2013年全国高考理科数学试题分类汇编4:数列Word版含答案

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2013年高考理科数学试卷及答案---全国卷(新课标版)word版

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2013年全国卷新课标数学(理)一、选择题:本大题共12小题,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合}5,4,3,2,1{=A ,},,|),{(A y x A y A x y x B ∈-∈∈=,则B 中所含元素的个数为A. 3B. 6C. 8D. 102. 将2名教师,4名学生分成两个小组,分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动,每个小组由一名教师和2名学生组成,不同的安排方案共有 A. 12种 B. 10种 C. 9种 D. 8种3. 下面是关于复数iz +-=12的四个命题: :1P 2||=z:2P i z 22= :3P z 的共轭复数为i +1:4P z 的虚部为1-其中的真命题为A. 2P ,3PB. 1P ,2PC. 2P ,4PD. 3P ,4P4. 设21,F F 是椭圆:E 12222=+by a x )0(>>b a 的左右焦点,P 为直线23a x =上的一点,12PF F △是底角为︒30的等腰三角形,则E 的离心率为A.21B.32 C.43 D.54 5. 已知}{n a 为等比数列,274=+a a ,865-=a a ,则=+101a aA.7B. 5C.5-D. 7-6. 如果执行右边的程序框图,输入正整数N )2(≥N 和 实数N a a a ,,,21 ,输出A ,B ,则A. B A +为N a a a ,,,21 的和B.2BA +为N a a a ,,,21 的算术平均数 C. A 和B 分别是N a a a ,,,21 中最大的数和最小的数D. A 和B 分别是N a a a ,,,21 中最小的数和最大的数7. 如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的 是某几何体的三视图,则此几何体的体积为 A. 6 B. 9 C. 12 D. 188. 等轴双曲线C 的中心在原点,焦点在x 轴上,C 与抛物线x y 162=的准线交于A ,B ,两点,34||=AB ,则的实轴长为A.2B. 22C. 4D. 89. 已知0>ω,函数)4sin()(πω+=x x f 在),2(ππ单调递减,则ω的取值范围是A. ]45,21[B. ]43,21[C. ]21,0(D. ]2,0(10. 已知函数xx x f -+=)1ln(1)(,则)(x f y =的图像大致为11. 已知三棱锥ABC S -的所有顶点都在球O 的球面上,ABC △是边长为1的正三角形,SC 为球O 的直径,且2=SC ,则此棱锥的体积为A.62 B.63 C.32 D.22 12. 设点P 在曲线xe y 21=上,点Q 在曲线)2ln(x y =上,则||PQ 的最小值为A. 2ln 1-B.)2ln 1(2- C. 2ln 1+D.)2ln 1(2+二、填空题.本大题共4小题,每小题5分.13.已知向量a ,b 夹角为︒45,且1=||a ,102=-||b a ,则=||b .14. 设y x ,满足约束条件⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≤+-≥-0031y x y x y x 则y x Z 2-=的取值范围为 .15. 某一部件由三个电子元件按下图方式连接而成,元件1或元件2正常工作,且元件3正常工作,则部件正常工作.设三个电子元件的使用寿命(单位:小时)服从正态分布)50,1000(2N ,且各元件能否正常工作互相独立,那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为 .16. 数列}{n a 满足12)1(1-=-++n a a n n n ,则}{n a项和为 . 三、解答题:解答题应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分12分) 已知a ,b ,c 分别为ABC △三个内角A ,B ,C 的对边,0sin 3cos =--+c b C a C a . (Ⅰ) 求A ;(Ⅱ) 若2=a ,ABC △的面积为3,求b ,c .18. (本小题满分12分) 某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花,然后以每枝10元的价格出售.如果当天卖不完,剩下的玫瑰花做垃圾处理.(Ⅰ) 若花店某天购进16枝玫瑰花,求当天的利润y (单位:元)关于当天需求量n (单位:枝,N n ∈)的函数解析式;(Ⅱ) 花店记录了100以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率. (ⅰ)若花店一天购进16枝玫瑰花,X 表示当天的利润(单位:元),求X 的分布列、数学期望及方差; (ⅱ)若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花,你认为应购进16枝还是17枝?请说明理由.19. (本小题满分12分)如图,直三棱柱111C B AABC -中,121AA BC AC ==,D 是棱1AA 的中点,BD DC ⊥1 (Ⅰ) 证明:BC DC ⊥1(Ⅱ) 求二面角11C BD A --的大小.20. (本小题满分12分)设抛物线:C py x 22=)0(>p 的焦点为F ,准线为l ,A 为C 上一点,已知以F 为圆心,FA 为半径的圆F 交l 于B 、D 两点(Ⅰ) 若90BFD ∠=︒,ABD △面积为24,求p 的值及圆F 的方程;(Ⅱ)若A 、B 、F 三点在同一直线m 上,直线n 与m 平行,且n 与C 只有一个公共点,求坐标原点到m ,n 的距离的比值.21. (本小题满分12分) 已知函数121()(1)(0)2x f x f ef x x -'=-+. (Ⅰ) 求)(x f 的解析式及单调区间;(Ⅱ) 若b ax x x f ++≥221)(,求b a )1(+的最大值请考生在第22、23、24题中任选一题作答,如果多做,则按所做第一题记分,作答时请写清题号. 22. (本小题满分10分)选修4—1:几何证明选讲 如图,D ,E 分别为ABC △边AB ,AC 的中点,直线DE 交ABC △的 外接圆于F ,G 两点.若AB CF //,证明: (Ⅰ) BC CD =;(Ⅱ) GBD BCD ∽△△.23. (本小题满分10分)选修4—4:坐标系与参数方程已知曲线1C 的参数方程是2cos 3sin x y ϕϕ=⎧⎨=⎩(ϕ为参数),以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线2C 的极坐标方程是2=ρ.正方形ABCD 的顶点都在2C 上,且A ,B ,C ,D 依逆时针次序排列,点A 的极坐标为)3,2(π.(Ⅰ)点A ,B ,C ,D 的直角坐标;(Ⅱ) 设P 为1C 上任意一点,求2222||||||||PD PC PB PA +++的取值范围.24. (本小题满分10分)选修4—5:不等式选讲 已知函数|2|||)(-++=x a x x f .(Ⅰ) 当3a =-时,求不等式3)(≥x f 的解集;(Ⅱ) |4|)(-≤x x f 的解集包含]2,1[,求a 的取值范围.参考答案1-12:DACCD CBCAB AB 13、 14、[]3,3-. 15、3816、1830. 17、解:(Ⅰ)由cos sin 0a C C b c --=及正弦定理可得sin cos sin sin sin 0A C A C B C --=,()sin cos sin sin sin 0A C A C A C C +-+-=,sin cos sin sin 0A C A C C --=,sin 0C >,cos 10A A --=,2sin 106A π⎛⎫∴--= ⎪⎝⎭,1sin 62A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭,0A π<< ,5666A πππ∴-<-<,66A ππ∴-=3A π∴=(Ⅱ)ABC S = △1sin 2bc A ∴==4bc ∴=, 2,3a A π==,222222cos 4a b c bc A b c bc ∴=+-=+-=, 228b c ∴+=. 解得2b c ==.18、解:(Ⅰ) ()()1080,1580,16 n n y n -≤⎧⎪=⎨≥⎪⎩(n N ∈); (Ⅱ) (ⅰ)若花店一天购进16枝玫瑰花,X 的分布列为X 的数学期望()E X =60×0.1+70×0.2+80×0.7=76,X 的方差()D X =(60-762)×0.1+(70-762)×0.2+(80-762)×0.7=44.(ⅱ)若花店计划一天购进17枝玫瑰花,XX 的数学期望()E X =55×0.1+65×0.2+75×0.16+85×0.54=76.4,因为76.4>76,所以应购进17枝玫瑰花. 19、(Ⅰ) 证明:设112AC BC AA a ===, 直三棱柱111C B A ABC -, 1DC DC ∴==, 12CC a =,22211DC DC CC ∴+=,1DC DC ∴⊥. 又1DC BD ⊥ ,1DC DC D =,1DC ∴⊥平面BDC .BC⊂ 平面BDC ,1DC BC ∴⊥.(Ⅱ)由 (Ⅰ)知,1DC =,1BC =,又已知BD DC ⊥1,BD ∴=. 在Rt ABD △中,,,90BD AD a DAB =∠= , AB ∴=.222AC BC AB ∴+=,AC BC ∴⊥.取11A B 的中点E ,则易证1C E ⊥平面1BDA ,连结DE ,则1C E ⊥BD , 已知BD DC ⊥1,BD ∴⊥平面1DC E ,BD ∴⊥DE ,1C DE ∴∠是二面角11C BD A --平面角.在1Rt C DE △中,1111sin 2C EC DE C D∠===,130C DE ∴∠= .即二面角11C BD A --的大小为30.20、解: (Ⅰ)由对称性可知,BFD △为等腰直角三角形,斜边上的高为p ,斜边长2BD p =.点A 到准线l的距离d FB FD ===.由ABD S =△,11222BD d p ⨯⨯=⨯=2p ∴=.圆F 的方程为()2218x y +-=.(Ⅱ)由对称性,不妨设点(),A A A x y 在第一象限,由已知得线段AB 是圆F 的在直径,90o ADB ∠=,2BD p ∴=,32A y p ∴=,代入抛物线:C py x 22=得A x . 直线m的斜率为3AF k ==.直线m的方程为0x =. 由py x 22= 得22x y p=,x y p '=.由3x y p '==, 3x p =.故直线n 与抛物线C的切点坐标为6p ⎫⎪⎪⎝⎭, 直线n的方程为06x -=. 所以坐标原点到m ,n3=. 21、解: (Ⅰ) 1()(1)(0)x f x f ef x -''=-+,令1x =得,(0)1f =, 再由121()(1)(0)2x f x f e f x x -'=-+,令0x =得()1f e '=. 所以)(x f 的解析式为21()2x f x e x x =-+. ()1x f x e x '=-+,易知()1x f x e x '=-+是R 上的增函数,且(0)0f '=.所以()00,()00,f x x f x x ''>⇔><⇔<所以函数)(x f 的增区间为()0,+∞,减区间为(),0-∞.(Ⅱ) 若b ax x x f ++≥221)(恒成立,即()()21()102x h x f x x ax b e a x b =---=-+-≥恒成立, ()()1x h x e a '=-+ ,(1)当10a +<时,()0h x '>恒成立, ()h x 为R 上的增函数,且当x →-∞时, ()h x →-∞,不合题意;(2)当10a +=时,()0h x >恒成立, 则0b ≤,(1)0a b +=;(3)当10a +>时, ()()1xh x e a '=-+为增函数,由()0h x '=得()ln 1x a =+, 故()()()0ln 1,()0ln 1,f x x a f x x a ''>⇔>+<⇔<+当()ln 1x a =+时, ()h x 取最小值()()()()ln 111ln 1h a a a a b +=+-++-.依题意有()()()()ln 111ln 10h a a a a b +=+-++-≥,即()()11ln 1b a a a ≤+-++, 10a +> ,()()()()22111ln 1a b a a a ∴+≤+-++,令()()22ln 0 u x x x x x =->,则()()22ln 12ln u x x x x x x x '=--=-, ()00()0u x x u x x ''>⇔<<⇔,所以当x =, ()u x取最大值2e u =.故当12a b+==时, ()1a b+取最大值2e.综上, 若baxxxf++≥221)(,则ba)1(+的最大值为2e.22、证明:(Ⅰ) ∵D,E分别为ABC△边AB,AC的中点,∴//DE BC.//CF AB,//DF BC,CF BD∴ 且=CF BD,又∵D为AB的中点,CF AD∴ 且=CF AD,CD AF∴=.//CF AB,BC AF∴=.CD BC∴=.(Ⅱ)由(Ⅰ)知,BC GF,GB CF BD∴==,BGD BDG DBC BDC∠=∠=∠=∠BCD GBD∴△∽△.23、解:(Ⅰ)依题意,点A,B,C,D的极坐标分别为.所以点A,B,C,D的直角坐标分别为、(、(1,-、1)-;(Ⅱ) 设()2cos,3sinPϕϕ,则2222||||||||PDPCPBPA+++())2212cos3sinϕϕ=-+()()222cos13sinϕϕ++-()()2212cos3sinϕϕ+--+)()222cos13sinϕϕ++--2216cos36sin16ϕϕ=++[]23220sin32,52ϕ=+∈.所以2222||||||||PD PC PB PA +++的取值范围为[]32,52.24、解:(Ⅰ) 当3a =-时,不等式3)(≥x f ⇔ |3||2|3x x -+-≥⇔ ()()2323x x x ≤⎧⎪⎨----≥⎪⎩或()()23323x x x <<⎧⎪⎨-++-≥⎪⎩或()()3323x x x ≥⎧⎪⎨-+-≥⎪⎩⇔或4x ≥.所以当3a =-时,不等式3)(≥x f 的解集为{1x x ≤或}4x ≥. (Ⅱ) ()|4|f x x ≤-的解集包含]2,1[,即|||2||4|x a x x ++-≤-对[]1,2x ∈恒成立,即||2x a +≤对[]1,2x ∈恒成立,即22a x a --≤≤-对[]1,2x ∈恒成立, 所以2122a a --≤⎧⎨-≥⎩,即30a -≤≤.所以a 的取值范围为[]3,0-.。

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三、解答题24.(2013年普通高等学校招生统一考试安徽数学(理)试题(纯WORD 版))设函数22222()1(,)23nn n x x x f x x x R n N n=-+++++∈∈ ,证明:(Ⅰ)对每个nn N ∈,存在唯一的2[,1]3n x ∈,满足()0n n f x =; (Ⅱ)对任意np N ∈,由(Ⅰ)中n x 构成的数列{}n x 满足10n n p x x n+<-<.[来源:12999数学网]【答案】解: (Ⅰ) 224232224321)(0nx x x x x x f n x y x nn n ++++++-=∴=> 是单调递增的时,当是x 的单调递增函数,也是n 的单调递增函数. 011)1(,01)0(=+-≥<-=n n f f 且.010)(],1,0(321>>>≥=∈⇒n n n n x x x x x f x ,且满足存在唯一x x x x x x x x x x x x x f x n n n -⋅++-<--⋅++-=++++++-≤∈-1141114122221)(,).1,0(2122242322 时当]1,32[0)23)(2(1141)(02∈⇒≤--⇒-⋅++-≤=⇒n n n n n n n n x x x x x x x f综上,对每个nn N ∈,存在唯一的2[,1]3n x ∈,满足()0n n f x =;(证毕) (Ⅱ) 由题知04321)(,012242322=++++++-=>>≥+n xx x x x x f x x nn n n n n n n pn n0)()1(4321)(2212242322=+++++++++++-=+++++++++++p n x n x n x x x x x x f pn pn n pn np n p n p n p n p n p n p n 上式相减:22122423222242322)()1(432432p n x n x n x x x x x n x x x x x pn p n n p n n p n p n p n p n p n nnn n n n ++++++++++=++++++++++++++ )()(2212244233222)()1(-4-3-2--p n x n x nx x x x x x x x x x pn pn n pn nnnp n np n np n np n p n n +++++++++=+++++++++ nx x n p n n p n n 1-111<⇒<+-=+. 法二:25.(2013年高考上海卷(理))(3 分+6分+9分)给定常数0c >,定义函数()2|4|||f x x c x c =++-+,数列123,,,a a a 满足*1(),n n a f a n N +=∈.(1)若12a c =--,求2a 及3a ;(2)求证:对任意*1,n n n N a a c +∈-≥,;(3)是否存在1a ,使得12,,,n a a a 成等差数列?若存在,求出所有这样的1a ,若不存在,说明理由.【答案】:(1)因为0c >,1(2)a c =-+,故2111()2|4|||2a f a a c a c ==++-+=,3122()2|4|||10a f a a c a c c ==++-+=+(2)要证明原命题,只需证明()f x x c ≥+对任意x R ∈都成立,()2|4|||f x x c x c x c x c ≥+⇔++-+≥+即只需证明2|4|||+x c x c x c ++≥++若0x c +≤,显然有2|4|||+=0x c x c x c ++≥++成立;若0x c +>,则2|4|||+4x c x c x c x c x c ++≥++⇔++>+显然成立 综上,()f x x c ≥+恒成立,即对任意的*n N ∈,1n n a a c +-≥(3)由(2)知,若{}n a 为等差数列,则公差0d c ≥>,故n 无限增大时,总有0n a > 此时,1()2(4)()8n n n n n a f a a c a c a c +==++-+=++ 即8d c =+故21111()2|4|||8a f a a c a c a c ==++-+=++, 即1112|4|||8a c a c a c ++=++++,当10a c +≥时,等式成立,且2n ≥时,0n a >,此时{}n a 为等差数列,满足题意; 若10a c +<,则11|4|48a c a c ++=⇒=--,此时,230,8,,(2)(8)n a a c a n c ==+=-+ 也满足题意; 综上,满足题意的1a 的取值范围是[,){8}c c -+∞⋃--.26.(2013年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷(数学)(已校对纯WORD 版含附加题))本小题满分10分.设数列{}122,3,3,34444n a :,-,-,-,-,-,-,,-1-1-1-1k k k k k个(),,(),即当1122k k k k n -+<≤()()()k N +∈时,11k n a k -=(-),记12n n S a a a =++ ()n N +∈,对于l N +∈,定义集合{}l P 1n n n S a n N n l +=∈≤≤是的整数倍,,且 (1)求集合11P 中元素的个数; (2)求集合2000P 中元素的个数.【答案】本题主要考察集合.数列的概念与运算.计数原理等基础知识,考察探究能力及运用数学归纳法分析解决问题能力及推理论证能力. (1)解:由数列{}n a 的定义得:11=a ,22-=a ,23-=a ,34=a ,35=a ,36=a ,47-=a ,48-=a ,49-=a ,410-=a ,511=a ∴11=S ,12-=S ,33-=S ,04=S ,35=S ,66=S ,27=S ,28-=S ,69-=S ,1010-=S ,511-=S∴111a S ∙=,440a S ∙=,551a S ∙=,662a S ∙=,11111a S ∙-= ∴集合11P 中元素的个数为5(2)证明:用数学归纳法先证)12()12(+-=+i i S i i 事实上,① 当1=i 时,3)12(13)12(-=+∙-==+S S i i 故原式成立② 假设当m i =时,等式成立,即)12()12(+∙-=+m m S m m 故原式成立 则:1+=m i ,时,2222)12(}32)(1(}1)1(2)[1()22()12()12()22()12(+-+++-=+-++==++++++m m m m m m S S S m m m m m m)32)(1()352(2++-=++-=m m m m综合①②得:)12()12(+-=+i i S i i 于是)1)(12()12()12()12(22}12(}12)[1(++=+++-=++=+++i i i i i i S S i i i i由上可知:}12(+i i S 是)12(+i 的倍数而)12,,2,1(12}12)(1(+=+=+++i j i a j i i ,所以)12()12()12(++=+++i j S S i i j i i 是)12,,2,1(}12)(1(+=+++i j a j i i 的倍数又)12)(1(}12)[1(++=++i i S i i 不是22+i 的倍数, 而)22,,2,1)(22(}12)(1(+=+-=+++i j i a j i i所以)22()1)(12()22()12)(1()12)(1(+-++=+-=+++++i j i i i j S S i i j i i 不是)22,,2,1(}12)(1(+=+++i j a j i i 的倍数故当)12(+=i i l 时,集合l P 中元素的个数为2i 1-i 231=+++)( 于是当)(1i 2j 1j )12(+≤≤++=i i l 时,集合l P 中元素的个数为j i 2+ 又471312312000++⨯⨯=)(故集合2000P 中元素的个数为100847312=+ [来源:]27.(2013年普通高等学校招生统一考试浙江数学(理)试题(纯WORD 版))在公差为d 的等差数列}{n a 中,已知101=a ,且3215,22,a a a +成等比数列.(1)求n a d ,; (2)若0<d ,求.||||||||321n a a a a ++++【答案】解:(Ⅰ)由已知得到:22221311(22)54(1)50(2)(11)25(5)a a a a d a d d d +=⇒++=+⇒+=+224112122125253404611n n d d d d d d d a n a n==-⎧⎧⇒++=+⇒--=⇒⎨⎨=+=-⎩⎩或; (Ⅱ)由(1)知,当0d<时,11n a n =-,①当111n ≤≤时,123123(1011)(21)0||||||||22n n n n n n n a a a a a a a a a +--≥∴++++=++++==②当12n ≤时,1231231112132123111230||||||||()11(2111)(21)212202()()2222n n n n a a a a a a a a a a a a n n n n a a a a a a a a ≤∴++++=++++-+++---+=++++-++++=⨯-=所以,综上所述:1232(21),(111)2||||||||21220,(12)2n n n n a a a a n n n -⎧≤≤⎪⎪++++=⎨-+⎪≥⎪⎩ ; 28.(2013年高考湖北卷(理))已知等比数列{}n a 满足:2310a a -=,123125a a a =.(I)求数列{}n a 的通项公式; (II)是否存在正整数m ,使得121111ma a a +++≥ ?若存在,求m 的最小值;若不存在,说明理由. 【答案】解:(I)由已知条件得:25a =,又2110a q -=,13q ∴=-或,所以数列{}n a 的通项或253n n a -=⨯(II)若1q =-,12111105m a a a +++=- 或,不存在这样的正整数m ; 若3q =,12111919110310mm a a a ⎡⎤⎛⎫+++=-<⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦ ,不存在这样的正整数m .29.(2013年普通高等学校招生统一考试山东数学(理)试题(含答案))设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,且424S S =,221n n a a =+. (Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式;(Ⅱ)设数列{}n b 前n 项和为n T ,且 12n n na T λ++=(λ为常数).令2n n cb =*()n N ∈.求数列{}n c 的前n 项和n R .[来源:]【答案】解:(Ⅰ)设等差数列{}n a 的首项为1a ,公差为d ,由424S S =,221n n a a =+得11114684(21)22(1)1a d a d a n a n d +=+⎧⎨+-=+-+⎩,解得,11a =,2d =因此21n a n =-*()n N ∈(Ⅱ)由题意知:12n n nT λ-=-所以2n ≥时,112122n n n n n n n b T T ----=-=-+故,1221221(1)()24n n n n n c b n ---===- *()n N ∈所以01231111110()1()2()3()(1)()44444n n R n -=⨯+⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⨯, 则12311111110()1()2()(2)()(1)()444444n nn R n n -=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⨯+-⨯ 两式相减得1231311111()()()()(1)()444444n nn R n -=+++⋅⋅⋅+--⨯ 11()144(1)()1414nn n -=---整理得1131(4)94n n n R -+=-所以数列数列{}n c 的前n 项和1131(4)94n n n R -+=-30.(2013年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷(数学)(已校对纯WORD 版含附加题))本小题满分16分.设}{n a 是首项为a ,公差为d 的等差数列)0(≠d ,n S 是其前n 项和.记cn nS b n n +=2,*N n ∈,其中c 为实数.(1)若0=c ,且421b b b ,,成等比数列,证明:k nk S n S 2=(*,N n k ∈); (2)若}{n b 是等差数列,证明:0=c .【答案】证明:∵}{n a 是首项为a ,公差为d 的等差数列)0(≠d ,n S 是其前n 项和∴d n n na S n 2)1(-+= (1)∵0=c ∴d n a n S b n n 21-+==∵421b b b ,,成等比数列 ∴4122b b b = ∴)23()21(2d a a d a +=+ ∴041212=-d ad ∴0)21(21=-d a d ∵0≠d ∴d a 21= ∴a d 2= ∴a n a n n na d n n na S n 222)1(2)1(=-+=-+=∴左边=a k n a nk S nk 222)(== 右边=a k n S n k 222= ∴左边=右边∴原式成立(2)∵}{n b 是等差数列∴设公差为1d ,∴11)1(d n b b n -+=带入cn nS b nn +=2得: 11)1(d n b -+cn nS n +=2∴)()21()21(11121131b d c n cd n d a d b n d d -=++--+-对+∈N n 恒成立 ∴⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-==+--=-0)(0021021111111b d c cd d a d b d d由①式得:d d 211=∵ 0≠d ∴ 01≠d 由③式得:0=c法二:证:(1)若0=c ,则d n a a n )1(-+=,2]2)1[(a d n n S n +-=,22)1(ad n b n +-=.当421b b b ,,成等比数列,4122b b b =,即:⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+2322d a a d a ,得:ad d 22=,又0≠d ,故a d 2=.由此:a n S n 2=,a k n a nk S nk 222)(==,a k n S n k 222=. 故:k nk S n S 2=(*,N n k ∈).(2)c n a d n n c n nS b n n ++-=+=22222)1(, c n a d n ca d n c a d n n ++--+-++-=2222)1(22)1(22)1( cn a d n ca d n ++--+-=222)1(22)1(. (※) 若}{n b 是等差数列,则Bn An b n +=型. 观察(※)式后一项,分子幂低于分母幂,故有:022)1(2=++-cn ad n c,即022)1(=+-a d n c ,而22)1(a d n +-≠0, 故0=c .经检验,当0=c 时}{n b 是等差数列.31.(2013年普通高等学校招生统一考试大纲版数学(理)WORD 版含答案(已校对))等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,已知232=S a ,且124,,S S S 成等比数列,求{}n a 的通项式.【答案】32.(2013年普通高等学校招生统一考试天津数学(理)试题(含答案))已知首项为32的等比数列{}n a 不是递减数列, 其前n 项和为(*)n S n ∈N , 且S 3 + a 3, S 5 + a 5, S 4 + a 4成等差数列. (Ⅰ) 求数列{}n a 的通项公式; (Ⅱ) 设*()1n n nT S n S ∈=-N , 求数列{}n T 的最大项的值与最小项的值. 【答案】33.(2013年高考江西卷(理))正项数列{a n }的前项和{a n }满足:222(1)()0n n s n n s n n -+--+=(1)求数列{a n }的通项公式a n ; (2)令221(2)n n b n a +=+,数列{b n }的前n 项和为n T .证明:对于任意的*n N ∈,都有564n T < 【答案】(1)解:由222(1)()0n n S n n S n n -+--+=,得2()(1)0n n S n n S ⎡⎤-++=⎣⎦.由于{}n a 是正项数列,所以20,n n S S n n >=+.于是112,2a S n ==≥时,221(1)(1)2n n n a S S n n n n n -=-=+----=.综上,数列{}n a 的通项2n a n =. (2)证明:由于2212,(2)n n nn a n b n a +==+. 则222211114(2)16(2)n n b n n n n ⎡⎤+==-⎢⎥++⎣⎦. 222222222111111111111632435(1)(1)(2)n T n n n n ⎡⎤=-+-+-++-+-⎢⎥-++⎣⎦… 222211111151(1)162(1)(2)16264n n ⎡⎤=+--<+=⎢⎥++⎣⎦.34.(2013年普通高等学校招生统一考试广东省数学(理)卷(纯WORD 版))设数列{}n a 的前n 项和为n S .已知11a =,2121233n n S a n n n +=---,*n ∈N . (Ⅰ) 求2a 的值;(Ⅱ) 求数列{}n a 的通项公式; (Ⅲ) 证明:对一切正整数n ,有1211174n a a a +++< . 【答案】.(1) 解:2121233n n S a n n n +=---,n N *∈. ∴ 当1n =时,112212221233a S a a ==---=-又11a =,24a ∴= (2)解:2121233n n S a n n n +=---,n N *∈. ∴ ()()321112122333n n n n n n S na n n n na ++++=---=-① ∴当2n ≥时,()()()111213n n n n n S n a =-+=--②由① — ②,得 ()()112211n n n n S S na n a n n -+-=---+1222n n n a S S -=-()()1211n n n a na n a n n +∴=---+111n n a a n n +∴-=+ ∴数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以首项为111a =,公差为1的等差数列.()()2111,2nn a n n a n n n∴=+⨯-=∴=≥ 当1n =时,上式显然成立. 2*,n a n n N ∴=∈ (3)证明:由(2)知,2*,n a n n N =∈ ①当1n =时,11714a =<,∴原不等式成立. ②当2n =时,121117144a a +=+<,∴原不等式亦成立. ③当3n ≥时, ()()()()221111,11n n n n n n >-⋅+∴<-⋅+ ()()()222121*********1121324211n a a a n n n n n ∴+++=+++<+++++⨯⨯-⋅-⋅+ 111111111111111121322423522211n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+-+-++-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭1111111111112132435211n n n n ⎛⎫=+-+-+-++-+- ⎪--+⎝⎭1111171117121214214n n n n ⎛⎫⎛⎫=++--=+--< ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭∴当3n ≥时,,∴原不等式亦成立.综上,对一切正整数n ,有1211174n a a a +++< . 35.(2013年高考北京卷(理))已知{a n }是由非负整数组成的无穷数列,该数列前n 项的最大值记为A n ,第n项之后各项1n a +,2n a +,的最小值记为B n ,d n =A n -B n .(I)若{a n }为2,1,4,3,2,1,4,3,,是一个周期为4的数列(即对任意n ∈N *,4n n a a +=),写出d 1,d 2,d 3,d 4的值;(II)设d 为非负整数,证明:d n =-d (n =1,2,3)的充分必要条件为{a n }为公差为d 的等差数列;(III)证明:若a 1=2,d n =1(n =1,2,3,),则{a n }的项只能是1或者2,且有无穷多项为1.【答案】(I)12341, 3.d d d d ====(II)(充分性)因为{}n a 是公差为d 的等差数列,且0d ≥,所以12.n a a a ≤≤≤≤ 因此n n A a =,1n n B a +=,1(1,2,3,)n n n d a a d n +=-=-= .(必要性)因为0(1,2,3,)n d d n =-≤= ,所以n n n n A B d B =+≤. 又因为n n a A ≤,1n n a B +≥,所以1n n a a +≤. 于是n n A a =,1n n B a +=. 因此1n n n n n a a B A d d +-=-=-=,即{}n a 是公差为d 的等差数列.(III)因为112,1a d ==,所以112A a ==,1111B A d =-=.故对任意11,1n n a B ≥≥=. 假设{}(2)n a n ≥中存在大于2的项.设m 为满足2n a >的最小正整数,则2m ≥,并且对任意1,2k k m a ≤<≤,. 又因为12a =,所以12m A -=,且2m m A a =>.于是211m m m B A d =->-=,{}1min ,2m m m B a B -=≥. 故111220m m m d A B ---=-≤-=,与11m d -=矛盾.所以对于任意1n ≥,有2n a ≤,即非负整数列{}n a 的各项只能为1或2. 因此对任意1n ≥,12n a a ≤=,所以2n A =. 故211n n n B A d =-=-=. 因此对于任意正整数n ,存在m 满足m n >,且1m a =,即数列{}n a 有无穷多项为1.36.(2013年高考陕西卷(理))设{}n a 是公比为q 的等比数列. (Ⅰ) 导{}n a 的前n 项和公式;(Ⅱ) 设q ≠1, 证明数列{1}n a +不是等比数列.【答案】解:(Ⅰ) 分两种情况讨论.①.}{111111na a a a S a a q n n =+++== 的常数数列,所以是首项为时,数列当 ②n n n n n n qa qa qa qa qS a a a a S q ++++=⇒++++=≠--1211211 时,当.上面两式错位相减:.)()()()-11123121n n n n n qa a qa qa a qa a qa a a S q -=--+-+-+=- ( q q a q qa a S n n n -1)1(.-111-=-=⇒.③综上,⎪⎩⎪⎨⎧≠--==)1(,1)1()1(,11q q q a q na S n n(Ⅱ) 使用反证法.设{}n a 是公比q ≠1的等比数列, 假设数列{1}n a +是等比数列.则①当1*+∈∃n a N n ,使得=0成立,则{1}n a +不是等比数列.②当01*≠+∈∀n a N n ,使得成立,则恒为常数=++=++-+11111111n nn n q a q a a a 1,0111111=≠⇒+=+⇒-q a q a q a n n 时当.这与题目条件q ≠1矛盾.③综上两种情况,假设数列{1}n a +是等比数列均不成立,所以当q ≠1时, 数列{1}n a +不是等比数列.。

2013年高考理科数学试题汇总解析--4数列

2013年高考理科数学试题汇总解析--4数列

2013年高考理科数学试题汇总解析4、数列1.新课标1、7、设等差数列{}n a 的前n 项和为n s ,若,3,0,211==-=+-m m m s s s 则m= (A) 3 (B)4 (C)5 (D)6解:,3,2111=-==-=++-m m m m m m s s a s s a 则公差1=d ,021=⨯+=m a a s mm m m a a a a -=⇒=+⇒110,)1(2)1(21111+⨯+-=+⨯+=+++m a a m a a s m m m m 3)1(21=+⨯=m ,5=∴m 选C 2.新课标1、12、设n n n C B A ∆的三边长分别为n n n c b a ,,,n n n C B A ∆的面积为n s , ,3,2,1=n .若111112,a c b c b =+>,2,11n n n n n a c b a a +==++,21nn n a b c +=+,则 (A){}n s 为递减数列 (B){}n s 为递增数列 (C) {}12-n s 为递增数列, {}n s 2为递减数列 (D) {}12-n s 为递减数列, {}n s 2为递增数列解:取特殊值,以111C B A Δ的边111,,c a b 顺序设边长分别是:2.5,2,1.5;则第二个三角形 三边是:1.75,2,2.25;则第三个三角形三边是:2.15,2,1.875;……周长为定值4,形状越来越接近正三角形,也就是面积越来越大.选B.另解:设a a =1,则a c b 211=+,a a n =.由已知可得n nn n n a b c c b ++=+++211 当1=n 时,a a b c c b 2211122=++=+,当2=n 时,a a bc c b 2222233=++=+当3=n 时,,,2233344 a a b c c b =++=+即 a c b n n 2=+则n n n C B A ∆顶点n A 在以)(1n B B 也就是和)(1n C C 也就是为焦点,a 2为长轴的椭圆M 上,有因为n n n n c b c b -=-++2111,即11121c b c b n n n -⎪⎭⎫ ⎝⎛=--,n b 和n c 两边的差值越来越小,顶点n A 越来越靠近椭圆M 的上(或下)顶点,n n n C B A ∆边n n C B 上高越来越大,底边n n C B 长 为定值a ,所以面积越来越大.选B. 3.新课标1、14、若数列{}n a 的前n 项和3132+=n n a s ,则{}n a 的通项公式是n a . 解:1113132a a s =+=,所以11=a ,13132222+=+=a a s ,所以22-=a1>n 时,113232---=-=n n n n n a a s s a , 12--=∴n n a a 1)2(--=∴n n a4.新课标2、(3)等比数列{a n }的前n 项和为S n ,已知12310a a s += ,a 5 = 9,则a 1=(A )31 (B )-31 (C ) 91 (D )91- 解:12321310a a a a a s +=++= 99213=⇒=⇒q a a 又919811141=⇒==a a q a ,选C. 5.新课标2、(16)等差数列{a n }的前n 项和为S n ,已知S 10=0,S 15 =25,则nS n 的最小值为________. 解:由S 10=0,S 15 =25,则09201101=+⇒=+d a a a ;5213251518=+⇒=d a a32,31=-=∴d a ,n n n n n d n n na s n 31031)1(313)1(2121-=-+-=-+= 2331031)(n n ns n f n -==,320,00320)(2==⇒=-='n n n n n f )(n f 在6≤n 时为递减,在7≥n 时为递增,所以 486310631)6(23-=-=f ,497310731)7(23-=-=f ,n ns 的最小值是-49. 6.安徽14、如图,互不-相同的点 n A A A A ,,,321和12,,,n B B B 分别在角O 的两条边上,所有n nA B 相互平行,且所有梯形11n n n n A B B A ++的面积均相等。

2013年全国高考理科数学试题分类汇编4:数列

2013年全国高考理科数学试题分类汇编4:数列

2013年全国高考理科数学试题分类汇编4:数列一、选择题1 .(2013年高考上海卷(理))在数列{}n a 中,21nn a =-,若一个7行12列的矩阵的第i 行第j 列的元素,i j i j i j a a a a a =⋅++,(1,2,,7;1,2,,12i j == )则该矩阵元素能取到的不同数值的个数为( )(A)18 (B)28 (C)48 (D)63【答案】A.2 .(2013年普通高等学校招生统一考试大纲版数学(理)WORD 版含答案(已校对))已知数列{}n a 满足12430,3n n a a a ++==-,则{}n a 的前10项和等于(A)()10613--- (B)()101139-- (C)()10313-- (D)()1031+3-【答案】C3 .(2013年高考新课标1(理))设n n n A B C ∆的三边长分别为,,n n n a b c ,n n n A B C ∆的面积为n S ,1,2,3,n = ,若11111,2b c b c a >+=,111,,22n nn nn n n n c a b a a a b c +++++===,则( )A.{S n }为递减数列B.{S n }为递增数列C.{S 2n -1}为递增数列,{S 2n }为递减数列D.{S 2n -1}为递减数列,{S 2n }为递增数列【答案】B4 .(2013年普通高等学校招生统一考试安徽数学(理)试题(纯WORD 版))函数=()y f x 的图像如图所示,在区间[],a b 上可找到(2)n n ≥个不同的数12,...,,n x x x 使得1212()()()==,n nf x f x f x x x x 则n 的取值范围是(A){}3,4 (B){}2,3,4 (C) {}3,4,5 (D){}2,3【答案】B5 .(2013年普通高等学校招生统一考试福建数学(理)试题(纯WORD 版))已知等比数列{}n a 的公比为q,记(1)1(1)2(1)...,n m n m n m n m b a a a -+-+-+=+++*(1)1(1)2(1)...(,),n m n m n m n m c a a a m n N -+-+-+=∙∙∙∈则以下结论一定正确的是( )A.数列{}n b 为等差数列,公差为m qB.数列{}n b 为等比数列,公比为2mq C.数列{}n c 为等比数列,公比为2mq D.数列{}n c 为等比数列,公比为mmq【答案】C6 .(2013年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学(理)(纯WORD 版含答案))等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,已知12310a a S +=,95=a ,则=1a(A)31 (B)31-(C)91 (D)91-【答案】C7 .(2013年高考新课标1(理))设等差数列{}n a 的前n 项和为11,2,0,3n m m m S S S S -+=-==,则m =( )A.3B.4C.5D.6【答案】C8 .(2013年普通高等学校招生统一考试辽宁数学(理)试题(WORD 版))下面是关于公差0d >的等差数列()n a 的四个命题:{}1:n p a 数列是递增数列; {}2:n p na 数列是递增数列; 3:n a p n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭数列是递增数列;{}4:3n p a nd +数列是递增数列; 其中的真命题为(A)12,p p (B)34,p p (C)23,p p (D)14,p p【答案】D9 .(2013年高考江西卷(理))等比数列x,3x+3,6x+6,..的第四项等于A.-24B.0C.12D.24【答案】A二、填空题10.(2013年高考四川卷(理))在等差数列{}n a 中,218a a -=,且4a 为2a 和3a 的等比中项,求数列{}n a 的首项、公差及前n 项和.【答案】解:设该数列公差为d ,前n 项和为n s .由已知,可得 ()()()21111228,38a d a d a d a d +=+=++.所以()114,30a d d d a +=-=,解得14,0a d ==,或11,3a d ==,即数列{}n a 的首相为4,公差为0,或首相为1,公差为3.所以数列的前n 项和4n s n =或232n n n s -=11.(2013年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学(理)(纯WORD 版含答案))等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,已知10150,25S S ==,则n nS 的最小值为________.【答案】49-12.(2013年高考湖北卷(理))古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数.如三角形数1,3,6,10,,第n 个三角形数为()2111222n n n n +=+.记第n 个k 边形数为(),N n k ()3k ≥,以下列出了部分k 边形数中第n 个数的表达式: 三角形数 ()211,322N n n n =+正方形数 ()2,4N n n = 五边形数 ()231,522N n n n =-六边形数 ()2,62N n n n =-可以推测(),N n k 的表达式,由此计算()10,24N =___________. 选考题【答案】100013.(2013年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷(数学)(已校对纯WORD 版含附加题))在正项等比数列}{n a 中,215=a ,376=+a a ,则满足n n a a a a a a 2121>+++的最大正整数n 的值为_____________. 【答案】1214.(2013年高考湖南卷(理))设n S 为数列{}n a 的前n 项和,1(1),,2nn n nS a n N *=--∈则(1)3a =_____; (2)12100S S S ++⋅⋅⋅+=___________.【答案】116-;10011(1)32-15.(2013年普通高等学校招生统一考试福建数学(理)试题(纯WORD 版))当,1x R x ∈<时,有如下表达式:211.......1n x x x x+++++=-两边同时积分得:1111122222211.......1ndx xdx x dx x dx dx x+++++=-⎰⎰⎰⎰⎰从而得到如下等式:23111111111()()...()...ln 2.2223212n n +⨯+⨯+⨯++⨯+=+ 请根据以下材料所蕴含的数学思想方法,计算:122311111111()()...()_____2223212nn n n n n n C C C C +⨯+⨯+⨯++⨯=+ 【答案】113[()1]12n n +-+ 16.(2013年普通高等学校招生统一考试重庆数学(理)试题(含答案))已知{}n a 是等差数列,11a =,公差0d ≠,n S 为其前n 项和,若125,,a a a 成等比数列,则8_____S =【答案】6417.(2013年上海市春季高考数学试卷(含答案))若等差数列的前6项和为23,前9项和为57,则数列的前n项和n =S __________.【答案】25766n n -18.(2013年普通高等学校招生统一考试广东省数学(理)卷(纯WORD 版))在等差数列{}n a 中,已知3810a a +=,则573a a +=_____.【答案】2019.(2013年高考陕西卷(理))观察下列等式:211=22123-=-2221263+-=2222124310-+-=-照此规律, 第n 个等式可为___)1(2)1-n1--32-1121-n 222+=+++n n n ()( ____.【答案】)1(2)1-n 1--32-1121-n 222+=+++n n n ()(20.(2013年高考新课标1(理))若数列{n a }的前n 项和为S n =2133n a +,则数列{n a }的通项公式是n a =______.【答案】n a =1(2)n --.21.(2013年普通高等学校招生统一考试安徽数学(理)试题(纯WORD 版))如图,互不-相同的点12,,,n A A X和12,,,n B B B 分别在角O 的两条边上,所有n n A B 相互平行,且所有梯形11n n n n A B B A ++的面积均相等.设.n n OA a =若121,2,a a ==则数列{}n a 的通项公式是_________.【答案】*,23N n n a n ∈-=22.(2013年高考北京卷(理))若等比数列{a n }满足a 2+a 4=20,a 3+a 5=40,则公比q =_______;前n 项和S n =___________.【答案】2,122n +-23.(2013年普通高等学校招生统一考试辽宁数学(理)试题(WORD 版))已知等比数列{}n a 是递增数列,nS 是{}n a 的前n 项和,若13a a ,是方程2540x x -+=的两个根,则6S =____________.【答案】63 三、解答题24.(2013年普通高等学校招生统一考试安徽数学(理)试题(纯WORD 版))设函数22222()1(,)23n nn x x x f x x x R n N n=-+++++∈∈ ,证明: (Ⅰ)对每个n n N ∈,存在唯一的2[,1]3n x ∈,满足()0n n f x =; (Ⅱ)对任意np N ∈,由(Ⅰ)中n x 构成的数列{}n x 满足10n n p x x n+<-<.【答案】解: (Ⅰ) 224232224321)(0nx x x x x x f nx y x n n n ++++++-=∴=> 是单调递增的时,当是x 的单调递增函数,也是n 的单调递增函数. 011)1(,01)0(=+-≥<-=n n f f 且.010)(],1,0(321>>>≥=∈⇒n n n n x x x x x f x ,且满足存在唯一xxx xxxx x x x x x x f x n n n -⋅++-<--⋅++-=++++++-≤∈-1141114122221)(,).1,0(2122242322 时当]1,32[0)23)(2(1141)(02∈⇒≤--⇒-⋅++-≤=⇒n n n nnn n n x x x x x x x f综上,对每个n n N ∈,存在唯一的2[,1]3n x ∈,满足()0n n f x =;(证毕)(Ⅱ) 由题知04321)(,012242322=++++++-=>>≥+nx x x x x x f x x nn n n n n n n p n n0)()1(4321)(2212242322=+++++++++++-=+++++++++++p n x n x nx x x x x x f pn pn n pn np n p n p n p n p n p n p n 上式相减:22122423222242322)()1(432432p n x n x nx x x x x nx x x x x pn pn n pn np n p n p n p n p n nn n n n n ++++++++++=++++++++++++++ )()(2212244233222)()1(-4-3-2--p n x n x nx x x x x x x x x x pn pn n pn nnnp n np n np n np n p n n +++++++++=+++++++++ nx x npn np n n 1-111<⇒<+-=+.法二:25.(2013年高考上海卷(理))(3 分+6分+9分)给定常数0c >,定义函数()2|4|||f x x c x c =++-+,数列123,,,a a a 满足*1(),n n a f a n N +=∈.(1)若12a c =--,求2a 及3a ;(2)求证:对任意*1,n n n N a a c +∈-≥,;(3)是否存在1a ,使得12,,,n a a a 成等差数列?若存在,求出所有这样的1a ,若不存在,说明理由.【答案】:(1)因为0c >,1(2)a c =-+,故2111()2|4|||2a f a a c a c ==++-+=, 3122()2|4|||10a f a a c a c c ==++-+=+(2)要证明原命题,只需证明()f x x c ≥+对任意x R ∈都成立,()2|4|||f x x c x c x c x c ≥+⇔++-+≥+即只需证明2|4|||+x c x c x c ++≥++若0x c +≤,显然有2|4|||+=0x c x c x c ++≥++成立;若0x c +>,则2|4|||+4x c x c x c x c x c ++≥++⇔++>+显然成立 综上,()f x x c ≥+恒成立,即对任意的*n N ∈,1n n a a c +-≥(3)由(2)知,若{}n a 为等差数列,则公差0d c ≥>,故n 无限增大时,总有0n a > 此时,1()2(4)()8n n n n n a f a a c a c a c +==++-+=++ 即8d c =+故21111()2|4|||8a f a a c a c a c ==++-+=++, 即1112|4|||8a c a c a c ++=++++,当10a c +≥时,等式成立,且2n ≥时,0n a >,此时{}n a 为等差数列,满足题意;若10a c +<,则11|4|48a c a c ++=⇒=--,此时,230,8,,(2)(8)n a a c a n c ==+=-+ 也满足题意; 综上,满足题意的1a 的取值范围是[,){8}c c -+∞⋃--.26.(2013年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷(数学)(已校对纯WORD 版含附加题))本小题满分10分.设数列{}122,3,3,34444n a :,-,-,-,-,-,-,,-1-1-1-1k k k k k个(),,(),即当1122k kk k n -+<≤()()()k N +∈时,11k nak -=(-),记12n n S a a a =++ ()n N+∈,对于l N+∈,定义集合{}l P 1n n n S a n N n l +=∈≤≤是的整数倍,,且 (1)求集合11P 中元素的个数; (2)求集合2000P 中元素的个数.【答案】本题主要考察集合.数列的概念与运算.计数原理等基础知识,考察探究能力及运用数学归纳法分析解决问题能力及推理论证能力. (1)解:由数列{}n a 的定义得:11=a ,22-=a ,23-=a ,34=a ,35=a ,36=a ,47-=a ,48-=a ,49-=a ,410-=a ,511=a ∴11=S ,12-=S ,33-=S ,04=S ,35=S ,66=S ,27=S ,28-=S ,69-=S ,1010-=S ,511-=S∴111a S ∙=,440a S ∙=,551a S ∙=,662a S ∙=,11111a S ∙-= ∴集合11P 中元素的个数为5(2)证明:用数学归纳法先证)12()12(+-=+i i S i i 事实上,① 当1=i 时,3)12(13)12(-=+∙-==+S S i i 故原式成立② 假设当m i =时,等式成立,即)12()12(+∙-=+m m S m m 故原式成立 则:1+=m i ,时,2222)12(}32)(1(}1)1(2)[1()22()12()12()22()12(+-+++-=+-++==++++++m m m m m m S S S m m m m m m )32)(1()352(2++-=++-=m m m m综合①②得:)12()12(+-=+i i S i i 于是)1)(12()12()12()12(22}12(}12)[1(++=+++-=++=+++i i i i i i S S i i i i由上可知:}12(+i i S 是)12(+i 的倍数而)12,,2,1(12}12)(1(+=+=+++i j i a j i i ,所以)12()12()12(++=+++i j S S i i j i i 是)12,,2,1(}12)(1(+=+++i j a j i i 的倍数又)12)(1(}12)[1(++=++i i S i i 不是22+i 的倍数, 而)22,,2,1)(22(}12)(1(+=+-=+++i j i a j i i所以)22()1)(12()22()12)(1()12)(1(+-++=+-=+++++i j i i i j S S i i j i i 不是)22,,2,1(}12)(1(+=+++i j a j i i 的倍数故当)12(+=i i l 时,集合l P 中元素的个数为2i 1-i 231=+++)(于是当)(1i 2j 1j )12(+≤≤++=i i l 时,集合l P 中元素的个数为j i 2+ 又471312312000++⨯⨯=)( 故集合2000P 中元素的个数为100847312=+27.(2013年普通高等学校招生统一考试浙江数学(理)试题(纯WORD 版))在公差为d 的等差数列}{n a 中,已知101=a ,且3215,22,a a a +成等比数列.(1)求n a d ,; (2)若0<d ,求.||||||||321n a a a a ++++【答案】解:(Ⅰ)由已知得到:22221311(22)54(1)50(2)(11)25(5)a a a a d a d d d +=⇒++=+⇒+=+224112122125253404611n n d d d dd dd a n a n==-⎧⎧⇒++=+⇒--=⇒⎨⎨=+=-⎩⎩或; (Ⅱ)由(1)知,当0d <时,11n a n =-, ①当111n ≤≤时,123123(1011)(21)0||||||||22n n n n n n n a a a a a a a a a +--≥∴++++=++++==②当12n ≤时,1231231112132123111230||||||||()11(2111)(21)212202()()2222n n n n a a a a a a a a a a a a n n n n a a a a a a a a ≤∴++++=++++-+++---+=++++-++++=⨯-=所以,综上所述:1232(21),(111)2||||||||21220,(12)2n n n n a a a a n n n -⎧≤≤⎪⎪++++=⎨-+⎪≥⎪⎩ ; 28.(2013年高考湖北卷(理))已知等比数列{}n a 满足:2310a a -=,123125a a a =.(I)求数列{}n a 的通项公式; (II)是否存在正整数m ,使得121111ma a a +++≥ ?若存在,求m 的最小值;若不存在,说明理由.【答案】解:(I)由已知条件得:25a =,又2110a q -=,13q ∴=-或,所以数列{}n a 的通项或253n n a -=⨯(II)若1q =-,12111105ma a a +++=-或,不存在这样的正整数m ;若3q =,12111919110310mma a a ⎡⎤⎛⎫+++=-<⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦,不存在这样的正整数m . 29.(2013年普通高等学校招生统一考试山东数学(理)试题(含答案))设等差数列{}na的前n 项和为n S ,且424S S =,221n n a a =+. (Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式;(Ⅱ)设数列{}n b 前n 项和为n T ,且 12n n na T λ++=(λ为常数).令2n n cb =*()n N ∈.求数列{}n c 的前n项和n R .【答案】解:(Ⅰ)设等差数列{}n a 的首项为1a ,公差为d ,由424S S =,221n n a a =+得11114684(21)22(1)1a d a d a n a n d +=+⎧⎨+-=+-+⎩,解得,11a =,2d = 因此21n a n =-*()n N ∈(Ⅱ)由题意知:12n n n T λ-=-所以2n ≥时,112122n n n n n n n b T T ----=-=-+故,1221221(1)()24n n n n n c b n ---===- *()n N ∈所以01231111110()1()2()3()(1)()44444n n R n -=⨯+⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⨯, 则12311111110()1()2()(2)()(1)()444444n nn R n n -=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⨯+-⨯ 两式相减得1231311111()()()()(1)()444444n n n R n -=+++⋅⋅⋅+--⨯ 11()144(1)()1414nnn -=---整理得1131(4)94n n n R -+=-所以数列数列{}n c 的前n 项和1131(4)94n n n R -+=-30.(2013年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷(数学)(已校对纯WORD 版含附加题))本小题满分16分.设}{n a 是首项为a ,公差为d 的等差数列)0(≠d ,n S 是其前n 项和.记cn nS b n n +=2,*N n ∈,其中c为实数.(1)若0=c ,且421b b b ,,成等比数列,证明:k nk S n S 2=(*,N n k ∈); (2)若}{n b 是等差数列,证明:0=c .【答案】证明:∵}{n a 是首项为a ,公差为d 的等差数列)0(≠d ,n S 是其前n 项和∴d n n na S n 2)1(-+=(1)∵0=c ∴d n a nS b n n 21-+==∵421b b b ,,成等比数列 ∴4122b b b = ∴)23()21(2d a a d a +=+∴041212=-dad ∴0)21(21=-d a d ∵0≠d ∴d a 21=∴a d 2=∴a n a n n na d n n na S n 222)1(2)1(=-+=-+=∴左边=a k n a nk S nk 222)(== 右边=a k n S n k 222= ∴左边=右边∴原式成立(2)∵}{n b 是等差数列∴设公差为1d ,∴11)1(d n b b n -+=带入cn nS b n n +=2得:11)1(d n b -+cn nS n +=2∴)()21()21(11121131b d c n cd n d a d b n d d -=++--+-对+∈N n 恒成立∴⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-==+--=-0)(0021021111111b d c cd d a d b d d由①式得:d d 211=∵ 0≠d ∴ 01≠d由③式得:0=c法二:证:(1)若0=c ,则d n a a n )1(-+=,2]2)1[(a d n n S n +-=,22)1(ad n b n +-=.当421b b b ,,成等比数列,4122b b b =,即:⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+2322d a a d a ,得:ad d 22=,又0≠d ,故a d 2=.由此:a n S n 2=,a k n a nk S nk 222)(==,a k n S n k 222=. 故:k nk S n S 2=(*,N n k ∈).(2)cn ad n n cn nS b n n ++-=+=22222)1(,cn ad n ca d n cad n n ++--+-++-=2222)1(22)1(22)1(cn ad n c ad n ++--+-=222)1(22)1(. (※)若}{n b 是等差数列,则Bn An b n +=型. 观察(※)式后一项,分子幂低于分母幂,故有:022)1(2=++-cn ad n c,即022)1(=+-ad n c,而22)1(ad n +-≠0,故0=c .经检验,当0=c 时}{n b 是等差数列.31.(2013年普通高等学校招生统一考试大纲版数学(理)WORD 版含答案(已校对))等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,已知232=S a ,且124,,S S S 成等比数列,求{}n a 的通项式.【答案】32.(2013年普通高等学校招生统一考试天津数学(理)试题(含答案))已知首项为32的等比数列{}n a 不是递减数列, 其前n 项和为(*)n S n ∈N , 且S 3 + a 3, S 5 + a 5, S 4 + a 4成等差数列. (Ⅰ) 求数列{}n a 的通项公式; (Ⅱ) 设*()1nn nT S n S ∈=-N , 求数列{}n T 的最大项的值与最小项的值.【答案】33.(2013年高考江西卷(理))正项数列{a n }的前项和{a n }满足:222(1)()0n n s n n s n n -+--+=(1)求数列{a n }的通项公式a n ; (2)令221(2)n n b n a+=+,数列{b n }的前n 项和为n T .证明:对于任意的*n N ∈,都有564n T <【答案】(1)解:由222(1)()0n n S n n S n n -+--+=,得2()(1)0n n S n n S ⎡⎤-++=⎣⎦. 由于{}n a 是正项数列,所以20,n n S S n n >=+.于是112,2a S n ==≥时,221(1)(1)2n n n a S S n n n n n -=-=+----=. 综上,数列{}n a 的通项2n a n =. (2)证明:由于2212,(2)n n nn a n b n a +==+.则222211114(2)16(2)n n b n n n n ⎡⎤+==-⎢⎥++⎣⎦.222222222111111111111632435(1)(1)(2)n T n n n n ⎡⎤=-+-+-++-+-⎢⎥-++⎣⎦ (2222)11111151(1)162(1)(2)16264n n ⎡⎤=+--<+=⎢⎥++⎣⎦.34.(2013年普通高等学校招生统一考试广东省数学(理)卷(纯WORD 版))设数列{}n a 的前n 项和为n S .已知11a =,2121233n n S a n n n+=---,*n ∈N .(Ⅰ) 求2a 的值;(Ⅱ) 求数列{}n a 的通项公式; (Ⅲ) 证明:对一切正整数n ,有1211174na a a +++<.【答案】.(1) 解:2121233n n S a n n n+=---,n N *∈.∴ 当1n =时,112212221233a S a a ==---=-又11a =,24a ∴= (2)解:2121233n n S a n n n+=---,n N *∈.∴ ()()321112122333n n n n n n S na n n n na ++++=---=-①∴当2n ≥时,()()()111213n n n n n S n a =-+=--②由① — ②,得 ()()112211n n n n S S na n a n n -+-=---+1222n n n a S S -=-()()1211n n n a na n a n n +∴=---+ 111n na a n n +∴-=+ ∴数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以首项为111a =,公差为1的等差数列. ()()2111,2n n a n n a n n n∴=+⨯-=∴=≥当1n =时,上式显然成立. 2*,n a n n N ∴=∈ (3)证明:由(2)知,2*,n a n n N =∈①当1n =时,11714a =<,∴原不等式成立.②当2n =时,121117144a a +=+<,∴原不等式亦成立.③当3n ≥时, ()()()()221111,11n n n nn n >-⋅+∴<-⋅+()()()2221211111111111121324211na a a nn n n n ∴+++=+++<+++++⨯⨯-⋅-⋅+111111111111111121322423522211n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+-+-++-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭1111111111112132435211n n n n ⎛⎫=+-+-+-++-+- ⎪--+⎝⎭ 1111171117121214214n n n n ⎛⎫⎛⎫=++--=+--< ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭ ∴当3n ≥时,,∴原不等式亦成立.综上,对一切正整数n ,有1211174na a a +++<.35.(2013年高考北京卷(理))已知{a n }是由非负整数组成的无穷数列,该数列前n 项的最大值记为A n ,第n项之后各项1n a +,2n a +,的最小值记为B n ,d n =A n -B n .(I)若{a n }为2,1,4,3,2,1,4,3,,是一个周期为4的数列(即对任意n ∈N *,4n n a a +=),写出d 1,d 2,d 3,d 4的值; (II)设d 为非负整数,证明:d n =-d (n =1,2,3)的充分必要条件为{a n }为公差为d 的等差数列; (III)证明:若a 1=2,d n =1(n =1,2,3,),则{a n }的项只能是1或者2,且有无穷多项为1.【答案】(I)12341, 3.d d d d ====(II)(充分性)因为{}n a 是公差为d 的等差数列,且0d ≥,所以12.n a a a ≤≤≤≤ 因此n n A a =,1n n B a +=,1(1,2,3,)n n n d a a d n +=-=-= . (必要性)因为0(1,2,3,)n d d n =-≤= ,所以n n n n A B d B =+≤. 又因为n n a A ≤,1n n a B +≥,所以1n n a a +≤. 于是n n A a =,1n n B a +=. 因此1n n n n n a a B A d d +-=-=-=,即{}n a 是公差为d 的等差数列.(III)因为112,1a d ==,所以112A a ==,1111B A d =-=.故对任意11,1n n a B ≥≥=. 假设{}(2)n a n ≥中存在大于2的项.设m 为满足2n a >的最小正整数,则2m ≥,并且对任意1,2k k m a ≤<≤,. 又因为12a =,所以12m A -=,且2m m A a =>.于是211m m m B A d =->-=,{}1min ,2m m m B a B -=≥. 故111220m m m d A B ---=-≤-=,与11m d -=矛盾.所以对于任意1n ≥,有2n a ≤,即非负整数列{}n a 的各项只能为1或2. 因此对任意1n ≥,12n a a ≤=,所以2n A =. 故211n n n B A d =-=-=. 因此对于任意正整数n ,存在m 满足m n >,且1m a =,即数列{}n a 有无穷多项为1.36.(2013年高考陕西卷(理))设{}n a 是公比为q 的等比数列. (Ⅰ) 导{}n a 的前n 项和公式;(Ⅱ) 设q ≠1, 证明数列{1}na +不是等比数列.【答案】解:(Ⅰ) 分两种情况讨论.①.}{111111na a a a S a a q n n =+++== 的常数数列,所以是首项为时,数列当 ②n n n n n n qa qa qa qa qS a a a a S q ++++=⇒++++=≠--1211211 时,当.上面两式错位相减: .)()()()-11123121n n n n n qa a qa qa a qa a qa a a S q -=--+-+-+=- (qq a qqa a S nnn -1)1(.-111-=-=⇒.③综上,⎪⎩⎪⎨⎧≠--==)1(,1)1()1(,11q qq a q na S n n(Ⅱ) 使用反证法.设{}n a 是公比q ≠1的等比数列, 假设数列{1}n a +是等比数列.则①当1*+∈∃n a N n ,使得=0成立,则{1}n a +不是等比数列.②当01*≠+∈∀n a N n ,使得成立,则恒为常数=++=++-+11111111n nn n qa q a a a1,0111111=≠⇒+=+⇒-q a qa q a n n 时当.这与题目条件q ≠1矛盾.③综上两种情况,假设数列{1}n a +是等比数列均不成立,所以当q ≠1时, 数列{1}na +不是等比数列.。

2013年高考理科数学大纲卷-答案

2013年高考理科数学大纲卷-答案

【答案】B【解析】(1,1)m λ=+,(2,2)n λ=+(2m n λ∴+=+,(1,m n -=--)()()m n m n +⊥-,()()0m n m n +-==0【提示】给出两个向量,利用向量的坐标运算,再根据向量的垂直的性质求值【考点】向量的坐标运算【解析】原函数的定义域为1220PA PA y k x =.2[PA k ∈-【提示】设0(,x y P 34.利用斜率计算公式可得12PA k ,再利用已.函数1AC C =,所以1CC O 内作1BDC O O =,所以DH ,则DH 1=,AB 3CD1BDC O O =1122(2,2)(2,2)(MA MB x y x y =+-+-=将上面各个量代入,化简得利用1122(2,2)(2,2)0MA MB x y x y =+-+-=【考点】直线与抛物线的位置关系,平面向量的坐标运算 sin 2(1x x =3342 45480A=(种).直线2260.= KOM中,360的表面积为4πR 4120.(Ⅱ)由(Ⅰ)知60,所以2sin sin A BDOP O =所以因为O 是BD 的中点,E 是BC 的中点,所以OE CD ∥.因此PB CD ⊥.PB PO P =,故CD ,FG PD ⊥为坐标原点,OE 的方向为的空间直角坐标系||2AB =,则(0,0,2).(22,PC =,(0,PD =-(2,0,AP =,(2,AD =设平面PCD 的法向量为1(,,n x y z =则1(,)(22,2,n x y PC =-,1(,,)(0,2,2)n PD x y z =--=0z =,1y =-,得0,1z =,故1(0,1,1)n =-. 的法向量为2(,n m p =22(,)(2,0,2)n m p AP =,22(,)(2,2,0)n m D p A =-0=,1,得1p =,1=-,故2(1,1,n =-, 1212126,3||||n n n n n n <>==-12,n n <>等于二面角A PD -312A A ,121())(P A A A P A =123)(B B A P B =131)(B B P B =009()1122()()8P X P X P X ===++=.2|||=3(BF x 22|BF AB =2与C 的两个交点间的距离为11 / 11。

2013年高考全国Ⅰ理科数学试题及答案(word解析版)

2013年高考全国Ⅰ理科数学试题及答案(word解析版)

2013年普通高等学校招生全国统一考试(全国Ⅰ)数学(理科)第Ⅰ卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.(1)【2013年全国Ⅰ,理1,5分】已知集合{}{2|20,|A x x x B x x =->=<,则( ) (A )A B =∅ (B )A B =R (C )B A ⊆ (D )A B ⊆ 【答案】B【解析】∵2()0x x ->,∴0x <或2x >.由图象可以看出A B =R ,故选B . (2)【2013年全国Ⅰ,理2,5分】若复数z 满足(34i)|43i |z -=+,则z 的虚部为( )(A )4- (B )45- (C )4 (D )45【答案】D【解析】∵(34i)|43i |z -=+,∴55(34i)34i 34i (34i)(34i)55z +===+--+.故z 的虚部为45,故选D . (3)【2013年全国Ⅰ,理3,5分】为了解某地区的中小学生视力情况,拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查,事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异,而男女生视力情况差异不大,在下面的抽样方法中,最合理的抽样方法是( )(A )简单随机抽样 (B )按性别分层抽样 (C )按学段分层抽样 (D )系统抽样 【答案】C【解析】因为学段层次差异较大,所以在不同学段中抽取宜用分层抽样,故选C .(4)【2013年全国Ⅰ,理4,5分】已知双曲线C :()2222=10,0x y a b a b->>C 的渐近线方程为( )(A )14y x =± (B )13y x =± (C )12y x =± (D )y x =±【答案】C【解析】∵c e a ==,∴22222254c a b e a a +===.∴224a b =,1=2b a ±. ∴渐近线方程为12b y x x a =±±,故选C .(5)【2013年全国Ⅰ,理5,5分】执行下面的程序框图,如果输入的[]1,3t ∈-,则输出的s 属于( ) (A )[3,4]- (B )[5,2]- (C )[4,3]- (D )[2,5]- 【答案】D【解析】若[)1,1t ∈-,则执行3s t =,故[)3,3s ∈-.若[]1,3t ∈,则执行24s t t =-,其对称轴为2t =.故当2t =时,s 取得最大值4.当1t =或3时,s 取得最小值3,则[]3,4s ∈. 综上可知,输出的[]3,4s ∈-,故选D .(6)【2013年全国Ⅰ,理6,5分】如图,有一个水平放置的透明无盖的正方体容器,容器高8cm , 将一个球放在容器口,再向容器内注水,当球面恰好接触水面时测得水深为6cm ,如果不计容器的厚 度,则球的体积为( )(A )35003cm π (B )38663cm π (C )313723cm π(D )320483cm π【答案】B【解析】设球半径为R ,由题可知R ,2R -,正方体棱长一半可构成直角三角形,即OBA ∆为直角三角形,如图,2BC =,4BA =,2OB R =-,OA R =,由()22224R R =-+,得5R =,所以球的体积为34500533ππ=(cm 3),故选B .(7)【2013年全国Ⅰ,理7,5分】设等差数列{}n a 的前n 项和为11,2,0,3n m m m S S S S -+=-==,则m =( )(A )3(B )4 (C )5 (D )6【答案】C 【解析】∵12m S -=-,0m S =,13m S +=,∴()1022m m m a S S -=-=--=,11303m m m a S S ++=-=-=.∴1321m m d a a +=-=-=.∵()11102m m m S ma -=+⨯=,∴112m a -=-. 又∵1113m a a m +=+⨯=,∴132m m --+=.∴5m =,故选C . (8)【2013年全国Ⅰ,理8,5分】某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( ) (A )168π+ (B )88π+ (C )1616π+ (D )816π+ 【答案】A【解析】由三视图可知该几何体为半圆柱上放一个长方体,由图中数据可知圆柱底面半径2r =,长为4,在长方体中,长为4,宽为2,高为2,所以几何体的体积为24422816r ππ⨯⨯+⨯⨯=+,故选A .(9)【2013年全国Ⅰ,理9,5分】设m 为正整数,()2m x y +展开式的二项式系数的最大值为a , ()21m x y ++展开式的二项式系数的最大值为b ,若137a b =,则m =( )(A )5 (B )6 (C )7 (D )8 【答案】B【解析】由题意可知,2m m a C =,21mm b C +=,又∵137a b =,∴2!21!13=7!!!1!m m m m m m ()(+)⋅⋅(+),即132171m m +=+.解得6m =,故选B .(10)【2013年全国Ⅰ,理10,5分】已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的右焦点为(3,0)F ,过点F 的直线交椭圆于,A B 两点.若AB 的中点坐标为(1,1)-,则E 的方程为( ) (A )2214536x y +=(B )2213627x y += (C )2212718x y += (D )221189x y +=【答案】D【解析】设11()A x y ,,22()B x y ,,∵A ,B 在椭圆上,∴2211222222221,1,x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩①②,①-②,得 1212121222=0x x x x y y y y a b (+)(-)(+)(-)+,即2121221212=y y y y b a x x x x (+)(-)-(+)(-), ∵AB 的中点为()1,1-,∴122y y +=-,122x x +=,而1212011=312AB y y k x x --(-)==--, ∴221=2b a .又∵229a b -=,∴218a =,29b =.∴椭圆E 的方程为22=1189x y +,故选D . (11)【2013年全国Ⅰ,理11,5分】已知函数()()220ln 10x x x f x x x ⎧-+≤⎪=⎨+>⎪⎩,若()f x a x ≥|,则a 的取值范围是( ) (A )(],0-∞ (B )(],1-∞ (C )[2,1]- (D )[2,0]-【答案】D【解析】由()y f x =的图象知:①当0x >时,y ax =只有0a ≤时,才能满足()f x ax ≥,可排除B ,C .②当0x ≤时,()2222y f x x x x x ==-+=-.故由()f x ax ≥得 22x x ax -≥.当0x =时,不等式为00≥成立.当0x <时,不等式等价于2x a -≤.∵22x -<-,∴2a ≥-.综上可知:[]2,0a ∈-,故选D .(12)【2013年全国Ⅰ,理12,5分】设n n n A B C ∆的三边长分别为n a ,n b ,n c ,n n n A B C ∆的面积为n S ,1,2,3.n =⋯,若11b c >,1112b c a +=,1n n a a +=,12n n n c a b ++=,12n nn b a c ++=,则( )(A ){}n S 为递减数列 (B ){}n S 为递增数列(C ){}21n S -为递增数列,{}2n S 为递减数列 (D ){}21n S -为递减数列,{}2n S 为递增数列 【答案】B第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题~第(21)题为必考题,每个试题考生都必须作答.第(22)题~第(24)题为选考题,考生根据要求作答. 二、填空题:本大题共4小题,每小题5分(13)【2013年全国Ⅰ,理13,5分】已知两个单位向量a ,b 的夹角为60°,()1t t =+-c a b .若·0=b c ,则t = . 【答案】2【解析】∵()1t t =+-c a b ,∴()2··1t t =+-bc ab b .又∵1==a b ,且a 与b 夹角为60°,⊥b c , ∴()0 601t cos t =︒+-a b ,1012t t =+-.∴2t =.(14)【2013年全国Ⅰ,理14,5分】若数列{}n a 的前n 项和2133n n S a =+,则{}n a 的通项公式是n a = .【答案】()12n --【解析】∵2133n n S a =+,① ∴当2n ≥时,112133n n S a --=+.② ①-②,得12233n n n a a a -=-,即12n n aa -=-.∵1112133a S a ==+,∴11a =.∴{}n a 是以1为首项,-2为公比的等比数列,()12n n a -=-.(15)【2013年全国Ⅰ,理15,5分】设当x θ=时,函数()2f x sinx cosx =-取得最大值,则cos θ= .【答案】 【解析】()s 2x f x sinx cosx x ⎫⎪==⎭-,令cos α=,sin α=,则()()f x x α=+,当22()x k k ππα=+-∈Z 时,()sin x α+有最大值1,()f x,即22()k k πθπα=+-∈Z ,所以cos θ=πcos =cos 2π+cos sin 22k πθααα⎛⎫⎛⎫-=-=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(16)【2013年全国Ⅰ,理16,5分】若函数()()()221f x x x ax b =-++的图像关于直线2x =-对称,则()f x 的最大值为 .【答案】16【解析】∵函数()f x 的图像关于直线2x =-对称,∴()f x 满足()()04f f =-,()()13f f -=-,即151640893b a b a b =-(-+)⎧⎨=-(-+)⎩,得815a b =⎧⎨=⎩∴()432814815f x x x x x =---++.由()324242880f x x x x '=---+=,得12x =-22x =-,32x =-.易知,()f x在(,2-∞-上为增函数,在()22--上为减函数,在(2,2--上为增函数,在()2-+-∞上为减函数.∴(((((222122821588806416f ⎡⎤⎡⎤-=---+-+=---=-=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦.()()()()()22212282153416915f ⎡⎤⎡-=---+⨯⎤==-⎣⎦⎣⎦-+--+(((((222122821588806416f ⎡⎤⎡⎤-=---++-++=-++=-=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦.故f (x )的最大值为16.三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.(17)【2013年全国Ⅰ,理17,12分】如图,在ABC ∆中,90ABC ∠=︒,AB =,1BC =,P为ABC ∆内一点,90BPC ∠=︒.(1)若12PB =,求PA ;(2)若150APB ∠=︒,求tan PBA ∠.解:(1)由已知得60PBC ∠=︒,30PBA ∴∠=︒.在PBA ∆中,由余弦定理得211732cos 30424PA =+-︒=.故PA =(2)设PBA α∠=,由已知得sin PB α=.在PBA ∆sin sin(30)αα=︒-,4sin αα=.所以tan α,即tan PBA ∠= (18)【2013年全国Ⅰ,理18,12分】如图,三棱柱111ABC A B C -中,CA CB =,1AB AA =,160BAA ∠=︒. (1)证明:1AB A C ⊥;(2)若平面ABC ⊥平面11AA B B ,AB CB =,求直线1A C 与平面11BB C C 所成角的正弦值.解:(1)取AB 的中点O ,连结OC ,1OA ,1A B .因为CA CB =,所以OC AB ⊥.由于1AB AA =,160BAA ∠=︒,故1AA B ∆为等边三角形,所以1OA AB ⊥.因为1OC OA O = ,所以AB ⊥平面1OA C . 又1A C 平面1OA C ,故1AB A C ⊥.(2)由(1)知OC AB ⊥,1OA AB ⊥.又平面ABC ⊥平面11AA B B ,交线为AB ,所以OC ⊥平面11AA B B ,故OA ,1OA ,OC 两两相互垂直.以O 为坐标原点,OA 的方向为x 轴的正方向,OA为单位长,建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -.由题设知()1,0,0A,1()0A ,(0,0C ,()1,0,0B -.则(1,03BC =,11()BB AA =-=,(10,A C = .设()n x y z =,,是平面11BB C C 的法向量,则100BC BB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n即0x x ⎧=⎪⎨-=⎪⎩可取1)n =-.故111cos ,n AC n AC n AC ⋅==⋅ .所以1A C 与平面11BB C C. (19)【2013年全国Ⅰ,理19,12分】一批产品需要进行质量检验,检验方案是:先从这批产品中任取4件作检验,这4件产品中优质品的件数记为n .如果n =3,再从这批产品中任取4件作检验,若都为优质品,则这批产品通过检验;如果n =4,再从这批产品中任取1件作检验,若为优质品,则这批产品通过检验;其他情况下,这批产品都不能通过检验.假设这批产品的优质品率为50%,即取出的每件产品是优质品的概率都为12,且各件产品是否为优质品相互独立.(1)求这批产品通过检验的概率;(2)已知每件产品的检验费用为100元,且抽取的每件产品都需要检验,对这批产品作质量检验所需的费用记为X (单位:元),求X 的分布列及数学期望.解:(1)设第一次取出的4件产品中恰有3件优质品为事件1A ,第一次取出的4件产品全是优质品为事件2A ,第二次取出的4件产品都是优质品为事件1B ,第二次取出的1件产品是优质品为事件2B ,这批产品通过检验为事件A ,依题意有()()1122A A B A B = ,且11A B 与22A B 互斥,所以 ()()()()()()()112211122241113||161616264P A P A B P A B P A P B A P A P B A ==⨯++⨯==+.(2)X 可能的取值为400,500,800,并且()41114001161616P X ==--=,()500116P X ==,()80140P X ==. 所以X 的分布列为()111400+500+800506.2516164E X =⨯⨯⨯=. (20)【2013年全国Ⅰ,理20,12分】已知圆()2211M x y ++=:,圆()2219N x y -+=:,动圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切,圆心P 的轨迹为曲线C .(1)求C 的方程;(2)l 是与圆P ,圆M 都相切的一条直线,l 与曲线C 交于A ,B 两点,当圆P 的半径最长时,求AB . 解:由已知得圆M 的圆心为()1,0M -,半径11r =;圆N 的圆心为()1,0N ,半径23r =.设圆P 的圆心为(),P xy ,半径为R .(1)因为圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切,所以()()12124PM PN R r r R r r +=++-=+=.由椭圆的定义可知,曲线C 是以M ,N 为左、右焦点,长半轴长为2(左顶点除外),其方程为()22=1243x y x +≠-.(2)对于曲线C 上任意一点()P x y ,,由于222PM PN R -=-≤,所以2R ≤,当且仅当圆P 的圆心为()2,0时,2R =.所以当圆P 的半径最长时,其方程为()2224x y -+=.若l 的倾斜角为90︒,则l 与y 轴重 合,可得AB =l 的倾斜角不为90︒,由1r R ≠知l 不平行于x 轴,设l 与x 轴的交点为Q ,则1||||QP R QM r =,可求得()4,0Q -,所以可设()4l y k x =+:.由l 与圆M ,解得k =. 当k =时,将y =+22=13x y +,并整理得27880x x +-=,解得1,2x =. 2118|7AB x x =-=.当k =时,由图形对称性可知187AB =.综上,AB =187AB =. (21)【2013年全国Ⅰ,理21,12分】设函数()2f x x ax b =++,()()x g x e cx d =+.若曲线()y f x =和曲线()y g x =都过点()0,2P ,且在点P 处有相同的切线42y x =+.(1)求a ,b ,c ,d 的值;(2)若2x ≥-时,()()f x kg x ≤,求k 的取值范围.解:(1)由已知得()02f =,()02g =,()04f '=,()04g '=.而()2f x x a '=+,()()x g x e cx d c '=++, 故2b =,2d =,4a =,4d c +=.从而4a =,2b =,2c =,2d =. (2)由(1)知,()242f x x x =++,()()21x g x e x =+.设函数()()()()22142x F x kg x f x ke x x x =-=+---,()()()()2224221x x F x ke x x x ke '=+--=+-.()00F ≥ ,即1k ≥.令()0F x '=得1ln x k =-,22x =-. ①若21k e ≤<,则120x -<≤.从而当12()x x ∈-,时,()0F x '<;当1()x x ∈+∞,时,()0F x '>. 即()F x 在1(2)x -,单调递减,在1()x +∞,单调递增.故()F x 在[)2-+∞,的最小值为()1F x . 而()()11111224220F x x x x x =+---=-+≥.故当2x ≥-时,()0F x ≥,即()()f x kg x ≤恒成立. ②若2k e =,则()()()2222x F x e x e e -'=+-.∴当2x >-时,()0F x '>,即()F x 在()2-+∞,单调递增. 而()20F -=,故当2x ≥-时,()0F x ≥,即()()f x kg x ≤恒成立. ③若2k e >,则()()22222220F k eek e ---=-+=--<.从而当2x ≥-时,()()f x kg x ≤不可能恒成立.综上,k 的取值范围是2[1]e ,. 请考生在(22)、(23)、(24)三题中任选一题作答.注意:只能做所选定的题目.如果多做,则按所做第一个题目计分,做答时,请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.(22)【2013年全国Ⅰ,理22,10分】(选修4-1:几何证明选讲)如图,直线AB为圆的切线,切点为B ,点C 在圆上,ABC ∠的角平分线BE 交圆于点E ,DB 垂直BE 交圆 于点D . (1)证明:DB DC =;(2)设圆的半径为1,BC =CE 交AB 于点F ,求BCF ∆外接圆的半径. 解:(1)连结DE ,交BC 于点G .由弦切角定理得,ABE BCE ∠=∠.而ABE CBE ∠=∠,故CBE BCE ∠=∠,BE CE =.又因为DB BE ⊥,所以DE 为直径,90DCE ∠=︒,DB DC =.(2)由(1)知,CDE BDE ∠=∠,DB DC =,故DG 是BC的中垂线,所以BG =设DE 的中点为O ,连结BO ,则60BOG ∠=︒.从而30ABE BCE CBE ∠=∠=∠=︒,所以CF BF ⊥,故Rt BCF ∆.(23)【2013年全国Ⅰ,理23,10分】(选修4-4:坐标系与参数方程)已知曲线1C 的参数方程为45cos 55sin x ty t=+⎧⎨=+⎩(t 为参数),以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线2C 的极坐标方程为2sin ρθ=. (1)把1C 的参数方程化为极坐标方程;(2)求1C 与2C 交点的极坐标(0ρ≥,02θπ≤<).解:(1)将45cos 55sin x t y t =+⎧⎨=+⎩消去参数t ,化为普通方程()()224525x y -+-=,即221810160C x y x y +--+=:.将cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入22810160x y x y +--+=得28cos 10sin 160ρρθρθ--+=. 所以1C 的极坐标方程为28cos 10sin 160ρρθρθ--+=.(2)2C 的普通方程为2220x y y +-=.由222281016020x y x y x y y ⎧+--+=⎨+-=⎩,解得11x y =⎧⎨=⎩或02x y =⎧⎨=⎩, 所以1C 与2C交点的极坐标分别为π4⎫⎪⎭,π2,2⎛⎫ ⎪⎝⎭.(24)【2013年全国Ⅰ,理24,10分】(选修4-5:不等式选讲)已知函数()212f x x x a =-++,()3g x x =+.(1)当2a =-时,求不等式()()f x g x <的解集;(2)设1a >-,且当1,22a x ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭时,()()f x g x ≤,求a 的取值范围.解:(1)当2a =-时,()()f x g x <化为212230x x x -+---<.设函数21223y x x x =-+---,则y =15,212,1236,1x x y x x x x ⎧-<⎪⎪⎪=--≤≤⎨⎪->⎪⎪⎩,其图像如图所示.从图像可知,当且仅当()0,2x ∈时,0y <.所以原不等式的解集是{}2|0x x <<.(2)当1,22x a ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭∈时,()1f x a =+.不等式()()f x g x ≤化为13a x +≤+.所以2x a ≥-,对1,22x a ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭∈都成立.故22a a -≥-,即43a ≤.从而a 的取值范围是41,3⎛⎤- ⎥⎝⎦.。

2013年高考理科数学大纲卷-答案

2013年高考理科数学大纲卷-答案
【提示】A项,用中心对称的充要条件,直接验证 是否成立即可判断其正误;B项,用轴对称的条件直接验证 成立与否即可判断其正误;C项,可将函数解析式换为 ,再换元为 , ,利用导数求出函数在区间上的最值即可判断正误;D项,可利用奇函数的定义与周期函数的定义直接证明.
【考点】三角函数的周期性和最值,对称性
2.【答案】A
【解析】 .
【提示】给出复数的幂运算,利用复数的乘法运算求值.
【考点】复数代数形式的四则运算
3.【答案】B
【解析】 , , , .(步骤1) , =0, ,解得 .(步骤2)
【提示】给出两个向量,利用向量的坐标运算,再根据向量的垂直的性质求值.
【考点】向量的坐标运算
4.【答案】B
【解析】 原函数的定义域为 , ,解得 . 则函数 的定义域为 .
又 ,所以 平面 ,
连结DH,则DH为CD在平面 上的射影,所以 为CD与平面 所成的角.
设 , ,在 中,由等面积变换易求得 ,
在 中, .
【提示】连结AC,交BD于点O,在平面 内作 .由 平面 , 得出 平面 ,所以 为CD与平面 所成的角,由等面积变换易求得 ,即可求线面角的正弦值.
【考点】线面角,线面垂直的判定
【提示】由已知可知,数列 是以 为公比的等比数列,结合已知 可求 ,然后代入等比数列的求和公式可求.
【考点】等比数列的定义,等比数列前 项和
7.【答案】D
【解析】因为 的展开式中 的系数为 , 的展开式中 的系数为 ,所以 的系数为 .
【提示】由题意知利用二项展开式的通项公式写出展开式的通项,令x的指数为2,写出出展开式中 的系数,第二个因式 的系数,即可得到结果.
第Ⅱ卷
二、填空题
13.【答案】

2013年高考真题解析分类汇编(理科数学)4:数列 含解析

2013年高考真题解析分类汇编(理科数学)4:数列 含解析

2013高考试题解析分类汇编(理数)4:数列一、选择题1 .(2013年普通高等学校招生统一考试大纲版数学(理)WORD 版含答案(已校对))已知数列{}na 满足12430,3n n aa a ++==-,则{}n a 的前10项和等于(A)()10613--- (B)()101139-- (C )()10313-- (D)()1031+3-C所以3a n+1+a n =0 所以所以数列{a n }是以﹣为公比的等比数列 因为所以a 1=4由等比数列的求和公式可得,s 10==3(1﹣3﹣10)故选C2 .(2013年高考新课标1(理))设nnnA B C ∆的三边长分别为,,nnna b c ,nnnA B C∆的面积为nS ,1,2,3,n =,若11111,2b c b ca >+=,111,,22n n nnn n n n c a b a a a b c +++++===,则()A 。

{S n }为递减数列 B.{S n }为递增数列C 。

{S 2n -1}为递增数列,{S 2n }为递减数列 D.{S 2n —1}为递减数列,{S 2n }为递增数列B因为a n+1=a n ,,,所以a n =a 1,所以b n+1+c n+1=a n +=a 1+, 所以b n+1+c n+1﹣2a 1=,又b 1+c 1=2a 1,所以b n +c n =2a 1,于是,在△A n B n C n 中,边长B n C n =a 1为定值,另两边A n C n 、A n B n 的长度之和b n +c n =2a 1为定值, 因为b n+1﹣c n+1==,所以b n ﹣c n =,当n→+∞时,有b n ﹣c n →0,即b n →c n ,于是△A n B n C n 的边B n C n 的高h n 随着n 的增大而增大, 所以其面积=为递增数列,故选B .3 .(2013年普通高等学校招生统一考试安徽数学(理)试题(纯WORD 版))函数=()y f x 的图像如图所示,在区间[],a b 上可找到(2)n n ≥个不同的数12,...,,nx x x 使得1212()()()==,nnf x f x f x x x x 则n 的取值范围是(A ){}3,4 (B ){}2,3,4 (C) {}3,4,5 (D ){}2,3 B由题知,过原点的直线y = x 与曲线=()y f x 相交的个数即n 的取值。

2013年普通高等学校招生全国统一考试(全国新课标II卷)数学试题 (理科) word解析版

2013年普通高等学校招生全国统一考试(全国新课标II卷)数学试题 (理科) word解析版

2013年普通高等学校招生全国统一考试(新课标Ⅱ卷)数学(理科)注意事项:1. 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。

答卷前考生将自己的姓名\准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置。

2. 回答第Ⅰ卷时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号标黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。

写在本试卷上无效。

3. 答第Ⅱ卷时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。

4. 考试结束,将试题卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷(选择题 共50分)一、 选择题:本大题共10小题。

每小题5分,共50分。

在每个小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合M ={x |(x -1)2<4,x ∈R },N ={-1,0,1,2,3},则M ∩N 等于( ) A .{0,1,2} B .{-1,0,1,2} C .{-1,0,2,3} D .{0,1,2,3} 答案 A解析 化简集合M 得M ={x |-1<x <3,x ∈R },则M ∩N ={0,1,2}.2.设复数z 满足(1-i)z =2i ,则z =( )A .-1+iB .-1-IC .1+iD .1-i 答案 A解析 由已知得z =2i1-i =2i (1+i )(1-i )(1+i )=-1+i.3.等比数列{a n }的前n 项和为S n ,已知S 3=a 2+10a 1,a 5=9,则a 1等于( )A.13 B .-13 C.19 D .-19 答案 C解析 设等比数列{a n }的公比为q ,由S 3=a 2+10a 1得a 1+a 2+a 3=a 2+10a 1,即a 3=9a 1,q 2=9,又a 5=a 1q 4=9,所以a 1=19.4.已知m ,n 为异面直线,m ⊥平面α,n ⊥平面β.直线l 满足l ⊥m ,l ⊥n ,l ⊄α,l ⊄β,则( ) A .α∥β且l ∥α B .α⊥β且l ⊥βC .α与β相交,且交线垂直于lD .α与β相交,且交线平行于l 答案 D解析 假设α∥β,由m ⊥平面α,n ⊥平面β,则m ∥n ,这与已知m ,n 为异面直线矛盾,那么α与β相交,设交线为l 1,则l 1⊥m ,l 1⊥n ,在直线m 上任取一点作n 1平行于n ,那么l 1和l 都垂直于直线m 与n 1所确定的平面,所以l 1∥l .5.已知(1+ax )(1+x )5的展开式中x 2的系数为5,则a 等于( ) A .-4 B .-3 C .-2 D .-1 答案 D解析 (1+ax )(1+x )5中含x 2的项为:(C 25+C 15a )x 2,即C 25+C 15a =5,a =- 1.6.执行右面的程序框图,如果输入的N =10,那么输出的S =( )A .1+12+13+…+110B .1+12!+13!+…+110!C .1+12+13+…+111D .1+12!+13!+…+111!答案 B解析 k =1,T =11,S =1,k =2,T =11×2=12!,S =1+12!,k =3,T =11×2×3=13!,S =1+12!+13!,…由于N =10,即k >10时,结束循环,共执行10次.所以输出S =1+12!+13!+…+110!.7.一个四面体的顶点在空间直角坐标系O -xyz 中的坐标分别是(1,1,1),(1,1,0),(0,1,1),(0,0,0),画该四面体三视图中的正视图时,以zOx 平面为投影面,则得到正视图可以为()答案 A解析 在空间直角坐标系中,先画出四面体O -ABC 的直观图,以zOx 平面为投影面,则得到正视图,所以选A.8.设a =log 36,b =log 510,c =log 714,则( )A .c >b >aB .b >c >aC .a >c >bD .a >b >c 答案 D解析 设a =log 36=1+log 32=1+1log 23,b =log 510=1+log 52=1+1log 25,c =log 714=1+log 72=1+1log 27,显然a >b >c.(9)已知a >0,x ,y 满足约束条件()133x x y y a x ⎧≥⎪+≤⎨⎪≥-⎩,若z=2x+y 的最小值为1,则a=(A) 14 (B) 12(C)1(D)210.已知函数f (x )=x 3+ax 2+bx +c ,下列结论中错误的是( ) A .∃x 0∈R ,f (x 0)=0B .函数y =f (x )的图象是中心对称图形C .若x 0是f (x )的极小值点,则f (x )在区间(-∞,x 0)上单调递减D .若x 0是f (x )的极值点,则f ′(x 0)=0 答案 C解析 若c =0,则有f (0)=0,所以A 正确.由f (x )=x 3+ax 2+bx +c 得f (x )-c =x 3+ax 2+bx ,因为函数f (x )=x 3+ax 2+bx 的对称中心为(0,0),所以f (x )=x 3+ax 2+bx +c 的对称中心为(0,c ),所以B 正确.由三次函数的图象可知,若x 0是f (x )的极小值点,则极大值点在x 0的左侧,所以函数在区间(-∞,x 0 )单调递减是错误的,D 正确.选C.11.设抛物线C :y 2=2px (p ≥0)的焦点为F ,点M 在C 上,|MF |=5,若以MF 为直径的圆过点(0,2),则C 的方程为( ) A .y 2=4x 或y 2=8x B .y 2=2x 或y 2=8x C .y 2=4x 或y 2=16x D .y 2=2x 或y 2=16x 答案 C解析 由题意知:F ⎝⎛⎭⎫p 2,0,抛物线的准线方程为x =-p 2,则由抛物线的定义知,x M =5-p2,设以MF 为直径的圆的圆心为⎝⎛⎭⎫52,y M 2,所以圆的方程为⎝⎛⎭⎫x -522+⎝⎛⎭⎫y -y M 22=254,又因为圆过点(0,2),所以y M =4,又因为点M 在C 上,所以16=2p ⎝⎛⎭⎫5-p2,解得p =2或p =8,所以抛物线C 的方程为y 2=4x 或y 2=16x ,故选C.12.已知点A (-1,0),B (1,0),C (0,1),直线y =ax +b (a >0)将△ABC 分割为面积相等的两部分,则b 的取值范围是( )A .(0,1) B.⎝⎛⎭⎫1-22,12 C.⎝⎛⎭⎫1-22,13 D.⎣⎡⎭⎫13,12 答案 B二、填空题13.已知正方形ABCD 的边长为2,E 为CD 的中点,则AE →·BD →=________. 答案 2解析 由题意知:AE →·BD →=(AD →+DE →)·(AD →-AB →)=(AD →+12AB →)·(AD →-AB →)=AD →2-12AD →·AB →-12AB →2=4-0-2=2.14.从n 个正整数1,2,…,n 中任意取出两个不同的数,若取出的两数之和等于5的概率为114,则n=________. 答案 8解析 由题意,取出的两个数只可能是1与4,2与3这两种情况,∴在n 个数中任意取出两个不同的数的总情况应该是C 2n=n (n -1)2=2÷114=28,∴n =8.15.设θ为第二象限角,若tan ⎝⎛⎭⎫θ+π4=12,则sin θ+cos θ=________. 答案 -105解析 ∵tan ⎝⎛⎭⎫θ+π4=12,∴tan θ=-13,即{ 3sin θ=-cos θ,2θ+cos 2θ=1,解得sin θ=1010,cos θ=-31010. ∴sin θ+cos θ=-105.16.等差数列{a n }的前n 项和为S n ,已知S 10=0,S 15=25,则nS n 的最小值为________. 答案 -49解析 由题意知a 1+a 10=0,a 1+a 15=103.两式相减得a 15-a 10=103=5d ,∴d =23,a 1=-3.∴nS n =n ·⎝⎛⎭⎫na 1+n (n -1)2d =n 3-10n 23=f (n ), f ′(n )=13n (3n -20).由函数的单调性知f (6)=-48,f (7)=-49. ∴nS n 的最小值为-49.三、解答题17.△ABC 中内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知a =bcos C +c sin B . (1)求B ;(2)若b =2,求△ABC 面积的最大值. 解 (1)由已知及正弦定理得sin A =sin B cos C +sin C sin B ,① 又A =π-(B +C ),故sin A =sin(B +C )=sin B cos C +cos B sin C .② 由①,②和C ∈(0,π)得sin B =cos B .又B ∈(0,π),所以B =π4.(2)△ABC 的面积S =12ac sin B =24ac .由已知及余弦定理得4=a 2+c 2-2ac cos π4.又a 2+c 2≥2ac ,故ac ≤42-2,当且仅当a =c 时,等号成立. 因此△ABC 面积的最大值为2+1.18.如图,直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,D ,E 分别是AB ,BB 1的中点,AA 1=AC =CB =22AB . (1)证明:BC 1∥平面A 1CD ;(2)求二面角D -A 1C -E 的正弦值.(1)证明 连结AC 1交A 1C 于点F ,则F 为AC 1的中点. 又D 是AB 的中点,连结DF ,则BC 1∥DF . 因为DF ⊂平面A 1CD ,BC 1⊄平面A 1CD , 所以BC 1∥平面A 1CD .(2)解 由AC =CB =22AB 得,AC ⊥BC .以C 为坐标原点,CA →的方向为x 轴正方向,CB →的方向为y 轴正方向,CC 1→的方向为z 轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系C -xyz .设CA =2,则D (1,1,0),E (0,2,1),A 1(2,0,2), CD →=(1,1,0),CE →=(0,2,1),CA 1→=(2,0,2). 设n =(x 1,y 1,z 1)是平面A 1CD 的法向量,则{n ·CD →=0,n ·CA 1→=0,即{ x 1+y 1=0,x 1+2z 1=0.可取n =(1,-1,-1).同理,设m 是平面A 1CE 的法向量,则{m ·CE →=0,m ·CA 1→=0.可取m =(2,1,-2).从而cos 〈n ,m 〉=n ·m |n ||m |=33,故sin 〈n ,m 〉=63.即二面角D -A 1C -E 的正弦值为63.19.经销商经销某种农产品,在一个销售季度内,每售出1 t 该产品获利润500元,未售出的产品,每1 t 亏损300元.根据历史资料,得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图,如图所示.经销商为下一个销售季度购进了130 t 该农产品.以X (单位: t,100≤X ≤150)表示下一个销售季度内的市场需求量,T (单位:元)表示下一个销售季度内经销该农产品的利润.(1)将T 表示为X 的函数;(2)根据直方图估计利润T 不少于57 000元的概率; (3)在直方图的需求量分组中,以各组的区间中点值代表该组的各个值,需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率(例如:若x ∈[100,110),则取X =105,且X =105的概率等于需求量落入[100,110)的T 的数学期望.解 (1)当X ∈[100,130)时,T =500X -300(130-X )=800X -39 000. 当X ∈[130,150]时,T =500×130=65 000.所以T ={ 800X -39 000,100≤X <130,,130≤X ≤150. (2)由(1)知利润T 不少于57 000元当且仅当120≤X ≤150.由直方图知需求量X ∈[120,150]的频率为0.7,所以下一个销售季度内的利润T 不少于57 000元的概率的估计值为0.7.(3)依题意可得T 的分布列为所以E (T )=45 000×20.平面直角坐标系xOy 中,过椭圆M :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)右焦点的直线x +y -3=0交M 于A ,B 两点,P 为AB 的中点,且OP 的斜率为12.(1)求M 的方程;(2)C ,D 为M 上的两点,若四边形ACBD 的对角线CD ⊥AB ,求四边形的最大值.解 (1)设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则 x 21a 2+y 21b 2=1① x 22a 2+y 22b2=1②①-②,得(x 1-x 2)(x 1+x 2)a 2+(y 1-y 2)(y 1+y 2)b 2=0.因为y 1-y 2x 1-x 2=-1,设P (x 0,y 0),因为P 为AB 的中点,且OP 的斜率为12,所以y 0=12x 0,即y 1+y 2=12(x 1+x 2).所以可以解得a 2=2b 2,即a 2=2(a 2-c 2),即a 2=2c 2, 又因为c =3,所以a 2=6,所以M 的方程为x 26+y 23=1.(2)因为CD ⊥AB ,直线AB 方程为x +y -3=0, 所以设直线CD 方程为y =x +m ,将x +y -3=0代入x 26+y 23=1得:3x 2-43x =0,即A (0,3),B ⎝⎛⎭⎫433,-33, 所以可得|AB |=463;将y =x +m 代入x 26+y 23=1得:3x 2+4mx +2m 2-6=0, 设C (x 3,y 3),D (x 4,y 4),则|CD |=2(x 3+x 4)2-4x 3x 4=22318-2m 2,又因为Δ=16m 2-12(2m 2-6)>0,即-3<m <3,所以当m =0时,|CD |取得最大值4,所以四边形ACBD 面积的最大值为12|AB |·|CD |=863.21.已知函数f (x )=e x -ln(x +m ).(1)设x =0是f (x )的极值点,求m ,并讨论f (x )的单调性; (2)当m ≤2时,证明f (x )>0.(1)解 f (x )=e x -ln(x +m )⇒f ′(x )=e x -1x +m ⇒f ′(0)=e 0-10+m=0⇒m =1,定义域为{x |x >-1},f ′(x )=e x-1x +m =e x (x +1)-1x +1,令1)1()(-+=x e x g x ,则0)2()(>+='x e x g x ,又0)0(=g显然f (x )在(-1,0]上单调递减,在[0,+∞)上单调递增.(2)证明 令g (x )=e x -ln(x +2),则g ′(x )=e x -1x +2(x >-2).h (x )=g ′(x )=e x -1x +2(x >-2)⇒h ′(x )=e x +1(x +2)2>0,所以h (x )是增函数,h (x )=0至多只有一个实数根,又g ′(-12)=1e -132<0,g ′(0)=1-12>0,所以h (x )=g ′(x )=0的唯一实根在区间⎝⎛⎭⎫-12,0内, 设g ′(x )=0的根为t ,则有g ′(t )=e t -1t +2=0⎝⎛⎭⎫-12<t <0,所以,e t =1t +2⇒t +2=e -t , 当x ∈(-2,t )时,g ′(x )<g ′(t )=0,g (x )单调递减; 当x ∈(t ,+∞)时,g ′(x )>g ′(t )=0,g (x )单调递增;所以g (x )min =g (t )=e t-ln(t +2)=1t +2+t =(1+t )2t +2>0,当m ≤2时,有ln(x +m )≤ln(x +2),所以f (x )=e x -ln(x +m )≥e x -ln(x +2)=g (x )≥g (x )min >0.22.[选修4-1]几何证明选讲如图,CD 为△ABC 外接圆的切线,AB 的延长线交直线CD 于点D ,E 、F 分别为弦AB 与弦AC 上的点,且BC ·AE =DC ·AF ,B 、E 、F 、C 四点共圆.(1)证明:CA 是△ABC 外接圆的直径;(2)若DB =BE =EA ,求过B 、E 、F 、C 四点的圆的面积与△ABC 外接圆面积的比值.(1)证明 因为CD 为△ABC 外接圆的切线,所以∠DCB =∠A ,由题设知BC F A =DCEA,故△CDB ∽△AEF ,所以∠DBC =∠EF A .因为B ,E ,F ,C 四点共圆,所以∠CFE =∠DBC , 故∠EF A =∠CFE =90°. 所以∠CBA =90°,因此CA 是△ABC 外接圆的直径.(2)解 连结CE ,因为∠CBE =90°,所以过B ,E ,F ,C 四点的圆的直径为CE , 由DB =BE ,有CE =DC , 又BC 2=DB ·BA =2DB 2, 所以CA 2=4DB 2+BC 2=6DB 2. 而DC 2=DB ·DA =3DB 2,故过B ,E ,F ,C 四点的圆的面积与△ABC外接圆面积的比值为12.23.[选修4-4]坐标系与参数方程已知动点P 、Q 都在曲线C :{ x =2cos t ,y =2sin t (t 为参数)上,对应参数分别为t =α与t =2α(0<α<2π),M 为PQ 的中点. (1)求M 的轨迹的参数方程;(2)将M 到坐标原点的距离d 表示为α的函数,并判断M 的轨迹是否过坐标原点. 解 (1)依题意有P (2cos α,2sin α),Q (2cos 2α,2sin 2α), 因此M (cos α+cos 2α,sin α+sin 2α).M 的轨迹的参数方程为{ x =cos α+cos 2α,y =sin α+sin 2α,(α为参数,0<α<2π). (2)M 点到坐标原点的距离d =x 2+y 2=2+2cos α(0<α<2π). 当α=π,d =0,故M 的轨迹过坐标原点.24.[选修4-5]不等式选讲设a 、b 、c 均为正数,且a +b +c =1,证明:(1)ab +bc +ac ≤13;(2)a 2b +b 2c +c 2a ≥1.证明 (1)由a 2+b 2≥2ab ,b 2+c 2≥2bc ,c 2+a 2≥2ac 得 a 2+b 2+c 2≥ab +bc +ca . 由题设得(a +b +c )2=1,即a 2+b 2+c 2+2ab +2bc +2ca =1.所以3(ab +bc +ca )≤1,即ab +bc +ca ≤13.(2)因为a 2b +b ≥2a ,b 2c +c ≥2b ,c2a +a ≥2c ,故a 2b +b 2c +c2a +(a +b +c )≥2(a +b +c ), 即a 2b +b 2c +c 2a ≥a +b +c .所以a 2b +b 2c +c 2a ≥1.。

2013年高考真题解析分类汇编(理科数学)4:数列

2013年高考真题解析分类汇编(理科数学)4:数列

2013高考试题解析分类汇编(理数)4:数列一、选择题1 .(2013年普通高等学校招生统一考试大纲版数学(理)WORD 版含答案(已校对))已知数列{}n a 满足12430,3n n a a a ++==-,则{}n a 的前10项和等于 (A)()10613--- (B)()101139-- (C)()10313-- (D)()1031+3-C所以3a n+1+a n =0 所以所以数列{a n }是以﹣为公比的等比数列 因为所以a 1=4由等比数列的求和公式可得,s 10==3(1﹣3﹣10)故选C2 .(2013年高考新课标1(理))设n n n A B C ∆的三边长分别为,,n n n a b c ,n n n A B C ∆的面积为n S ,1,2,3,n = ,若11111,2b c b c a >+=,111,,22n n n nn n n n c a b a a a b c +++++===,则( ) A.{S n }为递减数列 B.{S n }为递增数列C.{S 2n -1}为递增数列,{S 2n }为递减数列D.{S 2n -1}为递减数列,{S 2n }为递增数列B因为a n+1=a n ,,,所以a n =a 1,所以b n+1+c n+1=a n +=a 1+,所以b n+1+c n+1﹣2a 1=,又b 1+c 1=2a 1,所以b n +c n =2a 1, 于是,在△A n B n C n 中,边长B n C n =a 1为定值,另两边A n C n 、A n B n 的长度之和b n +c n =2a 1为定值, 因为b n+1﹣c n+1==,所以b n ﹣c n =,当n →+∞时,有b n ﹣c n →0,即b n →c n ,于是△A n B n C n 的边B n C n 的高h n 随着n 的增大而增大, 所以其面积=为递增数列,故选B .3 .(2013年普通高等学校招生统一考试安徽数学(理)试题(纯WORD 版))函数=()y f x 的图像如图所示,在区间[],a b 上可找到(2)n n ≥个不同的数12,...,,n x x x 使得1212()()()==,n nf x f x f x x x x 则n 的取值范围是(A){}3,4 (B){}2,3,4 (C) {}3,4,5 (D){}2,3 B由题知,过原点的直线y = x 与曲线=()y f x 相交的个数即n 的取值.用尺规作图,交点可取2,3,4. 所以选B4 .(2013年普通高等学校招生统一考试福建数学(理)试题(纯WORD 版))已知等比数列{}n a 的公比为q,记(1)1(1)2(1)...,n m n m n m n m b a a a -+-+-+=+++*(1)1(1)2(1)...(,),n m n m n m n m c a a a m n N -+-+-+=∙∙∙∈则以下结论一定正确的是( )A.数列{}n b 为等差数列,公差为mq B.数列{}n b 为等比数列,公比为2mq C.数列{}n c 为等比数列,公比为2m q D.数列{}n c 为等比数列,公比为mm qC等比数列{}n a 的公比为q,同理可得2222222,m m m mm m m a a a a a a ++++=∙=∙...m c a a a =∙∙∙,212...,m m m m c a a a +++=∙∙∙321222...,m m m m c a a a +++=∙∙∙2213c c c ∴=∙∴数列{}n c 为等比数列,2221212211212............mm m m m m m m m ma a a a a a q c q q c a a a a a a +++∙∙∙∙∙∙∙====∙∙∙∙∙∙ 故选C 5 .(2013年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学(理)(纯WORD 版含答案))等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,已知12310a a S +=,95=a ,则=1a(A)31 (B)31- (C)91 (D)91-C设等比数列{a n }的公比为q ,因为S 3=a 2+10a 1,a 5=9,所以,解得.所以.故选C .6 .(2013年高考新课标1(理))设等差数列{}n a 的前n 项和为11,2,0,3n m m m S S S S -+=-==,则m = ( ) A.3 B.4 C.5 D.6Ca m =S m ﹣S m ﹣1=2,a m+1=S m+1﹣S m =3,所以公差d=a m+1﹣a m =1,a m =﹣2+(m ﹣1)•1=2,解得m=5,故选C .(理)试题(WORD 版))下面是关于公差0d >{}2:n p na 数列是递增数列; {}4:3n p a nd +数列是递增数列; (A)12,p p (B)34,p p (C)23,p p (D)14,p p D设1(1)n a a n d dn m =+-=+,所以1P 正确;如果312n a n =-则2312n na n n =-并非递增所以2P 错;如果若1n a n =+,则满足已知,但11n a n n=+,是递减数列,所以3P 错;34n a nd dn m +=+,所以是递增数列,4P 正确,选D.8 .(2013年高考江西卷(理))等比数列x,3x+3,6x+6,..的第四项等于A.-24B.0C.12D.24A本题考查等比数列的运算。

2013年全国统一高考大纲版理科数学试卷及参考答案与解析

2013年全国统一高考大纲版理科数学试卷及参考答案与解析

2013年全国统一高考大纲版理科数学试卷及参考答案与解析一、选择题:本大题共12小题,每小题5分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(5分)设集合A={1,2,3},B={4,5},M={x|x=a+b,a∈A,b∈B},则M中元素的个数为( )A.3B.4C.5D.62.(5分)=( )A.-8B.8C.-8iD.8i3.(5分)已知向量=(λ+1,1),=(λ+2,2),若(+)⊥(-),则λ=( )A.-4B.-3C.-2D.-14.(5分)已知函数f(x)的定义域为(-1,0),则函数f(2x+1)的定义域为( )A.(-1,1)B.C.(-1,0)D.5.(5分)函数f(x)=log2(1+)(x>0)的反函数f-1(x)=( )A. B. C.2x-1(x∈R) D.2x-1(x>0)6.(5分)已知数列{an }满足3an+1+an=0,a2=-,则{an}的前10项和等于( )A.-6(1-3-10)B.C.3(1-3-10)D.3(1+3-10)7.(5分)(1+x)3(1+y)4的展开式中x2y2的系数是( )A.5B.8C.12D.188.(5分)椭圆C:的左、右顶点分别为A1、A2,点P在C上且直线PA2斜率的取值范围是[-2,-1],那么直线PA1斜率的取值范围是( )A. B. C. D.9.(5分)若函数f(x)=x2+ax+是增函数,则a的取值范围是( )A.[-1,0]B.[-1,+∞)C.[0,3]D.[3,+∞)10.(5分)已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AA1=2AB,则CD与平面BDC1所成角的正弦值等于( )A. B. C. D.11.(5分)已知抛物线C:y2=8x的焦点为F,点M(-2,2),过点F且斜率为k的直线与C交于A,B两点,若,则k=( )A. B. C. D.212.(5分)已知函数f(x)=cosxsin2x,下列结论中不正确的是( )A.y=f(x)的图象关于(π,0)中心对称B.C.D.f(x)既是奇函数,又是周期函数二、填空题:本大题共4小题,每小题5分.13.(5分)已知α是第三象限角,sinα=-,则cotα=.14.(5分)6个人排成一行,其中甲、乙两人不相邻的不同排法共有种.(用数字作答)15.(5分)记不等式组所表示的平面区域为D.若直线y=a(x+1)与D有公共点,则a的取值范围是.16.(5分)已知圆O和圆K是球O的大圆和小圆,其公共弦长等于球O的半径,,则球O的表面积等于.三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)等差数列{an }的前n项和为Sn.已知S3=a22,且S1,S2,S4成等比数列,求{an}的通项式.18.(12分)设△ABC的内角A,B,C的内角对边分别为a,b,c,满足(a+b+c)(a-b+c)=ac. (Ⅰ)求B.(Ⅱ)若sinAsinC=,求C.19.(12分)如图,四棱锥P-ABCD中,∠ABC=∠BAD=90°,BC=2AD,△PAB与△PAD都是等边三角形.(Ⅰ)证明:PB⊥CD;(Ⅱ)求二面角A-PD-C的大小.20.(12分)甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛,其中两人比赛,另一人当裁判,每局比赛结束时,负的一方在下一局当裁判,设各局中双方获胜的概率均为,各局比赛的结果都相互独立,第1局甲当裁判.(Ⅰ)求第4局甲当裁判的概率;(Ⅱ)X表示前4局中乙当裁判的次数,求X的数学期望.21.(12分)已知双曲线C:=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为3,直线y=2与C的两个交点间的距离为.(I)求a,b;(II)设过F2的直线l与C的左、右两支分别相交于A、B两点,且|AF1|=|BF1|,证明:|AF2|、|AB|、|BF2|成等比数列.22.(12分)已知函数.(I)若x≥0时,f(x)≤0,求λ的最小值;(II)设数列{an }的通项an=1+.2013年全国统一高考数学试卷(理科)(大纲版)参考答案与试题解析一、选择题:本大题共12小题,每小题5分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(5分)设集合A={1,2,3},B={4,5},M={x|x=a+b,a∈A,b∈B},则M中元素的个数为( )A.3B.4C.5D.6【分析】利用已知条件,直接求出a+b,利用集合元素互异求出M中元素的个数即可.【解答】解:因为集合A={1,2,3},B={4,5},M={x|x=a+b,a∈A,b∈B},所以a+b的值可能为:1+4=5、1+5=6、2+4=6、2+5=7、3+4=7、3+5=8,所以M中元素只有:5,6,7,8.共4个.故选:B.【点评】本题考查集合中元素个数的最值,集合中元素的互异性的应用,考查计算能力.2.(5分)=( )A.-8B.8C.-8iD.8i【分析】复数分子、分母同乘-8,利用1的立方虚根的性质(),化简即可.【解答】解:故选:A.【点评】复数代数形式的运算,是基础题.3.(5分)已知向量=(λ+1,1),=(λ+2,2),若(+)⊥(-),则λ=( )A.-4B.-3C.-2D.-1【分析】利用向量的运算法则、向量垂直与数量积的关系即可得出.【解答】解:∵,.∴=(2λ+3,3),.∵,∴=0,∴-(2λ+3)-3=0,解得λ=-3.故选:B.【点评】熟练掌握向量的运算法则、向量垂直与数量积的关系是解题的关键.4.(5分)已知函数f(x)的定义域为(-1,0),则函数f(2x+1)的定义域为( )A.(-1,1)B.C.(-1,0)D.【分析】原函数的定义域,即为2x+1的范围,解不等式组即可得解.【解答】解:∵原函数的定义域为(-1,0),∴-1<2x+1<0,解得-1<x<-.∴则函数f(2x+1)的定义域为.故选:B.【点评】考查复合函数的定义域的求法,注意变量范围的转化,属简单题.5.(5分)函数f(x)=log2(1+)(x>0)的反函数f-1(x)=( )A. B. C.2x-1(x∈R) D.2x-1(x>0)【分析】把y看作常数,求出x:x=,x,y互换,得到y=log2(1+)的反函数.注意反函数的定义域.【解答】解:设y=log2(1+),把y看作常数,求出x:1+=2y,x=,其中y>0,x,y互换,得到y=log2(1+)的反函数:y=,故选:A.【点评】本题考查对数函数的反函数的求法,解题时要认真审题,注意对数式和指数式的相互转化.6.(5分)已知数列{an }满足3an+1+an=0,a2=-,则{an}的前10项和等于( )A.-6(1-3-10)B.C.3(1-3-10)D.3(1+3-10)【分析】由已知可知,数列{an }是以-为公比的等比数列,结合已知可求a1,然后代入等比数列的求和公式可求【解答】解:∵3an+1+an=0∴∴数列{an}是以-为公比的等比数列∵∴a1=4由等比数列的求和公式可得,S10==3(1-3-10)故选:C.【点评】本题主要考查了等比数列的通项公式及求和公式的简单应用,属于基础试题7.(5分)(1+x)3(1+y)4的展开式中x2y2的系数是( )A.5B.8C.12D.18【分析】由题意知利用二项展开式的通项公式写出展开式的通项,令x的指数为2,写出出展开式中x2的系数,第二个因式y2的系数,即可得到结果.【解答】解:(x+1)3的展开式的通项为Tr+1=C3r x r令r=2得到展开式中x2的系数是C32=3,(1+y)4的展开式的通项为Tr+1=C4r y r令r=2得到展开式中y2的系数是C42=6,(1+x)3(1+y)4的展开式中x2y2的系数是:3×6=18,故选:D.【点评】本题考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题,本题解题的关键是写出二项式的展开式,所有的这类问题都是利用通项来解决的.8.(5分)椭圆C:的左、右顶点分别为A1、A2,点P在C上且直线PA2斜率的取值范围是[-2,-1],那么直线PA1斜率的取值范围是( )A. B. C. D.【分析】由椭圆C:可知其左顶点A1(-2,0),右顶点A2(2,0).设P(x,y)(x≠±2),代入椭圆方程可得.利用斜率计算公式可得,再利用已知给出的的范围即可解出.【解答】解:由椭圆C:可知其左顶点A1(-2,0),右顶点A2(2,0).设P(x0,y)(x≠±2),则,得.∵=,=,∴==,∵,∴,解得.故选:B.【点评】熟练掌握椭圆的标准方程及其性质、斜率的计算公式、不等式的性质等是解题的关键.9.(5分)若函数f(x)=x2+ax+是增函数,则a的取值范围是( )A.[-1,0]B.[-1,+∞)C.[0,3]D.[3,+∞)【分析】由函数在(,+∞)上是增函数,可得≥0在(,+∞)上恒成立,进而可转化为a≥-2x在(,+∞)上恒成立,构造函数求出-2x在(,+∞)上的最值,可得a的取值范围.【解答】解:∵在(,+∞)上是增函数,故≥0在(,+∞)上恒成立,即a≥-2x在(,+∞)上恒成立,令h(x)=-2x,则h′(x)=--2,当x∈(,+∞)时,h′(x)<0,则h(x)为减函数.∴h(x)<h()=3∴a≥3.故选:D.【点评】本题考查的知识点是利用导数研究函数的单调性,恒成立问题,是导数的综合应用,难度中档.10.(5分)已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AA1=2AB,则CD与平面BDC1所成角的正弦值等于( )A. B. C. D.【分析】设AB=1,则AA1=2,分别以的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系,设=(x,y,z)为平面BDC1的一个法向量,CD与平面BDC1所成角为θ,则sinθ=||,在空间坐标系下求出向量坐标,代入计算即可.【解答】解:设AB=1,则AA1=2,分别以的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系,如下图所示:则D(0,0,2),C1(1,0,0),B(1,1,2),C(1,0,2),=(1,1,0),=(1,0,-2),=(1,0,0),设=(x,y,z)为平面BDC1的一个法向量,则,即,取=(2,-2,1),设CD与平面BDC1所成角为θ,则sinθ=||=,故选:A.【点评】本题考查直线与平面所成的角,考查空间向量的运算及应用,准确理解线面角与直线方向向量、平面法向量夹角关系是解决问题的关键.11.(5分)已知抛物线C:y2=8x的焦点为F,点M(-2,2),过点F且斜率为k的直线与C交于A,B两点,若,则k=( )A. B. C. D.2【分析】斜率k存在,设直线AB为y=k(x-2),代入抛物线方程,利用=(x1+2,y1-2)•(x2+2,y2-2)=0,即可求出k的值.【解答】解:由抛物线C:y2=8x得焦点(2,0),由题意可知:斜率k存在,设直线AB为y=k(x-2), 代入抛物线方程,得到k2x2-(4k2+8)x+4k2=0,△>0,设A(x1,y1),B(x2,y2).∴x1+x2=4+,x1x2=4.∴y1+y2=,y1y2=-16,又=0,∴=(x1+2,y1-2)•(x2+2,y2-2)==0∴k=2.故选:D.【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系,考查向量的数量积公式,考查学生的计算能力,属于中档题.12.(5分)已知函数f(x)=cosxsin2x,下列结论中不正确的是( )A.y=f(x)的图象关于(π,0)中心对称B.C.D.f(x)既是奇函数,又是周期函数【分析】根据函数图象关于某点中心对称或关于某条直线对称的公式,对A、B两项加以验证,可得它们都正确.根据二倍角的正弦公式和同角三角函数的关系化简,得f(x)=2sinx(1-sin2x),再换元:令t=sinx,得到关于t的三次函数,利用导数研究此函数的单调性可得f(x)的最大值为,故C不正确;根据函数周期性和奇偶性的定义加以验证,可得D项正确.由此可得本题的答案.【解答】解:对于A,因为f(π+x)=cos(π+x)sin(2π+2x)=-cosxsin2x,f(π-x)=cos(π-x)sin(2π-2x)=cosxsin2x,所以f(π+x)+f(π-x)=0,可得y=f(x)的图象关于(π,0)中心对称,故A正确;对于B,因为f(+x)=cos(+x)sin(π+2x)=-sinx(-sin2x)=sinxsin2x,f(-x)=cos(-x)sin(π-2x)=sinxsin2x,所以f(+x)=f(-x),可得y=f(x)的图象关于直线x=对称,故B正确;对于C,化简得f(x)=cosxsin2x=2cos2xsinx=2sinx(1-sin2x),令t=sinx,f(x)=g(t)=2t(1-t2),-1≤t≤1,∵g(t)=2t(1-t2)的导数g'(t)=2-6t2=2(1+t)(1-t)∴当t∈(-1,-)时或t∈(,1)时g'(t)<0,函数g(t)为减函数;当t∈(-,)时g'(t)>0,函数g(t)为增函数.因此函数g(t)的最大值为t=-1时或t=时的函数值,结合g(-1)=0<g()=,可得g(t)的最大值为.由此可得f(x)的最大值为而不是,故C不正确;对于D,因为f(-x)=cos(-x)sin(-2x)=-cosxsin2x=-f(x),所以f(x)是奇函数.因为f(2π+x)=cos(2π+x)sin(4π+2x)=cosxsin2x=f(x),所以2π为函数的一个周期,得f(x)为周期函数.可得f(x)既是奇函数,又是周期函数,得D正确.综上所述,只有C项不正确.故选:C.【点评】本题给出三角函数式,研究函数的奇偶性、单调性和周期性.着重考查了三角恒等变换公式、利用导数研究函数的单调性和函数图象的对称性等知识,属于中档题.二、填空题:本大题共4小题,每小题5分.13.(5分)已知α是第三象限角,sinα=-,则cotα=2.【分析】根据α是第三象限的角,得到cosα小于0,然后由sinα的值,利用同角三角函数间的基本关系求出cosα的值,进而求出cotα的值.【解答】解:由α是第三象限的角,得到cosα<0,又sinα=-,所以cosα=-=-则cotα==2故答案为:2【点评】此题考查学生灵活运用同角三角函数间的基本关系化简求值,是一道基础题.学生做题时注意α的范围.14.(5分)6个人排成一行,其中甲、乙两人不相邻的不同排法共有480 种.(用数字作答) 【分析】排列好甲、乙两人外的4人,然后把甲、乙两人插入4个人的5个空位中即可. 【解答】解:6个人排成一行,其中甲、乙两人不相邻的不同排法:排列好甲、乙两人外的4人,有中方法,然后把甲、乙两人插入4个人的5个空位,有种方法,所以共有:=480.故答案为:480.【点评】本题考查了乘法原理,以及排列的简单应用,插空法解答不相邻问题.15.(5分)记不等式组所表示的平面区域为D.若直线y=a(x+1)与D有公共点,则a 的取值范围是[,4] .【分析】本题考查的知识点是简单线性规划的应用,我们要先画出满足约束条件的平面区域,然后分析平面区域里各个角点,然后将其代入y=a(x+1)中,求出y=a(x+1)对应的a的端点值即可.【解答】解:满足约束条件的平面区域如图示:因为y=a(x+1)过定点(-1,0).所以当y=a(x+1)过点B(0,4)时,得到a=4,当y=a(x+1)过点A(1,1)时,对应a=.又因为直线y=a(x+1)与平面区域D有公共点.所以≤a≤4.故答案为:[,4]【点评】在解决线性规划的小题时,我们常用“角点法”,其步骤为:①由约束条件画出可行域⇒②求出可行域各个角点的坐标⇒③将坐标逐一代入目标函数⇒④验证,求出最优解.16.(5分)已知圆O和圆K是球O的大圆和小圆,其公共弦长等于球O的半径,,则球O的表面积等于16π.【分析】正确作出图形,利用勾股定理,建立方程,即可求得结论.【解答】解:如图所示,设球O的半径为r,AB是公共弦,∠OCK是面面角根据题意得OC=,CK=在△OCK中,OC2=OK2+CK2,即∴r2=4∴球O的表面积等于4πr2=16π故答案为16π【点评】本题考查球的表面积,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)等差数列{an }的前n项和为Sn.已知S3=a22,且S1,S2,S4成等比数列,求{an}的通项式.【分析】由,结合等差数列的求和公式可求a2,然后由,结合等差数列的求和公式进而可求公差d,即可求解通项公式【解答】解:设数列的公差为d由得,3∴a2=0或a2=3由题意可得,∴若a2=0,则可得d2=-2d2即d=0不符合题意若a2=3,则可得(6-d)2=(3-d)(12+2d)解可得d=0或d=2∴an =3或an=2n-1【点评】本题主要考查了等差数列的通项公式及求和公式的应用,等比数列的性质的简单应用,属于基础试题18.(12分)设△ABC的内角A,B,C的内角对边分别为a,b,c,满足(a+b+c)(a-b+c)=ac. (Ⅰ)求B.(Ⅱ)若sinAsinC=,求C.【分析】(I)已知等式左边利用多项式乘多项式法则计算,整理后得到关系式,利用余弦定理表示出cosB,将关系式代入求出cosB的值,由B为三角形的内角,利用特殊角的三角函数值即可求出B的度数;(II)由(I)得到A+C的度数,利用两角和与差的余弦函数公式化简cos(A-C),变形后将cos(A +C)及2sinAsinC的值代入求出cos(A-C)的值,利用特殊角的三角函数值求出A-C的值,与A+C的值联立即可求出C的度数.【解答】解:(I)∵(a+b+c)(a-b+c)=(a+c)2-b2=ac,∴a2+c2-b2=-ac,∴cosB==-,又B为三角形的内角,则B=120°;(II)由(I)得:A+C=60°,∵sinAsinC=,cos(A+C)=,∴cos(A-C)=cosAcosC+sinAsinC=cosAcosC-sinAsinC+2sinAsinC=cos(A+C)+2sinAsinC=+2×=,∴A-C=30°或A-C=-30°,则C=15°或C=45°.【点评】此题考查了余弦定理,两角和与差的余弦函数公式,以及特殊角的三角函数值,熟练掌握余弦定理是解本题的关键.19.(12分)如图,四棱锥P-ABCD中,∠ABC=∠BAD=90°,BC=2AD,△PAB与△PAD都是等边三角形.(Ⅰ)证明:PB⊥CD;(Ⅱ)求二面角A-PD-C的大小.【分析】(I)取BC的中点E,连接DE,过点P作PO⊥平面ABCD于O,连接OA、OB、OD、OE.可证出四边形ABED是正方形,且O为正方形ABED的中心.因此OE⊥OB,结合三垂线定理,证出OE ⊥PB,而OE是△BCD的中位线,可得OE∥CD,因此PB⊥CD;(II)由(I)的结论,证出CD⊥平面PBD,从而得到CD⊥PD.取PD的中点F,PC的中点G,连接FG,可得FG∥CD,所以FG⊥PD.连接AF,可得AF⊥PD,因此∠AFG为二面角A-PD-C的平面角,连接AG、EG,则EG∥PB,可得EG⊥OE.设AB=2,可求出AE、EG、AG、AF和FG的长,最后在△AFG中利用余弦定理,算出∠AFG=π-arccos,即得二面角A-PD-C的平面角大小.【解答】解:(I)取BC的中点E,连接DE,可得四边形ABED是正方形过点P作PO⊥平面ABCD,垂足为O,连接OA、OB、OD、OE∵△PAB与△PAD都是等边三角形,∴PA=PB=PD,可得OA=OB=OD因此,O是正方形ABED的对角线的交点,可得OE⊥OB∵PO⊥平面ABCD,得直线OB是直线PB在内的射影,∴OE⊥PB∵△BCD中,E、O分别为BC、BD的中点,∴OE∥CD,可得PB⊥CD;(II)由(I)知CD⊥PO,CD⊥PB∵PO、PB是平面PBD内的相交直线,∴CD⊥平面PBD∵PD⊂平面PBD,∴CD⊥PD取PD的中点F,PC的中点G,连接FG,则FG为△PCD有中位线,∴FG∥CD,可得FG⊥PD连接AF,由△PAD是等边三角形可得AF⊥PD,∴∠AFG为二面角A-PD-C的平面角连接AG、EG,则EG∥PB∵PB⊥OE,∴EG⊥OE,设AB=2,则AE=2,EG=PB=1,故AG==3在△AFG中,FG=CD=,AF=,AG=3∴cos∠AFG==-,得∠AFG=π-arccos,即二面角A-PD-C的平面角大小是π-arccos.【点评】本题给出特殊的四棱锥,求证直线与直线垂直并求二面角平面角的大小,着重考查了线面垂直的判定与性质、三垂线定理和运用余弦定理求二面的大小等知识,属于中档题.20.(12分)甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛,其中两人比赛,另一人当裁判,每局比赛结束时,负的一方在下一局当裁判,设各局中双方获胜的概率均为,各局比赛的结果都相互独立,第1局甲当裁判.(Ⅰ)求第4局甲当裁判的概率;(Ⅱ)X表示前4局中乙当裁判的次数,求X的数学期望.【分析】(I)令A1表示第2局结果为甲获胜,A2表示第3局甲参加比赛时,结果为甲负,A表示第4局甲当裁判,分析其可能情况,每局比赛的结果相互独立且互斥,利用独立事件、互斥事件的概率求解即可.(II)X的所有可能值为0,1,2.分别求出X取每一个值的概率,列出分布列后求出期望值即可.【解答】解:(I)令A1表示第2局结果为甲获胜.A2表示第3局甲参加比赛时,结果为甲负.A表示第4局甲当裁判.则A=A1•A2,P(A)=P(A1•A2)=P(A1)P(A2)=;(Ⅱ)X的所有可能值为0,1,2.令A3表示第3局乙和丙比赛时,结果为乙胜.B 1表示第1局结果为乙获胜,B2表示第2局乙和甲比赛时,结果为乙胜,B3表示第3局乙参加比赛时,结果为乙负,则P(X=0)=P(B1B2)=P(B1)P(B2)P()=.P(X=2)=P(B3)=P()P(B3)=.P(X=1)=1-P(X=0)-P(X=2)=.从而EX=0×+1×+2×=.【点评】本题考查互斥、独立事件的概率,离散型随机变量的分布列和期望等知识,同时考查利用概率知识解决问题的能力.21.(12分)已知双曲线C:=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为3,直线y=2与C的两个交点间的距离为.(I)求a,b;(II)设过F2的直线l与C的左、右两支分别相交于A、B两点,且|AF1|=|BF1|,证明:|AF2|、|AB|、|BF2|成等比数列.【分析】(I)由题设,可由离心率为3得到参数a,b的关系,将双曲线的方程用参数a表示出来,再由直线建立方程求出参数a即可得到双曲线的方程;(II)由(I)的方程求出两焦点坐标,设出直线l的方程设A(x1,y1),B(x2,y2),将其与双曲线C的方程联立,得出x1+x2=,,再利用|AF1|=|BF1|建立关于A,B坐标的方程,得出两点横坐标的关系,由此方程求出k的值,得出直线的方程,从而可求得:|AF2|、|AB|、|BF2|,再利用等比数列的性质进行判断即可证明出结论.【解答】解:(I)由题设知=3,即=9,故b2=8a2所以C的方程为8x2-y2=8a2将y=2代入上式,并求得x=±,由题设知,2=,解得a2=1所以a=1,b=2(II)由(I)知,F 1(-3,0),F 2(3,0),C 的方程为8x 2-y 2=8 ① 由题意,可设l 的方程为y =k(x -3),|k|<2代入①并化简得(k 2-8)x 2-6k 2x +9k 2+8=0设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则x 1≤-1,x 2≥1,x 1+x 2=,,于是 |AF 1|==-(3x 1+1), |BF 1|==3x 2+1, |AF 1|=|BF 1|得-(3x 1+1)=3x 2+1,即故=,解得,从而=- 由于|AF 2|==1-3x 1,|BF 2|==3x 2-1,故|AB|=|AF 2|-|BF 2|=2-3(x 1+x 2)=4,|AF 2||BF 2|=3(x 1+x 2)-9x 1x 2-1=16 因而|AF 2||BF 2|=|AB|2,所以|AF 2|、|AB|、|BF 2|成等比数列 【点评】本题考查直线与圆锥曲线的综合关系,考查了运算能力,题设条件的转化能力,方程的思想运用,此类题综合性强,但解答过程有其固有规律,一般需要把直线与曲线联立利用根系关系,解答中要注意提炼此类题解答过程中的共性,给以后解答此类题提供借鉴.22.(12分)已知函数.(I)若x ≥0时,f(x)≤0,求λ的最小值;(II)设数列{a n }的通项a n =1+.【分析】(I)由于已知函数的最大值是0,故可先求出函数的导数,研究其单调性,确定出函数的最大值,利用最大值小于等于0求出参数λ的取值范围,即可求得其最小值; (II)根据(I)的证明,可取λ=,由于x >0时,f(x)<0得出,考察发现,若取x =,则可得出,以此为依据,利用放缩法,即可得到结论【解答】解:(I)由已知,f(0)=0,f′(x)==,∴f′(0)=0欲使x ≥0时,f(x)≤0恒成立,则f(x)在(0,+∞)上必为减函数,即在(0,+∞)上f′(x)<0恒成立,当λ≤0时,f′(x)>0在(0,+∞)上恒成立,为增函数,故不合题意,若0<λ<时,由f′(x)>0解得x<,则当0<x<,f′(x)>0,所以当0<x<时,f(x)>0,此时不合题意,若λ≥,则当x>0时,f′(x)<0恒成立,此时f(x)在(0,+∞)上必为减函数,所以当x>0时,f(x)<0恒成立,综上,符合题意的λ的取值范围是λ≥,即λ的最小值为( II)令λ=,由(I)知,当x>0时,f(x)<0,即取x=,则于是a2n -an+=++…++====>=ln2n-lnn=ln2所以【点评】本题考查了数列中证明不等式的方法及导数求最值的普通方法,解题的关键是充分利用已有的结论再结合放缩法,本题考查了推理判断的能力及转化化归的思想,有一定的难度。

2013年高考真题理科数学解析分类汇编4-数列

2013年高考真题理科数学解析分类汇编4-数列

2013年高考真题理科数学解析分类汇编4 数列一选择题1,[新课标I],7、设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,1m S -=-2,m S =0,1m S +=3,则m = ( ) A 、3 B 、4C 、5D 、6【解析】有题意知m S =1()2m m a a +=0,∴1a =-m a =-(m S -1m S -)=-2, 1m a += 1m S +-m S =3,∴公差d =1m a +-m a =1,∴3=1m a +=-2m +,∴m =5,故选C.2.[新课标I]12、设△A n B n C n 的三边长分别为a n ,b n ,c n ,△A n B n C n 的面积为S n ,n=1,2,3,…若b 1>c 1,b 1+c 1=2a 1,a n +1=a n ,b n +1=c n +a n 2,c n +1=b n +a n2,则()A 、{S n }为递减数列B 、{S n }为递增数列C 、{S 2n -1}为递增数列,{S 2n }为递减数列D 、{S 2n -1}为递减数列,{S 2n }为递增数列 答案B【解析】=c n +a n 2 + b n +a n2==2,⟹ =2=2 ⋯⋯,= − ⟹ =⋯⋯+2 =4⋯⋯,−2 =⋯⋯=− ,是正数递增数列所以===−1(因为边不是最大边,所以是锐角)是正数递减数列 ⟹是正数递增数列=是递增数列所以选B3.新课标II 3、等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,已知,,则1a =( ) (A )31 (B ) 31- (C )91 (D )91- 【答案】C解析:⟹=+⟹9⟹ q=±3 又即=9⇒=914.陕西 14. 观察下列等式:211=22123-=- 2221263+-=2222124310-+-=- …照此规律, 第n 个等式可为 )1(2)1-n 1--32-1121-n 222+=+++n n n ()( .【答案】)1(2)1-n 1--32-1121-n 222+=+++n n n ()(【解析】分n 为奇数、偶数两种情况。

【精校】2013年普通高等学校招生全国统一考试(全国卷大纲版)理数-含答案

【精校】2013年普通高等学校招生全国统一考试(全国卷大纲版)理数-含答案

2013年普通高等学校招生全国统一考试(全国卷大纲版)理科数学一、选择题:本大题共12小题,每小题5分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2013大纲全国,理1)设集合,,,则M 中元素的个数为( )A .3B .4C .5D .62. (2013大纲全国,理2)=( )A .-8B .8C .D .3. (2013大纲全国,理3)已知向量,,若,则=( )A .-4B .-3C .-2D .-14. (2013大纲全国,理4)已知函数f(x)的定义域为,则函数的定义域( ) A . B . C . D .5. (2013大纲全国,理5)函数(x>0)的反函数=( )A .B .C .D . 6. (2013大纲全国,理6)已知数列满足,,则的前10项和等于( ) A . B . C . D .7. (2013大纲全国,理7)的展开式中的系数是( )A .56B .84C .112D .1688. (2013大纲全国,理8)椭圆C :的左右顶点分别为,点P 在C 上且直线斜率的取值范围是,那么直线斜率的取值范围是( ) A . B . C . D . 9. (2013大纲全国,理9)若函数在是增函数,则a 的取值范围是( ) ={1,2,3}A B={45},={x|x=a+b,a A,b B}M ∈∈3(1)+8i -8i (1,1)m λ=+u r (2,2)n λ=+r ()()m n m n +⊥-u r r u r rλ(1,0)-(21)f x +(1,1)-1(1,)2--(1,0)-1(,1)221()log (1)f x x=+1()f x -1(0)21x x >-1(0)21xx ≠-21()x x R -∈21(0)x x ->{}n a 130n n a a ++=243a =-{}n a 106(13)---101(13)9-103(13)--103(13)-+84(1)(1)x y ++22x y 22143x y +=12,A A 2PA [2,1]--1PA 13[,]2433[,]841[,1]23[,1]421()f x x ax x =++1(,)2+∞A .B .C .D .10. (2013大纲全国,理10)已知正四棱柱中,,则CD 与平面所成角的正弦值等于( ) A .B .C .D .11.已知抛物线C :与点M (-2,2),过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A ,B 两点,若,则k=( )A .B .C .D .212. (2013大纲全国,理12)已知函数,下列结论中错误的是( ) A .的图像关于点中心对称 B .的图像关于直线对称C .的最大值为D .既是奇函数,又是周期函数 二、填空题:本大题共4小题,每小题5分.13.已知是第三象限角,,则14. 6个人排成一行,其中甲、乙两人不相邻的不同排法共有 种.(用数字作答)15.记不等式组,所表示的平面区域为D.若直线与D 有公共点,则a 的取值范围是16.已知圆O 和圆K 是球O 的大圆和小圆,其公共弦长等于球O 的半径,,且圆O 与圆K 所在的平面所成的一个二面角为,则球O 的表面积等于 三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.(2013大纲全国,理17)(本小题满分10分)等差数列的前n 项和为.已知,且成等比数列,求的通项公式.[1,0]-[1,)-+∞[0,3][3,)+∞1111ABCD A B C D -12AA AB =1BDC 23321328y x =0MA MB •=u u u r u u u r12222()cos sin 2f x x x =()y f x =(,0)π()y f x =2x π=()f x 3()f x α1sin 3α=-cot α=03434x x y x y ≥⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩(1)y a x =+32OK =060{}n a n S 232S a =124,,S S S {}n a18. (2013大纲全国,理18)(本小题满分12分)设的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ,. (Ⅰ)求B ; (Ⅱ)若,求C. 19. (2013大纲全国,理19)(本小题满分12分)如图,四棱锥P-ABCD 中,,,和都是等边三角形.(Ⅰ)证明:; (Ⅱ)求二面角A-PD-C 的大小.20. (2013大纲全国,理20)(本小题满分12分)甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛,其中两人比赛,另一人当裁判,每局比赛结束时,负的一方在下一局当裁判.设各局中双方获胜的概率均为,各局比赛的结束相互独立,第1局甲当裁判. (Ⅰ)求第4局甲当裁判的概率;(Ⅱ)X 表示前4局中乙当裁判的次数,求X 的数学期望. 21. (2013大纲全国,理21)(本小题满分12分)已知双曲线C :(a>0,b>0)的左、右焦点分别为、,离心率为3,直线y=2与C 的两个交点间的距离为. (Ⅰ)求a,b ;(Ⅱ)设过的直线l 与C 的左、右两支分别交于A 、B 两点,且,证明:、、成等比数列.22. (2013大纲全国,理22)(本小题满分12分) 已知函数.(Ⅰ)若时,,求的最小值; (Ⅱ)设数列的通项,证明:.ABC ∆()()a b c a b c ac ++-+=31sin sin 4A C -=090ABC BAD ∠=∠=2BC AD =PAB∆PAD ∆PB CD ⊥1222221x y a b-=1F 2F 62F 11||||AF BF =2||AF ||AB 2||BF (1)()ln(1)1x x f x x xλ+=+-+0x ≥()0f x ≤λ{}n a 111123n a n =++++L 21ln 24n n a a n-+>参考答案一.二、填空题13. 14.480 15. 16. 三、解答题17. 设的公差为d.由得,故或. 由,,成等比数列得. 又,,, 故.若,则,,,所以,此时,不合题意;若,则,解得或.因此的通项公式为,,或.18. (Ⅰ),,因为,所以.由余弦定理得, 因此.(Ⅱ)由(Ⅰ)知,,,所以1[,4]216π{}n a 232S a =2223a a =20a =23a =124,,S S S 2214=S S S 12S a d =-222S a d =-4242S a d =+2222(2)()(42)a d a d a d -=-+20a =222d d =-0d =0n S =23a =2(6)(3)(122)d d d -=-+0d =2d ={}n a 3n a =21n a n =-()()a b c a b c ac ++-+=222a c b ac +-=-2221cos 22a cb B ac +-==-0120B =060A C +=故或, 因此或.19. (Ⅰ)证明:取BC 的中点E ,,,连结DE ,则ABED 为正方形. 过P 作PO ⊥平面ABCD ,垂足为O. 连结OA ,OB,OD,OE.由和都是等边三角形知PA=PB=PD , 所以OA=OB=OD ,,,即点O 为正方形ABED 对角线的交点, 故,从而.因为O是BD 的中点,,,E 是BC 的中点,所以OE//CD.因此. (Ⅱ)解法一:由(Ⅰ)知,,. 故平面PBD.又平面PBD ,,,所以. 取PD 的中点F ,PC 的中点G ,连结FG , 则FG//CD ,FG//PD.连结AF ,由为等边三角形可得AF ⊥PD.所以,,为二面角A-PD-C 的平面角. ……8分 连结AG ,EG ,则EG//PB. 又PB ⊥AE ,所以EG ⊥AE. 设AB=2,则, cos()cos cos sin sin A C A C A C -=+cos cos sin sin 2sin sin A C A C A C =-+cos()2sin sin A C A C =++122=+2=030A C -=030A C -=-015C =045C =PAB ∆PAD ∆OE BD ⊥PB OE ⊥PB CD ⊥CD PB ⊥CD PO ⊥PB PO P =I CD ⊥PD ⊂CD PD ⊥APD ∆AFG ∠AE =112EG PB ==故.在中,,, 所以.因此二面角A-PD-C 的大小为. 解法二:由(Ⅰ)知,OE,OB,OP 两两垂直.以O 为坐标原点,,,的方向为x 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz.设,则,,,.,. ,.设平面PCD 的法向量为,则 , ,可得,.取,得,,,故. 设平面PAD 的法向量为,则 , ,可得.取m=1,得,故.3AG ==AFG∆12FGCD ==AF =3AG =222cos2FG AF AG AFGFG AF +-∠==⨯⨯π-OE uuu r||2AB =u u ur(A (0,D CP PC =u u ur (0,PD =u u u rAP =u u u r AD =u u u r1(,,)n x y z =u r1(,,)0n PC x y z •=•=u r u u ur1(,,)(0,0n PD x y z •=•=u r u u u r20x y z --=0y z +=1y =-0,1x z ==1(0,1,1)n =-u r2(,,)n m p q =u u r2(,,)n AP m p q •=•u u r u u u r2(,,)n AD m p q •=•u u r u u u r0,0m p m p +=-=1,1p q ==-2(1,1,1)n =-u u r于是.由于,,等于二面角A-PD-C 的平面角,所以二面角A-PD-C 的大小为. 20. (Ⅰ)记表示事件,,“第2局结果为甲胜”, 表示事件“第3局甲参加比赛时,结果为甲负”, A 表示事件“第4局甲当裁判”.则.. (Ⅱ)X 的可能取值为0,1,2.记表示事件“第3局乙和丙比赛时,,,结果为乙胜丙”,表示事件“第1局结果为乙胜丙”,表示事件“第2局乙和甲比赛时,,,结果为乙胜甲”,表示事件“第3局乙参加比赛时,结果为乙负”.则 ,,.21.(Ⅰ)由题设知,,,即,故. 所以C 的方程为.将y=2代入上式,求得121212cos ,=-3||||n n n n n n •<>=u r u u ru r u u r u r u u r 12,n n <>u r u u rarccos3π-1A 2A 12=A A A •12121()=P()()()4P A A A P A P A •==3A 1B 2B 3B 1231231(0)()()()()8P X P B B A P B P B P A ==••==13131(2)()()=4P X P B B P B P B ==•=()115(1)1-(0)(2)1848P X P X P X ===-==--=9()0(0)1(=1)+2(2)8E X P X P X P X =•=+••==3c a=2229a b a +=228b a =22288x y a -=x =由题设知,. 所以(Ⅱ)由(Ⅰ)知,,,C 的方程为. ①由题意可设的方程为,,,,代入①并化简得.设,,则,,,.于是,由得,,,即.故,解得,,,从而. 由于,.故,.因而,,,所以、、成等比数列.22. (Ⅰ)由已知,,,,. 若,则当时,,所以. 若,则当时,,,,所以当时,.=21a =1,a b ==1(3,0)F -2(3,0)F2288xy -=l (3)y k x =-||k <2222(8)6980k x k x k --++=11(,)A x y 22(,)B x y 11x ≤-21x ≥212268k x x k +=-2122988k x x k +•=-11||(31)AF x ===-+12||31BF x ===+11||||AF BF=12(31)31x x -+=+1223x x +=-226283k k =--245k =12199x x •=-21||13AF x ===-22||31BF x ===-2212||||||23()4AB AF BF x x =-=-+=221212||||3()9-116AF BF x x x x •=+-=222|||||AB|AF BF •=2||AF ||AB 2||BF (0)0f =2'2(12)()(1)x x f x x λλ--=+'(0)0f =12λ<02(12)x λ<<-'()0f x >()0f x >12λ≥0x >'()0f x <0x >()0f x <综上,的最小值是. (Ⅱ)证明:令.由(Ⅰ)知,,,当时,, 即.取,则. 于是 . 所以. 考试高分秘诀是什么?试试这四个方法,特别是中考和高考生谁都想在考试中取得优异的成绩,但要想取得优异的成绩,除了要掌握好相关的知识定理和方法技巧之外,更要学会一些考试技巧。

2013年高考理科数学(新课标卷)试题及答案

2013年高考理科数学(新课标卷)试题及答案

2013年全国卷新课标——数学理科(适用地区:吉林 黑龙江 山西、河南、新疆、宁夏、河北、云南、内蒙古) 本试卷包括必考题和选考题两部分,第1-21题为必考题,每个考生都必须作答.第22题~第24题,考生根据要求作答.一、选择题:本大题共12小题,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合}5,4,3,2,1{=A ,},,|),{(A y x A y A x y x B ∈-∈∈=,则B 中所含元素的个数为 A. 3 B. 6 C. 8 D. 102. 将2名教师,4名学生分成两个小组,分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动,每个小组由一名教师和2名学生组成,不同的安排方案共有 A. 12种 B. 10种 C. 9种 D. 8种3. 下面是关于复数iz +-=12的四个命题: :1P 2||=z:2P i z 22= :3P z 的共轭复数为i +1:4P z 的虚部为1-其中的真命题为A. 2P ,3PB. 1P ,2PC. 2P ,4PD. 3P ,4P4. 设21,F F 是椭圆:E 12222=+by a x )0(>>b a 的左右焦点,P 为直线23a x =上的一点,12PF F △是底角为︒30的等腰三角形,则E 的离心率为A.21B.32 C.43D.545. 已知}{n a 为等比数列,274=+a a ,865-=a a , 则=+101a a A.7B. 5C.5-D. 7-6. 如果执行右边的程序框图,输入正整数N )2(≥N 和实数N a a a ,,,21 ,输出A ,B ,则A. B A +为N a a a ,,,21 的和B.2BA +为N a a a ,,,21 的算术平均数 C. A 和B 分别是N a a a ,,,21 中最大的数和最小的数D. A 和B 分别是N a a a ,,,21 中最小的数和最大的数7. 如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的 是某几何体的三视图,则此几何体的体积为 A. 6 B. 9 C. 12 D. 188. 等轴双曲线C 的中心在原点,焦点在x 轴上,C 与抛物线x y 162=的准线交于A ,B ,两点,34||=AB ,则的实轴长为A.2B. 22C. 4D. 89. 已知0>ω,函数)4sin()(πω+=x x f 在),2(ππ单调递减,则ω的取值范围是A. ]45,21[B. ]43,21[C. ]21,0(D. ]2,0(10. 已知函数xx x f -+=)1ln(1)(,则)(x f y =的图像大致为11. 已知三棱锥ABC S -的所有顶点都在球O 的球面上,ABC △是边长为1的正三角形,SC 为球O 的直径,且2=SC ,则此棱锥的体积为A.62 B.63 C.32 D.22 12. 设点P 在曲线xe y 21=上,点Q 在曲线)2ln(x y =上,则||PQ 的最小值为A. 2ln 1-B.)2ln 1(2- C. 2ln 1+D.)2ln 1(2+二、填空题.本大题共4小题,每小题5分.13.已知向量a ,b 夹角为︒45,且1=||a ,102=-||b a ,则=||b .14. 设y x ,满足约束条件⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≤+-≥-0031y x y x y x 则y x Z 2-=的取值范围为 .15. 某一部件由三个电子元件按下图方式连接而成,元件1或元件2正常工作,且元件3正常工作,则部件正常工作.设三个电子元件的使用寿命(单位:小时)服从正态分布)50,1000(2N ,且各元件能否正常工作互相独立,那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为 .16. 数列}{n a 满足12)1(1-=-++n a a n n n ,则}{n a 的前60项和为 .三、解答题:解答题应写出文字说明,证明过程或演算步骤.17. (本小题满分12分)已知a ,b ,c 分别为ABC △三个内角A ,B ,C 的对边,0s i n 3c o s =--+c b C a C a .(Ⅰ) 求A ;(Ⅱ) 若2=a ,ABC △的面积为3,求b ,c .18. (本小题满分12分)某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花,然后以每枝10元的价格出售.如果当天卖不完,剩下的玫瑰花做垃圾处理. (Ⅰ) 若花店某天购进16枝玫瑰花,求当天的利润y (单位:元)关于当天需求量n (单位:枝,N n ∈)的函数解析式;以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率. (ⅰ)若花店一天购进16枝玫瑰花,X 表示当天的利润(单位:元),求X 的分布列、数学期望及方差; (ⅱ)若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花,你认为应购进16枝还是17枝?请说明理由.19. (本小题满分12分)如图,直三棱柱111C B A ABC -中,121AA BC AC ==,D 是棱1AA 的中点,BD DC ⊥1(Ⅰ) 证明:BC DC ⊥1(Ⅱ) 求二面角11C BD A --的大小.20. (本小题满分12分)设抛物线:C py x 22=)0(>p 的焦点为F ,准线为l ,A 为C 上一点,已知以F 为圆心,FA 为半径的圆F 交l 于B 、D 两点(Ⅰ) 若90BFD ∠=︒,ABD △面积为24,求p 的值及圆F 的方程;(Ⅱ)若A 、B 、F 三点在同一直线m 上,直线n 与m 平行,且n 与C 只有一个公共点,求坐标原点到m ,n 的距离的比值.21. (本小题满分12分) 已知函数121()(1)(0)2x f x f ef x x -'=-+. (Ⅰ) 求)(x f 的解析式及单调区间;(Ⅱ) 若b ax x x f ++≥221)(,求b a )1(+的最大值 请考生在第22、23、24题中任选一题作答,如果多做,则按所做第一题记分,作答时请写清题号.22. (本小题满分10分)选修4—1:几何证明选讲 如图,D ,E 分别为ABC △边AB ,AC 的中点,直线DE 交ABC △的 外接圆于F ,G 两点.若AB CF //,证明: (Ⅰ) BC CD =;(Ⅱ) GBD BCD ∽△△.23. (本小题满分10分)选修4—4:坐标系与参数方程已知曲线1C 的参数方程是2cos 3sin x y ϕϕ=⎧⎨=⎩(ϕ为参数),以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线2C 的极坐标方程是2=ρ.正方形ABCD 的顶点都在2C 上,且A ,B ,C ,D 依逆时针次序排列,点A 的极坐标为)3,2(π.(Ⅰ)点A ,B ,C ,D 的直角坐标;(Ⅱ) 设P 为1C 上任意一点,求2222||||||||PD PC PB PA +++的取值范围.24. (本小题满分10分)选修4—5:不等式选讲 已知函数|2|||)(-++=x a x x f .(Ⅰ) 当3a =-时,求不等式3)(≥x f 的解集;(Ⅱ) |4|)(-≤x x f 的解集包含]2,1[,求a 的取值范围.。

2013年全国高考理科数学试题分类汇编4:数列 2

2013年全国高考理科数学试题分类汇编4:数列 2

(2004年全国卷)已知数列{}n a 中,n S 是其前n 项和,并且1142(1,2,),1n n S a n a +=+== ,(Ⅰ)设数列),2,1(21 =-=+n a a b n n n ,求证:数列{}n b 是等比数列; (Ⅱ)设数列),2,1(,2==n a c n nn ,求证:数列{}n c 是等差数列; (Ⅲ)求数列{}n a 的通项公式及前n 项和. 解:b n =3·21n -.当n ≥2时,S n =4a 1n -+2=21n -(3n-4)+22004·全国)已知数列{}n a 满足11a =,123123(1)n n a a a a n a -=++++- (2)n ≥,求{}n a 的通项公式.解:∴1(1),!(2).2n n a n n =⎧⎪=⎨≥⎪⎩(2006.福建.文.22)已知数列{}n a 满足*12211,3,32().n n n a a a a a n N ++===-∈(I )证明:数列{}1n n a a +-是等比数列; (II )求数列{}n a 的通项公式;(2006,福建)已知数列{}n a 满足111,21()n n a a a n *+==+∈N .(1)求数列{}n a 的通项公式;(2)若数列{}n b 满足12111444(1)()nnb b b b n a n ---*=+∈N ,证明:{}n b 是等差数列;(2006全国I.22)设数列{}n a 的前n 项的和14122333n n n S a +=-⨯+,1,2,3,n =求首项1a 与通项n a ;(2010安徽理数) 设数列12,,,,n a a a 中的每一项都不为0。

证明:{}n a 为等差数列的充分必要条件是:对任何n ∈N ,都有1223111111n n n na a a a a a a a +++++= 。

(全国大纲理20) 设数列{}n a 满足10a =且1111.11n na a +-=-- (Ⅰ)求{}n a 的通项公式;(Ⅱ)设1, 1.nn n k n k b b S ===<∑记S 证明:浙江理19.已知数列{}n a 满足:21=a 且()n a a n a n n n ++=+121(*∈N n )求证:数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧-1n a n 为等比数列,并求数列{}n a 的通项公式;例题:设数列{}n a 满足333313221na a a a n n =++++- (*∈N n ) ①求数列{}n a 的通项公式n a ;②设nn a nb =,求数列{}n b 的前n 项和n S(2013年安徽数学(理)试题(纯WORD 版))如图,互不-相同的点12,,,n A A X 和12,,,n B B B 分别在角O 的两条边上,所有n n A B 相互平行,且所有梯形11n n n n A B B A ++的面积均相等.设.n n OA a =若121,2,a a ==则数列{}n a 的通项公式是_________.【答案】*,23N n n a n∈-=(2013年辽宁数学(理))已知等比数列{}n a 是递增数列,n S 是{}n a 的前n 项和,若13a a ,是方程2540x x -+=的两个根,则6S =___________【答案】63(2013年浙江数学(理)试题)在公差为d 的等差数列}{n a 中,已知101=a ,且3215,22,a a a +成等比数列.(1)求n a d ,; (2)若0<d ,求.||||||||321n a a a a ++++(2013年广东省数学(理)卷)设数列{}n a 的前n 项和为n S .已知11a =,2121233n n S a n n n +=---,*n ∈N . (Ⅰ) 求2a 的值; (Ⅱ) 求数列{}n a 的通项公式;【答案】.(1) 24a ∴= (2)2*,n a n n N ∴=∈2013年山东数学(理))设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,且424S S =,221n n a a =+.(Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式;(Ⅱ)设数列{}n b 前n 项和为n T ,且 12n n na T λ++=(λ为常数).令2n n c b =*()n N ∈.求数列{}n c 的前n 项和n R . 答案】解:(Ⅰ)21n a n =-*()n N ∈ (Ⅱ)1221221(1)()24n n n n n c b n ---===-*()n N ∈(2013年高考江西卷(理))正项数列{a n }的前项和{a n }满足:222(1)()0n n s n n s n n -+--+=(1)求数列{a n }的通项公式a n ; (2)令221(2)n n b n a+=+,数列{b n }的前n 项和为n T .证明:对于任意的*n N ∈,都有564n T < 【答案】(1)解:2na n =.。

(完整word版)2013年全国高考理科数学试题及答案、解析-陕西卷

(完整word版)2013年全国高考理科数学试题及答案、解析-陕西卷

试题及答案、解析2013年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项:1. 本试卷分为两部分,第一部分为选择题,第二部分为非选择题 .。

2. 考生领到试卷后,须按规定在试卷上填写姓名、准考证号,并在答题卡上填涂对应的试卷 类型信息.。

3. 所有解答必须填写在答题卡上指定区域内。

考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分(共50分)一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求(本大题共 分,共50分) 1.设全集为R,函数f(x)乞1 -x 2的定义域为 M,则C R M 为 (A) [ - 1,1] (B) (- 1,1)(C) ( J :,-1] -•[1, (D) ( -::, -〔)_. (1, ■::)【答案】D2. 根据下列算法语句,当输入x 为60时, 输出y 的值为(A) 25 (B) 30 (C) 31 (D) 61 【答案】C【解析】 x =60,. y =25 0.6 (x-50) =31 ,所以选 C3.设 a, b 为向量,贝U “ab |=|a || b |”是 a // b”的 (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充分必要条件(D)既不充分也不必要条件【答案】C10小题,每小题5【解析】1-X 2 _0,. 一1 乞 x 叮.即 M =[-1,1],c M—(—cQ , 一 1)U (1&),所以选D:输入xI:If x < 50 ThenI:y=0.5 * x :Else; y=25+0.6*( x-50) :End If i 输出y【解析】a b a | |b | COST若| a b|=| a | |b| : cos)- -1,则向量a与b的夹角为0或二,即a//b为真;相反,若a//b,则向量0与b的夹角为0或二,即|a 6鬥2| |b|。

所以“ab 旧a || b |”是a // b”的充分必要条件。

另:当向量a 或b 为零向量时,上述结论也成立。

2013年理科全国各省市高考真题——数列(解答题带答案)

2013年理科全国各省市高考真题——数列(解答题带答案)

2013年全国各省市理科数学—数列1、2013大纲理T17.(本小题满分10分)等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,已知232=S a ,且124,,S S S 成等比数列,求{}n a 的通项式。

求数列{c n }的前n 项和R n .3、2013四川理T16.(本小题满分12分)在等差数列{}n a 中,138a a +=,且4a 为2a 和9a 的等比中项,求数列{}n a 的首项、公差及前n 项和。

4、2013天津理T19. (本小题满分14分)已知首项为32的等比数列{}n a 不是递减数列, 其前n 项和为(*)n S n ∈N , 且S 3 + a 3, S 5 + a 5, S 4 + a 4成等差数列.(Ⅰ) 求数列{}n a 的通项公式; (Ⅱ) 设*()1n n nT S n S ∈=-N , 求数列{}n T 的最大项的值与最小项的值.5、2013浙江理T18.在公差为d 的等差数列}{n a 中,已知101=a ,且3215,22,a a a +成等比数列。

(1)求n a d ,;(2)若0<d ,求.||||||||321n a a a a ++++6、2013广东理T19.(本小题满分14分) 设数列{}n a 的前n 项和为n S .已知11a =,2121233n n S a n n n +=---,*n ∈N . (Ⅰ) 求2a 的值;(Ⅱ) 求数列{}n a 的通项公式;(Ⅲ) 证明:对一切正整数n ,有1211174n a a a +++< .7、2013安徽理T20.(本小题满分13分)设函数22222()1(,)23n nn x x x f x x x R n N n=-+++++∈∈ ,证明:(Ⅰ)对每个nn N ∈,存在唯一的2[,1]3n x ∈,满足()0n n f x =; (Ⅱ)对任意np N ∈,由(Ⅰ)中n x 构成的数列{}n x 满足10n n p x x n+<-<。

2013年全国各地高考试题分类汇编(数列)

2013年全国各地高考试题分类汇编(数列)

11ma ++≥2.(本小题满分16分)(2013江苏卷)设}{n a 是首项为a ,公差为d 的等差数列)0(≠d ,n S 是其前n 项和.记cn nS b nn +=2, *N n ∈,其中c 为实数.(1)若0=c ,且421b b b ,,成等比数列,证明:k nk S n S 2=(*,N n k ∈); (2)若}{n b 是等差数列,证明:0=c . 证:(1)若0=c ,则d n a a n )1(-+=,2]2)1[(a d n n S n +-=,22)1(ad n b n +-=.当421b b b ,,成等比数列,4122b b b =,即:⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+2322d a a d a ,得:ad d 22=,又0≠d ,故a d 2=.由此:a n S n 2=,a k n a nk S nk 222)(==,a k n S n k 222=. 故:k nk S n S 2=(*,N n k ∈).(2)cn a d n n c n nS b n n ++-=+=22222)1(, c n a d n ca d n c a d n n ++--+-++-=2222)1(22)1(22)1( cn a d n ca d n ++--+-=222)1(22)1(. (※) 若}{n b 是等差数列,则Bn An b n +=型. 观察(※)式后一项,分子幂低于分母幂,故有:022)1(2=++-cn ad n c,即022)1(=+-a d n c ,而(1)202n d a -+≠, 故0=c .经检验,当0=c 时}{n b 是等差数列.3.(本题满分14分)(2013浙江.理)在公差为d 的等差数列{a n }中,已知a 1=10,且a 1,2a 2+2,5a 3成等比数列.(Ⅰ)求d ,a n ;(Ⅱ) 若d<0,求|a 1|+|a 2|+|a 3|+…+|a n | .解.本题主要考查等差数列、等比数列的概念,等差数列通项公式、求和公式等基础知识,同时考查运算求解能力。

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2013 年全国高考理科数学试题分类汇编 4:数列一、选择题1 .( 2013 年高考上海卷(理) ) 在数列 { a n } 中, a n 2n1, 若一个 7 行 12 列的矩阵的第 i行第 j 列的元素 aa a j a a j ,( i 1,2, ,7; j 1,2, ,12 ) 则该矩阵元素能取到 i,j i i 的不同数值的个数为( ) (A)18 (B)28 (C)48 (D)63【答案】 A.2 .( 2013 年普通高等学校招生统一考试大纲版数学(理)WORD 版含答案(已校对) ) 已知数列 a n 满足 3a n 1 a n 0, a 2 4 的前10, 则 a n 项和等于 3 (A) 6 1 3 10 (B) 1 1 3 10 (C) 3 1 3 10 (D) 3 1+3 10 9【答案】 C3 .( 2013 年高考新课标1(理)) 设 A n B n C n 的三边长分别为 a n , b n , c n , A n B n C n 的面积为 S n , n 1,2,3, , 若 b 1 c 1,b 1 c 1 2a 1 , a n 1 a n , b n 1cn an, c n 1 b n a n , 则 ( )2 2 A.{ Sn} 为递减数列B.{ Sn} 为递增数列C.{ S2n-1 } 为递增数列 ,{ S2n} 为递减数列D.{ S2n-1 } 为递减数列 ,{ S2n} 为递增数列【答案】 B4 .( 2013 年普通高等学校招生统一考试安徽数学(理)试题(纯WORD 版))函数y=f (x) 的图 像如图所示 , 在区间a,b 上可找到 n(n 2) 个不同的数 x 1,x 2 ...,x n , 使得 f (x 1 ) f (x 2 ) f (x n )则 n 的取值范围是x 1 = = ,x 2 x n(A) 3,4 (B) 2,3,4 (C) 3,4,5 (D) 2,3【答案】 B5 .( 2013 年普通高等学校招生统一考试福建数学(理)试题(纯 WORD版))已知等比数列{ a n }第 1 页共 19 页的公比为q, 记 b n a m( n 1) 1 a m( n 1) 2 ... a m (n 1) m ,cn am(n 1) 1 am( n 1) 2 ... am (n1) m (m, n N * ), 则以下结论一定正确的是 ( ) A. 数列 {b n } 为等差数列 , 公差为 q mB. 数列 { b n } 为等比数列 , 公比为 q 2mC.数列 { c n }为等比数列, 公比为 q m2D. 数列 { c n } 为等比数列 , 公比为 q mm【答案】 C6 (. 2013 年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ 卷数学(理)(纯 WORD 版含答案))等比数列 a n 的前 n 项和为 S n , 已知 S 3a 2 10a 1 , a 5 9 , 则 a 1 1 (B) 1 1 1(A) 3 (C) (D)3 9 9 【答案】 C7 (. 2013 年高考新课标 1(理))设等差数列 a n 的前 n 项和为 S n , S m 1 2, S m 0,S m 1 3 , 则 m ( )A.3B.4C.5D.6【答案】 C8 .( 2013 年普通高等学校招生统一考试辽宁数学 (理)试题( WORD 版))d 0 下面是关于公差的等差数列a n 的四个命题 : p 1 : 数列 a n 是递增数列; p 2 : 数列 na n 是递增数列; p 3 : 数列a n 是递增数列;p 4 : 数列 a n 3nd 是递增数列; n 其中的真命题为(A)p 1, p 2 (B) p 3 , p 4 (C) p 2 , p 3 (D) p 1, p 4 【答案】 D9 .( 2013 年高考江西卷(理) ) 等比数列 x,3x+3,6x+6,.. 的第四项等于A.-24B.C.12D.240 【答案】 A 二、填空题10.( 2013 年高考四川卷(理))在等差数列 { a n } 中 , a2a18 , 且 a4为 a2和 a3的等比中项 ,求数列 { a n} 的首项、公差及前n 项和 .【答案】解 : 设该数列公差为 d , 前 n 项和为s n . 由已知 , 可得第2 页共 19 页2a 1 2d 8, a 1 3d2a 1 d a 1 8d .所以 a 1 d 4,d d 3a 10 ,解得a 14,d 0 , 或 a 1 1,d 3 , 即数列a n 的首相为 4, 公差为 0, 或首相为 1,公差为 3.所以数列的前 n项和 s4n 或s n 3n 2 nn 211(. 2013 年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ 卷数学(理)(纯 WORD 版含答案))等差数列 an 的前 n 项和为 S , 已知 S0, S 25 , 则 nS 的最小值为 ________. n 10 15 n 【答案】49 12.( 2013 年高考湖北卷(理) ) 古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数. 如三角 形 数 1,3,6,10,, 第 n 个 三 角 形 数为n n11 n2 1n . 记 第 n 个k 边 形 数为2 2 2 N n,k k3 , 以下列出了部分 k 边形数中第 n 个数的表达式 : 三角形数N n,3 1 n 2 1 n2 2 正方形数N n,4 n 2 五边形数N n,5 3 n 2 1 n 2 2 六边形数N n,6 2n 2 n可以推测 N n,k 的表达式 , 由此计算 N 10,24 ___________.选考题【答案】 100013.( 2013 年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷(数学) (已校对纯 WORD 版含附加题) )在正项等比数列{ an } 中 , a5 12 ,a6a7 3, 则满足a1 a2an a1a2an的最大正整数n 的值为_____________.【答案】1214.( 2013 年高考湖南卷(理))设Sn 为数列an的前n 项和 , Sn( 1)nan12n,nN , 则(1) a3 _____;(2)S1S2 S100___________.【答案】1 ; 1( 110016 3 21)第3 页共19页15.( 2013 年普通高等学校招生统一考试福建数学 (理) 试题(纯 WORD版))当 x R, x1时 ,有如下表达式 : 1x x 2 ... x n... 1 1 .x 1 1 1 1 1 1 两边同时积分得 :21dx 2 xdx 2 x 2dx ... 2 x n dx ... 2 dx. 0 0 0 00 1 x从而得到如下等式 : 11 1 ( 1 )21 ( 1 ) 3 ... 1 ( 1 )n1 ... ln 2.2 2 23 2 n 1 2 请根据以下材料所蕴含的数学思想方法, 计算 :0 11 1 1 2 1 2 1 3 1 n 1 n1 C n2 2C n( 2 )3 C n ( 2 ) ... n 1C n ( 2)_____ 【答案】 n 1 [( 3 ) n 1 1]1 216.( 2013 年普通高等学校招生统一考试重庆数学(理)试题(含答案)) 已知a n 是等差数 列, a 1 1, 公差 d0 , S n 为其前 n 项和 , 若 a 1 , a 2 , a 5 成等比数列 , 则S 8 _____【答案】6417.( 2013 年上海市春季高考数学试卷( 含答案 ) )若等差数列的前 6 项和为 23, 前 9 项和为57, 则数列的前 n 项和 S n =__________.【答案】 5 n 27 n6 618.( 2013 年普通高等学校招生统一考试广东省数学(理)卷(纯 WORD 版))在等差数列 an 中 , 已知 a 3 a 8 10 , 则 3a5 a 7 _____. 【答案】2019.( 2013 年高考陕西卷(理) )观察下列等式 :12 112 2 2 3 122232 61222324210照此规律 ,2- 2232-n-1n2 (- 1) n 1第 n 个等式可为___1( -1)2n(n 1)____.【答案】2- 2232-n-1n2( -1)n1n(n 1) 1 ( -1)220.( 2013 年高考新课标1(理))若数列 { a n } 的前 n项和为 Sn=2a n1, 则数列 {a n } 的通项3 3第 4 页共 19 页公式是 a n =______.【答案】 a n = ( 2)n 1 .21.( 2013年普通高等学校招生统一考试安徽数学(理)试题(纯WORD 版))如图 , 互不 - 相同的点 A1 , A2, X n , 和 B1, B2, B n , 分别在角 O的两条边上 , 所有 A n B n相互平行 , 且所有梯形 A n B n B n 1 A n 1的面积均相等 . 设 OA n a n . 若 a11, a22, 则数列a n的通项公式是_________.【答案】 a n3n 2, n N *22.( 2013 年高考北京卷(理))若等比数列 { an} 满足a2+a4=20, a3+a5=40, 则公比q=_______;前n 项和 Sn=___________.【答案】 2, 2n 1 223.( 2013 年普通高等学校招生统一考试辽宁数学(理)试题( WORD版))已知等比数列a n是递增数列 , S n是a n 的前 n 项和 , 若 a1,a3是方程 x25x 4 0 的两个根 , 则S6____________. 【答案】63三、解答题24.( 2013 年普通高等学校招生统一考试安徽数学(理)试题(纯WORD版))设函数f n (x) 1 x x2x2x n n) , 证明 : 22 2n2(x R, n N3( Ⅰ) 对每个 n N n , 存在唯一的x n[ 2,1] , 满足 f n( x n )0 ;31( Ⅱ ) 对任N n , 由 ( Ⅰ ) 中x n构成的数列x n满足0 x n x n p .意pn【答案】解: ( Ⅰ) n 2 3 4 n当 x 0时,y x 2是单调递增的f n( x) 1 x x 2 x2x2x 2是 x的n 2 3 4n第 5 页共 19 页单调递增函数 , 也是 n 的单调递增函数 .且 f n (0) 1 0, f n (1) 1 1 0 . 存在唯一 x n (0,1], 满足 f n( x n ) 0,且1 x 1 x 2 x 3 x n 0 当 x (0,1).时, f n ( x) 1 xx 2 x 3 x 4x n1 x2 1 x n 1 x x 2122 22 22 22x 14 1 x4 1 x0 f n ( x n ) 1 x n x n 21 (x n 2)(3x n 2) 0 x n24 1 x n [ ,1]3 综上 , 对每个 n N n , 存在唯一的x n [ 2 ,1] , 满足 f n ( x n ) 0 ;( 证毕 )3( Ⅱ) 由题知1x n x n p 0, f n ( x n ) 1 x n x n 2 x n 3 x n 4 x n n 022 32 42 n 223 4 n n 1 n pf n p ( x n p ) 1 x n p x n p x n p x n px n p x n p x n p 0 22 32 4 2 n 2 (n 1)2 (n p)2上 式 相 减: x n 2 x n 3 x n 4 x n n 2 x n p 3 x n p 4 x n p n x n p n 1 npx n x n x n p x n p22 32 42 n 2 p 22 32 42 n 2 ( n 1) 2 ( n p) 22 23 34 4 n n n1 n px n - x n p ( xn p - xnxn p -xn xn p - xn xn p - xn )( xn p xn p ) 2 2 3 2 4 2 n 2 (n 1) 2 (n p)21 1 1 xn - xn 1 .n n p n pn法二 :第 6 页共 19 页25 .( 2013 年高考上海卷(理)) (3 分 +6 分+9分 ) 给定常数 c0 , 定义函数f ( x) 2 | x c 4 | | x c |, 数列 a1 , a2 ,a3 , 满足 a n 1 f (a n ), n N * .(1) 若 a c 2 , 求 a 及 a ;(2) 求证 : 对任意 nN* , a1a c ,;1 2 3n n(3 ) 是否存在 a1 , 使得 a1 ,a2 ,a n ,成等差数列 ? 若存在 , 求出所有这样的a1 , 若不存在 , 说明理由 .【答案】 :(1) 因为c 0 , a1( c2) , 故 a2 f (a1) 2| a1 c4| |a1 c | 2 ,a3 f (a1) 2| a2 c 4| | a2 c | c 10第 7 页共 19 页(2) 要证明原命题 , 只需证明 f ( x) x c 对任意 x R 都成立 ,f ( x) x c2 | x c 4 | | x c | x c即只需证明2 | x c 4 | | x c | +x c 若 x c 0 , 显然有 2 | x c 4 | | x c | +x c=0 成立 ; 若 x c 0 , 则 2 |xc 4 | |x c | + x c x c 4 x c 显然成立 综上 , f ( x) x c 恒成立 , 即对任意的 nN *, a n 1 a n c (3) 由 (2)知, 若 { a n } 为等差数列 ,则公差 d c 0 , 故 n 无限增大时 , 总有 a n 0 此时 ,a n 1 f (a n ) 2(a nc 4)(a n c) a n c 8即 d c 8故a 2f (a 1 ) 2| a 1c 4| | a 1 c | a 1 c 8,即2 | a 1 c 4 | | a 1 c | a 1 c 8 ,当 a c 0 时 , 等式成立 , 且 n 2 时 , a 0 , 此时 { a } 为等差数列 , 满足题意 ; 1 n n 若 a 1 c 0 , 则 |a 1 c 4| 4 a 1 c 8 , 此时 , a 20,a 3 c 8, , a n ( n 2)(c 8) 也满足题意 ; 综上 , 满足题意的 a 1 的取值范围是 [c, ) { c 8}.26.( 2013 年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷(数学) (已校对纯 WORD 版含附加题) ) 本小题满分10分 . k 个:1, 2, 2 , 3,,3 ,,3 ,4 , k- 1 k -1设 数 列 ( ) , ,( ) , 即 当 a n - -- , ,4 4- 1k - - - - 1 k( k )k ( ) k 11n k k 1k N 时 , a n k , 记 S n a 1 a 2 a n n N , 对2 2 (-1)于 l N , 定义集合 P ln S n 是 a n 的整数倍, n N ,且 1 n l (1) 求集合 P 11 中元素的个数 ; (2) 求集合 P 2000 中元素的个数 .【答案】 本题主要考察集合. 数列的概念与运算 . 计数原理等基础知识 , 考察探究能力及运用 数学归纳法分析解决问题能力及推理论证能力.第 8页 共 19页(1) 解 :由 数列a n 的 定义 得 : a 11 , a 22 , a3 2 , a 43 , a 5 3 , a 6 3 , a 74 , a 8 4 , a 94 , a104 , a 11 5∴ S 1 1 , S 2 1 , S 3 3 , S 4 0 , S 3 , S 6 , S 2 , S 8 2 , S 9 6 , 5 6 7 S10 10 , S 11 5∴ S 1 1 a 1 , S 4 0 a 4 , S 5 1 a 5 , S 6 2 a 6 , S 111 a 11 ∴集合 P 11 中元素的个数为5 (2) 证明 : 用数学归纳法先证 (21) S i ( 2i 1) i i事实上 ,① 当 i 1时 ,Si( 2i 1) S 31 (2 1)3 故原式成立 ② 假设当 i m 时 , 等式成立 , 即(2 1)故原式成立 Sm(2 m 1) m m则: i m 1, 时 ,S( m 1)[ 2( m 1) 1} S ( m 1)( 2m 3} S m(2m 1) ( 2m 1) 2 (2m 2)2 m(2m 1) (2m 1) 2 (2m 2) 2(2m 2 5m 3) ( m 1)( 2m 3)综合①②得 :Si (2 i 1) i (2 i 1) 于是S( i 1)[ 2i 1} Si ( 2i 1} (2i 1) 2 i (2i 1) (2i 1)2 (2i 1)(i 1) 由上可知 : S i ( 2i 1} 是 (2i1) 的倍数 而 a1)( 2i 1} j 2i 1( j 1,2, ,2i 1) , 所以S S j i 1) 是 ( i i (2i 1) j i (2 i 1) ( 2a(i 1)( 2i 1} j ( j 1,2,,2i 1) 的倍数又S( i 1)[2i1}(i1)(2 1)不是2i2 的倍数 ,i而( 2 2)( 1,2, ,2 2) a(i1)(2i1} j i j i所以(22) (2 1)( 1) (22)不是S( i1)( 2i1) j S(i1)(2i1) j i i i j i第 9 页共 19 页a(i 1)( 2 i 1} j ( j 1,2, ,2i 2) 的倍数故当 l i(2i1) 时, 集合 P l 中元素的个数为 1 3 (2i -1) i 2 于是当 li( 2i 1) j (1 j 2i 1)时 , 集合 P l 中元素的个数为 i 2 j 又 2000 31 (2 31 1) 47 故集合 P 2000 中元素的个数为312 47 100827.( 2013 年普通高等学校招生统一考试浙江数学(理)试题(纯WORD 版)) 在公差为 d 的等 差数列 { a n } 中 , 已知 a 1 10 , 且 a 1 ,2a 2 2,5a 3 成等比数列 .(1) 求 d, a n ; (2) 若 d 0 , 求 | a 1 | | a 2 | | a 3 | | a n | . 【答案】 解:( Ⅰ) 由已知得到 :(2 a 2 2) 2 5a a 4(a d 1)2 50(a 2d ) (11 d ) 225(5 d )1 3 1 1 121 22d d2 125 25d d 2 3d 4 0d 4d 1 a n 4n 或 6 a n 11 n ; ( Ⅱ) 由 (1) 知 ,当 d0 时 , a n 11 n , ①当 1 n 11 时 ,a n0 | a 1 | | a 2 | | a 3 | | a n | a 1 a 2a 3a n n(10 11 n)n(21 n)2 2②当 12n 时 ,a n 0 | a 1 | | a 2 | | a 3 | | a n | a 1a 2 a 3 a 11 (a 12 a13 a n ) 2( a 1 a 2 a 3a 11 ) (a 1 a 2 a 3 11(21 11) n(21 n) n 2 21n 220 a n ) 2 2 2 2n(21n),(1 n 11) 所以 , 综上所述 :| a | | a | | a2;| a |n |1 2 3n221n 22012)2,( n28.( 2013 年高考湖北卷(理))已知等比数列a n 满足 :a2a310 , a1a2 a3125 .第 10 页共 19 页(I) 求数列 a n 的通项公式 ;(II) 是否存在正整数 m , 使得 1 1 1 1 ?若存在 , 求 m 的最小值 ; 若不存在 , 说 a 1 a 2a m 明理由 .【答案】 解 :(I) 由已知条件得 :a 2 5 , 又 a 2 q 1 10 , q 1或 3 , 所以数列a n 的通项或 a n 5 3n 2(II) 若 q 1, 1 11 1或 0 , 不存在这样的正整数m ;a 1 a 2 a m 5m 9 , 不存在这样的正整数 m .若 q 3, 1 1 1 9 1 1a 1 a 2 a m 10 31029.( 2013 年普通高等学校招生统一考试山东数学(理)试题(含答案) )设等差数列a 的前 n n 项和为 S n , 且S 44S 2 , a 2 n 2a n 1 .( Ⅰ) 求数列 a n 的通项公式 ;( Ⅱ) 设数列b n 前 n 项和为 T n , 且 T n a n 1 ( 为常数 ).令 c n b 2n (n N * ) . 求数 2n列 c n 的前 n 项和 R n .【答案】 解:( Ⅰ) 设等差数列an的首项为 a1 , 公差为 d ,由 S 44S 2 , a 2n 2a n 1得4a 1 6d 8a 1 4d a 1 (2n 1) 2a 1 2(n 1)d 1 ,解得 , a11,d 2因此an2n 1 ( n N * ) T nn2n 1( Ⅱ) 由题意知 :b n T nT n nn 1所以 n 1 2n22 时 ,2n 1第 11 页 共 19页2n 2 1 n 1故, c n b2n 22n 1 ( n 1)( 4)( n N *)R n 0 ( 1) 0 1 ( 1)1 2 ( 1) 2 3 ( 1) 3 (n 1) ( 1) n 1所以 4 4 4 4 4 ,1R n 0 ( 1)1 1 (1 ) 2 2 (1 )3(n 2) ( 1) n 1 (n 1) ( 1)n则 4 4 4 44 43R n ( 1 )1 ( 1 )2 ( 1 )3 (1 )n1 (n 1) (1 ) n 两式相减得 44 4 4 4 41 (1 )n 1)(1 )n4 4 (n 1 1 4 4 R n 1 3n 1 ) (4 4 n 1整理得9的前 n 项和Rn1 3n 1所以数列数列c n 9 (4 4n 1 ) 30.( 2013 年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷(数学) (已校对纯 WORD 版含附加题) )本小题满分16 分 . 设 { a } 是首项为 a , 公差为 d 的等差数列 (d 0) , S 是其前 n 项和 . 记 n nb n nS n , n N* , 其中 c 为实数 .n 2 c (1) 若 c 0 , 且 b 1,b 2,b 4 成等比数列 , 证明 : S nk n 2S k ( k,n N * ); (2) 若 { b n } 是等差数列 , 证明 : c 0 . 【答案】 证明 : ∵ { a n } 是首项为 a , 公差为 d 的等差数列 ( d0) , S n 是其前 n 项和∴ S n na n(n 1) d2(1) ∵c 0 ∴b nS nan 1dn 2∵ b1, b2,b4成等比数列∴b2 2 b1b4∴ (a 1 d ) 2 a( a3 d )2 2∴1 ad 1 d 2 0 ∴1 d( a1 d ) 0 ∵ d 0 ∴ a 1 d∴ d 2a 2 4 22 2∴ S n na n(n 1) d na n(n 1) 2a n 2a2 2第 12 页共 19 页∴左边 = S nk (nk) 2 a n 2 k 2 a 右边 = n 2S kn 2 k 2a ∴左边 =右边∴原式成立(2) ∵ { b n } 是等差数列∴设公差为 d 1 , ∴ b n b 1 (n 1) d 1 带入b nnS n 得:n 2 cb 1 (n 1)d 1 nS n 1 d ) n 3 (b 1 d 1 a 1 2 cd 1 n c(d 1 b 1 ) 对n 2c ∴ (d 1 d ) n2 2n N 恒成立d 1 1 d 02 ∴ b 1 d 1 a 1 d 0 2 cd 1 0 c(d 1 b 1 ) 0由①式得 :d 1 1 d ∵ d 0 ∴ d 1 02 由③式得 :c 0法二 : 证 :(1)若 c0 , 则 a n a ( n 1)d , S n n[( n 1)d 2a], b n (n 1)d 2a .2 2 当 b 1, b 2,b 4 成等比数列 ,b 22b 1b 4 ,d 2 3d即:a a a , 得 : d 2 2ad , 又 d 0 , 故 d 2a .2 2 由此 : S nn 2 a , S nk ( nk) 2 a n 2k 2 a , n 2 S k n 2 k 2a . 故: S nkn 2S k ( k, n N * ).nS n n 2 (n 1)d 2a (2) b n 2, n 2 c n 2 c n 2 (n 1)d 2a c (n 1) d 2a c (n 1)d 2a2 2 2n2 c(n 1) d2a c(n 1)d 2an 22 . ( ※)2 c若 { b n} 是等差数列 , 则 b n An Bn 型.观察 ( ※) 式后一项 , 分子幂低于分母幂 ,第 13 页共 19 页c(n 1) d2a1)d 2a ( n 1)d 2a故有 :2(n≠0, n 2 0 , 即 c 0 , 而2c2 故 c 0. 经检验 ,当 c0 时 {b n } 是等差数列 . 31.( 2013 年普通高等学校招生统一考试大纲版数学(理)WORD 版含答案(已校对) ) 等差数列 a n 的前 n 项和为 S n , 已知 S 3 =a 2 2 , 且 S 1 , S 2 , S 4 成等比数列 , 求 a n 的通项式 .【答案】32.( 2013 年普通高等学校招生统一考试天津数学(理)试题(含答案))已知首项为 3的等比 2 数列{ a n } 不是递减数列 , 其前 3 3 5 5 4 4 成等差数 n 项和为 S n ( n N *) , 且 S + a , S + a , S + a列.( Ⅰ) 求数列 { a n } 的通项公式 ; ( Ⅱ ) 设 T n S n1 ( n N* ) , 求数列 { Tn } 的最大项的值与最小项的值 . S n 【答案】第 14 页共 19 页33 .(2013 年高考江西卷(理))正项数列 {a n} 的前项和{a n} 满足: sn2 (n2n 1)s n( n2n) 0(1) 求数列 {a n} 的通项公式 an;(2) 令b nn 12, 数列{b} 的前 n 项和为 T n . 证明 : 对于任意的 n* 5 2nN , 都有T n (n 2)a 64【答案】 (1) 解 :由 S n2(n2n 1)S n(n2n) 0 , 得 S n(n2n) (S n1) 0 .由于an 是正项数列 ,所以S 0, S n2n.n n于是 a1S12,n 2时 , anS n S n1 n2n (n 1)2(n 1) 2n .综上 , 数列a n 的通项a n2n .(2) 证明 : 由于an 2n, b nn 1.(n2) 2 a n2则 b nn 1 1 1 1.4n2 (n2)216 n2( n 2)2第 15 页共 19 页T n111 1 1 1 1⋯11 1 13222423252(n 1)2(n 1)2n2( n 2)2 16111 1 1 1 1 51622(n2(n 2)2 (1 2 )64.1) 16 234.( 2013 年普通高等学校招生统一考试广东省数学(理)卷(纯 WORD版))设数列a n的前n项和为 S n . 已知a12S na n1 2n2n* 1, 1 n , N .n 3 3( Ⅰ) 求 a2的值 ;( Ⅱ) 求数列a n的通项公式 ;( Ⅲ) 证明 : 对一切正整数n , 有1 1 17 .a1a2a n 4【答案】.(1)解:2S na n1 1 n2n2 , n N .n 3 3当n 1 时 , 2a12S1a21 1 2 a2 23 3又a11, a2 4(2)解 : 2S n a n 1 1 n2 n 2 , n N .n3 32S n na n 1 1 n3n22 n na n 1n n 1 n 2①33 3当 n 2时 , 2S n 1n 1 a nn 1 n n 1②3由①—②, 得2S n2S n 1na n 1n 1 a n n n 1 2a n2S n2S n 12a n na n 1n 1 a n n n 1a n1 a n1 数列a n是以首项为a11 , 公差为 1 的等差数列 .n 1 n n1 a n 1 1 n 1 n, a n n2 n 2n 当 n 1时 , 上式显然成立 . a n n2 , n N *(3) 证明 : 由(2) 知 , a n n2 , n N *第 16 页共 19 页①当 n 1时 , 1 1 7 , 原不等式成立 .a 1 4 ②当 n 2 时 , 111 1 7原不等式亦成立 .a 1 a 2 , 4 4 ③当 n 3 时,n 2n 1 n 1 , 1 n 1 1 1n 2 n1 1 1 1 1 11 1111a 1 a 2a n 12 22n 2 1 3 2 4 n 2 n n 1 n 11 1 1 1 1 1 1 1 111 1 1 111 1 32 2 4 23 5 2 n 2 n 2 n 1 n 12 1 1 1 1 1 1 111111 1 32 43 5n 2 n n 1 n 12 1 1 1 1 17 1117 11 2 n n 14 2 n n 14 2 当 n 3 时 ,, 原不等式亦成立 .综上 , 对一切正整数n , 有 11 1 7 . a 1 a2 a n 4 35.( 2013 年高考北京卷(理) )已知 { a } 是由非负整数组成的无穷数列 , 该数列前 n 项的最大n值记为 An, 第 n 项之后各项 a n 1, a n 2 , 的最小值记为 Bn,dn=An- Bn . (I) 若 { an} 为 2,1,4,3,2,1,4,3,, 4 的数列 ( 即对任意* a n ), 写出是一个周期为 n ∈N , a n 4d1, d2 , d3, d4 的值 ;(II) 设 d 为非负整数 , 证明 : dn=- d( n=1,2,3) 的充分必要条件为 { an} 为公差为 d的等差数列 ;(III) 证明 : 若 a =2, d =1( n=1,2,3,), 则 { a } 的项只能是 1 或者 2, 且有无穷多项为 1.1n n【答案】 (I) d1d21,d3 d4 3.(II)( 充分性 )因为a n 是公差为d 的等差数列 ,且 d 0, 所以 a1a2a n.因此 A n a n , B n a n1 ,d n a n a n1 d (n 1,2,3, ) .( 必要性 ) 因为d n d0 (n 1,2,3, ) , 所以 A n B n d n B n .第 17 页共 19 页又因为a n A n, a n 1B n ,所以 a n a n 1 .于是A n a n ,B n a n 1 .因此 a n 1a n B n A n d n d , 即 an是公差为 d 的等差数列 .(III) 因为a12,d11, 所以A1 a1 2,B1A1 d1 1. 故对任意n 1,a n B1 1.假设 a ( n 2) 中存在大于 2的项 .n设 m 为满足 a n 2 的最小正整数 ,则 m 2, 并且对任意 1 k m, a k 2 ,.又因为a1 2 ,所以 A m 12 , 且A m a m 2 .于是B m A m d m 2 1 1 , Bm1 min a m , B m2 .故 dm 1A m 1B m1 2 2 0 , 与 dm 11 矛盾 .所以对于任意n 1, 有 a 2 , 即非负整数列an的各项只能为 1 或 2.n因此对任意n 1, a 2 a , 所以A 2 .故B n A n d n 2 1 1.n 1 n因此对于任意正整数n , 存在 m 满足mn , 且 a m1, 即数列a n有无穷多项为 1.36.( 2013 年高考陕西卷(理))设 { a n } 是公比为 q 的等比数列 .( Ⅰ) 导 { a n } 的前 n 项和公式 ; ( Ⅱ ) 设q≠ 1,证明数列{ a n1} 不是等比数列 . 【答案】解:( Ⅰ) 分两种情况讨论 .①当q 1时,数列 { a n } 是首项为 a1的常数数列,所以 S n a1a1a1na1 .②当q 1时,S n a1a2a n 1 a n qS n qa1qa2qa n 1qa n .上面两式错位相减: (1- q)S n a1(a2qa1 ) (a3 qa2 ) (a n qa n 1 ) qa n a1qa n .nSna1 qan . a1 (1 q ) .1 - q 1- qna1 , (q 1)③综上,S na1 (1q n )(q 1) 1,q( Ⅱ ) 使用反证法 .第 18 页共 19 页设 { a n } 是公比 q≠1的等比数列 ,假设数列 { a n1} 是等比数列 . 则①当n N *,使得a n1 =0 成立 , 则{ a n1}不是等比数列 .②当n N *,使得a n1 0 成立 , 则an 1 1 a1q n 1恒为常数a n 1 a1 q n 1 1a1q n1 a1 qn11当 a1 0时, q1. 这与题目条件≠1矛盾 .q③综上两种情况 , 假设数列 { a n 1} 是等比数列均不成立 , 所以当q≠1时 ,数列{ an1} 不是等比数列 .第 19 页共 19 页。

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