空间解析几何基本知识
空间解析几何知识点
空间解析几何知识点在数学中，解析几何是研究几何图形与代数表达式之间关系的分支学科。
解析几何广泛应用于物理、工程学和计算机图形学等领域。
而在解析几何中，空间解析几何是其中的一个重要分支，它研究的是三维空间中的几何形状和位置关系。
本文将就空间解析几何的一些重要知识点进行探讨。
一、平面与直线的表示在空间解析几何中，平面和直线是两个基本的几何概念。
我们可以通过向量和点坐标来表示平面和直线。
对于平面来说，如果已知平面上的一个点A和两个不共线的向量AB和AC，那么平面上的任意一点P都可以表示成向量AP的线性组合，即P=A+x(AB)+y(AC)，其中x、y为实数。
而对于直线来说，如果已知直线上的一个点A和一个不为零的向量u，那么直线上的任意一点P都可以表示成P=A+tu，其中t 为实数。
二、平面与平面的位置关系在空间解析几何中，平面与平面的位置关系有三种情况：相交、平行和重合。
我们可以通过向量来判断平面与平面的位置关系。
如果两个平面的法向量不平行，那么它们一定相交于一条直线；如果两个平面的法向量平行但不重合，那么它们一定平行；如果两个平面的法向量相等，那么它们重合。
三、直线与直线的位置关系在空间解析几何中，直线与直线的位置关系也有三种情况：相交、平行和重合。
我们同样可以通过向量来判断直线与直线的位置关系。
如果两条直线的方向向量不平行，那么它们一定相交于一个点；如果两条直线的方向向量平行但不重合，那么它们一定平行；如果两条直线的方向向量相等，并且经过它们的一点也相等，那么它们重合。
四、平面与直线的位置关系在空间解析几何中，平面与直线的位置关系也有三种情况：相交、平行和包含。
对于平面与直线的相交关系，我们可以通过求解平面与直线的交点来判断。
如果平面与直线有且只有一个交点，那么它们相交；如果平面与直线没有交点，那么它们平行；如果平面包含直线，那么它们重合。
五、球面与直线的位置关系在空间解析几何中，球面与直线的位置关系也有三种情况：相交、不相交和切线。
7.1空间解析几何基本知识
由以上规定知道: 坐标原点O的坐标为(0, 0, 0)
z
x轴上点的坐标为(x , 0, 0)
y轴上点的坐标为(0, y, 0)
z轴上点的坐标为(0, 0, z) xy面上点的坐标为(x, y, 0) yz面上点的坐标为(0, y, z) xz面上点的坐标为(x, 0, z)
9
y x
二. 空间两点间的距离
给定空间两点 M1 ( x1 , y1 , z1 )与 M2 ( x2 , y2 , z2 )， 可证明这两点 间的距离 d 为
d M1 M 2 ( x2 x1 )2 ( y2 y1 )2 ( z2 z1 )2
这与平面解析几何中两点间的距离公式是一样的. 过 M1 , M2各作三个分别垂直于三条坐标轴的平面. 这六个平面围成一个以 M1 M 2 为对角线的长方体; (如下图)
F ( x, y, z ) 0或z f ( x, y)
……(7.1.3)
有如下关系： (1) 曲面
Σ 上的任意点 的坐标都满足方程
(7.1.3);
(2) 不在曲面
Σ 上的点的坐标都不满足方程 (7.1.3);
则称方程(7.1.3)是曲面 Σ的一般方程,而曲面 Σ 是方程(7.1.3) 的图形. (如图7.1.5）
从而所求平面方程为 得 消去D，
x y z 1 a b c
该方程称为平面的截距式， 其中 a、b 和 c 分别称为平面在 z x 轴、y 轴和 z 轴上的截距。 c 如图7.1.9 ： x
O o
b
图7.1.9
y
23
a
2) 常见二次曲面及方程 (1) 球面 以定点 M0 ( x0 , y0 , z0 ) 为球心,半径为R的球面,可以看作是 动点 M ( x , y , z ) 与球心 M0 ( x0 , y0 , z的距离相等的点的轨迹 ,即 0)
空间解析几何知识点
空间解析几何知识点1. 空间直角坐标系- 定义：由三条互相垂直的直线（x轴、y轴、z轴）确定的坐标系。
- 坐标表示：任意一点P的坐标表示为(x, y, z)。
- 距离公式：两点P1(x1, y1, z1)和P2(x2, y2, z2)之间的距离为√((x2-x1)^2 + (y2-y1)^2 + (z2-z1)^2)。
2. 向量及其运算- 向量定义：具有大小和方向的量。
- 向量表示：向量a表示为a = (a1, a2, a3)。
- 向量加法：a + b = (a1+b1, a2+b2, a3+b3)。
- 向量数乘：k * a = (ka1, ka2, ka3)。
- 向量点积：a · b = a1b1 + a2b2 + a3b3。
- 向量叉积：a × b = (a2b3 - a3b2, a3b1 - a1b3, a1b2 -a2b1)。
- 向量模：|a| = √(a1^2 + a2^2 + a3^2)。
- 向量方向余弦：向量a的方向余弦为(a1/|a|, a2/|a|, a3/|a|)。
3. 平面方程- 点法式：A(x-x0) + B(y-y0) + C(z-z0) = 0，其中A、B、C为平面的法向量，(x0, y0, z0)为平面上一点。
- 两点式：(y-y1)/(x-x1) = (y2-y1)/(x2-x1)，表示过两点P1(x1, y1, z1)和P2(x2, y2, z2)的平面。
- 一般式：Ax + By + Cz + D = 0。
4. 直线方程- 参数式：x = x0 + at, y = y0 + bt, z = z0 + ct，其中(x0,y0, z0)为直线上一点，(a, b, c)为直线的方向向量，t为参数。
- 一般式：Ax + By + Cz + D = 0。
- 点向式：(x-x0)/a = (y-y0)/b = (z-z0)/c，其中(x0, y0, z0)为直线上一点，(a, b, c)为直线的方向向量。
空间解析几何基本概念
空间解析几何基本概念空间解析几何是数学中一个重要的分支，它研究的对象是三维空间中的几何图形和几何问题。
在进行空间解析几何的学习和研究之前，我们需要先了解一些基本概念。
一、坐标系空间解析几何中常用的坐标系有直角坐标系和极坐标系两种。
直角坐标系由三个相互垂直的坐标轴构成，通常用x、y、z表示。
极坐标系则由原点、极径和极角组成，极径表示点到原点的距离，极角表示点与正x轴的夹角。
二、点、直线和平面在空间解析几何中，点是最基本的图形概念，用坐标表示为(x,y,z)。
直线可以通过两点或参数方程表示，例如直线L可以表示为：L: {(x,y,z) | x=x0+at, y=y0+bt, z=z0+ct}，其中a、b、c为实数，(x0,y0,z0)为直线上的一点。
平面可以通过三点或参数方程表示，例如平面P可以表示为：P: { (x,y,z) | Ax+By+Cz+D=0 }，其中A、B、C、D为实数。
三、距离和中点在空间解析几何中，点与点之间的距离可以通过勾股定理计算：d(P_1, P_2) = √((x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2)，其中P_1(x_1, y_1, z_1)和P_2(x_2, y_2, z_2)为两点的坐标。
直线上的两点的中点可以通过坐标的平均值计算得到。
四、向量向量是空间解析几何中的重要概念，它可以表示有方向和大小的量。
向量由起点和终点表示，可以用坐标表示为一个有序三元组。
向量的运算包括加法、减法、数量乘法和点乘法。
两个向量的加法等于它们对应坐标的相加，减法等于相减。
数量乘法将向量的大小与一个实数相乘，结果是一个新的向量。
点乘法可以用来判断两个向量是否垂直，它的结果为零表示两个向量垂直。
五、投影在空间解析几何中，投影是指点在坐标轴或平面上的影子。
点在坐标轴上的投影可以通过坐标的部分表示，例如点P的x轴投影为(x, 0,0)。
点在平面上的投影可以通过垂直于平面的直线与平面的交点来表示。
空间解析几何
空间解析几何空间解析几何是三维空间中研究点、线、面等几何对象的数学分支。
通过坐标系和向量等数学工具，可以描述和分析三维空间中的几何形状、位置关系和运动方式。
本文将介绍空间解析几何的基本概念、坐标系、向量运算和几何性质，并应用于实际问题。
一、空间解析几何的基本概念在空间解析几何中，我们首先需要了解点、直线、平面和空间的基本概念。
1. 点：点是空间中最基本的几何对象，用坐标表示。
在三维空间中，一个点可以由三个坐标确定，分别表示其在x轴、y轴和z轴上的位置。
2. 直线：直线是由无数个点组成的，在空间中没有宽度和厚度。
直线可以由一个点和一个方向向量确定，或者由两个不重合的点确定。
3. 平面：平面是由无数个点组成的，在空间中有宽度但没有厚度。
平面可以由一个点和两个不共线的方向向量确定，或者由三个不共线的点确定。
4. 空间：空间是由所有的点组成的，是点的集合。
在空间中，我们可以研究点、直线、平面和它们之间的相互关系。
二、空间解析几何的坐标系为了方便描述和计算，在空间解析几何中常常使用坐标系来表示点、向量和几何对象。
常用的坐标系有直角坐标系和柱面坐标系。
1. 直角坐标系：直角坐标系由三个相互垂直的坐标轴构成，分别是x轴、y轴和z轴。
在直角坐标系中，点的坐标表示为(x, y, z)，它们分别表示点在x轴、y轴和z轴上的投影长度。
2. 柱面坐标系：柱面坐标系由极径、极角和高度构成。
极径表示点到z轴的距离，极角表示点在xy平面上的投影与x轴正半轴之间的夹角，高度表示点在z轴上的投影长度。
三、空间解析几何的向量运算在空间解析几何中，向量是一个有大小和方向的量。
向量可以表示位移、速度、力等物理量，也可以用来表示线段、直线、平面等几何对象。
1. 向量的表示：在空间解析几何中，向量通常用有序数组表示，如a = (a₁, a₂, a₃)。
其中，a₁、a₂和a₃分别表示向量在x轴、y轴和z轴上的分量。
2. 向量的运算：空间解析几何中的向量运算包括加法、减法、数乘和点乘等。
空间解析几何基础
空间解析几何基础空间解析几何是数学中一个重要的分支，它研究了在三维空间中点、直线、平面和曲线的性质和相互关系。
本文将介绍空间解析几何的基础概念和常见问题的解决方法，帮助读者掌握这一领域的基本知识。
一、点的表示和坐标系在空间解析几何中，点的位置通常通过坐标来表示。
我们常用的坐标系是三维直角坐标系，它由三个相互垂直的坐标轴组成，分别记为x 轴、y轴和z轴。
一个点的坐标可以用一个有序数对(x, y, z)来表示，其中x表示点在x轴上的投影，y表示点在y轴上的投影，z表示点在z轴上的投影。
二、直线的表示和性质在空间解析几何中，直线可以通过两点或者一点和方向向量来表示。
假设直线上有两点A和B，我们可以通过将这两点的坐标代入参数方程：x = xA + t(xB - xA)y = yA + t(yB - yA)z = zA + t(zB - zA)其中t为参数，可以取任意实数。
由参数方程可以得到直线的一些性质，比如两点确定一条直线以及直线上所有点的坐标满足参数方程。
三、平面的表示和性质与直线类似，平面可以通过三点或者一个点和两个方向向量来表示。
假设平面上有三点A、B和C，我们可以通过将这三点的坐标代入方程：Ax(x - xA) + Ay(y - yA) + Az(z - zA) = 0其中Ax、Ay和Az分别表示平面的法向量的分量，(x, y, z)为平面上任意一点的坐标。
由方程可以得到平面的一些性质，比如平面上的所有点的坐标满足平面方程。
四、空间图形的距离和角度在空间解析几何中，我们常常需要计算点到点、点到直线、点到平面和直线间的距离，以及直线与平面的夹角。
这些计算可以通过向量的方法进行。
点P到直线L的距离可以通过向量PA与直线的方向向量的叉乘来计算，即：d = |PA × n| / |n|其中n为直线L的方向向量，|·|表示向量的模。
类似地，点P到平面的距离可以通过向量PA与平面的法向量的点积来计算，即：d = |PA · n| / |n|两条直线的夹角可以通过它们的方向向量的夹角来计算，即：cosθ = |n₁ · n₂| / (|n₁| |n₂|)其中n₁和n₂分别为两条直线的方向向量，θ为夹角。
第一节 空间解析几何的基本知识.
曲面在 xOy 平面上方
z y
x
当 x 0, y 0 时, z 0
曲面通过坐标原点，我们把坐标原点叫 做椭圆抛物线的顶点
• M2
Q Ny
M1M2 x2 x1 2 y2 y1 2 z2 z1 2 .
空间两点间距离公式
特殊地：若两点分别为 M( x, y, z) , O(0,0,0)
d OM x2 y2 z2 .
例 1 求证以M1(4,3,1)、M 2 (7,1,2)、M 3 (5,2,3)
三点为顶点的三角形是一个等腰三角形.
2、球心在点 M0 ( x0 , y0 , z0 )、半径为 R的球面
方程.
解 设M( x, y, z)是球面上任一点，
根据题意有
| MM0 | R
x x0 2 y y0 2 z z0 2 R 所求方程为 x x0 2 y y0 2 z z0 2 R2
特殊地：球心在原点时方程为 x2 y2 z2 R2
Ⅲ
yoz面
Ⅳ
xoy面
Ⅶ
x
Ⅷ
z zox 面
Ⅱ
o
yⅠ
Ⅵ Ⅴ
空间直角坐标系共有八个卦限
空间的点Ｍ 11 有序数组( x, y, z)
特殊点的表示: 坐标轴上的点 P, Q, R, 坐标面上的点 A, B, C, O(0,0,0)
z
R(0,0, z)
B(0, y, z)
C( x,o, z)
o x P( x,0,0)
• x y 0 表示母线平行于
z 轴的平面. (且 z 轴在平面上)
z
o y
x
z
o y
x
一般地,在三维空间
空间解析几何
空间解析几何空间解析几何是数学中的一个重要分支，它研究的是三维空间中的几何图形和其性质。
本文将介绍空间解析几何的基本概念、常见图形以及解析方法，帮助读者更好地理解和应用空间解析几何。
一、基本概念在空间解析几何中，我们使用坐标系来描述点、直线、平面等几何对象。
一般常用的坐标系有直角坐标系和柱面坐标系。
直角坐标系中，我们使用三个坐标轴x、y、z来确定一个点的位置。
柱面坐标系中，我们使用极坐标和一个垂直轴来确定一个点的位置。
通过坐标系，我们可以得到点的坐标、距离和角度等信息。
二、常见图形1. 点：空间中的一个点可以通过其坐标表示。
例如，点A(2,3,4)表示空间中的一个点，它的x坐标为2，y坐标为3，z坐标为4。
2. 直线：空间中两个不重合的点可以确定一条直线。
直线可以用参数方程、对称式、一般式等形式表示。
3. 平面：平面是由三个不共线的点所确定的。
平面可以用一般式、点法式等形式表示。
4. 球：由空间中的一个固定点和到该点距离等于定值的所有点构成的集合称为球。
5. 圆柱体：由一个闭合的曲线和平行于该曲线的直线段所围成的曲面称为圆柱体。
圆柱体可以通过其底面半径、高和母线方程等参数表示。
三、解析方法在空间解析几何中，我们可以使用向量、点法式、平面截距式等方法来求解各种几何问题。
1. 向量：向量是空间解析几何中一个重要的工具。
它可以用来表示线段、直线的方向和长度等信息。
通过向量，我们可以进行向量加法、减法、内积、外积等运算，用来求解直线的夹角、垂直平分线等问题。
2. 点法式：点法式是求解平面方程的一种方法。
它通过平面上的一点和法向量来表示平面的方程。
利用点法式，我们可以求解平面的交点、两平面的夹角等问题。
3. 平面截距式：平面截距式可以用来表示平面上与坐标轴相交的三个截距，通过截距可以确定平面的位置和方程。
我们可以利用平面截距式来求解平面的方程、直线与平面的交点等问题。
通过以上的解析方法，我们可以将空间解析几何中的各种问题转化为代数方程或方程组求解，从而得到几何图形的性质和关系。
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例1 在 xy 坐标面上求一点 M ，使它的 x 坐标为1， 且与点 (1, 2, 2) 和点 (2, 1, 4) 的距离相等.
解 因为所求点在 xy 坐标面上，所以设该点为 (1, y, 0)
由题意，得
(1 1)2 ( y 2)2 (0 2)2 (1 2)2 ( y 1)2 (0 4)2
x
xz面上点的坐标为(x, 0, z)
8
二. 空间两点间的距离
给定空间两点 M1 ( x1 , y1 , z1 )与 M2 ( x2 , y2 , z2 )，可证明这两点 间的距离 d 为
d M1M2 ( x2 x1 )2 ( y2 y1 )2 (z2 z1 )2
这与平面解析几何中两点间的距离公式是一样的. 过 M1, M2各作三个分别垂直于三条坐标轴的平面. 这六个平面围成一个以 M1M2 为对角线的长方体; (如下图)
任一点M和一个三元有序数组(x, y, z)建立了一一对应关系.
7
由以上规定知道:
坐标原点O的坐标为(0, 0, 0)
z
x轴上点的坐标为(x , 0, 0)
y轴上点的坐标为(0, y, 0)
z轴上点的坐标为(0, 0, z)
y
xy面上点的坐标为(0, y, z)
d M1M2
(x2 x1 )2 ( y2 y1 )2 (z2 z1 )2
M1
特别地, 空间任一点M(x, y, z) x2 O
到原点O的距离为:
x1
x
m1
OM x2 y2 z2
M2
d
M3
y1
y2
y
m3
例 已知两点(–1, 0, 2),(3, –2, 4)，求此两点间的距离.
解 d (3 1)2 (2 0)2 (4 2)2 24 2 6
y、z称为点M的横坐标 、纵坐标及
z
R
竖坐标,记为M (x, y, z).
z
反之, 对于任给的三元有序数组(x, y, z), O x
可依次在 x 轴、y轴、z轴上分别 x P
M
y
Qy
找出坐标为x、 y、z 的三点P、Q、R.
然后过此三点作是三个平面分别垂直于 x轴、y轴、z轴, 这
三个平面的交点M, 就是以数组(x, y, z)为坐标的点.这样空间
本章将在一元函数微分法的基础上, 来研究多元函数的微 分法. 因为从一元函数到二元函数将会面临一些新问题, 而 从二元函数到二元以上的多元函数, 可完全类推.
故本章主要研究二元函数的微分法及其应用.要研究多元函 数, 需首先介绍一些空间解析几何知识. 现就必备知识作简单 介绍.
1
§7.1 空间解析几何基本知识
解得 y 5, 于是所求点为(1, 5, 0).
12
三. 空间曲面与方程
z
1. 曲面的一般方程 与平面解析几何相仿, 空间解析几何
利用空间坐标法, 把由点构成的几何
M(x,y,z)
S
y
O
D
x
P(x,y)
图形和代数方程联系起来.
由平面解析几何知识知，在平面直角坐标系中图形和代数
方程之间有如下联系.
yz平面及 zx平坐标面;且它们将空间分割成八个部分, 称每一个 部分为一个卦限.
4
把含三个坐标轴正方向的那个卦限为第一卦限.如图:
z
Ⅲ Ⅳ
Ⅱ Ⅰ
Ⅵy
xⅧ
Ⅴ
在xy坐标平面的上部, 依次称为第Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ卦限.
在xy坐标平面的下部与第一卦限相对应的称为第Ⅴ卦限;
以后依次称为第Ⅵ、Ⅶ、Ⅷ卦限.
5
在建立了空间直角坐标系后，就可以建立空间的点与有序数
(1) 曲面 Σ 上的任意点 的坐标都满足方程 (7.1.3); (2) 不在曲面 Σ 上的点的坐标都不满足方程 (7.1.3); 则称方程(7.1.3)是曲面 Σ的一般方程,而曲面 Σ 是方程(7.1.3)
的图形. (如图7.1.5）
14
图7.1.5
15
2．常见曲面 1) 平面
例2 一动点M( x, y, z)与两定点 A(1, 2, 3) 和 B(2, －1, 4) 的距离相等, 求此动点M的轨迹方程.
9
向xy面投影,并设 M1, M2点 在xy面的垂足各为 m1, m3 .
z
M2
d
M1
M3
y1
x2
O
x1
x
m1
y2 m3 y
则 M1 M2 2 M1 M3 2 M2 M3 2 m1m3 2 M2 M3 2
10
而 m1m3 2 x2 x1 2 y2 y1 2
z
且 M2 M3 2 z2 z1 2
组(x, y, z)之间的对应关系.
对于空间中的任意点M，过点M作三个平面分别垂直于三条
坐标轴. 且与x轴、y轴、z轴的交点依次为P、Q、 R. (如图)
z
P、Q、R三点在三个坐标轴上的坐标
R
依次为x、y、z ;这样空间的点
z
M就唯一确定了一个三元有序数组
O
(x, y, z).
x
xP
M
y
Qy
6
并把有序数组(x, y, z) 称为点M的空间直角坐标,并依次把 x、
的正方向, 就构成一个空间直角坐标系, 并 记为 oxyz.
3
其几何直观, 如下图:
z 竖轴
在空间直角坐标系 oxyz 中, 点O 称为坐标原点; ox、oy及oz 分别
称为x轴(横轴) 、y轴(纵轴)及z轴(竖轴), 并统称为坐标轴.
3
2 1 21 O 1 2 3 3
x 横轴
纵轴
y
任意两条坐标轴构成的平面称为坐标面,分别简称为xy平面.
平面解析几何 图形 曲线
(二元)方程
y f (x)或F(x, y) 0 13
对于空间中的曲面 Σ, 当建立空间直角坐标系 Oxyz 后,如 果曲面 Σ 上的任意点 M 的坐标 ( x, y, z) 与一个三元方程
F ( x, y, z) 0或z f ( x, y) ……(7.1.3)
有如下关系：
一. 空间直角坐标系 二. 空间两点间的距离 三. 空间曲面与方程 四.空间曲线的一般方程 五.空间曲线在坐标面上的投影
2
一. 空间直角坐标系
要求大家了解空间解析几何的初步知识.下面仅简要地介绍 有关解空间解析几何的一些基本概念.
1. 空间直角坐标系及空间中的点与坐标
过空间中的一个定点O, 作三条相互垂直的直线 ox、oy、oz. 再规定一个长度单位和按照右手螺旋法则去确定 ox、oy、oz
解 因为 MA MB
(x 1)2 ( y 2)2 (z 3)2 (x 2)2 ( y 1)2 (z 4)2