§ 7 空间解析几何与向量代数习题与答案

第七章 空间解析几何与向量代数

A

一、

1、 平行于向量)6,7,6(-=a 的单位向量为______________.

2、 设已知两点)2,0,3()1,2,4(21M M 和，计算向量21M M 的模，方向余弦和方向角.

3、 设k j i p k j i n k j i m 45,742,853-+=--=++=，求向量p n m a -+=34在x 轴

上的投影，及在y 轴上的分向量. 二、

1、设k j i b k j i a -+=--=2,23，求(1)b a b a b a b a 23)2)(2(⨯⋅-⨯⋅及；及(3)a 、b 的夹角的余弦.

2、知)3,1,3(),1,3,3(),2,1,1(321M M M -，求与3221,M M M M 同时垂直的单位向量.

3、设)4,1,2(),2,5,3(=-=b a ，问μλ与满足_________时，轴z b a ⊥+μλ.

三、

1、以点(1,3,-2)为球心，且通过坐标原点的球面方程为__________________.

2、方程0242222=++-++z y x z y x 表示______________曲面.

3、1)将xOy 坐标面上的x y 22=绕x 轴旋转一周，生成的曲面方程为 __

_____________，曲面名称为___________________.

2)将xOy 坐标面上的x y x 222=+绕x 轴旋转一周，生成的曲面方程 _____________，曲面名称为___________________.

3)将xOy 坐标面上的369422=-y x 绕x 轴及y 轴旋转一周，生成的曲面方 程为_____________，曲面名称为_____________________.

4）在平面解析几何中2

x y =表示____________图形。在空间解析几何中

2x y =表示______________图形.

5）画出下列方程所表示的曲面 (1))(42

2

2

y x z +=

(2))(42

2

y x z += 四、

1、指出方程组⎪⎩

⎪⎨⎧==+

319

y 4x 2

2y 在平面解析几何中表示____________图形，在空间解 析几何中表示______________图形.

2、求球面9222=++z y x 与平面1=+z x 的交线在xOy 面上的投影方程.

3、求上半球2220y x a z --≤

≤与圆柱体)0(22>≤+a ax y x 的公共部分在

xOy 面及xOz 面上的投影.

五、

1、求过点(3,0,-1)且与平面3x-7y+5z-12=0平行的平面方程.

2、求过点(1,1,-1)，且平行于向量a =(2,1,1)和b =(1,-1,0)的平面方程.

3、求平行于xOz 面且过点(2,-5,3)的平面方程.

4、求平行于x 轴且过两点(4,0,-2)和(5,1,7)的平面方程. 六、

1、求过点(1,2,3)且平行于直线5

1132-=-=z y x 的直线方程.

2、求过点(0,2,4)且与两平面12=+z x ,23=-z y 平行的直线方程.

3、求过点(2,0,-3)且与直线⎩⎨⎧=+-+=-+-0

12530

742z y x z y x 垂直的平面方程.

4、求过点(3,1,-2)且通过直线1

2354z

y x =+=-的平面方程.

5、求直线⎩⎨

⎧=--=++0

3z y x z y x 与平面01=+--z y x 的夹角.

6、求下列直线与直线、直线与平面的位置关系 1)直线⎩

⎨⎧=++-=-+7272z y x z y x 与直线11321-=--=-z

y x ; 2)直线4

3

1232--=+=-z y x 和平面x+y+z=3.

7、求点(3,-1,2)到直线⎩

⎨⎧=-+-=+-+0420

1z y x z y x 的距离.

B

1、已知0=++c b a （c b a ,,为非零矢量），试证:a c c b b a ⨯=⨯=⨯.

2、),(},1,1,1{,3b a b a b a ∠=⨯=⋅求.

3、已知a 和b 为两非零向量，问t 取何值时，向量模||tb a +最小？并证明此时)(tb a b +⊥.

4、求单位向量n ，使a n ⊥且x n ⊥轴，其中)8,6,3(=a .

5、求过z 轴，且与平面052=-+z y x 的夹角为3

π

的平面方程.

6、求过点)2,1,4(1M ，)1,5,3(2--M ，且垂直于07326=++-z y x 的平面.

7、求过直线⎩⎨⎧=--+=-+-0

22012z y x z y x ，且与直线2l ：211z

y x =-=

平行的平面.

8、求在平面π:1=++z y x 上，且与直线⎩⎨⎧-==1

1

z y L ：垂直相交的直线方程.

9、设质量为kg 100的物体从空间点)8,1,3(1M ，移动到点)2,4,1(2M ，计算重力所做的功（长度单位为m ）.

10、求曲线⎩

⎨⎧==-+30

222z x z y 在xoy 坐标面上的投影曲线的方程，并指出原曲线是什么曲

线？

11、已知k j OB k i OA 3,3+=+=，求OAB ∆的面积

12、.求直线⎩⎨⎧=---=+-0

9230

42z y x z y x 在平面14=+-z y x 上的投影直线方程.

C

1、设向量c b a ,,有相同起点,且0=++c b a γβα，其中0=++γβα，γβα,,不全为零,