《高等数学》空间向量与空间解析几何
高等数学 第七章 空间解析几何与向量代数 第一节 向量及其线性运算
2a
1 − a 2
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数与向量的乘积符合下列运算规律： （1）结合律：λ ( µ a ) = µ (λ a ) = (λµ )a （2）分配律： (λ + µ )a = λ a + µ a
λ (a + b ) = λ a + λ b
两个向量的平行关系
定理 设向量 a ≠ 0，那末向量 b 平行于 a 的充 分必要条件是：存在唯 一的实数 λ，使 b = λa .
1− − ←⎯ 1→ 有序数组 ( x , y , z ) ⎯ 空间的点
称为点M的坐标，x称为横坐标, y称为纵坐标， z称为竖坐标. 记为 M ( x , y , z ) 特殊点的表示: 坐标轴上的点 P , Q , R, 坐标面上的点 A, B , C ,
O ( 0, 0, 0 )
B ( 0, y , z )
第七章 空间解析几何与向量代数
y
• P ( x, y)
O x
平面解析几何
1--1
平面上的点P 有序实数对(x,y)的集合R2
平面曲线L
1--1
方程
y = f ( x)
为了把空间的几何问题代数化,把代数的问题用几 何方法直观表示，需要建立空间解析几何.
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§1. 向量及其线性运算 一、向量的概念
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r 在三个坐标轴上的分向量：
R(0,0, z )
z
xi , yj , zk .
o
r
•
M ( x, y, z )
y
Q(0, y,0)
显然，
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向量与空间解析几何
向量与空间解析几何向量与空间解析几何是高等数学中的重要分支，它们是研究空间中点、直线、平面等几何对象的数学工具。
向量是空间中的一个重要概念，它可以用来表示空间中的位移、速度、加速度等物理量，同时也可以用来描述空间中的几何对象。
空间解析几何则是利用向量的概念，通过坐标系和代数方法来研究空间中的几何问题。
本文将从向量的定义、运算、坐标表示以及空间解析几何的基本概念和应用等方面进行详细介绍。
一、向量的定义和运算向量是空间中的一个重要概念，它可以用来表示空间中的位移、速度、加速度等物理量，同时也可以用来描述空间中的几何对象。
向量的定义如下：定义1：向量是具有大小和方向的量，用一个有向线段来表示。
向量的大小称为向量的模，用符号 a 表示，方向则由有向线段的方向确定。
向量的起点和终点分别称为向量的始点和终点，用符号a和b表示。
向量的表示方法有多种，如箭头表示法、坐标表示法、分量表示法等。
向量的运算包括加法、减法、数乘和点乘等。
其中，向量的加法和减法定义如下：定义2：向量的加法：设向量a和b的始点相同，则向量a+b的终点为向量a的终点和向量b的终点的连线的终点。
定义3：向量的减法：设向量a和b的始点相同，则向量a-b的终点为向量a 的终点和向量-b的终点的连线的终点。
向量的数乘定义如下：定义4：向量的数乘：设k为实数，则向量ka的模为k · a ，方向与向量a 的方向相同（当k>0时）或相反（当k<0时）。
向量的点乘定义如下：定义5：向量的点乘：设向量a=(a1,a2,a3)和向量b=(b1,b2,b3)，则向量a·b=a1b1+a2b2+a3b3。
向量的点乘有很多重要的性质，如交换律、分配律、结合律等，这些性质在空间解析几何中有着重要的应用。
二、向量的坐标表示向量的坐标表示是空间解析几何中的重要概念，它将向量与坐标系联系起来，使得向量的运算可以通过代数方法来进行。
在三维空间中，我们通常采用右手坐标系来表示向量，其中x轴、y轴和z轴分别垂直于彼此，并且满足右手定则。
空间向量与空间解析几何的联系知识点总结
空间向量与空间解析几何的联系知识点总结空间向量和空间解析几何是高中数学中的重要内容，两者之间存在紧密的联系。
本文将对空间向量和空间解析几何的联系进行总结和阐述。
一、空间向量的概念和性质空间向量是空间中带有方向和大小的物理量，通常用箭头表示。
空间向量具有以下性质：1. 平分定理：设空间向量$\overrightarrow{AB}$平分角$\angle AOC$，则有$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{OC}$。
2. 共线定理：若空间向量$\overrightarrow{AB}$和$\overrightarrow{AC}$共线，则存在实数$k$，使得$\overrightarrow{AB}=k\overrightarrow{AC}$。
3. 相反向量：对于任意空间向量$\overrightarrow{a}$，存在唯一一个向量$-\overrightarrow{a}$，使得$\overrightarrow{a}+(-\overrightarrow{a})=\overrightarrow{0}$。
二、空间解析几何的基本概念空间解析几何是利用坐标系统和代数方法研究空间中点、直线、平面等几何对象的学科。
其基本概念有：1. 空间直角坐标系：由三个相互垂直的坐标轴形成的坐标系。
通常用$(x, y, z)$表示空间中的点。
2. 空间直线的方程：空间直线可以用参数方程、对称方程或一般方程表示，如参数方程为：$$\begin{cases}x=x_0+mt\\y=y_0+nt\\z=z_0+pt\end{cases}$$其中$(x_0, y_0, z_0)$为直线上一点，$(m, n, p)$为方向向量。
3. 空间平面的方程：空间平面可以用点法式方程、一般方程或截距式方程表示，如点法式方程为：$$\overrightarrow{r}\cdot\overrightarrow{n}=d$$其中$\overrightarrow{r}=(x, y, z)$为平面上一点，$\overrightarrow{n}=(A, B, C)$为法向量，$d$为常数。
高等数学-第8章空间解析几何与向量代数
b a b≤+，向量与数的乘法a ，方向与、向量与数量乘法的性质(运算律和方向，所以在数学上我们研究与起点无关的向量，并称这种向量为自由向量（以后简称向量），即只考虑向量的大小和方向，而不论它的起点在什么地方。
当遇到与起点有关的向量时（例如，谈到某一质点的运动速向量A B ''在轴上的投影，记为投影AB 。
向量在轴上的投影性质：性质1（投影定理）=cos AB ϕ与向量AB 的夹角。
)=Prj 1a +Prj 2a 。
性质可推广到有限个向量的情形。
：向量a 在坐标轴上的投影向量向量a 在三条坐标轴上的投影由向量在轴上的投影定义，a 在直角坐标系Oxyz 中的坐标{,,x y z a a a 量的投影具有与坐标相同的性质。
利用向量的坐标，可得向量的加法、减法以及向量与数的乘法的运算如下：利用向量加法的交换律与结合律，以及向量与数乘法的结合律与分配律，有{,x y a a a λλλ=由此可见，对向量进行加、2x a a a =+acos a b cos a b (,)a b =为向量之间的夹角并且0θπ≤≤。
2a =，因此我们可以把a a ∙简记为x y z z 由向量的坐标还可以计算两个向量之间的夹角， cos ab θ所以2cos xa b a ba θ∙==+两个向量垂直的充分必要条件是sin a b θ，它的方向是垂直于。
a b ⨯=sin a b b 为两边的平行四边形的面积。
如果向量a ={,,a a a }，{,}b b =则a b ⨯=..........x y zi j a a b b b 两向量平行的充分必要条件为也就是说两向量共线，其对应坐标成比例。
决；在求向量，特别是求垂直向量问题时常用向量积。
注意向量的平行、垂直关系及角度。
利。
空间向量与解析几何
空间向量与解析几何空间向量和解析几何是高等数学中的两个重要概念。
本文将介绍空间向量和解析几何的基本概念和相关性质，并探讨它们在几何问题中的应用。
一、空间向量的定义和性质空间向量是指具有大小和方向的有向线段，通常用箭头表示。
空间中的向量通常用字母加箭头标记，如A B⃗，其中A和B表示向量的起点和终点。
1.1 向量的表示空间向量可以用坐标表示，也可以用点和方向向量表示。
设A(x1, y1, z1)和B(x2, y2, z2)是空间中两点，则向量AB的坐标表示为A B⃗=(x2 - x1) i⃗ +(y2 - y1) j⃗ +(z2 - z1) k⃗，其中i⃗、j⃗和k⃗分别是x、y、z轴的单位向量。
1.2 向量的运算空间向量可以进行加法、减法和数乘运算。
1.2.1 向量加法若有向量A B⃗和向量C D⃗，则它们的和为A B⃗ + C D⃗ = A C⃗。
1.2.2 向量减法向量减法与向量加法类似，即A B⃗ - C D⃗ = A B⃗ + (- C D⃗)。
1.2.3 数乘运算若有向量A B⃗，实数k，则kA B⃗ = A B⃗ + A B⃗ + ... + A B⃗ (k个A B⃗)。
1.3 向量的数量积和向量积空间向量的数量积和向量积是两个重要的向量运算。
1.3.1 向量的数量积设有两个向量A B⃗和C D⃗，它们的数量积定义为A B⃗・ C D⃗ = |A B⃗| |C D⃗ | cosθ，其中θ为A B⃗和C D⃗的夹角，|A B⃗|和|C D⃗|分别为向量的模。
1.3.2 向量的向量积设有两个向量A B⃗和C D⃗，它们的向量积定义为A B⃗ × C D⃗ = |A B⃗| |C D⃗ | sinθ n⃗，其中θ为A B⃗和C D⃗的夹角，n⃗为与A B⃗和C D⃗都垂直且符合右手定则的单位向量。
二、解析几何的基本概念和性质解析几何是将几何问题转化为代数问题进行研究的数学分支，它主要运用代数方法研究空间中的几何问题。
《高等数学》第七章 空间解析几何与向量代数
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关于向量的投影定理（2）
两个向量的和在轴上的投影等于两个向量在 该轴上的投影之和. （可推广到有限多个）
Pr j(a1 a2 ) Pr ja1 Pr ja2 .
A a1 B a2
C
u
A
B
C
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关于向量的投影定理（3）
Pr
ju a
M 2M 3 (5 7)2 (2 1)2 (3 2)2 6
M1M3 (5 4)2 (2 3)2 (3 1)2 6
M 2M3 M1M3
M1
M3
即 M1M 2M3 为等腰三角形 .
M2
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2. 方向角与方向余弦
设有两非零向量
M B
o
A
中点公式:
B
x1
2
x2
,
y1
2
y2
,
z1 z2 2
M
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五、向量的模、方向角、投影
1. 向量的模与两点间的距离公式
设 r (x , y , z ), 作 OM r, 则有 r OM OP OQ OR
由勾股定理得
r OM
z R
解 a 4m 3n p
4(3i 5 j 8k ) 3(2i 4 j 7k )
(5i j 4k ) 13i 7 j 15k,
在x 轴上的投影为ax
13,
《高等数学》第六章 向量代数与空间解析几何(电子讲稿)
205第六章 向量代数与空间解析几何在平面解析几何中，通过平面直角坐标系建立了平面上的点与二元有序实数对之间的一一对应关系，从而可以用代数方法来研究几何问题，这为一元微积分学提供了直观的几何背景．空间解析几何也是按照类似的方法建立起来的，并为研究多元函数微积分学提供直观的几何背景．本章先引进向量的概念，根据向量的线性运算建立空间直角坐标系，然后利用坐标讨论向量的运算，并利用向量工具讨论空间中的平面和直线、空间曲线和曲面的有关内容．第一节 向量及其线性运算一、向量的概念在研究力学以及其他应用科学时，常会遇到这样一类量，它们既有大小，又有方向．例如力、力矩、位移、速度、加速度等，这一类量叫做向量（或矢量）．在数学上，用一条有方向的线段（称为有向线段）来表示向量．有向线段的长度表示向量的大小，有向线段的方向表示向量的方向．以A 为起点、B 为终点的有向线段所表示的向量记作AB −−→（图6-1）．向量也可用黑粗体字母表示，也可在字母上加箭头表示，例如，a ，r ，F 或a →，→r ，→F ．由于一切向量的共性是它们都有大小和方向，所以在数学上我们只研究与起点无关的向量，并称这种向量为自由向量，简称向量．因此，如果向量a 和b 的大小相等，且方向相同，则说向量a 和b 是相等的，记为=a b ．相等的向量经过平移后可以完全重合．向量的大小叫做向量的模．向量a ，→a ，AB −−→的模分别记为||a ，||→a ，||AB −−→．模等于1的向量叫做单位向量．模等于0的向量叫做零向量，记作0或→0．零向量的起点与终点重合，它的方向可以看作是任意的．与a 的模相等而方向相反的向量，称为a 的负向量，记作-a ．设a 和b 为非零向量，在空间中任取一点O ，作OA −−→=a ，OB b −−→=，规定不超过π的AOB ∠（即0AOB ≤∠≤π）称为向量a 和b 的夹角（图6-2），记作(,)∧a b 或(,)∧b a ．如果a 和b 中有一个为零向量，规定它们的夹角可在0与π之间任意取值．若(,)0∧=a b 或π，即向量a 和b 的方向相同或相反，则称这两个向量平行，记作a //b ．可认为零向量与任何向量都平行．若(,)∧=a b 2π，则称向量a 与b 垂直，记作a ⊥b ．也可认为零向量与任何向量都垂直．当两个平行向量的起点放在同一点时，它们的终点和公共的起点在一条直线上．因此，两向量平行又称两向量共线．206 类似还有向量共面的概念，设有(3)k k ≥个向量，当把它们的起点放在同一点时，如果k 个终点和公共起点在一个平面上，就称这k 个向量共面．二、向量的线性运算1．向量的加法向量的加法运算规定如下：设有两个向量a 与b ，任取一点A ，作AB −−→=a ，再以B 为起点，作BC −−→=b ，连接AC ，（图6-3），那么向量AC −−→=c 称为向量a 与b 的和，记作+a b ，即=+c a b ．上述作出两向量之和的方法叫做向量加法的三角形法则．向量加法还满足如下平行四边形法则（图6-4）：当向量a 与b 不平行时，平移向量a ，使a 与b 的起点重合，以a ，b 为邻边作一平行四边形，从公共起点到对角的顶点C 的向量等于向量a 与b 的和+a b ．向量的加法满足下列运算规律： （1）交换律 +=+a b b a ；（2）结合律 ()()++=++a b c a b c ．由于向量的加法符合交换律与结合律，故n 个向量12,,n a a a (3)n ≥相加可写成12+++n a a a ,并按向量相加的三角形法则，可得n 个向量相加的法则如下：使前一向量的终点作为次一向量的起点，相继作向量12,n a a a ，再以第一向量的起点为起点，最后一向量的终点为终点作一向量，这个向量即为所求的和．我们规定两个向量b 与a 的差为()-=+-b a b a （图6-5）． 特别地，当=b a 时，有()-=+-=a a a a 0．显然，任给向量AB −−→及点O ，有AB AO OB OB OA −−→−−→−−→−−→−−→=+=-，因此，若把向量a 与b 移到同一起点O ，则从a 的终点A 向b 的终点B 所引向量AB −−→便是向量b 与a 的差-b a ．由三角形两边之和大于第三边的原理，有+≤+a b a b 及 -≤+a b a b ， 其中等号在b 与a 同向或反向时成立．2．向量与数的乘法向量a 与实数λ的乘积记作λa ，规定λa 是一个向量，它的模为207λλ=a a ．当0λ>时，向量λa 与a 的方向相同，当0λ<时，向量λa 与a 的方向相反．当0λ= 时，0λ=a ，即λa 为零向量，这时它的方向可以是任意的． 特别地，当1λ=±时，有1,(1)=-=-a a a a ． 向量与数的乘积运算满足下列运算规律：（1）结合律 ()()()λμμλλμ==a a a ； （2）分配律 ()λμλμ+=+a a a ；()λλλ+=+a b a b ．向量加法与数乘运算统称为向量的线性运算．●●例1 化简13525-⎛⎫-+-+ ⎪⎝⎭b a a b b ． 解 13525-⎛⎫-+-+ ⎪⎝⎭b a a b b 51(13)1525⎛⎫=-+--+⋅ ⎪⎝⎭a b 522=--a b ． ●●例2 设在平面上给了一个四边形ABCD ，点K 、L 、M 、N 分别是边AB 、BC 、CD 、DA 的中点，求证：KL NM −−→−−→=．证 如图6-6所示，连结AC ，则在BAC ∆中，KL −−→=12AC −−→；在DAC ∆中，NM −−→=12AC −−→．所以KL NM −−→−−→=． 设≠0a ，则向量||aa 是与a 同方向的单位向量，记为a e ．于是||=a a a e ．由向量的数乘运算知向量λa 与a 平行，因此有如下定理：设向量≠0a ，那么，向量b 平行于a 的充分必要条件是：存在唯一的实数λ，使λ=b a ．证 条件的充分性是显然的，下面证明条件的必要性．设b //a ．取||a b ||||=λ，当b 与a 同向时λ取正值；当b 与a 反向时λ取负值，即λ=b a ．这是因为此时b 与a 同向，且λλ===ba a ab a． 再证明实数λ的唯一性．设λ=b a ，又设μ=b a ，两式相减，得()λμ-=0a ，即 0λμ-=a ．因0≠a ，故0λμ-=，即λμ=．定理获证．定理1是建立数轴的理论依据，我们知道，给定一个点及一个单位向量就确定了一条数轴．设点O 及单位向量i 确定了数轴Ox ，对于数轴上任一点P ，对应一个向量OP −−→，由OP //i ，根据定理1，必有唯一的实数x ，使OP x −−→=i ，（实数x 叫做数轴上有向线段OP −−→的值），并知OP −−→与实数x 一一对应．于是点P向量OP x −−→=i 实数x ，从而数轴上的点P 与实数x 有一一对应的关系．据此，定义实数x 为数轴上点P 的坐标．208 由此可知，数轴上点P 的坐标为x 的充分必要条件是OP x −−→=i ．三、空间直角坐标系在空间取定一点O 和3个两两垂直的单位向量i ，j ，k ，就确定了3条都以O 为原点的两两垂直的数轴，依次记为x 轴（横轴）、y 轴（纵轴）、z 轴（竖轴），统称为坐标轴．它们构成一个空间直角坐标系，称为Oxyz 坐标系或[];,,O i j k 坐标系．通常把x 轴和y 轴配置在水平面上，而z 轴则是铅垂线，它们的正向通常符合右手规则，即用右手握住z 轴，其余四指从正向x 轴以π2角度转向正向y 轴时，大拇指所指的方向为z 轴的正向，如图6-7所示．在空间直角坐标系中，任意两个坐标轴可以确定一个平面，这种平面称为坐标面．x 轴及y 轴所确定的坐标面叫做xOy 面，另两个由y 轴及z 轴和z 轴及x 轴所确定的坐标面分别叫做yOz 面和zOx 面．3个坐标面把空间分成八个部分，每一部分叫做卦限，含有3个正半轴的卦限叫做第一卦限，在xOy 面的上方，按逆时针方向排列着第二卦限、第三卦限和第四卦限．在xOy 面的下方，与第一卦限对应的是第五卦限，按逆时针方向分别是第六卦限、第七卦限和第八卦限．八个卦限分别用字母I ，II ，III ，IV ，V ，VI ，VII ，VIII 表示（图6-8）．设M 为空间一点，过点M 作3个平面分别垂直于x 轴、y 轴和z 轴，它们与x 轴、y 轴、z 轴的交点依次为P 、Q 、R （图6-9），这3点在x 轴、y 轴、z 轴上的坐标依次为x ，y ，z ．于是空间点M 就唯一地确定了一个有序数组(,,)x y z ．反之，若已知一个有序数组(,,)x y z ，我们可以在x 轴上取坐标为x 的点P ，在y 轴上取坐标为y 的点Q ，在z 轴上取坐标为z 的点R ，然后通过P ，Q ，R 分别作与x 轴、y 轴、z 轴垂直的平面，由这3个平面得到唯一的交点M （图6-9）．用上述方法，我们建立了空间点与三元有序数组之间的一一对应关系．这组数,,x y z 叫做点M 的坐标，并依次称,x y 和z 为点M 的横坐标、纵坐标和竖坐标．点M 通常记作(,,)M x y z ．记OM −−→=r ，则=r OM OP PN NM OP OQ OR −−→−−→−−→−−→−−→−−→−−→=++=++，设OP x −−→=i ，OQ y −−→=j ，OR z −−→=k ，则OM x y z −−→==++r i j k ．上式称为向量r 的坐标分解式，x i ，y j ，z k 称为向量r 沿3个坐标轴方向的分向量．有序数,,x y z 称为向量r 在坐标系Oxyz 中的坐标，记作r (,,)x y z =．向量OM −−→=r 称为点M 关于原点O 的向径．上述定义表明，一个点与该点的向径有相同209的坐标．记号(,,)x y z 既表示点M ，又表示向量OM −−→．究竟何时表示点，何时表示向量要看具体的情况．坐标面上和坐标轴上的点，其坐标各有一定的特征．例如：点M 在xOy 面上，则0=z ；类似地，点M 在yOz 面上，则0=x ；点M 在zOx 面上，则0=y ．如果点M 在x 轴上，则0==y z ；同样，点M 在y 轴上，有0z x ==；点M 在z 轴上，有0x y ==．如果点M 为原点，则x =y 0z ==．四、利用坐标作向量的线性运算利用向量的坐标，可得向量的加法、减法以及向量与数的乘法的运算如下：设(,,)x y z a a a =a ，(,,)x y z b b b =b ，即x y z a a a =++a i j k ， x y z b b b =++b i j k ，则加法：()()()x x y y z z a b a b a b +=+++++a b i j k ； 减法：()()()x x y y z z a b a b a b -=-+-+-a b i j k ； 数乘：()()()x y z a a a λλλλ=++a i j k （λ为实数） 或(,,)x x y y z z a b a b a b +=+++a b ， (,,)x x y y z z a b a b a b -=---a b ，(,,)x y z a a a λλλλ=a ．由此可见，对向量进行加、减及与数相乘，只需对向量的各个坐标分别进行相应的数量运算就行了．由定理1可知：若≠0a 时，向量//b a 相当于λ=b a （λ为实数），即(,,)(,,),x y z x y z b b b a a a λ= 也相当于向量的对应坐标成比例，即.y x zx y zb b b a a a == ●●例3 求解以向量为未知元的线性方程组53,32-=⎧⎨-=⎩x y a x y b ，其中(2,1,2)=a ，(1,1,2)=--b ．解 如同解二元一次线性方程组，可得23,35=-=-x a b y a b ．以a 、b 的坐标表示式代入，即得2(2,1,2)3(1,1,2)(7,1,10)x =---=-， 3(2,1,2)5(1,1,2)(11,2,16)=---=-y ．●●例4 已知两点111(,,)A x y z 和222(,,)B x y z 以及实数1λ≠-，在直线AB 上求一点M ，使AM MB λ−−→−−→=．解法1 如图6-10所示，由于AM OM OA −−→−−→−−→=-，MB OB OM −−→−−→−−→=-，因此 ()OM OA OB OM λ−−→−−→−−→−−→-=-，210 从而 1()1OM OA OB λλ−−→−−→−−→=++ 121212( , , )111x x y y z z λλλλλλ+++=+++，这就是点M 的坐标．解法2 设所求点为(,,)M x y z ，则111(, , )AM OM OA x x y y z z −−→−−→−−→=-=---，222(, , )MB OB OM x x y y z z −−→−−→−−→=-=---．依题意有AM MB λ−−→−−→=，即111222(,,)(,,)λ---=---x x y y z z x x y y z z ， 则有111222(,,)(,,)(,,)(,,)λλ-=-x y z x y z x y z x y z ，故) , ,(11) , ,(212121z z y y x x z y x λλλλ++++=，从而 λλ++=121x x x ，121y y y λλ+=+，λλ++=121z z z ．点M 叫做有向线段AB −−→的λ分点，当1λ=时，点M 是有向线段AB −−→的中点，其坐标为221x x x +=，221y y y +=，221z z z +=．五、向量的模、方向角、投影1．向量的模与两点间的距离公式设向量r =(,,)x y z ，作OM −−→=r （图6-9），则OM OP OQ OR −−→−−→−−→−−→==++r ，按勾股定理可得||||OM −−→==r因为OP x −−→=i ，OQ y −−→=j ，OR z −−→=k ，所以||,||,||OP x OQ y OR z −−→−−→−−→===，于是得向量模的坐标表示式222||z y x ++=r ．设有点111(,,)A x y z ，222(,,)B x y z , 则222111212121 (,,)(,,)(,,)−−→−−→−−→=-=-=---AB OB OA x y z x y z x x y y z z ，于是A 、B 两点间的距离为||||AB AB −−→==●●例5 求证：以(1,2,3)A ，(2,1,4)B ，(4,2,1)C --为顶点的三角形是直角三角形． 证 因为2222(21)(12)(43)3AB =-+-+-=， 2222(41)(22)(13)41AC =-+--+--=， 2222(42)(21)(14)38BC =-+--+--=，211所以，2233841AB BC +=+=，又因为241AC =，根据勾股定理可知，ABC ∆是直角三角形．●●例6 设点P 在x轴上，它到点1P 的距离为到点2(0,1,1)P -的距离的两倍，求点P 的坐标．解 因为点P 在x 轴上，故可设点P 的坐标为(,0,0)x ，则1PP =，2PP =由于122PP PP=，即，解之得1x =±．从而所求点P 的坐标为(1,0,0)或(1,0,0)-．●●例7 已知两点(1,0,3)A 和(3,1,1)B ，求与AB −−→方向相同的单位向量e ． 解 因为 (3,1,1)(1,0,3)(2,1,2)AB OB OA −−→−−→−−→=-=-=-,所以，||3AB −−→=，从而 =e 1(2,1,2)3||ABAB −−→−−→=-． 2．方向角与方向余弦非零向量r =(,,)x y z 分别与x 轴、y 轴、z 轴的夹角αβγ、、称为向量r 的方向角（图6-11）．c o s,c o s ,c o s αβγ称为向量r 的方向余弦．则||cos ,||cos ,||cos x y z αβγ===r r r ．cos ||x α=r ，cos ||y β=r ，cos ||zγ=r ．从而1(cos , cos , cos )||r αβγ==r e r ． 上式表明，以向量r 的方向余弦为坐标的向量就是与r 同方向的单位向量r e ，而且有222cos cos cos 1αβγ++=．●●例8 已知两点A )和 (1, 3, 0)B ，求向量AB −−→的模、方向余弦和方向角． 解因为(12, 32, 0(1, 1, AB −−→=---=-， 所以||2)2AB −−→=，从而(cos , cos , cos )||ABAB αβγ−−→−−→=，即 1cos 2α=-，1cos 2β=，cos γ=，故 α=23π，β=3π，γ= 34π．212 ●●例9 设向量12P P −−→与x 轴和y 轴的夹角分别为3π和4π，而且122|PP |−−→=，如果点1P 的坐标为(1,0,3)，求点2P 的坐标．解 设点2P 的坐标为(,,)x y z ，则12P P −−→的坐标为(1,0,3)x y z ---，又设向量12P P −−→的方向角为α、β、γ，由题设可得α=3π，1cos 2α=，β=4π，cos β= 因为222cos cos cos 1αβγ++=，所以1cos 2γ=±．即γ=3π或γ=23π．由121cos x |PP |α−−→-= 可得12x -12=，解之得2x =，由120cos y |PP |β−−→-= 可得02y-=y = 由123cos z |PP |γ−−→-=可得32z -12=±，解之得4z =或2z =． 故点2P的坐标为或．3．向量在轴上的投影设点O 及单位向量e 确定u 轴（图6-12）．任给向量r ，作OM −−→=r ，再过点M 作与u 轴垂直的平面交u 轴于点M '（点M '叫作点M 在u 轴上的投影），则向量OM −−→'称为向量r 在u 轴上的分向量．设OM −−→'λ=e ，则数λ称为向量r 在u 轴上的投影，记作Pr j u r 或()u r ． 按此定义，向量a 在直角坐标系Oxyz 中的坐标,,x y z a a a 就是a 在3条坐标轴上的投影，即Pr j ,Pr j ,Pr j x x y y z z a a a ===a a a ．投影的性质：性质1 ()cos u a a ϕ=（即Pr j cos u a a ϕ=），其中ϕ为向量a 与u 轴的夹角． 性质2 ()()()u u u a b a b +=+（即Pr j ()Pr j Pr j u u u a b a b +=+）．性质3 ()()u u a a λλ=（即Pr j ()Pr j u u a a λλ=）．习 题 6-11．在平行四边形ABCD 中，设a −−→=AB ，AD −−→=b ，试用a 和b 表示向量MA −−→、MB −−→、MC −−→、MD −−→，其中M 是平行四边形对角线的交点．2．若四边形的对角线互相平分，用向量方法证明它是平行四边形．2133．求起点为(1,2,1)A ，终点为(19,18,1)B --的向量AB −−→与12AB -的坐标表达式．4．求平行于(1,1,1)=a 的单位向量．5．在空间直角坐标系中，指出下列各点在哪个卦限？(1,1,1),(1,1,1),(1,1,1),(1,1,1)A B C D ------6．求点(,,)M x y z 与x 轴，xOy 平面及原点的对称点坐标．7．已知点(,,)A a b c ，求它在各坐标平面上及各坐标轴上的垂足的坐标（即投影点的坐标）．8．过点(,,)P a b c 分别作平行于z 轴的直线和平行于xOy 面的平面，问它们上面的点的坐标各有什么特点？9．求点(2,5,4)P -到原点、各坐标轴和各坐标面的距离．10．求证以1(4,3,1)M 、2(7,1,2)M 、3(5,2,3)M 3点为顶点的三角形是一个等腰三角形． 11．在yOz 坐标面上，求与三个点(3,1,2),(4,2,2),(0,5,1)A B C --等距离的点的坐标． 12．z 轴上，求与点(4,1,7)-A ，点(3,5,2)-B 等距离的点． 13．求λ使向量(,1,5)λ=a 与向量(2,10,50)=b 平行． 14．求与y 轴反向，模为10的向量a 的坐标表达式．15．求与向量(1,5,6)=a 平行，模为10的向量b 的坐标表达式． 16．已知向量6410=-+a i j k ，349=+-b i j k ，试求： （1）2+a b ； （2）32-a b ．17．已知两点A ，(3,0,4)B ，求向量AB −−→的模、方向余弦和方向角．18．设向量的方向角为α，β，γ．若已知π3α=，2π3β=．求γ．19．已知3点(1,0,0)A =，(3,1,1)B ，(2,0,1)C ，求：（1）BC −−→与CA −−→及其模；（2）BC −−→的方向余弦、方向角；（3）与BC −−→同向的单位向量． 20．设23=++m i j k ，23=+-n i j k ，34=-+p i j k ，求向量23=+-a m n p 在x 轴上的投影和在y 轴上的分向量．21．一向量的终点为点(2,1,4)B --,它在x 轴，y 轴和z 轴上的投影依次为3，-3和8， 求这向量起点A 的坐标．22．已知向量a 的两个方向余弦为2cos 7α=，3cos 7β=，且a 与z 轴的方向角是钝角．求cos γ．23．设有三个力12=-F i k ，2234=-+F i j k ，3=+F j k 作用于同一质点，求合力的大小和方向角．214 第二节 数量积 向量积 混合积*一、向量的数量积1．数量积的定义设一物体在常力F 作用下沿直线从点1M 移动到点2M ，以s 表示位移12M M −−→． 由物理学知道, 力F 所作的功为cos θ=W F s , 其中θ为F 与s 的夹角（图6-13）．在现实生活中还有很多问题的求解都归结于求两个向量a 和b 的模||a 、||b 及它们的夹角θ的余弦的乘积，我们称之为向量a 和b 的数量积，记作a b ⋅（图6-14），即cos θ⋅=a b a b ．由数量积的定义可以知道,力F 所作的功是力F 与位移s 这两个向量的数量积，即W =⋅F s ，下面我们来讨论数量积的一些性质．2．数量积的性质性质 1 当a ≠0时，Pr j ⋅=a a b a b ；当b ≠0时，Pr j ⋅=b a b b a ．这就是说，两向量的的数量积等于其中一个向量的模和另一个向量在这个向量上的投影的乘积.由向量投影的定义即可证明，证明略．性质2 2⋅=a a a ．证 因为向量a 与自身的夹角0θ=，所以 2cos θ⋅==a a a a a ．性质3 两个向量a 与b 垂直的充要条件是0⋅a b =．证 若向量a 与b 中至少有一个为零向量时，由于零向量的方向可以看作是任意的，故可以认为零向量与任何向量都垂直，上述结论显然成立．如果向量a 与b 均不为零向量时，则a 与b 均不为零，故当0⋅=a b 时一定有cos 0θ=，从而θ=π2，即a ⊥b ； 反之，如果a ⊥b ，那么π2θ=，cos 0θ=，于是cos 0θ⋅==a b a b ． 3．数量积满足的运算规律（1） 交换律 a b b a ⋅=⋅．（2） 分配律 ()a b c a c b c +⋅=⋅+⋅．（3） 结合律 ()()a b a b λλ⋅=⋅, ()()()a b a b λμλμ⋅=⋅ （λ、μ 为常数）． 证 下面只证明分配律()a b c a c b c +⋅=⋅+⋅，余下的证明留给读者． 当0c =时，上式显然成立，当0c ≠时，由性质1及投影的性质有()P r ()(P r P r )c c c j j j +⋅=+=+a b c c a b c ab Pr Prc c j j =+=⋅+⋅c a c b a c b c ．●●例1 试用向量证明三角形的余弦定理．215证 设在ABC ∆中，BCA θ∠=，=BC a ，CA b =，AB c =（图6-15），要证2222cos θ=+-c a b ab ．记CB −−→=a ，CA −−→=b ，AB −−→=c ， 则有 =-c a b ，从而2()()2=⋅=-⋅-=⋅+⋅-⋅c c c a b a b a a b b a b222cos(,).=+-a b a b a b即2222cos θ=+-c a b ab ．4．数量积的坐标表示设 ()x y z a ,a ,a a =，()x y z b ,b ,b =b ，则按数量积的运算规律可得()()x y z x y z x x x y x z y x y y y z z x z y z z a a a b b b a b a b a b a b a b a b a b a b a b ⋅=++⋅++=⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅a b i j k i j ki i i j i k j i j j j k k i k j k k因为i j k 、、是两两互相垂直的单位向量，所以0⋅=⋅=⋅=⋅=⋅=⋅=i j j i j k k j k i i k ，1⋅=⋅=⋅=i i j j k k ．从而a b ⋅=++x x y y z z a b a b a b ．这就是两个向量的数量积的坐标表示式.5．两向量夹角的余弦的坐标表示设(,)θ∧=a b 则当,≠≠00a b 时, 由数量积的定义cos θ⋅=⋅a b a b 有cos ||||a b a b a b θ++⋅==⋅a ba b ． ●●例2 已知(1,1,4)=-a ，(1,2,2)=-b ，求（1）⋅a b ； （2）a 与b 的夹角； （3）a 在b 上的投影． 解 （1）⋅a b 111(2)(4)2=⋅+⋅-+-⋅9.=-（2）因为cos a b a b a b θ++==θ=3π4． （3）因为||Prj ⋅=b a b b a ，所以 P rj 3||⋅==-b a ba b ． 二、向量的向量积1．向量积的定义在研究物体转动问题时，不但要考虑这物体所受的力，还要分析这些力所产生的力矩． 设O 为一根杠杆L 的支点，有一个力F 作用于这杠杆上P 点处． F 与OP −−→的夹角为θ（图6-16）．由力学规定，力F 对支点O 的力矩是一向量M , 它的模sin |||OP |||θ−−→=M F , 而M 的方向垂直于OP −−→与F 所决定的平面, M 的指向是按右手规则从OP −−→以不超过π的角转向F 来确定的（图6-17）．216设向量c 是由两个向量a 与b 按下列方式定出：（1）c 的模：sin θ=c a b ，其中θ为a 与b 间的夹角；（2）c 的方向：垂直于a 与b 所决定的平面，c 的指向按右手规则从a 转向b 来确定（图6-18）．那么，向量c 叫做向量a 与b 的向量积，记作⨯a b ，即=⨯c a b．根据向量积的定义，力矩M 等于OP −−→与F 的向量积，即OP −−→=⨯M F ．2．向量积的性质性质1 ×0a a =．性质2 两个向量//a b 的充要条件是×0a b =．证 若向量a 与b 中至少有一个为零向量时，由于零向量的方向可以看作是任意的，故由于可以认为零向量与任何向量都平行，上述结论显然成立．如果向量a 与b 均不为零向量时，则a 与b 均不为零，故当×0a b =时一定有sin 0θ=，从而0θ=或πθ=，即//a b ；反之，如果//a b ，那么0θ=或πθ=，则sin 0θ=，于是×0a b =．3．向量积的运算规律（1）反交换律 ⨯=-⨯a b b a ．（2）分配律 ()+⨯=⨯+⨯a b c a c b c ．（3）结合律 ()()()λλλ⨯=⨯=⨯a b a b a b （λ为数）．4．向量积的坐标表示设x y z a a a =++a i j k ，x y z b b b b =i +j +k ， 按向量积的运算规律可得()()x y z x y z x x x y x z y x y y y z z x z y z z a a a b b b a b a b a b a b a b a b a b a b a b ⨯=++⨯++=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯a b i j k i j k i i i j i k j i j j j k k i k j k k由于⨯=⨯=⨯=0i i j j k k ，,,⨯=⨯=⨯=i j k j k i k i j ---⨯⨯⨯,j i =k,k j =i,i k =j ，所以()()()y z z y z x x z x y y x a b a b a b a b a b a b ⨯=-+-+-a b i j k ．217为了帮助记忆, 利用三阶行列式, 上式可写成x yz x yza a ab b b ⨯=i jk a b ． ●●例3 设向量2a i j k =+-，23b j k =+．计算a b ⨯，并计算以a ，为b 邻边的平行四边形的面积．解 121023i j ka b ⨯=-211112230302i j k --=-+832i j k =-+．根据向量积的模的几何意义，a b ⨯的模在数值上就是以a ，b 为邻边的平行四边形的面积．因而其面积S 为S ||=⨯a b●●例4 求同时垂直于向量(=-a解 记368(803)010,,=⨯=-=--i j kb a j ，故同时垂直于向量a 与y 轴的单位向量为803),,±=--b b ． ●●例5 用向量方法证明：三角形的正弦定理sin a A ＝sin bB ＝sin c C． 证 如图6-19所示，在ABC ∆中，设−−→=BC a ，CA −−→=b ，−−→=AB c ，且=a a ，b =b ，c =c , 则0++=a b c ，从而()=-+c a b ，因此()⨯=-+⨯=-⨯=⨯0c a a b a b a a b ，同理可得⨯=⨯b c a b ，所以⨯=⨯=⨯b c c a a b ．故 ⨯=⨯=⨯b c c a a b ，即 sin sin sin bc A ca B ab C ==，于是sin a A ＝sin bB ＝sin c C． 三、向量的混合积*1．向量的混合积的定义已知3个向量a 、b 、c ，向量a b ⨯与向量c 的数量积()⨯⋅a b c 称为这3个向量的混合积，记为[]abc ．2．混合积的坐标表示设 (,,)x y z a a a =a ，(,,)x y z b b b =b ，(,,)x y z c c c =c ，因为218 xy z x y za a ab b b ⨯=ij ka b yz x yx zyz x yx z a a a a a a b b b b b b =-+i j k ． 再按两向量的数量积的坐标表达式可得[]()=⨯⋅abc a b c yz x yx zxy zy z x yx za a a a a a c c cb b b b b b =-+xy zx y z x y za a ab b bc c c =． 由上述坐标表达式不难验证 []()()()=⨯⋅=⨯⋅=⨯⋅a b ca b c b c a c a b ． 3．向量的混合积的几何意义向量的混合积[]()=⨯⋅abc a b c 的绝对值表示以向量,,a b c 为棱的平行六面体的体积．如果向量,,a b c 组成右手系（即c 的指向按右手规则从a 转向b 来确定），那么混合积的符号是正的；如果向量,,a b c 组成左手系（即c 的指向按左手规则从a 转向b 来确定），那么混合积的符号是负的．下面我们来解释这一问题．一方面，设−−→OA =a ，−−→OB =b ，−−→OC =c ，按向量积的定义，向量积a b f ⨯=是一个向量，它的模在数值上等于向量a 和b 为边所作的平行四边形OADB 的面积，它的方向垂直于这平行四边形的平面，且当,,a b c 组成右手系时，向量f 与向量c 朝着这平面的同侧（图6-20）；当,,a b c 组成左手系时，向量f 与向量c 朝着这平面的异侧．所以，如设f 与c 的夹角为α，那么当,,a b c 组成右手系时，α为锐角；当,,a b c 组成左手系时，α为钝角．由于[]()cos α=⨯⋅=⨯abc a b c a b c ．所以当,,a b c 组成右手系时，[]abc 为正；当,,a b c 组成左手系时，[]abc 为负．另一方面，以向量,,a b c 为棱的平行六面体的底（平行四边形OADB ）的面积S 在数值上等于a b ⨯，它的高h 等于向量c 在向量f 上的投影的绝对值，即h Prj cos α==f c c ，所以平行六面体的体积==V Sh []cos α⨯=a b c abc ．由上述混合积的几何意义可知，若混合积[]0abc ≠，则能以,,a b c 三向量为棱构成平行六面体，从而,,a b c 三向量不共面；反之，若,,a b c 三向量不共面，则必能以,,a b c 为棱构成平行六面体，从而[]0abc ≠．于是有下述结论：三向量,,a b c 共面的充分必要条件是它们的混合积[]0abc =，即0x y zx y z xyza a ab b bc c c =． ●●例6 已知[]2=abc ，计算[()()]()+⨯+⋅+a b b c c a ．解 [()()]()+⨯+⋅+a b b c c a [)]()=⨯+⨯+⨯+⨯⋅+a b a c b b b c c a219()()()0=⨯⋅+⨯⋅+⋅+⨯⋅a b c a c c c b c c ()()()0+⨯⋅+⨯⋅+⋅+⨯⋅a b a a c a a b c a 2()=⨯⋅a b c 2[]=abc 4=．●●例7 已知(1,1,2)A -，(5,6,2)B -，(1,3,1)C -，(,,)D x y z 4点共面，试求D 点的坐标所满足的关系式．解 A B C D 、、、 四点共面相当于−−→AB 、−−→AC 、AD −−→三个向量共面，而(450)−−→=-，，AB ，(043)−−→=-，，AC ，(112)−−→=-+-，，AD x y z ，由3个向量共面的充要条件可知：1124500043-+--=-x y z ． 即 151216350++-=x y z 为所求的关系式．习 题 6-21．已知向量(112),,=a ，(010),,=b ，(0,0,1)=c ，求（1）⋅a b ，⋅a c ，⋅b c ；（2）⨯a a ，⨯a b ，⨯a c ，⨯b c ．2．已知向量(100),,=a ，(221),,=b ，求⋅a b ，⨯a b 及a 与b 的夹角余弦．3．已知π5,2,(,)3∧===a b a b ，求23a b -．4．证明下列问题：（1）证明向量(101),,=a 与向量(-111),,=b 垂直； （2）证明向量c 与向量()()a c b b c a ⋅-⋅垂直．5．求点(1M 的向径OM −−→与坐标轴之间的夹角． 6．求与=++a i j k 平行且满足1⋅=a x 的向量x ．7．求与向量324=-+a i j k ，2=+-b i j k 都垂直的单位向量．8．在顶点为(1,-1,2)A 、(5,-6,2)B 和(1,3,-1)C 的三角形中，求三角形ABC 的面积以及AC 边上的高BD ．9．已知向量2222, , ||||||().≠≠⨯=-⋅00证明a b a b a b a b10．证明：如果++=0a b c ，那么⨯=⨯=⨯b c c a a b ，并说明它的几何意义． 11．已知向量23,3=-+=-+a i j k b i j k 和2=-c i j ，计算下列各式：（1）()()⋅-⋅a b c a c b ； （2）()()+⨯+a b b c ； （3）()⨯⋅a b c ； （4）⨯⨯a b c ．第三节 曲面及其方程一、曲面方程的概念类似于在平面解析几何中把平面曲线看作是动点的运动轨迹，在空间解析几何中，任何曲面都可以看作点的几何轨迹．在这样的意义下, 如果曲面S 与三元方程(,,)0F x y z = （1）220 有下述关系：（1） 曲面S 上任一点的坐标都满足方程（1）,（2） 不在曲面S 上的点的坐标都不满足方程（1）, 那么，方程(,,)0F x y z =就叫做曲面S 的方程，而曲面S 就叫做方程（1）的图形（图6-21）．下面我们来建立几个常见的曲面的方程．●●例1 建立球心在0000()M x ,y ,z 、半径为R 的球面的方程． 解 设(,,)M x y z 是球面上的任一点（图6-22），那么0M M =R ，即R或 2222000()()()R x x y y z z -+-+-=． （2） 这就是球面上的点的坐标所满足的方程．而不在球面上的点的坐标都不满足这个方程． 特别地，如果球心在原点，那么球面方程为2222x y z R ++=．●●例2 求与原点O 及0(2,3,4)M 的距离之比为1:2的点的全体所组成的曲面方程．解 设(,,)M x y z 是曲面上任一点，根据题意有0||1||2MO MM =，即12=， 整理得: 22224116(1)339x y z ⎛⎫⎛⎫+++++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．与方程（2）比较可知，该方程表示球心在点24,1,33⎛⎫--- ⎪⎝⎭求球面上的点的坐标所满足的方程，而不在此球面上的点的坐标都不满足这个方程，所以这个方程就是所求球面的方程．以上表明作为点的几何轨迹的曲面可以用它的点的坐标间的方程来表示，反之，变量x 、y 和z 间的方程通常表示一个曲面．因此在空间解析几何中关于曲面的研究，有下列两个基本问题：（1） 已知一曲面作为点的几何轨迹时，建立这曲面的方程；图6-22图6-21221（2） 已知坐标x 、y 和z 间的一个方程时，研究这方程所表示的曲面的形状． 上述两个例子是从已知曲面建立其方程的例子，下面举一个由已知方程研究它所表示的曲面的例子．●●例3 方程222240x y z x y ++-+=表示怎样的曲面？ 解 通过配方，原方程可化为222(1)(2)5x y z -+++=，与方程（2）比较可知，原方程表示球心在点0(1,2,0)M -、半径为R = 一般地，设有三元二次方程2220x y z Dx Ey Fz G ++++++=，这个方程的特点是缺xy ，yz ，zx 各项，而且平方项系数相同，如果能将方程经过配方化成2222000()()()x x y y z z R -+-+-=的形式，那么它的图形就是一个球面．下面，我们来讨论一些特殊的曲面．二、旋转曲面以一条平面曲线绕其所在平面上的一条直线旋转一周所成的曲面叫做旋转曲面，旋转曲线和定直线分别叫做旋转曲面的母线和轴．设在yOz 坐标面上有一已知曲线:(,)0C f y z =，把该曲线绕z 轴旋转一周，就得到一个以z 轴为轴的旋转曲面（图6-23），下面求该旋转曲面的方程．设111(0,,)M y z 为曲线C 上的任一点，那么有11(,)0=f y z ， （3）当曲线C 绕z 轴旋转时，点1M 也绕z 轴旋转到另一点(,,)M x y z ，这时1z z =保持不变，且点M 到z 轴的距离1d y ．将1z z =，1y =3）式，即得旋转曲面的方程为()0f z =，即将曲线C 的方程(,)0f y z =中的y改成，便得曲线C 绕z 轴旋转所成的旋转曲面的方程．同理yOz 坐标面上的已知曲线(,)0f y z =绕y 轴旋转一周的旋转曲面方程为(0f y,=．同理xOy 坐标面上的已知曲线(,)0=f x y 绕x 轴旋转一周的旋转曲面方程为(,0f x =．●●例4 直线L 绕另一条与L 相交的直线旋转一周，所得旋转曲面叫圆锥面．两直线的交点叫圆锥面的顶点，两直线的夹角π(0)2αα<<叫圆锥面的半顶角．试建立顶点在坐标原点，旋转轴为z 轴，半顶角为α的圆锥面（图6-24）222 的方程．解 yOz 面上直线L 的方程为cot z y α=，因为z 轴为旋转轴，L 为母线，所以只要将方程cot z y α=中的y改成即可得到所要求的圆锥面方程z α=或 2222()z a x y =+，其中cot a α=．显然，圆锥面上任一点M 的坐标一定满足此方程．如果点M 不在圆锥面上，那么直线OM 与z 轴的夹角就不等于α，于是点M 的坐标就不满足此方程．三、柱面给定一曲线C 和一定直线L （L 不在曲线C 所在的平面内），如果一动直线平行于定直线L 并沿着曲线C 平行移动所生成的曲面叫做柱面，其中，曲线C 叫做柱面的准线，动直线叫做柱面的母线．下面仅讨论母线平行于坐标轴的柱面．设准线C 为xOy 面内的一条曲线，其方程为(,)0F x y =，沿C 作母线平行于z 轴的柱面（图6-25）．在柱面上任取一点(,,)M x y z ，过M 点作一条与z 轴平行的直线，则该直线与xOy 平面的交点为0(,,0)M x y ，由于0M 在准线C 上，所以有(,)0F x y =．即M 点的坐标应满足方程 (,)0F x y =． 反之,如果空间一点000(,,)M x y z 满足方程(,)0F x y =,即00(,)0F x y =,则000(,,)M x y z 必在过准线C 上一点00(,)x y 而平行于z 轴的直线上，于是点000(,,)M x y z 必在柱面上．所以，方程(,)0F x y =在空间就表示母线平行于z 轴的柱面．例如方程222x y R +=表示母线平行于z 轴，准线是xOy 平面上以原点为圆心、以R 为半径的圆的柱面（图6-26），称其为圆柱面，类似地，曲面222x z R +=、222y z R +=都表示圆柱面．方程22y x =表示母线平行于z 轴，以xOy 坐标面上的抛物线22y x =为准线的柱面，该柱面叫做抛物柱面（图6-27）．一般地，只含,x y 而缺z 的方程(,)0F x y =，在空间直角坐标系中表示母线平行于z 轴的柱面，其准线为xOy 面上的曲线C ：(,)0F x y =．类似地，只含,x z 而缺y 的方程(,)0G x z =和只含,y z 而缺x 的方程(,)0=H y z 分别表示母线平行于y 轴和x 轴的柱面．223图6-29例如，方程0-=x z 表示母线平行于y 轴的柱面，其准线是xOz 面上的直线0-=x z ，所以它是过y 轴的平面．四、二次曲面与平面解析几何中介绍的二次曲线相类似，我们把三元二次方程所表示的曲面叫做二次曲面．把平面叫做一次曲面．怎样了解三元方程(,,)0F x y z =所表示的曲面的形状呢? 方法之一是用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面相交，考察其交线的形状，然后加以综合，从而了解曲面的形状．这种方法叫做截痕法．另外一种常见的方法是所谓的伸缩变形的方法，即通过把空间图形伸缩变形形成新的曲面的方法：设S 是一个曲面，其方程为(,,)0F x y z =，S '是将曲面S 沿x 轴方向伸缩λ倍所得的曲面，显然，若(,,)x y z S ∈，则(,,)x y z S λ'∈；若(,,)x y z S '∈，则1,,x y z S λ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭．因此，对于任意的(,,)x y z S '∈，有1,,0λ⎛⎫= ⎪⎝⎭F x y z ，即1,,0F x y z λ⎛⎫= ⎪⎝⎭是曲面S '的方程．下面我们来介绍几种典型的二次曲面．1．椭圆锥面由方程22222x y z a b+=所表示的曲面称为椭圆锥面（图6-28）．我们先用截痕法来讨论其图形．以垂直于z 轴的平面z t =截此曲面,当0t =时得一点(0,0,0)；当0t ≠时，得平面z t =上的椭圆1)()(2222=+bt y at x ．当t 变化时， 上式表示一族长短轴比例不变的椭圆，当||t 从大到小并变为0时，这族椭圆从大到小并缩为一点．综合上述讨论，可得椭圆锥面． 另外，我们也可以用伸缩变形的方法来讨论其图形．把圆锥面2222x y a z +=沿y 轴方向伸缩a b倍，也可得到椭圆锥面的方程为2222()a x y a z b +=，即 22222x yz a b+=．2．椭球面由方程2222221x y z a b c++=所表示的曲面称为椭球面（图6-29）．把xOz 面上的椭圆22221x z a c +=绕z 轴旋转一周所得的曲面称 为旋转椭球面，其方程为222221x y z=a c ++，再把旋转椭球面沿y 轴 方向伸缩a b 倍，便得椭球面2222221x y z a b c++=.另外，把球面2222x y z a ++=沿z 轴方向伸缩a c 倍，得旋转椭球面222221x y z a c++=，再沿y 轴方向伸缩a b倍，也可得椭球面2222221x y z a bc++=．。
高等数学第七章 向量代数与空间解析几何
第七章向量代数与空间解析几何空间解析几何是多元函数微积分学必备的基础知识.本章首先建立空间直角坐标系，然后引进有广泛应用的向量代数，以它为工具，讨论空间的平面和直线，最后介绍空间曲面和空间曲线的部分内容.第一节空间直角坐标系平面解析几何是我们已经熟悉的，所谓解析几何就是用解析的，或者说是代数的方法来研究几何问题.坐标法把代数与几何结合起来.代数运算的基本对象是数,几何图形的基本元素是点.正如我们在平面解析几何中所见到的那样，通过建立平面直角坐标系使几何中的点与代数的有序数之间建立一一对应关系.在此基础上,引入运动的观点,使平面曲线和方程对应,从而使我们能够运用代数方法去研究几何问题.同样,要运用代数的方法去研究空间的图形——曲面和空间曲线,就必须建立空间内点与数组之间的对应关系.一、空间直角坐标系空间直角坐标系是平面直角坐标系的推广.过空间一定点O，作三条两两互相垂直的数轴，它们都以O为原点.这三条数轴分别叫做x轴（横轴）、y轴（纵轴）、z轴（竖轴），统称坐标轴.它们的正方向按右手法则确定，即以右手握住z轴，右手的四个手指指向x轴的正向以π2角度转向y轴的正向时，大拇指的指向就是z轴的正向（图7-1），这样的三条坐标轴就组成了一空间直角坐标系Oxyz，点O叫做坐标原点.图7-1三条坐标轴两两分别确定一个平面，这样定出的三个相互垂直的平面:xOy,yOz,zOx,统称为坐标面.三个坐标面把空间分成八个部分，称为八个卦限，上半空间（z＞0）中，从含有x 轴、y轴、z轴正半轴的那个卦限数起，按逆时针方向分别叫做Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ卦限，下半空间（z＜0）中，与Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ四个卦限依次对应地叫做Ⅴ，Ⅵ，Ⅶ，Ⅷ卦限（图7-2）.图7-2确定了空间直角坐标系后，就可以建立起空间点与数组之间的对应关系.设M为空间的一点，过点M作三个平面分别垂直于三条坐标轴，它们与x轴、y轴、z 轴的交点依次为P、Q、R（图7-3）.这三点在x轴、y轴、z轴上的坐标依次为x，y，z.这样，空间的一点M就惟一地确定了一个有序数组（x，y，z），它称为点M的直角坐标，并依次把x,y和z叫做点M的横坐标，纵坐标和竖坐标.坐标为（x,y,z）的点M通常记为M（x,y,z）.图7-3反过来，给定了一有序数组（x,y,z），我们可以在x轴上取坐标为x的点P，在y轴上取坐标为y的点Q，在z轴上取坐标为z的点R，然后通过P、Q与R分别作x轴，y轴与z 轴的垂直平面，这三个平面的交点M就是具有坐标（x,y,z）的点（图7-3）.从而对应于一有序数组（x,y,z），必有空间的一个确定的点M.这样，就建立了空间的点M和有序数组（x,y,z）之间的一一对应关系.如图7-3所示x轴，y轴和z轴上的点的坐标分别为P（x,0,0），Q（0,y,0）,R（0,0,z）；xOy面，yOz面和zOx面上的点的坐标分别为A（x,y,0），B（0，y,z）,C（x,0,z）；坐标原点O的坐标为O（0,0,0）.它们各具有一定的特征，应注意区分.二、空间两点间的距离设M1（x1,y1,z1）、M2（x2,y2,z2）为空间两点，为了用两点的坐标来表达它们间的距离d，我们过M1，M2各作三个分别垂直于三条坐标轴的平面.这六个平面围成一个以M1，M2为对角线的长方体（图7-4）.根据勾股定理，有图7-4｜M 1M 2｜2＝｜M 1N ｜2＋｜NM 2｜2＝｜M 1P ｜2＋｜M 1Q ｜2＋｜M 1R ｜2.由于｜M 1P ｜＝｜P 1P 2｜＝｜x 2－x 1｜,｜M 1Q ｜＝｜Q 1Q 2｜＝｜y 2－y 1｜,｜M 1R ｜＝｜R 1R 2｜＝｜z 2－z 1｜,所以d ＝｜M 1M 2｜＝212212212)()()(z z y y x x -+-+-，这就是两点间的距离公式.特别地，点M （x,y,z ）与坐标原点O （0,0,0）的距离为d ＝｜OM ｜＝222z y x ++。
《高等数学》课件第7章 空间解析几何与向量代数
2 轴的正向.
Ⅲ
yOz面
Ⅳ
xOy面
x
Ⅶ Ⅷ
z zOx面
Ⅱ
Ⅰ
•O
y
Ⅵ Ⅴ
二、空间两点间的距离公式
空间两点间的距离：P1( x1, y1, z1 )、P2( x2 , y2 , z2 )
z
P2
P1
ki j,
j i k, k j i , i k j.
(a ybz azby )i (azbx axbz ) j (axby a ybx )k
设 a ax i ay j az k , b bx i by j bz k , 则 ( ax i ay j az k ) (bx i by j bz k ) i j jk ki 0
(2) 结合律 ( a ) b a ( b ) ( a b )
向量积的坐标表达式
设
a
axi
ay j
azk,
b bxi by j bzk
ab
(a
x
i
a
y
j
az k
)
(bxi
by
j
bzk )
i i j j k k 0,
i j k,
jk i,
第 七 章 向空 量间 代解 数析 几 何 与
目录
第一节 空间直角坐标系 第二节 向量及其线性运算 第三节 向量的坐标 第四节 向量的数量积与向量积 第五节 平面及其方程 第六节 空间直线及其方程 第七节 常见曲面的方程及图形
第一节 空间直角坐标系
一、空间直角坐标系简介
三条垂直相交且具有相同长度单位的数轴,构成一 个空间直角坐标系,交点O称为坐标原点,这三条轴分别 叫做z 轴(横轴)、y 轴(纵轴)和x轴(竖轴).
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1 1 1 1
z
M
Q (0 , y,0 )
y
x P(x,0,0)
A (x, y,0 )
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二、空间两点间的距离
( x ,y , z ) , ( x ,y ,z ) 对两点 A 与B 则两点间的距离公式: 2 2 2 1 1 1
及B 等距 例3. 在 z 轴上求与两点 A ( 3 , 5 , 2 ) ( 4 , 1 , 7 ) 离的点 . 解: 设该点为 M M A M B , ( 0 , 0 ,z ) , 因为
( 4 ) 1 (7z) 3 2 5 2 ( 2z)2
14 故所求点为 解得 z 14 , M ( 0 , 0 , ). 9 9
记作 a＝b ;
若向量 a 与 b 方向相同或相反, 则称 a 与 b 平行, 记作 a∥b ; 规定: 零向量与任何向量平行 ; 与 a 的模相同, 但方向相反的向量称为 a 的负向量,
记作－a ;
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二、向量的线性运算
1. 向量的加法 平行四边形法则:
b b a
2 M M )2 (32 )2 6 2 3 (5 7) (21
2 6 2 2 ( 3 1 ) ( 5 4 ) ( 2 3 ) M M 1 3
M M M M 2 3 1 3
M M M 即 1 2 3为等腰三角形 .
M1
M2
M3
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a
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3. 向量与数的乘法
• 坐标轴 • 坐标面
Ⅳ
yoz面
《高等数学》第8章空间解析几何与向量代数8_2点积叉积
第八章
数量积 向量积 *混合积
一、两向量的数量积 二、两向量的向量积 *三、向量的混合积
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一、两向量的数量积
引例. 设一物体在常力 F 作用下, 沿与力夹角为
的直线移动, 位移为 s , 则力F 所做的功为
W F s cos
F
1. 定义
设向量 a , b 的夹角为 , 称
例1. 证明三角形余弦定理
c2 a2 b2 2ab cos
证: 如图 . 设
CB a, C A b, AB c
则
c a b
A b
c
C
Ba
c 2 (ab)(ab) aa bb2ab
a 2 b 2 2 a b cos
a a ,b b ,c c
c2 a2 b2 2ab cos
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ab 0
a b sin 0
sin 0，即 0 或
3. 运算律
a∥ b
(1) a b b a
(2) 分配律 ( a b ) c a c b c
(证明略)
(3) 结合律 ( a ) b a ( b ) ( a b )
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4. 向量积的坐标表示式
矩是一个向量 M :
M OQ F OP F sin
OP F M 符合右手规则
M OP M F
F
oP
F
O
P L
Q
OQ OP sin
M
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1. 定义
设 a , b的夹角为 ，定义
方向 : c a , c b 且符合右手规则
向量 c 模 : c a b sin
高等数学向量代数与空间解析几何总结
{m,
n,
p}
36
[4] 两直线的夹角
直线 L1 : 直线 L2 :
x x1 y y1 z z1
m1
n1
p1
x x2 y y2 z z2
m2
n2
p2
^ cos(L1, L2 )
| m1m2 n1n2 p1 p2 | m12 n12 p12 m22 n22 p22
x2 y2 z2
27
3、空间曲线
[1] 空间曲线的一般方程
F(x, y,z) 0 G( x, y, z) 0
[2] 空间曲线的参数方程
x x(t)
y
y(t )
z z(t)
28
如图空间曲线 一般方程为
z 1 x2 y2
( x
1)2 2
y2
(1)2 2
x
1 cos t 2
1 2
(1) 曲面S 上任一点的坐标都满足方程； (2) 不在曲面S 上的点的坐标都不满足方程； 那么，方程F ( x, y, z) 0就叫做曲面S 的方程，而 曲面S 就叫做方程的图形.
19
研究空间曲面的两个基本问题： （1）已知曲面作为点的轨迹时，求曲面方程. （2）已知坐标间的关系式，研究曲面形状.
bx by bz
a//
b
ax ay az bx by bz
10
请归纳向量的数量积和向量积
在几何中的用途
（①1求）向数量量的积模(1：) a
a
|
a
|2
.
②求两向量的 夹 角： a b | a ||
b
|
cos
cos
a
b
,
| a || b |
高数(空间解析几何与向量代数)
第一节 空间解析几何与向量代数一、空间直角坐标 （一）空间直角坐标系在空间取定一点O ，和以O 为原点的两辆垂直的三个数轴，依次记作x 轴（横轴）、y 轴（纵轴）、z 轴（竖轴），构成一个空间直角坐标系（图1-1-1）。
通常符合右手规则，即右手握住z 轴，当右手的四个手指从正向x 轴以2π角度转向正向y 轴时，大拇指的指向就是z 轴的正向。
并设i、j 、k 为x轴、y 轴、z 轴上的单位向量，又称为O xyz 坐标系，或[i,j,k]坐标系。
（二）两点间的距离在空间直角坐标系中，M 1(x 1,y 1,z 1)与M 2(x 2,y 2,z 2)之间的距离为()()()221221221z z y y x x d -+-+-=（1-1-1）（三）空间有向直线方向的确定设有一条有向直线L ，它在三个坐标系正向的夹角分别为α、β、γ（πγβα≤≤,,0），称为直线L 的方向角；{γβαcos ,cos ,cos }称为直线L 的方向余弦，三个方向余弦有以下关系1cos cos cos 222=++γβα （1-1-2）二、向量代数 （一）向量的概念空间具有一定长度和方向的线段称为向量。
以A 为起点，B 为终点的向量，记作AB ,或简记作a 。
向量a 的长记作a ，又称为向量a 的模,两向量a和b 若满足：①b a =，②b a //，③b a ,指向同一侧，则称b a=。
与a方向一致的=单位向量记作0a ，则0a =aa。
若0a={γβαcos ,cos ,cos }，也即为a的方向余弦。
（二）向量的运算 1.两向量的和以b a,为边的平行四边形的对角线（图1-1-2）所表示的向量c ，称为向量a和b 的和，记作b a c+= （1-1-3）一般说，n 个向量1a ，2a，…，n a 的和可定义如下：先作向量1a ，再以1a 的终点为起点作向量2a，…，最后以向量1-n a 的终点为起点作向量n a，则以向量1a的起点为起点、以向量n a 的终点为终点的向量b 称为1a ，2a，…，n a 的和，即 n a a a b+++=21（1-1-4） 2.两向量的差设a 为一向量，与a 的模相同，而方向相反的向量叫做a 的负向量，记作a -，规定两个向量a和b 的差为()ba b a-+=- （1-1-5）3.向量与数的乘法设λ是一个数，向量a 和λ的乘积a λ规定为：当λ>0时，a λ表示一个向量，它的方向与a 的方向相同，它的模等于a 的λ倍，即a a λλ=；当λ=0时，aλ是零向量，即0=aλ； 当λ<0时，a λ表示一个向量，它的方向与a的方向相反，它的模等于a 的λ倍，即a a λλ=。
《高等数学》向量代数和空间解析几何
a∥ b
运算律
(1) ab ba (2) 分配律 (ab)cacbc
(3) 结合律 (a)ba(b)(ab)
向量积的坐标表达式
ab ( a y b z a z b y ) i ( a z b x a x b z ) j ( a x b y a y b x ) k
i j k a b ax ay az
例5. 求通过 x 轴和点( 4, – 3, – 1) 的平面方程.
解: 因平面通过 x 轴 , 故 AD0 设所求平面方程为 ByCz0
代入已知点 (4,3,1)得 C3B
化简,得所求平面方程 y3z0
空间直线
一般式 A A 21xx B B 2 1y y C C 1 2zz D D 12 00
从柱面方程看柱面的特征：
只含 x, y而缺z的方程F(x, y) 0，在 空间直角坐标系中表示母线平行于 z 轴的柱 面，其准线为 xoy面上曲线C .
(3) 二次曲面
椭球面
a x2 2b y2 2cz2 21 (a,b,c为正 ) 数 z
x
y
抛物面
z
椭圆抛物面
x2 y2 z ( p , q 同号) 2p 2q
n (0 ,B ,C ) i,平面平行于 x 轴; • A x+C z+D = 0 表示 平行于 y 轴的平面; • A x+B y+D = 0 表示 平行于 z 轴的平面; • C z + D = 0 表示平行于 xoy 面 的平面; • A x + D =0 表示平行于 yoz 面 的平面； • B y + D =0 表示平行于 zox 面 的平面.
o
y
3、空间曲线 （1） 空间曲线的一般方程
高等数学 第七章 向量代数与空间解析几何
第四节 空间直线及其方程
一、空间直线的一般方程 二、空间直线的对称式方程与参数方程
三、两直线的夹角 四、直线与平面的夹角
一、空间直线的一般方程
空间直线可以看作是两个平面的交线.
设直线L是平面1和2的交线, 平面的方程分别为
A1xB1yC1zD10和A2xB2yC2zD20, 那么直线L可以用方程组
设α=x1i+y1j+z1k=(x1 , y1 ,z1), 则有：β=x2i+y2j+z2k= (x2,y2,z2).
α+β =（x1+x2 ）i +（y1+y2）j +（z1+z2) k
=(x1+x2 , y1+y2 , z1+z2 ). α-β=（x1-x2) i+ (y1-y2 ) j+ (z1-z2)k
一方向向量s(m, n, p)为已知时, 直线L 的位置就完全确定了.
❖直线的对称式方程
求通过点M0(x0, y0, x0), 方向向量为s(m, n, p)的直线的方 程.
设M(x, y, z)为直线上的任一点,
则从M0到M的向量平行于方向向量:
从而有
(xx0, yy0, zz0)//s ,
>>>注
λ >0
由性质1， Prj(λα)=|λα|cos(φ1)
α φ1 = φ
=λ|α|cosφ
λα φ1=π- φ
=λPrjlα
λ<0
当λ<0时 φ1=π-φ
λα
Prj(λα)=|λ|.|α|cos(φ1) =-λ|α|(-cosφ)
λ >0 α
=λPrjlα； 当λ=0时
高等数学向量代数与空间解析几何总结
高等数学向量代数与空间解析几何总结高等数学是大学数学学科的一门重要基础课程，其中向量代数与空间解析几何是其重要的内容之一、本文将对向量代数与空间解析几何的主要内容进行总结，让我们一起来了解一下吧！向量代数是研究向量的代数性质和运算法则的数学分支，旨在通过研究向量的各种运算进行分析与求解问题。
空间解析几何则是研究点、线、面等几何对象在三维空间中的位置关系和几何性质的学科。
首先，我们先来了解一下向量代数的基本概念和运算法则。
在向量代数中，向量是具有大小和方向的量，通常用一个有向线段表示。
向量的加法是指两个向量相加，得到一个新的向量，其结果是由两个向量的平行四边形法则确定的。
向量的乘法有数量乘法和点乘法两种形式。
数量乘法是指数与向量相乘，得到一个新的向量，其长度与原向量的长度相乘，方向与原向量相同或相反。
点乘法是指两个向量进行点乘，得到一个实数结果，其大小等于两个向量的长度相乘再乘以它们的夹角的余弦值，方向与夹角为锐角的原向量相同，为钝角时与原向量相反。
向量代数的运算法则包括交换律、结合律和分配律。
接下来，我们来了解一下空间解析几何的基本内容。
空间解析几何主要研究三维空间中的点、直线和平面的位置关系和几何性质。
其中，点是空间中没有大小、没有方向的对象，用坐标表示。
直线是由无数个点组成的无限延伸的几何对象，可以通过两点确定一条直线，也可以通过点和方向向量确定一条直线。
平面是由无数个点组成的无限延伸的几何对象，可以通过三个点确定一个平面，也可以通过点和法向量确定一个平面。
空间解析几何要求我们掌握点与点之间的距离、点与直线之间的关系、直线与直线之间的关系、点与平面之间的关系、直线与平面之间的关系等内容。
对于这些关系，我们可以通过向量的性质和运算进行解决。
在向量代数与空间解析几何中，还有一些重要的概念与定理需要了解。
例如，向量的模长是指向量的长度，可以通过向量的坐标和勾股定理求得。
向量的单位向量是指长度为1的向量，可以通过将向量的坐标除以其模长得到。
高等数学第7章 向量代数与空间解析几何
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7.2.4 向量线性运算的坐标表示
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7.2.5 向量数量积的坐标表达式 设有两个向量
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习题7.2 A组 1.在空间直角坐标系中，指出下列各点在哪个卦 限.A（1，-2，3），B（2，3，-4），C（2，-3，-4）， D（ -2，-3，1）。 2.求点p（ -3，2，-1）关于坐标面与坐标轴对称点 的坐标。 3.求点A（ -4，3，5）在坐标面与坐标轴上的投影 点的坐标。
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7.2 空间直角坐标系与向量的坐标表示
7.2.1 空间直角坐标系 在空间中任意选定一点O，过O点作三条相互垂直 且具有相同单位长度的数轴，分别称为x轴、y轴和z轴.x 轴、y轴和z轴要满足右手定则，即右手握住z轴，大拇 指指向z轴的正向，其余四个手指从x轴的正方向。
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7.2.2 向量的坐标表示 设x轴、y轴、z轴正向的单位向量依次为i，j，k，如 图7.17所示。
第7章 向量代数与空间解析几何
空间解析几何是通过点与坐标的对应，把抽象的数 与空间的点统一起来，从而使得人们可以用代数的方法 研究几何问题，也可以用几何的方法解决代数问题.本章 首先介绍向量及其代数运算，然后以向量为工具研究空 间的直线与平面，最后讨论空间曲面与曲线的一般方程 和特点.
1
7.1 向量及其运算
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（6）向量的数量积 1）数量积的概念在物理学中，如果物体受到恒力F 的作用，沿直线发生的位移s，设力F 与位移s的夹角为 θ，则力F对物体所做的功为 W =|F|·|s|·cosθ
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b
7.1.3 向量的线性运算
向量的线性运算
向
向
向
量
量
量
的
的
的
加
减
数
法
法
乘
运
运
运
算
算
算
加法运算
三角形法则
图示
A
运
算
法 则
平等四边行法则
C B
ABBCAC
图示 D
A
C ABADAC
B
减法运算
三角形法则
C
图示
运
A
算
法 则 平等四边行法则
图示 D
A
ABACCB
B
C
ABADDB
B
数乘运算
一个向量 a 与一个实数 的乘积. 记作 a
表 达 方 式 图示 向量的模
代数法
用带有箭头的小写字母
a,b ,c, 表示
或用黑体字母,,, 表示.
几何法
用始点为A 终点为B 的有向线段 AB 表示
A
B 记作向量AB(或 a ， )
AB (或 a， ) (注：模长是标量)
两个基本向量
零向量
模长为零的向量.
(方向是任意的)
记作 0
单位向量 模长为1的向量. (方向未做规定) 记作 e
具有相同的长度单位,这三条轴分
别叫做x 轴(横轴)、 y 轴(纵轴)、 z 轴(竖轴),统称坐标轴.
通常把x 轴和y 轴配置在水平面上,而z 轴则是铅
垂线.它们的正向通常符合右手法则,即以右手握
住z 轴,当右手的四个手指从正向x 轴以90度转向 正向y 轴时,大拇指的指向就是z 轴的正方向.
这样的三条坐标轴就构成了一个空间直角坐标系
例题
已 知 AB 的 C顶点 A(1， 分 2， 3)， 别 B(3， 4 是 ， 5)，
C(2， 4， 7)， 求 AB 的 C面积.
解：
根据向量积的定义，可知ABC的面积为
SABC
1 2
AB
AC sin A
1 2
AB AC.
由于AB 2，2，2，AC 1，2，4，所以
i jk
AB AC 2 2 2 4i 6 j 2k
aziax bz bx
az jax bz bx
ayk by
坐标法
设 a a x ， a y ， a z， b b x ， b y ， b z，则：
a b a b y y a b z z ， a b x x a b z z ， a b x x a b y y
8e1
向量的坐标
在 同为空向向间的量直单a 角位的坐向分标量解系式i、 O；x a j y、 z 中ka ，.x ， 则取a 称与y ， Oa xa 轴za 、x 称i O 为ya 轴向y 、 j 量 O的a zz 轴坐k
标式.
向量线性运算规律
分解式
a b a x b x i a y b y j a z b z k
想一想 如 CD 果 5a 四 3Ab， B 边 那 C 中 形 A D 么 A， B B aC 是 2D b什 ， BC 么 4a样 b， 的四
已 1 a 知 b a 2 3 向 ， 1 ， 2 a 量 2 ， b b b 1 ， 2 ， 3 1 ,2 试 a b 求 2a b 下
定义 任数意量两,记个作向a量ba,,即ba 的b 数 量a 积(b 或c 内积 o )( a 是 ， 一s b 个).
数量积的运算方法
定义法
a b a b c o ( a ， s b )
坐标法
设 a a x ， a y ， a z， b b x ， b y ， b z，则 a b a xb x a yb y a zb z
引例 设O为一根杠L杆的支点，F力作用于这
杠杆上点 P, F与OP的夹角为 ,力F对支
点O的力矩是一向M量,它的模为
M OQF OPF sin
O Q
P
F L
向量积
定 义 给定两 a 和 b 个 ,a 和 b 的 向 向量 量 (或积 外 )仍积 是 向记 量a 作 ,b ,其大 a 小 b a 为 b si n(a ， b ),其 方向规 a 和 b 定 都为 垂 且 a ,与 b 直 ,a b , 构成右
a ( a x ) i ( a y ) j ( a z ) k ( 为常数)
坐标式
a b a x b x ， a y b y ， a z b z
a a x ， a y ， a z (为常数)
练习
1.已知两点M1 (0，1，2) 和M2 (1， -1，0),试用坐
第7章 向量代数与空间解析几何
知识目标
了解二次曲面的标准方程；
理解空间直角坐标系、向量的概念；
会判断平面与平面、直线与直线以及 直线与平面间的关系；
掌握向量的线性运算、向量平行和垂 直的条件、几种常见的曲面方程；
熟练掌握两点间的距离公式、平面与 直线的各种方程.
能力目标
通过几何问题代数化，培养学生的抽 象思维能力、逻辑推理能力和空间想 象能力.
注 数乘运算后的结果仍是一个向量.
若有 a a a 0成立,则称向量a0为原向量 a 同方向的
单位向量.
定理 向存量在不a 全与为向零量的b实平数行(和或共,线使)得的充a 要条b 件 是0 .：
例题
已求知：2 a a e 3 1 b 2 c e 2 . 3 e 3 ， b 2 e 1 3 e 2 e 3 ， c 1 e 2 3 e 3 ， 3
2 结 a 合 b a b 律
3 分 ( a b ) 配 c a c b c 律
向量的混合积
设 aax， ay， az， bbx， by， bz， ccx， cy， cz,
则它们的混合积为：
ax ay az
abcbx by bz cx cy cz
向量的三种关系
相等向量 记作
模长相等,方向相同的两个向量. ab
注 与始点、终点位置无关；
图示
向量可以在空间中任意平移. a
b
相反向量 记作 注
图示
模长相等,方向相反的向量.
a a a
a a
平行向量 方向相同或相反的非零向量.
记作
a//b
注 零向量与任何向量都平行.
平行向量又可称作共线向量. a
124
于是SABC
1 2
4i 6 j 2k
14
向量积的性质
（ 1 ） a a 0
（ 2 ） 两 a ， b ， 个 则 a / b /a 向 b 0 量
向量积的运算律
对于 a ， b ， 任 c 及 意 ， 实 向 则 数 量 满
1 反交 a b b 换 a 律
向量积模的几何意义 以a， b为邻边的平等 面四 积边 . 形的
右手系规则图示
a
b
ab
注 是 ： a 0 到 ， b 的 角
向量积的运算方法
分设 解a 式a 法x iay j azk ， b bxiby jbzk ， 则：
i abax
bx
j ay by
k a bzz a by y
3 分 ( a b ) 配 c a c b c 律
例题
设 a 2 ， b 3 ， (a ， b )， 求 (a b )(a b )
与 (a b )(a b ).
3
解：( a b ) ( a b ) a a b b a 2 b 2 5
因为 ababco s(a， b)23cos3
所以 (ab)(ab)aa2abbb3
a22abb222233219
向量夹角余弦公式
两个co非 s(a零 ， a， b向 )b夹量 a角 b 的余弦公式为： ab
axbx ayby azbz
ax2ay2az2 bx2by2bz2
7.2.2 向量的向量积
解：
2 a 3 b c
2 e 1 2 e 2 3 e 3 3 2 e 1 3 e 2 e 3 1 e 2 3 e 3 3
2 e 1 6 e 1 4 e 2 9 e 2 1 e 2 6 e 3 3 e 3 3 3 e 3
它们之间的距离为d = |M1M2|. 过点 M1 、M2 各作三个平面分别垂直 z 于三个坐标轴,形成如图的长方体. z2
d 2 M1M2 2
M1Q2QM 22
（△M1QM2 是直角三角形） M 1P2PQ 2Q2 M 2
z1 M1
P
（△M1PQ都是直角三角形）
x1
M 1 P 2P M 2 2Q2M 2 x2
x
O M1 P
( x 2 x 1 ) 2 ( y 2 y 1 ) 2 ( z 2 z 1 ) 2
M2
Q y1
y2 y
M2 (Q )
两点间距离公式：
d M 1 M 2 x 2 x 1 2 y 2 y 1 2 z 2 z 1 2
特别地，点 M ( x , y , z) 与原点O ( 0 , 0 , 0 ) 的距离：
德育目标
借助数形结合的思想，将研究问题的 不同方法进行联结，提高学生的综合 素质与人文素养.
7.1 空间向量及其线性运算
了解空间向量的概念,掌握空间向 量的基本定理及其意义,建立空间 直角坐标系，以向量为工具,利用 空间向量的坐标和相关运算解决 空间中的几何问题.
7.1.1 空间直角坐标系
过空间一个定点O,作三条相互垂直 的数轴,它们都以O 为原点且一般
Oxyz ,点O 叫做坐标原点(或原点).
八封限
每两个坐标轴确定的平面称为坐标
平面,简称为坐标面.x 轴与y 轴所 确定的坐标面称为xOy面,类似地, 有yOz面,zOx面.