第4章向量代数与空间解析几何练习题_2

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考研数学(二)题库(高等数学)-第四章 向量代数和空间解析几何【圣才出品】

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x2/2+y2/2-z2/3=0 中,x2,y2 系数相等,则旋转轴应是 z 轴。(若三项系数均不相等,
则应选 D 项)
10.方程 x2-y2-z2=4 表示的旋转曲面是( )。 A.柱面 B.双叶双曲面 C.锥面 D.单叶双曲面 【答案】B 【解析】x2-y2-z2=4 等价于 x2/4-(y2+z2)/4=1,故可将原方程表示的旋转曲 面看作是将 xOy 平面 x2/4-y2/4=1 绕 x 轴旋转一周所得的双叶双曲面。




【解析】由a={3,5,-2},b={2,1,4}可知 λa+μb={3λ+2μ,5λ+μ,-2λ+4μ},




又 λa+μb与 Oz 轴垂直,则(λa+μb)·{0,0,1}=0,即(-2λ+4μ)×1=0 得 λ=2μ。
→→
→→
2.设a,b为非零向量,且a⊥b,则必有(
→→


A.|a+b|=|a|+|b|
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第四章 向量代数和空间解析几何
一、选择题




1.若向量a={3,5,-2},b={2,1,4},且 λa+μb与 Oz 轴垂直,则 λ 与 μ 的关
系为( )。
A.λ=μ
B.λ=-μ
C.λ=2μ
D.λ=3μ
【答案】C
(-7)×(-1)+3×(-1)=0,所以直线与平面平行。
x 3y 2z 1 0 7.设有直线 L : 2x y 10z 3 0 及平面∏:4x-2y+z-2=0,则直线 L( )。
A.平行于∏
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考研数学复习教程答案详解高数部分

考研数学复习教程答案详解高数部分

第一篇高等数学第一章函数、极限与连续强化训练(一)一、选择题1.2.提示:参照“例1.1.5”求解。

3.4.解因选项(D)中的 不能保证任意小,故选(D)5.6.7.8.9.10.二、填空题11.提示:由2cos 12sin 2xx =-可得。

12.13.提示:由1 未定式结果可得。

14.提示:分子有理化,再同除以n即可。

15.提示:分子、分母利用等价无穷小代换处理即可。

16.17.提示:先指数对数化,再利用洛必达法则。

18.19.解因()2000122(1cos )22cos 2lim lim lim lim lim 1x x x x x x x xx f x x xxx -----→→→→→⋅---=====- ()0lim lim xx x f x ae a --→→==, 而()0f a =,故由()f x 在 0x =处连续可知,1a =-。

20.提示:先求极限(1∞型)得到()f x 的表达式,再求函数的连续区间。

三、 解答题 21.(1)(2)提示:利用皮亚诺型余项泰勒公式处理12sin ,sin x x。

(3)(4)(5)提示:先指数对数化,再用洛必达法则。

(6)提示:请参照“例1.2.14(3)”求解。

22.23.解 由题设极限等式条件得21()ln(cos )201()lim ,limln(cos )1f x x xxx x f x e e x x x+→→=+=, 即 2201()1()limln(cos )lim ln(1cos 1)1x x f x f x x x x x x x→→+=+-+=, 利用等价无穷小代换,得201()lim(cos 1)1x f x x x x →-+=,即230cos 1()lim()1x x f x x x→-+=, 故 30()3lim 2x f x x →=。

24.提示:先指数对数化,再由导数定义可得。

25.26.28.提示:利用皮亚诺型余项泰勒公式求解。

高等数学 空间解析几何与向量代数练习题与答案(优选.)

高等数学 空间解析几何与向量代数练习题与答案(优选.)

最新文件---------------- 仅供参考--------------------已改成-----------word 文本 --------------------- 方便更改空间解析几何与矢量代数小练习一 填空题 5’x9=45分1、 平行于向量)6,7,6(-=a 的单位向量为______________.2、 设已知两点)2,0,3()1,2,4(21M M 和,计算向量21M M 的模_________________, 方向余弦_________________和方向角_________________3、以点(1,3,-2)为球心,且通过坐标原点的球面方程为__________________.4、方程0242222=++-++z y x z y x 表示______________曲面.5、方程22x y z +=表示______________曲面.6、222x y z +=表示______________曲面.7、 在空间解析几何中2x y =表示______________图形.二 计算题 11’x5=55分1、求过点(3,0,-1)且与平面3x-7y+5z-12=0平行的平面方程.2、求平行于x 轴且过两点(4,0,-2)和(5,1,7)的平面方程.3、求过点(1,2,3)且平行于直线51132-=-=z y x 的直线方程.4、求过点(2,0,-3)且与直线⎩⎨⎧=+-+=-+-012530742z y x z y x 垂直的平面方5、已知:k i OA 3+=,k j OB 3+=,求OAB ∆的面积。

参考答案一 填空题1、⎩⎨⎧⎭⎬⎫-±116,117,1162、21M M =2,21cos ,22cos ,21cos ==-=γβα,3,43,32πγπβπα=== 3、14)2()3()1(222=++-+-z y x4、以(1,-2,-1)为球心,半径为6的球面5、旋转抛物面6、 圆锥面7、 抛物柱面二 计算题1、04573=-+-z y x2、029=--z y3、531221-=-=-z y x 4、065111416=---z y x5 219==∆S最新文件---------------- 仅供参考--------------------已改成-----------word 文本 --------------------- 方便更改赠人玫瑰,手留余香。

第4章向量代数与空间解析几何练习题_6

第4章向量代数与空间解析几何练习题_6

第4章向量代数与空间解析几何练习题_6第4章向量代数与空间解析几何练习题习题4.1一、选择题1.将平行于同一平面的所有单位向量的起点移到同一点, 则这些向量的终点构成的图形是( )(A )直线;(B )线段;(C )圆;(D )球.2.下列叙述中不是两个向量a 与b 平行的充要条件的是( )(A )a 与b 的内积等于零;(B )a 与b 的外积等于零;(C )对任意向量c 有混合积0)(=abc ;(D )a 与b 的坐标对应成比例.3.设向量a 的坐标为313, 则下列叙述中错误的是( ) (A )向量a 的终点坐标为),,(z y x ;(B )若O 为原点,且a =, 则点A 的坐标为),,(z y x ;(C )向量a 的模长为222z y x ++;(D )向量)2/,2/,2/(z y x 与a 平行.4.行列式213132321的值为( )(A ) 0 ;(B ) 1 ;(C ) 18 ;(D ) 18-.5.对任意向量a 与b , 下列表达式中错误的是( )(A )||||a a -=;(B )||||||b a b a +>+;(C ) ||||||b a ba ?≥?;(D )||||||b a b a ?≥?.二、填空题1.设在平行四边形ABCD 中,边BC 和CD 的中点分别为M 和N ,且p =,q =,则BC =_______________,CD =__________________.2.已知ABC ?三顶点的坐标分别为A(0,0,2),B(8,0,0),C(0,8,6),则边BC 上的中线长为______________________.3.空间中一动点移动时与点)0,0,2(A 和点)0,0,8(B 的距离相等, 则该点的轨迹方程是_______________________________________.4.设力k j i F 532++=, 则F 将一个质点从)3,1,0(A 移到)1,6,3(,B 所做的功为____________________________.5.已知)2,5,3(A , )4,7,1(B , )0,8,2(C , 则=?_____________________;=?____________________;ABC ?的面积为_________________.三、计算题与证明题1.已知1||=a , 4||=b , 5||=c , 并且0=++c b a .计算a c c b b a ?+?+?.2.已知3||=?b a , 4||=?b a , 求||||b a ?.3.设力k j i F 532++-=作用在点)1,6,3(A , 求力F 对点)2,7,1(,-B 的力矩的大小.4.已知向量x 与)2,5,1(,-a 共线, 且满足3=?x a , 求向量x 的坐标.5.用向量方法证明, 若一个四边形的对角线互相平分, 则该四边形为平行四边形.6.已知点)7,8,3(A , )3,2,1(--B 求线段AB 的中垂面的方程.7.向量a ,b ,c , 具有相同的模, 且两两所成的角相等, 若a , b 的坐标分别为)1,1,0()0,1,1(和, 求向量c 的坐标.8.已知点)1,6,3(A , )1,4,2(-B , )3,2,0(-C , )3,0,2(--D ,(1)求以AB , AC , AD 为邻边组成的平行六面体的体积. (2)求三棱锥BCD A -的体积. (3)求BCD ?的面积. (4)求点A 到平面BCD 的距离.习题4.2一、选择题1.下列平面方程中与向量)5,3,2(a 垂直的平面是()(A )1532=++z y x ;(B ) 0532=++z y x ;(C ) 30532=++z y x ;(D ) 1532=++z y x . 2.下列向量中与平面1543=-+x y x 平行的是()(A ))4,5,0(-C ;(B ))5,4,3(-C ;(C ))4,5,0(C ;(D ))5,4,3(--C .3.下列叙述中错误的是()(A )若已知平面α的一个法向量)4,2,1(-a 与α上一点)1,5,3(A , 就能确定平面α的方程;(B )若向量)4,2,1(-a 平行于平面α且点)1,5,3(A , )7,6,2(B 在α上, 则能确定平面α的方程;(C )若已知点)3,2,1(A , )0,5,2(-B , )9,,4,7(-C 在平面α上, 则能确定平面α的方程;(D )若已知平面α与三条坐标轴的交点分别为)0,0,3(X , )0,2,0(-Y , )5,0,0(-Z , 则能确定平面α的方程.4.下列两平面垂直的是( )(A )632=-+z y x 与1642=-+z y x ;(B ) 632=-+z y x 与12642=-+z y x ;(C )632=-+z y x 与1321=+-+-z y x ;(D ) 632=-+z y x 与12=++-z y x . 5.原点)0,0,0(O 到平面632=++z y x 的距离是( )(A ) 52;(B ) 7143;(C ) 6;(D ) 1.二、填空题1.垂直于向量)0,5,2(-a 且到点)0,5,2(-A 的距离为5的平面的方程是______________________或者__________________________.2.经过原点)0,0,0(O 与)0,5,2(-B 且平行于向量)1,4,2(a 的平面的方程是_________________.3.平面035x 3y 2x =++与三坐标轴分别交于点(A )、(B )、(C ),则Δ(A )(B )(C )的面积为_________________.4.一动点移动时与)0,4,4(A 及坐标平面xOy 等距离,则该点的轨迹方程为________________.5.通过Z 轴和点)22,13,9(A 的平面的方程是________________________.三、计算题与证明题1.求经过点)1,2,3(A 和)3,2,1(--B 且与坐标平面xOz 垂直的平面的方程.2.求到两平面0623:=-+-z y x α和1152:=+-+z y x β距离相等的点的轨迹方程.3.已知原点到平面α的距离为120, 且α在三个坐标轴上的截距之比为5:6:2-, 求α的方程.4.若点)1,0,2(-A 在平面α上的投影为)1,5,2(-B , 求平面α的方程.5.已知两平面02467:=--+z y mx α与平面0191132:=-+-z my x β相互垂直,求m 的值.6.已知四点)0,0,0(A , )3,5,2(,-B , )2,1,0(-C , )7,0,2(D , 求三棱锥ABC D -中ABC 面上的高.7.已知点A 在z 轴上且到平面014724:=+--z y x α的距离为7, 求点A 的坐标.8.已知点.A 在z 轴上且到点)1,2,0(-B 与到平面9326:=+-z y x α的距离相等, 求点A 的坐标.习题4.3一、选择题1.下列直线中与直线?-=+-=+-1320532z y x z y x 平行的是( ) (A ) 13151-=-=-z y x ;(B ) =--+=-++0272082z y x z y x ;(C ) 31321z y x =--=-;(D ) =-+=-+01205z x y x . 2.下列平面中与直线21232-=-+=-z y x 垂直的是( ) (A ) 01245=-+-z y x ;(B )062=---z y x ;(C ) 01123=+--z y x ;(D ) 01723=-++z y x .3.直线:1l 21232-=-+=-z y x 与直线3213162:2-+=--=-z y x l 的位置关系是( ) (A )重合;(B )平行;(C )相交;(D )异面.4.与平面0105:=-+-z y x α垂直且经过点)1,2,1(--A 的直线的方程是( )(A ) ?=+-+=-+-03320105z y x z y x ;(B )=+-+-=-+-020********z y x z y x ;(C ) 115211+=-+=-z y x ;(D ) 5 11251-+=+=--z y x . 5.与直线111211:+=+=-z y x l 平行且经过点)2,5,2(A 的直线是( ) (A )121512+=+=+z y x ;(B ) 121512-=-=-z y x ;(C ) 327512+=+=+z y x ;(D ) 3 27512-=-=-z y x .二、填空题1.直线01243:z y x l =-=+与平面011:=-+-z y x α的夹角是_________________.2.经过)1,2,3(-P 且平行于z 轴的直线方程是___________________________________.3.已知ΔABC 三顶点的坐标分别为2,0,2(-A , )6,2,2(-B ,(C )(0,8,6),则平行于BC 的中位线的直线方程为_____________________________________________.4.经过直线?=+-+=-+-01720103z y x z y x 与点)1,0,2(-A 的平面的方程是__________________. 5.经过原点)0,0,0(O 且与直线12111-+==-z y x 和01111+=--=z y x 都垂直的直线的方程是__________________________________.三、计算题与证明题1.求经过点)0,2,1(-P 且与直线011111-=-=-z y x 和0111+=-=z y x 都平行的平面的方程.2.求通过点P(1,0,-2),而与平面3x-y+2z-1=0平行且与直线12341z y x =--=-相交的直线的方程.3.求通过点)0,0,0(A )与直线141423-=+=-z y x 的平面的方程.4.求点)0,1,1(-P 到直线01112+=-=-z y x 的距离.5.λ取何值时直线??=--+=-+-01540623z y x z y x λ与z 轴相交?6.平面01=+++z y x 上的直线l 通过直线1l :?=++=+0102z y z x 与此平面的交点且与 1l 垂直, 求l 的方程.7.求过点)25,3(-且与两平面34=-z x 和13=+-z y x 平行直线方程.8.一平面经过直线(即直线在平面上)l :41235z y x =-=+,且垂直于平面015=+-+z y x ,求该平面的方程.习题4.4一、选择题1.下列曲面中不是关于原点中心对称的是()(A )椭球面: 1222222=++c z b x a y ;(B )单叶双曲面: 1222222=-+cz b x a y ;(C )双叶双曲面: 1222222=--cz b x a y ;(D )椭圆抛物面: pz b x a y 22222=+. 2.母线平行于z 轴,准线为曲线==++32534222z z y x 的柱面的方程是( )(A )163422=+y x ;(B )2534222=++z y x ;(C )434=+y x ;(D )22234z y x =+.3.将坐标平面xOy 上的曲线363222=-y x 绕y 轴旋转得到的旋转面的方程是( )(A ) 36232222=+-z y x ;(B )36332222=+-z y x ;(C ) 36332222=--z y x ;(D )36332222=++z y x .4.曲线1543222222=-+z y x 与平面4=y 相交,得到的图形是( ) (A )一个椭圆.;(B )一条双曲线;(C )两条相交直线;(D )一条抛物线.5.下列曲面中与一条直线相交, 最多只有两个交点的图形是( )(A )椭球面;(B )单叶双曲面;(C )柱面;(D )锥面.二、填空题1.经过原点与(4,0,0),(1,3,0),(0,0,-4)的球面的方程为__________________________.2.坐标平面xoz 上的曲线091022=+-+z z x 绕坐标轴z 轴旋转一周得到的曲面的方程是___________________________________________. 3.母线平行于z 轴, 准线为?==+25422z z y x 的柱面的方程是_____________________. 4.顶点在原点且经过圆==+1422z y x 的圆锥面的方程是________________________.5.经过轴z , 且与曲面4)5(222=+-+z y x 相切的平面的方程是____________.三、计算题与证明题1.一动点P 到定点)0,0,4(-A 的距离是它到)0,0,2(B 的距离的两倍, 求该动点的轨迹方程.2.已知椭圆抛物面的顶点在原点,xOy 面和xOz 面是它的两个对称面,且过点(6,1,2)与(1,1/3,-1), 求该椭圆抛物面的方程.3.求顶点为)0,0,0(o ,轴与平面x+y+z=0垂直,且经过点)1,2,3()的圆锥面的方程.4.已知平面α过z 轴, 且与球面0411086222=++--++z y x z y x 相交得到一个半径为2的圆, 求该平面的方程.5.求以轴为母线z , 直线?==11y x 为中心轴的圆柱面的方程.6.求以轴为母线z , 经过点)7,3,6()2,2,4(,-B A 以及的圆柱面的方程7.根据k 的不同取值, 说明1)1()4()9(222=-+-+-z k y k x k 表示的各是什么图形.8.已知椭球面1222=++Z z Y y X x 经过椭圆==+.0,116922z y x 与点)23,2,1(A , 试确定Z Y X ,,的值.复习题四一、选择题1.将下列列向量的起点移到同一点, 终点构成一个球面的是 ( )(A )平行于同一平面的单位向量;(B )平行于同一直线的单位向量;(C )平行于同一平面的向量;(D )空间中的所有单位向量.2.下列叙述中不是两个向量a 与b 平行的充分条件的是 ( )(A )0||||=?b a ;(B )a 与b 的内积等于零;(C )对任意向量c 有混合积0)(=abc ;(D )a 与b 的坐标对应成比例.3.行列式963852741的值为 ( )(A ) 0 ;(B ) 1 ;(C ) 3 ;(D ) 3-.4.下列向量中与平面0112=-+-z y x 平行的是()(A ))2,1,1(-C ;(B ))2,1,1(--C ;(C ))2,5,1(C ;(D ))2,5,1(--C5.下列两平面垂直的是 ( )(A ) 063=---z y x 与012622=+--z y x ;(B ) 063=---z y x 与018=++-z y x ;(C ) 063=---z y x 与012=++-z y x ;(D ) 063=---z y x 与1266=--z y x . 6.原点)0,0,0(o 到平面2=x 的距离是 ( )(A )2;(B )4;(C )22;(D ) 22. 7.下列平面中与直线231231--=-+=+z y x 垂直的是 ( ) (A )01245=-+-z y x ;(B )062=---z y x ;(C ) 1362=--z y x ;(D )01723=-++z y x . 8.直线=--+=+-+01711801153:1z y x z y x l 与直线326:2-=-=z y x l 的位置关系是 ( ) (A )重合;(B )平行;(C )相交;(D )异面.9.下列曲面中不是关于原点中心对称的是()(A )长型型旋转椭球面: )(1222222b a b z b x a y >=++;(B )单叶旋转双曲面: 1222222=-+bz a x a y ;(C )双叶旋转双曲面: 1222222=--bz b x a y ;(D )椭圆抛物面: z y x =+22. 10.曲线1352222222=-+z y x 与平面3=z 相交,得到的图形是 ( ) (A )一个椭圆;(B )一条双曲线;(C )两条相交直线;(D )一条抛物线.二、填空题1.设在平行四边形ABCD 中,对角线AC 交BD 于点O ,且p AO =,q =,则AB =_______________,=__________________.2.已知ABC ?三顶点的坐标分别为A(0,0,2),B(8,0,0),C(0,8,6),则边BC 上高的长为______________________.3.设力k j i F ++-=32, 则F 将一个质点从)3,1,1(-A 移到)1,0,3(-B 所做的功为____________________________.4.平面632+--z x 与三坐标轴分别交于点A 、B 、C ,则三棱锥ABC O -的体积为_________________ 5 .通过x 轴且到点)4,1,3(,-P 的距离为2的平面的方程是________________________.6.经过点)1,2,3(A 和)3,2,1(--B 且与平面xoz 垂直的平面的方程.为_________________7.经过直线=++=-+-0140632y x z y x 与点)1,1,1-A 的平面的方程是__________________.8.经过原点)0,0,0(o 且与直线12111-+==--z y x 和01111+=--=z y x 都垂直的直线的方程是__________________________________.9.球面0100262222=---+++z y x z y x 的半径是__________________________. 10.母线平行于y 轴, 准线为==+2 22y z y x 的柱面的方程是______________________.三、计算题与证明题1.已知2||=a , 7||=b , 5||=c , 并且0=++c b a .计算a c c b b a ?+?+?.2.设力k j i F 23-+-=作用在原点点, 求力F 对点)1,0,2(-B 的力矩的大小.3.已知点)4,1,0(A , )0,3,2(-B 求线段AB 的中垂面的方程.4.已知平面α与三个坐标轴的交点分别为C B A ,,且ABC O -的体积为80, 又α在三个坐标轴上的截距之比为3:5:4--, 求α的方程.5.已知两平面0112:=+-+-x my x α与平面1:=--z y mx β相互垂直, ,求m 的值.6.λ取何值时直线??=+++=-+-0132012z y x z y x λ与x 轴相交?7.设圆柱面α过直线??==60:1y x l , 2100082-==+z y x l 以及z 轴, 求α的方程.8.已知球面面α的方程为0411086222=-+--++z y x z y x , 求α的与z 轴垂直相交的直径所在直线的方程.。

向量代数与空间解析几何课堂练习题参考答案

向量代数与空间解析几何课堂练习题参考答案

向量代数与空间解析几何课堂练习题参考答案一、 填空题1.设c b a, ,为非零向量,且c b a ⨯=,a c b ⨯= ,b a c ⨯= ,则=++c b a 3 。

解:显然c b a, ,互相垂直。

∵c b c b c b c b a ),sin( ==⨯=,同理c a b =, b a c=,∴2b a b a bc b a ===,又0≠a ,∴1 1 2=⇒=b b ,同理可证1 1,==c a,故3 =++c b a 。

2.2)( =⋅⨯c b a ,则[]=+⋅+⨯+)()()( a c c b b a4 。

解:[])()]()(([)()()( a c c b b c b a a c c b b a+⋅+⨯++⨯=+⋅+⨯+)(][a c c b b b c a b a+⋅⨯+⨯+⨯+⨯=)()()()()()(a c c b a c c a a c b a +⋅⨯++⋅⨯++⋅⨯= a c b c c b a c a c c a a b a c b a ⋅⨯+⋅⨯+⋅⨯+⋅⨯+⋅⨯+⋅⨯=)()()()()()( 4)(2)()(=⋅⨯=⋅⨯+⋅⨯=c b a a c b c b a。

3.已知三角形)1 ,1 ,1(A ,)4 ,3 ,2(B ,)2 ,3 ,4(C ,则ABC ∆的面积=S 62 。

解:}3 ,2 ,1{=AB ,}1 ,2 ,3{=AC ,}4 ,8 ,4{123321--==⨯kj i AC AB ,.62)4(8)4(21222=-++-S 4.设一平面过原点及)2 ,3 ,6(-A ,且与平面824=+-z y x 垂直, 则此平面方程为0322=-+z y x 。

解:}2 ,3 ,6{-=,已知平面的法向量为}2 ,1 ,4{-=,则所求平面的法向量为}3 ,2 ,2{2}6 ,4 ,4{}2 ,1 ,4{}2 ,3 ,6{1--=--=-⨯-=⨯=n , 故所求平面的方程为0)0(3)0(2)0(2=---+-z y x ,即0322=-+z y x 。

(完整版)高等数学空间解析几何与向量代数练习题与答案.doc

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空间解析几何与矢量代数小练习一填空题 5 ’x9=45 分1、平行于向量a(6,7, 6) 的单位向量为______________.2、设已知两点M1( 4, 2 ,1)和 M 2 (3,0,2) ,计算向量M1M2的模_________________,方向余弦 _________________和方向角 _________________3、以点 (1,3,-2) 为球心,且通过坐标原点的球面方程为__________________.4、方程x2 y 2 z 2 2x 4 y 2z 0 表示______________曲面.5、方程x2 y2 z 表示______________曲面.6、x2 y2 z2 表示 ______________曲面 .7、在空间解析几何中y x2 表示 ______________图形 .二计算题11 ’x5=55 分1、求过点 (3,0,-1)且与平面3x-7y+5z-12=0平行的平面方程.2、求平行于x 轴且过两点 (4,0,-2)和(5,1,7)的平面方程.3、求过点 (1,2,3) 且平行于直线xy 3z 1的直线方程 .2 1 54、求过点 (2,0,-3)x 2 y 4z 7 0且与直线5 y 2z 1垂直的平面方3x 05、已知:OA i 3k ,OB j 3k ,求OAB 的面积。

1参考答案一 填空题1、6 ,7 ,611 11 112、 M 1 M 2 =2, cos1,cos2,cos1 ,2 ,3 ,2223433、 ( x 1) 2( y3) 2 ( z2) 2144、以 (1,-2,-1) 为球心 , 半径为6 的球面5、旋转抛物面6、 圆锥面7、 抛物柱面二 计算题1、 3x 7y 5 z 4 0 2 、 9 y z 2 0 3、x 1y 2 z34、 16x 14y 11z 65 02155 S1OA OB 19222。

向量代数与空间解析几何习题册

向量代数与空间解析几何习题册

向量代数与空间解析几何习题6-1 向量及其线性运算一、填空题1、已知点A(-4,-2,1),B(1,-5,-3),C(-1,0,0),D(1,0,2),E(0,0,3),则点B(1,-5,-3)在第________卦限,点_______为zox坐标面上的点,点_______为x轴上的点,点_______既在yoz坐标面上也在zox坐标面上;2、点P(-3,2,-1)关于xoy坐标面的对称点是_______,关于yoz面的对称点是_______,关于zox 坐标面的对称点是_______,关于x的对称点是_______,关于y轴的对称点是_______,关于z轴的对称点是_______,关于原点的对称点是_______。

二、已知A(1,0,2)、B(4,5,10)、C(0,3,1)、D(2,-1,-6)和→→→→-+=kjim45求:1、向量→→→→-+=mCDABa34在三坐标轴上的投影及分向量;2、→a的模;3、3、→a的方向余弦;4、与→a平行的两个单位向量;5、求A与C两点之间的距离。

三、已知两向量→a=(λ,5,-1),→b=(3,1,μ)平行,求λ,μ的值。

四、从点A(2,-1,7)沿→→→→-+=kjja1298的方向取|→AB|=34,求点B的坐标。

五、如果平面上一个四边形的对角全互相平分,试用向量知识证明它是平行四边形。

习题6-2 向量的数量积 向量积一、是非题1、0=•→→b a ,则→a =→0或→→=0b ;2、→→→=⨯0b a ,则→a =→0或→→=0b ;3、若→→→→•=•c a b a 且→→≠0a ,则→b =→c ;4、若→→≠0a ,→→≠0b 则2222a b a b a b →→→→→→⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯+•= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭; 5、若→→≠0a ,→→≠0b ,→→≠0c 且→→→→⨯=⨯c b c a 则→a =→b ;6、→→→→•=•b a b a =→→→→•=•b b a a ;7、→→→→⨯=⨯a b b a ;8、向量→→⨯b a 既垂直于→a 也垂直于→b 。

第4章向量代数与空间解析几何练习题_3

第4章向量代数与空间解析几何练习题_3

3.母线平行于轴, 准线为的柱面的方程是
_____________________.
4.顶点在原点且经过圆的圆锥面的方程是
________________________.
5.经过, 且与曲面相切的平面的方程是____________.
三、计算题与证明题
1.一动点到定点的距离是它到的距离的两倍, 程.
复习题四
一、选择题
1.将下列列向量的起点移到同一点,
终点构成一个球面的是
()
(A)平行于同一平面的单位向量;(B)平行于同一直线的单位
向量;
(C)平行于同一平面的向量; (D)空间中的所有单位向 量.
2.下列叙述中不是两个向量与平行的充分条件的是
(
)
(A); (B)与的内积等于零;
(C)对任意向量有混合积; (D)与的坐标对应成比例.
3.设向量的坐标为, 则下列叙述中错误的是( )
(A)向量的终点坐标为; (B)若为原点,且, 则点的坐标为;
(C)向量的模长为;(D) 向量与平行.
4.行列式的值为( )
(A) 0 ; (B) 1 ; (C) 18 ; (D) .
5.对任意向量与, 下列表达式中错误的是( )
(A)与; (B) 与;
(C)与; (D) 与.
5.原点到平面的距离是( )
(A) ; (B) ; (C) ; (D) 1.
二、填空题
1.垂直于向量且到点的距离为5的平面的方程是 ______________________或者__________________________.
2.经过原点与且平行于向量的平面的方程是_________________. 3.平面与三坐标轴分别交于点(A)、(B)、(C),则Δ(A) (B)(C)的面积为_________________. 4.一动点移动时与及坐标平面等距离,则该点的轨迹方程为 ________________. 5.通过轴和点的平面的方程是________________________.
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第4章 向量代数与空间解析几何练习题习题4.1一、选择题1.将平行于同一平面的所有单位向量的起点移到同一点, 则这些向量的终点构成的图形是( )(A )直线; (B ) 线段; (C ) 圆; (D ) 球.2.下列叙述中不是两个向量a 与b 平行的充要条件的是( )(A )a 与b 的内积等于零; (B )a 与b 的外积等于零;(C )对任意向量c 有混合积0)(=abc ; (D )a 与b 的坐标对应成比例.3.设向量a 的坐标为313, 则下列叙述中错误的是( ) (A )向量a 的终点坐标为),,(z y x ; (B )若O 为原点,且a =, 则点A 的坐标为),,(z y x ;(C )向量a 的模长为222z y x ++;(D ) 向量)2/,2/,2/(z y x 与a 平行.4.行列式213132321的值为( )(A ) 0 ; (B ) 1 ; (C ) 18 ; (D ) 18-.5.对任意向量a 与b , 下列表达式中错误的是( )(A )||||a a -=; (B )||||||b a b a +>+; (C ) ||||||b a b a ⋅≥⋅; (D ) ||||||b a b a ⨯≥⋅.二、填空题1.设在平行四边形ABCD 中,边BC 和CD 的中点分别为M 和N ,且p =,q =,则BC =_______________,CD =__________________.2.已知ABC ∆三顶点的坐标分别为A(0,0,2),B(8,0,0),C(0,8,6),则边BC 上的中线长为______________________.3.空间中一动点移动时与点)0,0,2(A 和点)0,0,8(B 的距离相等, 则该点的轨迹方程是_______________________________________.4.设力k j i F 532++=, 则F 将一个质点从)3,1,0(A 移到)1,6,3(,B 所做的功为____________________________.5.已知)2,5,3(A , )4,7,1(B , )0,8,2(C , 则=⋅_____________________; =⨯____________________;ABC ∆的面积为_________________.三、计算题与证明题1.已知1||=a , 4||=b , 5||=c , 并且0=++c b a . 计算a c c b b a ⨯+⨯+⨯.2.已知3||=⋅b a , 4||=⨯b a , 求||||b a ⋅.3.设力k j i F 532++-=作用在点)1,6,3(A , 求力F 对点)2,7,1(,-B 的力矩的大小.4.已知向量x 与)2,5,1(,-a 共线, 且满足3=⋅x a , 求向量x 的坐标.5.用向量方法证明, 若一个四边形的对角线互相平分, 则该四边形为平行四边形.6.已知点)7,8,3(A , )3,2,1(--B 求线段AB 的中垂面的方程.7.向量a ,b ,c , 具有相同的模, 且两两所成的角相等, 若a , b 的坐标分别为)1,1,0()0,1,1(和, 求向量c 的坐标.8.已知点)1,6,3(A , )1,4,2(-B , )3,2,0(-C , )3,0,2(--D ,(1)求以AB , AC , AD 为邻边组成的平行六面体的体积. (2)求三棱锥BCD A -的体积. (3)求BCD ∆的面积. (4)求点A 到平面BCD 的距离.习题4.2一、选择题1.下列平面方程中与向量)5,3,2(a 垂直的平面是( )(A )1532=++z y x ; (B ) 0532=++z y x ; (C ) 30532=++z y x ; (D ) 1532=++z y x . 2.下列向量中与平面1543=-+x y x 平行的是( )(A ))4,5,0(-C ; (B ))5,4,3(-C ; (C ))4,5,0(C ; (D ))5,4,3(--C .3.下列叙述中错误的是( )(A )若已知平面α的一个法向量)4,2,1(-a 与α上一点)1,5,3(A , 就能确定平面α的方程;(B )若向量)4,2,1(-a 平行于平面α且点)1,5,3(A , )7,6,2(B 在α上, 则能确定平面α的方程;(C ) 若已知点)3,2,1(A , )0,5,2(-B , )9,,4,7(-C 在平面α上, 则能确定平面α的方程;(D ) 若已知平面α与三条坐标轴的交点分别为)0,0,3(X , )0,2,0(-Y , )5,0,0(-Z , 则能确定平面α的方程.4.下列两平面垂直的是( )(A )632=-+z y x 与1642=-+z y x ; (B ) 632=-+z y x 与12642=-+z y x ;(C )632=-+z y x 与1321=+-+-z y x ; (D ) 632=-+z y x 与12=++-z y x . 5.原点)0,0,0(O 到平面632=++z y x 的距离是( )(A ) 52; (B ) 7143; (C ) 6; (D ) 1. 二、填空题1.垂直于向量)0,5,2(-a 且到点)0,5,2(-A 的距离为5的平面的方程是______________________或者__________________________.2.经过原点)0,0,0(O 与)0,5,2(-B 且平行于向量)1,4,2(a 的平面的方程是_________________.3.平面035x 3y 2x =++与三坐标轴分别交于点(A )、(B )、(C ),则Δ(A )(B )(C )的面积为_________________.4.一动点移动时与)0,4,4(A 及坐标平面xOy 等距离,则该点的轨迹方程为________________.5.通过Z 轴和点)22,13,9(A 的平面的方程是________________________.三、计算题与证明题1.求经过点)1,2,3(A 和)3,2,1(--B 且与坐标平面xOz 垂直的平面的方程.2.求到两平面0623:=-+-z y x α和1152:=+-+z y x β距离相等的点的轨迹方程.3.已知原点到平面α的距离为120, 且α在三个坐标轴上的截距之比为5:6:2-, 求α的方程.4.若点)1,0,2(-A 在平面α上的投影为)1,5,2(-B , 求平面α的方程.5.已知两平面02467:=--+z y mx α与平面0191132:=-+-z my x β相互垂直,求m 的值.6.已知四点)0,0,0(A , )3,5,2(,-B , )2,1,0(-C , )7,0,2(D , 求三棱锥ABC D -中ABC 面上的高.7.已知点A 在z 轴上且到平面014724:=+--z y x α的距离为7, 求点A 的坐标.8.已知点.A 在z 轴上且到点)1,2,0(-B 与到平面9326:=+-z y x α的距离相等, 求点A 的坐标.习题4.3一、选择题1.下列直线中与直线⎩⎨⎧-=+-=+-1320532z y x z y x 平行的是( ) (A ) 13151-=-=-z y x ; (B ) ⎩⎨⎧=--+=-++0272082z y x z y x ; (C ) 31321z y x =--=-; (D ) ⎩⎨⎧=-+=-+01205z x y x . 2.下列平面中与直线21232-=-+=-z y x 垂直的是( ) (A ) 01245=-+-z y x ; (B ) 062=---z y x ;(C ) 01123=+--z y x ; (D ) 01723=-++z y x .3.直线:1l 21232-=-+=-z y x 与直线3213162:2-+=--=-z y x l 的位置关系是( ) (A ) 重合; (B ) 平行; (C ) 相交; (D ) 异面.4.与平面0105:=-+-z y x α垂直且经过点)1,2,1(--A 的直线的方程是( )(A ) ⎩⎨⎧=+-+=-+-03320105z y x z y x ; (B ) ⎩⎨⎧=+-+-=-+-020********z y x z y x ; (C ) 115211+=-+=-z y x ; (D ) 511251-+=+=--z y x . 5.与直线111211:+=+=-z y x l 平行且经过点)2,5,2(A 的直线是( ) (A ) 121512+=+=+z y x ; (B ) 121512-=-=-z y x ; (C ) 327512+=+=+z y x ; (D ) 327512-=-=-z y x . 二、填空题1.直线01243:z y x l =-=+与平面011:=-+-z y x α的夹角是_________________. 2.经过)1,2,3(-P 且平行于z 轴的直线方程是___________________________________.3.已知ΔABC 三顶点的坐标分别为2,0,2(-A , )6,2,2(-B ,(C )(0,8,6),则平行于BC 的中位线的直线方程为_____________________________________________.4.经过直线⎩⎨⎧=+-+=-+-01720103z y x z y x 与点)1,0,2(-A 的平面的方程是__________________. 5.经过原点)0,0,0(O 且与直线12111-+==-z y x 和01111+=--=z y x 都垂直的直线的方程是__________________________________.三、计算题与证明题1.求经过点)0,2,1(-P 且与直线011111-=-=-z y x 和0111+=-=z y x 都平行的平面的方程.2.求通过点P(1,0,-2),而与平面3x-y+2z-1=0平行且与直线12341z y x =--=-相交的直线的方程.3.求通过点)0,0,0(A )与直线141423-=+=-z y x 的平面的方程.4.求点)0,1,1(-P 到直线01112+=-=-z y x 的距离.5.λ取何值时直线⎩⎨⎧=--+=-+-01540623z y x z y x λ与z 轴相交?6.平面01=+++z y x 上的直线l 通过直线1l :⎩⎨⎧=++=+0102z y z x 与此平面的交点且与 1l 垂直, 求l 的方程.7.求过点)25,3(-且与两平面34=-z x 和13=+-z y x 平行直线方程.8.一平面经过直线(即直线在平面上)l :41235z y x =-=+,且垂直于平面015=+-+z y x ,求该平面的方程.习题4.4一、选择题1.下列曲面中不是关于原点中心对称的是( )(A ) 椭球面: 1222222=++c z b x a y ; (B ) 单叶双曲面: 1222222=-+cz b x a y ; (C ) 双叶双曲面: 1222222=--cz b x a y ; (D ) 椭圆抛物面: pz b x a y 22222=+. 2.母线平行于z 轴,准线为曲线⎩⎨⎧==++32534222z z y x 的柱面的方程是( )(A )163422=+y x ; (B )2534222=++z y x ;(C )434=+y x ; (D )22234z y x =+.3.将坐标平面xOy 上的曲线363222=-y x 绕y 轴旋转得到的旋转面的方程是( )(A ) 36232222=+-z y x ; (B )36332222=+-z y x ;(C ) 36332222=--z y x ; (D )36332222=++z y x .4.曲线1543222222=-+z y x 与平面4=y 相交,得到的图形是( ) (A ) 一个椭圆.; (B ) 一条双曲线;(C ) 两条相交直线 ; (D ) 一条抛物线.5.下列曲面中与一条直线相交, 最多只有两个交点的图形是( )(A )椭球面; (B )单叶双曲面; (C )柱面; (D ) 锥面.二、填空题1.经过原点与(4,0,0),(1,3,0),(0,0,-4)的球面的方程为__________________________.2.坐标平面xoz 上的曲线091022=+-+z z x 绕坐标轴z 轴旋转一周得到的曲面的方程是___________________________________________. 3.母线平行于z 轴, 准线为⎩⎨⎧==+25422z z y x 的柱面的方程是_____________________. 4.顶点在原点且经过圆⎩⎨⎧==+1422z y x 的圆锥面的方程是________________________.5.经过轴z , 且与曲面4)5(222=+-+z y x 相切的平面的方程是____________.三、计算题与证明题1.一动点P 到定点)0,0,4(-A 的距离是它到)0,0,2(B 的距离的两倍, 求该动点的轨迹方程.2.已知椭圆抛物面的顶点在原点,xOy 面和xOz 面是它的两个对称面,且过点(6,1,2)与(1,1/3,-1), 求该椭圆抛物面的方程.3.求顶点为)0,0,0(o ,轴与平面x+y+z=0垂直,且经过点)1,2,3()的圆锥面的方程.4.已知平面α过z 轴, 且与球面0411086222=++--++z y x z y x 相交得到一个半径为2的圆, 求该平面的方程.5.求以轴为母线z , 直线⎩⎨⎧==11y x 为中心轴的圆柱面的方程.6.求以轴为母线z , 经过点)7,3,6()2,2,4(,-B A 以及的圆柱面的方程7.根据k 的不同取值, 说明1)1()4()9(222=-+-+-z k y k x k 表示的各是什么图形.8.已知椭球面1222=++Z z Y y X x 经过椭圆⎪⎩⎪⎨⎧==+.0,116922z y x 与点)23,2,1(A , 试确定Z Y X ,,的值.复习题四一、选择题1.将下列列向量的起点移到同一点, 终点构成一个球面的是 ( )(A )平行于同一平面的单位向量;(B )平行于同一直线的单位向量;(C )平行于同一平面的向量; (D )空间中的所有单位向量.2.下列叙述中不是两个向量a 与b 平行的充分条件的是 ( )(A )0||||=⋅b a ; (B )a 与b 的内积等于零;(C )对任意向量c 有混合积0)(=abc ; (D )a 与b 的坐标对应成比例.3.行列式963852741的值为 ( )(A ) 0 ; (B ) 1 ; (C ) 3 ; (D ) 3-.4.下列向量中与平面0112=-+-z y x 平行的是 ( )(A ))2,1,1(-C ; (B ))2,1,1(--C ; (C ) )2,5,1(C ; (D ))2,5,1(--C5.下列两平面垂直的是 ( )(A ) 063=---z y x 与012622=+--z y x ;(B ) 063=---z y x 与018=++-z y x ;(C ) 063=---z y x 与012=++-z y x ;(D ) 063=---z y x 与1266=--z y x . 6.原点)0,0,0(o 到平面2=x 的距离是 ( )(A )2; (B )4; (C )22; (D ) 22. 7.下列平面中与直线231231--=-+=+z y x 垂直的是 ( ) (A )01245=-+-z y x ; (B )062=---z y x ;(C ) 1362=--z y x ; (D )01723=-++z y x . 8.直线⎩⎨⎧=--+=+-+01711801153:1z y x z y x l 与直线326:2-=-=z y x l 的位置关系是 ( ) (A )重合; (B )平行; (C )相交; (D )异面.9.下列曲面中不是关于原点中心对称的是 ( )(A )长型型旋转椭球面: )(1222222b a b z b x a y >=++;(B )单叶旋转双曲面: 1222222=-+bz a x a y ; (C )双叶旋转双曲面: 1222222=--bz b x a y ; (D )椭圆抛物面: z y x =+22. 10.曲线1352222222=-+z y x 与平面3=z 相交,得到的图形是 ( ) (A )一个椭圆; (B )一条双曲线; (C )两条相交直线; (D )一条抛物线.二、填空题1.设在平行四边形ABCD 中,对角线AC 交BD 于点O ,且p AO =,q =,则AB =_______________,=__________________.2.已知ABC ∆三顶点的坐标分别为A(0,0,2),B(8,0,0),C(0,8,6),则边BC 上高的长为______________________.3.设力k j i F ++-=32, 则F 将一个质点从)3,1,1(-A 移到)1,0,3(-B 所做的功为____________________________.4.平面632+--z x 与三坐标轴分别交于点A 、B 、C ,则三棱锥ABC O -的体积为_________________5 .通过x 轴且到点)4,1,3(,-P 的距离为2的平面的方程是________________________.6.经过点)1,2,3(A 和)3,2,1(--B 且与平面xoz 垂直的平面的方程.为_________________7.经过直线⎩⎨⎧=++=-+-0140632y x z y x 与点)1,1,1-A 的平面的方程是__________________.8.经过原点)0,0,0(o 且与直线12111-+==--z y x 和01111+=--=z y x 都垂直的直线的方程是__________________________________.9.球面0100262222=---+++z y x z y x 的半径是__________________________. 10.母线平行于y 轴, 准线为⎩⎨⎧==+222y z y x 的柱面的方程是______________________.三、计算题与证明题1.已知2||=a , 7||=b , 5||=c , 并且0=++c b a . 计算a c c b b a ⋅+⋅+⋅.2.设力k j i F 23-+-=作用在原点点, 求力F 对点)1,0,2(-B 的力矩的大小.3.已知点)4,1,0(A , )0,3,2(-B 求线段AB 的中垂面的方程.4.已知平面α与三个坐标轴的交点分别为C B A ,,且ABC O -的体积为80, 又α在三个坐标轴上的截距之比为3:5:4--, 求α的方程.5.已知两平面0112:=+-+-x my x α与平面1:=--z y mx β相互垂直, ,求m 的值.6.λ取何值时直线⎩⎨⎧=+++=-+-0132012z y x z y x λ与x 轴相交?7.设圆柱面α过直线⎩⎨⎧==60:1y x l , 2100082-==+z y x l 以及z 轴, 求α的方程.8.已知球面面α的方程为0411086222=-+--++z y x z y x , 求α的与z 轴垂直相交的直径所在直线的方程.。

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