向量代数与空间解析几何PPT课件
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向量代数与空间解析几何ppt课件
模：||a||=| |·||a||
0
>0: 与a相同
方向：
a
a=
<0: 与a相反
=0: a=0
运算律：
(1) (a)=()a= (a) 结合律
(2) (+)a=a+a (a+b)=a+ b
(3) 1·a=a, (–1)a= – a
分配律
2a 1a
2
定理1 b//a R , 使 b= a.
a 0，设 a°与a方向相同的一个单位向量，
R1 M1
P
P1 O
Q1
P2
M2 Q
N
y
Q2
P1P2 Q1Q2 R1R2 x
称 P1P2,Q1Q2,R1R2 为 M1M2 在Ox,Oy,Oz轴上的分向量 .
z
M 1 M 2P 1P 2Q 1 Q 2R 1R 2
R2
R
令 i, j, k 分别为沿Ox, Oy,
第 7章
向量代数与空间解析几何
§1 空间直角坐标系
1.空间直角坐标系
空间直角坐标系 Oxyz
z
坐标原点 O
坐标轴 Ox , Oy , Oz
坐标平面
O
y
•
xOy , yOz , xOz x
右手系
卦限
III z
II
VII
IV
x
VIII
I
o
y
VI
V
2. 点的投影 空间一点M在直线(或轴上)的投影
M•
d |M 1 M 2 | ( x 2 x 1 ) 2 ( y 2 y 1 ) 2 ( z 2 z 1 ) 2
由勾股定理
z
高等数学之空间解析几何与向量代数PPT课件
半径为 5 的球面.
说明: 如下形式的三元二次方程 ( A≠ 0 )
A(x2 y2 z2 ) Dx Ey Fz G 0
都可通过配方研究它的图形. 其图形可能是 一个球面 , 或点 , 或虚轨迹.机动 目录 上页 下页 Nhomakorabea回 结束
二、空间曲线的一般方程
空间曲线可视为两曲面的交线, 其一般方程为方程组
z 特别,当M0在原点时,球面方程为
x2 y2 z2 R2
z R2 x2 y2 表示上(下)球面 . o
x
M0
M
y
机动 目录 上页 下页 返回 结束
例2. 研究方程 x2 y2 z2 2x 4 y 0 表示怎样
的曲面.
解: 配方得 (x 1)2 ( y 2)2 z2 5 此方程表示: 球心为 M 0 (1, 2, 0 ),
M
解:在 xoy 面上， x2 y2 R2表示圆C,
C
o
M1
y
在圆C上任取一点M1(x, y,0), 过此点作 x
平行 z 轴的直线 l , 对任意 z , 点M (x, y, z)
l
的坐标也满足方程 x2 y2 R2
沿曲线C平行于 z 轴的一切直线所形成的曲面称为圆
柱面. 其上所有点的坐标都满足此方程, 故在空间中
化简得 2x 6y 2z 7 0
说明: 动点轨迹为线段 AB 的垂直平分面. 显然在此平面上的点的坐标都满足此方程, 不在此平面上的点的坐标不满足此方程.
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定义1. 如果曲面 S 与方程 F( x, y, z ) = 0 有下述关系:
(1) 曲面 S 上的任意点的坐标都满足此方程;
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说明: 如下形式的三元二次方程 ( A≠ 0 )
A(x2 y2 z2 ) Dx Ey Fz G 0
都可通过配方研究它的图形. 其图形可能是 一个球面 , 或点 , 或虚轨迹.机动 目录 上页 下页 Nhomakorabea回 结束
二、空间曲线的一般方程
空间曲线可视为两曲面的交线, 其一般方程为方程组
z 特别,当M0在原点时,球面方程为
x2 y2 z2 R2
z R2 x2 y2 表示上(下)球面 . o
x
M0
M
y
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例2. 研究方程 x2 y2 z2 2x 4 y 0 表示怎样
的曲面.
解: 配方得 (x 1)2 ( y 2)2 z2 5 此方程表示: 球心为 M 0 (1, 2, 0 ),
M
解:在 xoy 面上， x2 y2 R2表示圆C,
C
o
M1
y
在圆C上任取一点M1(x, y,0), 过此点作 x
平行 z 轴的直线 l , 对任意 z , 点M (x, y, z)
l
的坐标也满足方程 x2 y2 R2
沿曲线C平行于 z 轴的一切直线所形成的曲面称为圆
柱面. 其上所有点的坐标都满足此方程, 故在空间中
化简得 2x 6y 2z 7 0
说明: 动点轨迹为线段 AB 的垂直平分面. 显然在此平面上的点的坐标都满足此方程, 不在此平面上的点的坐标不满足此方程.
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定义1. 如果曲面 S 与方程 F( x, y, z ) = 0 有下述关系:
(1) 曲面 S 上的任意点的坐标都满足此方程;
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向量代数与空间解析几何5课件
第一节 空间直角坐标系
引 我们学过平面直角坐标系，平面上的点都对应平 面直角坐标系上的一个二维坐标.那么，在空间中， 如何建立坐标系，以表示空间点呢？
一、空间直角坐标系及点的坐标
为了沟通空间图形与方程的关系，需要建立空间 点与有序数组之间的联系．为此，我们引进空间直角 坐标系．
在空间中取定一点 O 作为原点, 通过该点做三 条相互垂直的数轴, 分别称为 x 轴、 y 轴和 z 轴, 统 称为坐标轴.
d x2y2z2.
例1 在 z 轴上求一点 M , 使点 M 到点 A ( 1, 0, 2 ) 和点 B ( 1, - 3, 1 ) 的距离相等.
解 因为所求的点 M 在 z 轴上, 故点 M 的坐 标应为 ( 0 , 0 , z ) . 根据题意, 有
( 0 1 ) 2 ( 0 0 ) 2 ( z 2 ) 2 ( 0 1 ) 2 ( 0 3 ) 2 ( z 1 ) 2 , 解得 z = – 3 , 即点 M 的坐标是 ( 0 , 0 , – 3 ) .
各卦限内, 点的坐标符号为
Ⅰ: ( + , + , + ) , Ⅲ: ( – , – , + ) , Ⅴ: ( + , + , – ) , Ⅶ: ( – , – , – ) ,
Ⅱ: ( – , + , + ) , Ⅳ: ( + , – , + ) , Ⅵ: ( – , + , – ) , Ⅷ: ( + , – , – ) .
二、空间中两点间的距离 对空间中两点 M 1 ( x 1 , y 1 , z 1 ) 和 M 2 ( x 2 , y 2 , z 2 ) , 可用其坐标表示它们之间的距离 d . 过 M 1 , M 2 两点各做三个分别垂直于三条坐标 轴的平面. 这 6 个平面围成以 M 1 , M 2 为顶点的长 方体, 见图 6 – 4 .
引 我们学过平面直角坐标系，平面上的点都对应平 面直角坐标系上的一个二维坐标.那么，在空间中， 如何建立坐标系，以表示空间点呢？
一、空间直角坐标系及点的坐标
为了沟通空间图形与方程的关系，需要建立空间 点与有序数组之间的联系．为此，我们引进空间直角 坐标系．
在空间中取定一点 O 作为原点, 通过该点做三 条相互垂直的数轴, 分别称为 x 轴、 y 轴和 z 轴, 统 称为坐标轴.
d x2y2z2.
例1 在 z 轴上求一点 M , 使点 M 到点 A ( 1, 0, 2 ) 和点 B ( 1, - 3, 1 ) 的距离相等.
解 因为所求的点 M 在 z 轴上, 故点 M 的坐 标应为 ( 0 , 0 , z ) . 根据题意, 有
( 0 1 ) 2 ( 0 0 ) 2 ( z 2 ) 2 ( 0 1 ) 2 ( 0 3 ) 2 ( z 1 ) 2 , 解得 z = – 3 , 即点 M 的坐标是 ( 0 , 0 , – 3 ) .
各卦限内, 点的坐标符号为
Ⅰ: ( + , + , + ) , Ⅲ: ( – , – , + ) , Ⅴ: ( + , + , – ) , Ⅶ: ( – , – , – ) ,
Ⅱ: ( – , + , + ) , Ⅳ: ( + , – , + ) , Ⅵ: ( – , + , – ) , Ⅷ: ( + , – , – ) .
二、空间中两点间的距离 对空间中两点 M 1 ( x 1 , y 1 , z 1 ) 和 M 2 ( x 2 , y 2 , z 2 ) , 可用其坐标表示它们之间的距离 d . 过 M 1 , M 2 两点各做三个分别垂直于三条坐标 轴的平面. 这 6 个平面围成以 M 1 , M 2 为顶点的长 方体, 见图 6 – 4 .
向量代数与空间解析几何课件
第4章 向量代数与空间解析几何4.1 空间直角坐标系4.1.1 坐标系在空间中任意取定点O ，从O 引出三条相互垂直的数轴，它们都以点O 为坐标原点，且一般具有相同的长度单位。
这三条数轴分别称为x 轴（横轴），y 轴（纵轴），z 轴（竖轴），统称为坐标轴，点O 称为坐标原点。
我们常用的是右手系，即用右手握着z 轴，当右手四指从x 轴正向转向y 轴正向时大拇指的指向就是z 轴的正向。
图4.1在此空间直角坐标系中，x 轴称为横轴，y 轴称为纵轴，z 轴称为竖轴，O 称为坐标原点;每两轴所确定的平面称为坐标平面，简称坐标面.x 轴与y 轴所确定的坐标面称为xOy 坐标面，类似地有yOz 坐标面，zOx 坐标面。
这些坐标面把空间分为八个部分，每一部分称为一个卦限.在空间直角坐标系中建立了空间的一点M 与一组有序数),,(z y x 之间的一一对应关系。
有序数组),,(z y x 称为点M 的坐标；z y x ,,分别称为x 坐标，y 坐标，z 坐标图 4.2O这八个卦限中坐标的对应符号为：记忆起来也不难：前四个卦限的x 坐标和y 坐标和平面直角坐标系中四个象限的符号一样，z 坐标都是正的；后四个卦限的x 坐标和y 坐标和也平面直角坐标系中四个象限的符号一样，z 坐标都是负的。
4.1.2 空间两点间的关系设空间两点1111(,,)M x y z ，2222(,,)M x y z ，求它们之间的距离12d M M =。
过A 、B 两点各作三个平面分别垂直于三个坐标轴，形成如图8-4所示的长方体。
2212221222212222212121()()()d M M M B BM M A AB BM x x y y z z ==+=++=-+-+-所以d =特别地，点(,,)M x y z 与原点O 的距离为 d OM ==4.2 向量代数4.2.1 向量的概念在现实世界中，我们常见到两类量：一类是数量，如温度、长度、质量等，这类量只有大小，没有方向也称为标量；还有一类量既有大小也有方向如力、速度、加速度等，这类量称为向量或矢量。
向量代数与空间解析几何—向量代数(高等数学课件)
1.二元极限定义
设＝ ＋ ＋ , ＝ ＋ ＋ ，则
由于 × ＝ × ＝ × ＝0， × ＝， × ＝， × ＝，
× ＝－， × ＝－， × ＝－.
因此 × = − − − + − .
即 = × .
2. 向量积的运算律
1.二元极限定义
向量积满足下列运算律：
（1）结合律
× = × = × ()；
（2）分配律
+ × = × + × ．
值得注意的是：向量的向量积一般不满足交换律.一般有： × = − ×
3. 向量积的坐标表达式
向量的运算
1.二元极限定义
3.向量与数量的乘法
设λ是一实数，向量与λ的乘积仍然是一个向量：
当＞0时，λ的方向与的方向相同，它的模等于 的λ倍；
当λ＜0时，λ的方向与的方向相反，它的模等于 的 倍。
当λ＝0时，λ还是零向量。
v
由此不难得到以下结论：向量与非零向量共线的充要条件是：存
（3）分配律
+ ∙=∙+∙
3. 数量积的坐标表达式
设＝ ＋ ＋ ，＝ ＋ ＋ ，则
· ＝（ ＋ ＋ ） · （ ＋ ＋ ）
= · ＋ · ＋ · ＋ · + ·
在唯一实数λ，使=λ.
向量的运算
1.二元极限定义
3.向量与数量的乘法
向量与数量的乘法满足结合律、分配律：
λ（μ）＝（λμ）; （结合律）
（λ＋μ）＝λ＋μ;（分配律）
λ（＋）＝λ＋λvv.（分配律）
其中,λ,μ均为实数。
向量的线性运算
设＝ ＋ ＋ , ＝ ＋ ＋ ，则
由于 × ＝ × ＝ × ＝0， × ＝， × ＝， × ＝，
× ＝－， × ＝－， × ＝－.
因此 × = − − − + − .
即 = × .
2. 向量积的运算律
1.二元极限定义
向量积满足下列运算律：
（1）结合律
× = × = × ()；
（2）分配律
+ × = × + × ．
值得注意的是：向量的向量积一般不满足交换律.一般有： × = − ×
3. 向量积的坐标表达式
向量的运算
1.二元极限定义
3.向量与数量的乘法
设λ是一实数，向量与λ的乘积仍然是一个向量：
当＞0时，λ的方向与的方向相同，它的模等于 的λ倍；
当λ＜0时，λ的方向与的方向相反，它的模等于 的 倍。
当λ＝0时，λ还是零向量。
v
由此不难得到以下结论：向量与非零向量共线的充要条件是：存
（3）分配律
+ ∙=∙+∙
3. 数量积的坐标表达式
设＝ ＋ ＋ ，＝ ＋ ＋ ，则
· ＝（ ＋ ＋ ） · （ ＋ ＋ ）
= · ＋ · ＋ · ＋ · + ·
在唯一实数λ，使=λ.
向量的运算
1.二元极限定义
3.向量与数量的乘法
向量与数量的乘法满足结合律、分配律：
λ（μ）＝（λμ）; （结合律）
（λ＋μ）＝λ＋μ;（分配律）
λ（＋）＝λ＋λvv.（分配律）
其中,λ,μ均为实数。
向量的线性运算
《高等数学》课件第7章 空间解析几何与向量代数
右手定则,即以右手握住z 轴,当右手的四个手指从 x轴正向以 角度转向 y 轴正向时,大拇指的指向就是z
2 轴的正向.
Ⅲ
yOz面
Ⅳ
xOy面
x
Ⅶ Ⅷ
z zOx面
Ⅱ
Ⅰ
•O
y
Ⅵ Ⅴ
二、空间两点间的距离公式
空间两点间的距离：P1( x1, y1, z1 )、P2( x2 , y2 , z2 )
z
P2
P1
ki j,
j i k, k j i , i k j.
(a ybz azby )i (azbx axbz ) j (axby a ybx )k
设 a ax i ay j az k , b bx i by j bz k , 则 ( ax i ay j az k ) (bx i by j bz k ) i j jk ki 0
(2) 结合律 ( a ) b a ( b ) ( a b )
向量积的坐标表达式
设
a
axi
ay j
azk,
b bxi by j bzk
ab
(a
x
i
a
y
j
az k
)
(bxi
by
j
bzk )
i i j j k k 0,
i j k,
jk i,
第 七 章 向空 量间 代解 数析 几 何 与
目录
第一节 空间直角坐标系 第二节 向量及其线性运算 第三节 向量的坐标 第四节 向量的数量积与向量积 第五节 平面及其方程 第六节 空间直线及其方程 第七节 常见曲面的方程及图形
第一节 空间直角坐标系
一、空间直角坐标系简介
三条垂直相交且具有相同长度单位的数轴,构成一 个空间直角坐标系,交点O称为坐标原点,这三条轴分别 叫做z 轴(横轴)、y 轴(纵轴)和x轴(竖轴).
2 轴的正向.
Ⅲ
yOz面
Ⅳ
xOy面
x
Ⅶ Ⅷ
z zOx面
Ⅱ
Ⅰ
•O
y
Ⅵ Ⅴ
二、空间两点间的距离公式
空间两点间的距离：P1( x1, y1, z1 )、P2( x2 , y2 , z2 )
z
P2
P1
ki j,
j i k, k j i , i k j.
(a ybz azby )i (azbx axbz ) j (axby a ybx )k
设 a ax i ay j az k , b bx i by j bz k , 则 ( ax i ay j az k ) (bx i by j bz k ) i j jk ki 0
(2) 结合律 ( a ) b a ( b ) ( a b )
向量积的坐标表达式
设
a
axi
ay j
azk,
b bxi by j bzk
ab
(a
x
i
a
y
j
az k
)
(bxi
by
j
bzk )
i i j j k k 0,
i j k,
jk i,
第 七 章 向空 量间 代解 数析 几 何 与
目录
第一节 空间直角坐标系 第二节 向量及其线性运算 第三节 向量的坐标 第四节 向量的数量积与向量积 第五节 平面及其方程 第六节 空间直线及其方程 第七节 常见曲面的方程及图形
第一节 空间直角坐标系
一、空间直角坐标系简介
三条垂直相交且具有相同长度单位的数轴,构成一 个空间直角坐标系,交点O称为坐标原点,这三条轴分别 叫做z 轴(横轴)、y 轴(纵轴)和x轴(竖轴).
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R (0 ,0 , z)
1 1 1 1
z
M
Q (0 , y,0 )
y
x P(x,0,0)
A (x, y,0 )
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二、空间两点间的距离
( x ,y , z ) , ( x ,y ,z ) 对两点 A 与B 则两点间的距离公式: 2 2 2 1 1 1
及B 等距 例3. 在 z 轴上求与两点 A ( 3 , 5 , 2 ) ( 4 , 1 , 7 ) 离的点 . 解: 设该点为 M M A M B , ( 0 , 0 ,z ) , 因为
( 4 ) 1 (7z) 3 2 5 2 ( 2z)2
14 故所求点为 解得 z 14 , M ( 0 , 0 , ). 9 9
记作 a＝b ;
若向量 a 与 b 方向相同或相反, 则称 a 与 b 平行, 记作 a∥b ; 规定: 零向量与任何向量平行 ; 与 a 的模相同, 但方向相反的向量称为 a 的负向量,
记作－a ;
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二、向量的线性运算
1. 向量的加法 平行四边形法则:
b b a
2 M M )2 (32 )2 6 2 3 (5 7) (21
2 6 2 2 ( 3 1 ) ( 5 4 ) ( 2 3 ) M M 1 3
M M M M 2 3 1 3
M M M 即 1 2 3为等腰三角形 .
M1
M2
M3
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a
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3. 向量与数的乘法
• 坐标轴 • 坐标面
Ⅳ
yoz面
1 1 1 1
z
M
Q (0 , y,0 )
y
x P(x,0,0)
A (x, y,0 )
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二、空间两点间的距离
( x ,y , z ) , ( x ,y ,z ) 对两点 A 与B 则两点间的距离公式: 2 2 2 1 1 1
及B 等距 例3. 在 z 轴上求与两点 A ( 3 , 5 , 2 ) ( 4 , 1 , 7 ) 离的点 . 解: 设该点为 M M A M B , ( 0 , 0 ,z ) , 因为
( 4 ) 1 (7z) 3 2 5 2 ( 2z)2
14 故所求点为 解得 z 14 , M ( 0 , 0 , ). 9 9
记作 a＝b ;
若向量 a 与 b 方向相同或相反, 则称 a 与 b 平行, 记作 a∥b ; 规定: 零向量与任何向量平行 ; 与 a 的模相同, 但方向相反的向量称为 a 的负向量,
记作－a ;
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二、向量的线性运算
1. 向量的加法 平行四边形法则:
b b a
2 M M )2 (32 )2 6 2 3 (5 7) (21
2 6 2 2 ( 3 1 ) ( 5 4 ) ( 2 3 ) M M 1 3
M M M M 2 3 1 3
M M M 即 1 2 3为等腰三角形 .
M1
M2
M3
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a
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3. 向量与数的乘法
• 坐标轴 • 坐标面
Ⅳ
yoz面
向量代数与空间解析几何—空间解析几何(高等数学课件)
1 + 1 + 1 + 1 = 0 ,
2 + 2 + 2 + 2 = 0 .
方程组（1）我们称之为直线的一般式方程。
(1)
2.空间直线的点向式方程
1.二元极限定义
与直线平行（共线）的非零向量称为直线的方向向量．
设已知直线 L 过点 M 0 ( x0 , y0 , z0 )，其方向向
（1）过点 A(1, 2,3) ， B(1,1, 1) 的直线方程；
x 1 y 1 z 2
（2）过点 M (0, 2,3) ，且与直线 L1 :
平行的直线方程；
3
2
1
（3）过点 P(2,1,3) ，且与平面 π : 3x 2 y z 1 0 垂直的直线方程．
例题
一点.因为向量 ⊥平面，0 ⊂平面，所以 ⊥ 0 .
由向量垂直的充要条件可知 ⋅ 0 = 0，
而0 = − 0 , − 0 , − 0 ，根据向量数量积的坐标表达式有：
− 0 + − 0 + − 0 = 0
此方程是由平面上一个点的坐标和平面的法向量确定的，因此，我们称之为平面的
出了平面平行或垂
直的判定方法。
空间上点到平面
的距离公式。
思考题
求满足下列条件的平面方程：
(1)过原点且法向量 = 1,2,3 ；
一元函数，但在自然科学和工程两
(2)在, , 轴上的截距分别是2, −3,4
空间直线及其方程
知识点讲解
1.空间直线的一般式方
程
2.空间直线的点向式方程
3.空间直线的参数方程
1.空间直线的一般方程式
2 + 2 + 2 + 2 = 0 .
方程组（1）我们称之为直线的一般式方程。
(1)
2.空间直线的点向式方程
1.二元极限定义
与直线平行（共线）的非零向量称为直线的方向向量．
设已知直线 L 过点 M 0 ( x0 , y0 , z0 )，其方向向
（1）过点 A(1, 2,3) ， B(1,1, 1) 的直线方程；
x 1 y 1 z 2
（2）过点 M (0, 2,3) ，且与直线 L1 :
平行的直线方程；
3
2
1
（3）过点 P(2,1,3) ，且与平面 π : 3x 2 y z 1 0 垂直的直线方程．
例题
一点.因为向量 ⊥平面，0 ⊂平面，所以 ⊥ 0 .
由向量垂直的充要条件可知 ⋅ 0 = 0，
而0 = − 0 , − 0 , − 0 ，根据向量数量积的坐标表达式有：
− 0 + − 0 + − 0 = 0
此方程是由平面上一个点的坐标和平面的法向量确定的，因此，我们称之为平面的
出了平面平行或垂
直的判定方法。
空间上点到平面
的距离公式。
思考题
求满足下列条件的平面方程：
(1)过原点且法向量 = 1,2,3 ；
一元函数，但在自然科学和工程两
(2)在, , 轴上的截距分别是2, −3,4
空间直线及其方程
知识点讲解
1.空间直线的一般式方
程
2.空间直线的点向式方程
3.空间直线的参数方程
1.空间直线的一般方程式
第八章空间解析几何与向量代数.ppt课件
且平行平面3x 4y z 10 0
又与直线 x 1 y 3 z
3
12
相交的直线方程。
例3．已知质点M以 M0 1,1,1 为
起点，以21米／秒的速度，在向
量 R 2,3,6 的方向上作直线
运动，试求质点M的运动方程。
例4．求直线
L1
:
x 1 1
y 4
z
3 1
和
L2
:
x 2
y2 2
z 1
例2．在平行四边形 ABCD 中，
设 AB a , AD b ，试用
a和b 表示向量
MA ,MB ,MC和MD
。
例3．求解以向量为未知元的线性方
程组 5x3 ya 其中 3x2 yb
a=2,1, 2 b=1,1,-2
例4．已知两点
A x1, y1, z1 和 B x2, y2, z2
以及实数 1 ，在直线 AB
上求点 M ,使 AM MB 。
例5．已知空间一点 M 的坐
标为 3, 4,5 ，试在直角
坐标系 oxyz 中描出它
的位置。
例6．已知空间一点 M 的坐标
为 3,3, 2 ，试描出它关于坐标
面
oxy
oy ，坐标轴
和坐标
o 原点 的对称点。
例7．求证以
M1 4,3,1 M2 7,1, 2 M3 5, 2,3
例14．设立方体一条对角线为 OM
一条棱为 OA ，且 OA a ，
求 OA在OM 方向上的投影
prj OA OM
。
§8-2 数量积 向量积 混合积
例1．试用向量证明三角形的余弦
定理。
例2．在 XOY 坐标面上，求出与
大学数学专业空间解析几何向量代数PPT课件
它 们 的 和 是 零 矢 量.
C
证 必 要 性 设 三 矢 量a，b，c可 以
构 成 三 角 形ABC， 即 有AB a, BC A
B
b,CA c， 那 么AB＋BC＋CA＝AA 0,即a b c 0
充 分 性 设a b c 0， 作AB a, BC b, 那 么AC
a b, 所 以AC c 0, 从 而c是 AC的反矢 量，因此c＝
叫 做 矢 量a1 , a2 ,, an的 线 性 组 合.
定理1.4.4 在n 2时，矢量a1, a2 ,, an线性相关的 充 要 条 件 是 其 中 有 一 个矢 量 是 其 余 矢 量 的 线 性组 合.
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定理1.4.6 两矢量共线的充要条件是它们线性相关.
定 义1.4.2 对 于n(n 1)个 矢 量a1, a2 ,, an， 如 果 存
r xe1 ye2 ze3 ,
(1.4 3)
并 且 其 中 系 数x, y, z被e1 , e2 , e3 , r唯 一 确 定.
这时e1, e2 , e3叫做空间矢量的基底.
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定 理1.4.3 如 果 矢 量e1 , e2 , e3不 共 面 ， 那 么 空 间
任 意 矢 量r可 以 由 矢 量e1 , e2 , e3线 性 表 示 ， 或 说 空 间 任 意 矢 量r可 以 分 解 成 矢 量e1 , e2 , e3的 线 性 组 合 ， 即
A
Q M
B
P
CB
由条件可知: BC = 2BP, AC = 2AQ.
S
Q
T
P
C
设AS = AP, B2T = BQ,
2
3
第七章空间解析几何与向量代数-PPT精品文档
设 AB , AD 例1 在平行四边形ABCD中， . a b 试用 a 和 b表示向量 MA 、MB 、 MC 和 MD ,
这里M是平行四边形对角线的角交点. D 解 由于平行四边形的对角线 互相平分 , 所以 C
M b a b AC 2 AM , 即 ( a b ) 2 AM , 于是 1 A B MA (ab). a 2 1 因为 MC (ab). MA , 所以 MC 1 2 又因 a b BD 2 MD , 所以MD (ba). 1 2 由于 MB 所以 MB (ab). MD ,
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Ⅲ
yoz 面
z
zox 面
Ⅱ Ⅳ
xoy 面
Ⅶ Ⅷ
o
y Ⅰ
Ⅵ Ⅴ
x
空间直角坐标系共有八个卦限
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向量 r的坐标分解式： r OM x i y j z k 向径： 以原点为起点，M为终点的向量，例如 r.
空间的点 ,y ,z) 有序数组 (x 特殊点的表示: 坐标轴上的点 P , Q , R , 坐标面上的点 A , B , C , O ( 0 , 0 , 0 )
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2
设 e a 表示与非零向量 a同方向的单位向量，按照向量与数 的乘积的规定， a a |a |e ea . a |a |
上式表明：一个非零向量除以它的模的结果是一个与原向 量同方向的单位向量.
两个向量的平行关系 0 定理 设向量 a ，那么，向量 b 平行于 的充分必 a 要条件是：存在唯一的实数 ，使 b a.
向量代数与空间解析几何课件
空间曲线
空间中的曲线可以由三个 参数方程表示，例如球面 和抛物面。
曲面
曲面可以由两个或三个参 数方程表示，例如球面和 圆柱面。
空间解析几何中的常见问题与解决方法
求解点到直线的距离
使用点到直线距离公式，将点坐标和直线方程代入公式计 算。
求解两直线交点
将两直线的方程联立求解，得到交点的坐标。
判断两线是否平行或垂直
向量的数量积
01
向量数量积的定义
两个向量的数量积定义为它们的模长和夹角的余弦值的乘积，记作a·b
。
02
向量数量积的性质
数量积满足交换律、结合律、数乘律和分配律。
03
向量数量积的应用
在物理学中，向量数量积常用于描述力的做功、动量等物理量；在解析
几何中，向量数量积可用于计算向量的长度和向量的投影等。
向量的向量积
02
空间几何基础
空间直角坐标系
空间直角坐标系的定义
坐标轴上的单位向量
空间直角坐标系是三维空间中的一个 固定坐标系，由三个互相垂直的坐标 轴组成，分别为x轴、y轴和z轴。
与x轴、y轴和z轴正方向同向的单位向 量分别记为i、j、k，它们的模都为1， 且满足i×j=k，j×k=i，k×i=j。
空间点的坐标表示
在空间直角坐标系中，任意一点P的 位置可以用三个实数x、y、z来表示， 这三个实数称为点P的坐标。
向量的线性组合
向量线性组合的定义
如果向量a和b满足a=λb（λ为实数），则称向量a是向量b的线性 组合。
向量线性组合的性质
线性组合满足交换律、结合律和数乘律。
向量线性组合的应用
在物理学、工程学等领域中，向量线性组合常用于描述力的合成与 分解、速度和加速度的合成等。
高等数学第七章空间解析几何与向量代数课件.ppt
D
b a BD
2 MB
b M
MA
1 2
(
a
b
)
MB
1 2
(
b
a
)
A
a
MC
1 2
(
a
b
)
MD
1 2
(
b
a
)
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C B
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三、空间直角坐标系
1. 空间直角坐标系的基本概念
过空间一定点 o ,由三条互相垂直的数轴按右手规则
组成一个空间直角坐标系.
• 坐标原点
Ⅲ
z z 轴(竖轴)
和
计算向量
的模 、方向余弦和方向角 .
解: M1M 2 ( 1 2, 3 2 , 0 2 ) (1, 1, 2 )
(1)2 12 ( 2)2 2
cos 1 , cos 2
2
2
2 ,
,
3
3
3
4
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3. 向量在轴上的投影与投影定理
z
r
在三个坐标轴上的分向量：
cos
x r
x x2 y2 z2
z
r
o
y
x
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cos x
r
cos y
r
cos rz
x x2 y2 z2
y x2 y2 z2
z x2 y2 z2
方向余弦的性质:
z
r
o
y
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化简求得 z 14 ， 从而所求M点 (0,0,为 14)
9
9
坐标系. Oy轴与Oy轴垂直，单位等长； Ox轴与Oy轴
交角120(或135)，单位长为Oy轴上的单位长的 2 倍
(或 1 倍) ；
2
2
直线. 空间中本来相互平行的直线在图中依然要保持
平行；
作图： 作点 P(2,1,3), Q(1,2,-1), R(-2,-1,-1)
模：||a||=| |·||a||
0
>0: 与a相同
方向：
a
a=
<0: 与a相反
=0: a=0
运算律：
(1) (a)=()a= (a) 结合律
(2) (+)a=a+a (a+b)=a+ b
(3) 1·a=a, (–1)a= – a
分配律
2a 1a
2
定理1 b//a R , 使 b= a.
a 0，设 a°与a方向相同的一个单位向量，
第 7章
向量代数与空间解析几何
§1 空间直角坐标系
1.空间直角坐标系
空间直角坐标系 Oxyz
z
坐标原点 O
坐标轴 Ox , Oy , Oz
坐标平面
O
y
•
xOy , yOz , xOz x
右手系
卦限
III z
II
VII
IV
x
VIII
I
o
y
VI
V
2. 点的投影 空间一点M在直线(或轴上)的投影
M•
M1 (x1, y1, z1), M2 (x2, y2, z2), d |M 1 M 2 | ( x 2 x 1 ) 2 ( y 2 y 1 ) 2 ( z 2 z 1 ) 2
特别地，点O (0, 0, 0) 与 M (x, y, z)之间的距离
dOM x2y2z2
例1. 在Oz轴上求与A(4,1,7)和B(3,5,2)等距离的点. 解： 设所求的点为M(0,0,z).
=〈a, b〉= 〈b, a〉
限定 0〈a, b〉 向量在轴 u 上的投影
设aM1M2
O
PjruM1M2u2u1
a
b M2
a
M1
u1
u2
u
(1) Pju rM 1M 2||M 1M 2||cos= ||a|| cos〈a, u〉
(2) P j u ( a 1 r a 2 a n ) P j u a 1 r P j u a 2 r P j u a n r
x
z
o
y
4. 两点间距离 数轴上两点 M1=x1, M2=x2, 有
d=| M1 M2|=| x2 – x1| (x2 x1)2 平面上两点 M1 (x1, y1), M2 (x2, y2), 有
d |M 1 M 2|(x 2 x 1 )2 (y 2 y 1 )2 设空间中两点M1 (x1, y1, z1), M2 (x2, y2, z2), 是否应有
d |M 1 M 2 | ( x 2 x 1 ) 2 ( y 2 y 1 ) 2 ( z 2 z 1 ) 2
由勾股定理
z
R2
R
R1 M1
M2 Q
P1 P2
P O
N
y
Q1
Q2
x
|M 1M 2||M 1N|2|N2 M |2 |M 1P|2|PN |2|N2 M |2 |x 2 x 1|2 |y 2 y 1|2 |z2 z 1|2 (x 2 x 1 )2 (y 2 y 1 )2 (z2 z 1 )2
由 ||a|| >0，故 ||a||·a° 也与 a 方向相同，且
于是
|| ||a||·a° || = ||a||·||a° ||= ||a||
a ||a||a。
而同时有
a。 1 a || a ||
称 a° 为 a 的单位向量. (常被用来表示向量 a 的方向.)
5. 向量在轴上的投影 向量间的夹角
–a
2. 向量的加法 c = a + b
b a
平行四边形法则
b a
三角形法则
a1+a2+…+an 运算规律： (1) a+b=b+a (交换律) (2) (a+b)+c=a+(b+c) (结合律) (3) a+0=a (4) a+(–a)=0
3. 向量减法 a–b= a+(–b)
b
a –b
4. 数与向量的乘法
§2 向量的概念及其表示
1. 向量 向量：既有大小又有方向的量
aB
模：向量的大小，记|| a ||, || AB || A
单位向量：模等于1的向量
零向量：模等于0的向量(方向任意) ，记0.
所有向量的共性：大小、方向，因此定义
a b
向量相等：①模相等, ②方向相同，记 a=b
负向量：与a的模相等而方向相反的向量， a 记 –a.
|A| M ( 0 4 ) 2 ( 0 1 ) 2 ( z 7 ) 2 6 1 6 z 4 z 2
|B | M ( 0 3 ) 2 ( 0 5 ) 2 ( z 2 ) 2 3 4 8 z z 2
由|AM|=|BM|，得 6 1 6 z 4 Biblioteka 2 3 4 8 z z 2•
M1
•M • M2 空间一点M在平面上的投影
3.点的直角坐标
z
R
M
O
P
Qy
x
M (x, y, z)
有序数组(x, y, z)称为点M的坐标，记为M(x, y, z)
x, y, z 分别称为点 M 的横、纵、立坐标.
討論题
原点O的坐标 坐标轴上的点的坐标
坐标面上的点的坐标
各卦限中的点的坐标 的符号
a1
M1
M2 a2 M3
u1
u2
u u3
5. 向量的分解和向量的坐标
例1. 设P1与P2为u轴上的两点，坐标分别为u1和u2；又
e为与u轴正向一致的单位向量，则 P1P2(u2u1)e
事实上, 若u1<u2, 有||P1P2 ||u2 u1，且 P1 P2 与e 同向，故
P1P2 (u2u1)e
若u1>u2, 有||P1P2 ||u1u2，且 P1 P2 与e 反向，故
R1 M1
P
P1 O
Q1
P2
M2 Q
N
y
Q2
P1P2 Q1Q2 R1R2 x
称 P1P2,Q1Q2,R1R2 为 M1M2 在Ox,Oy,Oz轴上的分向量 .
z
M 1 M 2P 1P 2Q 1 Q 2R 1R 2
R2
R
令 i, j, k 分别为沿Ox, Oy,
P 1 P 2 (u 1 u 2)e (u 2 u 1 )e
若u1=u2, 有|| P1P2 || 0，故 P1P2 0；又 (u2u1)e0
故也有
P1P2 (u2u1)e
设aM1M2
M 1M 2M 1NM 1RM 1PM 1QM 1R
但 M1PP1P2
z
R2
R
M1QQ1Q2 M1RR1R2 M1M2