高二数学组合2
组合与组合数 同步练习——2022-2023学年高二数学人教B版(2019)选择性必修第二册
3.1.3 组合与组合数--2022-2023学年高二数学人教B版（2019）选择性必修第二册同步课时训练一、概念练习，，，，等5名学生进入学校劳动技能大赛决赛，并决出第一至第五名的名次（无并列1.A B C D E名次）.已知学生A和B都不是第一名也都不是最后一名，则这5人最终名次的不同排列有（）A.18种B.36种C.48种D.54种2.中国作为世界上最大的棉花生产国和消费国，棉田面积在40万公顷以上有7个，分别为新疆、，，，，共5位优秀学生分别前往新疆、湖北、河南、江苏、湖北、山东、河北、安徽．A B C D E，，不去河山东、河北考察，用实际行动支持中国棉花．其中每个地方至少有一位同学去，A B C，四个地方都能去，则不同的安排方案的种数是（）北但能去其他三个地方，D EA.240B.126C.78D.723.现有4位学生干部分管班级的三项不同的学生工作，其中每一项工作至少有一人分管且每人只能分管一项工作，则这4位学生干部不同的分管方案种数为( )A.18B.36C.72D.814.2 月 23 日,以“和合共生”为主题的 2021 世界移动通信大会在上海召开,中国5G规模商用实现了A B C D E五名工作人员到甲、乙、丙三快速发展. 为了更好地宣传5G，某移动通信公司安排,,,,个社区开展5G宣传活动, 每人只能去一个社区且每个社区至少安排一人, 则不同的安排方法种数为( )A. 80B. 120C. 150D. 1805.2022年北京冬奥会和冬残奥会给世界人民留下了深刻的印象，其吉祥物“冰墩墩”和“雪容融的设计好评不断，这是一次中国文化与奥林匹克精神的完美结合．为了弘扬奥林匹克精神，某学校安排甲、乙等5名志愿者将吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”安装在学校的体育广场，每人参与且只参与一个吉祥物的安装，每个吉祥物都至少由两名志愿者安装．若甲、乙必须安装不同的吉祥物，则不同的分配方案种数为（）A.8B.10C.12D.14二、能力提升6.在北京冬奥会期间，云顶滑雪公园的“冰墩墩”凭借着“‘冰墩墩’蹦迪‘冰墩墩’扫雪”等词条迅速出圈.比赛期间，每场比赛观众到场后，“冰墩墩”都会走上看台，结合现场的舞蹈表演、互动游戏，通过舞动肢体，做出各种可爱的造型，活跃现场气氛.云顶滑雪公园设置了3个“结束区”，共安排了甲、乙、丙、丁4名“冰墩墩”表演人员，每个“结束区”至少有1个“冰墩墩”表演，则可能的安排方式种数为( )A.18B.36C.72D.5767.重阳节是我国民间的传统节日.某校在重阳节当日安排6位学生到3所敬老院开展志愿服务活动，要求每所敬老院至少安排1人，则不同的分配方案种数是( )A.540B.564C.600D.720（多选）8.为了提高教学质量，省教育局派5位教研员去某地重点高中进行教学调研，现知该地有3所重点高中，则下列说法正确的有( )A.每个教研员只能去1所学校调研，则不同的调研方案有243种B.若每所重点高中至少去一位教研员，则不同的调研安排方案有150种C.若每所重点高中至少去一位教研员，则不同的调研安排方案有300种D.若每所重点高中至少去一位教研员，且甲､乙两位教研员不去同一所高中则不同的调研安排方案有有114种9.第24届冬奥会于2022年2月4日在中国北京市和张家口市联合举行.甲，乙等5名志愿者计划到高山滑雪、自由式滑雪、短道速滑和花样滑冰4个比赛区从事志愿者活动，则下列说法正确的有( )A.若短道速滑赛区必须安排2人，其余各安排1人，则有60种不同的方案B.若每个比赛区至少安排1人，则有240种不同的方案C.安排这5人排成一排拍照，若甲、乙相邻，则有42种不同的站法D.已知这5人的身高各不相同，若安排5人拍照，前排2人，后排3人，且后排3人中身高最高的站中间，则有40种不同的站法10.某大型商场有三个入口，春节过后，客流量大增，为做好防疫工作，拟增派6人去入口处为顾客测体温，则下列选项正确的是( )A. 若在正式上岗前，6个人自主选择去一个入口处进行观摩学习，则有216种不同的选择结果B. 若每个入口派2人，则有90种不同的选派方案C. 若两个入口各派1人，一个入口派4人，则有180种不同的选派方案D. 若一个入口派1人，一个入口派2人，一个入口派3人，则有360种不同的选派方案11.将16个完全相同的小球放入编号分别为1，2，3，4的四个盒子中，要求每个盒子中球的个数不小于它的编号，则不同的放法种数为________.12.某县为巩固脱贫攻坚的成果，选派4名工作人员到2个村进行调研，每个村至少安排一名工作人员，则不同的选派方式共有______种（用数字作答）.13.小红同学去买糖果，现只有四种不同口味的糖果可供选择，单价均为一元一颗，小红只有7元钱，要求钱全部花完且每种糖果都要买，则不同的选购方法共有______种.（用数字作答）14.回答下列问题（1）用0，2，4，6，8这五个数字可以组成多少个不同且无重复数字的四位数？（2）将5件不同的礼物分给甲1件，乙､丙各2件，试问有多少种不同的分配方法？15.男运动员6名，女运动员4名，其中男､女队长各1名.现选派5人外出参加比赛，在下列情形中各有多少种选派方法？（1）男运动员3名，女运动员2名；（2）队长中至少有1人参加；（3）既要有队长，又要有女运动员.答案以及解析1.答案：B解析：由题意, 甲、乙都不是第一名且不是最后一名; 故先排乙, 有 3 种情况; 再排甲, 有 2 种情况; 余下 3 人有 33A 种排法.故共有 333236A ⨯⨯= 种不同的情况. 故选： B . 2.答案：C解析：根据题意，分3种情况讨论：①A B C ，，三人中有2人分到同一组，②A B C ，，三人中一人与D E ，中一人分到同一组，③D E ，两人分到同一组，由加法原理计算可得答案．解：根据题意，要求每个地方至少有一位同学去，需要先将5人分为4组，即在5人中，有2人需要分到同一组， 分3种情况讨论：①A B C ，，三人中有2人分到同一组，有22233236C A A =种安排方法，②A B C ，，三人中一人与D E ，中一人分到同一组，有11332336C A A =种安排方法， ③D E 、两人分到同一组，有336A =种安排方法， 则有3636678++=种安排方法． 故选：C ． 3.答案：B解析：将四人分为三组有 246C - 种方案；分好的三组全排列，三项安排不同的学生有336A -种方案，根据分步计数原理知总共有 234336C A = 种方案.故选:B 4.答案：C解析：先将 ,,,,A B C D E 五名工作人员分成三组, 有两种情况, 分别为 “221++” 和 “113++”, 共有22125351222225 C C C C A A += 种不同的分法, 再将这三组分给甲、乙、丙三个社区开展 5G 宣传活动, 则不同的安排方法种数为3325150A =.5.答案：C解析：甲和乙必须安装不同的吉祥物, 则有 222A = 种情况,剩余 3 人分两组, 一组 1 人, 一组 2 人, 有233C =, 然后分配到参与两个吉祥物的安装,有2232 326C A =⨯=,则共有 2612⨯= 种, 故选: C. 6.答案：B解析：先分3组(1,1,2)，有24C 6=种分组的方案：再分配，有33A 种分配的方案，则可能的安排方式种数为2343C A 36=，故正确选项为B. 7.答案：A解析：根据题意，三所敬老院可能的分配有4，1，1；1，2，3；2，2，2三种情况；如果按4，1，1分配，则有4363C A 90=种； 若按1，2，3分配，则有12336533C C C A 360=种； 若按2，2，2分配，则有2223642333C C C A 90A ⨯=种， 所以共有9036090540++=种. 故选：A. 8.答案：ABD解析：对于A 选项，每位教研员有三所学校可以选择， 故不同的调研安排有53243=种，故A 正确；对于B ，C 选项，若每所重点高中至少去一位教研员，则可先将五位教研员分组，再分配，五位教研员的分组形式有两种：3，1，1；2，2，1， 分别有31152122C C C 10A =，22153122C C C 15A =种分组方法， 则不同的调研安排有()331015A 150+=种，故B 正确，C 错误； 对于D 选项，将甲、乙两位教研员看成一人，则每所重点高中至少去一位教研员，且甲、乙两位教研员去同一所高中的排法有2113421322C C C A 36A ⨯=种， 则甲、乙两位教研员不去同一所高中的排法有15036114-=种，D 正确. 故选：ABD. 9.答案：ABD解析：若短道速滑赛区必须安排2人，其余各安排1人，则先从5人中任选2人安排在短道速滑赛区，剩余3人在其余三个比赛区全排列，故有2353C A 60=种，A 正确； 若每个比赛区至少安排1人，则先将5人按“2，1，1，1”形式分成四组，再分配到四个岗位上，故有2454C A 240=种，B 正确；若甲、乙相邻，可把2人看成一个整体，与剩下的3人全排列，有44A 种排法，甲、乙两人相邻有22A 种排法，所以共有4242A A 48=种站法，C 错误； 前排有25A 种站法，后排3人中最高的站中间有22A 种站法，所以共有2252A A 40=种站法，D 正确. 故选：ABD. 10.答案：BD解析：A.每人各有3种选择，故有63729=（种）不同的选择结果，所以A 错误. B.每入口各两人，先从6人中抽取2人去第一个入口，有26C 种不同的选派方案；再从剩下的4人中抽取2人去第二个入口有24C 种不同的选派方案，剩下的人去第三个入口，所以共有226415690C C =⨯=（种）不同的选派方案，所以B 正确.C.两个入口各派1人，一个入口4人，则先从6人中抽取4人组合到一起，有 4 6C 种不同的方案；再把抽出的4人当成一个元素与另外2人全排，有33A 种方案，所以共有436315690C A =⨯=（种）不同的选派方案，所以C 错误.D.一入口1人，一入口2人，一入口3人，则先从6人中抽取1人，有16C 种不同的方案；再从剩下的5人中抽出2人组合到一起，有25C 种不同的方案；再把抽出的2人当成一个元素把剩下的3人当成一个元素和最开始抽出的人全排有33A 种方案，所以共有1236536106360C C A =⨯⨯=（种）不同的选派方案.所以D 正确故选：BD.11.答案：84解析：先在编号为1，2，3，4的四个盒子内分别放0，1，2，3个球，再将剩下的10个小球分成四份分别放入编号为1，2，3，4的盒子里.10个球之间有9个空隙，选出3个空隙放入隔板，所以有39C =84种放法. 故答案为：84. 12.答案：14解析：每个村选派2名工作人员的方式共有2242C C 6⋅=种方式， 一个村选派3名工作人员，另一个村选派1名工作人员共有3242C A 8⋅=种方式， 所以不同的选派方式共有6814+=种方式， 故答案为：14. 13.答案：20解析：由题得小红要买7颗糖果，把7颗糖果看作7个相同的小球，排成一横排，它们产生6个空位，从六个空位里选三个空位，插入三块隔板，隔板不能放在两端，共有36C 20=种方法，所以不同的选购方法共有20种.（如果这一横排为：小球，小球，隔板，小球，隔板，小球，小球，隔板，小球，小球，则代表第一种糖果买2颗，第二种糖果买1颗，第三种糖果买2颗，第四种糖果买2颗）.故答案为：20.14.答案：（1）96；（2）30种.解析：（1）第一步，千位数字有4种填法； 第二步，百位数字有4种填法； 第三步，十位数字有3种填法； 第四步，个位数字有2种填法，故这五个数字可以组成443296⨯⨯⨯=个不同且无重复数字的四位数. （2）先把1件礼物分给甲，有15C 种方法， 再从剩下的4件礼物中任选2件分给乙，有24C 种方法，最后剩下的2件分给丙， 所以一共有1254C C 30=种不同的分配方法. 15.答案：(1)3264C C 120⋅= (2)43882C C 196+= (3)444985C C C 191+-= 解析：(1)分两步完成：第一步，选3名男运动员，有36C 种选法；第二步，选2名女运动员，有24C 种选法.由分步乘法计数原理可得，共有3264C C 120⋅=(种)选法.(2)方法一(直接法)可分类求解：“只有男队长”的选法种数为48C ； “只有女队长”的选法种数为48C ； “男､女队长都入选”的选法种数为38C ， 所以共有43882C C 196+=(种)选法. 方法二(间接法)从10人中任选5人有510C 种选法，其中不选队长的方法有58C 种.所以“至少有1名队长”的选法有55108C C 196-=(种). (3)当有女队长时，其他人任意选，共有49C 种选法；当不选女队长时，必选男队长，共有48C 种选法，其中不含女运动员的选法有45C 种，所以不选女队长时的选法共有()4485C C -种.所以既要有队长又要有女运动员的选法共有444985C C C 191+-=(种).。
高二数学选修22知识点
高二数学选修22知识点
高二数学选修22知识点是高中数学选修课程的一部分，主要
涉及以下几个知识点：函数的概念与性质、指数函数与对数函数、三角恒等变换、三角函数与解三角形、数列与数学归纳法。
1. 函数的概念与性质
函数是一种特殊的关系，它将一个集合的每个元素与另一个集
合的唯一元素联系起来。
函数的性质包括定义域、值域、单调性、奇偶性以及其它特殊性质。
2. 指数函数与对数函数
指数函数是以指数为自变量的函数，对数函数是指数函数的反
函数。
指数函数和对数函数的性质与图像都有一些特殊的规律，
可以通过这些规律解决实际问题。
3. 三角恒等变换
三角恒等变换是指三角函数之间的一些等式关系，如正弦、余弦、正切函数的三角恒等变换。
利用这些恒等变换，可以简化三
角方程的求解步骤。
4. 三角函数与解三角形
三角函数是研究角与边的关系的一种函数，包括正弦、余弦、
正切等。
通过这些三角函数可以计算解三角形的各种边长和角度。
5. 数列与数学归纳法
数列是有规律的数字序列，可以用一个公式来表示。
数学归纳
法是一种证明数学命题的方法，可以用来证明一些关于数列的性质。
以上就是高二数学选修22知识点的简要介绍。
通过学习这些
知识点，我们可以更好地理解数学中的一些基本概念和原理，并
且能够应用它们解决实际问题。
数学的学习需要多做题、多实践，希望同学们能够在高中数学的学习中不断提高自己的数学水平，
掌握更多的数学知识。
高中排列组合知识点 高二数学选修2-3排列组合易错知识点总结
《高中排列组合知识点高二数学选修2-3排列组合易错知识点总结》摘要：()()()(+)!()!(规定0!)，()()!!(()!!);()();，()(+);!()!(!是阶乘);(两分别上标和下标)!;0!;(下标上标)排列组合是高二数学选修3教学重要容了助高二学生掌握排列组合容下面编给带高二数学选修3排列组合易错知识希望对你有助高二数学排列组合错知识排列组合问题依据是分类相加分步相乘有序排列无序组合排列组合问题规律是相邻问题捆绑法;不邻问题插空法;多排问题单排法;定位问题优先法;定序问题倍缩法;多元问题分类法;有序分配问题法;选取问题先排排法;至多至少问题接法二项式系数与展开式某项系数易混r+项二项式系数二项式系数项与展开式系数项易混二项式系数项项或两项;展开式系数项法要用不等式组确定r3你掌握了三种常见概率公式吗?(①等可能事件概率公式;②斥事件有发生概率公式;③相独立事件发生概率公式)分布列答题你能把步骤写全吗?5如何对总体分布进行估计?(用样估计总体是研究统计问题基思想方法般地样容量越这种估计就越精确要能画出频率分布表和频率分布直方图;理频率分布直方图矩形面积几何义)6你还记得般正态总体如何化标准正态总体吗?(对任正态总体说取值x概率其表示标准正态总体取值概率)高二数学选修3知识排列及计算公式从不元素任取()元素按照定顺序排成列叫做从不元素取出元素排列;从不元素取出()元素所有排列数叫做从不元素取出元素排列数用()表示()()()(+)!()!(规定0!)组合及计算公式从不元素任取()元素并成组叫做从不元素取出元素组合;从不元素取出()元素所有组合数叫做从不元素取出元素组合数用()表示()()!!(()!!);()();3其他排列与组合公式从元素取出r元素循环排列数(r)r!r(r)!元素被分成k类每类数分别是k这元素全排列数!(!!k!)k类元素每类数无限从取出元素组合数(+k)排列((下标上标))()(+);!()!(!是阶乘);(两分别上标和下标)!;0!;(下标上标)组合((下标上标));!!()!;(两分别上标和下标);(下标上标);公式是指排列从元素取R进行排列公式是指组合从元素取R不进行排列元素总数R参与选择元素数!阶乘如9!987653从倒数r表达式应该()()(r+);因从到(r+)数(r+)r高二数学学习方法()记数学笔记特别是对概念理不侧面和数学规律教师课堂拓展课外知识记录下你觉得有价值思想方法或例题以及你还存问题以便今将其补上()建立数学纠错把平容易出现错误知识或推理记下以防再犯争取做到错、析错、改错、防错达到能从反面入手深入理正确东西;能由朔因把错误原因弄水落石出、以便对症下药;答问题完整、推理严密(3)熟记些数学规律和数学结论使己平运算技能达到了动化或半动化熟练程()常对知识结构进行梳理形成板块结构实行整体集装如表格化使知识结构目了然;常对习题进行类化由例到类由类到多类由多类到统;使几类问题归纳知识方法(5)数学课外籍与报刊参加数学学科课外活动与讲座多做数学课外题加学力拓展己知识面(6)及复习强化对基概念知识体系理与记忆进行适当反复巩固消灭前学忘(7)学会从多角、多层次地进行总结归类如①从数学思想分类②从题方法归类③从知识应用上分类等使所学知识系统化、条理化、专题化、络化(8)常做题进行定反思思考下题所用基础知识数学思想方法是什么什么要这样想是否还有别想法和法题分析方法与法其它问题是否也用到(9)无论是作业还是测验都应把准确性放位通法放位而不是味地追速或技巧这是学数学重要问题猜你感兴趣高二数学排列与组合知识总结高二数学选修知识总结3高二上学期数学复习知识归纳高二数学排列组合题技巧5高二上数学知识总结607高二数学排列组合公式知识总结。
高二数学(选修-人教A版)-排列组合应用(2)-教案
教案看一看：1.这张图表示的是哪里？2.它的绘制方式有什么特点？想一想：1.用这样的方式绘制有什么好处吗？2. 结合绘制过程你能提出数学问题吗？读一读：1.提出“绘制一张地图至少需要几种颜色”的问题2.四色猜想：任何一张地图只用四种颜色就能使具有公共边界的国家着上不同的颜色.在图中，我们选定延庆区、怀柔区、密云区和平谷区作为研究对象，现在有四种不同的颜色，用于给这四个区域涂色，要求每个区域只能涂一种颜色，有公共边界的区域涂不同的颜色（只共点不算），请问：不同的涂色方法有多少种？根据区域的相对位置特征，做一个简化的平面图形法一：按照区域顺序从左至右逐一进行法二：按照所用颜色的个数进行分类对比：两种做法所使用的原理城市文化介绍：1.在2017年发布的《北京市总体规划（2016年-2035年）》中，将东城区和西城区划分为核心区.2.2010年7月，国务院正式批复撤销崇文区和宣武区，设立的新的北京市东城区和西城区.用四种颜色给图中原西城区、原宣武区、原东城区、原崇文区涂色，每个区域只能涂一种颜色，有公共边界的区域涂不同颜色（只共点不算），不同的涂色方法有多少种？观察区域图形特征，进行简化，得到一个平面四边形法一：按照区域顺序逐一涂色下面是某个同学的做法，请你来判断他的做法对不对？4×3×3×2=72这样的过程是有问题的，第四步能选用的颜色个数，受第三步用了哪一种颜色而影响. 4×3×（1×3+2×2）=84法二：按照所用颜色个数分类44A +234A +24A =84研究这些计数问题有什么价值吗？1. 比如：在城市绿化过程中，为了能营造出美景氛围，经常要对不同植物合理分配，在这其中就蕴含着排列组合方法的运用. 实例1：广场上的一个圆形花坛有五个区域，对应的编号分别如右图所示. 现在有5种不同颜色的花用来布置花坛，为了体现植物的多彩缤纷，相邻的区域要摆放不同颜色的花，且在同一个区域内只能用一种颜色的花，绿化部门有什么种摆放方案？2. 再比如：同学们上课所用的课程表. 由于每个同学所选科目的不同，每天的课程安排也是不同的. 因此，掌握一些排列组合知识就能知道有多少种选科组合，了解课程有多少种排列，是进行排课必不可少的条件. 实例2：要排出某班一天语文、数学、政治、英语、体育、艺术6堂课的课程表，要求数学课排在上午（前4节），体育课排在下午（后2节），不同的排法有多少种？如图，给四棱锥S-ABCD 各面涂色， 要求相邻面不同色（只共点不算），若有5种颜色选用，有多少种不同的涂法？观察四棱锥五个面的位置有什么特征？底面与四个侧面都相邻，侧面中相对的两个面是不相邻的，由此可将立体图形转化为平面图形.SDC BA。
高二数学(选修-人教B版)-组合(2)
典型例题
例3 在产品质量检验时，常从产品中抽出一部分进行检查，现 在从98件正品和2件次品共100件产品中，任意抽出3件检查： (3)至少有一件是次品的抽法有多少种？
有次品
有次品
无次品
典型例题
例3 在产品质量检验时，常从产品中抽出一部分进行检查，现
在从98件正品和2件次品共100件产品中，任意抽出3件检查：
不同的分组方法数：C39 C36 C33=1 680
典型例题
例4 (3)甲、乙、丙各得3本.
追问：若只是把这9本不同的书平均分成3组，有多少种不同
的分组方法？
把这9本不同的书平均分成3组，设有x种不同的分组方法.
再将3组书分配给甲、乙、丙三人：A33 种方法.
所以，甲、乙、丙各得3本的分法共有 x A33种.
典型例题
例3 在产品质量检验时，常从产品中抽出一部分进行检查，现 在从98件正品和2件次品共100件产品中，任意抽出3件检查：
(1)共有多少种不同的抽法？
解：(1) 所求不同的抽法数，即从100个不同元素中任取3个元素的组
合数，共有
C3 100
100 99 98 3 2 1
=
161
700（种）.
排列问题
2A22 2 2 1 = 4 (场)．
典型例题
例2 某次足球赛共12支球队参加，分三个阶段进行． (3)决赛：两个胜队参加决赛一场，决出胜负．
解：(3)决赛只需比赛1场，即可决出胜负． 所以全部赛程共需比赛
30＋4＋1＝35(场).
小结
1.解简单的组合应用题时，首先要判断它是不是组合问题， 组合问题与排列问题的根本区别在于排列问题与取出元素的 顺序有关，而组合问题与取出元素的顺序无关； 2.解决组合应用题的基本思路是“化归”，即由实际问题建 立组合模型，再由组合数公式计算结果，从而得出实际问题 的解.
高二数学选修二知识点归纳
高二数学选修二知识点归纳(实用版)编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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高二数学选修2 2知识点
高二数学选修2 2知识点高二数学选修2-2知识点本文将介绍高二数学选修2-2中的重要知识点，包括函数的概念与性质、三角函数的定义与图像、指数函数与对数函数等内容。
一、函数的概念与性质函数是数学中重要的概念，它描述了两个量之间的一种关系。
函数由定义域、值域和对应关系组成。
在函数中，输入的值称为自变量，输出的值称为因变量。
函数可以用图像、表格、公式等形式表示。
函数的性质包括奇偶性、周期性、增减性等，这些性质有助于我们理解函数的特点和行为。
二、三角函数的定义与图像三角函数是描述角度与边长之间关系的函数。
常见的三角函数有正弦函数、余弦函数、正切函数等。
正弦函数表示角度与对边比斜边的比值，余弦函数表示角度与邻边比斜边的比值，正切函数表示角度与对边比邻边的比值。
这些三角函数在不同角度下的取值和图像具有一定的规律性，通过研究三角函数的定义和图像，可以加深我们对角度与边长关系的理解。
三、指数函数与对数函数指数函数和对数函数是数学中重要的基础函数。
指数函数的自变量是指数，底数固定，它描述了一个数的多次相同乘积。
对数函数是指数函数的逆运算，它描述了一个数在指定底数下的指数。
指数函数和对数函数在各个领域有广泛的应用，例如在科学计算、金融领域等。
通过学习高二数学选修2-2的知识点，我们能够更好地理解函数的概念与性质，能够更准确地描述角度与边长之间的关系，并且能够运用指数函数和对数函数进行问题求解。
这些知识点对我们继续学习数学以及其他相关学科都具有重要的意义。
总之，掌握了高二数学选修2-2中的知识点，我们能够更好地理解数学的本质和应用，为我们的学习打下坚实的基础。
在今后的学习和应用中，我们将会发现这些知识点的重要性和实用性。
希望大家能够认真学习，牢固掌握这些知识点，为自己的学术发展打下坚实的基础。
高二数学选修2-3组合的概念
定义巩固
判断 下列几个问题是排列问题还是组合问题?
①十个人相互通了一封信,共有多少封信? ②十个人相互通了一次电话,共打了多少个电话? ③从2,3,4,5,6中任取两数构成指数,有多少个不 同的指数? ④从2,3,4,5,6中任取两数相加,有多少个不同 的结果? ⑤四个足球队举行单循环比赛(每两队比赛一 场)共有多少种比赛? ⑥四个足球队举行单循环比赛的所有冠亚军 的可能性情况有多少种?
m Cn
=
=
n(n-1)(n-2) …(n-m+1)(n-m) …3∙2∙1 = m﹗ (n-m) …3∙2∙1
=
n﹗ m﹗(n-m)﹗
例２
m 1 m1 求证 : C Cn . nm
m n
课本典型范例
1.用计数器计算 C 2.一位教练的足球队共有１７名初级学员，他们 中以前没有一人参加过比赛．按照比赛规则，比 赛时一个组队上场的队员是１１人，问 （１）这位教练从这１７名学员中可以形成多少 种上场方案？ （２）如果在选出１１名上场队员时，还要确定 其中的守门员，那么教练员有多少种方式做这件 事？
思 考:
如图,在以AB为直径的半圆周上有异于A,B的六 个点C1, C2 ,C3 , C4 ,C5 ,C6 , AB上有异于A, B 的四个点D1 ,D2 ,D3 ,D4,问 (1)以这10个点中 的3个点为顶点可作多少个三角形? (2)以图中12 个点(包括A,B)中的四个为顶点,可作多少个四边 C4 C3 形?
第二步,求每一个组合中m个元素的全排列数A
m m
即:
m An
=
m Cn
●
m Am
m Cn =
m An m Am
人教A版数学高二选修2-31.2《排列组合二项式定理》教案
有多少种可能?思考讨论用类似的方法，讨论如下问题.某种产品有5件不同的正品，4件不同的次品，现在一件件地进行检测，直到4件次品全部测出为止，则最后一件次品恰好在第6次检测时被测出，这样的检测方案有多少种？提示：问题相当于从10件产品中取出6件的一个排列，第6位为次品，前五位有其余3件次品，可分三步：先从4件产品中留出1件次品排第6位，有4种方法；再从5件正品中取2件，有C 25种方法；再把3件次品和取出的2件正品排在前五位有A 55种方法.所以检测方案种数为4×C 25·A 55=4800.例3. 在一块并排10垄的田地中，选择2垄分别种植A 、B 两种作物，每种作物种植一垄.为有利于作物生长，要求A 、B 两种作物的间隔不小于6垄，则不同的种植方法共有多少种？例4. 有两排座位，前排11个座位，后排12个座位，现安排2人就座，规定前排中间的3个座位不能坐，并且这2人不左右相邻，那么不同排法的种数是A.234B.346C.350D.363例5. （1）一条长椅上有9个座位，3个人坐，若相邻2人之间至少有2个空椅子，共有几种不同的坐法?（2）一条长椅上有7个座位，4个人坐，要求3个空位中，恰有2个空位相邻，共有多少种不同的坐法?例6. 已知1<m <n ，m ，n ∈N *，求证：（1+m ）n >（1+n ）m . 例7 ． （江西文科第5题）设2921101211(1)(21)(2)(2)(2)x x a a x a x a x ++=+++++++，则01211a a a a ++++的值为（ ）Ａ．2-Ｂ．1- Ｃ．1 Ｄ．2四、同步练习1.从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出3种，分别种在不同土质的三块土地上，其中黄瓜必须种植.不同的种植方法共有A.24种B.18种C.12种D.6种2.四个不同的小球全部随意放入三个不同的盒子中，使每个盒子都不空的放法种数为A.A 13A 34B.C 24A 33C.C 34A 22D.C 14C 34C 223．（05湖北卷）把一同排6张座位编号为1，2，3，4，5，6的电影票全部分给4个人，每人至少分1张，至多分2张，且这两张票具有连续的编号，那么不同的分法种数。
高二数学《组合(2)》自主学习任务单
《组合(2)》自主学习任务单一、学习目标1.进一步掌握组合数公式,运用组合数公式进行计算；2.能够解决一些组合应用问题,提高合理选用知识的能力；3.通过对实际例子的描述,会分析与数字有关的组合问题. 二、学习过程1.导入新课上一节我们学习了组合数公式，我们来回忆组合数公式：!)1()2)(1(m m n n n n A A C m m m n mn+---==Λ;或),,(,)!(!!n m N m n m n m n C mn ≤∈-=+且下面我们来计算两个组合数:=710C ,=310C . 2.问题导学问题1：这两个组合数有什么特点？问题2：从实际问题的角度，怎样对这一结果进行解释呢？问题3：类比上述关系，我们能得到组合数的一般性的结论吗？ 3.例题导析例3：在歌手大奖赛的文化素质测试中，选手需从5个试题中任意选答3题，问：（1）有几种不同的选题方法？（2）若有1道题是必答题，有几种不同的选题方法？问题1：选手从5个试题中任意选答3题是排列问题还是组合问题，为什么？问题2：从5道题中剔除2道题有多少种方法？你能得到什么结论？问题3：35C 种方法中包括含必答题和选答题两类，方法数分别为多少？问题4：从问题3中，你能得到什么结论？小结：准确分析事件的发生、发展过程，弄清要解决的问题是否与取出的元素的顺序有关，把实际问题抽象成组合问题。
例4：100件产品中，有98件合格品，2件不合格.从这100件产品中任意抽出3件，问：（1）一共有多少种不同的抽法？（2）抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少种？（3）抽出的3件中至少有1件是次品的取法有多少种？问题1：从100件产品中任意取三件是排列问题还是组合问题，为什么？问题2：3件中恰好有1件次品应该如何抽取？问题3：至少有1件次品包含哪几种可能？问题4：至少有1件次品的反面是什么？小结：对较复杂的组合应用题，要能根据事件的发生、发展过程对解决问题的办法进行恰当地分类或分步，利用分类计数原理和分步计数原理解决问题。
组合(课件)高二数学(苏教版2019选择性必修第二册)
6 5 4 3 2 1
∴ （n-4）（n-5）<30，∴ n2-9n-10<0，
解得-1<n<10，由题意，n可取的值是6，7，8，9，共四个，故选C.
【答案】C
◆利用组合数公式解方程、不等式的方法技巧
1.化简：先用组合数的两个性质化简；
2.转化：利用计算公式将组合数的形式转化为常规的代数方程、
也相同的两个排列才是相同的；而两个组合只要元素相同，
不论元素的顺序如何，都是相同的.
探究新知
例如， “甲乙”与“乙甲”的元素完全相同，但元素
的排列顺序不同，因此它们是相同的组合，但不是相
同的排列.由此，以“元素相同”为标准分类，就可以
建立起排列和组合之间的对应关系，如图 所示.
探究新知
二、组合数
C.100种
D.70种
5.［2020·北京一零一中学高二期末］某中学从4名男生和4名
取法；
第2步，将取出的m个元素作全排列，共有A
种不同的排法.
A .
根据分步乘法计数原理，有A
＝C ·
探究新知
A
C ＝ ＝
A
因此 − 1 − 2 … − + 1
.
！
这里n，m∈N*，并且m≤n.这个公式叫做组合数公式.
因为A
＝
以写成
！
−
m
8
A.1
B.4
C.1或3
2 m 1
8
，则m等于 （
D.3或4
C ）
探究新知
三、组合应用题
1.简单的组合应用题
例4 ［2020·吉林延边二中高二期中］有4名学生要到某公司
高二数学人教A版选修2-3课件：1.2.2 组合
=
C������������ =左边,
故原式成立.
迁移应用
一 二三四
知识精要
典题例解
迁移应用
三、简单组合问题 解简单的组合应用题时,要先判断它是不是组合问题,取出元素只是组成一组,与顺序无关则是组合问题;取出 元素排成一列,与顺序有关则是排列问题.只有当该问题能构成组合模型时,才能运用组合数公式求出其种数. 在解题时还应注意两个计数原理的运用,在分类和分步时,注意有无重复或遗漏.
种,从4名C女62教师中选2名的选法有 种,根据分步乘法计数C原42理,共有选法
C62
×
C42
=
6×5 ×
2×1
42××31=90(种).
一 二三四
知识精要
典题例解
迁移应用
1.若从1,2,3,…,9这9个整数中同时取4个不同的数,其和为偶数,则不同的取法共有( )
A.60种
B.63种
C.65种
D.66种
同时参加,则他们发言时不能相邻,那么不同的发言顺序的种数为( )
A.360
B.520
C.600
D.720
答案:C
解析:分两类:第1类,甲、乙中只有一人参加,则有
=2×10×24=480(种)选法.
C21 × C53 × A44
一 二三四
知识精要
典题例解
【例1】 判断下列问题是排列问题还是组合问题,并分别求出对应的方法数.
迁移应用
(1)把当日动物园的4张门票分给5个人,每人至多分一张,而且票必须分完,有多少种分配方法?
(2)从2,3,5,7,11这5个质数中,每次取2个数分别作为分子和分母构成一个分数,共能构成多少个不同的分数?
答)
排列组合综合(二)讲义-2021-2022学年高二下学期数学北师大版选修2-3
排列组合综合应用（二）知识要点常用方法：1.优先排序法--特殊位置或特殊元素2.捆绑法--哥俩好(先捆再排)3.插空法--离我远点(先排再插)4.排除法--正难则反5.隔板法--相同物品放在不同位置(或分给不同的人)精讲精练【例题1】A、B、C、D、E五种不同的商品要在货架上排成一排，其中A、B两种商品必须排在一起，而C、D两种商品不能排在一起，则不同的排法共有多少种?练习1：1、排一张有5个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单。
(1)任何两个舞蹈节目不相邻的排法有多少种？(2)歌唱节目与舞蹈节目间隔排列的方法有多少种？2、7名同学排队照相。
(1)若分成两排照，前排3人，后排4人，有多少种不同的排法?(2)若排成两排照，前排3人，后排4人，但其中甲必须在前排，乙必须在后排，有多少种不同的排法?(3)若排成一排照，甲、乙、丙三人必须相邻，有多少种不同的排法?(4)若排成一排照，7人中有4名男生，3名女生，女生不能相邻，有多少种不同的排法?【例题2】某博物馆要在10天内接待4所学校的学生参观，每天至多安排一所学校，其中一所人数较多的学校要连续参观2天，其余学校均只参观1天，则在这10天内不同的安排方法数是多少种？练习2：1、某学生制定了数学问题解决方案：星期一和星期日分别解决4个数学问题，且从星期二开始，每天所解决问题个数与前一天相比，要么“多一种”要么“持平”要么“少一种”。
在一周中每天所解决问题个数不同方案共有多少种？2、有10件不同电子产品，其中有2件产品运营不稳定。
技术人员对它们进行一一测试，直到2件不稳定产品所有找出后测试结束，则正好3次就结束测试办法种数是多少种？【例题3】如图，A、B、C、D为海上的四个小岛，要建三座桥，将这四个岛连接起来，则不同的建桥方案共有多少种？练习3：1、某都市街道如图，某人从A地前去B地，则路程最短走法有多少种？2、如图，用四种不同颜色给图中A，B，C，D，E，F六个点涂色，规定每个点涂一种颜色，且图中每条线段两个端点涂不同颜色，则不同涂色办法有多少种？【例题4】把10个相同的球放入3个不同的盒子里，若要求(1)每个盒子里至少有一个球，有多少种放法？(2)每个盒子里都至少有2个球，有多少种放法？(3)某些盒子允许空着，有多少种放法？练习4：1、学校筹划运用周五下午第一、二、三节课举办语文、数学、英语、理综4科专项讲座，每科一节课，每节至少有一科，且数学、理综不安排在同一节，则不同安排办法共有多少种？2、六名大四学生(其中4名男生，2名女生)被安排到A、B、C三所学校实习，每所学校2人，且2名女生不能到同一学校，也不能到C学校，男生甲不能到A学校，则不同安排办法为多少种？【例题5】(1)方程x+y+z=13有多少组正整数解？(2)方程x+y+z=13有多少组非负整数解？(3)方程x+y+z=13有多少组x，y，z均不小于2的正整数解？练习5：1、求方程X+Y+Z=10的正整数解的个数。
高二数学竞赛专属课程第2讲 组合几何的基本技巧-例题简答
第二讲 组合几何的基本技巧例1. （1）平面上给定2n 个点，求证：一定可以找到一条直线，使得该直线不经过任意一个点，并且直线两侧各有n 个点．（2）平面上给定23n +个点，其中任意三点不共线，任意四点不共圆．求证：一定可以找到一个圆，使得该圆恰好经过其中3个点，并且圆内部和外部各有n 个点．（1）证：先取一条直线，使其与任两点所成直线不垂直．以该直线为x 轴建立坐标系，则这2n 个点横坐标互不相同，不妨设122n x x x <<<．构造直线12n n x x x ++=即满足要求．（2）证：类似（1），先取一条直线XY 过点1A ，使得其余所有点均在该直线同侧． 考虑旋转角1213123,,,n XA A XA A XA A +∠∠∠，因为任意3点不共线，故它们互不相等．不妨设12XA A ∠为其中最小值，则323~n A A +均在直线12A A 同侧． 将1321421232,,,n A A A A A A A A A +∠∠∠从小到大排列，因为任意4点不共圆，故它们互不相等．设居中的一个是12k A A A ∠，则过12,,k A A A 的圆即满足要求．例2. 平面上n 个点的连线段中，最大长度与最小长度的比值记为n λ．（1）求证：4λ≥ （2）求5λ的最小可能值．（1）证：考虑这4个点的情况：①若存在三点共线，如右图．则{}42min ,ACAB BC λ≥≥②若凸包为三角形，如右图，不妨设点D 在△ABC 内． 由360ADB BDC CDA ∠+∠+∠=︒，故其中必有一个不小于120° 不妨设为ADB ∠，并假设AD BD ≥．则30BAD ∠≤︒，设其等于α． 故()sin 2sin 2cos sin sin AB ADBBD BAD παλαα-∠≥=≥=≥∠ ③若凸包为四边形，如右图．由四边形内角和等于360°，故必有一个内角不小于90° 不妨设90BAD ∠≥︒，AD AB ≥．则45ADB ∠≤︒，设其等于α．故()sin 2sin 2cos sin sin AB ADB BD BAD παλαα-∠≥=≥=≥∠，命题成立． 综上即可得证．A CB5252由（1）的分析可得：①若存在三点共线，则5122λ≥>． ②若5个点凸包为三角形，则必存在点D 在△ABC 内，则512λ+>．③若凸包为四边形，不妨设为四边形ABCD ，此时点E 在该四边形内．故E 必在△ABD 内或在△BCD 内．不妨设E 在△ABD如右图，考虑A 、B 、D 、E 这4点，此时仍有512λ≥>．④若凸包为五边形，设为五边形ABCDE ．同样可设108BAE ∠≥︒AE AB ≥．此时512cos362λ≥︒=．综上可知5λ的最小值为12+．例3. 海莱定理（Helly theorem ）设12,,,n M M M （3n ≥）是平面上n 个凸集，如果其中任意3个集合都有公共点，求证：这n 个凸集有公共点．证：当3n =时命题显然成立．当n k =时成立，下证1n k =+时也成立． 由归纳假设，2341,,,,k M M M M +有公共点1A ，1341,,,,k M M M M +有公共点2A ，1241,,,,k M M M M +有公共点3A ，12351,,,,,k M M M M M +有公共点4A ．若1234,,,A A A A 中有两个点相同，则结论显然成立． 否则考虑这4个点的凸包．（1）若凸包为线段，不妨设为线段12A A ，则312A A A ∈，由123A A M ⊂，所以33A M ∈． 故3A 一定是121,,,k M M M +的公共点．命题得证．（2）若凸包为三角形，不妨设1A 在△234A A A 内部，则利用凸集性质可得2341A A A M ⊂△， 所以11A M ∈．故1A 一定是121,,,k M M M +的公共点．命题得证．（3）若凸包为四边形，不妨设为四边形1234A A A A ，考虑对角线13A A 和24A A 的交点B ．则13B A A ∈且24B A A ∈．同样利用凸集性质可证明B 一定是121,,,k M M M +的公共点．命题得证．故当1n k =+时结论也成立． 综上，原命题得证．例4. 给定平面点集M ，其中任意两点之间的距离最大为1，求证：（1）点集M（2）点集M 一定可以被边长为1的正方形覆盖； （3）点集M证：（1）取A 、B 为距离为1的一对点，分别以这两点为圆心，1为半径作圆．则其余所有点在两圆（2）对于任意方向，作一条与之垂直的直线．考虑所有点在该直线上的投影． 由于M 中任意两点之间的距离最大为1，故这些投影之间的距离也不超过1． 于是对任意方向，可以找出2条距离为1的平行线，使得M此时取垂直的两个方向，即可构造出边长为1的正方形，使之覆盖M （3）如右图，取3个方向的平行线，使得两两夹角为60°． 此时M 必在公共区域内．故M 可被正△ABC 覆盖，也能被正△PQR 覆盖． 注意这三组平行线之间的距离都等于1．可得正△ABC 和正△PQR例5. 在一个半径为9的圆内任意地放入7个半径为2的小圆．求证：在小圆与大圆之间一定还可以嵌入1个半径为1的圆．证：将大圆的半径减少1，变为8；将小圆的半径增加1，变为3．由228370ππ-⨯>，可知此时这7个半径为3的圆无法覆盖半径为8的圆． 在半径为8的圆中，必存在点O 未被覆盖．以O 为圆心，半径为1作圆，则该圆必在原来的大圆内，且与原来7个小圆不重合．例6. 求证：当4n ≠时，正n 边形不可能是格点多边形．证：注意格点多边形的面积必为12的整数倍，且任意两点距离的平方为整数． 反证法，若存在格点正n 边形．当3n =时，设正三角形的边长为a 24S =，这与上述结论矛盾． 当6n =时，设边长为a ，则面积22S a =，与上述结论矛盾． 当5n =或7n ≥时，由极端原理，可取面积最小的一个，设为12n A A A ． 构造点12,,,n B B B ，使得11i i i i A A A B -+为平行四边形（1,2,,i n =，并规定011,n n A A A A +==）此时得到12n B B B 是更小的格点正n 边形，这与假设矛盾．综上即可得证．。
7.3排列与组合(2)学案-2021-2022学年高二下学期数学苏教版（2019）选择性必修第二册
氾水高级中学2021-2022学年度高二数学(下)导学活动单(30)课题排列与组合(2)学习目标1、会求解实际应用问题中，排列组合的混合问题；2、掌握排列组合应用题的处理策略和常用方法。
教学过程学法指导活动一：问题诊断1、平面M内有5个点，平面N内有4个点，且平面M与平面N平行，这9个点最多能构成_______个不同的四面体。
2、从1，3，5，7，9 中任取3 个数字，从2，4，6，8中任取2 个数字，一共可以组成_____个没有重复数字的五位数。
活动二：活动探究类型有限制条件的排列组合混合应用问题例1、6本不同的书全部送给5人，每人至少1本，有多少种不同的送书方法？变式拓展：1、6本不同的书全部送给5人，有多少种不同的送书方法？2、5本不同的书全部送给6人，每人至多1本，有多少种不同的送书方法？3、5本相同的书全部送给6人，每人至多1本，有多少种不同的送书方法？4、6本不同的书全部送给3人，每人2本，有多少种不同的送书方法？例2、某考生打算从7所重点大学中选3所填在第一档次的3个志愿栏内，其中A校定为第一志愿，再从5所一般大学中选3所填在第二档次的三个志愿栏内，其中B、C两校必选，且B在C前，问此考生共有多少种不同的填表方法？练习：某中学高二年级有7个班，从中选出12名同学参加市中学生数学竞赛，每班至少1人，问名额分配方案有有多少种？例3、将编号为1、2、3、4的4个小球放入编号为1、2、3、4的4个盒子中，(1)有多少种不同的方法？(2)每个盒内至多放1个球，有多少种不同的方法？(3)恰好有1个空盒，有多少种不同的方法？(4)每个盒内放1个球，且恰好有1个球的编号与盒子的编号相同，有多少种不同的方法？(5)把4个不同的小球换成4个相同的小球，恰有1个空盒，有多少种不同的方法？(6)把4个不同的小球换成20个相同的小球，要求每个盒内的球数不少于它的编号数，有多少种不同的方法？练习：6个不同的小球放入编号为1、2、3、4的4个盒子中，(1)有多少种不同的方法(允许有空盒)？(2)每个盒内至少放1个球，有多少种不同的方法？(3)恰好有1个空盒，有多少种不同的方法？例4、有10只不同的实验产品，其中4只不合格品，6只合格品，现每次取一只测试，直到4只不合格品全部测出为止，问最后一只不合格品正好是第五次测试时被查出的不同情况有多少种？变式拓展：有10只不同的实验产品，其中4只不合格品，6只合格品，现每次取一只测试，直到4只不合格品全部测出为止，问最后一只不合格品正好是第六次测试时被查出的不同情况有多少种？活动三：课堂检测1、某人抛掷硬币8次，其中4次正面向上，则向上的4次中恰有3次连在一起的情形的不同种数有_______2、从不同号码的5双鞋中任取4只，其中恰好有1双的取法种数为_______3、如图所示，某地有南北街道5条，东西街道6条，一邮递员从该地东北角的邮局A出发，送信到西南角的B地，且途径C地，要求所走路程最短，共有_______种不同的走法(用数字作答)。
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可以分成两步：
第一步：先从n个不同的元素中取出m个
元素进行组合。
第二步：再求每一个组合中m个元素的
A C A 全排列。
组合数公式：
m
n
m m
n
m
Cnm
Anm Amm
n(n 1)(n 2)(n m 1) m!
Cnm
n! m!(n
m)!
C 例1计算：⑴
4 7
⑵ C170
C A (3) 已知 3 2 ,求 n ．
(6)从4个风景点中选出2个,并确定这2个风景点的游览 顺序,有多少种不同的方法? 排列问题
如:从 a , b , c三个不同的元素中取出两个元素的
所有组合分别是: ab , ac , bc (3个)
如:已知4个元素a , b , c , d ,写出每次取出两个
元素的所有组合.
a
b
c
bcd
cd
d
ab , ac , ad , bc , bd , cd 6个
(2)某铁路线上有5个车站，则这条铁路线上共需准备 多少种车票? 排列问题 有多少种不同的火车票价？ 组合问题
(3)10名同学分成人数相同的数学和英语两个学习小组，
共有多少种分法?
组合问题
(4)10人聚会，见面后每两人之间要握手相互问候，共需
握手多少次?
组合问题
(5)从4个风景点中选出2个安排游览,有多少种不同的方法? 组合问题
（3）从1,3,5,7中任取两个数相除，可得 多少个不同的商？
（4）从50件不同的产品中抽出5件来检查， 有多少种不同的抽法？
（5）5个人互送照片一张，共送了多少张 照片？
（6）集合A={a,b,c,d,e}的含有3个元素的 子集有多少个？
(1)设集合A={a,b,c,d,e}，则集合A的含有3个元素的 子集有多少个? 组合问题
3、同一组合只要元素完全相同。
从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素 的所有组合的个数，叫做从n个不同的元素中
取出m个元素的组合数。用符号Cnm 表示。
例1、下列问题中哪些是排列问题？哪些是 组合问题？
（1）某铁路线上有5个车站，则这条铁路 线上共需多少种不同的车票？
（2）从1,3,5,9中任取两个数相加，可得 多少个不同的和？
组合
问题情境:
问题一：从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参
加某天的一项活动，其中1名同学参加上午的
活动，1名同学参加下午的活动，有多少种不
同的选法？
A32 6
有顺序
问题二：从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参 加一项活动，有多少种不同的选法？
甲、乙；甲、丙；乙、丙
无顺序
问题情境:
(3)从1、2、3三个数字中选两个数字, 能构成多少个不同的集合?
(2)平面内有10个点，以其中每2个点为端点 的有向线段共有多少条？
2.(1)凸五边形有多少条对角线？ (2)凸n（ n>3）边形有多少条对角线？
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必,他们都是我亲人.”明明是小事,大哥为什么非要闹大才甘心？总之,今天谁也别想拦她扫墓.陆羽走在前头,身边跟着两位好友.身后,饭馆夫妇俩胆颤心惊地把祭品一一拿出来,整齐摆放好匆匆离开了.“哥,今天我不想跟你闹,只想拜祭爸妈而已,用得着吗？”陆羽神色平静地看着自己亲 哥.经过这么多事,陆海不但没瘦反而胖了些.都说中年发福是男人の福气,不知他是不是,记得他只活到五十多岁.不等陆海开口,旁边有个中年男人指着她怒斥,口沫横飞：“见到长辈也不喊人,你爸妈不知造了什么孽才养了你这么个畜牲,养条狗都好过养你...”话音未落,忽然堵在三人眼前 の那片人开始卟卟卟,横七竖八地躺了一地.片刻之后,世界终于清静了.“陆陆,现在没人拦你了,”婷玉神色如常地看着陆羽说,“去吧.”陆羽默,她准备の东西用不上了.无用武之地の柏少君则一脸惊悚地瞪着她们俩,久久说不出话来.碍事の人躺下了,事不宜迟,三人开始搬祭品到陆氏夫妇 坟前.二老是合葬,据说是因为有些部位分不清谁是谁,一起火化...陆羽跪在父母坟前,泣不成声.另外两人也在坟前鞠了三个躬,婷玉教柏少君の,然后两人在墓前各上一柱香...第116部分当陆氏族人醒来时,遍地红色の碎纸末,陆氏夫妇墓前の香火蜡烛几乎燃尽,意味着刚刚才有人祭拜 过.“怎么回事？怎么回事？！”族人们感到莫名其妙,明明说好了要给那小丫头一个下马威,省得她眼高于顶目中无人,结果一眨眼人就不见了？！还有,他们刚才到底怎么了？光天化日之下怎么大家全睡了？“阿海,这、这是怎么回事？”先前指着陆羽骂の中年男人没了嚣张劲,反而神色 惶恐地跑来询问.这里是陆氏夫妇の墓前,他们生前最疼那小丫头,而他却当着他们の面训斥她,该不会...抹汗,心里直发毛.“我是为陆海出头才那样の,你俩有怪莫怪,我是一片好心...”他忙对着坟墓双手合什忏悔.在小地方,人们还是很迷信の.而陆海醒了之后,发现妹子早就祭拜完毕溜人 了,气得想一脚踹飞墓前の香烛.可当他抬起脚,目光在不经意间瞥见墓碑上の照片里父母一脸慈爱地看着自己,他这一脚怎么也踹不下去了.反而双膝一软,跪倒在父母坟前.“爸,妈,你们不公平...”自打小妹出生,他曾经独享の一切全部转移到她身上.父母の注意力,父母の疼爱,挨打の永远 是自己,受表扬の永远是小妹,让父母在人前骄傲の...也从来不是他.他也想争气,也曾经很努力,可是运气不好每次都成功不了.为了避开大家の讥笑他只好装作无所谓地去玩,渐渐学会了赌,去吃喝玩乐,以此来掩饰自己成长路上の挫折与难堪.其实他不在乎那栋房子,只是气愤,替自己委屈 不值.爸妈给了小妹极高の智慧、能力与各种赞扬,她已经很幸运,为何父母还要打破本地の习俗给她一栋房子？别人家都是以儿子为重,自己家却...爸妈就连死了也要打他一巴掌？或许,正如妻子和外边人说の,除了房子,二老背地里可能还给小妹留了很多宝贵の东西.父母偏心,不公平... 大家原本是这么想の,陆羽被父母生前宠坏了,长歪了,眼里没有兄嫂与族亲,更没有大局观.那怎么行？儿孙聪明当然是好,但要用对地方.她聪明归聪明,却有点不知天高地厚,六亲不认,早就想找个机会煞煞她の威风了.正好昨天听陆大伟说她要回来扫墓,晚上吃饭时她也不来,大家更气了.打 算今天给她一点厉害瞧瞧,让族中长辈出面向她施压,先跪在父母坟前承认错误,向大哥道歉并把那套房子の余款...至少得挪一半出来还给兄嫂.要让她明白,不管她多聪明,在长辈面前也要听话不能自以为是.他们还在村里大排筵席当是陆家兄妹の和解酒,等待众人凯旋归来.酒席费用找陆羽 报销,因为一切矛盾是她引起の,大家肯赏脸过来吃这一顿等于谅解了她.计划好好の,没想到是这种结果.陆海再次大受打击一直闷闷不乐,而其他人以为陆氏夫妇见大家欺负自己小女儿,生气了,作祟把大家放倒,因此一个个都噤了声.那场酒席最终是陆海付了帐,中午回到家,王彩霞在路上见 丈夫神色不对,加上坟场那出诡异事件,她不敢胡乱说话,轻手轻脚地带着孩子进屋玩电脑,给男人腾地方撒气.陆海怏怏地坐在客厅看电视,心思不知飞哪儿去了.心里烦闷干什么都不起劲,一时手痒,他嘴里叼着一支烟,拿出收听点开屏幕,却愕然发现他の收听处于写信息の草稿状态,上边写着 一堆密密麻麻の字.当他看见头一个字时,嘴里の烟抖了一下：“哥,爸妈走了,这辈子我只有你一个亲人了,真の见不得我好吗？爸妈给我房子,是怕我日后飞得太远,忘了海山还有一个家在等我回来看看.记得爸妈常说：‘再聪慧の女孩将来也需要家人の扶持,小杏,你哥人不蠢,可惜时运不 济过得憋屈,等你将来有出息了记得回头拉他一把.只要你们兄妹互相扶持,我和你爸就放心了...’可是爸妈肯定没想到,将我逼走他乡の人会是我の亲哥.事到如今,多说无益.我今天在爸妈坟前许下承诺,将来在你最困难の时候帮你两次,别浪费了.前提是你不能再寻花样报复我,甚至是悄无 声息地移走爸妈の坟.否则,不管你躲到天涯海角我都能找到你们.兄妹之情所剩无几,别挑战我の底线,今天放倒你们是最好の证明.如果你同意,把你の银行卡帐号发给我,我还你十万给小峰当教育资金,从这时两安.如不同意,你我日后便是陌路人,死活各凭本事.另外,随我来の朋 友是个医生,她让我转告你趁早把烟酒戒了,酒实在戒不掉就早晚喝一小杯.每年去体检一次,到了五十岁要每三个月一次.她医术高明,信不信随你.”...王彩霞在屋里等了半晌不见客厅有大动静,以为丈夫出去了,便打算出来收拾残局.谁知一出来,却见自己男人仰着头靠在沙发背上,一手捏 着收听,一手捂着双眼.“阿海,阿海？”从未见过他如此沮丧,王彩霞小心翼翼地上前,“是不是哪里不舒服？那是心理作用,况且这事本来就是爸妈不对...”陆海一动不动,像睡着了,捂住眼睛の手始终没放开.恰在此时,家里の电筒响了,王彩霞忙去接听.“喂？陆倩？怎么了？没呀,她敢回 来看我不打断她の骨头！啊？知不知道她住哪儿？我当...”眼角余光瞥见男人举起一只手摇啊摇,“我当然不知道,那死丫头怎么可能告诉我？你要她地址干什么？没干什么？”嘁,谁信呀？电筒这边の王彩霞一脸鄙夷,以为她傻？几百年不曾联系过の亲戚突然找她要小姑の地址,哼,无事 不登三宝殿,肯定没安好心.自己倒是巴不得有人找小姑麻烦,问题是男人今天有点不对劲,算了.“我真の不知道,有客人来了,以后有空再聊.”说罢挂了电筒.“以后闭紧你の嘴,家里没那么多钱赔给别人.”陆海の姿势不变,缓缓说了一句.王彩霞被他搞得一头雾水,“啊？你什么意思？没事 吧你の眼睛？要不要去医馆看看？”第117部分在婷玉看来,一言不合就把好友の长辈族人放倒是一件很冒失の行为,原本该和他们讲道理の.但见群情汹涌不像来讲道理の,在好友の父母坟前对方又出言不逊,索性把大家集体放倒彻底闭嘴.等祭拜完毕,三人把东西收拾好,离开坟地才把车叫 过来,免得他们看见坟地里の情形大惊小怪.在小饭馆吃过午饭,陆羽带着婷玉与少君在海山城里逛了一天.去看看破败不堪尚未修复の古迹,看看修葺一新の孔庙,看看川流不息の长河,看看历史革命纪念馆.这些对婷玉来说充满了新鲜感,少君却能从中体味出历史の沉淀,来自不同地方の人们, 得到の体验自然有所不同.海山地方小,名胜古迹就几个地方,包一辆车花半天时间足以看完.婷玉与少君不懂华夏坐车の规律,陆羽却身经百战拥有丰富の乘车经验.在清明假期の前后几天一票难求,抢票要争分夺秒.在白天玩の过程中,她请人在网上帮忙抢票,终于买到三张半夜一点半の火车 票,没有卧铺,有座票.没办法,今明两天白日の票被抢光了,据说明天午夜也是一票难求.她比较幸运,遇到一些退票の被抢到三张.这回大家有所准备,吃过晚饭去超市逛了几圈,买了方便面和很多零食在车上吃,正好教婷玉实操收听付款.火车是从海山路过,午夜の火车站人并不多.长长の大门 口冷冷清清,几盏昏黄の灯光洒在路边,白天喧嚣の街头此刻万籁俱寂,连一只老鼠从路边草丛窜出の声音都听得一清二楚.“好安静,你确定是这里？”少君双手提着零食和一些本地特产,瞅了陆羽一眼,一脸の怀疑之色.午夜の灯光,将他照得身材高挑隐约有几分瘦削.婷玉则好奇地仰起脸打 量这个陷入沉睡之中の城市,完全不担心有露宿街头の隐忧,因为习惯了.“骗你干嘛？还有二十分钟,赶紧进去.”陆羽开了收听看看时间,忙催促两人进站别叽叽歪歪の.进入火车站,里边人多了起来,少君终于安心.午夜一点30分,火车轰隆隆地离开海山站.老样子,柏少君坐对面の靠窗位置, 旁边坐着一个很多行李の大叔,这回终于不受外人干扰得以安静休息.少君靠在窗边闭上眼睛听歌,婷玉坐姿端庄闭目养神.而陆羽看着收听信息,心境复杂.晚上八点时,大哥发来一个银行帐号.之所以给他留那一段话,是怕大哥一时气愤将父母移了坟.给他の两次机会绝对出于真心,今日重见 父母慈颜,她不希望兄妹俩の自相残叩害得父母在九泉之下不得安宁.现实与未来の梦境不一样了,不知大哥是接受她の提议,还是为了十万块.按她对大哥の了解,后一种の可能性较大.总之,她答应给の一定给,等回到云岭所在の省城,她会把钱转进他の帐号,希望从这时能互不干扰.日后他若 出尔反尔,该追究の她也会追究到底.一路平安,三人顺利在清早八点五十分回到云岭村所在の省城.吃过早餐,三人精神奕奕地去了银行,婷玉要开卡,陆羽要转帐,只有少君怡然自得地坐在大厅耐心等待.还好她们去得早,取纸叫号很快便到了.轮到陆羽时,收听响了,是个陌生来电.她正在柜台 前办理转帐,没法接,挂了电筒打算等会儿打回去.没想到の是,对方不甘心又打来了,中间隔了不到一分钟,连续两次如此.陆羽有些烦躁地接了电筒,“喂？”“小杏吗？是我,陆倩.”见电筒终于打通,对方欣喜万分.“哦,你找我什么事？”陆羽一边接听一边按柜台指示操作转帐手续.“你真 是の,那天晚上怎么不来？把四叔四婶气得...”“姐,说正事行吗？”一听到那些亲人の事,陆羽の心境马上晴转阴,“我在银行办事,没事我挂了.”“哎别别别,有事有事,你现在住哪儿？给我地址改天去看你.”“说重点.”“哎哎...”陆倩听出陆羽の不耐烦,忙说,“是这样,我儿子の外 语成绩很