必修2学案(第6课时 柱体、锥体、台体的体积)有答案
高中数学 1.3.2柱体、锥体、台体的体积导学案 新人教A版必修2
第一章 3.1.2柱体、锥体、台体的体积【学习目标】知识与技能：通过学习掌握柱、锥、台、球体积的计算公式并会灵活运用，会求简单组合体的体积。
培养学生空间想象能力和思维能力.【学习重点】棱柱、棱锥、棱台、球体积的计算公式。
【知识链接】棱柱、棱锥、棱台、球的表面积公式，长方体的体积公式？【基础知识】棱柱、棱锥、棱台、球的体积公式棱柱的底面积是S 高为h ，则棱柱的体积V=sh棱锥的底面积为S ，高是h ，则体积V=sh 31 棱台的上下底面积分别是21S ,S ,高是h ，则棱台的体积V=h )S S S S (312211++球体积V=3r 34π 【例题讲解】例题1.有一堆规格相同的铁制（铁的密度是 7．8g/3cm ）六角螺帽共重5.8kg ，已知底面是正六边形，边长为12mm ，内孔直径为10mm ，高为10mm ，问这堆螺帽大约有多少个（ π 取3.14）？（教材）例题2.如图，圆柱的底面直径与高都等于球的直径.求证：（1）球的体积等于圆柱体积的； （2）球的表面积等于圆柱的侧面积.（教材）例3 球与圆台的上、下底面及侧面都相切，且球面面积与圆台的侧面积之比为3:4，则球的体积与圆台的体积之比为（ ）A ．6:13B ．5:14C ．3:4D ．7:15【解析】如图所示，作圆台的轴截面等腰梯形ABCD ，球的大圆O 内切于梯形ABCD .23设球的半径为R ，圆台的上、下底面半径分别为r 1、r 2，由平面几何知识知，圆台的高为2R ，母线长为r 1 + r 2.∵∠AOB = 90°，OE ⊥AB (E 为切点)，∴R 2 = OE 2 = AE ·BE = r 1·r 2.由已知S 球∶S 圆台侧= 4R 2∶(r 1+r 2)2 = 3∶4(r 1 + r 2)2 = V 球∶V 圆台 ==故选A. 例4.正方体-ABCD 1111D C B A 的棱长为a ，过顶点B,D,1A 截下一个三棱锥。
北师大版数学高一(北师大)必修2教案 1.7.2《柱体、锥体、台体的体积》
1.7.2《柱体、锥体、台体的体积》教学设计【教学目标】（1）了解几何体体积的含义，以及柱体、锥体与台体的体积公式.（不要求记忆公式）（2）熟悉台体与柱体和锥体之间体积的转换关系.（3）培养学生空间想象能力和思维能力.导入新课复习导入：1. 复习柱体、锥体、台体表面积求法及相互关系.2. 表面积公式的推导。
3. 我们已经学习了正方体，长方体以及圆柱的体积公式，它们的体积公式是什么？新授课阶段：对问题3的回答：这个公式推广到一般柱体也成立，即一般柱体体积. 公式：V = Sh (S 为底面面积，h为高)锥体包括圆锥和棱锥，锥体的高是指从顶点向底面作垂线，顶点与垂足之间的距离(投影或作出). 锥体的体积公式都是V = 13Sh(S为底面面积，h为高)1.柱体、锥体、台体的体积1．柱体、锥体、台体的体积公式：V柱体= Sh (S是底面积，h为柱体高)V锥体=13Sh(S是底面积，h为锥体高)V台体=1()3S SS s h''++(S′，S分别为上、下底面面积，h为台体的高)例1 有一堆规格相同的铁制(铁的密度是7.8g/cm3)六角螺帽(如图)共重5.8kg，已知底面是正六边形，边长为12cm，内孔直径为10mm，高为10mm，问这堆螺帽大约有多少个(π取3.14，可用计算器)？解：六角螺帽的体积是六棱柱体积与圆柱体积的差，即2231012610 3.14()1042V =⨯⨯⨯-⨯⨯≈2956 (mm 3) = 2.956(cm 3) 所以螺帽的个数为5.8×1000÷(7.8×2.956)≈5.8×1000÷(7.8×2.956)≈ 252(个)答：这堆螺帽大约有252个.2．柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系例2 已知等边圆柱（轴截面是正方形的圆柱）的全面积为S ，求其内接正四棱柱的体积.【解析】如图，设等边圆柱的底面半径为r ，则高h = 2r ，∵S = S 侧 + 2S 底 = 2rh π +2226r r ππ=，∴6S r π=. ∴内接正四棱柱的底面边长a =2r sin45°=2r .∴V = S 底·h =23(2)24r r r ⋅== 4·326()69S S S πππ=⋅， 即圆柱的内接正四棱柱的体积为269S S ππ. 【点评】本题是正四棱柱与圆柱的相接问题. 解决这类问题的关键是找到相接几何体之间的联系，如本例中正四棱柱的底面对角线的长与圆柱的底面直径相等，正四棱柱的高与圆柱的母线长相等，通过这些关系可以实现已知条件的相互转化.例3：三棱柱ABC – A 1B 1C 1中，若E 、F 分别为AB 、AC 的中点，平面EB 1C 1F 将三棱柱分成体积为V 1、V 2的两部分，那么V 1:V 2 = 7:5 .【分析】不妨设V 1对应的几何体AEF – A 1B 1C 1是一个棱台，一个底面的面1()3V h S SS S ''=++棱台 S = S ′S = 0 V 柱体 = Sh V 锥体=13Sh积与棱柱的底面积相等，另一个底面的面积等于棱柱底面的14；V 2对应的是一个不规则的几何体，显然这一部分的体积无法直接表示，可以考虑间接的办法，用三棱柱的体积减去V 1来表示.【解析】设三棱柱的高为h ，底面的面积为S ，体积为V ，则V = V 1 + V 2 = Sh .∵E 、F 分别为AB 、AC 的中点∴14AEF S S =. 1117()34412S V h S S S Sh =++⋅= 21512V Sh V Sh =-= ∴V 1:V 2 = 7:5.【点评】本题求不规则的几何体C 1B 1—EBCF 的体积时，是通过计算棱柱ABC —A 1B 1C 1和棱台AEF —A 1B 1C 1的体积的差来求得的.例4：一个底面直径为20cm 的装有一部分水的圆柱形玻璃杯，水中放着一个底面直径为6cm ，高为20cm 的一个圆锥形铅锤，当铅锤从中取出后，杯里的水将下降几厘米？(π=3.14)【解析】因为圆锥形铅锤的体积为216()206032ππ⋅⨯=(cm 3) 设水面下降的高底为x ，则小圆柱的体积为π(20÷2)2x = 100πx (cm 3)所以有60π=100πx ，解此方程得x = 0.6 (cm).答：铅锤取出后，杯中水面下降了0.6cm.拓展提升1．下图是一个几何体的三视图(单位：cm)，画出它的直观图，并求出它的表面积和体积。
高中必修二导学案 空间几何体的表面积与体积(含答案)
§1.3 空间几何体的表面积与体积1.3.1 柱体、锥体、台体的表面积与体积【学习目标】1.掌握柱体、锥体、台体的表面积和体积的求法；2.能运用公式求解柱体、锥体、台体的表面积和体积。
【学习过程】阅读教材第23～26页，完成下列问题：1.什么是多面体的表面积？2.棱柱、棱锥、棱台都是由多个平面图形围成的几何体，它们的侧面展开图是什么？如何计算它们的表面积？3.圆柱、圆锥、圆台的表面积几何体图形表面积公式元素意义圆柱底面积：S底=侧面积：S侧=表面积：=r—l—圆锥底面积：S底=侧面积：S侧=表面积：=r—l—圆台上底面积： S 上底=下底面积： S 下底= 侧面积： S 侧= 表面积： =r 、r ′—l —4. 柱体、锥体、台体的体积： （1）V 柱体= （2）V 锥体= （3）V 台体=【学习评价】1.长方体的三个面的面积分别为2、6和9，则长方体的体积为（ ） A.7 B.8 C. 3 √6 D. 6 √32.一个圆锥的轴截面是边长为4的等边三角形，则这个圆锥的侧面积是（ ） A.8π B. 16π C. 32π D. 12π3.棱长都是1的三棱锥的表面积为（ ）A.√3B.2 √3C.3 √3D. 4√34.已知四棱锥ABCD S -的用斜二测画法画出的直观图如图4所示，底面''''D C B A 是一个平行四边形，其中︒=∠45'''D A B ，cm B A 2''=，cm D A 1''=，直观图的高为cm 3，则四棱锥ABCD S -的体积为（ ） A.32cm B.34cm C.3314cm D.36cm 5.若一个圆锥的底面半径是母线长的一半，侧面积和它的体积的数值相等，则该圆锥的底面半径为（ ）A.3B.22C.32D.346.圆台的上、下底面积分别为π、4π，侧面面积为6π，则圆台的体积是( )A 、：33πB 、73C 、733 D 、373657.若一个圆锥的底面半径是母线长的一半，侧面积和它的体积的数值相等，则该圆锥的底面半径为（ ）A.3B.22C.32D.348.半径为R 的半圆卷成一个圆锥，则它的体积为 。
7 【平煤高中学案必修二】柱体、锥体、台体的体积
1.3.1 柱体、锥体、台体的体积学习目标（1）了解柱、锥、台的体积公式（不要求记忆公式），能运用公式求解有关体积计算问题； （2）了解柱体、锥体、台体空间结构的内在联系，感受它们体积之间的关系； （3）培养学生空见想象能力、理性思维能力以及观察能力． 一、课前准备预习理解教材2527P P -的内容： 二、新课导学 （一）新知：1． 几何体高度的含义：（1）柱体的高是指 ，对于直棱柱来说，就是 ，对于圆柱来说，就是 ． （2）锥体的高是指 ，对于正棱锥和圆锥来说，是 ． （3）台体的高是指 ，对于正棱台和圆台来说，是 ． 2．体积公式：（1）柱体体积公式： （S 是底面面积，h 是高）． （2）锥体体积公式： （S 是底面面积，h 是高）．（3）台体体积公式： （1S 、2S 分别是上、下底面面积，h 是高）． （二）典型例题例1 有一堆规格相同的铁制 (铁的密度是7.8g/cm 3)六角螺帽(如图)共重5.8kg ，已知底面是正六边形，边长为12cm ，内孔直径为10mm ，高为10mm ，问这堆螺帽大约有多少个(π取3.14，可用计算器)？2.（1）长方体的长、宽、高分别是2、3、4，则其体积是 ．（2）长方体的相交于一个顶点的三个面的面积分别是2、3、6，则其体积是 .（3）长方体的相邻的三个面的对角线长分别为4、5、6，则其体积是 ．3．已知某个几何体的三视图如图，根据图中标出的尺寸（单位：cm ），求这个几何体的体积．三、反馈练习1．已知圆柱与圆锥的底面积相等，高也相等，它们的体积分别为1V 和2V ，则12:V V = （ ） A ． 1:3 B ．1:1 C ． 2:1 D ． 3:12．若干毫升水倒入底面半径为2cm 的圆柱形器皿中，量得水面的高度为6cm ，若将这些水倒入轴截面是正三角形的倒圆锥形器皿中，则水面的高度是 （ ）A ．B ．C ． 6cmD ．3．三棱锥ABC V -的中截面是111C B A ∆，则三棱锥111C B A V -与三棱锥BC A A 1-的体积之比是 （ ）A ．1:2B ．1:4C ．1:6D ．1:84．矩形两邻边的长为a 、b ，当它分别绕边a 、b 旋转一周时, 所形成的几何体的体积之比为（ ） A ．b a B ． a b C ． 3()b a D ．3()ab5．圆锥的底面半径是2，母线长是3，则圆锥的体积是 ．6．正四棱锥P ABCD -的底面边长是2，侧棱长是3，则这个棱锥的体积是 ．7．如图，一个简单空间几何体的三视图其主视图与左视图是边长为2的正三角形、俯视图轮廓为正方形，则其体积是 ．俯视。
《柱体_锥体_台体的表面积与体积》学案
1.3.1柱体、锥体、台体的表面积与体积一、知识点（1）棱柱、棱锥、棱台的表面积= 侧面积+ ______________；（2）圆柱：r为底面半径，l为母线长侧面积为_______________；表面积为_______________.圆锥：r为底面半径，l为母线长侧面积为_______________；表面积为_______________.圆台：'r、r分别为上、下底面半径，l为母线长侧面积为_______________；表面积为_______________.（3）柱体体积公式：________________________；（S为底面积，h为高）锥体体积公式：________________________；（S为底面积，h为高）台体体积公式：________________________；（S’、S分别为上、下底面面积，h为高）二、例题讲解题1：如图(1)所示，直角梯形ABCD绕着它的底边AB所在的直线旋转一周所得的几何体的表面积是______________；体积是______________。
图（1）解题反思：题2：若一个正三棱柱的三视图如图(2)所示，求这个正三棱柱的表面积与体积图（2）解题反思：题3：如图(3)所示，在多面体ABCDEF中，已知ABCD是边长为1的正方形，且ADE∆，BCF∆均为正三角形，EF//AB，EF=2，则该多面体的体积为（）A．32B．33C．34D．23EA BDCF侧视图俯视图主视图8题4： 圆台上、下底面的半径分别为１和３，圆台高为２，则其圆台的表面积为 ． 三、 巩固训练（课后作业）1、若圆柱的侧面积展开图是长为6cm ，宽为4cm 的矩形，则该圆柱的体积为____________________2、如图(4)，在正方体1111D C B A ABCD -中，棱长为2，E 为11B A 的中点，则三棱锥11D AB E -的体积是____________.图（4）3、已知某几何体的俯视图是如图(5)所示的矩形，正 视图(或称主视图)是一个底边长为8、高为4的等腰三 角形，侧视图(或称左视图)是一个底边长为6、高为4 的等腰三角形．(1)求该几何体的体积V ； (2)求该几何体的侧面积S4、如图(6)，一个圆锥的底面半径为2cm ，高为6cm ，在其中有一个高为xcm 的内接圆柱。
高中数学必修二北师大版学案学生版60 柱、锥、台的体积(学生版)
课题：柱、锥、台的体积☆学生版☆
学习目标.理解棱柱、棱锥、棱台和圆柱、圆锥、圆台的体积公式
.熟练运用体积公式求多面体和旋转体的体积
学习重点：理解棱柱、棱锥、棱台和圆柱、圆锥、圆台的体积公式
学习难点：熟练运用体积公式求多面体和旋转体的体积
一、自主学习
问题：阅读课本页内容回答下面问题
( )
ππππ
二、合作探究
探究一、如图①是一个水平放置的正三棱柱，是棱的中点.正三棱柱的主视图如图②.
求正三棱柱的体积.
图
[再练一题]
一个正方体的底面积和一个圆柱的底面积相等，且侧面积也相等，求正方体和圆柱的体积之比.
探究二、埃及胡夫金字塔大约建于公元前年,其形状为正四棱锥.金字塔高,底面边长.问这座金字塔的侧面积和体积各是多少?
探究三、如图，圆台高为，轴截面中母线与底面直径的夹角为°，轴截面中一条对角线垂直于腰，求圆台的体积.
图
[再练一题]
.已知正四棱台的上底边长为，下底边长为，高为，求此正四棱台的体积
四、课堂检测
课本页
五.课堂小结
课题：柱、锥、台的体积☆课时作业☆。
新教材高中数学第6章柱锥台的体积学案含解析北师大版必修第二册
新教材高中数学学案含解析北师大版必修第二册：6．2 柱、锥、台的体积学习任务核心素养1．掌握柱、锥、台的体积计算公式．(重点、难点)2．会利用柱、锥、台的体积公式求有关几何体的体积．(重点、难点)1．通过对柱、锥、台的体积公式的理解，培养学生直观想象素养．2．通过利用柱、锥、台的体积公式求几何体的体积，培养学生数学运算素养．南京青年奥运会的前奏是奥运圣火的传递，圣火由“幸福之门”火炬承载，传遍五洲四海，弘扬奥林匹克精神．“幸福之门”火炬外形是细长的圆台形式，燃料为丙烷．阅读教材，回答下列问题：问题1：能否计算出“幸福之门”火炬的外层着色需要覆盖多大的面积？问题2：能否计算其内部能盛装多少液态的丙烷？几何体体积公式柱体圆柱、棱柱V柱体＝ShS—柱体的底面积，h—柱体的高锥体圆锥、棱锥V锥体＝13ShS—锥体的底面积，h—锥体的高台体圆台、棱台V台体＝13(S上＋S下＋S上·S下)hS上、S下—台体的上、下底面积，h—台体的高提示：表面积变大了，体积不变．2．柱、锥、台体的体积公式之间有什么联系？提示：V 柱体＝Sh ――→S 上＝S 下――→S 上＝0V 锥体＝13Sh思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)锥体的体积等于底面积与高之积． ( ) (2)台体的体积可转化为两个锥体的体积之差．( )提示：(1)错误．V 锥体＝13Sh ，S 为锥体底面积，h 为锥体的高．(2)正确．[答案] (1)× (2)√类型1 多面体的体积【例1】 (教材北师版P 240例4改编)如图，棱锥的底面ABCD 是一个矩形，AC 与BD 交于点M ，VM 是棱锥的高．若VM ＝4 cm ，AB ＝4 cm ，VC ＝5 cm ，求锥体的体积．[解] ∵VM 是棱锥的高， ∴VM ⊥MC .在Rt △VMC 中，MC ＝VC 2－VM 2＝52－42＝3(cm)，∴AC ＝2MC ＝6(cm). 在Rt △ABC 中，BC ＝AC 2－AB 2＝62－42＝25(cm).S 底＝AB ·BC ＝4×25＝85(cm 2)， ∴V 锥＝13S 底h ＝13×85×4＝3253(cm 3).∴棱锥的体积为3253cm 3.(1)锥体的体积公式V ＝13Sh 既适合棱锥，也适合圆锥，其中棱锥可以是正棱锥，也可以不是正棱锥．(2)求柱体的体积关键是求其底面积和高，底面积利用平面图形面积的求法，常转化为三角形及四边形，高常与侧棱、斜高及其在底面的投影组成直角三角形，进而求解．[跟进训练]1．如图是一个水平放置的正三棱柱ABC －A 1B 1C 1，D 是棱BC 的中点．其中AD ＝3，AA 1＝3，求正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的体积．[解] 在正三棱柱中，AD ＝3，AA 1＝3，从而在等边三角形ABC 中，AB ＝AD sin 60°＝332＝2，所以正三棱柱的体积V ＝Sh ＝12×BC ×AD ×AA 1＝12×2×3×3＝3 3.类型2 旋转体的体积【例2】 体积为52 cm 3的圆台，一个底面面积是另一个底面面积的9倍，那么截得这个圆台的圆锥的体积为( )A ．54 cm 3B ．54π cm 3C ．58 cm 3D ．58π cm 3A [由底面积之比为1∶9知，体积之比为1∶27，截得小圆锥与圆台体积比为1∶26，所以小圆锥体积为2 cm 3，故原来圆锥的体积为54 cm 3.]旋转体体积的求法要充分利用旋转体的轴截面，将已知条件尽量归结到轴截面中求解，分析题中给出的数据，列出关系式后求出有关的量，再根据几何体的体积公式进行运算、解答．(1)求台体的体积，其关键在于求高，在圆台中，一般把高放在等腰梯形中求解． (2)“还台为锥”是求解台体的体积问题的重要思想，作出截面图，将空间问题平面化，是解决此类问题的关键．[跟进训练]2．如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积是4π，那么圆柱的体积等于( ) A ．π B ．2π C ．4πD ．8πB [设圆柱的底面半径为r ，则圆柱的母线长为2r ，由题意得S 圆柱侧＝2πr ×2r ＝4πr 2＝4π， 所以r ＝1，所以V 圆柱＝πr 2×2r ＝2πr 3＝2π.] 类型3 体积的综合问题【例3】 如图，已知ABCD －A 1B 1C 1D 1是棱长为a 的正方体，E 为AA 1的中点，F 为CC 1上一点，求三棱锥A 1－D 1EF 的体积．1．三棱锥A －BCD 和B －ACD 的底面积、高分别相等吗？体积相等吗？[提示] 棱锥A －BCD 和B －ACD 的底面积、高可能不分别相等，但它们的体积相等． 2．由尝试与发现1可以得到什么启示？[提示] 求一个三棱锥的体积，当其底面积或高不易求出时，可通过转换其底面积和高来求其体积．3．观察可知三棱锥A 1－D 1EF 和F －A 1D 1E 的体积相等，但三棱锥F －A 1D 1E 的高易求，所以可求三棱锥F －A 1D 1E 的体积．[解] 由题可知V 三棱锥A 1－D 1EF ＝V 三棱锥F －A 1D 1E,∵S △A 1D 1E ＝12EA 1·A 1D 1＝14a 2，又三棱锥F －A 1D 1E 的高为CD ＝a ，∴V 三棱锥F －A 1D 1E ＝13×a ×14a 2＝112a 3，∴V 三棱锥A 1－D 1EF ＝112a 3.本例中条件改为点F 为CC 1的中点，其他条件不变，如图，求四棱锥A 1－EBFD 1的体积．[解] 因为EB ＝BF ＝FD 1＝D 1E ＝a 2＋⎝⎛⎭⎫a 22＝52a ，D 1F ∥EB ， 所以四边形EBFD 1是菱形． 连接EF ，则△EFB ≌△FED 1.因为三棱锥A 1－EFB 与三棱锥A 1－FED 1的高相等，所以V 四棱锥A 1－EBFD 1＝2V 三棱锥A 1－EFB ＝2V 三棱锥F －EBA 1. 又因为S △EBA 1＝12EA 1·AB ＝14a 2，所以V 三棱锥F －EBA 1＝112a 3，所以V 四棱锥A 1－EBFD 1＝2V 三棱锥F －EBA 1＝16a 3.求几何体体积的四种常用方法(1)公式法：规则几何体直接代入公式求解．(2)等积法：如四面体的任何一个面都可以作为底面，只需选用底面积和高都易求的形式即可．(3)补体法：将几何体补成易求解的几何体，如棱锥补成棱柱、三棱柱补成四棱柱等． (4)分割法：将几何体分割成易求解的几部分，分别求体积．[跟进训练]3．如图，在多面体ABCDEF 中，已知面ABCD 是边长为4的正方形，EF ∥AB ，EF ＝2，EF 上任意一点到平面ABCD 的距离均为3，求该多面体的体积．[解] 如图，连接EB ，EC .四棱锥E -ABCD 的体积V 四棱锥E -ABCD ＝13×42×3＝16.∵AB ＝2EF ，EF ∥AB ， ∴S △EAB ＝2S △BEF . ∴V 三棱锥F -EBC ＝V 三棱锥C -EFB ＝12V 三棱锥C -ABE ＝12V 三棱锥E -ABC ＝12×12V 四棱锥E -ABCD ＝4. ∴多面体的体积V ＝V 四棱锥E -ABCD ＋V 三棱锥F -EBC ＝16＋4＝20.1．已知高为3的直棱柱ABC —A 1B 1C 1的底面是边长为1的正三角形(如图)，则三棱锥B 1—ABC 的体积为( )A ．14B ．12C ．36D ．34D [V ＝13Sh ＝13×34×3＝34.]2．棱台的上、下底面面积分别是2，4，高为3，则该棱台的体积是( ) A ．18＋62 B ．6＋2 2 C ．24D ．18B [V ＝13(2＋4＋2×4)×3＝6＋2 2.]3．如图，ABC A ′B ′C ′是体积为1的棱柱，则四棱锥C -AA ′B ′B 的体积是( )A ．13B ．12C ．23D ．34C [∵V C A ′B ′C ′＝13V ABC A ′B ′C ′＝13，∴V C AA ′B ′B ＝1－13＝23.]4.如图，将一个长方体用过相邻三条棱的中点的平面截出一个棱锥，则该棱锥的体积与剩下的几何体体积的比为( )A ．148B ．147C ．18D ．17B [设长方体的相邻三条棱长分别为a ，b ，c ，它截出棱锥的体积为V 1＝13×12×12a ×12b ×12c ＝148abc ，剩下的几何体的体积V 2＝abc －148abc ＝4748abc ，所以V 1∶V 2＝1∶47.] 5．若圆锥的底面半径为3，母线长为5，则圆锥的体积是________．12π [由已知圆锥的高h ＝52－32＝4， 所以V 圆锥＝13π×32×4＝12π.]回顾本节内容，自我完成下面问题： 求解几何体的体积时应注意哪些问题？提示：(1)求几何体的体积的难点是求出几何体的高，要善于利用线、面的位置关系求解． (2)对于棱锥体积的求解，当高不易求出时，要注意用换顶点法求解．(3)对不规则几何体的体积，要注意分割与补形．将不规则的几何体通过分割或补形将其转化为规则的几何体求解．。
人教A版高中数学必修二学柱体、锥体、台体的表面积与体积学案新
1. 3.1柱体、锥体、台体的表面积与体积【教学目标】1.通过对柱、锥、台体的研究，掌握柱、锥、台的表面积的求法。
2.通过对柱、锥、台体的研究，掌握柱、锥、台的体积的求法。
3.能运用公式求解，柱体、锥体和台全的全积，并且熟悉台体与术体和锥体之间的转换关系。
【教学重难点】教学重点：运用公式解决问题教学难点：理解计算公式的由来.【教学过程】（一）情景导入讨论：正方体、长方体的侧面展开图？→正方体、长方体的表面积计算公式？讨论：圆柱、圆锥的侧面展开图？→圆柱的侧面积公式？圆锥的侧面积公式？那么如何计算柱体、锥体、台体的表面积,进而去研究他们的体积问题,这是我们这节主要学习的内容。
（二）展示目标这也是我们今天要学习的主要内容:1.通过对柱、锥、台体的研究，掌握柱、锥、台的表面积的求法。
2.通过对柱、锥、台体的研究，掌握柱、锥、台的体积的求法。
3.能运用公式求解，柱体、锥体和台全的全积，并且熟悉台体与术体和锥体之间的转换关系。
（三）检查预习1．棱柱的侧面展开图是由，棱锥的侧面展开图是由，梭台的侧面展开图是由，圆柱的侧面展开图是，圆锥的侧面展开图是，圆台的侧面展开图是。
2．几何体的表面积是指，棱柱、棱锥、棱台的表面积问题就是求、，圆柱、圆锥、圆台的表面积问题就是求、、、。
3．几何体的体积是指，一个几何体的体积等于。
（四）合作探究面积探究:讨论：如何求棱柱、棱锥、棱台等多面体的表面积？（展开成平面图形，各面面积和）讨论：如何求圆柱、圆锥、圆台的侧面积及表面积？（图→侧→表）体积探究:讨论：正方体、长方体、圆柱、圆锥的体积计算公式？五）交流展示略（六）精讲精练1. 教学表面积计算公式的推导：① 讨论：如何求棱柱、棱锥、棱台等多面体的表面积？（展开成平面图形，各面面积和） ② 练习：1.已知棱长为a ，各面均为等边三角形的正四面体S-ABC 的表面积.(教材P 24页例1)2. 一个三棱柱的底面是正三角形，边长为4，侧棱与底面垂直，侧棱长10,求其表面积. ③ 讨论：如何求圆柱、圆锥、圆台的侧面积及表面积？（图→侧→表） 圆柱：侧面展开图是矩形，长是圆柱底面圆周长，宽是圆柱的高（母l 为母线）， S 圆柱侧=2rl π，S 圆柱表=2()r r l π+，其中为r 圆柱底面半径，线长。
高中数学必修2课后限时训练6 柱体、锥体、台体的体积
高中数学必修2课后限时训练6 柱体、锥体、台体的体积一、选择题1．长方体三个面的面积分别为2、6和9，则长方体的体积是( )A ．63B ．36C ．11D ．12答案：A解析：设长方体长、宽、高分别为a 、b 、c ，则ab ＝2，ac ＝6，bc ＝9，相乘得(abc )2＝108，∴V ＝abc ＝6 3.2．圆台的体积为7π，上、下底面的半径分别为1和2，则圆台的高为( )A ．3B ．4C ．5D ．6答案：A解析：由题意，V ＝13(π＋2π＋4π)h ＝7π，∴h ＝3. 3．一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图为全等的等腰直角三角形，直角边长为1，则这个几何体的体积为( )A ．1B ．12C ．13D ．16 答案：D解析：由三视图知，该几何体是三棱锥．体积V ＝13×12×1×1×1＝16. 4．在△ABC 中，AB ＝2，BC ＝3，∠ABC ＝120°，若使△ABC 绕直线BC 旋转一周，则所形成的几何体的体积是( )A ．6πB ．5πC ．4πD ．3π答案：D 解析：如图过A 作AD 垂直BC 于点D ，此几何体为一个大圆锥挖去一个小圆锥V ＝13π×(3)2×4－13π×(3)2×1＝3π.故选D.5．某四棱台的三视图如图所示，则该四棱台的体积是( )A ．4B ．143C ．163D ．6 答案：B解析：由四棱台的三视图可知，台体上底面积S 1＝1×1＝1，下底面积S 2＝2×2＝4，高h ＝2，代入台体的体积公式V ＝13(S 1＋S 1S 2＋S 2)h ＝13×(1＋1×4＋4)×2＝143. 6．如图(1)所示，一只装了水的密封瓶子，其内部可以看成是由半径为1 cm 和半径为3 cm 的两个圆柱组成的简单几何体．当这个几何体如图(2)水平放置时，液面高度为20 cm ，当这个几何体如图(3)水平放置时，液面高度为28 cm ，则这个简单几何体的总高度为( )A ．29 cmB ．30 cmC ．32 cmD ．48 cm答案：A解析：图(2)和图(3)中，瓶子上部没有液体的部分容积相等，设这个简单几何体的总高度为h ，则有π×12(h －20)＝π×32(h －28)，解得h ＝29(cm)．二、填空题7．已知圆锥SO 的高为4，体积为4π，则底面半径r ＝________.答案：3解析：设底面半径为r ，则13πr 2×4＝4π，解得r ＝3，即底面半径为 3. 8．如图，在三棱柱A 1B 1C 1－ABC 中，D ，E ，F 分别是AB ，AC ，AA 1的中点．设三棱锥F －ADE 的体积为V 1，三棱柱A 1B 1C 1－ABC 的体积为V 2，则V 1∶V 2＝________.答案：124 解析：设三棱柱A 1B 1C 1－ABC 的高为h ，底面三角形ABC 的面积为S ，则V 1＝13×14S ×12h ＝124Sh ＝124V 2，即V 1V 2＝124.9．设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S 1、S 2，体积分别为V 1、V 2，若它们的的侧面积相等且S 1S 2＝94，则V 1V 2＝________.答案：32解析：设甲圆柱底面半径r 1，高h 1，乙圆柱底面半径r 2，高h 2，S 1S 2＝πr 21πr 22＝94，∴r 1r 2＝32，又侧面积相等得2πr 1h 1＝2πr 2h 2，∴h 1h 2＝23.因此V 1V 2＝πr 21h 1πr 22h 2＝32. 三、解答题10．已知圆台的高为3，在轴截面中，母线AA 1与底面圆直径AB 的夹角为60°，轴截面中的一条对角线垂直于腰，求圆台的体积．解析：如图所示，作轴截面A 1ABB 1，设圆台的上、下底面半径和母线长分别为r ，R ，l ，高为h .作A 1D ⊥AB 于点D ，则A 1D ＝3. 又∵∠A 1AB ＝60°，∴AD ＝A 1D ·1tan60°， 即R －r ＝3×33，∴R －r ＝ 3. 又∵∠BA 1A ＝90°，∴∠BA 1D ＝60°.∴BD ＝A 1D ·tan60°，即R ＋r ＝3×3，∴R ＋r ＝33，∴R ＝23，r ＝3，而h ＝3，∴V 圆台＝13πh (R 2＋Rr ＋r 2) ＝13π×3×[(23)2＋23×3＋(3)2] ＝21π.所以圆台的体积为21π.11．已知△ABC 的三边长分别是AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5，以AB 所在直线为轴，将此三角形旋转一周，求所得旋转体的表面积和体积．解析：如图，在△ABC 中，过C 作CD ⊥AB ，垂足为D .由AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5，知AC 2＋BC 2＝AB 2，则AC ⊥BC .所以BC ·AC ＝AB ·CD ，所以CD ＝125，记为r ＝125， 半径r ＝125，母那么△ABC 以AB 为轴旋转所得旋转体是两个同底的圆锥，且底面线长分别是AC ＝3，BC ＝4，所以S 表面积＝πr ·(AC ＋BC )＝π×125×(3＋4)＝845π， V ＝13πr 2(AD ＋BD )＝13πr 2·AB ＝13π×(125)2×5＝485π. 12．若某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，求此几何体的体积．解析：该空间几何体的上部分是底面边长为4，高为2的正四棱柱，体积为16×2＝32；下部分是上底面边长为4，下底面边长为8，高为3的正四棱台，体积为13×(16＋4×8＋64)×3＝112.故该空间几何体的体积为144.。
高中数学 第一章 空间几何体 第6课时 柱体、锥体、台
第6课时 柱体、锥体、台体的表面积与体积课时目标1.掌握柱体、锥体、台体的表面积的计算公式．2．会利用柱体、锥体、台体的表面积公式解决一些简单的实际问题． 3．掌握柱体、锥体、台体的体积的计算公式．4．会利用柱体、锥体、台体的体积公式解决一些简单的实际问题．识记强化1．棱柱的侧面展开图是由平行四边形组成的平面图形，棱锥的侧面展开图是由三角形组成的平面图形，棱台的侧面展开图是由梯形组成的平面图形．圆柱的侧面展开图是一个矩形，圆锥的侧面展开图是一个扇形，圆台的侧面展开图是一个扇环．2．如果圆柱的底面半径为r ，母线长为l ，那么它的表面积S ＝2πr (r ＋l )． 如果圆锥的底面半径为r ，母线长为l ，那么它的表面积S ＝πr (r ＋l )．如果圆台的上、下底面半径分别为r ′，r ，母线长为l ，那么它的表面积S ＝π(r ′2＋r 2＋r ′l ＋rl )．3．柱体体积公式：V ＝Sh (S 为底面面积，h 为高)．锥体体积公式：V ＝13Sh (S 为底面面积，h 为高)．台体体积公式：V ＝13(S ′＋S ′S ＋S )h (S ′，S 分别为上、下底面面积，h 为台体的高)．课时作业一、选择题(每个5分，共30分)1．若正方体的表面积为72 cm 2，则它的对角线长为( ) A ．2 3 cm B ．12 cm C. 6 cm D ．6 cm 答案：D解析：设正方体的棱长为a ，则6a 2＝72，所以a ＝2 3，所以正方体的对角线长为3×23＝6 cm.2．各棱长均为2的正三棱锥的表面积是( ) A. 3 B ．4 C ．4 3 D ．16 答案：C解析：每个面的面积为12×2×2×32＝3，∴该正三棱锥的表面积为4 3.3．已知某圆柱的侧面展开图是边长为2a ，a 的矩形，则该圆柱的体积为( )A.a 32π或a 3πB.2a 3πC.a 3πD.a 3π或2a3π 答案：A解析：设圆柱的母线长为l ，底面圆的半径为r ，则当l ＝2a 时，2πr ＝a ，∴r ＝a2π，这时V 圆柱＝2a ·π⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2π2＝a32π；当l ＝a 时，2πr ＝2a ，∴r ＝a π，这时V圆柱＝a ·π⎝ ⎛⎭⎪⎫a π2＝a 3π.综上，该圆柱的体积为a 32π或a 3π. 4．已知一个母线长为1的圆锥的侧面展开图的圆心角等于240°，则该圆锥的体积为( )A.2281πB.881π C.4581π D.1081π 答案：C 解析：圆锥的底面圆的周长为240°360°×2π×1＝43π，设底面圆的半径为r ，则有2πr＝43π，所以r ＝23，于是圆锥的高h ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫232＝53，故圆锥的体积V ＝13×π×⎝ ⎛⎭⎪⎫232×53＝4581π. 5．若圆台的高是4，母线长为5，侧面积是45π，则圆台的体积是( ) A ．252π B．84π C ．150π D．102π 答案：B解析：45π＝12(c ＋c ′)l ＝π(r ＋r ′)·5，故r ＋r ′＝9.(r －r ′)2＋42＝52，r －r ′＝3.所以r ＝6，r ′＝3，V ＝13π·4×(62＋6×3＋32)＝84π.6．设三棱柱ABC －A 1B 1C 1的体积为V ，P ，Q 分别为侧棱AA 1，CC 1的中点，则四棱锥B －APQC 的体积为( )A.V 6B.V 4C.V3 D.V2 答案：C解析：由P ，Q 分别为侧棱AA 1，CC 1的中点，则V B －APQC ＝2V B －AQC ＝2V Q －ABC ＝2×13S △ABC ·QC＝2×13S △ABC ·12CC 1＝13S △ABC ·CC 1＝13V ，故选C.二、填空题(每个5分，共15分)7．若一个圆台的正视图如图所示，则其侧面积等于________．答案：3 5π解析：由圆台的正视图可知该圆台的上底面半径r ＝1，下底面半径R ＝2，高为2，则母线长为l ＝22＋2－12＝5，故侧面积为S ＝π(rl ＋Rl )＝π(1＋2)×5＝3 5π.8．体积为52的圆台，一个底面积是另一个底面积的9倍，那么截得这个圆台的圆锥的体积是__________．答案：54 解析：由题意知r ：R ＝1：3，r ，R 分别为上，下底面的半径，故(V －52)：V ＝1：27，解出V ＝54.9．如图，E ，F 分别为正方形ABCD 的边BC ，CD 的中点，AB ＝2，沿图中虚线将该正方形折起来，围成一个三棱锥，则此三棱锥的体积是________．答案：13解析：折叠起来后，B ，C ，D 三点重合，设为点S ，则围成的三棱锥为S －AEF ，其中，SA ⊥SE ，SA ⊥SF ，SE ⊥SF ，且SA ＝2，SE ＝SF ＝1，如图，所以此三棱锥的体积V ＝13×12×1×1×2＝13. 三、解答题10．(12分)将圆心角为120°，面积为3π的扇形，作为圆锥的侧面，求圆锥的表面积和体积．解：设扇形的半径和圆锥的母线都为l ，圆锥的半径为r ，则 120360πl 2＝3π，l ＝3，2π3×3＝2πr ，r ＝1； S 表面积＝S 侧面＋S 底面＝πrl ＋πr 2＝4π， V ＝13Sh ＝13×π×12×2 2＝2 23π. 11．(13分)已知四棱锥P －ABCD 的直观图及三视图如图所示，求该四棱锥的体积．解析：由该四棱锥的三视图，可知该四棱锥的底面是边长为1的正方形，侧棱PC ⊥底面ABCD ，且PC ＝2，∴V P －ABCD ＝13S 四边形ABCD ·PC ＝23.能力提升12．(5分)一个棱锥的三视图如图，则该棱锥的全面积(单位：cm 2)为( )A ．48＋12 2B ．48＋24 2C ．36＋12 2D ．36＋24 2 答案：A 解析：如图所示三棱锥．AO ⊥底面BCD ，O 点为BD 的中点，BC ＝CD ＝6， BC ⊥CD ，AO ＝4，AB ＝AD .S △BCD ＝12×6×6＝18.S △ABD ＝12×6 2×4＝12 2.取CD 中点E .连接AE 、OE . 可得AO ⊥OE ，AE ＝AO 2＋OE 2＝42＋32＝5.∴S △ACD ＝S △ABC ＝12×6×5＝15.∴S 全＝18＋12 2＋15＋15＝48＋12 2. 13．(15分)某几何体的三视图如图所示．(1)画出这个几何体的直观图(不要求写画法)； (2)求这个几何体的表面积及体积．解：(1)这个几何体的直观图如图所示．(2)这个几何体可看成是正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1和直三棱柱B 1C 1Q －A 1D 1P 的组合体．。
高中数学 必修二 1.3.1柱体 锥体 台体的体积学案学案 新人教A版必修2
1.3.1柱体 锥体 台体的体积学案 【回顾·预习】1、柱体、锥体、台体、球的结构特征2、以前学习的柱体的体积【自主·合作·探究】1 正方体、长方体和圆柱的体积公式V=2.圆锥、棱锥的体积公式V =3、棱台、圆台的体积公式V=4、球的体积公式 已知球的半径为R ，则球的体积为二、典型例题 【例4】如下图，在长方体1111ABCD A B C D -中，截下一个棱锥11C A DD -，求棱锥11CDD A -的体积与剩余部分的体积之比.例5圆柱的底面直径与高都等于球的直径求证：（1）球的体积等于圆柱体积的23（2）球的表面积等于圆柱的侧面积 33 (7.8/)() 5.8,,12,10,10,( 3.14)?g cm kg mm mm mm π例有一堆规格相同的铁制铁的密度是六角螺帽如下图共重已知底面是正六边形边长为内孔直径高为问这堆螺帽大约有多少个取【当堂达标】1.长方体的过一个顶点的三条棱长的比是1∶2∶3，对角线长为214，则这个长方体的体积是( )(A)6 (B)12 (C)24 (D)48圆 2. 圆台上、下底面面积分别是π、4π,侧面积是6π,则圆台的体积是( )π B.πππ 3.如图，在三角形ABC 中，若AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5，以 AB 所在直线为轴，将此三角形旋转一周，求所得旋转体的体积．4、．若棱长为3的正方体的各个顶点都在同一个球面上, 求该球的体积和表面积 .5、将一个球的半径扩大一倍，它的体积扩大到原来的 倍【反思·提升】1.圆柱、圆锥、圆台的体积2.棱柱、棱锥、棱台的体积拓展延伸3.一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图均为边长是32的菱形，俯视图是一个正方形，该几何体的体积是( )(A)13 (B)23 (C)16 (D)26。
人教B版高中数学必修二同步练习：柱体 锥体与台体的体积 Word版含答案
人教B 版 数学 必修2：柱体、锥体与台体的体积一、选择题1. 平行于棱锥底面的截面把棱锥的高分成2∶1的两部分(从上到下)，则棱锥被分成的两部分的体积之比是 ( ) A ．8∶1． B ．8∶27． C ．4∶5． D ．8∶19．2. 要在一个体积为V 的三棱柱木块111C B A ABC -的两端刨去两个三棱锥ABC P -和111C B A P -，把剩余部分加工成一个魔术道具，则该道具的体积是 （ ）A ．V 31B ．V 21C ．V 32D ． V 43 3. 已知每条棱长都为3的直平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，∠BAD=60°，长为2的线段MN 的一个端点M 在DD 1 上运动，另一个端点N 在底面ABCD 上运动．则MN 中 点P 的轨迹与直平行六面体的面所围成的几何体的体积 为（ ）A.9πB.92πC.94π D. 34π4. 如图，三棱锥S —ABC 中，，21===SC SG SF BF EA SE 则截面EFG 把三棱锥分成的两部分的体积之比为 （ ） A ．1∶9 B ．1∶7 C ．1∶8 D ．2∶255. (2004年天津卷)如图, 在长方体1111D C B A ABCD -中，AB=6，AD=4，31=AA ．分别过BC 、11D A 的两个平行截面将长方体分成三部分，其体积分别记为111DFD AEA V V -=，11112D FCF A EBE V V -=，C F C B E B V V 11113-=．若1:4:1::321=V V V ，则截面11EFD A 的面积为 ( )A ． 104B ． 38C ． 134D ． 16二、填空题6. 斜三棱柱的一个侧面的面积等于10cm 2，该侧面与它所对的侧棱距离为6cm ．，则这个三棱柱的体积为 ．7. 一个正四棱锥，它的底面边长是a ，斜高也是a ，它的体积是 ． 8. 在棱长为a 的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，P 、Q 是对角线A 1C 上的1点，若PQ=2a，则三棱锥P －BDQ 的体积为 9. 已知正三棱锥的侧面积为l 83cm 2，高为3cm ，则它的体积为 ．10. 如图，在多面体ABCDEF 中，已知面ABCD 是边长为3的正方形，EF ∥AB ，EF=23， EF 与面AC 的距离为2，则该多面体的体积为 . 三、解答题11. 三棱锥的三个侧面两两垂直，且三个侧面面积分别为S 1、S 2、S 3，求它的体积.12. 平行六面体相交于一个顶点的三条棱的长分别是a 、b 、c ，三条棱中每两条的夹角是60°，求它的体积．13. 如图，三棱锥P －ABC 中，已知PA ⊥BC ，PA=BC=l ， PA 、BC 的公垂线DE=h ，求三棱锥P —ABC 的体积．14. 已知三棱锥P －ABC 中，PA 、PB 、PC 两两成60°角，PA= a ，PB=b ，PC=c ，求三棱锥的体积．【课时30答案】1.D2.C3.B4.C5.C.6. 30cm 3.7. 363a 8.3183a 9. 93cm 3 10. 215. 11.321232S S S12.14.。
最新人教A版必修二 柱体锥体台体球的体积与球的表面积 学案
柱体、锥体、台体、球的体积与球的表面积学习目标1.掌握柱体、锥体、台体的体积公式，会利用它们求有关几何体的体积；2.了解球的表面积与体积公式，并能应用它们求球的表面积及体积；3.会求简单组合体的体积及表面积．知识点一 柱体、锥体、台体的体积公式1．柱体的体积公式V ＝Sh (S 为底面面积，h 为高)； 2．锥体的体积公式V ＝13Sh (S 为底面面积，h 为高)；3．台体的体积公式V ＝13(S ′＋S ′S ＋S )h (S ′、S 为上、下底面面积，h 为高)；4．柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系V ＝Sh V ＝13(S ′＋S ′S ＋S )hV ＝13Sh .知识点二 球的表面积和体积公式1．球的表面积公式S ＝4πR 2(R 为球的半径)； 2．球的体积公式V ＝43πR 3.类型一 柱体、锥体、台体的体积例1 (1)一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为________m 3.答案 83π解析 由所给三视图可知，该几何体是由相同底面的两个圆锥和一个圆柱组成，底面半径为1 m ，圆锥的高为1 m ，圆柱的高为2 m ，因此该几何体的体积V ＝2×13×π×12×1＋π×12×2＝83π(m 3)．(2)在四棱锥E —ABCD 中，底面ABCD 为梯形，AB ∥CD,2AB ＝3CD ，M 为AE 的中点，设E —ABCD 的体积为V ，那么三棱锥M —EBC 的体积为多少？解 设点B 到平面EMC 的距离为h 1，点D 到平面EMC 的距离为h 2. 连接MD .因为M 是AE 的中点， 所以V M —ABCD ＝12V .所以V E —MBC ＝12V －V E —MDC .而V E —MBC ＝V B —EMC ，V E —MDC ＝V D —EMC ， 所以V E —MBC V E —MDC ＝V B —EMC V D —EMC ＝h 1h 2. 因为B ，D 到平面EMC 的距离即为到平面EAC 的距离，而AB ∥CD ，且2AB ＝3CD ，所以h 1h 2＝32.所以V E —MBC ＝V M －EBC ＝310V .反思与感悟 三棱锥的任一侧面都可以作为底面来求其体积；在已知三棱锥的体积时，可用等体积法求点到平面的距离．跟踪训练1 一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A ．2π＋2 3B ．4π＋2 3C ．2π＋233D ．4π＋233答案 C解析 该空间几何体由一圆柱和一四棱锥组成，圆柱的底面半径为1，高为2，体积为2π，四棱锥的底面边长为2，高为3，所以体积为13×(2)2×3＝233，所以该几何体的体积为2π＋233.类型二 球的表面积与体积例2 (1)若圆锥与球的体积相等，且圆锥底面半径与球的直径相等，则圆锥侧面积与球面面积之比是________．(2)如图是一个几何体的三视图，根据图中的数据可得该几何体的表面积为________．答案 (1)52(2)33π 解析 (1)设圆锥的底面半径为R ， 由题意知球的半径为R2，V 圆锥＝13πR 2h (h 为圆锥的高)，V 球＝43π(R 2)3＝16πR 3，∴13πR 2h ＝16πR 3， h ＝12R ，则圆锥的母线l ＝R 2＋h 2＝52R ， 圆锥的侧面积为π×R ×52R ＝52πR 2. 球的表面积为4π×(R2)2＝πR 2. ∴圆锥的侧面积与球面面积之比为5∶2.(2)由三视图知该几何体由圆锥和半球组成，且球的半径和圆锥底面半径都等于3，圆锥的母线长等于5，所以该几何体的表面积为S ＝2π×32＋π×3×5＝33π.反思与感悟 对于(1)中关键要记住球的表面积公式和体积公式，对于关于球的三视图，要特别注意，球的三种视图都是直径相同的圆.跟踪训练2 (1)圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r )组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示．若该几何体的表面积为16＋20π，则r 等于( ) A ．1 B ．2 C ．4 D ．8答案 B解析 由正视图与俯视图想象出直观图，然后进行运算求解．如图，该几何体是一个半球与一个半圆柱的组合体，球的半径为r ，圆柱的底面半径为r ，高为2r ，则表面积S ＝12×4πr 2＋πr 2＋4r 2＋πr ·2r ＝(5π＋4)r 2，又S ＝16＋20π，∴(5π＋4)r 2＝16＋20π，∴r 2＝4，r ＝2，故选B.(2)如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，这时圆柱、圆锥、球的体积之比为________．答案 3∶1∶2解析 设球的半径为R ，则V 柱＝πR 2·2R ＝2πR 3，V 锥＝13πR 2·2R ＝23πR 3，V 球＝43πR 3，故V柱∶V 锥∶V 球＝2πR 3∶23πR 3∶43πR 3＝3∶1∶2.类型三 组合体的表面积与体积例3 (1)一球与棱长为2的正方体各个面相切，则该球的体积为________．(2)正方体的表面积是a 2，它的顶点都在一个球面上，则这个球的表面积是________． 答案 (1)43π (2)πa22解析 (1)由题意可知球是正方体的内切球，因此球的半径为1，其体积43π.(2)正方体内接于球，则由球及正方体都是中心对称图形知，它们的中心重合．可见，正方体的对角线是球的直径．设球的半径是r ，则正方体的对角线长是2r . 依题意，2r ＝3·a 26，即r 2＝18a 2. 所以S 球＝4πr 2＝4π·18a 2＝πa22.反思与感悟 解决此类问题的实质就是根据几何体的相关数据求球的直径或半径，关键是根据“切点”和“接点”，作出轴截面图，把空间问题转化为平面问题来解决．跟踪训练3 (1)球与圆台的上、下底面及侧面都相切，且球面面积与圆台的侧面积之比为3∶4，则球的体积与圆台的体积之比为( ) A ．6∶13 B ．5∶14 C ．3∶4D ．7∶15(2)长方体的一个顶点处的三条棱长分别为2，3，5，它的八个顶点都在同一个球面上，则这个球的体积为________． 答案 (1)A (2)43π解析 (1)如图所示，作圆台的轴截面等腰梯形ABCD ，球的大圆O 内切于梯形ABCD .设球的半径为R ，圆台的上、下底面半径分别为r 1、r 2，由平面几何知识知，圆台的高为2R ，母线长为r 1＋r 2.∵∠AOB ＝90°，OE ⊥AB (E 为切点)， ∴R 2＝OE 2＝AE ·BE ＝r 1·r 2.由已知S 球∶S 圆台侧＝4πR 2∶π(r 1＋r 2)2＝3∶4. (r 1＋r 2)2＝163R 2.V 球∶V 圆台＝32211224π31π()23R r r r r R +⋅＝2R2r 1＋r 22－r 1r 2＝2R2163R 2－R 2＝613. (2)球的直径为22＋32＋52＝23，∴球的半径为3，则球的体积为43π(3)3＝43π.1.已知高为3的棱柱ABC —A 1B 1C 1的底面是边长为1的正三角形(如图)，则三棱锥B 1—ABC 的体积为( ) A.14 B.12 C.36D.34答案 D解析 V ＝13Sh ＝13×34×3＝34.2．设正六棱锥的底面边长为1，侧棱长为5，那么它的体积为( ) A ．6 3 B. 3 C ．2 3 D ．2 答案 B解析 依题意得正六棱锥的高为5－12＝2，所以V ＝13Sh ＝13×6×34×2＝ 3.3．将棱长为2的正方体木块削成一个体积最大的球，则这个球的表面积为( ) A ．2π B ．4π C ．8π D ．16π答案 B解析 体积最大的球是其内切球，即球的半径为1，所以表面积为S ＝4π×12＝4π. 4．某几何体的三视图如图所示，则其表面积为________．答案3π解析由三视图可知，该几何体是一个半球，∴其表面积为2π×12＋π＝3π.5．若与球外切的圆台的上、下底面半径分别为r，R，则球的表面积为________．答案4πRr解析方法一如图，过球心O作轴截面ABCD，作DE⊥BC，垂足为E.设球的半径为r1，则在Rt△CDE中，DE＝2r1，CE＝R－r，DC＝R＋r.由勾股定理得4r21＝(R＋r)2－(R－r)2，解得r1＝Rr.故球的表面积为S球＝4πr21＝4πRr.方法二如图，过球心O作轴截面ABCD，设球的半径为r1，AB与圆O相切于点F，连接OA，OB，OF，则在Rt△AOB中，OF是斜边AB上的高．由相似三角形的性质得OF2＝BF·AF＝Rr，即r21＝Rr，故r1＝Rr，故球的表面积为S球＝4πRr.1．柱体、锥体、台体的体积之间的内在关系为V 柱体＝Sh S S '=su u u u u u V 台体＝13h (S ＋SS ′＋S ′)――→S ′＝0V 锥体＝13Sh . 2．在三棱锥A －BCD 中，若求点A 到平面BCD 的距离h ，可以先求V A －BCD ，h ＝3VS △BCD.这种方法就是用等体积法求点到平面的距离，其中V 一般用换顶点法求解，即V A －BCD ＝V B －ACD ＝V C －ABD ＝V D－ABC，求解的原则是V 易求，且△BCD 的面积易求．3．求几何体的体积，要注意分割与补形．将不规则的几何体通过分割或补形将其转化为规则的几何体求解．4．利用球的半径、球心到截面圆的距离、截面圆的半径可构成直角三角形，进行相关计算． 5．解决球与其他几何体的切接问题，通常先作截面，将球与几何体的各量体现在平面图形中，再进行相关计算．一、选择题1．如图，网格纸上正方形小格的边长为1(表示1 cm)，图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3 cm ，高为6 cm 的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为( )A.1727B.59C.1027D.13 答案 C解析 由三视图可知几何体是如图所示的两个圆柱的组合体．其中左面圆柱的高为4 cm ，底面半径为2 cm ，右面圆柱的高为2 cm ，底面半径为3 cm ，则组合体的体积V 1＝π×22×4＋π×32×2＝16π＋18π＝34π(cm 3)，原毛坯体积V 2＝π×32×6＝54π(cm 3)，则所求比值为54π－34π54π＝1027.2．把3个半径为R 的铁球熔成一个底面半径为R 的圆柱，则圆柱的高为( ) A ．R B ．2R C ．3R D ．4R 答案 D解析 设圆柱的高为h ，则πR 2h ＝3×43πR 3，得h ＝4R .3.如图，ABC A ′B ′C ′是体积为1的棱柱，则四棱锥C AA ′B ′B 的体积是( ) A.13 B.12 C.23 D.34答案 C解析 ∵V C A ′B ′C ′＝13V ABC A ′B ′C ′，∴V C AA ′B ′B ＝23V ABC A ′B ′C ′.4.如图，在梯形ABCD 中，∠ABC ＝π2，AD ∥BC ，BC ＝2AD ＝2AB ＝2，将梯形ABCD 绕AD 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为( )A.23πB.43πC.53π D ．2π 答案 C解析 由题意，旋转而成的几何体是圆柱，挖去一个圆锥(如图)，该几何体的体积为π×12×2－13×π×12＝53π.5．已知某几何体的三视图如图所示，其中正视图、侧视图均是由三角形与半圆构成，俯视图由圆与内接三角形构成，根据图中的数据可得此几何体的体积为( )A.2π3＋12B.4π3＋16C.2π6＋16D.2π3＋12答案 C解析 由已知的三视图可知原几何体的上方是三棱锥，下方是半球，∴V ＝13×(12×1×1)×1＋[43π(22)3]×12＝16＋2π6，故选C. 6．正方体的表面积为24，那么其外接球的体积是( ) A.43π B.83π C ．43π D ．323π 答案 C解析 设正方体的棱长为a ， 则6a 2＝24，∴a ＝2，其外接球的直径为23，半径为3， ∴其体积为43π(3)3＝43π.7.如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm ，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm ，如果不计容器的厚度，则球的体积为( ) A.500π3 cm 3B.866π3cm 3C.1 372π3cm 3D.2 048π3cm 3答案 A解析 作出该球轴截面的图象如图所示，依题意BE ＝2，AE ＝CE ＝4，设DE ＝x ，故AD ＝2＋x ，因为AD 2＝AE 2＋DE 2，解得x ＝3，故该球的半径AD ＝5， 所以V ＝43πR 3＝500π3 (cm 3)．二、填空题8．将一钢球放入底面半径为 3 cm 的圆柱形玻璃容器中，水面升高4 cm ，则钢球的半径是________ cm. 答案 3解析 设球的半径为r ，则36π＝43πr 3，可得r ＝3 cm.9．一个几何体的三视图(单位：m)如图所示，则该几何体的体积为________ m 3.答案 9π＋18解析 由三视图知，几何体下面是两个球，球半径为32；上面是长方体，其长、宽、高分别为6、3、1， 所以V ＝43π×278×2＋1×3×6＝9π＋18.10．在棱长为a 的正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，则A 到平面A 1BD 的距离d ＝________. 答案33a 解析 在三棱锥A 1ABD 中，由题意知AA 1是三棱锥的高，AB ＝AD ＝AA 1＝a ，A 1B ＝BD ＝A 1D ＝2a ，11--A ABD A A BD V V Q ＝，∴13×12a 2×a ＝13×12×2a ×32×2a ×d .∴d ＝33a . 11．已知三棱锥A —BCD 的所有棱长都为2，则该三棱锥的外接球的表面积为________． 答案 3π解析 如图，构造正方体ANDM —FBEC .因为三棱锥A —BCD 的所有棱长都为2，所以正方体ANDM —FBEC 的棱长为1.所以该正方体的外接球的半径为32. 易知三棱锥A —BCD 的外接球就是正方体ANDM —FBEC 的外接球，所以三棱锥A —BCD 的外接球的半径为32.所以三棱锥A —BCD 的外接球的表面积为S 球＝4π⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝3π. 三、解答题12．有一个倒圆锥形容器，它的轴截面是一个正三角形，在容器内放一个半径为r 的铁球，并注入水，使水面与球正好相切，然后将球取出，求这时容器中水的深度． 解 由题意知，圆锥的轴截面为正三角形，如图所示为圆锥的轴截面．根据切线性质知，当球在容器内时，水深为3r ，水面的半径为3r ，则容器内水的体积为V ＝V 圆锥－V 球＝13π·(3r )2·3r －43πr 3＝53πr 3，而将球取出后，设容器内水的深度为h ，则水面圆的半径为33h ， 从而容器内水的体积是V ′＝13π·(33h )2·h ＝19πh 3，由V ＝V ′，得h ＝315r . 即容器中水的深度为315r .13．正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，求该球的表面积．解 如图，设球心为O ，半径为r ， 则Rt △AOF 中， (4－r )2＋(2)2＝r 2， 解得r ＝94，∴该球的表面积为 4πr 2＝4π×(94)2＝814π.。
北师版高中同步学案数学必修第二册精品课件 第6章 立体几何初步 6.2 柱、锥、台的体积
2
= √3(cm2),
∴V 正三棱柱=Sh=√3×9=9√3(cm3),
27
故该正三棱柱的体积为 2
√3 cm3 或 9√3 cm3.
规律方法
柱体体积的计算方法
(1)公式法.
求出底面积和高,运用公式求出体积.
(2)记住特殊的柱体的体积公式.
①正方体的体积=棱长的立方;
②长方体的体积=长×宽×高.
x=
S'ℎ
√- '
'
√- '
,代入体积表达式,
=
1
h(S+
3
' +S').
2
(ℎ+)
2,
重难探究·能力素养全提升
探究点一
柱体体积的计算
【例1】 已知一个正三棱柱的侧面展开图是一个长为9 cm,宽为6 cm的矩
形,求此正三棱柱的体积.
解 设正三棱柱的高为h cm,底面等边三角形的边长为a cm.
1
上 ·下 )h=3×(2+4+√2 ×
4)×3=6+2√2.
6+2√2 .
5.我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题:在下雨时,用一个
圆台形的天池盆接雨水,天池盆盆口直径为二尺八寸,盆底直径为一尺二寸,
盆深一尺八寸,若盆中积水深九寸时,则平地降雨量是
3
寸.
(注:①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积;②一尺等于十寸)
V=abc,
规律方法
锥体体积的计算方法
1
(1)锥体的体积公式V= 3 Sh既适合棱锥,也适合圆锥,其中棱锥可以是正棱
锥,也可以不是正棱锥.
北师版高中同步学案数学必修第二册精品课件 第6章 立体几何初步 6.2 柱、锥、台的体积——分层作业
(2)若G是侧面PBC上的一点,且
,求三棱锥G-DCE的体积.
(注:如果选择多个条件分别解答,则按第一个解答计分.)
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
解(1)EF∥平面PAD,理由如下:
如图所示,连接AC.
∵四边形ABCD为矩形,且点F为BD的中点,
∴点F为AC的中点.
又E为PC的中点,
面体是正八面体,如图,
该正八面体为两个全等正四棱锥的组合体,正四棱锥的高为 1,底面正方形的
边长为 2,所以该正八面体的体积是
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
1
2×3×(
2)
2
4
×1=3.
10.如图①,一个正三棱柱容器,底面边长为a,高为2a,内装水若干,将容器放
倒,把一个侧面作为底面,如图②,这时水面恰好为中截面,则图①中容器内
成,塔高21 m,底宽34 m,则该金字塔的体积为( A )
A.8 092 m3
B.4 046 m3
C.2 427 m3
D.12 138 m3
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
解析 如图,正四棱锥P-ABCD中,PO⊥底面ABCD,PO=21 m,AB=34 m,底面
正方形的面积为S=34×34=1 156 m2,则正四棱锥P-ABCD的体积为
.
3
l=4r.
C级
学科素养创新练
12.从① =2
,②G是PB的中点,③G是△PBC的内心,三个条件中任选一个条
件,补充在下面问题中,并完成解答.
在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,PD⊥底面
ABCD,且PD=1,AB= 3 ,AD=2,E,F分别为PC,BD的中点.
人教A版高中数学必修二新课标优秀教案示范教案柱体、锥体、台体的表面积与体积
1.3 空间几何体的表面积与体积1.3.1 柱体、锥体、台体的表面积与体积整体设计教学分析本节一开始的“思考”从学生熟悉的正方体和长方体的展开图入手，分析展开图与其表面积的关系，目的有两个：其一，复习表面积的概念，即表面积是各个面的面积的和；其二，介绍求几何体表面积的方法，把它们展成平面图形，利用平面图形求面积的方法，求立体图形的表面积.接着，教科书安排了一个“探究”，要求学生类比正方体、长方体的表面积，讨论棱柱、棱锥、棱台的表面积问题，并通过例1进一步加深学生的认识.教学中可以引导学生讨论得出：棱柱的展开图是由平行四边形组成的平面图形，棱锥的展开图是由三角形组成的平面图形，棱台的展形图是由梯形组成的平面图形.这样，求它们的表面积的问题就可转化为求平行四边形、三角形和梯形的面积问题.教科书通过“思考”提出“如何根据圆柱、圆锥的几何结构特征，求它们的表面积？”的问题.教学中可引导学生回忆圆柱、圆锥的形成过程及其几何特征，在此基础上得出圆柱的侧面可以展开成为一个矩形，圆锥的侧面可以展开成为一个扇形的结论，随后的有关圆台表面积问题的“探究”，也可以按照这样的思路进行教学.值得注意的是，圆柱、圆锥、圆台都有统一的表面积公式，得出这些公式的关键是要分析清楚它们的底面半径、母线长与对应的侧面展开图中的边长之间的关系，教学中应当引导学生认真分析，在分别学习了圆柱、圆锥、圆台的表面积公式后，可以引导学生用运动、变化的观点分析它们之间的关系.由于圆柱可看成上下两底面全等的圆台；圆锥可看成上底面半径为零的圆台，因此圆柱、圆锥就可以看成圆台的特例.这样，圆柱、圆锥的表面积公式就可以统一在圆台的表面积公式之下.关于体积的教学.我们知道，几何体占有空间部分的大小，叫做几何体的体积.这里的“大小”没有比较大小的含义，而是要用具体的“数”来定量的表示几何体占据了多大的空间，因此就产生了度量体积的问题.度量体积时应知道：①完全相同的几何体，它的体积相等；一个几何体的体积等于它的各部分体积的和.体积相等的两个几何体叫做等积体.相同的两个几何体一定是等积体，但两个等积体不一定相同.体积公式的推导是建立在等体积概念之上的.柱体和锥体的体积计算，是经常要解决的问题.虽然有关公式学生已有所了解，但进一步了解这些公式的推导，有助于学生理解和掌握这些公式，为此，教科书安排了一个“探究”，要求学生思考一下棱锥与等底等高的棱柱体积之间的关系.教学中，可以引导学生类比圆柱与圆锥之间的体积关系来得出结论.与讨论表面积公式之间的关系类似，教科书在得出柱体、锥体、台体的体积公式后，安排了一个“思考”，目的是引导学生思考这些公式之间的关系，建立它们之间的联系.实际上，这几个公式之间的关系，是由柱体、锥体和台体之间的关系决定的.这样，在台体的体积公式中，令S′=S，得柱体的体积公式；令S′=0，得锥体的体积公式.值得注意的是在教学过程中，要重视发挥思考和探究等栏目的作用，培养学生的类比思维能力，引导学生发现这些公式之间的关系，建立它们的联系.本节的重点应放在公式的应用上，防止出现：教师在公式推导过程中“纠缠不止”，要留出“空白”，让学生自己去思考和解决问题.如果有条件，可以借助于信息技术来展示几何体的展开图.对于空间想象能力较差的学生，可以通过制作实物模型，经过操作确认来增强空间想象能力.三维目标1.了解柱体、锥体、台体的表面积和体积计算公式（不要求记忆），提高学生的空间想象能力和几何直观能力，培养学生的应用意识，增加学生学习数学的兴趣.2.掌握简单几何体的体积与表面积的求法，提高学生的运算能力，培养学生转化、化归以及类比的能力.重点难点教学重点：了解柱体、锥体、台体的表面积和体积计算公式及其应用.教学难点：表面积和体积计算公式的应用.课时安排1课时教学过程导入新课思路1.在过去的学习中，我们已经接触过一些几何体的面积和体积的求法及公式，哪些几何体可以求出表面积和体积？（引导学生回忆，互相交流，教师归类）几何体的表面积等于它的展开图的面积，那么，柱体、锥体、台体的侧面展开图是怎样的？你能否计算？思路2.被誉为世界七大奇迹之首的胡夫大金字塔，在1889年巴黎埃菲尔铁塔落成前的四千多年的漫长岁月中，胡夫大金字塔一直是世界上最高的建筑物.在四千多年前生产工具很落后的中古时代，埃及人是怎样采集、搬运数量如此之多，每块又如此之重的巨石垒成如此宏伟的大金字塔，真是一个十分难解的谜.胡夫大金字塔是一个正四棱锥外形的建筑，塔底边长230米，塔高146.5米，你能计算建此金字塔用了多少石块吗？推进新课新知探究提出问题①在初中，我们已经学习了正方体和长方体的表面积，以及它们的展开图（图1），你知道上述几何体的展开图与其表面积的关系吗？正方体及其展开图(1) 长方体及其展开图(2)图1②棱柱、棱锥、棱台也是由多个平面图形围成的几何体，它们的展开图是什么？如何计算它们的表面积？③如何根据圆柱、圆锥的几何结构特征，求它们的表面积？④联系圆柱、圆锥的侧面展开图，你能想象圆台侧面展开图的形状，并且画出它吗？如果圆台的上、下底面半径分别是r′,r，母线长为l，你能计算出它的表面积吗？⑤圆柱、圆锥和圆台的表面积之间有什么关系？活动：①学生讨论和回顾长方体和正方体的表面积公式.②学生思考几何体的表面积的含义，教师提示就是求各个面的面积的和.③让学生思考圆柱和圆锥的侧面展开图的形状.④学生思考圆台的侧面展开图的形状.⑤提示学生用动态的观点看待这个问题.讨论结果：①正方体、长方体是由多个平面图形围成的几何体，它们的表面积就是各个面的面积的和.因此，我们可以把它们展成平面图形，利用平面图形求面积的方法，求立体图形的表面积.②棱柱的侧面展开图是平行四边形，其表面积等于围成棱柱的各个面的面积的和；棱锥的侧面展开图是由多个三角形拼接成的，其表面积等于围成棱锥的各个面的面积的和；棱台的侧面展开图是由多个梯形拼接成的，其表面积等于围成棱台的各个面的面积的和.③它们的表面积等于侧面积与底面积的和，利用它们的侧面展开图来求得它们的侧面积，由于底面是圆面，其底面积直接应用圆的面积公式即得.其中，圆柱的侧面展开图是矩形，圆锥的侧面展开图是扇形.我们知道，圆柱的侧面展开图是一个矩形（图2）.如果圆柱的底面半径为r,母线长为l ，那么圆柱的底面面积为πr 2,侧面面积为2πrl.因此，圆柱的表面积S=2πr 2+2πrl=2πr(r+l).图2 图3圆锥的侧面展开图是一个扇形（图3）.如果圆锥的底面半径为r,母线长为l ，那么它的表面积S=πr 2+πrl=πr(r+l).点评：将空间图形问题转化为平面图形问题，是解决立体几何问题基本的、常用的方法. ④圆台的侧面展开图是一个扇环（图4），它的表面积等于上、下两个底面的面积和加上侧面的面积，即S=π(r 2+r′2+rl+r′l).图4⑤圆柱、圆锥、圆台侧面积的关系：圆柱和圆锥都可以看作是圆台退化而成的几何体.圆柱可以看作是上下底面全等的圆台，圆锥可看作是上底面退化成一点的圆台，观察它们的侧面积，不难发现：S 圆柱表=2πr(r+l)−−−←==r r r 21S 圆台表=π(r 1l+r 2l+r 12+r 22)−−−→−==rr r 21,0S 圆锥表=πr(r+l). 从上面可以很清楚地看出圆柱和圆锥的侧面积公式都可以看作由圆台侧面积公式演变而来. 提出问题①回顾长方体、正方体和圆柱的体积公式，你能将它们统一成一种形式吗？并依次类比出柱体的体积公式？②比较柱体、锥体、台体的体积公式：V 柱体=Sh(S 为底面积，h 为柱体的高)；V 锥体=Sh 31(S 为底面积，h 为锥体的高)； V 台体=)''(31S SS S ++h(S′,S 分别为上、下底面积，h 为台体的高). 你能发现三者之间的关系吗？柱体、锥体是否可以看作“特殊”的台体？其体积公式是否可以看作台体体积公式的“特殊”形式？活动：①让学生思考和讨论交流长方体、正方体和圆柱的体积公式.②让学生类比圆柱、圆锥和圆台的表面积的关系？讨论结果：①棱长为a 的正方体的体积V=a 3=a 2a=Sh ；长方体的长、宽和高分别为a,b,c ，其体积为V=abc=(ab)c=Sh ；底面半径为r 高为h 的圆柱的体积是V=πr 2h=Sh ，可以类比，一般的柱体的体积也是V=Sh ，其中S 是底面面积，h 为柱体的高.圆锥的体积公式是V=Sh 31(S 为底面面积，h 为高)，它是同底等高的圆柱的体积的31. 棱锥的体积也是同底等高的棱柱体积的31,即棱锥的体积V=Sh 31 (S 为底面面积，h 为高). 由此可见，棱柱与圆柱的体积公式类似，都是底面面积乘高；棱锥与圆锥的体积公式类似，都是底面面积乘高的31. 由于圆台（棱台）是由圆锥（棱锥）截成的，因此可以利用两个锥体的体积差，得到圆台（棱台）的体积公式V=31(S′+S S '+S)h, 其中S′，S 分别为上、下底面面积，h 为圆台（棱台）高.注意：不要求推导公式，也不要求记忆.②柱体可以看作是上、下底面相同的台体，锥体可以看作是有一个底面是一个点的台体.因此柱体、锥体可以看作“特殊”的台体.当S′=0时，台体的体积公式变为锥体的体积公式;当S′=S 时，台体的体积公式变为柱体的体积公式，因此，柱体、锥体的体积公式可以看作台体体积公式的“特殊”形式.柱体和锥体可以看作由台体变化得到，柱体可以看作是上、下底面相同的台体，锥体可以看作是有一个底面是一个点的台体，因此很容易得出它们之间的体积关系,如图5：图5应用示例思路1例1 已知棱长为a ，各面均为等边三角形的四面体S —ABC （图6），求它的表面积.图6活动：回顾几何体的表面积含义和求法.分析：由于四面体S —ABC 的四个面是全等的等边三角形，所以四面体的表面积等于其中任何一个面面积的4倍.解：先求△SBC 的面积，过点S 作SD ⊥BC ，交BC 于点D.因为BC=a,SD=a a a BD SB 23)2(2222=-=-,所以S △SBC =21BC·SD=2432321a a a =⨯. 因此，四面体S —ABC 的表面积S=4×22343a a =. 点评：本题主要考查多面体的表面积的求法.变式训练1.已知圆柱和圆锥的高、底面半径均分别相等.若圆柱的底面半径为r ，圆柱侧面积为S ，求圆锥的侧面积.解：设圆锥的母线长为l ，因为圆柱的侧面积为S ，圆柱的底面半径为r ，即S 圆柱侧=S ，根据圆柱的侧面积公式可得：圆柱的母线（高）长为r S π2，由题意得圆锥的高为rS π2，又圆锥的底面半径为r ，根据勾股定理，圆锥的母线长l=22)2(rS r π+，根据圆锥的侧面积公式得 S 圆锥侧=πrl=π·r·24)2(24222S r r S r +=+ππ. 2.两个平行于圆锥底面的平面将圆锥的高分成相等的三段，那么圆锥被分成的三部分的体积的比是（ ）A.1∶2∶3B.1∶7∶19C.3∶4∶5D.1∶9∶27 分析：因为圆锥的高被分成的三部分相等，所以两个截面的半径与原圆锥底面半径之比为1∶2∶3，于是自上而下三个圆锥的体积之比为(h r 23π)∶［2)2(3r π·2h ］∶［2)3(3r π·3h ］=1∶8∶27，所以圆锥被分成的三部分的体积之比为1∶（8－1）∶（27－8）=1∶7∶19. 答案：B3.三棱锥V —ABC 的中截面是△A 1B 1C 1，则三棱锥V —A 1B 1C 1与三棱锥A —A 1BC 的体积之比是（ ）A.1∶2B.1∶4C.1∶6D.1∶8分析：中截面将三棱锥的高分成相等的两部分，所以截面与原底面的面积之比为1∶4，将三棱锥A —A 1BC 转化为三棱锥A 1—ABC ，这样三棱锥V —A 1B 1C 1与三棱锥A 1—ABC 的高相等，底面积之比为1∶4，于是其体积之比为1∶4.答案：B例2 如图7，一个圆台形花盆盆口直径为20 cm ，盆底直径为15 cm ，底部渗水圆孔直径为1.5 cm ，盆壁长为15 cm.为了美化花盆的外观，需要涂油漆.已知每平方米用100毫升油漆，涂100个这样的花盆需要多少毫升油漆？（π取3.14，结果精确到1毫升，可用计算器）图7活动：学生思考和讨论如何转化为数学问题.只要求出每个花盆外壁的表面积，就可以求出油漆的用量.而花盆外壁的表面积等于花盆的侧面积加上底面积，再减去底面圆孔的面积. 解：如图7，由圆台的表面积公式得一个花盆外壁的表面积S=π［1522015215)215(2⨯+⨯+］-π(25.1)2≈1 000(cm 2)=0.1(m 2). 涂100个这样的花盆需油漆：0.1×100×100=1 000（毫升）.答：涂100个这样的花盆需要1 000毫升油漆.点评：本题主要考查几何体的表面积公式及其应用.变式训练1.有位油漆工用一把长度为50 cm ，横截面半径为10 cm 的圆柱形刷子给一块面积为10 m 2的木板涂油漆，且圆柱形刷子以每秒5周的速度在木板上匀速滚动前进，则油漆工完成任务所需的时间是多少?（精确到0.01秒）解：圆柱形刷子滚动一周涂过的面积就等于圆柱的侧面积，∵圆柱的侧面积为S 侧=2πrl=2π·0.1·0.5=0.1π m 2，又∵圆柱形刷子以每秒5周匀速滚动，∴圆柱形刷子每秒滚过的面积为0.5π m 2，因此油漆工完成任务所需的时间t=ππ205.01022=mm ≈6.37秒. 点评：本题虽然是实际问题，但是通过仔细分析后，还是归为圆柱的侧面积问题.解决此题的关键是注意到圆柱形刷子滚动一周所经过的面积就相当于把圆柱的侧面展开的面积，即滚动一周所经过的面积等于圆柱的侧面积.从而使问题迎刃而解.2.（2007山东滨州一模，文14）已知三棱锥O —ABC 中，OA 、OB 、OC 两两垂直，OC=1,OA=x ，OB=y ，且x+y=4，则三棱锥体积的最大值是___________.分析：由题意得三棱锥的体积是61)4(612131-=-=⨯x x xy (x-2)2+32，由于x ＞0，则当x=2时，三棱锥的体积取最大值32. 答案：32 例3 有一堆规格相同的铁制（铁的密度是7.8 g/cm 3）六角螺帽（图8）共重5.8 kg,已知底面是正六边形，边长为12 mm,内孔直径为10 mm,高为10 mm ，问这堆螺帽大约有多少个?（π取3.14）图8活动：让学生讨论和交流如何转化为数学问题.六角帽表示的几何体是一个组合体，在一个六棱柱中间挖去一个圆柱，因此它的体积等于六棱柱的体积减去圆柱的体积.解：六角螺帽的体积是六棱柱体积与圆柱体积的差，即V=43×122×6×10-3.14×(210)2×10≈2956(mm 3)=2.956(cm 3).所以螺帽的个数为5.8×1 000÷(7.8×2.956)≈252(个).答：这堆螺帽大约有252个.点评：本题主要考查几何体的体积公式及其应用.变式训练如图9，有个水平放置圆台形容器，上、下底面半径分别为2分米，4分米，高为5分米，现以每秒3立方分米的速度往容器里面注水，当水面的高度为3分米时，求所用的时间.（精确到0.01秒）图9解：如图10，设水面的半径为r ，则EH=r-2分米，BG=2分米，图10在△ABG 中，∵EH ∥BG ， ∴BGEH AG AH =.∵AH=2分米, ∴2252-=r .∴r=514分米. ∴当水面的高度为3分米时，容器中水的体积为V 水=π31·3［(514)2+514×4+42］=25876π立方分米, ∴所用的时间为25292325876ππ=≈36.69秒. 答：所用的时间为36.69秒.思路2例1 （2007山东烟台高三期末统考，理8）如图11所示，一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图为全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角边长为1，那么这个几何体的体积为（ ）图11A.1B.21C.31D.61 活动：让学生将三视图还原为实物图，讨论和交流该几何体的结构特征.分析：根据三视图，可知该几何体是三棱锥，图12所示为该三棱锥的直观图，并且侧棱PA ⊥AB ，PA ⊥AC ，AB ⊥AC.则该三棱锥的高是PA ，底面三角形是直角三角形，所以这个几何体的体积为V=611213131=⨯⨯=∆PA S ABC .图12答案：D点评：本题主要考查几何体的三视图和体积.给出几何体的三视图，求该几何体的体积或面积时，首先根据三视图确定该几何体的结构特征，再利用公式求得.此类题目成为新课标高考的热点，应引起重视.变式训练1.（2007山东泰安高三期末统考，理8）若一个正三棱柱的三视图如图13所示，则这个正三棱柱的表面积为（ ）图13 A.318 B.315 C.3824+ D.31624+ 分析：该正三棱柱的直观图如图14所示，且底面等边三角形的高为32，正三棱柱的高为2，则底面等边三角形的边长为4，所以该正三棱柱的表面积为3×4×2+2×21×4×32=24+38.图14答案：C2.（2007山东潍坊高三期末统考，文3）如果一个空间几何体的正视图与侧视图均为全等的等边三角形，俯视图为一个半径为1的圆及其圆心，那么这个几何体的体积为（ ） A.33π B.332π C.π3 D.3π 分析：由三视图知该几何体是圆锥，且轴截面是等边三角形，其边长等于底面直径2，则圆锥的高是轴截面等边三角形的高为3，所以这个几何体的体积为V=3331312ππ=⨯⨯⨯. 答案：A3.（2007广东高考，文17）已知某几何体的俯视图是如图15所示的矩形，正视图（或称主视图）是一个底边长为8、高为4的等腰三角形，侧视图（或称左视图）是一个底边长为6、高为4的等腰三角形.图15（1）求该几何体的体积V ；（2）求该几何体的侧面积S.解：由三视图可知该几何体是一个底面边长分别为6、8的矩形，高为4的四棱锥.设底面矩形为ABCD.如图16所示，AB=8，BC=6，高VO=4.图16（1）V=31×(8×6)×4=64. (2)设四棱锥侧面V AD 、VBC 是全等的等腰三角形，侧面V AB 、VCD 也是全等的等腰三角形，在△VBC 中，BC 边上的高为h 1=24)28(4)2(2222=+=+AB VO , 在△V AB 中，AB 边上的高为h 2=2222)26(4)2(+=+BC VO =5. 所以此几何体的侧面积S=)582124621(2⨯⨯+⨯⨯=40+224. 点评：高考试题中对面积和体积的考查有三种方式，一是给出三视图，求其面积或体积；二是与的组合体有关的面积和体积的计算；三是在解答题中，作为最后一问.例2 图17所示的几何体是一棱长为4 cm的正方体，若在它的各个面的中心位置上，各打一个直径为2 cm、深为1 cm的圆柱形的孔，求打孔后几何体的表面积是多少?（π取3.14）图17活动：因为正方体的棱长为4 cm，而孔深只有1 cm，所以正方体没有被打透.这样一来打孔后所得几何体的表面积，等于原来正方体的表面积，再加上六个完全一样的圆柱的侧面积，这六个圆柱的高为1 cm，底面圆的半径为1 cm.解：正方体的表面积为16×6=96（cm2），一个圆柱的侧面积为2π×1×1=6.28（cm2），则打孔后几何体的表面积为96＋6.28×6=133.68（cm2）.答：几何体的表面积为133.68 cm2.点评：本题主要考查正方体、圆柱的表面积.求几何体的表面积问题，通常将所给几何体分成基本的柱、锥、台，再通过这些基本柱、锥、台的表面积，进行求和或作差，从而获得几何体的表面积.本题中将几何体的表面积表达为正方体的表面积与六个圆柱侧面积的和是非常有创意的想法，如果忽略正方体没有被打透这一点，思考就会变得复杂，当然结果也会是错误的.变式训练图18所示是由18个边长为1 cm的小正方体拼成的几何体，求此几何体的表面积.图18分析：从图18中可以看出，18个小正方体一共摆了三层，第一层2个，第二层7个，因为18-7-2=9，所以第三层摆了9个.另外，上、下两个面的表面积是相同的，同样，前、后,左、右两个面的表面积也是分别相同的.解：因为小正方体的棱长是1 cm，所以上面的表面积为12×9=9（cm2），前面的表面积为12×8=8（cm2），左面的表面积为12×7=7（cm2），则此几何体的表面积为9×2+8×2+7×2=48( cm2).答：此几何体的表面积为48 cm2.知能训练1.正方体的表面积是96，则正方体的体积是（）48 B.64 C.16 D.96A.6分析：设正方体的棱长为a，则6a2=96，解得a=4，则正方体的体积是a3=64.答案：B2.（2007山东临沂高三期末统考，文2）如图19所示，圆锥的底面半径为1，高为3，则圆锥的表面积为（）A.πB.2πC.3πD.4π分析：设圆锥的母线长为l ，则l=13+=2，所以圆锥的表面积为S=π×1×(1+2)=3π. 答案：C3.正三棱锥的底面边长为3，侧棱长为32，则这个正三棱锥的体积是（ ）A.427 B.49C.4327D.439分析：可得正三棱锥的高h=22)3()32(-=3，于是V=4393343312=⨯⨯⨯. 答案：D4.若圆柱的高扩大为原来的4倍，底面半径不变，则圆柱的体积扩大为原来的_________倍；若圆柱的高不变，底面半径扩大为原来的4倍，则圆柱的体积扩大为原来的_________倍. 分析：圆柱的体积公式为V 圆柱=πr 2h ，底面半径不变，高扩大为原来的4倍，其体积也变为原来的4倍；当圆柱的高不变，底面半径扩大为原来的4倍时，其体积变为原来的42=16倍. 答案：4 165.图20是一个正方体，H 、G 、F 分别是棱AB 、AD 、AA 1的中点.现在沿△GFH 所在平面锯掉正方体的一个角，问锯掉部分的体积是原正方体体积的几分之几?图20分析：因为锯掉的是正方体的一个角，所以HA 与AG 、AF 都垂直，即HA 垂直于立方体的上底面，实际上锯掉的这个角，是以三角形AGF 为底面，H 为顶点的一个三棱锥. 解：设正方体的棱长为a ，则正方体的体积为a 3.三棱锥的底面是Rt △AGF ，即∠FAG 为90°，G 、F 又分别为AD 、AA 1的中点，所以AF=AG=a 21.所以△AGF 的面积为281212121a a a =⨯⨯.又因AH 是三棱锥的高，H 又是AB 的中点，所以AH=a 21.所以锯掉的部分的体积为32481812131a a a =⨯⨯. 又因48148133=÷a a ,所以锯掉的那块的体积是原正方体体积的481. 6.（2007山东临沂高三期末考试，理13）已知一圆锥的侧面展开图为半圆，且面积为S ，则圆锥的底面面积是____________.分析：如图21，设圆锥底面半径为r ，母线长为l ，由题意得⎪⎩⎪⎨⎧==,2,22r l S l πππ解得r=π2S ，所以圆锥的底面积为πr 2=22SS =⨯ππ.图21答案：2S 7.如图22，一个正三棱柱容器，底面边长为a ，高为2a ，内装水若干，将容器放倒，把一个侧面作为底面，如图23，这时水面恰好为中截面，则图22中容器内水面的高度是_________.图22 图23分析：图22中容器内水面的高度为h ，水的体积为V ，则V=S △ABC h.又图23中水组成了一个直四棱柱，其底面积为ABC S ∆43，高度为2a ，则V=ABC S ∆43·2a ，∴h=a S aS ABC ABC 23243=∙∆∆. 答案：a 238.圆台的两个底面半径分别为2、4，截得这个圆台的圆锥的高为6，则这个圆台的体积是_____________.分析：设这个圆台的高为h ，画出圆台的轴截面，可得6642h -=，解得h=3，所以这个圆台的体积是3π(22+2×4+42)×3=28π. 答案：28π9.已知某个几何体的三视图如图24，根据图中标出的尺寸（单位：cm ）,可得这个几何体的体积是（ ）图24A.34000 cm 3 B.38000cm 3C.2 000 cm 3D.4 000 cm 3 分析：该几何体是四棱锥，并且长为20 cm 的一条侧棱垂直于底面，所以四棱锥的高为20 cm,底面是边长为20 cm 的正方形（如俯视图），所以底面积是20×20=400 cm 2，所以该几何体的体积是31×400×20=38000cm 3. 答案：B拓展提升问题：有两个相同的直三棱柱，高为a2，底面三角形的三边长分别为3a,4a,5a(a ＞0).用它们拼成一个三棱柱或四棱柱，在所有可能的情形中，表面积最小的是一个四棱柱，则a 的取值范围是___________.探究：两个相同的直三棱柱并排放拼成一个三棱柱或四棱柱，有三种情况：四棱柱有一种，就是边长为5a 的边重合在一起，表面积为24a 2+28，三棱柱有两种，边长为4a 的边重合在一起，表面积为24a 2+32，边长为3a 的边重合在一起，表面积为24a 2+36，两个相同的直三棱柱竖直放在一起，有一种情况，表面积为12a 2+48, 最小的是一个四棱柱，这说明24a 2+28＜12a 2+48⇒12a 2＜20⇒0＜a ＜315. 答案：0＜a ＜315 课堂小结本节课学习了：1.柱体、锥体、台体的表面积和体积公式.2.应用体积公式解决有关问题. 作业习题1.3 A 组 第1、2、3题.设计感想新课标对本节内容的要求是了解棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式（不要求记忆公式），也就是说对体积和面积公式的推导、证明和记忆不作要求，按通常的理解是会求体积和面积，以及很简单的应用即可.因此本节教学设计中就体现了这一点，没有过多地在公式的推导上“纠缠不休”，把重点放在了对公式的简单应用上.由于本节图形较多，建议在使用时，尽量结合信息技术.。
人教A版高中数学必修2学案-柱体、锥体、台体的表面积与体积
求几何体的表面积，要充分利用柱体、锥体、台体的结构特征，准确把握各个面的形状与数量关系，尤其是侧面展开图与原几何体的关系．求体积问题则要准确把握底面积和高，尤其是四面体，确定哪S底＝2πr2S底＝πr2底＝π(r′2＋S侧＝πrl 侧＝π(r′＋＝π(r′2＋图形1 .多面体与旋转体表面积的计算方法(1)多面体展开图的面积即为多面体的表面积，在实际计算中，只要弄清楚多面体的各个面的形状并计算其面积，然后求其和即可，一般不把多面体真正展开．(2)求旋转体的表面积时，要清楚常见旋转体的侧面展开图是什么，关键是求其母线长与上、下底面的半径．2 .柱体、锥体、台体体积之间的关系柱体、锥体、台体的关系如下：公式；令S ′＝0，得锥体的体积公式，其关系如图：[小试身手]C．若一个圆锥的轴截面是边长为4 cm的等边三角形，，表面积为________cm由已知得底面边长为1，侧棱长为有一滚筒是正六棱柱形两端是封闭的，筒高________m中，D为棱AA的直角三角形，则此三棱柱的体积为________一个正三棱锥的底面边长为6，侧棱长为由题意，设AC＝a(a＞0)，的正三角形，AH ＝23AE ＝2 3. 15，AH ＝23，旋转一周，求旋转体的表面积和体积．l为轴将梯形ABCD何体为圆柱中挖去一个倒置的且与圆柱等高的圆锥，如图所示．ABC＝90°，AD∥BC，AD把原几何体补成一个直三棱柱，使∠BAC＝90°，所以×8＝96.分，共25分)．如图所示，圆锥的底面半径为1，高为绕直线BC旋转一周，所形成的几何体是以如图，已知底面半径为平面所截，剩余部分母线长的最大值为a，最小值为将该几何体上部补上一个与该几何体相同的几何体，得到，各面均为等边三角形的四面体的四个面是全等的等边三角形，所以四面体的表面积等于其中任何一个面面积的4倍．的面积，过点S作SD⊥BC4ABCD中，∠DAB＝，求四边形ABCD绕几何体的体积可看成是由梯形ABCE绕AE旋转一周所得的圆台的体积，减去△EDC绕DE＝V圆台－V圆锥＝ABCD－A′B′C，动点Q在棱D的位置有关ABCD的边长为折叠，使B个三棱锥，则这个三棱锥的表面积为________由三视图知建筑物为一组合体，自上而下分别是圆锥和正四棱柱，并且圆锥的底面半径为3 m，母线长为的正方形，圆锥的表面积为四棱柱的一个底面积为9 m2，正四棱柱的侧面积为，所以外壁面积为24π－9＋48＝(24π＋39)×0.2＝(4.8π＋7.8) (kg)．一个直角梯形的两底边长分别为2和5，高为的底所在的直线旋转一周，求所得旋转体的表面积．中，，则DM＝4中，由勾股定理得CD＝。
6 【平煤高中学案必修二】柱体、锥体、台体的表面积
1.3.1 柱体、锥体、台体的表面积学习目标（1）了解平面展开图的概念，会识别一些简单多面体的平面展开图； （2）了解直棱柱、正棱锥、正棱台的表面积的计算公式； （3）了解圆柱、圆锥、圆台的表面积的计算公式； （4）会求一些简单几何体的表面积．学习过程一、课前准备预习理解教材2425P P -的内容： 二、新课导学 （一）思考、探究1. 棱柱、棱锥、棱台的表面积将正方体、长方体的各个面展开到一个平面上，是什么形状？结论： ．想一想：下列几何体的侧面展开图是什么形状？直三棱柱 正四棱锥 正四棱台新知1：棱柱、棱锥、棱台的表面积就是 ． 2．圆柱、圆锥、圆台的表面积将圆柱、圆锥、圆台沿一条母线展开，得到什么图形？结论：圆柱的侧面展开图是 ；圆锥的侧面展开图是 ；圆台的侧面展开图是 ． 新知2：⑴ 设圆柱底面半径为r ，母线长为l ，则圆柱的侧面积为侧S = ， 圆柱的全面积全S = ．⑵ 设圆锥的底面半径为r ，母线长为l ，则圆锥的侧面积为侧S = ， 圆锥的全面积全S = ．⑶设圆台的上、下底面半径分别为r '、r ，母线长为l ，则圆台的侧面积为侧S = ，圆台的全面积全S = （二）典型例题例1. 已知棱长为a ，各面均为等边三角形的四面体ABC S -，求它的表面积。
例2. 一个圆台形花盆盆口直径为cm 20，盆底直径为cm 15，底部渗水圆孔直径为cm 5.1，盆壁长cm 15。
为了美化花盆的外观，需要涂油漆。
已知每平方米用100毫升油漆，涂100个这样的花盆需要多少油漆（π取14.3，结果精确到1毫升）？例3. 已知一圆锥的侧面展开图为半圆，且面积为S ，求圆锥的底面面积.例4. 在长宽高分别是5米，4米，3米的长方体房间里，一只蚂蚁要从长方体的顶点A 沿表面爬行到顶点1C ，怎样爬行路线最短？最短路程是多少?三．总结提升1.特殊几何体的侧面积公式.（1）正n 棱柱底面边长为a ，侧棱长为l ，则正棱柱的侧面积S = . （2）正n 棱锥底面边长为a ，侧棱长为l ，则正棱锥的侧面积S = . （3）正n 棱台底面边长分别为c '、c ，侧棱长为l ，则正棱台的侧面积S = . 四、反馈练习1．正方体的全面积是296()cm ，则正方体的棱长是（ ） A ．8cmB ．6cmC ．4cmD ．2cm2．圆台的上、下底面半径分别是1和3，它的侧面积是两底面面积和的2倍，则母线长是（ ） A ．2B ．3C ．4D ．53．若圆锥的轴截面是正三角形，则它的侧面积是底面积的（ ） A ．2倍B ．2倍C ．3倍D ．5倍4．圆锥的底面半径为1，高为3，则圆锥的表面积为 （ ）A ．πB ．π2C ．π3D ．π45．在正方体1111D C B A ABCD -中，三棱锥C AB D 11- 的表面积与正方体的表面积的比为 （ ） A ．3:1 B ．2:1C ．2:1D ．2:36. 直棱柱的侧面展开图是什么形状？ ．如何计算直棱柱的表面积？ ．7．圆锥的底面半径是2，母线长是3，则圆锥的表面积是 ．8．正四棱锥P ABCD -的底面边长是2，侧棱长是3，则这个棱锥的表面积是 ．A 1DCBAD 1C 1B 1BB 1AD CD 1C 1 A 1。
人教A版新课标高中数学必修二教案 《柱体、锥体、台体的表面积与体积》
柱体、锥体、台体的表面积与体积◆教材分析本节主要讲述了柱体、锥体、台体的表面积和体积公式．为此应先复习前面所学的基本立体图形的结构特征和平面表示，就可以较容易得出侧面积的公式．关于体积的教学．我们知道，几何体占有空间部分的大小，叫做几何体的体积．这里的“大小”没有比较大小的含义，而是要用具体的“数”来定量的表示几何体占据了多大的空间，因此就产生了度量体积的问题．度量体积时应知道：①完全相同的几何体，它的体积相等；②一个几何体的体积等于它的各部分体积的和．体积相等的两个几何体叫做等积体．相同的两个几何体一定是等积体，但两个等积体不一定相同．体积公式的推导是建立在等体积概念之上的．◆教学目标1．了解柱体、锥体、台体的表面积和体积计算公式（不要求记忆），提高学生的空间想象能力和几何直观能力，培养学生的应用意识，增加学生学习数学的兴趣．2．掌握简单几何体的体积与表面积的求法，提高学生的运算能力，培养学生转化、化归以及类比的能力．◆教学重难点◆教学重点：了解柱体、锥体、台体的表面积和体积计算公式及其应用．教学难点：表面积和体积计算公式的应用．◆教学过程导入新课思路1．在过去的学习中，我们已经接触过一些几何体的面积和体积的求法及公式，哪些几何体可以求出表面积和体积？（引导学生回忆，互相交流，教师归类）几何体的表面积等于它的展开图的面积，那么，柱体、锥体、台体的侧面展开图是怎样的？你能否计算？思路2．被誉为世界七大奇迹之首的胡夫大金字塔，在1889年巴黎埃菲尔铁塔落成前的四千多年的漫长岁月中，胡夫大金字塔一直是世界上最高的建筑物．在四千多年前生产工具很落后的中古时代，埃及人是怎样采集、搬运数量如此之多，每块又如此之重的巨石垒成如此宏伟的大金字塔，真是一个十分难解的谜．胡夫大金字塔是一个正四棱锥外形的建筑，塔底边长230米，塔高146．5米，你能计算建此金字塔用了多少石块吗？新知探究提出问题①在初中，我们已经学习了正方体和长方体的表面积，以及它们的展开图（图1），你知道上述几何体的展开图与其表面积的关系吗？正方体及其展开图（1）长方体及其展开图（2）图1②棱柱、棱锥、棱台也是由多个平面图形围成的几何体，它们的展开图是什么？如何计算它们的表面积？③如何根据圆柱、圆锥的几何结构特征，求它们的表面积？④联系圆柱、圆锥的侧面展开图，你能想象圆台侧面展开图的形状，并且画出它吗？如果圆台的上、下底面半径分别是r′，r，母线长为l，你能计算出它的表面积吗？⑤圆柱、圆锥和圆台的表面积之间有什么关系？活动：①学生讨论和回顾长方体和正方体的表面积公式．②学生思考几何体的表面积的含义，教师提示就是求各个面的面积的和．③让学生思考圆柱和圆锥的侧面展开图的形状．④学生思考圆台的侧面展开图的形状．⑤提示学生用动态的观点看待这个问题．讨论结果：①正方体、长方体是由多个平面图形围成的几何体，它们的表面积就是各个面的面积的和．因此，我们可以把它们展成平面图形，利用平面图形求面积的方法，求立体图形的表面积．②棱柱的侧面展开图是平行四边形，其表面积等于围成棱柱的各个面的面积的和；棱锥的侧面展开图是由多个三角形拼接成的，其表面积等于围成棱锥的各个面的面积的和；棱台的侧面展开图是由多个梯形拼接成的，其表面积等于围成棱台的各个面的面积的和．③它们的表面积等于侧面积与底面积的和，利用它们的侧面展开图来求得它们的侧面积，由于底面是圆面，其底面积直接应用圆的面积公式即得．其中，圆柱的侧面展开图是矩形，圆锥的侧面展开图是扇形．我们知道，圆柱的侧面展开图是一个矩形（图2）．如果圆柱的底面半径为r ，母线长为l ，那么圆柱的底面面积为πr 2，侧面面积为2πrl ．因此，圆柱的表面积S=2πr 2+2πrl=2πr （r+l ）．图2 图3 圆锥的侧面展开图是一个扇形（图3）．如果圆锥的底面半径为r ，母线长为l ，那么它的表面积S=πr 2+πrl=πr （r+l ）．点评：将空间图形问题转化为平面图形问题，是解决立体几何问题基本的、常用的方法． ④圆台的侧面展开图是一个扇环（图4），它的表面积等于上、下两个底面的面积和加上侧面的面积，即S=π（r 2+r′2+rl+r′l ）．图4⑤圆柱、圆锥、圆台侧面积的关系：圆柱和圆锥都可以看作是圆台退化而成的几何体．圆柱可以看作是上下底面全等的圆台，圆锥可看作是上底面退化成一点的圆台，观察它们的侧面积，不难发现：S 圆柱表=2πr （r+l ）−−−←==r r r 21S 圆台表=π（r 1l+r 2l+r 12+r 22）−−−→−==rr r 21,0S 圆锥表=πr （r+l ）． 从上面可以很清楚地看出圆柱和圆锥的侧面积公式都可以看作由圆台侧面积公式演变而来．提出问题①回顾长方体、正方体和圆柱的体积公式，你能将它们统一成一种形式吗？并依次类比出柱体的体积公式？②比较柱体、锥体、台体的体积公式：V 柱体=Sh （S 为底面积，h 为柱体的高）；V 锥体=Sh 31（S 为底面积，h 为锥体的高）； V 台体=)''(31S SS S ++h （S′，S 分别为上、下底面积，h 为台体的高）． 你能发现三者之间的关系吗？柱体、锥体是否可以看作“特殊”的台体？其体积公式是否可以看作台体体积公式的“特殊”形式？活动：①让学生思考和讨论交流长方体、正方体和圆柱的体积公式．②让学生类比圆柱、圆锥和圆台的表面积的关系？讨论结果：①棱长为a 的正方体的体积V=a 3=a 2a=Sh ；长方体的长、宽和高分别为a ，b ，c ，其体积为V=abc=（ab ）c=Sh ；底面半径为r 高为h 的圆柱的体积是V=πr 2h=Sh ，可以类比，一般的柱体的体积也是V=Sh ，其中S 是底面面积，h 为柱体的高．圆锥的体积公式是V=Sh 31（S 为底面面积，h 为高），它是同底等高的圆柱的体积的31． 棱锥的体积也是同底等高的棱柱体积的31，即棱锥的体积V=Sh 31 （S 为底面面积，h 为高）．由此可见，棱柱与圆柱的体积公式类似，都是底面面积乘高；棱锥与圆锥的体积公式类似，都是底面面积乘高的31． 由于圆台（棱台）是由圆锥（棱锥）截成的，因此可以利用两个锥体的体积差，得到圆台（棱台）的体积公式V=31（S′+S S '+S ）h ， 其中S′，S 分别为上、下底面面积，h 为圆台（棱台）高．注意：不要求推导公式，也不要求记忆．②柱体可以看作是上、下底面相同的台体，锥体可以看作是有一个底面是一个点的台体．因此柱体、锥体可以看作“特殊”的台体．当S′=0时，台体的体积公式变为锥体的体积公式；当S′=S 时，台体的体积公式变为柱体的体积公式，因此，柱体、锥体的体积公式可以看作台体体积公式的“特殊”形式．柱体和锥体可以看作由台体变化得到，柱体可以看作是上、下底面相同的台体，锥体可以看作是有一个底面是一个点的台体，因此很容易得出它们之间的体积关系，如图5：图5应用示例思路1例1 已知棱长为a ，各面均为等边三角形的四面体S —ABC （图6），求它的表面积．图6活动：回顾几何体的表面积含义和求法．分析：由于四面体S —ABC 的四个面是全等的等边三角形，所以四面体的表面积等于其中任何一个面面积的4倍．解：先求△SBC 的面积，过点S 作SD ⊥BC ，交BC 于点D ．因为BC=a ，SD=a a a BD SB 23)2(2222=-=-， 所以S △SBC =21BC·SD=2432321a a a =⨯． 因此，四面体S —ABC 的表面积S=4×22343a a =． 点评：本题主要考查多面体的表面积的求法．变式训练1．已知圆柱和圆锥的高、底面半径均分别相等．若圆柱的底面半径为r ，圆柱侧面积为S ，求圆锥的侧面积．解：设圆锥的母线长为l ，因为圆柱的侧面积为S ，圆柱的底面半径为r ，即S 圆柱侧=S ，根据圆柱的侧面积公式可得：圆柱的母线（高）长为r S π2，由题意得圆锥的高为rS π2，又圆锥的底面半径为r ，根据勾股定理，圆锥的母线长l=22)2(r S r π+，根据圆锥的侧面积公式得 S 圆锥侧=πrl=π·r·24)2(24222S r r S r +=+ππ． 2．两个平行于圆锥底面的平面将圆锥的高分成相等的三段，那么圆锥被分成的三部分的体积的比是（ ）A ．1∶2∶3B ．1∶7∶19C ．3∶4∶5D ．1∶9∶27分析：因为圆锥的高被分成的三部分相等，所以两个截面的半径与原圆锥底面半径之比为1∶2∶3，于是自上而下三个圆锥的体积之比为（h r 23π）∶［2)2(3r π·2h ］∶［2)3(3r π·3h ］=1∶8∶27，所以圆锥被分成的三部分的体积之比为1∶（8－1）∶（27－8）=1∶7∶19．答案：B3．三棱锥V —ABC 的中截面是△A 1B 1C 1，则三棱锥V —A 1B 1C 1与三棱锥A —A 1BC 的体积之比是（ ）A ．1∶2B ．1∶4C ．1∶6D ．1∶8分析：中截面将三棱锥的高分成相等的两部分，所以截面与原底面的面积之比为1∶4，将三棱锥A —A 1BC 转化为三棱锥A 1—ABC ，这样三棱锥V —A 1B 1C 1与三棱锥A 1—ABC 的高相等，底面积之比为1∶4，于是其体积之比为1∶4．答案：B例2 如图7，一个圆台形花盆盆口直径为20 cm ，盆底直径为15 cm ，底部渗水圆孔直径为1．5 cm ，盆壁长为15 cm ．为了美化花盆的外观，需要涂油漆．已知每平方米用100毫升油漆，涂100个这样的花盆需要多少毫升油漆？（π取3．14，结果精确到1毫升，可用计算器）图7活动：学生思考和讨论如何转化为数学问题．只要求出每个花盆外壁的表面积，就可以求出油漆的用量．而花盆外壁的表面积等于花盆的侧面积加上底面积，再减去底面圆孔的面积．解：如图7，由圆台的表面积公式得一个花盆外壁的表面积S=π［1522015215)215(2⨯+⨯+］-π（25.1）2≈1 000（cm 2）=0．1（m 2）． 涂100个这样的花盆需油漆：0．1×100×100=1 000（毫升）．答：涂100个这样的花盆需要1 000毫升油漆．点评：本题主要考查几何体的表面积公式及其应用．变式训练1．有位油漆工用一把长度为50 cm ，横截面半径为10 cm 的圆柱形刷子给一块面积为10 m 2的木板涂油漆，且圆柱形刷子以每秒5周的速度在木板上匀速滚动前进，则油漆工完成任务所需的时间是多少?（精确到0．01秒）解：圆柱形刷子滚动一周涂过的面积就等于圆柱的侧面积，∵圆柱的侧面积为S 侧=2πrl=2π·0．1·0．5=0．1π m 2，又∵圆柱形刷子以每秒5周匀速滚动，∴圆柱形刷子每秒滚过的面积为0．5π m 2，因此油漆工完成任务所需的时间t=ππ205.01022=m m ≈6．37秒． 点评：本题虽然是实际问题，但是通过仔细分析后，还是归为圆柱的侧面积问题．解决此题的关键是注意到圆柱形刷子滚动一周所经过的面积就相当于把圆柱的侧面展开的面积，即滚动一周所经过的面积等于圆柱的侧面积．从而使问题迎刃而解．2．已知三棱锥O —ABC 中，OA 、OB 、OC 两两垂直，OC=1，OA=x ，OB=y ，且x+y=4，则三棱锥体积的最大值是___________．分析：由题意得三棱锥的体积是61)4(612131-=-=⨯x x xy （x-2）2+32，由于x ＞0，则当x=2时，三棱锥的体积取最大值32． 答案：32 例3 有一堆规格相同的铁制（铁的密度是7．8 g/cm 3）六角螺帽（图8）共重5．8 kg ，已知底面是正六边形，边长为12 mm ，内孔直径为10 mm ，高为10 mm ，问这堆螺帽大约有多少个?（π取3．14）图8活动：让学生讨论和交流如何转化为数学问题．六角帽表示的几何体是一个组合体，在一个六棱柱中间挖去一个圆柱，因此它的体积等于六棱柱的体积减去圆柱的体积．解：六角螺帽的体积是六棱柱体积与圆柱体积的差，即V=43×122×6×10-3．14×（210）2×10≈2 956（mm 3）=2．956（cm 3）．所以螺帽的个数为5．8×1 000÷（7．8×2．956）≈252（个）．答：这堆螺帽大约有252个．点评：本题主要考查几何体的体积公式及其应用． 变式训练如图9，有个水平放置圆台形容器，上、下底面半径分别为2分米，4分米，高为5分米，现以每秒3立方分米的速度往容器里面注水，当水面的高度为3分米时，求所用的时间．（精确到0．01秒）图9解：如图10，设水面的半径为r ，则EH=r-2分米，BG=2分米，图10在△ABG 中，∵EH ∥BG ，∴BGEH AG AH =．∵AH=2分米， ∴2252-=r ．∴r=514分米． ∴当水面的高度为3分米时，容器中水的体积为V 水=π31·3［（514）2+514×4+42］=25876π立方分米， ∴所用的时间为25292325876ππ=≈36．69秒． 答：所用的时间为36．69秒．思路2例1 如图11所示，一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图为全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角边长为1，那么这个几何体的体积为（ ）图11A ．1B ．21C ．31D ．61 活动：让学生将三视图还原为实物图，讨论和交流该几何体的结构特征．分析：根据三视图，可知该几何体是三棱锥，图12所示为该三棱锥的直观图，并且侧棱PA ⊥AB ，PA ⊥AC ，AB ⊥AC ．则该三棱锥的高是PA ，底面三角形是直角三角形，所以这个几何体的体积为V=611213131=⨯⨯=∆PA S ABC ．图12答案：D点评：本题主要考查几何体的三视图和体积．给出几何体的三视图，求该几何体的体积或面积时，首先根据三视图确定该几何体的结构特征，再利用公式求得．此类题目成为新课标高考的热点，应引起重视．变式训练1．若一个正三棱柱的三视图如图13所示，则这个正三棱柱的表面积为（ ）图13A ．318B ．315C ．3824+D ．31624+分析：该正三棱柱的直观图如图14所示，且底面等边三角形的高为32，正三棱柱的高为2，则底面等边三角形的边长为4，所以该正三棱柱的表面积为3×4×2+2×21×4×32=24+38．图14答案：C2．如果一个空间几何体的正视图与侧视图均为全等的等边三角形，俯视图为一个半径为1的圆及其圆心，那么这个几何体的体积为（ ）A ．33πB ．332πC ．π3D ．3π 分析：由三视图知该几何体是圆锥，且轴截面是等边三角形，其边长等于底面直径2，则圆锥的高是轴截面等边三角形的高为3，所以这个几何体的体积为V=3331312ππ=⨯⨯⨯． 答案：A 3．已知某几何体的俯视图是如图15所示的矩形，正视图（或称主视图）是一个底边长为8、高为4的等腰三角形，侧视图（或称左视图）是一个底边长为6、高为4的等腰三角形．图15（1）求该几何体的体积V ；（2）求该几何体的侧面积S ．解：由三视图可知该几何体是一个底面边长分别为6、8的矩形，高为4的四棱锥．设底面矩形为ABCD ．如图16所示，AB=8，BC=6，高VO=4．图16（1）V=31×（8×6）×4=64． （2）设四棱锥侧面V AD 、VBC 是全等的等腰三角形，侧面V AB 、VCD 也是全等的等腰三角形，在△VBC 中，BC 边上的高为h 1=24)28(4)2(2222=+=+AB VO ， 在△V AB 中，AB 边上的高为h 2=2222)26(4)2(+=+BC VO =5． 所以此几何体的侧面积S=)582124621(2⨯⨯+⨯⨯=40+224． 点评：高考试题中对面积和体积的考查有三种方式，一是给出三视图，求其面积或体积；二是与的组合体有关的面积和体积的计算；三是在解答题中，作为最后一问．例2 图17所示的几何体是一棱长为4 cm 的正方体，若在它的各个面的中心位置上，各打一个直径为2 cm 、深为1 cm 的圆柱形的孔，求打孔后几何体的表面积是多少?（π取3．14）图17活动：因为正方体的棱长为4 cm，而孔深只有1 cm，所以正方体没有被打透．这样一来打孔后所得几何体的表面积，等于原来正方体的表面积，再加上六个完全一样的圆柱的侧面积，这六个圆柱的高为1 cm，底面圆的半径为1 cm．解：正方体的表面积为16×6=96（cm2），一个圆柱的侧面积为2π×1×1=6．28（cm2），则打孔后几何体的表面积为96＋6．28×6=133．68（cm2）．答：几何体的表面积为133．68 cm2．点评：本题主要考查正方体、圆柱的表面积．求几何体的表面积问题，通常将所给几何体分成基本的柱、锥、台，再通过这些基本柱、锥、台的表面积，进行求和或作差，从而获得几何体的表面积．本题中将几何体的表面积表达为正方体的表面积与六个圆柱侧面积的和是非常有创意的想法，如果忽略正方体没有被打透这一点，思考就会变得复杂，当然结果也会是错误的．变式训练图18所示是由18个边长为1 cm的小正方体拼成的几何体，求此几何体的表面积．图18分析：从图18中可以看出，18个小正方体一共摆了三层，第一层2个，第二层7个，因为18-7-2=9，所以第三层摆了9个．另外，上、下两个面的表面积是相同的，同样，前、后，左、右两个面的表面积也是分别相同的．解：因为小正方体的棱长是1 cm，所以上面的表面积为12×9=9（cm2），前面的表面积为12×8=8（cm2），左面的表面积为12×7=7（cm2），则此几何体的表面积为9×2+8×2+7×2=48（cm2）．答：此几何体的表面积为48 cm2．拓展提升问题：有两个相同的直三棱柱，高为a2，底面三角形的三边长分别为3a ，4a ，5a （a ＞0）．用它们拼成一个三棱柱或四棱柱，在所有可能的情形中，表面积最小的是一个四棱柱，则a 的取值范围是___________．探究：两个相同的直三棱柱并排放拼成一个三棱柱或四棱柱，有三种情况：四棱柱有一种，就是边长为5a 的边重合在一起，表面积为24a 2+28，三棱柱有两种，边长为4a 的边重合在一起，表面积为24a 2+32，边长为3a 的边重合在一起，表面积为24a 2+36，两个相同的直三棱柱竖直放在一起，有一种情况，表面积为12a 2+48，最小的是一个四棱柱，这说明24a 2+28＜12a 2+48⇒12a 2＜20⇒0＜a ＜315． 答案：0＜a ＜315 课堂小结 本节课学习了：1．柱体、锥体、台体的表面积和体积公式．2．应用体积公式解决有关问题．新课标对本节内容的要求是了解棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式（不要求记忆公式），也就是说对体积和面积公式的推导、证明和记忆不作要求，按通常的理解是会求体积和面积，以及很简单的应用即可．因此本节教学设计中就体现了这一点，没有过多地在公式的推导上“纠缠不休”，把重点放在了对公式的简单应用上．由于本节图形较多，建议在使用时，尽量结合信息技术．。
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A'
B'
D'
O'
C B A
D C'
O 第6课时 柱体、锥体、台体的体积
学习目标
1．掌握柱体、锥体、台体的体积公式
2．能运用柱体、锥体、台体的体积公式进行计算和解决有关问题.
自主梳理
1．柱、锥、台的体积公式：
问题思考与例题精讲
问题1．怎样求几何体的体积？
【例1】如图，已知正三棱台上、下底边长分别为6和12，侧棱长为4，求它的体积.
A'
B'
C B A
C'
【解析】如图，设正三棱台上、下底的重心为O 和'
O ，D 和'D 是BC 和'
'
C B 的中点
正三棱台上、下底边长分别为6和12
36,33'
'
==∴D A AD
3
921
'
=⋅⋅=∴AD BC S ，
3362
1
''''=⋅⋅=D A C B S
又343
2,3232'''
'====D A O A AD AO
俯视图正视图
侧视图
∴在直角梯形''A AOO 中，2)(2''2
''=--=AO O A AA OO
故该三棱台的体积为342)(3
1'''
=⋅++=
OO S S S S V 【点拨】要求棱台的体积，必需求出其上、下底的面积和高，棱台的高是指上、下两个底面的距离.
问题2．如何根据几何体的三视图求它的体积？
【例2】如图，一个简单空间几何体的三视图的正视图和侧视图是边
长为2的正三角形，俯视图为正方形，求它的体积.
【解析】由三视图可知，该几何体是一个底面边长为2，斜高为2的正四棱锥
∴正四棱锥的高3=h
又 它的底面积422
==S 故它的体积3
3
431=⋅=
Sh V . 【点拨】由几何体的三视图，求它的体积，关键在于把几何体还原，并确定其有关数据.
问题3．怎样利用体积公式解决有关问题？
【例3】现有一个长方体水箱，从水箱里面量得它的深是30cm ，底面的长是20cm ，宽是20cm ．设水箱里盛有深为15cm 的水，若往水箱里放入棱长为10cm 的立方体铁块，试求水深．
【分析】由于水箱是长方体的，而且原有的水能把铁块盖过，故只要求出铁块的体积就可以了.
【解析】 立方体铁块的棱长为10cm
∴它的体积为33100010cm V == ∴加入铁块后，水深增加cm h 220
251000
=⨯=
故加入铁块后，水深为cm 17152=+ 答：加入铁块后，水深为17cm.
正视图侧视图
俯视图
1
2
11
1
2
课时过关
1．若一个圆锥的轴截面为边长为2的等边三角形，则该圆锥的体积为（ ）
A ．π2
B ．π3
C ．
π2
2 D ．
π3
3 2．已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm ），可得这个几何体的体积是（ ）
A ．33
1
cm
B ．332
cm
C ．334
cm
D ．33
8
cm
3．若圆柱与圆锥的底面积相等，高也相等，它们的体积分别为21,V V ，则=21:V V （ ）
A ．1：3
B ．1：2
C ．2：1
D ．3：1
4．矩形相邻两边的长为b a ,，当它分别绕b a ,旋转一周时，所形成的几何体的体积之比为（ ）
A ．a
b
B ．b
a
C ．3
⎪⎭
⎫ ⎝⎛a b
D ．3
⎪⎭
⎫ ⎝⎛b a
5．已知几何体的三视图（如图），则该几何体的体积为
6．一个长方体共顶点的三个面的面积分别为2、4、8，则这个长方体的体积为 7．如图，一个三棱柱形容器中盛有水，且侧棱81=AA .若B B AA 11水平放置时，液面恰好过1111
,,,C B C A BC AC 的中点，则当底面ABC 水平放置时，液面的高为多少？
1
B 1
3
2
俯视图正视图2侧视图
3
3
3
8．如图，直角梯形的一个底角为45°，下底长为上底长的
2
3
，这个梯形绕下底所在直线旋转一周所成的旋转体的表面积是π)25(+，求这个旋转体的体积.
参考答案
课时过关
1．【答案】D
【解析】依题意，所求圆锥的底面半径为1，高为3
故其体积为ππ3
3
3131312=⋅⋅⋅==
Sh V . 2．【答案】C
【解析】由三视图可知，该几何体是一个底面长和高均为2cm 的三棱锥 22222
1
cm S =⨯⨯=
∴底
故它的体积为3
3
431cm h S V =⋅⋅=底.
3．【答案】D
C
D A
B
【解析】1:3:,3
1
,2121=∴==V V Sh V Sh V 4．【答案】A
【解析】矩形绕边b a ,旋转一周所得的几何体都是圆柱，设它们的体积分别为21V V ，
b a V a b V ⋅=⋅=2221,ππ a
b V V =∴
21. 5．【答案】
3
2
4 【解析】由三视图可知，该几何体是底面边长为2，高为2的正四棱锥
故其体积为3
2422312=⋅⋅=
V . 6．【答案】8
【解析】设这个长方体的长、宽、高分别为c b a ,,，依题意，得：
,842
⎪⎩
⎪
⎨⎧===ca bc ab 则64)(2
=abc
故8==abc V
7．【解析】当B B AA 11水平放置时，中截面水液面积占4
3
411=- 故水液体积与三棱柱体积的比为
4
3
当底面ABC 水平放置时，液面的高为64
3
8=⨯
. 8．【解析】设直角梯形上、下底的长分别为)0(3,2>a a a
则a AD a BC 2,=
=
该梯形绕下底所在直线旋转一周所成的旋转体如图所示的圆柱与圆锥的组合体
22222
1
a a a S ππ=⋅⋅=
圆锥侧 2422a a a S ππ=⋅=圆柱侧
2a S π=圆柱底
ππ）（）（圆柱底圆柱侧圆锥侧表2525S S S 2+=+=++=a S ，故1=a
∴所求旋转体的体积
3223
7
231a a a a a V V V πππ=⋅+⋅=+=柱锥。