向量与空间解析几何练习题
高等数学第七章向量代数与空间解析几何习题
解 ∵ a + b = AC = 2MC = −2MA ,
D
C
b
M
b − a = BD = 2MD = −2MB ,
∴
MA
=
−
1 2
(a
+
b),
MB
=
−
1 2
(b
−
A a ),
a
B
图 7.2
MC
=
1 2
(a
+
b),
MD
=
1 2
(b
−
a ).
10. 用向量的方法证明: 连接三角形两边中点的线段(中位线)平行且等于第三
而
a⋅b =
a
⋅
b
⋅
cos(a,
b)
=
10
×
cos
π 3
=5,
所以
r 2 = 100 − 60 + 36 = 76 ,
故 r = 76 .
3. 已知 a + b + c = 0 , 求证 a × b = b × c = c × a
证 法1
∵a + b + c = 0 ,
所以
c = −(a + b) ,
解 因 a = m − 2n + 3 p = (8i + 5 j + 8k) − 2(2i − 4 j + 7k) + 3(i + j − k) = 7i + 16 j − 9k ,
故沿 x 轴方向的分向量为 axi = 7i ; 沿 y 轴方向的分向量为 ay j = 16 j .
16. 若线段 AB 被点 C(2, 0, 2)和D(5, −2, 0) 三等分, 试求向量 AB 、点 A 及点 B 的
向量与空间解析几何习题及详细解答
解：设动点为 M(x, y, z)
M0M {x 1, y 1, z 1}
因 M0M n ,故 M0M n 0 .
即 2(x-1)+3(y-1)-4(z-1)=0 整理得：2x+3y-4z-1=0 即为动点 M 的轨迹方程. 14. 求满足下列各组条件的直线方程： (1) 经过点 (2，－3, 4), 且与平面 3x－y＋2z－4＝0 垂直； (2) 过点 (0，2，4) ，且与两平面 x＋2z＝1和 y－3z＝2 平行；
解：设四顶点依次取为 A, B, C, D.
AB {0,1, 2}, AD {2, 2,1}
则由 A，B，D 三点所确定三角形的面积为
1 1
35
S1 2 | AB AD | 2 | 5i 4 j 2k | 2 .
同理可求其他三个三角形的面积依次为 1 , 2, 3 . 2
故四面体的表面积 S 1
A. xOz 平面上曲线 (z a)2 x2 绕 y 轴旋转所得曲面 B. xOz 平面上直线 z a x 绕 z 轴旋转所得曲面 C. yOz 平面上直线 z a y 绕 y 轴旋转所得曲面
D. yOz 平面上直线 (z a)2 y2 绕 X 轴旋转所得曲面
(5)下列方程所对应的曲面为双曲抛物面的是（ D ）
ijk s n1 n2 1 0 2 {2,3,1}
0 1 3
故过点（0，2，4）的直线方程为
x y2 z4 2 3 1
（3）所求直线与已知直线平行，故其方向向量可取为 s={2，-1，3}
故过点（-1，2，1）的直线方程为
x 1 y 2 z 1. 2 1 3
15. 试确定出下列各题中直线与平面间的关系：
k 12i 20 j 8k
空间解析几何及向量代数测试题及答案
军教院第八章空间解析几何测试题一、填空题（共7题，2分/空，共20分）___.1.四点,，，组成的四面体的体积是___162。
已知向量，,,则=__（—2，-1，0）____.3。
点到直线的距离是______________.4.点到平面的距离是_____________。
5。
曲线C：对xoy坐标面的射影柱面是_______,对yoz坐标面的射影柱面是___________,对xoz坐标面的射影柱面是______________。
6.曲线C：绕轴旋转后产生的曲面方程是_______，曲线C绕轴旋转后产生的曲面方程是__________________。
7。
椭球面的体积是_____40π____________。
二、计算题（共4题，第1题10分,第2题15分,第3题20分，第4题10分,共55分）1. 过点作3个坐标平面的射影点,求过这3个射影点的平面方程。
这里是3个非零实数.解：设点在平面上的射影点为，在平面上的射影点为,在平面上的射影点为,则,于是,，所确定的平面方程是即 .2。
已知空间两条直线,.(1)证明和是异面直线;(2)求和间的距离;(3)求公垂线方程。
证明：（1) 的标准方程是，经过点，方向向量的标准方程是，经过点，方向向量，于是,所以和是异面直线。
（2）由于，和间的距离（3)公垂线方程是，即.3。
求曲线绕x轴旋转产生的曲面方面.解:设是母线上任意一点,则过的纬圆方程是,（1）又 ,（2)由（1）（2）消去得到。
4。
已知单叶双曲面,为腰椭圆上的点，（1）求经过点两条直母线方程及其夹角；(2)求这两条直母线所在的平面的方程及平面与腰椭圆所在平面的夹角。
解：（1）设单叶双曲面两直母线方程是与把点分别代入上面两方程组，求得代入直母线方程,得到过点的两条直母线与，即与两直母线的方向向量可分别取和，设两直母线的夹角是,则有，。
（2)两直母线所在平面的方程是，即显然平面与腰椭圆所在的平面的夹角是0。
强化第一讲：向量代数与空间解析几何
强化第一讲：第一单元模拟试卷一、单项选择题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分）1．若非零向量,a b →→满足a b a b →→→→+=-，则必有 （ C ）A a b a b →→→→+=- B a b →→= C 0a b →→⋅= D 0a b →→⨯=2若,,a b c →→→都是非零向量，则下列等式正确的是 （ D ）A a b b a →→→→⨯=⨯ B ()()()()a b b a a a b b →→→→→→→→⋅⋅=⋅⋅C ()()a b c a b c →→→→→→⋅=⋅ D 22()()a b a b a b →→→→→→+⋅-=-3 若,,a b c →→→都是单位向量，且0a b c →→→++=，则a b b c c a →→→→→→⋅+⋅+⋅=（ B ） A32B 32-C12D-124设空间直线的标准方程是012x y z ==，则该直线 （ A ）A 垂直于x 轴且通过原点B 垂直于y 轴且通过原点C 垂直于Z 轴且通过原点D 垂直于x 轴且不通过原点 5 已知原点到平面20x y kz -+=的距离为2，则k 的值为 （ C ） A -2 B 2 C 2± D 0 原题有误改成062=±+-kz y x6方程2220x y z +-=表示的二次曲面是 （ D ） A 球面 B 圆柱面 C 旋转抛物面 D 圆锥面 二、填空题（本大题6小题，每小题4分，满分24分）7、已知，1,(,).a b a b a b →→→∧→→→==+=且则题目中缺少条件4),(π=→∧→b a ，答案为5_______________48.{3,2,1},{2,,}||3a b k a b k →→→→===若且则答案329. 3.4.))a b a b a b a b →→→→→→→→==⊥+⨯-=————设且则（（答案2410.1————通过点M （1，0，-）且平行于平面4x+3y+z=1的平面方程是答案11341+==-z y x21011.211{20x y y z -+=++=————通过点（，，）且平行直线的直线方程是答案212112-=--=--z y x 也可以写成212112--=-=-z y x212.yoz z y z =———————————在面上曲线饶轴旋转的旋转曲面方程是答案22y x z +=三、计算题（本大题共8题，每小题8分，满分64分）2,2,)a b a b a b a b →→→→→∧→→→==+=⨯13.已知：，求（及42)(22222=+⋅+=⨯=⨯⇒=⨯→→→→→→→→→→b b a ab a b a b a6-=⋅→→b a π65),(23||),c o s (=⇒-=⋅⋅=→∧→→→→→→∧→b a b a ba b a32),sin(||||||=⋅=⨯→∧→→→→→b a b a b a56π答及{2,1,1}.{3,1,1},ABC AB AC ABC ∆=-=∆14.已知的两边构成的向量求的面积 }2,0,1{=-=AB AC BC 5||,6||==BC AB3021||||210=⋅=⊥⇒=⋅∆BC AB S BC AB BC AB ABC答15.{2,1,1}{1,2,1}a b →→=-=-求以向量和为邻边的平行四边形的对角线间夹角的正弦⇒==6||||b a该平行四边形为菱形，菱形的对角线相互垂直，所以所求夹角的正弦为1答sinQ=116.求过点A(1,1,1)和点B （0，1，-1）且与平面x+y+z=0互相垂直的平面方程.提示：由已知条件可知所求平面的法向量n 与已知平面的法向量}1,1,1{= n 垂直，向量}2,0,1{--=AB ，因为AB n ⊥，所以向量n 可以看成是 n 与AB 的向量积（叉乘），所以}1,1,2{2111201--=--=--=⨯=k j i kj in AB n所求平面方程为0)1()1()1(2=-----z y x答2x-y-z=0 112321,11211x x x x y z L ---+-===-12217.已知两直线L :=和L ：求过直线且平行于直线L 的平面方程提示：直线1L 上一点（1，2，3）既是所求平面上的一点，已知两条直线的方向向量}1,0,1{1-=s与}1,1,2{2=s 的叉乘21s s ⨯既是所求平面的法向量n，然后利用点法式求得答x-3y+z+2=078910456x y z x y z ==++=18.求过点A(-1,2,3)且垂直于直线又与平面平行的直线方程提示：所求直线的方向向量s就是已知直线的方向向量}6,5,4{= s 与已知平面的法向量}9,8,7{= n 的叉乘，即n s s ⨯=，然后利用点向式求得123121x y z ---=-答=119.{24x y z x y z -+=++=将一般式直线方程化为标准式方程和参数式直线方程提示：令方程里的0=y （也可以选择其他的变量，一般令这个变量等于0比较简单，原则是求出来的另外两个变量最好不要是分数）得⎩⎨⎧-==23z x ，于是得到直线上的一点（3，0，-2）原方程可以看成是两个平面构成，法向量分别是}1,1,1{1-=n ，}1,1,2{2=n ，则21n n⨯即为上述直线的方向向量}3,1,2{-=s，然后利用点向式求得；求参数方程很简单就是令标准方程等于t233221332x t x y z y t z t =-+⎧-+⎪==⎨-⎪=-⎩答：=； 321020.:422021030x y z L x y z x y z π+++=⎧-+-=⎨--+=⎩求直线与平面：的夹角提示：先求出直线L 的方向向量}1,2,4{7}10,1,2{}2,3,1{--=--⨯=s，又平面π的法向量为}1,2,4{-=n ，显然s //n ，所以直线L 与平面π相互垂直，所以夹角为2π2π答222211111x y z d a b c d a b c++==++四、证明题（每小题7分，满分14分）21.设原点到平面：的距离为，求证提示：直接利用点到平面的距离公式22.(1,2,3),(1,1,1),(0,0,5),ABC A B C ABC ∆-∆已知三个顶点：试证为直角三角形提示：分别写出向量AB 、BC 、AC 证明其中两个向量的数量积（点乘）为零即可 五、综合题（每小题8分，共24分）23平行四边形ABCD 的两边为AB →=2,a b - 3AD a b →=- ，其中a =5，b =3。
(完整版)空间解析几何与向量代数习题与答案
第七章 空间解析几何与向量代数A一、1、平行于向量)6,7,6(-=a 的单位向量为______________.2、设已知两点)2,0,3()1,2,4(21M M 和，计算向量21M M 的模，方向余弦和方向角.3、设k j i p k j i n k j i m 45,742,853-+=--=++=，求向量p n m a -+=34在x 轴上的投影，及在y 轴上的分向量. 二、1、设k j i b k j i a -+=--=2,23，求(1)b a b a b a b a 23)2)(2(⨯⋅-⨯⋅及；及(3)a 、b 的夹角的余弦.2、知)3,1,3(),1,3,3(),2,1,1(321M M M -，求与3221,M M M M 同时垂直的单位向量.3、设)4,1,2(),2,5,3(=-=b a ，问μλ与满足_________时，轴z b a ⊥+μλ. 三、1、以点(1,3,-2)为球心，且通过坐标原点的球面方程为__________________.2、方程0242222=++-++z y x z y x 表示______________曲面. 3、1)将xOy 坐标面上的x y 22=绕x 轴旋转一周，生成的曲面方程为_______________，曲面名称为___________________.2)将xOy 坐标面上的x y x 222=+绕x 轴旋转一周，生成的曲面方程 _____________，曲面名称为___________________.3)将xOy 坐标面上的369422=-y x 绕x 轴及y 轴旋转一周，生成的曲面方 程为_____________，曲面名称为_____________________.4）在平面解析几何中2x y =表示____________图形。
在空间解析几何中2x y =表示______________图形.5）画出下列方程所表示的曲面 (1))(4222y x z += (2))(422y x z += 四、1、指出方程组⎪⎩⎪⎨⎧==+319y 4x 22y 在平面解析几何中表示____________图形，在空间解 析几何中表示______________图形.2、求球面9222=++z y x 与平面1=+z x 的交线在xOy 面上的投影方程. 3、求上半球2220y x a z --≤≤与圆柱体)0(22>≤+a ax y x 的公共部分在xOy 面及xOz 面上的投影. 五、1、求过点(3,0,-1)且与平面3x-7y+5z-12=0平行的平面方程.2、求过点(1,1,-1)，且平行于向量a =(2,1,1)和b =(1,-1,0)的平面方程.3、求平行于xOz 面且过点(2,-5,3)的平面方程.4、求平行于x 轴且过两点(4,0,-2)和(5,1,7)的平面方程. 六、1、求过点(1,2,3)且平行于直线51132-=-=z y x 的直线方程. 2、求过点(0,2,4)且与两平面12=+z x ,23=-z y 平行的直线方程.3、求过点(2,0,-3)且与直线⎩⎨⎧=+-+=-+-012530742z y x z y x 垂直的平面方程.4、求过点(3,1,-2)且通过直线12354zy x =+=-的平面方程. 5、求直线⎩⎨⎧=--=++003z y x z y x 与平面01=+--z y x 的夹角.6、求下列直线与直线、直线与平面的位置关系 1)直线⎩⎨⎧=++-=-+7272z y x z y x 与直线11321-=--=-zy x ; 2)直线431232--=+=-z y x 和平面x+y+z=3. 7、求点(3,-1,2)到直线⎩⎨⎧=-+-=+-+04201z y x z y x 的距离.B1、已知0=++c b a （c b a ,,为非零矢量），试证:a c c b b a ⨯=⨯=⨯.2、),(},1,1,1{,3b a b a b a ∠=⨯=⋅求.3、已知和为两非零向量，问取何值时，向量模||tb a +最小？并证明此时)(tb a b +⊥.4、求单位向量，使a n ⊥且x n ⊥轴，其中)8,6,3(=a .5、求过轴，且与平面052=-+z y x 的夹角为3π的平面方程. 6、求过点)2,1,4(1M ，)1,5,3(2--M ，且垂直于07326=++-z y x 的平面.7、求过直线⎩⎨⎧=--+=-+-022012z y x z y x ，且与直线：211zy x =-=平行的平面.8、求在平面:1=++z y x 上，且与直线⎩⎨⎧-==11z y L ：垂直相交的直线方程.9、设质量为kg 100的物体从空间点)8,1,3(1M ，移动到点)2,4,1(2M ，计算重力所做的功（长度单位为）.10、求曲线⎩⎨⎧==-+30222z x z y 在xoy 坐标面上的投影曲线的方程，并指出原曲线是什么曲线？11、已知k j OB k i OA 3,3+=+=，求OAB ∆的面积 12、.求直线⎩⎨⎧=---=+-0923042z y x z y x 在平面14=+-z y x 上的投影直线方程.C1、设向量c b a ,,有相同起点,且0=++c b a γβα，其中0=++γβα，γβα,,不全为零,证明:c b a ,,终点共线.2、求过点)1,2,1(0-M ，且与直线：121122=--=+y x 相交成3π角的直线方程. 3、过)4,0,1(-且平行于平面01043=-+-z y x 又与直线21311zy x =-=+相交的直线方程. 4、求两直线：1101-=-=-z y x 与直线：0236+=-=z y x 的最短距离. 5、柱面的准线是xoy 面上的圆周（中心在原点，半径为1），母线平行于向量}1,1,1{=g ，求此柱面方程.6、设向量a,b 非零，3),(,2π==b a b ，求xaxb a x -+→0lim.7、求直线⎪⎩⎪⎨⎧--==)1(212:y z y x L 绕y 轴旋转一周所围成曲面方程. 第七章 空间解析几何与向量代数习 题 答 案A一、1、⎩⎨⎧⎭⎬⎫-±116,117,116 2、21M M =2,21cos ,22cos ,21cos ==-=γβα,3,43,32πγπβπα=== 3、在x 轴上的投影为13，在y 轴上的分量为7j 二、1、1）3)1()2(2)1(13=-⋅-+⋅-+⋅=⋅b ak j i k j i b a 75121213++=---=⨯（2）18)(63)2(-=⋅-=⋅-b a b a ，k j i b a b a 14210)(22++=⨯=⨯ （3）2123),cos(^=⋅⋅=b a b a b a 2、}2,2,0{},1,4,2{3221-=-=M M M Mk j i kj iM M M M a 4462201423221--=--=⨯= }1724,1724,1726{--±=±a a 即为所求单位向量。
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空间解析几何与矢量代数小练习一填空题 5 ’x9=45 分1、平行于向量a(6,7, 6) 的单位向量为______________.2、设已知两点M1( 4, 2 ,1)和 M 2 (3,0,2) ，计算向量M1M2的模_________________，方向余弦 _________________和方向角 _________________3、以点 (1,3,-2) 为球心，且通过坐标原点的球面方程为__________________.4、方程x2 y 2 z 2 2x 4 y 2z 0 表示______________曲面.5、方程x2 y2 z 表示______________曲面.6、x2 y2 z2 表示 ______________曲面 .7、在空间解析几何中y x2 表示 ______________图形 .二计算题11 ’x5=55 分1、求过点 (3,0,-1)且与平面3x-7y+5z-12=0平行的平面方程.2、求平行于x 轴且过两点 (4,0,-2)和(5,1,7)的平面方程.3、求过点 (1,2,3) 且平行于直线xy 3z 1的直线方程 .2 1 54、求过点 (2,0,-3)x 2 y 4z 7 0且与直线5 y 2z 1垂直的平面方3x 05、已知：OA i 3k ，OB j 3k ，求OAB 的面积。
1参考答案一 填空题1、6 ,7 ,611 11 112、 M 1 M 2 =2, cos1,cos2,cos1 ,2 ,3 ,2223433、 ( x 1) 2( y3) 2 ( z2) 2144、以 (1,-2,-1) 为球心 , 半径为6 的球面5、旋转抛物面6、 圆锥面7、 抛物柱面二 计算题1、 3x 7y 5 z 4 0 2 、 9 y z 2 0 3、x 1y 2 z34、 16x 14y 11z 65 02155 S1OA OB 19222。
第七章 向量与空间解析几何复习题
第七章 向量与空间解析几何复习题一、选择题1. 向量}6,3,2{-=a ，则与a 同向的单位向量为（ ）（A ） }6,3,2{- （B ）}6,3,2{71-- （C ） }6,3,2{71-± （D ） }6,3,2{71- 2. 平面243=-z x （ ）(A)平行于zox 平面 (B)平行于y 轴 (C)垂直于y 轴 (D)垂直于x 轴3. 设向量c b a ,,满足0)(=-⨯c b a 则必有（ ）(A)0 =a (B) c b = (C)b a //且c a // (D) )//(c b a -4. 平面0=+++D Cz By Ax 过x 轴，则( )（A ）0==D A （B ）0,0≠=C B （C ）0,0=≠C B （D ）0==C B5. 在空间直角坐标系中，点（1，-2，3）关于原点对称的点的坐标是（ ）(A) （1，-2，-3） (B) （-1，2，-3） (C) （-1，-2，-3） (D) （1，-2，-3）6. 设向量a ={4,-3,4},b={2,2,1},则向量a 和b 的夹角为（ ） (A) 412arcsin (B) 0 (C) 412arccos (D) 4π 7．平面4y-7z=0的位置特点是（ ）(A) 通过oz 轴 (B) 通过oy 轴 (C) 通过ox 轴，且过点（0，7，4）(D) 平行于oyz 面8．平面x+y+2z=0的位置特点是（ ）(A) 通过原点 (B) 不通过原点 (C) 平行于向量a={1，1，2} (D)过x 轴 9．向量k j i k j i a 22432-+=+-=β与的夹角为（ ） (A)2π (B) 0 (C) π (D) 4π 10. 平面3510x z -+= ( )(A) 平行于zox 平面 （B) 平行于y 轴 (C) 垂直于y 轴 (D) 垂直于x 轴 11. 下列平面中，与平面012=++-z y x 垂直的平面是( )(A)052=++-z y x (B) 0532=++-z y x(C) 0103=+--z y x (D) 0653=-+-z y x12．设向量{}1,2,3-=，⎭⎬⎫⎩⎨⎧=k ,34,2b .已知b a ⊥，则=k （ ）. (A) 32 (B) 326 (C) 27(D) 113．在空间直角坐标系中,方程1222=+y x 表示的曲面是（ ）.(A) 球面 (B) 圆柱面 (C) 圆锥面 (D)椭圆柱面14．设向量{}2,1,1-=，{}4,0,3=，则向量在向量上的投影为（ ）. (A) 65 (B) 65- (C) 1 (D) -115．下列曲面方程中表示圆锥面的是（ ）.(A)22y x z += (B)22y x z += (C)1222=++z y x (D) 1222=+y x16．设平面截x ，y ，z 轴的截距分别为a ，b ，c （a 、b 、c 均不为0）则这个平面的方程为() (A)1xyza b c ++= (B)1xyza b c ++=- (C) 1=++cz by ax (D) 0=++cz by ax17. 设空间直线 210zyx== ，则该直线过原点，且（ ）(A) 与X 轴垂直 (B) 垂直于Y 轴，但不平行X 轴(C) 与X 轴平行 (D) 垂直于Z 轴，但不平行X 轴18. 直线42z 31y 21x -=+=-与平面x-2y+z=5的位置关系是（ ）.(A) 垂直 (B) 平行 (C) 重合 (D) 斜交19．向量b a ⨯与二向量a 及b 的位置关系是（ ）(A) 共面 (B) 共线 (C) 垂直 (D) 斜交20. 在空间直角坐标系中，点(1,3,1)P -关于y 轴对称的点的坐标是（ ）(A) （1，3，1） (B) （-1，3，-1） (C) （-1，-3，1） (D) （-1，3，1）21．点（1,2,1）到平面032=++-z y x 的距离=d （ ).(A) 0 (B) 2 (C)36(D) 36222.在空间直角坐标系中，仅有点（ ）是在第三卦限内.（A ）(1,-1,2) （B ）(-1,-1,2) （C ）(1,1,-2) （D ）(-1,1,-2)23. 同时垂直于向量(2,1,4)a =和z 轴的向量的单位向量是（ ）（A ）(55- （B ）(55- （C ）(55- （D ）(5524．过点（２，－３，0）且以)3,2,1(-=→n 为法向量的平面方程为( )(A) 13231)2(=+-++-z y x (B) 13231)2(-=+-++-z y x (C) 13)3(2)2(=++--z y x (D) 03)3(2)2(=++--z y x25．yoz 平面内的直线14=+z y 绕y 轴旋转一周所得的曲面方程为（ ）.(A) )(16)1(222z x y +=- (B) 116)(222=++z x y(C) 1)(4=++z x y (D) 11622=+z y二、填空题1．设a b k a },1,2,0{},,1,1{-=-=⊥,b 则常数k = .2．已知112,(2,0,1)a b =-=（，，） ，则a b ⨯= .3.设},4,2,1{},1,0,2{==b a 则a 与b 的夹角=)^(b a .4.过空间两点)2,1,0(-和)1,4,3(-的直线方程为 .5.已知3=a ，26=b ，72=⨯b a ，则=⋅b a .6. 点)0,2,1(M 到平面02543=++-z y x 的距离为 .7. 过点)3,1,2(-且与平面2240x y z +--=垂直的直线方程为 .8．设k j i a 23-+=，k j i b --=32，则b a ⋅= .9．点(0,1,3)-到平面2380x y z -+-=的距离为____________________.10．设(2,3,5),(2,4,),a b c ==-且a b ⊥，则常数c =___________．11.直线1139412-=-=-z y x 与平面0253=--+z y x 的交点为 12．设(2,1,1),(1,1,2),a b a b →→→→=-=-⨯=则________________.13．在空间直角坐标系中，点)3,2,1(-关于x 轴的对称点为 _____________.14．已知点)2,1,3(-A 和向量}1,3,4{-=AB ，则B 点的坐标为______________.15．过点0(3,4,4)P -且方向角为2,,343πππ的直线方程为___________________. 16．已知向量}2,3,2{},0,1,3{-=-=b a ，则a 与b 的夹角余弦为 .17．过点)3,1,2(-且垂直于直线11211-+==-z y x 的平面方程为 . 18．若向量b 与向量k j i a 22+-=平行且满足18-=⋅k b ,则b = . 19．向量}1,2,2{-=a 在y 轴上的投影等于 .20．已知向量 {}{}2,3,2b , 0,1,3-=-=→→a , 则模→→⨯b a = .21. 过（1，1，-1）、（-2，-2，2）和（1，-1，2）三点的平面方程是 .22．求过定点)2,1,1(-且与直线111122-=-+=-z y x 垂直的平面方程为____________. 23.曲线 ⎪⎩⎪⎨⎧==-01422z x y 绕x 轴旋转一周，所得的旋转曲面的方程为 .24.已知)2,1,2(),1,2,2(),1,1,1(C B A ，则与,同时垂直的向量是 .25.xOz 平面内的抛物线122+=x z 绕z 轴旋转一周所得曲面方程 .26. 过空间两点)0,1,1(),2,1,0(-B A 的直线方程为 .27．过空间两点)5,2,1(),2,0,1(--的直线方程为 ..28.过点)1,1,2(-且与直线12431:-==-z y x l 平行的直线方程为 .29．已知向量{}1,0,1a -=，{}3,2,0b -=，则a 在b 上的投影为 . 30．xoy 平面上的曲线y x 22=绕y 轴旋转后得到的旋转曲面方程 .31．过点（1,－2,0）且垂直于向量}1,3,2{-=a 的平面方程是 .32．设向量{}4,3-,4=，{}1,2,2=，则_____________),(cos =. 33. 设}1,2,1{},3,1,0{=-=b a ，则与a 和b 同时垂直的单位向量为 .34. 直线1139412-=-=-z y x 与平面0253=--+z y x 的交点为 .35. 点M （1，2，1）到平面：02543=++-z y x 的距离为36．在空间直角坐标系中，点)3,2,1(-关于原点的对称点是 __________.37. xoy 平面内双曲线12y 3x 22=-绕y 轴旋转所得曲面方程是 . 38．过空间两点)1,3,0(),2,1,0(B A -的直线方程为 .39．设空间三点)3,1,2(),0,1,1(),2,1,0(C B A -,则=⋅AC AB .三、解答题1．求过空间三点(1,0,2),(-1,1,1),(3,1,0)的平面方程.2．试把空间直线⎩⎨⎧=++-=+++043201z y x z y x 化成参数方程形式.3.求过点)1,2,1(-且同时平行于两平面012:1=--+z y x π与012:2=+-+z y x π的直线方程.4. 求过P 0129(,,)-与平面π:3250x y z +--=垂直的直线方程，并求出直线与平面的交点.6．求平行于x 轴是过点)2,1,3(1-M 和)0,1,0(2M 的平面方程.9．试写出直线⎩⎨⎧=-+-=+++022301z y x z y x 的点向式方程和参数方程. 10.求过点)4,2,0(且与平面12=+z x 平行的平面方程.12. 已知平面通过)2,7,4(),1,3,8(21P P -且垂直于平面021753=+-+z y x ，求这个平面的方程.13. 已知A （1，1，1），B （2，2，1），C （2，1，2），求与AB →，AC →同时垂直的单位向量.14. 设平面经过原点及点（6，-3，2），且与平面824=+-z y x 垂直，求此平面方程.15. 求过点)0,1,2(且与两平面0152084=---=+-z y x z x 和都平行的直线的方程。
第4章向量代数与空间解析几何练习题_3
3．母线平行于轴, 准线为的柱面的方程是
_____________________．
4．顶点在原点且经过圆的圆锥面的方程是
________________________．
5．经过, 且与曲面相切的平面的方程是____________．
三、计算题与证明题
1．一动点到定点的距离是它到的距离的两倍, 程．
复习题四
一、选择题
1．将下列列向量的起点移到同一点,
终点构成一个球面的是
()
（A）平行于同一平面的单位向量；（B）平行于同一直线的单位
向量；
（C）平行于同一平面的向量； （D）空间中的所有单位向 量．
2．下列叙述中不是两个向量与平行的充分条件的是
(
)
（A）； （B）与的内积等于零；
（C）对任意向量有混合积； （D）与的坐标对应成比例．
3．设向量的坐标为, 则下列叙述中错误的是( )
（A）向量的终点坐标为； （B）若为原点,且, 则点的坐标为；
（C）向量的模长为；（D） 向量与平行．
4．行列式的值为( )
（A） 0 ； （B） 1 ； （C） 18 ； （D） ．
5．对任意向量与, 下列表达式中错误的是( )
（A）与； （B） 与；
（C）与； （D） 与．
5．原点到平面的距离是( )
（A） ； （B） ； （C） ； （D） 1．
二、填空题
1．垂直于向量且到点的距离为5的平面的方程是 ______________________或者__________________________．
2．经过原点与且平行于向量的平面的方程是_________________． 3．平面与三坐标轴分别交于点（A）、（B）、（C），则Δ（A） （B）（C）的面积为_________________． 4．一动点移动时与及坐标平面等距离，则该点的轨迹方程为 ________________． 5．通过轴和点的平面的方程是________________________．
7空间解析几何与向量代数习题与答案
空间解析几何与向量代数第七章 A 一、)?6(a?6,7,1、平行于向量的单位向量为______________.)0,,)和2M(3M(4,2,1MM.设已知两点的模，方向余弦和方向角，计算向量2、2121pn?4m?3j?5i??4ka?7nim?3?5j?8k,?2i?4j?k,p轴设3、在，求向量x .上的投影，及在y轴上的分向量二、；?b?b?2b及aab2()(?2a)?3及a k?2k,b??2j?iia?3?j(1)的、(3)ab1、设，求 .夹角的余弦1,2),M(3,3,?1),M(3,1,3),(M1MM,MM同时垂直的单位向量.，求与2、知31232211??b?z轴?与a??),4?(2,1?a?(3,5,2),b满足设.3、_________时，，问三、1、以点(1,3,-2)为球心，且通过坐标原点的球面方程为__________________.222?2x?4y??y2?zz?x0表示______________曲面2、方程.2x?y2 __将xOy坐标面上的轴旋转一周，生成的曲面方程为绕x、31)___________________._____________，曲面名称为22xy2x??生成的曲面方程坐标面上的2)将xOyx轴旋转一周，绕___________________._____________，曲面名称为2236??9y4x轴旋转一周，生成的曲面方轴及yxOy坐标面上的绕x3)将_____________________._____________程为，曲面名称为2xy?在空间解析几何中）在平面解析几何中图形。
表示____________ 42x?y图形.表示______________ ）画出下列方程所表示的曲面 5222)(x?y4z? (1)222)??4(xyz (2)四、22?yx1???图形，在空间解1在平面解析几何中表示____________、指出方程组94??3y??图形.析几何中表示______________2229?zx??y1?x?z.面上的投影方程的交线在2、求球面与平面xOy22222?ax(a?0xy?)yxa0?z???的公共部分在、求上半球与圆柱体3xOy面及xOz面上的投影.五、1、求过点(3,0,-1)且与平面3x-7y+5z-12=0平行的平面方程.2、求过点(1,1,-1)，且平行于向量a=(2,1,1)和b=(1,-1,0)的平面方程.33、求平行于xOz面且过点(2,-5,3)的平面方程.4、求平行于x轴且过两点(4,0,-2)和(5,1,7)的平面方程.六、1?3zyx???、求过点1(1,2,3)且平行于直线.的直线方程521 2??3zy1?zx?2且与两平面2、求过点(0,2,4)平行的直线方程,.0?7??x?2y4z? .垂直的平面方程(2,0,-3)3、求过点且与直线?0z?5x3?y2?1??x?4y?3z??的平面方程且通过直线. 4、求过点(3,1,-2)152 x?y?3z?0?x?y?z?1?0的夹角5、求直线.与平面?0??zyx??6、求下列直线与直线、直线与平面的位置关系x?2y?z?7?x?1y?3z??;与直线1)直线?7??2xy?z?112??? x?2y?2z?3??和平面2)x+y+z=3.直线43?1x?y?z?1?0?到直线、求点7(3,-1,2)的距离.?04????2xyz?5B c,a,b a?c?c?a?b?c?0b?b?a.1、已知（:为非零矢量），试证)ba,},求?(,a?b?{11,13a?b?, .2、a)tb(a?tb|a?|b?t b.取何值时，向量模和为两非零向量，问已知3、最小？并证明此时n)86,(a?3,xan?n? 4、求单位向量，使轴，其中.且?0?y?5z2x?z的平面方程轴，且与平面.的夹角为5、求过3)5()1,2M?3,,?1,(M40?3y?6x2?z7?.的平面，、求过点6，且垂直于2160?1??2y?zx?zxyl??.：、求过直线，且与直线平行的平面7?202?y?z?2x?21?1? 1?y??1?x?y?z：L.垂直相交的直线方程求在平面、上，:且与直线8?1?z??),2M(1,43M(,1,8)kg100，计算重力所做的功的物体从空间点9、设质量为，移动到点21m（长度单位为.）22?02xy?z??xoy坐标面上的投影曲线的方程，并指出原曲线是什么曲在10、求曲线?3z??线？OA?i?3k,OB?j?3k?OAB的面积，求、已知1170??z2x?4y?1??z4x?y.12、.求直线在平面上的投影直线方程?0??9y?2z3x??C?????????,c?0,??a,b,c?a?b?0,不全为零有相同起点,且，1、设向量，其中cb,a,终点共线证明:.?212y?x?)2,?1M(1,??L.且与直线，求过点角的直线方程：相交成2、0112?3z3y?x?1??0)3x?4y?z??10,(?10,4相交的直线方且平行于平面、过又与直线3211程.2z?yzxy1x?LL????.4、求两直线：：与直线的最短距离210?3?160?1xoy}1,1,g?{1，，母线平行于向量5、柱面的准线是面上的圆周（中心在原点，半径为1） .求此柱面方程a?xb?a?lim?)b(?2,a,b.非零，a,b，求6、设向量x30?x x?2y??L:绕y轴旋转一周所围成曲面方程7、求直线. ?1)1y?(?z??2?第七章空间解析几何与向量代数答案习题 A 8?667??,?, 1一、、??111111?????12132?????????,cos,coscos????,,MM ,2、=2,21222334a在x轴上的投影为7j3、，在y轴上的分量为1331)???2)?(?a?b?31?(?1)?2?(二、11）、kijk?7?5i?j3a?b??1?212?1k2j?14(??18a?2b?2a?b)?10i?62(?a)?3b??(a?b)，（2）3ba?^??cos(a,b)（3）ba?212}2?,2,{?2,4,?1},MM?{0MM 2、3122kijk44j???MM?24?1?6iMa?M3221220?4??4a6},,???{a172172217即为所求单位向量。
(整理)向量与空间解析几何练习题
题型1.向量的线性运算（三角形法则、平行四边形法则）；向量的坐标运算2.向量的平行、垂直以及它们之间的夹角、向量的投影3.向量的数量积（点积）；向量的向量积（叉积）4．直线方程、平面方程5.曲线方程、曲面方程内容一．向量的概念及其运算1.向量的概念 6.数乘向量2.向量的模7.向量的数量积3.单位向量8.向量的向量积4.方向角9.向量的混合积5.向量的加减运算10.向量之间的关系二．平面与直线1.平面方程2.直线方程3.平面束4.两平面的位置关系5.平面与直线的位置关系6.两直线的位置关系7.点到平面的距离三．曲面方程1.球面方程2.柱面方程3.旋转方程4.锥面5.其他二次曲面四．空间曲线方程1.空间曲线的一般方程（面交式）2.空间曲线的参数方程3.空间曲线在平面上的投影方程典型例题向量I 向量的概念与运算向量II 平面与直线方程向量III 曲面与空间曲线方程自测题七综合题与方法相结合4月6日向量练习题基础题：1. 已知A (1,0,2), B (1,2,1)是空间两点，向量 AB 的模是：（ ）A ）5B ） 3C ） 6D ）92. 设a ={1,-1,3}, b ={2,-1,2}，求c =3a -2b 是：（ ）A ）{-1,1,5}.B ） {-1,-1,5}.C ） {1,-1,5}.D ）{-1,-1,6}.3. 设a ={1,-1,3}, b ={2,-1,2}，求用标准基i , j , k 表示向量c ;A ）-i -2j +5kB ）-i -j +3kC ）-i -j +5kD ）-2i -j +5k4. 一质点在力F =3i +4j +5k 的作用下，从点A （1,2,0）移动到点B (3, 2,-1)，求力F 所作的功是：（ ）A ）5焦耳B ）10焦耳C ）3焦耳D ）9焦耳5. 已知空间三点M (1,1,1)、A (2,2,1)和B （2，1，2），求∠AMB 是：（ ）A ）2πB ）4πC ）3π D ）π 6. 设,23,a i k b i j k =-=++求a b ⨯是：（ ）A ）-i -2j +5kB ）-i -j +3kC ）-i -j +5kD ）3i -3j +3k7. 设⊿ABC 的顶点为(3,0,2),(5,3,1),(0,1,3)A B C -，求三角形的面积是：（ ）A ）362B ）364C ）32 D ）3 8.点P(-3,2,-1)关于平面XOY 的对称点是_______，关于平面YOZ 的对称点是_________，关于平面ZOX 的对称点是__________，关于X 轴的对称点是__________，关于Y 轴的对称点是____________，关于Z 轴的对称点是____________。
(完整版)高等数学空间解析几何练习
向量代数与空间解析几何第一部分 向量代数___线性运算［内容要点］:1. 向量的概念.2. 向量的线性运算.3. 向量的坐标，利用坐标作向量的线性运算.［本部分习题］1. 指出下列各点所在的坐标轴、坐标面或哪个卦限。
(2,3,5);(0,4,3);(0,3,0)A B C ---2. 求点(1,3,2)--关于点(1,2,1)-的对称点坐标。
3. 求点(4,3,5)M --到各坐标轴的距离。
4. 一向量的起点为(1,4,2)A -，终点为(1,5,0)B -，求AB →在x 轴、y 轴、z 轴上的投影,并求||AB →。
5. 已知两点1M 和2(3,0,2)M ,计算向量12M M −−→的模、方向余弦和方向角。
6． 已知{3,5,4},{6,1,2},{0,3,4},a b c →→→==-=--求234a b c →→→-+及其单位向量.7．设358,247,54,a i j k b i j k c i j k →→→→→→→→→→→→=++=--=--求向量43l a b c →→→→=+-在x 轴上的投影以及在y 轴上的分向量.第二部分 向量代数___向量的“积"［内容要点］:1。
向量的数量积、向量积的概念、坐标表示式及其运算规律。
2。
向量的混合积的概念、坐标表示式及其几何意义。
3.向量垂直、平行、共面的条件.［本部分习题]1． 设{3,1,2},{1,2,1},a b →→=--=-求： （1);(2);(3)cos(,);(4)Pr ;(5)Pr .a b a b a b a b j b j a →→→→→→→→⋅⨯2． 设{2,3,1},{1,1,3},{1,2,0},a b c →→→=-=-=-求： (1)();(2)();(3)();a b c a b c a b c →→→→→→→→→⨯⋅⨯⨯⨯⨯3． 利用向量证明不等式112233a b a b a b ≥++ 其中,(1,2,3)i i a b i =均为实数，并指出等号成立的条件.4．设{3,5,2},{2,1,9},a b →→=-=试求λ的值，使得：（1)a b λ→→+与z 轴垂直；(2）a b λ→→+与a →垂直，并证明此时||a b λ→→+取最大值。
专转本高等数学向量代数和空间解析几何随堂练习题含答案
D 、两个点。
⎧ 2 y2 z2
⎪ 19、⎨
x
4
9
1在空间直角坐标系里表示（
）；
⎪⎩ x 1
A、一个点；
B 、平面 x 1 ； C 、椭圆 y2 z2 1 49
D 、椭圆面。
⎧ F (x, y, z) 0
20、空间曲线 ⎨ ⎩
其方程表示式（
G(x, y, z)
）；
A、是惟一的； B 、不是惟一的； C 、很难判断双方惟一； D 、应该有两种。
为
；半径 R 为
；
25、 yoz 平面上曲线 y z2 绕 z 轴旋转一周的旋转曲面方程为
；绕 y 轴
旋转一周的旋转曲面方程为
；
26、 x2 0, x2 y2 0, x2 y2 z2 0 和 xyz 0 在空间直角坐标系里分别表示
为
；
；
；
；
5
三、计算题
1、 设向量 a 3i k b 2i 4 j k
17、求过原点且垂直于平面1 : x y z 7 0 及 2 : x 2 y 12z 5 0
的平面方程。
18、求过点(1, 3, 4)且垂直于平面1 : z 0 及 2 : 2x 3y z 1的平面方
程。
19、在通过直线 L :
x 1 y 1 z 3 的所有平面中找出一个平面，使它与
2
C 、 ax 1bx, ay 2by , az 3bz (1 2 3 );
D 、 1axbx 2ayby 3azbz 0;
15、单位向量的坐标在数值上就是（
）；
A、向量的方向角；
B 、向量的方向余弦；
C 、下向量所在直线的方向数；
D 、向量的模。
试题集：向量代数与空间解析几何
1.在三维空间中，向量a⃗=(1,2,3)与向量b⃗⃗=(4,5,6)的点积是多少？o A. 32o B. 24o C. 35o D. 30参考答案: A解析: 向量a⃗与向量b⃗⃗的点积计算为1∗4+2∗5+3∗6=32。
2.向量v⃗=(3,4)的模长是多少？o A. 5o B. 7o C. 12o D. 25参考答案: A解析: 向量v⃗的模长计算为√32+42=5。
3.向量a⃗=(1,2,3)与向量b⃗⃗=(4,5,6)的叉积结果是什么？o A. (3,−6,3)o B. (−3,6,−3)o C. (3,−6,−3)o D. (−3,6,3)参考答案: B解析: 向量a⃗与向量b⃗⃗的叉积计算为(2∗6−3∗5,3∗4−1∗6,1∗5−2∗4)=(−3,6,−3)。
4.向量a⃗=(1,2,3)与向量b⃗⃗=(4,5,6)的向量积的模长是多少？o A. 7o B. 14o C. 21o D. 42参考答案: A解析: 向量a⃗与向量b⃗⃗的叉积模长计算为√(−3)2+62+(−3)2=7。
5.向量a⃗=(1,2,3)与向量b⃗⃗=(4,5,6)的夹角余弦值是多少？o A. 0.9746o B. 0.9971o C. 0.9899o D. 0.9659参考答案: A解析: 向量a⃗与向量b⃗⃗的夹角余弦值计算为a⃗⃗⋅b⃗⃗|a⃗⃗||b⃗⃗|=√14√77≈0.9746。
6.向量a⃗=(1,2,3)与向量b⃗⃗=(4,5,6)是否共线？o A. 是o B. 不是o C. 无法确定o D. 以上都不对参考答案: B解析: 向量a⃗与向量b⃗⃗的分量不成比例，因此它们不共线。
7.向量a⃗=(1,2,3)与向量b⃗⃗=(4,5,6)是否正交？o A. 是o B. 不是o C. 无法确定o D. 以上都不对参考答案: B解析: 向量a⃗与向量b⃗⃗的点积不为0，因此它们不正交。
8.向量a⃗=(1,2,3)与向量b⃗⃗=(4,5,6)的向量积是否垂直于这两个向量？o A. 是o B. 不是o C. 无法确定o D. 以上都不对参考答案: A解析: 向量积的结果向量总是垂直于构成叉积的两个向量。
第8章空间解析几何与向量代数近年试题济南大学(最新整理)
B 4、设 a, b 为两个向量，则正确的是
（A） a b a b =0；
（） （B） a b a b =0；
（C） a b 表示以 a ， b 为邻边的平行四边形的面积；
（D） a b a b = 0 ．
利用数量积和向量积的性质: a b 0 a b ， a b 0 a b ，
2 s
2 n
= 2
|4| 2
3
2 . arc sin 3
2. 3
0910B
一、填空题（每小题 2 分，共 10 分）
1、 过 点 (3,0,1) 且 与 平 面 3x 7 y 5z 12 0 垂 直 的 直 线 方 程
为
．
与平面垂直的直线和该平面的法向量平行，
x 3 y z 1 3 7 5
为
.
M1M 2 (2 1,3 2,1 (1)) (1,1, 2) ， n (1, 1,1)
i j k
所求平面的法向量 n1 1 1 2 3i j 2k.
1 1 1
所求平面方程为: 3(x 1) ( y 2) 2(z 1) 0 或 3x y 2z 7 0
二、选择题（每小题 2 分，共 10 分）
y2 z2 2x 0
2、
曲
线
z
3
在 xOy 面 上 的 投 影 曲 线 的 方 程 是
（）
y2 2x
（A）
z
0
；
y2 2x 9
（B）
z
0
；
（C） y 2 2x 9 ；
y2 2x 9
（D）
z3
．
在 xOy 面上的投影曲线，消去曲线中的变量 z，然后联立 z=0.
y
z
高等数学(同济五版)第七章-空间解析几何与向量代数-练习题册
第七章 空 间 解 析 几 何第 一 节 作 业一、选择题（单选）：1. 点M(2,-3,1)关于xoy 平面的对称点是：（A ）（-2,3,1）； （B ）（-2,-3,-1）； （C ）（2,-3,-1）； （D ）（-2,-3,1） 答：（ ） 2. 点M(4,-3,5)到x 轴距离为：（A ）.54)(;54)(;5)3()(;5)3(4222222222+++-+-+D C B答：（ ） 二、在yoz 面上求与A （3,1,2）,B(4,-2,-2)和C(0,5,1)等距离的点。
第 二 节 作 业设.32,,.2,v u c b a c b a v c b a u ρρρρρρρρρρρρρ-+-=++=表示试用第 三 节 作 业一、选择题（单选）：已知两点:),0,3,1()2,2,2(2121的三个方向余弦为则和M M M M.22,21,21)(.22,21,21)(;22,21,21)(;22,21,21)(-------D C B A 答：（ ） 二、试解下列各题：1. 一向量的终点为B （2，-1，7），它在x 轴，y 轴，z 轴上的投影依次为4，-4，4，求这向量的起点A 的坐标。
.{}.6,7,6.3.34.45,42,353.2的单位向量求平行于向量轴上的分向量上的投影及在轴在求向量设-=-+=-+=-+=++=a y x p n m a k j i p k j i n k j i m ρρρρρρρρρρρρρρρρρ第 四 节 作 业一、选择题（单选）：)()()()(:.1D C B A b a ρρρρρρρρρρ上的投影为在向量 答：（ ）.//)(;)(;)(;//)(:0,.2的必要但不充分条件的充要条件的充要条件的充要条件是则为非零向量与设b a D b a C b a B b a A b a b a ρρρρρρρρρρρρ=⊥=⋅ 答：（ ）.6321)(;14321)(;14321)(;6321)(:,321,,.3222222=++=++=++=++++====D C B A c b a s c b a 的长度为则两两垂直向量ρρρρρρρ答：（ ）二、试解下列各题：{}{}.,),3,1,3()1,3,3(),2,1,1(.4.,,4,1,2,2,5,3.3.,5,4,3,,2,85,3),(.13221321321321同时垂直的单位向量求与和已知的关系与求轴垂直与设求向量的数量积分别为与三向量设设M M M M M M M z b a b a x k j a k i a j i a k x j x i x x b a -+=-=+=+=+=++=-+===μλμλπρρρρρρρρρρρρρρρρρρρρ..,3,3.7.)()()(,2,3,32.6.,0,,.5的面积求已知和求已知求为单位向量且满足已知OAB k j k i c b a c b b a j i c k j i b k j i a a c c b b a c b a c b a ∆+=+=⋅⨯+⨯+-=+-=+-=⋅+⋅+⋅=++ρρρρρρρρρρρρρρρρρρρρρρρρρρρρρρρρρρρ第 五 节 作 业选择题（单选）：1. 在xoy 面上的曲线4x 2-9y 2=36绕x 轴旋转一周，所得曲面方程为：（A ）4(x 2+z 2)-9y 2=36; (B) 4(x 2+z 2)-9(y 2+z 2)=36（C）4X2-9(y2+z2)=36; (D) 4x2-9y2=36.答：（）2. 方程y2+z2-4x+8=0表示：（A）单叶双曲面；（B）双叶双曲面；（C）锥面；（D）旋转抛物面。
(完整版)向量代数与空间解析几何练习题
第4章 向量代数与空间解析几何练习题习题4.1一、选择题1．将平行于同一平面的所有单位向量的起点移到同一点， 则这些向量的终点构成的图形是( ）（A ）直线； (B ） 线段； (C ） 圆； (D) 球．2．下列叙述中不是两个向量a 与b 平行的充要条件的是( ）（A)a 与b 的内积等于零; (B)a 与b 的外积等于零;（C)对任意向量c 有混合积0)(=abc ； (D ）a 与b 的坐标对应成比例．3．设向量a 的坐标为313， 则下列叙述中错误的是( ) （A ）向量a 的终点坐标为),,(z y x ； （B ）若O 为原点，且a OA =， 则点A 的坐标为),,(z y x ；（C ）向量a 的模长为222z y x ++;（D ） 向量)2/,2/,2/(z y x 与a 平行．4．行列式213132321的值为（ )（A ） 0 ； （B ） 1 ； （C ） 18 ； (D ） 18-．5．对任意向量a 与b , 下列表达式中错误的是（ )(A ）||||a a -=； （B ）||||||b a b a +>+； （C ） ||||||b a b a ⋅≥⋅； (D ） ||||||b a b a ⨯≥⋅．二、填空题1．设在平行四边形ABCD 中，边BC 和CD 的中点分别为M 和N ，且p AM =，q AN =，则BC =_______________,CD =__________________．2．已知ABC ∆三顶点的坐标分别为A （0，0，2），B(8，0，0），C(0，8，6），则边BC 上的中线长为______________________．3．空间中一动点移动时与点)0,0,2(A 和点)0,0,8(B 的距离相等， 则该点的轨迹方程是_______________________________________．4．设力k j i F 532++=， 则F 将一个质点从)3,1,0(A 移到)1,6,3(,B 所做的功为____________________________．5．已知)2,5,3(A ， )4,7,1(B , )0,8,2(C ， 则=⋅AC AB _____________________;=⨯BA BC ____________________；ABC ∆的面积为_________________．三、计算题与证明题1．已知1||=a , 4||=b , 5||=c ， 并且0=++c b a ． 计算a c c b b a ⨯+⨯+⨯．2．已知3||=⋅b a , 4||=⨯b a ， 求||||b a ⋅．3．设力k j i F 532++-=作用在点)1,6,3(A ， 求力F 对点)2,7,1(,-B 的力矩的大小．4．已知向量x 与)2,5,1(,-a 共线， 且满足3=⋅x a ， 求向量x 的坐标．5．用向量方法证明, 若一个四边形的对角线互相平分, 则该四边形为平行四边形．6．已知点)7,8,3(A , )3,2,1(--B 求线段AB 的中垂面的方程．7．向量a ， b , c , 具有相同的模， 且两两所成的角相等， 若a , b 的坐标分别为)1,1,0()0,1,1(和，求向量c 的坐标．8．已知点)1,6,3(A ， )1,4,2(-B , )3,2,0(-C ， )3,0,2(--D ，(1) 求以AB ， AC , AD 为邻边组成的平行六面体的体积．(2) 求三棱锥BCD A -的体积．(3) 求BCD ∆的面积．(4) 求点A 到平面BCD 的距离．习题4。
空间解析几何与向量代数测试题
空间解析几何与向量代数测试题(总5页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--习题六一、 填空题1. 过点(3,-2,2)垂直于平面5x-2y+6z-7=0和3x-y+2z+1=0的平面方程为____________.2．轴的正向的夹与轴的正向的夹角为与的模为已知向量y x OM ,45.100→=→OM 则向量角为,600_________________.3. 过()3,1,2-点且平行于向量{}3,2,2-=和{}5,3,1--=的平面方程为__________.{}{}=-=-=→→λλλ则互相垂直和若两向量,,2,12,3,b a .5. ()向量决定的平面垂直的单位与三点)3,1,3(),1,3,3(,2,1,1321M M M - =→a ________________{}{}上的投影等于在向量向量1,2,24,1,1-==→→a b .的模等于则向量已知→→→→→→→-==⎪⎭⎫ ⎝⎛==n m a n m n m 3260,,2,50.垂直的平面方程是且与平面过点⎩⎨⎧=+-+=-+--012530742)3,0,2(z y x z y x .9. 设a b c →→→,,两两互相垂直,且a b c →→→===121,,,则向量s a b c →→→→=+-的模等于_____________.10． 过点(0,2,4)且与平面x+2z=1,y-3z=2都平行的直线是________________.1 =⎩⎨⎧=-+-=+-+D x z y x D z y x 则轴有交点与若直线,06222032.二、 选择题1． 表示方程⎩⎨⎧==++13694222y z y x ;1)(;)(平面上的椭圆椭球面=y B A():.0)(;)(答上的投影曲线椭圆柱面在椭圆柱面=y D C2． :,轴的单位向量是且垂直于则垂直于已知向量oy a k j i a →→→→→++=⎪⎭⎫⎝⎛+-±⎪⎭⎫⎝⎛++±→→→→→→k j i B k j i A 33)(33)(():22)(22)答⎪⎭⎫ ⎝⎛+±⎪⎭⎫⎝⎛-±→→→→k i D k i C3.=+=⎪⎭⎫ ⎝⎛==→→→→→→b a b a b a 则且已知,4,,2,1π ():.5)(;2)(;21)(;1)(答D C B A +4. 平面3x-3y-6=0的位置是(A)平行xoy 平面 (B)平行z 轴,但不通过z 轴; (C)垂直于z 轴; (D)通过z 轴. 答:( ) 5．则有且但方向相反互相平行设向量,0,,,>>→→→→b a b a→→→→→→→→->+-=+b a b a B b a b a A )(;)(():)()(答→→→→→→→→+=+-<+ba b a A b a b a C6．是旋转曲面1222=--z y x 轴旋转所得平面上的双曲线绕x xoy A )( 轴旋转所得平面上的双曲线绕z xoz B )( 轴旋转所得平面上的椭圆绕x xoy C )( ():)(答轴旋转所得平面上的椭圆绕x xoz D7. :,0,0结论指出以下结论中的正确设向量→→→→≠≠b a ;0)(垂直的充要条件与是→→→→=⨯b a b a A ;0)(平行的充要条件与是→→→→=⋅b a b a B ;)(平行的充要条件与的对应分量成比例是与→→→→b a b a C():.0),()(答则是数若=⋅=→→→→b a b a D λλ8. =⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛+→→→→→→c b a c b a 则为三个任意向量设,,,→→→→→→→→⨯+⨯⨯+⨯b c a c B bc c a A )()( ():)()(答→→→→→→→→⨯+⨯⨯+⨯cb ac D cb c a C9.方程x y y 224912+==⎧⎨⎪⎩⎪在空间解析几何中表示 (A)椭圆柱面, (B) 椭圆曲线;(C)两个平行平面, (D)两条平行直线. 答:( ) 10. 对于向量,,，有（A ） 若0=⋅b a ，则,中至少有一个零向量（B ） ()())(c a c b c b a ⋅+⋅=⋅+（C ） ()()c b a c b a ⋅⋅=⋅⋅ （D ） ()()0=⋅⋅1 1. 方程y z x 22480+-+=表示(A)单叶双曲面; (B)双叶双曲面;(C)锥面; (D)旋转抛物面. 答:( )12.双曲抛物面(马鞍面)()x p y qz p q 22200-=>>,与xoy 平面交线是 (A) 双曲线; (B) 抛物线,(C)平行直线; (D)相交于原点两条直线; 答( )三、 计算题（本题共6小题，每小题8分，满分48分。
高等数学第七章空间解析几何与向量代数试题[1]
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(一)选择题1. 已知A (1,0,2), B (1,2,1)是空间两点，向量 的模是：（ ）A ）B ）C ） 6D ）9532. 设a ={1,-1,3}, b ={2,-1,2}，求c =3a -2b 是：（ ）A ）{-1,1,5}.B ） {-1,-1,5}.C ） {1,-1,5}.D ）{-1,-1,6}.3. 设a ={1,-1,3}, b ={2,-1,2}，求用标准基i , j , k 表示向量c ;A ）-i -2j +5kB ）-i -j +3kC ）-i -j +5kD ）-2i -j +5k4. 求两平面032=--+z y x 和052=+++z y x 的夹角是：（ ）A ）B ）C ）D ）2π4π3ππ5. 一质点在力F =3i +4j +5k 的作用下，从点A （1,2,0）移动到点B (3, 2,-1)，求力F 所作的功是：（ ）A ）5焦耳B ）10焦耳C ）3焦耳D ）9焦耳6. 已知空间三点M (1,1,1)、A (2,2,1)和B （2，1，2），求∠AMB 是：（ ）A ）B ）C ）D ）2π4π3ππ7. 求点)10,1,2(-M 到直线L ：12213+=-=z y x 的距离是：（ ）A ） B C ） D ）13811815818. 设求是：（）,23,a i k b i j k =-=++r r r r r r r a b ⨯r r A ）-i -2j +5k B ）-i -j +3k C ）-i -j +5k D ）3i -3j +3k9. 设⊿的顶点为，求三角形的面积是：（ ABC (3,0,2),(5,3,1),(0,1,3)A B C -）A ）B ）C ）D ）33623643210. 求平行于z 轴，且过点)1,0,1(1M 和)1,1,2(2-M 的平面方程．是：（ ）A ）2x+3y=5=0B ）x-y+1=0C ）x+y+1=0D ）01=-+y x ．填空题(1) a ∙b = （公式）(2) a ·b = （计算）(3).=⨯b a r r (4)][c b a r r r =(5) 平面的点法式方程是(6) 三维向量 21M M 的模为| 21M M |=(7) 坐标面的曲线绕轴旋转生成的旋转曲面的方程是：yoz 0),(=z y f z (8) 已知两点与，与向量方向一致的单位向量= 。
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题型1.向量的线性运算（三角形法则、平行四边形法则）；向量的坐标运算2.向量的平行、垂直以及它们之间的夹角、向量的投影3.向量的数量积（点积）；向量的向量积（叉积）4．直线方程、平面方程5.曲线方程、曲面方程内容一．向量的概念及其运算1.向量的概念 6.数乘向量2.向量的模7.向量的数量积3.单位向量8.向量的向量积4.方向角9.向量的混合积5.向量的加减运算10.向量之间的关系二．平面与直线1.平面方程2.直线方程3.平面束4.两平面的位置关系5.平面与直线的位置关系6.两直线的位置关系7.点到平面的距离三．曲面方程1.球面方程2.柱面方程3.旋转方程4.锥面5.其他二次曲面四．空间曲线方程1.空间曲线的一般方程（面交式）2.空间曲线的参数方程3.空间曲线在平面上的投影方程典型例题向量I 向量的概念与运算向量II 平面与直线方程向量III 曲面与空间曲线方程自测题七综合题与方法相结合4月6日向量练习题基础题：1. 已知A (1,0,2), B (1,2,1)是空间两点，向量 AB 的模是：（ ）A ）5B ） 3C ） 6D ）92. 设a ={1,-1,3}, b ={2,-1,2}，求c =3a -2b 是：（ ）A ）{-1,1,5}.B ） {-1,-1,5}.C ） {1,-1,5}.D ）{-1,-1,6}.3. 设a ={1,-1,3}, b ={2,-1,2}，求用标准基i , j , k 表示向量c ;A ）-i -2j +5kB ）-i -j +3kC ）-i -j +5kD ）-2i -j +5k4. 一质点在力F =3i +4j +5k 的作用下，从点A （1,2,0）移动到点B (3, 2,-1)，求力F 所作的功是：（ ）A ）5焦耳B ）10焦耳C ）3焦耳D ）9焦耳5. 已知空间三点M (1,1,1)、A (2,2,1)和B （2，1，2），求∠AMB 是：（ ）A ）2π B ）4π C ）3π D ）π 6. 设,23,a i k b i j k =-=++求a b ⨯是：（ ） A ）-i -2j +5k B ）-i -j +3k C ）-i -j +5k D ）3i -3j +3k7. 设⊿ABC 的顶点为(3,0,2),(5,3,1),(0,1,3)A B C -，求三角形的面积是：（ ）A ）362B ）364 C ）32 D ）3 8.点P(-3,2,-1)关于平面XOY 的对称点是_______，关于平面YOZ 的对称点是_________，关于平面ZOX 的对称点是__________，关于X 轴的对称点是__________，关于Y 轴的对称点是____________，关于Z 轴的对称点是____________。
9.设)4,1,2(),2,5,3(=-=b a ，问μλ与满足_________时，轴z b a ⊥+μλ10. 平行于向量)6,7,6(-=a 的单位向量为______________.11.设向量的模是4，它与轴的夹角是3π，则它在轴上的投影为_________。
12.已知A(4，0，5)，B （7，1，3），则=→-0AB ____ _____。
13.已知5,3==b a ，问________=λ时，b a λ+与b a λ-相互垂直。
14.已知7,3,2=-==b a b a ，则.________),(=∧b a 15．已知a 与b 垂直，且,12,5==b a 则._____________,=-=+b a b a16．向量c b a ,,两两垂直，且3,2,1===c b a ，则c b a s ++=的长度为______.综合题17.设k j i p k j i n k j i m 45,742,853-+=--=++=，求向量p n m a -+=34在x 轴上的投影，及在y 轴上的分向量.18.设k j i b k j i a -+=--=2,23，求(1)b a b a b a b a 23)2)(2(⨯⋅-⨯⋅及；及(3)a 、b 的夹角的余弦.19.知)3,1,3(),1,3,3(),2,1,1(321M M M -，求与3221,M M M M 同时垂直的单位向量.20.已知a 和b 为两非零向量，问t 取何值时，向量模||tb a +最小？并证明此时)(tb a b +⊥.21.已知平行四边形ABCD 的两个顶点A （2，-3，-5），B （-1，3，2）及它的对角线的交点E （4，-1，7），求顶点C 、D 的坐标。
22.设k j i c k j i b k j i a45,742,853-+=--=++=，求向量43l a b c =+-在x 轴上的投影以及在y 轴上的分向量23.已知A(1,-1,2)，B(5,-6,2)，C(1,3,-1)，求： （1）同时与AB 及AC 垂直的单位向量；（2）∆ABC 的面积；（3）从顶点A 到边BC 的高的长度4月7日向量练习题基础题1. 求平行于z 轴，且过点)1,0,1(1M 和)1,1,2(2-M 的平面方程．是：（ ）A ）2x+3y=5=0B ）x-y+1=0C ）x+y+1=0D ）01=-+y x ．2. 求点)10,1,2(-M 到直线L ：12213+=-=z y x 的距离是：（ ）A ）138B 118C ）158D ）13.填空题（1）过点（3，0，-1）且与平面0573=+-z y x 平行的平面方程为___________.（2）过两点（4，0，-2）和（5，1，7）且平行于ax 轴的平面方程为___________.（3）若平面01111=+++D z C y B x A 与平面02222=+++D z C y B x A 互相垂直，则充要条件是_________________若上两平面互相平行，则充要条件是__________.（4）设平面092:=--+z ky x π，若π过点，则=k _______;又若π与平面03342=-++z y x 垂直，则=k ________.（5）一平面过点（6，-10，1），它在ax 轴上的截距为，在oz 轴上的截距为2，则该平面方程是__________（6）一平面与02:1=++z y x π及1:2=-y x π都垂直，则该平面法向量为_________.（1）过点（4，-1，3）且平行于直线5123-==-z y x 的直线方程为____________ （7）过两点（3，-2，1）和（-1，0，2）的直线方程为___________（8）过点（2，0，-3）与直线⎩⎨⎧-=-+=+-1253742x y x z y x 垂直的平面方程为_______________ （9）直线211232:+=-=+z y x L 和平面08332:=-++z y x π的交点是____________4.分别按下列条件求平面方程：（1）平行于XOZ 平面且通过点（2，-5，3）；（2）平行于x 轴且经过点（4，0，-2），（5，1，7）；（3）过点（-3，1，-2）和Z 轴.5..求过点（1，1，1）和点（0，1，-1）且与平面0=++z y x 相垂直的平面方程。
6.求点（1，-4，5）到平面0142=-+-z y x 的距离。
7.已知平面02122:1=++-∏z y x 与平面05247:2=-+∏z x ，求平分1∏和2∏夹角的平面方程。
8.求满足下列条件的直线方程：（1）过点（4，-1，3）且平行于直线51123-==-z y x . (2)过点（0，2，4）且同时平行于平面12=+z x 和23=-z y .（3）过点且垂直于平面2310x y z +++=.9.求点（3，-1，2）到直线24010x y z x y z -+-=⎧⎨+-+=⎩的距离.10.求过z 轴，且与平面052=-+z y x 的夹角为3π的平面方程.11.求过点(1,1,-1)，且平行于向量a =(2,1,1)和b =(1,-1,0)的平面方程.12.过)4,0,1(-且平行于平面01043=-+-z y x 又与直线21311z y x =-=+相交的直线方程13.求过直线⎩⎨⎧=--+=-+-022012z y x z y x ，且与直线2l ：211z y x =-=平行的平面.14.求直线⎩⎨⎧=--=++003z y x z y x 与平面01=+--z y x 的夹角.4月8日向量练习题基础题：1、以点(1,3,-2)为球心，且通过坐标原点的球面方程为__________________.2、方程0242222=++-++z y x z y x 表示______________曲面.3、1)将xOy 坐标面上的x y 22=绕x 轴旋转一周，生成的曲面方程为 _______________，曲面名称为___________________.2)将xOy 坐标面上的x y x 222=+绕x 轴旋转一周，生成的曲面方程 _____________，曲面名称为___________________.3)将xOy 坐标面上的369422=-y x 绕x 轴及y 轴旋转一周，生成的曲面方程为_____________，曲面名称为_____________________.4）在平面解析几何中2x y =表示____________图形。
在空间解析几何中2x y =表示______________图形.4.将xoy 坐标面上的圆2)1(22=-+y x 绕oy 轴旋转一周所生成的球面方程是___________，且球心坐标是_____________，半径为___________5.方程z y =2在平面解析几何中表示__________，在空间解析几何中表示___________。
6.以点（1，2，3）为球心，且过点（0，0，1）的球面方程是__________7.在空间直角坐标系中方程⎪⎩⎪⎨⎧=-=-0214922x z x 表示_____________ 8.曲面z y x =-22在xoz 坐标面上的截痕是____________ 9.双曲抛物面z y x 2322=-与xoy 坐标面的交线是_____________ 综合题10. 求球面9222=++z y x 与平面1=+z x 的交线在xOy 面上的投影方程.11.求曲线⎩⎨⎧==-+30222z x z y 在xoy 坐标面上的投影曲线的方程，并指出原曲线是什么曲线？12.柱面的准线是xoy 面上的圆周（中心在原点，半径为1），母线平行于向量}1,1,1{=g ，求此柱面方程.。