21cos sin 2x x x x ⎫=++-⎪⎪⎝⎭221sin cos 2x x x x =++))2212cos 1sin 22sin 14x x x =-+-+112sin 22sin 2244x x x x x =+=111sin 22sin 22223x x x π⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即()1sin 223f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则最小正周期22T ππ==，当222232k x k πππππ-+≤-≤+，即()51212k x k k Z ππππ-+≤≤+∈，函数()f x 单调递增，函数()f x 的单调递增区间为()5,1212k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦. （2）()1sin 223f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，因为,122x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以22,363x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，由正弦函数的性质易知，当236x ππ-=-，即12x π=时，函数()f x 取最小值，最小值为14-；当232x ππ-=，即512x π=时，函数()f x 取最大值，最大值为12. 【点睛】关键点点睛：本题考查结合三角恒等变换判断三角函数性质，能否根据三角恒等变换将函数转化为()1sin 223f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭是解决本题的关键，考查三角函数周期性、单调性以及最值的求法，是中档题.24．（1）2，单调增区间5,1212k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈；（2）11,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭. 【分析】（1）根据三角恒等变换化简函数()f x ，代值求3f π⎛⎫⎪⎝⎭，用整体代换法求单调递增区间；（2）求出函数在,122ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域，原不等式等价于函数()f x 在,122ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域是(),2m m +的子集，列出不等式组化简即可.【详解】解：（1）)21()sin (cos )sin 22sin 1222f x x x x x x =+-=+-1sin 22sin 223x x x π⎛⎫==- ⎪⎝⎭所以sin 2s 3in 333f ππππ⎛⎛⎫= ⎫⎛⎫⨯-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎪⎝⎭ 由222()232k x k k Z πππππ-≤-≤+∈得5()1212k x k k Z ππππ-≤≤+∈，故函数的单调增区间为5,()1212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦（2）当,122x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，22,363x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，所以1(),12f x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，因为,122x ππ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦不等式()2m f x m <<+恒成立所以1112212m m m ⎧<-⎪⇒-<<-⎨⎪<+⎩ 所以实数m 的取值集合11,2⎛⎫--⎪⎝⎭. 【点睛】求三角函数单调区间的2种方法:（1）代换法:就是将比较复杂的三角函数处理后的整体当作一个角u (或t )，利用基本三角函数的单调性来求所要求的三角函数的单调区间；（2）图象法:函数的单调性表现在图象上是从左到右，图象上升趋势的区间为单调递增区间，图象下降趋势的区间为单调递减区间，画出三角函数的图象，结合图象易求它的单调区间.25．（11（2）5[,],1212k k k Z ππππ-+∈，π（3）6（41+ 【分析】（1）化简函数解析式代入直接求值即可；（2）由正弦型函数的性质求解即可；（3）先求出cos()3πα-，sin()3πα-再利用33ππαα=-+求解即可；（4）由两角差的正弦化简后再利用弦化切求解.【详解】（1）2()sin 22sin 6f x x x π⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭ sin2cos cos2sin 1cos 266x x x ππ⋅-⋅+-1cos21cos22x x x =-+-3sin2cos2122x x =-+213x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭,故55sin()111263f πππ⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭.（2）由（1）知()213f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭, 令222,232k x k k Z πππππ-≤-≤+∈, 解得5,1212k x k k Z ππππ-≤≤+∈, 所以函数()f x 的单调递增区间为5[,],1212k k k Z ππππ-+∈，函数()f x 的周期为22T ππ==. （3）(0,)2πα∈，且()22f α=，())1223f απα=-+=，即sin()33πα-=，因为(0,)2πα∈，所以cos()33πα-=，故sin sin[()]sin()cos cos()sin 333333ππππππαααα=-+=-+-12=+=（4）33()cos 2)1cos 2232f πββββ+=-++3221cos 22βββ=-++sin 2112β=+=+1=+15=+ 【点睛】关键点点睛：涉及三角函数的求值化简问题，关键要根据式子结构特征，选择合适的公式，正用、逆用公式，并结合切化弦、弦化切思想，角的变换技巧，灵活运用公式，熟练运算，属于中档题.26．（1）最小正周期π，单调递增区间为5,1212k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈；（2）4x π=时，()f x 取得最大值1；12x π=-时，()f x 取得最小值2-；（3）)m ∈，()12tan x x +=. 【分析】（1）利用和与差以及辅助角公式基本公式将函数化为()sin y A ωx φ=+的形式，再利用周期公式求函数的最小正周期，最后将内层函数看作整体，放到正弦函数的增区间上，解不等式得函数的单调递增区间；（2）当,64x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，利用正弦函数的定义域和值域，求得()f x 的最大值和最小值，并指出()f x 取得最值时对应的x 的值.（3）函数()()g x f x m =-所在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦匀上有两个不同的零点1x ，2x ，转化为函数()f x 与函数y m =有两个交点；可求m 的范围，结合三角函数的图象可知，1x ，2x ，关于对称轴是对称的，可知12x x +，即可求()12tan x x +的值.【详解】解：（1）函数()4sin cos 3f x x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭化简可得：()2112sin cos sin 2cos 222f x x x x x x ⎫=-=-++⎪⎭sin 222sin 23x x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，所以函数的最小正周期22T ππ==，由222232k x k πππππ-≤-≤+，解得：1212k x k π5ππ-≤≤π+，所以函数的单调递增区间为5,1212k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈.（2）由于64x ππ-≤≤，可得22336x πππ-≤-≤，当236x ππ-=，即4x π=时，()f x 取得最大值1；当232x ππ-=-，即12x π=-时，()f x 取得最小值2-.（3）函数()()g x f x m =-所在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦匀上有两个不同的零点1x '，2x '，转化为函数()f x 与函数y m =有两个交点，令23u x π=-，∵ 0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴2,33u ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，可得sin y u =的图象(如图).从图可知：)3,2m ⎡∈⎣时，函数sin y u =与函数y m =有两个交点，其横坐标分别为1x '，2x '. 故得实数m 的取值范围是)3,2m ⎡∈⎣，由题意可知1x '，2x '是关于对称轴是对称的：那么函数在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦的对称轴512x π=，所以1256x x π''+=，所以()1253tan tan63x x π''+==-.【点睛】本题第三问解题的关键在于将问题转化为函数()f x 与函数y m =有两个交点，进而讨论函数在0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上的图象，根据数形结合思想求解，考查运算求解能力，化归转化思想，是中档题.。

(典型题)高中数学必修四第三章《三角恒等变形》测试(包含答案解析)(1)

一、选择题1．已知0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，2sin 2cos21αα-=，则cos α的值为（）A ．15B ．5 C ．3 D ．2552．已知,(0,2)αβπ∈，且满足1sin cos 2αα-=，1cos sin 2ββ-=，则sin()αβ+=（） A ．1 B ．22-或1 C ．34-或1 D ．1或-13．在ABC 中，2cos 2A =-，1tan 3B =，则()tan A B -=（）A ．2-B ．12-C ．12D ．24．若1sin 34a π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin 26a π⎛⎫-= ⎪⎝⎭（）A ．78-B ．78C ．1516-D ．15165．德国著名的天文学家开普勒说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割.如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿.”黄金三角形有两种，其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是一个顶角为36的等腰三角形（另一种是顶角为108的等腰三角形）.例如，五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成，如图所示，在其中一个黄金ABC 中，512BC AC -=.根据这些信息，可得sin126=（）A 125- B 35+ C 15+ D 45+6．化简22221sin sin cos cos cos 2cos 22αβαβαβ+-=( ) A ．12B ．21-C ．14D ．221-7．已知72cos 410πθ⎛⎫-=⎪⎝⎭，则sin 2θ=（） A ．2425-B ．1225-C ．1225D ．24258．已知α，β均为锐角，5cos()13αβ+=-，3sin()35πβ+=，则sin()3πα-=（）A ．3365B ．3365-C ．6365D ．56659．函数()()sin 0y x πϕϕ=+>的部分图象如图所示,设P 是图象最高点,,A B 是图象与x 轴的交点,记APB θ∠=,则sin 2θ的值是（）A ．1665B ．6365C ．1663-D ．1665-10．已知α∈3π,π2⎛⎫ ⎪⎝⎭,cos α=-45,则tan π4α⎛⎫- ⎪⎝⎭等于( ) A ．7B ．17C ．-17D ．-711．已知3sin 85πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则cos2α＝（） A ．312B ．17250C ．7225D ．1222512．若，则的值为（）A ．B ．C ．D ．二、填空题13．4cos50tan40-=______．14．经过点(4,1)P -作圆2220x y y +-=的切线，设两个切点分别为A ，B ,则tan APB ∠=__________．15．222cos 402cos 50cos35cos65cos55cos155︒-︒=︒︒+︒︒_________.16．已知tanα＝2tan 8π，则3cos 8sin 8αππα⎛⎫- ⎪⎝⎭⎛⎫- ⎪⎝⎭＝_____．17．在直角三角形ABC 中，C ∠为直角，45BAC ∠>，点D 在线段BC 上，且13CD CB =，若1tan 2DAB ∠=，则BAC ∠的正切值为_____.18．已知锐角α，β满足()sin 23sin αββ+=，则()tan cot αβα+=______. 19．设)2sin17cos172a =︒+︒,22cos 131b =︒-,32c =,则a ,b ,c 的大小关系是______.20．设,(0,)αβπ∈，cos α，cos β是方程26320x x -=-的两根，则sin sin αβ=_________.三、解答题21．已知函数())23sin cos 30f x x x x ωωωω=⋅+>图象的两条相邻对称轴之间的距离为2π．（1）求函数()y f x =的解析式及其图象的对称轴方程；（2）若函数()13y f x =-在()0,π上的零点为1x 、2x ，求()12cos x x -的值． 22．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x ≥时，()2sin f x x =.（1）求0x <时，函数()f x 的解析式；（2）已知f (4π－α)＝65，f (54π＋β)＝－2413，α∈(4π，34π)，β∈(0，4π)，求()f αβ+的值.23．已知51,0,,sin ,cos()273παβααβ⎛⎫∈=+=- ⎪⎝⎭. （1）求tan2α的值；（2）求cos(2)αβ+的值.24．已知函数2()cos sin 32233x x x f x ππ⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．（1）若,2x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，求()f x 的递增区间和值域；（2）若004()524f x x ππ=+≤≤，求点02sin 3x ⎛⎫ ⎪⎝⎭．25．已知函数()cos23f x x =-，()2cos 4g x a x a =-.（1）求函数()()2h x x f x =+的最大值；（2）当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()()f x g x >恒成立，求a 的取值范围.26．已知函数()22sin cos 1444x x x f x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭.（1）求函数()f x 的最小正周期及()f x 的单调递减区间﹔ （2）将()f x 的图象先向左平移6π个单位长度，再将其横坐标缩小为原来的12，纵坐标不变得到函数()g x ，若()04g x =，05,4x ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭，求0sin x 的值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】利用二倍角公式化简得到2sin cos ,αα=再利用同角的平方关系求解. 【详解】由题得24sin cos 12cos 1,ααα+-= 所以24sin cos 2cos ,ααα= 因为0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以2sin cos ,αα=因为22221sin cos 1,cos cos 14αααα+=∴+=，所以24cos ,(0,),cos 52πααα=∈∴= 故选：D 【点睛】方法点睛：三角函数求值常用的方法有：三看（看角、看名、看式）三变（变角、变名、变式）.2．C解析：C 【分析】由两角与差的正弦、余弦公式变形由已知求得sin()4πα-和cos()4πβ+，用平方关系求得cos()4πα-和sin()4πα+，而sin()sin ()()44ππαβαβ⎡⎤+=-++⎢⎥⎣⎦，展开后计算，注意分类讨论．【详解】∵1sin cos 2αα-=，∴sin 224αα-=sin()44πα-=，1cos sin 2ββ-=ββ-=，cos()4πβ+=，∴cos()44πα-=±，sin()44πα+=±， sin()sin ()()sin()cos()cos()sin()444444ππππππαβαβαβαβ⎡⎤+=-++=-++-+⎢⎥⎣⎦，当7cos()sin()448ππαβ-+=时，17sin()188αβ+=+=，当7cos()sin()448ππαβ-+=-时，173sin()884αβ+=-=-，故选：C ．【点睛】关键点点睛：本题考查两角和与差正弦、余弦公式．解题关键是确定已知角和未知角之间的关系，本题中已知等式变形得出4πα-和4πβ+，未知角有()()44ππαβαβ+=-++，这样易确定使用的公式与顺序．3．A解析：A 【分析】根据已知条件计算出tan A 的值，然后根据两角差的正切公式结合tan ,tan A B 的值计算出()tan A B -的值.【详解】因为cos 2A =-且()0,A π∈，所以34A π=，所以tan 1A =-，所以()()11tan tan 3tan 211tan tan 113A BA B A B ----===-++-⨯，故选：A. 【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是根据特殊角的余弦值求出其正切值以及两角差的正切公式的熟练运用.4．B解析：B 【分析】化简sin 2cos 2()63a ππα⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，再利用二倍角公式化简求值. 【详解】22sin 2sin[(2)]cos(2)=cos 2()cos 2()632333a ππππππαααα⎛⎫-=-+=--=- ⎪⎝⎭=21712sin ()123168πα--=-⨯=. 故选：B 【点睛】方法点睛：三角恒等变换常用的方法有：三看（看角、看名、看式）三变（变角变名变式），要根据已知条件灵活选择方法化简求值.5．C解析：C 【分析】计算出51cos 724=，然后利用二倍角公式以及诱导公式可计算得出sin126cos36=的值，即可得出合适的选项.【详解】因为ABC 是顶角为36的等腰三角形，所以，72ACB ∠=，则112cos72cos 4BCACB AC =∠==，()sin126sin 9036cos36=+=，而2cos722cos 361=-，所以，13cos36+====. 故选：C. 【点睛】本题考查利用二倍角公式以及诱导公式求值，考查计算能力，属于中等题.6．A解析：A 【分析】由原式利用二倍角公式，和同角三角函数基本关系进行化简，即可得到结果. 【详解】()()2222cos 2cos 2cos sin cos sin αβααββ=--22222222cos cos cos sin sin cos sin sin αβαβαβαβ=--+，所以22221sin sin cos cos cos 2cos 22αβαβαβ+-()2222222222221sin sin cos cos cos cos cos sin sin cos sin sin 2αβαβαβαβαβαβ=+---+()222222221sin sin cos cos +cos sin +sin cos 2αβαβαβαβ=+ ()()()2222221sin sin +cos cos cos +sin 2αββαββ=+()2211sin cos 22αα=+=. 故选：A 【点睛】本题主要考查三角函数的化简求值，涉及到同角三角函数基本关系和三角恒等变换，属于中档题.7．D解析：D 【分析】由2sin 2cos(2)cos[2()]2cos ()1244πππθθθθ=-=-=--，代入即可求解. 【详解】因为cos 410πθ⎛⎫-=⎪⎝⎭，由24924sin 2cos(2)cos[2()]2cos ()1212445025πππθθθθ=-=-=--=⨯-=. 故选：D. 【点睛】本题主要考查了三角恒等变换的化简、求值，其中解答中熟记余弦的倍角公式，准确运算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力.8．B解析：B 【分析】由所给三角函数值利用同角三角函数的关系求出()sin αβ+、cos 3πβ⎛⎫+⎪⎝⎭，3πα-记为()3παββ⎛⎫+-+⎪⎝⎭，利用两角差的正弦公式展开代入相应值计算即可.【详解】α，β均为锐角，5cos()013αβ+=-<，,2παβπ⎛⎫∴+∈ ⎪⎝⎭，∴()12sin 13αβ+==，β均为锐角，5,336πππβ⎛⎫∴+∈ ⎪⎝⎭，则1cos 322πβ⎛⎫⎛⎫+∈- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，4cos 35πβ⎛⎫∴+==- ⎪⎝⎭或45（4152>，舍去），()sin()sin 33ππααββ⎡⎤⎛⎫∴-=+-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦()()sin cos cos sin 33ππαββαββ⎛⎫⎛⎫=+⋅+-+⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭124533313513565⎛⎫⎛⎫=⨯---⨯=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故选：B 【点睛】本题考查同角三角函数的关系、两角差的正弦公式、三角函数在各象限的符号，属于中档题.9．A解析：A 【分析】过点P 作x 轴的垂线，垂足为D ，由三角函数性质得2AB =，12AD =，1DP =，32DB =，故1tan 2APD ∠=，3tan 2BPD∠=，进而得()tan tan 8APD BPD θ=∠+∠=，故2222sin cos 2tan 16sin 22sin cos sin cos tan 165θθθθθθθθθ====++.【详解】解：根据题意，如图，过点P 作x 轴的垂线，垂足为D ，由于函数的最小正周期为22T ππ==，最大值为max 1y =，所以2AB =，12AD =，1DP =，32DB =，所以在直角三角形ADP 和直角三角形BDP 中，1tan 2APD ∠=，3tan 2BPD ∠=，所以()tan tan tan APB APD BPD θ=∠=∠+∠tan tan 28311tan tan 122APD BPD APD BPD ∠+∠===-∠⋅∠-⨯，所以2222sin cos 2tan 16sin 22sin cos sin cos tan 165θθθθθθθθθ====++.故选：A.【点睛】本题考查三角函数的性质，同角三角函数关系，正切的和角公式，考查运算能力，是中档题.10．B解析：B 【分析】先根据同角三角函数关系求tan α，再根据两角差正切公式求结果. 【详解】由已知得tan α=34,则tan π1tan 141tan 7ααα-⎛⎫-== ⎪+⎝⎭. 选B 【点睛】本题考查同角三角函数关系、两角差正切公式，考查基本求解能力.11．A解析：A 【分析】由平方关系得cos 8πα⎛⎫+⎪⎝⎭，然后由二倍角得出sin 24απ⎛⎫+⎪⎝⎭，cos 24πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭，再由两角差的余弦公式求得cos2α．【详解】∵0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴5,888πππα⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，若,828πππα5⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，则233sin sin 8325ππα⎛⎫+>=> ⎪⎝⎭，∴,882πππα⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，∴4cos 85πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，24sin 22sin cos 48825πππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，237cos 2124525πα⎛⎫⎛⎫+=-⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴cos 2cos 2cos 2cos sin 2sin 444444ππππππαααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦722423122525=⨯+⨯=．故选：A ．【点睛】本题考查两角差的余弦公式，考查平方关系同、二倍角公式，解题时需要确定角的范围，才能在由平方关系求函数值时确定是否是唯一解．12．C解析：C 【解析】试题分析：因，故应选C ．考点：同角三角函数的关系及运用．二、填空题13．【详解】故答案为考点：三角函数诱导公式切割化弦思想解析：3【详解】4sin 40cos 40sin 404cos50tan 40cos 40--=2cos10sin 30cos10sin10cos30cos 40--=,313cos10sin102cos 40⎛⎫- ⎪⎝⎭=3cos 40340==,故答案为3.考点：三角函数诱导公式、切割化弦思想.14．【分析】由圆的方程可以求出圆心坐标及半径进而可以求出从而求出的值由利用二倍角的正切公式可以求出的值【详解】圆的方程可化为则圆心为半径为r=1设则【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系考查了圆的性质考查解析：199【分析】由圆的方程可以求出圆心坐标及半径，进而可以求出25PD =，1DA =，从而求出tan APD ∠的值，由2APB APD ∠∠=，利用二倍角的正切公式，可以求出tan APB ∠的值. 【详解】圆的方程可化为()2211x y +-=，则圆心为()0,1D ，半径为r =1，设APD ∠θ=，AP DA ⊥，()2241125PD =+--=，2220119PA PD r =-=-=，则19tan 1919DA PA θ===,22192tan 1919 tan tan211tan 9119APB θθθ∠====--.【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，考查了圆的性质，考查了两点间的距离公式，二倍角的正切公式，属于基础题．15．【分析】用诱导公式降次公式两角和与差的正余弦公式化简求值得到答案【详解】原式故答案为：【点睛】本题考查了三角关系的化简与求值诱导公式转化角两角和与差公式二倍角公式属于中档题解析：2-【分析】用诱导公式、降次公式、两角和与差的正余弦公式化简求值，得到答案. 【详解】原式()()22222cos 40cos 502cos 402cos 50sin 55cos 65cos55sin 65sin 5565︒-︒︒-︒==︒︒-︒︒︒-︒.()2cos80sin 10︒=-︒2sin10sin10︒=-︒2=-故答案为：2-. 【点睛】本题考查了三角关系的化简与求值，诱导公式转化角，两角和与差公式，二倍角公式，属于中档题.16．3【分析】由诱导公式对原式化简用两角和差公式展开分子分母同除即可得结果【详解】故答案为：3【点睛】本题考查了三角函数的诱导公式三角恒等变换等基本数学知识考查了运算求解能力属于基础题目解析：3 【分析】由诱导公式对原式化简3cos()sin()88sin()sin()88ππααππαα-+=--，用两角和差公式展开，分子分母同除cos cos8πα，即可得结果.【详解】3cos()sin()sin cos cos sin tan tan 888883sin()sin()sin cos cos sin tan tan88888πππππαααααπππππααααα-+++====---- 故答案为：3 【点睛】本题考查了三角函数的诱导公式、三角恒等变换等基本数学知识，考查了运算求解能力，属于基础题目.17．3【分析】在直角三角形中设利用两角差的正切公式求解【详解】设则故故答案为：3【点睛】此题考查在直角三角形中求角的正切值关键在于合理构造角的和差关系其本质是利用两角差的正切公式求解解析：3 【分析】在直角三角形中设3BC =，3AC x =<，1tan tan()2DAB BAC DAC ∠=∠-∠=，利用两角差的正切公式求解. 【详解】设3BC =，3AC x =<，则31tan ,tan BAC DAC x x∠=∠= 22221tan tan()13321x x DAB BAC DAC x x x ∠=∠-∠===⇒=++，故tan 3BAC ∠=. 故答案为：3 【点睛】此题考查在直角三角形中求角的正切值，关键在于合理构造角的和差关系，其本质是利用两角差的正切公式求解.18．2【分析】将三角函数式配成与由正弦函数和角与差角公式展开即可求解【详解】锐角满足变形可得由正弦和角与差角公式展开可得合并化简可得等式两边同时除以可得即故答案为:2【点睛】本题考查了三角函数式化简求值解析：2 【分析】将三角函数式配成()αβα++与()αβα+-,由正弦函数和角与差角公式展开,即可求解. 【详解】锐角α,β满足()sin 23sin αββ+=变形可得()()sin 3sin αβααβα++=+-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦ 由正弦和角与差角公式展开可得()()()()sin cos sin cos 3sin cos 3sin cos αβαααβαβαααβ+++=+-+合并化简可得()()4sin cos 2sin cos ααβαβα+=+ 等式两边同时除以()2cos cos αβα+ 可得()2tan tan ααβ=+ 即()tan cot 2αβα+= 故答案为:2【点睛】本题考查了三角函数式化简求值,角的变化形式,属于中档题.19．【分析】根据两角和的正弦公式二倍角公式诱导公式即可将化简再根据正弦函数的单调性即可比较出大小关系【详解】所以故答案为：【点睛】本题主要考查两角和的正弦公式二倍角公式诱导公式的应用以及正弦函数的单调性解析：c a b <<【分析】根据两角和的正弦公式，二倍角公式，诱导公式，即可将,a b 化简，再根据正弦函数的单调性即可比较出大小关系．【详解】)sin17cos17sin17cos 45cos17sin 45sin 622a =︒+︒=︒+︒=，22cos 131cos 26sin 64b =︒-==，sin 602c ==，所以，c a b <<．故答案为：c a b <<．【点睛】本题主要考查两角和的正弦公式，二倍角公式，诱导公式的应用，以及正弦函数的单调性的应用，属于基础题．20．【分析】由韦达定理得由平方后化为然后凑配成的代数式再代入求值【详解】由是方程的两根所以从而又由知从而【点睛】关键点睛：本题考查三角函数的平方关系考查韦达定理解题关键是利用平方关系化正弦为余弦解答本题【分析】由韦达定理得cos cos ,cos cos αβαβ+，由sin sin αβ平方后化为cos ,cos αβ，然后凑配成cos cos ,cos cos αβαβ+的代数式，再代入求值．【详解】由cos α，cos β是方程26320x x -=-的两根所以11cos cos ,cos cos 23αβαβ+==-，从而()()222(sin sin )1cos 1cos αβαβ=--22221cos cos cos cos αβαβ=--+222212cos cos cos cos (cos 2cos cos cos )αβαβααββ=++-++22(1cos cos )(cos cos )αβαβ=+-+22114171329436⎛⎫⎛⎫=--=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.又由,(0,)αβπ∈知sin sin 0αβ>，从而sin sin 6αβ= 【点睛】关键点睛：本题考查三角函数的平方关系，考查韦达定理，解题关键是利用平方关系化正弦为余弦，解答本题的关键是将()()222(sin sin )1cos 1cos αβαβ=--化为22(1cos cos )(cos cos )αβαβ+-+的形式，属于中档题.三、解答题21．（1）()sin 23πf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，对称轴方程为()5122k x k Z ππ=+∈；（2）13. 【分析】（1）利用三角恒等变换化简函数解析式为()sin 23f x x πω⎛⎫=- ⎪⎝⎭，求出函数()f x 的最小正周期，可得出函数()f x 的解析式，解方程()232x k k Z πππ-=+∈可解得函数()y f x =图象的对称轴方程；（2）求得121sin 2sin 2333x x ππ⎛⎫⎛⎫-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，分析得出点()()11,x f x 、()()22,x f x 关于直线512x π=对称，可得出1256x x π+=，再利用诱导公式可求得()12cos x x -的值.【详解】（1）())221sin cos sin 22cos 12f x x x x x x ωωωωω=⋅+=--1sin 2sin 223x x x πωωω⎛⎫==- ⎪⎝⎭，由于函数()f x 图象的两条相邻对称轴之间的距离为2π，则该函数的最小正周期为22T ππ=⨯=，0ω>，所以，222Tπω==，解得1ω=. 所以，()sin 23πf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，由()232x k k Z πππ-=+∈，解得()5122k x k Z ππ=+∈，所以，函数()y f x =图象的对称轴方程为()5122k x k Z ππ=+∈；（2）由题意可得()1111sin 20333f x x π⎛⎫-=--= ⎪⎝⎭，则11sin 233x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，同理可得21sin 233x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭.当0πx <<时，则52333x πππ-<-<，若()20,3x ππ-∈，设232x ππ-=，解得512x π=. 因为()()1213f x f x ==，所以，点()()11,x f x 、()()22,x f x 关于直线512x π=对称. 所以，1256x x π+=. 所以，()12111155cos cos cos 2cos 26632x x x x x x ππππ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=-=-- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦11sin 233x π⎛⎫=-= ⎪⎝⎭.【点睛】思路点睛：利用三角恒等变换思想化简正弦型函数解析式的步骤如下：（1）利用两角和与差的正弦、余弦公式展开；（2）利用二倍角的正弦、余弦的降幂公式将二次式降幂，并合并同类项；（3）利用辅助角公式化简. 22．（1）()2sin f x x =-；（2）12665. 【分析】（1）根据偶函数定义求解析式；（2）代入已知条件，确定角的范围，由平方关系求得cos 4πα⎛⎫- ⎪⎝⎭，5sin 4πβ⎛⎫+⎪⎝⎭，然后结合诱导公式、两角差的正弦公式计算．【详解】解：（1）设0x <，则0x ->，故()2sin()2sin f x x x -=-=-，又()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x <时，()2sin f x x =-. （2）344ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，04πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，,042ππα⎛⎫∴-∈- ⎪⎝⎭，553442πππβ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，，,4παβπ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，6()2sin()445f ππαα∴-=--=，化简得3sin 45πα⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，则4cos 45πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭.5524()2sin()4413f ππββ+=+=-，化简得512sin 413πβ⎛⎫+=-⎪⎝⎭，则55cos 413πβ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭.512435126()2sin()2sin ()2()4413551365f ππαβαββα⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+=-+--=--⨯--⨯-=⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦．【点睛】关键点点睛：本题考查由奇偶性求解析式，考查两角差的正弦公式，同角间的三角函数关系，诱导公式等．解题关键是确定已知角和未知角的关键，以确定选用的公式．在用平方关系求值时需确定角的范围，从而确定函数值的正负． 23．（1）-2）21-.【分析】先判断角的范围，利用22sin cos 1αα+=求出 cos α，再利用和差角公式求出tan2α，cos(2)αβ+的值【详解】解：（1）因为50,sin 27παα<<=，所以sin cos tan cos αααα===，22tan 6tan 2251tan 124ααα===--- （2）因为1,0,,cos()23παβαβ⎛⎫∈+=- ⎪⎝⎭，所以sin()αβ+=. cos(2)cos[()]cos cos()sin sin()αβααβααβααβ+=++=+-+15737321⎛⎫=⨯--⨯=-⎪⎝⎭ 【点睛】利用三角公式求三角函数值的关键： (1)角的范围的判断；(2)根据条件进行合理的拆角，如(),2()βαβααβαβα=+-+=++等． 24．（1）,24ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，值域1⎤+⎥⎣⎦；（2）024sin 310x +⎛⎫= ⎪⎝⎭. 【分析】（1）先利用诱导公式和降幂公式可将()f x 化为()2sin 332x f x π⎛⎫=++⎪⎝⎭数的性质可得函数的单调区间和值域. （2）利用两角差的正弦公式可求02sin 3x ⎛⎫⎪⎝⎭的值. 【详解】①2()sin cos 1cos 333x x x f x ⎫=++⎪⎝⎭2sin 33x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由2222332x k k πππππ-≤+≤+得53344k x k ππππ-≤≤+，k Z ∈，又2x ππ-≤≤，所以()f x 的递增区间为,24ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，又2x ππ-≤≤，故2033x ππ≤+≤，所以20sin 133x π⎛⎫≤+≤ ⎪⎝⎭，()f x ∴值域为1⎤+⎥⎣⎦.②由024()sin 33252x f x π⎛⎫=++=+⎪⎝⎭得024sin 335x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，因04x ππ≤≤，所以02233x πππ≤+≤，故023cos 335x π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭00002222sin sin sin cos cos sin 3333333333x x x x ππππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦4134525210+=⨯+⨯=. 【点睛】方法点睛：形如()22sinsin cos cos f x A x B x x C x ωωωω=++的函数，可以利用降幂公式和辅助角公式将其化为()()'sin 2'f x A x B ωϕ=++的形式，再根据复合函数的讨论方法求该函数的单调区间、对称轴方程和对称中心等．三角函数的化简求值问题，可以从四个角度去分析：（1）看函数名的差异；（2）看结构的差异；（3）看角的差异；（4）看次数的差异．对应的方法是：弦切互化法、辅助角公式（或公式的逆用）、角的分拆与整合（用已知的角表示未知的角）、升幂降幂法．25．（1）-1；（2）()4-+∞ 【分析】（1）易得()2sin 233h x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，再利用正弦函数的性质求解.（2）将0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()()f x g x >恒成立，转化为0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，22cos 2cos 440x a x a -+->恒成立，令[]cos 0,1t x =∈，利用二次函数的性质求()22244r t t at a =-+-的最小值即可.【详解】（1）因为函数()cos23f x x =-，所以()2cos 232sin 233h x x x x π⎛⎫=+-=+- ⎪⎝⎭，当22,32x k k Z πππ+=+∈，即 ,12x k k Z ππ=+∈时， sin 213x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以()h x 的最大值是-1；（2）因为0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()()f x g x >恒成立，所以0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，cos232cos 4x a x a >--恒成立，所以0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，22cos 2cos 440x a x a -+->恒成立，令[]cos 0,1t x =∈ ()22244r t t at a =-+-当02a≤，即 0a ≤时， ()()min 0440r t r a ==->，解得 1a >，此时无解；当012a <<，即 02a <<时， ()2min 44022a a r t r a ⎛⎫==-+-> ⎪⎝⎭，解得44-<+，此时42a -<；当12a≥，即 2a ≥时， ()()min 1220r t r a ==->，解得 1a >，此时2a ≥；综上：a 的取值范围是()4-+∞ 【点睛】方法点睛：恒成立问题的解法：若()f x 在区间D 上有最值，则()()min ,00x D f x f x ∀∈>⇔>；()()max ,00x D f x f x ∀∈<⇔<；若能分离常数，即将问题转化为：()a f x >（或()a f x <），则()()max a f x a f x >⇔>；()()min a f x a f x <⇔<.26．（1）最小正周期为4π，单调递减区间是5114,4,33k k k ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z ；（2）. 【分析】（1）利用完全平方公式、正弦的二倍角公式、逆用两角差正弦公式化简()f x ，再求最小正周期及()f x 的单调递减区间；（2）求出()f x 的图象变换后的解析式，再求出04x π-的正余弦值利用凑角可得答案.【详解】()22sin cos 112sin cos 1cos 1444442x x x x x x f x ⎛⎫⎫=+-=++ ⎪⎪⎝⎭⎭1sin 2sin 2sin 22222223x x x x x π⎛⎫⎛⎫==-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. （1）()f x 的最小正周期为4T π=，由3222232x k k πππππ+≤-≤+，k ∈Z ，解得5114433k x k ππππ+≤≤+，k ∈Z ，所以函数()f x 的单调递减区间是5114,4,33k k k ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z . （2）将()f x 的图象先向左平移6π个单位长度，得到函数62sin 2sin 2324x x y πππ⎛⎫+ ⎪⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭，再将其横坐标缩小为原来的12，纵坐标不变得到函数()2sin 4g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，据题意有0sin 48x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，且03,44x πππ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，则0cos 48x π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，则0000sin sin sin cos cos sin 444444x x x x ππππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=-+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦==. 【点睛】本题考查了三角函数的图象和性质，其中解答中利用三角恒等变换的公式，化简()f x 的解析式，再利用三角函数的图象与性质求解是解答的关键，着重考了学生的计算能力，属于基础题.。

高中数学(人教A版)必修4第3章三角恒等变换测试题(含详解)

第三章测试(时间：120分钟，满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．sin105°cos105°的值为( ) A.14 B ．－14C.34D ．－34解析原式＝12sin210°＝－12sin30°＝－14.答案 B2．若sin2α＝14，π4<α<π2，则cos α－sin α的值是( )A.32B ．－32C.34D ．－34解析 (cos α－sin α)2＝1－sin2α＝1－14＝34.又π4<α<π2， ∴cos α<sin α，cos α－sin α＝－34＝－32. 答案 B3．sin15°sin30°sin75°的值等于( ) A.14 B.34 C.18D.38解析 sin15°sin30°sin75° ＝sin15°cos15°sin30° ＝12sin30°sin30°＝12×12×12＝18. 答案 C4．在△ABC 中，∠A ＝15°，则 3sin A －cos(B ＋C )的值为( ) A. 2 B.22C.32D. 2解析在△ABC 中，∠A ＋∠B ＋∠C ＝π， 3sin A －cos(B ＋C ) ＝3sin A ＋cos A ＝2(32sin A ＋12cos A ) ＝2cos(60°－A )＝2cos45°＝ 2. 答案 A5．已知tan θ＝13，则cos 2θ＋12sin2θ等于( )A ．－65B ．－45C.45D.65解析原式＝cos 2θ＋sin θcos θcos 2θ＋sin 2θ＝1＋tan θ1＋tan 2θ＝65.答案 D6．在△ABC 中，已知sin A cos A ＝sin B cos B ，则△ABC 是( ) A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形解析 ∵sin2A ＝sin2B ，∴∠A ＝∠B ，或∠A ＋∠B ＝π2.答案 D 7．设a ＝22(sin17°＋cos17°)，b ＝2cos 213°－1，c ＝32，则( ) A ．c <a <b B ．b <c <a C ．a <b <c D ．b <a <c 解析 a ＝22sin17°＋22cos17°＝cos(45°－17°)＝cos28°，b ＝2cos 213°－1＝cos26°，c ＝32＝cos30°， ∵y ＝cos x 在(0,90°)内是减函数， ∴cos26°>cos28°>cos30°，即b >a >c . 答案 A8．三角形ABC 中，若∠C >90°，则tan A ·tan B 与1的大小关系为( ) A ．tan A ·tan B >1 B. tan A ·tan B <1 C ．tan A ·tan B ＝1D ．不能确定解析在三角形ABC 中，∵∠C >90°，∴∠A ，∠B 分别都为锐角．则有tan A >0，tan B >0，tan C <0. 又∵∠C ＝π－(∠A ＋∠B )，∴tan C ＝－tan(A ＋B )＝－tan A ＋tan B1－tan A ·tan B <0，易知1－tan A ·tan B >0，即tan A ·tan B <1. 答案 B9．函数f (x )＝sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋π4－sin 2⎝⎛⎭⎫x －π4是( ) A ．周期为π的奇函数 B ．周期为π的偶函数 C ．周期为2π的奇函数 D ．周期为2π的偶函数解析 f (x )＝sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋π4－sin 2⎝⎛⎭⎫x －π4 ＝cos 2⎝⎛⎭⎫π4－x －sin 2⎝⎛⎭⎫x －π4 ＝cos 2⎝⎛⎭⎫x －π4－sin 2⎝⎛⎭⎫x －π4 ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π2 ＝sin2x . 答案 A10．y ＝cos x (cos x ＋sin x )的值域是( ) A ．[－2,2] B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋22，2C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－22，1＋22D.⎣⎡⎦⎤－12，32 解析 y ＝cos 2x ＋cos x sin x ＝1＋cos2x 2＋12sin2x＝12＋22⎝⎛⎭⎫22sin2x ＋22cos2x ＝12＋22sin(2x ＋π4)．∵x ∈R ， ∴当sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＝1时，y 有最大值1＋22；当sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＝－1时，y 有最小值1－22. ∴值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－22，1＋22.答案 C11．已知θ为第二象限角，sin(π－θ)＝2425，则cos θ2的值为( )A.335 B.45 C ．±35D ．±45解析由sin(π－θ)＝2425，得sin θ＝2425.∵θ为第二象限的角，∴cos θ＝－725.∴cos θ2＝±1＋cos θ2＝± 1－7252＝±35. 答案 C12．若α，β为锐角，cos(α＋β)＝1213，cos(2α＋β)＝35，则cos α的值为( )A.5665 B.1665C.5665或1665D ．以上都不对解析 ∵0<α＋β<π，cos(α＋β)＝1213>0，∴0<α＋β<π2，sin(α＋β)＝513.∵0<2α＋β<π，cos(2α＋β)＝35>0，∴0<2α＋β<π2，sin(2α＋β)＝45.∴cos α＝cos [(2α＋β)－(α＋β)]＝cos(2α＋β)cos(α＋β)＋sin(2α＋β)sin(α＋β) ＝35×1213＋45×513＝5665. 答案 A二、填空题(本大题共4小题，每题5分，共20分．将答案填在题中横线上) 13．若1＋tan α1－tan α＝2012，则1cos2α＋tan2α＝______.解析1cos2α＋tan2α＝1＋sin2αcos2α＝sin 2α＋cos 2α＋2sin αcos αcos 2α－sin 2α＝tan 2α＋1＋2tan α1－tan 2α＝(tan α＋1)21－tan 2α＝1＋tan α1－tan α＝2012.答案 201214．已知cos2α＝13，则sin 4α＋cos 4α＝________.解 ∵cos2α＝13，∴sin 22α＝89.∴sin 4α＋cos 4α＝(sin 2α＋cos 2α)2－2sin 2αcos 2α ＝1－12sin 22α＝1－12×89＝59.答案 5915.sin (α＋30°)＋cos (α＋60°)2cos α＝________.解析 ∵sin(α＋30°)＋cos(α＋60°)＝sin αcos30°＋cos αsin30°＋cos αcos60°－sin αsin60°＝cos α，∴原式＝cos α2cos α＝12.答案 1216．关于函数f (x )＝cos(2x －π3)＋cos(2x ＋π6)，则下列命题：①y ＝f (x )的最大值为2； ②y ＝f (x )最小正周期是π；③y ＝f (x )在区间⎣⎡⎦⎤π24，13π24上是减函数；④将函数y ＝2cos2x 的图像向右平移π24个单位后，将与已知函数的图像重合．其中正确命题的序号是________．解析 f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6 ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋sin ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫2x ＋π6 ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3－sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3 ＝2·⎣⎡⎦⎤22cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3－22sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3 ＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋π4 ＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x －π12， ∴y ＝f (x )的最大值为2，最小正周期为π，故①，②正确．又当x ∈⎣⎡⎦⎤π24，13π24时，2x －π12∈[0，π]，∴y ＝f (x )在⎣⎡⎦⎤π24，13π24上是减函数，故③正确．由④得y ＝2cos2⎝⎛⎭⎫x －π24＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x －π12，故④正确．答案 ①②③④三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(10分)已知向量m ＝⎝⎛⎭⎫cos α－23，－1，n ＝(sin x,1)，m 与n 为共线向量，且α∈⎣⎡⎦⎤－π2，0.(1)求sin α＋cos α的值； (2)求sin2αsin α－cos α的值．解 (1)∵m 与n 为共线向量， ∴⎝⎛⎭⎫cos α－23×1－(－1)×sin α＝0，即sin α＋cos α＝23. (2)∵1＋sin2α＝(sin α＋cos α)2＝29，∴sin2α＝－79.∴(sin α－cos α)2＝1－sin2α＝169. 又∵α∈⎣⎡⎦⎤－π2，0，∴sin α－cos α<0. ∴sin α－cos α＝－43.∴sin2αsin α－cos α＝712. 18．(12分)求证：2－2sin ⎝⎛⎭⎫α＋3π4cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4cos 4α－sin 4α＝1＋tan α1－tan α. 证明左边＝2－2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＋π2cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4(cos 2α＋sin 2α)(cos 2α－sin 2α) ＝2－2cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π4cos 2α－sin 2α ＝1－cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π2cos 2α－sin 2α＝1＋sin2αcos 2α－sin 2α＝(sin α＋cos α)2cos 2α－sin 2α＝cos α＋sin αcos α－sin α＝1＋tan α1－tan α. ∴原等式成立．19．(12分)已知函数f (x )＝2cos2x ＋sin 2x －4cos x . (1)求f ⎝⎛⎭⎫π3的值；(2)求f (x )的最大值和最小值．解 (1)f ⎝⎛⎭⎫π3＝2cos 2π3＋sin 2π3－4cos π3 ＝2×⎝⎛⎭⎫－12＋⎝⎛⎭⎫322－4×12 ＝－1＋34－2＝－94.(2)f (x )＝2(2cos 2x －1)＋(1－cos 2x )－4cos x ＝3cos 2x －4cos x －1＝3⎝⎛⎭⎫cos x －232－73， ∵x ∈R ，cos x ∈[－1,1]，∴当cos x ＝－1时，f (x )有最大值6；当cos x ＝23时，f (x )有最小值－73.20．(12分)已知cos ⎝⎛⎭⎫x －π4＝210，x ∈⎝⎛⎭⎫π2，3π4. (1)求sin x 的值； (2)求sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的值．解 (1)解法1：∵x ∈⎝⎛⎭⎫π2，3π4， ∴x －π4∈⎝⎛⎭⎫π4，π2，于是sin ⎝⎛⎭⎫x －π4＝ 1－cos 2⎝⎛⎭⎫x －π4＝7210.sin x ＝sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫x －π4＋π4＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π4cos π4＋cos ⎝⎛⎭⎫x －π4sin π4 ＝7210×22＋210×22＝45. 解法2：由题设得22cos x ＋22sin x ＝210，即cos x ＋sin x ＝15.又sin 2x ＋cos 2x ＝1，从而25sin 2x －5sin x －12＝0，解得sin x ＝45，或sin x ＝－35，因为x ∈⎝⎛⎭⎫π2，3π4，所以sin x ＝45. (2)∵x ∈⎝⎛⎭⎫π2，3π4，故 cos x ＝－1－sin 2x ＝－1－⎝⎛⎭⎫452＝－35. sin2x ＝2sin x cos x ＝－2425.cos2x ＝2cos 2x －1＝－725.∴sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3 ＝sin2x cos π3＋cos2x sin π3＝－24＋7350.21．(12分)已知函数 f (x )＝4cos x sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6－1. (1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π6，π4上的最大值和最小值．解 (1)因为f (x )＝4cos x sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6－1 ＝4cos x ⎝⎛⎭⎫32sin x ＋12cos x －1＝3sin2x ＋2cos 2x －1＝3sin2x ＋cos2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6所以f (x )的最小正周期为π.(2)－π6≤x ≤π4，所以－π6≤2x ＋π6≤2π3，当2x ＋π6＝π2时，即x ＝π6，f (x )取得最大值2；当2x ＋π6＝－π6时，即x ＝－π6，f (x )取得最小值－1.22．(12分)已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋7π4＋cos ⎝⎛⎭⎫x －3π4，x ∈R . (1)求f (x )的最小正周期和最小值；(2)已知cos(β－α)＝45，cos(β＋α)＝－45，0<α<β≤π2，求证：[f (β)]2－2＝0.解 (1)∵f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋7π4－2π＋sin ⎝⎛⎭⎫x －3π4＋π2 ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π4＋sin ⎝⎛⎭⎫x －π4＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4， ∴T ＝2π，f (x )的最小值为－2.(2)证明：由已知得cos βcos α＋sin βsin α＝45，cos βcos α－sin βsin α＝－45.两式相加，得2cos βcos α＝0， ∵0<α<β≤π2，∴β＝π2.∴[f (β)]2－2＝4sin 2π4－2＝0.。

(好题)高中数学必修四第三章《三角恒等变形》测试题(有答案解析)(1)

一、选择题1．已知23cos sin 2αβ+=，1sin sin cos 3αββ+=，则)os(c 2αβ+=（）A ．49B ．59C ．536D ．518-2．已知,(0,2)αβπ∈，且满足1sin cos 2αα-=，1cos sin 2ββ-=，则sin()αβ+=（） A ．1 B ．22-或1 C ．34-或1 D ．1或-13．已知函数()sin cos f x a x b x =+，其中,a b ∈R ，且0ab ≠，若()π4f x f ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭对一切x ∈R 恒成立，则（）. A ．ππ56f f ⎛⎫⎛⎫>⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．()5π2f x f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭C ．π4f x ⎛⎫-⎪⎝⎭是偶函数 D ．π4f x ⎛⎫+⎪⎝⎭是奇函数 4．已知0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，3cos 45x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin x 的值为（） A ．210-B ．2 C ．72D ．7210-5．函数()sin 3cos ([,0])f x x x x π=-∈-的单调递增区间是（） A ．5[,]6ππ--B ．5[,]66ππ-- C ．[,0]3π-D ．[,0]6π-6．函数()()sin 0y x πϕϕ=+>的部分图象如图所示,设P 是图象最高点,,A B 是图象与x 轴的交点,记APB θ∠=,则sin 2θ的值是（）A ．1665B ．6365C ．1663-D ．1665-7．若α∈(2π，π)，且3cos 2α＝sin(4π－α)，则sin 2α的值为（） A ．－118 B ．118C ．－1718D ．17188．在ABC 中三内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c，且222b c a +=，2bc =，则角C 的大小是（）A ．6π或23π B ．3πC ．23π D ．6π 9．函数2()3sin cos f x x x x =+的最大值为（）AB．C．D．3+10．已知αβ、均为锐角，满足sin cos αβ==，则αβ+=（） A ．6πB ．4π C ．3π D ．34π 11．设a 、b R ∈，[)0,2c π∈，若对任意实数x 都有()2sin 3sin 3x a bx c π⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，定义在区间[]0,3π上的函数sin 2y x =的图象与cos y x =的图象交点的横坐标是d ，则满足条件的有序实数组(),,,a b c d 的组数为（） A ．7B ．11C ．14D ．2812．已知cos()63πα+=sin(2)6πα-的值为（） AB ．13C ．13-D．二、填空题13．已知函数()2x f x a -=-0a >且1a ≠）过定点P ，且点P 在角6πα⎛⎫+⎪⎝⎭的终边上cos α=_______.14．经过点(4,1)P -作圆2220x y y +-=的切线，设两个切点分别为A ，B ,则tan APB ∠=__________．15．已知tanα＝2tan 8π，则3cos 8sin 8αππα⎛⎫- ⎪⎝⎭⎛⎫- ⎪⎝⎭＝_____．16．化简tan 20tan 25tan 20?tan 25︒+︒+︒︒=_____.17．已知方程23310x ax a +++=，()2a >的两根为tan α，tan β，α，,22ππβ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，则αβ+=________.18．若角α的终边与单位圆的交点为1,()3m m R ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则cos2=α______. 19．已知α，β均为锐角，()5cos 13αβ+=-，π3sin 35β⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则πsin 3α⎛⎫-= ⎪⎝⎭______.20．已知3tan 4α=-，()1tan 4αβ+=，则tan β=______. 三、解答题21．已知函数2211()sin 2cos 2cos 2sin 22,22f x x x x x x R =+-+∈．（I ）求函数|()|f x 最小正周期和最小值；（Ⅱ）将函数()y f x =的图象向左平移8π个单位长度，得到()y g x =图象．若对任意12,[0,]x x m ∈，当12x x <时，都有()()()()1212f x f x g x g x -<-成立，求实数m 的最大值．22．设函数23()cos 3sin 2f x x x x =+-. （1）求函数的单调递减区间；（2）将函数()y f x =的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再将得到的图象向左平移4π个单位，得到函数()y g x =的图象，求()g x 在3[,]44ππ-上的值域.23．已知函数2())2cos1(0,0)2x f x x ωϕωϕωϕπ+=++-><<为偶函数，且()f x 图象的相邻两个最高点的距离为π．（1）当5,66x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，求()f x 的单调递增区间；（2）将函数()f x 的图象向右平移6π个单位长度，再把各点的横坐标缩小为原来12（纵坐标不变），得到函数()y g x =的图象．求函数()g x 在区间,126ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值．24．（1）化简：(cos 20tan 20sin 40-⋅°°°；（2）证明：()()21tan 31sin 21tan 312sin πx xπx x+--=---. 25．求值：（1）cos540tan 225cos(330)sin(240)︒︒︒︒+--+-；（2）1cos201sin10tan 52sin 20tan 5︒︒︒︒︒+⎛⎫-- ⎪⎝⎭26．已知函数21()cos cos 2222x x x f x =++. （1）求函数()f x 的最小正周期；（2）将函数()y f x =的图象上的各点________；得到函数()y g x =的图象，求函数()y g x =的最大值及取得最大值时x 的取值集合.你需要在①､②中选择一个，补在（2）中的横线上，并加以解答. ①向左平移32π个单位，再保持纵坐标不变，横坐标缩短到原来的一半； ②纵坐标保持不变，横坐标缩短到原来的一半，再向右平移4π个单位.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】将所给条件分别用二倍角公式变形可以得到2cos cos22αβ-=，22sin sin 23αβ+=，然后平方相加化简计算即可求得结果. 【详解】由23cos sin2αβ+=知2cos cos22αβ-=①，在1sin sin cos 3αββ+=两边同时乘以2得22sin sin 23αβ+=②，将①②两个等式平方相加得()4414cos 249βα+-+=+，解得()5cos 236αβ+=.故选：C.【点睛】思路点睛：出现两个角的三角函数的和差，求两角和的正弦或余弦时常采用平方相加或平方相减，化简计算可得到两角和或差的三角函数值.2．C解析：C 【分析】由两角与差的正弦、余弦公式变形由已知求得sin()4πα-和cos()4πβ+，用平方关系求得cos()4πα-和sin()4πα+，而sin()sin ()()44ππαβαβ⎡⎤+=-++⎢⎥⎣⎦，展开后计算，注意分类讨论．【详解】∵1sin cos 2αα-=，∴sin 224αα-=sin()44πα-=，1cos sin 2ββ-=，4cos 22ββ-=，cos()44πβ+=，∴cos()4πα-=sin()4πα+=± sin()sin ()()sin()cos()cos()sin()444444ππππππαβαβαβαβ⎡⎤+=-++=-++-+⎢⎥⎣⎦，当7cos()sin()448ππαβ-+=时，17sin()188αβ+=+=，当7cos()sin()448ππαβ-+=-时，173sin()884αβ+=-=-，故选：C ．【点睛】关键点点睛：本题考查两角和与差正弦、余弦公式．解题关键是确定已知角和未知角之间的关系，本题中已知等式变形得出4πα-和4πβ+，未知角有()()44ππαβαβ+=-++，这样易确定使用的公式与顺序．3．B解析：B 【分析】利用辅助角公式可得()()f x x ϕ=+，又()π4f x f ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭对一切x ∈R 恒成立知π422f a ⎛⎫=+=⎪⎝⎭a b =，整理得()sin 4f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，利用正弦函数的单调性可判断A ，利用诱导公式以及三角函数的奇偶性可判断选项BCD ，进而可得正确选项. 【详解】由0ab ≠知0a ≠且0b ≠，利用辅助角公式可得()()sin cos f x a x b x x ϕ=+=+，其中tan baϕ=，又()π4f x f ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭对一切x ∈R 恒成立，知π4f ⎛⎫⎪⎝⎭是()f x 的最值，所以πππsin cos 44422f b a a b ⎛⎫=+=+= ⎝⎪⎭，即22221122a b ab a b +++=，所以2211022a b ab +-=，即()2102a b -=，所以a b =，tan 1b a ϕ==，可得4πϕ=，所以()sin 4f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，对于选项A ：9sin sin 55420f ππππ⎛⎫⎛⎫=+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 5sin sin 66412f ππππ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又因为5912202πππ<<，则59sin sin 1220ππ<，当0a >时，ππ56f f ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当0a <时，ππ56f f ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选项A 不正确；对于选项B ：sin sin 5π5π11π3π2244sin 4f x x x x π⎛⎫-=--- ⎪⎝⎛⎫⎛⎫⎛⎫+== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎭()ππ4sin sin 4x f x x π⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭--+，故选项B 正确；对于选项C ：sin sin ππ444x x f x π⎛⎫--⎛⎫=+= ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭是奇函数，故选项C 不正确；对于选项D ：si πππ442n sin cos 4f x x x x π⎛⎫⎛⎫=+== ⎪ ⎪⎛⎫+++ ⎪⎭⎝⎭⎝⎭⎝是偶函数，故选项D 不正确，故选：B 【点睛】关键点点睛：本题的关键点是从已知条件()π4f x f ⎛⎫≤⎪⎝⎭对一切x ∈R 恒成立，知π4f ⎛⎫ ⎪⎝⎭是()f x 的最值，π422f a ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，从而得()sin 4f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，属于中档题.4．B解析：B 【分析】先求得πsin 4x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值，然后利用ππsin sin 44x x ⎛⎫=+-⎪⎝⎭，展开后计算得出正确选项. 【详解】由于πππ3π0,,,2444x x ⎛⎫⎛⎫∈+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以π4sin 45x ⎛⎫+== ⎪⎝⎭.故ππsin sin 44x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭ππππsin cos cos sin4444x x ⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭4355=-=，故选B. 【点睛】本小题主要考查同角三角函数的基本关系式，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.5．D解析：D 【解析】()sin 23f x x x sin x π⎛⎫==-⎪⎝⎭，因为[],0x π∈-4,,333x πππ⎡⎤∴-∈--⎢⎥⎣⎦，由1,323x πππ⎡⎤-∈--⎢⎥⎣⎦，得,06x π⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，函数()[]()sin ,0f x x x x π=∈-的单调递增区间是,06π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，故选D. 6．A解析：A 【分析】过点P 作x 轴的垂线，垂足为D ，由三角函数性质得2AB =，12AD =，1DP =，32DB =，故1tan 2APD ∠=，3tan 2BPD ∠=，进而得()tan tan 8APD BPD θ=∠+∠=，故2222sin cos 2tan 16sin 22sin cos sin cos tan165θθθθθθθθθ====++.【详解】解：根据题意，如图，过点P 作x 轴的垂线，垂足为D ，由于函数的最小正周期为22T ππ==，最大值为max 1y =，所以2AB =，12AD =，1DP =，32DB =，所以在直角三角形ADP 和直角三角形BDP 中，1tan 2APD ∠=，3tan 2BPD ∠=，所以()tan tan tan APB APD BPD θ=∠=∠+∠tan tan 28311tan tan 122APD BPD APD BPD ∠+∠===-∠⋅∠-⨯，所以2222sin cos 2tan 16sin 22sin cos sin cos tan 165θθθθθθθθθ====++.故选：A.【点睛】本题考查三角函数的性质，同角三角函数关系，正切的和角公式，考查运算能力，是中档题.7．C解析：C 【分析】按照二倍角的余弦以及两角差的正弦展开可得()3cos sin αα+=，对等式平方即可得结果. 【详解】由3cos 2sin 4παα⎛⎫=-⎪⎝⎭，可得())223cos sin cos sin 2αααα-=-，又由,2παπ⎛⎫∈⎪⎝⎭，可知cos sin 0αα-≠，于是()3cos sin 2αα+=，所以112sin cos 18αα=＋，故17sin 218α=-，故选：C. 【点睛】本题主要考查了两角差公式以及二倍角公式的应用，属于中档题.8．A解析：A 【分析】由222b c a +=可得cosA =2bc =可得2A 4=结合内角和定理可得C 值. 【详解】∵222b c a +=，∴cos A 2222b c a bc +-===，由0＜A ＜π，可得A 6π=，∵2bc =，∴2A =∴5sin 6C sinC π⎛⎫-=⎪⎝⎭)1sinCcosC 122cos C +-=解得50C 6π<<∴2C=3π或43π，即C=6π或23π 故选A 【点睛】本题考查正弦定理和余弦定理的运用，同时考查两角和差的正弦公式和内角和定理，属于中档题．9．A解析：A 【分析】利用降次公式、二倍角公式和辅助角公式化简()f x ，由此求得()f x 的最大值. 【详解】依题意()1cos 233sin 2sin 22222x f x x x x -=+=+12cos 2222262x x x π⎫⎛⎫=-+=-+⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭，所以()f x 22=. 故选：A 【点睛】本小题主要考查降次公式、二倍角公式和辅助角公式，考查三角函数的最值的求法，属于中档题.10．B解析：B 【分析】依题意，求cos （α+β），结合角的范围可求得α+β的值．【详解】由已知α、β均为锐角，sin 510αβ==，cos 510αβ∴==又cos （α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ＝2， ∵0＜α+β＜π，∴α+β＝4π．故选B ．【点睛】解答给值求角问题的一般思路：①求角的某一个三角函数值，此时要根据角的范围合理地选择一种三角函数；②确定角的范围，此时注意范围越精确越好；③根据角的范围写出所求的角．11．D解析：D 【分析】根据()2sin 3sin 3x a bx c π⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭结合a 、b R ∈，[)0,2c π∈可得出a 、b 、c 的取值组合，求得方程sin 2cos x x =在区间[]0,3π的解，可得出d 的可能取值，进而可求得符合条件的有序实数组(),,,a b c d 的组数. 【详解】已知a 、b R ∈，[)0,2c π∈，若对任意实数x 都有()2sin 3sin 3x a bx c π⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭， ①当2a =时，则353b c π=⎧⎪⎨=⎪⎩或343b c π=-⎧⎪⎨=⎪⎩；②当2a =-时，则323b c π=⎧⎪⎨=⎪⎩或33b c π=-⎧⎪⎨=⎪⎩.解方程sin 2cos x x =，即2sin cos cos x x x =，可得()2sin 1cos 0x x -=，即1sin 2x =或cos 0x =.当[]0,3x π∈时，解方程1sin 2x =，可得6x π=、56π、136π、176π；解方程cos 0x =，可得2x π=、32π、52π. 所以，d 的取值集合为5313517,,,,,,6262626πππππππ⎧⎫⎨⎬⎩⎭.因此，符合条件的有序实数组(),,,a b c d 的组数为4728⨯=. 故选：D. 【点睛】本题考查乘法计数原理的应用，同时也考查了三角方程与三角函数解析式中参数的求解，考查计算能力，属于中等题.12．B解析：B 【解析】∵cos 6πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭5sin 2sin 2sin 26662ππππααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=-++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦][221cos 2[2cos 11]6633ππαα⎛⎫⎛⎫=-+=-+-=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选B.二、填空题13．【分析】由指数为0时可得定点进而可得和利用展开即可得解【详解】由所以函数（且）过定点所以所以故答案为：【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是利用展开求解解析：16【分析】由指数为0时可得定点P ，进而可得sin 6πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭和cos 6πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭，利用cos cos[()]66ππα=α+-展开即可得解.【详解】由(012f a =-=，所以函数()2x f x a -=-0a >且1a ≠）过定点P ，所以1sin 63πα⎛⎫+== ⎪⎝⎭，cos 63πα⎛⎫+== ⎪⎝⎭. 所以cos cos[()]cos()cossin()sin 666666ππππππα=α+-=α++α+11132326=+⨯=.故答案为：16. 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是利用cos cos[()]66ππα=α+-展开求解.14．【分析】由圆的方程可以求出圆心坐标及半径进而可以求出从而求出的值由利用二倍角的正切公式可以求出的值【详解】圆的方程可化为则圆心为半径为r=1设则【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系考查了圆的性质考查解析：199【分析】由圆的方程可以求出圆心坐标及半径，进而可以求出25PD =，1DA =，从而求出tan APD ∠的值，由2APB APD ∠∠=，利用二倍角的正切公式，可以求出tan APB ∠的值. 【详解】圆的方程可化为()2211x y +-=，则圆心为()0,1D ，半径为r =1，设APD ∠θ=，AP DA ⊥，()2241125PD =+--=，2220119PA PD r =-=-=，则19tan 19DA PA θ===,22192tan 1919 tan tan211tan 119APB θθθ∠====--.【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，考查了圆的性质，考查了两点间的距离公式，二倍角的正切公式，属于基础题．15．3【分析】由诱导公式对原式化简用两角和差公式展开分子分母同除即可得结果【详解】故答案为：3【点睛】本题考查了三角函数的诱导公式三角恒等变换等基本数学知识考查了运算求解能力属于基础题目解析：3 【分析】由诱导公式对原式化简3cos()sin()88sin()sin()88ππααππαα-+=--，用两角和差公式展开，分子分母同除cos cos8πα，即可得结果.【详解】3cos()sin()sin cos cos sin tan tan 888883sin()sin()sin cos cos sin tan tan88888πππππαααααπππππααααα-+++====---- 故答案为：3 【点睛】本题考查了三角函数的诱导公式、三角恒等变换等基本数学知识，考查了运算求解能力，属于基础题目.16．1【详解】分析：首先从式子中分析得出角的大小借助于两角和的正切公式得到与之间的关系借助于角的正切值求得结果详解：因为所以所以有故答案为：1点睛：该题考查的是有关三角函数化简求值问题在解题的过程中涉及解析：1 【详解】分析：首先从式子中分析得出2025︒︒+角的大小，借助于两角和的正切公式，得到tan 20tan 25︒︒+与tan 20tan 25︒︒⋅之间的关系，借助于45︒角的正切值，求得结果. 详解：因为tan 20tan 25tan(2025)1tan 20tan 25︒︒︒︒︒︒++=-，所以1tan 20tan 25tan 20tan 25︒︒︒︒-=+，所以有tan 20tan 25tan 20tan 251︒︒︒︒++=，故答案为：1.点睛：该题考查的是有关三角函数化简求值问题，在解题的过程中，涉及到的知识点有两角和的正切公式的逆用，注意45︒角的正切值的大小.17．【分析】根据方程的两根为得到由两角和的正切公式得到再确定的范围求解【详解】因为方程的两根为所以则因为所以所以所以故答案为：【点睛】本题主要考查两角和与差的正切公式的应用还考查了运算求解的能力属于中档题解析：34π-【分析】根据方程23310x ax a +++=，()2a >的两根为tan α，tan β，得到tan tan 3,tan tan 31a a αβαβ+=-⋅=+，由两角和的正切公式得到()tan αβ+，再确定αβ+的范围求解. 【详解】因为方程23310x ax a +++=，()2a >的两根为tan α，tan β，所以tan tan 3,tan tan 31a a αβαβ+=-⋅=+，则()tan tan tan 11tan tan αβαβαβ++==-⋅，因为2a >，所以tan tan 30,tan tan 310a a αβαβ+=-<⋅=+>，所以tan 0,tan 0αβ<<，α，,02πβ⎛⎫∈-⎪⎝⎭， (),0αβπ+∈-，所以34παβ+=-. 故答案为：34π- 【点睛】本题主要考查两角和与差的正切公式的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.18．【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义求得再利用二倍角公式求得的值【详解】由题意角的终边与单位圆的交点为可得解得即又由故答案为：【点睛】本题主要考查了任意角的三角函数的定义二倍角的正弦公式的应用其解析：79【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义求得cos α，再利用二倍角公式求得cos2α的值. 【详解】由题意，角α的终边与单位圆的交点为1,()3m m R ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，可得2119m +=，解得m =cos α=，又由287cos 22cos 12199αα=-=⋅-=. 故答案为：79. 【点睛】本题主要考查了任意角的三角函数的定义，二倍角的正弦公式的应用，其中解答中熟记三角函数的定义，结合余弦的倍角公式求解是解答的关键，属于基础题.19．【分析】先求出再由并结合两角和与差的正弦公式求解即可【详解】由题意可知则又则或者因为为锐角所以不成立即成立所以故故答案为：【点睛】本题考查两角和与差的正弦公式的应用考查同角三角函数基本关系的应用考查解析：3365-【分析】先求出()sin αβ+，πcos 3β⎛⎫+⎪⎝⎭，再由()ππsin sin 33ααββ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=+-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，并结合两角和与差的正弦公式求解即可. 【详解】由题意，可知0,παβ，则()sin 1213αβ+===，又π31sin 352β⎛⎛⎫+=∈ ⎪ ⎝⎭⎝⎭，则πππ,364β⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，或者π3π5π,346β⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，因为β为锐角，所以πππ,364β⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭不成立，即π3π5π,346β⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭成立，所以π4cos 35β⎛⎫+===- ⎪⎝⎭.故()ππsin sin 33ααββ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=+-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦()()ππsin cos cos sin 33αββαββ⎛⎫⎛⎫=++-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭533311245651533⎛⎫-⨯=- ⎪⎛⎫=⨯--⎝ ⎪⎝⎭⎭.故答案为：3365-. 【点睛】本题考查两角和与差的正弦公式的应用，考查同角三角函数基本关系的应用，考查学生的计算求解能力，属于中档题.20．【分析】根据以及两角差正切公式求解【详解】故答案为：【点睛】本题考查两角差正切公式考查基本分析求解能力属基础题解析：1613【分析】根据()βαβα=+-以及两角差正切公式求解. 【详解】13tan()tan 1644tan tan[()]31tan()tan 13116αβαβαβααβα++-=+-===++- 故答案为：1613【点睛】本题考查两角差正切公式，考查基本分析求解能力，属基础题.三、解答题21．（I ）2π.（Ⅱ）8π. 【分析】（I ）先将函数解析式整理，得到()4224f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，根据正弦函数的周期，即可求出函数 |()|f x 的最小正周期；再由正弦函数的取值范围，即可求出函数的最小值；（Ⅱ）记()()()h x f x g x =-，根据题中条件，先判断 ()h x 在[0,]m 上是增函数；再由题中条件，得到函数()h x 的解析式，根据正弦函数的单调性，即可求出结果. 【详解】（I ）2211()sin 2cos 2cos 2sin 2222f x x x x x =+-+ 11sin 4cos 4222x x =++ 11cos 4sin 4222x x =++4204x π⎛⎫=++> ⎪⎝⎭，所以()f x 的最小正周期为2T π=，当sin 414x π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭时，函数 |()|f x 的最小值为42. （Ⅱ）因为对任意12,[0,]x x m ∈，当12x x <时，都有()()()()1212f x f x g x g x -<-，即()()()()1122f x g x f x g x -<-，记()()()h x f x g x =-，即()()12h x h x <，所以()h x 在[0,]m 上是增函数.又3()sin 42sin 42828424g x f x x x ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+++=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.所以3()()()442424h x f x g x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2sin 4cos sin 424x x π=⨯=，令24222k x k ππππ-≤≤+，求得2828k k x ππππ-≤≤+. 故()h x 的单调增区间为,2828k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦， k Z ∈，所以实数m 的最大值为8π. 【点睛】关键点睛：本题主要考查三角函数的恒等变换及三角函数的性质，涉及到函数的平移，利用构造函数的思想，求正弦型函数的单调区间，以及利用单调性求参数是解决本题的关键.22．（1）511[,] ()1212k k k Z ππππ++∈；（2）3[2-. 【分析】（1）由二倍角公式，两角差的正弦公式化函数为一个角的一个三角函数形式，然后结合正弦函数的单调区间求解．（2）由图象变换得出()g x ，由整体法可求值域．【详解】解：（1）()23()22sin 122f x x x =+-=32cos222x x -23x π⎫⎛=- ⎪⎝⎭因为：3222232k x k πππππ+≤-≤+5111212k x k ππππ⇔+≤≤+.所以函数的单调递减区间是511[,] ()1212k k k Z ππππ++∈（2）由题可知， ()))4312g x x x πππ=+-=-.因为1344x ππ-≤≤⇔123123x πππ-≤-≤，所以sin()112x π≤-≤.故()g x 在3[,]44ππ-上的值域为3[2-. 【点睛】方法点睛：本题考查两角差的正弦公式，二倍角公式，考查正弦函数的性质．此类问题的解题方法是：利用二倍角公式降幂，利用诱导公式、两角和与差的正弦（余弦）公式展开与合并，最终把函数化为()sin()f x A x m ωϕ=++形式，然后结合正弦函数性质求解．如果求函数值域，则可由x 的范围求出x ωϕ+的范围，然后由正弦函数性质得值域．23．（1）单调递增区间为,06π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦和5,26ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦；（2）最大值为2，最小值1-. 【分析】（1）首先利用二倍角公式和辅助角公式对()f x 化简，再利用偶函数求出ϕ的值，再利用T π=求出ω的值，即可得()f x 的解析式，再利用余弦函数的单调递增区间即可求解；（2）利用三角函数图象变换的规律求出()g x 的解析式，再利用余弦函数的性质即可求值域. 【详解】（1）由题意函数2())2cos12x f x x ωϕωϕ+=++-)cos()2sin 6x x x πωϕωϕωϕ⎛⎫=+++=++ ⎪⎝⎭，因为函数()f x 图象的相邻两个最高点的距离为π，所以T π=，可得2ω=．又由函数()f x 为偶函数可得(0)2sin 26f πϕ⎛⎫=+=± ⎪⎝⎭，所以62k ππϕπ+=+，k ∈Z ，则3k πϕπ=+，k ∈Z ．因为0ϕπ<<，所以3πϕ=，所以函数()2cos2f x x =，令222k x k πππ-≤≤，k ∈Z ，解得2k x k πππ-≤≤，k ∈Z ，当0k =时，02x ；当1k =时，2x ππ≤≤，又5,66x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，可得函数()f x 的单调递增区间为,06π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦和5,26ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦．（2）将函数()f x 的图象向右平移6π个单位长度可得2cos 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，再把各点的横坐标缩小为原来的12，得到函数()2cos 43g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，当,126x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，24,333x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦．当2433x ππ-=-，即12x π=-时，函数()g x 取得最小值，最小值为1-；当403x π-=，即12x π=时，函数()g x 取得最大值，最大值为2．所以函数()g x 在区间,126ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值是2，最小值是1-. 【点睛】方法点睛：已知三角函数的解析式求单调区间先将解析式化为()()sin 0y A x A ωϕω=+>>0,或()()cos 0,0y A x A ωϕω=+>>的形式，然后将x ωϕ+看成一个整体，根据sin y x =与cos y x =的单调区间列不等式求解. 24．（1）2-；（2）详见解析. 【分析】（1）首先变形sin 20tan 20cos 20=，再通分变形，利用辅助角公式化简求值；（2）利用诱导公式化简正切，即sin tan cos xx x=，代入后化简证明. 【详解】（1）原式sin 20cos 203cos 20sin 40⎛⎫=-⋅⎪⎝ sin 203cos 20cos 20cos 20sin 40⎛⎫-=⋅ ⎪ ⎪⎝⎭()2sin 2060cos 20cos 20sin 40-=⋅2sin 40cos 20cos 20sin 40-=⋅2=- ；（2）原式sin 11tan cos sin 1tan 1cos xx x xx x--==++ ()()()2cos sin cos sin cos sin cos sin cos sin x x x xx x x x x x --==++- ()222222cos sin sin 21sin 2cos sin 1sin sin x x x x x x x x +--==--- 21sin 212sin xx-=-【点睛】思路点睛：三角函数化简求值或证明，如果有正切，正弦和余弦时，第一步先正切化为正弦和余弦公式，第一题通分后利用辅助角公式化简；第二题，也可以左右都化简，证明等于同一个式子.25．（1）0（2【分析】（1）利用诱导公式化简，即可求解；（2）先利用二倍角公式化简1cos 202sin 20︒︒+，由切化弦化1tan 5tan 5︒︒-，通分后利用两角差的正弦公式展开即可化简求值.【详解】利用（1）原式cos(3180)tan 45cos30sin 60110;︒︒︒=⨯︒+-+=-+= （2）原式=22cos 10cos5sin 5sin10()4sin10cos10sin 5cos5︒︒︒=-︒-︒︒︒︒ 22cos10cos 5sin 5cos10cos10cos10sin10sin102cos1012sin10sin 5cos52sin102sin10sin102︒︒-︒︒︒︒=-︒=-︒⋅=-︒︒︒︒︒︒︒cos102sin 20cos102sin(3010)2sin102sin10︒-︒︒-︒-︒==︒︒1cos102(cos10)222sin10︒︒︒︒-=== 【点睛】关键点点睛：三角函数化简求值，需要根据式子的结构特征选择合适的公式，并且要注意公式的正用、逆用，特别是复杂式子的灵活运用，属于难题.26．（1）函数的周期为2π；（2）条件选择见解析，max ()2g x =，使函数()g x 取得最大值的集合为5|,12x x k k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭. 【分析】（1）用正弦余弦的二倍角公式整理()f x 可得正弦函数标准型，可得函数最小正周期；（2）选①先平移变换后周期变换可得对应的()g x ，可得()g x 的最值；选②先周期变换后平移变换得对应的()g x ，由此可求得最值．【详解】（1）∵函数1cos 1()sin()1226x f x x x π+=++=++，所以函数的周期为2π；（2）<选择①>依题意：()cos(2)16g x x π=-++，令226x k πππ+=+，即5()12x k k Z ππ=+∈. 使函数()g x 取得最大值2，即max ()2g x =，使函数()g x 取得最大值的集合为5|,12x x k k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭； <选择②>依题意：()cos(2)16g x x π=-++，令226x k πππ+=+，即5()12x k k Z ππ=+∈，使函数()g x 取得最大值2，即max ()2g x = 使函数()g x 取得最大值的集合为5|,12x x k k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭．【点睛】关键点点睛：在解决正弦型函数的周期，最值，单调性等性质时，关键在于利用三角恒等变换将函数化成正弦型函数的标准形，再利用整体代换的思想求解．。

人教A版数学必修四(数学4必修)第三章三角恒等变换.doc

（数学4必修）第三章三角恒等变换 [基础训练A 组] 一、选择题1．已知(,0)2x π∈-，4cos 5x =，则=x 2tan （） A ．247 B ．247- C ．724 D ．724-2．函数3sin 4cos 5y x x =++的最小正周期是（）A.5π B.2πC.πD.2π 3．在△ABC 中，cos cos sin sin A B A B >，则△ABC 为（）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．无法判定 4．设0sin14cos14a =+，0sin16cos16b =+，62c =，则,,a b c 大小关系（） A ．a b c << B ．b a c << C ．c b a << D ．a c b << 5．函数2sin(2)cos[2()]y x x ππ=-+是（）A.周期为4π的奇函数 B.周期为4π的偶函数 C.周期为2π的奇函数 D.周期为2π的偶函数6．已知2cos 23θ=，则44sin cos θθ+的值为（） A ．1813 B ．1811 C ．97D ．1- 二、填空题1．求值：0tan 20tan 403tan 20tan 40++=_____________。

2．若1tan 2008,1tan αα+=-则1tan 2cos 2αα+= 。

3．函数f x x x x ()cos sin cos =-223的最小正周期是___________。

4．已知23sincos,223θθ+=那么sin θ的值为 ,cos2θ的值为。

5．ABC ∆的三个内角为A 、B 、C ，当A 为时，cos 2cos 2B CA ++取得最大值，且这个最大值为。

三、解答题1．已知sin sin sin 0,cos cos cos 0,αβγαβγ++=++=求cos()βγ-的值.2．若,22sin sin =+βα求βαcos cos +的取值范围。

(常考题)北师大版高中数学必修四第三章《三角恒等变形》测试题(包含答案解析)(1)

一、选择题1．已知sin cos sin cos θθθθ-=，则角θ所在的区间可能是（）．A ．0,4π⎛⎫⎪⎝⎭B ．,42ππ⎛⎫⎪⎝⎭C ．3,24ππ⎛⎫⎪⎝⎭D ．3,4ππ⎛⎫⎪⎝⎭2．若10,0,cos ,sin 2243423ππππβαβα⎛⎫⎛⎫<<-<<+=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则cos 2βα⎛⎫+=⎪⎝⎭（） A．9B．3-C．9-D．33．已知θ为锐角，且满足如tan 311tan θθ=，则tan 2θ的值为（） A ．34B ．43 C ．23D ．324．已知0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，3cos 45x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin x 的值为（） A．10-BCD． 5．已知()2020cos2020f x x x =+的最大值为A ，若存在实数1x ，2x ，使得对任意的实数x ，总有()()()12f x f x f x ≤≤成立，则12A x x -的最小值为（） A ．2020π B ．1010π C ．505π D ．4040π 6．已知cos 2π)4αα=+1tan tan αα+等于（） A ．92B ．29C ．9-2D ．2-97．已知α为锐角，且1sin 34πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin α的值为（） A．18± B．18+ C．8D．8+ 8．已知αβ、均为锐角，满足sin cos αβ==，则αβ+=（） A ．6πB ．4π C ．3π D ．34π9．已知,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，3sin 5α=，则tan 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A ．17 B ．7C ．17-D ．-710．已知()4cos 5αβ+=，()1cos 5αβ-=，则tan tan αβ⋅的值为（） A ．12B ．35C ．310-D ．3511．已知()()()ππcos sin 22cos πtan πf ααααα⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=---，则2020π3f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭（）A． B ．12-C ．12D12．已知()1sin 30cos 3αα︒+=+，则()sin 230α+︒=（） A ．79-B ．79CD．9-二、填空题13．有下列5个关于三角函数的命题： ①0x R ∃∈00cos 3x x +=；②函数22sin cos y x x =-的图像关于y 轴对称； ③x R ∀∈，1sin 2sin x x+≥； ④[]π,2πx ∀∈cos 2x=-； ⑤当()2sin cos f x x x =+取最大值时，cos 5x =. 其中是真命题的是______. 14．若5,24ππα⎛⎫∈⎪⎝⎭，3cos 45πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则cos2=α______. 15．()sin 501︒+︒的值__________. 16．已知tan 3α=-，则cos2=α_____________. 17．在△ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若112tan tan tan A C B+=，则222b a c=+_____.18．已知sin10cos102cos140m ︒-︒=︒，则m =_________. 19．下列判断正确的有___________. ①如果θ是第一象限角，那么恒有sin02θ>；②sin 200a ︒=，则2tan 2001a ︒=-；③若()f x 的定义域为R ，周期为4，且满足()()f x f x -=-，则()f x 在[4,8]x ∈-至少有7个零点； ④若0,,0,66x y ππ⎛⎫⎛⎫∈∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且cos tan x y x ⋅=，则x y <. 20．在半径为2的半圆形钢板上截取一块面积最大的矩形，则最大面积是________.三、解答题21．已知1sin cos 5αα+=，其中0απ<<. （1）求11sin cos αα+的值；（2）求tan α的值.22．如图，在扇形OPQ 中，半径OP =1，圆心角3POQ π∠=，C 是扇形弧上的动点，矩形ABCD 内接于扇形.记POC α∠=，求当角α取何值时，矩形ABCD 的面积最大？并求出这个最大面积.23．如图，在Rt ACB 中，斜边2AB =，1BC =，在以AB 为直径的半圆上有一点D （不含端点），DAB θ∠=，设ABD △的面积1S ，ACD △的面积2S .（1）若2l S S =，求θ；（2）令12S S S =-，求S 的最大值及此时的θ. 24．已知函数2()232sin cos 3f x x x x =--．（1）求函数()f x 的最小正周期；（2）当,04x π⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，不等式()3f x m <+恒成立，求实数m 的取值范围． 25．已知函数())23cos sin 334f x x x x x R π⎛⎫=++∈ ⎪⎝⎭. （1）求()f x 在闭区间,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的最大值和最小值；（2）设函数()g x 对任意x ∈R ，有()2g x g x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，且当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()()12g x f x =-.求()g x 在区间[],0π-上的解析式. 26．在直角坐标系xOy 中，已知锐角α和β的顶点都在坐标原点，始边都与x 轴非负半轴重合，且终边与单位圆分别交于点5,13P m ⎛⎫⎪⎝⎭和点3,5Q n ⎛⎫⎪⎝⎭，求()sin αβ-的值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】先化简已知得22sin sin24πθθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，然后根据各个选项确定等式两端的取值范围从而得到答案. 【详解】由sin cos sin cos θθθθ-=得，sin24πθθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，对于A ，当0,4πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，,044ππθ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，sin 04πθ⎛⎫-< ⎪⎝⎭，而0,22θπ⎛⎫⎪⎝⎭∈，sin20θ>，两个式子不可能相等，故错误；对于B ，当,42ππθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，0,44ππθ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，sin 0,42πθ⎛⎫⎛⎫-∈ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()0,24πθ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭ ，22,ππθ∈⎛⎫⎪⎝⎭，()sin20,1θ∈，存在θ使得sin24πθθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，故正确；对于C ， 3,24ππθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，42,4πππθ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，sin 42πθ⎛⎫⎛⎫-∈ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，(2,4πθ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，而3,22πθπ⎛∈⎫⎪⎝⎭，()sin21,0θ∈-，不可能相等，所以错误；对于D ，当3,4πθπ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，3,424πππθ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，sin 4πθ⎫⎛⎫-∈⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， (2,4πθ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，而3,222ππθ⎛∈⎫⎪⎝⎭，()sin21,0θ∈-，不可能相等，所以错误故选：B. 【点睛】本题主要考查了三角恒等式的应用，三角函数在各象限内的符号，关键点是根据各个选项确定等号两端式子的取值范围，考查了学生分析问题、解决问题的能力.2．A解析：A 【分析】由cos cos 2442βππβαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦展开计算正余弦值代入可得答案. 【详解】因为10,cos 243ππαα⎛⎫<<+= ⎪⎝⎭，所以3444πππα<+<，sin +43πα⎛⎫= ⎪⎝⎭，因为02πβ-<<，所以4422ππβπ<-<，又因为sin 423πβ⎛⎫-=⎪⎝⎭，所以cos 423πβ⎛⎫-= ⎪⎝⎭而cos cos +2442βππβαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦， cos +cos sin +sin 442442ππβππβαα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭133339=⨯+=. 故选：A. 【点睛】三角函数式的化简要遵循“三看”原则：（1）一看“角”，这是最重要的一环，通过看角之间的区别和联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式；（2）而看“函数名称”看函数名称之间的差异，从而确定使用公式，常见的有“切化弦”；（3）三看“结构特征”，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，如“遇到分式通分”等.3．B解析：B 【分析】先利用两角和的正切计算tan tan 2tan 31tan tan 2θθθθθ+=-，再利用二倍角的正切化简前者，结合tan 311tan θθ=可得1tan 2θ=，从而可求tan 2θ.【详解】32222tan tan tan tan 23tan tan 1tan tan 32tan 1tan tan 213tan 1tan 1tan θθθθθθθθθθθθθθ++--===---⨯-，故32223tan tan tan 33tan 13tan 11tan tan 13tan θθθθθθθθ---===-，故21tan 4θ=，因为θ为锐角，故1tan 2θ=，故1242tan 21314θ⨯==-，故选：B. 【点睛】思路点睛：已知θ的三角函数值，求()*n n N θ∈的三角函数值，应利用两角和的三角函数值逐级计算即可.4．B解析：B 【分析】先求得πsin 4x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值，然后利用ππsin sin 44x x ⎛⎫=+-⎪⎝⎭，展开后计算得出正确选项. 【详解】由于πππ3π0,,,2444x x ⎛⎫⎛⎫∈+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以π4sin 45x ⎛⎫+== ⎪⎝⎭.故ππsin sin 44x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭ππππsin cos cos sin4444x x ⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭4355=-=，故选B. 【点睛】本小题主要考查同角三角函数的基本关系式，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.5．B解析：B 【分析】化简函数()f x 的解析式可得周期与最大值，对任意的实数x ，总有()()()12f x f x f x ≤≤成立，即12x x -半周期的整数倍，代入求最小值即可．【详解】()2020cos 20202sin 20206f x x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，则220201010T ππ==，2A = 1212210101010A x x ππ-≥⨯⨯=故选：B 【点睛】本题考查正弦函数的性质，考查三角恒等变换，考查周期与最值的求法，属于中档题．6．A解析：A 【分析】先利用cos 2sin 22παα⎛⎫=+ ⎪⎝⎭结合cos 2π3)4αα=+得出cos 46πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭的值，然后利用二倍角公式得到24cos 22cos 1249ππαα⎛⎫⎛⎫+=+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即4sin 29α=，又12tan tan sin 2ααα+=，将4sin 29α=代入便可解出答案. 【详解】因为sin 22sin cos cos 2244π4)444πππααααπαππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭⎝⎭===+ ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，43πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则cos 46πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以24cos 22cos 1249ππαα⎛⎫⎛⎫+=+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又4cos 2sin 229παα⎛⎫+=-=- ⎪⎝⎭，所以4sin 29α=，所以1sin cos 1229tan 4tan cos sin sin cos sin 229ααααααααα+=+====.故选：A. 【点睛】本题考查诱导公式，考查正弦、余弦的二倍角公式及其应用，难度一般，解答时公式的变形运用是关键.7．B解析：B 【分析】通过三角恒等式可求出cos 3πα⎛⎫- ⎪⎝⎭的值，再根据两角和的正弦即可得出结果. 【详解】 ∵02πα<<，∴336πππα-<-<，又∵1sin 34πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，∴cos 3πα⎛⎫-=== ⎪⎝⎭∴11sin sin 3342ππαα⎛⎫=-+=⨯= ⎪⎝⎭ 故选：B. 【点睛】本题主要考查了三角恒等式的应用以及通过两角和正弦公式求值，属于中档题.8．B【分析】依题意，求cos （α+β），结合角的范围可求得α+β的值．【详解】由已知α、β均为锐角，sin αβ==，cos αβ∴==又cos （α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ＝2， ∵0＜α+β＜π，∴α+β＝4π．故选B ．【点睛】解答给值求角问题的一般思路：①求角的某一个三角函数值，此时要根据角的范围合理地选择一种三角函数；②确定角的范围，此时注意范围越精确越好；③根据角的范围写出所求的角．9．A解析：A 【分析】根据角的范围以及平方关系求出4cos ,5α=-再利用商的关系求出3tan 4α=-，最后由两角和的正切公式可得答案. 【详解】因为,2παπ⎛⎫∈⎪⎝⎭，3sin 5α=，所以4cos ,5α==-sin 3tan cos 4ααα==-， tan tan4tan 41tan tan 4παπαπα+⎛⎫+== ⎪⎝⎭-⋅17 故选：A. 【点睛】本题主要考查平方关系、商的关系以及两角和的正切公式，属于基础题.10．B【分析】根据两角和与差的余弦函数的公式，联立方程组，求得13cos cos ,sin sin 210αβαβ==-，再结合三角函数的基本关系式，即可求解.【详解】由4cos()cos cos sin sin 5αβαβαβ+=-=，1cos()cos cos sin sin 5αβαβαβ-=+=，联立方程组，可得13cos cos ,sin sin 210αβαβ==-，又由sin sin 3tan tan cos()cos cos 5αβαβαβαβ=+==-.故选：B. 【点睛】本题主要考查了两角和与差的余弦函数，以及三角函数的基本关系式的化简、求值，其中解答中熟记三角恒等变换的公式，准确运算是解答的关键，着重考查运算与求解能力.11．B解析：B 【分析】根据诱导公式和同角三角函数关系式，化简函数式，最后代值计算即可. 【详解】()()()cos sin 22cos tan f ππαααπαπα⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=--- ()()sin sin 2cos tan πααπαα⎡⎤⎛⎫-⋅-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦=+⋅- ()()sin cos cos tan αααα-⋅-=-⋅-sin cos sin cos cos ααααα⋅=⋅cos α=，所以2020202020201cos cos cos 673cos 333332f ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-==+=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 故选：B .【点睛】本题考查利用诱导公式和同角三角函数关系式化简三角函数式并求值，注意三角函数值的符号变化，属于基础题.12．B解析：B 【分析】根据条件展开化简得到()1sin 303α-︒=，再利用角的变换，得到()()()sin 230sin 26090cos 260ααα+︒=-︒+︒=-︒，再利用二倍角公式化简求值.【详解】由()1sin 30cos 3αα︒+=+，得11cos cos 23ααα=+，化简得()1sin 303α-︒=； ()()()sin 230sin 26090cos 260ααα+︒=-︒+︒=-︒ ()21712sin 301299α=--︒=-⨯=故选:B ．【点睛】本题考查三角恒等变换，重点考查转化的思想，计算能力，属于基础题型.二、填空题13．②④⑤【分析】本题可通过判断出①错误然后通过判断出②正确再然后通过可以为负值判断出③错误通过以及判断出④正确最后通过将函数转化为根据当时取最大值判断出⑤正确【详解】①：则①错误；②：关于轴对称②正确解析：②④⑤ 【分析】000cos 2sin 6x x x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭+判断出①错误，然后通过22sin cos cos 2x x x -=-判断出②正确，再然后通过sin x 可以为负值判断出③错误，=cos02x 判断出④正确，最后通过将函数转化为()()f x x p =+，根据当()22x p k k Z ππ=-++∈时取最大值判断出⑤正确.【详解】①000001cos 2cos 2sin 262x x x x x π+⎫⎛⎫+=+=≤⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，00cos 3x x +≠，①错误；②：()2222sin cos cos sin cos 2y x x x x x =-=--=-，关于y 轴对称，②正确；③：因为sin x 可以为负值，所以1sin 2sin x x+≥错误，③错误； ④：因为[]π,2πx ∈，所以π,π22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，cos 02x ，cos2x ===-，④正确； ⑤：()2sin cos sin cos 55f x x x x x ⎫=+=+⎪⎪⎭()x p =+，（注：5sin 5p，25cos 5p ），当函数()f x 取最大值时，22x p k ππ+=+，即()22x p k k Z ππ=-++∈，此时cos cos n 52si 2=p k x p ππ-++⎛⎫==⎪⎝⎭，故⑤正确，故答案为：②④⑤. 【点睛】关键点点睛：本题考查根据三角恒等变换以及三角函数性质判断命题是否正确，考查二倍角公式以及两角和的正弦公式的灵活应用，考查计算能力，考查化归与转化思想，是中档题.14．【分析】由已知利用诱导公式求得然后分析角的范围得到的范围则答案可求【详解】∵即又∴则∴得∴故答案为：【点睛】角变换用已知角构造所求角是解决问题的关键如上：解析：2425-. 【分析】由已知利用诱导公式求得sin 2α，然后分析角α的范围，得到2α的范围，则答案可求. 【详解】∵3cos 45πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，2237cos 22cos 12144525ππαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴-=--=⨯-=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，即7sin 225α=，又5,24ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴,44ππαπ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，3cos cos 0445ππαα⎛⎫⎛⎫-=-=> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则,442πππα⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，∴3,24ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，得32,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴24cos 225α==-. 故答案为：2425-. 【点睛】角变换用已知角构造所求角是解决问题的关键，如上：2=224ππαα⎛⎫-- ⎪⎝⎭15．1【分析】由结合辅助角公式可知原式为结合诱导公式以及二倍角公式可求值【详解】解：故答案为:1【点睛】本题考查了同角三角函数的基本关系考查了二倍角公式考查了辅助角公式考查了诱导公式本题的难点是熟练运用解析：1 【分析】由sin10tan10cos10︒︒=︒，结合辅助角公式可知原式为2sin50sin 40cos10︒︒︒，结合诱导公式以及二倍角公式可求值. 【详解】解： ()sin501sin50︒+︒=︒⨯()2sin50cos30sin10sin 30cos102sin50sin 402sin50cos50cos10cos10cos10︒︒︒+︒︒︒︒︒︒===︒︒︒ ()sin 10902sin50cos50sin100cos101cos10cos10cos10cos10︒+︒︒︒︒︒====︒︒︒︒.故答案为:1. 【点睛】本题考查了同角三角函数的基本关系，考查了二倍角公式，考查了辅助角公式，考查了诱导公式.本题的难点是熟练运用公式对所求式子进行变形整理.16．【分析】由题意根据二倍角公式同角三角函数的基本关系求得的值【详解】故答案为：【点睛】本题主要考查二倍角公式同角三角函数的基本关系在三角函数化简求值中的应用属于基础题解析：45-【分析】由题意，根据二倍角公式、同角三角函数的基本关系求得2cos α的值．【详解】3tan α=-，222222cos sin 1tan 1942cos sin 1tan 195cos ααααααα---∴====-+++．故答案为：45-．【点睛】本题主要考查二倍角公式、同角三角函数的基本关系在三角函数化简求值中的应用，属于基础题．17．【分析】先利用同角三角函数的商数关系可得再结合正弦定理及余弦定理化简可得然后求解即可【详解】解：因为则所以即所以则即即即故答案为：【点睛】本题考查了同角三角函数的商数关系重点考查了正弦定理及余弦定理解析：12【分析】先利用同角三角函数的商数关系可得2cos sin sin cos c i o s n s BA C A BC +=，再结合正弦定理及余弦定理化简可得2222b a c =+，然后求解即可. 【详解】解：因为112tan tan tan A C B +=，则2cos sin sin cos c i o s n s BA C A BC +=，所以2cos s sin cos cos sin in sin sin BA C A C C AB =+，即2cos sin si i n s sin n BA CB B =，所以2cos b ac bB =，则22cos b ac B =，即2222b a c b =+-，即2222b a c =+即22212b ac =+，故答案为：12. 【点睛】本题考查了同角三角函数的商数关系，重点考查了正弦定理及余弦定理的应用，属中档题.18．【分析】化简得再利用诱导公式与和差角公式化简求解即可【详解】由题故答案为：【点睛】本题主要考查了根据余弦的诱导公式与和差角公式化简求解的问题需要根据题中的角跟特殊角的关系用和差角公式属于中档题【分析】化简得sin102cos140cos10m ︒-︒=︒,再利用诱导公式与和差角公式化简cos140︒求解即可.【详解】由题()sin102cos 1030sin102cos140cos10cos10m ︒+︒+︒︒-︒==︒︒sin102cos10cos302sin10sin 302cos10cos302cos30cos10cos10︒+︒︒-︒︒︒︒===︒=︒︒.【点睛】本题主要考查了根据余弦的诱导公式与和差角公式化简求解的问题.需要根据题中的角跟特殊角的关系用和差角公式,属于中档题.19．③【分析】①利用来判断；②利用来判断；③通过来判断；④通过当时有恒成立来判断【详解】解：①由已知则此时在第一或第三象限有可能小于零错误；②是第三象限角所以则与矛盾错误；③由已知为奇函数故则又所以则有解析：③ 【分析】 ①利用24k k θπππ来判断；②利用sin 2000a ︒=<来判断；③通过(0)0f =，(2)0f =来判断； ④通过当0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，有tan sin ααα>>恒成立来判断. 【详解】解：①由已知22,2k k k Z ππθπ，则,24k k kZ θπππ，此时2θ在第一或第三象限，sin2θ有可能小于零，错误；②200︒是第三象限角，所以sin 2000a ︒=<，则tan 2000︒=<，与tan 2000︒>矛盾，错误；③由已知()f x 为奇函数，故(0)0f =，则(4)(4)(8)(0)0f f f f -====，又(2)(24)(2)(2)f f f f =-=-=-，所以(2)0f =，则有(2)(2)(6)0f f f =-==，则()f x 在[4,8]x ∈-至少有7个零点，正确； ④当0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，有tan sin ααα>>恒成立，证明：单位圆中当0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，如图点P 为角α的终边与单位圆的交点，由图可知OPA 的面积小<扇形OPA 的面积小<OTA 的面积则211111sin 111tan 222ααα⋅⋅⋅<⋅⋅<⋅⋅⋅，整理得tan sin ααα>>. 若0,,0,66x y ππ⎛⎫⎛⎫∈∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，tan cos tan tan x x x y y >=⋅>，所以x y >，故错误. 故答案为：③ 【点睛】本题考查函数周期性的应用，考查当0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，有tan sin ααα>>恒成立这个性质的灵活应用，考查角所在象限和三角函数值符号的关系，是中档题.20．4【分析】做出图像由三角函数定义设其中一个顶点坐标从而表示矩形的长与宽进而表示面积求出最大值【详解】由题可构建图像根据三角函数的定义可知所以矩形的面积当时故答案为：4【点睛】本题考查三角函数定义的实解析：4 【分析】做出图像，由三角函数定义设其中一个顶点坐标，从而表示矩形的长与宽，进而表示面积，求出最大值. 【详解】由题可构建图像根据三角函数的定义，可知()2cos ,2sin A αα 所以矩形的面积4cos 2sin 4sin2S ααα=⋅= 当4πα=时，max 4sin 244S π⎛⎫=⋅= ⎪⎝⎭故答案为：4 【点睛】本题考查三角函数定义的实际应用，注意建模，再借助三角函数求最值，属于中档题.三、解答题21．（1）115sin cos 12αα+=-；（2）4tan 3α=-. 【分析】（1）将等式1sin cos 5αα+=两边平方，可求出sin cos αα的值，进而可求得11sin cos αα+的值；（2）法一：利用同角三角函数的基本关系可求得sin cos αα-的值，结合已知条件可得出关于sin α、cos α的方程组，解出sin α、cos α的值，进而可求得tan α的值；法二：由弦化切可得出222sin cos tan 12sin cos tan 125αααααα==-++，可得出关于tan α的二次方程，由已知条件可得出tan 1α<-，由此可求得tan α的值. 【详解】（1）由1sin cos 5αα+=①，得()21sin cos 12sin cos 25αααα+=+=. 12sin cos 25αα∴=-，所以，111sin cos 5512sin cos sin cos 1225αααααα++===--；（2）法一：由（1）知12sin cos 25αα=-，0απ<<，sin 0α>，cos 0α<，sin cos 0αα∴->.()249sin cos 12sin cos 25αααα∴-=-=，7sin cos 5αα∴-=②.由①②得，4sin 5α，3cos 5α=-，sin 4tan cos 3∴==-ααα；法二：由（1）知12sin cos 25αα=-，22sin cos 1αα+=，22sin cos 12sin cos 25αααα∴=-+. 2222sin cos 12cos sin cos 25cos αααααα∴=-+，即2tan 12tan 125αα=-+，整理可得212tan 25tan 120αα++=，得4tan 3α=-或3tan 4α=-. 因为0απ<<，所以sin 0α>，cos 0α<，又1sin cos 05αα+=>，所以sin cos αα>，tan 1α∴<-，所以4tan 3α=-. 【点睛】方法点睛：在利用同角三角函数的基本关系求值时，可利用以下方法求解：（1）应用公式时注意方程思想的应用，对于sin cos αα+、sin cos αα-、sin cos αα这三个式子，利用()2sin cos 12sin cos αααα±=±可以知一求二；（2）关于sin α、cos α的齐次式，往往化为关于tan α的式子． 22．6πα=时，矩形ABCD的面积，最大面积为6【分析】由题意可得cos CD αα=，sin BC α=，从而可得矩形ABCD 的面积为S CD BC =⋅(cos )sin ααα=-⋅2)6πα=+，再由03πα<<可得52666πππα<+<，由此可得262ππα+=时，S 取得最大值【详解】在Rt OBC 中，sin BC α=，cos OC α=，在Rt ADO中，tan 3AD OD π==，所以OD AD α===，所以cos CD OC OD αα=-=-，设矩形ABCD 的面积为S ，则S CD BC =⋅(cos sin )sin 3ααα=-⋅ 2sin cos sin 3ααα=-1sin 2cos 222323αα=+- sin(32)623πα=+-，由03πα<<，得52666πππα<+<，所以当262ππα+=，即6πα=时， max 36323S ==，因此，当6πα=时，矩形ABCD 3【点睛】关键点点睛：此题考查三角函数的应用，解题的关键是将四边形ABCD 的面积表示为S CD BC =⋅(cos )sin 3ααα=-⋅32)623πα=+，再利用三角函数的性质可求得其最大值，属于中档题 23．（1）3πθ=；（2）512πθ=，S 有最大值132-. 【分析】由已知可得11sin 22S AD BD θ=⨯⨯=，213sin 26S AD CF πθθ⎛⎫=⨯⨯=+ ⎪⎝⎭.（1）根据12S S 解sin 23sin 6πθθθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭可得答案；（2）由sin 23sin 6S πθθθ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭化简为13sin 223πθ⎛⎫- ⎪⎝⎭，根据θ的范围可得答案. 【详解】因为Rt ACB △中，2AB =，1BC =，所以3AC =6BAC π∠=，3ABC π∠=.又因为D 为以AB 为直径的半圆上一点，所以2ADB π∠=.在Rt ADB 中，2cos AD θ=，2sin BD θ=，0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭. 作CF AD ⊥于点F ，则36CF πθ⎛⎫=+⎪⎝⎭， 1112cos 2sin sin 222S AD BD θθθ=⨯⨯=⨯⨯=，2112cos 33sin 2266S AD CF ππθθθθ⎛⎫⎛⎫=⨯⨯=⨯+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ （1）若12S S ，则sin 23sin 6πθθθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，因为cos 0θ≠，所以2sin 36πθθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以332sin sin 2θθθ=+，整理得13sin 2θθ=，所以tan 3θ=3πθ=.（2）sin 23sin 6S πθθθ⎛⎫=-+⎪⎝⎭31sin 23cos 22θθθθ⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭ 33sin 2sin 2cos 2)4θθθ=-+133sin 22444θθ=--13sin 223πθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭因为02πθ<<，所以22333πππθ-<-<，当232ππθ-=时，即512πθ=，S 有最大值12. 【点睛】本题考查了三角函数的性质和解三角形，关键点是利用已知得到1sin 2S θ=，2sin 6S πθθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，正确的利用两角和与差的正弦公式得到函数表达式()()sin f x A x ωϕ=+的形式，考查了运算能力.24．（1）π；（2）1m >-【分析】（1）利用二倍角公式和辅助角公式将()f x 化简，再利用周期公式即可求解；（2）不等式()3f x m <+对于,04x π⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦恒成立，转化为()max 3m f x +>，利用正弦函数的性质求()f x 在,04π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的最大值即可求解. 【详解】2()2sin cos f x x x x =--1cos 2sin 22sin 22sin 223x x x x x π+⎛⎫=-=-=- ⎪⎝⎭所以()f x 的最小正周期22T ππ==-，（2）不等式()3f x m <+对于,04x π⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦恒成立，则()max 3m f x +>，因为,04x π⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，所以20,2x π⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，52,336x πππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，所以1sin 2,132x π⎛⎫⎡⎤-∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，可得()[]2sin 21,23f x x π⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭，所以()max 2f x =，即 32m +>，解得：1m >-所以实数m 的取值范围是1m >-【点睛】关键点点睛：对于恒成立问题求参数，常采用分离参数的方法，不等式()3f x m <+对于,04x π⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦恒成立，等价于()max 3m f x +>，,04x π⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，只需要求()f x 在,04π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的最大值即可.25．（1）最大值为14，最小值为12-；（2）()11sin 2,0223211sin 2,2232x x g x x x πππππ⎧⎛⎫+--≤≤ ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪---≤< ⎪⎪⎝⎭⎩. 【分析】（1）利用两角和的正弦公式，二倍角公式以及辅助角公式将()f x 化简，再由三角函数的性质求得最值；（2）利用0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()()12g x f x =-，对x 分类求出函数的解析式即可.【详解】（1）()2cos sin 34f x x x x ⎛⎫⎪⎝⎭π=++2cos sin cos cos sin 334x x x x ππ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭1sin 2244x x =-1sin 223x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，因为,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以52,366x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，则1sin 21,32x π⎛⎫⎡⎤-∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，111sin 2,2324x π⎛⎫⎡⎤-∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以()f x 的最大值为14；()f x 的最小值为12-；（2）当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()11sin 2223g x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，当,02x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦π时，0,22x ππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，()11sin 22223g x g x x ππ⎛⎫⎛⎫=+=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当,2x ππ⎡⎫∈--⎪⎢⎣⎭时，0,2x ππ⎡⎫+∈⎪⎢⎣⎭；()()11sin 2223g x g x x ππ⎛⎫=+=-- ⎪⎝⎭，综上：()g x 在区间[],0π-上的解析式为：()11sin 2,0223211sin 2,2232x x g x x x πππππ⎧⎛⎫+--≤≤ ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪---≤< ⎪⎪⎝⎭⎩. 【点睛】关键点睛：本题考查了三角函数中的恒等变换应用，三角函数的周期性及其求法.熟练掌握两角和的正弦公式，二倍角公式以及辅助角公式是解决本题的关键.26．3365- 【分析】利用已知求出1213m =和45n =，再利用差角的正弦公式求解. 【详解】锐角α和β的顶点都在坐标原点始边都与x 轴非负半轴重合，且终边与单位圆交于点5,13P m ⎛⎫⎪⎝⎭和点3,5Q n ⎛⎫ ⎪⎝⎭， cos 0m α∴=>，5sin 13α=，2251169m +=，3cos 5β=，sin 0n β=>，29125n +=，求得1213m =，45n =， 5312433sin()sin cos cos sin 13513565αβαβαβ∴-=-=⨯-⨯=-．【点睛】结论点睛：三角函数的坐标定义：点(,)P x y 是角α终边上的任意的一点（原点除外）,r代表点到原点的距离，r =sin α=y r ， cos α=x r ，tan α=y x .。

数学4必修第三章,三角恒等变换(详细答案)

（数学4必修）第三章三角恒等变换（详细答案） [基础训练A 组] 一、选择题1．已知(,0)2x π∈-，4cos 5x =，则=x 2tan （） A ．247 B ．247- C ．724 D ．724-2．函数3sin 4cos 5y x x =++的最小正周期是（）A .5π B .2πC .πD .2π 3．在△ABC 中，cos cos sin sin A B A B >，则△ABC 为（）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．无法判定4．设0sin14cos14a =+，0sin16cos16b =+，c =，则,,a b c 大小关系（） A ．a b c << B ．b a c << C ．c b a << D ．a c b <<5．函数)cos[2()]y x x ππ=-+是（）A .周期为4π的奇函数B .周期为4π的偶函数 C .周期为2π的奇函数 D .周期为2π的偶函数6．已知cos 2θ=44sin cos θθ+的值为（） A ．1813 B ．1811 C ．97D ．1- 二、填空题1．求值：0tan 20tan 4020tan 40+=_____________。

2．若1tan 2008,1tan αα+=-则1tan 2cos 2αα+= 。

3．函数f x x x x ()cos sin cos =-223的最小正周期是___________。

4．已知sincos223θθ+=那么sin θ的值为 ,cos 2θ的值为。

5．ABC ∆的三个内角为A 、B 、C ，当A 为时，cos 2cos 2B CA ++取得最大值，且这个最大值为。

三、解答题1．已知sin sin sin 0,cos cos cos 0,αβγαβγ++=++=求cos()βγ-的值.2．若,22sin sin =+βα求βαcos cos +的取值范围。

数学必修四第三章三角恒等变换单元检测题及答案

第三章三角恒等变换一、选择题.1. sin 7°cos 37° - sin 83°sin 37° 的值为( )． A.23-B.21 -C.21D.232. sin 15° sin 30° sin 75° 的值等于( )．A.43B.83 C.81D.413. 函数y =⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+4πsin 4πsin x x 的周期为( )．A.4π B.2π C. π D. 2π4. 函数y = 2sin x (sin x + cos x )的最大值是( )． A.21+B.12-C.2D. 25. 化简2cot 2tan2cos 1ααα-+，其结果是( )．A.21-sin 2α B.21sin 2α C. - 2sin α D. 2sin 2α6. 若sin (α + β)=21，sin (α - β)=31，则βαtan tan 为( )．A. 5B. - 1C. 6D.617. 设tan θ和tan ⎪⎭⎫ ⎝⎛-θ4π是方程x 2+ px + q = 0的两个根，则p ，q 之间的关系是( )．A. p + q + 1 = 0B. p - q + 1 = 0C. p + q - 1 = 0D. p - q - 1 = 08. 若不等式4≤3sin 2 x - cos 2 x + 4cos x + a 2≤20对一切实数 x 都成立，则a 的取值范围是( )．A. -5≤a ≤-3，或3≤a ≤5B. -4≤a ≤4C. -3≤a ≤3D. -4≤a ≤-3，或3≤a ≤49. 若α∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡2π3 ,π，则ααααsin 1sin 1sin 1sin 1-++--+等于( )． A.2tan αB. 2sin αC. 2cot αD. 2cos α二、填空题.1.︒+︒-15tan 3115tan 3 = ___________．2. y = 3sin (x + 20°) + 5sin (x + 80°)的最大值为___________，最小值为__________．3. 若tan (α + β)= 7，tan α tan β =32，则 cos (α - β)= ___________．4. 若θ为第二象限角，且sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+23π2θ＞21，则2sin2cos sin 1θθθ--= __________． 5. 若α，β，γ都是锐角，tan α=21，tan β=51，tan γ=81，则α + β + γ = __________． 6. 若 A + B + C =(2n - 1)π，n ∈Z ，且A ，B ，C 均不为 0，则 2tan 2tan 2tan 2tan 2tan 2tan A C C B B A ++ = __________．三、解答题．1. 已知α，β为锐角，cos α =54，tan (α - β)= -31，求cos β的值．2. 已知α，β均为锐角，且sin α - sin β =-21，cos α + cos β =27，求cos (α + β)， sin (α - β)的值．3. 已知tan A 与tan ⎪⎭⎫ ⎝⎛-A 4π是x 2 + px + q = 0的两个解，3tan A = 2tan ⎪⎭⎫⎝⎛-A 4π，求p 和q 的值．4. 证明：cos 8 α - sin 8 α - cos 2α = -41sin 4α sin 2α．参考答案一、选择题．1. B 【解析】sin 7°cos 37° - sin 83°sin 37° = cos 83°cos 37° - sin 83°sin 37° = cos (83° + 37°)= cos 120°= -21． 2. C 【解析】sin 15° sin 30° sin 75° = cos 75°sin 75°sin 30° =21sin 150°sin 30°=81． 3. C 【解析】y =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x x x x x cos 22sin 22 cos 22sin 224πsin 4πsin =21sin 2 x -21cos 2 x = -21cos 2x . ∴ T =π22π=． 4. A 【解析】y = 2sin x (sin x + cos x )= 2sin 2 x + 2sin x cos x = 1 - cos 2x + sin 2x= 1 +⎪⎭⎫⎝⎛-4π2sin 2x ．∴ y max = 1 +2． 5. A 【解析】αααααααααααα2sin 21cos sin cos 2sin2cos2cos 2sin cos 22cot 2tan 2cos 122-=-=-=-+6. A 【解析】sin αcos β + cos αsin β =21，sin αcos β - cos αsin β =31． ∴ 2sin αcos β =65， 2cos αsin β =61．∴ βαtan tan = 5． 7. B【解析】⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫⎝⎛-+qp θθθθ4πtan tan 4πtan tanθθθπtan 1tan 14tan +-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-． ∴ θθθθθp tan 1tan 1tan tan 1tan 12+--=⎪⎭⎫ ⎝⎛++--=，θθθq tan 1tan tan 2+-=．∴ q - p = 1， ∴ p - q + 1 = 0．8. D 【解析】设 f (x ) = 3sin 2x - cos 2x + 4cos x + a 2，4≤3 - 4cos 2 x + 4cos x + a 2≤20， 4≤- 4cos 2 x + 4cos x + a 2 + 3≤20. ∴ 当 cos x =21时，f (x )max =214414⨯+⨯-+ a 2 + 3≤20⇒-4≤a ≤4；当 cos x = - 1时，f (x )min = - 4 - 4 + a 2 + 3≥4⇒a ≥3，或a ≤-3.∴ -4≤a ≤-3，或3≤a ≤4． 9. C【解析】ααααsin 1sin 1sin 1sin 1-++--+2cos 2sin 22cos 2sin 2cos 2sin 22cos 2sin 2cos 2sin 22cos 2sin 2cos 2sin 22cos 2sin 22222222αααααααααααααααα-++++-+-++=2cos 2sin 2cos 2sin 2cos 2sin 2cos 2sinαααααααα-++--+=．∵ α∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡23π π，，∴ 2α∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡43π 2π，． ∴ 原式 =2cot 2cos 2sin 2cos 2sin 2cos2sin 2cos 2sinααααααααα=-+++-+．三、解答题．1. 【解】∵ cos α =54，∴ sin α =53．∵ α，β 为锐角， ∴ -2π＜α - β＜2π． ∵ tan (α - β)=31-，∴ cos (α - β)=10103，sin (α - β)=1010-cos β = cos [α -(α - β)]= cos α cos (α - β)+ sin αsin (α - β)=10509．2. 【解】② 27cos cos ①21sin sin =+-=-βαβα①2 + ②2，得 sin 2 α - 2sin α sin β + sin 2 β + cos 2 α + 2cos α cos β + cos 2 β = 2.∴ cos (α + β)= 0．又 α，β 均为锐角， ∴ α + β =2π， ∴ sin α – sin β = sin α- cos α= -21． sin 2α + cos 2α - 2 sin α cos α = 1- 2 sin α cos α =41．又sin 2α + cos 2α = 1，且sin α＜cos α，α，β 均为锐角，∴ sin α =417-． ∴ sin (α - β)= sin ⎪⎭⎫⎝⎛+-αα2π= - cos 2α = 2sin 2α -1 = 47-． 3. 【解】∵ tan ⎪⎭⎫⎝⎛-A 4π=A A tan 1tan 1+-，∴ 3tan A =AA tan 1tan 22+-，∴ tan A =31，或 tan A = - 2．当tan A =31时，tan ⎪⎭⎫⎝⎛-A 4π=21，p = -⎪⎭⎫ ⎝⎛+3121 = -65，q =21×31=61．当tan A = - 2时，tan ⎪⎭⎫ ⎝⎛-A 4π= -3，p = -(-2 - 3) = 5，q = (-2)×(-3) = 6．4. 【证明】cos 8 α - sin 8 α - cos 2α = (cos 4 α + sin 4 α)(cos 2 α + sin 2 α)(cos 2 α - sin 2 α)- cos 2α= (cos 4 α + sin 4 α)cos 2α - cos 2α =(cos 4 α + sin 4 α - 1)cos 2α= [cos 4 α +(sin 2 α - 1)(sin 2 α + 1)] cos 2α = [cos 4 α - cos 2 α(sin 2 α + 1)]cos 2α = - 2cos 2 αsin 2 αcos 2α = -41sin 4αsin 2α．。

(好题)高中数学必修四第三章《三角恒等变形》测试(包含答案解析)

一、选择题1．已知3sin cosx x+=，则1tantanxx+=（）A．6-B．7-C．8-D．9-2．设等差数列{}n a满足：()22222222272718sin cos cos cos sin sin1sina a a a a aa a-+-=+，公差()1,0d∈-．若当且仅当11n=时，数列{}n a的前n项和n S取得最大值，则首项1a的取值范围是（）A．9,10ππ⎛⎫⎪⎝⎭B．11,10ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C．9,10ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D．11,10ππ⎛⎫⎪⎝⎭3．如下图，圆O与x轴的正半轴的交点为A，点,C B在圆O上，且点C位于第一象限，点B的坐标为43,,,55AOCα⎛⎫-∠=⎪⎝⎭若1BC=，则233cos sin cos2222ααα--的值为（）A．45B．35C．45-D．354．函数12log(sin cos)y x x=的单调增区间是（）A．(,)()44k k k Zππππ-+∈B．3(,)()44k k k Zππππ++∈C．(,)()4k k k Zπππ+∈D．(,)()42k k k Zππππ++∈5．已知,22ππα⎛⎫∈-⎪⎝⎭，1cos63πα⎛⎫+=⎪⎝⎭，则sinα=（）A126-B223-C．261+D261-6．已知0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，1cos63πα⎛⎫+=⎪⎝⎭，则sinα的值等于（）A ．6B ．6C ．16D ．16-7．已知函数()sin (0)f x x x ωωω=+>的图象关于直线8x π=对称，则ω的最小值为（） A ．13B ．23C ．43D ．838．已知α为锐角，且3cos()65πα+=，则sin α=（）A B C D 9．已知直线3x −y +1=0的倾斜角为α，则1sin22α= A ．310 B ．35 C ．−310D ．11010．若0||4πα<<，则下列说法①sin2α＞sinα，②cos2α＜cosα，③tan2α＞tanα，正确的是（） A ．①B ．②C ．③D ．①③11．平面直角坐标系xOy 中，点()00,P x y 在单位圆O 上，设xOP α∠=，若3,44ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且3sin 45πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则0x 的值为( )A B C ．D ．12．已知()0,απ∈，sin cos αα+=cos2=α（）A ．BC ．9-D ．9二、填空题13．有下列5个关于三角函数的命题：①0x R ∃∈00cos 3x x +=；②函数22sin cos y x x =-的图像关于y 轴对称；③x R ∀∈，1sin 2sin x x+≥； ④[]π,2πx ∀∈cos 2x=-； ⑤当()2sin cos f x x x =+取最大值时，cos x =. 其中是真命题的是______.14．222cos 402cos 50cos35cos65cos55cos155︒-︒=︒︒+︒︒_________.15．若tan 30,2tan 10αβ-=-=，则()tan αβ+=________. 16．已知α，β均为锐角，()5cos 13αβ+=-，π3sin 35β⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则πsin 3α⎛⎫-= ⎪⎝⎭______.17．在△ABC 中，cosA 35=，cosB 45=，则cosC ＝_____. 18．已知()()sin 2sin 223cos cos 2πθπθπθπθ⎛⎫--- ⎪⎝⎭=⎛⎫+++ ⎪⎝⎭，则22sin 2sin cos cos θθθθ+-=___________.19．设)sin17cos172a =︒+︒,22cos 131b =︒-,c =则a ,b ,c 的大小关系是______.20．在半径为2的半圆形钢板上截取一块面积最大的矩形，则最大面积是________.三、解答题21．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x ≥时，()2sin f x x =. （1）求0x <时，函数()f x 的解析式；（2）已知f (4π－α)＝65，f (54π＋β)＝－2413，α∈(4π，34π)，β∈(0，4π)，求()f αβ+的值.22．已知函数2()cos 2cos 1(0)f x x x x ωωωω=-+>，且()y f x =的图象与直线2y =的两个相邻公共点之间的距离为π．（1）求函数()f x 的最小正周期和单调递减区间；（2）将函数()f x 图象上的所有点向左平移6π个单位，得到函数()g x 的图象，当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，关于x 的方程()g x a =有两个不相等的实数根，求实数a 的取值范围． 23．设函数2()cos 22sin 3f x x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭. （1）求函数()f x 的最大值及取得最大值时x 的集合；（2）若,42⎛⎫∈⎪⎝⎭ππα，且2()5f α=，求sin 2α.24．已知函数()212sin 26f x x x π⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭．（1）求函数()f x 的对称中心和最小正周期；（2）若当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求函数()f x 的最大值及取得最大值时自变量x 的集合． 25．已知函数()2sin 22cos 1f x a x x =+-，再从条件①、②、③这三个条件中选择一个作为已知，求：（Ⅰ）()f x 的最小正周期；（Ⅱ）()f x 的单调递增区间.条件①：()f x 图像的对称轴为8x π=；条件②：14f π⎛⎫=⎪⎝⎭；条件③：a =注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.26．已知函数2()[2sin()sin ]cos 3f x x x x x π=++．（1）求函数()f x 的最小正周期和单调递减区间；（2）若函数()f x 的图象关于点(,)m n 对称，求正数m 的最小值；【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】将等式sin cos x x +=sin cos x x 的值，利用切化弦可求得1tan tan x x+的值. 【详解】由sin cos x x +=，可得()23sin cos 12sin cos 4x x x x +=+=，得1sin cos 8x x =-，因此，221sin cos sin cos 1tan 8tan cos sin sin cos sin cos x x x x x x x x x x x x++=+===-.故选：C. 【点睛】方法点睛：应用公式时注意方程思想的应用，对于sin cos αα+、sin cos αα-、sin cos αα这三个式子，利用()2sin cos 12sin cos αααα±=±可以知一求二．2．D解析：D 【解析】因为22222222272718sin cos cos cos sin sin 1sin()a a a a a a a a -+-=+，所以由余弦二倍角公式、平方差公式及两角和与差的余弦公式可得2272718cos 2cos()cos()1sin()a a a a a a a -+-+=+，再运用积化和差公式可得227181cos 2[cos 2cos 2]21sin()a a a a a -++=+，即72181[cos 2cos 2]21sin()a a a a -=+，再由差化积公式可得727218sin()sin()1sin()a a a a a a --+=+．由于{}n a 是等差数列，因此1827a a a a +=+，即1827sin()sin()a a a a +=+，所以72sin()1a a -=-即sin51d =-注意到()1,0d ∈-，则()55,0d ∈-，所以5210d d ππ=-⇒=-，故对称轴方程故等差数列的前n 项和是1(1)2n n n S na d -=+，即221()()222020n d d S n a n n a n ππ=+-=-++，其对称轴是1202a n ππ+=，由题设可得1202123222a ππ+<<，即11110a ππ<<，应选答案D ．点睛：解答本题的关键是先借助三角变换中的两角和差的余弦公式、余弦二倍角公式、积化和差与和差化积公式等三角变换公式进行化简，再借助差数列的定义和性质求出等差数列的公差10d π=-，然后将等差数列的前n 项和公式1(1)2n n n S na d -=+变形为221()()222020n d d S n a n n a n ππ=+-=-++，借助对称轴11n =的位置建立不等式组1202123222a ππ+<<，进而求得数列首项的取值范围是11110a ππ<<． 3．B解析：B【解析】 ∵点B 的坐标为43,55⎛⎫-⎪⎝⎭，设AOB θ∠=， ∴325sinπθ-=-（），425cos πθ-=（），即35sin θ=，45cos θ=， ∵AOC α∠=，若1BC =，∴3πθα+=，则3παθ=-，则213sincossin cos cos sin 222222625αααππαααθθ⎛⎫⎛⎫--=-=+=-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故选B.点睛：本题主要考查三角函数的化简和求值，利用三角函数的定义以及三角函数的辅助角公式是解决本题的关键；利用降幂公式可将所求表达式化简为关于α的表达式，设AOB θ∠=，当角α的终边与单位圆的交点坐标为(),u v 时，sin v α=，cos u α=，可先求出关于θ的三角函数式，结合等边三角形寻找,αθ之间的关系即可.4．D解析：D 【分析】先利用二倍角公式化简整理，再根据对数函数的定义域及复合函数单调性的性质求解单调递增区间即可. 【详解】由11221log (sin cos )log (sin 2)2y x x x ==，得1sin 2022222x k x k k x k ππππππ>⇒<<+⇒<<+，故函数的定义域为(,)()2k k k z πππ+∈，又求函数12log (sin cos )y x x =的单调增区间，利用复合函数单调性的性质，可得222242k x k k x k ππππππππ+<<+⇒+<<+.故选：D. 【点睛】本题主要考查了复合函数单调性的性质及应用，对数函数定义域的特殊要求.属于中档题.5．D解析：D 【分析】结合同角三角函数基本关系计算sin 6πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值，再利用两角差的正弦公式进行求解即可.【详解】由,22ππα⎛⎫∈-⎪⎝⎭可得2,633πππα⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭，又11cos cos 6323ππα⎛⎫+=<= ⎪⎝⎭，所以2,633πππα⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭所以sin 63πα⎛⎫+== ⎪⎝⎭， sin sin sin cos cos sin 666666ππππππαααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭11132326-=⨯-⨯=. 故选:D 【点睛】本题主要考查两角和与差的正余弦公式与同角三角函数基本关系，解题的关键是熟练运用公式.6．C解析：C 【分析】求出sin 6απ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，然后由两角差的正弦公式计算．【详解】∵0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴2,663πππα⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，∴sin 63πα⎛⎫+== ⎪⎝⎭， ∴sin sin sin cos cos sin 666666ππππππαααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+-+⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦1132=-⨯=故选：C ．【点睛】本题考查两角差的正弦公式，考查同角间的三角函数关系，在应用三角公式化简求值时，要注意已知角与未知角之间的关系，以确定先用哪一个公式变形．7．C解析：C 【分析】利用辅助角公式将函数()y f x =的解析式化简为()2sin 3f x x πω⎛⎫=+⎪⎝⎭，根据题意得出()832k k Z πππωπ+=+∈，可得出关于ω的表达式，即可求出正数ω的最小值.【详解】()sin 2sin 3f x x x x πωωω⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，由于该函数的图象关于直线8x π=对称，则()832k k Z πππωπ+=+∈，得()483k k Z ω=+∈， 0ω>，当0k =时，ω取得最小值43.故选：C. 【点睛】本题考查利用正弦型函数的对称性求参数，解题时要将三角函数的解析式利用三角恒等变换思想化简，并通过对称性列出参数的表达式求解，考查计算能力，属于中等题.8．B解析：B 【分析】由同角三角函数可得in （α6π+）4=5，再利用两角差的正弦公式展开sinα＝sin[（α6π+）6π-]即可. 【详解】∵cos （α6π+）3=5（α为锐角），∴α6π+为锐角，∴sin （α6π+）4=5，∴sinα＝sin[（α6π+）6π-]＝sin （α6π+）cos 6πcos （α6π+）sin 6π431552=-⋅=，故选:B ．【点睛】本题考查了三角函数的同角公式和两角差的正弦公式，考查了计算能力和逻辑推理能力，属于基础题目.9．A解析：A 【分析】由题意利用直线的倾斜角和斜率求出tanα的值，再利用三角恒等变换，求出要求式子的值．【详解】直线3x-y+1=0的倾斜角为α，∴tanα=3，∴2221133sin222219110sin cos tan a sin cos sin cos tan αααααααα=⋅====+++，故选A ．【点睛】本题主要考查直线的倾斜角和斜率，三角恒等变换，属于中档题．10．B解析：B 【分析】取6πα=-判断①③，根据余弦函数的性质结合二倍角公式判断②.【详解】当6πα=-时，1sin 2sin ,sin sin ,sin 2sin 3262ππαααα⎛⎫⎛⎫=-=-=-=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭tan 2tan tan tan tan 2tan 36ππαααα⎛⎫⎛⎫=-==-=< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则①③错误；0||4πα<<，cos cos ||αα⎫∴=∈⎪⎪⎝⎭2cos 2cos 2cos cos 1(cos 1)(2cos 1)0αααααα∴-=--=-+<即cos2cos αα<，②正确；故选：B 【点睛】本题主要考查了求余弦函数的值域以及二倍角的余弦公式的应用，属于中档题.11．C解析：C 【分析】利用两角和差的余弦公式以及三角函数的定义进行求解即可．【详解】3,44ππα⎛⎫∈⎪⎝⎭， ,42ππαπ⎛⎫∴+∈ ⎪⎝⎭， 3sin 45πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，4cos 45πα⎛⎫∴+=- ⎪⎝⎭，则0cos cos cos cos sin sin 444444x ππππππαααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫==+-=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦43525210=-⨯+⨯=-，故选C ．【点睛】本题主要考查两角和差的三角公式的应用，结合三角函数的定义是解决本题的关键．12．A解析：A 【分析】在等式sin cos 3αα+=两边同时平方可求得cos sin αα-的值，然后利用二倍角的余弦公式可求得cos2α的值. 【详解】()0,απ∈，sin cos αα+=两边平方后得：112sin cos 3αα+=，即1sin cos 3αα=-，sin 0α∴>，cos 0α<，()215cos sin 12sin cos 1233αααα⎛⎫-=-=-⨯-= ⎪⎝⎭，cos sin αα∴-=，则()()22cos 2cos sin cos sin cos sin ααααααα=-=-+== 故选：A. 【点睛】本题考查利用二倍角的余弦公式求值，同时也考查了同角三角函数平方关系的应用，考查计算能力，属于中等题.二、填空题13．②④⑤【分析】本题可通过判断出①错误然后通过判断出②正确再然后通过可以为负值判断出③错误通过以及判断出④正确最后通过将函数转化为根据当时取最大值判断出⑤正确【详解】①：则①错误；②：关于轴对称②正确解析：②④⑤ 【分析】000cos 2sin 6x x x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭+判断出①错误，然后通过22sin cos cos 2x x x -=-判断出②正确，再然后通过sin x 可以为负值判断出③错误，=cos02x 判断出④正确，最后通过将函数转化为()()f x x p =+，根据当()22x p k k Z ππ=-++∈时取最大值判断出⑤正确.【详解】①000001cos 2cos 2sin 262x x x x x π+⎫⎛⎫+=+=≤⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，00cos 3x x +≠，①错误；②：()2222sin cos cos sin cos 2y x x x x x =-=--=-，关于y 轴对称，②正确；③：因为sin x 可以为负值，所以1sin 2sin x x+≥错误，③错误； ④：因为[]π,2πx ∈，所以π,π22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，cos 02x ，cos2x ===-，④正确； ⑤：()2sin cos sin cos 55f x x x x x ⎫=+=+⎪⎪⎭()x p =+，（注：5sin 5p，25cos 5p ），当函数()f x 取最大值时，22x p k ππ+=+，即()22x p k k Z ππ=-++∈，此时cos cos n 52si 2=p k x p ππ-++⎛⎫==⎪⎝⎭，故⑤正确，故答案为：②④⑤. 【点睛】关键点点睛：本题考查根据三角恒等变换以及三角函数性质判断命题是否正确，考查二倍角公式以及两角和的正弦公式的灵活应用，考查计算能力，考查化归与转化思想，是中档题.14．【分析】用诱导公式降次公式两角和与差的正余弦公式化简求值得到答案【详解】原式故答案为：【点睛】本题考查了三角关系的化简与求值诱导公式转化角两角和与差公式二倍角公式属于中档题解析：2-【分析】用诱导公式、降次公式、两角和与差的正余弦公式化简求值，得到答案. 【详解】原式()()22222cos 40cos 502cos 402cos 50sin 55cos 65cos55sin 65sin 5565︒-︒︒-︒==︒︒-︒︒︒-︒. ()2cos80sin 10︒=-︒2sin10sin10︒=-︒2=-故答案为：2-. 【点睛】本题考查了三角关系的化简与求值，诱导公式转化角，两角和与差公式，二倍角公式，属于中档题.15．【分析】由题得再利用两角和公式求解即可【详解】因为所以所以故答案为:【点睛】本题考查正切函数的两角和公式属于基础题解析：7-【分析】由题得tan 3α=,1tan 2β=,再利用两角和公式求解即可. 【详解】因为tan 30,2tan 10αβ-=-=, 所以tan 3α=,1tan 2β=, 所以()1t 32731n 2a αβ++==--, 故答案为:7-. 【点睛】本题考查正切函数的两角和公式,属于基础题.16．【分析】先求出再由并结合两角和与差的正弦公式求解即可【详解】由题意可知则又则或者因为为锐角所以不成立即成立所以故故答案为：【点睛】本题考查两角和与差的正弦公式的应用考查同角三角函数基本关系的应用考查解析：3365-【分析】先求出()sin αβ+，πcos 3β⎛⎫+⎪⎝⎭，再由()ππsin sin 33ααββ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=+-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，并结合两角和与差的正弦公式求解即可. 【详解】由题意，可知0,παβ，则()sin 1213αβ+===，又π31sin 352β⎛⎛⎫+=∈ ⎪ ⎝⎭⎝⎭，则πππ,364β⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，或者π3π5π,346β⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，因为β为锐角，所以πππ,364β⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭不成立，即π3π5π,346β⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭成立，所以π4cos 35β⎛⎫+===- ⎪⎝⎭.故()ππsin sin 33ααββ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=+-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦()()ππsin cos cos sin 33αββαββ⎛⎫⎛⎫=++-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭533311245651533⎛⎫-⨯=- ⎪⎛⎫=⨯--⎝ ⎪⎝⎭⎭.故答案为：3365-. 【点睛】本题考查两角和与差的正弦公式的应用，考查同角三角函数基本关系的应用，考查学生的计算求解能力，属于中档题.17．0【分析】计算得到再利用和差公式计算得到答案【详解】则故答案为：【点睛】本题考查了同角三角函数关系和差公式意在考查学生的计算能力解析：0 【分析】计算得到43sin ,sin 55A B ==，再利用和差公式计算得到答案. 【详解】34cos ,cos 55A B ==，则43sin ,sin 55A B ==.()()cos cos cos sin sin cos cos 0C A B A B A B A B π=--=-+=-=.故答案为：0. 【点睛】本题考查了同角三角函数关系，和差公式，意在考查学生的计算能力.18．【分析】利用诱导公式结合弦化切的思想求出的值然后在代数式上除以并在所得分式的分子和分母中同时除以可得出关于的分式代值计算即可【详解】解得因此故答案为：【点睛】本题考查诱导公式和同角三角函数的商数关系解析：75【分析】利用诱导公式结合弦化切的思想求出tan θ的值，然后在代数式22sin 2sin cos cos θθθθ+-上除以22sin cos θθ+，并在所得分式的分子和分母中同时除以2cos θ可得出关于tan θ的分式，代值计算即可. 【详解】()()sin 2sin sin cos tan 1223sin cos tan 1cos cos 2πθπθθθθπθθθθπθ⎛⎫--- ⎪++⎝⎭===--⎛⎫+++ ⎪⎝⎭，解得tan 3θ=.因此，22222222sin 2sin cos cos tan 2tan 1sin 2sin cos cos sin os tan 1θθθθθθθθθθθθθ+-+-+-==++2232317315+⨯-==+. 故答案为：75.【点睛】本题考查诱导公式和同角三角函数的商数关系化简求值，解题的关键就是求出tan θ的值，考查运算求解能力，属于中等题.19．【分析】根据两角和的正弦公式二倍角公式诱导公式即可将化简再根据正弦函数的单调性即可比较出大小关系【详解】所以故答案为：【点睛】本题主要考查两角和的正弦公式二倍角公式诱导公式的应用以及正弦函数的单调性解析：c a b <<【分析】根据两角和的正弦公式，二倍角公式，诱导公式，即可将,a b 化简，再根据正弦函数的单调性即可比较出大小关系．【详解】)sin17cos17sin17cos 45cos17sin 45sin 62a =︒+︒=︒+︒=， 22cos 131cos 26sin 64b =︒-==，sin 60c ==，所以，c a b <<．故答案为：c a b <<．【点睛】本题主要考查两角和的正弦公式，二倍角公式，诱导公式的应用，以及正弦函数的单调性的应用，属于基础题．20．4【分析】做出图像由三角函数定义设其中一个顶点坐标从而表示矩形的长与宽进而表示面积求出最大值【详解】由题可构建图像根据三角函数的定义可知所以矩形的面积当时故答案为：4【点睛】本题考查三角函数定义的实解析：4 【分析】做出图像，由三角函数定义设其中一个顶点坐标，从而表示矩形的长与宽，进而表示面积，求出最大值. 【详解】由题可构建图像根据三角函数的定义，可知()2cos ,2sin A αα 所以矩形的面积4cos 2sin 4sin2S ααα=⋅=当4πα=时，max 4sin 244S π⎛⎫=⋅= ⎪⎝⎭故答案为：4 【点睛】本题考查三角函数定义的实际应用，注意建模，再借助三角函数求最值，属于中档题.三、解答题21．（1）()2sin f x x =-；（2）12665. 【分析】（1）根据偶函数定义求解析式；（2）代入已知条件，确定角的范围，由平方关系求得cos 4πα⎛⎫- ⎪⎝⎭，5sin 4πβ⎛⎫+⎪⎝⎭，然后结合诱导公式、两角差的正弦公式计算．【详解】解：（1）设0x <，则0x ->，故()2sin()2sin f x x x -=-=-，又()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x <时，()2sin f x x =-. （2）344ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，04πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，,042ππα⎛⎫∴-∈- ⎪⎝⎭，553442πππβ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，，,4παβπ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭， 6()2sin()445f ππαα∴-=--=，化简得3sin 45πα⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，则4cos 45πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭.5524()2sin()4413f ππββ+=+=-，化简得512sin 413πβ⎛⎫+=-⎪⎝⎭，则55cos 413πβ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭.512435126()2sin()2sin ()2()4413551365f ππαβαββα⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+=-+--=--⨯--⨯-=⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦．【点睛】关键点点睛：本题考查由奇偶性求解析式，考查两角差的正弦公式，同角间的三角函数关系，诱导公式等．解题关键是确定已知角和未知角的关键，以确定选用的公式．在用平方关系求值时需确定角的范围，从而确定函数值的正负．22．（1）最小正周期为π，单调递减区间为5,,36k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦；（2）1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭【分析】（1）化简可得()2sin 26f x x πω⎛⎫=-⎪⎝⎭，由题可得T π=，则可解出1ω=，令3222,262k x k k Z πππππ+≤-≤+∈可求出单调递减区间；（2）可得()2sin 26g x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，题目等价于找出()g x 有两个点相等的区间，即可求出a 的范围.【详解】（1）()2cos 22sin 26f x x x x πωωω⎛⎫=-=-⎪⎝⎭， ()y f x =的图象与直线2y =的两个相邻公共点之间的距离为π，T π∴=，则22ππω=，解得1ω=， ()2sin 26f x x π⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭，令3222,262k x k k Z πππππ+≤-≤+∈，解得5,36k x k k Z ππππ+≤≤+∈，故()f x 的单调递减区间为5,,36k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦；（2）可得()2sin 22sin 26666g x f x x x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+-=+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，672,66x πππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦-∈，()1,12g x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，要使关于x 的方程()g x a =有两个不相等的实数根，只需找出()g x 有两个点相等的区间即可，当2,662x πππ⎡⎫-∈⎪⎢⎣⎭和52,626x πππ⎛⎤-∈ ⎥⎝⎦时满足题意，此时()1,12g x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，1,12a ⎡⎫∴∈⎪⎢⎣⎭.【点睛】本题考查三角函数与方程的应用，解题的关键是得出题目等价于找出()g x 有两个点相等的区间.23．（1）,3x xx k k Z ππ⎧⎫∈=-+∈⎨⎬⎩⎭∣时，max ()2f x =；（2）410. 【分析】（1）利用两角和的余弦展开和正弦的降幂公式化简，再利用两角和的正弦写成()()sin f x A x ωϕ=+形式可求最值及对应的x 的值；（2）由3sin 265πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭和α的范围利用平方关系求出cos 26πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭，再利用凑角sin 2sin 266ππαα⎡⎤⎛⎫=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦可得答案.【详解】（1）1()cos 221cos 22f x x x x =+-1sin 26x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，当2262x k πππ+=-+，即,3x xx k k Z ππ⎧⎫∈=-+∈⎨⎬⎩⎭∣时，max ()2f x =. （2）21sin 265πα⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，3sin 265πα⎛⎫∴+= ⎪⎝⎭，,42ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，272,636πππα⎛⎫∴+∈ ⎪⎝⎭，4cos 265πα⎛⎫∴+==- ⎪⎝⎭3414sin 2sin 266525210ππαα⎡⎤-⎛⎫=+-=⨯-⨯=⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦. 【点睛】本题考查了三角函数的性质、三角函数的化简求值，关键点是正用两角和的余弦、正弦公式和逆用两角和的正弦公式，利用凑角求三角函数值，考查了学生的基础知识、基本运算能力.24．（1）最小正周期T π=；对称中心为,0122k k Z ππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，；（2）()max 1f x =，自变量x 的集合为3π⎧⎫⎨⎬⎩⎭．【分析】（1）先利用两角和与差的余弦公式及辅助角公式将函数化成标准形式11()sin 2262f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，再利用周期公式计算周期，整体代入法计算对称中心即可；（2）利用整体代入法，由0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦得52666x πππ-≤-≤，根据正弦函数最值的特征得到何时取最值即可. 【详解】解：（1）()212sin 6f x x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭31cos 21cos 22442xx x -=-+-11112cos 2sin 242262x x x π⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭ 故最小正周期22T ππ==，令2,6x k k π-=π∈Z ，解得,122k x k Z ππ=+∈，故对称中心为,0122k k Z ππ⎛⎫+∈⎪⎝⎭，；（2）∵02x π≤≤，∴52666x πππ-≤-≤，当226x ππ-=时，max sin 216πx ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，故()max 111122f x =⨯+=，此时3x π=，即自变量x 的集合为3π⎧⎫⎨⎬⎩⎭．【点睛】方法点睛：求三角函数性质问题时，通常先利用两角和与差的三角函数公式、二倍角公式及辅助角公式将函数化简成基本形式()()sin f x A x b ωϕ=++，再利用整体代入法求解单调性、对称性，最值等性质.25．（Ⅰ）答案见解析；（Ⅱ）答案见解析. 【分析】选① (Ⅰ)逆用余弦的二倍角公式降幂后，使用辅助角公式化简得())f x x ϕ=+ ，根据对称轴求得ϕ的值，进而求得a 的值，得到函数的解析式，求得最小正周期；（Ⅱ）根据正弦函数的单调性，利用整体代换法求得()f x 的递增区间.选② (Ⅰ)逆用余弦的二倍角公式降幂得到()f x sin2cos2a x x =+，根据选择的条件求得a 的值，得到函数的解析式，并利用辅助角公式化简，然后求得()f x 的最小正周期；（Ⅱ）根据正弦函数的单调性，利用整体代换法求得()f x 的递增区间.选③逆用余弦的二倍角公式降幂后，使用辅助角公式化简得到()f x 2sin(2)6x π=+然后求得()f x 的最小正周期；（Ⅱ）根据正弦函数的单调性，利用整体代换法求得()f x 的递增区间. 【详解】选① （()f x 图像的一条对称轴为8x π=）解：(Ⅰ) ()2sin 22cos 1f x a x x =+-sin2cos2a x x =+22x x ⎛⎫=+⎪⎭)x ϕ=+（其中1tan aϕ=）因为()f x 图像的一条对称轴为8x π=所以()1sin()84f ππϕ=+=即有,42k k Z ππϕπ+=+∈所以,4k k Z πϕπ=+∈所以1tan tan()tan 144k aππϕπ=+===1a故())4f x x π=+ 所以()f x 的最小正周期为：22||2T πππω=== （Ⅱ） +22+2,242k x k k Z πππππ-≤+≤∈3+22+2,44k x k k Z ππππ∴-≤≤∈ 3++,88k x k k Z ππππ∴-≤≤∈ 所以()f x 的递增区间为3[+],k 88k Z ππππ-∈+k ，选② (()1)4f π=解：(Ⅰ)()2sin 22cos 1f x a x x =+-sin2cos2a x x =+()sin cos 1422f a πππ∴=+=1a()sin 2cos 2f x x x =+22)x x =)4x π=+所以()f x 的最小正周期为：22||2T πππω=== （Ⅱ） +22+2,242k x k k Z πππππ-≤+≤∈3+22+2,44k x k k Z ππππ∴-≤≤∈ 3++,88k x k k Z ππππ∴-≤≤∈ 所以()f x 的递增区间为3[+],k 88k Z ππππ-∈+k ，选③（a =解：（I ）()222cos 1f x x x =+-2cos2x x =+ 312(sin 2cos 2)2x x 2sin(2)6x π=+ 所以()f x 的最小正周期为：22||2T πππω=== （Ⅱ） +22+2,262k x k k Z πππππ-≤+≤∈ 2+22+2,33k x k k Z ππππ∴-≤≤∈ ++,36k x k k Z ππππ∴-≤≤∈ 所以()f x 的递增区间为[+],k 36k Z ππππ-∈+k ，【点睛】本题考查三角函数的恒等变形和三角函数的性质，关键是逆用余弦的二倍角公式降幂后，并使用辅助角公式化简.26．（1）T π=，7[,],1212++∈k k k Z ππππ；（2）3π. 【分析】（1）先利用三角恒等变换，将函数转化为()2sin(2)3f x x π=+，再利用正弦函数的性质求解.（2）根据函数()f x 的图象关于点(,)m n 对称，令2()3m k k Z ππ+=∈求解. 【详解】（1）2()[2sin()sin ]cos 3=++f x x x x x π2(sin sin )cos =++-x x x x x2(2sin )cos =+x x x x222sin cos sin )x x x x =+-sin 222sin(2)3x x x π==+， T π=，由3222232k x k πππππ+≤+≤+，解得71212k x k ππππ+≤≤+，则()f x 的单调递减区间是7[,],1212++∈k k k Z ππππ. （2）2()3+=∈m k k Z ππ，,26∴=-∈k m k Z ππ 又0m >m ∴的最小值为3π. 【点睛】方法点睛：1．讨论三角函数性质，应先把函数式化成y ＝A sin(ωx ＋φ)(ω>0)的形式． 2．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)和y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期为2T ωπ=，y ＝tan(ωx ＋φ)的最小正周期为T πω=. 3．对于函数的性质(定义域、值域、单调性、对称性、最值等)可以通过换元的方法令t ＝ωx ＋φ，将其转化为研究y ＝sin t 的性质．。

(典型题)高中数学必修四第三章《三角恒等变形》检测题(包含答案解析)

一、选择题1．已知函数()sin 3cos f x x x ωω=+()0ω>的图像与直线2y =交于,A B 两点，若AB 的最小值为π，则函数()f x 的一条对称轴是（）A ．3x π=B ．4x π=C ．6x π=D ．12x π=2．已知函数2()2sin cos 23sin (0)f x x x x ωωωω=->图像的相邻两条对称轴之间的距离为2π，则2f π⎛⎫= ⎪⎝⎭（） A ．13- B ．13--C ．0D ．23-3．已知2tan 23θ=，则1cos sin 1cos sin θθθθ-+++的值为（） A ．23 B ．23-C ．32D ．32-4．已知ππ2α<<，且π3sin 45α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则cos α的值为（）A ．7210 B ．7210-C ．210D ．210-5．2002年在北京召开的国际数学家大会，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的，弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形（如图）．如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为θ，那么sin 2θ的值为（）A ．12B ．32C ．1225D ．24256．已知0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，1cos 63πα⎛⎫+=⎪⎝⎭，则sin α的值等于（） A 223- B 223+ C 261- D ．261- 7．已知25cos2cos αα+=，()4cos 25αβ+=，0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，3,22πβπ⎛⎫∈⎪⎝⎭，则cos β的值为（） A ．45-B ．44125C ．44125-D ．458．已知α，β均为锐角，5cos()13αβ+=-，3sin()35πβ+=，则sin()3πα-=（）A ．3365B ．3365-C ．6365D ．56659．若α∈(2π，π)，且3cos 2α＝sin(4π－α)，则sin 2α的值为（） A ．－118 B ．118C ．－1718D ．171810．已知,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，3sin 5α=，则tan 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（） A ．17B ．7C ．17-D ．-711．若函数()sin cos 2sin cos 1f x x x x x a =+-+-在3,44ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上有零点，则实数a 的取值范围（）A ．⎡⎤⎣⎦B ．94⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．⎡-⎣D ．94⎤⎥⎦12．已知()4cos 5αβ+=，()1cos 5αβ-=，则tan tan αβ⋅的值为（） A ．12B ．35C ．310-D ．35二、填空题13．已知10cos ,0,42ππθθ⎛⎫⎛⎫+=∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则sin 23πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭______ 14．已知4cos 5θ=，且,02πθ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，则tan 4πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭____________． 15．已知()2cos (sin cos )f x x x x =+，若对任意[0,]2x π∈不等式2()m f x m -≤≤+恒成立，则实数m 的取值范围是___________.16．已知函数()sin cos ,,22f x x x x ππ⎡⎤=+∈-⎢⎥⎣⎦，有以下结论： ①()f x 的图象关于y 轴对称； ②()f x 在区间,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增； ③()f x 图象的一条对称轴方程是4x π=； ④()f x 的最大值为2．则上述说法中正确的是__________（填序号）17．在ABC 中，A ∠，B ，C ∠对应边分别为a ，b ，c ，且5a =，4b =，()31cos 32A B -=，则ABC 的边c =________. 18．如图，在边长为1的正方形ABCD 中，P ，Q 分别在边BC ，CD 上，且PB QD PQ +=，则PAQ ∠的大小为__________．19．已知sin10cos102cos140m ︒-︒=︒，则m =_________.20．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右顶点分别是A ,B ,双曲线的右焦点F 为()2,0,点P 在过F 且垂直于x 轴的直线l 上,当ABP ∆的外接圆面积达到最小时,点P 恰好在双曲线上,则该双曲线的方程为________.三、解答题21．已知函数2211()sin 2cos 2cos 2sin 22,22f x x x x x x R =+-+∈．（I ）求函数|()|f x 最小正周期和最小值；（Ⅱ）将函数()y f x =的图象向左平移8π个单位长度，得到()y g x =图象．若对任意12,[0,]x x m ∈，当12x x <时，都有()()()()1212f x f x g x g x -<-成立，求实数m 的最大值．22．（1）求值：4sin 220tan320-︒︒；（2）已知43sin ,4544x x πππ⎛⎫+=--<<⎪⎝⎭，求22cos sin 2x x +的值.23．已知函数()f x 满足：()()()22f x f x a a R +=+∈，若()12f =，且当(]2,4x ∈时，()22611f x x x =-+．（1）求a 的值；（2）当(]0,2x ∈时，求()f x 的解析式；并判断()f x 在(]0,4上的单调性（不需要证明）；（3）设()24log 231x g x ⎛⎫=+⎪-⎝⎭，()2cos cos 2,22h x x m x x ππ⎛⎫⎡⎤=+∈- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，若()()f h x g h x ≥⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，求实数m 的值．24．在下列三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并进行解答.①函数()2sin(2)f x x ωϕ=+（0>ω，||2ϕπ<）的图象向右平移12π个单位长度得到()g x 的图象，()g x 图象关于原点对称；②函数())cos(2)(0)f x x x ωπωω=-->； ③函数()4cos sin 1(0)6f x x x πωωω⎛⎫=+-> ⎪⎝⎭；问题：已知________，函数()f x 的图象相邻两条对称轴之间的距离为2π．（Ⅰ）求()f x 的单调递增区间；（Ⅱ）若0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()f α=α的值．25．已知函数()22sin cos 1444x x x f x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭.（1）求函数()f x 的最小正周期及()f x 的单调递减区间﹔ （2）将()f x 的图象先向左平移6π个单位长度，再将其横坐标缩小为原来的12，纵坐标不变得到函数()g x ，若()04g x =，05,4x ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭，求0sin x 的值.26．已知函数()21sin cos 12f x x x x =+-(x ∈R ) （1）求()f x 的最小正周期；（2）求()f x 在区间,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值，并分别写出相应的x 的值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】化简得()2sin 3f x x πω⎛⎫=+⎪⎝⎭，由题可得周期为π，即可求出2ω=，令2,32πππ+=+∈x k k Z 求出对称轴即可得出答案.【详解】()sin 2sin 3f x x x x πωωω⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，()f x 直线2y =交于,A B 两点，且AB 的最小值为π，T π=，则22T πω==，即()2sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令2,32πππ+=+∈x k k Z ，则,122k x k Z ππ=+∈， ()f x ∴的对称轴为,122k x k Z ππ=+∈，当0k =时，12x π=.故选：D. 【点睛】本题考查正弦型函数的对称轴问题，解题的关键是利用辅助角公式化简函数得出周期，求出解析式，即可解决.2．D解析：D 【分析】先将函数化简整理，根据相邻对称轴之间距离求出周期，确定1ω=，再求2f π⎛⎫ ⎪⎝⎭. 【详解】因为()21cos 22sin cos sin 22xf x x x x x ωωωωω-=-=- πsin 222sin 23x x x ωωω⎛⎫=+=+- ⎪⎝⎭由题意知()f x 的最小正周期为π22π⨯=，所以2π2πω=，即1ω=，所以()π2sin 23f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭π2sin 23f ππ⎛⎫⎛⎫=+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：D. 【点睛】本题考查了三角函数的性质，关键点是根据已知条件先化简正弦函数的解析式，还要熟练掌握三角函数的性质才能正确的解题，属于中档题.3．A解析：A 【分析】根据半角公式得22sin sin cos221cos sin 1co 2cos sin cos 22s s 2in θθθθθθθθθθ=+++++-，再分子分母同除以2cos 2θ得2tan 1cos sin 21cos si tan2n 31ta 2n 2θθθθθθθ-+=++=++. 【详解】解：根据半角公式得：22cos 12sin2cos 122θθθ=-=-，sin 2sincos22θθθ=所以22222sin 2sin cos sin sin cos2222222cos 2sin cos cos sin cos 21cos sin 1cos 222n 2i 2s θθθθθθθθθθθθθθθθ-+==++++++，对上述式子分子分母同除以2cos 2θ得： 222sin sin cos tan22222cos s 42ta in cos 22n 1cos sin 1029321cos sin 1531tan 1322θθθθθθθθθθθθθ+-+==+++===++++. 故选：A. 【点睛】本题解题的关键在于利用半角公式化简得22sin sin cos221cos sin 1co 2cos sin cos 22s s 2in θθθθθθθθθθ=+++++-，进而构造齐次式求解即可，考查运算求解能力，是中档题. 4．D解析：D 【分析】根据同角三角函数基本关系得出cos 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值，再用两角差的余弦公式即可解题. 【详解】因为ππ2α<<，所以35,444πππα⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，又3sin 45πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以4cos 45πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，所以cos cos cos cos sin sin 444444ππππππαααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭43525210=-⨯+⨯=-. 故选：D 【点睛】方法点睛：该题考查的是有关三角函数求值问题，解题方法如下：（1）利用同角三角函数关系式，结合角的范围，求得cos 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值；（2）凑角，利用差角余弦公式求得结果.5．D解析：D 【分析】由图形可知三角形的直角边长度差为1，设直角边分别为a ，根据大正方形的边长是直角三角形的斜边长列方程组求出直角边，然后得出sin θ，代入二倍角公式即可得出答案．【详解】由题意可知小正方形的边长为1，直角边长度差为1，大正方形的面积为25，边长为5，大正方形的边长是直角三角形的斜边长，设直角三角形的直角边分别为a ，b 且a b <，则1b a =+，所以()2222125a b a a +=++=，得2120a a +-=，所以3a =或4a =-舍去，所以4b =，∴3sin 5θ=，4cos 5θ=，24sin 22sin cos 25θθθ==．故选：D ．【点睛】关键点点睛：本题考查了三角函数值、二倍角公式的计算，解答本题的关键是根据直角三角形的斜边长等于大正方形的边长求出直角三角形的一个直角边，考查了学生的运算求解能力.6．C解析：C 【分析】求出sin 6απ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，然后由两角差的正弦公式计算．【详解】∵0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴2,663πππα⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，∴sin 63πα⎛⎫+== ⎪⎝⎭， ∴sin sin sin cos cos sin 666666ππππππαααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+-+⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦11132326-=⨯-⨯=．故选：C ．【点睛】本题考查两角差的正弦公式，考查同角间的三角函数关系，在应用三角公式化简求值时，要注意已知角与未知角之间的关系，以确定先用哪一个公式变形．7．B解析：B 【分析】先根据二倍角余弦公式求cos α，解得cos2α，最后根据两角差余弦公式得结果. 【详解】2125cos2cos 10cos cos 30cos 2ααααα+=∴--=∴=-或35因为0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以3cos 5α=22443247sin ,sin 22,cos 2cos sin 5552525ααααα∴==⨯⨯==-=-,42ππα⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭()()43cos 2,2(2,3)sin 255αβαβππαβ+=+∈∴+=cos cos(22)cos(2)cos 2sin(2)sin 2βαβααβααβα∴=+-=+++4732444525525125=-⨯+⨯=故选：B 【点睛】本题考查二倍角余弦公式、两角差余弦公式，考查基本分析求解能力，属中档题.8．B解析：B 【分析】由所给三角函数值利用同角三角函数的关系求出()sin αβ+、cos 3πβ⎛⎫+⎪⎝⎭，3πα-记为()3παββ⎛⎫+-+⎪⎝⎭，利用两角差的正弦公式展开代入相应值计算即可.【详解】α，β均为锐角，5cos()013αβ+=-<，,2παβπ⎛⎫∴+∈ ⎪⎝⎭，∴()12sin 13αβ+==，β均为锐角，5,336πππβ⎛⎫∴+∈ ⎪⎝⎭，则1cos 32πβ⎛⎫⎛⎫+∈ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，4cos 35πβ⎛⎫∴+==- ⎪⎝⎭或45（4152>，舍去），()sin()sin 33ππααββ⎡⎤⎛⎫∴-=+-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦()()sin cos cos sin 33ππαββαββ⎛⎫⎛⎫=+⋅+-+⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭124533313513565⎛⎫⎛⎫=⨯---⨯=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故选：B 【点睛】本题考查同角三角函数的关系、两角差的正弦公式、三角函数在各象限的符号，属于中档题.9．C解析：C 【分析】按照二倍角的余弦以及两角差的正弦展开可得()3cos sin 2αα+=，对等式平方即可得结果. 【详解】由3cos 2sin 4παα⎛⎫=-⎪⎝⎭，可得())223cos sin cos sin 2αααα-=-，又由,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，可知cos sin 0αα-≠，于是()3cos sin 2αα+=，所以112sin cos 18αα=＋，故17sin 218α=-，故选：C. 【点睛】本题主要考查了两角差公式以及二倍角公式的应用，属于中档题.10．A解析：A 【分析】根据角的范围以及平方关系求出4cos ,5α=-再利用商的关系求出3tan 4α=-，最后由两角和的正切公式可得答案. 【详解】因为,2παπ⎛⎫∈⎪⎝⎭，3sin 5α=，所以4cos ,5α==-sin 3tan cos 4ααα==-， tan tan4tan 41tan tan 4παπαπα+⎛⎫+== ⎪⎝⎭-⋅17 故选：A. 【点睛】本题主要考查平方关系、商的关系以及两角和的正切公式，属于基础题.11．A解析：A 【分析】由题意结合函数零点的概念可得方程1sin cos 2sin cos a x x x x -=+-在3,44ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上有解，令sin cos 2sin cos y x x x x =+-，通过换元法求得y 在3,44ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上的值域即可得解. 【详解】因为函数()sin cos 2sin cos 1f x x x x x a =+-+-在3,44ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上有零点，所以方程1sin cos 2sin cos a x x x x -=+-在3,44ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上有解，设sin cos 4t x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，3,44x ππ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦，∴,204x ππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，∴t ⎡⎤∈⎣⎦，212sin cos t x x =+，∴2215sin cos 2sin cos 124y x x x x t t t ⎛⎫=+-=-+=--+ ⎪⎝⎭，当0t =时，y 取得最大值1，当t =y取得最小值1-，故可得111a ≤-≤，∴2a ≤≤.故选：A.【点睛】本题考查了函数与方程的综合应用，考查了三角函数的性质及三角恒等变换的应用，考查了逻辑思维能力和运算求解能力，属于中档题.12．B解析：B【分析】根据两角和与差的余弦函数的公式，联立方程组，求得13cos cos ,sin sin 210αβαβ==-，再结合三角函数的基本关系式，即可求解. 【详解】由4cos()cos cos sin sin 5αβαβαβ+=-=，1cos()cos cos sin sin 5αβαβαβ-=+=，联立方程组，可得13cos cos ,sin sin 210αβαβ==-，又由sin sin 3tan tan cos()cos cos 5αβαβαβαβ=+==-. 故选：B.【点睛】本题主要考查了两角和与差的余弦函数，以及三角函数的基本关系式的化简、求值，其中解答中熟记三角恒等变换的公式，准确运算是解答的关键，着重考查运算与求解能力. 二、填空题13．【分析】先由求得的值进而求得的值再根据两角差的正弦公式求得的值【详解】依题意即故由于而所以故因此所以【点睛】本小题主要考查二倍角公式考查同角三角函数的基本关系式考查两角差的正弦公式考查化归与转化的数【分析】先由cos 4πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭求得πcos 22θ⎛⎫+⎪⎝⎭的值，进而求得sin 2,cos 2θθ的值，再根据两角差的正弦公式，求得sin 23πθ⎛⎫-⎪⎝⎭的值. 【详解】依题意πcos 22θ⎛⎫+ ⎪⎝⎭2π42cos 145θ⎛⎫=+-=- ⎪⎝⎭，即4sin 25θ-=-，故4sin 25θ=，由于πππ3π0,,,2444θθ⎛⎫⎛⎫∈+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，而πcos 04θ⎛⎫+> ⎪⎝⎭，所以πππ,442θ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，故ππ0,,20,42θθ⎛⎫⎛⎫∈∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因此3cos 25θ===.所以ππsin 2sin 2cos cos 2sin 333πθθθ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭= 【点睛】本小题主要考查二倍角公式，考查同角三角函数的基本关系式，考查两角差的正弦公式，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.14．【分析】由且求得得到再结合两角和的正切公式即可求解【详解】因为且可得所以又由故答案为：【点睛】本题主要考查了三角函数的基本关系式以及两角和的正切公式的化简求证其中解答中熟记三角函数的基本关系式和两角解析：17【分析】由4cos 5θ=，且,02πθ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，求得3sin 5θ=-，得到3tan 4θ=-，再结合两角和的正切公式，即可求解.【详解】因为4cos 5θ=，且,02πθ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，可得3sin 5θ===-，所以sin 3tan cos 4θθθ==-，又由311tan 14tan 341tan 714πθθθ-+⎛⎫+=== ⎪-⎝⎭+. 故答案为：17. 【点睛】本题主要考查了三角函数的基本关系式，以及两角和的正切公式的化简、求证，其中解答中熟记三角函数的基本关系式和两角和的正切公式，准确运算是解答的关键，着重考查运算与求解能力.15．【分析】先将化解成正弦型然后根据取值范围求出最值根据恒成立可建立不等式解出不等式即可【详解】当时恒成立解得故答案为：【点睛】本题考查三角函数的化解以及以及已知范围求正弦型函数的最值解析：[1,2]【分析】先将()f x 化解成正弦型，然后根据x 取值范围求出()f x 最值，根据恒成立可建立不等式，解出不等式即可.【详解】2()=2sin cos 2cos =sin2cos 21)14f x x x x x x x π+++=++，当[0,]2x π∈时，52,444x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，∴0)114x π≤++≤，2()m f x m -≤≤+恒成立，02212m m，解得12m ≤≤.故答案为：[1,2]【点睛】本题考查三角函数的化解以及以及已知x 范围求正弦型函数的最值.16．①【分析】去掉绝对值利用辅助角公式化简函数解析式利用函数的奇偶性单调性对称性以及函数的最值对选项进行判断即可【详解】当时当时即函数为偶函数图象关于y 轴对称①正确；函数在区间上单调递增在区间上单调递减解析：① 【分析】去掉绝对值，利用辅助角公式化简函数解析式，利用函数的奇偶性，单调性，对称性以及函数的最值对选项进行判断即可.【详解】 (),,042sin cos ,0,42x x f x x x x x ππππ⎛⎫⎡⎤+∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦=+=⎛⎫⎛⎤-∈ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦，当,02x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦π时，()()44f x x x f x ππ⎛⎫⎛⎫-=--=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当0,2x π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()()44f x x x f x ππ⎛⎫⎛⎫-=-+=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即函数()f x 为偶函数，图象关于y 轴对称，①正确；函数()f x 在区间,24ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递增，在区间,04π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减，②错误；因为函数()f x 的定义域为,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，不关于直线4x π=对称，所以直线4x π=不是一条对称轴，③错误； ()f x，④错误．故答案为:①．【点睛】本题考查余弦函数的性质，考查余弦函数的奇偶性，单调性，对称性以及最值，考查辅助角公式的应用，考查学生的分析推理能力，属于中档题.17．6【分析】由可知然后由可求再由正弦定理三角函数恒等变换的应用可求由可求结合同角平方关系可求代入进而可求进而根据余弦定理可求的值【详解】解：可知由正弦定理于是可得又可得可得由余弦定理可得故答案为：6【解析：6【分析】由a b >可知A B >，然后由cos()A B -可求sin()A B -，再由正弦定理，三角函数恒等变换的应用可求cos B ，由cos cos[()]cos()cos sin()sin A A B B A B B A B B =-+=---可求cos A ，结合同角平方关系可求sin A ，代入cos()cos cos sin sin A B A B A B +=-，进而可求cos C ，进而根据余弦定理可求c 的值．【详解】解：a b >，A B ∴>， 31cos()32A B -=， ∴可知(0,)2A B π-∈，sin()A B ∴-==，由正弦定理，sin 5sin 4A aB b ==，于是可得5sin 31sin sin[()]sin()cos sin cos()sin 432B A A B B A B B B A B B B ==-+=-+-=+，3sin B B ∴，sin cos 22B B 1+=，又B A <，可得3cos 4B =，3139cos cos[()]cos()cos sin()sin 32416A AB B A B B A B B∴=-+=---⨯=，可得sin A ，931cos cos()cos cos sin sin 1648C A B A B A B ∴=-+=-+=⨯=，∴由余弦定理可得6c ．故答案为：6．【点睛】本题主要考查了正弦定理、同角三角函数的基本关系及和差角的三角公式的综合应用，同时考查了运算的能力，属于中档题．18．【分析】先分别设则在中由勾股定理得再分别表示出之后利用正切的和角公式求即可解决【详解】解：设则因为是直角三角形所以由勾股定理得：化简得在中在中所以又因为所以故答案为：【点睛】本题主要考查正切的和角公解析：4π 【分析】先分别设PB x =，DQ y =，则在PCQ △中，由勾股定理得1xy x y -=+，再分别表示出tan BAP ∠，tan DAQ ∠，之后利用正切的和角公式求()tan BAP DAQ ∠+∠即可解决.【详解】解：设PB x =，DQ y =，则1CP x =-，1CQ y =-，因为PCQ △是直角三角形，PB QD PQ +=，所以由勾股定理得：()()()22211x y x y -+-=+，化简得1xy x y -=+,在ABP △中，tan BP BAP x AB∠==，在ADQ △中，tan DQ DAQ y AD ∠==，所以()tan tan tan 11tan tan 1BAP DAQ x y BAP DAQ DAQ BAP xy ∠+∠+∠+∠===-∠∠-，又因为02BAP DAQ π<∠+∠<，所以，=4PAQ π∠ 故答案为：4π 【点睛】本题主要考查正切的和角公式，数据处理能力与运算能力，是中档题.19．【分析】化简得再利用诱导公式与和差角公式化简求解即可【详解】由题故答案为：【点睛】本题主要考查了根据余弦的诱导公式与和差角公式化简求解的问题需要根据题中的角跟特殊角的关系用和差角公式属于中档题【分析】化简得sin102cos140cos10m ︒-︒=︒,再利用诱导公式与和差角公式化简cos140︒求解即可. 【详解】由题()sin102cos 1030sin102cos140cos10cos10m ︒+︒+︒︒-︒==︒︒sin102cos10cos302sin10sin 302cos10cos302cos30cos10cos10︒+︒︒-︒︒︒︒===︒=︒︒.【点睛】本题主要考查了根据余弦的诱导公式与和差角公式化简求解的问题.需要根据题中的角跟特殊角的关系用和差角公式,属于中档题.20．【分析】设点的坐标为由于为定值由正弦定理可知当取得最大值时的外接圆面积取得最小值也等价于取得最大值结合已知即可求得答案【详解】不妨设点的坐标为由于为定值由正弦定理可知当取得最大值时的外接圆面积取得最解析：22122x y -=. 【分析】设点P 的坐标为()()2,0m m >,由于AB 为定值,由正弦定理可知当sin APB ∠取得最大值时,APB ∆的外接圆面积取得最小值,也等价于tan APB ∠取得最大值,结合已知,即可求得答案.【详解】不妨设点P 的坐标为()()2,0m m >, 由于AB 为定值,由正弦定理可知当sin APB ∠取得最大值时,APB ∆的外接圆面积取得最小值,也等价于tan APB ∠取得最大值,2tan a APF m +∠=,2tan a BPF m-∠=, ∴()2222tan tan 221a a a a m m APB APF BPF a a b b m m m m +--∠=∠-∠==≤=+-+⋅+, 当且仅当()20b m m m=>,即当m b =时,等号成立, 此时APB ∠最大,即APB ∆的外接圆面积取最小值.点P 的坐标为()2,b ,代入22221x y a b-=,可得a =b =∴双曲线的方程为22122x y -=. 故答案为:22122x y -=. 【点睛】本题主要考查了求双曲线的方程,解题关键是掌握双曲线基础知识和灵活使用均值不等式,考查了分析能力和计算能力,属于难题.三、解答题21．（I ）2π.（Ⅱ） 8π. 【分析】（I ）先将函数解析式整理，得到()4224f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，根据正弦函数的周期，即可求出函数 |()|f x 的最小正周期；再由正弦函数的取值范围，即可求出函数的最小值；（Ⅱ）记()()()h x f x g x =-，根据题中条件，先判断 ()h x 在[0,]m 上是增函数；再由题中条件，得到函数()h x 的解析式，根据正弦函数的单调性，即可求出结果.【详解】（I ）2211()sin 2cos 2cos 2sin 2222f x x x x x =+-+ 11sin 4cos 4222x x =++ 11cos 4sin 4222x x =++4204x π⎛⎫=++> ⎪⎝⎭，所以()f x 的最小正周期为2T π=，当sin 414x π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭时，函数 |()|f x 的最小值为42. （Ⅱ）因为对任意12,[0,]x x m ∈，当12x x <时，都有()()()()1212f x f x g x g x -<-，即()()()()1122f x g x f x g x -<-，记()()()h x f x g x =-，即()()12h x h x <，所以()h x 在[0,]m 上是增函数.又3()42428844g x f x x x ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+++=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.所以3()()()442424h x f x g x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2sin 4cos sin 44x x π==，令24222k x k ππππ-≤≤+，求得2828k k x ππππ-≤≤+. 故()h x 的单调增区间为,2828k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦， k Z ∈，所以实数m 的最大值为8π. 【点睛】关键点睛：本题主要考查三角函数的恒等变换及三角函数的性质，涉及到函数的平移，利用构造函数的思想，求正弦型函数的单调区间，以及利用单调性求参数是解决本题的关键.22．（1）2）825. 【分析】（1）利用诱导公式，同角三角函数的基本关系，二倍角公式，两角和的正弦与余弦公式以及辅助角公式求解即可；（2）先利用已知条件得到4x π+的范围，进而求出cos 4x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值，再利用二倍角公式和诱导公式求解即可.【详解】（1）4sin 220tan320-︒︒ ()()sin 18040tan 360404︒+︒-︒-=︒sin 440tan 40︒+=-︒sin 440sin 40cos 40︒︒=-+︒ sin 40cos 40sin 40cos 440︒︒+︒-=︒ sin80sin 40co 402s -=︒+︒︒()0sin 3010cos 402cos1︒+︒+︒=-︒0sin 30cos10cos32cos 0sin10co 01s 4︒+︒︒+︒︒=-︒3cos1022cos 40-︒︒︒== （2）344x ππ-<<， 422x πππ∴-<+<，则cos 04x π⎛⎫+> ⎪⎝⎭，所以3cos 45x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，又2cos 22cos 1x x =-，cos 2sin 2sin 22sin cos 2444x x x x x ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭432425525⎛⎫=⨯-⨯=- ⎪⎝⎭，则22412cos cos 2112525x x =+=-+=； sin 2cos 2cos 224x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2972cos 12142525x π⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+-=-⨯-= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以21782cos sin 2252525x x +=+=；【点睛】关键点睛：本题主要考查了三角函数与三角恒等变换问题.灵活的运用诱导公式，同角三角函数的基本关系，二倍角公式，两角和的正弦与余弦公式以及辅助角公式是解决本题的关键.23．（1）7；（2）()2f x x x =+，单调递增；（3）-1. 【分析】（1）根据题意可得()()3214f f a a =+=+，再由()311f =即可求解.（2）设2(]0,x ∈，则2(2,4]x +∈，代入()()227f x f x +=+即可得出()2f x x x =+，再由分段函数单调性判断方法即可求解.（3）由（2）知，当4x >时，()21f x ≥，且由条件知，()12f =，根据()g x 的单调性可得()1h x ≥恒成立，设cos [0,1]x t =∈，只需不等式222(1)0mt t m +-+≥在[0,1]t ∈上恒成立，讨论m 的取值范围即可求解.【详解】（1）由题意()12f =，所以()()3214f f a a =+=+，又()2323631111f =⨯-⨯+=，因为411a +=，所以7a =；（2）设2(]0,x ∈，则2(2,4]x +∈，所以()2222(2)6(2)11227f x x x x x +=+-++=++，又()()227f x f x +=+，代入解得：()2f x x x =+；显然，()f x 在(0,2]，(2,4]上分别是单增函数，又()26f =，而当2x +→时，7y →，因为76>，所以()f x 在(0,4]上单调递增；（3）由（2）知，()f x 是区间(0,4]上单调递增，且(2,4]x ∈时，()419f =，()7f x >，且当4x >时，设(2,22](2,)x n n n n Z ∈+≥∈，则(22)(2,4]x n --∈，()232()2(2)72(4)7(21)2(6)7221f x f x f x f x =-+=-+⋅+=-+⋅++()1232[(22)]72221n n n f x n ---=⋅⋅⋅=--+⋅++⋅⋅⋅++()123727222121n n n --->⋅+⋅++⋅⋅⋅++≥且由条件知，()12f =；再看函数()24 log 231x g x ⎛⎫=+⎪-⎝⎭，由420031x x +>⇒>-，即定义域为(0,)+∞，且4231x y =+-在(0,)+∞上单减，所以()24log 231x g x ⎛⎫=+⎪-⎝⎭在(0,)+∞上单减，又发现()12g =，所以()()()1f h x g h x h x ≥⇒≥⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦恒成立，即()22cos 2cos 11x m x +-≥在,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦上恒成立，设cos [0,1]x t =∈，则不等式222(1)0mt t m +-+≥在[0,1]t ∈上恒成立， ①当0m =时，不等式化为210t -≥，显然不满足恒成立； ②当0m >时，当0t =代入得()10m -+≥，矛盾； ③当0m <时，只需(1)01122(1)01m m m m m m ⎧-+≥≤-⎧⇒⇒=-⎨⎨+-+≥≥-⎩⎩，综上，实数m 的值为-1．【点睛】关键点点睛：本题考查了换元法求函数的解析式，函数的单调性，解题的关键是根据函数的单调性得出()1h x ≥，转化为二次不等式恒成立，考查了分类讨论的思想. 24．（Ⅰ）()2sin(2)6f x x π=+（Ⅱ）12πα=或4πα=【分析】分别选择①，②，③求出函数()2sin(2)6f x x π=+，（Ⅰ）根据正弦函数的增区间列式可求出()f x 的递增区间；（Ⅱ）代入()f α，根据α的范围可求出结果. 【详解】因为函数()f x 的图象相邻两条对称轴之间的距离为2π．所以22T ππ=⨯=，选择①，则22ππω=，得1ω=，所以()2sin(2)f x x ϕ=+，所以()()2sin 2()1212g x f x x ππϕ⎡⎤=-=-+⎢⎥⎣⎦2sin(2)6x πϕ=-+，因为()g x 的图象关于原点对称，所以()g x 为奇函数，所以(0)0g =，所以2sin()06πϕ-=，所以6k πϕπ-=，k Z ∈，所以6k πϕπ=+，k Z ∈，因为||2ϕπ<，所以0,6k πϕ==，所以()2sin(2)6f x x π=+，选择②，())cos(2)f x x x ωπω=--(0)ω>=()()2cos 2x x ωω+2sin(2)6x πω=+，所以22ππω=，所以1ω=，所以()2sin(2)6f x x π=+，选择③，()4cos sin 1(0)6f x x x πωωω⎛⎫=+-> ⎪⎝⎭4cos sin cos cos sin 66x x x ππωωω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭1-=14cos cos 12x x x ωωω⎫+-⎪⎪⎝⎭2cos 2cos 1x x x ωωω=+-2cos 2x x ωω=+2sin 26x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以22ππω=，所以1ω=，所以()2sin(2)6f x x π=+，（Ⅰ）由222262k x k πππππ-+≤+≤+，k Z ∈，得36k x k ππππ-+≤≤+，k Z ∈，所以()f x 的单调递增区间为[,]36ππk πk π-++，k Z ∈.（Ⅱ）若0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()f α=2sin(2)6πα+=sin(2)62πα+=，因为02πα<<，所以72666πππα<+<，所以263ππα+=或2263ππα+=，得12πα=或4πα=.【点睛】关键点点睛：根据三角函数的性质求出()f x 的解析式是解题关键.25．（1）最小正周期为4π，单调递减区间是5114,4,33k k k ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z ；（2）. 【分析】（1）利用完全平方公式、正弦的二倍角公式、逆用两角差正弦公式化简()f x ，再求最小正周期及()f x 的单调递减区间；（2）求出()f x 的图象变换后的解析式，再求出04x π-的正余弦值利用凑角可得答案.【详解】()22sin cos 112sin cos 1cos 1444442x x x x x x f x ⎛⎫⎫=+-=++ ⎪⎪⎝⎭⎭1sin 2sin 2sin 22222223x x x x x π⎛⎫⎛⎫==-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. （1）()f x 的最小正周期为4T π=，由3222232x k k πππππ+≤-≤+，k ∈Z ，解得5114433k x k ππππ+≤≤+，k ∈Z ，所以函数()f x 的单调递减区间是5114,4,33k k k ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z .（2）将()f x 的图象先向左平移6π个单位长度，得到函数62sin 2sin 2324x x y πππ⎛⎫+ ⎪⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭，再将其横坐标缩小为原来的12，纵坐标不变得到函数()2sin 4g x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，据题意有0sin 48x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，且03,44x πππ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，则0cos 48x π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，则0000sin sin sin cos cos sin 444444x x x x ππππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=-+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦==. 【点睛】本题考查了三角函数的图象和性质，其中解答中利用三角恒等变换的公式，化简()f x 的解析式，再利用三角函数的图象与性质求解是解答的关键，着重考了学生的计算能力，属于基础题.26．（1）π；（2）当3x π=时，()max1f x =-；当12x π=-时，()min32f x =-. 【分析】（1）利用二倍角公式和辅助角公式，将函数转化为()1sin 2123f x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭求解.. （2）根据,63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，得到22,333x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，再利用正弦函数的性质求解.【详解】（1）()21sin cos 12f x x x x =+，1sin 2cos 2144x x =--， 1sin 2123x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，所以()f x 的最小正周期为22T ππ==. （2）∵,63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦， ∴22,333x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，当233x ππ-=，即3x π=，()max14f x =-，当232x ππ-=-，12x π=-时，()()min 131122f x =⨯--=-. 【点睛】方法点睛：1．讨论三角函数性质，应先把函数式化成y ＝A sin(ωx ＋φ)(ω>0)的形式． 2．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)和y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期为2T ωπ=，y ＝tan(ωx ＋φ)的最小正周期为T πω=. 3．对于函数的性质(定义域、值域、单调性、对称性、最值等)可以通过换元的方法令t ＝ωx ＋φ，将其转化为研究y ＝sin t 的性质．。

(压轴题)高中数学必修四第三章《三角恒等变形》测试题(有答案解析)(4)

一、选择题1．已知0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，2sin 2cos21αα-=，则cos α=（）A ．15B C ．35D 2．已知tan α，tan β是方程2506x x a -+=的两个实数根，且()tan 1αβ+=，则实数a =（）A ．16B ．116C ．512D ．7123．在ΔABC 中,2sin (22c a Ba b c c -=、、分别为角A B C 、、的对边),则ΔABC 的形状为 A ．直角三角形 B ．等边三角形 C ．等腰三角形或直角三角形 D ．等腰直角三角形4．已知3(,)4παβπ∈，，3sin()5αβ+=-，12sin()413πβ-=，则cos()4πα+=（） A ．5665-B ．3365-C ．5665 D ．3365 5．若tan 2θ=，则cos2(θ= ) A ．45B ．45-C ．35D ．35-6．0=（）A ．1B ．2CD7．角α的终边与单位圆的交点坐标为1,)22，将α的终边绕原点顺时针旋转34π，得到角β，则cos()αβ+=（）A B C D ．08．函数()sin sin 22f x x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的最大值为（） A ．2B ．1C ．18D ．989．已知α∈3π,π2⎛⎫ ⎪⎝⎭,cos α=-45,则tan π4α⎛⎫- ⎪⎝⎭等于( )A ．7B ．17C ．-17D ．-710．已知直线3x −y +1=0的倾斜角为α，则1sin22α= A ．310 B ．35 C ．−310D ．11011．在斜三角形ABC 中，sin Acos B·cos C ，且tan B·tan C ＝1，则角A 的值为( ) A ．4πB ．3π C ．2π D ．34π 12．已知cos()63πα+=sin(2)6πα-的值为（） A．3B ．13C ．13-D．3-二、填空题13．已知02x π-<<，1sin cos 5x x +=，则22sin cos cos x x x -的值为___________. 14．已知方程23310x ax a +++=，()2a >的两根为tan α，tan β，α，,22ππβ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，则αβ+=________.15．已知cos 2βα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，cos 2αβ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，且0,22βπα⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，0,22απβ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，则2αβ+的值为__________. 16．在ABC ∆中，5AB =，BAC ∠的平分线交边BC 于D .若45ADC ∠=.BD 则sin C =___________.17．已知2tan 3tan 5πα=，则2sin 59cos 10παπα⎛⎫- ⎪⎝⎭=⎛⎫+ ⎪⎝⎭________. 18．如果函数sin 2cos 2y x a x =+的图象关于直线12x π=对称，那么该函数在0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上的最小值为_______________． 19．已知()()sin 2sin 223cos cos 2πθπθπθπθ⎛⎫--- ⎪⎝⎭=⎛⎫+++ ⎪⎝⎭，则22sin 2sin cos cos θθθθ+-=___________.20．若函数()sin()cos f x x x ϕ=++为偶函数，则常数ϕ的一个取值为________．三、解答题21．已知锐角,αβ，满足2510cos ,sin 510αβ==，求αβ+的值. 22．如图，在扇形OPQ 中，半径2OP =，圆心角3POQ π∠=，B 是扇形弧上的动点，矩形ABCD 内接于扇形．记BOC α∠=，求当角α取何值时，矩形ABCD 的面积最大？并求出这个最大值．23．（1）若角α的终边上有一点()1,3P ，求值：()()cos sin 32cos sin 22απαππαα-+-⎛⎫⎛⎫--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（2）计算ln 229lg 20lg 2log 3log 162sin 330e-+⋅-+︒.24．已知函数2()sin cos cos f x x x x =+.（1）求函数()f x 的最小正周期，并写出函数()f x 的单调递增区间；（2）若将函数()y f x =的图象上各点的横坐标变为原来的12(纵坐标不变)，再把图象向右平移8π个单位长度，得到函数()y g x =的图象，求满足()1g x ≥的实数x 的集合. 25．已知函数2()3)2cos1(0,0)2x f x x ωϕωϕωϕπ+=++-><<为偶函数，且()f x 图象的相邻两个最高点的距离为π．（1）当5,66x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，求()f x 的单调递增区间；（2）将函数()f x 的图象向右平移6π个单位长度，再把各点的横坐标缩小为原来12（纵坐标不变），得到函数()y g x =的图象．求函数()g x 在区间,126ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值．26．已知02πα<<，02πβ-<<，cos α=cos()42πβ-=．（1）求cos()4πα+的值；（2）求sin()2+βα的值．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】先利用二倍角公式化简整理得到1sin cos 2αα=，再利用同角三角函数的平方关系，结合范围解出cos α即可. 【详解】由2sin 2cos21αα-=，0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，得2sin 21cos2αα=+，cos 0α>，所以24sin cos 2cos ααα=，即2sin cos αα=，故1sin cos 2αα=，代入22sin cos 1αα+=得，25cos 14α=，故24cos 5α=，因为cos 0α>，所以cos 5α=. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题解题关键在于熟记公式并准确运算，还要注意角的范围的限制，才能突破难点.2．A解析：A 【分析】首先利用韦达定理求得5tan tan 6αβ+=，tan tan a αβ⋅=，再结合()tan 1αβ+=，利用两角和正切公式得到关于a 的等量关系式，求得结果. 【详解】因为tan α，tan β是方程2506x x a -+=的两个实数根，所以有5tan tan 6αβ+=，tan tan a αβ⋅=，因为()tan 1αβ+=，所以有5611a=-，所以16a =，故选：A. 【点睛】思路点睛：该题考查的是有关两角和正切公式，解题思路如下：（1）先利用韦达定理，写出两根和与两根积；（2）利用两角和正切公式，结合题中条件，得到等量关系式，求得结果.3．A解析：A 【解析】依题意，利用正弦定理及二倍角公式得sin sin 1cos 2sin 2C A BC --=，即sin sin cos A C B =，又()sin sin sin cos cos sin A B C B C B C =+=+，故sin cos 0B C =，三角形中sin 0B ≠，故πcos 0,2C C ==，故三角形为直角三角形，故选A. 4．A解析：A 【分析】由角的变换可知()()44ππααββ+=+--，利用同角三角基本关系及两角差的余弦公式求解即可. 【详解】3(,)4παβπ∈，, 3(,2)2παβπ∴+∈,3(,)424πππβ-∈,4cos()5αβ∴+=,5cos()413πβ-=-, cos()cos[()()cos ()]cos (()s )sin ()444in 4πππααβαβαπββββ∴+=+-++-=-+- 453125651351365=-⨯-⨯=-，故选：A 【点睛】本题主要考查了角的变换，同角三角函数的基本关系，两角差的余弦公式，属于中档题.5．D解析：D 【分析】利用同角三角函数的基本关系，二倍角的余弦公式把要求的式子化为221tan 1tan θθ-+，把已知条件代入运算，求得结果．【详解】tan 2θ=，22222222cos sin 1tan 3cos2cos sin cos sin 1tan 5θθθθθθθθθ--∴=-===-++，故选D ．【点睛】本题主要考查同角三角函数的基本关系，二倍角的余弦公式的应用，属于中档题．6．C解析：C 【解析】202000000000cos 10sin 10cos10sin1055cos35(cos10sin10)cos35cos35-+===-选C.7．A解析：A 【分析】先求α的正余弦三角函数，再求β的正余弦三角函数，然后根据余弦的两角和与差的公式计算即可得到答案. 【详解】由角α的终边经过点1)22，得1sin ,cos 22αα==，因为角β的终边是由角α的终边顺时针旋转34π得到的，所以3331sin sin()sin cos cos sin (4442πππβααα=-=-=⨯=3331cos cos()cos cos sin sin (4442πππβααα=-=+=+=1cos()cos cos sin sin 2αβαβαβ+=-==，故选：A. 【点睛】本题主要考查了三角函数的定义以及两角和与差的正余弦公式的应用，属于中档题.8．D解析：D 【分析】利用诱导公式与二倍角的余弦公式化简，再结合二次函数配方法求解即可. 【详解】因为()sin sin 2sin cos 22f x x x x x π⎛⎫=++=+ ⎪⎝⎭， 2219sin 12sin 2sin 48x x x ⎛⎫=+-=--+ ⎪⎝⎭所以()f x 的最大值为98，故选:D. 【点睛】本题主要考查诱导公式与二倍角的余弦公式的应用，考查了二次函数的性质，属于基础题.9．B解析：B 【分析】先根据同角三角函数关系求tan α，再根据两角差正切公式求结果. 【详解】由已知得tan α=34,则tan π1tan 141tan 7ααα-⎛⎫-== ⎪+⎝⎭. 选B 【点睛】本题考查同角三角函数关系、两角差正切公式，考查基本求解能力.10．A解析：A 【分析】由题意利用直线的倾斜角和斜率求出tanα的值，再利用三角恒等变换，求出要求式子的值．【详解】直线3x-y+1=0的倾斜角为α，∴tanα=3，∴2221133sin222219110sin cos tan a sin cos sin cos tan αααααααα=⋅====+++，故选A ．【点睛】本题主要考查直线的倾斜角和斜率，三角恒等变换，属于中档题．11．A解析：A 【详解】由tan tan 1B C =可得sin sin (1cos cos B C B C =，进而得cos cos A C B =，由于sin cos A B C =，所以sin cos A A =，可得4A π=,故选A.12．B解析：B 【解析】∵cos 63πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则5sin 2sin 2sin 26662ππππααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=-++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦][221cos 2[2cos 11]6633ππαα⎛⎫⎛⎫=-+=-+-=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选B.二、填空题13．【分析】根据得到将已知等式两边平方利用同角三角函数基本关系式可求的值然后利用二倍角公式化简求解【详解】∵∴∴∵两边平方可得∴故答案为：【点睛】本题主要考查三角函数的同角基本关系式以及倍角公式的应用还解析：85-【分析】根据1sin cos 5x x +=得到|cos ||sin |x x >，将已知等式两边平方，利用同角三角函数基本关系式可求sin 2x ，cos2x 的值，然后利用二倍角公式化简求解. 【详解】 ∵02x π-<<，1sin cos 5x x +=， ∴|cos ||sin |x x >，∴04x π-<<，π202x -<< ∵1sin cos 5x x +=，两边平方，可得24sin 225x =-，7cos 225x =，∴21cos 282sin cos cos sin 225x x x x x +-=-=-. 故答案为：85-.【点睛】本题主要考查三角函数的同角基本关系式以及倍角公式的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.14．【分析】根据方程的两根为得到由两角和的正切公式得到再确定的范围求解【详解】因为方程的两根为所以则因为所以所以所以故答案为：【点睛】本题主要考查两角和与差的正切公式的应用还考查了运算求解的能力属于中档题解析：34π-【分析】根据方程23310x ax a +++=，()2a >的两根为tan α，tan β，得到tan tan 3,tan tan 31a a αβαβ+=-⋅=+，由两角和的正切公式得到()tan αβ+，再确定αβ+的范围求解. 【详解】因为方程23310x ax a +++=，()2a >的两根为tan α，tan β，所以tan tan 3,tan tan 31a a αβαβ+=-⋅=+，则()tan tan tan 11tan tan αβαβαβ++==-⋅，因为2a >，所以tan tan 30,tan tan 310a a αβαβ+=-<⋅=+>，所以tan 0,tan 0αβ<<，α，,02πβ⎛⎫∈-⎪⎝⎭， (),0αβπ+∈-，所以34παβ+=-. 故答案为：34π-【点睛】本题主要考查两角和与差的正切公式的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.15．【分析】求出和再由两角和余弦公式求得然后可得角的大小【详解】∵且∴同理∴又由得∴故答案为：【点睛】本题考查已知三角函数值求角一般要求角可先这个角的某个三角函数值最好先确定这个角的范围选用在此范围内三解析：4π．【分析】求出sin()2βα-和sin()2αβ-，再由两角和余弦公式求得cos 2αβ+，然后可得角的大小．【详解】∵cos 25βα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，cos 210αβ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，且0,22βπα⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，0,22απβ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，∴sin()2βα-==sin()2αβ-10=， ∴coscos[()()]cos()cos()sin()sin()2222222αββαβαβααβαβαβ+=-+-=-----5105102=⨯-=，又由0,22βπα⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，0,22απβ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭得(0,)2αβπ+∈，∴2αβ+4π=．故答案为：4π．【点睛】本题考查已知三角函数值求角．一般要求角可先这个角的某个三角函数值，最好先确定这个角的范围，选用在此范围内三角函数是单调的函数求函数值后再确定角的大小．16．【分析】由已知结合正弦定理可求结合为的平分线可得再由结合和角正弦公式即可求解【详解】中由正弦定理可得所以为的平分线即故答案为：【点睛】本题考查角的正弦值的计算涉及正弦定理以及两角和的正弦公式的应用考【分析】由已知结合正弦定理可求sin BAD ∠，结合AD 为BAC ∠的平分线可得BAD CAD ∠=∠，再由()sin sin 45C DAC =∠+，结合和角正弦公式即可求解.【详解】ABD∆中，由正弦定理可得，55 sin sin135BAD=∠，所以10sin10BAD∠=，AD为BAC∠的平分线即10sin sinBAD CAD∠=∠=，()102310225sin sin451021025C DAC∴=∠+∠=⨯+⨯=.故答案为：25.【点睛】本题考查角的正弦值的计算，涉及正弦定理以及两角和的正弦公式的应用，考查计算能力，属于中等题.17．【分析】由可得然后用正弦的和差公式展开然后将条件代入即可求出原式的值【详解】因为所以故答案为：【点睛】本题考查的三角恒等变换解决此类问题时要善于发现角之间的关系解析：12【分析】由259210πππαα+=++可得22sin sin5592cos sin105ππααππαα⎛⎫⎛⎫--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=⎛⎫⎛⎫+-+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，然后用正弦的和差公式展开，然后将条件代入即可求出原式的值【详解】因为2tan3tan5πα=所以222sin sin sin555922cos cos sin10255πππαααππππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫---⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭==⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++-+⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭2222sincos cos sin tan tan 2tan 1555522222sin cos cos sin tan tan 4tan5555ππππαααππππααα---====----- 故答案为：12【点睛】本题考查的三角恒等变换，解决此类问题时要善于发现角之间的关系.18．【分析】根据三角公式得辅助角公式结合三角函数的对称性求出值再利用的取值范围求出函数的最小值【详解】解：令则则因为函数的图象关于直线对称所以即则平方得整理可得则所以函数因为所以当时即函数有最小值为故答解析：【分析】根据三角公式得辅助角公式，结合三角函数的对称性求出a 值，再利用x 的取值范围求出函数的最小值. 【详解】解：sin 2cos 2sin 2cos 2y x a x x x ⎫=+=+，令cos θ=，则sin θ=则)()sin 2cos cos 2sin 2y x x x θθθ=⋅+⋅=+. 因为函数sin 2cos 2y x a x =+的图象关于直线12x π=对称，所以sin 2cos 21212a ππ⎛⎫⎛⎫⨯+⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即sin cos 66a ππ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则122+=平方得2213144a a ++=+.整理可得(20a -=，则a =所以函数1sin 222sin 2cos 22sin 2223y x x x x x π⎛⎫⎛⎫==+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 因为0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以42,333x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦ ，当4233x ππ+=时，即2x π=，函数有最小值为故答案为：. 【点睛】本题主要考查三角函数最值求解，结合辅助角公式和利用三角函数的对称性建立方程是解决本题的关键.19．【分析】利用诱导公式结合弦化切的思想求出的值然后在代数式上除以并在所得分式的分子和分母中同时除以可得出关于的分式代值计算即可【详解】解得因此故答案为：【点睛】本题考查诱导公式和同角三角函数的商数关系解析：75【分析】利用诱导公式结合弦化切的思想求出tan θ的值，然后在代数式22sin 2sin cos cos θθθθ+-上除以22sin cos θθ+，并在所得分式的分子和分母中同时除以2cos θ可得出关于tan θ的分式，代值计算即可. 【详解】()()sin 2sin sin cos tan 1223sin cos tan 1cos cos 2πθπθθθθπθθθθπθ⎛⎫--- ⎪++⎝⎭===--⎛⎫+++ ⎪⎝⎭，解得tan 3θ=.因此，22222222sin 2sin cos cos tan 2tan 1sin 2sin cos cos sin os tan 1θθθθθθθθθθθθθ+-+-+-==++2232317315+⨯-==+.故答案为：75.【点睛】本题考查诱导公式和同角三角函数的商数关系化简求值，解题的关键就是求出tan θ的值，考查运算求解能力，属于中等题.20．（答案不唯一）【分析】根据函数为偶函数有化简得对任意恒成立所以有取其中一个值即可得出答案【详解】解：因为函数为偶函数则所以所以等价于对任意恒成立所以所以所以常数的一个取值为故答案为：（答案不唯一）【解析：π2（答案不唯一）【分析】根据函数为偶函数有()()f x f x =-，化简得sin cos 0x ϕ=对任意x 恒成立，所以有()2k k Z πϕπ=+∈，取其中一个值即可得出答案.【详解】解：因为函数()sin()cos f x x x ϕ=++为偶函数，则()()f x f x =- 所以sin()cos sin()cos()x x x x ϕϕ++=-++-所以sin cos cos sin cos sin()cos cos()sin cos x x x x x x ϕϕϕϕ++=-+-+ 等价于sin cos 0x ϕ=对任意x 恒成立，所以cos 0ϕ=，所以()2k k Z πϕπ=+∈，所以常数ϕ的一个取值为π2. 故答案为：π2（答案不唯一）【点睛】应用函数奇偶性可解决的四类问题及解题方法（1）求函数值：将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解；（2）求解析式：先将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求解，或充分利用奇偶性构造关于()f x 的方程(组)，从而得到()f x 的解析式；（3）求函数解析式中参数的值：利用待定系数法求解，根据()()0f x f x ±-=得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等性得参数的值或方程(组)，进而得出参数的值；（4）画函数图象和判断单调性：利用奇偶性可画出另一对称区间上的图象及判断另一区间上的单调性.三、解答题21．4π【分析】首先利用同角三角函数求sin α，cos β，再求()cos αβ+的值，利用角的范围求αβ+的值. 【详解】∵,αβ为锐角且cos ,sin 510αβ==sin cos cos()cos cos sin sin 2αβαβαβαβ======∴+=-==由02πα<<，02πβ<<得 0αβ<+<π又cos()0αβ+>∴αβ+为锐角 ∴4παβ+=【点睛】关键点点睛：利用两角和的余弦公式求出角的余弦，根据角的范围写出角，属于中档题.22．当6πα=时，矩形ABCD . 【分析】由题意可得2cosCD αα=-，2sin BC α=，从而可得矩形ABCD 的面积为S CD BC =⋅(2cos )2sinααα=⋅)6πα=+-，再由03πα<<可得52666πππα<+<，由此可得262ππα+=时，S 取得最大值【详解】在Rt OBC 中，2sin BC α=，2cos OC α=.在Rt ADO 中，tan 3AD OD π==, 所以OD AD α===, 所以2cosCD OC OD αα=-=. 设矩形ABCD 的面积为S ，则S CD BC =⋅(2cos )2sinααα=⋅ 24sin cosααα= 2sin 22αα=- )6πα=+.由03πα<<，得52666πππα<+<，所以当262ππα+=，即6πα=时，max S ==因此，当6πα=时，矩形ABCD 【点睛】关键点点睛：此题考查三角函数的应用，解题的关键是将四边形ABCD 的面积表示为S CD BC =⋅(2cos )2sinααα=⋅)6πα=+-，再利用三角函数的性质可求得其最大值，属于中档题 23．（1）47-；（2）0. 【分析】（1）由三角函数定义求得tan α，用诱导公式化简后利用商数关系化为tan α的式子，代入tan α可得．（2）由对数的运算法则和诱导公式、特殊值的正弦函数计算．【详解】解：（1）由已知3tan 31α，原式cos sin 1tan 42sin cos 2tan 17αααααα++==-=---+；（2）原式()242320lg log 3log 222sin 302=+⋅-+-︒ 231lg1032log 2222log ⎛⎫=+⋅-+- ⎪⎝⎭12210=+--=．【点睛】关键点点睛：本题考查三角函数的定义，考查诱导公式和同角间的三角函数关系，考查对数的运算法则．在三角函数求值中如果遇到关于sin ,cos αα的齐次式，一般利用商数关系化为tan α的代数式，代入tan α求值．当角比较复杂时利用诱导公式化简是首先需要考虑的问题．24．（1）最小正周期π，单调递增区间为：3,,88k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦；（2）,8242k k x x k Z ππππ⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭. 【分析】（1）先将函数解析式整理，得到()12242f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，根据正弦函数的性质，即可求出最小正周期，以及单调递增区间；（2）先根据三角函数的图象变换，得到()1sin 4242g x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，结合正弦函数的性质，解不等式，即可求出结果. 【详解】（1）由题意，()1cos 211sin 2222242x f x x x π+⎛⎫=+=++ ⎪⎝⎭，所以()f x 的最小正周期为22T ππ== 令222,242k x k k Z πππππ-+≤+≤+∈，得3,88k x k k Z ππππ-+≤≤+∈，所以，函数()f x 的单调递增区间为：3,,88k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦.（2）由题意，将函数()y f x =的图象上各点的横坐标变为原来的12(纵坐标不变)，再把图象向右平移8π个单位长度，得到函数()y g x =的图象，所以()1sin 4242gx x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，则()1sin 442g x x π⎛⎫≥⇔-≥ ⎪⎝⎭，得3242,444k x k k Z πππππ+≤-≤+∈，解得满足条件的x 的集合为：,8242k k x x k Z ππππ⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭. 25．（1）单调递增区间为,06π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦和5,26ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦；（2）最大值为2，最小值1-. 【分析】（1）首先利用二倍角公式和辅助角公式对()f x 化简，再利用偶函数求出ϕ的值，再利用T π=求出ω的值，即可得()f x 的解析式，再利用余弦函数的单调递增区间即可求解；（2）利用三角函数图象变换的规律求出()g x 的解析式，再利用余弦函数的性质即可求值域. 【详解】（1）由题意函数2())2cos12x f x x ωϕωϕ+=++-)cos()2sin 6x x x πωϕωϕωϕ⎛⎫=+++=++ ⎪⎝⎭，因为函数()f x 图象的相邻两个最高点的距离为π，所以T π=，可得2ω=．又由函数()f x 为偶函数可得(0)2sin 26f πϕ⎛⎫=+=± ⎪⎝⎭，所以62k ππϕπ+=+，k ∈Z ，则3k πϕπ=+，k ∈Z ．因为0ϕπ<<，所以3πϕ=，所以函数()2cos2f x x =，令222k x k πππ-≤≤，k ∈Z ，解得2k x k πππ-≤≤，k ∈Z ，当0k =时，02x ；当1k =时，2x ππ≤≤，又5,66x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，可得函数()f x 的单调递增区间为,06π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦和5,26ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦．（2）将函数()f x 的图象向右平移6π个单位长度可得2cos 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，再把各点的横坐标缩小为原来的12，得到函数()2cos 43g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，当,126x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，24,333x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦．当2433x ππ-=-，即12x π=-时，函数()g x 取得最小值，最小值为1-；当403x π-=，即12x π=时，函数()g x 取得最大值，最大值为2．所以函数()g x 在区间,126ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值是2，最小值是1-. 【点睛】方法点睛：已知三角函数的解析式求单调区间先将解析式化为()()sin 0y A x A ωϕω=+>>0,或()()cos 0,0y A x A ωϕω=+>>的形式，然后将x ωϕ+看成一个整体，根据sin y x =与cos y x =的单调区间列不等式求解.26．（1；（2）15. 【分析】（1）根据02πα<<，cos α=sin α=，再利用两角和的余弦公式求解..（2）由（1）求得sin()45+=πα，再由02πβ-<<，求得sin()42πβ-=，然后由sin()sin[()()]2442+=+--βππβαα，利用两角差的正弦公式求解.【详解】（1）因为02πα<<，cos 10α=所以10sin α=，所以cos()cos cossin sin444πππααα+=-，22==. （2）因为02πα<<，所以3444πππα<+<，所以sin()4+=πα，因为02πβ-<<，所以4422ππβπ<-<，所以sin()42πβ-=，所以sin()sin[()()]2442+=+--βππβαα，sin()cos()cos()sin()442442=+--+-ππβππβαα，==【点睛】方法点睛：三角函数式的化简要遵循“三看”原则：①一看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，正确使用公式；②二看函数名称之间的差异，确定使用的公式，常见的有“切化弦”；③三看结构特征，找到变形的方向，常见的有“遇到分式要通分”，“遇到根式一般要升幂”等．。

(常考题)北师大版高中数学必修四第三章《三角恒等变形》测试(答案解析)(1)

一、选择题1．已知函数44()cos sin f x x x =-在区间,()4t t t R π⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦上的最大值为()M t ，最小值为()N t 则函数()()()g t M t N t =-的最小值为（） A1-B ．1C．2D．12-2．已知矩形ABCD 中，AB AD >.设点B 关于AC 的对称点为B '，AB '与CD 交于点P ，若3CP PD =，则tan BCB '∠=（）A．-B． C．2-D．4-3．已知tan 2α=，则sin cos 2sin cos αααα+=-（）A ．1B ．1-C ．2D ．2-4．化简22221sin sin cos cos cos 2cos 22αβαβαβ+-=( ) A ．12B1C ．14D．15．已知3(,)4παβπ∈，，3sin()5αβ+=-，12sin()413πβ-=，则cos()4πα+=（） A ．5665-B ．3365-C ．5665D ．33656．已知cos 2π)4αα=+1tan tan αα+等于（） A ．92B ．29C ．9-2D ．2-97．已知,22ππα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，1cos 63πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin α=（）ABC．D8．已知cos 410πθ⎛⎫-=⎪⎝⎭，则sin 2θ=（） A ．2425-B ．1225-C ．1225D ．24259．已知α∈3π,π2⎛⎫ ⎪⎝⎭,cos α=-45,则tan π4α⎛⎫- ⎪⎝⎭等于( )A ．7B ．17C ．-17D ．-710．已知函数22()2sin cos ()sin (0)24x f x x x ωπωωω=-->在区间25[,]36ππ-上是增函数，且在区间[0,]π上恰好取得一次最大值，则ω的范围是（）A ．3(0,]5B ．13[,]25C ．13[,]24D ．15[,)2211．若0||4πα<<，则下列说法①sin2α＞sinα，②cos2α＜cosα，③tan2α＞tanα，正确的是（） A ．① B ．②C ．③D ．①③12．若，则的值为（）A ．B ．C ．D ．二、填空题13．在区间,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭范围内,函数tan y x =与函数sin y x =的图象交点有_______个.14．已知A 、B 、C 为△ABC 的三内角，且角A 为锐角，若tan 2tan B A =，则11tan tan B C+的最小值为______. 15．在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称.若3sin 4α=，则()cos αβ-=______. 16．已知π0π2αβ<<<<，3cos 5α=，()3sin 5αβ+=-，则cos β的值为______． 17．已知方程23310x ax a +++=，()2a >的两根为tan α，tan β，α，,22ππβ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，则αβ+=________.18．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右顶点分别是A ,B ,双曲线的右焦点F 为()2,0,点P 在过F 且垂直于x 轴的直线l 上,当ABP ∆的外接圆面积达到最小时,点P 恰好在双曲线上,则该双曲线的方程为________.19．设)sin17cos172a =︒+︒,22cos 131b =︒-,2c =,则a ,b ,c 的大小关系是______.20．已知正n 边形的边长为a ，其外接圆的半径为R ，内切圆的半径为r .给出下列四个结论：①2sina R n π=；②2π2sina R n=；③2tan2aR r nπ+=；④π2tana R r n+=. 其中正确结论的序号是______.三、解答题21．设函数()4sin cos 16f x x x πωω⎛⎫=-- ⎪⎝⎭的最小正周期为π，其中0>ω. （1）求函数()f x 的递增区间；（2）若函数()()g x f x m =+在,122x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上有两个不同的零点1x ，2x ，求实数m 的取值范围.22．已知2()sin cos 2222x x x f x =--. （1）求()f x 图象的对称轴方程；（2）若存在0[0,]x π∈，使()02f x t ≤+，求实数t 的取值范围. 23．已知0πx <<，sin cos x x +=．（Ⅰ）求sin cos x x -的值；（Ⅱ）求2sin 22sin 1tan x xx+-的值．24．已知函数21()cos2sin 12sin 22x f x x x ⎛⎫=+⋅- ⎪⎝⎭，3()24g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.（1）对任意的[]12,0,x x t ∈，当12x x <时，均有()()()()1212f x f x g x g x -<-成立，求正实数t 的最大值；（2）在满足（1）的条件时，若方程[()()1]2()2()10a f x g x f x g x ⋅-+-+-=在区间,4t π⎛⎫- ⎪⎝⎭上有解，求实数a 的取值范围.25．已知函数()cos23f x x =-，()2cos 4g x a x a =-. （1）求函数()()2h x x f x =+的最大值；（2）当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()()f x g x >恒成立，求a 的取值范围. 26．求值：（1）cos540tan 225cos(330)sin(240)︒︒︒︒+--+-；（2）1cos201sin10tan 52sin 20tan 5︒︒︒︒︒+⎛⎫-- ⎪⎝⎭【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】先利用平方差公式、同角三角函数关系以及二倍角公式将函数变形为()cos 2f x x =，然后发现区间长度刚好是四分之一个周期，从而利用余弦函数的对称性，得到当区间,4t t π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，关于cos 2y x =的对称轴对称时，此时最大值与最小值的差值最小，求出此时的最大值和最小值，即可得到答案．【详解】函数44222222()cos sin (cos sin )(cos sin )cos sin cos 2f x x x x x x x x x x =-=+-=-=，所以函数()f x 的周期为22T ππ==，区间,()4t t t R π⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦的区间长度刚好是函数()f x 的四分之一个周期，因为()f x 在区间,()4t t t R π⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦上的最大值为()M t ，最小值为()N t ，由函数cos 2y x =的对称性可知，当区间,4t t π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，关于2y cos x =的对称轴对称时，此时最大值与最小值的差值最小，即函数()()()g t M t N t =-取最小值，区间,4t t π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，的中点为428t tt t ππ-+==-，此时()f t 取得最值±1，不妨()f t 取得最大值()=1M t ，则有cos 2()18t π-=，解得224t k ππ-=，所以,,8t k k Z ππ=+∈所以2()cos 2cos 2cos 442N t t k πππ⎛⎫==+==⎪⎝⎭, 故()()()g t M t N t =-取最小值为212-．故选：D ．【点睛】关键点睛：本题考查了三角函数的最值，涉及了二倍角公式的应用、同角三角函数关系的应用、三角函数的周期性、对称性的应用，解题的关键是分析出当区间,4t t π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦关于cos 2y x =的对称轴对称时，此时最大值与最小值的差值最小.2．A解析：A 【分析】根据对称性可得BAC CAP ACP ∠=∠=∠，设1PD =，可计算出AB 的长，利用勾股定理可得BC 的长，在Rt ABC 中，由ABBC可得tan BCA ∠，再利用正切函数的二倍角公式可得答案. 【详解】如图，由题意得BAC CAP ACP ∠=∠=∠. 不妨设1PD =，则3AP CP ==，4AB CD ==，在Rt APD 中，223122AD =-=，即22BC AD ==. 在Rt ABC 中，tan 222AB BCA BC ∠===. 则22tan 22tan tan 2221tan 12BCA BCB BCA BCA ∠'∠=∠===--∠-，故选：A.【点睛】本题考查了利用三角函数解决几何图形问题，关键点是利用对称性找到边长之间的关系然后利用正切函数求解，考查了学生分析问题、解决问题的能力.3．A解析：A 【分析】已知正切值要求正余弦值，可以利用商的关系将“弦化切”，代入数值即可. 【详解】原式分子分母同除以cos α得原=tan 12112tan 141αα++==--故选：A. 【点睛】已知正切值求正余弦值,通常有两种做法：一是将所求式子分子分母同除cos α或2cos α，化为tan α求解；二是利用sin tan cos ααα=得sin tan cos ααα=代入消元即可. 4．A解析：A 【分析】由原式利用二倍角公式，和同角三角函数基本关系进行化简，即可得到结果. 【详解】()()2222cos 2cos 2cos sin cos sin αβααββ=--22222222cos cos cos sin sin cos sin sin αβαβαβαβ=--+，所以22221sin sin cos cos cos 2cos 22αβαβαβ+-()2222222222221sin sin cos cos cos cos cos sin sin cos sin sin 2αβαβαβαβαβαβ=+---+()222222221sin sin cos cos +cos sin +sin cos 2αβαβαβαβ=+ ()()()2222221sin sin +cos cos cos +sin 2αββαββ=+()2211sin cos 22αα=+=. 故选：A 【点睛】本题主要考查三角函数的化简求值，涉及到同角三角函数基本关系和三角恒等变换，属于中档题.5．A解析：A【分析】由角的变换可知()()44ππααββ+=+--，利用同角三角基本关系及两角差的余弦公式求解即可. 【详解】3(,)4παβπ∈，, 3(,2)2παβπ∴+∈,3(,)424πππβ-∈,4cos()5αβ∴+=,5cos()413πβ-=-,cos()cos[()()cos ()]cos (()s )sin ()444in 4πππααβαβαπββββ∴+=+-++-=-+-453125651351365=-⨯-⨯=-，故选：A 【点睛】本题主要考查了角的变换，同角三角函数的基本关系，两角差的余弦公式，属于中档题.6．A解析：A 【分析】先利用cos 2sin 22παα⎛⎫=+ ⎪⎝⎭结合cos 2π3)4αα=+得出cos 46πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭的值，然后利用二倍角公式得到24cos 22cos 1249ππαα⎛⎫⎛⎫+=+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即4sin 29α=，又12tan tan sin 2ααα+=，将4sin 29α=代入便可解出答案. 【详解】因为sin 22sin cos cos 2244π4)444πππααααπαππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭⎝⎭===+ ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则cos 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭ 所以24cos 22cos 1249ππαα⎛⎫⎛⎫+=+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又4cos 2sin 229παα⎛⎫+=-=- ⎪⎝⎭，所以4sin 29α=，所以1sin cos 1229tan 4tan cos sin sin cos sin 229ααααααααα+=+====.故选：A. 【点睛】本题考查诱导公式，考查正弦、余弦的二倍角公式及其应用，难度一般，解答时公式的变形运用是关键.7．D解析：D 【分析】结合同角三角函数基本关系计算sin 6πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值，再利用两角差的正弦公式进行求解即可.【详解】由,22ππα⎛⎫∈-⎪⎝⎭可得2,633πππα⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭，又11cos cos 6323ππα⎛⎫+=<= ⎪⎝⎭，所以2,633πππα⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭所以sin 63πα⎛⎫+== ⎪⎝⎭， sin sin sin cos cos sin 666666ππππππαααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭11132326-=⨯-⨯=. 故选:D 【点睛】本题主要考查两角和与差的正余弦公式与同角三角函数基本关系，解题的关键是熟练运用公式.8．D解析：D 【分析】由2sin 2cos(2)cos[2()]2cos ()1244πππθθθθ=-=-=--，代入即可求解. 【详解】因为cos 4πθ⎛⎫-=⎪⎝⎭，由24924sin 2cos(2)cos[2()]2cos ()1212445025πππθθθθ=-=-=--=⨯-=. 故选：D.【点睛】本题主要考查了三角恒等变换的化简、求值，其中解答中熟记余弦的倍角公式，准确运算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力.9．B解析：B 【分析】先根据同角三角函数关系求tan α，再根据两角差正切公式求结果. 【详解】由已知得tan α=34,则tan π1tan 141tan 7ααα-⎛⎫-== ⎪+⎝⎭. 选B 【点睛】本题考查同角三角函数关系、两角差正切公式，考查基本求解能力.10．B解析：B 【分析】先化简函数，根据()f x 在区间25,36ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数，则为函数含有零的增区间的子集，再根据区间[]0,π上恰好取得一次最大值，则取得最大值时对应的最小正数解属于[]0,π，最后取交集.【详解】因为()222sin cos sin 24x f x x x ωπωω⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，()2sin 1sin sin x x x ωωω=+-，22sin sin sin x x x ωωω=+-，sin x ω=，令22,22k x k k Z πππωπ-+≤≤+∈，则22,22k k x k Z ππππωωωω-+≤≤+∈，因为()f x 在区间25,36ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数， 25,23,2262,k k k Z ππππωωωωππ⎡⎤∴-++∈⎢⎥⎣⎦⎡⎤-⊆⎢⎥⎣⎦所以223562ππωππω⎧-≤-⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩，解得35ω≤，令2,2x k k Z πωπ=+∈，因为在区间[]0,π上恰好取得一次最大值，所以02ππω≤≤，所以12ω≥，所以ω的取值范围是1325ω≤≤. 故选：B. 【点睛】本题主要考查三角函数的单调性和最值以及二倍角公式的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.11．B解析：B 【分析】取6πα=-判断①③，根据余弦函数的性质结合二倍角公式判断②.【详解】当6πα=-时，31sin 2sin ,sin sin ,sin 2sin 3262ππαααα⎛⎫⎛⎫=-=-=-=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3tan 2tan 3,tan tan ,tan 2tan 363ππαααα⎛⎫⎛⎫=-=-=-=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则①③错误；0||4πα<<，2cos cos ||,12αα⎛⎫∴=∈ ⎪⎪⎝⎭2cos 2cos 2cos cos 1(cos 1)(2cos 1)0αααααα∴-=--=-+<即cos2cos αα<，②正确；故选：B 【点睛】本题主要考查了求余弦函数的值域以及二倍角的余弦公式的应用，属于中档题.12．C解析：C 【解析】试题分析：因，故应选C ．考点：同角三角函数的关系及运用．二、填空题13．1【分析】将函数图象交点个数等价于方程在根的个数即可得答案【详解】∵函数图象交点个数等价于方程在根的个数∴解得：∴方程只有一解∴函数与函数的图象交点有1个故答案为：1【点睛】本题考查函数图象交点个数解析：1 【分析】将函数图象交点个数等价于方程tan sin x x =在,22x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭根的个数，即可得答案. 【详解】∵函数图象交点个数等价于方程tan sin x x =在,22x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭根的个数， ∴sin 1tan sin sin 0sin (1)0cos cos x x x x x x x=⇔-=⇔-=，解得：0x =， ∴方程只有一解，∴函数tan y x =与函数sin y x =的图象交点有1个. 故答案为：1. 【点睛】本题考查函数图象交点个数与方程根个数的等价性，考查函数与方程思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力.14．【分析】由三角形内角的性质结合可得由目标函数式并利用基本不等式即可求得其最小值注意基本不等式的使用条件一正二定三相等其中为锐角【详解】为△的三内角为锐角∴故有即可得∴当且仅当时等号成立∴的最小值为故解析：23【分析】由三角形内角的性质结合tan 2tan B A =，可得23tan tan tan 2BC B =-，由目标函数式11tan tan B C+并利用基本不等式即可求得其最小值，注意基本不等式的使用条件“一正二定三相等”，其中A 为锐角，tan 2tan 0B A => 【详解】A 、B 、C 为△ABC 的三内角，A 为锐角，tan 2tan 0B A => ∴tan 2tan[()]2tan()B B C B C π=-+=-+故有2(tan tan )tan tan tan 1B C B B C +=-，即可得23tan tan tan 2BC B =-∴2111tan 2tan 12tan tan tan 3tan 33tan 3B B BC B B B -+=+=+≥=，当且仅当tan 1B =时等号成立 ∴11tan tan B C +的最小值为23故答案为：23【点睛】本题考查了由三角形内角间的函数关系，利用三角恒等变换以及基本不等式求目标三角函数的最值，注意两角和正切公式、基本不等式(使用条件要成立)的应用15．；【分析】根据角的终边关于轴对称得到以及两角差的余弦公式即可求出【详解】因为角与角均以为始边它们的终边关于轴对称所以所以故答案为：【点睛】本题主要考查了三角函数定义的应用两角差的余弦公式同角三角函数解析：18；【分析】根据角的终边关于y 轴对称得到cos cos ,sin sin αβαβ=-=，以及两角差的余弦公式即可求出. 【详解】因为角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称，所以3cos cos ,sin sin 4αβαβ=-==，所以()22cos cos cos sin sin sincos αβαβαβαα-=+=-22sin 1α=-92116=⨯- 18= 故答案为：18【点睛】本题主要考查了三角函数定义的应用，两角差的余弦公式，同角三角函数的关系，属于中档题.16．【分析】根据角的范围求出和的值再将变成利用两角差的余弦公式即可求得【详解】因为且所以因为所以因为所以所以故答案为：【点睛】本题考查了同角公式以及两角差的余弦公式考查了学生的计算能力属于中档题解析：2425-【分析】根据角的范围，求出sin α和cos()αβ+的值，再将cos β变成cos()αβα+-利用两角差的余弦公式即可求得. 【详解】因为02πα<<，且3cos 5α=，所以4sin 5α，因为π0π2αβ<<<<，所以322ππαβ<+<，因为3sin()5αβ+=-，所以4cos()5αβ+=-，所以cos cos()βαβα=+-cos()cos sin()sin αβααβα=+++433424555525=-⨯-⨯=-.故答案为：2425-【点睛】本题考查了同角公式以及两角差的余弦公式，考查了学生的计算能力，属于中档题.17．【分析】根据方程的两根为得到由两角和的正切公式得到再确定的范围求解【详解】因为方程的两根为所以则因为所以所以所以故答案为：【点睛】本题主要考查两角和与差的正切公式的应用还考查了运算求解的能力属于中档题解析：34π-【分析】根据方程23310x ax a +++=，()2a >的两根为tan α，tan β，得到tan tan 3,tan tan 31a a αβαβ+=-⋅=+，由两角和的正切公式得到()tan αβ+，再确定αβ+的范围求解. 【详解】因为方程23310x ax a +++=，()2a >的两根为tan α，tan β，所以tan tan 3,tan tan 31a a αβαβ+=-⋅=+，则()tan tan tan 11tan tan αβαβαβ++==-⋅，因为2a >，所以tan tan 30,tan tan 310a a αβαβ+=-<⋅=+>，所以tan 0,tan 0αβ<<，α，,02πβ⎛⎫∈-⎪⎝⎭， (),0αβπ+∈-，所以34παβ+=-. 故答案为：34π- 【点睛】本题主要考查两角和与差的正切公式的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.18．【分析】设点的坐标为由于为定值由正弦定理可知当取得最大值时的外接圆面积取得最小值也等价于取得最大值结合已知即可求得答案【详解】不妨设点的坐标为由于为定值由正弦定理可知当取得最大值时的外接圆面积取得最解析：22122x y -=.【分析】设点P 的坐标为()()2,0m m >,由于AB 为定值,由正弦定理可知当sin APB ∠取得最大值时,APB ∆的外接圆面积取得最小值,也等价于tan APB ∠取得最大值,结合已知,即可求得答案. 【详解】不妨设点P 的坐标为()()2,0m m >,由于AB 为定值,由正弦定理可知当sin APB ∠取得最大值时,APB ∆的外接圆面积取得最小值,也等价于tan APB ∠取得最大值,2tan a APF m +∠=,2tan aBPF m-∠=, ∴()2222tan tan 221a aa a m m APB APF BPF a ab b m m m m +--∠=∠-∠==≤=+-+⋅+, 当且仅当()20b m m m=>,即当m b =时,等号成立,此时APB ∠最大,即APB ∆的外接圆面积取最小值.点P 的坐标为()2,b ,代入22221x y a b-=,可得a =b =∴双曲线的方程为22122x y -=.故答案为:22122x y -=.【点睛】本题主要考查了求双曲线的方程,解题关键是掌握双曲线基础知识和灵活使用均值不等式,考查了分析能力和计算能力,属于难题.19．【分析】根据两角和的正弦公式二倍角公式诱导公式即可将化简再根据正弦函数的单调性即可比较出大小关系【详解】所以故答案为：【点睛】本题主要考查两角和的正弦公式二倍角公式诱导公式的应用以及正弦函数的单调性解析：c a b <<【分析】根据两角和的正弦公式，二倍角公式，诱导公式，即可将,a b 化简，再根据正弦函数的单调性即可比较出大小关系．【详解】)sin17cos17sin17cos 45cos17sin 45sin 622a =︒+︒=︒+︒=， 22cos 131cos 26sin 64b =︒-==，sin 602c ==，所以，c a b <<．故答案为：c a b <<．【点睛】本题主要考查两角和的正弦公式，二倍角公式，诱导公式的应用，以及正弦函数的单调性的应用，属于基础题．20．①③【分析】首先根据正边形的某个边作出内切圆和外接圆的半径的图形分析与角的关系判断选项【详解】如图是正边形的外接圆的半径是内切圆的半径设在中综上可知正确的选项是①③故答案为：①③【点睛】关键点点睛：解析：①③ 【分析】首先根据正n 边形的某个边，作出内切圆和外接圆的半径的图形，分析,R r 与角的关系，判断选项. 【详解】如图，OA 是正n 边形的外接圆的半径，OB 是内切圆的半径，设,OA R OB r ==，nπα=，2a AB =，在Rt OAB 中，2sin2sina a R nnππ==cos cos2sina n r R nnπππ=⋅=，21cos 2cos 22sin 4sin cos22a a n n R r n n nπππππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭∴+===cos 22sin 2tan 22a a n n n πππ=，综上可知正确的选项是①③.故答案为：①③ 【点睛】关键点点睛：本题的关键是作图，根据正n 边形的某个边，作出示意图，同时相邻的R 与r 的夹角是nπ，下面的问题就迎刃而解. 三、解答题21．（1）递增区间是(),63k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z ；（2）(]2,1--.【分析】（1）利用两角差的正余弦公式、正余弦的二倍角公式对()f x 进行化简，再根据正弦函数的周期和单调递增区间可得答案；（2）由x 的范围求出26x π-及sin 26x π⎛⎫- ⎪⎝⎭的范围，利用换元法分析()2sin F u u =的单调性和最值，结合()y F u =与y m =-两函数的图象的交点个数可得答案. 【详解】（1）()24sin cos 123cos 2sin 16f x x x x x x πωωωωω⎛⎫=--=+- ⎪⎝⎭32cos22sin 26x x x πωωω⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，∵()f x 的最小正周期为π，且0>ω，∴22ππω=，解得1ω=, ∴()2sin 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，设26u x π=-，∵函数sin y u =的递增区间是()2,222k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z ,由()222262k x k k πππππ-≤-≤+∈Z ，得()63k x k k ππππ-≤≤+∈Z ，∴函数()f x 的递增区间是(),63k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z . （2）由（1）()2sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，当,122x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，520,66u x ππ⎡⎤=-∈⎢⎥⎣⎦，令()2sin F u u =，则5166F F ππ⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∵()2sin F u u =在0,2u π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上递增，在5,26u ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上递减， ∴()max 22F u F π⎛⎫==⎪⎝⎭， ∵函数()()g x f x m =+在,122x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上有两个不同的零点， ∵.函数()y f x =与y m =-两图象在,122x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上有两个不同的交点， ∴函数()y F u =与y m =-两图象在50,6u π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上有两个不同的交点， ∴12m ≤-<，解得21m -<≤-， ∴实数m 的取值范围是(]2,1--. 【点睛】本题考查了三角函数的化简和性质，关键点是利用两角差的正余弦公式、正余弦的二倍角公式对()f x 进行化简和利用三角函数的性质解题，考查了学生分析问题、解决问题的能力. 22．（1）对称轴方程6x k ππ=-+，k ∈Z ；（2）3t ≥-.【分析】（1）先运用降幂公式、辅助角公式，将原函数的解析式化为()()sin f x A x b ωϕ=++或()()cos f x A x b ωϕ=++的形式，然后运用整体法求解对称轴；（2）根据题目条件，只需使min ()2f x t ≤+成立即可，然后三角函数的图象及性质求解()f x 的最小值，然后解得t 的取值范围.【详解】解：（1）2()sin cos 222x x x f x =-1sin 2x x =-cos 6x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令6x k ππ+=，得6x k ππ=-+，k ∈Z ，所以()f x 图象的对称轴方程为6x k ππ=-+，k ∈Z ．（2）若存在0[0,]x π∈，使()02f x t ≤+，则min ()2f x t ≤+，由[0,]x π∈得7,666x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，根据余弦函数的性质可得，当6x ππ+=，即56x π=时，函数取得最小值1-，所以12t -≤+，故3t ≥-. 【点睛】本题考查三角恒等变换、三角函数图象及性质的综合运用，解答的一般思路如下：（1）利用三角恒等变换研究三角函数的图象性质问题时，先利用正弦、余弦的二倍角公式将原函数解析式进行化简，将原函数解析式化简为()()sin f x A x b ωϕ=++的形式，然后可利用整体法求解原函数的单调区间、对称轴、对称中心等；（2）解答与三角函数图象性质有关的不等式恒成立、有解等问题时，要注意参数分离、整体思想的运用，将问题转化为处理函数最值问题来解决.23．（1 ；（2）415【分析】（1）先根据sin cos x x +的值和二者的平方关系联立求得 sin cos x x 的值，再把sin cos x x -平方即可求出；（2）结合（1）求sin x ，cos x 的值，最后利用商数关系求得tan x 的值，代入即可得解．【详解】（1）∵sin cos x x +=， ∴21(sin cos )12sin cos 5x x x x +=+=， ∴2sin cos 5x x =-， ∵0πx <<，∴sin 0x >，cos 0x <，sin cos 0x x -> ∴249(sin cos )12sin cos 155x x x x -=-=+=，∴sin cos 5x x -=. （2）sin cos 5x x +=，sin cos x x -=解得sin 5x =，cos 5x =-， ∴sin tan 2cos xx x==- ∵4sin 25x =-，24sin 5x =，∴24sin 22sin 4551tan 81215x xx -++==-+．【点睛】方法点睛：三角恒等常用的方法：三看（看角、看名、看式），三变（变角、变名、变式）. 24．（1）4π；（2）32a <.【分析】（1）构造()()()h x f x g x =-，由单调性的定义得出()h x 在区间[0,]t 上为增函数，结合正弦型函数的单调性，得出正实数t 的最大值.（2）方程[()()1]2()2()10a f x g x f x g x ⋅-+-+-=有解，可分离参数为2()112()1()1h x a h x h x +==-++，在,44ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上有解，再根据()h x 的值域，求解实数a 的取值范围. 【详解】解：（1）依题可知：1()cos 2sin cos 2f x x x x =+sin 224x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，又∵()()()()1212f x f x g x g x -<-，∴()()()()1122f x g x f x g x -<-，令()()()h x f x g x =-，则3()2244h x x x ππ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2244x x ππ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭sin 2x =.∵()()12h x h x <，∴()h x 在[]0,t 上单调递增， ∵22222k x k ππππ-≤≤+，∴()44k x k k Z ππππ-≤≤+∈，∴4t π≤，即t 的最大值为4π. （2）∵[()()1]2()2()10a f x g x f x g x ⋅-+-+-=， ∴(2)[()()]10a f x g x a --+-=， ∴2()112()1()1h x a h x h x +==-++，即12sin 21a x =-+在,44ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上有解，∵1sin 21x -<<，∴32a <. 【点睛】函数的单调性是函数的重要性质之一，它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中.某些数学问题从表面上看似乎与函数的单调性无关，但如果我们能挖掘其内在联系，抓住其本质，那么运用函数的单调性解题，能起到化难为易、化繁为简的作用.因此对函数的单调性进行全面、准确的认识，并掌握好使用的技巧和方法，这是非常必要的.根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.25．（1）-1；（2）()4-+∞ 【分析】（1）易得()2sin 233h x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，再利用正弦函数的性质求解.（2）将0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()()f x g x >恒成立，转化为0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，22cos 2cos 440x a x a -+->恒成立，令[]cos 0,1t x =∈，利用二次函数的性质求()22244r t t at a =-+-的最小值即可.【详解】（1）因为函数()cos23f x x =-，所以()2cos 232sin 233h x x x x π⎛⎫=+-=+- ⎪⎝⎭，当22,32x k k Z πππ+=+∈，即 ,12x k k Z ππ=+∈时， sin 213x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以()h x 的最大值是-1；（2）因为0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()()f x g x >恒成立，所以0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，cos232cos 4x a x a >--恒成立，所以0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，22cos 2cos 440x a x a -+->恒成立，令[]cos 0,1t x =∈ ()22244r t t at a =-+- 当02a ≤，即 0a ≤时， ()()min 0440r t r a ==->，解得 1a >，此时无解；当012a <<，即 02a <<时， ()2min 44022a a r t r a ⎛⎫==-+-> ⎪⎝⎭，解得44-<+，此时42a -<；当12a ≥，即 2a ≥时， ()()min 1220r t r a ==->，解得 1a >，此时2a ≥；综上：a 的取值范围是()4-+∞【点睛】方法点睛：恒成立问题的解法：若()f x 在区间D 上有最值，则()()min ,00x D f x f x ∀∈>⇔>；()()max ,00x D f x f x ∀∈<⇔<；若能分离常数，即将问题转化为：()a f x >（或()a f x <），则()()max a f x a f x >⇔>；()()min a f x a f x <⇔<.26．（1）0（2【分析】（1）利用诱导公式化简，即可求解；（2）先利用二倍角公式化简1cos 202sin 20︒︒+，由切化弦化1tan 5tan 5︒︒-，通分后利用两角差的正弦公式展开即可化简求值.【详解】利用（1）原式cos(3180)tan 45cos30sin 60110;︒︒︒=⨯︒+-+=-+= （2）原式=22cos 10cos5sin 5sin10()4sin10cos10sin 5cos5︒︒︒=-︒-︒︒︒︒22cos10cos 5sin 5cos10cos10cos10sin10sin102cos1012sin10sin 5cos52sin102sin10sin102︒︒-︒︒︒︒=-︒=-︒⋅=-︒︒︒︒︒︒︒cos102sin 20cos102sin(3010)2sin102sin10︒-︒︒-︒-︒==︒︒1cos102(cos10)222sin10︒︒︒︒--=== 【点睛】关键点点睛：三角函数化简求值，需要根据式子的结构特征选择合适的公式，并且要注意公式的正用、逆用，特别是复杂式子的灵活运用，属于难题.。