2014高考数学真题分类汇编- 数列

D 单元 数列

D1 数列的概念与简单表示法 17．、、[2014·江西卷] 已知首项都是1的两个数列{a n }，{b n }(b n ≠0，n ∈N *)满足a n b n ＋1

－a n ＋1b n ＋2b n ＋1b n ＝0.

(1)令c n ＝a n

b n ，求数列{

c n }的通项公式；

(2)若b n ＝3n －

1，求数列{a n }的前n 项和S n .

17．解：(1)因为a n b n ＋1－a n ＋1b n ＋2b n ＋1b n ＝0，b n ≠0(n ∈N *)，所以a n ＋1b n ＋1－a n

b n

＝2，即c n ＋1

－c n ＝2，

所以数列{c n }是以c 1＝1为首项，d ＝2为公差的等差数列，故c n ＝2n －1.

(2)由b n ＝3n －1，知a n ＝(2n －1)3n －

1，于是数列{a n }的前n 项和S n ＝1×30＋3×31＋5×32

＋…＋(2n －1)×3n －1，3S n ＝1×31＋3×32＋…＋(2n －3)×3n －

1＋(2n －1)×3n ，将两式相减得

－2S n ＝1＋2×(31＋32＋…＋3n －

1)－(2n －1)×3n ＝－2－(2n －2)×3n ，

所以S n ＝(n －1)3n ＋1. 17．、[2014·新课标全国卷Ⅰ] 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a n ≠0，a n a n ＋1＝λS n

－1，其中λ为常数．

(1)证明：a n ＋2－a n ＝λ.

(2)是否存在λ，使得{a n }为等差数列？并说明理由．

17．解：(1)证明：由题设，a n a n ＋1＝λS n －1，a n ＋1a n ＋2＝λS n ＋1－1， 两式相减得a n ＋1(a n ＋2－a n )＝λa n ＋1. 因为a n ＋1≠0，所以a n ＋2－a n ＝λ.

(2)由题设，a 1＝1，a 1a 2＝λS 1－1，可得 a 2＝λ－1， 由(1)知，a 3＝λ＋1.

若{a n }为等差数列，则2a 2＝a 1＋a 3，解得λ＝4，故a n ＋2－a n ＝4. 由此可得{a 2n －1}是首项为1，公差为4的等差数列， a 2n －1＝4n －3；

{a 2n }是首项为3，公差为4的等差数列，a 2n ＝4n －1. 所以a n ＝2n －1，a n ＋1－a n ＝2.

因此存在λ＝4，使得数列{a n }为等差数列． 17．、、[2014·新课标全国卷Ⅱ] 已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝3a n ＋1.

(1)证明⎩⎨⎧

⎭⎬⎫a n ＋12是等比数列，并求{a n }的通项公式；

(2)证明1a 1＋1a 2＋…＋1a n ＜3

2

.

17．解：(1)由a n ＋1＝3a n ＋1得a n ＋1＋1

2＝3⎝

⎛⎭⎫a n ＋12. 又a 1＋12＝32，所以⎩⎨⎧⎭

⎬⎫a n ＋12是首项为32，公比为3的等比数列，所以a n ＋12＝3n

2，因此数

列{a n }的通项公式为a n ＝3n

－1

2.

(2)证明：由(1)知1a n ＝2

3n －1

.

因为当n ≥1时，3n －1≥2×3n －

1，

所以13n －1≤12×3

n －1，即1a n ＝23n

－1≤13n －1.

于是1a 1＋1a 2＋…＋1a n ≤1＋13＋…＋13

n －1＝3

2⎝⎛⎭⎫1－13n <32. 所以1a 1＋1a 2＋…＋1a n <32

.

22．，，[2014·重庆卷] 设a 1＝1，a n ＋1＝a 2n －2a n ＋2＋b (n ∈N *

)． (1)若b ＝1，求a 2，a 3及数列{a n }的通项公式．

(2)若b ＝－1，问：是否存在实数c 使得a 2n

(a n ＋1－1)2＝(a n －1)2＋1.

从而{(a n －1)2}是首项为0，公差为1的等差数列， 故(a n －1)2＝n －1，即a n ＝n －1＋1(n ∈N *)． 方法二：a 2＝2，a 3＝2＋1.

可写为a 1＝1－1＋1，a 2＝2－1＋1，a 3＝3－1＋1.因此猜想a n ＝n －1＋1. 下面用数学归纳法证明上式． 当n ＝1时，结论显然成立．

假设n ＝k 时结论成立，即a k ＝k －1＋1，则

a k ＋1＝（a k －1）2＋1＋1＝（k －1）＋1＋1＝（k ＋1）－1＋1， 这就是说，当n ＝k ＋1时结论成立． 所以a n ＝n －1＋1(n ∈N *)．

(2)方法一：设f (x )＝（x －1）2＋1－1，则a n ＋1＝f (a n )．

令c ＝f (c )，即c ＝（c －1）2＋1－1，解得c ＝1

4

.

下面用数学归纳法证明命题 a 2n

当n ＝1时，a 2＝f (1)＝0，a 3＝f (0)＝2－1，所以a 2<1

4

假设n ＝k 时结论成立，即a 2k f (a 2k ＋1)>f (1)＝a 2，即 1>c >a 2k ＋2>a 2.

再由f (x )在(－∞，1]上为减函数，得c ＝f (c )

故c

综上，存在 c ＝1

4使a 2n

方法二：设f (x )＝（x －1）2＋1－1，则a n ＋1＝f (a n )． 先证：0≤a n ≤1(n ∈N *)． ① 当n ＝1时，结论明显成立．

假设n ＝k 时结论成立，即0≤a k ≤1. 易知f (x )在(－∞，1]上为减函数，从而 0＝f (1)≤f (a k )≤f (0)＝2－1<1.

即0≤a k ＋1≤1.这就是说，当n ＝k ＋1时结论成立．故①成立． 再证：a 2n

当n ＝1时，a 2＝f (1)＝0，a 3＝f (a 2)＝f (0)＝2－1，所以a 2f (a 2k ＋1)＝a 2k ＋2， a 2(k ＋1)＝f (a 2k ＋1)

这就是说，当n ＝k ＋1时②成立．所以②对一切n ∈N *成立． 由②得a 2n