数字电子技术基础

用真值表证明式7的正确性

例2.3.1 P25 A+B · C=(A+B) · (A+C) 方法：将A,B,C所有可能的取值组合逐一代入上 式的两边，算出相应的结果，如等式两边的真值 表相同，则等式成立。
若干常用公式



21、A+A · B=A 22、A+A’ ·B=A+B 23、A ·B+A ·B’=A 24、A · (A+B)=A 25、A ·B+A’ ·C+B ·C=A ·B+A’ ·C A ·B+A’ ·C+B CD=A ·B+A’ ·C 26、A ·(A ·B)’=A ·B’; A’ ·(AB)’=A’

异或和同或互为反运算
2.3 逻辑代数的基本公式和常 用公式

1、0· A=0 2、1· A=1 3、A·A=A 4、A· A’=0 5、A·B=B·A 6、A·(B·C)=(A·B) ·C 7、A·(B+C)=A·B+A·C 8、（A·B）’=A’+B’ 9、（A’）’=A

1、真值表与逻辑函数式的相互转换 1.1 由真值表写出逻辑函数式
1）找出真值表中使逻辑函数Y=1的那些输入变量取值的组合。 2）每组输入变量取值的组合对应一个乘积项，其中取值为1的 写入原变量，取值为0的写入反变量。 3）将这些乘积项相加，即得Y的逻辑函数式。 例 2.5.1 P32





R2.2.1 你能各举出一个现实生活中存在的与、 或、非逻辑关系的事例吗？ R2.2.2 两个变量的异或运算和同或之间是什么 关系？ R2.3.1 在逻辑代数的基本公式当中哪些公式的 运算规则和普通代数的运算规则是相同的？哪些 是不同的、需要特别记住的？ R2.4.1 代入定理中对代入逻辑的形式和复杂程 度有无限制？
2.5

逻辑函数及其表示方法
2.5.1 逻辑函数 Y=F(A,B,C,….)
图2.5.1 举重裁判电路
2.5.2 逻辑函数的表示方法

一、逻辑真值表（举例） 二、逻辑函数式 Y=A（B+C） 三、逻辑图

四、波形图(时序图) 五、卡诺图 六、硬件描述语言
五、各种表示方法间的相互转换
IEC （International Electrotechnical Commission，国 际电工协会）
异或，同或

异或：


输入A,B 不同时，输出Y为1；输入A,B 相同时，输 出Y为0。 Y=A⊕ B=A· B’+A’ · B

同或：


输入A,B 不同时，输出Y为0；输入A,B 相同时，输 出Y为1。 Y=A⊙ B=A· B+A’ · B’
图2.5.3
[例2.5.3]的逻辑图

2.2 给定的逻辑图转换为 对应的逻辑函数式

从逻辑图的输入端到输出 端逐级写出每个图形符号 的输出逻辑式。
图2.5.4 [例2.5.4]的逻辑图
五、各种表示方法间的相互转换

3、波形图与真值表的相互转换 3.1 从波形图求对应的真值表

读图，列表

3.2 真值表转换为波形图
二、逻辑函数的最小项之和形式

首先将给定的逻辑函数式化为若干乘积项之和的 形式（也称“积之和”形式），然后利用基本公 式A+A’=1将每个乘积项中缺少的因子补全，这 样就可以将与、或的形式化为最小项之和的标准 形式。 例：2.5.6 P37 将逻辑函数：Y=AB’C’D+A’CD+AC展开为最小 项之和的形式。
2.6 逻辑函数的化简方法

2.6.1 公式化简法 逻辑式越简单，表示的逻辑关系越明显，可利用最少的 电子器件实现这个逻辑函数。 一、并项法

如利用公式: AB+AB’=A
例：2.6.1
二、吸收法

如利用公式：A+AB=A
例：2.6.2
三、消项法

如利用公式：AB+A’C+BC=AB+A’C 例：2.6.3

从表中取值以时间为横轴画图。
2.5.3 逻辑函数的两种标准形式

一、最小项和最大项

1、最小项


定义： 在n变量逻辑函数中，若m为包含n个因子的乘积项，而 且这n个变量均以原变量或反变量的形式在m中出现一次， 则称m为该组变量的最小项。 性质： 1）在输入变量的任何取值下必有而且仅有一个最小项的 值为1. 2）全体最小项之和为1. 3）任意两个最小项乘积为0. 4）具有相邻性的两个最小项之和就可以合并成一项并消 去一对因子。
证明若干常用公式



25、A ·B+A’ ·C+B ·C=A ·B+A’ ·C 证明：=A.B+A’.C+B.C(A+A’) =A.B+A’.C+A.B.C+A’.B.C =A.B(1+C)+A’.C.(1+B)=A.B+A’.C 同样可证明：A ·B+A’ ·C+B CD=A ·B+A’ ·C 26、A ·(A ·B)’=A ·B’; A’ ·(A·B)’=A’ 证明：A.(A’+B’)=A.A’+A.B’=A.B’
2.1 概述


逻辑:：事物之间的因果关系。 布尔代数：进行逻辑运算的数学方法。1849， 英国数学家乔治.布尔（George Boole）。 逻辑代数与普通代数本质区别：物理意义不同， 逻辑运算表示逻辑变量以及常量之间逻辑状态的 推理运算，而不是数量之间的运算。
2.2 逻辑代数中的三种基本运算
证明若干常用公式



21、A+A · B=A 证明：A(1+B)=A 22、A+A’ ·B=A+B 证明：利用分配律，(A+A’).(A+B)=1.(A+B) 23、A ·B+A ·B’=A 证明：A.(B+B’)=A.1 24、A · (A+B)=A 证明：A.A+A.B=A+A.B=A(1+B)=A.1=A





10、1‘=0；0’=1 11、1+A=1 12、0+A=A 13、A+A=A 14、A+A’=1 15、A+B=B+A 16、A+(B+C)=(A+B)+C 17、A+B · C=(A+B) · (A+C) 18、(A+B)’=A’ ·B’
基本公式补充


变量与常量间的运算规则。 重叠律。 互补律。 分配律。 反演律：德摩根定律。

2.7.2 无关项在化简逻辑函数中的应用


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加入无关应与函数中尽可能多的最小项具有逻辑 相邻性。 合并最小项时，把卡诺图中的X作为1还是0，应 以得到的相邻最小项矩形组合最大、而且矩形组 合数目最少为原则。 例2.7.1 P53

2.7.3 用Multisim进行逻辑函数的化简与变换。
复习思考题

基本运算有：与（AND）、或（OR）、非 (NOT)三种
图2.2.1
用于说明与、或、非定义的电路
图2.2.2
与、或、非的图形符号
逻辑相乘 Y=A*B
逻辑相加 Y=A+B
逻辑求反 Y=A’
图1.2.3
复合逻辑的图形符号和运算符号
IEEE（Institute of Electrical and Electronics Engineers，美国 电气与电子工程 师协会）

1）将函数化为最小项之和的形式。 2）画出表示该逻辑函数的卡诺图。 3）找出可以合并的最小项。 4）选取化简后的乘积项。选取原则如下：


这些乘积项应包含函数式中所有的最小项。 所有的乘积项数目最少。 每个乘积项包含的因子最少。
例 2.6.10 用卡诺图化简法将下式化简为最简与或函数式。 Y=AC’+A’C+BC’+B’C
数字电子技术基础 第二章 逻辑代数基础
Pan Hongbing VLSI Design Institute of Nanjing University
第二章 逻辑代数基础



2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8
概述 逻辑代数中的三种基本运算 逻辑代数的基本公式和常用公式 逻辑代数的基本定理 逻辑函数及其表示方法 逻辑函数的公式化简法 逻辑函数的卡诺图化简法 具有无关项的逻辑函数及其化简
2.5.3 逻辑函数的两种标准形式

2、最大项


定义： 在n变量逻辑函数中，若M为n个变量之和，而且这n个 变量均以原变量或反变量的形式在M中出现一次，则称 M为该组变量的最小项。 性质： 1）在输入变量的任何取值下必有而且仅有一个最大项的 值为0. 2）全体最大项之积为0. 3）任意两个最大项之和为1. 4）只有一个变量不同的两个最大项的乘积等于各相同变 量之和。

1.2 逻辑式列出真值表
将输入变量取值的所有组合状态逐一代入逻辑式求出函数值， 就得到真值表。 例 2.5.2 P32-33

五、各种表示方法间的相互转换


2、逻辑函数式与逻辑图 的相互转换 2.1 给定逻辑函数式转换 为相应的逻辑图

用逻辑图形符号代替逻辑 函数式中的逻辑运算符号 并按运算顺序将它们连接 起来。
例2.6.8的卡诺图
例：2.6.9 已知右图卡 诺图，写出该函数的 逻辑式。
解：Y=卡诺图中填入1 的那些最小项之和。
二、用卡诺图化简逻辑函数

1、合并最小项的原则
图2.6.4 最小项相邻的几种情况
（a）、（b）两个最小项相邻 （c）、（d）四个最小项相邻 （e）八个最小项相邻
2、卡诺图化简法的步骤
图1.7.1 二到五变量最小项的卡诺图
（a）两变量（A、B）最小项的卡诺图 （b）三变量（A、B、C）最小项的卡诺图 （c）四变量（A、B、C、D）最小项的卡诺图 （d）五变量（A、B、C、D、E）最小项的卡诺图
上下、左右闭合的 图形
例 2.6.8
例 2.6.8 用卡诺图表示逻辑函 数 Y=A’B’C’D+A’BD’+ACD+AB’ 解：将Y化成最小项之和的形 式

三、逻辑函数的最大项之积形式


利用逻辑代数的基本公式和定理，首先把任何一 个逻辑函数式化成若干多项式相乘的或、与形式 （也称“和之积”形式）。然后再利用基本公式 AA’=0将每个多项式中缺少的变量补齐，就可以 将函数式的或、与形式化成最大项之积的形式了。 例：2.5.7 P37-38 将逻辑函数Y=A’B+AC化为最大项之积的形式。 2.5.4 逻辑函数形式的变换 例：2.5.8 P38 将逻辑函数Y=AC+BC’化为与或非形式
四、消因子法

如利用公式：A+A’B=A+B 例：2.6.4
如利用公式：A+A=A 例：2.6.5 2.6.6 2.6.7
五、配项法

2.6.2 卡诺图化简法

一、逻辑函数的卡诺图表示法 定义：将n变量的全部最小项各用一个小方块表 示，并使具有逻辑相邻性的最小项在几何位置上 也相邻地排列起来，所得到的图形称为n变量最 小项的卡诺图。美国工程师（M.Karnaugh）

2.4.3 对偶定理



若两逻辑式相等，则它们的对偶式也相等。 对偶式定义：对任意一个逻辑式Y，若将其中的 “.”换成“+”，“+”换成“.”，0换成1，1换成0， 则得到一个新的逻辑式YD , YD 就称为Y的对偶式。 要证明两个逻辑式相等，也可以证明它们的对偶 式相等。 例2.4.4 P28
2.4 逻辑代数的基本定理


2.4.1 代入定理 在任一包含变量A的逻辑等式中，若以另外一 个逻辑式代入式中所有A的位置，则等式任然成 立。 例2.4.1 P27 用代入定理证明德.摩根定理也适合 用于多变量的情况。

已知二变量的德.摩根定理为： (A+B)’=A’ · B’及(A ·B)’=A’+B’ (A ·(B ·C))’=A’+(B ·C)’=A’+B’+C’
2.4.2 反演定理


对任意一个逻辑式Y，若将其中所有的‘· ’换成 ‘+’， ‘+’换成‘· ’，0换成1，1换成0，原变 量换成反变量，反变量换成原变量，则得到的结 果就是Y’. 注意原则：


1、遵循“先括号、然后乘、最后加”的运算优先次 序。 2、不属于单个变量上的反号应保留不变。 例2.4.2和 2.4.3 P28


例 2.6.11 用卡诺图化 简法将下式化简为最 简与或逻辑式。 Y=ABC+ABD+AC’D +C’D’+AB’C+A’CD’
2.7 具有无关项的逻辑函数及其化简

2.7.1 约束项、任意项和逻辑函数式中的无关项


约束项：恒等于0的最小项称为函数的约束项。 任意项：在变量的任意值下，函数值等于1的那些最 小项称为任意项。 无关项：将约束项和任意项统称为逻辑函数式中的无 关项用 X或Ø 。 Q-M法：过程比较繁琐，但有确定的流程，适用于任 何复杂的逻辑函数化简。一般利用计算机化简逻辑函 数采用此方法。