2015福建高考理科数学热点4《基本初等函数》

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基本初等函数知识点

基本初等函数知识点基本初等函数是指在数学中常见且重要的一类函数，包括常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数等。

这些函数在数学中广泛应用于各种数学问题和实际应用中，对于学习和理解高等数学和物理等学科具有重要意义。

本文将对这些基本初等函数进行详细介绍。

首先，常数函数是最简单的一个函数，它的函数值始终保持不变。

常数函数的一般形式为f(x)=c，其中c是常数。

常数函数在数学中常用于表示等级和水平等不变的情况。

例如，常用的数学常数π就是一个常数函数，表示圆周长与直径之比。

其次，幂函数是一类形如f(x)=x^n的函数，其中x是变量，n是常数。

幂函数的特点是通过改变幂指数n的大小可以得到不同形状的函数图像。

比如当n为正偶数时，函数图像是一个开口朝上的平滑曲线；当n为正奇数时，函数图像是一个开口朝下的平滑曲线；当n为负数时，函数图像则是一个经过坐标轴原点的曲线。

指数函数是一类形如f(x)=a^x的函数，其中a是常数，且a大于0且不等于1、指数函数的特点是函数值随着自变量的增大而指数级增长或指数级衰减。

当a大于1时，函数图像是一个增长的指数曲线；当0小于a小于1时，函数图像是一个衰减的指数曲线。

对数函数是指数函数的反函数，它表示一些数在一个给定的底数下的指数。

对数函数的一般形式为f(x) = log_a(x)，其中a是常数，且a大于0且不等于1、对数函数和指数函数是一对互逆函数，它们的图像是关于y=x对称的。

三角函数是一类周期函数，包括正弦函数、余弦函数和正切函数等。

正弦函数的一般形式为f(x) = A*sin(Bx+C)，余弦函数的一般形式为f(x) = A*cos(Bx+C)，正切函数的一般形式为f(x) = A*tan(Bx+C)。

其中A、B、C是常数，分别表示振幅、频率和初相位。

三角函数的图像具有周期性和对称性，常用于描述波动和周期性现象。

反三角函数是三角函数的反函数，它表示一些角度在三角函数中的对应值。

(新课标)2015高考数学二轮复习-第二章-函数的概念与基本初等函数I-函数及其表示-理(含2014

(新课标)2015高考数学二轮复习-第二章-函数的概念与基本初等函数I-函数及其表示-理(含2014试题)【科学备考】（新课标）2015高考数学二轮复习第二章函数的概念与基本初等函数I 函数及其表示理（含2014试题）理数1. (2014大纲全国,12,5分)函数y=f(x)的图象与函数y=g(x)的图象关于直线x+y=0对称,则y=f(x)的反函数是()A.y=g(x)B.y=g(-x)C.y=-g(x)D.y=-g(-x)[答案] 1.D[解析] 1.∵y=g(x)关于x+y=0对称的函数为-x=g(-y),即y=-g-1(-x),∴y=f(x)=-g-1(-x),对换x,y 位置关系得:x=-y-1(-y),反解该函数得y=-g(-x),所以y=f(x)的反函数为y=-g(-x).2. (2014四川,9,5分)已知f(x)=ln(1+x)-ln(1-x),x∈(-1,1).现有下列命题:①f(-x)=-f(x);②f=2f(x);③|f(x)|≥2|x|.其中的所有正确命题的序号是()A.①②③B.②③C.①③D.①②[答案] 2.A[解析] 2.f(-x)=ln(1-x)-ln(1+x)=-[ln(1+x)-ln(1-x)]=-f( x),①正确.4.(2014山东,3,5分)函数f(x)=的定义域为()A. B.(2,+∞) C.∪(2,+∞)D.∪[2,+∞)[答案] 4.C[解析] 4.要使函数f(x)有意义,需使(log2x)2-1>0,即(log2x)2>1,∴log2x>1或log2x<-1.解之得x>2或0<x<.故f(x)的定义域为∪(2,+∞).5. (2014山西太原高三模拟考试（一），1) 已知U={y|}, P={y|}, 则CUP=( )[答案] 5. A[解析] 5. U={y|}=, P={y|}=, 所以6.(2014安徽合肥高三第二次质量检测，5) 为了得到函数的图像，可将函数的图像（）A. 向左平移B. 向右平移C. 向左平移D. 向右平移[答案] 6. C[解析] 6.因为，把其图象平移个单位长得函数图象，所以，解得，故可将函数的图像向左平移得函数的图像.7. (2014河北石家庄高中毕业班复习教学质量检测（二），11) 已知函数其中为自然对数的底数，若关于的方程有且只有一个实数解，则实数的取值范围为( )A. B. C. D.[答案] 7. B[解析] 7. 先令，则，所以，从而方程只有一个解，即的图像与的图像只有一个交点. 由数形结合可知：当时，应满足；当时交点有且只有一个；综上所述，实数的取值范围为.选B.8. (2014广东广州高三调研测试，8) 对于实数和，定义运算“*” ：*设*，且关于的方程为恰有三个互不相等的实数根，，，则的取值范围是（）A.B.C.D.[答案] 8.A[解析] 8. 由已知可得，作出的图像，不妨设，由图像可得，且，由重要不等式。

高考第一轮复习——一次函数、二次函数、基本初等函数(理科-)

一、学习目标：1. 了解基本初等函数（一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、幂函数）的实际背景。

了解实数指数幂的意义及对数的作用、了解指数函数与对数函数互为反函数的性质。

2. 理解指数、对数的概念及其运算性质，理解指数函数、对数函数，一次函数、二次函数、幂函数的图象与性质。

3. 掌握幂的运算、对数运算及指数函数、对数函数、一次函数、二次函数性质的应用二、重点、难点：重点：（1）指数幂、对数的运算（2）对一次函数、二次函数、指数函数、对数函数的图象与性质的理解。

难点：一次函数、二次函数、指数函数、对数函数的图象与性质的应用三、考点分析：函数这部分内容是高考中的重点与难点，基本的初等函数是高考函数基础知识考查的重点，因此第一轮的复习重点是把握基本函数的基础知识及其简单的应用，这部分知识点是高考命题的“黄金”知识点，命题的题型有选择题、填空题、中等类型的大题等。

注：（1）二次函数的解析式的确定方法有三种形式①一般式：若已知二次函数经过A ，B ，C 三点，可设解析式为c bx ax x f ++=2)(，把三点坐标代入求出a ，b ，c 的值。

②零点式：若已知二次函数图象与x 轴有两个交点)0,(),0,(21x B x A ，可设解析式为：))(()(21x x x x a x f --=，再根据其余的条件确定a 的值。

③顶点式：若已知二次函数的顶点坐标（h ，k ），则可设函数解析式为：k h x a x f +-=2)()(的形式，再根据另外的条件确定a 的值。

（2）二次函数的最值的确定（i ）若R x ∈，a ＞0，当abx 2-=时，函数取得最小值a b ac x f 44)(2min -=；若R x ∈，a<0，当abx 2-=时，函数取得最大值a b ac x f 44)(2max -=。

（ii ）当)(],,[n m n m x <∈（或其他区间），讨论对称轴与区间［m ，n ］的三种位置关系。

基本初等函数知识点总结

基本初等函数知识点总结基本初等函数是数学中常见的一类函数，包括多项式函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数等。

它们在数学和实际问题中具有广泛的应用，因此掌握基本初等函数的性质和特点对于学习和理解数学非常重要。

下面将对基本初等函数的知识点进行总结。

一、多项式函数多项式函数是由常数乘以各个整数幂的变量构成的函数。

它的一般形式为：$$f(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + \dots + a_1x+a_0$$其中，$a_n, a_{n-1},\dots,a_1,a_0$为常数，$n$为正整数，$a_n \neq 0$。

多项式函数的特点包括：定义域为实数集，值域为实数集，可导且导函数为次数比原来次数低一的多项式函数。

二、指数函数指数函数的一般形式为：$$f(x) = a^x$$其中，$a$为正实数且不等于1。

指数函数的特点包括：定义域为实数集，值域为正实数集，可导且导函数为$a^x\ln a$。

三、对数函数对数函数的一般形式为：$$f(x) = \log_a x$$其中，$a$为正实数且不等于1，$x$为正实数。

对数函数的特点包括：定义域为正实数集，值域为实数集，可导且导函数为$\frac{1}{x\ln a}$。

四、三角函数三角函数包括正弦函数、余弦函数、正切函数等。

它们的一般形式为：$$\sin x, \cos x, \tan x$$其中，$x$为实数。

三角函数的特点包括：定义域为实数集，值域为闭区间[-1, 1]，具有周期性，可导且导函数是相关三角函数的倍数。

五、反三角函数反三角函数包括反正弦函数、反余弦函数、反正切函数等。

它们的一般形式为：$$\arcsin x, \arccos x, \arctan x$$其中，$x$在相应的定义域内。

反三角函数的特点包括：定义域为闭区间[-1, 1]，值域为实数集，可导且导函数是相关函数的倒数。

基本初等函数的性质还包括：1. 奇偶性对于函数$f(x)$，如果对于定义域内的任意$x$，有$f(-x)=-f(x)$，则称函数为奇函数；如果对于定义域内的任意$x$，有$f(-x)=f(x)$，则称函数为偶函数。

基本初等函数知识点总结

基本初等函数知识点总结1.常数函数：常数函数是指函数的值在定义域内都保持不变的函数。

表示为f(x)=c，其中c是常数。

常数函数的图像是一条平行于x轴的直线。

常数函数的性质是恒等性，即f(x)=f(x')，对于任意x和x'都成立。

2.平方函数：平方函数是指函数的值与自变量的平方成正比的函数。

表示为f(x)=x²。

平方函数的图像是一条开口向上的抛物线。

平方函数的性质是奇偶性，即f(-x)=f(x)，对于任意实数x都成立。

3.立方函数：立方函数是指函数的值与自变量的立方成正比的函数。

表示为f(x)=x³。

立方函数的图像是一条通过原点且存在于所有象限的曲线。

立方函数的性质是单调性，即在定义域内，当x₁<x₂时，有f(x₁)<f(x₂)或f(x₁)>f(x₂)成立。

4.绝对值函数：绝对值函数是指函数的值与自变量的绝对值成正比的函数。

表示为f(x)=，x。

绝对值函数的图像是一条以原点为顶点且对称于y轴的V字形曲线。

绝对值函数的性质是非负性，即对于任意实数x，有f(x)≥0成立。

5.指数函数：指数函数是指函数的值与自变量的指数幂成正比的函数。

表示为f(x)=aˣ，其中a是一个正实数且a≠1、指数函数的图像是一条通过点(0,1)且与x轴和y轴都无交点的曲线。

指数函数的性质是增长性，即在定义域内，当x₁<x₂时，有f(x₁)<f(x₂)成立。

6. 对数函数：对数函数是指函数的值与自变量的对数成正比的函数。

表示为f(x)=logₐ(x)，其中a是一个正实数且a≠1、对数函数的图像是一条通过点(1, 0)且与x轴和y轴都无交点的曲线。

对数函数的性质是单调性，即在定义域内，当x₁<x₂时，有f(x₁)<f(x₂)成立。

7. 三角函数：三角函数包括正弦函数、余弦函数、正切函数等。

正弦函数表示为f(x)=sin(x)，余弦函数表示为f(x)=cos(x)，正切函数表示为f(x)=tan(x)。

2015届高三数学第一轮细致复习课件：第二章函数与基本初等函数 2-5 指数与指数函数

诊断·基础知识
突破·高频考第十点七页，编辑于培星期养五：·解九点题十能七分力。
• 【训练2】已知实数a，b满足等式2 011a＝2
012b，下列五个关系式：①0＜b＜a；②a＜b＜
0；③0＜a＜b；④b＜a＜0；⑤a＝b.其中不可
能成立的关系式有
( )．
• A．1个
B．2个
• C．3个
D．4个
诊断·基础知识
答案 C
诊断·基础知识
突破·高频考第十点四页，编辑于培星期养五：·解九点题十能七分力。
• 考点二指数函数的图象及其应用 • 【例2】 (1)(2014·郑州模拟)已知函数f(x)＝2x－
2，则函数y＝|f(x)|的图象可能是 ( )．
•
诊断·基础知识
突破·高频考第十点五页，编辑于培星期养五：·解九点题十能七分力。
在(－∞，＋∞)上是增函数
在(－∞，＋∞)上是减函数
诊断·基础知识
突破·高频考第七点页，编辑于星培期五养：九·解点十题七能分。力
• 辨析感悟
诊断·基础知识
突破·高频考第八点页，编辑于星培期五养：九·解点十题七能分。力
•(5)指数函数在同一直角坐标系中的图象的相对位置与底数的大小关系如图，无论在y轴的左侧还是右侧图象从上到下相应的底数由大变小．
数a的范围是 • ( )．
诊断·基础知识
突破·高频考第二点十九页，编辑培于星养期五·解：九题点能十七力分。
答案 C
诊断·基础知识
突破·高频考第三点十页，编辑于培星期养五：·解九点题十能七分力。
突破·高频考第四点页，编辑于星培期五养：九·解点十题七能分。力
1
0
无意义
诊断·基础知识

基本初等函数的公式及导数的运算法则

对数函数
对数函数是指以某个正实数为底的函数，如以10为底的常用对数函数和以e为底的自然对数函数。对数函数的导数是一个特殊的公式。
三角函数
三角函数是描述角度和比例关系的函数，包括正弦、余弦和正切等。它们有着独特的周期性和对称性，用于解决各种实际问题。
反三角函数
反三角函数是三角函数的逆运算，用于解决与三角函数相关的逆运算问题。常见的反三角函数有反正弦函数、反余弦函数和反正切函数等。
基本初等函数的公式及导数的运算法则
本节将介绍基本初等函数的公式及其导数的运算法则。这些函数包括常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数。我们还将探讨导数的定义和运算法则，如常数法则、变量法则、和差法则、积法则、商法则、复合函数法则和反函数法则。
基本初等函数的定义
基本初等函数是一类常见的数学函数，它们在数学领域中起到重要的作用。其中包括常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数。
导数的定义
可以通过求极限来定义。
导数的运算法则
导数的运算法则是一套用于对复杂函数求导的规则。包括常数法则、变量法则、和差法则、积法则、商法则、复合函数法则和反函数法则。
常数函数
常数函数是指输出始终相同的函数。它的图像呈平行于x轴的直线。常数函数的导数恒为零。
幂函数
幂函数是形如f(x) = x^n的函数，其中n是一个实数。指数n决定了幂函数的形状。幂函数的导数可以通过幂函数的指数递减1来表示。
指数函数
指数函数是以指数为变量的函数。常见的指数函数有以e为底的自然指数函数和以10为底的常用对数函数。它们具有特殊的性质和规律。

2015高考理数一轮复习课件：2.1 函数概念与基本初等函数

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高考理数（新课标专用）
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高考数学一轮复习基本初等函数知识点

高考数学一轮复习基本初等函数知识点每一章知识点掌握对温习是十分有利的，查字典数学网为您提供的是基本初等函数知识点，希望可以协助到你。

一、指数函数(一)指数与指数幂的运算1.根式的概念：普通地，假设，那么叫做的次方根(nthroot)，其中1，且*.当是奇数时，正数的次方根是一个正数，正数的次方根是一个正数.此时，的次方根用符号表示.式子叫做根式(radical)，这里叫做根指数(radicalexponent)，叫做被开方数(radicand).当是偶数时，正数的次方根有两个，这两个数互为相反数.此时，正数的正的次方根用符号表示，负的次方根用符号-表示.正的次方根与负的次方根可以兼并成(0).由此可得：正数没有偶次方根;0的任何次方根都是0，记作。

留意：当是奇数时，，当是偶数时，2.分数指数幂正数的分数指数幂的意义，规则：0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义指出：规则了分数指数幂的意义后，指数的概念就从整数指数推行到了有理数指数，那么整数指数幂的运算性质也异样可以推行到有理数指数幂.3.实数指数幂的运算性质(二)指数函数及其性质1、指数函数的概念：普通地，函数叫做指数函数(exponential)，其中x是自变量，函数的定义域为R.留意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是正数、零和1.2、指数函数的图象和性质a1图象特征函数性质向x、y轴正负方向有限延伸函数的定义域为R图象关于原点和y轴不对称非奇非偶函数函数图象都在x轴上方函数的值域为R+函数图象都过定点(0，1)自左向右看，图象逐渐上升自左向右看，图象逐渐下降增函数减函数在第一象限内的图象纵坐标都大于1在第一象限内的图象纵坐标都小于1在第二象限内的图象纵坐标都小于1在第二象限内的图象纵坐标都大于1图象上升趋向是越来越陡图象上升趋向是越来越缓函数值末尾增长较慢，到了某一值后增长速度极快;函数值末尾减小极快，到了某一值后减小速度较慢;留意：应用函数的单调性，结合图象还可以看出：(1)在[a，b]上，值域是或;(2)假定，那么;取遍一切正数当且仅当;(3)关于指数函数，总有;(4)事先，假定，那么;二、对数函数(一)对数1.对数的概念：普通地，假设，那么数叫做以为底的对数，记作：(底数，真数，对数式)说明：1留意底数的限制，且;2;3留意对数的书写格式.两个重要对数：1常用对数：以10为底的对数;2自然对数：以在理数为底的对数的对数.对数式与指数式的互化对数式指数式对数底数幂底数对数指数真数幂(二)对数函数1、对数函数的概念：函数，且叫做对数函数，其中是自变量，函数的定义域是(0，+).留意：1对数函数的定义与指数函数相似，都是方式定义，留意区分。

福建省高考数学理二轮专题总复习专题1第4课时基本初等函数及应用课件

3
3
1832 - 480 1352.
当且仅当 6 x y，即 x 4 0， y 4 5时， S 取得最大值 1 3 5 2 .
解法 2： S 1800 - 6 x - 16 1800 32 1832 - (6 x 9600 )
3x
x
1832 - 2 6 x 9600 1832 - 480 1352， x
当且仅当 6 x 9600 ，即 x 40时取等号， x
S取得最大值，此时 y 1800 45. 40
【点评】对于建筑面积的应用题，在求解过程中先要寻找边长与面积间的关系，得出面积的表达式，然后用函数的有关方法求解
题型二函数的零点问题
【例2】对定义在R上的函数f(x)，f(x)-x=0的零点记作x0，并称为f(x)的不动点． (1)已知函数f(x)=ax2+bx-b (a0)有两个不动点1和3，求a，b； (2)若对于任意实数b，函数f(x)=ax2+bx-b (a0)总有两个相异的不动点，求实数a的取值范围．
【分析】先求出面积的表达式，寻找变量x，y和a， b之间的关系，最终用x或y来表示面积．
【解析】1由题意可得xy 1800，b 2a，

则y a b 6 3a 6.
所以S x 4a x 6b 3x 16a
3x 16 y 6 1832 6x 16 y.
3
3
( 2 )解法 1： S 1 8 3 2 - 6 x - 1 6 y 1 8 3 2 - 2 6 x 1 6 y
专题一函数与导数
1．高考考点 (1)能熟练进行指数、对数的计算； (2)理解指数、对数函数的概念、图象及性质； (3)零点是新课标的新增内容，也是这一两年高考的考点，要理解其概念及零点存在定理． 2．易错易漏解决对数函数问题经常容易记忘记定义域．讨论指、对数函数的单调性时不要忘记对底数的讨论．零点存在定理只能判断有无零点．

2015高考复习基本初等函数

2014高考第一轮复习——基本初等函数（概念与性质）第一部分函数的概念考纲解读：1、通过丰富的实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数，了解函数的概念。

2、了解构成函数的要素，了解映射的概念3、掌握求函数定义域和值域的基本方法4、了解函数的构成要素，掌握表示函数的基本方法。

掌握求函数解析式的基本方法5、掌握作函数图象的两种基本方法是描点法和图象变换法。

学会运用函数的图象解决相关问题，理解和研究函数的性质。

6、了解简单的分段函数，并能简单的应用。

一、考点知识清单1、函数的表示方法表示函数的方法，常用的有_______、_______、_______三种。

（1）解析法：就是把两个把变量的函数关系，______ ____来表示，这个等式叫做函数的解析表达式，简称解析式，中学研究的函数主要是用解析式表示的函数。

（2）列表法：就是______ ____来表示两个变量的函数关系。

（3）图象法：就是______ ____来表示两个变量之间的关系。

2、有些函数在其定义域中对自变量x不同的取值范围对应的关系不同，这样的函数通常称为__________。

分段函数虽由几个部分构成，但它代表的是一个函数。

基本函数：一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、三角函数等3、函数的图象描点法作图：函数图象的作法图象变换法作图：二、考点分析【考点1】映射1、映射定义的理解（1）集合A 、B 不加约束，可以是数集，也可以是点集或者其他类元素构成的集合；（2）集合A 、B 与对应法则是确定的，是一个系统；（3）对应法则具有方向性，即A 到B 的映射与B 到A 的映射是不同的；（4）定义中强调A 中元素的任意性和B 中元素的唯一性；（5）映射允许A 中的不同元素在B 中有相同的象，但不要求B 中的元素都有原象。

即A 中元素在B 中象的集合是B 的子集。

2、判断一个对应是映射的方法要判断一个对应是否是映射，只看第一个集合A ，集合A 中的每一个元素是否都有对应元素,且对应元素是否唯一，至于第二个集合B 中的每一个元素是否都有原象不作要求。

2015年高考数学(理)核按钮：第二章《基本初等函数(Ⅰ)》(含解析)

第二章函数的概念、基本初等函数(Ⅰ)及函数的应用§2.1函数及其表示1.了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念.2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.3.了解简单的分段函数，并能简单应用(函数分段不超过三段).从近几年高考来看，函数的概念、分段函数的解析式和求函数值是重点考查的内容之一，主要以选择、填空题的形式出现.1.函数的概念一般地，设A，B是两个非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有________f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个________，记作y＝f(x)，x∈A，其中，x叫做________，x的取值范围A叫做函数的________；与x的值相对应的y值叫做________，其集合{f(x)|x∈A}叫做函数的________.2.函数的表示方法(1)解析法：就是用________表示两个变量之间的对应关系的方法.(2)图象法：就是用________表示两个变量之间的对应关系的方法.(3)列表法：就是________表示两个变量之间的对应关系的方法.3.构成函数的三要素(1)函数的三要素是：________，________，________.(2)两个函数相等：如果两个函数的________相同，并且完全一致，则称这两个函数相等.4.分段函数若函数在定义域的不同子集上的对应关系也不同，这种形式的函数叫做分段函数，它是一类重要的函数.5.映射的概念一般地，设A，B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系f，使对于A中的________元素x，在集合B中都有________元素y与之对应，那么就称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射.6.映射与函数的关系(1)联系：映射的定义是在函数的现代定义(集合语言定义)的基础上引申、拓展而来的；函数是一种特殊的_____________.(2)区别：函数是从非空数集．．A到非空数集．．B的映射；对于映射而言，A和B不一定是数集．．.7.复合函数一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作y＝f(g(x))，其中y＝f(u)叫做复合函数y＝f(g(x))的外层函数，u＝g(x)叫做y＝f(g(x))的内层函数.【自查自纠】1.唯一确定的数函数自变量定义域函数值值域2.(1)数学表达式(2)图象(3)列出表格3.(1)定义域对应关系值域(2)定义域对应关系5.任意一个唯一确定的6.(1)映射(2012·江西)下列函数中，与函数y＝13x定义域相同的函数为()A．y＝1sin x B．y＝ln xxC．y＝x e x D．y＝sin xx解：函数y＝13x的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，列判断正确的是．都表示映射，都表示y 是x 的函数．仅③表示y 是x 的函数．仅④表示y 是x 的函数．都不能表示y 是x 的函数根据映射的定义，①②③中，x 与y 的对应关系都不是映射，当然不是函数关系，④是映射，是函数关系．故选C.函数y ＝－x 2－3x ＋4x的定义域________________.依题意知⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－3x ＋4≥0，x ≠0，解得－4≤1.故填[－4，0)∪(0，1]．规定记号“*”表示一种运算，且a *b ＝ab ，a b 是正实数，已知1*k ＝3.正实数k 的值为____________；在(1)的条件下，函数f (x )＝k *x 的值域是___________.∵1*k ＝k ＋k ＋1＝3，∴k ＝1；k *x ＝1*x ＝⎝⎛⎭⎫x ＋122＋34>1，∴函数f (x )＝k *x 的值域是．故填1；(1，＋∞)．________.①P ＝Z 素取绝对值与集合②P ＝{→y ＝x 2 ①A ＝R ②A ＝⎩⎨⎧a ：a →b ，相等的函数是A ．g (x一函数的是(A．f(x)＝B．f(x)＝的定义域.(2)若函数的定义域求函数f(x)的定义域(2)已知函数的定义域.解：(1)∵(1)y＝11(3)y＝2，x ＜－12，，－12≤x ≤4，＞4，作出其图象，可知函数f (x )的值域是求函数值域的常用方法：①单调性法，(2)；③分离常数法，如(包括代数换元与三角换元⑥判别式法，如(4)；⑦不等式法，⑧导数法，主要是针对在某区间内连续可导的函数；⑨图象法求分段函数的值域通常先作出函数的图象，然后由函数的图象写出函数的值域，如(5)，(6))，其解法要针对具体题目可以将二元函数化为一元函数求值只能用不等式法求值域．求函数的值域是个较复杂的问题，它比求函数的定义域难度要大，而单调性法，即根据函数在定义域内的单调性求函数的值域是较为简单且常用的方法，应重点掌握．求下列函数的值域：(1)y ＝x ＋； (2)f (x )＝解：(1)函数的定义域为和y ＝(1)已知；(2)已知(3)已知，求f(x)(2)已知2x＋17，求(3)已知1－x），－1）－f ________.解：∵x>02x，x＞012（－x），范围是(A．(－1(a )＞f (－a )，则有由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，log 2a ＞－log ）＞log 2（－a ）⇒⎩⎪⎨⎪⎧）＞0.或－1＜a ＜0.故选类型七创新问题对实数a 与b ，定义运算a －b ≤1a －b >1.若函数y ＝f c 的取值范围是由图可知，要使y ＝f ()x 与y ＝c 的图象有两个交的活动范围是在l 1与l 2之间， a －b ）2)A ．f (x )＝§2.2函数的单调性与最大(小)值1.理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义.2.掌握简单函数单调性的判断和证明方法.3.能将函数单调性、最大(小)值的定义、图象、求导等紧密结合，并能综合应用，解决函数单调性问题.函数的单调性、最值一直是高考的热点.1.函数的单调性(1)增函数与减函数一般地，设函数f(x)的定义域为I：①如果对于定义域I内某个区间D上的自变量的值x1，x2，当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是.②如果对于定义域I内某个区间D上的自变量的值x1，x2，当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是.(2)单调性与单调区间如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的) ，区间D叫做y＝f(x)的.2.函数的最值(1)最大值一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：①对于任意的x∈I，都有；②存在x0∈I，使得.那么，我们称M是函数y＝f(x)的最大值.(2)最小值一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数m满足：①对于任意的x∈I，都有；②存在x0∈I，使得.那么我们称m是函数y＝f(x)的最小值.【自查自纠】1.(1)①任意两个增函数②任意两个减函数(2)单调性单调区间2.(1)①f(x)≤M②f(x0)＝M(2)①f(x)≥m②f(x0)＝m(2012·广东)下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是()A．y＝ln(x＋2) B．y＝－x＋1C．y＝⎝⎛⎭⎫12xD．y＝x＋1x解：易知选项中4个函数均在区间(0，＋∞)上有意义，由y＝ln(x＋2)的增区间为(－2，＋∞)可知：y ＝ln(x＋2)在(0，＋∞)上是增函数．故选A.若函数y＝ax＋1在[1，2]上的最大值与最小值的差为2，则实数a的值是()A．2 B．－2C．2或－2 D．0解：当a>0时，由题意得2a＋1－(a＋1)＝2，即a＝2；当a<0时，a＋1－(2a＋1)＝2，即a＝－2，所以a＝±2.故选C.下列区间中，函数f(x)＝||ln（2－x）在其上为增函数的是()A．(－∞，1] B.⎣⎡⎦⎤－1，43C.⎣⎡⎭⎫0，32D．[1，2)解：f(x)的定义域为(－∞，2)，f(1)＝0，当x∈[1，2)时，f(x)＝－ln(2－x)，由复合函数的单调性特征知f(x)为增函数．故选D.函数f(x)＝log5(2x＋1)的单调增区间是____________.解：f(x)的定义域为⎝⎛⎭⎫－12，＋∞.∵u＝2x＋1在⎝⎛⎭⎫－12，＋∞上单调递增，且u∈(0，＋∞)，y＝log5u在(0，＋∞)上单调递增．∴f(x)在⎝⎛⎭⎫－12，＋∞上单调递增．故填⎝⎛⎭⎫－12，＋∞.(2012·上海)已知函数f(x)＝e|x－a|(a为常数).若f(x)在区间[1，＋∞)上是增函数，则a的取值范围是__________.解：图象法，根据函数f(x)＝e|x-a|＝⎩⎪⎨⎪⎧e x-a，x≥a，e-x+a，x＜a.的图象如图所示，由图象知当为增函数，而已知函数上为增函数，所以a的取值范围为判断函数的单调性，求函数的单调区间2013·重庆模拟)求下列函数的单调区间：①y＝－＋3；②y＝1x＋2；③y＝x①依题意，可得＝－x2＋2x＋3＝－(＝－x2－2x＋3＝－由二次函数的图象知，函数y＝－上是增函数，在[y＝－x2＋2|x|＋1]；单调减区间为0，得x≥2或x≤，则y＝1－u，减的是________①f(x)＝③f(x)＝上是单调增函数，求实数解：设是单调增函数．在区间[2解：设假设符合条件的当a>1时，由复合函数的单调性知，只需y)＝f(x＋(1)求证：(2)求f(∞)，且对一切时，有(1)求f(1)(2)判断－1)＜0，f (11)＝f (3)＞(80)＜f (11)，故选D .若函数f (x )＝||2x ＋a 的单调递增区a ＝____________.函数的对称轴为x ＝－a2，由对称性可知6. (3)＝0⇒a ＝－6.故填－若函数f (x )＝a x (a >0，，最小值为m ，且函数增函数.§2.3函数的奇偶性与周期性了解函数奇偶性的含义.在高考中，函数的奇偶性、周期性常与函数的其他性质结合在一起命题，综合考查学生对函数基本概念及性质的理解，题型以选择、填空为主.1.奇偶函数的概念(1)偶函数一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有，那么函数f(x)就叫做偶函数.(2)奇函数一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有，那么函数f(x)就叫做奇函数.2.奇偶函数的图象特征偶函数的图象关于对称；奇函数的图象关于对称.3.具有奇偶性函数的定义域的特点具有奇偶性函数的定义域关于，即定义域关于是一个函数具有奇偶性的条件.4.周期函数的概念(1)周期、周期函数对于函数f(x)，如果存在一个T，使得当x取定义域内的值时，都有，那么函数f(x)就叫做周期函数.T叫做这个函数的周期.(2)最小正周期如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.5.函数奇偶性与单调性之间的关系(1)若函数f(x)为奇函数，在[a，b]上为增(减)函数，则f(x)在[－b，－a]上应为；(2)若函数f(x)为偶函数，在[a，b]上为增(减)函数，则f(x)在[－b，－a]上应为.6.奇偶函数的“运算”(共同定义域上)奇±奇＝，偶±偶＝，奇×奇＝，偶×偶＝，奇×偶＝.7.函数的对称性如果函数f(x)，x∈D，满足∀x∈D，恒有f(a＋x)＝f(b－x)，那么函数的图象有对称轴；如果函数f(x)，x∈D，满足∀x∈D，恒有f(a－x)＝－f(b ＋x)，那么函数的图象有对称中心.8.函数的对称性与周期性的关系(1)如果函数f(x)(x∈D)在定义域内有两条对称轴x＝a，x＝b(a<b)，则函数f(x)是周期函数，且周期T ＝2(b－a)(不一定是最小正周期，下同).(2)如果函数f(x)(x∈D)在定义域内有两个对称中心A(a，0)，B(b，0)(a<b)，那么函数f(x)是周期函数，且周期T＝2(b－a).(3)如果函数f(x)，x∈D在定义域内有一条对称轴x＝a和一个对称中心B(b，0)(a≠b)，那么函数f(x)是周期函数，且周期T＝4|b－a|.【自查自纠】1.(1)f(－x)＝f(x)(2)f(－x)＝－f(x)2.y轴原点3.原点对称原点对称必要不充分4.(1)非零常数每一个f(x＋T)＝f(x)(2)最小5.(1)增(减)函数(2)减(增)函数6.奇偶偶偶奇7.x＝a＋b2⎝⎛⎭⎫a＋b2，0(2013·广东)定义域为R的四个函数y＝x3，y＝2x，y＝x2＋1，y＝2sin x中，奇函数的个数是() A．4 B．3 C．2 D．1解：易知函数y＝x3，y＝2sin x为奇函数，故选C.(2013·山东)已知函数f(x)为奇函数，且当x>0时，f(x)＝x2＋1x，则f(－1)＝()A．－2 B．0 C．1 D．2解：∵f(x)为奇函数，∴f(－1)＝－f(1)＝－2.故选A.(2013·东北三校联考)若f(x)是R上周期为5的奇函数，且满足f(1)＝1，f(2)＝2，则f(3)－f(4)＝()A．－1 B．1 C．－2 D．2解：∵函数f(x)的周期为5，∴f(3)－f(4)＝f(－2)－f(－1)，又∵f(x)为R上的奇函数，∴f(－2)－f(－1)＝－f(2)＋f(1)＝－2＋1＝－1.故选A.设函数f(x)＝x(e x＋a e－x)(x∈R)是偶函数，则实数a＝.解：令g(x)＝x，h(x)＝e x＋a e－x，因为函数g(x)(1)f(x)＝(2)f(x)＝，∴－2≤x≤2且x≠0定义域关于原点对称．偶性：(1)f(x)＝(2)f(x)＝(1)求证：(2)若f(1)(3)若当f(x)的解析式称，且当x∈x).解：由题意知函数期的周期函数．所以先求出一个周期内的表达式，然2]上单调递减，若值范围是________________解：∵∴f(1－－1，1)上又是减函数，且满足的取值范围为解：由奇函数的性质得＋x)＝f(5－2014，A．808解：∵数，且f(2)＝成立，则A．4024解：函数是定义在R 上的偶函数，且满足：；②当0≤x ≤1时，是否为周期函数；.）＝f （2－x ），）＝f （－x ） ⇒x )是周期为2的周期函数．1.5)＝f (1.5)＝f (2－x )的定义域为(－2，的定义域；为奇函数，并且在定义域上单调递减，的解集.由题意可知，∴⎩⎪⎨⎪⎧－1<x <3，12<x <52，的偶函数，当§2.4 二次函数二次函数虽属于初中内容，在考试大纲中也没有明确要求，但二次函数、一元二次方程和一元二次不等式又是高考的热点内容之一，因此，二次函数的重要性在于它的工具性和基础性，从题型上看，选择、填空、大题都有.掌握好二次函数的关键是掌握其图象，记住它的图象，其性质就很容易掌握.1.二次函数解析式的三种形式(1)一般式：f (x )＝ (a ≠0)； (2)顶点式：f (x )＝ (a ≠0)； (3)零点式：f (x )＝ (a ≠0). 2.二次函数的图象与性质(1)二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象是一条抛物线，它的对称轴、顶点坐标、开口方向、值域、单调性分别是：①对称轴：x ＝； ②顶点坐标：；③开口方向：a ＞0时，开口，a ＜0时，开口；④值域：a ＞0时，y ∈ ，a ＜0时，y ∈ ；⑤单调性：a ＞0时，f (x )在上是减函数，在上是增函数；a ＜0时，f (x )在⎝⎛⎭⎫－∞，－b2a 上是，在⎝⎛⎭⎫－b 2a ，＋∞上是____________. (2)二次函数、二次方程、二次不等式三者之间的关系二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的零点(图象与x 轴交点的横坐标)是相应一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的，也是一元二次不等式ax 2＋bx ＋c ≥0(或ax 2＋bx ＋c ≤0)解集的 .3.二次函数在闭区间上的最值二次函数在闭区间上必有最大值和最小值.它只能在区间的或二次函数的处取得，可分别求值再比较大小，最后确定最值.4.一元二次方程根的讨论(即二次函数零点的分布)设x 1，x 2是实系数一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ＞0)的两实根，则x 1，x 2的分布范围与系数之间的关向下④⎣⎡⎭⎫4ac－b24a，＋∞⎝⎛⎦⎤－∞，4ac－b24a⑤⎝⎛⎭⎫－∞，－b2a⎝⎛⎭⎫－b2a，＋∞增函数减函数(2)根端点值3.端点顶点函数f(x)＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称的充要条件是()A．m＝－2 B．m＝2C．m＝－1 D．m＝1解：当m＝－2时，f(x)＝x2－2x＋1，对称轴为x＝1，其图象关于直线x＝1对称，反之也成立．故选A.(2013·重庆)()3－a()a＋6()－6≤a≤3的最大值为()A．9 B.92C．3 D.322解：（3－a）（a＋6）＝－⎝⎛⎭⎫a＋322＋814≤92，当a＝－32时，取等号．故选B.(也可用基本不等式求解)设abc>0，二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象可能是()解：A选项中，由于二次函数图象开口向下，所以a<0，且函数与y轴交点在y轴负半轴，所以c<0，又abc>0，所以b>0，函数的对称轴x＝－b2a>0，显然A不正确；B选项中，a<0，c>0，所以b<0，所以对称轴x＝－b2a<0，所以B不正确；C选项中，a>0，c<0，所以b<0，所以对称轴x＝－b2a>0，所以C错．故选D.若函数y＝mx2＋x＋5在[－2，＋∞)上是增函数，则m的取值范围是.解：m＝0时，函数在给定区间上是增函数；m≠0时函数是二次函数，由题知m＞0，对称轴为x＝－12m≤－2，∴0＜m≤14，综上0≤m≤14.故填⎣⎡⎦⎤0，14.(2012·江苏改编)已知函数f(x)＝x2＋ax＋b(a，b∈R)的值域为[0，＋∞)，若关于x的不等式f(x)－c＜0的解集为(m，m＋6)，则实数c的值为________.解：由条件设f(x)－c＝(x－m)(x－m－6)，∴f(x)＝x2－(2m＋6)x＋m(m＋6)＋c.由于f(x)的值域为[0，＋∞)，∴Δ＝0，∴(2m＋6)2－4[m(m＋6)＋c]＝0，解得c＝9.故填9.类型一求二次函数的解析式已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1, f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，试确定此二次函数的解析式.解法一：(利用一般式)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧4a＋2b＋c＝－1，a－b＋c＝－1，4ac－b24a＝8，解之得⎩⎪⎨⎪⎧a＝－4，b＝4，c＝7.∴所求二次函数为y＝－4x2＋4x＋7.解法二：(利用顶点式)设f(x)＝a(x－m)2＋n，∵f(2)＝f(－1)，∴抛物线对称轴为x＝2＋（－1）2＝12，∴m＝12，又根据题意，函数有最大值为8，∴n＝8，∴f(x)＝a⎝⎛⎭⎫x－122＋8.∵f(2)＝－1，即a⎝⎛⎭⎫2－122＋8＝－1.解之得a＝－4.∴f(x)＝－4⎝⎛⎭⎫x－122＋8＝－4x2＋4x＋7.解法三：(利用零点式)由已知f(x)＋1＝0的两根为x1＝2，x2＝－1，即g(x)＝f(x)＋1的两个零点为2，－1，故可设f(x)＋1＝a(x－2)(x＋1)，即f(x)＝ax2－ax－2a－1.⎭⎫32－x 对的两实根之差的绝对值等于析式.解：∵a >b >c 且a ＋b ＋c ＝0， >0，c <0，b 2－4ac >0，图象开口向上，在y 轴上截距为负，且过故选A.【评析】a 决定抛物线开口的方向，c 确定抛物线轴上的截距，b 与a 确定顶点的横坐标(或对称轴，再结合题设条件就不难解答此题了．在同一坐标系中，函数y ＝ax 2＋bx ＋b (ab ≠0)的图象只可能是( )解：抛物线y ＝ax 2＋bx 过原点排除A ，又直线与抛物线y ＝ax 2＋bx 都过点⎝⎛⎭⎫－ba ，0，排除故选D.类型三二次函数的最值(2013·济南模拟)已知f (x )＝ax (0≤x ≤1)，求f (x )的最小值g (a ).解：(1)当a ＝0时，f (x )＝－2x 在[0，1]上单调递减，∴g (a )＝f (x )min ＝f (1)＝－2. 当a >0时，f (x )＝ax 2－2x 的图象开口方向向上，且其对称轴为x ＝1a .当0＜1a≤1，即a ≥1时，f (x )＝ax 2－2x 的图象对上有最小值解：f(x)①当t≤1②当t>1(1)若方程有两根，其中一根在区间另一根在区间(2)若方程两根均在区间1<0，2>0，2<0，5>0⇒⎩⎪⎨⎪⎧m<－m∈m<－m>－的取值范围为⎩⎨⎧m|－56＜m＜－轴交点落在区间1>0，2>0，4（2m＋1）≥0，≤1－2，∴－12<的取值范围为⎩⎨⎧m|－12＜m≤1一元二次方程根的分布，即二次函数零点的分布，关键在于作出二次函数的草图，由此列出不等式组，要注意二次函数的对称轴及2012·郑州模拟)已知二次函数bx＋c(b，＋b＝0的两个实数根分别在区间内，求实数解：由题意知2tx＋2t＋§2.5 基本初等函数(Ⅰ)1. 指数函数(1)了解指数函数模型的实际背景.(2)理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算.(3)理解指数函数的概念及其单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点.会画底数为2，3，10，12，13的指数函数的图象.(4)体会指数函数是一类重要的函数模型. 2. 对数函数(1)理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用.(2)理解对数函数的概念及其单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点.会画底数为2，10，12的对数函数的图象.(3)体会对数函数是一类重要的函数模型.(4)了解指数函数y ＝a x 与对数函数y ＝log a x 互为反函数(a >0且a ≠1).3. 幂函数(1)了解幂函数的概念.(2)结合函数y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝x 12，y ＝1x的图象，了解它们的变化情况.指数函数、对数函数在高考中属常考内容.以考查指数函数、对数函数的图象、性质为主，性质又以单调性为主，有时在大题中与其他函数混合出现，一般用导数方法解决.高考中常以5种幂函数为载体，考查幂函数的图象及性质，题目多以选择填空题的形式出现.(一)指数函数 1. 根式(1)n 次方根：如果x n ＝a ，那么x 叫做a 的，其中n ＞1，且n ∈N *.①当n 为奇数时，正数的n 次方根是一个数，负数的n 次方根是一个数，这时a 的n 次方根用符号表示.②当n 为偶数时，正数的n 次方根有个，这两个数互为 .这时，正数a 的正的n 次方根用符号表示，负的n 次方根用符号表示.正的n 次方根与负的n 次方根可以合并写成 .③负数没有偶次方根.④0的n (n ∈N *)次方根是，记作 . (2)根式：式子na 叫做根式，这里n 叫做，a 叫做 .(3)根式的性质：n 为奇数时，na n ＝； n 为偶数时，na n ＝ . 2. 幂的有关概念及性质 (1)正整数指数幂：a n ＝(n ∈N *).(2)零指数幂：a 0＝ .这里a 0. (3)负整数指数幂：a -n ＝ (a ≠0，n ∈N *). (4)正分数指数幂：a m n＝ (a ＞0，m ，n ∈N *，且n ＞1).(5)负分数指数幂：a -m n＝ (a ＞0，m ，n ∈N *，且n ＞1).(6)0的正分数指数幂等于，0的负分数指数幂.(7)有理指数幂的运算性质 ⎩⎪⎨⎪⎧a r a s＝（a ＞0，r ，s ∈Q ），（a r ）s＝（a ＞0，r ，s ∈Q ），（ab ）r ＝（a ＞0，b >0，r ∈Q ）.注：无理数指数幂a α(a ＞0，α是无理数)是一个确定的实数.有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂.3. 指数函数的图象及性质定义一般地，函数y ＝a x (a ＞0，且a ≠1)叫做指数函数图象a ＞10＜a ＜1定义域 __________ 值域 __________ 性质过定点__________在R 上是 __________在R 上是 __________位长度，所得图象与曲线⎛ _________(2)0.75－1614.(1)y＝⎝⎛(3)y＝2解：(1)(1)y＝82(3)y＝⎝⎛1 2解：(1)因为列五个关系：①＜a＜0)A．1个与指数函数有关的比较大小问题，除了应用函数的单调性外，还用到指数函数图象的程度，也就是函数f(x)增(减)的快慢．2013·合肥模拟)函数f(x)＝如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是)＜0＞0，b＞0，b＜0由图象知f(x)是减函数，∴0＜a＜轴的截距小于1可知a－b＜1，即－类型四指数函数的综合问题已知函数f(x)＝⎝⎛⎭⎫13x，x∈[－＝f 2(x)－x)＋3的最小值为h(a).(1)若f(x(2)若2t f的取值范围解：(1)当(1)log535(2)a log(3)(log2(1)(lg2)2(2)(log32(3)lg600lg10，c＝A．c>b C．a>c 解：a＝-12，则(A．x＜yC．z＜y解：由对数与指数性质知(1)若f((2)若函数(3)若函数的取值范围；x＋3).(1)若f(1)(2)是否存在实数求出a的值；若不存在，说明理由a≠1).f(x)－f⎝⎛(1)求f(x(2)若方程图象，已知，C2，C3数形结合法)：如图，作直线的图象与直线x＝t的交点为的大小与图象交点的“高低特殊值法)：当x＝2时，，y4＝2－1＝12，故填3，2，12，－利用幂函数的性质比较大小，往往伴解：因为幂函数0.7＜1，所以1.3x是增函数，并且C ．3 ⎝⎛⎭⎫13，23，N ⎝⎛23，13，即α＝log 2313，β2313＝1.故选A.的方程a ·4x ＋b ·2x ＋异号，则下列结论中正确的是．此方程无实根．此方程有两个互异的负实根．此方程有两个异号实根．此方程仅有一个实根，则at 2＋bt ＋c ＝t 2＝－b a ＜0，t 1t 2＝2x 单调递增，所以只有一正根，故选D .已知函数f (x )＝lg x ， .(2x ＋t )(t§2.6函数与方程结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数.从近两年的高考试题来看，函数的零点，方程根的问题是热点，题型既有选择题、填空题，又有解答题.预计今后高考仍有可能以函数的零点，方程根的存在性问题为主要考点，并结合考查相应函数的图象和性质.1.函数的零点(1)定义：对于函数y＝f(x)，我们把使的实数x叫做函数y＝f(x)的零点.(2)函数有零点的几个等价关系：方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴⇔函数y＝f(x) .2.函数的零点存在性定理如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有，那么，函数y＝f(x)在区间内有零点，即存在c∈，使得，这个c也就是方程f(x)＝0的根.3.二次函数的零点分布(即一元二次方程根的分布，见2.4考点梳理4)【自查自纠】1.(1)f(x)＝0(2)有交点有零点2.f(a)·f(b)＜0(a，b)(a，b)f(c)＝0函数f(x)＝2x＋3x的零点所在的一个区间是()A．(－2，－1) B．(－1，0)C．(0，1) D．(1，2)解：∵f(－1)＝12－3<0，f(0)＝1>0，∴f(－1)·f(0)<0，因此，函数f(x)在区间(－1，0)内有零点．故选B.(2012·湖北)函数f(x)＝x cos x2在区间[0，4]上的零点个数为()A．4 B．5 C．6 D．7解：若f(x)＝0，则x＝0或cos x2＝0，x2＝kπ＋π2，k∈Z，又x∈[0，4]，k＝0，1，2，3，4，所以f(x)共有6个零点．故选C.已知a是函数f(x)＝ln x－log12x的零点，若0＜x0＜a，则()A．f(x0)＝0 B．f(x0)＞0C．f(x0)＜0 D．f(x0)的符号不确定解：因为f(x)＝ln x－log12x在(0，＋∞)上是增函数，所以当0＜x0＜a时，有f(x0)＜f(a)＝0，故选C.已知实数a≠0，函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2x＋a，x<1，－x－2a，x≥1.若f(1－a)＝f(1＋a)，则a的值为.解：⎩⎪⎨⎪⎧a>0，2（1－a）＋a＝－（1＋a）－2a，或⎩⎪⎨⎪⎧a<0，－（1－a）－2a＝2（1＋a）＋a .可得a＝－34.故填－34.方程ln x＝8－2x的实数根x∈(k，k＋1)，k∈Z，则k＝________.解：令函数f(x)＝ln x＋2x－8，∴f′(x)＝1x＋2＞0(x＞0)，则f(x)在(0，＋∞)上单调递增，又f(1)＝－6＜0，f(2)＝ln2－4＜0，f(3)＝ln3－2＜0，f(4)＝ln4＞0，∴f(x)的唯一零点在(3，4)内，因此k＝3.故填3..(1)f(x)＝(2)f(x)＝的零点所在的大致区间是A．(1，C．(1，解：∵f1)内的零点个数是A．0解法一：定义域上单调递增且连续，＝2x，y2＝2－x3，在同一坐标系中画出两函数的图象如图所示，在区间(0f(x)的零点个数．故选零点个数为(A．1解：函数判断函数在给定区间零点的步骤确定函数的图象在闭区间[a，bb)的值并判断f(a)·f0，则有实数解.除了用上面的零点存在性定理判断外，有时还需结合相应函数的图象来作出判断.零点个数(方程f(x)＝判断二次函数f(x)在R上的零点个数，一般由)＝0的判别式Δ＞0来完成；对于一些不便用判别式判断零点个数的二次函数，则要结合二次函数的图象进行判断对于一般函数零点个数的判断，点存在性定理，还必须结合函数的图象和性质才能确定，如三次函数的零点个数问题.在[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，且是单调函数，又f(a)·f(b)＜0，则长春第二次调研)若a ＞2，则函数2)内零点的个数为(．2 C ．1 (x )＝x 2－2ax ，由a 时恒为负数，即f (x )在(0，＝83－4a ＋1＜0，则内只有一个零点，故选是函数f (x )＝2x ＋11－x 的一个零点，若，＋∞)，则( )2)<0 B ．f (x 1)<02)<0 D ．f (x 1)>0g (x )＝11－x ＝－1x －＝2x 在(1，＋∞)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递增，所以函数x)，f(x)＝§2.7函数的图象1.掌握常见函数的图象(如一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、三角函数、幂函数).2.会利用图象变换的知识作出一些简单函数的图象.3.会求经过某种变换后所得图象的函数表达式.4.会运用基本初等函数的图象分析函数的性质.图象是函数的重要表现形式，数形结合是研究函数的重要技巧与方法.在历年高考中，都有直接或间接考查函数图象的题目出现.1.作函数的图象有两种基本方法：(1)利用描点法作图，其一般步骤为：①确定函数定义域；②化简函数解析式；③讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、最值等)；④描点并作出函数图象.(2)图象变换法.2.图象变换的四种形式(1)平移变换①水平平移：y＝f(x)的图象向左平移a(a＞0)个单位长度，得到________的图象；y＝f(x－a)(a＞0)的图象可由y＝f(x)的图象向________平移a个单位长度而得到.②竖直平移：y＝f(x)的图象向上平移b(b＞0)个单位长度，得到________的图象；y＝f(x)－b(b＞0)的图象可由y＝f(x)的图象向________平移b个单位长度而得到.总之，对于平移变换，记忆口诀为“左加右减，上加下减”.(2)对称变换①y＝f(－x)，y＝－f(x)，y＝－f(－x)三个函数的图象与y＝f(x)的图象分别关于、、对称；②若对定义域内的一切x均有f(m＋x)＝f(m－x)，则y＝f(x)的图象关于直线对称.(3)伸缩变换①要得到y＝Af(x)(A>0)的图象，可将y＝f(x)的图象上每点的纵坐标伸(A>1时)或缩(A<1时)到原来的；②要得到y＝f(ax)(a>0)的图象，可将y＝f(x)的图象上每点的横坐标伸(a<1时)或缩(a>1时)到原来的.(4)翻折变换①y＝|f(x)|的图象作法：作出y＝f(x)的图象，将图象位于x轴下方的部分以x轴为对称轴翻折到x轴上方，上方的部分不变；②y＝f(|x|)的图象作法：作出y＝f(x)在y轴右边的图象，以y轴为对称轴将其翻折到左边得y＝f(|x|)在y 轴左边的图象，右边的部分不变.【自查自纠】2.(1)①y＝f(x＋a)右②y＝f(x)＋b下(2)①y轴x轴原点②x＝m(3)①A倍②1a倍(2013·福建)函数f(x)＝ln()x2＋1的图象大致是()解：由函数解析式可知f(x)＝f(－x)，即函数为偶函数，排除C；由函数图象过(0，0)点，排除B，D.故选A.函数f(x)＝2x＋2－x的图象()解：令x ＝2，则y ＝－f (2－x )＝－f (0)项可排除，令x ＝1，则y ＝－f (2－x )＝－可排除A ，C 项，故选B.若将函数y ＝f (x )的图象向左平移再沿y 轴对折，得到y ＝lg(x ＋1)的图象，则 .解：把y ＝lg(x ＋1)的图象沿y 轴对折得到y ＝lg(－x ＋1)的图象，再将图象向右平移得y ＝lg[－(x －2)＋1]＝lg(3－x )的图象．∴f (x )＝lg(3－x )，故填lg (3－x )．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋b ，x ＜0，log c ⎝⎛⎭⎫x ＋116，x ≥0 的图象如图所示，则abc ＝ .解：依图象有⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2，－a ＋b ＝0，log c116＝2.得a ＝(1)y ＝|x (2)y ＝|log (3)y ＝2(1)＝log 2x 的图象，然后向左平移轴下方的图象沿x 轴对折，图(3)函数的解析式为y ＝2x －1x ＋1＝2①本题中(2)(3)的函数的图象是由基本函数通过变换得到的，因此可先作最基本的函数的图象，伸缩、对称等变换作出待作函数的图象；②变换法作函数的图象是经常用到的一种作图方法，在作图时，应注意先作出图象的关键点和关键线(如对称轴、渐近线等函数奇偶性与基本函数图象的特征作图，也是常用方作出下列函数的图象：x －1－1＝2（x －1）＋1x －1.－∞，1)∪(1，＋∞)．的图象向右平移1个单位得＝1x －1的图象向上平移2个单位可得的图象．类型二识图2012·山东)函数y ＝cos6x2x －2 )解：令f (x )＝cos6x2x －2－x，由f (－x )＝－f (x )知f (x )为奇 )解：由3x－1≠0，得x ≠0，可排除A ；当x ＜0，可排除B ；当x 趋近于＋∞时，y 趋近于0.可排故选C.类型三用图设a 为实数，且1＜x ＜3，试讨论关于的方程x 2－5x ＋3＋a ＝0的实数解的个数.解：原方程即a ＝－x 2＋5x －3.分别作出函数y ＝－x 2＋5x －3＝－⎝⎛⎭⎫x －522＋1343)和y ＝a 的图象，得a ＞134或a ≤1时，原方程的实数解的个数为a ＝134或1＜a ≤3时，原方程的实数解的个数3＜a ＜134时，原方程的实数解的个数为2.＝x3＋x的零点依次为小顺序为(A．b>cC．a>b合理处理识图题与用图题对于给定的图象，要能从图象的左、右、上、下分布的范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性、最大值、最函数图象形象地显示了函数的性质，为研究数量”的直观性，它是探求解题途径，使问题成功获解的重要依托.函数图象主要应用于以下方面：①求函数的解析式；②求函数的定义域；③求函数的值域；④求函数⑤判断函数的奇偶性；⑥求函数的单调区间；⑦解不等式；⑧证明不等式；⑨探求关于方程根的分布问题；⑩比较大小；⑪求函数周期.图象对称性的证明证明函数的对称性，即证明其图象上的任意一或对称轴)的对称点仍在图象上与C2的对称性，即证明或对称轴)的对称点在研究函数的图象必须与函数的性质有机结合起的完美结合，不要将二者割裂易知函数y＝e21x-为偶函数，因此排除e21x-＞0，故排除D.故选C.f(x)＝x－cos x，则方程f(x)＝0在[0上的实根个数是()．没有实根．有且仅有一个实根．有且仅有两个实根．有无穷多个实根令f(x)＝x－cos x＝0，即x＝cos x，画出函和y＝cos x的图象(如图)，函数y＝x与函数的图象仅在x＝α⎝⎛⎭⎫0<α<π2处有一个交点．把函数y＝log2(x－1)的图象上各点的横坐标缩短到原来的12倍，再向右平移12个单位长度所得图象的)＝log2(2x＋1) B．y＝log2(2x＋＝log2(2x－1) D．y＝log2(2x－把函数y＝log2(x－1)图象上各点的横坐标缩短到原来的12倍，得到y＝log2(2x－1)的图象，再向右单位长度，所得函数的解析式为⎦⎤⎭⎫12－1＝log2(2x－2)．故选D.y＝2-|x-1|－m的图象与x轴有交点时，取值范围是()。

2015年高考数学(理)核按钮：第四章《基本初等函数(Ⅱ)》(含解析)

第四章三角函数(基本初等函数(Ⅱ))§4.1 弧度制及任意角的三角函数1．了解任意角的概念．2．了解弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化．3．理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义．本节内容是整个三角函数部分的基础，主要考查三角函数的概念，三角函数值在各象限的符号，利用三角函数线比较三角函数值的大小等，一般不单独设题，主要是与三角函数相关的知识相结合来考查．1．任意角 (1)角的概念角可以看成平面内一条____________绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．我们规定：按____________方向旋转形成的角叫做正角，按____________方向旋转形成的角叫做负角．如果一条射线没有作任何旋转，我们称它形成了一个____________．(2)象限角使角的顶点与____________重合，角的始边与x 轴的____________重合．角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角．①α是第一象限角可表示为⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|2k π<α<2k π＋π2，k ∈Z ；②α是第二象限角可表示为；③α是第三象限角可表示为； ④α是第四象限角可表示为． (3)非象限角如果角的终边在上，就认为这个角不属于任何一个象限．①终边在x 轴非负半轴上的角的集合可记作{α|α＝2k π，k ∈Z }；②终边在x 轴非正半轴上的角的集合可记作_________________________________________；③终边在y 轴非负半轴上的角的集合可记作_________________________________________； ④终边在y 轴非正半轴上的角的集合可记作_________________________________________； ⑤终边在x 轴上的角的集合可记作_________________________________________； ⑥终边在y 轴上的角的集合可记作_________________________________________； ⑦终边在坐标轴上的角的集合可记作_________________________________________； (4)终边相同的角所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S ＝________________________.2．弧度制(1)把长度等于____________的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad 表示，读作弧度．||α＝，l 是半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长．(2)弧度与角度的换算：360°＝________rad ，180°＝________rad ，1°＝ rad≈0.01745rad ，反过来1rad ＝ ≈57.30°＝57°18′.(3)若圆心角α用弧度制表示，则弧长公式l ＝_______；扇形面积公式S 扇＝＝．3．任意角的三角函数(1)任意角的三角函数的定义设α是一个任意角，它的终边上任意一点P (x ，y )与原点的距离为r (r >0)，则sin α＝，cos α＝，tan α＝ (x ≠0)．※cot α＝x y (y ≠0)，sec α＝r x (x ≠0)，csc α＝ry (y ≠0)．(3)三角函数值在各象限的符号sin α cos α tan α4．三角函数线如图，角α的终边与单位圆交于点P .过点P 轴的垂线，垂足为M ，过点A (1，0)作单位圆的切线，设它与α的终边(当α为第一、四象限角时)或其反向延长线(当α为第二、三象限角时)相交于点T .根据三角函数的定义，有OM ＝x ＝________，MP ＝________，AT ＝＝________.像OM ，MP 这种被看作带有方向的线段，叫做有向线段，这三条与单位圆有关的有向线段MP ，OM ，AT ，分别叫做α的、、，统称为三角函数线．．特殊角的三角函数值30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 270°sin15°＝6－24，sin75°＝6＋24，tan15°3，tan75°＝2＋3，由余角公式易求15°，75°的余弦值和余切值．【自查自纠】．(1)射线逆时针顺时针零角原点非负半轴⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|2k π＋π2<α<2k π＋π，k ∈Z③⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|2k π＋π<α<2k π＋32π，k ∈Z④⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|2k π＋32π<α<2k π＋2π，k ∈Z 或{α|2k π－π2<α<2k π，k ∈Z }(3)坐标轴②{}α|α＝2k π＋π，k ∈Z③⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|α＝2k π＋π2，k ∈Z④⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|α＝2k π＋32π，k ∈Z ⑤{α|α＝k π，k ∈Z }⑥⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|α＝k π＋π2，k ∈Z ⑦⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|α＝k π2，k ∈Z(4){β|β＝α＋2k π，k ∈Z }或{β|β＝α＋k ·360°，k ∈Z } 2．(1)半径长 l r (2)2π π π180 ⎝⎛⎭⎫180π°(3)||αr12||αr 2 12lr 3．(1)y r x r yx(2)①R ②R ③⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|α≠k π＋π2，k ∈Z4．cos α sin α yx tan α 正弦线余弦线正切线与－463°终边相同的角的集合是( )。

2015届高考数学(文)二轮专题课件：1.2函数、基本初等函数的图象与性质

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主干考错，在实际判断中
可熟记口诀：左加右减．
而对于上、下平移变换，相比较则容易掌握，原则是：
上加下减，但要注意的是加、减指的是在f(x)整体上．
②对称变换(在f(－x)有意义的前提下)．关于y轴对称； a．y＝f(－x)与y＝f(x)的图象________ 关于x轴对称； b．y＝－f(x)与y＝f(x)的图象________
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主干考点梳理 ②奇函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上的相同单调性 __________ ，且在 x ＝ 0 处有定义时必有 f(0) ＝
0 原点． ________ ，即f(x)的图象过________
③偶函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上的
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相反．单调性________
随堂讲义· 第一部分
知识复习专题
专题一集合、常用逻辑用语、函数与导数
第二讲
函数、基本初等函数的图象与性质
函数的图象与性质历来是高考的重点，也是热点，一般以选择题或填空题的形式考查．对于函数图
象的考查体现在两个方面：一是识图；二是用图，即
通过函数的图象，通过数形结合的思想方法解决问题，对于函数的性质，主要考查函数单调性、奇偶性、周期性，也可能考查求函数的定义域和简单函数的值域、最值问题．
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立，则f(x)在D上________ 单调递减．
主干考点梳理
(2)最值：设函数y＝f(x)的定义域为I，
①如果存在实数M满足：对任意的x∈I，都有
f(x)≤M 且存在x 0∈I ，使得 f(________ x0)＝M ，那么称M是函 ________ ______

高三数学一轮复习必备精品4：基本初等函数【高三数学一轮复习必备精品共42讲全部欢迎下载】

第4讲基本初等函数备注：【高三数学一轮复习必备精品共42讲全部免费欢迎下载】一．【课标要求】 1．指数函数（1）通过具体实例（如细胞的分裂，考古中所用的14C 的衰减，药物在人体内残留量的变化等），了解指数函数模型的实际背景；（2）理解有理指数幂的含义，通过具体实例了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算。

（3）理解指数函数的概念和意义，能借助计算器或计算机画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点；（4）在解决简单实际问题的过程中，体会指数函数是一类重要的函数模型 2．对数函数（1）理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；通过阅读材料，了解对数的发现历史以及对简化运算的作用；（2）通过具体实例，直观了解对数函数模型所刻画的数量关系，初步理解对数函数的概念，体会对数函数是一类重要的函数模型；能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点；3．知道指数函数x a y =与对数函数x y a log =互为反函数（a ＞0，a ≠1）。

4.幂函数（1）了解幂函数的概念（2）结合函数y=x, ,y=x 2, y=x 3,y=x 21,y=x1的图象，了解它们的变化情况二．【命题走向】指数函数、对数函数、幂函数是三类常见的重要函数，在历年的高考题中都占据着重要的地位。

从近几年的高考形势来看，对指数函数、对数函数、幂函数的考查，大多以基本函数的性质为依托，结合运算推理，能运用它们的性质解决具体问题。

为此，我们要熟练掌握指数、对数运算法则，明确算理，能对常见的指数型函数、对数型函数进行变形处理。

预测2010年对本节的考察是： 1．题型有两个选择题和一个解答题；2．题目形式多以指数函数、对数函数、幂函数为载体的复合函数来考察函数的性质。

同时它们与其它知识点交汇命题，则难度会加大三．【要点精讲】1．指数与对数运算（1）根式的概念：①定义：若一个数的n 次方等于),1(*∈>N n n a 且，则这个数称a 的n 次方根。

2015高三理科第一轮复习归纳《基本初等函数》

2015高三理科第一轮复习归纳《基本初等函数》班级：姓名：号数：成绩：函数的定义域与值域1、函数y＝1x＋log2(x＋3)的定义域是( )A、RB、(－3，＋∞)C、(－∞，－3)D、(－3,0)∪(0，＋∞)2、函数()f x=的定义域为（）A、(30]-，B、(31]-，C、(,3)(3,0]-∞--D、(,3)(3,1]-∞--3、函数lg(1)()1xf xx+=-的定义域是（）A、(1,)-+∞B、[1,)-+∞C、(1,1)(1,)-+∞D、[1,1)(1,)-+∞4、函数1()ln(1)f xx=++）A、[2,0)(0,2]- B、(1,0)(0,2]- C、[2,2]- D、(1,2]-5、设⎩⎨⎧<>=)0(,3)0(log)(3xxxxfx，则)]3([-ff等于 ( ) A、3 B、3- C、31D、1-6、已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x＋2，x≤－1，x2，－1<x<2.若f(a)＝3，则a的取值个数是( )A、1B、2C、3D、47、函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－x2，(0≤x≤3)x2＋6x(－2≤x≤0)的值域是（）A、RB、[1，＋∞)C、[－8,1]D、[－9,1]8、定义运算：⎩⎨⎧>≤=*babbaaba,,,如121=*，则函数xxxf-*=22)(的值域为（）A、RB、()+∞,0 C、(]1,0D、[)+∞,19、已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧log2x，(x>0)3x，(x≤0)则f⎣⎡⎦⎤f⎝⎛⎭⎫14的值是______10、函数)0)(1(2)(2<-++-=aaaxxxf在区间]1,0[上有最大值2，则a=_____11、函数()f x=⎩⎨⎧<->,1.0,xx则()f x为（）A、偶函数B、奇函数C、既是奇函数又是偶函数D、既不是奇函数又不是偶函数12、已知函数f(x)＝(m－1)x2＋2mx＋3是偶函数，则f(x)在(－5，－2)上是( )A、增函数B、减函数C、不具有单调性D、单调性由m确定13、若奇函数f(x)在[a，b](a，b>0)上是增函数，且最小值是1，则f(x)在[－b，－a]上是( )A、增函数且最小值是－1B、增函数且最大值是－1C、减函数且最小值是－1D、减函数且最大值是－114、已知函数()f x 为奇函数,且当0x >时, ()21,f x x x=+ ,则()1f -=（） A 、2- B 、0 C 、1 D 、215、已知偶函数f (x )在(－∞，－2]上是增函数，则下列关系式中成立的是( )A ．f (－72)<f (－3)<f (4)B ．f (－3)<f (－72)<f (4) C ．f (4)<f (－3)<f (－72) D ．f (4)<f (－72)<f (－3) 16、下列函数中，既是偶函数又在区间(0,)+∞上单调递减的是（）A 、1y x=B 、x y e -=C 、21y x =-+D 、lg ||y x = 17、已知()f x 是R 上最小正周期为2的周期函数，且当02x ≤<时，3()f x x x =-，则函数()y f x =在区间[]0,6上的图像与x 轴的交点个数为（）A 、6B 、7C 、8D 、918、若函数f (x )＝log a (2x ＋1)(a >0，且a ≠1)在区间⎝⎛⎭⎫－12，0内恒有f (x )>0，则f (x )的单调减区间是（） A 、⎝⎛⎭⎫－∞，－12 B 、⎝⎛⎭⎫－12，＋∞ C 、(－∞，0) D 、(0，＋∞) 19、已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，(x >0)2x ，(x ≤0)则满足f (x )<12的x 的取值范围是（） A 、((0，2)∪(－∞，－1) D 、(－∞，－1)∪(0,2)20，满足()=3f a ，则(5)f a -的值为（） A 、2log 3 B 、1 21（1）f (0)=0 （2）若f (x)在[)0+∞，上有最小值-1,f (x)在(-∞,0)上有最大值1.（3）f (x)在[1,+∞]上为增函数，则f (x)在(-∞,-1)上为减函数（4）x>0时，()22f x x x =-,则当x<0时，()22f xx x =--22、函数xx x f )21()(2-=的零点个数为（） A 、0 B 、1 C 、2 D 、323、函数f (x )＝ln(x ＋1)－2x的零点所在的大致区间是（） C 、(2，e) D 、(3,4)x x sin +的图象大致为（）25、函数y＝2－|x|的大致图象是（）26、函数y＝a x与y＝－log a x(a>0且a≠1)在同一坐标系中的图象可能是()解答题训练)＝log a(1－x)＋log a(x＋3)，(0<a<1)．（1）求函数f(x)的定义域；（2）若函数f(x)的最小值为－2，求a的值．28、已知定义在实数集R上的偶函数f(x)在区间[0，＋∞)上是单调增函数．（1）求证：函数f(x)在区间(－∞，0]上是单调减函数；（2）若f(1)<f(lg x)，求x的取值范围．29、已知函数f(x)＝x2＋2ax＋2，x∈[－5,5]．(1)当a＝－1时，求f(x)的最大值和最小值；(2)求实数a的取值范围，使y＝f(x)在区间[－5,5]上是单调函数．30、已知函数f(x)＝mx＋n1＋x2是定义在(－1,1)上的奇函数，且f(12)＝25.(1)求实数m，n的值；(2)用定义证明f(x)在(－1,1)上是增函数；(3)解关于t的不等式f(t－1)＋f(t)<0.31、已知a，b为常数，且a≠0，f(x)＝ax2＋bx，f(2)＝0，方程f(x)＝x有两个相等实根．(1)求函数f(x)的解析式；(2)当x∈[1,2]时，求f(x)的值域；(3)若F(x)＝f(x)－f(－x)，试判断F(x)的奇偶性，并证明你的结论．。

基本初等函数知识点

基本初等函数知识点在数学的世界里，基本初等函数就像是构建高楼大厦的基石，它们是我们解决各种数学问题的基础工具。

接下来，就让我们一起深入了解一下这些重要的基本初等函数。

首先，我们来认识一下常函数。

常函数的表达式为 f(x) ＝ C，其中C 是一个常数。

这意味着无论 x 取何值，函数的值都保持不变。

比如f(x) ＝ 5，无论 x 是 1、2 还是－100，函数值始终是 5。

常函数的图像就是一条平行于 x 轴的直线。

接下来是幂函数。

幂函数的一般形式是 f(x) ＝x^α ，其中α 是一个常数。

当α 为正整数时，幂函数的性质会有所不同。

比如，当α ＝ 1 时，f(x) ＝ x 就是我们最常见的一次函数，它的图像是一条过原点的直线。

当α ＝ 2 时，f(x) ＝ x²是一个二次函数，它的图像是一个开口向上的抛物线。

而当α 为负数时，情况又会有所变化。

指数函数也是基本初等函数中的重要一员，其表达式为 f(x) ＝ a^x ，（a ＞ 0 且a ≠ 1）。

指数函数的特点是当 a ＞ 1 时，函数值随着 x 的增大而迅速增大；当 0 ＜ a ＜ 1 时，函数值随着 x 的增大而迅速减小。

比如 f(x) ＝ 2^x ，当 x 从 0 增加到 1 时，函数值从 1 增加到 2；当 x 从1 增加到2 时，函数值从 2 增加到 4，增长速度越来越快。

指数函数的图像恒过点（0, 1)。

对数函数与指数函数密切相关，它是指数函数的反函数。

对数函数的一般形式是 f(x) ＝logₐ x （a ＞ 0 且a ≠ 1）。

当 a ＞ 1 时，对数函数在定义域上是单调递增的；当 0 ＜ a ＜ 1 时，对数函数在定义域上是单调递减的。

例如，f(x) ＝ log₂ x ，当 x 从 1 增加到 2 时，函数值从 0 增加到 1；当 x 从 2 增加到 4 时，函数值从 1 增加到 2，增长速度逐渐变慢。

对数函数的图像恒过点（1, 0)。

2015年高考数学总复习(人教A版,理科)配套教案：第二章函数与基本初等函数I 2.5

§2.5 指数与指数函数1．分数指数幂(1)规定：正数的正分数指数幂的意义是a m n＝na m (a >0，m ，n ∈N *，且n >1)；正数的负分数指数幂的意义是a －m n ＝1na m (a >0，m ，n ∈N *，且n >1)；0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义．(2)有理指数幂的运算性质：a r a s ＝a r ＋s ，(a r )s ＝a rs ，(ab )r ＝a r b r ，其中a >0，b >0，r ，s ∈Q . 2．指数函数的图象与性质1．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)(4(－4))4＝－4.( × ) (2)(－1)24＝(－1)12＝－1.( × ) (3)函数y ＝a －x 是R 上的增函数．( × ) (4)函数y ＝ax 2＋1(a >1)的值域是(0，＋∞)． ( × ) (5)函数y ＝2x－1是指数函数．( × )(6)函数y ＝(14)1－x 的值域是(0，＋∞)．( √ ) 2．若a ＝(2＋3)－1，b ＝(2－3)－1，则(a ＋1)－2＋(b ＋1)－2的值是( )A ．1 B.14 C.22D.23答案 D解析 a ＝(2＋3)－1＝2－3，b ＝(2－3)－1＝2＋3， ∴(a ＋1)－2＋(b ＋1)－2＝(3－3)－2＋(3＋3)－2＝112－63＋112＋63＝23. 3．设函数f (x )＝a－|x |(a >0，且a ≠1)，f (2)＝4，则( )A ．f (－2)>f (－1)B ．f (－1)>f (－2)C ．f (1)>f (2)D ．f (－2)>f (2)答案 A解析 ∵f (x )＝a －|x |(a >0，且a ≠1)，f (2)＝4，∴a －2＝4，∴a ＝12，∴f (x )＝⎝⎛⎭⎫12－|x |＝2|x |，∴f (－2)>f (－1)．4．若函数y ＝(a 2－1)x 在(－∞，＋∞)上为减函数，则实数a 的取值范围是__________．答案 (－2，－1)∪(1，2)解析由y ＝(a 2－1)x 在(－∞，＋∞)上为减函数，得0<a 2－1<1，∴1<a 2<2，即1<a <2或－2<a <－1.5．已知0≤x ≤2，则y ＝4x －12－3·2x ＋5的最大值为________．答案 52解析令t ＝2x ，∵0≤x ≤2，∴1≤t ≤4，又y ＝22x －1－3·2x ＋5，∴y ＝12t 2－3t ＋5＝12(t －3)2＋12， ∵1≤t ≤4，∴t ＝1时，y max ＝52.题型一指数幂的运算例1 化简：(2)(－278)32-＋(0.002)21-－10(5－2)－1＋(2－3)0.思维启迪运算中可先将根式化成分数指数幂，再按照指数幂的运算性质进行运算．思维升华 (1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，但应注意：①必须同底数幂相乘，指数才能相加；②运算的先后顺序． (2)当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数．(3)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数．(1)化简416x 8y 4(x <0，y <0)得( )A ．2x 2yB ．2xyC ．4x 2yD ．－2x 2y答案 (1)D (2)85题型二指数函数的图象、性质例2 (1)函数f (x )＝a x－b的图象如图所示，其中a ，b 为常数，则下列结论正确的是( )A ．a >1，b <0B ．a >1，b >0C ．0<a <1，b >0D ．0<a <1，b <0(2)若函数f (x )＝e －(x －μ)2 (e 是自然对数的底数)的最大值是m ，且f (x )是偶函数，则m ＋μ＝________.思维启迪对于和指数函数的图象、性质有关的问题，可以通过探求已知函数和指数函数的关系入手．答案 (1)D (2)1解析 (1)由f (x )＝a x －b 的图象可以观察出函数f (x )＝a x －b 在定义域上单调递减，所以0<a <1.函数f (x )＝a x －b 的图象是在f (x )＝a x 的基础上向左平移得到的，所以b <0. (2)由于f (x )是偶函数，所以f (－x )＝f (x )，即e －(－x －μ)2＝e －(x －μ)2，∴(x ＋μ)2＝(x －μ)2，∴μ＝0， ∴f (x )＝e －x 2.又y ＝e x 是R 上的增函数，而－x 2≤0， ∴f (x )的最大值为e 0＝1＝m ，∴m ＋μ＝1.思维升华 (1)与指数函数有关的函数的图象的研究，往往利用相应指数函数的图象，通过平移、对称变换得到其图象．(2)对复合函数的性质进行讨论时，要搞清复合而成的两个函数，然后对两层函数分别进行研究．(1)函数y ＝e x ＋e －xe x －e－x 的图象大致为( )(2)若函数f (x )＝a x －1(a >0且a ≠1)的定义域和值域都是[0,2]，则实数a ＝________. 答案 (1)A (2) 3解析 (1)y ＝e x ＋e －x e x －e －x ＝1＋2e 2x －1，当x >0时，e 2x －1>0，且随着x 的增大而增大，故y ＝1＋2e 2x －1>1随着x 的增大而减小，即函数y 在(0，＋∞)上恒大于1且单调递减．又函数y 是奇函数，故只有A 正确．(2)当a >1时，x ∈[0,2]，y ∈[0，a 2－1]，∴a 2－1＝2，即a ＝ 3.当0<a <1时，x ∈[0,2]，y ∈[a 2－1,0]，此时定义域与值域不一致，无解．综上，a ＝ 3. 题型三指数函数的应用例3 (1)k 为何值时，方程|3x －1|＝k 无解？有一解？有两解？(2)已知定义在R 上的函数f (x )＝2x －12|x |.①若f (x )＝32，求x 的值；②若2t f (2t )＋mf (t )≥0对于t ∈[1,2]恒成立，求实数m 的取值范围．思维启迪方程的解的问题可转为函数图象的交点问题；恒成立可以通过分离参数求最值或值域来解决．解 (1) 函数y ＝|3x －1|的图象是由函数y ＝3x 的图象向下平移一个单位后，再把位于x 轴下方的图象沿x 轴翻折到x 轴上方得到的，函数图象如图所示．当k <0时，直线y ＝k 与函数y ＝|3x －1|的图象无交点，即方程无解；当k ＝0或k ≥1时，直线y ＝k 与函数y ＝|3x －1|的图象有唯一的交点，所以方程有一解；当0<k <1时，直线y ＝k 与函数y ＝|3x －1|的图象有两个不同的交点，所以方程有两解． (2)①当x <0时，f (x )＝0，无解；当x ≥0时，f (x )＝2x －12x ，由2x －12x ＝32，得2·22x －3·2x －2＝0，看成关于2x 的一元二次方程，解得2x ＝2或－12，∵2x >0，∴x ＝1.②当t ∈[1,2]时，2t ⎝⎛⎭⎫22t －122t ＋m ⎝⎛⎭⎫2t －12t ≥0，即m (22t －1)≥－(24t －1)，∵22t －1>0，∴m ≥－(22t ＋1)， ∵t ∈[1,2]，∴－(22t ＋1)∈[－17，－5]，故m 的取值范围是[－5，＋∞)．思维升华对指数函数的图象进行变换是利用图象的前提，方程f (x )＝g (x )解的个数即为函数y ＝f (x )和y ＝g (x )图象交点的个数；有关复合函数问题的关键是通过换元得到两个新的函数，搞清复合函数的结构．设函数f (x )＝ka x －a －x (a >0且a ≠1)是定义域为R 的奇函数．(1)若f (1)>0，试求不等式f (x 2＋2x )＋f (x －4)>0的解集；(2)若f (1)＝32，且g (x )＝a 2x ＋a －2x －4f (x )，求g (x )在[1，＋∞)上的最小值．解因为f (x )是定义域为R 的奇函数，所以f (0)＝0，所以k －1＝0，即k ＝1.(1)因为f (1)>0，所以a －1a >0，又a >0且a ≠1，所以a >1.因为f ′(x )＝a x ln a ＋a －x ln a ＝(a x ＋a －x )ln a >0，所以f (x )在R 上为增函数，原不等式可化为f (x 2＋2x )>f (4－x )，所以x 2＋2x >4－x ，即x 2＋3x －4>0，所以x >1或x <－4.所以不等式的解集为{x |x >1或x <－4}．(2)因为f (1)＝32，所以a －1a ＝32，即2a 2－3a －2＝0，所以a ＝2或a ＝－12(舍去)．所以g (x )＝22x ＋2－2x －4(2x －2－x )＝(2x －2－x )2－4(2x －2－x )＋2. 令t (x )＝2x －2－x (x ≥1)，则t (x )在(1，＋∞)为增函数(由(1)可知)，即t (x )≥t (1)＝32，所以原函数为ω(t )＝t 2－4t ＋2＝(t －2)2－2，所以当t ＝2时，ω(t )min ＝－2，此时x ＝log 2(1＋2)．即g (x )在x ＝log 2(1＋2)时取得最小值－2.换元法解决与指数函数有关的值域问题典例：(10分)(1)函数y ＝(12)x 2＋2x －1的值域是( )A ．(－∞，4)B ．(0，＋∞)C ．(0,4]D ．[4，＋∞) (2)函数y ＝(14)x －(12)x ＋1在x ∈[－3,2]上的值域是________．解析 (1)设t ＝x 2＋2x －1，则y ＝(12)t .因为t ＝(x ＋1)2－2≥－2，y ＝(12)t 为关于t 的减函数，所以0<y ＝(12)t ≤(12)－2＝4，故所求函数的值域为(0,4]．(2)因为x ∈[－3,2]，若令t ＝(12)x ，则t ∈[14，8]．则y ＝t 2－t ＋1＝(t －12)2＋34.当t ＝12时，y min ＝34；当t ＝8时，y max ＝57.所以所求函数值域为[34，57]．答案 (1)C (2)[34，57]温馨提醒和指数函数有关的值域或最值问题，通常利用换元法，将其转化为两个基本初等函数的单调性或值域问题，注意换元过程中“元”的取值范围的变化.方法与技巧1．判断指数函数图象上底数大小的问题，可以先通过令x ＝1得到底数的值再进行比较． 2．指数函数y ＝a x (a >0，a ≠1)的性质和a 的取值有关，一定要分清a >1与0<a <1.3．对和复合函数有关的问题，要弄清复合函数由哪些基本初等函数复合而成．失误与防范1．恒成立问题一般与函数最值有关，要与方程有解区别开来． 2．复合函数的问题，一定要注意函数的定义域．3．对可化为a 2x ＋b ·a x ＋c ＝0或a 2x ＋b ·a x ＋c ≥0 (≤0)形式的方程或不等式，常借助换元法解决，但应注意换元后“新元”的范围.A 组专项基础训练一、选择题1．函数y ＝a x －a (a >0，且a ≠1)的图象可能是( )答案 C解析当x ＝1时，y ＝0，故函数y ＝a x －a (a >0，且a ≠1)的图象必过点(1,0)，显然只有C 符合． 2．已知a ＝5－12，函数f (x )＝a x ，若实数m 、n 满足f (m )>f (n )，则m 、n 的关系为( ) A ．m ＋n <0 B ．m ＋n >0 C ．m >nD ．m <n答案 D 解析 ∵0<5－12<1，∴f (x )＝a x ＝(5－12)x ，且f (x )在R 上单调递减，又∵f (m )>f (n )，∴m <n ，故选D.3．若函数f (x )＝a |2x －4|(a >0，a ≠1)，满足f (1)＝19，则f (x )的单调递减区间是( )A ．(－∞，2]B ．[2，＋∞)C ．[－2，＋∞)D ．(－∞，－2]答案 B解析由f (1)＝19得a 2＝19，∴a ＝13(a ＝－13舍去)，即f (x )＝(13)|2x －4|.由于y ＝|2x －4|在(－∞，2]上递减，在[2，＋∞)上递增，所以f (x )在(－∞，2]上递增，在[2，＋∞)上递减．故选B.4．若存在负实数使得方程2x －a ＝1x －1成立，则实数a 的取值范围是( )A ．(2，＋∞)B ．(0，＋∞)C ．(0,2)D ．(0,1)答案 C解析在同一坐标系内分别作出函数y ＝1x －1和y ＝2x －a 的图象知，当a ∈(0,2)时符合要求．5．已知实数a ，b 满足等式2 014a ＝2 015b ，下列五个关系式：①0<b <a ；②a <b <0；③0<a <b ；④b <a <0；⑤a ＝b .其中不可能成立的关系式有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个答案 B解析设2 014a ＝2 015b ＝t ，如图所示，由函数图象，可得 (1)若t >1，则有a >b >0； (2)若t ＝1，则有a ＝b ＝0； (3)若0<t <1，则有a <b <0.故①②⑤可能成立，而③④不可能成立．二、填空题7．若指数函数y ＝a x 在[－1,1]上的最大值与最小值的差是1，则底数a ＝________.答案 5±12解析若0<a <1，则a －1－a ＝1，即a 2＋a －1＝0，解得a ＝－1＋52或a ＝－1－52(舍去)．若a >1，则a －a －1＝1，即a 2－a －1＝0，解得a ＝1＋52或a ＝1－52(舍去)．综上所述a ＝5±12.8．若函数f (x )＝a x －x －a (a >0，且a ≠1)有两个零点，则实数a 的取值范围是________．答案 (1，＋∞)解析令a x －x －a ＝0即a x ＝x ＋a ，若0<a <1，显然y ＝a x 与y ＝x ＋a 的图象只有一个公共点；若a >1，y ＝a x 与y ＝x ＋a 的图象如图所示有两个公共点．三、解答题9．已知函数f (x )＝b ·a x (其中a ，b 为常量且a >0，a ≠1)的图象经过点A (1,6)，B (3,24)． (1)试确定f (x )；(2)若不等式(1a )x ＋(1b )x －m ≥0在x ∈(－∞，1]上恒成立，求实数m 的取值范围．解 (1)∵f (x )＝b ·a x 的图象过点A (1,6)，B (3,24)，∴⎩⎪⎨⎪⎧b ·a ＝6， ①b ·a 3＝24， ②②÷①得a 2＝4，又a >0且a ≠1，∴a ＝2，b ＝3，∴f (x )＝3·2x .(2)由(1)知(1a )x ＋(1b )x －m ≥0在(－∞，1]上恒成立化为m ≤(12)x ＋(13)x 在(－∞，1]上恒成立．令g (x )＝(12)x ＋(13)x ，则g (x )在(－∞，1]上单调递减，∴m ≤g (x )min ＝g (1)＝12＋13＝56，故所求实数m 的取值范围是(－∞，56]．10．设a >0且a ≠1，函数y ＝a 2x ＋2a x －1在[－1,1]上的最大值是14，求a 的值．解令t ＝a x (a >0且a ≠1)，则原函数化为y ＝(t ＋1)2－2 (t >0)．①当0<a <1时，x ∈[－1,1]，t ＝a x ∈⎣⎡⎦⎤a ，1a ，此时f (t )在⎣⎡⎦⎤a ，1a 上为增函数．所以f (t )max ＝f ⎝⎛⎭⎫1a ＝⎝⎛⎭⎫1a ＋12－2＝14. 所以⎝⎛⎭⎫1a ＋12＝16，所以a ＝－15或a ＝13. 又因为a >0，所以a ＝13.②当a >1时，x ∈[－1,1]，t ＝a x ∈⎣⎡⎦⎤1a ，a ，此时f (t )在⎣⎡⎦⎤1a ，a 上为增函数．所以f (t )max ＝f (a )＝(a ＋1)2－2＝14，解得a ＝3(a ＝－5舍去)．综上得a ＝13或3.B 组专项能力提升1．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x (x >0)，e x (x ≤0)，若F (x )＝f (x )＋x ，x ∈R ，则F (x )的值域为( )A ．(－∞，1]B ．[2，＋∞)C ．(－∞，1]∪[2，＋∞)D ．(－∞，1)∪(2，＋∞)答案 C解析当x >0时，F (x )＝1x＋x ≥2；当x ≤0时，F (x )＝e x ＋x ，根据指数函数与一次函数的单调性，F (x )是单调递增函数，F (x )≤F (0)＝1，所以F (x )的值域为(－∞，1]∪[2，＋∞)．2．若关于x 的方程|a x －1|＝2a (a >0且a ≠1)有两个不等实根，则a 的取值范围是( ) A ．(0,1)∪(1，＋∞) B ．(0,1)C ．(1，＋∞)D.⎝⎛⎭⎫0，12 答案 D解析方程|a x －1|＝2a (a >0且a ≠1)有两个实数根转化为函数y ＝|a x －1|与y ＝2a 有两个交点．①当0<a <1时，如图(1)，∴0<2a <1，即0<a <12.②当a >1时，如图(2)，而y ＝2a >1不符合要求．图(1) 图(2)综上，0<a <12.3．关于x 的方程⎝⎛⎭⎫32x ＝2＋3a5－a 有负数根，则实数a 的取值范围为__________．答案 ⎝⎛⎭⎫－23，34 解析由题意，得x <0，所以0<⎝⎛⎭⎫32x<1，从而0<2＋3a 5－a<1，解得－23<a <34.4．已知f (x )＝(1a x －1＋12)x 3(a >0且a ≠1)．(1)讨论f (x )的奇偶性；(2)求a 的取值范围，使f (x )>0在定义域上恒成立．解 (1)由于a x －1≠0，则a x ≠1，得x ≠0，所以函数f (x )的定义域为{x |x ∈R ，且x ≠0}．对于定义域内的任意x ，有f (－x )＝(1a －x －1＋12)(－x )3 ＝(a x 1－a x ＋12)(－x )3 ＝(－1－1a x －1＋12)(－x )3 ＝(1a x －1＋12)x 3＝f (x )． ∴f (x )是偶函数．(2)方法一当a >1时，对x >0，由指数函数的性质知a x >1，∴a x －1>0，1a x －1＋12>0. 又x >0时，x 3>0，∴x 3(1a x －1＋12)>0，即当x >0时，f (x )>0. 又由(1)知，f (x )为偶函数，故f (－x )＝f (x )，当x <0时，－x >0，有f (x )＝f (－x )>0.综上知当a >1时，f (x )>0在定义域内恒成立．当0<a <1时，f (x )＝(a x ＋1)x 32(a x －1). 当x >0时，1>a x >0，a x ＋1>0，a x －1<0，x 3>0，此时f (x )<0，不满足题意；又f (x )为偶函数，所以当x <0时，－x >0，f (x )＝f (－x )<0，也不满足题意．综上可知，a 的取值范围是a >1.方法二由(1)知f (x )为偶函数，∴只需讨论x >0时的情况．当x >0时，要使f (x )>0，即(1a x －1＋12)x 3>0，即1a x －1＋12>0，即a x ＋12(a x －1)>0，即a x －1>0，a x >1，a x >a 0.又∵x >0，∴a >1.∴当a >1时，f (x )>0.故a 的取值范围是a >1.5．已知定义在实数集R 上的奇函数f (x )有最小正周期2，且当x ∈(0,1)时，f (x )＝2x4x ＋1. (1)求函数f (x )在(－1,1)上的解析式；(2)判断f (x )在(0,1)上的单调性；(3)当λ取何值时，方程f (x )＝λ在(－1,1)上有实数解？解 (1)∵f (x )是x ∈R 上的奇函数，∴f (0)＝0.设x ∈(－1,0)，则－x ∈(0,1)，f (－x )＝2－x4－x ＋1＝2x4x ＋1＝－f (x )， ∴f (x )＝－2x4x ＋1， ∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －2x 4x ＋1， x ∈(－1，0)，0， x ＝0，2x4x ＋1， x ∈(0，1).(2)设0<x 1<x 2<1，f (x 1)－f (x 2)＝(2x 1－2x 2)＋(2x 1＋2x 2－2x 2＋2x 1)(4x 1＋1)(4x 2＋1)＝(2x 1－2x 2)(1－2x 1＋x 2)(4x 1＋1)(4x 2＋1)， ∵0<x 1<x 2<1，∴2x 1<2x 2, 2x 1＋x 2>20＝1，∴f (x 1)－f (x 2)>0，∴f (x )在(0,1)上为减函数．(3)∵f (x )在(0,1)上为减函数，∴2141＋1<f (x )<2040＋1，即f (x )∈(25，12)．同理，f (x )在(－1,0)上时，f (x )∈(－12，－25)．又f (0)＝0，当λ∈(－12，－25)∪(25，12)，或λ＝0时，方程f (x )＝λ在x ∈(－1,1)上有实数解．。

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