平面体系的机动分析

W = 3m-2h-r
m---刚片数（不包括地基） h---单铰数 r---链杆数（含支座链杆）
18
铰接链杆体系
W = 2j-b-r
j--结点数 b--杆件数
r--支座链杆数
19Hale Waihona Puke 例1：试求图示体系的计算自由度
AC CDB CE EF CF DF DG FG
1
3
1
G
3
2 有几个单铰？
有 几 个 刚 片
42
• 【例】试对如图所示体系进行几何组成分析。
【解】体系基础以上部分与基础用三根不交于一点 且不完全平行的链杆1、2、3相连，符合两刚片规 则，只分析上部体系。将AB看作刚片Ⅰ，用链杆 AC、EC固定C，链杆BD、FD固定D，则链杆CD是多 余约束，故此体系是有一多余约束的几何不变体 系。在本例中链杆AC、EC、CD、FD及BD其中之一 均可视为多余约束。
38
5) 当体系杆件数较多时，将刚片选得分散些，刚片 与刚片之间用链杆形成的虚铰相连，而不用单铰相连；
瞬变体系
39
[例]试分析体系的几何构造
I III
几何不变体系且无多余约束
II
40
【例】试对如图所示体系进行几何组成分析。
【解】AB杆与基础之间用铰A和链杆1相连，组成 几何不变体系，可看作一扩大了的刚片。将BC 杆看作链杆，则CD杆用不交于一点的三根链杆 BC、2、3和扩大刚片相连，组成无多余约束的 几何不变体系。
所谓自由度是指确定体系位置所必需的独立坐标 的个数。
平面体系的自由度(degree of freedom of planar system) ：用以确定平面体系在平面内位 置的独立坐标数。 ⑴ 平面上的点有两个自由度
y
x
A
y
独立变化的几 何参数为：x、y。
x
o
8
⑵ 平面上的刚片有三个自由度
y
B
x A
FAx
47
超静定结构：在几何组成上是几何不变、但有多 余约束的体系，其全部支反力和内 力均不可由静力平衡条件唯一确 定，还需补充其它条件。 F FAy FC FB
FAx
48
小结 几何不变体系 可作为结构
无多余约束
静定结构
有多余约束
体系
几何可变体系 不可作结构
超静定结构
常变
瞬变
49
*三刚片虚铰在无穷远处的讨论
Ⅱ Ⅲ
B
C D
E
(Ⅰ,Ⅲ) (Ⅱ,Ⅲ)
无多余约束几何不变体系
45
例
A E
D
F
B
A Ⅰ E
D Ⅱ F
B
C
Ⅲ
C （Ⅰ,Ⅱ）
A Ⅰ
D F Ⅱ
B
A
E Ⅱ Ⅲ
D
Ⅰ
F （Ⅱ,Ⅲ）
B （Ⅰ,Ⅲ）
E
Ⅲ C
C
解：所以体系是几何不变的，并且无多余约束。
46
2.7几何构造与静定性的关系
静定结构：在几何组成上是几何不变、无多 余约束的体系，其全部支反力和 内力均可由静力平衡方程求出； F FAy FB
1、刚片(rigid plate)
在进行几何组成分析时，由于不考虑材料 的应变，因而体系中的某一杆件或已经判明是 几何不变的部分，均可视为刚体。平面内的刚 体又称刚片。 在平面杆件体系中， 一根直杆、折杆或曲 杆都可以视为刚片， 并且由这些构件组成 的几何不变体系也可 视为刚片。
7
2、自由度（degree of freedom ）
1
第二章 平面体系的机动分析
Construction Analysis of Structures
基本假定：不考虑材料的变形
2
平面杆系结构，是由若干根杆件构成的能支承 荷载的平面杆件体系，而任一杆件体系却不一定能 作为结构。
前提条件：不考虑结构受力后由于材料的应变而 产生的微小变形，即把组成结构的每根杆件都看作 完全不变形的刚性杆件。
机构
F
5
3、几何组成分析：判断体系是否几何不变这一工 作 ，又称作几何构造分析。 4、研究体系几何组成的任务和目的： 1）研究结构的基本组成规则，用及判定体系是 否可作为结构以及选取结构的合理形式。 2）根据结构的几何组成，正确区分静定和超静 定结构，选择相应的计算方法和计算途径。
6
2.2 平面体系的计算自由度

独立变化的几何参 数为：x、y、。
y o x
由以上分析可见，凡体系的自由度大 于零，则是可以发生运动的，位置是可 以改变的，即都是几何可变体系。
9
3、约束(constraint) 约束，是能减少体系自由度数的装置（又称为联 系）。 凡是减少一个自由度的装置称为一个约束，减 少n个自由度的装置，称为n个约束。 约束的种类: ⑴ 链杆: 一根链杆相当一个约束。
二元体
30
2.4 常变体系与瞬变体系
常变体系
Ⅰ Ⅰ
O
Ⅱ
Ⅱ
a）
b）
瞬变体系(instantaneously unstable system)--原 为几何可变，经微小位移后即转化为几何不变的体 系。 P
A
C
微小位移后，不能继续位移
B
C1
31
瞬变体系的其它几种情况：
.
32
讨 论
B A C B

FP
41
【例】试对如图所示体系进行几何组成分析。 【解】体系中折杆DHG和 FKG可分别看作链杆DG、 FG（图中虚线所示），依 次去掉二元体（DG、FG）、 （EF、CF），对余下部分， 将折杆ADE、杆BE和基础 分别看作刚片，它们通过 不共线的三个铰A、E、B 两两相连，故为无多余约 束的几何不变体系。
(a) 一铰无穷远情况
几何不变体系
不平行
50
平行
几何瞬变体系
51
平 行 等 长
几何常变体系
52
(b) 两铰无穷远情况
四 杆 不 全 平 行
几何不变体系
53
四 杆 全 平 行
几何瞬变体系
54
四 杆 平 行 等 长
几何常变体系
55
三铰无穷远 如何?
瞬变体系
56
[例] 试分析体系的几何构造
I
C
A
FN=FP∕2sinθ
∞
建筑结构只能是几何不变体系
33
2.5 平面体系几何组成分析举例
•
分析的一般要领是：先将能直接观察出的 几何不变部分当作刚片，并尽可能扩大其范围， 这样可简化体系的组成，揭示出分析的重点， 便于运用组成规则考察这些刚片间的联结情况， 作出结论。 下面提出几个组成分析的途径，可视具体 情况灵活运用。
由此可见，只有当体系上没有多余约束 时，计算自由度才等于体系的实际自由度。
22
讨
论
体系W 等于多少？
有 几 个 单 铰？
可变吗？
W=0,体系 是否一定 几何不变呢？
W=3 ×9-(2×12+3)=0
23
例3： 计算 图示 体系 的自 由度
W=0,但 布置不当 几何可变。 上部有多 余约束， 下部缺少 约束。
x 1 Ⅰ y
B
复链杆
A
III 3 2 Ⅱ
o
x
58
（3）复刚结点：
连接n个刚片的复刚结点相当于（n-1）个单 刚结点，将减少3 (n-1 ) 个自由度。
A
复刚结点
59
铰结链杆体系---完全由两端铰 结的杆件所组成的体系
铰结链杆体系 的计算自由度： W=2j-b j--结点数 b--链杆数,含 支座链杆
15
每个刚性联结 能使体系减少 多少个 自由度呢？ s=3
16
4、必要约束与多余约束
一般把体系的自由度减少为零所需要的最少约束 称为必要约束。 在体系上加上一个约束并不能减少原体系的自 由度数，则该约束就是多余约束。也就是说多余约 束对体系的自由度没有影响。
17
5、平面体系的计算自由度
体系的自由度等于其各组成部分相互间没有约 束时总的自由度数减去体系中的必要约束数。 计算自由度W 等于刚片总自由度数减总约束 数。
43
【例】分析如图所示体系的几何构造。 【解】首先，三角形ADE和 AFG是两个无多余约束的 几何不变体系，分别以 Ⅰ和Ⅱ表示。Ⅰ与地基 Ⅲ间的链杆1、2相当于 瞬铰B，Ⅱ与地基Ⅲ间的 链杆3、4相当于铰C。如 A、B、C三个铰不共线， 则体系为无多余约束的 几何不变体系。
44
例
A (Ⅰ,Ⅱ)
Ⅰ
W=3 ×9-(2×12+3)=0
24
例4：计算 图示体系的 自由度
W<0,体系 是否一定 几何不变呢？
上部 具有多 余联系
W=3 ×9-(2×12+4)=-1<0
25
小
W>0,
结
缺少足够联系，体系几何可变。
W=0,
实际约束数等于体系必须的约束 数，但不能判定是否几何不变。
W<0， 体系具有多余联系，但不能判定 体系是否几何不变。
• •
34
几何组成分析思路： 1)当体系中有明显的二元体时，可先依次去掉其上 的二元体，再对余下的部分进行分析。
几何可变体系
35
2) 由一基础刚片开始，逐步增加二元体，扩大刚片 的范围，将体系归结为两个刚片或三个刚片相连，再 用规则判定；
E
F
E
Ⅰ
F
C
D
C Ⅱ
D
A
B
A
B
无多余约束的几何不变体系
36
O O
Ⅰ Ⅰ Ⅰ Ⅰ
虚铰的概念： 虚铰是由不直接相连接的两根链杆构成的。 虚铰的两根链杆的杆轴可以平行、交叉，或延 长线交于一点。 当两个刚片是由有交汇点的虚铰相连时，两个刚片 绕该交点（瞬时中心，简称瞬心）作相对转动。