第4章向量代数与空间解析几何练习题_2

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考研数学(二)题库(高等数学)-第四章向量代数和空间解析几何【圣才出品】

x2/2＋y2/2－z2/3＝0 中，x2，y2 系数相等，则旋转轴应是 z 轴。（若三项系数均不相等，
则应选 D 项）
10．方程 x2－y2－z2＝4 表示的旋转曲面是（）。 A．柱面 B．双叶双曲面 C．锥面 D．单叶双曲面【答案】B 【解析】x2－y2－z2＝4 等价于 x2/4－（y2＋z2）/4＝1，故可将原方程表示的旋转曲面看作是将 xOy 平面 x2/4－y2/4＝1 绕 x 轴旋转一周所得的双叶双曲面。
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【解析】由a＝{3，5，－2}，b＝{2，1，4}可知 λa＋μb＝{3λ＋2μ，5λ＋μ，－2λ＋4μ}，
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又 λa＋μb与 Oz 轴垂直，则（λa＋μb）·{0，0，1}＝0，即（－2λ＋4μ）×1＝0 得 λ＝2μ。
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2．设a，b为非零向量，且a⊥b，则必有（
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A．|a＋b|＝|a|＋|b|
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第四章向量代数和空间解析几何
一、选择题
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1．若向量a＝{3，5，－2}，b＝{2，1，4}，且 λa＋μb与 Oz 轴垂直，则 λ 与 μ 的关
系为（）。
A．λ＝μ
B．λ＝－μ
C．λ＝2μ
D．λ＝3μ
【答案】C
（－7）×（－1）＋3×（－1）＝0，所以直线与平面平行。
x 3y 2z 1 0 7．设有直线 L : 2x y 10z 3 0 及平面∏：4x－2y＋z－2＝0，则直线 L（）。
A．平行于∏
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考研数学复习教程答案详解高数部分

第一篇高等数学第一章函数、极限与连续强化训练（一）一、选择题1.2.提示：参照“例1.1.5”求解。

3.4.解因选项(D)中的不能保证任意小，故选(D)5.6.7.8.9.10.二、填空题11.提示：由2cos 12sin 2xx =-可得。

12.13.提示：由1 未定式结果可得。

14.提示：分子有理化，再同除以n即可。

15.提示：分子、分母利用等价无穷小代换处理即可。

16.17.提示：先指数对数化，再利用洛必达法则。

18.19.解因()2000122(1cos )22cos 2lim lim lim lim lim 1x x x x x x x xx f x x xxx -----→→→→→⋅---=====- ()0lim lim xx x f x ae a --→→==，而()0f a =，故由()f x 在 0x =处连续可知，1a =-。

20.提示：先求极限（1∞型）得到()f x 的表达式，再求函数的连续区间。

三、解答题 21.(1)(2)提示：利用皮亚诺型余项泰勒公式处理12sin ,sin x x。

(3)(4)(5)提示：先指数对数化，再用洛必达法则。

(6)提示：请参照“例1.2.14（3）”求解。

22.23.解由题设极限等式条件得21()ln(cos )201()lim ,limln(cos )1f x x xxx x f x e e x x x+→→=+=，即 2201()1()limln(cos )lim ln(1cos 1)1x x f x f x x x x x x x→→+=+-+=，利用等价无穷小代换，得201()lim(cos 1)1x f x x x x →-+=，即230cos 1()lim()1x x f x x x→-+=，故 30()3lim 2x f x x →=。

24.提示：先指数对数化，再由导数定义可得。

25.26.28.提示：利用皮亚诺型余项泰勒公式求解。

高等数学空间解析几何与向量代数练习题与答案(优选.)

最新文件---------------- 仅供参考--------------------已改成-----------word 文本 --------------------- 方便更改空间解析几何与矢量代数小练习一填空题 5’x9=45分1、平行于向量)6,7,6(-=a 的单位向量为______________.2、设已知两点)2,0,3()1,2,4(21M M 和，计算向量21M M 的模_________________，方向余弦_________________和方向角_________________3、以点(1,3,-2)为球心，且通过坐标原点的球面方程为__________________.4、方程0242222=++-++z y x z y x 表示______________曲面.5、方程22x y z +=表示______________曲面.6、222x y z +=表示______________曲面.7、在空间解析几何中2x y =表示______________图形.二计算题 11’x5=55分1、求过点(3,0,-1)且与平面3x-7y+5z-12=0平行的平面方程.2、求平行于x 轴且过两点(4,0,-2)和(5,1,7)的平面方程.3、求过点(1,2,3)且平行于直线51132-=-=z y x 的直线方程.4、求过点(2,0,-3)且与直线⎩⎨⎧=+-+=-+-012530742z y x z y x 垂直的平面方5、已知：k i OA 3+=，k j OB 3+=，求OAB ∆的面积。

参考答案一填空题1、⎩⎨⎧⎭⎬⎫-±116,117,1162、21M M =2,21cos ,22cos ,21cos ==-=γβα,3,43,32πγπβπα=== 3、14)2()3()1(222=++-+-z y x4、以(1,-2,-1)为球心,半径为6的球面5、旋转抛物面6、圆锥面7、抛物柱面二计算题1、04573=-+-z y x2、029=--z y3、531221-=-=-z y x 4、065111416=---z y x5 219==∆S最新文件---------------- 仅供参考--------------------已改成-----------word 文本 --------------------- 方便更改赠人玫瑰，手留余香。

第4章向量代数与空间解析几何练习题_6

第4章向量代数与空间解析几何练习题_6第4章向量代数与空间解析几何练习题习题4.1一、选择题1．将平行于同一平面的所有单位向量的起点移到同一点, 则这些向量的终点构成的图形是( )（A ）直线；（B ）线段；（C ）圆；（D ）球．2．下列叙述中不是两个向量a 与b 平行的充要条件的是( )（A ）a 与b 的内积等于零；（B ）a 与b 的外积等于零；（C ）对任意向量c 有混合积0)(=abc ；（D ）a 与b 的坐标对应成比例．3．设向量a 的坐标为313, 则下列叙述中错误的是( ) （A ）向量a 的终点坐标为),,(z y x ；（B ）若O 为原点,且a =, 则点A 的坐标为),,(z y x ；（C ）向量a 的模长为222z y x ++；（D ）向量)2/,2/,2/(z y x 与a 平行．4．行列式213132321的值为( )（A ） 0 ；（B ） 1 ；（C ） 18 ；（D ） 18-．5．对任意向量a 与b , 下列表达式中错误的是( )（A ）||||a a -=；（B ）||||||b a b a +>+；（C ） ||||||b a ba ?≥?；（D ）||||||b a b a ?≥?．二、填空题1．设在平行四边形ABCD 中，边BC 和CD 的中点分别为M 和N ，且p =，q =，则BC =_______________，CD =__________________．2．已知ABC ?三顶点的坐标分别为A(0，0，2)，B(8，0，0)，C(0，8，6)，则边BC 上的中线长为______________________．3．空间中一动点移动时与点)0,0,2(A 和点)0,0,8(B 的距离相等, 则该点的轨迹方程是_______________________________________．4．设力k j i F 532++=, 则F 将一个质点从)3,1,0(A 移到)1,6,3(,B 所做的功为____________________________．5．已知)2,5,3(A , )4,7,1(B , )0,8,2(C , 则=?_____________________;=?____________________;ABC ?的面积为_________________．三、计算题与证明题1．已知1||=a , 4||=b , 5||=c , 并且0=++c b a ．计算a c c b b a ?+?+?．2．已知3||=?b a , 4||=?b a , 求||||b a ?．3．设力k j i F 532++-=作用在点)1,6,3(A , 求力F 对点)2,7,1(,-B 的力矩的大小．4．已知向量x 与)2,5,1(,-a 共线, 且满足3=?x a , 求向量x 的坐标．5．用向量方法证明, 若一个四边形的对角线互相平分, 则该四边形为平行四边形．6．已知点)7,8,3(A , )3,2,1(--B 求线段AB 的中垂面的方程．7．向量a ,b ,c , 具有相同的模, 且两两所成的角相等, 若a , b 的坐标分别为)1,1,0()0,1,1(和, 求向量c 的坐标．8．已知点)1,6,3(A , )1,4,2(-B , )3,2,0(-C , )3,0,2(--D ，(1)求以AB , AC , AD 为邻边组成的平行六面体的体积． (2)求三棱锥BCD A -的体积． (3)求BCD ?的面积． (4)求点A 到平面BCD 的距离．习题4.2一、选择题1．下列平面方程中与向量)5,3,2(a 垂直的平面是（）（A ）1532=++z y x ；（B ） 0532=++z y x ；（C ） 30532=++z y x ；（D ） 1532=++z y x ． 2．下列向量中与平面1543=-+x y x 平行的是（）（A ）)4,5,0(-C ；（B ）)5,4,3(-C ；（C ）)4,5,0(C ；（D ）)5,4,3(--C ．3．下列叙述中错误的是（）（A ）若已知平面α的一个法向量)4,2,1(-a 与α上一点)1,5,3(A , 就能确定平面α的方程；（B ）若向量)4,2,1(-a 平行于平面α且点)1,5,3(A , )7,6,2(B 在α上, 则能确定平面α的方程；（C ）若已知点)3,2,1(A , )0,5,2(-B , )9,,4,7(-C 在平面α上, 则能确定平面α的方程；（D ）若已知平面α与三条坐标轴的交点分别为)0,0,3(X , )0,2,0(-Y , )5,0,0(-Z , 则能确定平面α的方程．4．下列两平面垂直的是( )（A ）632=-+z y x 与1642=-+z y x ；（B ） 632=-+z y x 与12642=-+z y x ；（C ）632=-+z y x 与1321=+-+-z y x ；（D ） 632=-+z y x 与12=++-z y x ． 5．原点)0,0,0(O 到平面632=++z y x 的距离是( )（A ） 52；（B ） 7143；（C ） 6；（D ） 1．二、填空题1．垂直于向量)0,5,2(-a 且到点)0,5,2(-A 的距离为5的平面的方程是______________________或者__________________________．2．经过原点)0,0,0(O 与)0,5,2(-B 且平行于向量)1,4,2(a 的平面的方程是_________________．3．平面035x 3y 2x =++与三坐标轴分别交于点（A ）、（B ）、（C ），则Δ（A ）（B ）（C ）的面积为_________________．4．一动点移动时与)0,4,4(A 及坐标平面xOy 等距离，则该点的轨迹方程为________________．5．通过Z 轴和点)22,13,9(A 的平面的方程是________________________．三、计算题与证明题1．求经过点)1,2,3(A 和)3,2,1(--B 且与坐标平面xOz 垂直的平面的方程．2．求到两平面0623:=-+-z y x α和1152:=+-+z y x β距离相等的点的轨迹方程．3．已知原点到平面α的距离为120, 且α在三个坐标轴上的截距之比为5:6:2-, 求α的方程．4．若点)1,0,2(-A 在平面α上的投影为)1,5,2(-B , 求平面α的方程．5．已知两平面02467:=--+z y mx α与平面0191132:=-+-z my x β相互垂直，求m 的值．6．已知四点)0,0,0(A , )3,5,2(,-B , )2,1,0(-C , )7,0,2(D , 求三棱锥ABC D -中ABC 面上的高．7．已知点A 在z 轴上且到平面014724:=+--z y x α的距离为7, 求点A 的坐标．8．已知点．A 在z 轴上且到点)1,2,0(-B 与到平面9326:=+-z y x α的距离相等, 求点A 的坐标．习题4.3一、选择题1．下列直线中与直线?-=+-=+-1320532z y x z y x 平行的是( ) （A ） 13151-=-=-z y x ；（B ） =--+=-++0272082z y x z y x ；（C ） 31321z y x =--=-；（D ） =-+=-+01205z x y x ． 2．下列平面中与直线21232-=-+=-z y x 垂直的是( ) （A ） 01245=-+-z y x ；（B ）062=---z y x ；（C ） 01123=+--z y x ；（D ） 01723=-++z y x ．3．直线:1l 21232-=-+=-z y x 与直线3213162:2-+=--=-z y x l 的位置关系是( ) （A ）重合；（B ）平行；（C ）相交；（D ）异面．4．与平面0105:=-+-z y x α垂直且经过点)1,2,1(--A 的直线的方程是( )（A ） ?=+-+=-+-03320105z y x z y x ；（B ）=+-+-=-+-020********z y x z y x ；（C ） 115211+=-+=-z y x ；（D ） 5 11251-+=+=--z y x ． 5．与直线111211:+=+=-z y x l 平行且经过点)2,5,2(A 的直线是( ) （A ）121512+=+=+z y x ；（B ） 121512-=-=-z y x ；（C ） 327512+=+=+z y x ；（D ） 3 27512-=-=-z y x ．二、填空题1．直线01243:z y x l =-=+与平面011:=-+-z y x α的夹角是_________________．2．经过)1,2,3(-P 且平行于z 轴的直线方程是___________________________________．3．已知ΔABC 三顶点的坐标分别为2,0,2(-A , )6,2,2(-B ，（C ）(0，8，6)，则平行于BC 的中位线的直线方程为_____________________________________________．4．经过直线?=+-+=-+-01720103z y x z y x 与点)1,0,2(-A 的平面的方程是__________________． 5．经过原点)0,0,0(O 且与直线12111-+==-z y x 和01111+=--=z y x 都垂直的直线的方程是__________________________________．三、计算题与证明题1．求经过点)0,2,1(-P 且与直线011111-=-=-z y x 和0111+=-=z y x 都平行的平面的方程．2．求通过点P(1，0，-2)，而与平面3x-y+2z-1=0平行且与直线12341z y x =--=-相交的直线的方程．3．求通过点)0,0,0(A )与直线141423-=+=-z y x 的平面的方程．4．求点)0,1,1(-P 到直线01112+=-=-z y x 的距离．5．λ取何值时直线??=--+=-+-01540623z y x z y x λ与z 轴相交?6．平面01=+++z y x 上的直线l 通过直线1l ：?=++=+0102z y z x 与此平面的交点且与 1l 垂直, 求l 的方程．7．求过点)25,3(-且与两平面34=-z x 和13=+-z y x 平行直线方程．8．一平面经过直线（即直线在平面上）l ：41235z y x =-=+，且垂直于平面015=+-+z y x ，求该平面的方程．习题4.4一、选择题1．下列曲面中不是关于原点中心对称的是（）（A ）椭球面: 1222222=++c z b x a y ；（B ）单叶双曲面: 1222222=-+cz b x a y ；（C ）双叶双曲面: 1222222=--cz b x a y ；（D ）椭圆抛物面: pz b x a y 22222=+． 2．母线平行于z 轴，准线为曲线==++32534222z z y x 的柱面的方程是( )（A ）163422=+y x ；（B ）2534222=++z y x ；（C ）434=+y x ；（D ）22234z y x =+．3．将坐标平面xOy 上的曲线363222=-y x 绕y 轴旋转得到的旋转面的方程是( )（A ） 36232222=+-z y x ；（B ）36332222=+-z y x ；（C ） 36332222=--z y x ；（D ）36332222=++z y x ．4．曲线1543222222=-+z y x 与平面4=y 相交,得到的图形是( ) （A ）一个椭圆．；（B ）一条双曲线；（C ）两条相交直线；（D ）一条抛物线．5．下列曲面中与一条直线相交, 最多只有两个交点的图形是( )（A ）椭球面；（B ）单叶双曲面；（C ）柱面；（D ）锥面．二、填空题1．经过原点与(4，0，0)，(1，3，0)，(0，0，-4)的球面的方程为__________________________．2．坐标平面xoz 上的曲线091022=+-+z z x 绕坐标轴z 轴旋转一周得到的曲面的方程是___________________________________________． 3．母线平行于z 轴, 准线为?==+25422z z y x 的柱面的方程是_____________________． 4．顶点在原点且经过圆==+1422z y x 的圆锥面的方程是________________________．5．经过轴z , 且与曲面4)5(222=+-+z y x 相切的平面的方程是____________．三、计算题与证明题1．一动点P 到定点)0,0,4(-A 的距离是它到)0,0,2(B 的距离的两倍, 求该动点的轨迹方程．2．已知椭圆抛物面的顶点在原点，xOy 面和xOz 面是它的两个对称面，且过点(6，1，2)与(1，1/3，-1), 求该椭圆抛物面的方程．3．求顶点为)0,0,0(o ，轴与平面x+y+z=0垂直，且经过点)1,2,3()的圆锥面的方程．4．已知平面α过z 轴, 且与球面0411086222=++--++z y x z y x 相交得到一个半径为2的圆, 求该平面的方程．5．求以轴为母线z , 直线?==11y x 为中心轴的圆柱面的方程．6．求以轴为母线z , 经过点)7,3,6()2,2,4(,-B A 以及的圆柱面的方程7．根据k 的不同取值, 说明1)1()4()9(222=-+-+-z k y k x k 表示的各是什么图形．8．已知椭球面1222=++Z z Y y X x 经过椭圆==+.0,116922z y x 与点)23,2,1(A , 试确定Z Y X ,,的值．复习题四一、选择题1．将下列列向量的起点移到同一点, 终点构成一个球面的是 ( )（A ）平行于同一平面的单位向量；（B ）平行于同一直线的单位向量；（C ）平行于同一平面的向量；（D ）空间中的所有单位向量．2．下列叙述中不是两个向量a 与b 平行的充分条件的是 ( )（A ）0||||=?b a ；（B ）a 与b 的内积等于零；（C ）对任意向量c 有混合积0)(=abc ；（D ）a 与b 的坐标对应成比例．3．行列式963852741的值为 ( )（A ） 0 ；（B ） 1 ；（C ） 3 ；（D ） 3-．4．下列向量中与平面0112=-+-z y x 平行的是（）（A ）)2,1,1(-C ；（B ）)2,1,1(--C ；（C ）)2,5,1(C ；（D ）)2,5,1(--C5．下列两平面垂直的是 ( )（A ） 063=---z y x 与012622=+--z y x ；（B ） 063=---z y x 与018=++-z y x ；（C ） 063=---z y x 与012=++-z y x ；（D ） 063=---z y x 与1266=--z y x ． 6．原点)0,0,0(o 到平面2=x 的距离是 ( )（A ）2；（B ）4；（C ）22；（D ） 22． 7．下列平面中与直线231231--=-+=+z y x 垂直的是 ( ) （A ）01245=-+-z y x ；（B ）062=---z y x ；（C ） 1362=--z y x ；（D ）01723=-++z y x ． 8．直线=--+=+-+01711801153:1z y x z y x l 与直线326:2-=-=z y x l 的位置关系是 ( ) （A ）重合；（B ）平行；（C ）相交；（D ）异面．9．下列曲面中不是关于原点中心对称的是（）（A ）长型型旋转椭球面: )(1222222b a b z b x a y >=++；（B ）单叶旋转双曲面: 1222222=-+bz a x a y ；（C ）双叶旋转双曲面: 1222222=--bz b x a y ；（D ）椭圆抛物面: z y x =+22． 10．曲线1352222222=-+z y x 与平面3=z 相交,得到的图形是 ( ) （A ）一个椭圆；（B ）一条双曲线；（C ）两条相交直线；（D ）一条抛物线．二、填空题1．设在平行四边形ABCD 中，对角线AC 交BD 于点O ，且p AO =，q =，则AB =_______________，=__________________．2．已知ABC ?三顶点的坐标分别为A(0，0，2)，B(8，0，0)，C(0，8，6)，则边BC 上高的长为______________________．3．设力k j i F ++-=32, 则F 将一个质点从)3,1,1(-A 移到)1,0,3(-B 所做的功为____________________________．4．平面632+--z x 与三坐标轴分别交于点A 、B 、C ，则三棱锥ABC O -的体积为_________________ 5 ．通过x 轴且到点)4,1,3(,-P 的距离为2的平面的方程是________________________．6．经过点)1,2,3(A 和)3,2,1(--B 且与平面xoz 垂直的平面的方程．为_________________7．经过直线=++=-+-0140632y x z y x 与点)1,1,1-A 的平面的方程是__________________．8．经过原点)0,0,0(o 且与直线12111-+==--z y x 和01111+=--=z y x 都垂直的直线的方程是__________________________________．9．球面0100262222=---+++z y x z y x 的半径是__________________________． 10．母线平行于y 轴, 准线为==+2 22y z y x 的柱面的方程是______________________．三、计算题与证明题1．已知2||=a , 7||=b , 5||=c , 并且0=++c b a ．计算a c c b b a ?+?+?．2．设力k j i F 23-+-=作用在原点点, 求力F 对点)1,0,2(-B 的力矩的大小．3．已知点)4,1,0(A , )0,3,2(-B 求线段AB 的中垂面的方程．4．已知平面α与三个坐标轴的交点分别为C B A ,,且ABC O -的体积为80, 又α在三个坐标轴上的截距之比为3:5:4--, 求α的方程．5．已知两平面0112:=+-+-x my x α与平面1:=--z y mx β相互垂直, ,求m 的值．6．λ取何值时直线??=+++=-+-0132012z y x z y x λ与x 轴相交?7．设圆柱面α过直线??==60:1y x l , 2100082-==+z y x l 以及z 轴, 求α的方程．8．已知球面面α的方程为0411086222=-+--++z y x z y x , 求α的与z 轴垂直相交的直径所在直线的方程．。

向量代数与空间解析几何课堂练习题参考答案

向量代数与空间解析几何课堂练习题参考答案一、填空题1．设c b a, ,为非零向量，且c b a ⨯=，a c b ⨯= ，b a c ⨯= ，则=++c b a 3 。

解：显然c b a, ,互相垂直。

∵c b c b c b c b a ),sin( ==⨯=，同理c a b =， b a c=，∴2b a b a bc b a ===，又0≠a ，∴1 1 2=⇒=b b ，同理可证1 1,==c a，故3 =++c b a 。

2．2)( =⋅⨯c b a ，则[]=+⋅+⨯+)()()( a c c b b a4 。

解：[])()]()(([)()()( a c c b b c b a a c c b b a+⋅+⨯++⨯=+⋅+⨯+)(][a c c b b b c a b a+⋅⨯+⨯+⨯+⨯=)()()()()()(a c c b a c c a a c b a +⋅⨯++⋅⨯++⋅⨯= a c b c c b a c a c c a a b a c b a ⋅⨯+⋅⨯+⋅⨯+⋅⨯+⋅⨯+⋅⨯=)()()()()()( 4)(2)()(=⋅⨯=⋅⨯+⋅⨯=c b a a c b c b a。

3．已知三角形)1 ,1 ,1(A ，)4 ,3 ,2(B ，)2 ,3 ,4(C ，则ABC ∆的面积=S 62 。

解：}3 ,2 ,1{=AB ，}1 ,2 ,3{=AC ，}4 ,8 ,4{123321--==⨯kj i AC AB ，.62)4(8)4(21222=-++-S 4．设一平面过原点及)2 ,3 ,6(-A ，且与平面824=+-z y x 垂直，则此平面方程为0322=-+z y x 。

解：}2 ,3 ,6{-=，已知平面的法向量为}2 ,1 ,4{-=，则所求平面的法向量为}3 ,2 ,2{2}6 ,4 ,4{}2 ,1 ,4{}2 ,3 ,6{1--=--=-⨯-=⨯=n ，故所求平面的方程为0)0(3)0(2)0(2=---+-z y x ，即0322=-+z y x 。

(完整版)高等数学空间解析几何与向量代数练习题与答案.doc

空间解析几何与矢量代数小练习一填空题 5 ’x9=45 分1、平行于向量a(6,7, 6) 的单位向量为______________.2、设已知两点M1( 4, 2 ,1)和 M 2 (3,0,2) ，计算向量M1M2的模_________________，方向余弦 _________________和方向角 _________________3、以点 (1,3,-2) 为球心，且通过坐标原点的球面方程为__________________.4、方程x2 y 2 z 2 2x 4 y 2z 0 表示______________曲面.5、方程x2 y2 z 表示______________曲面.6、x2 y2 z2 表示 ______________曲面 .7、在空间解析几何中y x2 表示 ______________图形 .二计算题11 ’x5=55 分1、求过点 (3,0,-1)且与平面3x-7y+5z-12=0平行的平面方程.2、求平行于x 轴且过两点 (4,0,-2)和(5,1,7)的平面方程.3、求过点 (1,2,3) 且平行于直线xy 3z 1的直线方程 .2 1 54、求过点 (2,0,-3)x 2 y 4z 7 0且与直线5 y 2z 1垂直的平面方3x 05、已知：OA i 3k ，OB j 3k ，求OAB 的面积。

1参考答案一填空题1、6 ,7 ,611 11 112、 M 1 M 2 =2, cos1,cos2,cos1 ,2 ,3 ,2223433、 ( x 1) 2( y3) 2 ( z2) 2144、以 (1,-2,-1) 为球心 , 半径为6 的球面5、旋转抛物面6、圆锥面7、抛物柱面二计算题1、 3x 7y 5 z 4 0 2 、 9 y z 2 0 3、x 1y 2 z34、 16x 14y 11z 65 02155 S1OA OB 19222。

向量代数与空间解析几何习题册

向量代数与空间解析几何习题6-1 向量及其线性运算一、填空题1、已知点A（-4，-2，1），B（1，-5，-3），C（-1，0，0），D（1，0，2），E（0，0，3），则点B（1，-5，-3）在第________卦限，点_______为zox坐标面上的点，点_______为x轴上的点，点_______既在yoz坐标面上也在zox坐标面上；2、点P（-3，2，-1）关于xoy坐标面的对称点是_______，关于yoz面的对称点是_______，关于zox 坐标面的对称点是_______，关于x的对称点是_______，关于y轴的对称点是_______，关于z轴的对称点是_______，关于原点的对称点是_______。

二、已知A（1，0，2）、B（4，5，10）、C（0，3，1）、D（2，-1，-6）和→→→→-+=kjim45求：1、向量→→→→-+=mCDABa34在三坐标轴上的投影及分向量；2、→a的模；3、3、→a的方向余弦；4、与→a平行的两个单位向量；5、求A与C两点之间的距离。

三、已知两向量→a=（λ，5，-1），→b=（3,1,μ）平行，求λ,μ的值。

四、从点A（2,-1,7）沿→→→→-+=kjja1298的方向取|→AB|=34，求点B的坐标。

五、如果平面上一个四边形的对角全互相平分，试用向量知识证明它是平行四边形。

习题6-2 向量的数量积向量积一、是非题1、0=•→→b a ，则→a =→0或→→=0b ；2、→→→=⨯0b a ，则→a =→0或→→=0b ；3、若→→→→•=•c a b a 且→→≠0a ，则→b =→c ；4、若→→≠0a ，→→≠0b 则2222a b a b a b →→→→→→⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯+•= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭； 5、若→→≠0a ，→→≠0b ，→→≠0c 且→→→→⨯=⨯c b c a 则→a =→b ；6、→→→→•=•b a b a =→→→→•=•b b a a ；7、→→→→⨯=⨯a b b a ；8、向量→→⨯b a 既垂直于→a 也垂直于→b 。

第4章向量代数与空间解析几何练习题_3

3．母线平行于轴, 准线为的柱面的方程是
_____________________．
4．顶点在原点且经过圆的圆锥面的方程是
________________________．
5．经过, 且与曲面相切的平面的方程是____________．
三、计算题与证明题
1．一动点到定点的距离是它到的距离的两倍, 程．
复习题四
一、选择题
1．将下列列向量的起点移到同一点,
终点构成一个球面的是
()
（A）平行于同一平面的单位向量；（B）平行于同一直线的单位
向量；
（C）平行于同一平面的向量；（D）空间中的所有单位向量．
2．下列叙述中不是两个向量与平行的充分条件的是
(
)
（A）；（B）与的内积等于零；
（C）对任意向量有混合积；（D）与的坐标对应成比例．
3．设向量的坐标为, 则下列叙述中错误的是( )
（A）向量的终点坐标为；（B）若为原点,且, 则点的坐标为；
（C）向量的模长为；（D）向量与平行．
4．行列式的值为( )
（A） 0 ；（B） 1 ；（C） 18 ；（D）．
5．对任意向量与, 下列表达式中错误的是( )
（A）与；（B）与；
（C）与；（D）与．
5．原点到平面的距离是( )
（A）；（B）；（C）；（D） 1．
二、填空题
1．垂直于向量且到点的距离为5的平面的方程是 ______________________或者__________________________．
2．经过原点与且平行于向量的平面的方程是_________________． 3．平面与三坐标轴分别交于点（A）、（B）、（C），则Δ（A）（B）（C）的面积为_________________． 4．一动点移动时与及坐标平面等距离，则该点的轨迹方程为 ________________． 5．通过轴和点的平面的方程是________________________．

空间解析几何与向量代数证明题

空间解析几何与向量代数证明题
空间解析几何与向量代数是数学中重要的分支之一，它们在研究空间中的点、线、面以及其间的关系和性质时起到了关键作用。

以下是一些与空间解析几何与向量代数相关的证明题。

1. 证明平面中的两条直线平行的充分必要条件是它们的法向量平行。

2. 证明两个向量的线性组合在平面上形成一个平行四边形。

3. 证明两个向量的点积为零的充分必要条件是它们垂直。

4. 证明平面上的三个点共线的充分必要条件是它们的向量共线。

5. 证明三个向量共面的充分必要条件是它们的混合积为零。

6. 证明空间中两个平面垂直的充分必要条件是它们的法向量垂直。

7. 证明四个向量共面的充分必要条件是它们的行列式为零。

8. 证明两条直线在平面上相交的充分必要条件是它们的方向向量不
平行。

这些证明题涉及到了空间解析几何与向量代数中的重要概念和性质，如向量的线性组合、点积、混合积、法向量等。

通过解答这些题目，可以加深对空间解析几何与向量代数的理解，提高证明能力和问题解决能力。

向量代数与空间解析几何相关概念和例题

空间解析几何与向量代数向量及其运算目的：理解向量的概念及其表示；掌握向量的运算，了解两个向量垂直、平行的条件；掌握空间直角坐标系的概念，能利用坐标作向量的线性运算；重点与难点重点：向量的概念及向量的运算。

难点：运算法则的掌握过程：一、向量既有大小又有方向的量称作向量通常用一条有向线段来表示向量，有向线段的长度表示向量的大小.有向线段的方向表示向量的方向•向量的表示方法有两种：a、AB向量的模：向量的大小叫做向量的模，向量a、AB的模分别记为|a'|、|AB| .单位向量：模等于1的向量叫做单位向量.零向量：模等于0的向量叫做零向量.记作0规定：0方向可以看作是任意的，相等向量：方向相同大小相等的向量称为相等向量平行向量(亦称共线向量)：两个非零向量如果它们的方向相同或相反.就称这两个向量平行记作a // b规定：零向量与任何向量都平行，二、向量运算向量的加法向量的加法：设有两个向量a与b.平移向量使b的起点与a的终点重合.此时从a 的起点到b的终点的向量c称为向量a与b的和.记作a+b .即c=a+b .当向量a与b不平行时.平移向量使a与b的起点重合.以a、b为邻边作一平行四边形从公共起点到对角的向量等于向量a与b的和a b向量的减法：设有两个向量a与b .平移向量使b的起点与a的起点重合.此时连接两向量终点且指向被减数的向量就是差向量。

T T T T TAB =AO OB =0B -CA .2、向量与数的乘法向量与数的乘法的定义：向量a与实数，的乘积记作 a .规定■ a是一个向量.它的模它的方向当■ >0时与a相同.当■ <0时与a相反，(1) 结合律，(七)=±a)=C；L)a ；(2) 分配律(kj a = 'a；'(a b) =■ a …b例1在平行四边形ABCD中.设AB =a . AD二b试用a和b表示向量MA’、MB’、MC‘、MD .其中M是平行四边形对角线的交点----- ■> ----- i ---- i A解：a 〜b = AC = 2 AM 于是MA = （a 亠b）,因为MC —MA” .所以MC =1（a b）.又因 T b = BD =2 MD .所以MD =2（b_a）.由于MB =—MD“ .所以MB‘=2（a—b）.定理1设向量a式0.那么.向量b平行于a的充分必要条件是：存在唯一的实数，.使b二，a,三、空间直角坐标系过空间一个点O,作三条互相垂直的数轴，它们都以O为原点。

第四章解析几何与向量代数(厦门理工作业答案)

高等数学练习题第四章空间解析几何与向量代数系专业班姓名学号4.1 向量及其线性运算（1）一．选择题1．定点)1,3,2(--A 与)1,3,2(-B 对称的坐标面为 [ C ] （A ）xOy 坐标面（B ）yOz 坐标面（C ）zOx 坐标面（D ）y 轴对称 2．两点)2,2,1(A 与)1,0,1(-B 的距离为 [ B ] （A ）1 （B ）3 （C ）13 （D ）4 3．非零向量 a 和b ，若满足| a –b |=| a | + |b | ，则 [ C ] （A ）a , b 方向相同（B ）a , b 互相垂直（C ）a , b 方向相反（D ）a , b 平行4．已知向量 a = }1,5,3{-, b ={2 ,2 ,3 },则2a –3b 为 [ C ] （A ）{0,12,11} （B ）{16,12,3} （C ）{11,4,0-} （D ）{11,14,4} 二．填空题：1．求出点)5,3,4(-A 到坐标y 2．一个向量的终点在点)7,1,2(-B 它在坐标轴上的投影顺次是4， 4- 和 7，这个向量的起点A 三．解下列各题：1．求向量a =21M M 的模、方向余弦和方向角。

已知M 1(1,2,4 ) , M 2(3 ,0 ,2 )。

解：)1,2,1(1221--=-==OM OM M M a 2121=++=∴cos x a α==-12，cos y a β==-22，cos z a γ==12 所以方向角为 3,43,32πγπβπα===2．求向量a =→→→+-k j i 532的模，并用单位向量 a o 表达向量a 。

解： (=+=22a ∴=038a a3．设向量r 的模是4，它与轴u 的夹角是60o , 求r 在轴u 上的投影。

解： ()cos u r r •ϕ=⋅=⨯=1422所以r 在轴u 上的投影为2。

4．证明以三点A(4 ,1 ,9) , B(10 ,1- ,6) ,C(2 ,4 ,3) 为顶点的三角形是等腰直角三角形解： )3,2,6(--=-=OA OB AB )6,3,2(--=-=OA OC AC )3,5,8(--=-=OB OC BC2792564,79436==++==++==∴所以以三点A(4 ,1 ,9) , B(10 ,1- ,6) ,C(2 ,4 ,3) 为顶点的三角形是等腰直角三角形高等数学练习题第四章空间解析几何与向量代数系专业班姓名学号4.1 数量积向量积（2）一．选择题1．判断向量→a =→→→++k j i 23和→b =→→-j i 32位置是 [ B ] （A ）平行（B ）垂直（C ）相交（D ）以上都不是。

空间解析几何与向量代数习题课12882共40页

( a x b x ) i ( a y b y ) j ( a z b z ) k
a (a x , a y, a z)
(a x ) i (a y ) j (a z ) k
向量模长的坐标表示式 |a |ax2ay2a z2
向量方向余弦的坐标表示式
cos
ax
ax2ay2az2
它们距离为
M 1 M 2 x 2 x 1 2 y 2 y 1 2 z 2 z 1 2
2、曲面
曲面方程的定义：
如果曲面 S与三元方程 F(x,y,z)0有下述关系：
(1) 曲面S上任一点的坐标都满足方程； ( 2 ) 不在曲面 S 上的点的坐标都不满足方程；
一般方程参数方程一般方程
曲线
直线
曲面
平面
旋转曲面柱面二次曲面
参数方程对称式方程点法式方程一般方程
1、空间直角坐标系
z竖轴
空间的点
定点 o•
横轴 x
y纵轴
(x,y,z)
有序数组
z
空
间
直
角
o
坐
y
标
x
系
共有一个原点,三个坐标轴,三个坐标面,八个卦限.
两点间距离公式: 设 M 1 (x 1,y 1,z1)、 M 2(x 2,y 2,z2)为空间两点
a b c a b d
b
a
Hale Waihona Puke a b c a b d (3) 向量与数的乘法：
设是一个数，向量 a 与的乘积 a 规定为
(1)0, a 与 a 同向， |a | |a |

向量代数及空间解析几何习题

1. | r | {cos ,cos ,cos } 求向量 : 2.用坐标表达式{ x , y , z } 3.用已知的向量表示
例：向量d 垂直于a {2, 3, 1}和b {1, 2, 3} 且与c {2, 1,1}的数量积为 6, 求向量d . 解: 由条件得 d // a b 设d (a b )
例：已知向量a 3i j 5k , b i 2 j 3k , 求向量p 使得p与z轴垂直，且a p=9，b p 4 解: 设p xi yj zk z =0 p k =0 得 3x y 5 z =9 由条件 p a =9 x 2 y 3 z =4 p b =4 z =0 22 22 3 得 x= p i j P16, 6 7 7 7 3 y= 7
例：设a 3i 5 j 2k , b 2i j 4k , 求的值，使得(1) a b与z轴垂直； (2) a b与a 垂直，并证明此时 | a b | 取最小值. 解:(1) 只需( a b ) k 0 由( a b ) k 2 4 0得 2 2 (2) ( a b ) a a a b 38 3 3 令( a b ) a 0得 38 2 2 2 | a b | ( a b ) ( a b ) a 2 a b b
0 3 3 3 27 (b )a a (1,1, 9) ( , , ) 83 83 83 83
例(0530)：设a , b , c 具有相同的模且两两所成角相等, 若a (1,1, 0), b (0,1,1), 求c 解: 设c ( x, y, z ) a b | a || b | cos(a , b ) x y 1 由条件可知a c b c a b 得 yz 1 又 | c | 2 得x 2 y 2 z 2 2 x y1 x y 1 2 所以 yz 1 2 x y2 2 2 2 2 x y z 2 1 2 x1 1或x2 3x 2x 1 0 3 1 4 1 得c (1, 0,1)或c ( , , ) 3 3 3

向量代数和空间解析几何习题二.

向量代数和空间解析几何习题二填空题1、设向量 k j i b k j i a λ+-=+-=242（1）当 λ 为何值时，a 与b 相互垂直。

___.λ=(2)当 λ 为何值时，a 与b 相互平行。

___.λ=2、设向量 k j i b k j i a 22543+--=+-= 则 b a ,之间的夹角()___.a b ∧=3、设向量 b a ,满足{}1,1,1,3-=⨯=⋅b a b a 则()_.a b ∧=4、已知向量 a 与 k j i b 32+-= 共线（平行），并满足28=⋅b a则 _______.a =。

5、曲线 ⎪⎩⎪⎨⎧+==++)(31:222222y x z z y x L 在 xoy 平面上的投影曲线方程为____________. 6、已知曲面 2222=++z y x 和 22y x z += 它们的交线在xoy 平面上的投影曲线方程为____________.7、旋转曲面 222y x z +-=是由曲线 ________. 或 ___________. 绕z 轴旋转一周而得。

8、直线 132-==z y x L 平行于平面04=++z y x λπ 时 ____.λ=9、求点()2,2,1-M 到平面 01362=+-+z y x π的距离， ______.d =10、已知两点(4,7,1),(6,2,)A B z --间的距离为11，则z = ；11、设z 轴上的点P 到点(4,1,7)A -和(3,5,2)B -的距离相等，则点P 的坐标为；12、已知向量2,a =它与x 轴，y 轴，z 轴的夹角分别为;;362πππ，则a = ； 13、若向量{},3,2a λ=-与向量{}1,2,b λ=-相互垂直，则λ= ；14、已知3,5,6,a b a b ==+=则a b -= ；15若向量,,a b c 两两两的夹角都是,3π且4,2,6,a b c ===则a b c ++= ； 16设向量{}{},,,1,1,1,OM x y z a ==则OM a ⨯= ；17、xoy 平面上的曲线,0xy e z ⎧=⎨=⎩绕x 轴旋转的旋转面方程为； 18、柱面22y x =的母线与轴平行，其准线为；19、曲面22y x z =+是yoz 平面上的曲线绕轴旋转的旋转曲面。

第4章向量代数与空间解析几何练习题(2)

第4章向量代数与空间解析几何练习题(2)第4章向量代数与空间解析几何练习题习题4.1一、选择题1．将平行于同一平面的所有单位向量的起点移到同一点,则这些向量的终点构成的图形是()（a）直线；（b）线段；（c）圆；（d）球．2．下列叙述中不是两个向量a与b平行的充要条件的是()（a）a与b的内积等于零；（b）a与b的外积等于零；（c）对任一向量c存有混合内积(abc)?0；（d）a与b的座标对应成比例．3．设立向量a的座标为3,则下列叙述中错误的是()31（a）向量a的终点坐标为(x,y,z)；（b）若o为原点,且oa?a,则点a的坐标为(x,y,z)；222（c）向量a的模长为x?y?z；（d）向量(x/2,y/2,z/2)与a平行．1234．行列式231的值为()312（a）0；（b）1；（c）18；（d）?18．5．对任一向量a与b,以下表达式中错误的就是()（a）|a|?|?a|；（b）|a|?|b|?|a?b|；（c）|a|?|b|?|a?b|；（d）|a|?|b|?|a?b|．二、填空题1．设在平行四边形abcd中，边bc和cd的中点分别为m和n，且am?p，则bc=_______________，an?q，cd=__________________．2．已知?abc三顶点的坐标分别为a(0，0，2)，b(8，0，0)，c(0，8，6)，则边bc上的中线长为______________________．3．空间中一动点移动时与点a(2,0,0)和点b(8,0,0)的距离成正比,则该点的轨迹方程就是_______________________________________．4．设力f?2i?3j?5k,则f将一个质点从a(0,1,3)移到b(,3,6,1)所做的功为____________________________．5．未知a(3,5,2),b(1,7,4),c(2,8,0),则ab?ac?_____________________;bc?ba?____________________;?abc的面积为_________________．三、计算题与证明题1．未知|a|?1,|b|?4,|c|?5,并且a?b?c?0．排序a?b?b?c?c?a．2．已知|a?b|?3,|a?b|?4,求|a|?|b|．3．设力f??2i?3j?5k促进作用在点a(3,6,1),求力f对点b(,1,7,?2)的力矩的大小．4．已知向量x与a(,1,5,?2)共线,且满足a?x?3,求向量x的坐标．5．用向量方法证明,若一个四边形的对角线互相平分,则该四边形为平行四边形．6．已知点a(3,8,7),b(?1,2,?3)求线段ab的中垂面的方程．7．向量a,标．b,c,具备相同的模,且两两所变成的角成正比,若a,b的座标分别为(1,1,0)和(0,1,1),谋向量c的挤8．已知点a(3,6,1),b(2,?4,1),c(0,?2,3),d(?2,0,?3)，(1)(2)(3)(4)求以ab,ac,ad为邻边组成的平行六面体的体积．求三棱锥a?bcd的体积．求?bcd的面积．谋点a至平面bcd的距离．习题4.2一、选择题1．下列平面方程中与向量a(2,3,5)垂直的平面是（）xyzxyz1；（b）0；235235xyz（c）30；（d）2x?3y?5z?1．235（a）2．以下向量中与平面3x?4y?5x?1平行的就是（）（a）c(0,?5,4)；（b）c(3,4,?5)；（c）c(0,5,4)；（d）c(?3,?4,5)．3．下列叙述中错误的是（）（a）若未知平面?的一个法向量a(1,?2,4)与?上一点a(3,5,1),就能够确认平面?的方程；（b）若向量a(1,?2,4)平行于平面?且点a(3,5,1),b(2,6,7)在?上,则能够确认平面?的方程；（c）若未知点a(1,2,3),b(?2,5,0),c(7,?4,,9)在平面?上,则能够确认平面?的方程；（d）若已知平面?与三条坐标轴的交点分别为x(3,0,0),y(0,?2,0),z(0,0,?5),则能确定平面?的方程．4．下列两平面垂直的是()（a）x?2y?3z?6与2x?4y?6z?1；（b）x?2y?3z?6与2x?4y?6z?12；（c）x?2y?3z?6与xyz1；（d）x?2y?3z?6与?x?2y?z?1．?1?235．原点o(0,0,0)到平面x?2y?3z?6的距离是()（a）2314；（b）；（c）6；（d）1．57二、填空题1．旋转轴向量a(?2,5,0)且至点a(?2,5,0)的距离为5的平面的方程就是______________________或者__________________________．2．经过原点o(0,0,0)与b(?2,5,0)且平行于向量a(2,4,1)的平面的方程是_________________．3．平面2x?3y?5x?30与三坐标轴分别处设点（a）、（b）、（c），则δ（a）（b）（c）的面积为_________________．4．一动点移动时与a(4,4,0)及座标平面xoy等距离，则该点的轨迹方程为________________．5．通过z轴和点a(9,13,22)的平面的方程就是________________________．三、计算题与证明题1．谋经过点a(3,2,1)和b(?1,2,?3)且与座标平面xoz横向的平面的方程．2．求到两平面?:3x?y?2z?6?0和?:3．未知原点至平面?的距离为120,且?在三个坐标轴上的dT之比是?2:6:5,谋?的方程．4．若点a(2,0,?1)在平面?上的投影为b(?2,5,1),求平面?的方程．xyz1距离成正比的点的轨迹方程．2?515．已知两平面?:mx?7y?6z?24?0与平面?:2x?3my?11z?19?0相互垂直，求m的值．6．未知四点a(0,0,0),b(,2,?5,3),c(0,1,?2),d(2,0,7),谋三棱锥d?abc中abc面上的高．7．已知点a在z轴上且到平面?:4x?2y?7z?14?0的距离为7,求点a的坐标．8．未知点．a在z轴上且至点b(0,?2,1)与至平面?:6x?2y?3z?9的距离成正比,谋点a的座标．。

专升本高等数学二(向量代数与空间解析几何)模拟试卷2(题后含答

专升本高等数学二（向量代数与空间解析几何）模拟试卷2(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题1．设a、b为两个非零向量，λ为非零常数，若向量a+λb垂直于向量b，则λ等于( )A．B．C．1D．a．b正确答案：B解析：向量a+λb垂直于向量b，则(a+λb)．b=0，则λ=．知识模块：向量代数与空间解析几何2．设有单位向量a0，它同时与b=3i+j+4k，c=i+k垂直，则a0为( )A．B．i+j—kC．D．i－j+k正确答案：A解析：a=c×b==i+j一k，又a0为a的单位向量，故a0=．知识模块：向量代数与空间解析几何3．在空间直角坐标系中，若向量a与Ox轴和Oz轴的正向夹角分别为45°和60°，则向量a与Oy轴正向夹角为( )A．30°B．45°C．60°D．60°或120°正确答案：D解析：由cos2α+cos2β+cos2γ=1，且cosα=，所以向量a与Oy轴正向夹角为60°或120°．知识模块：向量代数与空间解析几何4．若两个非零向量a与b满足｜a+b｜=｜a｜+｜b｜，则( )A．a与b平行B．a与b垂直C．a与b平行且同向D．a与b平行且反向正确答案：C解析：｜a｜+｜b｜=｜a+b｜，(｜a｜+｜b｜)2=｜a｜2+｜b｜2+2｜a｜｜b｜=(｜a+b｜)2=｜a｜2+｜b｜2+2ab=｜a｜2+｜b｜2+2｜a｜｜b｜cos〈a，b〉，即cos〈a，b〉=1，故两向量平行，若二者反向则｜a｜+｜b｜＞｜a+b｜．不满足条件，故两向量平行且同向．知识模块：向量代数与空间解析几何5．直线( )A．过原点且与y轴垂直B．不过原点但与y轴垂直C．过原点且与y轴平行D．不过原点但与y轴平行正确答案：A解析：若直线方程为，令比例系数为t，则直线可化为本题x0=y0=z0=0说明直线过原点，又β=0，则y=0，即此直线在平面xOz内，即垂直于y轴，故选A．知识模块：向量代数与空间解析几何6．平面2x+3y+4z+4=0与平面2x－3y+4z－4=0的位置关系是( )A．相交且垂直B．相交但不重合，不垂直C．平行D．重合正确答案：B解析：2×2－3×3＋4×4=11，且两平面的法向量的对应分量不成比例，故两平面的位置关系是相交，但不垂直，不重合．知识模块：向量代数与空间解析几何7．已知三平面的方程分别为π1：x－5y+2z+1=0，π2：3x－2y+3z+1=0，π3：4x+2y+3z－9=0，则必有( )A．π1与π2平行B．π1与π2垂直C．π2与π3平行D．π1与π3垂直正确答案：D解析：三个平面的法向量分别为n1=｛1，一5，2｝，n2=｛3，一2，3｝，n3=｛4，2，3｝，n1．n2=19，n2．n3=17，n1．n3=0，故π1与π3垂直．知识模块：向量代数与空间解析几何8．平面π1：x－4y+z－2=0和平面π2：2x－2y－z－5=0的夹角为( )A．B．C．D．正确答案：B解析：平面π1的法向量，n1=｛1，一4，1｝，平面π2的法向量n2=｛2，一2，一1｝，cos〈n1，n2〉=，故〈n1，n2〉=，故选B．知识模块：向量代数与空间解析几何9．设球面方程为(x－1)2+(y+2)2+(z－3)2=4，则该球的球心坐标与半径分别为( )A．(一1，2，一3)，2B．(一1，2，一3)，4C．(1，一2，3)，2D．(1，一2，3)，4正确答案：C解析：(x－1)2+[y一(一2)]2＋(z－3)2=22，所以，该球的球心坐标与半径分别为(1，一2，3)，2．知识模块：向量代数与空间解析几何10．方程一=z在空间解析几何中表示( )A．双曲抛物面B．双叶双曲面C．单叶双曲面D．旋转抛物面正确答案：A解析：方程一=z满足双曲抛物面=z(p和q同号)的形式，故方程=z在空间解析几何中表示双曲抛物面．知识模块：向量代数与空间解析几何11．方程(z－a)2=x2+y2表示( )A．xOz面内曲线(z－a)2=x2绕y轴旋转而成B．xOz面内直线z－a=x绕z轴旋转而成C．yOz面内直线z－a=y绕y轴旋转而成D．yOz面内曲线(z－a)2=y2绕x轴旋转而成正确答案：B解析：方程(z－a)2=x2+y2形式表示旋转后的曲面方程形式是h(z，)=0，其是xOz面上的曲线z－a=x绕z轴旋转得到的曲面方程，故选B．知识模块：向量代数与空间解析几何12．下列方程在空间直角坐标系中所表示的图形为柱面的是( ) A．=y2B．z2—1=C．D．x2＋y2一2x=0正确答案：D解析：A项表示的是正锥面，B项表示的是单叶双曲面，C项表示的是椭球面，D项可写为(x－1)2+y2=1，其图形为圆柱面，故选D．知识模块：向量代数与空间解析几何填空题13．向量a=3i+4j－k的模｜a｜=________．正确答案：解析：｜a｜=．知识模块：向量代数与空间解析几何14．在空间直角坐标系中，以点A(0，一4，1)，B(一1，一3，1)，C(2，一4，0)为顶点的△ABC的面积为________．正确答案：解析：知识模块：向量代数与空间解析几何15．(a×b)2＋(a．b)2=________．正确答案：a2．b2解析：(a×b)2=｜a｜2｜b｜2sin2θ，(a．b)2=｜a｜2｜b｜2cos2θ，θ=〈a，b〉，(a×b)2+(a．b)2=｜a｜2｜b｜2=a2．b2．知识模块：向量代数与空间解析几何16．过点P(4，1，一1)且与点P和原点的连线垂直的平面方程为_________．正确答案：4z+y—z－18=0解析：由点P与原点的连线和所求平面垂直，因此就是平面的法向量．所以n=={4，1，一1}，平面又过点P，所以由点法式得平面的方程为4(x－4)+(y－1)－(z+1)=0，即4x+y一2—18=0．知识模块：向量代数与空间解析几何17．通过Oz轴，且与已知平面π：2x+y一－7=0垂直的平面方程为________．正确答案：x一2y=0解析：过Oz轴的平面方程可设为Ax+By=0(A，B不全为零)，则法向量n=｛A，B，0｝，因为所求平面与已知平面垂直，又已知平面法向量为｛2，1，｝，故可知2A+B=0，即B=一2A，因此，所求平面方程为x一2y=0．知识模块：向量代数与空间解析几何18．直线=z与平面x+2y+2z=5的交点坐标是________．正确答案：(1，1，1)解析：设=z=t，则交点Q(3t一2，一2t+3，t)，又点Q∈平面π，即3t－2＋2(－2t+3)+2t=5，解得t=1，故交点为Q(1，1，1)．知识模块：向量代数与空间解析几何19．点P(3，7，5)关于平面π：2x一6y+3z+42=0对称的点P’的坐标为________．正确答案：解析：过点P(3，7，5)且垂直于平面π：2x一6y+3z+42=0的直线方程可写为，设点P’的坐标为(2t+3，一6t+7，3t+5)，故PP’的中点坐标为(t+3，一3t+7，+5)，且该点在平面内，即2(t+3)一6(一3t+7)+3(+5)+42=0，解得t=一，故P’=．知识模块：向量代数与空间解析几何解答题20．求垂直于向量a=｛2，2，1｝与b=｛4，5，3｝的单位向量．正确答案：由向量积的定义可知，向量c=a×b是既垂直于向量a，又垂直于向量b的向量，因此为所求单位向量．由于c==i一2j+2k，因此为所求单位向量．涉及知识点：向量代数与空间解析几何21．若｜a｜=3，｜b｜=4，且向量a、b垂直，求｜(a+b)×(a一b)｜．正确答案：因为(a+b)×(a－b)=一a×b＋b×a=2b×a，所以｜(a+b)×(a－b)｜=2｜b｜｜a｜sin〈a，b〉=24．涉及知识点：向量代数与空间解析几何22．设平面π通过点M(2，3，一5)，且与已知平面x—y+z=1垂直，又与直线平行，求平面π的方程．正确答案：用一般式求之．设平面π的方程为Ax+By+Cz+D=0，则从而，平面π的方程为x一2y一3z=11．涉及知识点：向量代数与空间解析几何23．求过点A(－1，0，4)且平行于平面π：3x一4y＋z－10=0，又与直线L0：相交的直线方程．正确答案：用两点式求之．过点A(－1，0，4)与已知平面π：3x一4y+z一10=0平行的平面π1的方程为3(x+1)一4y+(z一4)=0，将直线L0的方程化为参数式并代入π1中，求得t=16．于是直线L0与平面π1的交点B为B(15，19，32)，=｛16，19，28｝，所求直线方程为．涉及知识点：向量代数与空间解析几何24．求直线与平面x—y+z=0的夹角．正确答案：因为直线的方向向量为s=｛2，3，2｝，平面的法向量为n=｛1，一1，1｝，所以直线与平面的夹角φ的正弦为sinφ=．所以φ=arcsin．涉及知识点：向量代数与空间解析几何25．求过点(2，1，1)，平行于直线且垂直于平面x+2y 一3z+5=0的平面方程．正确答案：直线的方向向量为s=｛3，2，一1｝，平面的法向量为n1=｛1，2，一3｝，s×n1==一4i+8j+4k，于是所求平面方程为(x一2)一2(y 一1)－(z－1)=0，即x一2y－z+1=0．涉及知识点：向量代数与空间解析几何26．求点(一1，2，0)在平面x+2y－z+1=0的投影点坐标．正确答案：过点(一1，2，0)且与平面x+2y－z+1=0垂直的直线方程为，所以设该垂线与平面x+2y—z+1=0的交点为Q(t一1，2t+2，一t)，即点Q就是点(一1，2，0)在平面π：x+2y－z+1=0上的投影点，由点Q ∈π，将Q(t一1，2t+2，一t)代入到平面方程中可得t－1+2(2t+2)＋t＋1=0，解之得t=一．涉及知识点：向量代数与空间解析几何27．求直线L：绕z轴旋转所得旋转曲面的方程．正确答案：设(x，y，z)是旋转曲面上任何一点，它对应于L上的点为(x0，y0，z0)，由L的参数式可得由于(x，y，z)与(x0，y0，z0)到z轴的距离相等，所以有关系式x2＋y2=x02+y02=1＋t2，另外z=z0，所以z=1+2t，t=，得x2+y2一=1，即为一单叶双曲面方程．涉及知识点：向量代数与空间解析几何。

考研数学一(向量代数与空间解析几何)-试卷2

考研数学一（向量代数与空间解析几何）-试卷2(总分：70.00，做题时间：90分钟)一、选择题(总题数：16，分数：32.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 解析：2.设a与b为非零向量，则a×b=0是 ( )（分数：2.00）A.a=b的充要条件B.a⊥b的充要条件C.a∥b的充要条件√D.a∥b的必要但不充分条件解析：解析：选项A中a=b只是a×b=0的充分条件，不是必要的；选项B中a⊥b是a.b=0的充要条件；选项D显然是错误的(只要a∥b，必有a×b=0)；选项C是正确的：如果a∥b，显然a×b=0．如果a×b=0，当a，b有一个为零向量，零向量可以平行于任何向量，故a∥b正确，当n，b都为非零向量时，由于0=｜a×b｜=｜a｜｜b｜sm(a^b)，而｜a｜≠0，｜b｜≠0，从而sin(a^b)=0，a∥b.3.若非零向量a，b满足关系式｜a—b｜=｜a+b｜，则必有 ( )（分数：2.00）A.a一b=a+bB.a=bC.a.b=0 √D.a×b=0解析：解析：｜a—b｜2 =(a一b).(a一b)=｜a｜2 +｜b｜2一2a.b，｜a+b｜2 =(a+b).(a+b)=｜a｜2 +｜b｜2 +2a.b，从｜a—b｜=｜a+b｜即知一2a.b=2a.b，4a.b=0，所以a.b=0．或者由向量加减运算的几何意义，a一b与a+b分别表示以a，b为邻边的平行四边形的两条对角线向量，而平行四边形的两对角线长度相等时，必是矩形，即知a⊥b，a.b=0．应选C．4.已知向量，且a与b ( )（分数：2.00）√解析：解析：先把a、b单位化．则易知，a 0 +b 0是a、b为边的角平分线上的向量，它的单位向量是应选D．5. ( )（分数：2.00）√解析：解析：两条平行直线之间的距离就是一直线上的点到另一直线的距离，在L 1上取点M 1(x 1，y 1，z 1 )，则M 1到L 2的距离(如图1．4—2所示) 其中M 2 (x 2，y 2，x 2 )是L 2上的点，s 2是L 2的方向向量．所以应选D．6.若a⊥b，a，b均为非零向量，x是非零实数，则有 ( )（分数：2.00）A.｜a+xb｜>｜a｜+｜x｜｜b｜B.｜a｜一xb｜<｜a｜—｜x｜｜b｜C.｜a+xb｜>｜a｜√D.｜a一xb｜<｜a｜解析：解析：｜a+xb｜2 =(a+xb).(a+xb)=｜a｜2 +2xa.b+x 2｜b｜2 =｜a｜2 +x 2｜b｜2＞｜a｜2，所以｜a+b｜xb＞｜a｜．应选C．7.已知a≠0，b≠0，c≠0，且a，b，c互相垂直，则向量r=xa+yb+zc的模为 ( )（分数：2.00）A.｜r｜=x｜a｜+y｜b｜+z｜c｜B.｜r｜=｜xa｜+｜yb｜+｜zc｜√解析：解析：｜r｜2=r.r=(xa+yb+zc).(xa+yb+zc)=x 2｜a｜2+y 2｜b｜2+z 2｜c｜2，所以选D．8.设c=αa+βb，a，b为非零向量，且a与b不平行．若这些向量起点相同，且a，b，c的终点在同一直线上，则必有 ( )（分数：2.00）A.αβ≥0B.αβ≤0C.α+β=1 √D.α2 +β2 =1解析：解析：依题意，αa+βb一b与αa+βb一a平行，从而有(αa+βb－b)×(αa+βb一α)=0，即αβa×b+αβb×a—βb×a一ab×a+b×a=0．因为a×b=一b×a，所以从上式可得(α+β)b×a=b×a．又a与b不平行，a×b≠0，故得α+β=1．应选C．9.设y(x)是微分方程y"＋(x一1)y"＋x 2y＝e x满足初始条件y(0)＝0，y"(0)＝1的解，则)．（分数：2.00）A.等于1 √B.等于2C.等于0D.不存在解析：解析：微分方程y"＋(x一1)y"＋x 2 y＝e x中，令x＝0，则y"(0)＝2，10.二阶常系数非齐次线性微分方程y"一2y"一3y＝(2x＋1)e －x的特解形式为( )．（分数：2.00）A.(ax＋b)e －xB.x 2 e －xC.x 2 (ax＋b)e －xD.x(ax＋b)e －x√解析：解析：方程y"一2y"一3y＝(2x＋1)e －x的特征方程为λ2一2λ一3＝0，特征值为λ1＝一1，λ2＝3，故方程y"一2y"一3y＝(2x＋1)e －x的特解形式为x(ax＋b)e －x，选(D)．11.设φ1 (x)，φ2 (x)，φ3 (x)为二阶非齐次线性方程y"＋a 1 (x)y"＋a 2 (x)y＝f(x)的三个线性无关解，则该方程的通解为( )．（分数：2.00）A.C 1 [φ1 (x)＋φ2 (x)]＋C 2φ3 (x)B.C 1 [φ1 (x)一φ2 (x)]＋C 2φ3 (x)C.C 1 [φ1 (x)＋φ2 (x)]＋C 2 [φ1 (x)一φ3 (x)]D.C 1φ1 (x)＋C 2φ2 (x)＋C 3φ3 (x)，其中C 1＋C 2＋C 3＝1 √解析：解析：因为φ1 (x)，φ2 (x)，φ3 (x)为方程y"＋a 1 (x)y"＋a 2 (x)y＝f(x)的三个线性无关解，所以φ1 (x)一φ3 (x)，φ2 (x)一φ3 (x)为方程y"＋a 1 (x)y"＋a 2 (x)y＝0的两个线性无关解，于是方程y"＋a 1 (x)y"＋a 2 (x)y＝f(x)的通解为 C 1 [φ1 (x)一φ3 (x)]＋C 2 [φ2 (x)一φ3 (x)]＋φ3 (x) 即C 1φ1 (x)＋C 2φ2 (x)＋C 3φ3 (x)，其中C 3＝1一C 1一C 2或C 1＋C 2＋C 3＝1，选(D)．12.曲面x 2 +4y 2一z 2 =4与平面x+z=a的交线在yOz平面上的投影方程是 ( )（分数：2.00）√D.(a一z) 2 +4y 2 +z 2 =4解析：解析：根据题意，曲面与平面的交线在yOz平面上的投影应在yOz平面上，故x=0，因而选项B和D 不对．又曲面与平面的交线在yOz平面上的投影柱面方程应不含变量x，故选项C也不对．应选A．13.在曲线x=t，y=一t 2，z=t 3的所有切线中，与平面x+2y+z=4平行的切线( )（分数：2.00）A.只有1条B.只有2条√C.至少有3条D.不存在解析：解析：对应于t 0处曲线切线的方向向量为τ=(1，一2t 0，3t 02 )，该切线与平面x+2y+z=4平行与该平面的法向量n=(1，2，1)垂直．14.直线与直线 ( )（分数：2.00）A.垂直B.平行C.相交但不垂直√D.为异面直线解析：解析：直线L 1与直线L 2的方向向量分别为τ1 =(2，3，4)，τ2 =(1，1，2)，显然既不平行也不垂直．直线L 1与直线L 2分别过点M 1 (0，一3，0)和M 2 (1，一2，2)．混合积直线L 1与直线L 2共面→直线L 1与直线L 2相交但不垂直．15.两条平行直线[*，之间的距离为 ( )（分数：2.00）√C.1D.2解析：解析：连接直线L 1上点M 1(1，一1，0)与直线L 2上点M 2(2，一1，1)的向量为(1，0，1)，L 1的方向向量τ=(1，2，1)，则16.(1，一1，0)处的切线方程为 ( )（分数：2.00）√解析：解析：曲面x 2 +y 2 +z 2 =2在点(1，一1，0)处的法向量为n 1 =(2，一2，0)，平面x+y+z=0的法向量为n 2=(1，1，1)，于是，曲线在点(1，一1，0)处的切向量为τ=n 1×n 2 =(一2，一2，4)，故所求切线方程为二、填空题(总题数：10，分数：20.00)17.已知直线l 1和l 2的平面是 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：5x+3y-z-1=0）解析：解析：l 1，l 2的方向向量分别为s 1 =(1，一1，2)，s 2 =(-1，2，1)，过直线l 1，l 2的平面的法向量可取为在l 2上取点(1，一1，1)，故所求平面为一5(x-1)一3(y+1)+(z-1)=0．即5x+3y-z-1=0．18.设x=2a+b，y=ka+b，其中｜a｜=1，｜b｜=2，且a⊥b．若以x和y为邻边的平行四边形面积为6，则k 的值为 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：一1或5）解析：解析：以x，y19.若直线L 2：x+1=y-1=z相交，则λ= 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：[*]）解析：解析：L 1的方向向量S 1 =(1，2，λ)，L 2的方向向量s 2 =(1，1，1)，L 1上的点A(1，一1，1)，L 2上的点B(一1，1．0)．因L 1与L 2相交，故s 1，s 2与=(一2，2，一1)三向量共面，(s 1×s 2 ). 因为20.设a，b是非零向量，且｜b｜=1（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：[*]）21.两平面x一2y+2z一4=0与2x—y一2z一5=0的交角φ= 1，它们的二面角的平分面方程为 2．（分数：2.00）填空项1:__________________解析：解析：x-2y+2z-4=0的法向量可写为，n 1=(1，一2，2)，2x—y-2z-5=0的法向量，n 2=(2，一1，一2)．所以求二面角的角平分面方程的方法有多种．用平面束方程：x-2y+2z-4+λ(2x—y-2z-5)=0．即 (2λ+1)x一(λ+2)y+(2-2λ)z-4-5λ=0它与平面x-2y+2z-4=0的二面角等于它与平面2x—y-2z一5=0的二面角．由夹角公式可得｜2λ+1+2(2+λ)+2(2—2λ)｜=｜2(2λ+1)+(2+λ)-2(2-2λ)｜，即9=｜9λ｜，所以λ=±1，相应的两个平面如上所填．22.经过点M 0 (1，一1，1)并且与两直线L的方程为 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：[*]）解析：解析：L 1的方向向量取τ1 =(1，一2，1)．L 1上取一点，例如取点M 1 (0，一2，3)．M 0与M 1连线的方向向量可取τ2 =(1，1，一2)．由M 0与L 1决定的平面P 1的法向量既与τ2垂直，又与τ2垂直，所以P 1的法向量可取n 1 =τ1×τ2 =(3，3，3)=3(1，1，1)．所以P 1的方程为1(x一1)+1(y+1)+1(z一1)=0，即P 1：x+y+z一1=0．①类似地可得由M 1与L 2决定的平面P 2：2x+z一3=0．P1与P 2不平行，它们的交线就是要求的L：23.经过点A(1，0，0)与点B(0，1，1)的直线绕z轴旋转一周生成的曲面方程是 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：x 2 +y 2一2z 2一2z一1=0）解析：解析：由直线方程的两点式得直线AB的方程：x=1+t, y=一t,z=一t，得旋转曲面S的方程：x 2 +y 2 =(1一z) 2 +z 2，即为所填．24.函数u=e x—z+xy在点(2，1，0)处沿曲面e x一z+xy=3的法线方向的方向导数为 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：[*]）解析：解析：曲面e z一z+xy=3的法线方向为25.设向量α=(3，一4，2)，轴u的正向与三个坐标轴的正向构成相等的锐角，则(1)向量a在轴u上的投影为 1；(2)向量a与轴u正向的夹角(a,^u)= 2．（分数：2.00）填空项1:__________________解析：解析：设u轴上的单位向量为u 0，则u 0=(cosα，cosβ，cosγ)．由题设知cos 2α=cos 2β=cos2γ，且cos 2α+cos 2α+cos 2γ=1，故3cos 2α=1，又因α为锐角，故，则(2)26.点(1，2，3) 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：[*]）解析：解析：记点M 0 (1，2，3)，M(0，4，3)，s=(1，一3，一2)，三、解答题(总题数：7，分数：18.00)27.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

考研数学一(向量代数和空间解析几何)模拟试卷2(题后含答案及解析)

考研数学一（向量代数和空间解析几何）模拟试卷2(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．已知a，b均为非零向量，(a+3b)⊥(7a一5b)，(a一4b)⊥(7a一2b)，则向量a与b的夹角为( )A．B．C．D．正确答案：B解析：由题设知知识模块：向量代数和空间解析几何2．设a，b，c为非零向量，且a=b×c，b=c ×a，c=a×b，则｜a｜+｜b｜+｜c｜=( )A．0．B．1．C．2．D．3．正确答案：D解析：由题设知a，b，c两两相互垂直，则｜a｜=｜b×c｜=｜b｜｜c｜，｜b｜=｜a｜｜c｜，｜c｜=｜a｜｜b｜，由此可得｜a｜=｜b｜=｜c｜=1，故｜a｜+｜b｜+｜c｜=3．知识模块：向量代数和空间解析几何3．已知曲面z=4一x2一y2上点P处的切平面平行于平面2x+2y+z一1=0，则点P的坐标是( )A．(1，一1，2)．B．(一1，1，2)．C．(1，1，2)．D．(一1，一1，2)．正确答案：C解析：由面z=4一x2一y在点(x0，y0，z0)处的法线向量为(2x0，2y0，1)．由题设知，则x=y=1，代入z=4一x2一y2得z=2，故选C。

知识模块：向量代数和空间解析几何4．已知向量a，b的模分别为｜a｜=2，｜b｜=，且a.b=2，则｜a×b｜=( ) A．2．B．．C．．D．1．正确答案：A解析：知识模块：向量代数和空间解析几何5．已知直线L1：x+1=y一1=z与直线L2：相交于一点，则λ等于( ) A．0．B．1．C．一．D．．正确答案：D解析：直线：L1：x+1=y一1=z的方向向量为s1=(1，1，1)，直线L2：的方向向量为s2=(1，2，λ)．显然s1与s2不平行，则L1与L2相交于一点的充要条件是L1与L2共面，即知识模块：向量代数和空间解析几何6．直线1：之间的关系是( )A．L1∥L2．B．L1与L2相交但不垂直．C．L1⊥L2且相交．D．L1，L2是异面直线．正确答案：A解析：由题干知，知识模块：向量代数和空间解析几何7．函数f(x，y，z)=x2y3+3y2z3在点(0，1，1)处方向导数的最大值为( ) A．．B．．C．117．D．107．正确答案：B解析：函数f(x，y，z)=x2y3+3y2z3在点(0，1，1)处方向导数的最大值等于f(x，y，z)在点(0，1，1)处梯度向量的模．gradf(0，1，1)=(0，6，9)，‖g‖=，故选B．知识模块：向量代数和空间解析几何8．设可微函数f(x，y，z)在点(x0，y0，z0)处的梯度向量为g，l=(0，2，2)为一常向量，且g.l=1，则函数f(x，y，z)在点(x0，y0，z0)处沿l方向的方向导数等于( )A．B．C．D．正确答案：B解析：设l的方向余弦为cosα，cosβ，cosγ，则故选B．知识模块：向量代数和空间解析几何9．在曲线x=t，y=一t2，z=t3的所有切线中，与平面x+2y+z=4平行的切线( )A．只有一条．B．只有两条．C．至少有三条．D．不存在．正确答案：B解析：曲线x=t，y=一t2，z=t3在点t=t0处的切向量为t=(1，一2t0，3t02)．平面x+2y+z=4的法线向量为n=(1，2，1)．由题设知n上t，即1—4t0+3t02=0，则t0=1或t0=，故选B．知识模块：向量代数和空间解析几何10．设L是圆周x2+y2=1，n为L的外法线向量，u(x，y)=等于( )A．0．B．．C．π．D．一π．正确答案：B解析：(n，y)，这里的cos(n，x)，cos(n，y)为曲线L的外法线向量的方向余弦，设t为L的逆时针方向的切线向量，则cos(n，x)=cos(t，y)，COS(n，y)=—cos(f，x)，则知识模块：向量代数和空间解析几何填空题11．过(1，1，一1)，(一2，一2，2)和(1，一1，2)三点的平面方程为_________．正确答案：x一3y一2z=0解析：设已知的三个点分别是A(1，1，一1)，B(一2，一2，2)和C(1，一1，2)，因此可知向量=(0，一2，3)．平面的法向量n与以上两个向量垂直，因此n==3i一9j一6k=(3，一9，一6)，由点法式可得3(x一1)一9(y一1)一6(z+1)=0，化简得x一3y一2z=0．知识模块：向量代数和空间解析几何12．经过平面∏1：x+y+1=0与平面∏2：x+2y+2z=0的交线，并且与平面∏3：2x—y—z=0垂直的平面方程是_________．正确答案：3x+4y+2z+2=0解析：联立∏1与∏2的方程取x=0，可得点P0(0，一1，1)．由所求平面∏过点P0且π1，π2交线的方向向量s与n3=(2，一1，一1)垂直，因此故π的方程为3z+4y+2z+2=0．知识模块：向量代数和空间解析几何13．与直线厶：都平行，且经过坐标原点的平面方程是_________，正确答案：x—y+z=0解析：设所求平面方程是Ax+By+Cz+D=0，根据题意可得解得A=t，B=一t，C=t．则所求平面方程是tx—ty+tz+0=0，即x一y+z=0．知识模块：向量代数和空间解析几何14．若α∥β，α={6，3，一2}，而｜β｜=14，则β=_________．正确答案：±2{6，3，一2}解析：设β=λα，则｜β｜=｜λ｜｜α｜，即14=，解得｜λ｜=2，故β=±2{6，3，一2}．知识模块：向量代数和空间解析几何15．设(a×b).c=2，则[(a+b)×(b+c)].(c+a)=_________．正确答案：4解析：[(a+b)×(b+c)].(c+a) =[(a+b)×b].(C+a)+[(a+b)×c].(c+a) =(a×b).c+(b×c).a =(a×b).c+(a×b).c=4．知识模块：向量代数和空间解析几何16．若α，β，γ是单位向量且满足α+β+γ=0，则以α，β为边的平行四边形的面积S=_________．正确答案：解析：令=θ，则以α，β为边的平行四边形的面积为知识模块：向量代数和空间解析几何17．已知三个向量a，b，c，其中c⊥a，c⊥b，a与b的夹角为，｜a｜=6，｜b｜=｜c｜=3，则(a×b).c=_________．正确答案：±27解析：由题设可知｜a×b｜=｜a｜｜b｜sin(a，b)=6×3×=9．由于c⊥a，c⊥b，则c∥(a×b)，即c与a×b之间夹角为α=0或π．因此，(a×b).c=｜a×b｜｜c｜cosα=9×3×(±1)==±27．知识模块：向量代数和空间解析几何18．=_________。