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2014高考数学真题分类汇编- 数列

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2014高考数列真题汇编

2014高考数列真题汇编

2014高考数列真题汇编一、选择题1．在等差数列{a n }中，若a 2＋2a 6＋a 10＝120，则a 3＋a 9等于 ( )A ．30B ．40C ．60D ．802．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且4a 1,2a 2，a 3成等差数列，若a 1＝1，则S 4等于 ( )A ．7B ．8C ．15D ．163．等比数列{a n }中，a 1＝512，公比q ＝－12，用Πn 表示它的前n 项之积：Πn ＝a 1·a 2·…·a n ，则Πn 中最大的是 ( )A ．Π11B ．Π10C ．Π9D ．Π84．设函数f (x )＝x m ＋ax 的导函数f ′(x )＝2x ＋1，则数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1f (n )(n ∈N *)的前n 项和是( )A.n n ＋1B.n ＋2n ＋1C.n n －1D.n ＋1n 5．如果数列{a n }满足a 1＝2，a 2＝1，且a n －1－a n a n －1＝a n －a n ＋1a n ＋1(n ≥2，n ∈N *)，则这个数列的 第10项等于 ( ) A.1210 B.129 C.110 D.156．数列{a n }中，a 1＝1，a n 、a n ＋1是方程x 2－(2n ＋1)x ＋1b n＝0的两个根，则数列{b n }的前 n 项和S n ＝ ( )A.12n ＋1B.1n ＋1C.n 2n ＋1D.n n ＋1二、填空题7．数列{a n }的构成法则如下：a 1＝1，如果a n －2为自然数且该自然数之前未出现过，则 用递推公式a n ＋1＝a n －2，否则用递推公式a n ＋1＝3a n ，则a 6＝________.8．已知数列{a n }满足a n ＋1a n＝n ＋2n (n ∈N *)，且a 1＝1，则a n ＝________. 9．如图，它满足：(1)第n 行首尾两数均为n ；(2)图中的递推关系类似杨辉三角，则第n (n ≥2)行的第2个数是________．10．对正整数n ，设曲线y ＝x n (1－x )在x ＝2处的切线与y 轴交点的纵坐标为a n ，则数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a n n ＋1的前n 项和的公式是________．三、解答题11．等差数列{a n }的各项均为正数，a 1＝3，前n 项和为S n ，{b n }为等比数列， b 1＝1，且b 2S 2＝64，b 3S 3＝960.(1)求a n 与b n ；(2)求1S 1＋1S 2＋…＋1S n的值．12．已知数列{a n }满足a 1＝0，a 2＝2，且对任意m ，n ∈N *都有a 2m －1＋a 2n －1＝2a m ＋n －1＋2(m －n )2.(1)求a 3，a 5； (2)设b n ＝a 2n ＋1－a 2n －1(n ∈N *)，证明：{b n }是等差数列；13．已知{a n }是等差数列，满足a 1＝3，a 4＝12，数列{b n }满足b 1＝4，b 4＝20，且{b n －a n }为等比数列．(1)求数列{a n }和{b n }的通项公式； (2)求数列{b n }的前n 项和．14．在等比数列{a n }中，a 2＝3，a 5＝81.(1)求a n ； (2)设b n ＝log 3a n ，求数列{b n }的前n 项和S n .15．已知等差数列{a n }满足：a 1＝2，且a 1，a 2，a 5成等比数列．(1)求数列{a n }的通项公式． (2)记S n 为数列{a n }的前n 项和，是否存在正整数n ，使得S n ＞60n ＋800？若存在，求n 的最小值；若不存在，说明理由．16． 已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋n 2，n ∈N *.(1)求数列{a n }的通项公式； (2)设b n ＝2a n ＋(－1)n a n ，求数列{b n }的前2n 项和．17． 数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝2，a n ＋2＝2a n ＋1－a n ＋2.(1)设b n ＝a n ＋1－a n ，证明{b n }是等差数列； (2)求{a n }的通项公式．18． 已知{a n }是递增的等差数列，a 2，a 4是方程x 2－5x ＋6＝0的根．(1)求{a n }的通项公式； (2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n 的前n 项和．。

2014年数学高考分类汇编——数列

2014年数学高考分类汇编——数列

2014年全国高考数学试题分类汇编（数列）1.【2014·全国卷Ⅱ（文5）】等差数列{}n a 的公差为2，若2a ，4a ，8a 成等比数列，则{}n a 的前n 项和n S =（A ） ()1n n + （B ）()1n n - （C ）()12n n + (D)()12n n -【答案】A2.【2014·全国大纲卷（理10）】等比数列{}n a 中，452,5a a ==，则数列{lg }n a 的前8项和等于 （ ）A ．6B ．5C ．4D ．3 【答案】C ．3.【2014·全国大纲卷（文8）】设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 2=3，S 4=15，则S 6=( ) A. 31 B. 32 C. 63 D. 64 【答案】C4.【2014·北京卷（理5）】设{}n a 是公比为q 的等比数列，则"1"q >是"{}"n a 为递增数列的（ ）.A 充分且不必要条件 .B 必要且不充分条件 .C 充分必要条件 .D 既不充分也不必要条件【答案】D5.【2014·天津卷（文5）】设{}n a 是首项为1a ，公差为-1的等差数列，n S 为其前n 项和.若124,,S S S 成等比数列，则1a =（ ）（A ）2 （B ）-2 （C ）12 （D ）12- 【答案】D .6.【2014·福建卷（理3）】等差数列{}n a 的前n 项和n S ，若132,12a S ==，则6a =( ).8A .10B .12C .14D【答案】C7.【2014·辽宁卷（文9）】设等差数列{}n a 的公差为d ，若数列1{2}n a a为递减数列，则（ ）A ．0d >B ．0d <C ．10a d >D ．10a d <【答案】D8.【2014·陕西卷（理文4）】根据右边框图，对大于2的整数N ，得出数列的通项公式是（ ）.2n Aa n = .2(1)n B a n =-.2n n C a = 1.2n n D a -=【答案】C9.【2014·重庆卷（理2）】对任意等比数列{}n a ,下列说法一定正确的是（ ）139.,,A a a a 成等比数列 236.,,B a a a 成等比数列 248.,,C a a a 成等比数列 369.,,D a a a 成等比数列【答案】D10.【2014·重庆卷（文2）】在等差数列{}n a 中,1352,10a a a =+=，则7a =（ ）.5A .8B .10C .14D【答案】B11.【2014·全国卷Ⅱ（文16）】数列{}n a 满足1+n a =n a -11，2a =2，则1a =_________.【答案】2112.【2014·安徽卷（理12）】数列{}a n 是等差数列，若1a 1+，3a 3+，5a 5+构成公比为q 的等比数列，则q =________. 【答案】1q =。

2014-2019年高考数学真题分类汇编专题7：数列4(较难综合解答题)1

2014-2019年高考数学真题分类汇编专题7：数列4(较难综合解答题)1

2014-2019年高考数学真题分类汇编专题7：数列（较难综合解答题）1．（2014•安徽理）设实数0c >，整数1p >，*n N ∈． （Ⅰ）证明：当1x >-且0x ≠时，(1)1p x px +>+；（Ⅱ）数列{}n a 满足11pa c >，111p n n np c a a a p p-+-=+．证明：11p n n a a c +>>．2．（2014•广东文）设各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S 满足222(3)3()0nn S n n S n n -+--+=，*n N ∈．（1）求1a 的值；（2）求数列{}n a 的通项公式； （3）证明：对一切正整数n ，有11221111(1)(1)(1)3n n a a a a a a ++⋯+<+++．3．（2014•广东理）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足21234n n S na n n +=--，*n N ∈，且315S =． （1）求1a ，2a ，3a 的值； （2）求数列{}n a 的通项公式．4．（2014•湖南理）已知数列{}n a 满足11a =，1||n n n a a p +-=，*n N ∈． （Ⅰ）若{}n a 是递增数列，且1a ，22a ，33a 成等差数列，求p 的值； （Ⅱ）若12p =，且21{}n a -是递增数列，2{}n a 是递减数列，求数列{}n a 的通项公式．5．（2014•江苏）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若对任意的正整数n ，总存在正整数m ，使得n m S a =，则称{}n a 是“H 数列”．（1）若数列{}n a 的前n 项和为*2()n n S n N =∈，证明：{}n a 是“H 数列”；（2）设{}n a 是等差数列，其首项11a =，公差0d <，若{}n a 是“H 数列”，求d 的值；（3）证明：对任意的等差数列{}n a ，总存在两个“H 数列” {}n b 和{}n ð，使得*()n n n a b n N =+∈ð成立．6．（2014•山东文）在等差数列{}n a 中，已知公差2d =，2a 是1a 与4a 的等比中项． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设(1)2n n n b a +=，记1234(1)n n n T b b b b b =-+-+-⋯+-，求n T ．7．（2014•山东理）已知等差数列{}n a 的公差为2，前n 项和为n S ，且1S ，2S ，4S 成等比数列． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）令114(1)n n n n nb a a -+=-，求数列{}n b 的前n 项和n T ．8．（2014•四川文）设等差数列{}n a 的公差为d ，点(n a ，)n b 在函数()2x f x =的图象上*()n N ∈ （Ⅰ）证明：数列{}n b 为等比数列；（Ⅱ）若11a =，函数()f x 的图象在点2(a ，2)b 处的切线在x 轴上的截距为122ln -，求数列2{}n n a b 的前n 项和n S ．9．（2014•四川理）设等差数列{}n a 的公差为d ，点(n a ，)n b 在函数()2x f x =的图象上*()n N ∈． （1）若12a =-，点8(a ，74)b 在函数()f x 的图象上，求数列{}n a 的前n 项和n S ； （2）若11a =，函数()f x 的图象在点2(a ，2)b 处的切线在x 轴上的截距为122ln -，求数列{}n n a b 的前n 项和n T ．10．（2014•天津文）已知q 和n 均为给定的大于1的自然数，设集合{0M =，1，2，⋯，1}q -，集合112{|n n A x x x x q x q -==++⋯+，i x M ∈，1i =，2，}n ⋯． （Ⅰ）当2q =，3n =时，用列举法表示集合A ；（Ⅱ）设s ，t A ∈，112n n s a a q a q -=++⋯+，112n n t b b q b q -=++⋯+，其中i a ，i b M ∈，1i =，2，⋯，n ．证明：若n n a b <，则s t <．11．（2014•天津理）已知q 和n 均为给定的大于1的自然数，设集合{0M =，1，2，⋯，1}q -，集合112{|n n A x x x x q x q -==++⋯+，i x M ∈，1i =，2，}n ⋯． （Ⅰ）当2q =，3n =时，用列举法表示集合A ；（Ⅱ）设s ，t A ∈，112n n s a a q a q -=++⋯+，112n n t b b q b q -=++⋯+，其中i a ，i b M ∈，1i =，2，⋯，n ．证明：若n n a b <，则s t <．12．（2014•浙江理）已知数列{}n a 和{}n b满足*123()n b n a a a a n N ⋯=∈．若{}n a 为等比数列，且12a =，326b b =+．（Ⅰ）求n a 和n b ； （Ⅱ）设*11()n n nn N a b =-∈ð．记数列{}n ð的前n 项和为n S ． ()i 求n S ；()ii 求正整数k ，使得对任意*n N ∈均有k n S S …．13．（2015•北京理）已知数列{}n a 满足：*1a N ∈，136a …，且1182,18(1236,nn n nn a a a n a a +>⎧==⎨-⎩…，2，)⋯，记集合*{|}n M a n N =∈．（Ⅰ）若16a =，写出集合M 的所有元素；（Ⅱ）如集合M 存在一个元素是3的倍数，证明：M 的所有元素都是3的倍数； （Ⅲ）求集合M 的元素个数的最大值．14．（2015•广东理）数列{}n a 满足：1212242n n n a a na -+++⋯=-，n N +∈． （1）求3a 的值；（2）求数列{}n a 的前n 项和n T ； （3）令11b a =，1111(1)(2)23n n n T b a n n n-=++++⋯+…，证明：数列{}n b 的前n 项和n S 满足22n S lnn <+．15．（2015•湖北理）已知数列{}n a 的各项均为正数，1(1)()n n n b n a n N n +=+∈，e 为自然对数的底数．（1）求函数()1x f x x e =+-的单调区间，并比较1(1)n n+与e 的大小；（2）计算11b a ，1212b b a a ，123123b b b a a a ，由此推测计算1212nn b b b a a a ⋯⋯的公式，并给出证明；（3）令112()nn n a a a =⋯ð，数列{}n a ，{}n ð的前n 项和分别记为n S ，n T ，证明：n n T eS <．16．（2015•陕西文）设2()1n n f x x x x =++⋯+-，0x …，n N ∈，2n …． （Ⅰ）求n f '（2）；（Ⅱ）证明：()n f x 在2(0,)3内有且仅有一个零点（记为)n a ，且1120()233n n a <-<．17．（2015•陕西理）设()n f x 是等比数列1，x ，2x ，⋯，n x 的各项和，其中0x >，n N ∈，2n …． （Ⅰ）证明：函数()()2n n F x f x =-在1(2，1)内有且仅有一个零点（记为)n x ，且11122n n n x x +=+；（Ⅱ）设有一个与上述等比数列的首项、末项、项数分别相同的等差数列，其各项和为()n g x ，比较()n f x18．（2015•上海理）已知数列{}n a 与{}n b 满足112()n n n n a a b b ++-=-，*n N ∈． （1）若35n b n =+，且11a =，求数列{}n a 的通项公式；（2）设{}n a 的第0n 项是最大项，即0*()n n a a n N ∈…，求证：数列{}n b 的第0n 项是最大项； （3）设10a λ=<，*()n n b n N λ=∈，求λ的取值范围，使得{}n a 有最大值M 与最小值m ，且(2,2)Mm∈-．19．（2015•上海文）已知数列{}n a 与{}n b 满足112()n n n n a a b b ++-=-，*n N ∈． （1）若35n b n =+，且11a =，求{}n a 的通项公式；（2）设{}n a 的第0n 项是最大项，即0(*)n n a a n N ∈…，求证：{}n b 的第0n 项是最大项； （3）设130a λ=<，*()n n b n N λ=∈，求λ的取值范围，使得对任意m ，*n N ∈，0n a ≠，且1(,6)6m n a a ∈．20．（2015•浙江理）已知数列{}n a 满足112a =且2*1()n n na a a n N +=-∈ （1）证明：*112()n n an N a +∈剟；（2）设数列2{}na 的前n 项和为n S ，证明*11()2(2)2(1)nS n N n n n ∈++剟．21．（2015•重庆理）在数列{}n a 中，13a =，2110()n n n na a a a n N λμ+++++=∈ （Ⅰ）若0λ=，2μ=-，求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）若001(k N k λ+=∈，02)k …，1μ=-，证明：010011223121k a k k ++<<+++．22．（2015•江苏）设1a ，2a ，3a ．4a 是各项为正数且公差为(0)d d ≠的等差数列． （1）证明：12a ，22a ，32a ，42a 依次构成等比数列；（2）是否存在1a ，d ，使得1a ，22a ，33a ，44a 依次构成等比数列？并说明理由；（3）是否存在1a ，d 及正整数n ，k ，使得1n a ，2n k a +，23n k a +，34n ka +依次构成等比数列？并说明理由．23．（2015•江苏）已知集合{1X =，2，3}，{1n Y =，2，3，⋯，*)()n n N ∈，设{(,)|n S a b a =整除b 或b 整除a ，a X ∈，}n B Y ∈，令()f n 表示集合n S 所含元素的个数． （1）写出f （6）的值；（2）当6n …时，写出()f n 的表达式，并用数学归纳法证明．24．（2015•安徽理）设*n N ∈，n x 是曲线221n y x +=+在点(1,2)处的切线与x 轴交点的横坐标． （Ⅰ）求数列{}n x 的通项公式；（Ⅱ）记2221321n n T x x x -=⋯，证明：14nT n…．25．（2016•浙江文）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知24S =，121n n a S +=+，*n N ∈． （Ⅰ）求通项公式n a ；（Ⅱ）求数列{|2|}n a n --的前n 项和．26．（2016•浙江理）设数列满足1||12n n a a +-…，*n N ∈． （Ⅰ）求证：1*1||2(||2)()n n a a n N --∈…（Ⅱ）若3||()2n n a …，*n N ∈，证明：||2n a …，*n N ∈．27．（2016•天津理）已知{}n a 是各项均为正数的等差数列，公差为d ，对任意的n N +∈，n b 是n a 和1n a +的等比中项．（1）设221n n n b b +=-ð，n N +∈，求证：数列{}n ð是等差数列；（2）设1a d =，221(1)nk n kk T b ==-∑，*n N ∈，求证：21112ni iT d =<∑．28．（2016•四川文）已知数列{}n a 的首项为1，n S 为数列{}n a 的前n 项和，11n n S qS +=+，其中0q >，n N +∈ （Ⅰ）若2a ，3a ，23a a +成等差数列，求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设双曲线2221ny x a -=的离心率为n e ，且22e =，求22212n e e e ++⋯+．29．（2016•四川理）已知数列{}n a 的首项为1，n S 为数列{}n a 的前n 项和，11n n S qS +=+，其中0q >，*n N ∈． （Ⅰ）若22a ，3a ，22a +成等差数列，求n a 的通项公式；（Ⅱ）设双曲线2221n y x a -=的离心率为n e ，且253e =，证明：121433n n n n e e e --+++>．30．（2016•上海理）若无穷数列{}n a 满足：只要*(,)p q a a p q N =∈，必有11p q a a ++=，则称{}n a 具有性质P ． （1）若{}n a 具有性质P ，且11a =，22a =，43a =，52a =，67821a a a ++=，求3a ；（2）若无穷数列{}n b 是等差数列，无穷数列{}n ð是公比为正数的等比数列，151b c ==；5181b c ==，n n n a b =+ð，判断{}n a 是否具有性质P ，并说明理由；（3）设{}n b 是无穷数列，已知*1sin ()n n n a b a n N +=+∈，求证：“对任意1a ，{}n a 都具有性质P ”的充要条件为“{}n b 是常数列”．31．（2016•江苏）记{1U =，2，⋯，100}，对数列*{}()n a n N ∈和U 的子集T ，若T =∅，定义0T S =；若1{T t =，2t ，⋯，}k t ，定义12k T t t t S a a a =++⋯+．例如：{1T =，3，66}时，1366T S a a a =++．现设*{}()n a n N ∈是公比为3的等比数列，且当{2T =，4}时，30T S =． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）对任意正整数(1100)k k 剟，若{1T ⊆，2，⋯，}k ，求证：1T k S a +<； （3）设C U ⊆，D U ⊆，C D S S …，求证：2C D C DS S S +…．32．（2016•北京理）设数列1:A a ，2a ，⋯，N a (2)N …．如果对小于(2)n n N 剟的每个正整数k 都有k n a a <，则称n 是数列A 的一个“G 时刻”，记G （A ）是数列A 的所有“G 时刻”组成的集合． （Ⅰ）对数列:2A -，2，1-，1，3，写出G （A ）的所有元素； （Ⅱ）证明：若数列A 中存在n a 使得1n a a >，则G （A ）≠∅；（Ⅲ）证明：若数列A 满足11(2n n a a n --=…，3，⋯，)N ，则G （A ）的元素个数不小于1N a a -．33．（2017•浙江）已知数列{}n x 满足：11x =，*11(1)()n n n x x ln x n N ++=++∈，证明：当*n N ∈时， （Ⅰ）10n n x x +<<； （Ⅱ）1122n n n n x x x x ++-…； （Ⅲ）121122n n n x --剟．34．（2017•上海）根据预测，某地第*()n n N ∈个月共享单车的投放量和损失量分别为n a 和n b （单位：辆），其中4515,1310470,4n n n a n n ⎧+=⎨-+⎩剟…，5n b n =+，第n 个月底的共享单车的保有量是前n 个月的累计投放量与累计损失量的差．（1）求该地区第4个月底的共享单车的保有量；（2）已知该地共享单车停放点第n 个月底的单车容纳量24(46)8800n S n =--+（单位：辆）．设在某月底，共享单车保有量达到最大，问该保有量是否超出了此时停放点的单车容纳量？35．（2017•江苏）对于给定的正整数k，若数列{}n a 满足：11112n kn k n nn k n k n a aa a a a k a--+-++-+++⋯+++⋯++=对任意正整数()n n k >总成立，则称数列{}n a 是“()P k 数列”．（1）证明：等差数列{}n a 是“P （3）数列”；（2）若数列{}n a 既是“P （2）数列”，又是“P （3）数列”，证明：{}n a 是等差数列．36．（2017•北京理20）设{}n a 和{}n b 是两个等差数列，记11{n max b a n =-ð，22b a n -，⋯，}(1n n b a n n -=，2，3，)⋯，其中1{max x ，2x ，⋯，}s x 表示1x ，2x ，⋯，s x 这s 个数中最大的数． （1）若n a n =，21n b n =-，求1c ，2c ，3c 的值，并证明{}n ð是等差数列； （2）证明：或者对任意正数M ，存在正整数m ，当n m …时，nc M n>；或者存在正整数m ，使得m c ，1m c +，2m c +，⋯是等差数列．37．（2018•天津理18）设{}n a 是等比数列，公比大于0，其前n 项和为(*)n S n N ∈，{}n b 是等差数列．已知11a =，322a a =+，435a b b =+，5462a b b =+． （Ⅰ）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（Ⅱ）设数列{}n S 的前n 项和为(*)n T n N ∈， ()i 求n T ；()ii 证明221()22(*)(1)(2)2n nk k k k T b b n N k k n ++=+=-∈+++∑．38．（2018•浙江）已知等比数列{}n a 的公比1q >，且34528a a a ++=，42a +是3a ，5a 的等差中项．数列{}n b 满足11b =，数列1{()}n n n b b a +-的前n 项和为22n n +．（Ⅰ）求q 的值；（Ⅱ）求数列{}n b 的通项公式．39．（2018•上海）给定无穷数列{}n a ，若无穷数列{}n b 满足：对任意*n N ∈，都有||1n n b a -…，则称{}n b 与{}n a “接近”． （1）设{}n a 是首项为1，公比为12的等比数列，11n n b a +=+，*n N ∈，判断数列{}n b 是否与{}n a 接近，并说明理由；（2）设数列{}n a 的前四项为：11a =，22a =，34a =，48a =，{}n b 是一个与{}n a 接近的数列，记集合{|i M x x b ==，1i =，2，3，4}，求M 中元素的个数m ；（3）已知{}n a 是公差为d 的等差数列，若存在数列{}n b 满足：{}n b 与{}n a 接近，且在21b b -，32b b -，⋯，201200b b -中至少有100个为正数，求d 的取值范围．40．（2018•江苏20）设{}n a 是首项为1a ，公差为d 的等差数列，{}n b 是首项为1b ，公比为q 的等比数列． （1）设10a =，11b =，2q =，若1||n n a b b -…对1n =，2，3，4均成立，求d 的取值范围；（2）若110a b =>，*m N ∈，(1q ∈，证明：存在d R ∈，使得1||n n a b b -…对2n =，3，⋯，1m +均成立，并求d 的取值范围（用1b ，m ，q 表示）．41．（2019北京理科20）已知数列{}n a ，从中选取第1i 项、第2i 项、⋯、第m i 项12()m i i i <<⋯<，若12m i i i a a a <<⋯<，则称新数列1i a ，2i a ，⋯，m i a 为{}n a 的长度为m 的递增子列．规定：数列{}n a 的任意一项都是{}n a 的长度为1的递增子列．（Ⅰ）写出数列1，8，3，7，5，6，9的一个长度为4的递增子列；（Ⅱ）已知数列{}n a 的长度为p 的递增子列的末项的最小值为0m a ，长度为q 的递增子列的末项的最小值为0n a ．若p q <，求证：00m n a a <；（Ⅲ）设无穷数列{}n a 的各项均为正整数，且任意两项均不相等．若{}n a 的长度为s 的递增子列末项的最小值为21s -，且长度为s 末项为21s -的递增子列恰有12s -个(1s =，2，)⋯，求数列{}n a 的通项公式．42．（2019江苏20）定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M -数列”．（1）已知等比数列*{}()n a n N ∈满足：245a a a =，321440a a a -+=，求证：数列{}n a 为“M -数列”； （2）已知数列*{}()n b n N ∈满足：11b =，1122n n n S b b +=-，其中n S 为数列{}n b 的前n 项和． ①求数列{}n b 的通项公式；②设m 为正整数，若存在“M -数列” *{}()n c n N ∈，对任意正整数k ，当k m …时，都有1k k k c b c +剟成立，求m 的最大值．43．（2019•天津文18）设{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，公比大于0．已知113a b ==，23b a =，3243b a =+． （Ⅰ）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（Ⅱ）设数列{}n c 满足,21,,n n n c b n ⎧⎪=⎨⋅⎪⎩为奇数为偶数求*112222()n n a c a c a c n N ++⋯+∈．44．（2019•天津理19）设{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列．已知14a =，16b =，2222b a =-，3324b a =+． （Ⅰ）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（Ⅱ）设数列{}n c 满足11c =，11,22,,2,k k n kk n c b n +⎧<<⎪=⎨=⎪⎩其中*k N ∈． ()i 求数列22{(1)}nn a c -的通项公式；()ii 求2*1()ni i i a c n N =∈∑．45．（2019•上海）已知数列{}n a ，13a =，前n 项和为n S ． （1）若{}n a 为等差数列，且415a =，求n S ；（2）若{}n a 为等比数列，且lim 12n n S →∞<，求公比q 的取值范围．46．（2019•浙江）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，34a =，43a S =．数列{}n b 满足：对每个*n N ∈，n n S b +，1n n S b ++，2n n S b ++成等比数列．（Ⅰ）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（Ⅱ）记n c =*n N ∈，证明：12n c c c ++⋯+<*n N ∈．。

2014年高考理科数学真题分类——数列

2014年高考理科数学真题分类——数列

2014年高考数学真题汇编——数列一．选择题1. （2014大纲）等比数列{}n a 中，452,5a a ==，则数列{lg }n a 的前8项和等于 （ ）A ．6B ．5C ．4D ．3【答案】C ．2. (2014重庆)对任意等比数列{}n a ,下列说法一定正确的是（ ）139.,,A a a a 成等比数列 236.,,B a a a 成等比数列248.,,C a a a 成等比数列 239.,,D a a a 成等比数列【答案】D【解析】.∴D 选要求角码成等差3. (2014北京)设{}n a 是公比为q 的等比数列，则"1"q >是"{}"n a 为递增数列的（ ）.A 充分且不必要条件 .B 必要且不充分条件.C 充分必要条件 .D 既不充分也不必要条件D试题分析：对等比数列}{n a ，若1>q ，则当0,1a 时数列}{n a 是递减数列；若数列}{n a 是递增数列，则4. （2014福建）等差数列{}n a 的前n 项和n S ，若132,12a S ==，则6a =( ).8A .10B .12C .14DC5. （2014辽宁）设等差数列{}n a 的公差为d ，若数列1{2}n a a为递减数列，则（ ）A ．0d <B ．0d >C ．10a d <D ．10a d >【答案】C【解析】 ..0.00;00:.,1111111C d a d a d a a a a a a a n n n 选且或且分情况解得即递减由同增异减知，<∴><<><+二．填空题1. (2014江苏) 在各项均为正数的等比数列}{n a 中,,12=a 4682a a a +=,则6a 的值是 ▲ .2(2014安徽)数列{}n a 是等差数列，若a 1+1，a 3+3，a 5+5构成公比为q 的等比数列，则q= . 12．13(2014北京)若等差数列{}n a 满足7890a a a ++>，7100a a +<，则当n =________时{}n a 的前n 项和最大.4(2014广东)若等比数列{}n a 的各项均为正数,且512911102e a a a a =+,则1220ln ln ln a a a +++= .51011912101112202019151201011:50,,ln ln ln ,ln ln ln ,220ln 20ln 20ln 100,50.a a a a a a e S a a a S a a a S a a a a e S =∴==+++=+++∴====∴=答案提示:设则5 (2014天津)设{}n a 是首项为1a ，公差为-1的等差数列，n S 为其前n 项和.若124,,S S S 成等比数列，则1a 的值为__________. 【答案】21-【解析】 解：12-依题意得2214S S S =，所以()()21112146a a a -=-，解得112a =-.6. (2014上海)设无穷等比数列{n a }的公比为q ，若)(lim 431 ++=∞→a a a n ，则q= 。

2014年高考数学(理)试题分项版解析专题06数列(分类汇编)Word版含解析

2014年高考数学(理)试题分项版解析专题06数列(分类汇编)Word版含解析

1. 【2014高考北京版理第5题】设{}n a 是公比为q 的等比数列，则“1>q ”是“{}n a 为递增数列”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件2. 【2014高考福建卷第3题】等差数列{}n a 的前n 项和n S ，若132,12a S ==，则6a =( ).8A .10B .12C .14D3. 【2014高考江苏卷第7题】在各项均为正数的等比数列{}n a 中，若21a =，8642a a a =+，则6a 的值是 .4. 【2014辽宁高考理第8题】设等差数列{}n a 的公差为d ，若数列1{2}n a a 为递减数列，则（ ） A ．0d < B ．0d > C ．10a d < D ．10a d >5. 【2014重庆高考理第2题】对任意等比数列{}n a ,下列说法一定正确的是( )139.,,A a a a 成等比数列 236.,,B a a a 成等比数列248.,,C a a a 成等比数列 369.,,D a a a 成等比数列6. 【2014天津高考理第11题】设{}n a 是首项为1a ，公差为1-的等差数列，n S 为其前n 项和．若124,,S S S 成等比数列，则1a 的值为__________．7. 【2014大纲高考理第10题】等比数列{}n a 中，452,5a a ==，则数列{lg }n a 的前8项和等于 （ ）A ．6B ．5C ．4D ．3【答案】C ．8. 【2014高考广东卷理第13题】若等比数列{}n a 的各项均为正数，且512911102e a a a a =+，则1220ln ln ln a a a +++= .9. 【2014高考安徽卷理第12题】数列{}n a 是等差数列，若1351,3,5a a a +++构成公比为q 的等比数列，则q =________.10. 【2014高考北京版理第12题】若等差数列{}n a 满足7897100,0a a a a a ++>+<，则当n = 时，{}n a 的前n 项和最大.【答案】8。

2014高考题分类-(文科)数列(含答案)

2014高考题分类-(文科)数列(含答案)

2014高考题分类-（文科）数列（含答案）1、(2014年高考重庆卷文2)在等差数列｛a n｝中，a i 2 , a3 a5 10，则a7 ( )A. 5B. 8 C . 10 D. 141、解：.••数列｛a n｝是等差，a3 a5 10 ,・°・ 5 , a? 2a4 a 8 , •••选B.2、(2014年高考天津卷文5)设a…是首项为3 ,公差为1 的等差数列，S”为其前n项和，若S，S2, S4成等比数列，则 & =()A. 2B. - 2C. - D .222、解：• a”是首项为a,，公差为1的等差数列，S”为其前”项和，又• S” S2, S4 成等比数列，...佝a2)2= a1(a a2 a3 a«)，即2(2a1 1) = a1 (4a1 6)，解得a1 —2，••选D3、(2014年高考新课标2卷文5)等差数列a n的公差为2,若a2，a4，a8成等比数列，贝廿a.的前n项S.= ( )B. n n 1C.D.23、解：.•.等差数列a”的公差为2,且a2 , a4 , 成等比数列，二a42= a?a8 ,即（印6）2=⑻2）⑻14）,解得a 2，则a n 2n，二选A4、（2014年高考全国卷文8）.设等比数列©｝的前n项和为S n，若S2 3，S4 15，则S6 （）A . 31 B. 32 C. 63 D ・644、解：••由等比数列｛a n｝的前n项和S,的性质得：S2 , S4 -S2, S6 —S4成等比数列，即3,12,S6—15 成等比数列，••• 122= 3（S—15）, 解得：S e = 63,二选C5、（2014年高考辽宁卷文9）.设等差数列｛a n｝的公差为d, 若数列0an｝为递减数列，则（）DA・d 0 B・d 0 C・a-|d 0 D . qd 06、（2014年高考江苏卷文7）在各项均为正数的等比数列,则a6的值是▲.｛a n｝中,a2 1, a8 a6 2a4【答累】A【解析】设公上匕为哲因为?刚由陽=令+纠得字"二『+2亍* -1?'2— 2 = 0（解得叨'二2 * 所园盹-n才=4・【着点】等比数列餉通项公式7、（2014年高考江西卷文13）在等差数列a n中,a1 7 ,公差为d ，前n 项和为S n，当且仅当n 8时&取最大值，则d 的取值范围 __________ .7、解：因为a i7 0，当且仅当n 8时Sn 取最大值，可知d 0且同时满足a 80,a 90，二a 87 If 0，解得1 d 7，・••答案1 d 1& （2014年高考广东卷 文13）.等比数列a n的各项均为正数，且a ’a s4，贝Ulog 2 a 1 +log 2a 2+log 2a 3+log 2a 4+log 2 a 5= _________________.答案:5 提示: 设 Slog 2 a 1 log 2 a 2 log 2 a 3 log 2 a 4 log 2a 5,则 S log 2a 5 log 2a 4log 2 a 3 log 2 a 2 log 2 a 1,5log 2 4 10,a 9 7 8d 02S 5log 2（a i a s ） S 5.9、（2014年高考新课2卷文16)数列｛a n｝满足a”1[1 a na 2= 2，则a1 = ___________9、解：由已知得10、(2014年高考北京卷 已知a n是等差数列，满足 b 420，且b n a ”是等比数列.(1) 求数列a n和h 的通项公式; (2) 求数列0的前n 项和.文15） a 13，a(本小题满分13分)12，数列b n满足b i4 ,2项公式及其前n 项和T n.(15) f 共 13 分 >«t ( I )设聲筈数列扫」的分建为# +由题倉需所以 u n -Vi t i (N -1)(/ 3n)*设事比数列他-碍｝的总比为「V^.1=2£zl£=g r 無％ 岛一打I 4-3从丽氏=抑+ 2* 1 5工12- (11J 曲(1 ) + (fl = l31 . 1 -2*艸如伽"和吟仞0犠輸科潤鼬项和环—=r所乩数囲世」的前"顶櫛为］附小心I,11、 (I ： (2014年高考重庆卷 文16)(本小题满分 小问6分，(II )小问5分)已知a n是首相为1,公差为2的等差数列，S13分. 表示an的前n 项和. (I )求aII )设 a 41 q S 40 及5 ；b n是首相为2的等比数列，公比 求S 的通q满足I ）因为2」垦苗顶眄訂扭蛙"2的零養敦列［析民12、_ ・i 喊眄 *口J n（l<2rt"l> 2K 5, = 3 +3 + ■-■ + （I FI亠I J 工 - ; ---- = --- 二片・CH）*（ 1）^^=7.5^ 讥18为孑-心咖*Sj =o t即『-阳416 =o tBrijtfi -4）a =fi,从■而电=址3t® 6."・I妬f屋公比厂目的舗塩融列,所瓯虹胡厂'=2 - 4*_, =2fc_L从阿血丨的枫M和町帀啤二住=寻仟-I ）■（2014年高考湖南卷文16）.（本小题满分12分）2已知数列a n的前n项和S n亍，n N（I）求数列a n的通项公式；（II ）设b 2an1n a n，求数列b n的前2n项和.I ）当” I 时* H,V；an［上肾（用・】）*4（jr・|）7 1当用荒2吐d, = 5故盟蚪｛% J的划顶公式为匹■ e im由HA灿‘才•（“衍础姗｛耐的诃斟顶和为g剧Tj, = C21 + 2^+■*■■+■ I s*）+（—I 4 2- 3+4 —+ 2h）,启斗-【*2・3 + £—半加"财-|>-ISlJS捌他｝的曲舸段和乙旷口丹7-13、（2014年高考福建卷文17）. 已知等比数列｛a n｝中，a2 3，a5 81.（I ）求数列｛臥｝的通项公式；求数列｛b n｝的前n项和S （本小题满分12分）a2（II ）若数列 6IOg3a n ,13、考查等差、等比数列等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想解：（I ）设｛a n｝的公比为q ，依题意得3 a 1q 481，解得n(d 2 因此，a n3n1(II ) V 数列 b nb n ) = n 2n2 'log 3a n= n 1,・°・数列｛b n｝的前n 项和S =14、（2014年高考江西卷 文17） 2已知数列a n的前n 项和S n詈（1） 求数列a n的通项公式；（2） 证明：对任意n 1，都有m比数列.解析： 14、 （本小题满分12分）N,使得a 1, a n, a m成等(1 )当 n 1 时 a ,S 1 当n 2时 ％ S S 检验当n 1时a 1a”使印,a n, a m成等比数列.则 a n2= a 1a m3n 2"=3m 23m 3n 2 2 2 9n 2 12n 6所以m 3n 24n 221 n 1 3n2 23n 2 （2） 即满足则对任意n 1 ,都有3n 24n 2 N所以对任意n 1 ,都有m N ,使得a” a n, a ”成等比数列.15、（2014年高考全国卷 文 仃）.（本小题满分10分）数列｛a n｝满足 印 2,a 22,an 22a . 1 a . 2(1) 设bn a n 1 a n，证明｛bn｝是等差数列;(2) 求｛a n｝的通项公式.（17） t *汕仆）T ； J A 小=LHi = 2&n » I "1T I J 可匪t 九甘[曹用觌列I （n ） 如的逍顼笛亠 W J [ I ） th j: = m ■ 1 -日"2 褐- art*i *4fnt+i - ti> + 2-X 枷匸出g 曲=11巧旦內｝!上门卷X 处…2的带•岸歌吩hl[-应I xjiJ E9 乔[五X + ■f.・1 *蹄以細増強武为-分)已知a n是递增的等差数列，a 2, a 4是方程x 25x 6根。

十年(2014-2023)高考数学真题分项汇编文科专题5 数列小题(文科)(解析版)

十年(2014-2023)高考数学真题分项汇编文科专题5 数列小题(文科)(解析版)

n 项和
Sn，公差
d≠0， a1 d
1 ．记
b1=S2，
bn+1=Sn+2–S2n， n N ，下列等式不可能成立的是
( )
A．2a4=a2+a6
B．2b4=b2+b6
C． a42 a2a8
D． b42 b2b8
【答案】D
解析：对于 A，因为数列an 为等差数列，所以根据等差数列的下标和性质，由 4 4 2 6 可得，
由 an
a1
n
1 d
0
可得 n
1
a1 d
，取
N0
1
a1 d
1 ，则当 n
N0
时， an
0，
所以，“an 是递增数列” “存在正整数 N0 ，当 n N0 时， an 0 ”；
若存在正整数 N0 ，当 n N0 时， an 0 ，取 k N 且 k N0 ， ak 0 ，
假设 d
0 ，令 an
Sn =
1 2
An An+1 ×tan q Bn Bn+1 ，都为定值，所以 Sn+1 - Sn 为定值．故选 A．
3．(2022 高考北京卷·第 15 题)己知数列an 各项均为正数，其前 n 项和 Sn 满足 an Sn 9(n 1, 2,) ．给
出下列四个结论：
①an 的第 2 项小于 3； ②an 为等比数列；
2a4 a2 a6 ，A 正确；
对于 B，由题意可知， bn1 S2n2 S2n a2n1 a2n2 ， b1 S2 a1 a2 ，
∴ b2 a3 a4 ， b4 a7 a8 ， b6 a11 a12 ， b8 a15 a16 ．
∴ 2b4 2 a7 a8 ， b2 b6 a3 a4 a11 a12 ．

2014-2019年高考数学真题分类汇编专题7：数列2(基础解答题)带详细答案

2014-2019年高考数学真题分类汇编专题7：数列2(基础解答题)带详细答案

2014-2019年高考数学真题分类汇编 专题7：数列（基础解答题）1．（2014•新课标Ⅱ理）已知数列{}n a 满足11a =，131n n a a +=+． （Ⅰ）证明1{}2n a +是等比数列，并求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）证明：1211132n a a a ++⋯+<．【考点】等比数列的性质；数列的求和【分析】（Ⅰ）根据等比数列的定义，后一项与前一项的比是常数，即1n nb b +=常数，又首项不为0，所以为等比数列；再根据等比数列的通项化式，求出{}n a 的通项公式； （Ⅱ）将1na 进行放大，即将分母缩小，使得构成一个等比数列，从而求和，证明不等式． 【解答】证明（Ⅰ）1111313()2223111222n n n n n n a a a a a a +++++===+++， 113022a +=≠， ∴数列1{}2n a +是以首项为32，公比为3的等比数列； 11333222n n n a -∴+=⨯=，即312n n a -=； （Ⅱ）由（Ⅰ）知1231n n a =-，当2n …时，13133n n n -->-，∴11122131333n n n n n a --=<=--， ∴当1n =时，11312a =<成立， 当2n …时，211211()11111131331(1)133323213nn n n a a a --++⋯+<+++⋯+==-<-． ∴对n N +∈时，1211132n a a a ++⋯+<． 【点评】本题考查的是等比数列，用放缩法证明不等式，证明数列为等比数列，只需要根据等比数列的定义就行；数列与不等式常结合在一起考，放缩法是常用的方法之一，通过放大或缩小，使原数列变成一个等比数列，或可以用裂项相消法求和的新数列．属于中档题．2．（2014•新课标Ⅰ文）已知{}n a 是递增的等差数列，2a ，4a 是方程2560x x -+=的根． （1）求{}n a 的通项公式； （2）求数列{}2nna 的前n 项和． 【考点】等差数列的通项公式；数列的求和【分析】（1）解出方程的根，根据数列是递增的求出2a ，4a 的值，从而解出通项； （2）将第一问中求得的通项代入，用错位相减法求和．【解答】解：（1）方程2560x x -+=的根为2，3．又{}n a 是递增的等差数列， 故22a =，43a =，可得21d =，12d =， 故112(2)122n a n n =+-⨯=+， （2）设数列{}2nna 的前n 项和为n S ， 3112123122222n n n n na a a a a S --=+++⋯++，① 311223411222222n n n n n a a a a a S -+=+++⋯++，② ①-②得1123411311(1)111111242()1222222222212n n n n n n n a a a S d -++-=++++⋯+-=+⨯--， 解得11131124(1)222222n n n n n n S -++++=+--=-． 【点评】本题考查等的性质及错位相减法求和，是近几年高考对数列解答题考查的主要方式．3．（2014•新课标Ⅰ理）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，0n a ≠，11n n n a a S λ+=-，其中λ为常数． （Ⅰ）证明：2n n a a λ+-=（Ⅱ）是否存在λ，使得{}n a 为等差数列？并说明理由． 【考点】等差数列的性质；数列递推式【分析】（Ⅰ）利用11n n n a a S λ+=-，1211n n n a a S λ+++=-，相减即可得出；（Ⅱ）假设存在λ，使得{}n a 为等差数列，设公差为d ．可得2211()()2n n n n n n a a a a a a d λ++++=-=-+-=，2d λ=．得到222()2442n S n n λλλλλ=+-+-，根据{}n a 为等差数列的充要条件是0202λλ≠⎧⎪⎨-=⎪⎩，解得λ即可．【解答】（Ⅰ）证明：11n n n a a S λ+=-，1211n n n a a S λ+++=-，121()n n n n a a a a λ+++∴-= 10n a +≠，2n n a a λ+∴-=．（Ⅱ）解：假设存在λ，使得{}n a 为等差数列，设公差为d ． 则2211()()2n n n n n n a a a a a a d λ++++=-=-+-=，∴2d λ=．∴(1)12n n a λ-=+，112n na λ+=+，222(1)1[1][1]()222442n n n S n n λλλλλλλ-∴=+++=+-+-，根据{}n a 为等差数列的充要条件是0202λλ≠⎧⎪⎨-=⎪⎩，解得4λ=． 此时可得2n S n =，21n a n =-． 因此存在4λ=，使得{}n a 为等差数列．【点评】本题考查了递推式的意义、等差数列的通项公式及其前n 项和公式、等差数列的充要条件等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力、分类讨论的思想方法，属于难题． 4．（2014•大纲版文）数列{}n a 满足11a =，22a =，2122n n n a a a ++=-+． （Ⅰ）设1n n n b a a +=-，证明{}n b 是等差数列；（Ⅱ）求{}n a 的通项公式． 【考点】等差数列的性质；等差数列的通项公式；数列递推式【分析】（Ⅰ）将2122n n n a a a ++=-+变形为：2112n n n n a a a a +++-=-+，再由条件得12n n b b +=+，根据条件求出1b ，由等差数列的定义证明{}n b 是等差数列；（Ⅱ）由（Ⅰ）和等差数列的通项公式求出n b ，代入1n n n b a a +=-并令n 从1开始取值，依次得(1)n -个式子，然后相加，利用等差数列的前n 项和公式求出{}n a 的通项公式n a ． 【解答】解：（Ⅰ）由2122n n n a a a ++=-+得， 2112n n n n a a a a +++-=-+，由1n n n b a a +=-得，12n n b b +=+，即12n n b b +-=， 又1211b a a =-=，所以{}n b 是首项为1，公差为2的等差数列．（Ⅱ）由（Ⅰ）得，12(1)21n b n n =+-=-， 由1n n n b a a +=-得，121n n a a n +-=-，则211a a -=，323a a -=，435a a -=，⋯，12(1)1n n a a n --=--， 所以，11352(1)1n a a n -=+++⋯+-- 2(1)(123)(1)2n n n -+-==-，又11a =，所以{}n a 的通项公式22(1)122n a n n n =-+=-+．【点评】本题考查了等差数列的定义、通项公式、前n 项和公式，及累加法求数列的通项公式和转化思想，属于中档题．5．（2014•大纲版理）等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知113a =，2a 为整数，且4n S S …． （1）求{}n a 的通项公式；（2）设11n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 【考点】数列的求和【分析】（1）通过4n S S …得40a …，50a …，利用113a =、2a 为整数可得4d =-，进而可得结论； （2）通过133n a n =-，分离分母可得111()3133103n b n n=---，并项相加即可．【解答】解：（1）在等差数列{}n a 中，由4n S S …得： 40a …，50a …，又113a =，∴13301340d d +⎧⎨+⎩……，解得131334d --剟，2a 为整数，4d ∴=-，{}n a ∴的通项为：174n a n =-；（2）174n a n =-， 111111()(174)(214)4417421n n n b a a n n n n +∴===------， 于是12n n T b b b =++⋯⋯+1111111[()()()]41317913417421n n =--+-+⋯⋯+-------111()441717n =----17(174)n n =-． 【点评】本题考查求数列的通项及求和，考查并项相加法，注意解题方法的积累，属于中档题．6．（2014•北京文）已知{}n a 是等差数列，满足13a =，412a =，数列{}n b 满足14b =，420b =，且{}n n b a -为等比数列．（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）求数列{}n b 的前n 项和． 【考点】数列的求和【分析】（1）利用等差数列、等比数列的通项公式先求得公差和公比，即得结论； （2）利用分组求和法，有等差数列及等比数列的前n 项和公式即可求得数列的和． 【解答】解：（1）{}n a 是等差数列，满足13a =，412a =， 3312d ∴+=，解得3d =， 3(1)33n a n n ∴=+-⨯=．设等比数列{}n n b a -的公比为q ，则 344112012843b a q b a --===--，2q ∴=， 1111()2n n n n b a b a q --∴-=-=，132(1n n b n n -∴=+=，2，)⋯． （2）由（1）知132(1n n b n n -=+=，2，)⋯． 数列{}n a 的前n 项和为3(1)2n n +，数列1{2}n -的前n 项和为1212112nn -⨯=--，∴数列{}n b 的前n 项和为3(1)212n n n ++-．【点评】本题考查数列的通项公式和前n 项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等差数列和等比数列的性质的合理运用．7．（2014•安徽文）数列{}n a 满足11a =，1(1)(1)n n na n a n n +=+++，*n N ∈． （Ⅰ）证明：数列{}n an是等差数列；（Ⅱ）设3n n n b a =，求数列{}n b 的前n 项和n S ．【考点】等比数列的性质；数列的求和【分析】（Ⅰ）将1(1)(1)n n na n a n n +=+++的两边同除以(1)n n +得111n na a n n+=++，由等差数列的定义得证．（Ⅱ）由（Ⅰ）求出33nn n n b a n ==，利用错位相减求出数列{}n b 的前n 项和n S ．【解答】证明（Ⅰ）1(1)(1)n n na n a n n +=+++，∴111n n a a n n +=++，∴111n n a an n+-=+， ∴数列{}na n是以1为首项，以1为公差的等差数列； （Ⅱ）由（Ⅰ）知，1(1)1n a n n n=+-=，∴2n a n =， 33nn n n b a n ==，∴231132333(1)33n n n S n n -=⨯+⨯+⨯+⋯+-+①23413132333(1)33n n n S n n +=⨯+⨯+⨯+⋯+-+② ①-②得2323333n S -=+++⋯+13n n n +-1133313n n n ++-=--1123322n n +-=- ∴1213344n n n S +-=+【点评】本题考查利用等差数列的定义证明数列是等差数列；考查数列求和的方法：错位相减法．求和的关键是求出通项选方法．8．（2014•福建文）在等比数列{}n a 中，23a =，581a =． （Ⅰ）求n a ；（Ⅱ）设3log n n b a =，求数列{}n b 的前n 项和n S ． 【考点】等差数列与等比数列的综合【分析】（Ⅰ）设出等比数列的首项和公比，由已知列式求解首项和公比，则其通项公式可求；（Ⅱ）把（Ⅰ）中求得的n a 代入3log n n b a =，得到数列{}n b 的通项公式，由此得到数列{}n b 是以0为首项，以1为公差的等差数列，由等差数列的前n 项和公式得答案． 【解答】解：（Ⅰ）设等比数列{}n a 的公比为q ， 由23a =，581a =，得141381a q a q =⎧⎨=⎩，解得113a q =⎧⎨=⎩．∴13n n a -=； （Ⅱ）13n n a -=，3log n n b a =，∴1331n n b log n -==-．则数列{}n b 的首项为10b =， 由11(2)1(2)n n b b n n n --=---=…， 可知数列{}n b 是以1为公差的等差数列．∴1(1)(1)22n n n d n n S nb --=+=． 【点评】本题考查等比数列的通项公式，考查了等差数列的前n 项和公式，是基础的计算题． 9．（2014•湖北文）已知等差数列{}n a 满足：12a =，且1a ，2a ，5a 成等比数列． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）记n S 为数列{}n a 的前n 项和，是否存在正整数n ，使得60800n S n >+？若存在，求n 的最小值；若不存在，说明理由．【考点】等差数列的性质；数列的求和【分析】（Ⅰ）设出数列的公差，利用等比中项的性质建立等式求得d ，则数列的通项公式可得． （Ⅱ）利用（Ⅰ）中数列的通项公式，表示出n S 根据60800n S n >+，解不等式根据不等式的解集来判断． 【解答】解：（Ⅰ）设数列{}n a 的公差为d ，依题意，2，2d +，24d +成比数列，故有2(2)2(24)d d +=+， 化简得240d d -=，解得0d =或4， 当0d =时，2n a =，当4d =时，2(1)442n a n n =+-=-．（Ⅱ）当2n a =时，2n S n =，显然260800n n <+， 此时不存在正整数n ，使得60800n S n >+成立， 当42n a n =-时，2[2(42)]22n n n S n +-==，令2260800n n >+，即2304000n n -->， 解得40n >，或10n <-（舍去），此时存在正整数n ，使得60800n S n >+成立，n 的最小值为41， 综上，当2n a =时，不存在满足题意的正整数n ， 当42n a n =-时，存在满足题意的正整数n ，最小值为41【点评】本题主要考查了等差数列和等比数列的性质．要求学生对等差数列和等比数列的通项公式，求和公式熟练记忆．10．（2014•湖南文）已知数列{}n a 的前n 项和22n n n S +=，*n N ∈．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设2(1)n a n n n b a =+-，求数列{}n b 的前2n 项和． 【考点】数列的求和；数列递推式【分析】（Ⅰ）利用公式法即可求得； （Ⅱ）利用数列分组求和即可得出结论． 【解答】解：（Ⅰ）当1n =时，111a s ==，当2n …时，221(1)(1)22n n n n n n n a s s n -+-+-=-=-=，∴数列{}n a 的通项公式是n a n =．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，2(1)n n n b n =+-，记数列{}n b 的前2n 项和为2n T ，则1222(222)(12342)n n T n =++⋯++-+-+-⋯+2212(12)2212n n n n +-=+=+--．∴数列{}n b 的前2n 项和为2122n n ++-．【点评】本题主要考查数列通项公式的求法-公式法及数列求和的方法-分组求和法，考查学生的运算能力，属中档题．11．（2014•江西文）已知数列{}n a 的前n 项和232n n nS -=，*n N ∈．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）证明：对任意的1n >，都存在*m N ∈，使得1a ，n a ，m a 成等比数列． 【考点】等比数列的性质；数列递推式【分析】（1）利用“当2n …时，1n n n a S S -=-；当1n =时，11a S =”即可得出；（2）对任意的1n >，假设都存在*m N ∈，使得1a ，n a ，m a 成等比数列．利用等比数列的定义可得21nm a a a =，即2(32)1(32)n m -=⨯-，解出m 为正整数即可．【解答】（1）解：232n n nS -=，*n N ∈．∴当2n …时，22133(1)(1)3222n n n n n n n a S S n -----=-=-=-，(*)当1n =时，21131112a S ⨯-===．因此当1n =时，(*)也成立．∴数列{}n a 的通项公式32n a n =-．（2）证明：对任意的1n >，假设都存在*m N ∈，使得1a ，n a ，m a 成等比数列．则21nm a a a =，2(32)1(32)n m ∴-=⨯-， 化为2342m n n =-+， 1n >，22223423()133m n n n ∴=-+=-+>，因此对任意的1n >，都存在2*342m n n N =-+∈，使得1a ，n a ，m a 成等比数列．【点评】本题考查了递推式的意义、等差数列与等比数列的通项公式、二次函数的单调性等基础知识与基本技能方法，考查了恒成立问题的等价转化方法，考查了反证法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．12．（2014•江西理）已知首项是1的两个数列{}n a ，{}(0n n b b ≠，*)n N ∈满足11120n n n n n n a b a b b b +++-+=． （1）令nn na b =ð，求数列{}n ð的通项公式； （2）若13n n b -=，求数列{}n a 的前n 项和n S ． 【考点】数列的求和；数列递推式【分析】（1）由11120n n n n n n a b a b b b +++-+=，nn na b =ð，可得数列{}n ð是以1为首项，2为公差的等差数列，即可求数列{}n ð的通项公式； （2）用错位相减法来求和．【解答】解：（1）11120n n n n n n a b a b b b +++-+=，nn na b =ð， 120n n c +∴-+=ð，12n n c +∴-=ð，首项是1的两个数列{}n a ，{}n b ，∴数列{}n ð是以1为首项，2为公差的等差数列，21n n ∴=-ð；（2）13n n b -=，nn na b =ð，1(21)3n n a n -∴=-， 0111333(21)3n n S n -∴=⨯+⨯+⋯+-⨯，231333(21)3n n S n ∴=⨯+⨯+⋯+-⨯， 11212(33)(21)3n n n S n -∴-=++⋯+--， (1)31n n S n ∴=-+．【点评】本题为等差等比数列的综合应用，用好错位相减法是解决问题的关键，属中档题．13．（2014•浙江文）已知等差数列{}n a 的公差0d >，设{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，2336S S =． （Ⅰ）求d 及n S ；（Ⅱ）求m ，*(,)k m k N ∈的值，使得1265m m m m k a a a a ++++++⋯+=． 【考点】等差数列的前n 项和；数列的求和【分析】（Ⅰ）根据等差数列通项公式和前n 项和公式，把条件转化为关于公差d 的二次方程求解，注意d 的范围对方程的根进行取舍；（Ⅱ）由（Ⅰ）求出等差数列{}n a 的通项公式，利用等差数列的前n 项和公式，对1265m m m m k a a a a ++++++⋯+=化简，列出关于m 、k 的方程，再由m ，*k N ∈进行分类讨论，求出符合条件的m 、k 的值．【解答】解：（Ⅰ）由11a =，2336S S =得， 12123()()36a a a a a +++=，即(2)(33)36d d ++=，化为23100d d +-=， 解得2d =或5-， 又公差0d >，则2d =， 所以2*1(1)()2n n n S na d n n N -=+=∈． （Ⅱ）由（Ⅰ）得，12(1)21n a n n =+-=-， 由1265m m m m k a a a a ++++++⋯+=得，(1)()652m m k k a a +++=，即(1)(21)65k m k ++-=，又m ，*k N ∈，则(1)(21)513k m k ++-=⨯，或(1)(21)165k m k ++-=⨯， 下面分类求解：当15k +=时，2113m k +-=，解得4k =，5m =；当113k +=时，215m k +-=，解得12k =，3m =-，故舍去； 当11k +=时，2165m k +-=，解得0k =，故舍去；当165k +=时，211m k +-=，解得64k =，31m =-，故舍去； 综上得，4k =，5m =．【点评】本题考查了等差数列的通项公式、前n 项和公式，及分类讨论思想和方程思想，难度较大，考查了分析问题和解决问题的能力．14．（2014•重庆文）已知{}n a 是首项为1，公差为2的等差数列，n S 表示{}n a 的前n 项和． （Ⅰ）求n a 及n S ；（Ⅱ）设{}n b 是首项为2的等比数列，公比为q 满足244(1)0q a q S -++=．求{}n b 的通项公式及其前n 项和n T ．【考点】等差数列的性质；数列的求和【分析】（Ⅰ）直接由等差数列的通项公式及前n 项和公式得答案；（Ⅱ）求出4a 和4S ，代入244(1)0q a q S -++=求出等比数列的公比，然后直接由等比数列的通项公式及前n 项和公式得答案．【解答】解：（Ⅰ）{}n a 是首项为1，公差为2的等差数列， 1(1)12(1)21n a a n d n n ∴=+-=+-=-．2(121)13(21)2n n n S n n +-=++⋯+-==； （Ⅱ）由（Ⅰ）得，47a =，416S =．244(1)0q a q S -++=，即28160q q -+=，2(4)0q ∴-=，即4q =． 又{}n b 是首项为2的等比数列，∴11211242n n n n b b q ---===． 1(1)2(41)13n nn b q T q -==--．【点评】本题考查等差数列的性质，考查了等差数列和等比数列的通项公式、前n 项和公式的求法，是基础题．15．（2015•新课标Ⅰ理）n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知0n a >，2243nn n a a S +=+ ()I 求{}n a 的通项公式：（Ⅱ）设11n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和． 【考点】数列的求和；数列递推式【分析】()I 根据数列的递推关系，利用作差法即可求{}n a 的通项公式： （Ⅱ）求出11n n n b a a +=，利用裂项法即可求数列{}n b 的前n 项和． 【解答】解：()I 由2243n n n a a S +=+，可知2111243n n n a a S ++++=+两式相减得221112()4n n n n n a a a a a +++-+-=，即2211112()()()n n n n n n n n a a a a a a a a +++++=-=+-，0n a >，12n n a a +∴-=，2111243a a a +=+，11a ∴=-（舍)或13a =， 则{}n a 是首项为3，公差2d =的等差数列， {}n a ∴的通项公式32(1)21:n a n n =+-=+（Ⅱ）21n a n =+， 111111()(21)(23)22123n n n b a a n n n n +∴===-++++， ∴数列{}n b 的前n 项和1111111111()()23557212323233(23)n nT n n n n =-+-+⋯+-=-=++++． 【点评】本题主要考查数列的通项公式以及数列求和的计算，利用裂项法是解决本题的关键． 16．（2015•北京文）已知等差数列{}n a 满足1210a a +=，432a a -= （1）求{}n a 的通项公式；（2）设等比数列{}n b 满足23b a =，37b a =，问：6b 与数列{}n a 的第几项相等？ 【考点】等差数列的性质【分析】()I 由432a a -=，可求公差d ，然后由1210a a +=，可求1a ，结合等差数列的通项公式可求 ()II 由238b a ==，3716b a ==，可求等比数列的首项及公比，代入等比数列的通项公式可求6b ，结合()I 可求【解答】解：()I 设等差数列{}n a 的公差为d ． 432a a -=，所以2d =1210a a +=，所以1210a d +=14a ∴=， 42(1)22(1n a n n n ∴=+-=+=，2，)⋯()II 设等比数列{}n b 的公比为q ， 238b a ==，3716b a ==，∴121816b q b q =⎧⎨=⎩2q ∴=，14b =∴61642128b -=⨯=，而12822n =+63n ∴=6b ∴与数列{}n a 中的第63项相等【点评】本题主要考查了等差数列与等比数列通项公式的简单应用，属于对基本公式应用的考查，试题比较容易．17．（2015•天津文）已知{}n a 是各项均为正数的等比数列，{}n b 是等差数列，且111a b ==，2332b b a +=，5237a b -=．（Ⅰ）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（Ⅱ）设n n n a b =ð，*n N ∈，求数列{}n ð的前n 项和． 【考点】等差数列与等比数列的综合【分析】（Ⅰ）设出数列{}n a 的公比和数列{}n b 的公差，由题意列出关于q ，d 的方程组，求解方程组得到q ，d 的值，则等差数列和等比数列的通项公式可求；（Ⅱ）由题意得到1(21)2n n c n -=-，然后利用错位相减法求得数列{}n ð的前n 项和． 【解答】解：（Ⅰ）设数列{}n a 的公比为q ，数列{}n b 的公差为d ，由题意，0q >， 由已知有24232310q d q d ⎧-=⎨-=⎩，消去d 整理得：42280q q --=．0q >，解得2q =，2d ∴=，∴数列{}n a 的通项公式为12n n a -=，*n N ∈；数列{}n b 的通项公式为21n b n =-，*n N ∈． （Ⅱ）由（Ⅰ）有1(21)2n n c n -=-， 设{}n ð的前n 项和为n S ，则01221123252(23)2(21)2n n n S n n --=⨯+⨯+⨯+⋯+-⨯+-⨯， 12312123252(23)2(21)2n n n S n n -=⨯+⨯+⨯+⋯+-⨯+-⨯，两式作差得：2311222(21)223(21)2(23)23n n n n n n S n n n +-=+++⋯+--⨯=---⨯=--⨯-．∴*(23)23,n n S n n N =-+∈．【点评】本题主要考查等差数列、等比数列及其前n 项和，考查数列求和的基本方法和运算求解能力，是中档题．18．（2015•天津理）已知数列{}n a 满足2(n n a qa q +=为实数，且1)q ≠，*n N ∈，11a =，22a =，且23a a +，34a a +，45a a +成等差数列（1）求q 的值和{}n a 的通项公式； （2）设2221log nn n a b a -=，*n N ∈，求数列{}n b 的前n 项和． 【考点】数列的求和【分析】（1）通过2n n a qa +=、1a 、2a ，可得3a 、5a 、4a ，利用23a a +，34a a +，45a a +成等差数列，计算即可；（2）通过（1）知12n n nb -=，*n N ∈，写出数列{}n b 的前n 项和n T 、2n T 的表达式，利用错位相减法及等比数列的求和公式，计算即可．【解答】解：（1）2(n n a qa q +=为实数，且1)q ≠，*n N ∈，11a =，22a =， 3a q ∴=，25a q =，42a q =，又23a a +，34a a +，45a a +成等差数列，22323q q q ∴⨯=++， 即2320q q -+=，解得2q =或1q =（舍)，1222,2,n n n n a n -⎧⎪∴=⎨⎪⎩为奇数为偶数；（2）由（1）知2221121log 222n n n n n n a log nb a ---===，*n N ∈， 记数列{}n b 的前n 项和为n T ， 则2321111111234(1)22222n n n T n n --=++++⋯+-+， 233211111222345(1)22222n n n T n n --∴=+++++⋯+-+， 两式相减，得232111111322222n n n T n --=++++⋯+- 2111[1()]12231212n n n ---=+--21113122n n n --=+--1242n n -+=-．【点评】本题考查求数列的通项与前n 项和，考查分类讨论的思想，利用错位相减法是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．19．（2015•福建文）等差数列{}n a 中，24a =，4715a a +=．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设22n a n b n -=+，求12310b b b b +++⋯+的值． 【考点】等差数列的性质【分析】（Ⅰ）建立方程组求出首项与公差，即可求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）222n a n n b n n -=+=+，利用分组求和求12310b b b b +++⋯+的值． 【解答】解：（Ⅰ）设公差为d ，则1114(3)(6)15a d a d a d +=⎧⎨+++=⎩，解得131a d =⎧⎨=⎩，所以3(1)2n a n n =+-=+； （Ⅱ）222n a n n b n n -=+=+，所以21012310(21)(22)(210)b b b b +++⋯+=++++⋯++210(222)(1210)=++⋯++++⋯+102(12)(110)102101122-+⨯=+=-．【点评】本题考查等差数列的通项，考查数列的求和，求出数列的通项是关键． 20．（2015•广东文）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，*n N ∈．已知11a =，232a =，354a =，且当2n …时，211458n n n n S S S S ++-+=+．（1）求4a 的值；（2）证明：11{}2n n a a +-为等比数列；（3）求数列{}n a 的通项公式．【考点】数列递推式【分析】（1）直接在数列递推式中取2n =，求得478a =； （2）由211458(2)n n n n S S S S n ++-+=+…，变形得到2144(2)n n n a a a n +++=…，进一步得到211112122n n n n a a a a +++-=-，由此可得数列11{}2n n a a +-是以2112a a -为首项，公比为12的等比数列；（3）由11{}2n n a a +-是以2112a a -为首项，公比为12的等比数列，可得1111()22n n n a a -+-=．进一步得到11411()()22n n n n a a ++-=，说明{}1()2n n a 是以1212a =为首项，4为公差的等差数列，由此可得数列{}n a 的通项公式．【解答】（1）解：当2n =时，4231458S S S S +=+，即4353354(1)5(1)8(1)124224a +++++=+++， 解得：478a =； （2）证明：211458(2)n n n n S S S S n ++-+=+…，21114444(2)n n n n n n S S S S S S n ++-+∴-+-=-…， 即2144(2)n n n a a a n +++=…，3125441644a a a +=⨯+==，2144n n n a a a ++∴+=．2121111111114242212142422(2)22n n n n n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a a +++++++++++-----====----．∴数列11{}2n n a a +-是以21112a a -=为首项，公比为12的等比数列； （3）解：由（2）知，11{}2n n a a +-是以2112a a -为首项，公比为12的等比数列，∴1111()22n n n a a -+-=．即11411()()22n n n n a a++-=， {}1()2n n a ∴是以1212a=为首项，4为公差的等差数列， ∴2(1)4421()2n n a n n =+-⨯=-，即111(42)()(21)()22n n n a n n -=-⨯=-⨯， ∴数列{}n a 的通项公式是11(21)()2n n a n -=-⨯．【点评】本题考查了数列递推式，考查了等比关系的确定，考查了等比数列的通项公式，关键是灵活变形能力，是中档题．21．（2015•广东理）数列{}n a 满足：1212242n n n a a na -+++⋯=-，n N +∈． （1）求3a 的值；（2）求数列{}n a 的前n 项和n T ； 【考点】数列的求和；数列与不等式的综合 【分析】（1）利用数列的递推关系即可求3a 的值；（2）利用作差法求出数列{}n a 的通项公式，利用等比数列的前n 项和公式即可求数列{}n a 的前n 项和n T ； （3）利用构造法，结合裂项法进行求解即可证明不等式．【解答】解：（1）1212242n n n a a na -+++⋯=-，n N +∈． 1431a ∴=-=，2212212422a -++=-=， 解得212a =， 1212242n n n a a na -+++⋯+=-，n N +∈． 121212(1)42n n n a a n a --+∴++⋯+-=-，n N +∈． 两式相减得121214(4)222n n n n n n nna ---++=---=，2n …， 则112n n a -=，2n …， 当1n =时，11a =也满足，112n n a -∴=，1n …， 则321124a ==； （2）112n n a -=，1n …，∴数列{}n a 是公比12q =， 则数列{}n a 的前n 项和111()222112nn n T --==--． 【点评】本题主要考查数列通项公式以及前n 项和的计算，以及数列和不等式的综合，利用作差法求出数列的通项公式是解决本题的关键．考查学生的计算能力，综合性较强，难度较大．22．（2015•湖北文理）设等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的公比为q ，已知11b a =，22b =，q d =，10100S =．（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式 （2）当1d >时，记nn na b =ð，求数列{}n ð的前n 项和n T ． 【考点】数列的求和【分析】（1）利用前10项和与首项、公差的关系，联立方程组计算即可； （2）当1d >时，由（1）知1212n n n --=ð，写出n T 、12n T 的表达式，利用错位相减法及等比数列的求和公式，计算即可．【解答】解：（1）设1a a =，由题意可得10451002a d ad +=⎧⎨=⎩，解得12a d =⎧⎨=⎩，或929a d =⎧⎪⎨=⎪⎩，当12a d =⎧⎨=⎩时，21n a n =-，12n nb -=； 当929a d =⎧⎪⎨=⎪⎩时，1(279)9n a n =+，129()9n n b -=；（2）当1d >时，由（1）知21n a n =-，12n n b -=， 1212n n n n a n b --∴==ð， 23411111113579(21)22222n n T n -∴=+++++⋯+-， ∴234111111111357(23)(21)2222222n n n T n n -=++++⋯+-+-， ∴23421111111232(21)322222222n n n nn T n -+=+++++⋯+--=-， 12362n n n T -+∴=-． 【点评】本题考查求数列的通项及求和，利用错位相减法是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．23．（2015•湖南文）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知11a =，22a =，2133n n n a S S ++=-+，*n N ∈， （Ⅰ）证明23n n a a +=；（Ⅱ）求n S ． 【考点】数列的求和；数列递推式【分析】（Ⅰ）当2n …时，通过2133n n n a S S ++=-+与1133n n n a S S +-=-+作差，然后验证当1n =时命题也成立即可；（Ⅱ）通过()I 写出奇数项、偶数项的通项公式，分奇数项的和、偶数项的和计算即可． 【解答】（Ⅰ）证明：当2n …时，由2133n n n a S S ++=-+， 可得1133n n n a S S +-=-+，两式相减，得2113n n n n a a a a +++-=-， 23n n a a +∴=，当1n =时，有3123331(12)33a S S =-+=⨯-++=， 313a a ∴=，命题也成立，综上所述：23n n a a +=；（Ⅱ）解：由()I 可得11211112233323k k k k k ka a a a -----⎧=⨯=⎪⎨=⨯=⨯⎪⎩，其中k 是任意正整数， 211234232221()()()k k k k S a a a a a a a ----∴=++++⋯+++2113333k k --=++⋯++113(13)313k k ---=+-153322k -=⨯-，111221253333232222k k k k k k S S a +---=+=⨯-+⨯=-，综上所述，1222533,2233,22n n n n S n -+⎧⨯-⎪⎪=⎨⎪-⎪⎩为奇数为偶数．【点评】本题考查求数列的通项及求和，考查分类讨论的思想，注意解题方法的积累，属于中档题． 24．（2015•山东文）已知数列{}n a 是首项为正数的等差数列，数列11{}n n a a +的前n 项和为21nn +． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设(1)2n a n n b a =+，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 【考点】数列的求和 【分析】（1）通过对11n n n a a +=ð分离分母，并项相加并利用数列11{}n n a a +的前n 项和为21nn +即得首项和公差，进而可得结论；（2）通过4n n b n =，写出n T 、4n T 的表达式，两式相减后利用等比数列的求和公式即得结论． 【解答】解：（1）设等差数列{}n a 的首项为1a 、公差为d ，则10a >， 1(1)n a a n d ∴=+-，11n a a nd +=+，令11n n n a a +=ð，则11111111[][(1)]()(1)n a n d a nd d a n d a nd==-+-++-+ð，1211111111111111[]2(1)n n c c c d a a d a d a d a n d a nd-∴++⋯++=-+-+⋯+-++++-+ð 11111[]d a a nd=-+11()n a a nd =+211n a a dn =+， 又数列11{}n n a a +的前n 项和为21nn +，∴21112a a d ⎧=⎪⎨=⎪⎩，11a ∴=或1-（舍)，2d =，12(1)21n a n n ∴=+-=-；（2）由（1）知21(1)2(211)24n a n n n n b a n n -=+=-+=，121214244n n n T b b b n ∴=++⋯+=++⋯+， 23141424(1)44n n n T n n +∴=++⋯+-+， 两式相减，得121113434444433n n n n n T n ++--=++⋯+-=-， 1(31)449n n n T +-+∴=． 【点评】本题考查求数列的通项及求和，利用错位相减法是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．25．（2015•山东理）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知233n n S =+．（Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若数列{}n b ，满足3log n n n a b a =，求{}n b 的前n 项和n T ． 【考点】数列的求和【分析】（Ⅰ）利用233n n S =+，可求得13a =；当1n >时，11233n n S --=+，两式相减1222n n n a S S -=-，可求得13n n a -=，从而可得{}n a 的通项公式；（Ⅱ）依题意，3log n n n a b a =，可得113b =，当1n >时，133log 3n n b -=11(1)3n n n --=-⨯，于是可求得1113T b ==；当1n >时，121121(1323(1)3)3n n n T b b b n ---=++⋯+=+⨯+⨯+⋯+-⨯，利用错位相减法可求得{}n b 的前n 项和n T ．【解答】解：（Ⅰ）因为233n n S =+，所以112336a =+=，故13a =， 当1n >时，11233n n S --=+，此时，1112223323n n n n n n a S S ---=-=-=⨯，即13n n a -=， 所以13,13, 1.n n n a n -=⎧=⎨>⎩．（Ⅱ）因为3log n n n a b a =，所以113b =，当1n >时，133log 3n n b -=11(1)3n n n --=-⨯，所以1113T b ==；当1n >时，121121(1323(1)3)3n n n T b b b n ---=++⋯+=+⨯+⨯+⋯+-⨯，所以012231(132333(1)3)n n T n ---=+⨯+⨯+⨯+⋯+-⨯，两式相减得：10122111221313632(3333(1)3)(1)33313623n n n nn nn T n n --------+=++++⋯+--⨯=+--⨯=--⨯， 所以13631243n nn T +=-⨯，经检验，1n =时也适合，综上可得13631243n nn T +=-⨯． 【点评】本题考查数列的求和，着重考查数列递推关系的应用，突出考查“错位相减法”求和，考查分析、运算能力，属于中档题．26．（2015•四川文）设数列{}(1n a n =，2，3)⋯的前n 项和n S ，满足12n n S a a =-，且1a ，21a +，3a 成等差数列．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，求n T ．【考点】等差数列的通项公式；等差数列的前n 项和【分析】（Ⅰ）由条件n S 满足12n n S a a =-，求得数列{}n a 为等比数列，且公比2q =；再根据1a ，21a +，3a 成等差数列，求得首项的值，可得数列{}n a 的通项公式．（Ⅱ）由于112n n a =，利用等比数列的前n 项和公式求得数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T ． 【解答】解：（Ⅰ）由已知12n n S a a =-，有 1122(2)n n n n n a S S a a n --=-=-…，即12(2)n n a a n -=…，从而212a a =，32124a a a ==． 又因为1a ，21a +，3a 成等差数列，即1322(1)a a a +=+ 所以11142(21)a a a +=+，解得：12a =．所以，数列{}n a 是首项为2，公比为2的等比数列． 故2n n a =． （Ⅱ）由（Ⅰ）得112n n a =，所以11(1)1111122112482212n n n nT -=+++⋯+==--． 【点评】本题主要考查数列的前n 项和与第n 项的关系，等差、等比数列的定义和性质，等比数列的前n 项和公式，属于中档题．27．（2015•四川理）设数列{}(1n a n =，2，3，)⋯的前n 项和n S 满足12n n S a a =-，且1a ，21a +，3a 成等差数列．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）记数列1{}n a 的前n 项和为n T ，求使得1|1|1000n T -<成立的n 的最小值．【考点】数列的求和【分析】（Ⅰ）由已知数列递推式得到12(2)n n a a n -=…，再由已知1a ，21a +，3a 成等差数列求出数列首项，可得数列{}n a 是首项为2，公比为2的等比数列，则其通项公式可求；（Ⅱ）由（Ⅰ）求出数列1{}n a 的通项公式，再由等比数列的前n 项和求得n T ，结合1|1|1000n T -<求解指数不等式得n 的最小值．【解答】解：（Ⅰ）由已知12n n S a a =-，有1122n n n n n a S S a a --=-=- (2)n …，即12(2)n n a a n -=…，从而212a a =，32124a a a ==， 又1a ，21a +，3a 成等差数列，11142(21)a a a ∴+=+，解得：12a =．∴数列{}n a 是首项为2，公比为2的等比数列．故2n n a =；（Ⅱ）由（Ⅰ）得：112n n a =， ∴211[1()]11112211222212n n n nT -=++⋯+==--． 由1|1|1000n T -<，得11|11|21000n --<，即21000n >． 9102512100010242=<<=，10n ∴…．于是，使1|1|1000n T -<成立的n 的最小值为10．【点评】本题考查等差数列与等比数列的概念、等比数列的通项公式与前n 项和公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．28．（2015•浙江文）已知数列{}n a 和{}n b 满足12a =，11b =，*12()n n a a n N +=∈，*12311111()23n n b b b b b n N n++++⋯+=-∈（Ⅰ）求n a 与n b ；（Ⅱ）记数列{}n n a b 的前n 项和为n T ，求n T ． 【考点】数列的求和【分析】（Ⅰ）直接由12a =，12n n a a +=，可得数列{}n a 为等比数列，由等比数列的通项公式求得数列{}n a 的通项公式；再由11b =，1231111123n n b b b b b n++++⋯+=-，取1n =求得22b =，当2n …时，得另一递推式，作差得到11n n n b b b n +=-，整理得数列{}n b n为常数列，由此可得{}n b 的通项公式； （Ⅱ）求出2n n n a b n =，然后利用错位相减法求数列{}n n a b 的前n 项和为n T ． 【解答】解：（Ⅰ）由12a =，12n n a a +=，得*2()n n a n N =∈． 由题意知，当1n =时，121b b =-，故22b =，当2n …时，12311111231n n b b b b b n -+++⋯+=--，和原递推式作差得，11n n n b b b n+=-，整理得：11n n b b n n +=+，∴*()n b n n N =∈；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，2n n n a b n =， 因此23222322n n T n =+++⋯+23412222322n n T n +=+++⋯+， 两式作差得：2112(12)2222212n nn n n T n n ++--=++⋯+-=--，1*(1)22()n n T n n N +=-+∈．【点评】本题主要考查等差数列的通项公式、等差数列和等比数列等基础知识，同时考查数列求和等基本思想方法，以及推理论证能力，是中档题．29．（2015•重庆文）已知等差数列{}n a 满足32a =，前3项和392S =． （Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设等比数列{}n b 满足11b a =，415b a =，求{}n b 前n 项和n T ．【考点】数列的求和；数列递推式【分析】()I 设等差数列{}n a 的公差为d ，由32a =，前3项和392S =．可得122a d +=，19332a d +=，解得1a ，d ．即可得出．11()1II b a ==，4158b a ==，可得等比数列{}n b 的公比q 满足38q =，解得q ．利用求和公式即可得出．【解答】解：()I 设等差数列{}n a 的公差为d ，32a =，前3项和392S =． 122a d ∴+=，19332a d +=，解得11a =，12d =． 111(1)22n n a n +∴=+-=． 11()1II b a ==，4158b a ==，可得等比数列{}n b 的公比q 满足38q =，解得2q =．{}n b ∴前n 项和212121n nn T -==--． 【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．30．（2015•安徽文）已知数列{}n a 是递增的等比数列，且149a a +=，238a a =． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设n S 为数列{}n a 的前n 项和，11n n n n a b S S ++=，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 【考点】数列的求和【分析】（1）根据等比数列的通项公式求出首项和公比即可，求数列{}n a 的通项公式； （2）求出11n n n n a b S S ++=，利用裂项法即可求数列{}n b 的前n 项和n T ． 【解答】解：（1）数列{}n a 是递增的等比数列，且149a a +=，238a a =． 149a a ∴+=，14238a a a a ==．解得11a =，48a =或18a =，41a =（舍)， 解得2q =，即数列{}n a 的通项公式12n n a -=； （2）1(1)211n n n a q S q -==--， 1111111n n n n n n n n n n a S S b S S S S S S +++++-∴===-，∴数列{}n b 的前n 项和11223111111111111121n n n n n T S S S S S S S S +++=-+-+⋯+-=-=--． 【点评】本题主要考查数列的通项公式以及数列求和的计算，利用裂项法是解决本题的关键．31．（2016•新课标Ⅰ文）已知{}n a 是公差为3的等差数列，数列{}n b 满足11b =，213b =，11n n n n a b b nb +++=．（Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）求{}n b 的前n 项和． 【考点】数列递推式【分析】（Ⅰ）令1n =，可得12a =，结合{}n a 是公差为3的等差数列，可得{}n a 的通项公式； （Ⅱ）由（1）可得：数列{}n b 是以1为首项，以13为公比的等比数列，进而可得：{}n b 的前n 项和．【解答】解：（Ⅰ）11n n n n a b b nb +++=． 当1n =时，1221a b b b +=． 11b =，213b =，12a ∴=，又{}n a 是公差为3的等差数列， 31n a n ∴=-，（Ⅱ）由()I 知：11(31)n n n n b b nb ++-+=． 即13n n b b +=．即数列{}n b 是以1为首项，以13为公比的等比数列，{}n b ∴的前n 项和111()3313(13)1222313nn n n S ---==-=--． 【点评】本题考查的知识点是数列的递推式，数列的通项公式，数列的前n 项和公式，难度中档． 32．（2016•新课标Ⅱ文）等差数列{}n a 中，344a a +=，576a a +=． （Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设[]n n b a =，求数列{}n b 的前10项和，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，如[0.9]0=，[2.6]2=． 【考点】等差数列的性质；等差数列的通项公式【分析】（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d ，根据已知构造关于首项和公差方程组，解得答案； （Ⅱ）根据[]n n b a =，列出数列{}n b 的前10项，相加可得答案．【解答】解：（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d ， 344a a +=，576a a +=．∴112542106a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得：1125a d =⎧⎪⎨=⎪⎩，2355n a n ∴=+；（Ⅱ）[]n n b a =，1231b b b ∴===， 452b b ==，6783b b b ===，9104b b ==．故数列{}n b 的前10项和103122332424S =⨯+⨯+⨯+⨯=．【点评】本题考查的知识点是等差数列的通项公式，等差数列的性质，难度中档．33．（2016•新课标Ⅱ理）n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，且11a =，728S =，记[]n n b lga =，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，如[0.9]0=，[99]1lg =． （Ⅰ）求1b ，11b ，101b ；（Ⅱ）求数列{}n b 的前1000项和． 【考点】等差数列的性质；数列的求和【分析】（Ⅰ）利用已知条件求出等差数列的公差，求出通项公式，然后求解1b ，11b ，101b ； （Ⅱ）找出数列的规律，然后求数列{}n b 的前1000项和．【解答】解：（Ⅰ）n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，且11a =，728S =，4728a =． 可得44a =，则公差1d =． n a n =，[]n b lgn =，则1[1]0b lg ==， 11[11]1b lg ==， 101[101]2b lg ==．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：12390b b b b ===⋯==，101112991b b b b ===⋯==． 1001011021039992b b b b b ====⋯==，10,003b =．数列{}n b 的前1000项和为：90901900231893⨯+⨯+⨯+=．【点评】本题考查数列的性质，数列求和，考查分析问题解决问题的能力，以及计算能力．34．（2016•新课标Ⅲ文）已知各项都为正数的数列{}n a 满足11a =，211(21)20nn n n a a a a ++---=． （1）求2a ，3a ；（2）求{}n a 的通项公式． 【考点】数列递推式【分析】（1）根据题意，由数列的递推公式，令1n =可得21212(21)20a a a a ---=，将11a =代入可得2a 的值，进而令2n =可得22323(21)20a a a a ---=，将212a =代入计算可得3a 的值，即可得答案； （2）根据题意，将211(21)20n n n n a a a a ++---=变形可得11(2)()0n n n n a a a a ++-+=，进而分析可得12n n a a +=或1n n a a +=-，结合数列各项为正可得12n n a a +=，结合等比数列的性质可得{}n a 是首项为11a =，公比为12的等比数列，由等比数列的通项公式计算可得答案．【解答】解：（1）根据题意，211(21)20nn n n a a a a ++---=， 当1n =时，有21212(21)20a a a a ---=， 而11a =，则有221(21)20a a ---=，解可得212a =， 当2n =时，有22323(21)20a a a a ---=， 又由212a =，解可得314a =， 故212a =，314a =； （2）根据题意，211(21)20nn n n a a a a ++---=， 变形可得1(2)(1)0n n n a a a +-+=，即有12n n a a +=或1n a =-， 又由数列{}n a 各项都为正数，则有12n n a a +=， 故数列{}n a 是首项为11a =，公比为12的等比数列，则11111()()22n n n a --=⨯=， 故11()2n n a -=．【点评】本题考查数列的递推公式，关键是转化思路，分析得到n a 与1n a +的关系． 35．（2016•新课标Ⅲ理）已知数列{}n a 的前n 项和1n n S a λ=+，其中0λ≠． （1）证明{}n a 是等比数列，并求其通项公式；（2）若53132S =，求λ． 【考点】等比数列的性质；数列递推式【分析】（1）根据数列通项公式与前n 项和公式之间的关系进行递推，结合等比数列的定义进行证明求解即可．（2）根据条件建立方程关系进行求解就可． 【解答】解：（1）1n n S a λ=+，0λ≠． 0n a ∴≠．当2n …时，11111n n n n n n n a S S a a a a λλλλ---=-=+--=-， 即1(1)n n a a λλ--=，0λ≠，0n a ≠．10λ∴-≠．即1λ≠，即11n n a a λλ-=-，(2)n …， {}n a ∴是等比数列，公比1q λλ=-，当1n =时，1111S a a λ=+=， 即111a λ=-， 11()11n n a λλλ-∴=--． （2）若53132S =， 则若451311[()]1132S λλλλ=+=--， 即5311()113232λλ=-=--， 则112λλ=--，得1λ=-． 【点评】本题主要考查数列递推关系的应用，根据2n …时，1n n n a S S -=-的关系进行递推是解决本题的关键．考查学生的运算和推理能力．36．（2016•天津文）已知{}n a 是等比数列，前n 项和为*()n S n N ∈，且123112a a a -=，663S =． （1）求{}n a 的通项公式；（2）若对任意的*n N ∈，n b 是2log n a 和21log n a +的等差中项，求数列2{(1)}n nb -的前2n 项和． 【考点】等差数列与等比数列的综合【分析】（1）根据等比数列的通项公式列方程解出公比q ，利用求和公式解出1a ，得出通项公式； （2）利用对数的运算性质求出n b ，使用分项求和法和平方差公式计算． 【解答】解：（1）设{}n a 的公比为q ，则2111112a a q a q -=，即2121q q -=，解得2q =或1q =-．若1q =-，则60S =，与663S =矛盾，不符合题意．2q ∴=， 616(12)6312a S -∴==-，11a ∴=．12n n a -∴=．（2）n b 是2log n a 和21log n a +的等差中项，221211(log log )(log 222n n n b a a +∴=+=12log 2n -+1)2n n =-．11n n b b +∴-=． {}n b ∴是以12为首项，以1为公差的等差数列． 设2{(1)}n nb -的前2n 项和为n T ，则 2222221234212()()()n n n T b b b b b b -=-++-++⋯+-+1234212n n b b b b b b -=+++⋯++12112222222nn b b n n +-+==22n =． 【点评】本题考查了等差数列，等比数列的性质，分项求和的应用，属于中档题．37．（2016•山东文）已知数列{}n a 的前n 项和238n S n n =+，{}n b 是等差数列，且1n n n a b b +=+． （Ⅰ）求数列{}n b 的通项公式；（Ⅱ）令1(1)(2)n n n nn a b ++=+ð，求数列{}n ð的前n 项和n T ．【考点】数列的求和；数列递推式【分析】（Ⅰ）求出数列{}n a 的通项公式，再求数列{}n b 的通项公式； （Ⅱ）求出数列{}n ð的通项，利用错位相减法求数列{}n ð的前n 项和n T ． 【解答】解：（Ⅰ）238n S n n =+，2n ∴…时，165n n n a S S n -=-=+，。

2014年全国高考数学分类汇编--数列

2014年全国高考数学分类汇编--数列

2014年全国高考数学分类汇编-数列全国2014年高考数学（理科）分类汇编1（2014福建理）3.等差数列｛a n｝的前n项和S.，若a i 2,S3 12，贝V a6 （）A.8B.10C.12D.142（2014广西理）10.等比数列3”｝中，a4 2,35 5，则数列｛lg a…｝的前8项和等于（）A. 6 B . 5 C . 4 D . 33（2014广西文）8.设等比数列｛a”｝的前”项和为S n，若S2 3,S4 15,贝V S6 （）A. 31 B . 32 C . 63 D ・644（2014重庆文）2.在等差数列｛a…｝中,印2,a3 a5 10，则a7 （）A.5B.8C.10D.145（2014辽宁文理）8.设等差数列啣的公差为d, 若数列｛2宀为递减数列，则（A. d 0B. d 0C. a-|d 0D. a1d 06（2014天津文）5.设a…是首项为a,,公差为1的等差数列，S n为其前n项和，若s, S2, S4,成等比数列，则a1=（A.2B.-2C. 1 D . 12 27（2014课标2文）（5）等差数列a n的公差为2,若a 2, 34, a 8成等比数列，则a 的前n 项和S.= () (A ) n n 1 ( B ) n n 18（2014重庆理）2.对任意等比数列{a n},下列说法 一定正确的是 （ ） A. 31,33,39成等比数列 B. a 2,a 3,a 6成等比数列成等比数列 D -a 3,a 6,a 9成等比数列9（2014安徽理）12.数列a n是等差数列，若311， 333， 355构成公比为q 的等比数列，贝y q _____________________ .10（2014安徽文）12.如图，学科网在等腰直角三 角形ABC 中，斜边BC 2迈，过点A 作BC 的垂线，垂足为 几；过点片作AC 的垂线，垂足为 A 2；过点A 作AC的垂线，垂足为A 3；…， 以此类推，设BA 31 , AA 1 32, A 1A 2 33，•…, A 5A 6 37，贝U 37.11（2014北京理）9.若等差数列a n满足a-i a 8 a90 , a 7 a io0 , 则当n _____________________(C )呼(D) n n 12~时a”的前n项和最大.12（2014广东理）13 .若等比数列a n的各项均为正数，且a0a” a g a>2 2e5，则ln a1 In a2In a2n_________ . ______13（2014广东文）13.等比数列a n的各项均为正数，且时 5 4 ,贝U Iog2 a1 Iog2a2 Iog2a3Iog2 a4 Iog2 a5 ___________________________________14（2014江苏文理）7.在各项均为正数的等比数列｛a n｝中,a2 1, a8 a6 2a4,则a6 的值是____15（2014江西文）14.在等差数列｛a…｝中，& i，公差为d，前n项和为｛an｝，当且仅当n 8时S取最大值，则d 的取值范围___________ .16（2014天津理）（11）设a n是首项为&，公差为-1的等差数列，S n为其前n项和.若S0S4成等比数列，则a 的值为_______________ .17（2014课标2文）（16）数列a n满足a n 1,a2=2,贝H a i = __________【答案】CCCBC DAD 9. 1 10. 111. 816.仃.1全国2014年咼考数学（文史）分类汇编 1（2014重庆文）16.已知a n 是首项为1, 公差为2的等差数列，S n表示a n的前n 项和.（I ）求 a n 及 S ；（H ）设b n是首项为2的等比数列，公比q 满足 q 2色1 q S 0，求b n的通项公式 及其前n 项和T n.【点拨】⑴a 2n 1,S n 2；(n )由 q 2a 41 q S 0得 q 4 ,所以 b n22n1,T n 2(4n 1)2（2014重庆理）22.设a 1 1,0.1 .a ： 2a n 2b （n N*）（1）若b 1,求a 2,a 3及数列｛%｝的通项公式；⑵ 若b 〔，冋：是否存在实数C 使得a 2nc a 2n 1对所有 n N*成立？证明你的结论.5n2【点拨】(1) a 1,a2 2,a3 5.2 1,& 1,猜想a n 1 1(可数归完成)；(2)设函数f(x) x2 2x 2 1,令f(x) x 得不动点x 4.仿(1)得a1 1,a2 0,a3 2 1,用数学归纳法可证明:a2n 1 a2m. 事实上,1O当n 1 时,32 0 4 v2 1 a3显然成立.2o.假定当n k时,a2k ： 32k 1成立,那么「"当n k 1 时，Qa2k 2 f (a2k 1) (a2k 1 1)21 1(a2k 2 1)2 (32k 1 1)21 (32k 2 1)2([ 1)2 1这就是说当n k 1时,a2k2 1 a2k 3也成立.3（2014浙江文）19、已知等差数列｛a n｝的公差d 0, 设｛a n｝的前n 项和为S n，a1 1，S2 S3 36.(1)求d及S n ；⑵求m,k （m,k N*）的值，使得i 3m 1 3m 2 L 3m k 65【点拨】（1） d 2,S n n2；⑵Q3m 2m 1, (k 1)(2m 1)冬严 2 654（2014浙江理）19.已知数列｛3n｝和｛b n｝满足a&L 3n（ 2）s（n N ）.若｛a n｝为等比数列，且 3 2,& 6 b又32k 3 f (32k 2) (32k 3 1)2(32k 2 1)2 11 43k2a(k 1)(2m k 1) 5 13 k 1 5 k 4 ... 2m k 1 13 m 5⑴求a n与b n；(2)设c a _L(n N).记数列｛c n｝的前n 项和为S n. ( i ) 求 S ； (ii )求正整数k ，使得对任意nN ，均有& 【点拨】(1)aa 2a 3 \2 ,a i a 2得 a 3268 .从而 q 2, a n a sqn 32n.由 a i a 2L a n( 2户 2 2)2【b n(n 1)(2) G 丄1吉(丄斗).所以a n t n 2n n n 1(i) S cia a L a 古》(分组裂项)(ii)Q^ ML 1 i)鳥 1)2"，易见",C 2,C 3,C 4 0,当n 5寸,c n0. 可见S 4最大,即S 4 S n . k 4■5(2014 a n 13a n1 .(I)证明(U)证明： 【点拨】(I)在a n 1 3(『2),可见数列a 1是以3为公比,以a 1 3为首项 的等比数列.故a n 2贰1叮.(H)法1(放缩法)Q^尹课标2理)17.已知数列a n满足a=1, 1是等比数列，并求a n的通项公式; 丄1…+丄3a 1 a 2 a n2 -a n1 3a n 1中两边加2：a2 3n 1 1 2 1 2 1 L 2 1 1 1 32 1 1 33 1 13n 1 112 （本题用的是"加点糖定理"）法2（数学归纳法）先证一个条件更強的结论20■假疋对于n 新命题成立,即1 3 1 3a 2 2 3n1 2天津文理）19.已知q 和n 均为给定的大于 1的自然数■设集合M 0,1,2丄,q 1,集合A xx X 1 X 2q L x!q n 1,x M ,i 1,2,L ,n（1） 当q 2 , n 3时，用列举法表示集合A ； （2） ^设 s,t ? A , s ai a 2q L a nq n 1,t b bq L bq n1,其中 a,b M , i 1,2,L ,n .证明：若 3nb ,则 s< t . 【点拨】（I ）解：当q 2 , n 3时，M 0,1 ,2x 2 4x s ,x 酣弓卑,2,3为 x ^x 中^ x,x 2,X 30 0 0 0勺 10 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 0 10 01 1 11 a2 31 2 1 1 L 132 93a n L1a3 1氏1al13n0 ^1 2 3 2 2 1 1 a新命题成立.T,那么对于n一23 21al L 1a1al1al a1-a 1a3 1al3n3n3n6（2014 _ 2 3 2 4 3 5 4 1a2可得， A 0,12,3,4,5,6,7 .(H)证明：由 s,t?A , s a a 2q L a nq n 1, t bi bq L b nq n 1, Q,b Ms ta ib a 2 b ? q L an i b n i q n 2a nq n 1.q 1 q 1 q L q 1 q n 2 q n 17(2014四川文)19.设等差数列｛a n｝的公差为d ，点 (命)在函数f(x) 2x的图象上(nN ). (I)证明：数列⑹为等比数列；(H) 若& 1 ,函数f(x)的图象在点(a 2,b 2)处的切线在x 轴 上的截距为2侖，求数列｛a nb 2｝的前n 项和S n.【点拨】(I) 丫亍2d…(H) f (x) 2xln2 , k 刀2勺n2 .切线方程y 2a2 2判n2(x a 2),依题设有a 2爲2爲a 2 2, b 24 . ^从a n bn2n 4n(等比差数列,乘公比、错位相减)得(3n 1)4n1 4$ 98(2014四川理)19.设等差数列｛a n｝的公差为d , 点®,b n)在函数f(x) 2x的图象上(nN *).(I) 若4 2，点(a 8,4b 7)在函数f(x)的图象上，求数列｛a n｝i 1,2丄，n 及an bn，可得q 1 1 q n 1q n 1 1 o.所以， s< t .的前n 项和S n；(2) 若 a 1，函数f(x)的图象在点(a 2,b 2)处的切线在X 轴 上的截距为2需，求数列©的前n 项和T n.【点拨】(1) Q4b 72a82a8 2b r2a7d 2. S n 23n ；(2) f (x) 2Xln2， k 切2Tn2 . 切线方程 y 2a2魯n2(x a 2),依题设有a 2爲2爲 比 2 , b24 .从而 b n 21(等比差数列,乘公比、错位相减)得T n2n2n29(2014上海文)23.已知数列满足3a n a n 1 3a n ,n N 1(1) 若322,83x,a 49，求x的取值范围；(2) 若｛a n｝是等比数列，且a m血，求正整数m 的最小值,以及m取最小值时相应｛aj 的公比；(3) 若a 1,a 2,L ,a 100成等差数列，求数列 a 1,B 2,L ,9!00的公差的取值范围.⑵易见 an0,3a n a n 1 3a n3 q 3又am10k 1 qm1 (3)m1 m 8,m 8.q 宦10 -(3) ^①当 n 1 时,a 1, [a a 1d 3a13【点拨】(1)由a 2 a 3 3a 2 a 3 a 4 3a 3x [3,6]；②当 2 n 100时,印 iga.! a n3am d 2器取 n1gd i99.综上島 d 2・10（2014上海理）23.已知数列｛a n ｝满足1 3a n an 1 3环门 N 1 -(1)若 a 22,a 3x,a 49 ,⑵没a n是公比为q 等比数列，S n a 1 a> a j L a n，ig,S, 1 3S,n N求q 的取值范围;3（3）若a 1,a 2,L ,ak成等差数列，且a 32L a k1000，求正整数k 的最大值，以及k 取最大值 时相应数列a 1，a 2,L 耳的公差.【点拨】（1）由3：（2）由加 a n q 3a n,ai 1 [3S S a 1q 3S i ,1 q 2.下面证明任意的n 2,上式都成立. ①当q 1时,显然成立. ②当q 1时,显然成立.对于右不等式等价于 亡严 0.令f （x ）—q 二X1）,1 q 1 q f (x) q； l J q(q 3) 0,要使 f(x) 0,只需 f(1) 0即書0 q 2 .结合q /a 3 3a2 ”x [3,6]； a 4 3a3，结合 11 (1 q n) 1(1 q n 1)3 1 q 1 q3罟,其中左不等式11（2014山东文）（19）在等差数列｛a n｝中，已知公 差 d 2, a 2是a 1与a 4的等比中项. （I ）求数列｛a n｝的通项公式;（1）nb ，求 T n.【点拨】（I ） 212 , an 2n（D ） h n （n 1）（分奇偶讨论求和）（n 为奇数）1 n （n 2）（为偶数）12（2014山东理）19.已知等差数列｛a n｝的公差为 2,前n 项和为S n，且S 1,S 2,S 4成等比数列.（I ）求数列｛a n｝的通项公式；（H ）令b （ 1厂盘，求数列｛b n｝的前n 项和T n.得到【点拨】（I ） a 1,a n2n 1；n取2n1 1000 k a i(2 1) dk(k 1) 2 2 2k 1)k 1999,从而当 k 1999时,q2 1999 -(II )设 b，记T nqa3k2S n3n 2 n(n ) b n ( 1叱1 2n 1 1](分奇偶讨论,最后合并)Tn2n；m ( 1)n.13（2014课标1文）17.已知a n是递增的等差数 列，a 2，a 4是方程X 25x 6 0的根。

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数学D单元数列D1数列的概念与简单表示法17. 、［2014江西卷］已知首项都是1的两个数列｛a n｝, ｛b n｝(b n M 0, n€ N*)满足a n b n+1 一a n+ 1b n+ 2b n+ 1b n= 0.(1) 令C n= ”，求数列｛C n｝的通项公式；b n⑵若b n= 3厂，求数列｛a n｝的前n项和S n.* a n+1 a n17 .解：(1)因为a n b n+ 1 —a n+ 1b n+ 2b n + 1b n = 0, b n M 0( n€ N )，所以 b + 1 —b = 2, 即卩C n一C n = 2 ,+ 1所以数列｛ C n｝是以C1 = 1为首项，d = 2为公差的等差数列，故C n= 2n— 1.(2) 由b n= 3n—1，知a n = (2n—1)3n—1，于是数列｛a n｝的前n 项和S n= 1 x 30+ 3X 31+ 5X 32 + •••+ (2n—1)x 3n —1, 35= 1 x 31+ 3x 32+ •••+ (2n—3)x 3n—1+ (2n —1)x 3n,将两式相减得—2S n= 1 + 2x (31+ 32+…+ 3n—1) —(2n—1) x 3n=—2 —(2n —2) x 3n,所以S n= (n—1)3n+ 1.17. ［2014新课标全国卷I ］已知数列｛a n｝的前n项和为S n, a1= 1, a n^ 0, a n a n+1=入n —1，其中入为常数.(1) 证明：a n+2—a n=入⑵是否存在入使得｛a n｝为等差数列？并说明理由.17. 解：(1)证明：由题设，a n a n+1 =入n —1, a n+1a n+2 =入S1 —1,两式相减得a n + 1(a n+2 —a n)=入a 1.因为a n+ 1工0，所以a n + 2 —a n=入(2) 由题设，a1 = 1, a1a2=入1—1，可得a2= 一1,由(1)知，a3= + 1.若｛a n｝为等差数列，则2a2= a1 + a3,解得=4，故a n+ 2—a n= 4.由此可得｛a2n-1｝是首项为1，公差为4的等差数列，a2n—1= 4n—3;｛a2n｝是首项为3,公差为4的等差数列，a2n= 4n — 1.所以a n= 2n—1, a n+1 —a n= 2.因此存在入=4，使得数列｛a n｝为等差数列.17. 、［2014新课标全国卷n ］已知数列｛a n｝满足a1= 1, a n+1 = 3a n+ 1.1(1) 证明a n + 2是等比数列，并求｛a n｝的通项公式；1 1 1 3(2) 证明匸+丁+…+.a1 a2 a n 21 117.解：(1)由a n+1= 3a n + 1 得a n+1 + ? = 3 a n + -.又a1 +1 = 3,所以a n+ 2是首项为§公比为3的等比数列，所以a n+1 f，因此数n— 13列｛ a n｝的通项公式为a n= ~2~ .1 2(2)证明：由⑴知丛=3n—1.因为当n > 1 时，3n— 1 > 2 x 3n —1,1 1 12 1 所以3^ w 2x 3n_1，即a n=3nT i w 厂. 于是丄+丄+…十丄w 1+3+-+ =31 -3 <2.a1 a2 a n 3 3 2 3 21 , 1 3所以—I ------- --- ----- v二a1 a2 a n 2'22., , ［2014 重庆卷］设a1 = 1, a n+1=<a§—2a n+ 2 + b(n € N*).(1)若b = 1，求a2, a3及数列｛a n｝的通项公式.⑵若b =—1，问：是否存在实数c使得a2n<c<a2n+1对所有n€ N*成立？证明你的结论.22.解：(1)方法一：a2= 2, a3= ,2+ 1.再由题设条件知(a n+ 1—1)2= (a n—1)2+ 1.从而｛(a n —1)2｝是首项为0,公差为1的等差数列，故(a n—1)2= n—1,即卩a n= n— 1 + 1(n€ N*).方法二：a2= 2, a3= 2 + 1.可写为a1= 1—1 + 1, a2= 2— 1 + 1, a3= 3—1 + 1•因此猜想a n= n—1 + 1.下面用数学归纳法证明上式.当n = 1时，结论显然成立.假设n= k时结论成立，即a k= ''k—1+ 1,贝Va k+1= , (a k —1) 2+1 + + 1,这就是说，当n= k+ 1时结论成立.所以a n=甘n — 1 + 1(n € N ).⑵方法一：设f(x) = . (x—1) 2+1 —1，贝y a n+1= f(a n).令 c = f(c), 即卩c= ( c—1) 2+ 1 —1,解得c=下面用数学归纳法证明命题a2n<c<a2n +1<1.1当n = 1 时，a2= f(1) = 0, a3= f(0) = 2 —1，所以a2<4<a3<1，结论成立.假设n= k时结论成立，即a2k<c<a2k +1<1.易知f(x)在(—g, 1］上为减函数，从而c= f(c)> f(a2k +1)>f(1) = a2, 即卩1>C>a2k + 2> a2.再由f(x)在(—m, 1］上为减函数，得c= f(c)<f(a2k+2)<f(a2)= a3<1,故c<a2k+ 3<1，因此a2(k+ 1)<c<a2(k +1)+1<1,这就是说，当n = k+ 1时结论成立.1综上，存在c=;使a2n<C<a2a +1对所有n€ N*成立.4方法二：设f(x) =g ( X — 1 ) 2+ 1 —1，则a n+ 1= f(a n).先证：0w a n w 1(n€ N*). ①当n = 1时，结论明显成立.假设n= k时结论成立，即0 w a k w 1.易知f(x)在(—g, 1］上为减函数，从而0= f(1)w f(ak)w f(0) = ■,2—1<1.即0 w a k+1 w 1.这就是说，当n= k+ 1时结论成立.故①成立.再证：a2n<a2n +1(n€ N*). ②当n = 1 时，a2= f(1) = 0, a3= f(a2) = f(0)= . 2 —1，所以a2<a3，即n= 1 时②成立. 假设n= k时，结论成立，即a2k<a2k+1.由①及f(x)在( —g, 1］上为减函数，得a2k +1 = f(a2k)>f(a2k+ 1)= a2k+2,a2(k+ 1)= f(a2k+ 1)<f(a2k+2)= a2(k + 1) + 1.这就是说，当n= k+ 1时②成立•所以②对一切n€ N*成立.由②得a2n< a2n —2a2n+ 2— 1 , 即(a2n+ 1)2<a2n —2a2n+ 2,1因此a2n<4*③又由①②及f(x)在(一8, 1］上为减函数，得f(a2n)> f(a2n+ 1),即a2n + 1>a2n+2. 所以a2n + 1> a2n+ 1 —2a2n + 1+ 2—1，解得a2n+ 1>4・④1综上，由②③④知存在c=4使a2n<c<a2n+1对一切n € N*成立.D2等差数列及等差数列前n项和12. _____________ 、［2014安徽卷］数列｛ a n｝是等差数列，若a1 + 1, a3+ 3, a5+ 5构成公比为q的等比数列，贝U q = .12. 1 ［解析］因为数列｛a n｝是等差数列，所以a1+ 1, a3 + 3, a5 + 5也成等差数列•又a1+ 1,a3+ 3, a5+ 5构为公比为q的等比数列，所以a1 +1, a3+ 3, a5 + 5为常数列，故q =1.12. ［2014北京卷］若等差数列｛a n｝满足a7+ a8+ a9>0, a7 + a10<0,则当n = ___________ 时，｛a n｝的前n项和最大.12. 8 ［解析］■/ a7+ a8 + a9= 3a8>0, a7 + a10= a8+ a9<0,，. a8>0, a9<0,「. n= 8 时，数列｛a n｝的前n项和最大.3. ［2014福建卷］等差数列｛a n｝的前n项和为S n,若a1 = 2, S3= 12,则a6等于()A. 8B. 10C. 12D. 143. C ［解析］设等差数列｛a n｝的公差为d,由等差数列的前n项和公式，得S3= 3X 23 X 2+ 〒d= 12,解得 d = 2,贝V a6= a1+ (6 —1)d = 2 + 5X 2= 12.18. 、［2014湖北卷］已知等差数列｛a n｝满足：a1 = 2，且a1, a2, a5成等比数列.(1) 求数列｛a n｝的通项公式.⑵记S n为数列｛a n｝的前n项和，是否存在正整数n,使得S n>60n+ 800?若存在，求n 的最小值；若不存在，说明理由.18. 解：(1)设数列｛a n｝的公差为d,依题意得，2, 2+ d, 2 + 4d成等比数列，故有(2 + d)2= 2(2 + 4d),化简得d2—4d = 0,解得d = 0或d = 4.当 d = 0 时，a n= 2;当 d = 4 时，a n= 2 + (n—1) 4= 4n — 2.从而得数列｛a n｝的通项公式为a n = 2或a n= 4n — 2.(2) 当a n= 2 时，S n = 2n,显然2n<60n+ 800,此时不存在正整数n,使得S n>60n + 800成立.当a n= 4n— 2 时，S = ? = 2n .令2n2>60n+ 800,即n2—30n—400>0,解得n>40或n<—10(舍去),此时存在正整数n,使得S n>60n + 800成立，n的最小值为41.综上，当a n= 2时，不存在满足题意的正整数n;当a n= 4n—2时，存在满足题意的正整数n,其最小值为41.20.、［2014 湖南卷］已知数列｛a n｝满足a1= 1, |a n+1—a n|= p n, n€ N*.Kru-n-HIP —fea 2 = p + 1, a 3= p 2+ p + 1 •又 a 1, 2a 2, 3a 3 成等差数列，所以1 解得p = 3或p = 0. 31当p = 0时，a n +1 = a n ,这与｛a n ｝是递增数列矛盾，故 p = 3.1 1 、尹<尹刊，所以 |a 2n + 1— a 2n |<|a 2n — a 2n -1|.②1 1 ,,a n = a 1 + (a 2 — a 1) + (a 3 — a 2) +•••+ (a n — a n — 1) = 1 + ~ —歹 +…+［2014 •宁卷］设等差数列｛a n ｝的公差为d.若数列｛2 a 1 a n ｝为递减数列,—a n ) = 2a 1d<1，所得 a 1d<0.18. 、［2014全国卷］等差数列｛a n ｝的前n 项和为3•已知a 1= 10, a 2为整数，且（1）求｛a n ｝的通项公式;18. 解：（1）由a 1= 10, a 2为整数知，等差数列｛a n ｝的公差d 为整数. 又 S n w S 4，故 a 4》0, a 5 w 0,10+ 3d > 0, 10 + 4d w 0, 解得—d w — 5,3 2 因此d =— 3.故数列｛a n ｝的通项公式为a n = 13 — 3n. —1，其中入为常数.（1）若｛a n ｝是递增数列，且a i . 2a 2, 3a 3成等差数列，求p 的值; ⑵若p = 2，且｛a 2n -1｝是递增数列, ｛a 2n ｝是递减数列，求数列｛a n ｝的通项公式.20.解：（1）因为｛a n ｝是递增数列，所以 a n + 1 一 a n = |a n +1 — a n | = p n .而 a i = 1，因此 4a 2= a 1 + 3a 3，因而 3p 2 — p = 0, ⑵由于｛a 2n - 1｝是递增数列，因而 a 2n + 1 —a 2n —1>0，于是 (a 2n + 1 — a 2n ) + (a 2n — a 2n -1)>0. 因为2n — 1 由①②知, a2n — a 2n —1>0，因此 a 2n — (—1) 2n a 2n — 1 = 22n -12n 因为｛a 2n ｝是递减数列，同理可得,a 2n + 1 —a 2n <0，故 a 2n +(—1)2n + 1由③④可知, a n +1— a n = (—1) n +2n1 — a 2n = —?2n =4+3- (—1) 2门-1故数列｛a n ｝的通项公式为(—1) 2n(—1) 2门-1 d<0 B . d>0 C . a 1d<0 D . a 1d>0C ［解析］令b n = 2a 1a n ，因为数列｛2 a 1 a n ｝为递减数列，所以b n +1 2a 1a n +1b n 2a 1a n2a 1(a n +1S n W S .⑵设b n =a n a n +1，求数列｛b n ｝的前n 项和T n .⑵b n = (13 — 3n )(10— 3n )10 — 3n 13— 3n1.于是 T n = b 1 + b 2 + …+ b n =-17.、 10— 3n13— 3n 3 10— 3n 10 10 (10—3n )- ［2014新课标全国卷I ］ 已知数列｛a n ｝的前n 项和为 S n , a 1= 1, a n ^ 0, a n a n +1=入n⑴证明：a n + 2— a n =入⑵是否存在 入使得｛a n ｝为等差数列？并说明理由. 17. 解：⑴证明：由题设， a n a n + 1 =入 6— 1 , a n +i a n +2=入 S 1 — 1,两式相减得 a n + 1(a n +2 — a n )=入a 1. 因为a n + 1工0，所以a n + 2 — a n =入(2)由题设，a 1 = 1, a 1a 2=入 1— 1，可得 a 2= — 1, 由(1)知，a 3= + 1. 若｛a n ｝为等差数列，则 2a 2= a 1 + a 3,解得 =4，故a n + 2— a n = 4. 由此可得｛a 2n -1｝是首项为1，公差为4的等差数列， a 2n—1= 4n — 3;｛a 2n ｝是首项为3,公差为4的等差数列，a 2n = 4n — 1. 所以 a n = 2n — 1, a n +1 — a n = 2.因此存在 入=4，使得数列｛ a n ｝为等差数列.19., , [2014山东卷]已知等差数列｛a n ｝的公差为2，前n 项和为3,且S, 比数列. (1)求数列｛a n ｝的通项公式；—4n ⑵令b n = ( — 1)n 1 ，求数列｛b n ｝的前n 项和T n .a n a n +12X 119. 解：(1)因为 Si = a 1, S 2= 2a 1 + ~2~ x 2= 2a 1 + 2,4 x 3®= 4a 1+x 2= 4a 1+ 12,由题意得(2a 1+ 2)2 = a 1(4a 1 +12)，解得 a 1= 1, 所以 a n = 2n — 1.⑵由题意可知，(—1)n —14n_')(2n — 1)( 2n + 1)=2n 2n + 1.当n 为奇数时, 1+ 1 +•••—亠+亠+ 亠+亠 3 5 2n — 3 2n — 1 2n — 1 2n + 11 2n + 1=(—1)n —112n — 1 12n + 1当n 为偶数时，1V 11 1T n = 1 +1 —3+ 5 十…十 2n — 3+2n — 1 =1- 12n + 11 2n — 11 +2n + 1 S 2, S 4成等 b n = (— 1)n — 14n a n a n + 11Tn= 1 + 316.,[2014陕西卷]△ ABC 的内角A , B , C 所对的边分别为 a , b , c.(1) 若 a , b , c 成等差数列，证明： sin A + sin C = 2sin(A + C); ⑵若a ， b ，c 成等比数列，求 cos B 的最小值. 16. 解：⑴■/a , b , c 成等差数列，••• a + c = 2b. 由正弦定理得 sin A + sin C = 2si n B.■/ sin B= sin[ n — (A + C)] = sin(A + C),• sin A + sin C = 2sin(A + C).(2) •/ a , b , c 成等比数列，• b 2= ac. 由余弦定理得a 2+ c 2—b 2 a 2+c 2— ac 2ac — ac 1cos B- 2ac 2ac " 2ac 2，当且仅当a = c 时等号成立， 1• cos B 的最小值为》 11.[2014天津卷]设｛ a n ｝是首项为a 1，公差为—1的等差数列，S n 为其前n 项和.若 S 1, S 2,S 4成等比数列，则a 1的值为 ___________________ .1” - 4 X 311. —[解析]T S 2= 2a 1 — 1, S 4= 4a 1+ — X (— 1) = 4a 「6, S 1, S 2, S 4成等比数列，1•- (2a 1 — 1尸=a 1(4a 1 — 6)，解得 a 1 = —》22. , [2014 重庆卷]设 a 1 = 1, a n +1=p a §— 2a n + 2 + b(n € N *). (1)若b = 1，求a 2, a 3及数列｛a n ｝的通项公式.⑵若b =— 1，问：是否存在实数 c 使得a 2n <c<a 2n +1对所有n € N *成立？证明你的结论. 22.解：(1)方法一：a 2= 2, a 3=, 2+ 1. 再由题设条件知(a n + 1— 1)2= (a n — 1)2+ 1.从而｛(a n — 1)2｝是首项为0,公差为1的等差数列， 故(a n — 1)2= n — 1，即 a n = ^j n — 1 + 1(n € N ). 方法二：a 2= 2, a 3= 2 + 1.可写为 a 1= 1 — 1 + 1, a 2= 2— 1 + 1, a 3=、』3— 1 + 1.因此猜想 a n = n — 1+ 1. 下面用数学归纳法证明上式.当n = 1时，结论显然成立.假设n = k 时结论成立，即a k = .''k — 1+ 1,贝ya k +1 = \' (a k — 1) 2 +1 + 1 =百(k — 1) + 1 +1 = ：：/ ( k + 1) — 1 + 1, 这就是说，当n = k + 1时结论成立.所以 a n =雪n — 1 + 1(n € N ).⑵方法一：设 f(x) = . (x — 1) 2 +1 — 1，则 a n +1= f(a n ). 令 c = f(c),即 c =( c — 1) 2+ 1 — 1,解得 c = 7.4下面用数学归纳法证明命题 2n + 2 2n + 1.所以T n =, n 为奇数,2n + 1 2n冇，n 为偶数.或 “ 2n + 蔦(—;)n—12n + 1a2n<C<a2n + 1<1.1当n = 1 时，a2= f(1) = 0, a3= f(0) = 2 —1，所以a2<4<a3<1，结论成立.假设n= k时结论成立，即a2k<c<a2k+1<1.易知f(x)在(—g, 1］上为减函数，从而c= f(c)> f(a2k +1)>f(1) = a2,即卩1>C>a2k + 2> a2.再由f(x)在(—m, 1］上为减函数，得c= f(c)<f(a2k+2)<f(a2)= a3<1,故c<a2k+ 3<1，因此a2(k+ 1)<c<a2(k +1)+1<1,这就是说，当n = k+ 1时结论成立.1综上，存在c= 4使a2n<C<a2a+1对所有n€ N*成立.方法—：设f(x) = '...；( X —1) 2+ 1 —1，贝U an+ 1 = f(an).先证：0w a n W 1(n€ N*). ①当n = 1时，结论明显成立.假设n= k时结论成立，即0 w a k< 1.易知f(x)在(—g, 1］上为减函数，从而0= f(1) w f(a k) w f(0) = 2—1<1.即0 w a k+1 w 1•这就是说，当n= k+ 1时结论成立.故①成立.再证：a2n<a2n+ 1(n€ N ). ②当n = 1 时，a2= f(1) = 0, a3= f(a2) = f(0) =, 2 —1，所以a2<a3，即n= 1 时②成立. 假设n= k 时，结论成立，即a2k<a2k+1.由①及f(x)在( —g, 1］上为减函数，得a2k +1 = f(a2k)>f(a2k+ 1)= a2k+2,a2(k+ 1)= f(a2k+ 1)<f(a2k+2)= a2(k + 1)+1.这就是说，当n= k+ 1时②成立.所以②对一切n€ N*成立.由②得a2n<:-Ja2n —2a2n+ 2—1 ,即(a2n+ 1)2<a2n —2a2n+ 2 ,因此a2n<：③4又由①②及f(x)在(—g, 1］上为减函数，得f(a2n)> f(a2n +1), 即卩a2n + 1>a2n+2., _____________ 1所以a2n + 1> , a2n+1 —2a2n + 1+ 2—1，解得a2n+ 1>［. ④综上，由②③④知存在c=1使a2n<c<a2n+1对一切n € N*成立.4D3等比数列及等比数列前n项和2. ［2014重庆卷］对任意等比数列｛a n｝，下列说法一定正确的是()A. a1, a3, a9成等比数列B. a2, a3, a6成等比数列C. a2, a4, a8成等比数列D. a3, a6, a9,成等比数列2. D ［解析］因为在等比数列中a n, a2n, a3n,…也成等比数列，所以a3, a6, a9成等比数列.12. 、［2014安徽卷］数列｛a n｝是等差数列，若a1+ 1, a3+ 3, a5+ 5构成公比为q的等比数列，贝U q = ______ .12. 1 ［解析］因为数列｛a n｝是等差数列，所以a1+ 1, a3 + 3, a5 + 5也成等差数列.又a1+ 1, a3+ 3, a5+ 5构为公比为q的等比数列，所以a1 +1, a3+ 3, a5 + 5为常数列，故q =1.13. 、［2014广东卷］若等比数列｛a n｝的各项均为正数，且a10an+ a9a12 = 2e5，贝V In a1-3. 12+ In a 2 + …+ In a 20=13.50 ［解析］本题考查了等比数列以及对数的运算性质. + a 9a i2 = 2e 5,cc二 a io a ii + a 9a i2 = 2a io a ii = 2e ,「• a io a ii = e , --|n a i + In a 2+…+ In a 2o = In(a i a 2…a 2o ) = In (a io a ii )io = In (e 5)i0= In e 50= 50.i0. ［20i4全国卷］等比数列｛a n ｝中，a 4= 2, a 5= 5,则数列｛Ig a n ｝的前8项和等于(C . 4的最小值；若不存在，说明理由.18. 解：(1)设数列｛a n ｝的公差为d , 依题意得，2, 2+ d , 2 + 4d 成等比数列,故有(2 + d)2= 2(2 + 4d),化简得d 2— 4d = 0,解得d = 0或d = 4.又a i + j j 所以a n + 是首项为2■，公比为3的等比数列，所以■/ ｛a ｝10. C ［解析］设数列｛a n ｝的首项为a 1, 公比为q ，根据a i q 3= 2,a i q 4= 5,解得16 a i = 125'所以 a n = a i q n 1=16n—4125，所以 Ig a n = Ig 2 + (n —4)Ig|,所以前8项的和为5 5 58Ig 2 + (— 3 — 2— 1 + 0 + 1+ 2+ 3 + 4)Ig- = 8Ig 2+ 4lg?= 4Ig 4X- = 4.18.、 ［2014湖北卷］已知等差数列｛ a n ｝满足：a i = 2，且a i , a 2, a 5成等比数列. (1)求数列｛a n ｝的通项公式.⑵记S n 为数列｛a n ｝的前n 项和，是否存在正整数n,使得S n >60n + 800?若存在，求 当d = 0时, a n = 2;当d = 4时, a n = 2 + (n — 1) 4 = 4n — 2.-3.12⑵当 a n = 2 时，S n = 2n ,显然 2n<60n + 800, 解得n>40或n<— 10(舍去),1 117. 解：(1)由 a n +1 = 3a n + 1 得 a n +1 + ? = 3 a n + —.此时存在正整数 n , 使得S n >60n + 800成立, n 的最小值为41.综上，当a n = 2时，不存在满足题意的正整数 n; 当a n = 4n — 2时，存在满足题意的正整数 其最小值为41.17.、 、［2014新课标全国卷n ］已知数列｛a n ｝满足 a i = 1, a n + 1= 3a n + 1. (1)证明 a n + 2疋等比数列，并求｛a n ｝的通项公式;1 1⑵证明二+ £+…+a n从而得数列｛a n ｝的通项公式为 a n = 2 或 a n = 4n — 2. 此时不存在正整数 n ,使得 S n >60n + 800 成立.当 a n = 4n — 2 时, S n =n[2 +( 4n — 2)] =2n 2 令 2n 2>60n + 800, 即 n 2— 30n — 400>0,an + 2 = ，因此数1 2⑵证明：由⑴知a n =3n —i.因为当 n > 1 时，3n — 1 > 2 X 3n —1所以2+1+…+丄＜3a 1 a 2 a n 219., , [2014 •东卷]已知等差数列｛a n ｝的公差为2，前n 项和为S n ,且S 1, S 2, 比数列.(1)求数列｛a n ｝的通项公式； ⑵令b n = ( — 1)n—1—，求数列｛b n ｝的前n 项和T n . a n a n +119. 解：(1)因为 S 1 = a 1, S 2= 2a 1 +X 2=2a 1+ 2,4 X 3 小S 4= 4a 1 + ~2~X 3= 4a 1 + 12,由题意得(2a 1+ 2)2 = a 1(4a 1 +12)，解得 a 1= 1, 所以 a n = 2n — 1.⑵由题意可知，2 2n + 1 2n + 2 2n + 1.列｛a n ｝的通项公式为3n — 1 a n = 21 a 21 2X 3n —1 即a n =右3 132 1 ― 3n <2.S 4成等 b n = (— 1)n — 14na n a n + 1=(—1)n4n(2n — 1)~( 2n + 1) =(—1)n —11_ + _J_2n — 1 2n + 1当n 为偶数时， 1 V 1 1 丄 1T n = 1 + 3 — 3+ 5 +…+ 廿+乔1 2n — 11 2n + 11 2n + 1=2n 2n + 1. 当n 为奇数时,1Tn= 1 +31 1一 + 一+…— 1 + 1 _L + 1 2n — 3+ 2n — 1 + 2n —1+2n + 1所以a1Kru-n-HIP—fe⑵若a , b , c 成等比数列，求 cos B 的最小值. 16.解：(1) •/a , b , c 成等差数列，••• 由正弦定理得 sin A + sin C = 2si n B. • sin A + sin C = 2sin(A + C). (2) •/ a , b , c 成等比数列，• b 4= ac. 由余弦定理得4 3}，可得 A = {0 , 1 , 2, 3, 4, 5, 6, 7}.2n + 2 所以T n =2n + 1 ,n 为奇数, 2n + 1+(— 1)2n 2n + 1,n 为偶数.2n + 116.,, ［2014陕西卷］△ ABC 的内角A , B , C 所对的边分别为a ，b , c. (1)若a ，b ，c 成等差数列，证明: sin A + sin C = 2si n(A + C); a + c = 2b.■/ sin B = sin[ 7t —(A + C)] = sin (A + C),cos B =0^^ = a^2—^ , 2ac —ac2ac 2ac2ac2'当且仅当a = c 时等号成立,1• cos B 的最小值为111. ［2014天津卷］设｛ a n ｝是首项为a 1，公差为—1的等差数列, S 1, S 2, S 4成等比数列，贝y a 1的值为2,…，n 证明：若 a n <b n ，贝U s<t.=—1<0, 所以s<t.D4数列求和—a n + 1b n + 2b n +1b n = 0.(2)证明：由 s , t € A , s = a 1 + a 2q +…+ a n q n,t = b 1+ b 2q + •••+ b n q n ai ,b i € M , i=1, 2，…，n 及 a n <b n ，可得 s —1= (a 1 — b 1) + (a 2— b 2)q + …+ (a n -1 —b n -1)q n 2+ (a n — b n )q n 1 w (q — 1) + (q — 1)q + …+ (q — 1)q n —2— qn—1(q — 1)( 1 — q n —9—q n S n 为其前n 项和.若11.[解析]T S 2= 2a 1 — 1, S 4= 4a 1 +X (— 1) = 4a 1 — 6, S 1, S 2, S 4成等比数列,•- (2a 1 — 1)2= a 1(4a 1 — 6)，解得 a 1 =—2'19.、［2014天津卷］已知q 和n 均为给定的大于1的自然数.设集合M = ｛0,1 ,2,…, q — 1},集合 A = {x|x =X 1 + x 2q +•••+ x n q n —1 ,X i € M , i = 1, 2，…，n}.(1)当q = 2, n = 3时，用列举法表示集合 A.(2)设 s , t € A , s = a 1+ a 2q +…+ a n q n 1 t = b 1 + b 2q + …+ b n q n 1 ,其中a i , b i € M , i = 1,19.解：(1)当 q = 2, n = 3 时，M = {0 , 1}, A = {x|x = X 1+ X 2 - 2 + X 3 - 22, X i €M , i = 1, 17.、 、［2014江西卷］已知首项都是1的两个数列 { a n } , {b n }(b n M 0, n € N *)满足 a n b n + 11b n = (— 1)n —14na n a n + 1 =(—1)n4n(2n — 1)( 2n + 1)=(—1)n2n — 1 + 2n + 1 'n(1)令C n =—，求数列｛ C n ｝的通项公式;(2)若 b n = 3n —1，求数列｛a n ｝的前n 项和S n .17.解：(1)因为 a n b n +1 — a n + l b n + 2b n +l b n = 0, b n 工 0(n € N )，所以a n + 1b n + 1an= 2,即 C n + 1b n所以数列｛ C n ｝是以C 1 = 1为首项，d = 2为公差的等差数列，故 c n = 2n — 1.(2) 由 b n = 3n ,知 a n = (2 n — 1)3n ，于是数列｛a n ｝的前n 项和S n = 1 x 3°+ 3X 31 + 5X 32 + …+ (2n — 1)x 3n —1, 3S n = 1 x 31 + 3x 32 + …+ (2n — 3)x 3n —1+ (2n — 1)x 3n ,将两式相减得 —2S n = 1 + 2X (31+ 32+…+ 3n —1) — (2n — 1) x 3n =— 2 — (2n — 2) x 3n ,所以 S n = (n — 1)3n + 1. 18. 、［2014且 S n W S t .(1)求｛a n ｝的通项公式;⑵设b n =a n a n +1，求数列｛b n ｝的前n 项和T n .18.解：(1)由a 1= 10, a 2为整数知，等差数列 ｛a n ｝的公差又 S n W S 4,故 a 4> 0, a 5< 0,10+ 3d > 0, 10 + 4d w 0, 10 5解得一d W — 5, 3 2 因此d =— 3.故数列｛a n ｝的通项公式为a n = 13 — 3n. (2) b n = (13 — 3n )(10— 3n )10 — 3n 13— 3n.于是 T n = b 1 + b 2 +7- 110 +10— 3n 13— 3n 3 10— 3n 1010 (10—3n )'19., ［2014 •东卷］已知等差数列｛a n ｝的公差为2，前n 项和为3,且S,S 2, S 4成等比数列.(1)求数列｛a n ｝的通项公式;⑵令 b n = ( — 1)n 4n a n a n +1 ，求数列｛b n ｝的前n 项和T n .19.解：(1)因为 Si = a 1, S 2= 2a 1 +2X 1x 2= 2a 1+ 2,S 4= 4a 1 +x 2= 4a 1+ 12,由题意得(2a 1+ 2)2 = a 1(4a 1 +12)，解得 a 1= 1,所以 a n = 2n — 1. (2)由题意可知,=1 +1 —2 4+ 3当n 为偶数时,2n当n 为奇数时,2n + 1 2n + 22n + 120. 、［2014 湖南卷］已知数列｛a n ｝满足 a 1= 1, |a n +1— a n |= p n , n € N .因为2n — 1 由①②知, a 2n —a 2n —1>0，因此 a 2n — a 2n —1 = (—1) 2n因为｛a 2n ｝是递减数列，同理可得, a 2n + 1 由③④可知,a n +1— a n =(—1)n +2n22 n —1—a 2n <0，故 a 2n + a 2n =— 2n(—1)?2n2n + 1T n = 1 + 1 1 3+ 52n — 3+ 2n - 12n — 1 + 2n + 1=1-2n + 1 T n = 1 + § ―1+ 12n — 3 + 2n — 12n — 12n + 12n + 2 所以T n =2n + 1‘ n 为奇数, 2n + 1 +(—1) 2n 2n + 1'n 为偶数.2n + 1D5单元综合 (1)若｛a n ｝是递增数列，且 a 1, 2a 2, 3a 3成等差数列，求p 的值; ⑵若p = 2，且｛a 2n -1｝是递增数列, ｛a 2n ｝是递减数列，求数列｛a n ｝的通项公式. 20、解：(1)因为｛a n ｝是递增数列，所以a n + 1 — a n = |a n +1 — a n | = p n .而 a 1 = 1，因此a 2 = p + 1, a 3= p 2+ p + 1 •又 a 1, 2a 2, 3a 3 成等差数列，所以 4a 2= a 1 + 3a 3，因而 3p 2 — p = 0,1解得p = 3或p = 0.3当p = 0时, a n +1 =a n ,1这与｛a n ｝是递增数列矛盾，故 p = 3.⑵由于｛a 2n - 1｝是递增数列，因而 a 2n + 1— a 2n —1>0，于疋 (a 2n +1 — a 2n )+ (a 2n — a 2n —1)>0.①(—1) 2“-1=1 +1 —24+31 亠a n = a 1 + (a 2 — a 1) + (a 3 — a 2) +•••+ (a n — a n T ) = 1 + ? — ?2 + …+(—1)故数列｛a n ｝的通项公式为 a n = (—1)2*-121. 、［2014安徽卷］设实数c >0,整数p > 1, n € N *.⑴证明：当 x >— 1 且 X M 0 时，(1 + x)p> 1 + px ;21.证明：(1)用数学归纳法证明如下.①当p = 2时，(1 + x)2= 1 + 2x + x 2>1 + 2x ，原不等式成立. ②假设p = k(k > 2, k € N *)时，不等式(1 + x)k >1 + kx 成立. =(1 + x)(1 + x)k >(1 + x)(1 + kx)= 1 + (k + 1)x + kx 2>1 + (k + 1)x.所以当p = k + 1时，原不等式也成立.综合①②可得，当x>— 1, X M 0时，对一切整数1 c .1 +"a p— 5.5由此可得，f(x)在［c-,+8 )上单调递增,p1⑵数列｛ a n ｝满足a 1 > cp , a n +1 =pa n + pa n —p，证明: a n > a n +1 > c p. ⑵方法一：先a n >C_. p1①当n =1时，由题设知a1>c 1成立.②假设n = k(k > 1, k € N *)时，不等式 a k > c p 成立. 由 a n + 1 =P — 1丄 c 1a n + a n p p 易知 a >0,当n = k + 1时,a k +1p — 1 , c = +_a kpa k p当 p = k + 1 时，(1 + x)p>1，不等式(1+ x)P >1 + px 均成立.由 a k >cr>0 得一 1< 一 <一-p a p -1<0.由(1)中的结论得 a k +1a k 1+pOr 1>1 + p •—ap.因此a p + 1>c,即a k +1>c —,所以当n = k + 1时，不等式1 an >cp 也成立.综合①②可得，对一切正整数n，不等式a n >c1均成立.再由a n +1a na p可得a n + 1a n<1,即a n+ 1<a n.因而，当1 1 1 x莓时，蚀>%)=c p.综上所述, a n> a n+1 >Cp ,n€ N*方法二：设f(x)=x+px11x> c1，贝y x p> c,p所以f'x)=p—1 c+p(1 —p)xp—J _c1 —x p >°.Kru-n-HIP —fe1①当n = 1时，由a 1>c _>0 ,即卩a 1>c 可知 p1故当n = 1时，不等式a n >a n +1>c~成立. P所以当n = k + 1时，原不等式也成立.(1)求数列｛a n ｝的通项公式. 的最小值；若不存在，说明理由.18. 解：(1)设数列｛a n ｝的公差为d , 依题意得，2, 2+ d , 2 + 4d 成等比数列, 故有(2 + d)2= 2(2 + 4d),化简得d 2- 4d = 0,解得d = 0或d = 4.解得n>40或n<— 10(舍去),a 2 =p -1 C 1—p 1 c 彳a1+ p a1 p = a1 1 + paT 11<a 1，并且 a 2= f(a 1)>cp ，从而可得 a 1 >a 2②假设n = k(k > 1,k € N *)时，不等式 1)>f(cp),即有a k + 1>a k +2>「p综合①②可得，对一切正整数n ,不等式 a n >a n + 11 >C-均成立. p18.、、［2014湖北卷］已知等差数列｛a n ｝满足: a 1 = 2，且 a 1, a 2，a 5成等比数列. ⑵记S n 为数列｛a n ｝的前n 项和，是否存在正整数n ,使得S n >60n + 800?若存在，求 当d = 0时, a n = 2;当d = 4时, a n = 2 + (n - 1) 4 = 4n — 2.从而得数列｛a n ｝的通项公式为 a n = 2 或 a n = 4n — 2. ⑵当 a n = 2 时，S n = 2n ,显然 2n<60n + 800, 此时不存在正整数 n , 使得S n >60n + 800成立. 当 an = 4n — 2 时,n[2 +( 4n — 2)]=2n 2令 2n 2>60n + 800,即 n 2— 30n — 400>0,此时存在正整数 n , 使得S n >60n + 800成立, n 的最小值为41.综上，当a n = 2时，不存在满足题意的正整数 n; 当a n = 4n — 2时，存在满足题意的正整数 其最小值为41. ,则当 n = k + 1 时，f(a k )>f(a k + a k > a k +1>、［2014江西卷］已知首项都是1的两个数列｛a n ｝, ｛b n ｝(b n M 0, n € N *)满足a n b n +1—a n + 1b n + 2b n + 1b n = 0.+ …+ (2n — 1)x 3n —1, 3S n = 1 x 31 + 3x 睜 + …+ (2n — 3)x 3n —1—2S n = 1 + 2X (31+ 32+-+ 3n —1) — (2n — 1) x 3n =— 2 — (2n — 2)x 3n ,所以S n = (n — 1)3n + 1. 17.、(1)令 C n =a nbn'求数列｛c n ｝的通项公式; (2)若 b n = 3n —1 ，求数列｛a n ｝的前n 项和S n .17 .解：(1)因为 a n b n + 1 — a n + 1b n + 2b n + 1b n = 0, b n M 0( n € N )，所以a n +1 a nb n + 1b n=2, 即 卩 C n1所以数列｛C n ｝是以 C 1 = 1为首项，d = 2为公差的等差数列，故C n = 2n — 1.(2)由 b n = 3n —1 ，知 a n = (2n — 1)3n —1，于是数列｛a n ｝的前n 项和S n = 1 x 30 + 3X 31 + 5X 32 + (2n — 1)x 3n ,将两式相减得17.、 、［2014新课标全国卷n ］已知数列｛a n ｝满足 a 1 = 1, a n +1 = 3a n + 1.1 , 3 t , n2T n = 1+ 2 + 歹+…+盯，因此，2T n — T n = 1 + 1 + 2^+…+ 21—1-加 2 —十—加 2n 219. [2014浙江卷]已知数列｛a n ｝和｛b n ｝满足a£2a 3…a n = ( . 2)b n (n € N *).若｛a n ｝为等比 数列，且 a 1 = 2, b 3= 6 + b 2.sV1 (1) 证明a n + 2是等比数列，并求｛a n ｝的通项公式; 1 1 1 3(2) 证明一 +—+•••+—<；.a 1 a 2 a n 21 1 17.解：(1)由 a n +1= 3a n + 1 得 a n +1 + ㊁=3 a n +2 .1 3 1 3又a 1 + = 2，所以a n +1是首项为3■，公比为3n— 1列｛a n ｝的通项公式为a n =1 3n3的等比数列，所以a n + 2 = 3，因此数 1⑵证明：由⑴知乳=3n —1.因为当 n > 1 时，3n — 1 > 2 x 3n —1,I I 1所以 3n — 1w 2X 3n —1，即 a n = 3n — 1w 3n —1.于是丄+1+…+丄＜ 1+3+…+尙=21— a 1 a 2 a n 3 3 2丄 3耳＜2.所以丄+1 +…+ -＜3. a 1 a 2 a n 219., (n € N *).(1)若 [2014四川卷]设等差数列｛a n ｝的公差为d ，点(a n , b n )在函数f(x) = 2x 的图像上a i =— 2,点(a 8, 4b 7)在函数f(x)的图像上，求数列｛a n ｝的前n 项和S n ； ⑵若1 a na 1= 1，函数f(x)的图像在点(a 2,b 2)处的切线在x 轴上的截距为2 —花，求数列 厶的前n 项和T n .19.解：(1)由已知得，b 7= 2a 7, b 8= 2a 8= 4b 7，所以 2a 8= 4 x 2a 7 = 2a 7+ 2，解得 d = a 8— a 7= 2,n (n — 1)所以 S n = na 1 + d = — 2n +n(n — 1) = n 2— 3n.⑵函数f(x)= 2x 在点(a 2, b 2)处的切线方程为 y — 2a 2= (2a 2ln 2)(x — a 2), 其在X 轴上的截距为a 2—爲.1 1由题意有a 2— = 2 — ，解得a 2= 2.所以 d = a 2 — a 1= 1. 从而 a n = n , b n = 2n ,a n n_ 所以数列｛和的通项公式为b n = 2n , 所以Tn =1+釘討…+F?+2n ,2nn + 1 所以，T n =2— n — 22n(1)求 a n 与 b n .1 1 *⑵设C n = — — b (n € N ).记数列｛C n ｝的前n 项和为S n . (i) 求 S n ；(ii) 求正整数k ,使得对任意n €均有S k > S n . 19. 解：(1)由题意 a£2a 3 …a n = (,2)b n , b 3 — b 2= 6, 知 a 3= Cj 2)b 3 — b 2= 8.又由a 1 = 2，得公比q = 2(q =— 2舍去)，所以数列｛a n ｝的通项为 所以，a 1a 2a 3…a n = 2“(叮 ° = ( . 2)n(n+"_ *€ N ).2门 、 2：所以，当n > 5时，C n <0. 综上，若对任意 n € N *恒有S k >S n ,则k = 4.4. [2014 •州调研]已知数列｛a n ｝满足a 1 = 5，a n +1 =乙^打，n € N *.a n = 2n (n €2 故数列｛b n ｝的通项为b n = n(n + 1)(n € N *).11111(2)(i)由(1)知 c n = a ；— b ；=列n n + 1(n € N *).(ii)因为 C 1= 0, C 2>0, C 3>0, 1当n > 5时，C n而n （n +1）2nn (n + 1)(n + 1)( n + 2) C 4>0 ,n (n + 1)—1 ,2n(n + 1)( n — 2)得 n ( n + 1)三 5X( 5 + 1)3. [2014闽南四校期末]若数列｛a n ｝的前n 项和为2 1S n = ?a n + "3,则数列｛a ｝为( A .B .C )a n =— 2n 1 a n = (— 2)n —1 a n = (— 2)n a n =— 2n2B ［解析］由 a n = S n — &i -1(n > 2),得 a n = _a n — ^a nT ..，. a n ==(—2)n —1(n >2).又 a 1 = (— 2)1—1 = 1，二 a n = (— 2)n —1.3. —2a n -1.又 a i = 1 ,「• a n a n *6. ［2014南昌联考］已知数列｛a n ｝满足 a 1= 1, a n +1 =匚卫(n € N ).若 b n + 1 = (n —1 ,Z 0_ +1 , a n . b 1=— Z,且数列｛b n ｝是递增数列，则实数 入的取值范围为（ C . 6. v 2 B .入〉3 > 2 D .入v 31 2 1 1［解析］易知—=2 + 1，•— + 1 = 2- + 1."1 J a a a a n + 1 1 1 —又 a 1= 1 ,•••：+ 1 =7+ 12n 1= 2n ,. b n +1 = (n —入)2,' a n a 1 ' '• b n +1 — b n = (n —入)2~ (n — 1 —入)2 1 = (n —入 + 1)2n 1 >0, n —入 + 1 > 0.又 n € N ，二 Z 2.1（1）求证：数列一1为等比数列.a n⑵是否存在互不相等的正整数m, s, t，使m, s, t成等差数列，且a m—1, a s—1, a t —1成等比数列？如果存在，求出所有符合条件的m, s, t;如果不存在，请说明理由.m+1+ 2 X 3m + 2 X 3t = 32s + 4 X 3s因为 m + t = 2s ,所以 3m + 3t = 2X 3s . 这与m , s , t 互不相等矛盾,(1)求a 1及数列｛a n ｝的通项公式; 即(a n — 1)2— a 2—1 = 0,所以数列｛a n ｝是首项为1,公差为1的等差数列,4.解：⑴证3a n 2a n + 1 ，所以a n + 1 3a n所以a n +13a n1.3因为a1 = 5,所以 a 1所以数列 a n2 11是首项为3，公比为£的等比数列.3 3 1 (2)由(1)知，a ；—1= 2X ]n -1 2 3 3 3n ，所以a n = 3n3n + 2假设存在互不相等的正整数 m , s , t 满足条件,则有m +1 = 2s ,(a s — 1) 2=( a m — 1) (at — 1).由a n = 3n3“+ 2 与(as — 1)2 =(a m — 1)(a t — 1), 3s 2_3m3t3s + 23m + 23t + 2 —1, 又 3m + 3t > 23m+1= 2 X 3s ,当且仅当m = t 时，等号成立,所以不存在互不相等的正整数m , s ,t 满足条件. 2. [2014景德镇质检]已知递增数列、卄1 2{a n }满足 a 1 + a 2 + a 3 +…+ a n = 2(a n + n).⑵设c n = a n + , n 为奇数,a n —1 • 2 a n — 1 + 1, n 为偶数, 求数列｛ C n ｝的前2n 项和T 2n . 2.解：(1)当 n = 1 时，a 1=*(a 2+ 1)，解得a 1 = 1. a1 + a 2+ a 3+…+ a n — 1=*(a 2—1 +—1),a 1 + a 2 + a 3+…+ a n = 1 22(a n + n),所以a n =詁2—a n - 1+ 1),所以 a n — a n —1 =1 或 a n + a n —1 = 1(n 》2).又因为数列｛a n ｝为递增数列，所以 a n —a n —1 = 1,则 T 2n = (2 + 4 + …+ 2n)+ [1 x 21 + 3X 23+…+ (2n — 1)x 22n —1] + n = n(n + 1) + [1 x 21 +3X 23+…+ (2n — 1) X 22n —1记 S n = 1 x 21 + 3X 23+…+ (2n — 1) X 22n —1,① 则 4S n = 1X 23+ 3X 25+…+ (2n — 1) X 22n +1 由①一②，得—3S n = 2 + 24+ 26+…+ 22n — (2n — 1)22n +1,所以a n = n.(2)由 C n a n + , n 为奇数, a n —1 • 2a n — 1 + 1, n 为偶数, 得C n =n + 1,n 为奇数, (n — 1) 2n —1+ 1, n 为偶数,]+ n. •②=22 + 24 + 26+…+ 22n — (2n — 1)22n +1 — 2, 4(1 — 4n ) 所以一3S n = 4(: 41 — 4 4 (1 — 4n )卜 —(2n — 1)2 2n +1— 2,所以S n = (2n — 1) 22n +1 9即 S n =( 6n - 5)22n +1 2卜2, 9 罟故 T 2n = g 5)22n +17. 比数列, 2 c 109 " + 2n +［2014福建闽南四校期末］已知数列｛ a n ｝是公差为2的等差数列，且a 1, a 2, a 5成等 则a 2的值为( 3A ［解析］T a 1, A . 7. 二 a 2= (a 2— 2)(a 2 + 6)，解得 a 2= 3.)2 D . — 2 a 2, a 5成等比数列，a 2= a 1 - a 5, 10. ［2014郑州质检］已知各项不为0的等差数列｛a n ｝满足a 4— 2a 7 + 3a 8= 0,数列｛b n ｝ 疋等比数列， A . C . 10. 且 b 7= a 7,贝U b 2b 8bn 等于(B . D . ［解析］由已知，得 2a 2= a 4 + 3a 8= a 1+ 3d + 3a 1+ 21d = 4a 1 + 24d = 4(a 1 + 6d)= 4a 7, 2n , D ••• a 7= 2 或 a 7 = 0(舍去), 二 b 7= 2,「. b 2b 8bn = b 1q - b 1q 7 • b 1q 10= b 3q 18 = (b 1q 6)3= b 3= 8. 17. ［2014温州十校联考］1 n € N *，数列｛a n ｝满足 a n + 1 (1)求数列｛a n ｝的通项公式； ⑵记b n = , a n a n +1,求数列｛b n ｝的前n 项和T n . 已知二次函数f(x)= ax 2+ bx 的图像过点(一4n , 0)，且f ' (0= =f '丄，且 a 1= 4. a n 17.解： 由题意知 f ' (0) b = 2n , 16n 2a — 4nb = 0, 1• • a = _, 2，1又数列｛a n ｝满足 1 *b = 2n ,「. f(x) = 2X 2+ 2nx , n € N *. 1 f '—, f'x) = x + 2n ,a n +1 a n11 门=一+ 2n , a n +1 a n1 1 c =2n. a na n + 1 1 1由叠加法可得 a n -4= 2+ 4 + 6i ・+ 2(n - 1) = n2- n ，化简可得 a n =(2n — 1)2(n >2). 当 n = 1时，a1= 4 也符合上式，•• a n = ~2(n € N ).=2-1(2n — 1)( 2n + 1) 2n — 1 2n + 1 b n =. a 1a 2+ Ja 2a 3+・・・+ ‘叮 a n a n +1 =1 1 1 4n (2) ■/ b n = . a n a n +1 = --T n = b 1 + b 2+…+11 1 ,,21—：+7—2+…+3 3 5=21 — 2n — 1 2n + 1 2n + 1 2n + 1'1 3 1 3所以|a2n+ 1—a2n|<|a2n —a2n —11.②2n。

最新高考数学分类汇编(数列)资料

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2014年全国高考数学试题分类汇编（数列）1.【2014·全国卷Ⅱ（文5）】等差数列{}n a 的公差为2，若2a ，4a ，8a 成等比数列，则{}n a 的前n 项和n S =（A ） ()1n n + （B ）()1n n - （C ）()12n n + (D)()12n n -【答案】A2.【2014·全国大纲卷（理10）】等比数列{}n a 中，452,5a a ==，则数列{lg }n a 的前8项和等于 （ ）A ．6B ．5C ．4D ．3 【答案】C ．3.【2014·全国大纲卷（文8）】设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 2=3，S 4=15，则S 6=( ) A. 31 B. 32 C. 63 D. 64 【答案】C4.【2014·北京卷（理5）】设{}n a 是公比为q 的等比数列，则"1"q >是"{}"n a 为递增数列的（ ）.A 充分且不必要条件 .B 必要且不充分条件 .C 充分必要条件 .D 既不充分也不必要条件【答案】D5.【2014·天津卷（文5）】设{}n a 是首项为1a ，公差为-1的等差数列，n S 为其前n 项和.若124,,S S S 成等比数列，则1a =（ ）（A ）2 （B ）-2 （C ）12 （D ）12- 【答案】D .6.【2014·福建卷（理3）】等差数列{}n a 的前n 项和n S ，若132,12a S ==，则6a =( ).8A .10B .12C .14D【答案】C7.【2014·辽宁卷（文9）】设等差数列{}n a 的公差为d ，若数列1{2}n a a为递减数列，则（ ）A ．0d >B ．0d <C ．10a d >D ．10a d <【答案】D8.【2014·陕西卷（理文4）】根据右边框图，对大于2的整数N ，得出数列的通项公式是（ ）.2n A a n = .2(1)n B a n =- .2n n C a = 1.2n n D a -=【答案】C9.【2014·重庆卷（理2）】对任意等比数列{}n a ,下列说法一定正确的是（ ）139.,,A a a a 成等比数列 236.,,B a a a 成等比数列 248.,,C a a a 成等比数列 369.,,D a a a 成等比数列【答案】D10.【2014·重庆卷（文2）】在等差数列{}n a 中,1352,10a a a =+=，则7a =（ ）.5A .8B .10C .14D【答案】B11.【2014·全国卷Ⅱ（文16）】数列{}n a 满足1+n a =n a -11，2a =2，则1a =_________.【答案】2112.【2014·安徽卷（理12）】数列{}a n 是等差数列，若1a 1+，3a 3+，5a 5+构成公比为q 的等比数列，则q =________. 【答案】1q =。

2014年高考文科数学数列真题

2014年高考文科数学数列真题

2014年高考数学真题（数列）一．选择题（共2小题）1．等差数列{a n}的公差为2，若a2，a4，a8成等比数列，则{a n}的前n项和S n=（）A．n（n+1） B．n（n﹣1）C．D．2．（2014•广西）设等比数列{a n}的前n项和为S n．若S2=3，S4=15，则S6=（）A．31 B．32 C．63 D．64二．填空题（共2小题）3．数列{a n}满足a n+1=，a8=2，则a1=_________．4．（2014•江西）在等差数列{a n}中，a1=7，公差为d，前n项和为S n，当且仅当n=8时S n取得最大值，则d的取值范围为_________．三．解答题（共6小题）5．（2014•重庆）已知{a n}是首项为1，公差为2的等差数列，S n表示{a n}的前n项和．（Ⅰ）求a n及S n；（Ⅱ）设{b n}是首项为2的等比数列，公比为q满足q2﹣（a4+1）q+S4=0．求{b n}的通项公式及其前n项和T n．6．（2014•河南）已知{a n}是递增的等差数列，a2，a4是方程x2﹣5x+6=0的根．（1）求{a n}的通项公式；（2）求数列{}的前n项和．7．（2014•北京）已知{a n}是等差数列，满足a1=3，a4=12，数列{b n}满足b1=4，b4=20，且{b n ﹣a n}为等比数列．（Ⅰ）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{b n}的前n项和．8．（2014•安徽）数列{a n}满足a1=1，na n+1=（n+1）a n+n（n+1），n∈N*．（Ⅰ）证明：数列{}是等差数列；（Ⅱ）设b n=3n•，求数列{b n}的前n项和S n．9．（2013•重庆）设数列{a n}满足：a1=1，a n+1=3a n，n∈N+．（Ⅰ）求{a n}的通项公式及前n项和S n；（Ⅱ）已知{b n}是等差数列，T n为前n项和，且b1=a2，b3=a1+a2+a3，求T20．10．（2013•浙江）在公差为d的等差数列{a n}中，已知a1=10，且a1，2a2+2，5a3成等比数列．（Ⅰ）求d，a n；（Ⅱ）若d＜0，求|a1|+|a2|+|a3|+…+|a n|．2014年高考数学真题（数列）参考答案与试题解析一．选择题（共2小题）1．等差数列{a n}的公差为2，若a2，a4，a8成等比数列，则{a n}的前n项和S n=（）A．n（n+1）B．n（n﹣1）C．D．考点：等差数列的性质．专题：等差数列与等比数列．分析：由题意可得a42=（a4﹣4）（a4+8），解得a4可得a1，代入求和公式可得．解答：解：由题意可得a42=a2•a8，即a42=（a4﹣4）（a4+8），解得a4=8，∴a1=a4﹣3×2=2，∴S n=na1+d，=2n+×2=n（n+1），故选：A．点评：本题考查等差数列的性质和求和公式，属基础题．2．（2014•广西）设等比数列{a n}的前n项和为S n．若S2=3，S4=15，则S6=（）A．31 B．32 C．63 D．64考点：等比数列的前n项和．专题：等差数列与等比数列．分析：由等比数列的性质可得S2，S4﹣S2，S6﹣S4成等比数列，代入数据计算可得．解答：解：由等比数列的性质可得S2，S4﹣S2，S6﹣S4成等比数列，即3，12，S6﹣15成等比数列，可得122=3（S6﹣15），解得S6=63故选：C点评：本题考查等比数列的性质，得出S2，S4﹣S2，S6﹣S4成等比数列是解决问题的关键，属基础题．二．填空题（共2小题）3．数列{a n}满足a n+1=，a8=2，则a1=．考点：数列递推式．专题：计算题．分析：根据a8=2，令n=7代入递推公式a n+1=，求得a7，再依次求出a6，a5的结果，发现规律，求出a1的值．解答：解：由题意得，a n+1=，a8=2，令n=7代入上式得，a8=，解得a7=；令n=6代入得，a7=，解得a6=﹣1；令n=5代入得，a6=，解得a5=2；…根据以上结果发现，求得结果按2，，﹣1循环，∵8÷3=2…2，故a1=故答案为：．点评：本题考查了数列递推公式的简单应用，即给n具体的值代入后求数列的项，属于基础题．4．（2014•江西）在等差数列{a n}中，a1=7，公差为d，前n项和为S n，当且仅当n=8时S n取得最大值，则d的取值范围为（﹣1，﹣）．考点：等差数列的性质．专题：点列、递归数列与数学归纳法．分析：根据题意当且仅当n=8时S n取得最大值，得到S7＜S8，S9＜S8，联立得不等式方程组，求解得d 的取值范围．解答：解：∵S n =7n+，当且仅当n=8时S n取得最大值，∴，即，解得：，综上：d的取值范围为（﹣1，﹣）．点评：本题主要考查等差数列的前n项和公式，解不等式方程组，属于中档题．三．解答题（共6小题）5．（2014•重庆）已知{a n}是首项为1，公差为2的等差数列，S n表示{a n}的前n项和．（Ⅰ）求a n及S n；（Ⅱ）设{b n}是首项为2的等比数列，公比为q满足q2﹣（a4+1）q+S4=0．求{b n}的通项公式及其前n 项和T n．考点：数列的求和；等差数列的性质．专题：等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）直接由等差数列的通项公式及前n项和公式得答案；（Ⅱ）求出a4和S4，代入q2﹣（a4+1）q+S4=0求出等比数列的公比，然后直接由等比数列的通项公式及前n项和公式得答案．解答：解：（Ⅰ）∵{a n}是首项为1，公差为2的等差数列，∴a n=a1+（n﹣1）d=1+2（n﹣1）=2n﹣1．；（Ⅱ）由（Ⅰ）得，a4=7，S4=16．∵q2﹣（a4+1）q+S4=0，即q2﹣8q+16=0，∴（q﹣4）2=0，即q=4．又∵{b n}是首项为2的等比数列，∴．．点评：本题考查等差数列的性质，考查了等差数列和等比数列的通项公式、前n项和公式的求法，是基础题．6．（2014•河南）已知{a n}是递增的等差数列，a2，a4是方程x2﹣5x+6=0的根．（1）求{a n}的通项公式；（2）求数列{}的前n项和．考点：数列的求和；等差数列的通项公式．专题：综合题；等差数列与等比数列．分析：（1）解出方程的根，根据数列是递增的求出a2，a4的值，从而解出通项；（2）将第一问中求得的通项代入，用错位相减法求和．解答：解：（1）方程x2﹣5x+6=0的根为2，3．又{a n}是递增的等差数列，故a2=2，a4=3，可得2d=1，d=，故a n=2+（n﹣2）×=n+1，（2）设数列{}的前n项和为S n，S n=，①S n=，②①﹣②得S n==，解得S n==2﹣．点评：本题考查等的性质及错位相减法求和，是近几年高考对数列解答题考查的主要方式．7．（2014•北京）已知{a n}是等差数列，满足a1=3，a4=12，数列{b n}满足b1=4，b4=20，且{b n﹣a n}为等比数列．（Ⅰ）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{b n}的前n项和．考点：数列的求和；等差数列的通项公式；等比数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）利用等差数列、等比数列的通项公式先求得公差和公比，即得结论；（Ⅱ）利用分组求和法，有等差数列及等比数列的前n项和公式即可求得数列的和．解答：解：（Ⅰ）设等差数列{a n}的公差为d，由题意得d===3．∴a n=a1+（n﹣1）d=3n（n=1，2，…），设等比数列{b n﹣a n}的公比为q，则q3===8，∴q=2，∴b n﹣a n=（b1﹣a1）q n﹣1=2n﹣1，∴b n=3n+2n﹣1（n=1，2，…）．（Ⅱ）由（Ⅰ）知b n=3n+2n﹣1（n=1，2，…）．∵数列{3n}的前n项和为n（n+1），数列{2n﹣1}的前n项和为1×=2n﹣1，∴数列{b n}的前n项和为n（n+1）+2n﹣1．点评：本题主要考查学生对等差数列及等比数列的通项公式和前n项和公式的应用，考查学生的基本的运算能力，属基础题．8．（2014•安徽）数列{a n}满足a1=1，na n+1=（n+1）a n+n（n+1），n∈N*．（Ⅰ）证明：数列{}是等差数列；（Ⅱ）设b n=3n•，求数列{b n}的前n项和S n．考点：数列的求和；等比关系的确定．分析：（Ⅰ）将na n+1=（n+1）a n+n（n+1）的两边同除以n（n+1）得，由等差数列的定义得证．（Ⅱ）由（Ⅰ）求出b n=3n•=n•3n，利用错位相减求出数列{b n}的前n项和S n．解答：证明（Ⅰ）∵na n+1=（n+1）a n+n（n+1），∴，∴，∴数列{}是以1为首项，以1为公差的等差数列；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，∴，b n=3n•=n•3n，∴•3n﹣1+n•3n①•3n+n•3n+1②①﹣②得3n﹣n•3n+1==∴点评：本题考查利用等差数列的定义证明数列是等差数列；考查数列求和的方法：错位相减法．求和的关键是求出通项选方法．9．（2013•重庆）设数列{a n}满足：a1=1，a n+1=3a n，n∈N+．（Ⅰ）求{a n}的通项公式及前n项和S n；（Ⅱ）已知{b n}是等差数列，T n为前n项和，且b1=a2，b3=a1+a2+a3，求T20．考点：等比数列的前n项和；等差数列的前n项和；等比数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）可得数列{a n}是首项为1，公比为3的等比数列，代入求和公式和通项公式可得答案；（Ⅱ）可得b1=3，b3=13，进而可得其公差，代入求和公式可得答案．解答：解：（Ⅰ）由题意可得数列{a n}是首项为1，公比为3的等比数列，故可得a n=1×3n﹣1=3n﹣1，由求和公式可得S n==；（Ⅱ）由题意可知b1=a2=3，b3=a1+a2+a3=1+3+9=13，设数列{b n}的公差为d，可得b3﹣b1=10=2d，解得d=5故T20=20×3+=1010点评：本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式，属中档题．10．（2013•浙江）在公差为d的等差数列{a n}中，已知a1=10，且a1，2a2+2，5a3成等比数列．（Ⅰ）求d，a n；（Ⅱ）若d＜0，求|a1|+|a2|+|a3|+…+|a n|．考点：数列的求和；等差数列的通项公式；等比数列的性质．专题：等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）直接由已知条件a1=10，且a1，2a2+2，5a3成等比数列列式求出公差，则通项公式a n可求；（Ⅱ）利用（Ⅰ）中的结论，得到等差数列{a n}的前11项大于等于0，后面的项小于0，所以分类讨论求d＜0时|a1|+|a2|+|a3|+…+|a n|的和．解答：解：（Ⅰ）由题意得，即，整理得d2﹣3d﹣4=0．解得d=﹣1或d=4．当d=﹣1时，a n=a1+（n﹣1）d=10﹣（n﹣1）=﹣n+11．当d=4时，a n=a1+（n﹣1）d=10+4（n﹣1）=4n+6．所以a n=﹣n+11或a n=4n+6；（Ⅱ）设数列{a n}的前n项和为S n，因为d＜0，由（Ⅰ）得d=﹣1，a n=﹣n+11．则当n≤11时，．当n≥12时，|a1|+|a2|+|a3|+…+|a n|=﹣S n+2S11=．综上所述，|a1|+|a2|+|a3|+…+|a n|=．点评：本题考查了等差数列、等比数列的基本概念，考查了等差数列的通项公式，求和公式，考查了分类讨论的数学思想方法和学生的运算能力，是中档题．。

2014年高考数学大题——数列分类汇编

2014年高考数学大题——数列分类汇编

2014年高考数学理科数列大题专项训练1．（本小题满分12分）已知数列{a n}满足a1=1,a2=3,a n+2=3a n+1-2a n（n∈N+）（1）证明：数列{a n+1-a n }是等比数列；（2）求数列{a n}的通项公式2.（12分）已知数列{a n}的前n项和S n=kc n-k(其中c,k为常数),且a2=4,a6=8a3.(1)求a n;(2)求数列{na n}的前n项和T n.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足：1a a =(0)a ≠，1n n a rS += (n ∈N *，,1)r R r ∈≠-．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若存在k ∈ N *，使得1k S +，k S ，2k S +成等差数列，是判断：对于任意的m ∈N *，且2m ≥，1m a +，m a ，2m a +是否成等差数列，并证明你的结论． 4．（本小题满分16分）已知数列{}n a 满足1a x =，23a x =，2*1132(2,)n n n S S S n n n +-++=+∈N ≥，n S 是数列{}n a 的前n 项和．(1)若数列{}n a 为等差数列．（ⅰ）求数列的通项n a ；（ⅱ）若数列{}n b 满足2n a n b =，数列{}n c 满足221n n n n c t b tb b ++=--，试比较数列{}n b前n 项和n B 与{}n c 前n 项和n C 的大小； (2)若对任意*n ∈N ，1n n a a +<恒成立，求实数x 的取值范围．已知函数xnx x f n +=)(，（x ＞0，),1Z n n ∈≥，以点))(,(n f n n 为切点作函数)(x f y n =图像的切线n l ，记函数)(x f y n =图像与三条直线n l n x n x ,1,+==所围成的区域面积为n a 。

（Ⅰ）求n a ； （Ⅱ）求证：n a ＜231n ； （Ⅲ）设n S 为数列{}n a 的前n 项和，求证：n S ＜95.6．（本题满分13分）已知,,a b c 是正数， 1lg a a =，2lg a b =，3lg a c =． （Ⅰ）若,,a b c 成等差数列，比较12a a -与23a a -的大小；（Ⅱ）若122331a a a a a a ->->-，则,,a b c 三个数中，哪个数最大，请说明理由；（Ⅲ）若a t =，2b t =，3c t =（t *∈N ），且1a ，2a ，3a 的整数部分分别是,m 21,m +221,m +求所有t 的值．7（8分）．已知数列{}n a 满足11=a ，且nn n a a 221+=-（n ≥2且n ∈N ）（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设数列{}n a 的前n 项之和n S ，求n S ,并证明：322-n S n n＞．8．（本小题满分12分）在公差不为零的等差数列{n a }中，已知a 1=l ，．且a 1，a 2，a 5依次成等比数列．数列{n b }满足b n+1=2b n -1且b 1=3.（I ）求{b n }的通项公式； （Ⅱ）设数列{12n n a a +⋅}的前n 项和为S n ，试比较S n 与1一1n b 的大小．9.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知12a =，622S =. （1）求n S ；（2）若从{}n a 中抽取一个公比为q 的等比数列{}n k a ，其中11k =，且12n k k k <<< ，*n k N ∈.①当q 取最小值时，求{}n k 的通项公式；②若关于*()n n N ∈的不等式16n n S k +>有解，试求q 的值.10. (本小题满分16分)设数列{}n a 的各项均为正实数，2log n n b a =，若数列{}n b 满足20b =，12log n n b b p +=+，其中p 为正常数，且1p ≠.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）是否存在正整数M ，使得当n M >时，1473216n a a a a a -⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅>恒成立？若存在，求出使结论成立的p 的取值范围和相应的M 的最小值；若不存在，请说明理由；（3）若2p =，设数列{}n c 对任意的*n N ∈，都有12132n n n c b c b c b --+++⋅⋅⋅1n c b +2n =-成立，问数列{}n c 是不是等比数列？若是，请求出其通项公式；若不是，请说明理由.11．（本小题满分14分）设等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S ，已知35S a =，525S =． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若p ，q 为互不相等的正整数，且等差数列{}n b 满足p a b p =，q a b q =，求数列{}n b 的前n 项和n T ．12．已知等差数列{}n a 满足{}3577,26,n a a a a =+=的前n 项和为n S 。

2014年全国高考理科数学试题分类汇编三角函数数列

2014年全国高考理科数学试题分类汇编三角函数数列

数 学D 单元 数列D1 数列的概念与简单表示法 17．、、[2014·江西卷] 已知首项都是1的两个数列{a n }，{b n }(b n ≠0，n ∈N *)满足a n b n ＋1－a n ＋1b n ＋2b n ＋1b n ＝0.(1)令c n ＝a nb n ，求数列{c n }的通项公式；(2)若b n ＝3n －1，求数列{a n }的前n 项和S n .17．解：(1)因为a n b n ＋1－a n ＋1b n ＋2b n ＋1b n ＝0，b n ≠0(n ∈N *)，所以a n ＋1b n ＋1－a nb n＝2，即c n ＋1－c n ＝2，所以数列{c n }是以c 1＝1为首项，d ＝2为公差的等差数列，故c n ＝2n －1.(2)由b n ＝3n －1，知a n ＝(2n －1)3n －1，于是数列{a n }的前n 项和S n ＝1×30＋3×31＋5×32＋…＋(2n －1)×3n －1，3S n ＝1×31＋3×32＋…＋(2n －3)×3n －1＋(2n －1)×3n ，将两式相减得－2S n ＝1＋2×(31＋32＋…＋3n －1)－(2n －1)×3n ＝－2－(2n －2)×3n ，所以S n ＝(n －1)3n ＋1. 17．、[2014·新课标全国卷Ⅰ] 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a n ≠0，a n a n ＋1＝λS n－1，其中λ为常数．(1)证明：a n ＋2－a n ＝λ.(2)是否存在λ，使得{a n }为等差数列？并说明理由．17．解：(1)证明：由题设，a n a n ＋1＝λS n －1，a n ＋1a n ＋2＝λS n ＋1－1， 两式相减得a n ＋1(a n ＋2－a n )＝λa n ＋1. 因为a n ＋1≠0，所以a n ＋2－a n ＝λ.(2)由题设，a 1＝1，a 1a 2＝λS 1－1，可得 a 2＝λ－1， 由(1)知，a 3＝λ＋1.若{a n }为等差数列，则2a 2＝a 1＋a 3，解得λ＝4，故a n ＋2－a n ＝4. 由此可得{a 2n －1}是首项为1，公差为4的等差数列， a 2n －1＝4n －3；{a 2n }是首项为3，公差为4的等差数列，a 2n ＝4n －1. 所以a n ＝2n －1，a n ＋1－a n ＝2.因此存在λ＝4，使得数列{a n }为等差数列． 17．、、[2014·新课标全国卷Ⅱ] 已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝3a n ＋1.(1)证明⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋12是等比数列，并求{a n }的通项公式；(2)证明1a 1＋1a 2＋…＋1a n ＜32.17．解：(1)由a n ＋1＝3a n ＋1得a n ＋1＋12＝3⎝⎛⎭⎫a n ＋12. 又a 1＋12＝32，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋12是首项为32，公比为3的等比数列，所以a n ＋12＝3n2，因此数列{a n }的通项公式为a n ＝3n －12.(2)证明：由(1)知1a n ＝23n －1.因为当n ≥1时，3n －1≥2×3n －1，所以13n －1≤12×3n 1，即1a n ＝23n－1≤13n 1. 于是1a 1＋1a 2＋…＋1a n ≤1＋13＋…＋13n －1＝32⎝⎛⎫1－13n <32. 所以1a 1＋1a 2＋…＋1a n <32.22．，，[2014·重庆卷] 设a 1＝1，a n ＋1＝a 2n －2a n ＋2＋b (n ∈N *)． (1)若b ＝1，求a 2，a 3及数列{a n }的通项公式．(2)若b ＝－1，问：是否存在实数c 使得a 2n <c <a 2n ＋1对所有n ∈N *成立？证明你的结论． 22．解：(1)方法一：a 2＝2，a 3＝2＋1. 再由题设条件知(a n ＋1－1)2＝(a n －1)2＋1.从而{(a n －1)2}是首项为0，公差为1的等差数列， 故(a n －1)2＝n －1，即a n ＝n －1＋1(n ∈N *)． 方法二：a 2＝2，a 3＝2＋1.可写为a 1＝1－1＋1，a 2＝2－1＋1，a 3＝3－1＋1.因此猜想a n ＝n －1＋1. 下面用数学归纳法证明上式． 当n ＝1时，结论显然成立．假设n ＝k 时结论成立，即a k ＝k －1＋1，则a k ＋1＝（a k －1）2＋1＋1＝（k －1）＋1＋1＝（k ＋1）－1＋1， 这就是说，当n ＝k ＋1时结论成立． 所以a n ＝n －1＋1(n ∈N *)．(2)方法一：设f (x )＝（x －1）2＋1－1，则a n ＋1＝f (a n )．令c ＝f (c )，即c ＝（c －1）2＋1－1，解得c ＝14.下面用数学归纳法证明命题 a 2n <c <a 2n ＋1<1.当n ＝1时，a 2＝f (1)＝0，a 3＝f (0)＝2－1，所以a 2<14<a 3<1，结论成立．假设n ＝k 时结论成立，即a 2k <c <a 2k ＋1<1. 易知f (x )在(－∞，1]上为减函数，从而 c ＝f (c )>f (a 2k ＋1)>f (1)＝a 2，即 1>c >a 2k ＋2>a 2.再由f (x )在(－∞，1]上为减函数，得c ＝f (c )<f (a 2k ＋2)<f (a 2)＝a 3<1，故c <a 2k ＋3<1，因此a 2(k ＋1)<c <a 2(k ＋1)＋1<1，这就是说，当n ＝k ＋1时结论成立．综上，存在 c ＝14使a 2n <C <a 2a ＋1对所有n ∈N *成立．方法二：设f (x )＝（x －1）2＋1－1，则a n ＋1＝f (a n )． 先证：0≤a n ≤1(n ∈N *)． ① 当n ＝1时，结论明显成立．假设n ＝k 时结论成立，即0≤a k ≤1. 易知f (x )在(－∞，1]上为减函数，从而 0＝f (1)≤f (a k )≤f (0)＝2－1<1.即0≤a k ＋1≤1.这就是说，当n ＝k ＋1时结论成立．故①成立． 再证：a 2n <a 2n ＋1(n ∈N *)． ②当n ＝1时，a 2＝f (1)＝0，a 3＝f (a 2)＝f (0)＝2－1，所以a 2<a 3，即n ＝1时②成立． 假设n ＝k 时，结论成立，即a 2k <a 2k ＋1. 由①及f (x )在(－∞，1]上为减函数，得 a 2k ＋1＝f (a 2k )>f (a 2k ＋1)＝a 2k ＋2， a 2(k ＋1)＝f (a 2k ＋1)<f (a 2k ＋2)＝a 2(k ＋1)＋1.这就是说，当n ＝k ＋1时②成立．所以②对一切n ∈N *成立． 由②得a 2n <a 22n －2a 2n ＋2－1，即(a 2n ＋1)2<a 22n －2a 2n ＋2，因此a 2n <14. ③又由①②及f (x )在(－∞，1]上为减函数，得f (a 2n )>f (a 2n ＋1)，即a 2n ＋1>a 2n ＋2.所以a 2n ＋1>a 22n ＋1－2a 2n ＋1＋2－1，解得a 2n ＋1>14. ④ 综上，由②③④知存在c ＝14使a 2n <c <a 2n ＋1对一切n ∈N *成立．D2 等差数列及等差数列前n 项和 12．、[2014·安徽卷] 数列{a n }是等差数列，若a 1＋1，a 3＋3，a 5＋5构成公比为q 的等比数列，则q ＝________.12．112．[2014·北京卷] 若等差数列{a n }满足a 7＋a 8＋a 9>0，a 7＋a 10<0，则当n ＝________时，{a n }的前n 项和最大．12．8 3．[2014·福建卷] 等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝2，S 3＝12，则a 6等于( ) A ．8 B ．10 C ．12 D ．14 3．C 18．、、[2014·湖北卷] 已知等差数列{a n }满足：a 1＝2，且a 1，a 2，a 5成等比数列． (1)求数列{a n }的通项公式．(2)记S n 为数列{a n }的前n 项和，是否存在正整数n ，使得S n >60n ＋800？若存在，求nn ＝4n －2. 800， 成立．2n 2.此时存在正整数n ，使得S n >60n ＋800成立，n 的最小值为41. 综上，当a n ＝2时，不存在满足题意的正整数n ；当a n ＝4n －2时，存在满足题意的正整数n ，其最小值为41. 20．、[2014·湖南卷] 已知数列{a n }满足a 1＝1，|a n ＋1－a n |＝p n ，n ∈N *. (1)若{a n }是递增数列，且a 1，2a 2，3a 3成等差数列，求p 的值；(2)若p ＝12，且{a 2n －1}是递增数列，{a 2n }是递减数列，求数列{a n }的通项公式．20．解：(1)因为{a n }是递增数列，所以a n ＋1－a n ＝|a n ＋1－a n |＝p n .而a 1＝1，因此 a 2＝p ＋1，a 3＝p 2＋p ＋1.又a 1，2a 2，3a 3成等差数列，所以4a 2＝a 1＋3a 3，因而3p 2－p ＝0，解得p ＝13或p ＝0.当p ＝0时，a n ＋1＝a n ，这与{a n }是递增数列矛盾，故p ＝13.(2)由于{a 2n －1}是递增数列，因而a 2n ＋1－a 2n －1>0，于是(a 2n ＋1－a 2n )＋(a 2n －a 2n －1)>0.①因为122n <122n －1，所以|a 2n ＋1－a 2n |<|a 2n －a 2n －1|.②由①②知，a 2n －a 2n －1>0，因此a 2n －a 2n －1＝⎝⎛⎭⎫122n －1＝（－1）2n 22n －1.③ 因为{a 2n }是递减数列，同理可得，a 2n ＋1－a 2n <0，故a 2n ＋1－a 2n ＝－⎝⎛⎭⎫122n＝（－1）2n ＋122n.④由③④可知，a n ＋1－a n ＝（－1）n ＋12n.于是a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝1＋12－122＋…＋（－1）n2n －1＝1＋12·1－⎝⎛⎭⎫－12n －11＋12＝43＋13·（－1）n2n －1. 故数列{a n }的通项公式为a n ＝43＋13·（－1）n2n －1. 8．[2014·辽宁卷] 设等差数列{a n }的公差为d .若数列{2a 1a n }为递减数列，则( ) A ．d <0 B ．d >0 C ．a 1d <0 D ．a 1d >0 8．C 18．、[2014·全国卷] 等差数列{a n }的前n 项和为S n .已知a 1＝10，a 2为整数，且S n ≤S 4. (1)求{a n }的通项公式；(2)设b n ＝1a n a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和T n .18．解：(1)由a 1＝10，a 2为整数知，等差数列{a n }的公差d 为整数． 又S n ≤S 4，故a 4≥0，a 5≤0， 于是10＋3d ≥0，10＋4d ≤0， 解得－103≤d ≤－52，因此d ＝－3.故数列{a n }的通项公式为a n ＝13－3n . (2)b n ＝1（13－3n ）（10－3n ）＝13⎝⎛⎭⎫110－3n －113－3n .于是T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝13⎝⎛⎭⎫17－110＋⎝⎛⎭⎫14－17＋…＋⎝⎛⎭⎫110－3n －113－3n ＝13⎝⎛⎭⎫110－3n －110＝n 10（10－3n ）.17．、[2014·新课标全国卷Ⅰ] 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a n ≠0，a n a n ＋1＝λS n －1，其中λ为常数．(1)证明：a n ＋2－a n ＝λ.(2)是否存在λ，使得{a n }为等差数列？并说明理由．17．解：(1)证明：由题设，a n a n ＋1＝λS n －1，a n ＋1a n ＋2＝λS n ＋1－1， 两式相减得a n ＋1(a n ＋2－a n )＝λa n ＋1. 因为a n ＋1≠0，所以a n ＋2－a n ＝λ.(2)由题设，a 1＝1，a 1a 2＝λS 1－1，可得 a 2＝λ－1， 由(1)知，a 3＝λ＋1.若{a n }为等差数列，则2a 2＝a 1＋a 3，解得λ＝4，故a n ＋2－a n ＝4. 由此可得{a 2n －1}是首项为1，公差为4的等差数列， a 2n －1＝4n －3；{a 2n }是首项为3，公差为4的等差数列，a 2n ＝4n －1. 所以a n ＝2n －1，a n ＋1－a n ＝2.因此存在λ＝4，使得数列{a n }为等差数列． 19．，，[2014·山东卷] 已知等差数列{a n }的公差为2，前n 项和为S n ，且S 1，S 2，S 4成等比数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)令b n ＝(－1)n－14na n a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和T n .19．解： (1)因为S 1＝a 1，S 2＝2a 1S 4＝4a 1＋4×32×2＝4a 1＋12，由题意得(2a 1＋2)2＝a 1(4a 1＋12)所以a n ＝2n －1. (2)由题意可知， b n ＝(－1)n －14na n a n ＋1＝(－1)n－14n（2n －1）（2n ＋1）n －1⎛⎫1＋1－⎝⎛⎭⎫12n －1＋12n ＋1 ⎝⎛⎭⎫12n －1＋12n ＋1 ＝1＋12n ＋1＝2n ＋22n ＋1. 所以T n＝⎩⎪⎨⎪⎧2n ＋22n ＋1，n 为奇数，2n2n ＋1，n 为偶数.⎝ ⎛⎭⎪⎫或T n ＝2n ＋1＋（－1）n －12n ＋116．，，[2014·陕西卷] △ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .(1)若a ，b ，c 成等差数列，证明：sin A ＋sin C ＝2sin(A ＋C )；(2)若a ，b ，c 成等比数列，求cos B 的最小值． 16．解：(1)∵a ，b ，c 成等差数列，∴a ＋c ＝2b . 由正弦定理得sin A ＋sin C ＝2sin B . ∵sin B ＝sin[π－(A ＋C )]＝sin(A ＋C )， ∴sin A ＋sin C ＝2sin(A ＋C )．(2)∵a ，b ，c 成等比数列，∴b 2＝ac . 由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋c 2－ac 2ac ≥2ac －ac 2ac ＝12，当且仅当a ＝c 时等号成立， ∴cos B 的最小值为12.11．、[2014·天津卷] 设{a n }是首项为a 1，公差为－1的等差数列，S n 为其前n 项和．若S 1，S 2，S 4成等比数列，则a 1的值为________．11．－1222．，，[2014·重庆卷] 设a 1＝1，a n ＋1＝a 2n －2a n ＋2＋b (n ∈N *)． (1)若b ＝1，求a 2，a 3及数列{a n }的通项公式．(2)若b ＝－1，问：是否存在实数c 使得a 2n <c <a 2n ＋1对所有n ∈N *成立？证明你的结论． 22．解：(1)方法一：a 2＝2，a 3＝2＋1. 再由题设条件知(a n ＋1－1)2＝(a n －1)2＋1.从而{(a n －1)2}是首项为0，公差为1的等差数列， 故(a n －1)2＝n －1，即a n ＝n －1＋1(n ∈N *)． 方法二：a 2＝2，a 3＝2＋1.可写为a 1＝1－1＋1，a 2＝2－1＋1，a 3＝3－1＋1.因此猜想a n ＝n －1＋1. 下面用数学归纳法证明上式． 当n ＝1时，结论显然成立．假设n ＝k 时结论成立，即a k ＝k －1＋1，则a k ＋1＝（a k －1）2＋1＋1＝（k －1）＋1＋1＝（k ＋1）－1＋1， 这就是说，当n ＝k ＋1时结论成立． 所以a n ＝n －1＋1(n ∈N *)．(2)方法一：设f (x )＝（x －1）2＋1－1，则a n ＋1＝f (a n )．令c ＝f (c )，即c ＝（c －1）2＋1－1，解得c ＝14.下面用数学归纳法证明命题 a 2n <c <a 2n ＋1<1.当n ＝1时，a 2＝f (1)＝0，a 3＝f (0)＝2－1，所以a 2<14<a 3<1，结论成立．假设n ＝k 时结论成立，即a 2k <c <a 2k ＋1<1. 易知f (x )在(－∞，1]上为减函数，从而 c ＝f (c )>f (a 2k ＋1)>f (1)＝a 2，即 1>c >a 2k ＋2>a 2.再由f (x )在(－∞，1]上为减函数，得c ＝f (c )<f (a 2k ＋2)<f (a 2)＝a 3<1，故c <a 2k ＋3<1，因此a 2(k ＋1)<c <a 2(k ＋1)＋1<1，这就是说，当n ＝k ＋1时结论成立．综上，存在 c ＝14使a 2n <C <a 2a ＋1对所有n ∈N *成立．方法二：设f (x )＝（x －1）2＋1－1，则a n ＋1＝f (a n )．先证：0≤a n ≤1(n ∈N *)． ① 当n ＝1时，结论明显成立．假设n ＝k 时结论成立，即0≤a k ≤1. 易知f (x )在(－∞，1]上为减函数，从而 0＝f (1)≤f (a k )≤f (0)＝2－1<1.即0≤a k ＋1≤1.这就是说，当n ＝k ＋1时结论成立．故①成立． 再证：a 2n <a 2n ＋1(n ∈N *)． ②当n ＝1时，a 2＝f (1)＝0，a 3＝f (a 2)＝f (0)＝2－1，所以a 2<a 3，即n ＝1时②成立． 假设n ＝k 时，结论成立，即a 2k <a 2k ＋1. 由①及f (x )在(－∞，1]上为减函数，得 a 2k ＋1＝f (a 2k )>f (a 2k ＋1)＝a 2k ＋2， a 2(k ＋1)＝f (a 2k ＋1)<f (a 2k ＋2)＝a 2(k ＋1)＋1.这就是说，当n ＝k ＋1由②得a 2n <a 22n －2a 2n ＋2－1，即(a 2n ＋1)2<a 22n －2a 2n ＋2，因此a 2n <14. ③又由①②及f (x )在(－∞，1]所以a 2n ＋1>a 22n ＋1－2a 2n ＋1＋2－1综上，由②③④知存在c ＝14使a 2n <c <aD3 等比数列及等比数列前n 项和 2．[2014·重庆卷] 对任意等比数列{a n A ．a 1，a 3，a 9成等比数列 B ．a 2，a 3，a 6成等比数列 C ．a 2，a 4，a 8成等比数列 D ．a 3，a 6，a 9，成等比数列 2．D 12．、[2014·安徽卷] 数列{a n }是等差数列，若a 1＋1，a 3＋3，a 5＋5构成公比为q 的等比数列，则q ＝________.12．1 13．、[2014·广东卷] 若等比数列{a n }的各项均为正数，且a 10a 11＋a 9a 12＝2e 5，则ln a 1＋ln a 2＋…＋ln a 20＝________．13．50 10．[2014·全国卷] 等比数列{a n }中，a 4＝2，a 5＝5，则数列{lg a n }的前8项和等于( ) A ．6 B ．5 C ．4 D ．3 10．C 18．、、[2014·湖北卷] 已知等差数列{a n }满足：a 1＝2，且a 1，a 2，a 5成等比数列． (1)求数列{a n }的通项公式．(2)记S n 为数列{a n }的前n 项和，是否存在正整数n ，使得S n >60n ＋800？若存在，求n 的最小值；若不存在，说明理由．18．解：(1)设数列{a n }的公差为d ，依题意得，2，2＋d ，2＋4d 成等比数列， 故有(2＋d )2＝2(2＋4d )，化简得d 2－4d ＝0，解得d ＝0或d ＝4. 当d ＝0时，a n ＝2；当d ＝4时，a n ＝2＋(n －1)·4＝4n －2.从而得数列{a n }的通项公式为a n ＝2或a n ＝4n －2. (2)当a n ＝2时，S n ＝2n ，显然2n <60n ＋800， 此时不存在正整数n ，使得S n >60n ＋800成立．当a n ＝4n －2时，S n ＝n [2＋（4n －2）]2＝2n 2.令2n 2>60n ＋800，即n 2－30n －400>0， 解得n >40或n <－10(舍去)，此时存在正整数n ，使得S n >60n ＋800成立，n 的最小值为41. 综上，当a n ＝2时，不存在满足题意的正整数n ；当a n ＝4n －2时，存在满足题意的正整数n ，其最小值为41. 17．、、[2014·新课标全国卷Ⅱ] 已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝3a n ＋1.(1)证明⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋12是等比数列，并求{a n }的通项公式；(2)证明1a 1＋1a 2＋…＋1a n ＜32.17．解：(1)由a n ＋1＝3a n ＋1得a n ＋1＋12＝3⎝⎛⎭⎫a n ＋12. 又a 1＋12＝32，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋12是首项为32，公比为3的等比数列，所以a n ＋12＝3n2，因此数列{a n }的通项公式为a n ＝3n－12.(2)证明：由(1)知1a n ＝23n －1.因为当n ≥1时，3n －1≥2×3n －1，所以13n －1≤12×3n －1，即1a n ＝23n－1≤13n －1. 于是1a 1＋1a 2＋…＋1a n ≤1＋13＋…＋13n －1＝32⎝⎛⎭⎫1－13n <32. 所以1a 1＋1a 2＋…＋1a n <32.19．，，[2014·山东卷] 已知等差数列{a n }的公差为2，前n 项和为S n ，且S 1，S 2，S 4成等比数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)令b n ＝(－1)n－14na n a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和T n . 19．解： (1)因为S 1＝a 1，S 2＝2a 1＋2×12×2＝2a 1＋2，S 4＝4a 1＋4×32×2＝4a 1＋12，由题意得(2a 1＋2)2＝a 1(4a 1＋12)，解得a 1＝1， 所以a n ＝2n －1. (2)由题意可知， b n ＝(－1)n －14na n a n ＋1＝(－1)n－14n（2n －1）（2n ＋1）＝(－1)n －1⎝⎛⎭⎫12n －1＋12n ＋1.当n 为偶数时，T n ＝⎝⎛⎭⎫1＋13－⎝⎛⎭⎫13＋15＋…＋⎝⎛12n －3＋⎭⎫12n －1－⎝⎛⎭⎫12n －1＋12n ＋1 ＝1－12n ＋1＝2n2n ＋1. 当n 为奇数时，T n ＝⎝⎛⎭⎫1＋13－⎝⎛⎭⎫13＋15＋…－⎝⎛12n －3＋＝1＋12n ＋1＝2n ＋22n ＋1. 所以T n＝⎩⎪⎨⎪⎧2n ＋22n ＋1，n 为奇数，2n2n ＋1，n 为偶数.⎝ ⎛或T n16．，，[2014·陕西卷] △ABC (1)若a ，b ，c 成等差数列，证明：(2)若a ，b ，c 成等比数列，求cos c ＝2b . ＝12，n 11的等差数列，S n 为其前n 项和．若S 1，S 2，S 4成等比数列，则a 1的值为________．11．－1219．、、[2014·天津卷] 已知q 和n 均为给定的大于1的自然数．设集合M ＝{0，1，2，…，q －1}，集合A ＝{x |x ＝x 1＋x 2q ＋…＋x n q n －1，x i ∈M ，i ＝1，2，…，n }． (1)当q ＝2，n ＝3时，用列举法表示集合A .(2)设s ，t ∈A ，s ＝a 1＋a 2q ＋…＋a n q n －1，t ＝b 1＋b 2q ＋…＋b n q n －1，其中a i ，b i ∈M ，i ＝1，2，…，n .证明：若a n <b n ，则s <t .19．解：(1)当q ＝2，n ＝3时，M ＝{0，1}，A ＝{x |x ＝x 1＋x 2·2＋x 3·22，x i ∈M ，i ＝1，2，3}，可得A ＝{0，1，2，3，4，5，6，7}．(2)证明：由s ，t ∈A ，s ＝a 1＋a 2q ＋…＋a n q n －1，t ＝b 1＋b 2q ＋…＋b n q n －1，a i ，b i ∈M ，i ＝1，2，…，n 及a n <b n ，可得s －t ＝(a 1－b 1)＋(a 2－b 2)q ＋…＋(a n －1－b n －1)q n －2＋(a n －b n )q n －1≤(q －1)＋(q －1)q ＋…＋(q －1)q n －2－q n －1＝（q －1）（1－q n －1）1－q－q n －1＝－1<0， 所以s <t .D4 数列求和 17．、、[2014·江西卷] 已知首项都是1的两个数列{a n }，{b n }(b n ≠0，n ∈N *)满足a n b n ＋1－a n ＋1b n ＋2b n ＋1b n ＝0.(1)令c n ＝a nb n ，求数列{c n }的通项公式；(2)若b n ＝3n －1，求数列{a n }的前n 项和S n .17．解：(1)因为a n b n ＋1－a n ＋1b n ＋2b n ＋1b n ＝0，b n ≠0(n ∈N *)，所以a n ＋1b n ＋1－a nb n＝2，即c n ＋1－c n ＝2，所以数列{c n }是以c 1＝1为首项，d ＝2为公差的等差数列，故c n ＝2n －1.(2)由b n ＝3n －1，知a n ＝(2n －1)3n －1，于是数列{a n }的前n 项和S n ＝1×30＋3×31＋5×32＋…＋(2n －1)×3n －1，3S n ＝1×31＋3×32＋…＋(2n －3)×3n －1＋(2n －1)×3n ，将两式相减得－2S n ＝1＋2×(31＋32＋…＋3n －1)－(2n －1)×3n ＝－2－(2n －2)×3n ，所以S n ＝(n －1)3n ＋1. 18．、[2014·全国卷] 等差数列{a n }的前n 项和为S n .已知a 1＝10，a 2为整数，且S n ≤S 4. (1)求{a n }的通项公式；(2)设b n ＝1a n a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和T n .18．解：(1)由a 1＝10，a 2为整数知，等差数列{a n }的公差d 为整数． 又S n ≤S 4，故a 4≥0，a 5≤0， 于是10＋3d ≥0，10＋4d ≤0， 解得－103≤d ≤－52，因此d ＝－3.故数列{a n }的通项公式为a n ＝13－3n .(2)b n ＝1（13－3n ）（10－3n ）＝13⎝⎛⎭⎫110－3n －113－3n .于是T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝13⎝⎛⎭⎫17－110＋⎝⎛⎭⎫14－17＋…＋⎝⎛⎭⎫110－3n －113－3n ＝13⎝⎛⎭⎫110－3n －110＝n 10（10－3n ）.19．，，[2014·山东卷] 已知等差数列{a n }的公差为2，前n 项和为S n ，且S 1，S 2，S 4成等比数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)令b n ＝(－1)n－14na n a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和T n . 19．解： (1)因为S 1＝a 1，S 2＝2a 1＋2×12×2＝2a 1＋2，S 4＝4a 1＋4×32×2＝4a 1＋12，由题意得(2a 1＋2)2＝a 1(4a 1＋12)，解得a 1＝1， 所以a n ＝2n －1. (2)由题意可知， b n ＝(－1)n －14na n a n ＋1＝(－1)n－14n（2n －1）（2n ＋1）＝(－1)n －1⎝⎛⎭⎫12n －1＋12n ＋1.当n 为偶数时，T n ＝⎝⎛⎭⎫1＋13－⎝⎛⎭⎫13＋15＋…＋⎝⎛12n －3＋＝1－12n ＋1＝2n2n ＋1. 当n 为奇数时，20．、[2014·湖南卷] 已知数列{a n }满足a 1＝1，|a n ＋1－a n |＝p n ，n ∈N *. (1)若{a n }是递增数列，且a 1，2a 2，3a 3成等差数列，求p 的值；(2)若p ＝12，且{a 2n －1}是递增数列，{a 2n }是递减数列，求数列{a n }的通项公式．20．解：(1)因为{a n }是递增数列，所以a n ＋1－a n ＝|a n ＋1－a n |＝p n .而a 1＝1，因此 a 2＝p ＋1，a 3＝p 2＋p ＋1.又a 1，2a 2，3a 3成等差数列，所以4a 2＝a 1＋3a 3，因而3p 2－p ＝0，解得p ＝13或p ＝0.当p ＝0时，a n ＋1＝a n ，这与{a n }是递增数列矛盾，故p ＝13.(2)由于{a 2n －1}是递增数列，因而a 2n ＋1－a 2n －1>0，于是(a 2n ＋1－a 2n )＋(a 2n －a 2n －1)>0.①因为122n <122n 1，所以|a 2n ＋1－a 2n |<|a 2n －a 2n －1|.②由①②知，a 2n －a 2n －1>0，因此a 2n －a 2n －1＝⎝⎛⎭⎫122n －1＝（－1）2n 22n －1.③ 因为{a 2n }是递减数列，同理可得，a 2n ＋1－a 2n <0，故a 2n ＋1－a 2n ＝－⎝⎛⎭⎫122n＝（－1）2n ＋122n.④由③④可知，a n ＋1－a n ＝（－1）n ＋12n.于是a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝1＋12－122＋…＋（－1）n2n －1＝1＋12·1－⎝⎛⎭⎫－12n －11＋12＝43＋13·（－1）n2n －1. 故数列{a n }的通项公式为a n ＝43＋13·（－1）n2n 1.21．、、[2014·安徽卷] 设实数c ＞0，整数p ＞1，n ∈N *. (1)证明：当x ＞－1且x ≠0时，(1＋x )p ＞1＋px ；(2)数列{a n }满足a 1＞c 1p ，a n ＋1＝p －1p a n ＋c p a 1－p n ，证明：a n ＞a n ＋1＞c 1p. 21．证明：(1)用数学归纳法证明如下．①当p ＝2时，(1＋x )2＝1＋2x ＋x 2>1＋2x ，原不等式成立． ②假设p ＝k (k ≥2，k ∈N *)时，不等式(1＋x )k >1＋kx 成立．当p ＝k ＋1时，(1＋x )k ＋1＝(1＋x )(1＋x )k >(1＋x )(1＋kx )＝1＋(k ＋1)x ＋kx 2>1＋(k ＋1)x . 所以当p ＝k ＋1时，原不等式也成立．综合①②可得，当x >－1，x ≠0时，对一切整数p >1，不等式(1＋x )p >1＋px 均成立． (2)方法一：先用数学归纳法证明a n >c 1p .①当n ＝1时，由题设知a 1>c 1p成立．②假设n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时，不等式a k >c 1p成立． 由a n ＋1＝p －1p a n ＋c p a 1－p n 易知a n >0，n ∈N *. 当n ＝k ＋1时，a k ＋1a k ＝p －1p ＋c p a －p k ＝1＋1p ⎝⎛⎭⎫c a p k－1. 由a k >c 1p >0得－1<－1p <1p ⎝⎛⎭⎫c a p k－1<0. 由(1)中的结论得⎝⎛⎭⎫a k ＋1a k p＝⎣⎡⎦⎤1＋1p ⎝⎛⎭⎫c a p k －1p>1＋p · 1p ⎝⎛⎭⎫c a p k －1＝c a p k . 因此a p k ＋1>c ，即a k ＋1>c 1p，所以当n ＝k ＋1时，不等式a n >c 1p也成立．综合①②可得，对一切正整数n ，不等式a n >c 1p 均成立．再由a n ＋1a n ＝1＋1p ⎝⎛⎭⎫c a p n －1可得a n ＋1a n <1， 即a n ＋1<a n .综上所述，a n >a n ＋1>c 1p，n ∈N *.方法二：设f (x )＝p －1p x ＋c p x 1－p ，x ≥c 1p ，则x p ≥c ，所以f ′(x )＝p －1p ＋c p (1－p )x －p ＝p －1p ⎝⎛1由此可得，f (x )在[c 1p ，＋∞)①当n ＝1时，由a 1>c 1p>0，即a p 1>c a 2＝p －1p a 1＋c p a 1－p 1＝a 1⎣⎡⎦⎤1＋1p ⎝⎛⎭⎫c a p 1－1<故当n ＝1时，不等式a n >a n ＋1>c 1p成立．②假设n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时，不等式a k >c 1p )，a n >a n ＋1>c 1p均成立．n }满足：a 1＝2，且a 1，a 2，a 5成等比数列． n ，使得S n >60n ＋800？若存在，求n 当d ＝0时，a n ＝2；当d ＝4时，a n ＝2＋(n －1)·4＝4n －2.从而得数列{a n }的通项公式为a n ＝2或a n ＝4n －2. (2)当a n ＝2时，S n ＝2n ，显然2n <60n ＋800， 此时不存在正整数n ，使得S n >60n ＋800成立．当a n ＝4n －2时，S n ＝n [2＋（4n －2）]2＝2n 2.令2n 2>60n ＋800，即n 2－30n －400>0， 解得n >40或n <－10(舍去)，此时存在正整数n ，使得S n >60n ＋800成立，n 的最小值为41. 综上，当a n ＝2时，不存在满足题意的正整数n ；当a n ＝4n －2时，存在满足题意的正整数n ，其最小值为41. 17．、、[2014·江西卷] 已知首项都是1的两个数列{a n }，{b n }(b n ≠0，n ∈N *)满足a n b n ＋1－a n ＋1b n ＋2b n ＋1b n ＝0.(1)令c n ＝a nb n ，求数列{c n }的通项公式；(2)若b n ＝3n －1，求数列{a n }的前n 项和S n .17．解：(1)因为a n b n ＋1－a n ＋1b n ＋2b n ＋1b n ＝0，b n ≠0(n ∈N *)，所以a n ＋1b n ＋1－a nb n＝2，即c n ＋1－c n ＝2，所以数列{c n }是以c 1＝1为首项，d ＝2为公差的等差数列，故c n ＝2n －1.(2)由b n ＝3n －1，知a n ＝(2n －1)3n －1，于是数列{a n }的前n 项和S n ＝1×30＋3×31＋5×32＋…＋(2n －1)×3n －1，3S n ＝1×31＋3×32＋…＋(2n －3)×3n －1＋(2n －1)×3n ，将两式相减得－2S n ＝1＋2×(31＋32＋…＋3n －1)－(2n －1)×3n ＝－2－(2n －2)×3n ，所以S n ＝(n －1)3n ＋1. 17．、、[2014·新课标全国卷Ⅱ] 已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝3a n ＋1.(1)证明⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋12是等比数列，并求{a n }的通项公式；(2)证明1a 1＋1a 2＋…＋1a n ＜32.17．解：(1)由a n ＋1＝3a n ＋1得a n ＋1＋12＝3⎝⎛⎭⎫a n ＋12. 又a 1＋12＝32，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋12是首项为32，公比为3的等比数列，所以a n ＋12＝3n2，因此数列{a n }的通项公式为a n ＝3n－12.(2)证明：由(1)知1a n ＝23n －1.因为当n ≥1时，3n －1≥2×3n －1，所以13n －1≤12×3n －1，即1a n ＝23n－1≤13n －1. 于是1a 1＋1a 2＋…＋1a n ≤1＋13＋…＋13n －1＝32⎝⎛⎭⎫1－13n <32. 所以1a 1＋1a 2＋…＋1a n <32.19．，[2014·四川卷] 设等差数列{a n }的公差为d ，点(a n ，b n )在函数f (x )＝2x 的图像上(n ∈N *)．(1)若a 1＝－2，点(a 8，4b 7)在函数f (x )的图像上，求数列{a n }的前n 项和S n ；(2)若a 1＝1，函数f (x )的图像在点(a 2，b 2)处的切线在x 轴上的截距为2－1ln 2，求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n b n 的前n 项和T n .19．解：(1)由已知得，b 7＝2a 7，b 8＝2a 8＝4b 7，所以 2a 8＝4×2a 7＝2a 7＋2，解得d ＝a 8－a 7＝2，所以S n ＝na 1＋n （n －1）2d ＝－2n ＋n (n －1)＝n 2－3n .(2)函数f (x )＝2x 在点(a 2，b 2)处的切线方程为y －2a 2＝(2a 2ln 2)(x －a 2)， 其在x 轴上的截距为a 2－1ln 2.由题意有a 2－1ln 2＝2－1ln 2，解得a 2＝2.所以d ＝a 2－a 1＝1.从而a n ＝n ，b n ＝2n ，所以数列{a n b n }的通项公式为a n b n ＝n2n ，所以T n ＝12＋222＋323＋…＋n －12n －1＋n 2n ，2T n ＝11＋22＋322＋…＋n2n －1，因此，2T n －T n ＝1＋12＋122＋…＋12n －1－所以，T n ＝2n ＋1－n －22n.19．[2014·浙江卷] 已知数列{a n }和{b 数列，且a 1＝2，b 3＝6＋b 2.(1)求a n 与b n .(2)设c n ＝1a n －1b n(n ∈N *)．记数列{c n }(i)求S n ；(ii)求正整数k ，使得对任意n ∈均有S 19．解：(1)由题意a 1a 2a 3…a n ＝(2)b n 知a 3＝(2)b 3－b 2＝8.又由a 1＝2，得公比q ＝2(q ＝－2舍去， 所以，当n ≥5时，c n <0.综上，若对任意n ∈N *恒有S k ≥S n ，则k ＝4.。

2014年高考数学数列

2014年高考数学数列

2014年全国高考数学试题分类汇编（数列）1.【2014·全国卷Ⅱ（文5）】等差数列{}n a 的公差为2，若2a ，4a ，8a 成等比数列，则{}n a 的前n 项和n S =（A ） ()1n n + （B ）()1n n - （C ）()12n n + (D)()12n n -【答案】A2.【2014·全国大纲卷（理10）】等比数列{}n a 中，452,5a a ==，则数列{lg }n a 的前8项和等于 （ ）A ．6B ．5C ．4D ．3 【答案】C ．3.【2014·全国大纲卷（文8）】设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 2=3，S 4=15，则S 6=( ) A. 31 B. 32 C. 63 D. 64 【答案】C4.【2014·北京卷（理5）】设{}n a 是公比为q 的等比数列，则"1"q >是"{}"n a 为递增数列的（ ）.A 充分且不必要条件 .B 必要且不充分条件 .C 充分必要条件 .D 既不充分也不必要条件【答案】D5.【2014·天津卷（文5）】设{}n a 是首项为1a ，公差为-1的等差数列，n S 为其前n 项和.若124,,S S S 成等比数列，则1a =（ ）（A ）2 （B ）-2 （C ）12 （D ）12- 【答案】D .6.【2014·福建卷（理3）】等差数列{}n a 的前n 项和n S ，若132,12a S ==，则6a =( ) .8A .10B .12C .14D 【答案】C7.【2014·辽宁卷（文9）】设等差数列{}n a 的公差为d ，若数列1{2}n a a为递减数列，则（ ）A ．0d >B ．0d <C ．10a d >D ．10a d <【答案】D8.【2014·陕西卷（理文4）】根据右边框图，对大于2的整数N ，得出数列的通项公式是（ ）.2n A a n = .2(1)n B a n =- .2n n C a = 1.2n n D a -=【答案】C9.【2014·重庆卷（理2）】对任意等比数列{}n a ,下列说法一定正确的是（ ）139.,,A a a a 成等比数列 236.,,B a a a 成等比数列 248.,,C a a a 成等比数列 369.,,D a a a 成等比数列【答案】D10.【2014·重庆卷（文2）】在等差数列{}n a 中,1352,10a a a =+=，则7a =（ ）.5A .8B .10C .14D【答案】B11.【2014·全国卷Ⅱ（文16）】数列{}n a 满足1+n a =n a -11，2a =2，则1a =_________.【答案】2112.【2014·安徽卷（理12）】数列{}a n 是等差数列，若1a 1+，3a 3+，5a 5+构成公比为q 的等比数列，则q =________. 【答案】1q =。

2014高考(数列)真题练习

2014高考(数列)真题练习

2014高考真题（数列1）1.等比数列{}n a 中，452,5a a ==，则数列{lg }n a 的前8项和等于 （ ） A ．6 B ．5 C ．4 D ．3 【答案】C ．2. 设{}n a 是公比为q 的等比数列，则"1"q >是"{}"n a 为递增数列的（ ）.A 充分且不必要条件 .B 必要且不充分条件.C 充分必要条件 .D 既不充分也不必要条件 【答案】D3. 设{}n a 是首项为1a ，公差为-1的等差数列，n S 为其前n 项和.若124,,S S S 成等比数列，则1a =（ ） （A ）2 （B ）-2 （C ）12 （D ）12- 【答案】D . 4.对任意等比数列{}n a ,下列说法一定正确的是（ ）139.,,A a a a 成等比数列 236.,,B a a a 成等比数列248.,,C a a a 成等比数列 369.,,D a a a 成等比数列 【答案】D5.根据右边框图，对大于2的整数N ，得出数列的通项公式是（ ）.2n Aa n = .2(1)n B a n =-.2n n C a = 1.2n n D a -= 【答案】C6.数列{}n a 满足1+n a =n a -11，2a =2，则1a =_________. 【答案】 217.数列{}a n 是等差数列，若1a 1+，3a 3+，5a 5+构成公比为q 的等比数列，则q =________. 【答案】1q =。

8.在等差数列{}n a 中，17a =，公差为d ，前n 项和为n S ，当且仅当8n =时n S 取最大值，则d 的取值范围_________. 【答案】718d -<<-9. 若等比数列{}n a 的各项均为正数，且512911102e a a a a =+，则1220ln ln ln a a a +++= 。

【答案】50 10.如图，在等腰直角三角形ABC中，斜边BC =A 作BC 的垂线，垂足为1A ；过点1A 作AC 的垂线，垂足为2A ；过点2A 作1A C 的垂线，垂足为3A ；…，以此类推，设1BA a =，12AA a =，123A A a =，…，567A A a =，则7a =_____ ___.【答案】1411. 已知{}n a 是递增的等差数列，2a ，4a 是方程2560x x -+=的根。

2014年高中数学题型分析(数列大题)

2014年高中数学题型分析(数列大题)

2014年全国高考理科数学试题分类汇编：数列大题（教师）1、（本小题满分12分） 已知等比数列{}n a 中，31,311==q a ， （1）n s 为数列{}n a 前n 项的和，证明：21nn a s -=（2）设n n a a a b 32313log log log +++= ，求数列{}n b 的通项公式；17.分析：（1）直接用等比数列通项公式与求和公式；（2）代人化简得到等差数列在求其和。

解：（1）21,31)31(311n n n n n a s a -=∴=⨯=- 2)1()21(log log log )2(32313+-=+++-=+++=n n n a a a b n n2、（2013年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）试题（纯WORD 版））在公差为d 的等差数列}{n a 中,已知101=a ,且3215,22,a a a +成等比数列. (1)求n a d ,; (2)若0<d ,求.||||||||321n a a a a ++++【答案】解:(Ⅰ)由已知得到:22221311(22)54(1)50(2)(11)25(5)a a a a d a d d d +=⇒++=+⇒+=+224112122125253404611n n d d d d d d d a n a n==-⎧⎧⇒++=+⇒--=⇒⎨⎨=+=-⎩⎩或;(Ⅱ)由(1)知,当0d<时,11n a n =-,①当111n ≤≤时,123123(1011)(21)0||||||||22n n n n n n n a a a a a a a a a +--≥∴++++=++++==②当12n ≤时,1231231112132123111230||||||||()11(2111)(21)212202()()2222n n n n a a a a a a a a a a a a n n n n a a a a a a a a ≤∴++++=++++-+++---+=++++-++++=⨯-=所以,综上所述:1232(21),(111)2||||||||21220,(12)2n n n n a a a a n n n -⎧≤≤⎪⎪++++=⎨-+⎪≥⎪⎩;3、（2013年高考湖北卷（理））已知等比数列{}n a 满足:2310a a -=,123125a a a =.(I)求数列{}n a 的通项公式; (II)是否存在正整数m ,使得121111ma a a +++≥?若存在,求m 的最小值;若不存在,说明理由.【答案】解:(I)由已知条件得:25a =,又2110a q -=,13q ∴=-或,所以数列{}n a 的通项或253n n a -=⨯(II)若1q =-,12111105m a a a +++=-或,不存在这样的正整数m ; 若3q =,12111919110310mm a a a ⎡⎤⎛⎫+++=-<⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦,不存在这样的正整数m . 4、（2013年普通高等学校招生统一考试山东数学（理）试题（含答案））设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,且424S S =,221n n a a =+. (Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式;(Ⅱ)设数列{}n b 前n 项和为n T ,且 12n n na T λ++=(λ为常数).令2n n cb =*()n N ∈.求数列{}n c 的前n 项和n R .【答案】解:(Ⅰ)设等差数列{}n a 的首项为1a ,公差为d ,由424S S =,221n n a a =+得11114684(21)22(1)1a d a d a n a n d +=+⎧⎨+-=+-+⎩,解得,11a =,2d =因此21n a n =-*()n N ∈(Ⅱ)由题意知:12n n n T λ-=-所以2n ≥时,112122n n n n n n n b T T ----=-=-+故,1221221(1)()24n n n n n c b n ---===-*()n N ∈ 所以01231111110()1()2()3()(1)()44444n n R n -=⨯+⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⨯, 则12311111110()1()2()(2)()(1)()444444n nn R n n -=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⨯+-⨯ 两式相减得1231311111()()()()(1)()444444n nn R n -=+++⋅⋅⋅+--⨯ 11()144(1)()1414nn n -=---整理得1131(4)94n n n R -+=-所以数列数列{}n c 的前n 项和1131(4)94n n n R -+=-5、（2013年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理）WORD 版含答案（已校对））等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,已知232=S a ,且124,,S S S 成等比数列,求{}n a 的通项式.【答案】2014年全国高考理科数学试题分类汇编：数列大题（学生）1、（2011年全国）（本小题满分12分） 已知等比数列{}n a 中，31,311==q a ， （1）n s 为数列{}n a 前n 项的和，证明：21nn a s -=（2）设n n a a a b 32313log log log +++= ，求数列{}n b 的通项公式；2、（2013年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）试题（纯WORD 版））在公差为d 的等差数列}{n a 中,已知101=a ,且3215,22,a a a +成等比数列. (1)求n a d ,; (2)若0<d ,求.||||||||321n a a a a ++++3、（2013年高考湖北卷（理））已知等比数列{}n a 满足:2310a a -=,123125a a a =.(I)求数列{}n a 的通项公式; (II)是否存在正整数m ,使得121111ma a a +++≥?若存在,求m 的最小值;若不存在,说明理由.4、（2013年普通高等学校招生统一考试山东数学（理）试题（含答案））设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,且424S S =,221n n a a =+. (Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式;(Ⅱ)设数列{}n b 前n 项和为n T ,且 12n n na T λ++=(λ为常数).令2n n cb =*()n N ∈.求数列{}nc 的前n 项和n R .5、（2013年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理）WORD 版含答案（已校对））等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,已知232=S a ,且124,,S S S 成等比数列,求{}n a 的通项式.【答案】。

2014年高考数学(理科)数列经典 大题13例

2014年高考数学(理科)数列经典 大题13例

1、[2014·江西卷]已知首项都是1的两个数列{a n}，{b n}(b n≠0，n∈N*)满足a n b n＋1－a n＋1b n＋2b n＋1b n＝0.(1)令c n＝，求数列{c n}的通项公式；(2)若b n＝3n－1，求数列{a n}的前n项和S n.2、[2014·新课标全国卷Ⅰ] 已知数列{a n}的前n项和为S n，a1＝1，a n≠0，a n a n＋1＝λS n－1，其中λ为常数．(1)证明：a n＋2－a n＝λ.(2)是否存在λ，使得{a n}为等差数列？并说明理由．3、[2014·新课标全国卷Ⅱ] 已知数列{a n}满足a1＝1，a n＋1＝3a n＋1. (1)证明是等比数列，并求{a n}的通项公式；(2)证明＋＋…＋＜.4、[2014·重庆卷] 设a1＝1，a n＋1＝＋b(n∈N*)．(1)若b＝1，求a2，a3及数列{a n}的通项公式．(2)若b＝－1，问：是否存在实数c使得a2n<c<a2n＋1对所有n∈N*成立？证明你的结论．5、[2014·湖北卷]已知等差数列{a n}满足：a1＝2，且a1，a2，a5成等比数列．(1)求数列{a n}的通项公式．(2)记S n为数列{a n}的前n项和，是否存在正整数n，使得S n>60n＋800？若存在，求n的最小值；若不存在，说明理由．6、[2014·湖南卷] 已知数列{a n}满足a1＝1，|a n＋1－a n|＝p n，n∈N*.(1)若{a n}是递增数列，且a1，2a2，3a3成等差数列，求p的值；(2)若p＝，且{a2n－1}是递增数列，{a2n}是递减数列，求数列{a n}的通项公式．7、[2014·全国卷]等差数列{a n}的前n项和为S n.已知a1＝10，a2为整数，且S n≤S4.(1)求{a n}的通项公式；(2)设b n＝，求数列{b n}的前n项和T n.8、[2014·山东卷] 已知等差数列{a n}的公差为2，前n项和为S n，且S1，S2，S4成等比数列．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)令b n＝(－1)n－1，求数列{b n}的前n项和T n 9、[2014·陕西卷] △ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.(1)若a，b，c成等差数列，证明：sin A＋sin C＝2sin(A＋C)；(2)若a，b，c成等比数列，求cos B的最小值．10、[2014·天津卷] 已知q和n均为给定的大于1的自然数．设集合M＝{0，1，2，…，q－1}，集合A＝{x|x＝x1＋x2q＋…＋x n q n－1，x i∈M，i ＝1，2，…，n}．(1)当q＝2，n＝3时，用列举法表示集合A.(2)设s，t∈A，s＝a1＋a2q＋…＋a n q n－1，t＝b1＋b2q＋…＋b n q n－1，其中a i，b i∈M，i＝1，2，…，n.证明：若a n<b n，则s<t.11、[2014·安徽卷] 设实数c＞0，整数p＞1，n∈N*.(1)证明：当x＞－1且x≠0时，(1＋x)p＞1＋px；(2)数列{a n}满足a1＞c，a n＋1＝a n＋a，证明：a n＞a n＋1＞c.12、[2014·四川卷] 设等差数列{a n}的公差为d，点(a n，b n)在函数f(x)＝2x的图像上(n∈N*)．(1)若a1＝－2，点(a8，4b7)在函数f(x)的图像上，求数列{a n}的前n项和S n；(2)若a1＝1，函数f(x)的图像在点(a2，b2)处的切线在x轴上的截距为2－，求数列的前n项和T n.13、[2014·浙江卷] 已知数列{a n}和{b n}满足a1a2a3…a n＝(n∈N*)．若{a n}为等比数列，且a1＝2，b3＝6＋b2.(1)求a n与b n.(2)设c n＝－(n∈N*)．记数列{c n}的前n项和为S n.(i)求S n；(ii)求正整数k，使得对任意n∈均有S k≥S n.。

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D 单元 数列D1 数列的概念与简单表示法 17．、、[2014·江西卷] 已知首项都是1的两个数列{a n }，{b n }(b n ≠0，n ∈N *)满足a n b n ＋1－a n ＋1b n ＋2b n ＋1b n ＝0.(1)令c n ＝a nb n ，求数列{c n }的通项公式；(2)若b n ＝3n －1，求数列{a n }的前n 项和S n .17．解：(1)因为a n b n ＋1－a n ＋1b n ＋2b n ＋1b n ＝0，b n ≠0(n ∈N *)，所以a n ＋1b n ＋1－a nb n＝2，即c n ＋1－c n ＝2，所以数列{c n }是以c 1＝1为首项，d ＝2为公差的等差数列，故c n ＝2n －1.(2)由b n ＝3n －1，知a n ＝(2n －1)3n －1，于是数列{a n }的前n 项和S n ＝1×30＋3×31＋5×32＋…＋(2n －1)×3n －1，3S n ＝1×31＋3×32＋…＋(2n －3)×3n －1＋(2n －1)×3n ，将两式相减得－2S n ＝1＋2×(31＋32＋…＋3n －1)－(2n －1)×3n ＝－2－(2n －2)×3n ，所以S n ＝(n －1)3n ＋1. 17．、[2014·新课标全国卷Ⅰ] 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a n ≠0，a n a n ＋1＝λS n－1，其中λ为常数．(1)证明：a n ＋2－a n ＝λ.(2)是否存在λ，使得{a n }为等差数列？并说明理由．17．解：(1)证明：由题设，a n a n ＋1＝λS n －1，a n ＋1a n ＋2＝λS n ＋1－1， 两式相减得a n ＋1(a n ＋2－a n )＝λa n ＋1. 因为a n ＋1≠0，所以a n ＋2－a n ＝λ.(2)由题设，a 1＝1，a 1a 2＝λS 1－1，可得 a 2＝λ－1， 由(1)知，a 3＝λ＋1.若{a n }为等差数列，则2a 2＝a 1＋a 3，解得λ＝4，故a n ＋2－a n ＝4. 由此可得{a 2n －1}是首项为1，公差为4的等差数列， a 2n －1＝4n －3；{a 2n }是首项为3，公差为4的等差数列，a 2n ＝4n －1. 所以a n ＝2n －1，a n ＋1－a n ＝2.因此存在λ＝4，使得数列{a n }为等差数列． 17．、、[2014·新课标全国卷Ⅱ] 已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝3a n ＋1.(1)证明⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋12是等比数列，并求{a n }的通项公式；(2)证明1a 1＋1a 2＋…＋1a n ＜32.17．解：(1)由a n ＋1＝3a n ＋1得a n ＋1＋12＝3⎝⎛⎭⎫a n ＋12. 又a 1＋12＝32，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋12是首项为32，公比为3的等比数列，所以a n ＋12＝3n2，因此数列{a n }的通项公式为a n ＝3n－12.(2)证明：由(1)知1a n ＝23n －1.因为当n ≥1时，3n －1≥2×3n －1，所以13n －1≤12×3n －1，即1a n ＝23n－1≤13n －1.于是1a 1＋1a 2＋…＋1a n ≤1＋13＋…＋13n －1＝32⎝⎛⎭⎫1－13n <32. 所以1a 1＋1a 2＋…＋1a n <32.22．，，[2014·重庆卷] 设a 1＝1，a n ＋1＝a 2n －2a n ＋2＋b (n ∈N *)． (1)若b ＝1，求a 2，a 3及数列{a n }的通项公式．(2)若b ＝－1，问：是否存在实数c 使得a 2n <c <a 2n ＋1对所有n ∈N *成立？证明你的结论． 22．解：(1)方法一：a 2＝2，a 3＝2＋1. 再由题设条件知(a n ＋1－1)2＝(a n －1)2＋1.从而{(a n －1)2}是首项为0，公差为1的等差数列， 故(a n －1)2＝n －1，即a n ＝n －1＋1(n ∈N *)． 方法二：a 2＝2，a 3＝2＋1.可写为a 1＝1－1＋1，a 2＝2－1＋1，a 3＝3－1＋1.因此猜想a n ＝n －1＋1. 下面用数学归纳法证明上式． 当n ＝1时，结论显然成立．假设n ＝k 时结论成立，即a k ＝k －1＋1，则a k ＋1＝（a k －1）2＋1＋1＝（k －1）＋1＋1＝（k ＋1）－1＋1， 这就是说，当n ＝k ＋1时结论成立． 所以a n ＝n －1＋1(n ∈N *)．(2)方法一：设f (x )＝（x －1）2＋1－1，则a n ＋1＝f (a n )．令c ＝f (c )，即c ＝（c －1）2＋1－1，解得c ＝14.下面用数学归纳法证明命题 a 2n <c <a 2n ＋1<1.当n ＝1时，a 2＝f (1)＝0，a 3＝f (0)＝2－1，所以a 2<14<a 3<1，结论成立．假设n ＝k 时结论成立，即a 2k <c <a 2k ＋1<1. 易知f (x )在(－∞，1]上为减函数，从而 c ＝f (c )>f (a 2k ＋1)>f (1)＝a 2，即 1>c >a 2k ＋2>a 2.再由f (x )在(－∞，1]上为减函数，得c ＝f (c )<f (a 2k ＋2)<f (a 2)＝a 3<1，故c <a 2k ＋3<1，因此a 2(k ＋1)<c <a 2(k ＋1)＋1<1，这就是说，当n ＝k ＋1时结论成立．综上，存在 c ＝14使a 2n <C <a 2a ＋1对所有n ∈N *成立．方法二：设f (x )＝（x －1）2＋1－1，则a n ＋1＝f (a n )． 先证：0≤a n ≤1(n ∈N *)． ① 当n ＝1时，结论明显成立．假设n ＝k 时结论成立，即0≤a k ≤1. 易知f (x )在(－∞，1]上为减函数，从而 0＝f (1)≤f (a k )≤f (0)＝2－1<1.即0≤a k ＋1≤1.这就是说，当n ＝k ＋1时结论成立．故①成立． 再证：a 2n <a 2n ＋1(n ∈N *)． ②当n ＝1时，a 2＝f (1)＝0，a 3＝f (a 2)＝f (0)＝2－1，所以a 2<a 3，即n ＝1时②成立． 假设n ＝k 时，结论成立，即a 2k <a 2k ＋1. 由①及f (x )在(－∞，1]上为减函数，得 a 2k ＋1＝f (a 2k )>f (a 2k ＋1)＝a 2k ＋2， a 2(k ＋1)＝f (a 2k ＋1)<f (a 2k ＋2)＝a 2(k ＋1)＋1.这就是说，当n ＝k ＋1时②成立．所以②对一切n ∈N *成立． 由②得a 2n <a 22n －2a 2n ＋2－1，即(a 2n ＋1)2<a 22n －2a 2n ＋2，因此a 2n <14. ③又由①②及f (x )在(－∞，1]上为减函数，得f (a 2n )>f (a 2n ＋1)，即a 2n ＋1>a 2n ＋2.所以a 2n ＋1>a 22n ＋1－2a 2n ＋1＋2－1，解得a 2n ＋1>14. ④ 综上，由②③④知存在c ＝14使a 2n <c <a 2n ＋1对一切n ∈N *成立．D2 等差数列及等差数列前n 项和 12．、[2014·安徽卷] 数列{a n }是等差数列，若a 1＋1，a 3＋3，a 5＋5构成公比为q 的等比数列，则q ＝________.12．1 [解析] 因为数列{a n }是等差数列，所以a 1＋1，a 3＋3，a 5＋5也成等差数列．又 a 1＋1，a 3＋3，a 5＋5构为公比为q 的等比数列，所以a 1＋1，a 3＋3，a 5＋5为常数列，故q ＝1.12．[2014·北京卷] 若等差数列{a n }满足a 7＋a 8＋a 9>0，a 7＋a 10<0，则当n ＝________时，{a n }的前n 项和最大．12．8 [解析] ∵a 7＋a 8＋a 9＝3a 8>0，a 7＋a 10＝a 8＋a 9<0，∴a 8>0，a 9<0，∴n ＝8时，数列{a n }的前n 项和最大．3．[2014·福建卷] 等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝2，S 3＝12，则a 6等于( ) A ．8 B ．10 C ．12 D ．143．C [解析] 设等差数列{a n }的公差为d ，由等差数列的前n 项和公式，得S 3＝3×2＋3×22d ＝12，解得d ＝2，则a 6＝a 1＋(6－1)d ＝2＋5×2＝12. 18．、、[2014·湖北卷] 已知等差数列{a n }满足：a 1＝2，且a 1，a 2，a 5成等比数列． (1)求数列{a n }的通项公式．(2)记S n 为数列{a n }的前n 项和，是否存在正整数n ，使得S n >60n ＋800？若存在，求n 的最小值；若不存在，说明理由．18．解：(1)设数列{a n }的公差为d ，依题意得，2，2＋d ，2＋4d 成等比数列， 故有(2＋d )2＝2(2＋4d )，化简得d 2－4d ＝0，解得d ＝0或d ＝4. 当d ＝0时，a n ＝2；当d ＝4时，a n ＝2＋(n －1)·4＝4n －2.从而得数列{a n }的通项公式为a n ＝2或a n ＝4n －2. (2)当a n ＝2时，S n ＝2n ，显然2n <60n ＋800， 此时不存在正整数n ，使得S n >60n ＋800成立．当a n ＝4n －2时，S n ＝n [2＋（4n －2）]2＝2n 2.令2n 2>60n ＋800，即n 2－30n －400>0， 解得n >40或n <－10(舍去)，此时存在正整数n ，使得S n >60n ＋800成立，n 的最小值为41. 综上，当a n ＝2时，不存在满足题意的正整数n ；当a n ＝4n －2时，存在满足题意的正整数n ，其最小值为41. 20．、[2014·湖南卷] 已知数列{a n }满足a 1＝1，|a n ＋1－a n |＝p n ，n ∈N *. (1)若{a n }是递增数列，且a 1，2a 2，3a 3成等差数列，求p 的值；(2)若p ＝12，且{a 2n －1}是递增数列，{a 2n }是递减数列，求数列{a n }的通项公式．20．解：(1)因为{a n }是递增数列，所以a n ＋1－a n ＝|a n ＋1－a n |＝p n .而a 1＝1，因此 a 2＝p ＋1，a 3＝p 2＋p ＋1.又a 1，2a 2，3a 3成等差数列，所以4a 2＝a 1＋3a 3，因而3p 2－p ＝0，解得p ＝13或p ＝0.当p ＝0时，a n ＋1＝a n ，这与{a n }是递增数列矛盾，故p ＝13.(2)由于{a 2n －1}是递增数列，因而a 2n ＋1－a 2n －1>0，于是(a 2n ＋1－a 2n )＋(a 2n －a 2n －1)>0.①因为122n <122n －1，所以|a 2n ＋1－a 2n |<|a 2n －a 2n －1|.②由①②知，a 2n －a 2n －1>0，因此a 2n －a 2n －1＝⎝⎛⎭⎫122n －1＝（－1）2n 22n －1.③ 因为{a 2n }是递减数列，同理可得，a 2n ＋1－a 2n <0，故a 2n ＋1－a 2n ＝－⎝⎛⎭⎫122n＝（－1）2n ＋122n.④由③④可知，a n ＋1－a n ＝（－1）n ＋12n.于是a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝1＋12－122＋…＋（－1）n 2n －1＝1＋12·1－⎝⎛⎭⎫－12n －11＋12＝43＋13·（－1）n2n －1. 故数列{a n }的通项公式为a n ＝43＋13·（－1）n2n －1. 8．[2014·辽宁卷] 设等差数列{a n }的公差为d .若数列{2a 1a n }为递减数列，则( ) A ．d <0 B ．d >0 C ．a 1d <0 D ．a 1d >08．C [解析] 令b n ＝2a 1a n ，因为数列{2a 1a n }为递减数列，所以b n ＋1b n ＝2a 1a n ＋12a 1a n＝2a 1(a n ＋1－a n )＝2a 1d <1，所得a 1d <0.18．、[2014·全国卷] 等差数列{a n }的前n 项和为S n .已知a 1＝10，a 2为整数，且S n ≤S 4. (1)求{a n }的通项公式；(2)设b n ＝1a n a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和T n .18．解：(1)由a 1＝10，a 2为整数知，等差数列{a n }的公差d 为整数． 又S n ≤S 4，故a 4≥0，a 5≤0， 于是10＋3d ≥0，10＋4d ≤0， 解得－103≤d ≤－52，因此d ＝－3.故数列{a n }的通项公式为a n ＝13－3n .(2)b n ＝1（13－3n ）（10－3n ）＝13⎝⎛⎭⎫110－3n －113－3n .于是T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝13⎝⎛⎭⎫17－110＋⎝⎛⎭⎫14－17＋…＋⎝⎛⎭⎫110－3n －113－3n ＝13⎝⎛⎭⎫110－3n －110＝n 10（10－3n ）.17．、[2014·新课标全国卷Ⅰ] 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a n ≠0，a n a n ＋1＝λS n －1，其中λ为常数．(1)证明：a n ＋2－a n ＝λ.(2)是否存在λ，使得{a n }为等差数列？并说明理由．17．解：(1)证明：由题设，a n a n ＋1＝λS n －1，a n ＋1a n ＋2＝λS n ＋1－1， 两式相减得a n ＋1(a n ＋2－a n )＝λa n ＋1. 因为a n ＋1≠0，所以a n ＋2－a n ＝λ.(2)由题设，a 1＝1，a 1a 2＝λS 1－1，可得 a 2＝λ－1， 由(1)知，a 3＝λ＋1.若{a n }为等差数列，则2a 2＝a 1＋a 3，解得λ＝4，故a n ＋2－a n ＝4. 由此可得{a 2n －1}是首项为1，公差为4的等差数列， a 2n －1＝4n －3；{a 2n }是首项为3，公差为4的等差数列，a 2n ＝4n －1. 所以a n ＝2n －1，a n ＋1－a n ＝2.因此存在λ＝4，使得数列{a n }为等差数列． 19．，，[2014·山东卷] 已知等差数列{a n }的公差为2，前n 项和为S n ，且S 1，S 2，S 4成等比数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)令b n ＝(－1)n－14na n a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和T n . 19．解： (1)因为S 1＝a 1，S 2＝2a 1＋2×12×2＝2a 1＋2，S 4＝4a 1＋4×32×2＝4a 1＋12，由题意得(2a 1＋2)2＝a 1(4a 1＋12)，解得a 1＝1， 所以a n ＝2n －1. (2)由题意可知， b n ＝(－1)n －14na n a n ＋1＝(－1)n－14n（2n －1）（2n ＋1）＝(－1)n －1⎝⎛⎭⎫12n －1＋12n ＋1.当n 为偶数时，T n ＝⎝⎛⎭⎫1＋13－⎝⎛⎭⎫13＋15＋…＋⎝⎛12n －3＋⎭⎫12n －1－⎝⎛⎭⎫12n －1＋12n ＋1 ＝1－12n ＋1＝2n2n ＋1. 当n 为奇数时，T n ＝⎝⎛⎭⎫1＋13－⎝⎛⎭⎫13＋15＋…－⎝⎛⎭⎫12n －3＋12n －1＋⎝⎛⎭⎫12n －1＋12n ＋1 ＝1＋12n ＋1＝2n ＋22n ＋1.所以T n＝⎩⎪⎨⎪⎧2n ＋22n ＋1，n 为奇数，2n2n ＋1，n 为偶数.⎝ ⎛⎭⎪⎫或T n＝2n ＋1＋（－1）n －12n ＋116．，，[2014·陕西卷] △ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c . (1)若a ，b ，c 成等差数列，证明：sin A ＋sin C ＝2sin(A ＋C )； (2)若a ，b ，c 成等比数列，求cos B 的最小值． 16．解：(1)∵a ，b ，c 成等差数列，∴a ＋c ＝2b . 由正弦定理得sin A ＋sin C ＝2sin B . ∵sin B ＝sin[π－(A ＋C )]＝sin(A ＋C )， ∴sin A ＋sin C ＝2sin(A ＋C )．(2)∵a ，b ，c 成等比数列，∴b 2＝ac . 由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋c 2－ac 2ac ≥2ac －ac 2ac ＝12，当且仅当a ＝c 时等号成立， ∴cos B 的最小值为12.11．、[2014·天津卷] 设{a n }是首项为a 1，公差为－1的等差数列，S n 为其前n 项和．若S 1，S 2，S 4成等比数列，则a 1的值为________．11．－12 [解析] ∵S 2＝2a 1－1，S 4＝4a 1＋4×32×(－1)＝4a 1－6，S 1，S 2，S 4成等比数列，∴(2a 1－1)2＝a 1(4a 1－6)，解得a 1＝－12.22．，，[2014·重庆卷] 设a 1＝1，a n ＋1＝a 2n －2a n ＋2＋b (n ∈N *)． (1)若b ＝1，求a 2，a 3及数列{a n }的通项公式．(2)若b ＝－1，问：是否存在实数c 使得a 2n <c <a 2n ＋1对所有n ∈N *成立？证明你的结论． 22．解：(1)方法一：a 2＝2，a 3＝2＋1. 再由题设条件知(a n ＋1－1)2＝(a n －1)2＋1.从而{(a n －1)2}是首项为0，公差为1的等差数列， 故(a n －1)2＝n －1，即a n ＝n －1＋1(n ∈N *)． 方法二：a 2＝2，a 3＝2＋1.可写为a 1＝1－1＋1，a 2＝2－1＋1，a 3＝3－1＋1.因此猜想a n ＝n －1＋1. 下面用数学归纳法证明上式． 当n ＝1时，结论显然成立．假设n ＝k 时结论成立，即a k ＝k －1＋1，则a k ＋1＝（a k －1）2＋1＋1＝（k －1）＋1＋1＝（k ＋1）－1＋1， 这就是说，当n ＝k ＋1时结论成立． 所以a n ＝n －1＋1(n ∈N *)．(2)方法一：设f (x )＝（x －1）2＋1－1，则a n ＋1＝f (a n )．令c ＝f (c )，即c ＝（c －1）2＋1－1，解得c ＝14.下面用数学归纳法证明命题 a 2n <c <a 2n ＋1<1.当n ＝1时，a 2＝f (1)＝0，a 3＝f (0)＝2－1，所以a 2<14<a 3<1，结论成立．假设n ＝k 时结论成立，即a 2k <c <a 2k ＋1<1. 易知f (x )在(－∞，1]上为减函数，从而 c ＝f (c )>f (a 2k ＋1)>f (1)＝a 2，即 1>c >a 2k ＋2>a 2.再由f (x )在(－∞，1]上为减函数，得c ＝f (c )<f (a 2k ＋2)<f (a 2)＝a 3<1，故c <a 2k ＋3<1，因此a 2(k ＋1)<c <a 2(k ＋1)＋1<1，这就是说，当n ＝k ＋1时结论成立．综上，存在 c ＝14使a 2n <C <a 2a ＋1对所有n ∈N *成立．方法二：设f (x )＝（x －1）2＋1－1，则a n ＋1＝f (a n )． 先证：0≤a n ≤1(n ∈N *)． ① 当n ＝1时，结论明显成立．假设n ＝k 时结论成立，即0≤a k ≤1. 易知f (x )在(－∞，1]上为减函数，从而 0＝f (1)≤f (a k )≤f (0)＝2－1<1.即0≤a k ＋1≤1.这就是说，当n ＝k ＋1时结论成立．故①成立． 再证：a 2n <a 2n ＋1(n ∈N *)． ②当n ＝1时，a 2＝f (1)＝0，a 3＝f (a 2)＝f (0)＝2－1，所以a 2<a 3，即n ＝1时②成立． 假设n ＝k 时，结论成立，即a 2k <a 2k ＋1. 由①及f (x )在(－∞，1]上为减函数，得 a 2k ＋1＝f (a 2k )>f (a 2k ＋1)＝a 2k ＋2， a 2(k ＋1)＝f (a 2k ＋1)<f (a 2k ＋2)＝a 2(k ＋1)＋1.这就是说，当n ＝k ＋1时②成立．所以②对一切n ∈N *成立． 由②得a 2n <a 22n －2a 2n ＋2－1，即(a 2n ＋1)2<a 22n －2a 2n ＋2，因此a 2n <14. ③又由①②及f (x )在(－∞，1]上为减函数，得f (a 2n )>f (a 2n ＋1)，即a 2n ＋1>a 2n ＋2.所以a 2n ＋1>a 22n ＋1－2a 2n ＋1＋2－1，解得a 2n ＋1>14. ④ 综上，由②③④知存在c ＝14使a 2n <c <a 2n ＋1对一切n ∈N *成立．D3 等比数列及等比数列前n 项和 2．[2014·重庆卷] 对任意等比数列{a n }，下列说法一定正确的是( ) A ．a 1，a 3，a 9成等比数列 B ．a 2，a 3，a 6成等比数列 C ．a 2，a 4，a 8成等比数列 D ．a 3，a 6，a 9，成等比数列2．D [解析] 因为在等比数列中a n ，a 2n ，a 3n ，…也成等比数列，所以a 3，a 6，a 9成等比数列．12．、[2014·安徽卷] 数列{a n }是等差数列，若a 1＋1，a 3＋3，a 5＋5构成公比为q 的等比数列，则q ＝________.12．1 [解析] 因为数列{a n }是等差数列，所以a 1＋1，a 3＋3，a 5＋5也成等差数列．又 a 1＋1，a 3＋3，a 5＋5构为公比为q 的等比数列，所以a 1＋1，a 3＋3，a 5＋5为常数列，故q ＝1.13．、[2014·广东卷] 若等比数列{a n }的各项均为正数，且a 10a 11＋a 9a 12＝2e 5，则ln a 1＋ln a 2＋…＋ln a 20＝________．13．50 [解析] 本题考查了等比数列以及对数的运算性质．∵{a n }为等比数列，且a 10a 11＋a 9a 12＝2e 5，∴a 10a 11＋a 9a 12＝2a 10a 11＝2e 5，∴a 10a 11＝e 5， ∴ln a 1＋ln a 2＋…＋ln a 20＝ln(a 1a 2…a 20)＝ ln(a 10a 11)10＝ln(e 5)10＝ln e 50＝50. 10．[2014·全国卷] 等比数列{a n }中，a 4＝2，a 5＝5，则数列{lg a n }的前8项和等于( ) A ．6 B ．5 C ．4 D ．310．C [解析] 设数列{a n }的首项为a 1，公比为q ，根据题意可得，⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 3＝2，a 1q 4＝5，解得⎩⎨⎧a 1＝16125，q ＝52，所以a n＝a 1q n －1＝16125×⎝⎛⎭⎫52n －1＝2×⎝⎛⎭⎫52n －4，所以lg a n ＝lg 2＋(n －4)lg 52，所以前8项的和为8lg 2＋(－3－2－1＋0＋1＋2＋3＋4)lg 52＝8lg 2＋4lg 52＝4lg ⎝⎛⎭⎫4×52＝4.18．、、[2014·湖北卷] 已知等差数列{a n }满足：a 1＝2，且a 1，a 2，a 5成等比数列． (1)求数列{a n }的通项公式．(2)记S n 为数列{a n }的前n 项和，是否存在正整数n ，使得S n >60n ＋800？若存在，求n 的最小值；若不存在，说明理由．18．解：(1)设数列{a n }的公差为d ，依题意得，2，2＋d ，2＋4d 成等比数列， 故有(2＋d )2＝2(2＋4d )，化简得d 2－4d ＝0，解得d ＝0或d ＝4. 当d ＝0时，a n ＝2；当d ＝4时，a n ＝2＋(n －1)·4＝4n －2.从而得数列{a n }的通项公式为a n ＝2或a n ＝4n －2. (2)当a n ＝2时，S n ＝2n ，显然2n <60n ＋800， 此时不存在正整数n ，使得S n >60n ＋800成立．当a n ＝4n －2时，S n ＝n [2＋（4n －2）]2＝2n 2.令2n 2>60n ＋800，即n 2－30n －400>0， 解得n >40或n <－10(舍去)，此时存在正整数n ，使得S n >60n ＋800成立，n 的最小值为41. 综上，当a n ＝2时，不存在满足题意的正整数n ；当a n ＝4n －2时，存在满足题意的正整数n ，其最小值为41. 17．、、[2014·新课标全国卷Ⅱ] 已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝3a n ＋1.(1)证明⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋12是等比数列，并求{a n }的通项公式；(2)证明1a 1＋1a 2＋…＋1a n ＜32.17．解：(1)由a n ＋1＝3a n ＋1得a n ＋1＋12＝3⎝⎛⎭⎫a n ＋12. 又a 1＋12＝32，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋12是首项为32，公比为3的等比数列，所以a n ＋12＝3n2，因此数列{a n }的通项公式为a n ＝3n－12.(2)证明：由(1)知1a n ＝23n －1.因为当n ≥1时，3n －1≥2×3n －1，所以13n －1≤12×3n －1，即1a n ＝23n－1≤13n －1. 于是1a 1＋1a 2＋…＋1a n ≤1＋13＋…＋13n －1＝32⎝⎛⎭⎫1－13n <32. 所以1a 1＋1a 2＋…＋1a n <32.19．，，[2014·山东卷] 已知等差数列{a n }的公差为2，前n 项和为S n ，且S 1，S 2，S 4成等比数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)令b n ＝(－1)n－14na n a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和T n . 19．解： (1)因为S 1＝a 1，S 2＝2a 1＋2×12×2＝2a 1＋2，S 4＝4a 1＋4×32×2＝4a 1＋12，由题意得(2a 1＋2)2＝a 1(4a 1＋12)，解得a 1＝1， 所以a n ＝2n －1. (2)由题意可知， b n ＝(－1)n －14na n a n ＋1＝(－1)n－14n（2n －1）（2n ＋1）＝(－1)n －1⎝⎛⎭⎫12n －1＋12n ＋1.当n 为偶数时，T n ＝⎝⎛⎭⎫1＋13－⎝⎛⎭⎫13＋15＋…＋⎝⎛12n －3＋⎭⎫12n －1－⎝⎛⎭⎫12n －1＋12n ＋1 ＝1－12n ＋1＝2n2n ＋1. 当n 为奇数时，T n ＝⎝⎛⎭⎫1＋13－⎝⎛⎭⎫13＋15＋…－⎝⎛⎭⎫12n －3＋12n －1＋⎝⎛⎭⎫12n －1＋12n ＋1 ＝1＋12n ＋1＝2n ＋22n ＋1. 所以T n＝⎩⎪⎨⎪⎧2n ＋22n ＋1，n 为奇数，2n2n ＋1，n 为偶数.⎝ ⎛⎭⎪⎫或T n＝2n ＋1＋（－1）n －12n ＋116．，，[2014·陕西卷] △ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .(1)若a ，b ，c 成等差数列，证明：sin A ＋sin C ＝2sin(A ＋C )； (2)若a ，b ，c 成等比数列，求cos B 的最小值． 16．解：(1)∵a ，b ，c 成等差数列，∴a ＋c ＝2b . 由正弦定理得sin A ＋sin C ＝2sin B . ∵sin B ＝sin[π－(A ＋C )]＝sin(A ＋C )， ∴sin A ＋sin C ＝2sin(A ＋C )．(2)∵a ，b ，c 成等比数列，∴b 2＝ac . 由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋c 2－ac 2ac ≥2ac －ac 2ac ＝12，当且仅当a ＝c 时等号成立， ∴cos B 的最小值为12.11．、[2014·天津卷] 设{a n }是首项为a 1，公差为－1的等差数列，S n 为其前n 项和．若S 1，S 2，S 4成等比数列，则a 1的值为________．11．－12 [解析] ∵S 2＝2a 1－1，S 4＝4a 1＋4×32×(－1)＝4a 1－6，S 1，S 2，S 4成等比数列，∴(2a 1－1)2＝a 1(4a 1－6)，解得a 1＝－12.19．、、[2014·天津卷] 已知q 和n 均为给定的大于1的自然数．设集合M ＝{0，1，2，…，q －1}，集合A ＝{x |x ＝x 1＋x 2q ＋…＋x n q n －1，x i ∈M ，i ＝1，2，…，n }． (1)当q ＝2，n ＝3时，用列举法表示集合A .(2)设s ，t ∈A ，s ＝a 1＋a 2q ＋…＋a n q n －1，t ＝b 1＋b 2q ＋…＋b n q n －1，其中a i ，b i ∈M ，i ＝1，2，…，n .证明：若a n <b n ，则s <t .19．解：(1)当q ＝2，n ＝3时，M ＝{0，1}，A ＝{x |x ＝x 1＋x 2·2＋x 3·22，x i ∈M ，i ＝1，2，3}，可得A ＝{0，1，2，3，4，5，6，7}．(2)证明：由s ，t ∈A ，s ＝a 1＋a 2q ＋…＋a n q n －1，t ＝b 1＋b 2q ＋…＋b n q n －1，a i ，b i ∈M ，i ＝1，2，…，n 及a n <b n ，可得s －t ＝(a 1－b 1)＋(a 2－b 2)q ＋…＋(a n －1－b n －1)q n －2＋(a n －b n )q n －1≤(q －1)＋(q －1)q ＋…＋(q －1)q n －2－q n －1＝（q －1）（1－q n －1）1－q－q n －1＝－1<0， 所以s <t .D4 数列求和 17．、、[2014·江西卷] 已知首项都是1的两个数列{a n }，{b n }(b n ≠0，n ∈N *)满足a n b n ＋1－a n ＋1b n ＋2b n ＋1b n ＝0.(1)令c n ＝a nb n ，求数列{c n }的通项公式；(2)若b n ＝3n －1，求数列{a n }的前n 项和S n .17．解：(1)因为a n b n ＋1－a n ＋1b n ＋2b n ＋1b n ＝0，b n ≠0(n ∈N *)，所以a n ＋1b n ＋1－a nb n＝2，即c n ＋1－c n ＝2，所以数列{c n }是以c 1＝1为首项，d ＝2为公差的等差数列，故c n ＝2n －1.(2)由b n ＝3n －1，知a n ＝(2n －1)3n －1，于是数列{a n }的前n 项和S n ＝1×30＋3×31＋5×32＋…＋(2n －1)×3n －1，3S n ＝1×31＋3×32＋…＋(2n －3)×3n －1＋(2n －1)×3n ，将两式相减得－2S n ＝1＋2×(31＋32＋…＋3n －1)－(2n －1)×3n ＝－2－(2n －2)×3n ，所以S n ＝(n －1)3n ＋1. 18．、[2014·全国卷] 等差数列{a n }的前n 项和为S n .已知a 1＝10，a 2为整数，且S n ≤S 4. (1)求{a n }的通项公式；(2)设b n ＝1a n a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和T n .18．解：(1)由a 1＝10，a 2为整数知，等差数列{a n }的公差d 为整数． 又S n ≤S 4，故a 4≥0，a 5≤0， 于是10＋3d ≥0，10＋4d ≤0， 解得－103≤d ≤－52，因此d ＝－3.故数列{a n }的通项公式为a n ＝13－3n . (2)b n ＝1（13－3n ）（10－3n ）＝13⎝⎛⎭⎫110－3n －113－3n .于是T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝13⎝⎛⎭⎫17－110＋⎝⎛⎭⎫14－17＋…＋⎝⎛⎭⎫110－3n －113－3n ＝13⎝⎛⎭⎫110－3n －110＝n 10（10－3n ）.19．，，[2014·山东卷] 已知等差数列{a n }的公差为2，前n 项和为S n ，且S 1，S 2，S 4成等比数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)令b n ＝(－1)n－14na n a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和T n . 19．解： (1)因为S 1＝a 1，S 2＝2a 1＋2×12×2＝2a 1＋2，S 4＝4a 1＋4×32×2＝4a 1＋12，由题意得(2a 1＋2)2＝a 1(4a 1＋12)，解得a 1＝1， 所以a n ＝2n －1. (2)由题意可知， b n ＝(－1)n －14na n a n ＋1＝(－1)n －14n（2n －1）（2n ＋1）＝(－1)n －1⎝⎛⎭⎫12n －1＋12n ＋1. 当n 为偶数时，T n ＝⎝⎛⎭⎫1＋13－⎝⎛⎭⎫13＋15＋…＋⎝⎛12n －3＋⎭⎫12n －1－⎝⎛⎭⎫12n －1＋12n ＋1 ＝1－12n ＋1＝2n2n ＋1. 当n 为奇数时，T n ＝⎝⎛⎭⎫1＋13－⎝⎛⎭⎫13＋15＋…－⎝⎛⎭⎫12n －3＋12n －1＋⎝⎛⎭⎫12n －1＋12n ＋1 ＝1＋12n ＋1＝2n ＋22n ＋1. 所以T n＝⎩⎪⎨⎪⎧2n ＋22n ＋1，n 为奇数，2n2n ＋1，n 为偶数.⎝ ⎛⎭⎪⎫或T n＝2n ＋1＋（－1）n －12n ＋1D5 单元综合20．、[2014·湖南卷] 已知数列{a n }满足a 1＝1，|a n ＋1－a n |＝p n ，n ∈N *. (1)若{a n }是递增数列，且a 1，2a 2，3a 3成等差数列，求p 的值；(2)若p ＝12，且{a 2n －1}是递增数列，{a 2n }是递减数列，求数列{a n }的通项公式．20．解：(1)因为{a n }是递增数列，所以a n ＋1－a n ＝|a n ＋1－a n |＝p n .而a 1＝1，因此 a 2＝p ＋1，a 3＝p 2＋p ＋1.又a 1，2a 2，3a 3成等差数列，所以4a 2＝a 1＋3a 3，因而3p 2－p ＝0，解得p ＝13或p ＝0.当p ＝0时，a n ＋1＝a n ，这与{a n }是递增数列矛盾，故p ＝13.(2)由于{a 2n －1}是递增数列，因而a 2n ＋1－a 2n －1>0，于是(a 2n ＋1－a 2n )＋(a 2n －a 2n －1)>0.①因为122n <122n －1，所以|a 2n ＋1－a 2n |<|a 2n －a 2n －1|.②由①②知，a 2n －a 2n －1>0，因此a 2n －a 2n －1＝⎝⎛⎭⎫122n －1＝（－1）2n 22n －1.③ 因为{a 2n }是递减数列，同理可得，a 2n ＋1－a 2n <0，故a 2n ＋1－a 2n ＝－⎝⎛⎭⎫122n＝（－1）2n ＋122n.④由③④可知，a n ＋1－a n ＝（－1）n ＋12n.于是a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝1＋12－122＋…＋（－1）n 2n －1＝1＋12·1－⎝⎛⎭⎫－12n －11＋12＝43＋13·（－1）n2n －1. 故数列{a n }的通项公式为a n ＝43＋13·（－1）n2n －1.21．、、[2014·安徽卷] 设实数c ＞0，整数p ＞1，n ∈N *. (1)证明：当x ＞－1且x ≠0时，(1＋x )p ＞1＋px ；(2)数列{a n }满足a 1＞c 1p ，a n ＋1＝p －1p a n ＋c p a 1－p n ，证明：a n ＞a n ＋1＞c 1p.21．证明：(1)用数学归纳法证明如下．①当p ＝2时，(1＋x )2＝1＋2x ＋x 2>1＋2x ，原不等式成立． ②假设p ＝k (k ≥2，k ∈N *)时，不等式(1＋x )k >1＋kx 成立．当p ＝k ＋1时，(1＋x )k ＋1＝(1＋x )(1＋x )k >(1＋x )(1＋kx )＝1＋(k ＋1)x ＋kx 2>1＋(k ＋1)x . 所以当p ＝k ＋1时，原不等式也成立．综合①②可得，当x >－1，x ≠0时，对一切整数p >1，不等式(1＋x )p >1＋px 均成立． (2)方法一：先用数学归纳法证明a n >c 1p .①当n ＝1时，由题设知a 1>c 1p成立．②假设n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时，不等式a k >c 1p成立． 由a n ＋1＝p －1p a n ＋c p a 1－p n 易知a n >0，n ∈N *. 当n ＝k ＋1时，a k ＋1a k ＝p －1p ＋c p a －p k ＝1＋1p ⎝⎛⎭⎫c a p k－1. 由a k >c 1p >0得－1<－1p <1p ⎝⎛⎭⎫c a p k－1<0. 由(1)中的结论得⎝⎛⎭⎫a k ＋1a k p＝⎣⎡⎦⎤1＋1p ⎝⎛⎭⎫c a p k －1p>1＋p · 1p ⎝⎛⎭⎫c a p k －1＝c a p k . 因此a p k ＋1>c ，即a k ＋1>c 1p， 所以当n ＝k ＋1时，不等式a n >c 1p也成立．综合①②可得，对一切正整数n ，不等式a n >c 1p 均成立．再由a n ＋1a n ＝1＋1p ⎝⎛⎭⎫c a p n －1可得a n ＋1a n <1， 即a n ＋1<a n .综上所述，a n >a n ＋1>c 1p，n ∈N *.方法二：设f (x )＝p －1p x ＋c p x 1－p ，x ≥c 1p ，则x p ≥c ，所以f ′(x )＝p －1p ＋c p (1－p )x －p ＝p －1p ⎝⎛⎭⎫1－c x p >0. 由此可得，f (x )在[c 1p ，＋∞)上单调递增，因而，当x >c 1p 时，f (x )>f (c 1p )＝c 1p .①当n ＝1时，由a 1>c 1p>0，即a p 1>c 可知 a 2＝p －1p a 1＋c p a 1－p 1＝a 1⎣⎡⎦⎤1＋1p ⎝⎛⎭⎫c a p 1－1<a 1，并且a 2＝f (a 1)>c 1p ，从而可得a 1>a 2>c 1p，故当n ＝1时，不等式a n >a n ＋1>c 1p成立．②假设n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时，不等式a k >a k ＋1>c 1p 成立，则当n ＝k ＋1时，f (a k )>f (a k ＋1)>f (c 1p )，即有a k ＋1>a k ＋2>c 1p，所以当n ＝k ＋1时，原不等式也成立．综合①②可得，对一切正整数n ，不等式a n >a n ＋1>c 1p均成立．18．、、[2014·湖北卷] 已知等差数列{a n }满足：a 1＝2，且a 1，a 2，a 5成等比数列． (1)求数列{a n }的通项公式．(2)记S n 为数列{a n }的前n 项和，是否存在正整数n ，使得S n >60n ＋800？若存在，求n 的最小值；若不存在，说明理由．18．解：(1)设数列{a n }的公差为d ，依题意得，2，2＋d ，2＋4d 成等比数列， 故有(2＋d )2＝2(2＋4d )，化简得d 2－4d ＝0，解得d ＝0或d ＝4. 当d ＝0时，a n ＝2；当d ＝4时，a n ＝2＋(n －1)·4＝4n －2.从而得数列{a n }的通项公式为a n ＝2或a n ＝4n －2. (2)当a n ＝2时，S n ＝2n ，显然2n <60n ＋800， 此时不存在正整数n ，使得S n >60n ＋800成立．当a n ＝4n －2时，S n ＝n [2＋（4n －2）]2＝2n 2.令2n 2>60n ＋800，即n 2－30n －400>0， 解得n >40或n <－10(舍去)，此时存在正整数n ，使得S n >60n ＋800成立，n 的最小值为41. 综上，当a n ＝2时，不存在满足题意的正整数n ；当a n ＝4n －2时，存在满足题意的正整数n ，其最小值为41. 17．、、[2014·江西卷] 已知首项都是1的两个数列{a n }，{b n }(b n ≠0，n ∈N *)满足a n b n ＋1－a n ＋1b n ＋2b n ＋1b n ＝0.(1)令c n ＝a nb n ，求数列{c n }的通项公式；(2)若b n ＝3n －1，求数列{a n }的前n 项和S n .17．解：(1)因为a n b n ＋1－a n ＋1b n ＋2b n ＋1b n ＝0，b n ≠0(n ∈N *)，所以a n ＋1b n ＋1－a nb n＝2，即c n ＋1－c n ＝2，所以数列{c n }是以c 1＝1为首项，d ＝2为公差的等差数列，故c n ＝2n －1.(2)由b n ＝3n －1，知a n ＝(2n －1)3n －1，于是数列{a n }的前n 项和S n ＝1×30＋3×31＋5×32＋…＋(2n －1)×3n －1，3S n ＝1×31＋3×32＋…＋(2n －3)×3n －1＋(2n －1)×3n ，将两式相减得－2S n ＝1＋2×(31＋32＋…＋3n －1)－(2n －1)×3n ＝－2－(2n －2)×3n ，所以S n ＝(n －1)3n ＋1. 17．、、[2014·新课标全国卷Ⅱ] 已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝3a n ＋1.(1)证明⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋12是等比数列，并求{a n }的通项公式；(2)证明1a 1＋1a 2＋…＋1a n ＜32.17．解：(1)由a n ＋1＝3a n ＋1得a n ＋1＋12＝3⎝⎛⎭⎫a n ＋12. 又a 1＋12＝32，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋12是首项为32，公比为3的等比数列，所以a n ＋12＝3n2，因此数列{a n }的通项公式为a n ＝3n －12.(2)证明：由(1)知1a n ＝23n －1.因为当n ≥1时，3n －1≥2×3n －1，所以13n －1≤12×3n －1，即1a n ＝23n －1≤13n －1. 于是1a 1＋1a 2＋…＋1a n ≤1＋13＋…＋13n －1＝32⎝⎛⎭⎫1－13n <32. 所以1a 1＋1a 2＋…＋1a n <32.19．，[2014·四川卷] 设等差数列{a n }的公差为d ，点(a n ，b n )在函数f (x )＝2x 的图像上(n ∈N *)．(1)若a 1＝－2，点(a 8，4b 7)在函数f (x )的图像上，求数列{a n }的前n 项和S n ；(2)若a 1＝1，函数f (x )的图像在点(a 2，b 2)处的切线在x 轴上的截距为2－1ln 2，求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a nb n 的前n 项和T n .19．解：(1)由已知得，b 7＝2a 7，b 8＝2a 8＝4b 7，所以 2a 8＝4×2a 7＝2a 7＋2，解得d ＝a 8－a 7＝2，所以S n ＝na 1＋n （n －1）2d ＝－2n ＋n (n －1)＝n 2－3n .(2)函数f (x )＝2x 在点(a 2，b 2)处的切线方程为y －2a 2＝(2a 2ln 2)(x －a 2)， 其在x 轴上的截距为a 2－1ln 2.由题意有a 2－1ln 2＝2－1ln 2，解得a 2＝2.所以d ＝a 2－a 1＝1.从而a n ＝n ，b n ＝2n ，所以数列{a n b n }的通项公式为a n b n ＝n2n ，所以T n ＝12＋222＋323＋…＋n －12n －1＋n 2n ，2T n ＝11＋22＋322＋…＋n2n －1，因此，2T n －T n ＝1＋12＋122＋…＋12n －1－n 2n ＝2－12n －1－n 2n ＝2n ＋1－n －22n .所以，T n ＝2n ＋1－n －22n.19．[2014·浙江卷] 已知数列{a n }和{b n }满足a 1a 2a 3…a n ＝(2)b n (n ∈N *)．若{a n }为等比数列，且a 1＝2，b 3＝6＋b 2.(1)求a n 与b n .(2)设c n ＝1a n －1b n(n ∈N *)．记数列{c n }的前n 项和为S n .(i)求S n ；(ii)求正整数k ，使得对任意n ∈均有S k ≥S n .19．解：(1)由题意a 1a 2a 3…a n ＝(2)b n ，b 3－b 2＝6， 知a 3＝(2)b 3－b 2＝8.又由a 1＝2，得公比q ＝2(q ＝－2舍去)，所以数列{a n }的通项为a n ＝2n (n ∈N *)．所以，a 1a 2a 3…a n ＝2n （n ＋1）2＝(2)n (n ＋1)．故数列{b n }的通项为b n ＝n (n ＋1)(n ∈N *)．(2)(i)由(1)知c n ＝1a n －1b n ＝12n －⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1(n ∈N *)．所以S n ＝1n ＋1－12n (n ∈N *)．(ii)因为c 1＝0，c 2>0，c 3>0，c 4>0，当n ≥5时，c n ＝1n （n ＋1）⎣⎡⎦⎤n （n ＋1）2n －1， 而n （n ＋1）2n －（n ＋1）（n ＋2）2n ＋1＝（n ＋1）（n －2）2n ＋1>0， 得n （n ＋1）2n ≤5×（5＋1）25<1，所以，当n ≥5时，c n <0.综上，若对任意n ∈N *恒有S k ≥S n ，则k ＝4.3．[2014·闽南四校期末] 若数列{a n }的前n 项和为S n ＝23a n ＋13，则数列{a n }的通项公式为( )A ．a n ＝－2n －1B ．a n ＝(－2)n －1 C ．a n ＝(－2)n D ．a n ＝－2n3．B [解析] 由a n ＝S n －S n －1(n ≥2)，得a n ＝23a n －23a n －1.∴a n ＝－2a n －1.又a 1＝1，∴a n＝(－2)n －1(n ≥2)．又a 1＝(－2)1－1＝1，∴a n ＝(－2)n －1.6．[2014·南昌联考] 已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝a na n ＋2(n ∈N *)．若b n ＋1＝(n －λ)⎝⎛⎭⎫1a n ＋1，b 1＝－λ，且数列{b n }是递增数列，则实数λ的取值范围为( ) A ．λ＜2 B ．λ＞3 C ．λ＞2 D ．λ＜36．A [解析] 易知1a n ＋1＝2a n ＋1，∴1a n ＋1＋1＝21a n ＋1.又a 1＝1，∴1a n ＋1＝1a 1＋12n －1＝2n ，∴b n ＋1＝(n －λ)2n ，∴b n ＋1－b n ＝(n －λ)2n－(n －1－λ)2n －1＝(n －λ＋1)2n －1>0，∴n －λ＋1＞0.又n ∈N *，∴λ<2.4．[2014·广州调研] 已知数列{a n }满足a 1＝35，a n ＋1＝3a n2a n ＋1，n ∈N *.(1)求证：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n －1为等比数列．(2)是否存在互不相等的正整数m ，s ，t ，使m ，s ，t 成等差数列，且a m －1，a s －1，a t－1成等比数列？如果存在，求出所有符合条件的m ，s ，t ；如果不存在，请说明理由．4．解：(1)证明：因为a n ＋1＝3a n 2a n ＋1，所以1a n ＋1＝13a n ＋23，所以1a n ＋1－1＝131a n －1.因为a 1＝35，所以1a 1－1＝23，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n －1是首项为23，公比为13的等比数列．(2)由(1)知，1a n －1＝23×13n －1＝23n ，所以a n ＝3n3n ＋2.假设存在互不相等的正整数m ，s ，t 满足条件，则有⎩⎪⎨⎪⎧m ＋t ＝2s ，（a s －1）2＝（a m －1）（a t－1）. 由a n ＝3n 3n ＋2与(a s －1)2＝(a m －1)(a t －1)，得3s 3s ＋2－12＝3m 3m ＋2－13t 3t ＋2－1， 即3m ＋t ＋2×3m ＋2×3t ＝32s ＋4×3s . 因为m ＋t ＝2s ，所以3m ＋3t ＝2×3s .又3m ＋3t ≥2 3m ＋t ＝2×3s ，当且仅当m ＝t 时，等号成立， 这与m ，s ，t 互不相等矛盾，所以不存在互不相等的正整数m ，s ，t 满足条件．2．[2014·景德镇质检] 已知递增数列{a n }满足a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝12(a 2n＋n )．(1)求a 1及数列{a n }的通项公式；(2)设c n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a n ＋1，n 为奇数，a n －1·2a n －1＋1，n 为偶数，求数列{c n }的前2n 项和T 2n .2．解：(1)当n ＝1时，a 1＝12(a 21＋1)，解得a 1＝1.当n ≥2时，a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n －1＝12(a 2n －1＋n －1)，a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝12(a 2n＋n )，所以a n ＝12(a 2n －a 2n －1＋1)， 即(a n －1)2－a 2n －1＝0，所以a n －a n －1＝1或a n ＋a n －1＝1(n ≥2)．又因为数列{a n }为递增数列，所以a n －a n －1＝1， 所以数列{a n }是首项为1，公差为1的等差数列， 所以a n ＝n .(2)由c n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a n ＋1，n 为奇数，a n －1·2a n －1＋1，n 为偶数，得c n ＝⎩⎪⎨⎪⎧n ＋1，n 为奇数，（n －1）2n －1＋1，n 为偶数， 则T 2n ＝(2＋4＋…＋2n )＋[1×21＋3×23＋…＋(2n －1)×22n －1]＋n ＝n (n ＋1)＋[1×21＋3×23＋…＋(2n －1)×22n －1]＋n .记S n ＝1×21＋3×23＋…＋(2n －1)×22n －1，①则4S n ＝1×23＋3×25＋…＋(2n －1)×22n ＋1.② 由①－②，得－3S n ＝2＋24＋26＋…＋22n －(2n －1)22n ＋1，＝22＋24＋26＋…＋22n －(2n －1)22n ＋1－2，所以－3S n ＝4（1－4n ）1－4－(2n －1)22n ＋1－2，所以S n ＝4（1－4n ）9＋（2n －1）22n ＋13＋23，即S n ＝（6n －5）22n ＋19＋109，故T 2n ＝（6n －5）22n ＋19＋n 2＋2n ＋109.7．[2014·福建闽南四校期末] 已知数列{a n }是公差为2的等差数列，且a 1，a 2，a 5成等比数列，则a 2的值为( )A ．3B ．－3C ．2D ．－27．A [解析] ∵a 1，a 2，a 5成等比数列，∴a 22＝a 1·a 5， ∴a 22＝(a 2－2)(a 2＋6)，解得a 2＝3.10．[2014·郑州质检] 已知各项不为0的等差数列{a n }满足a 4－2a 27＋3a 8＝0，数列{b n }是等比数列，且b 7＝a 7，则b 2b 8b 11等于( )A ．1B ．2C ．4D ．810．D [解析] 由已知，得2a 27＝a 4＋3a 8＝a 1＋3d ＋3a 1＋21d ＝4a 1＋24d ＝4(a 1＋6d )＝4a 7，∴a 7＝2或a 7＝0(舍去)，∴b 7＝2，∴b 2b 8b 11＝b 1q ·b 1q 7·b 1q 10＝b 31q 18＝(b 1q 6)3＝b 37＝8. 17．[2014·温州十校联考] 已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx 的图像过点(－4n ，0)，且f ′(0)＝2n ，n ∈N *，数列{a n }满足1a n ＋1＝f ′⎝⎛⎭⎫1a n ，且a 1＝4.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)记b n ＝a n a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和T n .17．解：(1)f ′(x )＝2ax ＋b .由题意知f ′(0)＝b ＝2n ，16n 2a －4nb ＝0，∴a ＝12，b ＝2n ，∴f (x )＝12x 2＋2nx ，n ∈N *.又数列{a n }满足1a n ＋1＝f ′1a n，f ′(x )＝x ＋2n ，∴1a n ＋1＝1a n ＋2n ， ∴1a n ＋1－1a n＝2n . 由叠加法可得1a n －14＝2＋4＋6＋…＋2(n －1)＝n 2－n ，化简可得a n ＝4（2n －1）2(n ≥2)．当n ＝1时，a 1＝4也符合上式，∴a n ＝4（2n －1）2(n ∈N *)． (2)∵b n ＝a n a n ＋1＝4（2n －1）（2n ＋1）＝212n －1－12n ＋1，∴T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1＝21－13＋13－15＋…＋12n －1－12n ＋1＝21－12n ＋1＝4n 2n ＋1.。

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