数字电子技术基础

10、1‘=0；0’=1 11、1+A=1 12、0+A=A 13、A+A=A 14、A+A’=1 15、A+B=B+A 16、A+(B+C)=(A+B)+C 17、A+B · C=(A+B) · (A+C) 18、(A+B)’=A’ ·B’
基本公式补充


变量与常量间的运算规则。 重叠律。 互补律。 分配律。 反演律：德摩根定律。
2.5

逻辑函数及其表示方法
2.5.1 逻辑函数 Y=F(A,B,C,….)
图2.5.1 举重裁判电路
2.5.2 逻辑函数的表示方法

一、逻辑真值表（举例） 二、逻辑函数式 Y=A（B+C） 三、逻辑图

四、波形图(时序图) 五、卡诺图 六、硬件描述语言
五、各种表示方法间的相互转换
IEC （International Electrotechnical Commission，国 际电工协会）
异或，同或

异或：


输入A,B 不同时，输出Y为1；输入A,B 相同时，输 出Y为0。 Y=A⊕ B=A· B’+A’ · B

同或：


输入A,B 不同时，输出Y为0；输入A,B 相同时，输 出Y为1。 Y=A⊙ B=A· B+A’ · B’
图2.5.3
[例2.5.3]的逻辑图

2.2 给定的逻辑图转换为 对应的逻辑函数式

从逻辑图的输入端到输出 端逐级写出每个图形符号 的输出逻辑式。
图2.5.4 [例2.5.4]的逻辑图
五、各种表示方法间的相互转换

3、波形图与真值表的相互转换 3.1 从波形图求对应的真值表

读图，列表

3.2 真值表转换为波形图

异或和同或互为反运算
2.3 逻辑代数的基本公式和常 用公式

1、0· A=0 2、1· A=1 3、A·A=A 4、A· A’=0 5、A·B=B·A 6、A·(B·C)=(A·B) ·C 7、A·(B+C)=A·B+A·C 8、（A·B）’=A’+B’ 9、（A’）’=A
2.1 概述


逻辑:：事物之间的因果关系。 布尔代数：进行逻辑运算的数学方法。1849， 英国数学家乔治.布尔（George Boole）。 逻辑代数与普通代数本质区别：物理意义不同， 逻辑运算表示逻辑变量以及常量之间逻辑状态的 推理运算，而不是数量之间的运算。
2.2 逻辑代数中的三种基本运算


例 2.6.11 用卡诺图化 简法将下式化简为最 简与或逻辑式。 Y=ABC+ABD+AC’D +C’D’+AB’C+A’CD’
2.7 具有无关项的逻辑函数及其化简

2.7.1 约束项、任意项和逻辑函数式中的无关项


约束项：恒等于0的最小项称为函数的约束项。 任意项：在变量的任意值下，函数值等于1的那些最 小项称为任意项。 无关项：将约束项和任意项统称为逻辑函数式中的无 关项用 X或Ø 。 Q-M法：过程比较繁琐，但有确定的流程，适用于任 何复杂的逻辑函数化简。一般利用计算机化简逻辑函 数采用此方法。
2.5.3 逻辑函数的两种标准形式

2、最大项


定义： 在n变量逻辑函数中，若M为n个变量之和，而且这n个 变量均以原变量或反变量的形式在M中出现一次，则称 M为该组变量的最小项。 性质： 1）在输入变量的任何取值下必有而且仅有一个最大项的 值为0. 2）全体最大项之积为0. 3）任意两个最大项之和为1. 4）只有一个变量不同的两个最大项的乘积等于各相同变 量之和。
2.4.2 反演定理


对任意一个逻辑式Y，若将其中所有的‘· ’换成 ‘+’， ‘+’换成‘· ’，0换成1，1换成0，原变 量换成反变量，反变量换成原变量，则得到的结 果就是Y’. 注意原则：


1、遵循“先括号、然后乘、最后加”的运算优先次 序。 2、不属于单个变量上的反号应保留不变。 例2.4.2和 2.4.3 P28
证明若干常用公式



25、A ·B+A’ ·C+B ·C=A ·B+A’ ·C 证明：=A.B+A’.C+B.C(A+A’) =A.B+A’.C+A.B.C+A’.B.C =A.B(1+C)+A’.C.(1+B)=A.B+A’.C 同样可证明：A ·B+A’ ·C+B CD=A ·B+A’ ·C 26、A ·(A ·B)’=A ·B’; A’ ·(A·B)’=A’ 证明：A.(A’+B’)=A.A’+A.B’=A.B’

三、逻辑函数的最大项之积形式


利用逻辑代数的基本公式和定理，首先把任何一 个逻辑函数式化成若干多项式相乘的或、与形式 （也称“和之积”形式）。然后再利用基本公式 AA’=0将每个多项式中缺少的变量补齐，就可以 将函数式的或、与形式化成最大项之积的形式了。 例：2.5.7 P37-38 将逻辑函数Y=A’B+AC化为最大项之积的形式。 2.5.4 逻辑函数形式的变换 例：2.5.8 P38 将逻辑函数Y=AC+BC’化为与或非形式

2.4.3 对偶定理



若两逻辑式相等，则它们的对偶式也相等。 对偶式定义：对任意一个逻辑式Y，若将其中的 “.”换成“+”，“+”换成“.”，0换成1，1换成0， 则得到一个新的逻辑式YD , YD 就称为Y的对偶式。 要证明两个逻辑式相等，也可以证明它们的对偶 式相等。 例2.4.4 P28
2.6 逻辑函数的化简方法

2.6.1 公式化简法 逻辑式越简单，表示的逻辑关系越明显，可利用最少的 电子器件实现这个逻辑函数。 一、并项法

如利用公式: AB+AB’=A
例：2.6.1
二、吸收法

如利用公式：A+AB=A
例：2.6.2
三、消项法

如利用公式：AB+A’C+BC=AB+A’C 例：2.6.3
用真值表证明式7的正确性

例2.3.1 P25 A+B · C=(A+B) · (A+C) 方法：将A,B,C所有可能的取值组合逐一代入上 式的两边，算出相应的结果，如等式两边的真值 表相同，则等式成立。
若干常用公式


ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
21、A+A · B=A 22、A+A’ ·B=A+B 23、A ·B+A ·B’=A 24、A · (A+B)=A 25、A ·B+A’ ·C+B ·C=A ·B+A’ ·C A ·B+A’ ·C+B CD=A ·B+A’ ·C 26、A ·(A ·B)’=A ·B’; A’ ·(AB)’=A’




R2.2.1 你能各举出一个现实生活中存在的与、 或、非逻辑关系的事例吗？ R2.2.2 两个变量的异或运算和同或之间是什么 关系？ R2.3.1 在逻辑代数的基本公式当中哪些公式的 运算规则和普通代数的运算规则是相同的？哪些 是不同的、需要特别记住的？ R2.4.1 代入定理中对代入逻辑的形式和复杂程 度有无限制？

1）将函数化为最小项之和的形式。 2）画出表示该逻辑函数的卡诺图。 3）找出可以合并的最小项。 4）选取化简后的乘积项。选取原则如下：


这些乘积项应包含函数式中所有的最小项。 所有的乘积项数目最少。 每个乘积项包含的因子最少。
例 2.6.10 用卡诺图化简法将下式化简为最简与或函数式。 Y=AC’+A’C+BC’+B’C

从表中取值以时间为横轴画图。
2.5.3 逻辑函数的两种标准形式

一、最小项和最大项

1、最小项


定义： 在n变量逻辑函数中，若m为包含n个因子的乘积项，而 且这n个变量均以原变量或反变量的形式在m中出现一次， 则称m为该组变量的最小项。 性质： 1）在输入变量的任何取值下必有而且仅有一个最小项的 值为1. 2）全体最小项之和为1. 3）任意两个最小项乘积为0. 4）具有相邻性的两个最小项之和就可以合并成一项并消 去一对因子。

1.2 逻辑式列出真值表
将输入变量取值的所有组合状态逐一代入逻辑式求出函数值， 就得到真值表。 例 2.5.2 P32-33

五、各种表示方法间的相互转换


2、逻辑函数式与逻辑图 的相互转换 2.1 给定逻辑函数式转换 为相应的逻辑图

用逻辑图形符号代替逻辑 函数式中的逻辑运算符号 并按运算顺序将它们连接 起来。

基本运算有：与（AND）、或（OR）、非 (NOT)三种
图2.2.1
用于说明与、或、非定义的电路
图2.2.2
与、或、非的图形符号
逻辑相乘 Y=A*B
逻辑相加 Y=A+B
逻辑求反 Y=A’
图1.2.3
复合逻辑的图形符号和运算符号
IEEE（Institute of Electrical and Electronics Engineers，美国 电气与电子工程 师协会）
2.4 逻辑代数的基本定理


2.4.1 代入定理 在任一包含变量A的逻辑等式中，若以另外一 个逻辑式代入式中所有A的位置，则等式任然成 立。 例2.4.1 P27 用代入定理证明德.摩根定理也适合 用于多变量的情况。