第七章空间解析几何简介详解

Oyz面上点的坐标为(0,y,z)， Ozx面上点的坐标为(x,0,z)， 原点O坐标为(0,0,0).
空间的点一一对应有序数组( x, y, z)
特殊点的表示: 坐标轴上的点 P, Q, R, 坐标面上的点 A, B, C, 坐标原点O(0,0,0)
z
R(0,0, z)
B(0, y, z)
C( x,0, z)
n维空间 Rn中的点：
n元有序数组 (x1 , x2 ,, xn )
其中，数 xi称为该点的第i个坐标.
n维空间中两点间的距离：
PQ ( y1 x1)2 ( y2 x2 )2 ( yn xn )2
其中，点为 P( x1 , x2 ,, xn ) 和 Q( y1 , y2 ,, yn )
空间解析几何简介
一、空间直角坐标 二、空间两点间的距离
三、曲面及其方程
一、空间直角坐标
三条坐标轴的正方向 符合右手法则.
z 竖轴
(vertical axis)
即以右手握住 z
轴，当右手的四个
原点 o •
手指从 x轴正向以
2
角度转向正向 y 轴
(origin)
y 纵轴
(ordinate axis)
M2M3 M3M1 , 原结论成立.
例 2 设 P 在 x轴上，它到点P1(0, 2,3)的距离 为到点P2(0,1,1)的距离的两倍，求点P 的坐标.
解 因为 P 在 x轴上，设P点坐标为 ( x,0,0),
PP1 x2 2 2 32 x2 11,
PP2 x2 12 12 x2 2,
面方程.
解 设 M ( x, y, z)是球面上任一点, 根据题意有 | MM0 | R, ( x x0 )2 ( y y0 )2 (z z0 )2 R
( x x0 )2 ( y y0 )2 (z z0 )2 R2
特别地:球心在原点时方程为2 2x 4 y 0表示怎样
O x P( x,0,0)
• M(x, y, z)
y
Q(0, y,0) A( x, y,0)
二、空间两点间的距离
设 M1( x1 , y1 , z1 )、M2 ( x2 , y2 , z2 )为空间两点，
zR
M1•
P O
d M1M2 ?
• M2
Q N
在直角M1 NM 2 及 直 角 M1 PN
的曲面? 解 对原方程配方,得
( x 1)2 ( y 2)2 z2 5, 所以,原方程表示的球心在 M0(1,2,0)、半径为 R 5 的球面方程.
1. 柱面( cylinder )
定义 平行于定直线并沿定曲线 C 移动的直线 L 所形成的曲面称为柱面。
这条定曲线C叫 柱面的准线
注：当n=1,2,3时，上式即是数轴、平面及空间 两点间的距离 .
思考题
在空间直角坐标系中，指出下列各点在哪个 卦限？
A(1,2,3), B(2,3,4), C(2,3,4), D(2,3,1) .
思考题解答 A Ⅳ; B Ⅴ; C Ⅷ; D Ⅲ.
三、曲面及其方程
1. 曲面方程的概念
曲面的实例： 水桶的表面、台灯的罩子面等．
曲面在空间解析几何中被看成是点的几何轨迹．
曲面方程的定义：
如果曲面S 与三元方程F ( x, y, z) 0有下述关系： （1）曲面S 上任一点的坐标都满足方程； （2）不在曲面S 上的点的坐标都不满足方程； 那么，方程F ( x, y, z) 0 就叫做曲面S 的方程， 而曲面S 就叫做方程的图形．
Ⅰ x>0,y>0,z>0
Ⅴ x>0,y>0,z<0
Ⅱ x<0,y>0,z>0
Ⅵ x<0,y>0,z<0
Ⅲ x<0,y<0,z>0
Ⅶ x<0,y<0,z<0
Ⅳ x>0,y<0,z>0
Ⅷ x>0,y<0,z<0
坐标轴上和坐标面上的点，其坐标各有一定的
特征： X 轴上点的坐标为 (x,0,0)， Y 轴上点的坐标为 (0,y,0)， Z 轴上点的坐标为 (0,0,z)， Oxy面上点的坐标为(x,y,0)，
中，使用勾股定
y 理知
x
d 2 M1P 2 PN 2 NM2 2 ,
M1P x2 x1 , PN y2 y1 , NM 2 z2 z1 ,
zR
M1•
P
O
• M2
Q Ny
x
d M1P 2 PN 2 NM2 2
M1M2 x2 x1 2 y2 y1 2 z2 z1 2 .
横轴 x (abscissa axis)
时，大拇指的指向
就是 z 轴的正向.
空间直角坐标系
( space rectangular coordinates system )
Ⅲ
yOz面 Ⅳ
xOy面
Ⅶ
x
Ⅷ
z zOx面
o
Ⅴ
空间被分为八个卦限
Ⅱ
yⅠ
Ⅵ
八个卦限中点的坐标
卦限 点的坐标 x, y, z 卦限 点的坐标 x, y, z
本节只对一些常见的曲面，围绕下面两个基 本问题进行讨论：
(Ⅰ)已知曲面作为点的轨迹时，求曲面方程． （讨论柱面(cylinder)、旋转曲面(rotating surface)）
（Ⅱ）已知坐标间的关系式，研究曲面形状． （讨论二次曲面(twice surface)）
例 3 建立球心在点M0 ( x0 , y0 , z0 ),半径为R 的球
空间两点间距离公式
特殊地：若两点分别为 M( x, y, z) , O(0,0,0)
则 d OM x2 y2 z2 .
例 1 求证以M1(4,3,1)、M 2 (7,1,2)、M 3 (5,2,3)
三点为顶点的三角形是一个等腰三角形.
解 M1M2 2 (7 4)2 (1 3)2 (2 1)2 14, M2M3 2 (5 7)2 (2 1)2 (3 2)2 6, M3M1 2 (4 5)2 (3 2)2 (1 3)2 6,
PP1 2 PP2 , x2 11 2 x2 2
x 1, 所求点为 (1,0,0), (1,0,0).
n维空间
n维空间：一 般地，设n为一个取定的正整数，
n元有序实数组 (x1, x2,, xn的)
全体构成的集合. 表示为：
Rn x1, x2 ,, xn xi R, i 1,2,, n