§ 7 空间解析几何与向量代数习题与答案

第七章 空间解析几何与向量代数A一、1、 平行于向量)6,7,6(-=a 的单位向量为______________.2、 设已知两点)2,0,3()1,2,4(21M M 和，计算向量21M M 的模，方向余弦和方向角.3、 设k j i p k j i n k j i m 45,742,853-+=--=++=，求向量p n m a -+=34在x 轴上的投影，及在y 轴上的分向量. 二、1、设k j i b k j i a -+=--=2,23，求(1)b a b a b a b a 23)2)(2(⨯⋅-⨯⋅及；及(3)a 、b 的夹角的余弦.2、知)3,1,3(),1,3,3(),2,1,1(321M M M -，求与3221,M M M M 同时垂直的单位向量.3、设)4,1,2(),2,5,3(=-=b a ，问μλ与满足_________时，轴z b a ⊥+μλ.三、1、以点(1,3,-2)为球心，且通过坐标原点的球面方程为__________________.2、方程0242222=++-++z y x z y x 表示______________曲面.3、1)将xOy 坐标面上的x y 22=绕x 轴旋转一周，生成的曲面方程为 _______________，曲面名称为___________________.2)将xOy 坐标面上的x y x 222=+绕x 轴旋转一周，生成的曲面方程 _____________，曲面名称为___________________.3)将xOy 坐标面上的369422=-y x 绕x 轴及y 轴旋转一周，生成的曲面方 程为_____________，曲面名称为_____________________.4）在平面解析几何中2x y =表示____________图形。

在空间解析几何中2x y =表示______________图形.5）画出下列方程所表示的曲面 (1))(4222y x z +=(2))(422y x z += 四、1、指出方程组⎪⎩⎪⎨⎧==+319y 4x 22y 在平面解析几何中表示____________图形，在空间解 析几何中表示______________图形.2、求球面9222=++z y x 与平面1=+z x 的交线在xOy 面上的投影方程.3、求上半球2220y x a z --≤≤与圆柱体)0(22>≤+a ax y x 的公共部分在xOy 面及xOz 面上的投影.五、1、求过点(3,0,-1)且与平面3x-7y+5z-12=0平行的平面方程.2、求过点(1,1,-1)，且平行于向量a =(2,1,1)和b =(1,-1,0)的平面方程.3、求平行于xOz 面且过点(2,-5,3)的平面方程.4、求平行于x 轴且过两点(4,0,-2)和(5,1,7)的平面方程. 六、1、求过点(1,2,3)且平行于直线51132-=-=z y x 的直线方程.2、求过点(0,2,4)且与两平面12=+z x ,23=-z y 平行的直线方程.3、求过点(2,0,-3)且与直线⎩⎨⎧=+-+=-+-012530742z y x z y x 垂直的平面方程.4、求过点(3,1,-2)且通过直线12354zy x =+=-的平面方程.5、求直线⎩⎨⎧=--=++03z y x z y x 与平面01=+--z y x 的夹角.6、求下列直线与直线、直线与平面的位置关系 1)直线⎩⎨⎧=++-=-+7272z y x z y x 与直线11321-=--=-zy x ; 2)直线431232--=+=-z y x 和平面x+y+z=3.7、求点(3,-1,2)到直线⎩⎨⎧=-+-=+-+04201z y x z y x 的距离.B1、已知0=++c b a （c b a ,,为非零矢量），试证:a c c b b a ⨯=⨯=⨯.2、),(},1,1,1{,3b a b a b a ∠=⨯=⋅求.3、已知a 和b 为两非零向量，问t 取何值时，向量模||tb a +最小？并证明此时)(tb a b +⊥.4、求单位向量n ，使a n ⊥且x n ⊥轴，其中)8,6,3(=a .5、求过z 轴，且与平面052=-+z y x 的夹角为3π的平面方程.6、求过点)2,1,4(1M ，)1,5,3(2--M ，且垂直于07326=++-z y x 的平面.7、求过直线⎩⎨⎧=--+=-+-022012z y x z y x ，且与直线2l ：211zy x =-=平行的平面.8、求在平面π:1=++z y x 上，且与直线⎩⎨⎧-==11z y L ：垂直相交的直线方程.9、设质量为kg 100的物体从空间点)8,1,3(1M ，移动到点)2,4,1(2M ，计算重力所做的功（长度单位为m ）.10、求曲线⎩⎨⎧==-+30222z x z y 在xoy 坐标面上的投影曲线的方程，并指出原曲线是什么曲线？11、已知k j OB k i OA 3,3+=+=，求OAB ∆的面积12、.求直线⎩⎨⎧=---=+-0923042z y x z y x 在平面14=+-z y x 上的投影直线方程.C1、设向量c b a ,,有相同起点,且0=++c b a γβα，其中0=++γβα，γβα,,不全为零,证明:c b a ,,终点共线.2、求过点)1,2,1(0-M ，且与直线L ：121122=--=+y x 相交成3π角的直线方程. 3、过)4,0,1(-且平行于平面01043=-+-z y x 又与直线21311zy x =-=+相交的直线方程.4、求两直线1L ：1101-=-=-z y x 与直线2L ：0236+=-=z y x 的最短距离. 5、柱面的准线是xoy 面上的圆周（中心在原点，半径为1），母线平行于向量}1,1,1{=g ，求此柱面方程.6、设向量a,b 非零，3),(,2π==b a b ，求xaxb a x -+→0lim.7、求直线⎪⎩⎪⎨⎧--==)1(212:y z y x L 绕y 轴旋转一周所围成曲面方程. 第七章 空间解析几何与向量代数习 题 答 案A一、1、⎩⎨⎧⎭⎬⎫-±116,117,116 2、21M M =2,21cos ,22cos ,21cos ==-=γβα,3,43,32πγπβπα=== 3、a 在x 轴上的投影为13，在y 轴上的分量为7j 二、1、1）3)1()2(2)1(13=-⋅-+⋅-+⋅=⋅b ak j i kj ib a 75121213++=---=⨯（2）18)(63)2(-=⋅-=⋅-b a b a ，k j i b a b a 14210)(22++=⨯=⨯ （3）2123),cos(^=⋅⋅=b a b a b a 2、}2,2,0{},1,4,2{3221-=-=M M M Mk j i kj i M M M M a 4462201423221--=--=⨯=}1724,1724,1726{--±=±a a 即为所求单位向量。

3、μ=λ2三、1、14)2()3()1(222=++-+-z y x2、以(1,-2,-1)为球心,半径为6的球面3、1) x z y 222=+,旋转抛物面 x z y x 2)2222=++,球面 3)绕x 轴：36994222=--z y x 旋转双叶双曲面绕y 轴：36944222=-+y z x 旋转单叶双曲面 4、抛物线，抛物柱面 5、四、1、平面解析几何表示椭圆与其一切线的交点；空间解析几何中表示椭圆柱面与其切平面的交线。

2、⎩⎨⎧==+-082222z y x x3、在xoy 面的投影为：⎪⎩⎪⎨⎧=≤+-0)2(222z ay a x 在x O z 面的投影为：⎩⎨⎧=≤+0222y a z x 五、1、04573=-+-z y x 2、0)1(3)1(1)1(1=+--⋅+-⋅z y x3、05=+y4、029=--z y六、1、531221-=-=-z y x 2、14322-=-=-z y x 3、065111416=---z y x 4、0592298=---z y x5、06、1）垂直 2）直线在平面上7、223 B1、证明思路：0=++c b a ，0)(=++⨯∴c b a a即0=⨯+⨯+⨯c a b a b a ，又0=⨯a a ，a c c ab a ⨯=⨯-=⨯∴ 同理得c b b a ⨯=⨯2、思路：),sin(b a b a b a =⨯),cos(b a b a b a =⋅。

答案：6),(π=b a3、思路)(2||||)()(||2222b a t b t a tb a tb a tb a ⋅++=+⋅+=+该式为关于t 的一个2次方程，求其最小值即可。

答案：2||b ba t ⋅-= 4、思路：取i b =，则b n a n ⊥⊥,。

答案：)68(101k j n -±= 5、思路：平面过z 轴，不妨设平面方程为0=+By Ax ，则}0,,{B A n =，又（B A , 不全为0）答案：所求平面方程为03=+y x 或031=-y x 6、法一：，所求平面法向量21M M n ⊥，且}3,2,6{1-=⊥n n∴取}10,3,6{326347121-=---=⨯=kj i n M M n又平面过点)2,1,4(1M ，则平面方程为071036=--+z y x解法 2. 在平面上任取一点),,(z y x M ，则211M M MM 和}3,2,6{1-=n共面，由三向量共面的充要条件得0347326214=------z y x ，整理得所求平面方程 7、思路：用平面束。

设过直线1l 的平面束方程为0)22(12=--++-+-z y x z y x λ 答案：平面方程为0114311=--+z y x8、思路：求交点)1,1,1(-，过交点)1,1,1(-且垂直于已知直线的平面为01=-x 。

答案：⎩⎨⎧=++=-101z y x x 9、思路：重力的方向可看作与向量k 方向相反 答案：J g g M M F W 5880600)6()100(3.0)2(021=⋅=-⋅-++-⋅=⋅=10、思路：先求投影柱面方程，答案：原曲线在xoy 面上的投影曲线方程为⎩⎨⎧==+-00922z x y 。

原曲线是由旋转抛物面0222=-+x z y 被3=z 平面所截的抛物线。

11、思路：||21S O AB ⨯=∆，答案：219 12、思路：利用平面束方程。

答案⎩⎨⎧=+-=--+140117373117z y x z y x C1、证明：设a OA =，b OB =，c OC =，根据三角形法则。