空间解析几何简介-资料

空间解析几何简介
❖ 向量及其线性运算 ❖ 数量积 向量积 *混合积 ❖ 空间平面及其方程 ❖ 空间直线及其方程 ❖ 二次曲线及其方程 ❖ 二次曲面及其方程
空间解析几何
第一部分 向量 第二部分 空间解析几何
在三维空间中: 空间形式 — 点, 线, 面
数量关系 — 坐标, 方程（组） 基本方法 — 坐标法; 向量法
2O . 设方 B 有向b两角,称非与零方=向向∠量余AOa弦B,b(,0任≤ 取≤空间) 为一向点量O , a作 ,bO 的夹 A a 角,.
记作 (a ,b )或 (b ,a )
类似可定义向量与轴, 轴与轴的夹角 .
O
给 r ( x ,定 y ,z ) 0 ,称r与三坐标轴的夹角
,
与 a 的模相同, 但方向相反的向量称为 a 的负向量, 记作－a ;
因平行向量可平移到同一直线上, 故两向量平行又称 两向量共线 .
若 k (≥3)个向量经平移可移到同一平面上 , 则称此 k 个向量共面 .
二、向量的线性运算
1. 向量的加法 平行四边形法则:
b ab
a 三角形法则: ab
b a 运算规律 : 交换律 a b b a 结合律 (ab)ca(bc)a b c
第一节 向量及其线性运算
一、向量的概念 二、向量的线性运算 三、空间直角坐标系 四、利用坐标作向量的线性运算 五、向量的模、方向角、投影
一、向量的概念
向量: 既有大小, 又有方向的量称为向量 (又称矢量).
表示法: 有向线段 M1 M2 , 或 a ,或 a .
向量的模 : 向量的大小, 记作 M 1M2,或 a , 或 a .
M
rOM O P O Q OR o
Q y
由勾股定理得
P
x
N
rOM O2 P O2 Q O2 R x2y2z2
对两点 A(x1,y1,z1)与 B(x2,y2,z2),因
B
ABO B O A( x 2 x 1 ,y 2 y 1 ,z 2 z 1 )
得两点间的距离公式:
A
ABAB ( x 2 x 1 ) 2 ( y 2 y 1 ) 2 ( z 2 z 1 ) 2
规定 : 0时，a与 a同， 向 a a ;
总之: 运算律
:
结 分合 配00律 律时 时,,a (( a a a与 )0 a ) a a . 反 ( ， a 向 a ) a a a a 1 1 可a a ;见 a ;a ;
(ab)a b
若a0,则有单位a向 量a1 a. 因此 a aa
坐标轴 : y0
y x轴 z 0 y轴 z 0 x0
z轴 x 0 y0
2. 向量的坐标表示
在空间直角坐标系下, 任意向量 r 可用向径 OM 表示.
u r u u r u r 以 e 1 ( 1 , 0 , 0 ) , e 2 ( 0 , 1 , 0 ) , e 3 ( 0 , 0 , 1 ) 分 别 表 示 x , y , z 轴 上 的 单 位 向 量 ,
三、空间直角坐标系
1. 空间直角坐标系的基本概念
过空间一定点 o ,由三条互相垂直的数轴按右手规则
组成一个空间直角坐标系.
• 坐标原点
Ⅲ
zz 轴(竖轴)
Ⅱ
• 坐标轴
Ⅳ
• 坐标面
• 卦限(八个) Ⅶ x
x轴(横轴)
Ⅷ
yoz 面
o
xoy面
Ⅴ
Ⅰ
y
y轴(纵轴)
Ⅵ
在直角坐标系下
点 M 1 1有序数组 (x, y, z) 1 1向径 r
A
B ,
为其方向角.
方向角的余弦称为其方向余弦.
co srx
x x2 y2 z2
z
r
o y
x
co srx
x x2 y2 z2
cos
y r
y x2 y2 z2
z
r
o y
x
cos
z r
z x2 y2 z2
方向余弦的性质: c2 o s c2 o s c2 o s 1 向量 r的 r 单rr位 :(向 c 量 ,o c o s,cso ) s
(称为点 M 的坐标) 特殊点的坐标 :
原点 O(0,0,0) ; 坐标轴上的点 P, Q , R ;
坐标面上的点 A , B , C z
R(0,0, z)
B(0, y,z)
C(x,o,z)
rM
o
y
Q(0, y,0)
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x P(x,0,0) A(x,y,0)
z
o
x
坐标面 : xoy面 z0
yoz面 x0 zox面y0
向径 (矢径): 起点为原点的向量.
自由向量: 与起点无关的向量. 单位向量: 模为 1 的向量,记a 作 或 a.
M2
零向量: 模为 0 的向量, 记0 ， 作 或 0. M 1
若向量 a 与 b大小相等, 方向相同, 则称 a 与 b 相等, 记作 a＝b ;
若向量 a 与 b 方向相同或相反, 则称 a 与 b 平行,记作 a∥b ; 规定: 零向量与任何向量平行 ;
三角形法则可推广到多个向量相加 .
s a 1 a 2 a 3 a 4 a 5
a4
a5
a3 s
a2 a1
2. 向量的减法
bab(a) 特别 ba当 时 ,有
a
b
ba
aaa(a)0
a
三角不等式
ba
a bab
a bab
3. 向量与数的乘法 是一个数 , 与
a
的乘积是一个新向量,
记作 a.
a b ( a x b x ,a y b y ,a z b z)
a(ax,ay,az)
平行向量对应坐标成比例:
当 a 0 时 ,
ba
ba
bx by b z ax ay a z
bx ax
by ay
bz az
五、向量的模、方向角、投影
1. 向量的模与两点间的距离公式
z R
设 r (x ,y ,z)作 ,O M r ,则有
设点 M的坐标为 M(x,y,z),则
z O M O N M O O A O BC C
u u u r u ru u u r u u ru u u r u ru r
O A x e 1 , O B y e 2 , O C z e 3 ,e 3
r rxe u r1ye u u r2ze u r3 (x,y,z)
ur o Ae 1
u e
ur
2
r M B y
此x e u 式r 1 ,称y e u u 为r 2 ,z 向e u r 3 量称 r为 的向 坐量 标r r分沿解三式个坐, 标轴方向x的分向量N.
四、利用坐标作向量的线性运算 设 a (a x,a y,a z)b , (b x,b y,b z),为实数，则