高中数学排列组合公式排列组合计算公式
排列组合公式_排列组合计算公式
排列组合公式/排列组合计算公式排列P------和顺序有关组合C -------不牵涉到顺序的问题排列分顺序,组合不分例如把5本不同的书分给3个人,有几种分法. "排列"把5本书分给3个人,有几种分法"组合"1．排列及计算公式从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列；从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号p(n,m)表示.p(n,m)=n(n-1)(n-2)……(n-m+1)= n!/(n-m)!(规定0!=1).2．组合及计算公式从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合；从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数.用符号c(n,m) 表示.c(n,m)=p(n,m)/m!=n!/((n-m)!*m!)；c(n,m)=c(n,n-m);3．其他排列与组合公式从n个元素中取出r个元素的循环排列数＝p(n,r)/r=n!/r(n-r)!.n个元素被分成k类，每类的个数分别是n1,n2,...nk这n个元素的全排列数为n!/(n1!*n2!*...*nk!).k类元素,每类的个数无限,从中取出m个元素的组合数为c(m+k-1,m).排列（Pnm(n为下标，m为上标)）Pnm=n×（n-1）....（n-m+1）；Pnm=n！/（n-m）！（注：！是阶乘符号）；Pnn（两个n 分别为上标和下标）=n！；0！=1；Pn1（n为下标1为上标）=n组合（Cnm(n为下标，m为上标)）Cnm=Pnm/Pmm ；Cnm=n！/m！（n-m）！；Cnn（两个n分别为上标和下标）=1 ；Cn1（n为下标1为上标）=n；Cnm=Cnn-m2008-07-08 13:30公式P是指排列，从N个元素取R个进行排列。
高中排列组合基本公式
高中排列组合基本公式高中阶段，排列组合可是个让人又爱又恨的家伙！它就像个神秘的魔法盒子，充满了奇妙和挑战。
咱们先来说说排列的基本公式。
排列呢，简单来说就是从 n 个不同元素中取出m 个元素，按照一定的顺序排成一列。
这时候的公式就是：A(n,m) = n! / (n - m)! 这里的“!”表示阶乘，比如说 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 。
我记得有一次给学生讲这个知识点的时候，有个特别调皮的学生小周，他总是一脸迷茫。
我就问他：“小周同学，这排列咋就把你难住啦？”他皱着眉头说：“老师，这排列感觉好复杂，我弄不明白。
”我笑了笑，给他举了个例子。
我说：“假设咱们班有 10 个同学，要选 3 个同学去参加比赛，并且这 3 个同学的出场顺序很重要，那一共有多少种选法呢？”小周眨眨眼，还是不太懂。
我就接着给他解释：“这就相当于是从 10 个不同的元素（也就是同学）中取出 3 个进行排列。
根据公式 A(10, 3) = 10! / (10 - 3)! ，先算 10! = 10 × 9 × 8 × 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 ，7! = 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 ，然后用 10! 除以 7! ，就能得到总的选法啦。
”小周听了，似懂非懂地点点头。
接下来再讲讲组合的基本公式。
组合呢，就是从 n 个不同元素中取出 m 个元素组成一组，不考虑顺序。
它的公式是：C(n,m) = n! / [m! ×(n - m)!] 。
还是说咱们班选同学参加比赛的事儿，如果这 3 个同学的出场顺序不重要，只是选出3 个人就行，那这时候就要用组合的公式来计算啦。
在实际解题中，大家一定要分清楚到底是排列问题还是组合问题，顺序重要就是排列，顺序不重要就是组合。
(新)高中数学排列组合公式排列组合计算公式(供参考)
排列组合公式/排列组合计算公式排列P------和顺序有关组合C -------不牵涉到顺序的问题排列分顺序,组合不分例如把5本不同的书分给3个人,有几种分法. "排列"把5本书分给3个人,有几种分法"组合"1．排列及计算公式从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列；从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号 p(n,m)表示.p(n,m)=n(n-1)(n-2)……(n-m+1)= n!/(n-m)!(规定0!=1).2．组合及计算公式从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合；从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数.用符号c(n,m) 表示.c(n,m)=p(n,m)/m!=n!/((n-m)!*m!)；c(n,m)=c(n,n-m);3．其他排列与组合公式从n个元素中取出r个元素的循环排列数＝p(n,r)/r=n!/r(n-r)!.n个元素被分成k类，每类的个数分别是n1,n2,...nk这n个元素的全排列数为n!/(n1!*n2!*...*nk!).k类元素,每类的个数无限,从中取出m个元素的组合数为c(m+k-1,m).排列（Pnm(n为下标，m为上标)）Pnm=n×（n-1）....（n-m+1）；Pnm=n！/（n-m）！（注：！是阶乘符号）；Pnn （两个n分别为上标和下标） =n！；0！=1；Pn1（n为下标1为上标）=n组合（Cnm(n为下标，m为上标)）Cnm=Pnm/Pmm ；Cnm=n！/m！（n-m）！；Cnn（两个n分别为上标和下标） =1 ；Cn1（n为下标1为上标）=n；Cnm=Cnn-m2008-07-08 13:30公式P是指排列，从N个元素取R个进行排列。
排列组合公式 cn an
排列组合公式 cn an排列组合（Combinatorics）是数学的一个重要分支，它是研究组合、排列和计数的科学。
它可以被定义为“研究数学中组合和计数方面的规律”。
排列组合把一系列不同元素的可能排列组合方式放在一起，以解决一些实际问题。
排列组合公式cn an 是排列组合的基础。
Cn an 是排列组合的基本公式，可以用来计算从 n 个不同元素中取出 a 个元素的不同排列组合数量。
Cn an 的计算公式为：Cn an=n(n-1)(n-2)...(n-a+1)，其中 n>a 。
如果 n=a，则 Cn an = n!，其中 n! 表示 n 的阶乘。
Cn an 用途非常广泛，可以用来解决很多实际问题。
例如，当有三个不同的物品，要从中选择两个来做一件事情，可以使用 C3 2 来计算可能的组合数量。
根据 C3 2 的计算公式，可以知道有 3×2=6 种可能的组合方式。
另外，Cn an 还可以用来解决组队问题，如果有 n 个人要分成 a 个组，就可以使用 Cn an 来计算有多少种可能的分组方式。
例如，如果有 12 个人要分成 4 个小组，则可以使用 C124 来计算有多少种可能的分组方式，根据 C12 4 的计算公式，有 12×11×10×9 种可能的分组方式。
Cn an 也可以用来计算排列组合的问题，如果有 n 个不同的元素，要从中挑选出 a 个元素，按照不同的顺序排列组合，就可以使用 Cn an 来计算有多少种可能的排列组合方式。
例如，如果有四个不同的元素，要从中挑选出三个元素，按照不同的顺序排列组合，可以使用 C4 3 来计算有多少种可能的排列组合方式，根据 C4 3 的计算公式，有 4×3×2 种可能的排列组合方式。
可以看出，Cn an 是排列组合中非常常用的公式，它可以用来解决很多实际问题，如选择问题、组队问题和排列组合问题。
掌握 Cn an 的使用方法，可以有效解决实际问题，节省时间和精力，提高效率。
高中数学排列组合相关公式3篇
高中数学排列组合相关公式第一篇：排列组合基本概念和公式排列和组合是数学中的重要概念，属于初中和高中数学中的基础知识。
这两个概念通常用于处理有关选择或安排事物的问题。
排列：从n个不同的元素中任选r个元素排成一列，称为从n个不同元素中选r个元素的排列。
排列的基本公式如下：An^r = n(n-1)(n-2) …… (n-r+1)其中An^r表示从n个不同的元素中任选r个元素排成一列的方案数。
例如，从5个不同的元素中任选3个元素排成一列，即为5选3的排列。
根据排列的基本公式，5选3的排列数为An^r=5×4×3=60。
组合：从n个不同的元素中任选r个元素，不考虑元素之间的顺序，称为从n个不同元素中选r个元素的组合。
组合的基本公式如下：Cn^r = n!/r!(n-r)!其中Cn^r表示从n个不同的元素中任选r个元素的组合方案数。
n!表示n的阶乘，即n×(n-1)×(n-2)×……×2×1。
例如，从5个不同的元素中任选3个元素的组合数，即为5选3的组合。
根据组合的基本公式，5选3的组合数为C5^3=5!/(3!2!)=10。
排列和组合的关系：排列和组合有很多类似的性质，但是也有不同点。
其中最重要的一点是：一个排列中，每个元素的位置不同，导致不同的排列。
而在一个组合中，元素之间是不考虑顺序的，所以如果元素相同，不同的顺序算作同一种组合。
第二篇：排列组合的应用排列组合在数学中有着广泛的应用，下面将介绍几个常见的例子。
1. 生日问题如果有23个人在一起，那么至少有两个人生日相同的概率是多少？将每一个人的生日当做一个元素，一共有365个不同的生日（不考虑闰年的情况）。
这时我们要求的其实是在这23个人中选取2个或2个以上有相同生日的概率，也就是不出现任何两个人生日相同的概率。
按照组合的计算方法，我们可以得到不出现任何两个人生日相同的概率为：P = C365^23/365^23 ≈ 0.493所以至少有两个人生日相同的概率为：1-P ≈ 0.5072. 球队比赛现在有5个球队进行比赛，每个球队需要和其他球队各打一场比赛，问总共需要打几场？我们可以将这个问题看作是5个不同的元素进行排列组合。
排列组合公式排列组合计算公式高中数学
排列组合公式排列组合计算公式高中数学Company number【1089WT-1898YT-1W8CB-9UUT-92108】排列组合公式/排列组合计算公式公式P是指排列，从N个元素取R个进行排列。
公式C是指组合，从N个元素取R个，不进行排列。
N-元素的总个数R参与选择的元素个数！-阶乘，如9！＝9*8*7*6*5*4*3*2*1从N倒数r个，表达式应该为n*（n-1)*(n-2)..(n-r+1);因为从n到（n-r+1)个数为n－（n-r+1)＝r举例：Q1:有从1到9共计9个号码球，请问，可以组成多少个三位数A1: 123和213是两个不同的排列数。
即对排列顺序有要求的，既属于“排列P”计算范畴。
上问题中，任何一个号码只能用一次，显然不会出现988,997之类的组合，我们可以这么看，百位数有9种可能，十位数则应该有9-1种可能，个位数则应该只有9-1-1种可能，最终共有9*8*7个三位数。
计算公式＝P（3，9)＝9*8*7,(从9倒数3个的乘积）Q2: 有从1到9共计9个号码球，请问，如果三个一组，代表“三国联盟”，可以组合成多少个“三国联盟”A2: 213组合和312组合，代表同一个组合，只要有三个号码球在一起即可。
即不要求顺序的，属于“组合C”计算范畴。
上问题中，将所有的包括排列数的个数去除掉属于重复的个数即为最终组合数C(3,9)=9*8*7/3*2*1排列、组合的概念和公式典型例题分析例1设有3名学生和4个课外小组．（1）每名学生都只参加一个课外小组；（2）每名学生都只参加一个课外小组，而且每个小组至多有一名学生参加．各有多少种不同方法解（1）由于每名学生都可以参加4个课外小组中的任何一个，而不限制每个课外小组的人数，因此共有种不同方法．（2）由于每名学生都只参加一个课外小组，而且每个小组至多有一名学生参加，因此共有种不同方法．点评由于要让3名学生逐个选择课外小组，故两问都用乘法原理进行计算．例2 排成一行，其中不排第一，不排第二，不排第三，不排第四的不同排法共有多少种解依题意，符合要求的排法可分为第一个排、、中的某一个，共3类，每一类中不同排法可采用画“树图”的方式逐一排出：∴ 符合题意的不同排法共有9种．点评按照分“类”的思路，本题应用了加法原理．为把握不同排法的规律，“树图”是一种具有直观形象的有效做法，也是解决计数问题的一种数学模型．例３判断下列问题是排列问题还是组合问题并计算出结果．（1）高三年级学生会有11人：①每两人互通一封信，共通了多少封信②每两人互握了一次手，共握了多少次手（2）高二年级数学课外小组共10人：①从中选一名正组长和一名副组长，共有多少种不同的选法②从中选2名参加省数学竞赛，有多少种不同的选法（3）有2，3，5，7，11，13，17，19八个质数：①从中任取两个数求它们的商可以有多少种不同的商②从中任取两个求它的积，可以得到多少个不同的积（4）有8盆花：①从中选出2盆分别给甲乙两人每人一盆，有多少种不同的选法②从中选出2盆放在教室有多少种不同的选法分析（1）①由于每人互通一封信，甲给乙的信与乙给甲的信是不同的两封信，所以与顺序有关是排列；②由于每两人互握一次手，甲与乙握手，乙与甲握手是同一次握手，与顺序无关，所以是组合问题．其他类似分析．（1）①是排列问题，共用了封信；②是组合问题，共需握手（次）．（2）①是排列问题，共有（种）不同的选法；②是组合问题，共有种不同的选法．（3）①是排列问题，共有种不同的商；②是组合问题，共有种不同的积．（4）①是排列问题，共有种不同的选法；②是组合问题，共有种不同的选法．例４证明．证明左式右式．∴ 等式成立．点评这是一个排列数等式的证明问题，选用阶乘之商的形式，并利用阶乘的性质，可使变形过程得以简化．例5 化简．解法一原式解法二原式点评解法一选用了组合数公式的阶乘形式，并利用阶乘的性质；解法二选用了组合数的两个性质，都使变形过程得以简化．例6 解方程：（1）；（2）．解（1）原方程解得．（2）原方程可变为∵ ，，∴ 原方程可化为．即，解得第六章排列组合、二项式定理一、考纲要求1.掌握加法原理及乘法原理，并能用这两个原理分析解决一些简单的问题.2.理解排列、组合的意义，掌握排列数、组合数的计算公式和组合数的性质，并能用它们解决一些简单的问题.3.掌握二项式定理和二项式系数的性质，并能用它们计算和论证一些简单问题.二、知识结构三、知识点、能力点提示(一)加法原理乘法原理说明加法原理、乘法原理是学习排列组合的基础，掌握此两原理为处理排列、组合中有关问题提供了理论根据.例15位高中毕业生，准备报考3所高等院校，每人报且只报一所，不同的报名方法共有多少种解：5个学生中每人都可以在3所高等院校中任选一所报名，因而每个学生都有3种不同的报名方法，根据乘法原理，得到不同报名方法总共有3×3×3×3×3=35(种)(二)排列、排列数公式说明排列、排列数公式及解排列的应用题，在中学代数中较为独特，它研究的对象以及研究问题的方法都和前面掌握的知识不同，内容抽象，解题方法比较灵活，历届高考主要考查排列的应用题，都是选择题或填空题考查.例2由数字1、2、3、4、5组成没有重复数字的五位数，其中小于50 000的偶数共有()个个个个解因为要求是偶数，个位数只能是2或4的排法有P12；小于50 000的五位数，万位只能是1、3或2、4中剩下的一个的排法有P13;在首末两位数排定后，中间3个位数的排法有P33，得P13P33P12＝36(个)由此可知此题应选C.例3将数字1、2、3、4填入标号为1、2、3、4的四个方格里，每格填一个数字，则每个方格的标号与所填的数字均不同的填法有多少种解：将数字1填入第2方格，则每个方格的标号与所填的数字均不相同的填法有3种，即214 3，3142，4123；同样将数字1填入第3方格，也对应着3种填法；将数字1填入第4方格，也对应3种填法，因此共有填法为3P13=9(种).例四例五可能有问题，等思考三)组合、组合数公式、组合数的两个性质说明历届高考均有这方面的题目出现，主要考查排列组合的应用题，且基本上都是由选择题或填空题考查.例4从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少有甲型与乙型电视机各1台，则不同的取法共有()种种种种解：抽出的3台电视机中甲型1台乙型2台的取法有C14·C25种；甲型2台乙型1台的取法有C24·C15种根据加法原理可得总的取法有C24·C25+C24·C15=40+30=70(种 )可知此题应选C.例5甲、乙、丙、丁四个公司承包8项工程，甲公司承包3项，乙公司承包1 项，丙、丁公司各承包2项，问共有多少种承包方式解：甲公司从8项工程中选出3项工程的方式 C38种；乙公司从甲公司挑选后余下的5项工程中选出1项工程的方式有C15种；丙公司从甲乙两公司挑选后余下的4项工程中选出2项工程的方式有C24种；丁公司从甲、乙、丙三个公司挑选后余下的2项工程中选出2项工程的方式有C 22种.根据乘法原理可得承包方式的种数有C 38×C 15×C 24×C 22= ×1=1680(种). (四)二项式定理、二项展开式的性质说明二项式定理揭示了二项式的正整数次幂的展开法则，在数学中它是常用的基础知识 ，从1985年至1998年历届高考均有这方面的题目出现，主要考查二项展开式中通项公式等，题型主要为选择题或填空题. 例6在(x- )10的展开式中，x 6的系数是()解设(x- )10的展开式中第γ+1项含x 6， 因T γ+1=C γ10x 10-γ(- )γ，10-γ=6,γ=4于是展开式中第5项含x 6，第5项系数是C 410(- )4=9C 410 故此题应选D.例7(x-1)-(x-1)2＋(x-1)3-(x-1)+(x-1)５的展开式中的x ２的系数等于解：此题可视为首项为x-1，公比为-(x-1)的等比数列的前5项的和，则其和为 在(x-1)6中含x 3的项是C 36x 3(-1)3=-20x 3，因此展开式中x 2的系数是-2 0. (五)综合例题赏析例8若(2x+ )4=a 0+a 1x+a 2x 2+a 3x 3+a 4x 4，则(a 0+a 2+a 4)2-(a 1+a 3)2的值为()解：A.例92名医生和4名护士被分配到2所学校为学生体检，每校分配1名医生和2 名护士，不同的分配方法共有() 种种种种解分医生的方法有P 22＝2种，分护士方法有C 24=6种，所以共有6×2＝12种不同的分配方法。
高中数学计数原理公式
高中数学计数原理公式
高中数学中的计数原理公式包括排列公式、组合公式和多重集合的组合公式。
排列公式：
排列公式是用来计算从n个不同元素中取出r个元素进行排列
的方法数。
根据排列公式，用下述方式表示：
P(n, r) = n! / (n-r)!
其中，n!表示n的阶乘，即n*(n-1)*(n-2)*...*3*2*1。
组合公式：
组合公式是用来计算从n个不同元素中取出r个元素进行组合
的方法数。
根据组合公式，用下述方式表示：
C(n, r) = n! / (r!*(n-r)!)
其中，n!表示n的阶乘，r!表示r的阶乘，(n-r)!表示(n-r)的阶乘。
多重集合的组合公式：
多重集合是指元素可以重复取出的集合。
在多重集合中，从n
个不同元素中取出r个元素进行组合的方法数由下述公式给出：C(r+n-1, r) = (r+n-1)! / (r!*(n-1)!)
其中，r+n-1表示总共的元素个数。
这些计数原理公式在高中数学的排列组合等知识中经常用到，可以帮助解决各类与元素选取、排列组合相关的问题。
排列组合公式高中
排列组合公式高中
排列组合是数学中的一种计数方法，用于确定从给定的元素集合中选取若干个元素进行排列或组合的方式数。
1. 排列公式：
排列是指从一组元素中选取若干个元素进行排列的方式数。
若有n个元素，选取r个元素进行排列，排列的方式数记为P(n,r)。
排列公式为：
P(n,r) = n! / (n-r)!
n!表示n的阶乘，即n! = n * (n-1) * (n-2) * … * 1。
(n-r)!表示n-r的阶乘。
2. 组合公式：
组合是指从一组元素中选取若干个元素进行组合的方式数。
若有n个元素，选取r个元素进行组合，组合的方式数记为C(n,r)。
组合公式为：
C(n,r) = n! / (r! * (n-r)!)
n!表示n的阶乘，即n! = n * (n-1) * (n-2) * … * 1。
(r! * (n-r)!)表示r的阶乘与(n-r)的阶乘的乘积。
以上就是高中排列组合的公式，希望能对你有所帮助。
数字的排列组合
数字的排列组合数字的排列组合是数学中非常重要的一个概念。
在许多领域中，排列组合都扮演着重要的角色，例如概率论、统计学、密码学等。
通过对数字的排列和组合，我们可以得到更多的可能性和变化。
一、排列排列是指对给定的元素按照一定的顺序进行组合。
在排列中，元素之间的顺序是重要的。
对于给定的n个元素，从中选取k个元素进行排列的方式有P(n, k)种，其中P表示排列数。
排列数的计算公式如下：P(n, k) = n! / (n-k)!其中，n!表示n的阶乘，即n! = n * (n-1) * (n-2) * ... * 1。
而k!表示k的阶乘。
二、组合组合是指对给定的元素进行选择但无需考虑元素之间的顺序。
在组合中，元素之间的顺序是无关紧要的。
对于给定的n个元素，从中选取k个元素进行组合的方式有C(n, k)种，其中C表示组合数。
组合数的计算公式如下：C(n, k) = n! / (k! * (n-k)!)三、应用案例1. 抽奖活动假设有10个人参加抽奖活动，其中只有3个奖品可供选择。
那么计算中奖的可能性就是一个排列问题。
根据排列数的计算公式，可以得知这个活动中中奖的可能性为P(10, 3) = 10! / (10-3)! = 720种。
2. 密码破解在密码学中，如果一个密码由n个字符组成，每个字符有k种选择，则密码的可能性为k的n次方。
例如，一个有6位数字组成的密码，而每一位数字有10种选择（0-9），那么密码的可能性就是10的6次方，即1000000种。
这个例子中，我们考虑的是排列问题。
3. 组合投资假设你有1000元的资金可以用于投资，那么你可以选择将资金分配到不同的投资项目上。
假设有5个投资项目可供选择，而你最多只能选择3个项目进行投资。
这个例子中，我们考虑的是组合问题。
根据组合数的计算公式，可以得知你有C(5, 3) = 5! / (3! * (5-3)!) = 10种不同的组合方式。
总结：数字的排列组合在数学中具有重要的意义，它们在实际生活中有着广泛的应用。
排列组合和排列组合计算公式
排列组合公式/排列组合计算公式排列 A------和顺序有关组合 C -------不牵涉到顺序的问题排列分顺序,组合不分例如把5本不同的书分给3个人,有几种分法. "排列"把5本书分给3个人,有几种分法"组合"1．排列及计算公式从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列；An m=n(n-1)(n-2)……(n-m+1)= n!/(n-m)! (规定0!=1).2．组合及计算公式从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合；Cn m=A n m/m!=n!/((n-m)!*m!)C n m=C n n-m倒数排列、组合的概念和公式典型例题分析例1 设有3名学生和4个课外小组．（1）每名学生都只参加一个课外小组；（2）每名学生都只参加一个课外小组，而且每个小组至多有一名学生参加．各有多少种不同方法？解（1）由于每名学生都可以参加4个课外小组中的任何一个，而不限制每个课外小组的人数，因此共有种不同方法．（2）由于每名学生都只参加一个课外小组，而且每个小组至多有一名学生参加，因此共有种不同方法．点评由于要让3名学生逐个选择课外小组，故两问都用乘法原理进行计算．例2 排成一行，其中不排第一，不排第二，不排第三，不排第四的不同排法共有多少种？解依题意，符合要求的排法可分为第一个排、、中的某一个，共3类，每一类中不同排法可采用画“树图”的方式逐一排出：∴符合题意的不同排法共有9种．点评按照分“类”的思路，本题应用了加法原理．为把握不同排法的规律，“树图”是一种具有直观形象的有效做法，也是解决计数问题的一种数学模型．例３判断下列问题是排列问题还是组合问题？并计算出结果．（1）高三年级学生会有11人：①每两人互通一封信，共通了多少封信？②每两人互握了一次手，共握了多少次手？（2）高二年级数学课外小组共10人：①从中选一名正组长和一名副组长，共有多少种不同的选法？②从中选2名参加省数学竞赛，有多少种不同的选法？（3）有2，3，5，7，11，13，17，19八个质数：①从中任取两个数求它们的商可以有多少种不同的商？②从中任取两个求它的积，可以得到多少个不同的积？（4）有8盆花：①从中选出2盆分别给甲乙两人每人一盆，有多少种不同的选法？②从中选出2盆放在教室有多少种不同的选法？分析（1）①由于每人互通一封信，甲给乙的信与乙给甲的信是不同的两封信，所以与顺序有关是排列；②由于每两人互握一次手，甲与乙握手，乙与甲握手是同一次握手，与顺序无关，所以是组合问题．其他类似分析．（1）①是排列问题，共用了封信；②是组合问题，共需握手（次）．（2）①是排列问题，共有（种）不同的选法；②是组合问题，共有种不同的选法．（3）①是排列问题，共有种不同的商；②是组合问题，共有种不同的积．（4）①是排列问题，共有种不同的选法；②是组合问题，共有种不同的选法．(一)加法原理乘法原理说明加法原理、乘法原理是学习排列组合的基础，掌握此两原理为处理排列、组合中有关问题提供了理论根据.例15位高中毕业生，准备报考3所高等院校，每人报且只报一所，不同的报名方法共有多少种?解：5个学生中每人都可以在3所高等院校中任选一所报名，因而每个学生都有3种不同的报名方法，根据乘法原理，得到不同报名方法总共有3×3×3×3×3=35(种)(二)排列、排列数公式说明排列、排列数公式及解排列的应用题，在中学代数中较为独特，它研究的对象以及研究问题的方法都和前面掌握的知识不同，内容抽象，解题方法比较灵活，历届高考主要考查排列的应用题，都是选择题或填空题考查.例2由数字1、2、3、4、5组成没有重复数字的五位数，其中小于50 000的偶数共有()A.60个B.48个C.36个 D.24个解因为要求是偶数，个位数只能是2或4的排法有P12；小于50 000的五位数，万位只能是1、3或2、4中剩下的一个的排法有P13;在首末两位数排定后，中间3个位数的排法有P33，得P13P33P12＝36(个)由此可知此题应选C.例3将数字1、2、3、4填入标号为1、2、3、4的四个方格里，每格填一个数字，则每个方格的标号与所填的数字均不同的填法有多少种?解：将数字1填入第2方格，则每个方格的标号与所填的数字均不相同的填法有3种，即214 3，3142，4123；同样将数字1填入第3方格，也对应着3种填法；将数字1填入第4方格，也对应3种填法，因此共有填法为3P13=9(种).例四例五可能有问题，等思考三)组合、组合数公式、组合数的两个性质说明历届高考均有这方面的题目出现，主要考查排列组合的应用题，且基本上都是由选择题或填空题考查.例4从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少有甲型与乙型电视机各1台，则不同的取法共有()A.140种B.84种C.70种 D.35种解：抽出的3台电视机中甲型1台乙型2台的取法有C14·C25种；甲型2台乙型1台的取法有C24·C15种根据加法原理可得总的取法有C24·C25+C24·C15=40+30=70(种 )可知此题应选C.例5甲、乙、丙、丁四个公司承包8项工程，甲公司承包3项，乙公司承包1 项，丙、丁公司各承包2项，问共有多少种承包方式?解：甲公司从8项工程中选出3项工程的方式 C38种；乙公司从甲公司挑选后余下的5项工程中选出1项工程的方式有C15种；丙公司从甲乙两公司挑选后余下的4项工程中选出2项工程的方式有C24种；丁公司从甲、乙、丙三个公司挑选后余下的2项工程中选出2项工程的方式有C22种.根据乘法原理可得承包方式的种数有C3 8×C15×C24×C22=×1=1680(种).(四)二项式定理、二项展开式的性质说明二项式定理揭示了二项式的正整数次幂的展开法则，在数学中它是常用的基础知识，从1985年至1998年历届高考均有这方面的题目出现，主要考查二项展开式中通项公式等，题型主要为选择题或填空题.例6在(x-)10的展开式中，x6的系数是()A.-27C610B.27C410C.-9C610D.9C410解设(x-)10的展开式中第γ+1项含x6，因Tγ+1=Cγ10x10-γ(-)γ，10-γ=6,γ=4于是展开式中第5项含x 6，第5项系数是C410(-)4=9C410故此题应选D.例7(x-1)-(x-1)2＋(x-1)3-(x-1)+(x-1)５的展开式中的x２的系数等于解：此题可视为首项为x-1，公比为-(x-1)的等比数列的前5项的和，则其和为在(x-1)6中含x3的项是C36x3(-1)3=-20x3，因此展开式中x2的系数是-2 0.(五)综合例题赏析例8若(2x+)4=a0+a1x+a2x 2+a3x3+a4x4，则(a0+a2+a4)2-(a1+a3)2的值为()A.1B.-1C.0D.2解：A.例92名医生和4名护士被分配到2所学校为学生体检，每校分配1名医生和2 名护士，不同的分配方法共有()A.6种B.12种 C.18种 D.24种解分医生的方法有P22＝2种，分护士方法有C24=6种，所以共有6×2＝12种不同的分配方法。
高中数学排列组合问题的几种基本方法
• 练习： 有12个人，按照下列要求分配，求不同的分法种 数． （1）分为两组，一组7人，一组5人； （2）分为甲、乙两组，甲组7人，乙组5人； （3）分为甲、乙两组，一组7人，一组5人； （4）分为甲、乙两组，每组6人； （5）分为两组，每组6人； （6）分为三组，一组5人，一组4人，一组3人； （7）分为甲、乙、丙三组，甲组5人，乙组4人，丙组3人； （8）分为甲、乙、丙三组，一组5人，一组4人，一组3人； （9）分为甲、乙、丙三组，每组4人； （10）分为三组，每组4人．
2015/10/4
解: 如图所示
4 7 A4 A7
→ ↑ → ↑ ↑ → → → ↑ → → 1 ① 2 ② ③ 3 4 5 ④ 6 7
8
4. 隔板法： n个 相同小球放入m(m≤n)个盒子里,要求每个 盒子里至少有一个小球的放法等价于n个相同小球 串成一串从间隙里选m-1个结点剪截成m段. 例4. 某校准备参加今年高中数学联赛,把16个选手 名额分配到高三年级的1-4 个教学班,每班至少一个 名额,则不同的分配方案共有___种. 解： 问题等价于把16个相同小球放入4个盒子里, 每个盒子至少有一个小球的放法种数问题. 3 将16个小球串成一串，截为4段有 C15 455 种截断法，对应放到4个盒子里. 因此，不同的分配方案共有455种 .
例6. 从集合{0,1,2,3,5,7,11}中任取3个元素分别作为直 线方程Ax+By+C=0中的A、B、C，所得的经过坐标 原点的直线有_________条. 解：所有这样的直线共有
A 210 条， 1 2 其中不过原点的直线有 A6 A6 180 条，
3 7
15
∴所得的经过坐标原点的直线有210-180＝30条.
高中数学排列组合知识点总结
高中数学排列组合知识点总结排列组合是高中数学中的一个重要概念，涉及到数学中的选择、排列和组合等问题。
在解决实际问题中，排列组合常常能够提供有效的理论框架和计算方法。
本文将对高中数学中的排列组合知识点进行总结，帮助读者更好地理解和应用这一内容。
一、基本概念在开始讨论排列组合知识点之前，先来明确一些基本概念。
1.排列（Permutation）指的是从给定的一组元素中选出若干个元素按照一定的顺序进行排列。
2.组合（Combination）指的是从给定的一组元素中选出若干个元素进行组合，不考虑其顺序。
二、排列计算1.排列定义：从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素进行排列，称为从n个不同元素中取出m个元素的排列。
记作A(n,m)或P(n,m)。
2.排列计算公式：A(n,m) = n! / (n-m)!其中，n!表示n的阶乘，表示从1到n的所有正整数相乘。
三、组合计算1.组合定义：从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素进行组合，称为从n个不同元素中取出m个元素的组合。
记作C(n,m)。
2.组合计算公式：C(n,m) = n! / (m! * (n-m)!)四、问题求解1.排列问题求解步骤：a.明确问题的条件和要求；b.根据问题的条件和要求确定排列的范围和规模；c.根据排列计算公式进行计算；d.根据问题的要求进行答案的整理和归纳。
2.组合问题求解步骤：a.明确问题的条件和要求；b.根据问题的条件和要求确定组合的范围和规模；c.根据组合计算公式进行计算；d.根据问题的要求进行答案的整理和归纳。
五、常见问题类型1.选择问题：从给定的选项中选择若干个进行排列或组合。
2.分组问题：将一组元素进行分组排列或组合。
3.座位问题：将若干个人或物品按不同的排列规则安排座位。
4.商业问题：涉及到商品的排列和组合。
5.应用问题：将排列组合运用到实际生活和科学研究中。
六、应用示例1.案例一：某队伍有7名运动员，其中需要选出3名队员参加比赛，有多少种不同的选择方式？解答：根据组合计算公式C(7,3)，可以得到答案为35种。
排列组合公式排列组合计算公式
<<排列组合公式/排列组合计算公式>>公式P是指排列，从N个元素取R个进行排列。
公式C是指组合，从N个元素取R个，不进行排列。
N-元素的总个数R参与选择的元素个数“！”-阶乘，如 9！＝9*8*7*6*5*4*3*2*1从N倒数r个，表达式应该为n*（n-1)*(n-2)..(n-r+1);因为从n到（n-r+1)个数为n－（n-r+1)＝r举例：Q1:有从1到9共计9个号码球，请问，可以组成多少个三位数？A1: 123和213是两个不同的排列数。
即对排列顺序有要求的，既属于“排列P”计算范畴。
上问题中，任何一个号码只能用一次，显然不会出现988,997之类的组合，我们可以这么看，百位数有9种可能，十位数则应该有9-1种可能，个位数则应该只有9-1-1种可能，最终共有9*8*7个三位数。
计算公式＝P（3，9)＝9*8*7,(从9倒数3个的乘积）Q2: 有从1到9共计9个号码球，请问，如果三个一组，代表“三国联盟”，可以组合成多少个“三国联盟”？A2: 213组合和312组合，代表同一个组合，只要有三个号码球在一起即可。
即不要求顺序的，属于“组合C”计算范畴。
上问题中，将所有的包括排列数的个数去除掉属于重复的个数即为最终组合数C(3,9)=9*8*7/3*2*1排列、组合的概念和公式典型例题分析例1设有3名学生和4个课外小组．（1）每名学生都只参加一个课外小组；（2）每名学生都只参加一个课外小组，而且每个小组至多有一名学生参加．各有多少种不同方法？解（1）由于每名学生都可以参加4个课外小组中的任何一个，而不限制每个课外小组的人数，因此共有种不同方法．（2）由于每名学生都只参加一个课外小组，而且每个小组至多有一名学生参加，因此共有种不同方法．点评由于要让3名学生逐个选择课外小组，故两问都用乘法原理进行计算．例2 排成一行，其中不排第一，不排第二，不排第三，不排第四的不同排法共有多少种？解依题意，符合要求的排法可分为第一个排、、中的某一个，共3类，每一类中不同排法可采用画“树图”的方式逐一排出：∴ 符合题意的不同排法共有9种．点评按照分“类”的思路，本题应用了加法原理．为把握不同排法的规律，“树图”是一种具有直观形象的有效做法，也是解决计数问题的一种数学模型．例３判断下列问题是排列问题还是组合问题？并计算出结果．（1）高三年级学生会有11人：①每两人互通一封信，共通了多少封信？②每两人互握了一次手，共握了多少次手？（2）高二年级数学课外小组共10人：①从中选一名正组长和一名副组长，共有多少种不同的选法？②从中选2名参加省数学竞赛，有多少种不同的选法？（3）有2，3，5，7，11，13，17，19八个质数：①从中任取两个数求它们的商可以有多少种不同的商？②从中任取两个求它的积，可以得到多少个不同的积？（4）有8盆花：①从中选出2盆分别给甲乙两人每人一盆，有多少种不同的选法？②从中选出2盆放在教室有多少种不同的选法？分析（1）①由于每人互通一封信，甲给乙的信与乙给甲的信是不同的两封信，所以与顺序有关是排列；②由于每两人互握一次手，甲与乙握手，乙与甲握手是同一次握手，与顺序无关，所以是组合问题．其他类似分析．（1）①是排列问题，共用了封信；②是组合问题，共需握手（次）．（2）①是排列问题，共有（种）不同的选法；②是组合问题，共有种不同的选法．（3）①是排列问题，共有种不同的商；②是组合问题，共有种不同的积．（4）①是排列问题，共有种不同的选法；②是组合问题，共有种不同的选法．例４证明．证明左式右式．∴ 等式成立．点评这是一个排列数等式的证明问题，选用阶乘之商的形式，并利用阶乘的性质，可使变形过程得以简化．例5 化简．解法一原式解法二原式点评解法一选用了组合数公式的阶乘形式，并利用阶乘的性质；解法二选用了组合数的两个性质，都使变形过程得以简化例6 解方程：（1）；（2）．解（1）原方程解得．（2）原方程可变为∵ ，，∴ 原方程可化为．即，解得第六章排列组合、二项式定理一、考纲要求1.掌握加法原理及乘法原理，并能用这两个原理分析解决一些简单的问题.2.理解排列、组合的意义，掌握排列数、组合数的计算公式和组合数的性质，并能用它们解决一些简单的问题.3.掌握二项式定理和二项式系数的性质，并能用它们计算和论证一些简单问题.二、知识结构三、知识点、能力点提示(一)加法原理乘法原理说明加法原理、乘法原理是学习排列组合的基础，掌握此两原理为处理排列、组合中有关问题提供了理论根据.例1 5位高中毕业生，准备报考3所高等院校，每人报且只报一所，不同的报名方法共有多少种?解： 5个学生中每人都可以在3所高等院校中任选一所报名，因而每个学生都有3种不同的报名方法，根据乘法原理，得到不同报名方法总共有3×3×3×3×3=35(种)(二)排列、排列数公式说明排列、排列数公式及解排列的应用题，在中学代数中较为独特，它研究的对象以及研究问题的方法都和前面掌握的知识不同，内容抽象，解题方法比较灵活，历届高考主要考查排列的应用题，都是选择题或填空题考查.例2由数字1、2、3、4、5组成没有重复数字的五位数，其中小于50 000的偶数共有( )A.60个B.48个C.36个D.24个解因为要求是偶数，个位数只能是2或4的排法有P12；小于50 000的五位数，万位只能是1、3或2、4中剩下的一个的排法有P13;在首末两位数排定后，中间3个位数的排法有P33，得P13P33P12＝36(个)由此可知此题应选C.例3将数字1、2、3、4填入标号为1、2、3、4的四个方格里，每格填一个数字，则每个方格的标号与所填的数字均不同的填法有多少种?解：将数字1填入第2方格，则每个方格的标号与所填的数字均不相同的填法有3种，即214 3，3142，4123；同样将数字1填入第3方格，也对应着3种填法；将数字1填入第4方格，也对应3种填法，因此共有填法为3P13=9(种).例四例五可能有问题，等思考三)组合、组合数公式、组合数的两个性质说明历届高考均有这方面的题目出现，主要考查排列组合的应用题，且基本上都是由选择题或填空题考查.例4从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少有甲型与乙型电视机各1台，则不同的取法共有( )A.140种B.84种C.70种D.35种解：抽出的3台电视机中甲型1台乙型2台的取法有C14·C25种；甲型2台乙型1台的取法有C24·C15种根据加法原理可得总的取法有C24·C25+C24·C15=40+30=70(种 )可知此题应选C.例5甲、乙、丙、丁四个公司承包8项工程，甲公司承包3项，乙公司承包1 项，丙、丁公司各承包2项，问共有多少种承包方式?解：甲公司从8项工程中选出3项工程的方式 C38种；乙公司从甲公司挑选后余下的5项工程中选出1项工程的方式有C15种；丙公司从甲乙两公司挑选后余下的4项工程中选出2项工程的方式有C24种；丁公司从甲、乙、丙三个公司挑选后余下的2项工程中选出2项工程的方式有C22种.根据乘法原理可得承包方式的种数有C38×C15×C24×C22=×1=1680(种).(四)二项式定理、二项展开式的性质说明二项式定理揭示了二项式的正整数次幂的展开法则，在数学中它是常用的基础知识，从1985年至1998年历届高考均有这方面的题目出现，主要考查二项展开式中通项公式等，题型主要为选择题或填空题.例6在(x-)10的展开式中，x6的系数是( )A.-27C610B.27C410C.-9C610D.9C410解设(x-)10的展开式中第γ+1项含x6，因Tγ+1=Cγ10x10-γ(-)γ，10-γ=6,γ=4于是展开式中第5项含x 6，第5项系数是C410(-)4=9C410故此题应选D.例7 (x-1)-(x-1)2＋(x-1)3-(x-1)+(x-1)５的展开式中的x２的系数等于解：此题可视为首项为x-1，公比为-(x-1)的等比数列的前5项的和，则其和为在(x-1)6中含x3的项是C36x3(-1)3=-20x3，因此展开式中x2的系数是-2 0.(五)综合例题赏析例8若(2x+)4=a0+a1x+a2x 2+a3x3+a4x4，则(a0+a2+a4)2-(a1+a3)2的值为( )A.1B.-1C.0 D .2解：A.例9 2名医生和4名护士被分配到2所学校为学生体检，每校分配1名医生和2 名护士，不同的分配方法共有( )A.6种B.12种C.18种D.24种解分医生的方法有P22＝2种，分护士方法有C24=6种，所以共有6×2＝12种不同的分配方法。
高中数学中的排列组合详细分析
高中数学中的排列组合详细分析在高中数学中，排列组合是一个重要的概念和工具。
它不仅在数学中有广泛的应用，还在实际生活中起着重要的作用。
本文将对排列组合进行详细的分析，包括定义、性质和应用等方面。
一、排列组合的定义排列和组合是两个不同的概念，但它们都属于离散数学中的组合数学。
在讨论排列组合之前，我们先来了解一下它们的定义。
1. 排列排列是指从一组元素中选取若干个元素进行排列的方式。
在排列中，元素的顺序是重要的。
假设有n个元素，要从中选取r个元素进行排列，那么排列的总数记作P(n,r)。
排列的计算公式为：P(n,r) = n! / (n-r)!其中，n!表示n的阶乘，即n! = n*(n-1)*(n-2)*...*2*1。
2. 组合组合是指从一组元素中选取若干个元素进行组合的方式。
在组合中，元素的顺序是不重要的。
假设有n个元素，要从中选取r个元素进行组合，那么组合的总数记作C(n,r)。
组合的计算公式为：C(n,r) = n! / (r!*(n-r)!)二、排列组合的性质排列组合具有一些重要的性质，这些性质在解决问题时起到了关键的作用。
1. 乘法原理乘法原理是指，如果一个事件发生的方式有m种，而另一个事件发生的方式有n种，那么这两个事件同时发生的方式有m*n种。
在排列组合中，乘法原理可以用来计算多个事件同时发生的方式数。
2. 加法原理加法原理是指，如果一个事件发生的方式有m种，而另一个事件发生的方式有n种，且这两个事件不可能同时发生，那么这两个事件发生的方式总数为m+n种。
在排列组合中，加法原理可以用来计算两个事件发生的方式总数。
3. 组合恒等式组合恒等式是指，对于任意的非负整数n和r，有以下恒等式成立：C(n,r) = C(n-1,r-1) + C(n-1,r)这个恒等式的意义在于，将n个元素中的一个元素作为特殊元素，分为两种情况：特殊元素被选中，和特殊元素不被选中。
这样就可以将原问题转化为两个子问题，通过加法原理求解。
高中数学排列组合及概率的基本公式、概念及应用
高中数学排列组合及概率的基本公式、概念及应用1 分类计数原理（加法原理）：N m m m .1 2 n分步计数原理（乘法原理）：N m m m .1 2 n2 排列数公式：mA =n(n 1)(n m 1)=nn！.( n，m∈N*，且m n ) ．规定0! 1. (n m)！3 组合数公式：mC =nmAnmAm=n(n11)2(n mm1)=n！( n∈N*，m N ，且m n ).m (n m)！！组合数的两个性质:(1) mC =nn mC ;(2)nmC +nm 1 m 0C =C 1 . 规定C 1.n n n4 二项式定理n C0a n C1a n 1b C 2a n 2b2 C r a n r b r C n b n(a b) ;n n n n n 二项展开式的通项公式r n r rT r 1 C a b (r0，1，2 ，n) .nn 2 nf (x) (ax b) a a x a x a x 的展开式的系数关系：0 1 2 na0 a1 a2 a n f (1)；na0 a1 a2 ( 1) a f ( 1)；a0 f (0) 。
n5 互斥事件A，B 分别发生的概率的和：P(A＋B)=P(A) ＋P(B) ．n个互斥事件分别发生的概率的和：P(A1＋A2＋⋯＋An)=P(A 1) ＋P(A2) ＋⋯＋P(An)．6 独立事件A，B 同时发生的概率：P(A·B)= P(A) ·P(B).n 个独立事件同时发生的概率：P(A 1· A 2·⋯· A n)=P(A 1) ·P(A 2) ·⋯·P(A n) ．k k n k7n 次独立重复试验中某事件恰好发生k 次的概率：( ) (1 ) .P k C P Pn n8 数学期望：E x P x P x P1 12 2 n n数学期望的性质（1）E(a b) aE( ) b . （2）若～B (n, p) ,则E np .(3) 若服从几何分布, 且k 1P( k) g (k, p) q p，则E 1 p .9 方差： 2 2 2D xE p x E p x E p1 12 2 n n标准差：= D .方差的性质：(1) 2D a b a D ；(2 ）若～B(n, p) ，则D np(1 p) .(3) 若服从几何分布, 且k 1P( k) g (k, p) q p，则Dq2p.方差与期望的关系：22D E E .10 正态分布密度函数：2x1226f x e , x , ，2 6式中的实数 μ， （ >0）是参数，分别表示个体的平均数与标准差.2对于N ( ,) ，取值小于x 的概率：x F x .P x 1 xxP x xP x x0 22111 f (x) 在 x 处的导数（或变化率） ：y f ( x x) f (x )0 0f (x ) y x x lim limx 0 x 0x x.瞬时速度：s s(t t) s(t) s (t) lim limt 0 t 0t t.瞬时加速度：v v(t t)v(t ) a v (t ) lim limt 0 t 0t t.12 函数y f ( x) 在点x 处的导数的几何意义：函数y f (x) 在点x处的导数是曲线y f (x) 在P(x0 , f (x0)) 处的切线的斜率f (x0) ，相应的切线方程是y y0 f (x0)(x x0) .13 几种常见函数的导数：(1) C 0 （C为常数）.(2) ( ) 1( )n nx nx n Q .(3) (sin x) cos x .(4) (cos x) sin x . (5)1(ln x) ；x1(log a x) log a ex.(6) x e x ) lnx x(e ) ; (a aa .14 导数的运算法则：（1）' ' '(u v) u v . （2）' ' '( u v) u v uv . （3）' 'u u v uv'( ) (v 0)2v v.15 判别f (x ) 是极大（小）值的方法：当函数 f ( x) 在点x 处连续时，（1）如果在x附近的左侧 f (x) 0 ，右侧 f (x) 0 ，则 f (x0 ) 是极大值；（2）如果在x附近的左侧 f (x) 0 ，右侧 f (x) 0 ，则 f (x0 ) 是极小值.16 复数的相等： a bi c di a c,b d . （a,b,c,d R）17 复数z a bi 的模（或绝对值）| z |=| a bi |=18 复平面上的两点间的距离公式：2 2a b .2 2d | z z | (x x ) ( y y ) （1 2 2 1 2 1 z x y i ，z2 x2 y2i ）.1 1 119 实系数一元二次方程的解实系数一元二次方程 2 0ax bx c ，①若 2 4 0b ac , 则x1,22b b 4ac2a;②若 2 4 0b ac , 则x1 x2b 2a;③若 2 4 0b ac ，它在实数集R 内没有实数根；在复数集 C 内有且仅有两个共轭复数根2b (b 4ac)i2x (b 4ac 0)2a.20 解排列组合问题的依据是：分类相加，分步相乘，有序排列，无序组合．21 解排列组合问题的规律是：相邻问题捆绑法；不邻问题插空法；多排问题单排法；定位问题优先法；多元问题分类法；有序分配问题法；选取问题先排后排法；至多至少问题间接法，还记得什么时候用隔板法？22排列数公式是：组合数公式是：排列数与组合数的关系是：m m P n m！Cn组合数性质：mC=nnnCm m m1C+C=n nmC1nrnrCn0=n2r r r r r C r C C C Cr1r2n n 1 1二项式定理：(a b)n C0a n C1a n1b C2a n2b2C r a n r b r C n bn n n n nn二项展开式的通项公式：r n r rT r1C a b(r0，1，2，n)n概率统计23有关某一事件概率的求法：把所求的事件转化为等可能事件的概率(常常采用排列组合的知识)，转化为若干个互斥事件中有一个发生的概率，利用对立事件的概率，转化为相互独立事件同时发生的概率，看作某一事件在n次实验中恰有k次发生的概率，但要注意公式的使用条件。
排列组合cn和an公式举例计算
排列组合cn和an公式举例计算排列和组合是指在数学中对一组物品进行操作的方法。
排列是指对物品进行的一种排序方式，而组合则是指对物品进行的一种选择方式。
在计算排列和组合的时候，通常会用到两种公式：排列数公式（cn公式）和组合数公式（an公式）。
排列数公式（cn公式）：如果有n个物品，从中选择m个物品进行排列，则称其为n个物品中取m个物品的一个排列。
这样的排列个数为：cn = n! / (n-m)!举例来说，如果有4个物品（A, B, C, D），从中选择2个物品进行排列，则有如下的6种排列方式：(A, B), (A, C), (A, D), (B, C), (B, D), (C, D) 用cn公式计算一下：cn = 4! / (4-2)! = 4!/2! = 6。
组合数公式（an公式）：如果有n个物品，从中选择m个物品进行组合，则称其为n个物品中取m个物品的一个组合。
这样的组合个数为：an = n! / (m! * (n-m)!)举例来说，如果有4个物品（A, B, C, D），从中选择2个物品进行组合，则有如下的6种组合方式：(A, B), (A, C), (A, D), (B, C), (B, D), (C, D) 用an公式计算一下：an = 4! / (2! * (4-2)!) =4!/2!2! = 6。
排列和组合的区别：•排列是指对物品进行排序的方式，组合则是指对物品进行选择的方式。
•在计算排列的时候，每个物品的出现的位置都是有意义的，而在计算组合的时候，物品的位置是没有意义的。
•排列的计算公式是cn公式，组合的计算公式是an公式。
希望这些内容能对你有所帮助！。
排列组合公式排列组合计算公式高中数学
排列组合公式/排列组合计算公式公式P就是指排列,从N个元素取R个进行排列。
公式C就是指组合,从N个元素取R个,不进行排列。
N-元素的总个数R参与选择的元素个数！-阶乘 ,如9！＝9*8*7*6*5*4*3*2*1从N倒数r个,表达式应该为n*(n-1)*(n-2)、、(n-r+1);因为从n到(n-r+1)个数为n－(n-r+1)＝r举例:Q1:有从1到9共计9个号码球,请问,可以组成多少个三位数？A1: 123与213就是两个不同的排列数。
即对排列顺序有要求的,既属于“排列P”计算范畴。
上问题中,任何一个号码只能用一次,显然不会出现988,997之类的组合, 我们可以这么瞧,百位数有9种可能,十位数则应该有9-1种可能,个位数则应该只有9-1-1种可能,最终共有9*8*7个三位数。
计算公式＝P(3,9)＝9*8*7,(从9倒数3个的乘积)Q2: 有从1到9共计9个号码球,请问,如果三个一组,代表“三国联盟”,可以组合成多少个“三国联盟”？A2: 213组合与312组合,代表同一个组合,只要有三个号码球在一起即可。
即不要求顺序的,属于“组合C”计算范畴。
上问题中,将所有的包括排列数的个数去除掉属于重复的个数即为最终组合数C(3,9)=9*8*7/3*2*1排列、组合的概念与公式典型例题分析例1设有3名学生与4个课外小组.(1)每名学生都只参加一个课外小组;(2)每名学生都只参加一个课外小组,而且每个小组至多有一名学生参加.各有多少种不同方法？解(1)由于每名学生都可以参加4个课外小组中的任何一个,而不限制每个课外小组的人数,因此共有种不同方法.(2)由于每名学生都只参加一个课外小组,而且每个小组至多有一名学生参加,因此共有种不同方法.点评由于要让3名学生逐个选择课外小组,故两问都用乘法原理进行计算.例2 排成一行,其中不排第一,不排第二,不排第三,不排第四的不同排法共有多少种？解依题意,符合要求的排法可分为第一个排、、中的某一个,共3类,每一类中不同排法可采用画“树图”的方式逐一排出:∴ 符合题意的不同排法共有9种.点评按照分“类”的思路,本题应用了加法原理.为把握不同排法的规律,“树图”就是一种具有直观形象的有效做法,也就是解决计数问题的一种数学模型.例３判断下列问题就是排列问题还就是组合问题？并计算出结果.(1)高三年级学生会有11人:①每两人互通一封信,共通了多少封信？②每两人互握了一次手,共握了多少次手？(2)高二年级数学课外小组共10人:①从中选一名正组长与一名副组长,共有多少种不同的选法？②从中选2名参加省数学竞赛,有多少种不同的选法？(3)有2,3,5,7,11,13,17,19八个质数:①从中任取两个数求它们的商可以有多少种不同的商？②从中任取两个求它的积,可以得到多少个不同的积？(4)有8盆花:①从中选出2盆分别给甲乙两人每人一盆,有多少种不同的选法？②从中选出2盆放在教室有多少种不同的选法？分析(1)①由于每人互通一封信,甲给乙的信与乙给甲的信就是不同的两封信,所以与顺序有关就是排列;②由于每两人互握一次手,甲与乙握手,乙与甲握手就是同一次握手,与顺序无关,所以就是组合问题.其她类似分析.(1)①就是排列问题,共用了封信;②就是组合问题,共需握手(次).(2)①就是排列问题,共有(种)不同的选法;②就是组合问题,共有种不同的选法.(3)①就是排列问题,共有种不同的商;②就是组合问题,共有种不同的积.(4)①就是排列问题,共有种不同的选法;②就是组合问题,共有种不同的选法.例４证明.证明左式右式.∴ 等式成立.点评这就是一个排列数等式的证明问题,选用阶乘之商的形式,并利用阶乘的性质,可使变形过程得以简化.例5 化简.解法一原式解法二原式点评解法一选用了组合数公式的阶乘形式,并利用阶乘的性质;解法二选用了组合数的两个性质,都使变形过程得以简化.例6 解方程:(1);(2).解 (1)原方程解得.(2)原方程可变为∵ ,,∴ 原方程可化为.即 ,解得第六章排列组合、二项式定理一、考纲要求1、掌握加法原理及乘法原理,并能用这两个原理分析解决一些简单的问题、2、理解排列、组合的意义,掌握排列数、组合数的计算公式与组合数的性质,并能用它们解决一些简单的问题、3、掌握二项式定理与二项式系数的性质,并能用它们计算与论证一些简单问题、二、知识结构三、知识点、能力点提示(一)加法原理乘法原理说明加法原理、乘法原理就是学习排列组合的基础,掌握此两原理为处理排列、组合中有关问题提供了理论根据、例15位高中毕业生,准备报考3所高等院校,每人报且只报一所,不同的报名方法共有多少种?解: 5个学生中每人都可以在3所高等院校中任选一所报名,因而每个学生都有3种不同的报名方法,根据乘法原理,得到不同报名方法总共有3×3×3×3×3=35(种)(二)排列、排列数公式说明排列、排列数公式及解排列的应用题,在中学代数中较为独特,它研究的对象以及研究问题的方法都与前面掌握的知识不同,内容抽象,解题方法比较灵活,历届高考主要考查排列的应用题,都就是选择题或填空题考查、例2由数字1、2、3、4、5组成没有重复数字的五位数,其中小于50 000的偶数共有( )A、60个B、48个C、36个D、24个解因为要求就是偶数,个位数只能就是2或4的排法有P12;小于50 000的五位数,万位只能就是1、3或2、4中剩下的一个的排法有P13;在首末两位数排定后,中间3个位数的排法有P33,得P13P33P12＝36(个)由此可知此题应选C、例3将数字1、2、3、4填入标号为1、2、3、4的四个方格里,每格填一个数字,则每个方格的标号与所填的数字均不同的填法有多少种?解: 将数字1填入第2方格,则每个方格的标号与所填的数字均不相同的填法有3种,即214 3,3142,4123;同样将数字1填入第3方格,也对应着3种填法;将数字1填入第4方格,也对应3种填法,因此共有填法为3P13=9(种)、例四例五可能有问题,等思考三)组合、组合数公式、组合数的两个性质说明 历届高考均有这方面的题目出现,主要考查排列组合的应用题,且基本上都就是由选择题或填空题考查、例4 从4台甲型与5台乙型电视机中任意取出3台,其中至少有甲型与乙型电视机各1台,则不同的取法共有( )A 、140种B 、84种C 、70种D 、35种 解: 抽出的3台电视机中甲型1台乙型2台的取法有C 14·C 25种;甲型2台乙型1台的取法有C 24·C 15种 根据加法原理可得总的取法有 C 24·C 25+C 24·C 15=40+30=70(种 ) 可知此题应选C 、例5 甲、乙、丙、丁四个公司承包8项工程,甲公司承包3项,乙公司承包1 项,丙、丁公司各承包2项,问共有多少种承包方式? 解: 甲公司从8项工程中选出3项工程的方式 C 38种;乙公司从甲公司挑选后余下的5项工程中选出1项工程的方式有C 15种; 丙公司从甲乙两公司挑选后余下的4项工程中选出2项工程的方式有C 24种; 丁公司从甲、乙、丙三个公司挑选后余下的2项工程中选出2项工程的方式有C 22种、根据乘法原理可得承包方式的种数有C 3 8×C 15×C 24×C 22= ×1=1680(种)、 (四)二项式定理、二项展开式的性质说明 二项式定理揭示了二项式的正整数次幂的展开法则,在数学中它就是常用的基础知识 ,从1985年至1998年历届高考均有这方面的题目出现,主要考查二项展开式中通项公式等,题型主要为选择题或填空题、 例6 在(x- )10的展开式中,x 6的系数就是( ) A 、-27C 610 B 、27C 410 C 、-9C 610 D 、9C 410解 设(x- )10的展开式中第γ+1项含x 6, 因T γ+1=C γ10x 10-γ(- )γ,10-γ=6,γ=4于就是展开式中第5项含x 6,第5项系数就是C410(-)4=9C410故此题应选D、例7(x-1)-(x-1)2＋(x-1)3-(x-1)+(x-1)５的展开式中的x２的系数等于解:此题可视为首项为x-1,公比为-(x-1)的等比数列的前5项的与,则其与为在(x-1)6中含x3的项就是C36x3(-1)3=-20x3,因此展开式中x2的系数就是-2 0、(五)综合例题赏析例8若(2x+)4=a0+a1x+a2x 2+a3x3+a4x4,则(a+a2+a4)2-(a1+a3)2的值为( )A、1B、-1 C、0 D、2解:A、例92名医生与4名护士被分配到2所学校为学生体检,每校分配1名医生与2 名护士,不同的分配方法共有( )A、6种B、12种C、18种D、24种解分医生的方法有P22＝2种,分护士方法有C24=6种,所以共有6×2＝12种不同的分配方法。
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排列组合公式/排列组合计算公式排列P------和顺序有关组合C -------不牵涉到顺序的问题排列分顺序,组合不分例如把5本不同的书分给3个人,有几种分法. "排列"把5本书分给3个人,有几种分法"组合"1．排列及计算公式从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列；从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号 p(n,m)表示.p(n,m)=n(n-1)(n-2)……(n-m+1)= n!/(n-m)!(规定0!=1).2．组合及计算公式从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合；从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数.用符号c(n,m) 表示.c(n,m)=p(n,m)/m!=n!/((n-m)!*m!)；c(n,m)=c(n,n-m);3．其他排列与组合公式从n个元素中取出r个元素的循环排列数＝p(n,r)/r=n!/r(n-r)!.n个元素被分成k类，每类的个数分别是n1,n2,...nk这n个元素的全排列数为n!/(n1!*n2!*...*nk!).k类元素,每类的个数无限,从中取出m个元素的组合数为c(m+k-1,m).排列（Pnm(n为下标，m为上标)）Pnm=n×（n-1）....（n-m+1）；Pnm=n！/（n-m）！（注：！是阶乘符号）；Pnn （两个n分别为上标和下标） =n！；0！=1；Pn1（n为下标1为上标）=n组合（Cnm(n为下标，m为上标)）Cnm=Pnm/Pmm ；Cnm=n！/m！（n-m）！；Cnn（两个n分别为上标和下标） =1 ；Cn1（n为下标1为上标）=n；Cnm=Cnn-m2008-07-08 13:30公式P是指排列，从N个元素取R个进行排列。
公式C是指组合，从N个元素取R个，不进行排列。
N-元素的总个数 R参与选择的元素个数！-阶乘，如 9！＝9*8*7*6*5*4*3*2*1从N倒数r个，表达式应该为n*（n-1)*(n-2)..(n-r+1);因为从n到（n-r+1)个数为n－（n-r+1)＝r举例：Q1: 有从1到9共计9个号码球，请问，可以组成多少个三位数？A1: 123和213是两个不同的排列数。
即对排列顺序有要求的，既属于“排列P”计算范畴。
上问题中，任何一个号码只能用一次，显然不会出现988,997之类的组合，我们可以这么看，百位数有9种可能，十位数则应该有9-1种可能，个位数则应该只有9-1-1种可能，最终共有9*8*7个三位数。
计算公式＝P（3，9)＝9*8*7,(从9倒数3个的乘积）Q2: 有从1到9共计9个号码球，请问，如果三个一组，代表“三国联盟”，可以组合成多少个“三国联盟”？A2: 213组合和312组合，代表同一个组合，只要有三个号码球在一起即可。
即不要求顺序的，属于“组合C”计算范畴。
上问题中，将所有的包括排列数的个数去除掉属于重复的个数即为最终组合数C(3,9)=9*8*7/3*2*1排列、组合的概念和公式典型例题分析例1 设有3名学生和4个课外小组．（1）每名学生都只参加一个课外小组；（2）每名学生都只参加一个课外小组，而且每个小组至多有一名学生参加．各有多少种不同方法？解（1）由于每名学生都可以参加4个课外小组中的任何一个，而不限制每个课外小组的人数，因此共有种不同方法．（2）由于每名学生都只参加一个课外小组，而且每个小组至多有一名学生参加，因此共有种不同方法．点评由于要让3名学生逐个选择课外小组，故两问都用乘法原理进行计算．例2 排成一行，其中不排第一，不排第二，不排第三，不排第四的不同排法共有多少种？解依题意，符合要求的排法可分为第一个排、、中的某一个，共3类，每一类中不同排法可采用画“树图”的方式逐一排出：∴ 符合题意的不同排法共有9种．点评按照分“类”的思路，本题应用了加法原理．为把握不同排法的规律，“树图”是一种具有直观形象的有效做法，也是解决计数问题的一种数学模型．例３判断下列问题是排列问题还是组合问题？并计算出结果．（1）高三年级学生会有11人：①每两人互通一封信，共通了多少封信？②每两人互握了一次手，共握了多少次手？（2）高二年级数学课外小组共10人：①从中选一名正组长和一名副组长，共有多少种不同的选法？②从中选2名参加省数学竞赛，有多少种不同的选法？（3）有2，3，5，7，11，13，17，19八个质数：①从中任取两个数求它们的商可以有多少种不同的商？②从中任取两个求它的积，可以得到多少个不同的积？（4）有8盆花：①从中选出2盆分别给甲乙两人每人一盆，有多少种不同的选法？②从中选出2盆放在教室有多少种不同的选法？分析（1）①由于每人互通一封信，甲给乙的信与乙给甲的信是不同的两封信，所以与顺序有关是排列；②由于每两人互握一次手，甲与乙握手，乙与甲握手是同一次握手，与顺序无关，所以是组合问题．其他类似分析．（1）①是排列问题，共用了封信；②是组合问题，共需握手（次）．（2）①是排列问题，共有（种）不同的选法；②是组合问题，共有种不同的选法．（3）①是排列问题，共有种不同的商；②是组合问题，共有种不同的积．（4）①是排列问题，共有种不同的选法；②是组合问题，共有种不同的选法．例４证明．证明左式右式．∴ 等式成立．点评这是一个排列数等式的证明问题，选用阶乘之商的形式，并利用阶乘的性质，可使变形过程得以简化．例5 化简．解法一原式解法二原式点评解法一选用了组合数公式的阶乘形式，并利用阶乘的性质；解法二选用了组合数的两个性质，都使变形过程得以简化．例6 解方程：（1）；（2）．解（1）原方程解得．（2）原方程可变为∵ ，，∴ 原方程可化为．即，解得第六章排列组合、二项式定理一、考纲要求1.掌握加法原理及乘法原理，并能用这两个原理分析解决一些简单的问题.2.理解排列、组合的意义，掌握排列数、组合数的计算公式和组合数的性质，并能用它们解决一些简单的问题.3.掌握二项式定理和二项式系数的性质，并能用它们计算和论证一些简单问题.二、知识结构三、知识点、能力点提示(一)加法原理乘法原理说明加法原理、乘法原理是学习排列组合的基础，掌握此两原理为处理排列、组合中有关问题提供了理论根据.例1 5位高中毕业生，准备报考3所高等院校，每人报且只报一所，不同的报名方法共有多少种?解： 5个学生中每人都可以在3所高等院校中任选一所报名，因而每个学生都有3种不同的报名方法，根据乘法原理，得到不同报名方法总共有3×3×3×3×3=35(种)(二)排列、排列数公式说明排列、排列数公式及解排列的应用题，在中学代数中较为独特，它研究的对象以及研究问题的方法都和前面掌握的知识不同，内容抽象，解题方法比较灵活，历届高考主要考查排列的应用题，都是选择题或填空题考查.例2 由数字1、2、3、4、5组成没有重复数字的五位数，其中小于50 000的偶数共有( )A.60个B.48个C.36个D.24个解因为要求是偶数，个位数只能是2或4的排法有P12；小于50 000的五位数，万位只能是1、3或2、4中剩下的一个的排法有P13;在首末两位数排定后，中间3个位数的排法有P33，得P13P33P12＝36(个)由此可知此题应选C.例3 将数字1、2、3、4填入标号为1、2、3、4的四个方格里，每格填一个数字，则每个方格的标号与所填的数字均不同的填法有多少种?解：将数字1填入第2方格，则每个方格的标号与所填的数字均不相同的填法有3种，即214 3，3142，4123；同样将数字1填入第3方格，也对应着3种填法；将数字1填入第4方格，也对应3种填法，因此共有填法为3P13=9(种).例四例五可能有问题，等思考三)组合、组合数公式、组合数的两个性质说明历届高考均有这方面的题目出现，主要考查排列组合的应用题，且基本上都是由选择题或填空题考查.例4 从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少有甲型与乙型电视机各1台，则不同的取法共有( )A.140种B.84种C.70种D.35种解：抽出的3台电视机中甲型1台乙型2台的取法有C14·C25种；甲型2台乙型1台的取法有C24·C15种根据加法原理可得总的取法有C24·C25+C24·C15=40+30=70(种 )可知此题应选C.例5 甲、乙、丙、丁四个公司承包8项工程，甲公司承包3项，乙公司承包1 项，丙、丁公司各承包2项，问共有多少种承包方式?解：甲公司从8项工程中选出3项工程的方式 C38种；乙公司从甲公司挑选后余下的5项工程中选出1项工程的方式有C15种；丙公司从甲乙两公司挑选后余下的4项工程中选出2项工程的方式有C24种；丁公司从甲、乙、丙三个公司挑选后余下的2项工程中选出2项工程的方式有C22种.根据乘法原理可得承包方式的种数有C3 8×C15×C24×C22= ×1=1680(种). (四)二项式定理、二项展开式的性质说明二项式定理揭示了二项式的正整数次幂的展开法则，在数学中它是常用的基础知识，从1985年至1998年历届高考均有这方面的题目出现，主要考查二项展开式中通项公式等，题型主要为选择题或填空题.例6 在(x- )10的展开式中，x6的系数是( )A.-27C610B.27C410C.-9C610D.9C410解设(x- )10的展开式中第γ+1项含x6，因Tγ+1=Cγ10x10-γ(- )γ，10-γ=6,γ=4于是展开式中第5项含x 6，第5项系数是C410(- )4=9C410故此题应选D.例7 (x-1)-(x-1)2＋(x-1)3-(x-1)+(x-1)５的展开式中的x２的系数等于解：此题可视为首项为x-1，公比为-(x-1)的等比数列的前5项的和，则其和为在(x-1)6中含x3的项是C36x3(-1)3=-20x3，因此展开式中x2的系数是-2 0.(五)综合例题赏析例8 若(2x+ )4=a0+a1x+a2x 2+a3x3+a4x4，则(a0+a2+a4)2-(a1+a3)2的值为( ) A.1 B.-1 C.0 D.2解：A.例9 2名医生和4名护士被分配到2所学校为学生体检，每校分配1名医生和2 名护士，不同的分配方法共有( )A.6种B.12种C.18种D.24种解分医生的方法有P22＝2种，分护士方法有C24=6种，所以共有6×2＝12种不同的分配方法。