2018高考数学复习4.4 2018高考数学复习突破 高考中的圆锥曲线问题

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2018年高考数学圆锥曲线的综合问题

2018年高考数学圆锥曲线的综合问题
1 又∵直线l不平行于坐标轴,∴kl=
y y2 x x 2x 1 =-9· 1 2 =-9· M =(-9)· ,kl· kOM=-9(常数). 2 yM x1 x2 y1 y2 kOM
所以直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值. 解法二:设A(x1,y1),B(x2,y2),中点M(x0,y0),
(去伪存真).
2.(2015课标Ⅱ,20,12分,0.145)已知椭圆C:9x2+y2=m2(m>0),直线l不过原点O且不平行于坐标轴,l与
C有两个交点A,B,线段AB的中点为M.
(1)证明:直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值; (2)若l过点 , m ,延长线段OM与C交于点P,四边形OAPB能否为平行四边形?若能,求此时l的斜 率;若不能,说明理由.
因为直线l过点 , m ,所以l不过原点且与C有两个交点的充要条件是k>0,k≠3.
由(1)得OM的方程为y=- x. 设点P的横坐标为xP.
9 km k 2 m2 y x, 2 x 由 得 = ,即xP= 2 . k P 2 9 k 81 2 2 2 3 k 9 9 x y m m(3 k ) m 的坐标代入l的方程得b= 将点 , ,m 3 3 k ( k 3)m . 因此xM= 3(k 2 9)
m 3
解析 (1)解法一:设直线l:y=kx+b(k≠0,b≠0),A(x1,y1),B(x2,y2),M(xM,yM). 将y=kx+b代入9x2+y2=m2得(k2+9)x2+2kbx+b2-m2=0,故
x x2 kb 9b = ,yM=kxM+b= . 2 2 k 9 k 9 2 yM 9 于是直线OM的斜率kOM= =- ,即kOM· k=-9. xM k

高考数学圆锥曲线大题所有题型解法

高考数学圆锥曲线大题所有题型解法

高考数学圆锥曲线大题所有题型解法
高考数学圆锥曲线大题的题型多种多样,以下是常见的几种题型和解法:
1.求圆锥曲线的方程:通过给定的条件,根据圆锥曲线的定义和性质,可以求出圆锥曲线的方程。

例如,已知圆锥曲线的焦点、准线或者过定点的直线方程,可以根据定义和性质求出圆锥曲线的方程。

2.求圆锥曲线的性质:通过已知的条件,可以利用圆锥曲线的性质来求解问题。

例如,已知圆锥曲线的焦点和准线,可以求出其焦距、离心率等性质。

3.求直线与圆锥曲线的交点:通过已知的直线方程和圆锥曲线的方程,可以求出它们的交点。

可以将直线方程代入圆锥曲线方程,解方程得到交点的坐标。

4.求切线和法线:通过已知的条件,可以求出圆锥曲线上某点的切线和法线方程。

例如,已知圆锥曲线上一点的坐标,可以求出该点处的切线和法线方程。

5.求曲线的参数方程:对于给定的圆锥曲线方程,可以通过变量替换的方法,将其转化为参数方程。

例如,对于抛物线,可以令y=xt^2,将方程转化为参数方程。

这些只是一些常见的题型和解法,实际上高考数学圆锥曲线大
题的题型和解法还有很多,需要根据具体的题目来进行分析和解决。

掌握圆锥曲线的基本定义、性质和常见的解题方法,能够更好地应对这类题目。

2018年高考数学专题40离心率的求值或取值范围问题黄金解题模板

2018年高考数学专题40离心率的求值或取值范围问题黄金解题模板

专题40 离心率的求值或取值范围问题【高考地位】圆锥曲线的离心率是近年高考的一个热点,有关离心率的试题,究其原因,一是贯彻高考命题“以能力立意”的指导思想,离心率问题综合性较强,灵活多变,能较好反映考生对知识的熟练掌握和灵活运用的能力,能有效地反映考生对数学思想和方法的掌握程度;二是圆锥曲线是高中数学的重要内容,具有数学的实用性和美学价值,也是以后进一步学习的基础. 【方法点评】方法1 定义法解题模板:第一步根据题目条件求出的值第二步代入公式,求出离心率.例1.在平面直角坐标系中, 若双曲线的离心率为,则的值为.【答案】【变式演练1】点P(-3,1)在椭圆()的左准线上,过点且方向为的光线,经直线反射后通过椭圆的左焦点,则这个椭圆的离心率为()A B C D【答案】方法2 方程法解题模板:第一步设出相关未知量;第二步根据题目条件列出关于的方程;第三步化简,求解方程,得到离心率.例2. 【2018黑龙江省牡丹江市第一高级中学模拟】已知椭圆的左焦点为,右焦点为.若椭圆上存在一点,且以椭圆的短轴为直径的圆与线段相切于线段的中点,则该椭圆的离心率为()A. B. C. D.【答案】D【解析】如图,设以椭圆的短轴为直径的圆与线段相切于点,连接分别是的中点,,且,,根据椭圆的定义,,,两边平方得:,代入并化简得,,,即椭圆的离心率为,故选D.例3. 如图,,是双曲线的左、右两个焦点,若直线与双曲线交于、两点,且四边形为矩形,则双曲线的离心率为()A. B. C. D.【答案】.【变式演练2】焦点在轴上的椭圆方程为,短轴的一个端点和两个焦点相连构成一个三角形,该三角形内切圆的半径为,则椭圆的离心率为()A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析:由短轴的一个端点和两个焦点相连构成一个三角形的面积相等得得,,即,故选C.考点:椭圆的标准方程与几何性质.【变式演练3】【2018四川省成都市第七中学模拟】已知分别是双曲线的左、右焦点,点关于渐近线的对称点恰好落在以为圆心、为半径的圆上,则双曲线的离心率为()A. 3B.C. 2D.【答案】C方法3 借助平面几何图形中的不等关系解题模板:第一步根据平面图形的关系,如三角形两边之和大于第三边、折线段大于或等于直线段、对称的性质中的最值等得到不等关系,第二步将这些量结合曲线的几何性质用进行表示,进而得到不等式,第三步解不等式,确定离心率的范围.例4已知椭圆的中心在,右焦点为,右准线为,若在上存在点,使线段的垂直平分线经过点F,则椭圆的离心率的取值范围是()A.B.C.D.【答案】【解析】如果注意到形助数的特点,借助平面几何知识的最值构建使问题简单化.【点评】离心率的范围实质为一个不等式关系,如何构建这种不等关系?可以利用方程和垂直平分线性质构建.利用题设和平面几何知识的最值构建不等式往往使问题简单化.【变式演练4】已知椭圆与圆,若在椭圆上存在点P,使得由点P所作的圆的两条切线互相垂直,则椭圆的离心率的取值范围是()A.B.C.D.方法4 借助题目中给出的不等信息解题模板:第一步找出试题本身给出的不等条件,如已知某些量的范围,存在点或直线使方程成立,的范围等;第二步列出不等式,化简得到离心率的不等关系式,从而求解.例5已知F1,F2分别为双曲线的左、右焦点,P为双曲线右支上的任意一点,若的最小值为8a,则双曲线的离心率e的取值范围是( )A. (1,+∞)B. (1,2]C. (1,]D. (1,3]【答案】D【解析】双曲线的左右焦点分别为为双曲线右支一的任意一点,,,当且仅当,即时取等号,,,,,故选D.【变式演练5】【2018广西贺州市桂梧高中模拟】过双曲线的右焦点作轴的垂线,与在第一象限的交点为,且直线的斜率大于2,其中为的左顶点,则的离心率的取值范围为()A. B. C. D.【答案】B【解析】,,∴,∴.选B.方法5 借助函数的值域求解范围解题模板:第一步根据题设条件,如曲线的定义、等量关系等条件建立离心率和其他一个变量的函数关系式;第二步通过确定函数的定义域;第三步利用函数求值域的方法求解离心率的范围.例6. 【2018河南省郑州市第一中学模拟】已知椭圆与双曲线的焦点重合, 分别为的离心率,则的取值范围为A. B. C. D.【答案】C【变式演练6】是经过双曲线焦点且与实轴垂直的直线,是双曲线的两个顶点, 若在上存在一点,使,则双曲线离心率的最大值为()A. B. C.D.【答案】A【解析】试题分析:由题设可知,即,解之得,即,故.应选A.考点:双曲线的几何性质及运用.【高考再现】1.【2017课标II,理9】若双曲线(,)的一条渐近线被圆所截得的弦长为2,则的离心率为()A.2 B. C. D.【答案】A双曲线的离心率。

2018年高考圆锥曲线部分大题解析

2018年高考圆锥曲线部分大题解析

1.【2018浙江21】如图,已知点P 是y 轴左侧(不含y 轴)一点,抛物线2:4C y x =上存在不同的两点,A B 满足,P A P B 的中点均在C上。

(1) 设AB 中点为M ,证明:PM 垂直于y 轴;(2) 若P 是半椭圆221(0)4y x x +=<上的动点,求PAB ∆面积的取值范围。

解析:(1)设2200112211(,),(,),(,)44P x y A y y B y yAP 中点满足:22102014()4()22y x y y ++= BP 中点满足:22202024:()4()22y x y y BP ++= 所以12,y y 是方程220204()4()22y x y y ++=即22000280y y y x y -+-=的两个根,所以1202y y y +=,故PM 垂直于y 轴。

(2)由(1)可知212012002,8y y y y y x y +=⋅=-所以2221200013||()384PM y y x y x =+-=-,12||y y -=因此,32212001||||(4)24PABS PM y y y x ∆=⋅-=- 因为220001(0)4y x x +=<,所以2200004444[4,5]y x x x -=--+∈ 因此,PAB ∆面积的取值范围是 1. 距离型问题(1,)(0)M m m >(1)证明:12k <-; (2)设F 为C 的右焦点,P 为C 上一点且0FP FA FB ++=,证明:,,FP FA FB 为等差数列,并求出该数列的公差。

解析:(1)由中点弦公式22OMb k k a ⋅=-,解得34k m=-又因为点M 在椭圆内,故302m <<,故12k <- (2)由题意知2,2FA FB FM FP FM +==-,故(1,2)P m -因为点P 在椭圆上,代入可得3,14m k ==-,即3||2FP = 根据第二定义可知,1211||2,||222FA x FB x =-=- 联立22212121114371402,42874x y x x x x x x y x ⎧+=⎪⎪⇒-+=⇒+==⎨⎪=-+⎪⎩ 即121||||4()32FA FB x x +=-+= 故满足2||||||FP FA FB =+,所以,,FP FA FB 为等差数列 设其公差为d ,因为,A B 的位置不确定,则有代入得21428d d =±=±(1,)(0)M m m >(1)证明:12k <-; (2)设F 为C 的右焦点,P 为C 上一点且0FP FA FB ++=,证明2||||||FP FA FB =+。

高考数学复习历年压轴题归类专题讲解: 圆锥曲线解答题突破(解析版)

高考数学复习历年压轴题归类专题讲解: 圆锥曲线解答题突破(解析版)

高考数学复习历年压轴题归类专题讲解 圆锥曲线解答题突破(解析版)1.已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ,其离心率12e =,点P为椭圆上的一个动点,12PF F △面积的最大值为(1)求椭圆的标准方程;(2)若A ,B ,C ,D 是椭圆上不重合的四个点,AC 与BD 相交于点1F ,0AC BD ⋅=,求+AC BD 的取值范围.【答案】(1)2211612x y +=;(2)96,147⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 解:(1)由题意得,当点P 是椭圆的上、下顶点时,12PF F △的面积取最大值此时121212PF F S F F OP bc ∆=⋅⋅=所以bc = 因为12e =,所以b =4a = 所以椭圆方程为2211612x y +=(2)由(1)得椭圆方程为2211612x y +=,则1F 的坐标为(2,0)-因为0AC BD ⋅=,所以AC BD ⊥①当直线AC 与BD 中有一条直线斜率不存在时,易得6814AC BD +=+= ②当直线AC 斜率k 存在且0k ≠,则其方程为(2)y k x =+,设11(,)A x y ,22(,)C x y则点A 、C 的坐标是方程组22(2)11612y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩的两组解所以2222(34)1616480k x k x k +++-=所以212221221634164834k x x k k x x k ⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪⋅=⎪+⎩所以212224(1)134k AC x k+=+-=+ 此时直线BD 的方程为()12y x k=-+ 同理由221(2)11612y x k x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩可得2224(1)43k BD k +=+ 2222222224(1)24(1)168(1)3443(34)(43)k k k AC BD k k k k ++++=+=++++令21(0)t k k =+≠,则1t >,2168112AC BD t t+=-+ 因为1t >,所以21104t t -<≤ 所以96[,14)7AC BD +∈ 综上96[,14]7AC BD +∈2.已知椭圆C :2212x y +=.(1)曲线D :3y x =与C 相交于A ,B 两点,H 为C 上异于A ,B 的点,若直线HA 的斜率为1,求直线HB 的斜率;(2)若C 的左焦点为F ,右顶点为E ,直线l :4x =.过F 的直线l '与C 相交于P ,Q (P 在第一象限)两点,与l 相交于M ,是否存在l '使PFE △的面积等于△MPE 的面积与QFE △的面积之和.若存在,求直线l '的方程;若不存在,请说明理由.【答案】(1)12-;(2)直线l '不存在,理由见解析(1)由已知设(),H x y ,()11,A x y ,()11,B x y --, 因为点,H A 均在椭圆C 上,所以2222x y +=,221122x y +=,两式相减得()2222112x x y y -=-,又221112211112HA HBy y y y y y k k x x x x x x -+-⋅=⋅==--+-,且1HA k =, ∴12HB k =-;(2)设()04,M y ,()33,P x y ,()44,Q x y ,则()0303111222MPE S FE y FE y FE y y =⋅⋅-⋅⋅=⋅⋅-△,312PFESFE y =⋅⋅, ()412QFESFE y =⋅⋅-, 假设存在l '使得PFE △的面积等于△MPE 的面积与QFE △的面积之和,则PFE MPE QFE S S S =+△△△,即0342y y y =+①, 设l :1x my =-,令4x =,得05y m =,∴3452y y m+=②, 把1x my =-,将之代入2212x y +=,整理得()222210m y my +--=,∴34222my y m +=+③, 34212y y m =-+④,②③联立得32522m y m m =-+,42452m y m m=-+⑤, 把⑤代入④得22252451222m m m m m m m ⎛⎫⎛⎫--=- ⎪⎪+++⎝⎭⎝⎭, 化简得4219500m m ++=,由于此方程无解,故所求直线l '不存在.3.如图,已知椭圆2214y x +=,点()1,0F 是抛物线()220y px p =>的焦点,过点F 作直线l 交抛物线于,M N 两点,延长,MO NO 分别交椭圆于,A B 两点,记OMN ,OAB 的面积分别是12,S S .(Ⅰ)求p 的值及抛物线的准线方程;(Ⅱ)求12S S 的最小值及此时直线l 的方程. 【答案】(Ⅰ)2p =,准线方程1x =-;(2)12S S 的最小值为2,此时:1l x =. (Ⅰ)因为点()1,0F 是抛物线()220y px p =>的焦点,所以12p=,即2p =,因此该抛物线的准线方程为:1x =-; (Ⅱ)由(Ⅰ)得抛物线方程为:24y x =,根据题意,不妨令点M 在第一象限,点N 在第四象限,则点A 在第三象限,点B 在第二象限;若直线l 的斜率不存在,则:1l x =,代入24y x =可得2y =±,即()1,2M ,()1,2N -,则1122OMNS SOF MN ==⋅=;2OM k =,2ON k =-, 则直线:2OM y x =,直线:2ON y x =-,由22214y x y x =⎧⎪⎨+=⎪⎩得22122AA x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩,所以2A A x y ⎧=-⎪⎨⎪=⎩,即A ⎛ ⎝;同理:B ⎛ ⎝,则AB x ⊥轴,因此21122OABS S==⨯⨯=; 此时122S S =,:1l x =;若直线l 的斜率存在,设直线l 的方程为()1y k x =-,(1,M x,(2,N x -,由()214y k x y x⎧=-⎨=⎩得()2214k x x -=,整理得()2222240k x k x k -++=, 则212224k x x k++=,121=x x ;()224224416160k k k ∆=+-=+>,所以11sin 2OMNS SOM ON MON MON ==⋅∠=∠MON MON =∠=∠;又1OM k==,2ON k ==, 所以直线:OM y x=,:ON y x =, 由2214y x y x ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得1221x x x +=,即2111A x x x =+,则2211441A y x x x ==+,所以OA ==;同理OB =,所以21sin 2OABS SOA OB AOB AOB ==∠=∠A OB ∠=又AOB MON ∠=∠,所以12S S MON ===∠2==>=; 综上,12S S 的最小值为2,此时:1l x =.4.在平面直角坐标系xOy 中,已知椭圆2222:1(0,0)x y C a ba b +=>>短轴的两个顶点与右焦点的连线构成等边三角形,两准线之间的距离为.(1)求椭圆C 的标准方程;(2)直线:(0,0)l y kx m k m =+>≠与椭圆C 交于P ,Q 两点,设直线OP ,OQ 的斜率分别为1k ,2k .已知212·k k k =. ①求k 的值;②当OPQ △的面积最大时,求直线PQ 的方程.【答案】(1)2214x y +=;(2)①12k =;②112y x =±.解:(1)设椭圆的焦距为2c ,则222c a b =-.因为短轴的两个顶点与右焦点的连线构成等边三角形,所以=c .,则22a c = 所以2a =,1b =,所以椭圆C 的标准方程为2214x y +=.(2)①设1(P x ,1)y ,2(Q x ,2)y ,联立22,1,4y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 得222(41)8440k x kmx m +++-=, 2222644(41)(44)0k m k m ∆=-+->,化简得2241m k <+,所以122841km x x k -+=+,212244·41m x x k -=+, 又OP 的斜率111y k x =,OQ 的斜率222y k x =,所以2221212121212121212()()()·y y kx m kx m k x x km x x m k k k x x x x x x +++++====,化简得212()0km x x m ++=,所以228·041kmkm m k -+=+.又因为0m ≠,即241k =, 又0k >,所以12k =. ②由①得12k =,直线PQ 的方程为12y x m =+, 且122x x m +=-,212·22x x m =-,22m <. 又0m ≠,所以0m <<所以12PQ x ==-== 点O 到直线PQ的距离d ==,所以221(2)·122OPQm m SPQ d +-===≤=, 当且仅当222m m =-,即1m =±时,OPQ △的面积最大, 所以,直线PQ 的方程为112y x =±. 5.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的两焦点为1(F,2F ,且椭圆上一点P ,满足12|||4|PF PF +=,直线:l y kx m =+与椭圆C 交于A 、B 两点,与x 轴、y 轴分别交于点G 、H ,且OA OB OM λ+=.(1)求椭圆C 的方程;(2)若k =||2AB λ==,求||||HG HM ⋅的值;(3)当△OAB 面积取得最大值,且点M 在椭圆C 上时,求λ的值.【答案】(1)2214x y +=(2)3(3)λ=(1)由题意可得2,1a c b ==⇒=,∴椭圆方程为2214x y +=(2)由题意得,此时直线方程为y m =+,将其代入椭圆方程整理可得229440x m ++-=,其中()222212836441441609m m m m ∆=--=->⇒<设()()1122,,,A x y B x y ,则2121244,99m x x x x -+=-=∴12322AB x m =-==⇒=±,由椭圆具有对称性,∴不妨取32m =,则310,,,26H G M ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,∴3HG HM ⋅ (3)将直线方程y kx m =+代入椭圆方程整理可得()222418440k x kmx m +++-=,其中()()222222644414464160k m k m k m ∆=-+-=-+16>,设()()1122,,,A x y B x y ,则2121222844,4141km m x x x x k k -+=-=++,∴12AB x=-=原点到直线的距离d=,∴()222241141ABCm k mSk∆++-=≤=+,当且仅当22412k m+=时等号成立,又()()121211,M x x y yλλ⎛⎫++⎪⎝⎭代入椭圆方程可得()()2212122214x x y yλλ+++=,其中221114xy+=,222214xy+=,∴整理得212128284x x y yλ++=再将1122,kx m y kx my=+=+代入,()()122128284kx mx m kxxλ+=+++整理得()()2221212828884k x x km x x mλ+++++=,()2222224488288844141m kmk km mk kλ-⎛⎫++-++=⎪++⎝⎭,整理得22λ=,λ=6.已知椭圆2222:1(0)x yC a ba b+=>>的焦距为2,过点(-.(1)求椭圆C的标准方程;(2)设椭圆的右焦点为F,定点()2,0P,过点F且斜率不为零的直线l与椭圆交于A,B两点,以线段AP为直径的圆与直线2x=的另一个交点为Q,证明:直线BQ恒过一定点,并求出该定点的坐标.【答案】(1)2212x y +=;(2)证明见解析,3(,0)2.(1)由题知2211112c a b =⎧⎪⎨+=⎪⎩ , 解得22a =,21b =, 所以椭圆C 的方程为2212x y +=;(2)设11(,)A x y ,22(,)B x y 因为直线l 的斜率不为零,令l 的方程为:1x my =+,由22112x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得22(2)210m y my ++-=, 则12222m y y m +=-+,12212y y m ⋅=-+, 因为以AP 为直径的圆与直线2x =的另一个交点为Q ,所以AQ PQ ⊥,则1(2,)Q y ,则2122BQ y y k x -=-,故BQ 的方程为:2112(2)2y y y y x x --=-- , 由椭圆的对称性,则定点必在x 轴上,所以令0y =,则1212121212121(2)(1)222y x y my my y y x y y y y y y -----+=+=+=+---,而12222m y y m +=-+,12212y y m ⋅=-+,12122y y my y +-=-, 所以121211322222y y y x y y +-+=+=-+=-,故直线BQ 恒过定点,且定点为3(,0)2.7.已知()()1122,,,A x y B x y 是抛物线()2:20C x py p =>上不同两点.(1)设直线:4p l y =与y轴交于点M ,若,A B 两点所在的直线方程为1y x =-,且直线:4pl y =恰好平分AMB ∠,求抛物线C 的标准方程. (2)若直线AB 与x 轴交于点P ,与y 轴的正半轴交于点Q ,且2124p y y =,是否存在直线AB ,使得113PA PB PQ+=?若存在,求出直线AB 的方程;若不存在,请说明理由. 【答案】(1)28x y =(2)AB 方程为122py x =±+.(1)设()()1122p A x ,y ,B x ,y ,M 0,4⎛⎫⎪⎝⎭,由2x 2{1py y x ==-,消去y 整理得2x 2px 2p 0-+=,则212124p 80{x x 2x x 2p pp∆=->+==, ∵直线py 4=平分AMB ∠, ∴k k 0AM BM +=, ∴1212p p y y 440x x --+=,即:12121212p px 1x 1x x p 44210x x 4x x ----+⎛⎫+=-+= ⎪⎝⎭,∴p 4=,满足Δ0>,∴抛物线C 标准方程为2x 8y =. (2)由题意知,直线AB 的斜率存在,且不为零, 设直线AB 的方程为:y kx b(k 0b 0)=+≠>,,由2{x 2y kx bpy=+=,得2x 2pkx 2pb 0--=, ∴2212124p k 80{x x 2x x 2pb pkpb∆=+>+==-,∴()2222121222pb x x y y ?b 2p 2p 4p -===, ∵212p y y 4=, ∴22p b 4=, ∵b 0>, ∴p b 2=.∴直线AB 的方程为:p y kx 2=+. 假设存在直线AB ,使得113PA PB PQ +=,即PQ PQ 3PA PB+=, 作AA x '⊥轴,BB x '⊥轴,垂足为A B ''、,∴121212p pPQ PQ OQ OQ y y p 22·PA PB AA BB y y 2y y ++=+'=+=', ∵()21212y y k x x p 2pk p +=++=+,212p y y 4=,∴222PQ PQp 2pk p·4k 2pPA PB 24++==+,由24k 23+=,得1k 2=±, 故存在直线AB ,使得113PA PB PQ +=,直线AB 方程为1p y x 22=±+. 8.已知椭圆E :22221(0)x y a b a b +=>>的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点,直线l :3y x =-+与椭圆E 有且只有一个公共点T .(Ⅰ)求椭圆E 的方程及点T 的坐标;(Ⅱ)设O 是坐标原点,直线l '平行于OT ,与椭圆E 交于不同的两点A 、B ,且与直线l 交于点P ,证明:存在常数λ,使得2||||||PT PA PB λ=⋅,并求λ的值.【答案】(Ⅰ)22163x y +=,点T 坐标为(2,1);(Ⅱ)45λ=. 【解析】(Ⅰ)由已知,a =,则椭圆E 的方程为222212x y b b+=.由方程组得22312(182)0x x b -+-=.①方程①的判别式为2=24(3)b ∆-,由=0∆,得2=3b , 此时方程①的解为=2x ,所以椭圆E 的方程为22163x y +=.点T 坐标为(2,1).(Ⅱ)由已知可设直线l '的方程为1(0)2y x m m =+≠, 由方程组1{23y x m y x =+=-+,, 可得223{21.3mx my =-=+, 所以P 点坐标为(222,133m m -+),2289PT m =. 设点A ,B 的坐标分别为1122(,)(,)A x y B x y ,.由方程组22163{12x y y x m +==+,,可得2234(412)0x mx m ++-=.②方程②的判别式为2=16(92)m ∆-,由>0∆,解得m <<. 由②得212124412=,33m m x x x x -+-=.所以123m PA x ==--,同理223m PB x =--, 所以12522(2)(2)433m mPA PB x x ⋅=---- 21212522(2)(2)()433m mx x x x =---++ 225224412(2)(2)()43333m m m m -=----+ 2109m =. 故存在常数45λ=,使得2PT PA PB λ=⋅. 9.已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左,右焦点分别为1F ,2F ,若椭圆经过点)1P-,且12PF F △的面积为2.(1)求椭圆C 的标准方程;(2)设斜率为1的直线l 与圆22:O x y b +=交于A ,B 两点,与椭圆C 交于C ,D 两点,且()R CD AB λλ=∈,当λ取得最小值时,求直线l 的方程并求此时λ的值.【答案】(1)22184x y +=;(2)3,y x =. 解:(1)由12PF F △的面积可得12122c ⨯⨯=.即2c =,∴224a b -=.①又椭圆C 过点)1P,∴22611a b +=.②由①②解得a =2b =.故椭圆C 的标准方程为22184x y +=.(2)由题知圆221:2O x y +=,设直线l 的方程为y x m =+,则原点到直线l的距离d =,由弦长公式可得AB ==.将y x m =+代入椭圆方程22184x y+=,得2234280x mx m ++-=,由判别式()221612280m m ∆=-->,解得m -<由直线和圆相交的条件可得d r <<,也即22m -<<,综上可得m 的取值范围是()2,2-. 设()11,C x y ,()22,D x y ,则1243m x x +=-,212283m x x -=,由弦长公式,得CD === 由CD AB λ=,得CD AB λ===∵22m -<<,∴2044m <-≤,则当0m =时,λ取得最小值3,此时直线l 的方程为y x =.10.在平面直角坐标系中,已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>,直线():,R,0l y kx t k t k =+∈≠.(1)若椭圆C 的一条准线方程为4x =,且焦距为2,求椭圆C 的方程;(2)设椭圆C 的左焦点为F ,上顶点为A ,直线l 过点F ,且与FA 垂直,交椭圆C 于M ,N (M 在x 轴上方),若2NF FM =,求椭圆C 的离心率;(3)在(1)的条件下,若椭圆C 上存在相异两点P ,Q 关于直线l 对称,求2t 的取值范围(用k 表示).【答案】(1)22143x y +=;(2)e =(3)220,34k k ⎡⎫⎪⎢+⎣⎭.(1)设椭圆C 的半焦距为c ,因为椭圆C 的一条准线方程为4x =,且焦距为2,所以22224,22a c c a b c ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩,解得2,1a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩C 的方程为22143x y +=.(2)如图,因为()0,A b ,(),0F c -,所以AF b k c=, 因为直线l 过点F ,且与FA 垂直,所以直线l 的方程为bx y c c=--,与椭圆C 的方程联立得()4222324220b a c y b c y b c ++-=,因为l 过左焦点F , 所以>0∆恒成立,设()11,M x y ,()22,N x y ,则321242242124222,b c y y b a cb c y y b a c ⎧+=-⎪⎪+⎨⎪=-⎪+⎩(*), 因为2NF FM =, 所以212y y =-,代入(*)得32142242214222,2b c y b a cb cy b a c ⎧-=-⎪⎪+⎨⎪-=-⎪+⎩, 消去1y 并化简得4222280b a c b c +-=, 因为222b a c =-, 所以()()2222222280a ca c a a c c -+--=,即4224990c a c a -+=, 因为c e a=,所以429910e e -+=,解得2e =,所以6e ==.(3)如图,设()11,P x y ,()22,Q x y ,PQ 的中点()00,x y ,则221122221,43143x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩,两式相减并化简得 2121212134y y y y x x x x -+⋅=--+,即0034PQ y k x ⋅=-,因为1PQ k k=-,所以0034ky x =, 又00y kx t =+,所以004,3t x k y t⎧=-⎪⎨⎪=-⎩, 因为点()00,x y 在椭圆C 的内部,所以()2243143t t k ⎛⎫- ⎪-⎝⎭+<,化简得22234k t k <+.故2t 的取值范围为220,34kk ⎡⎫⎪⎢+⎣⎭.11.已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点分别为12,F F,离心率为2,P 是椭圆上一点,且△12PF F 面积的最大值为1.(1)求椭圆C 的方程;(2)过2F 且不垂直坐标轴的直线l 交椭圆C 于A ,B 两点,在x 轴上是否存在一点(,0)N n ,使得22||:||:AN BN AF BF =,若存在,求出点(,0)N n ,若不存在,说明理由.【答案】(1)2212x y +=;(2)(1,0)N ,过程见解析(1)121212PF F P SF F y =,由椭圆性质知当=P y b 时,△12PF F 面积最大. 由题得:22212122c b c a a b c ⎧⨯⨯=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=+⎪⎩解得1a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩所以椭圆方程为:2212x y +=(2)设直线方程为(1)y k x =-,1122(,),(,)A x y B x y22(1)21y x x y k =-+=⎧⎪⎨⎪⎩ 化简得2222(21)4220k x k x k +-+-= 22121222422,2121k k x x x x k k -+==++ 22||:||:AN BN AF BF =,如图,作//AM BN 交2NF 延长线与M 点, 易证得22||||AF AM BN BF =,22||:||:AN BN AF BF = AM AN ∴= 22ANF BNF ∴∠=∠所以2F N 是ANB ∠的角平分线,则有0NB NA k k +=12120y yx n x n+=-- ,1221(1)(1)0y x y x ∴-+-= 1122,y kx k y kx k =-=-1221()(1)()(1)0kx k x kx k x ∴--+--= 12212()(+)20kx x kn k x x kn ∴+++=22222242()202121k k k kn k kn k k -∴⨯+++=++ 化简得1n =所以存在点(1,0)N 满足题意.12.已知椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>的上顶点为P ,4,33b Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭是椭圆E 上的一点,以PQ 为直径的圆经过椭圆E 的右焦点F .(1)求椭圆E 的方程;(2)过椭圆E 右焦点F 且与坐标轴不垂直的直线l 与椭圆E 交于A ,B 两点,在直线2x =上是否存在一点D ,使得ABD △为等边三角形?若存在,求出等边三角形ABD △的面积;若不存在,请说明理由.【答案】(1)2212x y +=;(2.解:依据题意得22224331b a b⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+=,得22a =,()0,P b ,(),0F c 又2220a b c PF QF ⎧=+⎨⋅=⎩, 22224033b cb c c ⎧=+⎪⎨⎛⎫---= ⎪⎪⎝⎭⎩, 1b c ∴==, ∴椭圆的方程为2212x y +=.(2)假设在直线2x =上存在一点D 使得ABD ∆为等边三角形,设直线():1l y k x =-由()22112y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩得,()2222214220k x k x k +-+-= ()()()42221642122810k k k k ∆=-+-=+>,设()11,A x y ,()22,B x y ,AB 的中点为()00,M x y则2122421k x x k ,21222221k x x k -=+ 202221k x k =+,()002121k y k x k -=-=+ )22121k AB k +∴=+.DBA △为等边三角形,所以MD 的斜率为1k-,又D 点的横坐标为2,2022221D k x k MD +∴=-=+DBA △为等边三角形,DM B ∴=)222212221221k k k k ++=++,得22k =.AB ∴=,DBA ∴△的面积为2513.已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的短轴长为13.(1)求椭圆C 的标准方程;(2)设椭圆C 的左,右焦点分别为1F ,2F 左,右顶点分别为A ,B ,点M ,N ,为椭圆C 上位于x 轴上方的两点,且12//F M F N ,记直线AM ,BN 的斜率分别为1k ,2k ,若12320k k +=,求直线1F M 的方程.【答案】(1)22198x y (2)0y -+=(1)由题意,得2b =c 1a 3=.又222a c b -=,∴a 3=,b =c 1=.∴椭圆C 的标准方程为22x y 198+=(2)由(1),可知()A 3,0-,()B 3,0,()1F 1,0-. 据题意,直线1F M 的方程为x my 1=-记直线1F M 与椭圆的另一交点为M ',设()()111M x ,y y 0>,()22M x ,y '.∵12FM //F N ,根据对称性,得()22N x ,y --. 联立228x 9y 721x my ⎧+=⎨=-⎩,消去x ,得()228m 9y 16my 640+--=,其判别式Δ0>,∴12216m y y 8m 9+=+,12264y y 8m 9=-+.① 由123k 2k 0+=,得12123y 2y 0my 2my 2+=++,即12125my y 6y 4y 0++=.② 由①②,解得12128m y 8m 9=+,22112my 8m 9-=+ ∵1y 0>,∴m 0>.∴()()12222128m?112m 64y y 8m 98m 9--==++.∴m = ∴直线1F M的方程为x y 1=-,即y 0-+=. 14.已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的右焦点为F ,T 为椭圆上一点,O 为坐标原点,椭圆的离心率为,且TFO △面积的最大值为12.(1)求椭圆的方程;(2)设点()0,1A ,直线l :(1)y kx t t =+≠±与椭圆C 交于两个不同点P ,Q ;直线AP 与x 轴交于点M ,直线AQ 与x 轴交于点N ,若2OM ON ⋅=,求证:直线l 经过定点.【答案】(1)2212x y +=;(2)证明见解析.(1)设()00,T x y ,(c,0)F,由2c a =,可得222a c =, 依题意max 1122S cb =⋅=,所以a =1b =,所以椭圆C 的方程为2212x y +=.(2)设()11,P x y ,()22,Q x y .联立2212(1)x y y kx t t ⎧+=⎪⎨⎪=+≠⎩得()222124220k x ktx t +++-=,>0∆,122412kt x x k +=-+,21222212t x x k -=+,直线AP :1111y y x x --=,令0y =得111x x y -=-,即111x OM y -=-;同理可得221x ON y -=-. 因为2OM ON =,所以()12121212122111x x x x y y y y y y --==---++化简得221121t t t -=-+,解得只有0t =满足题意, 所以直线方程为y kx =,所以直线l 恒过定点(0,0).15.已知抛物线C :24y x =的焦点为F ,过F 的直线l 与抛物线C 交于A ,B 两点,其中点A 在第一象限,AD DB =.(1)若49OD k =(O 为坐标原点),求直线l 的方程; (2)点P 在x 轴上运动,若0,2FAP π⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭,求点P 横坐标的取值范围.【答案】(1) 210x y --=或440x y --=;(2) [)()0,11,9;解:(1)由题意得(1,0)F ,设直线l 的方程为:1x ty =+,设()()1122,,,A x y B x y ,线段MN 的中点()00,D x y ,联立直线与抛物线的方程:214x ty y x=+⎧⎨=⎩,整理可得:2440y ty --=,可得124y y t +=,124y y =-,所以02y t =,200121x ty t =+=+,即()221,2D t t +,所以2221OD t k t =+,由题意可得224219t t =+,解得2t =或14t =, 所以直线l 的方程为:210x y --=或440x y --=;(2)0,2FAP π⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭,即FAP ∠恒为锐角,等价于0AF AP ⋅>,设()2110,,(1,0),,0,4y A y F P x ⎛⎫⎪⎝⎭2211011,,1,44y y AP x y AF y ⎛⎫⎛⎫=--=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,则224222111101103110441644y y y y AP AF x y y x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅=--+=++-> ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭恒成立, 令214y t =,则0t >,原式等价于203(1)0t t t x ++->,对任意的0t >恒成立,令200()(3)h t t x t x =+-+,①△220000(3)41090x x x x =--=-+<,解得:019x <<,②00302(0)0x h ⎧⎪-⎪⎨⎪⎪⎩,解得:001x , 又01x ≠,故001x <, 综上所述:0x 的取值范围[)()0,11,9.16.已知()1,0F -,Q 是圆K :222150x x y -+-=上的任意一点,线段FQ 的垂直平分线交QK 于点P .(1)求动点P 的轨迹E 的方程;(2)过F 作E 的不垂直于y 轴的弦AB ,M 为AB 的中点,O 为坐标原点,直线OM 与E 交于点C 、D ,求四边形ABCD 面积的取值范围.【答案】(1)22143x y +=;(2)6S ≤< (1)由题意可知42PF PK PQ PK FK +=+=>=, 所以动点P 的轨迹是以F 、K 为焦点且长轴长为4的椭圆.因此E 的方程为22143x y +=.(2)由题意可设AB 的方程为1x ky =-,代入2234120x y +-=,得()2234690k y ky +--=,设()11,A x y ,()22,B x y , 则122634k y y k +=+,122934y y k =-+.设1200023(,),234y y kM x y y k +==+, 2002234113434k x ky k k =-=-=-++, 所以2243,3434k M k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭,OM 的斜率为34k -. 直线OM 的方程为34ky x =-, 代入2234120x y +-=,解得221634x k =+,所以CD ==, 设点A ,B 到OM 的距离分别为1d ,2d ,则1d =,2d =()1212ACBDS CD d d =+===12y =-==== 所以,6S ≤<(当且仅当0k =等号成立).17.已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ,且12F F =过椭圆的右焦点2F 作长轴的垂线与椭圆,在第一象限交于点P ,且满足127PF PF =.(1)求椭圆的标准方程;(2)若矩形ABCD 的四条边均与椭圆相切,求该矩形面积的取值范围.【答案】(1)2214x y +=(2)[]8,10(1)由12F F =c =设2PF x =,因为127PF PF =,所以17PF x =,在Rt △12PF F 中,2221212PF PF F F =+,即224912x x =+,所以12x =, 所以284a x ==,解得2222,1a b a c ==-=,所以椭圆的标准方程为2214x y +=.(2)记矩形面积为S ,当矩形一边与坐标轴平行时,易知8S =.当矩形的边与坐标轴不平行时,根据对称性,设其中一边所在直线方程为y kx m =+,则对边所在直线方程为y kx m =-,另一边所在的直线方程为1y x n k =-+,则对边所在直线方程为1y x n k=--, 联立2244x y y kx m⎧+=⎨=+⎩,得()()222148410k x kmx m +++-=,由题意知()()222264161140k m m k ∆=--+=,整理得2241k m +=,矩形的一边长为1d =,同理2241n k +=,矩形的另一边长为2d =,122|4|1mnkS d dk=⋅==+44==44==因为0k≠,所以20k>,所以2212kk+≥(当且仅当21k=时等号成立),所以22990,142kk⎛⎤∈ ⎥⎝⎦++52,2⎛⎤⎥⎝⎦,所以(8,10]S∈.综上所述,该矩形面积的取值范围为[]8,10.18.已知椭圆2214yx+=,直线1l y kx=+:分别与x轴y轴交于,M N两点,与椭圆交于,A B两点.(1)若AM NB=,求直线l的方程;(2)若点P的坐标为()0,2,-求PAB△面积的最大值.【答案】(1)21y x=±+;(2(1)设()()1122,,,A x yB x y联立直线方程与椭圆方程有22141yxy kx⎧+=⎪⎨⎪=+⎩有()224230,k x kx++-=有12224x x kk+=-+,()1212224224k x xy yk+++==+,所以AB 中点坐标为224,44k k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭,(0)k ≠ 由1,0M k ⎛⎫- ⎪⎝⎭,()0,1N ,MN 中点坐标为11,22k ⎛⎫- ⎪⎝⎭.因为AM NB =,所以线段MN 的中点与AB 的中点重合,有221241424k k k k ⎧-=-⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩ 解得:2k =± (2)12|3|21PABSx x =⨯⨯-=由(1)中可知12224kx x k +=-+,12243x x k =-+⋅故PABS=661==因为3,43所以6331PAB S ∆=,当0k =时PAB △面积最大.19.如图所示,椭圆()222210x y a b a b +=>>的左、右顶点分别为1A 、2A ,上、下顶点分别为1B 、2B ,右焦点为F ,13A F =,离心率为12.(1)求椭圆的方程;(2)过点()0,1E 作不与y 轴重合的直线l 与椭圆交于点M 、N ,直线1MB 与直线2NB 交于点T ,试讨论点T 是否在某条定直线上,若存在,求出该直线方程,若不存在,请说明理由.【答案】(1)22143x y +=;(2)存在,且定直线方程为3y =. (1)由题意可得1123c e a A F a c ⎧==⎪⎨⎪=+=⎩,解得2a =,1c =,b ∴==因此,椭圆的标准方程为22143x y +=;(2)由题意可知直线l 的斜率存在,设直线l 的方程为1y kx =+,设点()11,M x y 、()22,N x y ,联立2213412y kx x y =+⎧⎨+=⎩,消去x 并整理得()2243880k x kx ++-=, ()()22264324396210k k k ∆=++=+>, 由韦达定理得122843k x x k +=-+,122843x x k =-+.易知点(1B、(20,B ,直线1MB的斜率为(11111kx k x +==,直线1MB的方程为1y k x = 直线2NB的斜率为(222221kx y k x x ++==,直线2NB的方程为2y k x =由1y k x =,2y k x =(112212211kx kx x x k k x ++-===,其中12122843kkx x x x k =-=++,((121221222122x x x x x x x ⎡⎤-+++++====解得3y =.因此,点T 在定直线3y =上.20.如图,焦点在x 轴上的椭圆1C 与焦点在y 轴上的椭圆2C 都过点(0,1)M ,中心都在坐标原点,且椭圆1C 与2C.(1)求椭圆1C 与椭圆2C 的标准方程;(2)过点M 且互相垂直的两直线分别与椭圆1C ,2C 交于点A ,B (点A 、B 不同于点M ),当MAB △的面积取最大值时,求直线MA ,MB 斜率的比值.【答案】(1)2213x y +=,22+31y x =;(2.(1)设椭圆2212211:1x y C a b +=,2222222:1y x C a b +=,依题意得对1C :11b =,222112123a b e e a -=⇒==,得213a ,1C ∴:2213x y +=,同理对2C :21a =,2222222233a b e e a -=⇒==,得2213b , 2C ∴:22+311x y =,即22+31y x=;(2)设直线MA MB ,的斜率分别为12k k ,, 则MA :11y k x =+,与椭圆方程联立得:2222111313031x y x k x y k x ⎧+=⎪⇒++-=⎨⎪=+⎩(), 得22113160k x k x ()++=,得1216=31A k x k -+,212131=31A k y k -++,所以2112211631(,)3131k k A k k -+-++,同理可得222222223,33k k B k k ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭, 所以221122222211226622=(,),,313133k k k k MA MB k k k k ⎛⎫----= ⎪++++⎝⎭,MA MB ⊥,从而可以求得611=22S MA MB ⎛⋅=- 112222222242436412334163k k k k k k 121=2313k k ++, 因为121k k =-,所以()()3112216+=31k k S k+,不妨设()()31111221+031k k k f k k >=+,,()()2341112136131k k f kk'--+=+,令()0f k '=,即4211361=0k k --+,解得2113=,3k k -=当1111()0,),(0)k f k k f k ∈'>∈+∞'<,当1k =时,1()f k 取得极大值也是最大值,即S 取得最大值, 此时两直线MA ,MB斜率的比值21123==3k k k --. 21.已知椭圆D :22221x y a b +=(0a b >>)的短轴长为2(1)求椭圆D 的方程;(2)点()0,2E ,轨迹D 上的点A ,B 满足EA EB λ=,求实数λ的取值范围.【答案】(1)2214x y +=(2)1,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦(1)由已知2221a b c b c a⎧⎪=+⎪⎪=⇒⎨⎪⎪=⎪⎩ 2a =,1b =,c =所以D 的方程为2214x y +=(2)过()0,2E 的直线若斜率不存在,则13λ=或3.设直线斜率k 存在()11,A x y ,()22,B x y222440y kx x y =+⎧⇒⎨+-=⎩ ()221416120k x kx +++=则()()()()122122120,116,21412,314,4k x x k x x kx x λ⎧∆≥⎪-⎪+=⎪+⎨⎪=⎪+⎪=⎩由(2)(4)解得1x ,2x 代入(3)式得()2222161214141k k k λλ-⎛⎫⋅= ⎪++⎝⎭+ 化简得()22314641k λλ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭+ 由(1)0∆≥解得234k ≥代入上式右端得 ()2311641λλ<≤+ 解得133λ<<综上实数λ的取值范围是1,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦.点睛:解析中出现EA EB λ=属于 λ问题,由EA EB λ=得出12x x λ=,结合韦达定理找到λ与k的关系,再利用0∆≥建立不等关系即得解.22.已知点F 是抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点,点00(3,)(1)P y y >是抛物线C 上一点,且134PF =,Q 的方程为22(3)6x y +-=,过点F 作直线l ,与抛物线C 和Q 依次交于.(如图所示)(1)求抛物线C 的方程; (2)求()MB NA AB +的最小值.【答案】(1);(2).由在抛物线上得,又由得,解得,,又,故.所以抛物线的方程为.由题知直线的斜率一定存在,设直线的方程为.则圆心到直线的距离为,.设,,由得,则,由抛物线定义知,.设,则,,函数在上都是单调递增函数,当时即时,有最小值.23.已知椭圆方程为22163x y +=.(1)设椭圆的左右焦点分别为1F 、2F ,点P 在椭圆上运动,求1122PF PF PF PF +⋅的值;(2)设直线l 和圆222x y +=相切,和椭圆交于A 、B 两点,O 为原点,线段OA 、OB 分别和圆222x y +=交于C 、D 两点,设AOB ∆、COD ∆的面积分别为1S 、2S ,求12S S 的取值范围.【答案】(1)6;(2)2,2⎡⎢⎣⎦.(1)由已知,())12,F F ,设(),P x y ,由1PF x ⎫===⎪⎪⎭,同理22PF x ⎫=⎪⎪⎭,可得21216222PF PF x x x ⎫⋅==-⎪⎪⎭,())2212,,3x y x y x PF y PF ⋅=--⋅-=+-.结合22163x y +=,得22132y x =-,故221212116622PF PF PF PF x x ⋅+⋅=-+=;(2)当直线l 的斜率不存在时,其方程为x=由对称性,不妨设x =,此时()(),,1,1,1,1ABC D -,故12221S S ==. 若直线l 的斜率存在,设其方程为y kx m =+,由已知可得=()2221m k =+,设()11,A x y 、()22,B x y ,将直线l 与椭圆方程联立,得()222214260k x kmx m +++-=,由韦达定理得122421km x x k +=-+,21222621m x x k -=+.结合OC OD ==22221122113,322x y y x =-=-,可知121sin 1212sin 2OA OB AOBS OA OB S OC OD COD ⋅⋅∠==⋅=⋅⋅∠==将根与系数的关系代入整理得:12S S = 结合()2221m k =+,得12S S = 设2211t k =+≥,(]10,1u t=∈,则122,2S S ⎡===⎢⎣⎦. 12S S ∴的取值范围是⎡⎢⎣⎦..24.如图在平面直角坐标系xOy 中,已知椭圆22122:1x y C a b+=,()22222:1044x y C a b a b+=>>,椭圆2C 的右顶点和上顶点分别为A 和B ,过A ,B 分别引椭圆1C 的切线1l,2l ,切点为C ,D .(1)若2a =,1b =,求直线1l 的方程; (2)若直线1l 与2l 的斜率之积为916-,求椭圆1C 的离心率. 【答案】(1))4y x =±-;(2(1)当2a =,1b =,221:14x C y +=,222:1164x y C +=.()4,0A , 设过()4,0A 处的切线方程为()4y k x =-,代入1C ,得()222214326440k x k x k +-+-=.令()()()2222324146440k k k ∆=-+-=,得2112k =,k =, 所以1l的方程为:)4y x =-. (2)设1l ,2l 的斜率分别为1k ,2k ,则12916k k =-, 1l ,2l 的方程分别:()12y k x a =-,22y b k x -=.联立()1222221y k x a x y ab ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩,消去y ,得()2222324222111440b a k x a k x a k a b +-+-=. 由()()64222422211116440a k b a k a k a b ∆=-+-=,得22213a k b =.联立2222221y b k x x y ab -=⎧⎪⎨+=⎪⎩,消去y ,得()222222222430b a k x a bk x a b +++=.由()422222222216120a b k b a k a b '∆=-+=,得22223a k b =.故422412a k k b =,344a b e ⇒=⇒=.25.已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>1)2M -是椭圆C 上的一点.(1)求椭圆C 的方程;(2)过点(4,0)P -作直线l 与椭圆C 交于不同两点A 、B ,A 点关于x 轴的对称点为D ,问直线BD 是否过定点?若是,求出该定点的坐标;若不是,请说明理由.【答案】(1)2214x y +=;(2)是,(1,0)-.(1)∵c a =,222a b c =+,∴224a b =,∴222214x y b b+=,将1)2M -代入椭圆C ,∴21b =,∴22:14xC y +=.(2)显然AB 斜率存在,设AB 方程 为:(4)y k x =+,2222221(14)3264404(4)x y k x k x k y k x ⎧+=⎪⇒+++-=⎨⎪=+⎩, 2161920k ∆=->,∴2112k <. 设11(,)A x y ,22(,)B x y ,11(,)D x y -,∴21223214k x x k +=-+,212264414k x x k -=+,∵()211121:y y BD y y x x x x ++=--,∴0y =时211112*********()()8x y x y kx x k x x x x y y k x x k -++=+=+++2233222332644322()4()1288128141413232832()814k k k k k k k k k k k k k k kk -+---++===--++-++,∴直线BD 过定点(1,0)-.26.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F ,2F,离心率为2,过2F 且与x 轴不重合的直线l 交椭圆C 于A ,B 两点,1ABF ∆的周长为8.(1)求椭圆C 的方程;(2)已知直线1l 的方程为y kx m =+,直线2l 的方程为2()y kx m =+,其中01m <<.设1l 与椭圆C 交于M ,N 两点,2l 与圆22:4O x y +=交于P ,Q 两点,求MONPOQS S ∆∆的值.【答案】(1)2214x y +=;(2)12.(1)由题意,椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>,且1ABF 的周长为8,根据椭圆的定义,可得1ABF 的周长为12124AF AF BF BF a ,即48a =,即2a =,又因为c e a ==c =1b ==, 所以椭圆C 的标准方程为2214x y +=.(2)设()11,M x y ,()22,N x y ,联立方程组2214x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩,消去y 得()()222418410k x kmx m +++-=.由()()222264164110k m k m ∆=-+->,可得2241k m +>,且2121222844,1414km m x x x x k k-+=-+=++由弦长公式,可得12214MN x k=-=⋅+ 又因为点O 到直线1l的距离1d ==所以112MONS MN d =⋅=△.因为圆O 的方程为224x y +=,所以圆O 的圆心到直线2l的距离2d =所以PQ ==,所以212POQS PQ d =⋅=△,所以12MON POQ S S =△△. 27.已知椭圆C :22221x y a b +=(0a b >>)的离心率为2,(,0)A a ,(0,)B b ,(0,0)O ,OAB ∆的面积为1.(1)求椭圆C 的方程;(2)设P 是椭圆C 上一点,直线PA 与y 轴交于点M ,直线PB 与x 轴交于点N ,求证:||||AN BM ⋅为定值.【答案】(1)2214x y +=;(2)证明见解析.(Ⅰ)由题意得解得.所以椭圆的方程为.(Ⅱ)由(Ⅰ)知,,设,则.当时,直线的方程为.令,得,从而.直线的方程为.令,得,从而.所以. 当时,,所以. 综上,为定值.28.已知椭圆C :()222210x y a b a b +=>>的左焦点()1F ,点1,2Q ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭在椭圆C 上. (Ⅰ)求椭圆C 的标准方程;(Ⅱ)经过圆O :225x y +=上一动点P 作椭圆C 的两条切线,切点分别记为A ,B ,直线PA ,PB 分别与圆O 相交于异于点P 的M ,N 两点.(i )当直线PA ,PB 的斜率都存在时,记直线PA ,PB 的斜率分别为1k ,2k .求证:121k k =-;(ii )求ABMN的取值范围.。

2018年高考“圆锥曲线与方程”专题解题分析

2018年高考“圆锥曲线与方程”专题解题分析

二、解法分析
1. 强调数学运算,利用“直译法”进行求解 近几年的高考数学试卷,对本专题的考查中,重
点考查学生的运算能力. 尤其是考查学生对含字母的 代数式的化简变形的能力,在2018年的高考数学试卷 中得到了很好的体现.
“直译法”就是在解决圆锥曲线试题的过程中,利
用数学运算程序,将条件中的文字描述都转化为数学
-
3 2
ö2 ø
+
æ ç è
3+
3 2
ö2 ÷ ø
关键词:圆锥曲线;几何特征;平面向量;试题综合;复习建议
2018年高考数学试卷中,圆锥曲线试题位置前移 是数学试卷结构上的重大调整,这种调整,在适当降 低圆锥曲线试题难度的同时仍然保证了对圆锥曲线主 干知识的考查,在强调通性、通法的基础上重视对数 学学科思想与核心素养的考查,重视对圆锥曲线核心 思想的考查.
8
=
0. 解得
y1
=
2,y2=
4
.
不妨令 M(1,2),N(4,4),所

以 FM = (0,2) , FN = (3,4) . 所以 FM · FN = 8 . 故
答案选D.
【评析】 该题直接求出点 M,N 的坐标,然后利用
向量的基本概念及其运算进行求解.
得 yN =
y1 + y2 2
=1.
故k=
y1 - y2 x1 - x2
=
4 y1 + y2
=2.
y
A1
A
M
N
O
x
B1
B
图1
【评析】 该题主要考查圆锥曲线与平面几何图形的
联系. 数形结合,利用直角三角形的几何性质,问题

2018年高考数学—圆锥曲线(解答+答案)

2018年高考数学—圆锥曲线(解答+答案)

2018年高考数学——圆锥曲线解答1.(18北京理(19)(本小题14分))已知抛物线C :2y =2px 经过点P (1,2).过点Q (0,1)的直线l 与抛物线C 有两个不同的交点A ,B ,且直线PA 交y 轴于M ,直线PB 交y 轴于N . (Ⅰ)求直线l 的斜率的取值范围;(Ⅱ)设O 为原点,QM QO λ=u u u u r u u u r ,QN QO μ=u u u r u u u r ,求证:11λμ+为定值.2.(18江苏18.(本小题满分16分))如图,在平面直角坐标系xOy 中,椭圆C 过点1(3,)2,焦点12(3,0),(3,0)F F ,圆O 的直径为12F F .(1)求椭圆C 及圆O 的方程;(2)设直线l 与圆O 相切于第一象限内的点P .①若直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点,求点P 的坐标; ②直线l 与椭圆C 交于,A B 两点.若OAB △26,求直线l 的方程.3.(18全国二理19.(12分))设抛物线24C y x =:的焦点为F ,过F 且斜率为(0)k k >的直线l 与C 交于A ,B 两点,||8AB =.(1)求l 的方程;(2)求过点A ,B 且与C 的准线相切的圆的方程.4.(18全国三理20.(12分))已知斜率为k 的直线l 与椭圆22143x y C +=:交于A ,B 两点,线段AB 的中点为()()10M m m >,. (1)证明:12k <-;(2)设F 为C 的右焦点,P 为C 上一点,且FP FA FB ++=0u u u r u u u r u u u r.证明:FA u u u r ,FP u u u r ,FB u u u r 成等差数列,并求该数列的公差.5.18全国一理19.(12分)设椭圆22:12x C y +=的右焦点为F ,过F 的直线l 与C 交于,A B 两点,点M 的坐标为(2,0).(1)当l 与x 轴垂直时,求直线AM 的方程; (2)设O 为坐标原点,证明:OMA OMB ∠=∠.6.(18天津理(19)(本小题满分14分))设椭圆22221x x a b+=(a >b >0)的左焦点为F ,上顶点为B .A的坐标为(,0)b,且FB AB ⋅=(I )求椭圆的方程;(II )设直线l :(0)y kx k =>与椭圆在第一象限的交点为P ,且l 与直线AB 交于点Q .若4AQ AOQ PQ=∠(O 为原点) ,求k 的值.7.(18浙江21.(本题满分15分))如图,已知点P 是y 轴左侧(不含y 轴)一点,抛物线C :y 2=4x 上存在不同的两点A ,B 满足PA ,PB 的中点均在C 上.(Ⅰ)设AB 中点为M ,证明:PM 垂直于y 轴;(Ⅱ)若P 是半椭圆x 2+24y =1(x <0)上的动点,求△P AB 面积的取值范围.8.(18北京文(20)(本小题14分))已知椭圆2222:1(0)x y M a b a b +=>>的离心率为63,焦距为22.斜率为k 的直线l与椭圆M 有两个不同的交点A ,B . (Ⅰ)求椭圆M 的方程;(Ⅱ)若1k =,求||AB 的最大值;(Ⅲ)设(2,0)P -,直线PA 与椭圆M 的另一个交点为C ,直线PB 与椭圆M 的另一个交点为D .若C ,D 和点71(,)42Q - 共线,求k .9.(18全国三文20.(12分))已知斜率为k 的直线l 与椭圆22143x y C +=:交于A ,B 两点.线段AB 的中点为(1,)(0)M m m >.(1)证明:12k <-; (2)设F 为C 的右焦点,P 为C 上一点,且FP FA FB ++=0u u u r u u u r u u u r.证明:2||||||FP FA FB =+u u u r u u u r u u u r .10.(18全国一文20.(12分))设抛物线22C y x =:,点()20A ,,()20B -,,过点A 的直线l 与C 交于M ,N 两点. (1)当l 与x 轴垂直时,求直线BM 的方程; (2)证明:ABM ABN =∠∠.参考答案:1.解:(Ⅰ)因为抛物线y 2=2px 经过点P (1,2), 所以4=2p ,解得p =2,所以抛物线的方程为y 2=4x . 由题意可知直线l 的斜率存在且不为0, 设直线l 的方程为y =kx +1(k ≠0). 由241y xy kx ⎧=⎨=+⎩得22(24)10k x k x +-+=. 依题意22(24)410k k ∆=--⨯⨯>,解得k<0或0<k<1. 又PA ,PB 与y 轴相交,故直线l 不过点(1,-2).从而k ≠-3.所以直线l 斜率的取值范围是(-∞,-3)∪(-3,0)∪(0,1). (Ⅱ)设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2).由(I )知12224k x x k -+=-,1221x x k =. 直线PA 的方程为y –2=1122(1)1y y x x --=--.令x =0,得点M 的纵坐标为1111212211M y kx y x x -+-+=+=+--. 同理得点N 的纵坐标为22121N kx y x -+=+-. 由=QM QO λuuu r uuu r ,=QN QO μuuu r uuu r得=1M y λ-,1N y μ=-.所以2212121212122224112()111111=2111(1)(1)11M N k x x x x x x k k y y k x k x k x x k k λμ-+---++=+=+=⋅=⋅------. 所以11λμ+为定值.2.解:(1)因为椭圆C的焦点为12(),F F -,可设椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b +=>>.又点1)2在椭圆C 上,所以2222311,43,a ba b ⎧+=⎪⎨⎪-=⎩,解得224,1,a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 因此,椭圆C 的方程为2214x y +=.因为圆O 的直径为12F F ,所以其方程为223x y +=.(2)①设直线l 与圆O 相切于0000(),,(00)P x y x y >>,则22003x y +=, 所以直线l 的方程为0000()x y x x y y =--+,即0003x y x y y =-+. 由220001,43,x y x y x y y ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩,消去y ,得222200004243640()x y x x x y +-+-=.(*) 因为直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点,所以222222000000()()(24)(44364820)4x x y y y x ∆=--+-=-=. 因为00,0x y >,所以002,1x y ==. 因此,点P 的坐标为(2,1). ②因为三角形OAB 的面积为26,所以21 26AB OP ⋅=,从而427AB =. 设1122,,()(),A x y B x y ,由(*)得22000001,22448(2)x y x x ±-=,所以2222121()()x B y y x A =-+- 222000222200048(2)(1)(4)x y x y x y -=+⋅+.因为22003x y +=,所以22022016(2)32(1)49x AB x -==+,即42002451000x x -+=, 解得22005(202x x ==舍去),则2012y =,因此P 的坐标为102(,).综上,直线l 的方程为532y x =-+.学*科网3.解:(1)由题意得(1,0)F ,l 的方程为(1)(0)y k x k =->.设1221(,),(,)A y x y x B , 由2(1),4y k x y x=-⎧⎨=⎩得2222(24)0k x k x k -++=.216160k ∆=+>,故122224k x k x ++=. 所以122244||||||(1)(1)x k AB AF BF k x +=+=+++=.由题设知22448k k+=,解得1k =-(舍去),1k =. 因此l 的方程为1y x =-.(2)由(1)得AB 的中点坐标为(3,2),所以AB 的垂直平分线方程为2(3)y x -=--,即5y x =-+.设所求圆的圆心坐标为00(,)x y ,则00220005,(1)(1)16.2y x y x x =-+⎧⎪⎨-++=+⎪⎩解得003,2x y =⎧⎨=⎩或0011,6.x y =⎧⎨=-⎩ 因此所求圆的方程为22(3)(2)16x y -+-=或22(11)(6)144x y -++=.4.解:(1)设1221(,),(,)A y x y x B ,则222212121,14343y x y x +=+=. 两式相减,并由1221y x y k x -=-得1122043y x y k x +++⋅=. 由题设知12121,22x y x ym ++==,于是 34k m=-.① 由题设得302m <<,故12k <-. (2)由题意得(1,0)F ,设33(,)P x y ,则331122(1,)(1,)(1,)(0,0)y x x y x y -+-+-=.由(1)及题设得3321213()1,()20y y x x y x m =-+==-+=-<.又点P 在C 上,所以34m =,从而3(1,)2P -,3||2FP =u u u r .于是1||22x FA ===-u u u r .同理2||22xFB =-u u u r .所以121||||4()32FA FB x x +=-+=u u u r u u u r .故2||||||FP FA FB =+u u u r u u u r u u u r ,即||,||,||FA FP FB u u u r u u u r u u u r成等差数列.设该数列的公差为d ,则1212||||||||||2FB FA x x d =-=-=u u u r u u u r .②将34m =代入①得1k =-. 所以l 的方程为74y x =-+,代入C 的方程,并整理得2171404x x -+=.故121212,28x x x x +==,代入②解得||28d =.所以该数列的公差为28或28-.5解:(1)由已知得(1,0)F ,l 的方程为x =1.由已知可得,点A 的坐标为(1,2或(1,2-.所以AM 的方程为y x =+y x =.(2)当l 与x 轴重合时,0OMA OMB ∠=∠=︒.当l 与x 轴垂直时,OM 为AB 的垂直平分线,所以OMA OMB ∠=∠.当l 与x 轴不重合也不垂直时,设l 的方程为(1)(0)y k x k =-≠,1221(,),(,)A y x y x B ,则12x x <<MA ,MB 的斜率之和为212122MA MB x x y yk k +=+--. 由1122,y k k x y k x k =-=-得121212(23()42)(2)MA MB x x x x k k x x kk k -+++=--.将(1)y k x =-代入2212x y +=得 2222(21)4220k x k x k +-+-=.所以,21221222422,2121x x x k k k x k -+==++. 则3131322244128423()4021k k k k kk k k k x x x x --++-++==+. 从而0MA MB k k +=,故MA ,MB 的倾斜角互补,所以OMA OMB ∠=∠. 综上,OMA OMB ∠=∠.6.(Ⅰ)解:设椭圆的焦距为2c ,由已知知2259c a =,又由a 2=b 2+c 2,可得2a =3b .由已知可得,FB a =,AB =,由FB AB ⋅=,可得ab =6,从而a =3,b =2.所以,椭圆的方程为22194x y +=. (Ⅱ)解:设点P 的坐标为(x 1,y 1),点Q 的坐标为(x 2,y 2).由已知有y 1>y 2>0,故12sin PQ AOQ y y ∠=-.又因为2sin y AQ OAB =∠,而∠OAB =π4,故2AQ =.由AQ AOQ PQ=∠,可得5y 1=9y 2. 由方程组22194y kx x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩,,消去x,可得1y =AB 的方程为x +y –2=0,由方程组20y kx x y =⎧⎨+-=⎩,,消去x ,可得221ky k =+.由5y 1=9y 2,可得5(k +1)=,两边平方,整理得25650110k k -+=,解得12k =,或1128k =. 所以,k 的值为111228或.7.(Ⅰ)设00(,)P x y ,2111(,)4A y y ,2221(,)4B y y . 因为PA ,PB 的中点在抛物线上,所以1y ,2y 为方程202014()422y x y y ++=⋅即22000280y y y x y -+-=的两个不同的实数根. 所以1202y y y +=. 因此,PM 垂直于y 轴.(Ⅱ)由(Ⅰ)可知120212002,8,y y y y y x y +=⎧⎪⎨=-⎪⎩ 所以2221200013||()384PM y y x y x =+-=-,12||y y -= 因此,PAB △的面积32212001||||4)24PABS PM y y y x =⋅-=-△. 因为220001(0)4y x x +=<,所以2200004444[4,5]y x x x -=--+∈.因此,PAB △面积的取值范围是.8.【解析】(Ⅰ)由题意得2c =,所以c =又3c e a ==,所以a =2221b a c =-=, 所以椭圆M 的标准方程为2213x y +=.(Ⅱ)设直线AB 的方程为y x m =+,由2213y x m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 可得2246330x mx m ++-=, 则2223644(33)48120m m m ∆=-⨯-=->,即24m <,设11(,)A x y ,22(,)B x y ,则1232m x x +=-,212334m x x -=,则12|||2AB x x =-==,易得当20m =时,max ||AB ,故||AB. (Ⅲ)设11(,)A x y ,22(,)B x y ,33(,)C x y ,44(,)D x y ,则221133x y += ①,222233x y += ②,又(2,0)P -,所以可设1112PA y k k x ==+,直线PA 的方程为1(2)y k x =+, 由122(2)13y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 可得2222111(13)121230k x k x k +++-=, 则2113211213k x x k +=-+,即2131211213k x x k =--+, 又1112y k x =+,代入①式可得13171247x x x --=+,所以13147y y x =+,所以1111712(,)4747x y C x x --++,同理可得2222712(,)4747x y D x x --++.故3371(,)44QC x y =+-u u u r ,4471(,)44QD x y =+-u u u r ,因为,,Q C D 三点共线,所以34437171()()()()04444x y x y +--+-=,将点,C D 的坐标代入化简可得12121y y x x -=-,即1k =. 9..解:(1)设11()A x y ,,22()B x y ,,则2211143x y +=,2222143x y +=.两式相减,并由1212=y y k x x --得1212043x x y y k +++⋅=. 由题设知1212x x +=,122y y m +=,于是34k m=-. 由题设得302m <<,故12k <-. (2)由题意得F (1,0).设33()P x y ,,则 331122(1)(1)(1)(00)x y x y x y -+-+-=,,,,.由(1)及题设得3123()1x x x =-+=,312()20y y y m =-+=-<. 又点P 在C 上,所以34m =,从而3(1)2P -,,3||=2FP uu r .于是1||22x FA ==-uu r .同理2||=22xFB -uu r .所以1214()32FA FB x x +=-+=uu r uu r .故2||=||+||FP FA FB uu r uu r uu r .10.解:(1)当l 与x 轴垂直时,l 的方程为x =2,可得M 的坐标为(2,2)或(2,–2).所以直线BM 的方程为y =112x +或112y x =--.(2)当l 与x 轴垂直时,AB 为MN 的垂直平分线,所以∠ABM =∠ABN .当l 与x 轴不垂直时,设l 的方程为(2)(0)y k x k =-≠,M (x 1,y 1),N (x 2,y 2),则x 1>0,x 2>0.由2(2)2y k x y x=-⎧⎨=⎩,得ky 2–2y –4k =0,可知y 1+y 2=2k ,y 1y 2=–4.直线BM ,BN 的斜率之和为 1221121212122()22(2)(2)BM BN y y x y x y y y k k x x x x ++++=+=++++.① 将112y x k =+,222yx k=+及y 1+y 2,y 1y 2的表达式代入①式分子,可得 121221121224()882()0y y k y y x y x y y y k k++-++++===.所以k BM +k BN =0,可知BM ,BN 的倾斜角互补,所以∠ABM +∠ABN .综上,∠ABM=∠ABN.。

2018年高考数学圆锥曲线压轴专项练习集(一)

2018年高考数学圆锥曲线压轴专项练习集(一)

2018年高考数学圆锥曲线压轴专项练习集(一)1.设,A B 分别是直线255y x =和255y x =-上的两个动点,并且20=→AB ,动点P 满足→→→+=OB OA OP ,记动点P 的轨迹为C 。

(1)求曲线C 的方程;(2)若点D 的坐标为(0,16),,M N 是曲线C 上的两个动点,并且→→=DN DM λ,求实数λ的取值范围;(3),M N 是曲线C 上的任意两点,并且直线MN 不与y 轴垂直,线段MN 的中垂线l 交y 轴于点0(0,)E y ,求0y 的取值范围。

2.如图,已知椭圆E :22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为22,A 、B 为椭圆的左右顶点,焦点到短轴端点的距离为2,P 、Q 为椭圆E 上异于A 、B 的两点,且直线BQ 的斜率等于直线AP 斜率的2倍.(Ⅰ)求证:直线BP 与直线BQ 的斜率乘积为定值; (Ⅱ)求三角形APQ 的面积S 的最大值.3.已知椭圆E :2221x a b2y +=(a>b>0)的离心率e =22,左、右焦点分别为F 1、F 2,点P(3),点F 2在线段PF 1的中垂线上. (1)求椭圆E 的方程;(2)设l 1,l 2是过点G (32,0)且互相垂直的两条直线,l 1交E 于A , B 两点,l 2交E 于C ,D 两点,求l 1的斜率k 的取值范围;(3)在(2)的条件下,设AB ,CD 的中点分别为M ,N ,试问直线MN 是否恒过定点?若经过,求出该定点坐标;若不经过,请说明理由。

4.已知圆E :x 2+(y ﹣)2=经过椭圆C :+=1(a >b >0)的左右焦点F 1,F 2,且与椭圆C 在第一象限的交点为A ,且F 1,E ,A 三点共线,直线l 交椭圆C 于M ,N 两点,且=λ(λ≠0)(1)求椭圆C 的方程;(2)当三角形AMN 的面积取得最大值时,求直线l 的方程.5.已知:一动圆过(1,0)B 且与圆A:222430(01)x y x λλ+++-=<<相切。

高考数学《圆锥曲线》解答题专题复习题

高考数学《圆锥曲线》解答题专题复习题

高考数学《圆锥曲线》解答题专题复习题1.已知双曲线22221(00)y x a b a b-=>>,与双曲线22142x y -=有相同的渐近线,且经过点M.(1)求双曲线C 的标准方程.(2)已知直线0x y m -+=与曲线C 交于不同的两点A ,B ,且线段AB 的中点在圆2220x y +=上,求实数m 的值.2.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为12,1A 、2A 分别为椭圆C 的左、右顶点,1F 、2F 分别为椭圆C 的左、右焦点,112A F =.(1)求椭圆C 的方程;(2)设与x 轴不垂直的直线l 交椭圆C 于P 、Q 两点(P 、Q 在x 轴的两侧),记直线1A P ,2A P ,2A Q ,1A Q 的斜率分别为1k ,2k ,3k ,4k .(i )求12k k 的值;(ii )若()142353k k k k +=+,求2F PQ △面积的取值范围.3.已知双曲线()2222Γ:10,0x y a b a b-=>>的左右顶点分别为点,A B ,其中2AB =,且双曲线过点()2,3C .(1)求双曲线Γ的方程;(2)设过点()1,1P 的直线分别交Γ的左、右支于,D E 两点,过点E 作垂直于x 轴的直线l ,交线段BC 于点F ,点G 满足EF FG =.证明:直线DG 过定点,并求出该定点.4.已知双曲线C 的渐近线方程是y =,点()2,3M在双曲线C 上.(1)求双曲线C 的离心率e 的值;(2)若动直线l :1y kx =+与双曲线C 交于A ,B 两点,问直线MA ,MB 的斜率之和是否为定值?若是,求出该定值;若不是,请说明理由.5.已知椭圆C 的中心在原点,一个焦点为()10F ,(1)求椭圆C 的标准方程;(2)设过焦点F 的直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点,1F 是椭圆的另一个焦点,若1ABF 内切圆的半径r =l 的方程.6.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率e =C经过点2⎛ ⎝⎭.(1)求椭圆C 的标准方程;(2)过点()2,0P 且斜率不为零的直线与椭圆C 交于,B D 两点,B 关于x 轴的对称点为A ,求证:直线AD 与x 轴交于定点Q .7.已知椭圆221:4T x y +=,1F 、2F 为椭圆的左右焦点,C 、D 为椭圆的左、右顶点,直线1:2l y x m =+与椭圆T 交于A 、B 两点.(1)若12m =-,求AB ;(2)设直线AD 和直线BC 的斜率分别为1k 、2k ,且直线l 与线段12F F 交于点M ,求12k k 的取值范围.8.已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>12D ⎫⎪⎭,点,A B 分别是椭圆C 的左、右顶点.(1)求椭圆C 的方程;(2)过点()4,0E 的直线l 与椭圆C 交于,P Q 两点(P 在,E Q 之间),直线,AP BQ 交于点M ,记,ABM PQM 的面积分别为12,S S ,求12S S的取值范围.第8题图第9题图9.如图,已知椭圆C 的焦点为()11,0F -,()21,0F,椭圆C 的上、下顶点分别为,A B ,右顶点为D ,直线l 过点D 且垂直于x 轴,点Q 在椭圆C 上(且在第一象限),直线AQ 与l 交于点N ,直线BQ 与x 轴交于点M .(1)求椭圆C 的标准方程;(2)判定AOM (O 为坐标原点)与ADN △的面积之和是否为定值?若是,请求出该定值;若不是,请说明理由.10.已知双曲线过点(A ,它的渐近线方程是20x y ±=.(1)求双曲线的标准方程;(2)若直线l 交C 于,P Q 两点,直线,AP AQ 的倾斜角互补,求直线l 的斜率.11.已知点(2,0)A -,(2,0)B ,平面内一动点M 满足直线AM 与BM 的斜率乘积为14-.(1)求动点M 的轨迹C 的方程;(2)直线l 交轨迹C 于,P Q 两点,若直线AP 的斜率是直线BQ 的斜率的4倍,求坐标原点O 到直线l 的距离的取值范围.12.若双曲线E :2221(0)x y a a-=>y =kx -1与双曲线E 的右支交于A ,B 两点.(1)求k 的取值范围;(2)若AB =,点C 是双曲线上一点,且()OC m OA OB =+,求k ,m 的值.13.已知1F ,2F 分别是椭圆G22+22=1>>0的左、右焦点,且焦距为MN 平行于x 轴,且114F M F N +=.(1)求椭圆E 的方程;(2)设A ,B 为椭圆E 的左右顶点,P 为直线:4l x =上的一动点(点P 不在x 轴上),连AP 交椭圆于C 点,连PB 并延长交椭圆于D 点,试问是否存在λ,使得ACD BCD S S λ= 成立,若存在,求出λ的值;若不存在,说明理由.14.平面上的动点(,)P x y 到定点(0,1)F 的距离等于点P 到直线1y =-的距离,记动点P 的轨迹为曲线C .(1)求曲线C 的方程;(2)直线:l y x m =+与曲线C 相交于A ,B 两点,线段AB 的中点为M .是否存在这样的直线l ,使得MF AB ⊥,若存在,求实数m 的值,若不存在,请说明理由.15.已知双曲线()22:1,,24x C y M m -=,斜率为k 的直线l 过点M .(1)若0m =,且直线l 与双曲线C 只有一个交点,求k 的值;(2)已知点(2,0)T ,直线l 与双曲线C 有两个不同的交点A ,B ,直线,TA TB 的斜率分别为12,k k ,若12k k +为定值,求实数m 的值.16.已知椭圆(2222:10)x y C a b a b+=>>的离心率为12,左焦点F 与原点O 的距离为1,正方形PQMN 的边PQ ,MN 与x 轴平行,边PN ,QM 与y 轴平行,2112,,,7777P M ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,过F 的直线与椭圆C 交于A ,B 两点,线段AB 的中垂线为l .已知直线AB 的斜率为k ,且0k >.(1)若直线l 过点P ,求k 的值;(2)若直线l 与正方形PQMN 的交点在边PN ,QM 上,l 在正方形PQMN 内的线段长度为s ,求sAB的取值范围.17.已知F 是椭圆C :2222+1(0)x y a b a b=>>的一个焦点,点13,2M 在椭圆C 上.(1)求椭圆C 的方程;(2)若直线l 与椭圆C 分别相交于A ,B 两点,且12OA OB k k +=-(O 为坐标原点),求直线l 的斜率的取值范围.参考答案1.(1)2212x y -=(2)2m =±2.(1)2211612x y +=(2)(i )34-;(ii )950,2⎛ ⎝⎭3.(1)2213y x -=(2)证明略,(1,0)B 4.(1)2(2)是,35.(1)2212x y +=(2)1x y =±+6.(1)2212x y +=(2)证明略7.(1(2)7⎡-+⎣8.(1)2214x y +=(2)()0,19.(1)2212x y +=(2210.(1)2214x y -=(2)11.(1)2214x y +=(0)y ≠(2)6(0,)512.(1)((2)51,24k m ==±13.(1)2214x y +=(2)存在,314.(1)24x y =;(2)不存在15.(1)12k =±或k =(2)2m =.16.(1)1k =(2)12,78⎛ ⎝⎦17.(1)2214x y +=(2)1[,0)(1,)4-+∞。

2018年高考数学试题分类汇编之圆锥曲线解析版

2018年高考数学试题分类汇编之圆锥曲线解析版

FM = (0 , 2) , FN = (3 , 4) .
则 FM FN = (0 ,2 ) ? (3 , 4 ) =8 .
故选: D
x2 6.(全国卷一理)( 11)已知双曲线 C:
y2 1 ,O 为坐标原点, F 为 C 的右焦点,过 F 的直线与 C 的
3
两条渐近线的交点分别为 M、N.若 △ OMN 为直角三角形,则 |MN |=
2018 年高考数学试题分类汇编之圆锥曲线(解析版)
一、选择题
1.(浙江卷)( 2)双曲线 x2 3
2
y =1 的焦点坐标是
A . (- 2 ,0) ,( 2 , 0) B . (- 2, 0), (2, 0) C. (0, - 2 ), (0, 2 ) D. (0, - 2), (0, 2)
解:∵双曲线方程可得双曲线的焦点在
4)已知椭圆
C

x a2
y 4
1的一个焦点为 (2 ,0) ,则 C 的离心率为
1 A.
3
1 B.
2
2 C.
2
解:椭圆的一个焦点为( 2,0),可得 a2-4=4,解得 a
22 D.
3
2 2,
c c 2, e
a
2

2
故选: C
5.(全国卷一理)(
8)设抛物线
C: y2=4x 的焦点为
F,过点( –2, 0)且斜率为
故选: B
x2 7.(全国卷二文)( 6)双曲线 a2
y2 b2
1( a
0, b
0) 的离心率为
3 ,则其渐近线方程为
A . y 2x
B. y 3x
C. y
2x
2

浅析高考数学试题中圆锥曲线的复习

浅析高考数学试题中圆锥曲线的复习




3 4 k 一 一 0 . 芷

Y= + m, 椭 圆 C和直 线 f 交 于 A, B两点 ( A, B 以A B为 直径 的 圆相交 于椭 圆 C的 右顶 点 。求 以及确 定该定 点 的坐 标 。 ( 1 ) 小 题考 查 的是 椭 圆 的标 准方 程 和 几 何 性 质 待定 系数 法解 答 椭 圆 C的标 准 方 程 。第 ( 2 ) 小 g 几 何性 质 , 还 包 括直 线 与椭 圆的 位置 关 系 等基 思想 以及 解析 几何 的综 合解 题能 力 , 需把 椭 圆 c I 方程联立解答 。
语数外 学 习
No . 1 0. 2 0 1 3
Y u S h u Wa i X u e X i
2 0 1 3年第 1 O 期
浅 析 高 考 数 学试 题 中 圆锥 曲线 的复 习
汪 洪 军
( 滨 海县五 汛 中学 , 江苏
盐城
2 2 4 5 0 0 )
摘 要: 圆锥 曲线一直是 高考数 学试题 中的重要 考 点 , 同 时也是 难点 。在 高考 即将 来 临前 , 对 于如何 高效地 复 习圆锥 曲线是 很 多考 生都在 烦恼 的 问题 。本文从 圆锥 曲线高考的 凡大知 识要 点、 椭 圆、 抛 物线和双 曲线的基本 知识和 对高考数 学试题从三 方面进行 阐述。 关键 词 : 高考数 学试题 ; 圆锥 曲线 ; 复习 中 图分 类号 : G 6 3 3 文献 标识 码 : A 文章编 号 : 1 0 0 5— 6 3 5 1 ( 2 0 1 3 ) 一1 0— 0 0 5 7— 0 1

= 0 .解得 : m。 =一 2 k , m = 一 符合 3 + 4 k 一 > 0 . 当 m= 一 2时 , Z 的方程 Y= k ( x一 2 ) , 直 线 过点 ( 2 , 0 ) , 与 已知 矛盾 : 当m =一 时, Z 的方程 Y = k ( x一) , 直 线过定 点 ( ) 所 以, 直线 z 经过 定点 , 其 坐标为 ( ) 。 点评 : 该题是关 于椭 圆上 的点到 焦点距离 的最大 、 最小 值问题 , 这 个问题在 教科书 的例题 中就 有 , 因此 , 在 复习 阶段 要注重 对 课本 例题的复习。第( 2 ) 题 中是运用代数的方法进行解决几何 问题, 通

2018圆锥曲线专题(2018高考题)

2018圆锥曲线专题(2018高考题)

2018圆锥曲线专题(文)1.已知椭圆C :22214x y a +=的一个焦点为()2,0,则C 的离心率( )A .13B .12C D2.双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>( )A .y =B .y =C .y =D .y =3.已知1F ,2F 是椭圆C 的两个焦点,P 是C 上的一点,若12PF PF ⊥,且2160PF F ∠=︒,则C 的离心率为( )A .1B .2CD 14.已知双曲线22221(00)x y C a b a b-=>>:,,则点(4,0)到C 的渐近线的距离为( )AB .2C .2D .5.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>> 的离心率为2,过右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于,A B 两点.设,A B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为1d 和2d ,且126,d d += 则双曲线的方程为( )A.22139x y -= B.22193x y -= C.221412x y -= D.221124x y -= 6.设P 是椭圆22153x y +=上的动点,则P 到该椭圆的两个焦点的距离之和为( )A. B. C. D.7.在平面直角坐标系xOy 中.若双曲线0)b 0(12222>>=-,a by a x 的右焦点F(c ,0)到一条渐近线的距离为c 23,则其离心率的值是_____8.已知直线l 过点(1,0)且垂直于x 轴,若l 被抛物线24y ax =截得的线段长为4,则抛物线的焦点坐标为_________.9.若双曲线2221(0)4x y a a -=>a =_________. 10.已知点P (0,1),椭圆+y 2=m (m >1)上两点A ,B 满足=2,则当m =___________时,点B 横坐标的绝对值最大.11.设抛物线22C y x =:,点()20A ,,()20B -,,过点A 的直线l 与C 交于M ,N 两点. ⑴当l 与x 轴垂直时,求直线BM 的方程; ⑵证明:ABM ABN =∠∠.12.设抛物线24C y x =:的焦点为F ,过F 且斜率为(0)k k >的直线l 与C 交于A ,B 两点,||8AB =.(1)求l 的方程;(2)求过点A ,B 且与C 的准线相切的圆的方程.24x AP PB13.已知斜率为k 的直线l 与椭圆22143x y C +=:交于A ,B 两点.线段AB 的中点为(1,)(0)M m m >.(1)证明:12k <-; (2)设F 为C 的右焦点,P 为C 上一点,且FP FA FB ++=0.证明:2||||||FP FA FB =+.14.已知椭圆2222:1(0)x y M a b a b +=>>斜率为k 的直线l 与椭圆M 有两个不同的交点A ,B .(Ⅰ)求椭圆M 的方程;KS5U (Ⅱ)若1k =,求||AB 的最大值;(Ⅲ)设(2,0)P -,直线PA 与椭圆M 的另一个交点为C ,直线PB 与椭圆M 的另一个交点为D .若C ,D 和点71(,)42Q - 共线,求k .15.设椭圆22221(0)x y a b a b +=>> 的右顶点为A ,上顶点为B .已知椭圆的离心率为3,||AB =(I )求椭圆的方程;(II )设直线:(0)l y kx k =<与椭圆交于,P Q 两点,l 与直线AB 交于点M ,且点P ,M 均在第四象限.若BPM △的面积是BPQ △面积的2倍,求k 的值.16.如图,在平面直角坐标系xOy 中,椭圆C 过点)21,3(,焦点)0,3(),0,3(21F F -圆O 的直径为F 1F 2.(1)求椭圆C 及圆O 的方程;(2)设直线l 与圆O 相切于第一象限内的点P .①若直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点,求点P 的坐标; ②直线l 与椭圆C 交于A ,B 两点,若OAB ∆的面积为762,求直线l 的方程.17.设常数2t >,在平面直角坐标系xOy 中,已知点(2,0)F ,直线l :x t =,曲线 Γ:28y x =(0x t ≤≤,0y ≥),l 与x 轴交于点A ,与Γ交于点B 。

高考圆锥曲线中的定点与定值问题(题型总结超全)完整版.doc

高考圆锥曲线中的定点与定值问题(题型总结超全)完整版.doc

专题08 解锁圆锥曲线中的定点与定值问题一、解答题1.【陕西省榆林市第二中学2018届高三上学期期中】已知椭圆的左右焦点分别为,离心率为;圆过椭圆的三个顶点.过点且斜率不为0的直线与椭圆交于两点.(Ⅰ)求椭圆的标准方程;(Ⅱ)证明:在轴上存在定点,使得为定值;并求出该定点的坐标.【答案】(1)(2)【解析】试题分析:(Ⅰ)设圆过椭圆的上、下、右三个顶点,可求得,再根据椭圆的离心率求得,可得椭圆的方程;(Ⅱ)设直线的方程为,将方程与椭圆方程联立求得两点的坐标,计算得。

设x轴上的定点为,可得,由定值可得需满足,解得可得定点坐标。

解得。

∴椭圆的标准方程为.(Ⅱ)证明:由题意设直线的方程为,由消去y整理得,设,,要使其为定值,需满足,解得.故定点的坐标为.点睛:解析几何中定点问题的常见解法(1)假设定点坐标,根据题意选择参数,建立一个直线系或曲线系方程,而该方程与参数无关,故得到一个关于定点坐标的方程组,以这个方程组的解为坐标的点即所求定点; (2)从特殊位置入手,找出定点,再证明该点符合题意.2.【四川省成都市第七中学2017-2018学年高二上学期半期考】已知斜率为k 的直线l 经过点()1,0-与抛物线2:2C y px =(0,p p >为常数)交于不同的两点,M N ,当12k =时,弦MN 的长为15. (1)求抛物线C 的标准方程;(2)过点M 的直线交抛物线于另一点Q ,且直线MQ 经过点()1,1B -,判断直线NQ 是否过定点?若过定点,求出该点坐标;若不过定点,请说明理由. 【答案】(1)24y x =;(2)直线NQ 过定点()1,4-【解析】试题分析:(1)根据弦长公式即可求出答案; (2)由(1)可设()()()2221122,2,,2,,2M t t N t t Q t t ,则12MN k t t =+, 则()11:220MN x t t y tt -++=; 同理: ()22:220MQ x t t y tt -++=()1212:220NQ x t t y t t -++=.由()1,0-在直线MN 上11t t ⇒=(1); 由()1,1-在直线MQ 上22220t t tt ⇒+++=将(1)代入()121221t t t t ⇒=-+- (2) 将(2)代入NQ 方程()()12122420x t t y t t ⇒-+-+-=,即可得出直线NQ 过定点.(2)设()()()2221122,2,,2,,2M t t N t t Q t t ,则12211222=MN t t k t t t t -=-+, 则()212:2MN y t x t t t -=-+即()11220x t t y tt -++=; 同理: ()22:220MQ x t t y tt -++=;()1212:220NQ x t t y t t -++=.由()1,0-在直线MN 上11tt ⇒=,即11t t =(1); 由()1,1-在直线MQ 上22220t t tt ⇒+++=将(1)代入()121221t t t t ⇒=-+- (2) 将(2)代入NQ 方程()()12122420x t t y t t ⇒-+-+-=,易得直线NQ 过定点()1,4-3.【四川省成都市第七中学2017-2018学年高二上学期半期考】已知抛物线()2:0C y mx m =>过点()1,2-, P 是C 上一点,斜率为1-的直线l 交C 于不同两点,A B (l 不过P 点),且PAB ∆的重心的纵坐标为23-. (1)求抛物线C 的方程,并求其焦点坐标;(2)记直线,PA PB 的斜率分别为12,k k ,求12k k +的值.【答案】(1)方程为24y x =;其焦点坐标为()1,0(2)120k k +=【解析】试题分析;(1)将()1,2-代入2y mx =,得4m =,可得抛物线C 的方程及其焦点坐标;(2)设直线l 的方程为y x b =-+,将它代入24y x =得22220x b x b -++=(),利用韦达定理,结合斜率公式以及PAB ∆的重心的纵坐标23-,化简可12k k + 的值;因为PAB ∆的重心的纵坐标为23-, 所以122p y y y ++=-,所以2p y =,所以1p x =,所以()()()()()()1221121212122121221111y x y x y y k k x x x x ------+=+=----, 又()()()()12212121y x y x --+--()()()()12212121x b x x b x ⎡⎤⎡⎤=-+--+-+--⎣⎦⎣⎦()()()12122122x x b x x b =-+-+--()()()22212220b b b b =-+-+--=.所以120k k +=.4.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的短轴端点到右焦点()10F ,的距离为2.(Ⅰ)求椭圆C 的方程;(Ⅱ)过点F 的直线交椭圆C 于A B ,两点,交直线4l x =:于点P ,若1PA AF λ=,2PB BF λ=,求证: 12λλ-为定值.【答案】(1) 22143x y +=;(2)详见解析. 【解析】试题分析:(Ⅰ)利用椭圆的几何要素间的关系进行求解;(Ⅱ)联立直线和椭圆的方程,得到关于x 或y 的一元二次方程,利用根与系数的关系和平面向量的线性运算进行证明.(Ⅱ)由题意直线AB 过点()1,0F ,且斜率存在,设方程为()1y k x =-, 将4x =代人得P 点坐标为()4,3k ,由()221{ 143y k x x y =-+=,消元得()22223484120k x k x k +-+-=,设()11,A x y , ()22,B x y ,则0∆>且21222122834{ 41234k x x k k x x k +=+-⋅=+, 方法一:因为1PA AF λ=,所以11141PA x AF x λ-==-. 同理22241PB x BFx λ-==-,且1141x x --与2241x x --异号,所以12121212443321111x x x x x x λλ⎛⎫---=+=--+ ⎪----⎝⎭()()1212123221x x x x x x +-=-+-++()2222238682412834k k k k k --=-+--++0=. 所以, 12λλ-为定值0.当121x x <<时,同理可得120λλ-=. 所以, 12λλ-为定值0.同理2223PB my BFmy λ-==,且113my my -与223my my -异号,所以()12121212123332y y my my my my my y λλ+---=+=- ()()36209m m ⨯-=-=⨯-.又当直线AB 与x 轴重合时, 120λλ-=, 所以, 12λλ-为定值0.【点睛】本题考查直线和椭圆的位置关系,其主要思路是联立直线和椭圆的方程,整理成关于x 或y 的一元二次方程,利用根与系数的关系进行求解,因为直线AB 过点()1,0F ,在设方程时,往往设为1x my =+()0m ≠,可减少讨论该直线是否存在斜率.5.【四川省绵阳南山中学2017-2018学年高二上学期期中考】设抛物线C : 24y x =, F 为C 的焦点,过F 的直线l 与C 相交于,A B 两点. (1)设l 的斜率为1,求AB ;(2)求证: OA OB ⋅u u u v u u u v是一个定值. 【答案】(1) 8AB =(2)见解析【解析】试题分析:(1)把直线的方程与抛物线的方程联立,利用根与系数的关系及抛物线的定义、弦长公式即可得出;(2)把直线的方程与抛物线的方程联立,利用根与系数的关系、向量的数量积即可得出;(2)证明:设直线l 的方程为1x ky =+,由21{4x ky y x=+-得2440y ky --= ∴124y y k +=, 124y y =- ()()1122,,,OA x y OB x y ==u u u v u u u v, ∵()()1212121211OA OB x x y y kx ky y y ⋅=+=+++u u u v u u u v,()212121222144143k y y k y y y y k k =++++=-++-=-, ∴OA OB ⋅u u u v u u u v是一个定值.点睛:熟练掌握直线与抛物线的相交问题的解题模式、根与系数的关系及抛物线的定义、过焦点的弦长公式、向量的数量积是解题的关键,考查计算能力,直线方程设成1x ky =+也给解题带来了方便.6.【内蒙古包头市第三十三中2016-2017学年高一下学期期末】已知椭圆C : 22221(0,0)x y a b a b+=>>的离心率为6,右焦点为(2,0).(1)求椭圆C 的方程; (2)若过原点作两条互相垂直的射线,与椭圆交于A ,B 两点,求证:点O 到直线AB 的距离为定值.【答案】(1) 2213x y += ,(2) O 到直线AB 3【解析】试题分析:(1)根据焦点和离心率列方程解出a ,b ,c ;(2)对于AB 有无斜率进行讨论,设出A ,B 坐标和直线方程,利用根与系数的关系和距离公式计算;有OA ⊥OB 知x 1x 2+y 1y 2=x 1x 2+(k x 1+m ) (k x 2+m )=(1+k 2) x 1x 2+k m (x 1+x 2)=0 代入,得4 m 2=3 k 2+3原点到直线AB 的距离231m d k ==+ , 当AB 的斜率不存在时, 11x y = ,可得, 13x d == 依然成立.所以点O 到直线的距离为定值32. 点睛: 本题考查了椭圆的性质,直线与圆锥曲线的位置关系,分类讨论思想,对于这类题目要掌握解题方法.设而不求,套用公式解决.7.【四川省成都市石室中学2017-2018学年高二10月月考】已知双曲线()222210x y b a a b-=>>渐近线方程为3y x =, O 为坐标原点,点(3,3M 在双曲线上.(Ⅰ)求双曲线的方程;(Ⅱ)已知,P Q 为双曲线上不同两点,点O 在以PQ 为直径的圆上,求2211OPOQ+的值.【答案】(Ⅰ)22126x y -=;(Ⅱ) 221113OP OQ+=. 【解析】试题分析:(1)根据渐近线方程得到设出双曲线的标准方程,代入点M 的坐标求得参数即可;(2)由条件可得OP OQ ⊥,可设出直线,OP OQ 的方程,代入双曲线方程求得点,P Q 的坐标可求得221113OPOQ+=。

江苏专用2018版高考数学大一轮复习高考专题突破五高考中的圆锥曲线问题课件理

江苏专用2018版高考数学大一轮复习高考专题突破五高考中的圆锥曲线问题课件理
例1 已知 P 点在以坐标轴为对称轴的椭圆上,点 P 到两焦点的距离分
4 5 2 5 别为 ,过 P作长轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点,则椭圆的 和 3 3 x2 3y2 3x2 y2 + = 1 或 + = 1 答案 解析 5 10 10 5 方程为______________________.
思维升华
(1)证明EA+EB为定值,并写出点E的轨迹方程;
解答
几何画板展示
(2)设点E的轨迹为曲线C1,直线l交C1于M,N两点,过B且与l垂直的直
线与圆A交于P,Q两点,求四边形MPNQ面积的取值范围.
解答
思维升华
求定点及定值问题常见的方法有两种 (1)从特殊入手,求出定值,再证明这个值与变量无关. (2)直接推理、计算,并在计算推理的过程中消去变量,从而得到定值.
5 ∴25a =9c ,∴e=3.
2 2
2 x = 2 pt , (2)(2016· 天津)设抛物线 (t 为参数,p>0)的焦点为 F,准线为 l. y=2pt
过抛物线上一点 A 作 l 的垂线,垂足为 B.设
7 C2p,0 ,AF
与 BC 相交于点
6 E.若 CF=2AF,且△ACE 的面积为 3 2,则 p 的值为____.
跟踪训练5
(2016· 苏州、无锡、常州、镇江二模)如图,在平面直角坐 x2 y2 标系xOy中,已知椭圆C: 2+ 2=1 (a>b>0) 的离心率为 2 ,且过点 a b 2 (1, 6 ),过椭圆的左顶点A作直线l⊥x轴,点M为直线l上的动点(点M与点 2 A不重合),点B为椭圆的右顶点,直线BM交椭圆C于点P. (1)求椭圆C的方程;
答案 解析
题型二 圆锥曲线的几何性质

2018年高考数学(理科)专题突破——解析几何 圆锥曲线中的热点问题 Word版 含答案

2018年高考数学(理科)专题突破——解析几何 圆锥曲线中的热点问题 Word版 含答案

圆锥曲线中的热点问题【考点梳理】1.圆锥曲线中的范围、最值问题,可以转化为函数的最值问题(以所求式子或参数为函数值),或者利用式子的几何意义求解.2.定点、定值问题(1)定点问题:在解析几何中,有些含有参数的直线或曲线的方程,不论参数如何变化,其都过某定点,这类问题称为定点问题.若得到了直线方程的点斜式:y -y 0=k (x -x 0),则直线必过定点(x 0,y 0);若得到了直线方程的斜截式:y =kx +m ,则直线必过定点(0,m ).(2)定值问题:在解析几何中,有些几何量,如斜率、距离、面积、比值等基本量和动点坐标或动直线中的参变量无关,这类问题统称为定值问题.3.存在性问题的解题步骤:(1)先假设存在,引入参变量,根据题目条件列出关于参变量的方程(组)或不等式(组).(2)解此方程(组)或不等式(组),若有解则存在,若无解则不存在.(3)得出结论.【题型突破】题型一、圆锥曲线中的最值、范围【例1】如图所示,设抛物线y 2=2px (p >0)的焦点为F ,抛物线上的点A 到y 轴的距离等于|AF |-1.(1)求p 的值;(2)若直线AF 交抛物线于另一点B ,过B 与x 轴平行的直线和过F与AB 垂直的直线交于点N ,AN 与x 轴交于点M ,求M 的横坐标的取值范围.【解析】(1)由题意可得,抛物线上点A 到焦点F 的距离等于点A 到直线x =-1的距离,由抛物线的定义得p 2=1,即p =2.(2)由(1)得,抛物线方程为y 2=4x ,F (1,0),可设A (t 2,2t ),t ≠0,t ≠±1.∵AF 不垂直于y 轴,可设直线AF :x =sy +1(s ≠0),由⎩⎨⎧y 2=4x ,x =sy +1消去x 得y 2-4sy -4=0. 故y A y B =-4,∴B ⎝ ⎛⎭⎪⎫1t 2,-2t . 又直线AB 的斜率为2t t 2-1, 故直线FN 的斜率为-t 2-12t ,从而得直线FN :y =-t 2-12t (x -1),直线BN :y =-2t .∴N ⎝ ⎛⎭⎪⎫t 2+3t 2-1,-2t . 设M (m ,0),由A ,M ,N 三点共线得2t t 2-m =2t +2tt 2-t 2+3t 2-1, 于是m =2t 2t 2-1=2+2t 2-1,∴m <0或m >2. 经检验知,m <0或m >2满足题意.综上,点M 的横坐标的取值范围是(-∞,0)∪(2,+∞).【类题通法】求圆锥曲线中范围、最值的主要方法:(1)几何法:若题目中的条件和结论能明显体现几何特征和意义,则考虑利用图形性质数形结合求解.(2)代数法:若题目中的条件和结论能体现一种明确的函数关系,或者不等关系,或者已知参数与新参数之间的等量关系等,则利用代数法求参数的范围.【对点训练】已知点A (0,-2),椭圆E :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为32,F 是椭圆E 的右焦点,直线AF 的斜率为233,O 为坐标原点.(1)求E 的方程;(2)设过点A 的动直线l 与E 相交于P ,Q 两点,当△OPQ 的面积最大时,求l 的方程.【解析】(1)设F(c,0),由条件知,2c=233,得c= 3.又ca=32,所以a=2,b2=a2-c2=1.故E的方程为x24+y2=1.(2)当l⊥x轴时不合题意,故设l:y=kx-2,P(x1,y1),Q(x2,y2).将y=kx-2代入x24+y2=1,得(1+4k2)x2-16kx+12=0. 当Δ=16(4k2-3)>0,即k2>34时,x1,2=8k±24k2-34k2+1.从而|PQ|=k2+1|x1-x2|=4k2+1·4k2-34k2+1.又点O到直线PQ的距离d=2k2+1.所以△OPQ的面积S△OPQ =12d·|PQ|=44k2-34k2+1.设4k2-3=t,则t>0,S△OPQ =4tt2+4=4t+4t.因为t+4t≥4,当且仅当t=2,即k=±72时等号成立,且满足Δ>0.所以当△OPQ的面积最大时,l的方程为y=72x-2或y=-72x-2.题型二、圆锥曲线中的定值问题【例2】已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为32,A(a,0),B(0,b),O(0,0),△OAB的面积为1.(1)求椭圆C的方程;(2)设P是椭圆C上一点,直线PA与y轴交于点M,直线PB与x轴交于点N.求证:|AN|·|BM|为定值.【解析】(1)解 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧c a =32,12ab =1,a 2=b 2+c 2,解得⎩⎨⎧a =2,b =1,c = 3.所以椭圆C 的方程为x 24+y 2=1.(2)证明 由(1)知A (2,0),B (0,1).设P (x 0,y 0),则x 20+4y 20=4.当x 0≠0时,直线PA 的方程为y =y 0x 0-2(x -2). 令x =0,得y M =-2y 0x 0-2, 从而|BM |=|1-y M |=⎪⎪⎪⎪⎪⎪1+2y 0x 0-2. 直线PB 的方程为y =y 0-1x 0x +1. 令y =0,得x N =-x 0y 0-1, 从而|AN |=|2-x N |=⎪⎪⎪⎪⎪⎪2+x 0y 0-1. 所以|AN |·|BM |=⎪⎪⎪⎪⎪⎪2+x 0y 0-1·⎪⎪⎪⎪⎪⎪1+2y 0x 0-2 =⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 20+4y 20+4x 0y 0-4x 0-8y 0+4x 0y 0-x 0-2y 0+2 =⎪⎪⎪⎪⎪⎪4x 0y 0-4x 0-8y 0+8x 0y 0-x 0-2y 0+2=4. 当x 0=0时,y 0=-1,|BM |=2,|AN |=2, 所以|AN |·|BM |=4.综上,|AN |·|BM |为定值.【类题通法】1.求定值问题常见的方法有两种:(1)从特殊入手,求出定值,再证明这个值与变量无关.。

2018年高考圆锥曲线部分小题解析

2018年高考圆锥曲线部分小题解析
9.【2018全国3文10】已知双曲线 的离心率为 ,则点 到 的
渐近线的距离为_________.
解析: ,渐近线
所以点 到渐近线的距离为
令 ,则
因为求的是比值,因此没必要求出 具体的数字,因为无论 是多少,其比值都是相同的。
10.【2018北京文10】已知直线 过点 且垂直于 轴,若 被抛物线 截得的线段长为4,则抛物线的焦点坐标为_________.
解得
3.圆锥曲线的离心率问题
19.【2018全国2理12】已知 是椭圆 的左右焦点, 是 的左顶点,点 在过点 且斜率为 的直线上, 为等腰三角形, ,则C的离心率为________.
解析:如上图,
所以 ,因为
所以
20.【2018全国2文11】已知 是椭圆 的两个焦点, 是 上的一点,若 ,且 ,则 的离心率是________.
所以当 时, 取得最大值。
26.【2018浙江21】如图,已知点P是 轴左侧(不含 轴)一点,抛物线 上存在不同的两点 满足 的中点均在 上。
(1)设 中点为 ,证明: 垂直于 轴;
(2)若 是半椭圆 上的动点,求 面积的取值范围。
Байду номын сангаас解析:(1)设
中点满足:
中点满足:
所以 是方程 即 的两个根,所以 ,故 垂直于 轴。
解析:题目中如果是按照常规的点到直线距离来算,则要同时面对两个变量,点 在单位圆上,则 最大时等于圆心 到直线的距离加半径,这样就可以不用考虑 的变化对最值的影响。
是圆 上的点,所以
25.【2018浙江17】点 ,椭圆 上两点 满足 ,则当 =_______时,点 横坐标的绝对值最大。
分析:若设 点横坐标为 ,则题目转化为当 为何值时, 最大

2018届高考数学(理)一轮复习高频考点大突破学案:专题53圆锥曲线的综合问题

2018届高考数学(理)一轮复习高频考点大突破学案:专题53圆锥曲线的综合问题

x0+2y0-2
x0+ 2y0 - 2

x0- 2
·
y0- 1
x20+ 4y20+ 4x0y0- 4x0- 8y0+ 4

x0y0- x0- 2y0+ 2

4x0y0- 4x0- 8y0+8 x0y0 -x0 -2y0+ 2
= 4.
当 x0=0 时, y0=- 1, |BM |= 2, |AN |=2,
9- 4k2 yH = 12k .
因为直线
MH 的方程为
y=-
1 kx+
9- 4k2 12k .
设 M (xM, yM ),由方程组
解得
xM

12
20k2+ ( k2+
9 1)
.
y=k( x- 2), 1 9-4k2消去 y,
y=- kx+ 12k
在△ MAO 中,∠ MOA ≤∠ MAO ? |MA |≤ |MO |,
1)(
y2-
1)

(1

k2
)x1x2-
4k 3(
x1+
x2)

16 9

(1

k2

9
- 16 + 18k2-
43k·
9+121k8k2+
16 9

0,
专题 53 圆锥曲线的综合问题
∴ Q→A⊥ Q→B,即以线段 AB 为直径的圆恒过点 Q(0 ,1).
高频考点二 定值问题
【例 2】 (2016·山东卷 )已知椭圆
所以 |AN|· |BM |= 4.故 |AN|· |BM|为定值 .
高频考点三 范围问题
【例
3】
(2016 ·天津卷

2018年高考数学 专题10 圆锥曲线热点难点突破 理

2018年高考数学 专题10 圆锥曲线热点难点突破 理

专题10 圆锥曲线(热点难点突破)1.已知点A 是抛物线C :x 2=2py (p >0)上一点,O 为坐标原点,若以点M (0,8)为圆心,|OA |的长为半径的圆交抛物线C 于A ,B 两点,且△ABO 为等边三角形,则p 的值是( ) A.38 B .2 C .6 D.23【答案】D 【解析】由题意知|MA |=|OA |,所以点A 的纵坐标为4,又△ABO 为等边三角形,所以点A 的横坐标为433,又点A 是抛物线C 上一点,所以163=2p ×4,解得p =23.2.已知焦点在x 轴上的椭圆方程为x 24a +y 2a 2+1=1,随着a 的增大该椭圆的形状( )A .越接近于圆B .越扁C .先接近于圆后越扁D .先越扁后接近于圆【答案】D 【解析】由题意知4a >a 2+1且a >0,解得2-3<a <2+3,又e 2=1-b 2a 2=1-a 2+14a =1-14⎝ ⎛⎭⎪⎫a +1a .因此当a ∈(2-3,1)时,e 越来越大,当a ∈(1,2+3)时,e 越来越小,故选D.3.已知F 1,F 2分别是双曲线x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的左、右焦点,对于左支上任意一点P 都有|PF 2|2=8a |PF 1|(a为实半轴),则此双曲线的离心率e 的取值范围是( ) A .(1,+∞) B .(2,3] C .(1,3]D .(1,2]4.抛物线y 2=2px (p >0)的焦点为F ,已知点A ,B 为抛物线上的两个动点,且满足∠AFB =120°.过弦AB 的中点M 作抛物线准线的垂线MN ,垂足为N ,则|MN ||AB |的最大值为( )A.33B .1 C.233D .2【答案】A 【解析】设AF =a ,BF =b ,由余弦定理得|AB |2=a 2+b 2-2ab cos 120°=a 2+b 2+ab =(a +b )2-ab ≥(a +b )2-⎝⎛⎭⎪⎫a +b 22=34(a +b )2.∵a +b =AF +BF =2MN ,∴|AB |2≥34|2MN |2,∴|MN ||AB |≤33.5.过点A (0,1)作直线,与双曲线x 2-y 29=1有且只有一个公共点,则符合条件的直线的条数为( )A .0B .2C .4D .无数【答案】C 【解析】过点A (0,1)和双曲线的渐近线平行的直线和双曲线只有一个公共点,这样的直线有两条,过点A (0,1)和双曲线相切的直线只有一个公共点,这样的直线也有两条,故共四条直线与双曲线有且只有一个公共点.6.椭圆y 2+x 2m2=1(0<m <1)上存在点P 使得PF 1⊥PF 2,则m 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫22,1 B .⎝ ⎛⎦⎥⎤0,22 C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12,1 D.⎝ ⎛⎦⎥⎤0,12 【答案】B 【解析】当点P 是短轴的顶点时∠F 1PF 2最大,因此若椭圆上存在点P 使得PF 1⊥PF 2,则∠F 1PF 2≥90°,所以∠F 2PO ≥45°(O 是原点),从而c a ≥22,即1-m 2≥12,又0<m <1,所以0<m ≤22.7.设点P 是椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)上一点,F 1,F 2分别是椭圆的左,右焦点,I 为△PF 1F 2的内心,若S △IPF 1+S △IPF 2=2S △IF 1F 2,则该椭圆的离心率为( )A.12 B .22 C.32D.3-12【答案】A 【解析】因为S △IPF 1+S △IPF 2+S △IF 1F 2=S △PF 1F 2,所以3S △IF 1F 2=S △PF 1F 2,设△PF 1F 2内切圆的半径为r ,则有32×2c ×r =12×(|PF 1|+|PF 2|+2c )×r ,整理得|PF 1|+|PF 2|=4c ,即2a =4c ,所以e=12. 8.已知椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为32.双曲线x 2-y 2=1的渐近线与椭圆C 有四个交点,以这四个交点为顶点的四边形的面积为16,则椭圆C 的方程为( ) A.x 28+y 22=1B .x 212+y 26=1 C.x 216+y 24=1 D.x 220+y 25=1 【答案】D 【解析】椭圆的离心率e =c a =a 2-b 2a =32,所以a =2b .所以椭圆方程为x 2+4y 2=4b 2.3因为双曲线x 2-y 2=1的渐近线方程为x ±y =0,所以渐近线x ±y =0与椭圆x 2+4y 2=4b 2在第一象限的交点为⎝⎛⎭⎪⎫255b ,255b ,所以由圆锥曲线的对称性得四边形在第一象限部分的面积为255b ×255b =4,所以b 2=5,所以a 2=4b 2=20. 所以椭圆C 的方程为x 220+y 25=1.故选D.9.双曲线M :x 2-y 2b2=1的左、右焦点分别为F 1,F 2,记|F 1F 2|=2c ,以坐标原点O 为圆心,c 为半径的圆与双曲线M 在第一象限的交点为P ,若|PF 1|=c +2,则P 点的横坐标为________. 【答案】3+12【解析】根据双曲线的定义知|PF 1|-|PF 2|=2,又|PF 1|=c +2,所以|PF 2|=c ,由勾股定理得(c +2)2+c 2=4c 2,即c 2-2c -2=0,解得c =3+1,根据△OPF 2是等边三角形得P 点的横坐标为3+12. 10.已知F 1,F 2为x 2a 2+y 216=1的左、右焦点,M 为椭圆上一点,则△MF 1F 2内切圆的周长等于3π,若满足条件的点M 恰好有2个,则a 2=________.11.如图14­1,F 1,F 2是双曲线x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的左、右焦点,过F 1的直线l 与双曲线的左、右两支分别交于点B ,A .若△ABF 2为等边三角形,则双曲线的离心率为________.图14­1 【答案】7【解析】因为△ABF 2为等边三角形,由点A 是双曲线上的一点知,|F 1A |-|F 2A |=|F 1A |-|AB |=|F 1B |=2a ,由点B 是双曲线上一点知,|BF 2|-|BF 1|=2a ,从而|BF 2|=4a ,由∠ABF 2=60°得∠F 1BF 2=120°,在△F 1BF 2中应用余弦定理得4c 2=4a 2+16a 2-2·2a ·4a ·cos 120°,整理得c 2=7a 2,则e 2=7,从而e =7.12.设F 1,F 2是椭圆x 2+y 2b2=1(0<b <1)的左、右焦点,过F 1的直线l 交椭圆于A ,B 两点,若|AF 1|=3|F 1B |,且AF 2⊥x 轴,则b 2=________. 【答案】23【解析】由题意F 1(-c,0),F 2(c,0),AF 2⊥x 轴,∴|AF 2|=b 2,∴A 点坐标为(c ,b 2),设B (x ,y ), 则|AF 1|=3|F 1B |,∴(-c -c ,-b 2)=3(x +c ,y ),∴B ⎝ ⎛⎭⎪⎫-53c ,-13b 2,代入椭圆方程可得⎝ ⎛⎭⎪⎫-53c 2+⎝ ⎛⎭⎪⎫-13b 22b 2=1.∵1=b 2+c 2,∴b 2=23.13.过抛物线y 2=4x 焦点F 的直线交其于A ,B 两点,O 为坐标原点.若|AF |=3,则△AOB 的面积为________. 【答案】32214.如图14­2,椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的右焦点为F ,右顶点、上顶点分别为点A ,B ,且|AB |=52|BF |.图14­2(1)求椭圆C 的离心率;(2)若点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫-1617,217在椭圆C 内部,过点M 的直线l 交椭圆C 于P ,Q 两点,M 为线段PQ 的中点,且OP ⊥OQ .求直线l 的方程及椭圆C 的方程.5[解] (1)由已知|AB |=52|BF |,即a 2+b 2=52a ,2分 4a 2+4b 2=5a 2,4a 2+4(a 2-c 2)=5a 2, ∴e =ca =32.4分 (2)由(1)知a 2=4b 2,∴椭圆C :x 24b 2+y 2b 2=1.设P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2),由x 214b 2+y 21b 2=1,x 224b 2+y 22b2=1,可得x 21-x 224b 2+y 21-y 22b 2=0, 即x 1+x 2x 1-x 24b2+y1+y 2y 1-y 2b2=0,即-3217x1-x 24+417(y 1-y 2)=0,从而k PQ =y 1-y 2x 1-x 2=2,6分 ∴直线l 的方程为y -217=2⎣⎢⎡⎦⎥⎤x -⎝ ⎛⎭⎪⎫-1617,即2x -y +2=0.8分 由⎩⎪⎨⎪⎧2x -y +2=0,x 24b 2+y 2b2=1⇒x 2+4(2x +2)2-4b 2=0,即17x 2+32x +16-4b 2=0,9分Δ=322+16×17(b 2-4)>0⇔b >21717,x 1+x 2=-3217,x 1x 2=16-4b 217.∵OP ⊥OQ ,∴OP →·OQ →=0,即x 1x 2+y 1y 2=0,x 1x 2+(2x 1+2)(2x 2+2)=0,5x 1x 2+4(x 1+x 2)+4=0,11分从而-4b 217-12817+4=0,解得b =1,椭圆C 的方程为x 24+y 2=1.12分 15.在△ABC 中,A (-1,0),B (1,0),若△ABC 的重心G 和垂心H 满足GH 平行于x 轴(G ,H 不重合). (1)求动点C 的轨迹方程;(2)已知O 为坐标原点,若直线AC 与以O 为圆心,以|OH |为半径的圆相切,求此时直线AC 的方程.[解] (1)由题意可设C (x ,y ),则G ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3,y 3,H ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ,y 3,BH →=⎝ ⎛⎭⎪⎫x -1,y 3,AC →=(x +1,y ).2分因为H 为垂心,所以BH →·AC →=x 2-1+y 23=0,整理可得x 2+y 23=1,即动点C 的轨迹方程为x 2+y 23=1(x ·y ≠0).4分(2)显然直线AC 的斜率存在,设AC 的方程为y =k (x +1),C (x 0,y 0). 将y =k (x +1)代入x 2+y 23=1得(3+k 2)x 2+2k 2x +k 2-3=0,6分解得x 0=3-k 23+k 2,y 0=6k 3+k 2,则H ⎝ ⎛⎭⎪⎫3-k 23+k 2,2k 3+k 2.8分原点O 到直线AC 的距离d =|k |1+k2,依题意可得k 21+k 2=9-2k 2+k49+6k 2+k4,10分即7k 4+2k 2-9=0,解得k 2=1,即k =1或-1, 故所求直线AC 的方程为y =x +1或y =-x -1.12分16.已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1,F 2,点B(0,3)为短轴的一个端点,∠OF 2B=60°.图15­3(1)求椭圆C 的方程;(2)如图15­3,过右焦点F 2,且斜率为k (k ≠0)的直线l 与椭圆C 相交于D ,E 两点,A 为椭圆的右顶点,直线AE ,AD 分别交直线x =3于点M ,N ,线段MN 的中点为P ,记直线PF 2的斜率为k ′.试问k ·k ′是否为定值?若为定值,求出该定值;若不为定值,请说明理由.[解] (1)由条件可知a =2,b =3,故所求椭圆方程为x 24+y 23=1.4分(2)设过点F 2(1,0)的直线l 的方程为y =k (x -1).由⎩⎪⎨⎪⎧y =k x -,x 24+y23=1,可得(4k 2+3)x 2-8k 2x +4k 2-12=0. 5分因为点F 2(1,0)在椭圆内,所以直线l 和椭圆都相交,即Δ>0恒成立.设点E (x 1,y 1),D (x 2,y 2), 则x 1+x 2=8k 24k 2+3,x 1x 2=4k 2-124k 2+3.6分因为直线 AE 的方程为y =y 1x 1-2(x -2),直线AD 的方程为y =y 2x 2-2(x -2),令x =3,可得M ⎝⎛⎭⎪⎫3,y 1x 1-2,N ⎝ ⎛⎭⎪⎫3,y 2x 2-2,所以点P 的坐标⎝ ⎛⎭⎪⎫3,12⎝ ⎛⎭⎪⎫y 1x 1-2+y 2x 2-2.8分 直线PF 2的斜率为k ′=12⎝ ⎛⎭⎪⎫y 1x 1-2+y 2x 2-2-03-17=14·x 1y 2+x 2y 1-y 1+y 2x 1x 2-x 1+x 2+4=14·2kx 1x 2-3k x 1+x 2+4k x 1x 2-x 1+x 2+4 =14·2k ·4k 2-124k 2+3-3k ·8k 24k 2+3+4k4k 2-124k 2+3-2·8k 24k 2+3+4=-34k, 所以k ·k ′为定值-34.12分17.已知椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为12,以原点为圆心,椭圆的短半轴长为半径的圆与直线7x-5y +12=0相切. (1)求椭圆C 的方程;(2)设A (-4,0),过点R (3,0)作与x 轴不重合的直线l 交椭圆C 于P ,Q 两点,连接AP ,AQ 分别交直线x =163于M ,N 两点,若直线MR ,NR 的斜率分别为k 1,k 2,试问:k 1k 2是否为定值?若是,求出该定值,若不是,请说明理由.[解] (1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧c a =12,127+5=b ,a 2=b 2+c 2,∴⎩⎨⎧a =4,b =23,c =2,故椭圆C 的方程为x 216+y 212=1.4分(2)设P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2),直线PQ 的方程为x =my +3,由⎩⎪⎨⎪⎧x 216+y 212=1,x =my +3,∴(3m 2+4)y 2+18my -21=0,∴y 1+y 2=-18m 3m 2+4,y 1y 2=-213m 2+4.6分由A ,P ,M 三点共线可知y M 163+4=y 1x 1+4,∴y M =28y 1x 1+.8分同理可得y N =28y 2x 2+,∴k 1k 2=y M163-3×y N 163-3=9y M y N49=16y 1y 2x 1+x 2+.10分∵(x 1+4)(x 2+4)=(my 1+7)(my 2+7)=m 2y 1y 2+7m (y 1+y 2)+49,∴k 1k 2=16y 1y 2m 2y 1y 2+7m y 1+y 2+49=-127.12分∴k 1k 2为定值-127.18.已知椭圆M :x 2a 2+y 23=1(a >0)的一个焦点为F (-1,0),左、右顶点分别为A ,B .经过点F 的直线l 与椭圆M 交于C ,D 两点.(2)当直线l 的倾斜角为45°时,求线段CD 的长;(3)记△ABD 与△ABC 的面积分别为S 1和S 2,求|S 1-S 2|的最大值. [解] (1)因为F (-1,0)为椭圆的焦点,所以c =1,又b 2=3, 所以a 2=4,所以椭圆方程为x 24+y 23=1.3分(2)因为直线的倾斜角为45°,所以直线的斜率为1,所以直线方程为y =x +1,和椭圆方程联立得到⎩⎪⎨⎪⎧x 24+y 23=1,y =x +1,消掉y ,得到7x 2+8x -8=0,4分所以Δ=288,x 1+x 2=-87,x 1x 2=-87,5分所以|CD |=1+k 2|x 1-x 2|=2×x 1+x 22-4x 1x 2=247.6分(3)当直线l 斜率不存在时,直线方程为x =-1,此时D ⎝ ⎛⎭⎪⎫-1,32,C ⎝ ⎛⎭⎪⎫-1,-32,△ABD ,△ABC 面积相等,|S 1-S 2|=0,7分 当直线l 斜率存在(显然k ≠0)时,设直线方程为y =k (x +1)(k ≠0). 设C (x 1,y 1),D (x 2,y 2),和椭圆方程联立得到⎩⎪⎨⎪⎧x 24+y 23=1,y =k x +,消掉y 得(3+4k 2)x 2+8k 2x +4k 2-12=0,8分显然Δ>0,方程有根,且x 1+x 2=-8k 23+4k 2,x 1x 2=4k 2-123+4k 2,9分此时|S 1-S 2|=2||y 1|-|y 2||=2|y 1+y 2|=2|k (x 2+1)+k (x 1+1)| =2|k (x 2+x 1)+2k |=12|k |3+4k 2=123|k |+4|k |≤1223|k |×4|k |=12212=3(k =±32时等号成立),所以|S 1-S 2|的最大值为 3.12分19.已知中心在原点O ,焦点在x 轴上,离心率为32的椭圆过点⎝⎛⎭⎪⎫2,22.图15­49(2)设不过原点O 的直线l 与该椭圆交于P ,Q 两点,满足直线OP ,PQ ,OQ 的斜率依次成等比数列,求△OPQ 面积的取值范围.[解] (1)由题意可设椭圆方程为x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0), 则c a =32(其中c 2=a 2-b 2,c >0),且2a 2+12b2=1,故a =2,b =1. 所以椭圆的方程为x 24+y 2=1.4分(2)由题意可知,直线l 的斜率存在且不为0.故可设直线l :y =kx +m (m ≠0),设P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2),由⎩⎪⎨⎪⎧y =kx +m ,x 2+4y 2=4,消去y 得(1+4k 2)x 2+8kmx +4(m 2-1)=0,5分则Δ=64k 2m 2-16(1+4k 2)(m 2-1)=16(4k 2-m 2+1)>0, 且x 1+x 2=-8km 1+4k 2,x 1x 2=m 2-1+4k2.6分 故y 1y 2=(kx 1+m )(kx 2+m )=k 2x 1x 2+km (x 1+x 2)+m 2,7分 因为直线OP ,PQ ,OQ 的斜率依次成等比数列,所以y 1x 1·y 2x 2=k 2x 1x 2+km x 1+x 2+m 2x 1x 2=k 2,即-8k 2m 21+4k2+m 2=0.8分又m ≠0,所以k 2=14,即k =±12.9分由于直线OP ,OQ 的斜率存在,且Δ>0,得0<m 2<2,且m 2≠1. 设d 为点O 到直线l 的距离,则d =|2m |5,10分|PQ |=+k2[x 1+x 22-4x 1x 2]=-m2,11分所以S =12|PQ |d =m 22-m2<m 2+2-m 22=1(m 2≠1),故△OPQ 面积的取值范围为(0,1).12分20.如图所示,抛物线关于x 轴对称,它的顶点在坐标原点,点P (1,2),A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)均在抛物线上.11+k2[x 1+x 22-4=+k23+4k2.∵直线BD 的斜率为-,+-1k2]+-1k2=+k 23k 2+4.=3+4k2+k2+k +4+k 2=12|+1|BD |=712,(1)若线段AB的中点在直线(2)若线段|AB|=y1+y22-4m2--1)=20,解得m=±2,=y2-=kx+1,代入椭圆方程整理,得x1+x22-42,双曲线的左、右焦点分别是=-6k2+-k2=361-k2>0,且k2≠.①13。

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题型一求圆锥曲线的标准方程
例1 (2015·天津变式)已知双曲线x2
a2

y2
b2
=1(a>0,b>0)的一个焦点为F(2,0),且双
曲线的渐近线与圆(x-2)2+y2=3相切,则双曲线的方程为________.
【答案】x2-y2
3
=1
【思维升华】求圆锥曲线的标准方程是高考的必考题型,主要利用圆锥曲线的定义、几何性质,解得标准方程中的参数,从而求得方程.
【跟踪训练1】(2014·课标全国Ⅰ)已知点A(0,-2),椭圆E:x2
a2

y2
b2
=1(a>b>0)的
离心率为
3
2
, F是椭圆E的右焦点,直线AF的斜率为
23
3
,O为坐标原点.
(1)求E的方程;
(2)设过点A的动直线l与E相交于P,Q两点,当△OPQ的面积最大时,求l的方程. 【解析】
(1)设F(c,0),由条件知,2
c

23
3
,得c= 3.
又c
a

3
2
,所以a=2,b2=a2-c2=1.
故E 的方程为x 24
+y 2=1. (2)当l ⊥x 轴时不合题意,
故设l :y =kx -2,P(x 1,y 1),Q(x 2,y 2),
将y =kx -2代入x 24
+y 2=1得 (1+4k 2)x 2-16kx +12=0.
当Δ=16(4k 2-3)>0,即k 2>34
时, x 1,2=8k 〒24k 2
-34k 2+1
. 从而PQ =k 2+1|x 1-x 2|=4k 2+1·4k 2-34k 2+1.
题型二 圆锥曲线的几何性质
例2 (1)(2015·湖南变式)若双曲线x 2a 2-y 2
b
2=1的一条渐近线经过点(3,-4),则此双曲线的离心率为________.
A.
7
3
B.
5
4
C.
4
3
D.
5
3
(2)已知双曲线C:y2
a2

x2
b2
=1 (a>0,b>0),P为x轴上一动点,经过点P的直线y=2x+
m (m≠0)与双曲线C有且只有一个交点,则双曲线C的离心率为________.
【答案】(1)5
3
(2)
5
2
【解析】
(1)由条件知y=-b
a
x过点(3,-4),∴
3b
a
=4,
即3b=4a,∴9b2=16a2,∴9c2-9a2=16a2,
∴25a2=9c2,∴e=5
3 .
(2)由双曲线的方程可知:渐近线方程为y=〒a
b x.
∵经过P的直线y=2x+m (m≠0)与双曲线C有且只有一个交点,∴此直线与渐近线y
=a
b
x平行,∴
a
b
=2.
∴e=c
a
=1+




⎫b
a
2=
5
2
.
【思维升华】圆锥曲线的几何性质是高考考查的重点,求离心率、准线、双曲线渐近线,是常考题型,解决这类问题的关键是熟练掌握各性质的定义,及相关参数间的联系.掌握一些常用的结论及变形技巧,有助于提高运算能力.
【跟踪训练2】(2014·北京)已知椭圆C:x2+2y2=4.
(1)求椭圆C的离心率;
(2)设O为原点,若点A在椭圆C上,点B在直线y=2上,且OA⊥OB,试判断直线AB 与圆x2+y2=2的位置关系,并证明你的结论.
【解析】。

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