最新(精华讲义)数学北师大版八年级下册因式分解
北师大数学八年级下册第四章-因式分解经典讲义
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第01讲_因式分解知识图谱因式分解知识精讲概念(1)把一个多项式化成几个整式的积的形式,这样的式子变形叫做把这个多项式因式分解,也叫做把这个多项式分解因式,(2)因式分解与整式乘法是互逆过程2222()2()a ab a a bx yx y x y-=-++=+(√)(√)注意事项(1)分解的对象必须是多项式;(2)分解的结果一定是几个整式的乘积的形式;(3)要分解到不能分解为止2323623x y x y=⋅(×)2(1)(2)2x x x x+-=--(×)3229633(32)a a a a a a-+=-(×)概念(1)多项式()am bm cm m a b c++=++,其中m叫做这个多项式各项的公因式(2)m既可以是一个单项式,也可以是一个多项式(1)多项式15m3n2+5m2n﹣20m2n3的公因式是5m2n(2)m(n-2) -m2(2-n)可化简为m(n-2)+m2(n-2),公因式是m (n-2)分解因式得m(n-2) (m+1)步骤(1)公因式的系数——找各因式系数的最大公约数(2)公因式的字母——各因式中相同的字母 (3)相同字母指数——取各字母指数的最低次幂平方差公式(1)()()22a b a b a b -=+-即两个数的平方差,等于这两个数的和与这个数的差的积()()()22249232323x x x x -=-=+-完全平方公式 (1)()2222a ab b a b ±+=±其中,222a ab b ±+叫做完全平方式即两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍,等于这两个数的和(或差)的平方()()()2222241292223323x xy y x x y y x y -+=-⋅⋅+=-三点剖析一.考点:1.概念;2.提公因式法;3.公式法.二.重难点:提公因式法;公式法三.易错点:没有分解彻底,一定要分解到每一项都不能再分解为止.概念例题1、 下列各等式从左到右的变形是因式分解,且分解正确的是( ) A.ax 2+bx +x =x (ax +b )B.a 2+2ab +b 2-1=(a +b )2-1C.(x +5)(x -1)=x 2-4x -5D.2211()42x x x -+=-【答案】 D【解析】 A 、公因式是x ,应为ax 2+bx +x =x (ax +b +1),故本选项错误; B 、a 2+2ab +b 2-1=(a +b )2-1=(a +b +1)(a +b -1),分解不彻底,故本选项错误; C 、右边不是积的形式,故本选项错误;D 、完全平方公式分解因式,故本选项正确.例题2、 下列从左到右的变形,属于因式分解的有( )(1)2(1)(2)2x x x x +-=-- (2)()ax ay a a x y a --=-- (3)2323623x y x y =⋅ (4)24(2)(2)x x x -=+-(5)3229633(32)a a a a a a -+=- A.0个 B.1个 C.2个 D.3个【答案】 B【解析】 从左到右,式(1)是整式乘法;式(2)右端不是积的形式;式(3)中左右两边均是单项式,原来就是乘积形式,我们说的因式分解,指的是将多项式分解成几个整式的乘积形式;式(5)的右边括号内漏掉了“1”这项;只有式(4)是正确的.例题3、 若多项式x 2+ax +b 分解因式的结果(x -2)(x +3),则a ,b 的值分别是( ) A.a =1,b =-6 B.a =5,b =6 C.a =1,b =6 D.a =5,b =-6 【答案】 A【解析】 ∵多项式x 2+ax +b 分解因式的结果为(x -2)(x +3), ∴x 2+ax +b =(x -2)(x +3)=x 2+x -6, 故a =1,b =-6.随练1、 下列各式由左边到右边的变形中,是因式分解的是( ) A.2xy+6xz+3=2x (y+3z )+3 B.(x+6)(x ﹣6)=x 2﹣36 C.﹣2x 2﹣2xy=﹣2x (x+y ) D.3a 2﹣3b 2=3(a 2﹣b 2) 【答案】 C【解析】 A 、在等式的右边最后计算的是和,不符合因式分解的定义,故A 不正确; B 、等式从左边到右边属于整式的乘法,故B 不正确;C 、等式从左边到右边把一个多项式化成两个整式积的形式,符合因式分解的定义,故C 正确;D 、多项式a 2﹣b 2仍然可以继续分解为(a+b )(a ﹣b ),故D 属于分解不彻底,故D 不正确; 故选C .随练2、 下列变形,属于因式分解的有( ) ①x 2-16=(x +4)(x -4) ②x 2+3x -16=x (x +3)-16 ③(x +4)(x -4)=x 2-16 ④x 2+x =x (x +1) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【答案】 B【解析】 由因式分解的意义可知: ①④是因式分解,提公因式法例题1、 3322222491421a bc a b c ab c +-在分解因式时,应提取的公因式是( ) A.27abc B.227ab c C.2227a b c D.337a bc 【答案】 A【解析】 因为()3322222224914217723a bc a b c ab c abc a c ab b +-=+-,所以提取的公因式为27abc ,故选A 选项. 例题2、 单项式2234a b c -,212ab c ,38ab 的公因式是________. 【答案】 24ab【解析】 由公因式的定义可知,题目中三项的公因式为24ab . 例题3、 多项式(x+y ﹣z )(x ﹣y+z )﹣(y+z ﹣x )(z ﹣x ﹣y )的公因式是( ) A.x+y ﹣z B.x ﹣y+z C.y+z ﹣x D.不存在 【答案】 A【解析】 (x+y ﹣z )(x ﹣y+z )﹣(y+z ﹣x )(z ﹣x ﹣y ) =(x+y ﹣z )(x ﹣y+z )+(y+z ﹣x )(x+y ﹣z ) =(x+y ﹣z )(x ﹣y+z+y+z ﹣x ) =2z (x+y ﹣z ),故多项式(x+y ﹣z )(x ﹣y+z )﹣(y+z ﹣x )(z ﹣x ﹣y )的公因式是:x+y ﹣z 例题4、 若x -y =5,xy =6,则x 2y -xy 2=________. 【答案】 30【解析】 ∵x -y =5,xy =6, ∴x 2y -xy 2=xy (x -y )=6×5=30.例题5、 计算:20182-2018×2017=________. 【答案】 2018【解析】 20182-2018×2017=2018(2018-2017)=2018×1=2018. 例题6、 若m ﹣n=﹣1,则(m ﹣n )2﹣2m+2n=______. 【答案】 3【解析】 ∵m ﹣n=﹣1, ∴(m ﹣n )2﹣2m+2n =(m ﹣n )2﹣2(m ﹣n ) =(﹣1)2﹣2×(﹣1) =1+2 =3.例题7、 分解因式:(1)324x x y -(2)324(1)2(1)q p p -+- (3)22x y xy - (4)22x xy -【答案】 (1)2(4)x x y -(2)22(1)(221)p q pq --+(3)22()x y xy xy x y -=-(4)()2x x y -【解析】 (1)()32244x x y x x y -=-(2)()()()()()()322241212121121221q p p p q p p q pq -+-=--+=--+⎡⎤⎣⎦ (3)()22x y xy xy x y -=- (4)()222x xy x x y -=-随练1、 下列各组代数式中没有公因式的是( ) A.5()m a b --与()b a - B.2()a b +与a b -- C.mx y +与x y +D.2a ab -+与22a b ab -【答案】 C【解析】 A 选项公因式为a b -;B 选项公因式为a b +;C 选项没有公因式;D 选项公因式为()a a b -;故答案为C 选项.随练2、 多项式mx 2-m 与多项式x 2-2x +1的公因式是( ) A.x -1 B.x +1 C.x 2-1 D.(x -1)2 【答案】 A【解析】 暂无解析随练3、 在分解3225(32)(23)x a b b a --+-时,提出公因式2(32)a b --后,另一个因式是( ) A.35xB.351x +C.351x -D.35x -【答案】 C【解析】 因为()()()()22233532233251x a b b a a b x --+-=---,所以另一个因式是351x -,故选C 选项. 随练4、 若m -n =-1,则(m -n )2-2m +2n =________. 【答案】 3【解析】 ∵m -n =-1, ∴(m -n )2-2m +2n =(m -n )2-2(m -n ) =(-1)2-2×(-1) =1+2 =3.随练5、 已知m 2=n +2,n 2=m +2,m ≠n ,求m 3-2mn +n 3的值. 【答案】 -2【解析】 暂无解析随练6、 (﹣8)2014+(﹣8)2013能被下列数整除的是( ) A.3 B.5 C.7 D.9【答案】 C【解析】 (﹣8)2014+(﹣8)2013 =(﹣8)2013×(﹣8+1) =﹣7×(﹣8)2013,则(﹣8)2014+(﹣8)2013能被7整除 随练7、 把下列各多项式分解因式 (1)5232a b a b a b -+(2)222271449x y xy x y --+(3)22()(1)()(1)x y a a x y a a +++--++ (4)222318(2)24(2)12(2)x x y xy y x x y x ----- (5)()()()x x y z y x y z z x y z ++++++++【答案】 (1)232(1)a b a b -+(2)7(27)xy x y xy -+-(3)22(1)y a a ++(4)26(2)(58)x y x x y --(5)2()x y z ++【解析】 (1)()52322321a b a b a b a b a b -+=-+ (2)2222714497(27)x y xy x y xy x y xy --+=-+-(3)()()()()()()()222211121x y a a x y a a a a x y x y y a a +++--++=+++-+=++(4)()()()()()22322182242122623422x x y xy y x x y x x x y x y x y -----=--+-⎡⎤⎣⎦()()26258x x y x y =--(5)()()()()2x x y z y x y z z x y z x y z ++++++++=++公式法例题1、 下列多项式中能用平方差公式分解因式的是( ) A.a 2+(﹣b )2 B.5m 2﹣20m C.﹣x 2﹣y 2 D.﹣x 2+9 【答案】 D【解析】 A 、a 2+(﹣b )2,无法运用平方差公式分解因式,故此选项错误; B 、5m 2﹣20m=5m (m ﹣4),无法运用平方差公式分解因式,故此选项错误; C 、﹣x 2﹣y 2,无法运用平方差公式分解因式,故此选项错误; D 、﹣x 2+9=(3﹣x )(3+x ),符合题意,故此选项正确.例题2、 下列各式中能用完全平方公式进行因式分解的是( ) A.21x x ++ B.221x x +- C.21x - D.269x x -+ 【答案】 D【解析】 A 、21x x ++不符合完全平方公式法分解因式的式子特点,故A 错误; B 、221x x +-不符合完全平方公式法分解因式的式子特点,故B 错误; C 、21x -不符合完全平方公式法分解因式的式子特点,故C 错误;D 、22693x x x +=--()2,故D 正确. 例题3、 下列多项式可以用公式法因式分解的是( )A.m 2+4mB.﹣a 2﹣b 2C.m 2+3m+9D.﹣y 2+x 2 【答案】 D【解析】 A .m 2+4m 只有一项平方项,所以不能用平方差公式因式分解,故此选项错误; B .﹣a 2﹣b 2两项的符号相同,所以不能用平方差公式因式分解,故此选项错误; C .m 2+3m+9不符合完全平方公式形式,故此选项错误;D .﹣y 2+x 2符合平方差公式因式分解的式子的特点,故选项正确. 例题4、 分解因式(1)p 2(q -1)-p (1-q ).(2)(a 2+4b 2)2-16a 2b 2. 【答案】 (1)p (p +1)(q -1) (2)(a +2b )2(a -2b )2 【解析】 暂无解析 例题5、 因式分解: (1)x 2-36;(2)3x (a -b )-6y (b -a ); (3)(y 2-1)2-6(y 2-1)+9. 【答案】 (1)(x +6)(x -6) (2)3(a -b )(x +2y ) (3)(y +2)2(y -2)2【解析】 (1)x 2-36=(x +6)(x -6);(2)3x (a -b )-6y (b -a )=3x (a -b )+6y (a -b )=3(a -b )(x +2y ); (3)原式=(y 2-1-3)2 =(y 2-4)2=(y +2)2(y -2)2.例题6、 已知x +y =4,xy =1,求下列各式的值: (1)x 2y +xy 2; (2)(x 2-1)(y 2-1). 【答案】 (1)4 (2)-12【解析】 (1)当x +y =4、xy =1时, x 2y +xy 2=xy (x +y )=1×4=4; (2)当x +y =4、xy =1时, 原式=x 2y 2-x 2-y 2+1 =x 2y 2-(x 2+y 2)+1=(xy )2-(x +y )2+2xy +1 =1-16+2+1 =-12.例题7、 分解因式: (1)2269x ax a ++(2)2244x y xy --+(3)29()6()1a b a b -+-+【答案】 (1)2(3)x a +(2)2(2)x y --(3)2(331)a b -+【解析】 (1)222226923(3)(3)x ax a x x a a x a +++⋅⋅++==(2)222222244(44)[222](2)x y xy x xy y x x y y x y --+=--+=--⋅⋅+=--() (3)222229()6()1[3()]23()11[3()1](331)a b a b a b a b a b a b -+-+-+⋅-⋅+-+-+===例题8、 分解因式:(1)48610369b x c y - (2)22(2)(2)x y x y +-- (3)8881x y -(4)()()223223a b a b +-+【答案】 (1)243524359(2)(2)b x c y b x c y +-(2)8xy (3)442222(9)(3+)(3)x y x y x y +-(4)()5()a b a b +-【解析】 (1)4861048610242352243524353699(4)9[(2)()]9(2)(2)b x c y b x c y b x c y b x c y b x c y ---+-===,(2)22(2)(2)x y x y +--[(2)(2)][(2)(2)](22)(22)(2)(4)8x y x y x y x y x y x y x y x y x y xy =++-+--=++-+-+== (3)8881x y -42424444442222442222442222(9)()(9)(9)(9)[(3)()](9)[(3+)(3)](9)(3+)(3)x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y =-=+-=+-=+-=+-(4)()()223223a b a b +-+[(32)(23)][(32)(23)](3223)(3223)(55)()5()()a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b =++++-+=++++--=+-=+-随练1、 下列各式中,不能用完全平方公式分解的个数为( )①x 2﹣4x+8;②﹣x 2﹣2x ﹣1;③4m 2+4m ﹣1;④﹣m 2+m ﹣14;⑤4a 4﹣a 2+1a.A.1个B.2个C.3个D.4个 【答案】 C【解析】 ①x 2﹣4x+8,不能;②﹣x 2﹣2x ﹣1,能;③4m 2+4m ﹣1,不能;④﹣m 2+m ﹣14,能;⑤4a 4﹣a 2+1a,不能,则不能用完全平方公式分解的个数为3个, 故选C随练2、 已知a =20182,b =2017×2019,则a -b 的值为________. 【答案】 1【解析】 ∵a =20182,b =2017×2019,∴a -b =20182-2017×2019=20182-(2018-1)×(2018+1)=20182-20182+1=1. 随练3、 因式分解x 4-4=________(实数范围内分解). 【答案】2(2)(x x x ++ 【解析】 x 4-4=(x 2+2)(x 2-2)222(2)[]x x =+-2(2)(x x x =+-.随练4、 下列各式:x 2-y 2,-x 2+y 2,-x 2-y 2,(-x )2+(-y )2,x 4-y 4中能用平方差公式分解因式的有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【答案】 C【解析】 x 2-y 2=(x +y )(x -y ),-x 2+y 2=(y +x )(y -x ),-x 2-y 2,(-x )2+(-y )2,x 4-y 4=(x +y )(x -y )(x 2+y 2),则能用平方差公式分解因式的有3个.随练5、 若x 2+2(m -3)x +16=(x +n )2,则m =________. 【答案】 7或-1【解析】 ∵x 2+2(m -3)x +16=(x +n )2, ∴n =±4,∴2(m -3)=±8, 解得:m =7或-1.随练6、 分解因式:(1)5a b ab -(2)44()()a m n b m n +-+ (3)11116m m a a +--+【答案】 (1)2(1)(1)(1)ab a a a ++-(2)22()()()()m n a b a b a b +++-(3)11(4)(4)16m a a a --+-【解析】 (1)54222(1)(1)(1)(1)(1)(1)a b ab ab a ab a a ab a a a -=-=+-=++-(2)4444222222()()()()()()()()()()()a m n b m n m n a b m n a b a b m n a b a b a b +-+=+-=++-=+++-(3)11121111(16)(4)(4)161616m m m m a a a a a a a +----+=--=-+- 随练7、 把下列各式因式分解: (1)x (x -5)2-x (-5+x )(x +5) (2)(a +2b )2-a 2-2ab ; (3)-2(m -n )2+32;(4)-x 3+2x 2-x ; 【答案】 (1)-10x (x -5) (2)2b (a +2b )(3)-2(m -n +4)(m -n -4) (4)-x (x -1)2【解析】 (1)原式=x (x -5)2-x (x -5)(x +5)=x (x -5)[(x -5)-(x +5)]=-10x (x -5) (2)原式=a 2+4ab +4b 2-a 2-2ab =2ab +4b 2=2b (a +2b ) (3)原式=-2[(m -n )2-16]=-2(m -n +4)(m -n -4) (4)原式=-x (x 2-2x +1)=-x (x -1)2 随练8、 (1)分解因式2a 3-8ab 2; (2)计算:(-2a 2b )2•(3ab 2-5a 2b )÷(-ab )3; (3)先化简后求值:[(x -y )2+(x +y )(x -y )]÷2x ,其中x =5,y =3. 【答案】 (1)2a (a +2b )(a -2b ) (2)-12a 2b +20a 3 (3)x -y ;2【解析】 (1)2a 3-8ab 2 =2a (a 2-4b 2) =2a (a +2b )(a -2b );(2)原式=4a 4b 2•(3ab 2-5a 2b )÷(-a 3b 3) =(12a 5b 4-20a 6b 3)÷(-a 3b 3) =-12a 2b +20a 3;(3)[(x -y )2+(x +y )(x -y )]÷2x =[(x 2-2xy +y 2)+(x 2-y 2)]÷2x =(2x 2-2xy )÷2x =x -y ,当x =5,y =3时,原式=5-3=2. 随练9、 分解因式:(1)42222244a x a x y x y -+ (2)22()12()36x y x y z z +-++ (3)222(4)8(4)16x x x x ++++(4)22222241(2)2(2)22x y x y y y ---+【答案】 (1)222(2)x a y -(2)2(6)x y z +-(3)4(2)x +(4)221(2)(2)2x y x y +-【解析】(1)()24222222422222222244(44)[()2()(2)2](2)a x a x y x y x a a y y x a a y y x a y -+=-+=-⋅⋅+=-(2)22222()12()36()2()(6)(6)(6)x y x y z z x y x y z z x y z +-++=+-++=+-(3)222222222224(4)8(4)16(4)2(4)44(44)[(2)](2)x x x x x x x x x x x x ++++=++⋅+⋅+=++=+=+(4)22222241(2)2(2)22x y x y y y ---+ 22222242222222222222222221[(2)4(2)4]21[(2)2(2)(2)(2)]21(22)21(4)21[(2)(2)]21(2)(2)2x y x y y y x y x y y y x y y x y x y x y x y x y =---+=--⋅-⋅+=--=-=+-=+-拓展1、 下列各式中,从左到右的变形是因式分解的是( ) A.3x +3y -5=3(x +y )-5 B.(x +1)(x -1)=x 2-1 C.x 2+2x +1=(x +1)2 D.x (x -y )=x 2-xy 【答案】 C【解析】 暂无解析2、 下列变形:①(x+1)(x ﹣1)=x 2﹣1;②9a 2﹣12a+4=(3a ﹣2)2;③3abc 3=3c•abc 2;④3a 2﹣6a=3a (a ﹣2)中,是因式分解的有__________(填序号) 【答案】 ②④【解析】 分析:直接利用因式分解的意义分析得出答案. 解:①(x+1)(x ﹣1)=x 2﹣1,是多项式乘法,故此选项错误; ②9a 2﹣12a+4=(3a ﹣2)2,是因式分解; ③3abc 3=3c•abc 2,不是因式分解; ④3a 2﹣6a=3a (a ﹣2),是因式分解; 故答案为:②④.3、 下列从左到右的变形,是在式分解的是( )①()a x y ax ay +=+ ②22111()()a a a b b b-=+- ③29(3)(3)ax a a x x -=+-④221()()1x y x y x y --=+-- ⑤222222()2()x x y y x y x y -+-=---A.②③B.③C.③⑤D.③④ 【答案】 B【解析】 暂无解析4、 多项式4x 2﹣4与多项式x 2﹣2x +1的公因式是( ) A.x ﹣1 B.x +1 C.x 2﹣1 D.(x ﹣1)2 【答案】 A【解析】 ∵4x 2﹣4=4(x +1)(x ﹣1),x 2﹣2x +1=(x ﹣1)2, ∴多项式4x 2﹣4与多项式x 2﹣2x +1的公因式是(x ﹣1). 5、 多项式15m 3n 2+5m 2n ﹣20m 2n 3的公因式是( ) A.5mn B.5m 2n 2 C.5m 2n D.5mn 2 【答案】 C【解析】 多项式15m 3n 2+5m 2n ﹣20m 2n 3中, 各项系数的最大公约数是5,各项都含有的相同字母是m 、n ,字母m 的指数最低是2,字母n 的指数最低是1, 所以它的公因式是5m 2n .6、 如多项式339363x y xy xy -+提取公因式________后,另一个因式是________. 【答案】 3xy ,223121x y -+【解析】 由提公因式法可知,()3322936333121x y xy xy xy x y -+=-+所以提出公因式3xy 之后,另一个公因式为223121x y -+.7、 分解因式()()()()x m n a b y n m b a -----=_________. 【答案】 ()()()m n a b x y ---【解析】 ()()()()()()()()()()()x m n a b y n m b a x m n a b y m n a b m n a b x y -----=-----=--- 8、 因式分解:x 2﹣2x+(x ﹣2)=______________. 【答案】 (x+1)(x ﹣2)【解析】 原式=x (x ﹣2)+(x ﹣2)=(x+1)(x ﹣2). 9、 因式分解:(a -b )2-(b -a )=________. 【答案】 (a -b )(a -b +1)【解析】 原式=(a -b )2+(a -b )=(a -b )(a -b +1),10、 若x=123456789×123456786,y=123456788×123456787,则x y (填>,<或=)【答案】 <.【解析】 ∵x ﹣y=123456789×123456786﹣123456788×123456787 =(123456788+1)×123456786﹣123456788×(123456786+1)=123456788×123456786+123456786﹣123456788×123456786﹣123456788 =﹣2<0, ∴x <y.11、 代数式x 4﹣81,x 2﹣9与x 2﹣6x+9的公因式为( )A.x+3B.(x+3)2C.x ﹣3D.x 2+9【答案】 C【解析】 x 4﹣81=(x 2+9)(x 2﹣9), =(x 2+9)(x+3)(x ﹣3); x 2﹣9=(x+3)(x ﹣3); x 2﹣6x+9=(x ﹣3)2.因此3个多项式的公因式是x ﹣3. 故选:C .12、 分解因式:9(a -1)2-4(b -2)2. 【答案】 (3a +2b -7)(3a -2b +1)【解析】 原式=[3(a -1)+2(b -2)][3(a -1)-2(b -2)] =(3a -3+2b -4)(3a -3-2b +4) =(3a +2b -7)(3a -2b +1).13、 分解因式:(1)2249a b -(2)24162516a y b -+【答案】 (1)()23(23)a b a b +-(2)8282(45)(45)b ay b ay +-【解析】 (1)222249(2)(3)(23)(23)a b a b a b a b -=-=+-(2)241616248222828225161625(4)(5)(45)(45)a y b b a y b ay b ay b ay -+=-=-=+-14、 因式分解: (1)2x 2-18;(2)3m 2n -12mn +12n ; (3)(x -y )2-6(x -y )+9; (4)(m 2+4n 2)2-16m 2n 2. 【答案】 (1)2(x +3)(x -3) (2)3n (m -2)2 (3)(x -y -3)2 (4)(m +2n )2(m -2n )2【解析】 (1)原式=2(x 2-9)=2(x +3)(x -3); (2)原式=3n (m 2-4m +4)=3n (m -2)2; (3)原式=(x -y -3)2; (4)原式=(m 2+4mn +4n 2)(m 2-4mn +4n 2) =(m +2n )2(m -2n )2. 15、 分解因式(1)244ma ma m -+ (2)232a a a -+(3)22244a b ab c +--【答案】 (1)2(2)m a -(2)2(1)a a -(3)(2)(2)a b c a b c ---+【解析】 (1)22244(44)(2)ma ma m m a a m a -+=-+=- (2)23222(12)(1)a a a a a a a a -+=-+=- (3)2222244(2)(2)(2)a b ab c a b c a b c a b c +--=--=-+-- 16、 分解因式:(1)22229()12()4()a b a b a b -+-++(2)42363a a -+11 (3)112n n n a a a +-+-(4)22222(1)4m n m n +--【答案】 (1)2(5)a b -(2)223(1)(1)a a +-(3)12(1)n a a --(4)(1)(1)(1)(1)m n m n m n m n +++--+--【解析】(1)22229()12()4()a b a b a b -+-++2222222[3()]12()()[2()][3()]23()2()[2()][3()2()](3322)(5)a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b =-++⋅-++=-+⨯-⨯+++=-++=-++=-(2)4242222223633(21)3(1)3[(1)(1)]3(1)(1)a a a a a a a a a -+=-+=-=+⋅-=+-(3)1111121222(21)(1)n n n n n n n n a a a a a a a a a a a +-+---+-=-+=-+=-(4)22222(1)4m n m n +-- 2222222222(12)(12)[(2)1][(2)1][()1][()1](1)(1)(1)(1)m n mn m n mn m mn n m mn n m n m n m n m n m n m n =+-+⋅+--=++--+-=+---=+++--+--。
北师大版八年级下册数学因式分解课件
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议一议:
由a(a+1)(a-1)得到a3-a的变形是 什么运算? 由a3-a得到a(a+1)(a-1)的变形与 它有什么不同?
答:由a(a+1)(a-1)得到a3-a的变形 是整式乘法,由a3-a得到a(a+1)(a-1) 的变形与上面的变形互为逆过程 .
993-99能被100整除吗? 你是怎样想的?与同伴交流.
计算下列式子:
(1)3x(x-1)=
3x2 -3x
;
(2)m(a+b+c)= ma+mb+mc ; (3)(m+4)(m-4)= m2-16 ;
(4)(y-3)2 = y 2-6y+9 ; (5)a(a+1)(a-1)= a3 -a .
根据上面的算式填空: (1)ma+mb+mc= m(a+b+c); (2)3x 2-3x= 3x(x-1) ; (3)m2-16= (m+4)(m-4); (4)a3-a= a(a+1)(a-1) ; (5)y 2-6y+9= (y-3)2 .
以下两种运算有什么联系与区分? (1)a(a+1)(a-1)= a 3-a (2)a 3-a= a(a+1)(a-1)
在上面的运算中还有其它类似的例子吗?除此之外,你还能找到类似的例子吗? 联系:第(2)式与第(1)式是互逆运算; 区分:第(1)式是将乘积化为多项式,而第(2)式是将多项式化为乘积情势。
北师大版 八年级 下册
4.1 因式分解
第1课时
复习:
1.整式乘法有几种情势 ? (1) 单项式乘以单项式 (2)单项式乘以多项式 : a(m+n)=am+an (3) 多项式乘以多项式 (a+b)(m+n)=am+an+ bm+bn
最新北师大版八年级数学下册《因式分解》精品教学课件
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(8分钟)
(变1.式下)列下等列式等中式从中左从到左右到的右变的形变为形分为解分因解式因的式是的(是D( C).)
AA. . (x1+2a52)b(x=-31a)·=4xa2b+4x-5 BB. .x2-(x+x2-2)(1x=-2()x=+xx2)-(4x-1) - 1 CC. .x24-x21-08xxy-+1=254yx2(=x-(2x)--15y)2 DD. .ax122-axb-x12-2axy=1x22(aa(-x-by).-x
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
(3) (m+4)(m-4)= _m_2_-_1_6_ (3) m2-16=_(_m_+_4_)(_m_-_4)_
(4) (y-3)2= y_2_-_6_y+_9__
(4) y2-6y+9=_(_y-_3_)_2 ___
1、什么是因式分解?因式分解的最终结果必须以什么形 式出现?把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种 变形叫做因式分解。 结果必须是整式的积的形式。
(2) x2-4x+4=(x-2)2
(3)a(x-3y)=ax-3ax
(1分钟)
993 – 99还能被哪
自学课本P92页,思考并回答以下问些题正:整数整除?
1、993-99能被100整除吗?为什么?
解:993 - 99 =99×(992-1)
=99×(99+1) ×(99-1)
=99 ×100 ×98
8
8
4.已知关于x的二次三项式 5x2+mx-n 分解因式的结果
是(5x-1)(x+2),试求m,n的值 解:(5x 1)( x 2) 5x2 9x 2 5x2 mx n 5x2 9x 2
解得:m 9 , n 2
北师大版八年级数学下册第四章因式分解4.3完全平方公式(教案)
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(五)总结回顾(用时5分钟)
今天的学习,我们了解了完全平方公式的推导、重要性和应用。同时,我们也通过实践活动和小组讨论加深了对完全平方公式的理解。我希望大家能够掌握这些知识点,并在解决数学问题时灵活运用。最后,如果有任何疑问或不明白的地方,请随时向我提问。
北师大版八年级数学下册第四章因式分解4.3完全平方公式(教案)
一、教学内容
北师大版八年级数学下册第四章因式分解4.3节,主要围绕完全平方公式展开教学。本节课内容如下:
1.探索完全平方公式的推导过程,掌握完全平方公式:(a±b)^2 = a^2 ± 2ab + b^2。
2.学会运用完全平方公式分解因式,解决实际问题。
其次,对于完全平方公式的应用,我发现学生们在解决具体问题时,有时会忽略符号的判断。在讲解过程中,我特别强调了“同号得正,异号得负”的规律,并通过大量练习帮助学生加深记忆。但在实际操作中,仍有个别学生会出现错误。为此,我考虑在今后的教学中,增加一些关于符号判断的专项训练,以提高学生们的准确率。
此外,在学生小组讨论环节,我发现学生们能够积极参与,主动提出自己的观点和想法。但在讨论过程中,部分学生可能会偏离主题,讨论一些与完全平方公式无关的内容。为了提高讨论效率,我计划在今后的教学中,明确讨论主题,并在讨论过程中适时引导,确保学生们围绕主题展开讨论。
3.重点难点解析:在讲授过程中,我会特别强调完全平方公式的推导和运用这两个重点。对于难点部分,如符号判断,我会通过举例和比较来帮助大家理解。
(三)实践活动(用时10分钟)
1.分组讨论:学生们将分成若干小组,每组讨论一个与完全平方公式相关的实际问题。
北师大版数学八年级下册4.1《因式分解》教案
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北师大版数学八年级下册4.1《因式分解》教案一. 教材分析北师大版数学八年级下册4.1《因式分解》是初中数学的重要内容,主要让学生掌握因式分解的方法和应用。
因式分解是代数运算的基础,对于提高学生的数学思维能力和解决问题的能力具有重要意义。
本节课的内容包括提公因式法、公式法、分组分解法等因式分解方法,通过这些方法的学习,使学生能够灵活运用因式分解解决实际问题。
二. 学情分析学生在学习本节课之前,已经掌握了整式的乘法运算,具备了一定的代数基础。
但因式分解较为抽象,对于部分学生来说,理解起来存在一定的困难。
因此,在教学过程中,要关注学生的学习差异,针对不同层次的学生进行教学,提高他们的学习兴趣和自信心。
三. 教学目标1.知识与技能目标:使学生掌握因式分解的方法,能够灵活运用各种方法进行因式分解。
2.过程与方法目标:通过小组合作、讨论交流,培养学生的团队协作能力和解决问题的能力。
3.情感态度与价值观目标:激发学生学习数学的兴趣,培养他们勇于探索、积极思考的精神。
四. 教学重难点1.重点:因式分解的方法。
2.难点:灵活运用各种方法进行因式分解,解决实际问题。
五. 教学方法1.情境教学法:通过创设生活情境,激发学生的学习兴趣。
2.启发式教学法:引导学生主动思考,培养学生的创新能力。
3.小组合作学习:培养学生团队协作能力和解决问题的能力。
六. 教学准备1.准备相关教案、PPT、教学素材等。
2.准备黑板、粉笔、投影仪等教学用品。
3.提前让学生预习本节课的内容,了解因式分解的基本概念。
七. 教学过程1. 导入(5分钟)利用生活实例或趣味数学问题,引入因式分解的概念,激发学生的学习兴趣。
2. 呈现(10分钟)通过PPT展示因式分解的方法,包括提公因式法、公式法、分组分解法等。
引导学生了解各种方法的特点和应用。
3. 操练(10分钟)对学生进行分组,每组选定一个因式分解问题,运用所学的methods进行解决。
教师巡回指导,解答学生的疑问。
北师大版八年级数学下册 因式分解
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第四章 因式分解
1 因式分解
复习旧知
1.整式乘法有几种形式? (1)单项式乘以单项式 (2)单项式乘以多项式
a(m+n)= am+an .
(3)多项式乘以多项式
(a+b)(m+n)= am+an+bm+bn .
复习旧知
2.乘法公式有哪些?
(1)平方差公式
(a+b)(a-b)= a2 - b2 .
解: 7652×17-2352 ×17 = 17(7652 -2352) = 17(765+235)(765 -235) = 17×1000×530 = 9010000
讲授新课
例3 20042+2004能被2005整除吗?
解: ∵20042+2004 =2004(2004+1) =2004×2005
(3) (m+4)(m-4)= m2-16 ; y2-6y+9 =( y-3 )2
(4) ( y-3)2= y2-6y+9 . a3-a =( a )( a+1)( a-1 )
(5)a(a+1)(a-1)= a3-a .
讲授新课
由a(a+1)(a-1)得到a3-a的变形是什么运算? 由a3-a得到a(a+1)(a-1)的变形与它有什么不同?
讲授新课
善于辨析:因式分解与整式乘法有 什么联系?
因式分解
二者是互逆的恒等变形
讲授新课
巩固概念
判断下列各式哪些是整式乘法?
哪些是因式分解?
(1) x2-4y2=(x+2y)(x-2y) 因式分解 (2) 2x(x-3y)=2x2-6xy 整式乘法
最新北师大版-八年级下-因式分解、分式与分式方程知识点(上传版)
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因式分解一、基本概念因式分解:把一个多项式化成几个整式的乘积的形式,叫做把这个多项式因式分解,也可称为将这个多项式分解因式.因式分解与整式乘法互为逆变形:()m a b c ma mb mc ++++整式的乘积因式分解式中m 可以代表单项式,也可以代表多项式,它是多项式中各项都含有的因式,称为公因式.因式分解的常用方法:提取公因式法、运用公式法、分组分解法、十字相乘法.分解因式的一般步骤:如果多项式的各项有公因式,应先提公因式;如果各项没有公因式,再看能否直接运用公式或十字相乘法,如还不能,就试用分组分解法或其它方法.注意事项:①若不特别说明,分解因式的结果必须是每个因式在有理数范围内不能再分解为止;②结果一定是乘积的形式; ③每一个因式都是整式;④相同的因式的积要写成幂的形式.在分解因式时,结果的形式要求:①没有大括号和中括号;②每个因式中不能含有同类项,如果有需要合并的同类项,合并后要注意能否再分解; ③单项式因式写在多项式因式的前面; ④每个因式第一项系数一般不为负数; ⑤形式相同的因式写成幂的形式.二、提公因式法提取公因式:如果多项式的各项有公因式,一般要将公因式提到括号外面. 确定公因式的方法:系数——取多项式各项系数的最大公约数;字母(或多项式因式)——取各项都含有的字母(或多项式因式)的最低次幂.三、公式法平方差公式:22()()a b a b a b -=+-①公式左边形式上是一个二项式,且两项的符号相反; ②每一项都可以化成某个数或式的平方形式;③右边是这两个数或式的和与它们差的积,相当于两个一次二项式的积.完全平方公式:2222()a ab b a b ++=+2222()a ab b a b -+=-①左边相当于一个二次三项式;②左边首末两项符号相同且均能写成某个数或式的完全平方式; ③左边中间一项是这两个数或式的积的2倍,符号可正可负;④右边是这两个数或式的和(或差)的完全平方,其和或差由左边中间一项的符号决定. 一些需要了解的公式:3322()()a b a b a ab b +=+-+3322()()a b a b a ab b -=-++33223()33a b a a b ab b +=+++ 33223()33a b a a b ab b -=-+-2222()222a b c a b c ab ac bc ++=+++++四、十字相乘法十字相乘法:一个二次三项式2ax bx c ++,若可以分解,则一定可以写成1122()()a x c a x c ++的形式,它的系数可以写成12a a 12c c ,十字相乘法就是用试验的方法找出十字线两端的数,其实就是分解系数a ,b ,c ,使得:12a a a =,12c c c =,1221a c a c b +=,2()()()x a b x ab x a x b +++=++. 若24b ac -不是一个平方数,那么二次三项式2ax bx c ++就不能在有理数范围内分解.五、分组分解分组分解法:将一个多项式分成二或三组,各组分别分解后,彼此又有公因式或者可以用公式,这就是分组分解法.分式与分式方程一、分式的基本概念当两个整数不能整除时,出现了分数;类似的当两个整式不能整除时,就出现了分式. 一般地,如果A ,B 表示两个整式,并且B 中含有字母,那么式子AB叫做分式. 整式与分式统称为有理式. 在理解分式的概念时,注意以下三点:①分式的分母中必然含有字母; ②分式的分母的值不为0;③分式必然是写成两式相除的形式,中间以分数线隔开.二、分式有意义的条件两个整式相除,除数不能为0,故分式有意义的条件是分母不为0,当分母为0时,分式无意义.如:分式1x,当0x ≠时,分式有意义;当0x =时,分式无意义. 三、分式的值为零分式的值为零时,必须满足分式的分子为零,且分式的分母不能为零,注意是“同时”.四、分式的基本性质分式的基本性质:分式的分子与分母同时乘(或除以)一个不等于0的整式,分式的值不变. 上述性质用公式可表示为:a amb bm =,a a mb b m÷=÷(0m ≠). 注意:①在运用分式的基本性质时,基于的前提是0m ≠;②强调“同时”,分子分母都要乘以或者除以同一个“非零”的数字或者整式; ③分式的基本性质是约分和通分的理论依据.五、分式的乘除分式的乘法:a c a cb d b d⋅⋅=⋅.分式的除法:a c a d a db d bc b c⋅÷=⨯=⋅. 六、分式的乘方分式的乘方:()n nn nn a a aa a aa ab b bb b bb b ⋅=⋅=⋅个个n 个=(n 为正整数). 整数指数幂运算性质:①m n m n a a a +⋅=(m 、n 为整数); ②()m n mn a a =(m 、n 为整数); ③()n n n ab a b =(n 为整数);④m n m n a a a -÷=(0a ≠,m 、n 为整数).负整指数幂:一般地,当n 是正整数时,1n n a a-=(0a ≠),即n a -(0a ≠)是n a 的倒数. 七、八、分式的加减运算法则同分母分式相加减:分母不变,把分子相加减,a b a bccc+±=.异分母分式相加减:先通分,变为同分母的分式再加减,a c ad bc ad bcb d bd bd bd±±=±=.最简公分母:确定最简公分母的一般步骤:①取各分母系数的最小公倍数;②所出现的字母(或含字母的式子)为底的幂的因式都要取;③相同字母(或含字母的式子)的幂的因式取指数最大的.在求出最简公分母后,还要确定分子、分母应乘的因式,这个因式就是最简公分母除以原分母所得的商. 九、分式的混合运算的运算顺序先算乘方,再算乘除,后算加减,如有括号,括号内先算.结果以最简形式存在. 十、分式方程及其求解分式方程:分母中含有未知数的方程叫做分式方程. 分式方程求解步骤:①方程左右两边时乘最简公分母,化为整式方程; ②解整式方程,得到=x 具体的值;③检验,将值代入最简公分母,若最简公分母为零,此值为增根;否则为方程的根.增根产生的原因:分式分母不能为零,而分式方程转化为整式方程后,最简公分母为零可能使方程成立. 十一、十二、分式方程应用题分式方程应用题步骤:析、设、列、解、验.分式方程应用题验根:既要检验方程的根是否是增根,还应考虑题目中的实际意义.。
(150311精品讲义)数学北师大版8年级下册因式分解
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因式分解因式分解:把一个多项式分解成几个整式之积的形式叫做多项式的因式分解。
因式分解是多项式乘法的逆向变形。
因式分解的常用方法:提取公因式,公式法,十字相乘法。
1. 提取公因式法:如果一个多项式的各项含有公因式,把这个因式提出来,作为多项式的一个因式,再用这个因式去除这个多项式,把所得的商作为另一个因式,这种因式分解的方法叫做提取公因式。
提公因式法是因式分解中的首选方法,不能提公因式或者提公因式后再选择其它方法。
公因式的取法为:①系数取各项整数系数的最大公约数(第一项系数为负,一般提出负号)。
②字母取各项的相同字母(有时为多项式)。
③字母的指数取相同字母的最低指数。
例1、 分解下列因式:(1)ma+mb (2)m(a-b)+n(b-a) (3) 3423222102a b a b a b --+(4)3x(x-y)-8(x-y) (5)(2a+b)(2a-3b)+a(2a+b) (6)5(x-y)3+10(y-x)2例2、分解下列各式:322222)(18)(24)(12a b xy a b y x b a xy -+--- )()()(222cb ca c bc b ab ac ab a --+-++-+2. 公式法:由于整式乘法和因式分解是互逆的过程,把乘法公式反过来用,就可以把某些多项式分解因式,这种因式分解的方法叫做公式法。
用此法分解因式时,首先要分析该多项式是否具有可用公式的特点。
例如,如果多项式是二项式,就可以考虑运用两数和乘以两数差的公式,即22()()a b a b a b -=+-;如果多项式是三项式,就可以考虑运用两数和的平方公式,即2222()a ab b a b ++=+。
例3、把下列各式分解因式:(1) 2(1)(1)x b x -+-; (2)222236369m a m a m +- (3)29()6()1p q p q ---+。
(4)a ab 252- (5)x x x 4423+- (6)2422+-x x3. 十字相乘法:对于二次三项式的分解因式,借用一个十字叉帮助我们分解因式,这种方法叫做十字相乘法。
北师大版八年级数学下册 第四章因式分解的四种方法(讲义及答案)
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因式分解的四种方法(讲义)➢ 课前预习1. 平方差公式:___________________________;完全平方公式:_________________________;_________________________.2. 探索新知:(1)39999-能被100整除吗?小明是这样做的:3229999999999199(991)99(991)(991)9998009998100-=⨯-⨯=⨯-=⨯+-=⨯=⨯⨯所以39999-能被100整除.(2)38989-能被90整除吗?你是怎样想的?(3)3m m -能被哪些整式整除?➢ 知识点睛1. __________________________________________叫做把这个多项式因式分解.2. 因式分解的四种方法(1)提公因式法需要注意三点:①_____________;②_______________;③_________________.(2)公式法两项通常考虑_____________,三项通常考虑_____________.(3)分组分解法如果一个多项式适当分组,使分组后各组之间有公因式或可应用公式,那么这个多项式就可以用分组的方法分解因式。
多项式项数比较多常考虑分组分解法,首先找 ,然后再考虑 或者_______.(4)十字相乘法十字相乘法常用于二次三项式的结构,其原理是:2()()()x p q x pq x p x q +++=++ 因式分解是有顺序的,记住口诀:“ 竖分常数交叉验,横写因式不能乱 ”;➢ 精讲精练1. 下列由左到右的变形,是因式分解的是________________.①222233x y x y -=-⋅⋅; ②2(3)(3)9a a a +-=-;③22+1()()1a b a b a b -=+-+; ④222()mR mr m R r +=+; ⑤2()x xy x x x y -+=-;⑥24(2)(2)m m m -=+-; ⑦2244(2)y y y -+=-.2. 因式分解(提公因式法):(1)2212246a b ab ab -+; (2)32a a a --+; (3)()(1)()(1)a b m b a n -+---;解:原式=解:原式= 解:原式=(4)22()()x x y y y x ---; (5)1m m x x -+. 解:原式=解:原式=3. 因式分解(公式法):(1)249x -;(2)216249x x ++; 解:原式=解:原式=(3)2244x xy y -+-;(4)229()()m n m n +--; 解:原式=解:原式=(5)22(3)2(3)(43)(43)x y x y x y x y +-+-+-;解:原式=(6)2(25)4(52)x x x -+-;解:原式=(7)228168ax axy ay -+-;(8)44x y -; 解:原式=解:原式=(9)4221a a -+; (10)22222()4a b a b +-. 解:原式=解:原式=4. 因式分解(分组分解法):(1)2105ax ay by bx -+-;(2)255m m mn n --+; 解:原式=解:原式=(3)22144a ab b ---; (4)22699a a b ++-; 解:原式=解:原式=(5)2299ax bx a b +--;(6)22244a a b b -+-. 解:原式=解:原式=5. 因式分解(十字相乘法):(1)243x x ++;(2)26x x +-; 解:原式=解:原式=(3)223x x -++;(4)221x x +-; 解:原式=解:原式=(5)22512x x +-;(6)2232x xy y +-; 解:原式=解:原式=(7)2221315x xy y ++;(8)3228x x x --. 解:原式=解:原式=6. 用适当的方法因式分解:(1)222816a ab b c -+-;(2)22344xy x y y --; 解:原式= 解:原式=(3)22(1)12(1)16a a ---+;(4)(1)(2)12x x ++-; 解:原式=解:原式=(5)2(2)8a b ab -+;(6)222221x xy y x y -+-++. 解:原式=解:原式=【参考答案】➢ 课前预习1. 22()()a b a b a b +-=-222222()2()2a b a ab b a b a ab b +=++-=-+2. 210=7×5×3×2;315=7×5×3×3;91=13×7;102=17×3×23. (2)328989898989-=⨯-289(891)89(891)(891)899088=⨯-=⨯+⨯-=⨯⨯∴38989-能被90整除3223(1)(1)(1)m m m m mm m m m m -=⋅-=-=+-()∴3m m -能被1,m ,m +1,m -1,m (m +1),m (m -1),(m +1)(m -1),m (m +1)(m -1)整除 ➢ 知识点睛1. 把一个多项式化成几个整式的积的形式2. (1)①公因式要提尽②首项是负时,要提出负号③提公因式后项数不变(2)平方差公式,完全平方公式①能提公因式的先提公因式②找准公式里的a 和b(3)公因式,完全平方公式,平方差公式3. 一提二套三分四查,有理数➢ 精讲精练1. ④⑥⑦2. (1)6(241)ab a b -+(2)2(1)a a a -+-(3)()()a b m n -+(4)3()x y -(5)1(1)m x x -+3. (1)(23)(23)x x +-(2)2(43)x +(3)2(2)x y --(4)4(2)(2)m n m n ++(5)29(2)x y -(6)(25)(2)(2)x x x -+-(7)28()a x y --(8)22()()()x y x y x y ++-(9)22(1)(1)a a +-(10)22()()a b a b +-4. (1)(5)(2)x y a b --(2)(5)()m m n --(3)(12)(12)a b a b ++--(4)(33)(33)a b a b +++-(5)()(31)(31)a b x x ++-(6)(2)(22)a b a b -+-5. (1)(1)(3)x x ++(2)(3)(2)x x +-(3)(3)(1)x x --+(4)(21)(1)x x -+(5)(4)(23)x x +-(6)()(32)x y x y +-(7)(5)(23)x y x y ++(8)(2)(4)x x x +-6. (1)(4)(4)a b c a b c -+--(2)2(2)y x y --(3)2(5)(3)a a --(4)(2)(5)x x -+(5)2(2)a b +(6)2(1)x y --。
北师大版八年级数学下册因式分解课件
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1 因式分解
答案 C
1 因式分解
锦囊妙计
辨认因式分解的要点
对于因式分解应明确以下几点:①因式分解是一种恒等变形;
②是把和的情势转化为积的情势的变形, 即把多项式化为多个整式
积的情势;③积中的各因式都是整式;④每个因式在指定范围内都
不能再分解, 即分解彻底.
1 因式分解
题型二 利用因式分解与整式乘法的关系确定字母的值
第四章 因式分解
1 因式分解
第四章 因式分解
1 因式分解
考场对接
1 因式分解
考场对接
题型一 辨认因式分解
例题1 下列各式由左边到右边的变形中, 是因式分解的为( ). A.a(x+y)=ax+ay B.x2-4x+4=x(x-4)+4 C.10x2-5x=5x(2x-1) D.x2-16+3x=(x-4)(x+4)+3x
例题2 已知关于 x 的二次多项式 2 x 2 -a x + b 因式分解后的结果为 ( 2 x - 1)(x+2), 试求a, b的值.
1 因式分解
解 由题意知2x2-ax+b=(2x-1)(x+2).
又因为(2x-1)(x+2)=2x2+3x-2,
所以2x2-ax+b=2x2+3x-2,
所以
-a=3, b=-2,
1 因式分解
题型四 利用因式分解解决整除问题
例题4 试说明5202X-4×5202X+6×5202X能被11整除.
1 因式分解
解 5202X-4×5202X+6×5202X =52×5202X-4×5×5202X+6×5202X =5202X×(52-4×5+6) =5202X×11, 所以5202X-4×5202X+6×5202X能被11整除.
北师大版八年级下册第四章因式分解之因式分解
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B
D x²-5x+6 =(x+2)(x+3)
已知关于x的二次多项式2x²-ax+b因式分 解后的结果为(2x-1)(x+2),求a,b的值.
解 由题意知2x²-ax+b=(2x-1)(x+2) 又因为(2x-1)(x+2)=2x²+3x-2 所以2x²-ax+b= 2x²+3x-2 所以-a=3 b=-2 所以a=-3 b=-2
(1)x²-x =x(x-1) 因式分解
(2)x²-1=(x+1)(x-1) 因式分解
(3) x(x-1)=x²-x 整式乘法
(4) (x+1)(x-1) =x²-1 整式乘法
判断下列各式哪些是整式乘法,
哪些是因式分解。
(1)x²-4y²=(x+2y)(x-2y) 因式分解
(2)(5a-1)²=25a²-10a+1 整式乘法
已知关于x的二次多项式2x²-ax+b因式分 解后的结果为(2x-1)(x+2),求a,b的值.
解 由题意知2x²-ax+b=(2x-1)(x+2) 又因为(2x-1)(x+2)=2x²+3x-2 所以2x²-ax+b= 2x²+3x-2 所以-a=3 b=-2 所以a=-3 b=-2
解这类题的步骤:第一利用整式的乘法得到 多项式;第二令得到的多项式与所求的多项 式相等;第三使其对应项的系数相等.
所以原式能被11整除.
试说明 32020 - 4 32019 7 32018
能被11整除.
32 52018 - 4332018 7 32018 32018 (32 - 4 3 7) 32018 4
北师大版八年级数学(下册).1因式分解(教案)
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(三)实践活动(用时10分钟)
1.分组讨论:学生们将分成若干小组,每组讨论一个与因式分解相关的实际问题。
2.实验操作:为了加深理解,我们将进行一个简单的数学实验操作,通过实际操作来演示因式分解的基本原理。
3.成果展示:每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
(四)学生小组讨论(用时10分钟)
1.讨论主题:学生将围绕“因式分解在实际数学题中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法,并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发:在讨论过程中,我将作为一个引导者,帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
北师大版八年级数学(下册).1因式ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ解(教案)
一、教学内容
本节课选自北师大版八年级数学(下册)第一章“因式分解”,主要内容包括:
1.因式分解的意义与基本概念;
2.运用提取公因式法进行因式分解;
3.运用平方差公式进行因式分解;
4.运用完全平方公式进行因式分解;
5.习题与例题讲解,巩固所学方法与技巧。
二、核心素养目标
2.教学难点
-难点内容:因式分解的复杂应用和技巧。
-难点突破:
-帮助学生理解平方差公式和完全平方公式的推导过程,以便更好地记忆和应用。
-解决含有多个变量的多项式因式分解问题,如ax^2 + bx + c的因式分解。
-针对方程式中的因式分解,如解二次方程时,如何将方程转化为因式分解形式。
-在应用平方差公式时,如何将多项式适当变形以适应公式结构。
北师大版八年级下册数学--第四章 因式分解复习课件
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典例分析
例2:1.找出下列各多项式中各项的相同因式:
(1)2ab2+ 4abc
2ab
(2)-m2n3 -3n2m3
-m2n2
(3)2x(x+y)+6x2(x+y)2 2x(x+y)
2.用提公因式法分解因式
8a3b2-12ab3c
=4ab2 ∙2a2 - 4ab2 ∙ 3bc
m(a+b+c) 互逆
典例分析 一
例1 . 下列变形中是因式分解的是(D ).
A. x2+3x+4=(x+1)(x+2)+2 × 不是乘积形式 B . (3x-2)(2x+1)=6x2-x-2 × 是整式乘法 C . 6x2y3=3xy ·2xy2 × 单项式
D . 4ab+2ac=2a(2b+c)√
例7. 因式分解: (1) (a+b)(a-b)-a-b
解 = (a+b)(a-b)-(a+b) = (a+b)(a-b-1)
(3)(x—1)(x—3)+1
解 = (x2-4x+3)+1 = x2-4x+4 = (x-2)2
(2) (x—y)2-4(x—y—1)
解 = (x—y)2-4(x—y)+4 = (x-y-2)2
解 = (a-b)2(a2 -b2)
=(a2-ab-ab+b2)(a2-ab+ab-b2)
=(a-b)2(a-b)(a+b)
=(a2-2ab+b2)(a2-b2)
=(a-b)3(a+b)
=(a-b)2(a-b)(a+b) =(a-b)3(a+b)
八年级数学下册《分解因式》知识点归纳北师大版
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八年级数学下册《分解因式》知识点归纳北师大版第二章分解因式一、分解因式1.把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变形叫做把这个多项式分解因式.2.因式分解与整式乘法是互逆关系.因式分解与整式乘法的区别和联系:整式乘法是把几个整式相乘,化为一个多项式;因式分解是把一个多项式化为几个因式相乘.二、提公共因式法1、如果一个多项式的各项含有公因式,那么就可以把这个公因式提出来,从而将多项式化成两个因式乘积的形式.这种分解因式的方法叫做提公因式法.如:2、概念内涵:因式分解的最后结果应当是"积";公因式可能是单项式,也可能是多项式;提公因式法的理论依据是乘法对加法的分配律,即:3、易错点点评:注意项的符号与幂指数是否搞错;公因式是否提"干净";多项式中某一项恰为公因式,提出后,括号中这一项为+1,不漏掉.三、运用公式法1.如果把乘法公式反过来,就可以用来把某些多项式分解因式.这种分解因式的方法叫做运用公式法.2.主要公式:平方差公式:完全平方公式:3.易错点点评:因式分解要分解到底.如就没有分解到底.4、运用公式法:平方差公式:①应是二项式或视作二项式的多项式;②二项式的每项都是一个单项式的平方;③二项是异号.完全平方公式:①应是三项式;②其中两项同号,且各为一整式的平方;③还有一项可正负,且它是前两项幂的底数乘积的2倍.5、因式分解的思路与解题步骤:先看各项有没有公因式,若有,则先提取公因式;再看能否使用公式法;用分组分解法,即通过分组后提取各组公因式或运用公式法来达到分解的目的;因式分解的最后结果必须是几个整式的乘积,否则不是因式分解;因式分解的结果必须进行到每个因式在有理数范围内不能再分解为止.四、分组分解法:1、分组分解法:利用分组来分解因式的方法叫做分组分解法.如:2、概念内涵:分组分解法的关键是如何分组,要尝试通过分组后是否有公因式可提,并且可继续分解,分组后是否可利用公式法继续分解因式.3、注意:分组时要注意符号的变化.五、十字相乘法:1、对于二次三项式,将a和c分别分解成两个因数的乘积,,,且满足,往往写成的形式,将二次三项式进行分解.如:2、二次三项式的分解:3、规律内涵:理解:把分解因式时,如果常数项q是正数,那么把它分解成两个同号因数,它们的符号与一次项系数p的符号相同.如果常数项q是负数,那么把它分解成两个异号因数,其中绝对值较大的因数与一次项系数p的符号相同,对于分解的两个因数,还要看它们的和是不是等于一次项系数p.4、易错点点评:十字相乘法在对系数分解时易出错;分解的结果与原式不等,这时通常采用多项式乘法还原后检验分解的是否正确.。
最新北师大版八年级数学下册《因式分解》名师讲义(含答案)
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最新北师大版数学精品教学资料因式分解主讲教师:重难点易错点辨析题一:下列各式中,正确的因式分解是:(1)()()221=2x x x x +-+-(2)()2322626a b ab ab a b -=- (3)()()22492323y x y x y x +=+- (4)()22882221m m m ++=+(5)()24623722822622a b c a b c a b c a b c a b -+=- 考点:因式分解的定义和常用方法金题精讲题一:因式分解:(1)()222224a ba b +- (2)231449a b a b ab --(3)32x xy -(4)322344x y x y xy -+考点:因式分解题二:二次三项式x 2 mx (m 是整数)在整数范围内可分为两个一次因式的积,求m 的所有可能值.考点:十字相乘的应用题三:已知:a 为有理数,a 3+a 2 +a +1=0,求1+a +a 2 +a 3+…+a1000的值.考点:提公因式题四:题目:分解因式:x2 x+3456.分析:由于常数项数值较大,则常采用将x2 x变形为差的平方的形式进行分解,这样简便易行.解:x2 x+3456=x2 x+602 2 +3456=(x)2 (x)2 2=(x) (x)=(x)(x).通过阅读上述题目,请你按照上面的方法分解因式:x2 x+4875.考点:平方差公式的巧用思维拓展题一:阅读下列因式分解的过程,再回答所提出的问题:1+x+x(x+1)+x(x+1)2=(1+x)[1+x+x(x+1)]=(1+x)2(1+x)=(1+x)3(1)上述分解因式的方法是,共应用了次.(2)若分解1+x+x(x+1)+x(x+1)2 +…+x(x+1)2014,则需应用上述方法次,结果是.(3)分解因式:1+x+x(x+1)+x(x+1)2 +…+x(x+1)n(n为正整数).考点:完全平方的探索因式分解讲义参考答案重难点易错点辨析题一:(4),(5).金题精讲题一:(a+b)2(a b)2;ab(7a1)2;x(x+y)(x y);xy(x+2y)2.题二:±2,±7.题三:1.题四:(x x.思维拓展题一:(1)提公因式,2;(2)2014,(1+x)2015;(3)(1+x)n+1.。
(精华讲义)数学北师大版八年级下册因式分解
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因式分化【1 】一.概述界说:把一个多项式化为几个整式的积的情势,这种变形叫做把这个多项式因式分化,也叫作分化因式.意义:它是中学数学中最重要的恒等变形之一,它被广泛地应用于初等数学之中,是我们解决很多半学问题的有力对象.因式分化办法灵巧,技能性强,进修这些办法与技能,不但是控制因式分化内容所必须的,并且对于造就学生的解题技能,成长学生的思维才能,都有着十分奇特的感化.进修它,既可以温习的整式四则运算,又为进修分式打好基本;学好它,既可以造就学生的不雅察.留意.运算才能,又可以进步学生分解剖析息争决问题的才能.分化因式与整式乘法互为逆变形.二.因式分化的办法因式分化没有广泛的办法,初中数学教材中重要介绍了提公因式法.公式法.而在比赛上,又有拆项和添减项法,分组分化法和十字相乘法,待定系数法,双十字相乘法,对称多项式轮换对称多项式法,余数定理法,求根公式法,换元法,长除法,除法等.留意三原则1 分化要完整2 最后成果只有小括号3 最后成果中多项式首项系数为正(例如:-32x +x=-x(3x-1))根本办法1】提取公因式这种办法比较通例.简略,必须控制.有时提公因式后再用公式法.经常应用的公式有:完整平方公式.平方差公式等例1: 22x-3x解: =x(2x-3)针对性演习:提公因式法1.用提取公因式法分化因式准确的是()abc-9a2b2=3abc(4-3abx2y-3xy+6y=3y(x2-x+2y)C.-a2+ab-ac=-a(a-b+c)D.x2y+5xy-y=y(x2+5x)2.下列多项式中,能用提公因式法分化因式的是( )222+y22-xy+y2b -a =-6,ab =7,那么a 2b -ab 2的值是( )A.42B.-42C.13D.-13(1)c b a c ab b a 233236128+- (2)ab ab b a 7142122-+-(3)ma 2-4ma+4a (4) -28y 4-21y 3+7y 2 5.已知2x -y =81,xy =2,求2x 4y 3-x 3y 4的值.6.已知(4x -2y -1)2+2-xy =0,求4x 2y -4x 2y 2-2xy 2的值. 【随堂演习】1.分化因式:. 2.分化因式:; 3.分化因式:2】公式法将式子应用公式来分化,也是比较简略的办法.经常应用的公式有:完整平方公式.平方差公式等.留意:应用公式法前,建议先提取公因式.例2:2x -4分化因式剖析:此题较为简略,可以看出4=2 2,实用平方差公式a 2 -b 2 =(a+b)(a-b) 2解:原式=(x+2)(x-2)【随堂演习】1.下列多项式中,能用公式法分化因式的是()A .B .C .D . 2.分化因式:3. 分化因式:. 针对性演习:一.平方差公式:))((22b a b a b a -+=-222211___()()4411(____)(____)911____(2)(2)22x x x a b x x y x y -=+--=-=+-(1) 229n m - (2) 4161m +- (3)452322a b c a b c -(4)n n b a b a )()(2---+ (5))()(22x y b y x a -+- (6) 22)(16)(49n m n m --+二.完整平方公式:222)(2b a b ab a ±=+± 1.下列多项式,能用完整平方公式分化因式的是( )A.x 2+xy+y2 B.x 2-2x -1C.-x 2-2x-1 D.x 2+4y 2 2.多项式4a 2+ma+25是完整平方法,那么m 的值是( )A.10B.20C.-20D.±20 3.-x 2+2xy -y 2的一个因式是x -y,则另一个因式是________.4.若x 2+2(a+4)x+25是完整平方法,则a 的值是________.5.将下列更是进行因式分化(1)x 2+6ax+9a 2(2) 442++n n y y (3) 42244n n m m +- (4) 2x 3y 2–16x 2y+32x; (5) 3ax 2+6axy+3ay 2; (6)249114x x -- (7) 1)(2)(2+---q p q p (8)1)1(2)1(24++-+x x 【课后演习】1.将下列各式进行因式分化:(1)12x 3y-2xy 3; (2)(5a 2-2b 2)2-(2a 2-5b 2)2. 2.将下列各式因式分化:(1)1-16x 2; (2)25x 2y 2-49a 2; (3)-x 4+9121y 2. 3.把下列各式进行因式分化:(1)(3x+2y)2-(x-y )2; (2)-(x+2)2+16(x-1)2.4.因式分化4b 2-4ab+a 2准确的是( )A .4b(b-a)+a 2B .(2b-a)2C .(2b-a)(2b-a)D .(2b+a)25.已知x -y=1,xy=2,求x 3y -2x 2y 2+xy 3的值. 因式分化识点1:分化因式的界说1.分化因式:把一个多项式化成几个整式的乘的积,这种变形叫做分化因式,它与整式的乘法互为逆运算.如: 断定下列从左边到右边的变形是否为分化因式:①8)3)(3(892+-+=+-x x x x ( ) ②)49)(49(4922y x y x y x -+=- ( )③9)3)(3(2-=-+x x x ( ) ④)2(222y x xy xy xy y x -=+- ( ) 常识点2:公因式公因式的界说:我们把多项式各项都含有的雷同因式,叫做这个多项式各项的公因式.公因式的肯定:(1)符号: 若第一项是负号则先把负号提出来(提出负号后括号里每一项都要变号)(2)系数:取系数的最大公约数;(3)字母:取字母(或多项式)的指数最低的;(4)所有这些因式的乘积即为公因式;例如:1. 的公因式是多项式 963ab - aby abx -+_________2. 多项式3223281624a b c a b ab c -+-分化因式时,应提取的公因式是( )A .24ab c -B .38ab -C .32abD .3324a b c3. 342)()()(n m m n y n m x +++-+的公因式是__________常识点3:用提公因式法分化因式提公因式法分化因式:假如一个多项式的各项含有公因式,那么就可以把这个公因式提出来,从而将多项式化成几个因式的乘积,这种分化因式的办法叫做提公因式法.例如:1.可以直接提公因式的类型:(1)3442231269b a b a b a +-=________________;(2)11n n n a a a +--+=____________(3)542)()()(b a b a y b a x -+---=_____________(4)解方程组23532x y x y +=-=-⎧⎨⎩,求代数式()()()22332x y x y x x y +-++的值2.式子的第一项为负号的类型:(1)①33222864y x y x y x -+- =_______________ ②243)(12)(8)(4n m n m n m +++-+-=_______(2)22188y x +-=_______________演习:1.多项式:aby abx ab 24186++-的一个因式是ab 6-,那么另一个因式是( )y x A 431..+--y x B 431..-+ C y x 431--- D..y x 431---5(y -x)3-10y(y -x)33. 公因式只相差符号的类型:公因式相差符号的,要先肯定取哪个因式为公因式,然后把别的的只相差符号的因式的负号提出来,使其同一于之前肯定的谁人公因式.(若同时含奇数次和偶数次则一般直接更换偶数次里面的字母的地位,如)()()()(1-x -y x -y x -y -x -y )(-)(55656==--x y y x例:( 1)(b -a )2+a (a -b )+b (b -a ) ( 2)(a+b -c )(a -b+c )+(b -a+c )·(b -a -c )(3)a a b a b a a b b a ()()()-+---32222演习:1.把多项式m 2(a -2)+m (2-a )分化因式等于( )(A)(a -2)(m 2+m ) (B)(a -2)(m 2-m ) (C)m (a -2)(m -1) (D)m (a -2)(m+1)2.多项式)3()3(3y x y x ---的分化因式成果( ) A .))(3(3x x y +- B .))(3(3x x y -- C .)1)(3(2x y x +- D .)1)(3(x y x -- 3.分化因式:(1))(()()(y x x y n y x m -=-+-________)(2)-6(x -y)4-3y(y -x)5常识点4公式法分化因式.公式法分化因式:假如把乘法公式反过来,那么就可以用来把某些多项式分化因式,这种分化因式的办法叫做公式法.一.平方差公式分化因式法平方差公式:两个数的平方差,等于这两个的和与这两个数的差的积.即a 2-b 2=(a+b)(a-b)例如:1.断定可否用平方差公式的类型(1).下列多项式中不克不及用平方差公式分化的是( )(A)-a 2+b 2 (B)-x 2-y 2 (C)49x 2y 2-z 2 (D)16m 4-25n 2p 2(2).下列各式中,能用平方差分化因式的是( )A . 22y x +B .22y x --C .22xy x -D .21y -2.直接用平方差的类型(1)22916y x - (2)1252+-x (3)14-x 3.整体的类型:(1)22)(n n m -+ (2)22)32()(y x y x -++-4.提公因式法和平方差公式联合应用的类型(1)m 3—4m=.(2)=-a a 3.演习:将下列各式分化因式(1)()22241x x -+(2)100x 2-81y 2; (3)9(a -b)2-(x -y)2;(4)5a a - (5)x x 93+- (6))()(3n m n m --- 二.完整平方法分化因式法完整平方公式:两个数的平方和,加上(或减去)这两数的乘积的2倍,等于这两个数的和(或差)的平方.即 a 2+2ab+b 2=(a+b)2 ; a 2-2ab+b 2=(a-b)2特色:(1)多项式是三项式;(2)个中有两项同号,且此两项能写成两数或两式的平方和的情势;(3)另一项是这两数或两式乘积的2倍.1.断定一个多项式是否可用完整平方公式进行因式分化如:下列多项式能分化因式的是( )A .y x -2B .22y x +C .y y x ++22D .962+-x x2.关于求式子中的未知数的问题如:1.若多项式162++kx x 是完整平方法,则k 的值为( )A .—4B .4C .±8D .±42.若k x x +-692是关于x 的完整平方法,则k= 49)3(22+-+x m x 是关于x 的完整平方法则m=__________3.直接用完整平方公式分化因式的类型(1)2816x x ++; (2)224129x xy y -+-; (3)224x xy y ++; (4)224493m mn n ++4.整体用完整平方法的类型(1)(x -2)2+12(x -2)+36; (2) 2)()(69b a b a ++++ 5.用提公因式法和完整平方公式分化因式的类型(1)-4x 3+16x 2-16x; (2)21ax 2y 2+2axy+2a(3)已知:2,1=-=y x ab ,求xyab aby abx 63322-+的值演习:分化因式(1)442+-x x (2) 641622++ax x a (3) 4224168b b a a +-(4)49)(14)(2++-+y x y x (5)2)()(69b a b a ++++(6)22312123xy y x x +- (7)21222++x x常识点5.十字相乘法分化因式.十字相乘法分化因式:逆用整式的乘法公式:(x+a )(x+b ) =ab x b a x +++)(2,用来把某些多项式分化因式,这种分化因式的办法叫做十字相乘法.如:分化因式:(1) 1072+-x x (2)3522--x x (3) a 2+6ab +5 b 2 (4) x 2+5x +6 (5) x 2-5x +6 (6) x 2-5x -6演习:(1) x 2+7x +12 (2) x 2-8x +12 (3) x 2-x -12 (4) x 2+4x -12(5) y 2+23y +22 (6) x 2-8x -20 (7) x 2+9x y -36 y 2常识点6.分组的办法分化因式如(1)m m m 205443--+(2)144224-++-x y x演习:(1)222449c bc b a -+- (2)124323--+x x x (3)22962y y x x --+(4)44922---y y x (5)4222-+-y xy xy。
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因式分解一、概述定义:把一个多项式化为几个整式的积的形式,这种变形叫做把这个多项式因式分解,也叫作分解因式。
意义:它是中学数学中最重要的恒等变形之一,它被广泛地应用于初等数学之中,是我们解决许多数学问题的有力工具。
因式分解方法灵活,技巧性强,学习这些方法与技巧,不仅是掌握因式分解内容所必需的,而且对于培养学生的解题技能,发展学生的思维能力,都有着十分独特的作用。
学习它,既可以复习的整式四则运算,又为学习分式打好基础;学好它,既可以培养学生的观察、注意、运算能力,又可以提高学生综合分析和解决问题的能力。
分解因式与整式乘法互为逆变形。
二、因式分解的方法因式分解没有普遍的方法,初中数学教材中主要介绍了提公因式法、公式法。
而在竞赛上,又有拆项和添减项法,分组分解法和十字相乘法,待定系数法,双十字相乘法,对称多项式轮换对称多项式法,余数定理法,求根公式法,换元法,长除法,除法等。
注意三原则1 分解要彻底2 最后结果只有小括号3 最后结果中多项式首项系数为正(例如:-32x +x=-x(3x-1))基本方法1】提取公因式这种方法比较常规、简单,必须掌握。
有时提公因式后再用公式法。
常用的公式有:完全平方公式、平方差公式等例1: 22x -3x解: =x(2x-3)针对性练习:提公因式法1.用提取公因式法分解因式正确的是( )A.12abc -9a 2b 2=3abc (4-3ab )B.3x 2y -3xy +6y =3y (x 2-x +2y )C.-a 2+ab -ac =-a (a -b +c )D.x 2y +5xy -y =y (x 2+5x )2.下列多项式中,能用提公因式法分解因式的是( )A.x 2-yB.x 2+2xC.x 2+y 2D.x 2-xy+y 23.如果b -a =-6,ab =7,那么a 2b -ab 2的值是( )A.42B.-42C.13D.-134.将下面各式进行因式分解(1)c b a c ab b a 233236128+- (2) ab ab b a 7142122-+-(3) ma 2-4ma+4a (4) -28y 4-21y 3+7y 25.已知2x -y =81,xy =2,求2x 4y 3-x 3y 4的值.6.已知(4x -2y -1)2+2 xy =0,求4x 2y -4x 2y 2-2xy 2的值.【随堂练习】1、分解因式: .2、分解因式: ;3.分解因式:2】公式法将式子利用公式来分解,也是比较简单的方法。
常用的公式有:完全平方公式、平方差公式等。
注意:使用公式法前,建议先提取公因式。
例2:2x -4分解因式分析:此题较为简单,可以看出4=2 2,适用平方差公式a 2 -b 2 =(a+b)(a-b) 2解:原式=(x+2)(x-2)【随堂练习】1、下列多项式中,能用公式法分解因式的是( )A .B .C .D . 2.分解因式:3. 分解因式:.针对性练习:一、平方差公式:))((22b a b a b a -+=-1.填空 222211___()()4411(____)(____)911____(2)(2)22x x x a b x x y x y -=+--=-=+- 2.将下列各式因式分解(1) 229n m - (2) 4161m +- (3)452322a b c a b c -(4)n n b a b a )()(2---+ (5))()(22x y b y x a -+- (6) 22)(16)(49n m n m --+二.完全平方公式: 222)(2b a b ab a ±=+±1、下列多项式,能用完全平方公式分解因式的是( )A 、x 2+xy+y2 B 、x 2-2x -1 C 、-x 2-2x-1 D 、x 2+4y 2 2、多项式4a 2+ma+25是完全平方式,那么m 的值是( )A.10B.20C.-20D.±20 3、-x 2+2xy -y 2的一个因式是x -y ,则另一个因式是________.4、若x 2+2(a+4)x+25是完全平方式,则a 的值是________.5.将下列更是进行因式分解(1) x 2+6ax+9a 2 (2) 442++n n y y (3) 42244n n m m +-(4) 2x 3y 2–16x 2y+32x ; (5) 3ax 2+6axy+3ay 2; (6)249114x x --(7) 1)(2)(2+---q p q p (8) 1)1(2)1(24++-+x x【课后练习】1、将下列各式进行因式分解:(1)12x 3y-2xy 3; (2)(5a 2-2b 2)2-(2a 2-5b 2)2。
2、将下列各式因式分解:(1)1-16x 2; (2)25x 2y 2-49a 2; (3)-x 4+9121y 2。
3、把下列各式进行因式分解:(1)(3x+2y)2-(x-y )2; (2)-(x+2)2+16(x-1)2。
4、因式分解4b 2-4ab+a 2正确的是( )A .4b(b-a)+a 2B .(2b-a)2C .(2b-a)(2b-a)D .(2b+a)25、已知x -y=1,xy=2,求x 3y -2x 2y 2+xy 3的值.因式分解识点1:分解因式的定义1.分解因式:把一个多项式化成几个整式的乘的积,这种变形叫做分解因式,它与整式的乘法互为逆运算。
如: 判断下列从左边到右边的变形是否为分解因式:①8)3)(3(892+-+=+-x x x x ( )② )49)(49(4922y x y x y x -+=- ( )③ 9)3)(3(2-=-+x x x ( )④)2(222y x xy xy xy y x -=+- ( )知识点2:公因式公因式的定义:我们把多项式各项都含有的相同因式,叫做这个多项式各项的公因式。
公因式的确定:(1)符号: 若第一项是负号则先把负号提出来(提出负号后括号里每一项都要变号)(2)系数:取系数的最大公约数;(3)字母:取字母(或多项式)的指数最低的;(4)所有这些因式的乘积即为公因式;例如:1. 的公因式是多项式 963ab - aby abx -+_________2. 多项式3223281624a b c a b ab c -+-分解因式时,应提取的公因式是( )A .24ab c -B .38ab -C .32abD .3324a b c3. 342)()()(n m m n y n m x +++-+的公因式是__________知识点3:用提公因式法分解因式提公因式法分解因式:如果一个多项式的各项含有公因式,那么就可以把这个公因式提出来,从而将多项式化成几个因式的乘积,这种分解因式的方法叫做提公因式法。
例如:1.可以直接提公因式的类型:(1)3442231269b a b a b a +-=________________;(2)11n n n a a a +--+=____________(3)542)()()(b a b a y b a x -+---=_____________(4)解方程组23532x y x y +=-=-⎧⎨⎩,求代数式()()()22332x y x y x x y +-++的值2.式子的第一项为负号的类型:(1)①33222864y x y x y x -+- =________ _______②243)(12)(8)(4n m n m n m +++-+-=____ ___(2)22188y x +-=________ _______练习:1.多项式:aby abx ab 24186++-的一个因式是ab 6-,那么另一个因式是( ) y x A 431..+-- y x B 431..-+ C y x 431--- D..y x 431--2.分解因式-5(y -x)3-10y(y -x)33. 公因式只相差符号的类型:公因式相差符号的,要先确定取哪个因式为公因式,然后把另外的只相差符号的因式的负号提出来,使其统一于之前确定的那个公因式。
(若同时含奇数次和偶数次则一般直接调换偶数次里面的字母的位置,如)()()()(1-x -y x -y x -y -x -y )(-)(55656==--x y y x例:( 1)(b -a )2+a (a -b )+b (b -a ) ( 2)(a+b -c )(a -b+c )+(b -a+c )·(b -a -c )(3)a a b a b a a b b a ()()()-+---32222练习:1.把多项式m 2(a -2)+m (2-a )分解因式等于( )(A)(a -2)(m 2+m ) (B)(a -2)(m 2-m ) (C)m (a -2)(m -1) (D)m (a -2)(m+1)2.多项式)3()3(3y x y x ---的分解因式结果( )A .))(3(3x x y +-B .))(3(3x x y --C .)1)(3(2x y x +-D .)1)(3(x y x --3.分解因式:(1))(()()(y x x y n y x m -=-+-________) (2)-6(x -y)4-3y(y -x)5知识点4公式法分解因式.公式法分解因式:如果把乘法公式反过来,那么就可以用来把某些多项式分解因式,这种分解因式的方法叫做公式法。
一、平方差公式分解因式法平方差公式:两个数的平方差,等于这两个的和与这两个数的差的积。
即a 2-b 2=(a+b)(a-b) 特点:a.是一个二项式,每项都可以化成整式的平方. b.两项的符号相反.例如:1、判断能否用平方差公式的类型(1).下列多项式中不能用平方差公式分解的是( )(A)-a 2+b 2 (B)-x 2-y 2 (C)49x 2y 2-z 2 (D)16m 4-25n 2p 2(2).下列各式中,能用平方差分解因式的是( )A . 22y x +B .22y x --C .22xy x -D .21y - 2、直接用平方差的类型(1) 22916y x - (2)1252+-x (3)14-x3、整体的类型:(1)22)(n n m -+ (2)22)32()(y x y x -++-4、提公因式法和平方差公式结合运用的类型 (1)m 3—4m= .(2)=-a a 3 .练习:将下列各式分解因式 (1)()22241x x -+ (2)100x 2-81y 2;(3)9(a -b)2-(x -y)2;(4)5a a - (5)x x 93+- (6))()(3n m n m ---二、完全平方式分解因式法完全平方公式:两个数的平方和,加上(或减去)这两数的乘积的2倍,等于这两个数的和(或差)的平方。