最小生成树算法及应用
最小生成树聚类算法
最小生成树聚类算法
引言：
聚类是数据分析的重要方法之一，它通过将相似的对象分组来发现数
据集中的隐藏模式和结构。在聚类算法中，最小生成树聚类算法是一种基
于最小生成树（Minimum Spanning Tree，简称MST）的聚类方法。它通
过在数据点之间构建最小生成树来确定聚类结果。本文将详细介绍最小生
成树聚类算法的原理、步骤和应用。
一、最小生成树聚类算法原理
1.将数据集中的每个对象看作一个节点，并计算每对节点之间的相似
度（如欧氏距离、余弦相似度等）。将相似度转化为距离度量，如将相似
度映射到0-1之间的距离。
2.基于节点之间的距离建立完全图，图的节点集为数据集的节点集。
3. 使用最小生成树算法从完全图中生成最小生成树。最小生成树是
指连接图中所有节点，且总权重最小的树。常用的最小生成树算法有
Prim算法和Kruskal算法。
4.对生成的最小生成树进行剪枝操作，将权重较大的边删除，得到聚
类结果。剪枝操作的依据可以是设定的阈值或者根据聚类结果的评估指标
进行评估选择。
二、最小生成树聚类算法步骤
1.输入数据集，将每个对象看作一个节点，并计算节点之间的相似度。
2.将相似度转化为距离度量，建立完全图，节点集为数据集的节点集。
3.使用最小生成树算法生成最小生成树。
4.对生成的最小生成树进行剪枝操作，删除权重较大的边。
5.根据剪枝后的最小生成树，将剩余的边分成若干个子图，每个子图
表示一个聚类簇。
6.输出聚类结果。
三、最小生成树聚类算法应用
1.社交网络分析：对社交网络中的用户进行聚类，可以帮助发现社交
网络中的社区结构和关键用户。
§ 最小生成树 —普里姆算法-V1
§ 最小生成树—普里姆算法-V1
普里姆算法（Prim's algorithm）是最小生成树算法中的一种，用于
解决无向连通加权图的最小生成树问题。该算法首先将一个节点加入
到生成树中，之后每次选择与当前生成树连接的权值最小的边所连接
的节点加入到生成树中，直到所有的节点都加入到生成树中。以下是
普里姆算法的详细步骤：
1.创建一个集合 usedNodes 来存储已经使用的节点以及一个集合unusedNodes 来存储未使用的节点。
2.选择一个起始节点，将其加入 usedNodes 集合中，并将与之直接相
连的边加入到一个集合unusedEdges中。
3.重复以下步骤，直到 unusedNodes 集合为空：
(1)从 unusedEdges 集合中选出一条权值最小的边，并将其加入到usedEdges 集合中。
(2)选出这条边所连接的节点 node，将其加入到 usedNodes 集合中。
(3)从 unusedEdges 集合中删除与这个节点相连的边，如果某条边
的两个端点都已经在 usedNodes 集合中，那么也将这条边删除。
最终，usedEdges 集合中存储的就是最小生成树的边集。该算法的时
间复杂度是 O(mlogn)，其中 m 为边数，n 为节点数。由于该算法每
次只会从 unusedEdges 集合中选出一条边，因此它比 Kruskal 算法
更适用于稠密图。
普里姆算法和 Kruskal 算法是两种常用的最小生成树算法。虽然它们解决同一个问题，但它们的实现原理和具体实现细节上有所不同。因此，在选择最小生成树算法时需要根据具体情况进行选择。
遗传算法 最小生成树
遗传算法最小生成树
遗传算法
什么是遗传算法？
遗传算法（Genetic Algorithm，GA）是一种基于生物进化思想的随机化搜索优化方法。它通过模拟自然界中的进化过程，对问题进行求解。
遗传算法的原理
1.个体编码：将问题转换为染色体编码的形式。
2.初始种群：随机生成初始种群。
3.适应度函数：根据问题定义适应度函数，用来评估每个个体的优劣程度。
4.选择操作：按照适应度大小选择部分个体作为下一代的父代。
5.交叉操作：对父代进行交叉操作，生成新的后代。
6.变异操作：对后代进行变异操作，增加种群多样性。
7.重复执行步骤4-6，直到满足终止条件。
遗传算法的优缺点
优点：
1.全局搜索能力强，可以在大规模搜索空间中找到最优解或次优解；
2.适用范围广泛，可以处理多种类型和形式的问题；
3.具有较好的并行性和可扩展性；
4.易于实现和使用。
缺点：
1.需要大量计算资源和时间；
2.结果不一定是最优解或次优解；
3.对问题的建模需要较高的技能和经验。
最小生成树
什么是最小生成树？
最小生成树（Minimum Spanning Tree，MST）是一种用来解决带权无向图连通性问题的算法。它通过在图中选择一些边，使得这些边组成一个树，并且这个树包含所有节点，并且权值之和最小。
最小生成树的原理
1.首先，将图中所有边按照权值从小到大排序。
2.从第一条边开始，依次遍历每条边：
①如果这条边连接的两个节点不在同一个连通分量中，则将这条边加入最小生成树中；
②如果这条边连接的两个节点已经在同一个连通分量中，则不加入最小生成树中。
3.重复执行步骤2，直到所有节点都被包含在最小生成树中。
计算机网络拓扑生成算法研究
计算机网络拓扑生成算法研究
计算机网络拓扑生成算法是计算机网络设计的关键一环。拓扑结构是指网络中
各个节点之间的连接关系以及节点之间的通信路径。一个良好设计的拓扑结构能够提高网络的可靠性、可用性和性能。因此，研究如何有效地生成适合特定需求的拓扑结构的算法，对于网络的设计和优化具有重要意义。
在计算机网络拓扑生成算法的研究中，有几个关键要素需要考虑，包括网络的
规模、性能要求、可用性要求和拓扑结构的特点。这些要素影响着拓扑生成算法的选择和优化。下面我将介绍一些常见的拓扑生成算法以及它们的应用领域。
1. 随机生成算法
随机生成算法是最简单和最常见的拓扑生成算法之一。它能够快速生成各种规
模和结构的拓扑，但由于随机性的特点，生成的拓扑结构可能缺乏一定的优化。因此，随机生成算法在小型网络或模拟研究中应用较多，而不适用于对网络性能要求较高的实际应用场景。
2. 最小生成树算法
最小生成树算法是一类经典的拓扑生成算法，常用于构建低成本的网络拓扑。
这类算法以一个节点为起点，逐渐建立与其他节点的连接，直到所有的节点都被连接。其中最著名的是Prim算法和Kruskal算法。这些算法生成的拓扑结构具有低
成本和较好的可靠性，因此在大规模网络中被广泛应用。
3. 中心节点生成算法
中心节点生成算法以一个或多个中心节点为基础，逐步扩展网络规模和连接关系。这种算法常用于构建大型分布式网络，其中中心节点负责控制和管理整个网络。例如，星型网络结构就是由一个中心节点连接到其他节点。这种算法在对网络可用性要求较高的场景中应用广泛。
4. 分布式生成算法
最小生成树实际城市建设例题
最小生成树实际城市建设例题
在实际的城市规划和建设中，经常需要考虑如何在城市中建立高效的交通网络，以便居民可以便捷地出行，最小生成树实际城市建设例题：
1. 最小生成树算法可以通过计算城市道路网络的最短路径来确定交通系统的建设方案。这意味着，我们可以通过最小生成树来找到连接城市不同区域的最佳道路，确保居民可以高效地到达目的地。
2. 在城市建设中，最小生成树算法可以帮助决策者选择相对最优的交通线路布局。通过计算不同道路之间的权重（如距离、交通流量等），最小生成树可以找到连接城市不同区域的最短路径，并在最佳位置建设道路。
3. 最小生成树算法还可以帮助决策者优化城市交通网络的设计。通过分析城市道路的拓扑结构，最小生成树可以帮助找到一个连接城市各个地区的最小的道路集合，从而提高交通系统的效率和可持续性。
4. 最小生成树算法在城市建设中可以被用来规划公共交通系统。通过将公交线路视作图中的节点，道路视作图中的边，可以利用最小生成树算法来确定最佳的公交线路布局，以满足居民的出行需求。
5. 最小生成树算法还可以应用于城市供水系统的规划。通过将供水管道网络看作图中的边，不同供水站点看作图中的节点，可以使用最小生成树算法来确定供水系统的建设方案，确保每个区域都能获得足够的水源。
6. 在城市绿化方面，最小生成树算法可以用来规划公园和绿地的布局。通过将不同公园和绿地看作图中的节点，道路连接的路径看作图中的边，最小生成树算法可以帮助确定最佳的公园布局，使得每个居民都能够方便地享受自然环境。
7. 最小生成树算法在城市建设中还可以被用来规划电力系统的布局。通过将不同电源点和用电点看作图中的节点，电力线路看作图中的边，可以使用最小生成树算法来确定最佳的电力线路布局，以确保电力供应的连通性和稳定性。
python最优化算法最小生成树实例
python最优化算法最小生成树实例
最小生成树是图论中的一个重要概念，它在许多实际问题中都有广泛的应用。在这里，我将通过一个具体的实例来介绍最小生成树算法在Python中的应用。
假设有一座城市，城市中有若干个地点需要连接起来。为了降低建设成本，我们需要找到一种最优的方式来连接这些地点，使得总的连接成本最小。这就是最小生成树问题的一个实例。
我们需要将这个问题抽象成一个图的形式。图由若干个节点和连接这些节点的边组成。每个节点代表一个地点，每条边表示连接两个地点的道路，并且每条边还有一个权重，代表连接这两个地点的成本。
我们可以使用Python中的networkx库来表示图，并利用该库中的最小生成树算法来求解最小生成树。首先，我们需要导入networkx 库：
```python
import networkx as nx
```
然后，我们可以通过networkx库提供的方法来创建一个空图：
```python
G = nx.Graph()
```
接下来，我们需要向图中添加节点和边。假设我们有以下地点和道路的信息：
地点：A、B、C、D、E
道路及其成本：
AB：5
AC：3
BC：2
BD：4
BE：6
CD：7
CE：8
DE：9
我们可以通过以下代码来添加节点和边的信息：
```python
G.add_nodes_from(['A', 'B', 'C', 'D', 'E'])
G.add_weighted_edges_from([('A', 'B', 5), ('A', 'C', 3), ('B', 'C', 2), ('B', 'D', 4), ('B', 'E', 6), ('C', 'D', 7), ('C', 'E', 8), ('D', 'E', 9)])
最小生成树的优势和好处
最小生成树的优势和好处
最小生成树是一种用于解决连通图最短路问题的算法。它可以帮助我们找到连接一个连通图中所有点的最小边权总和的子图。最小生成树的优势和好处如下：
1. 算法简单易实现
最小生成树的算法思想简单明了，易于理解和实现。基本上任何人都可以通过几行代码来实现它。这样做使得最小生成树成为了一个非常实用的算法，它被广泛应用于实际生活中各种各样的问题中。
2. 计算效率高
最小生成树算法有很好的计算效率。它可以处理大规模的数据集，而不会因为数据集过大而降低计算速度。这使得我们可以在较短的时间内得到一个最小生成树，从而对一些实际问题提供有效的解决方案。
3. 可以帮助我们优化路线
使用最小生成树算法可以帮助我们优化路线。对于一组给定的点，我们可以先用最小生成树算法找出它们之间最短的路径，然后再根据需要设定一些条件来进一步优化这条路径。这样做可以大大提高我们在实际生活中旅游、交通等方面的效率。
4. 减少成本
最小生成树也可以用于减少成本。它可以帮助我们找到一组连接点的最小边权总和，从而使我们在完成任务时尽可能的节省时间和成本。例如，在通信网络的建设中，使用最小生成树算法可以有效地降低网络建设的成本。
5. 能帮助我们更好地理解图论
最小生成树算法是图论中的重要算法。通过学习最小生成树算法，我们能够更好地理解图论的基础知识和主流算法。这将有助于我们更深入地学习并掌握相关的技术和数据结构。
最小生成树matlab代码
最小生成树matlab代码
在Matlab中，最小生成树可以通过Kruskal算法和Prim算法来实现。本文将分别介绍两种算法的代码实现，并对其进行详细解析。
Kruskal算法
Kruskal算法是基于贪心算法的最小生成树算法。其基本思想是将边按照权值从小到大进行排序，然后逐个加入到树中，直到树连通为止。如果加入一条边使得形成环，则不加入该边。
定义一个函数Kruskal(weight,n)来实现Kruskal算法。参数weight是一个n*n的矩阵，表示图的邻接矩阵；n表示图中节点的个数。该函数的返回值为最小生成树的边集。
function edges=Kruskal(weight,n)
%初始化
[rows,cols,vals]=find(weight);
edge_num=length(rows);%边数
edges=zeros(n-1,2);%初始化，存放最小生成树的边
%边按照权重从小到大排序
[~,idx]=sort(vals);
rows=rows(idx);
cols=cols(idx);
%初始化并查集
par=1:n;
rank=zeros(1,n);
%依次加入边
n_edge=0;%表示已加入的边数
for i=1:edge_num
%如果两个节点已经在同一连通块中，则不能加入当前边
if FindPar(par,rows(i))==FindPar(par,cols(i))
continue;
end
%将当前边加入到最小生成树中
n_edge=n_edge+1;
edges(n_edge,:)=[rows(i),cols(i)];
最小生成树（普里姆算法）
最⼩⽣成树（普⾥姆算法）
：
所谓⽣成树，就是n个点之间连成n-1条边的图形。⽽最⼩⽣成树，就是权值（两点间直线的值）之和的最⼩值。
⾸先，要⽤⼆维数组记录点和权值。如上图所⽰⽆向图：
int map[7][7];
map[1][2]=map[2][1]=4;
map[1][3]=map[3][1]=2;
......
然后再求最⼩⽣成树。具体⽅法是：
1.先选取⼀个点作起始点，然后选择它邻近的权值最⼩的点（如果有多个与其相连的相同最⼩权值的点，随便选取⼀个）。如1作为起点。visited[1]=1;
pos=1;
//⽤low[]数组不断刷新最⼩权值，low[i](0<i<=点数)的值为：i点到邻近点（未被标记）的最⼩距离。
low[1]=0; //起始点i到邻近点的最⼩距离为0
low[2]=map[pos][2]=4;
low[3]=map[pos][3]=2;
low[4]==map[pos][4]=3;
low[5]=map[pos][5]=MaxInt; //⽆法直达
low[6]=map[pos][6]=MaxInt;
2.再在伸延的点找与它邻近的两者权值最⼩的点。
//low[]以3作当前位置进⾏更新
visited[3]=1;
pos=3;
low[1]=0; //已标记，不更新
low[2]=map[1][2]=4; //⽐5⼩，不更新
low[3]=2; //已标记，不更新
low[4]=map[1][4]=3; //⽐1⼤，更新后为：low[4]=map[3][4]=1;
low[5]=map[1][5]=MaxInt;//⽆法直达，不更新
最小生成树
生成树是一个连通图G的一个极小连通子 图。包含G的所有n个顶点，但只有n-1条 边，并且是Βιβλιοθήκη Baidu通的。
当生成树中所包含的边的权值和最小， 我们称之为最小生成树。
最小生成树性质
最小生成树的边数必然是顶点数减一，|E| = |V| - 1。 最小生成树不可以有循环。 最小生成树不必是唯一的。
15
应用举例——最小生成树
Prim算法 34 A 46 19 F B 12 26 25 E 38 U={A, F, C} V-U={B, D, E}
25
C
cost={(A, B)34, (C, D)17, (F, E)26} cost'={(A, B)34,(F, C)25, (F, D)25,(F, E)26}
Prim算法——伪代码
1. 将顶点0加入集合U中； 2. 初始化辅助数组shortEdge，分别为lowcost和adjvex赋值； 3. 重复执行下列操作n-1次 3.1 在shortEdge中选取最短边，取其对应的下标k； 3.2 输出边(k, shortEdge[k].adjvex)和对应的权值； 3.3 将顶点k加入集合U中； 3.4 调整数组shortEdge；
Prim 算法过程
8 4 a 8 h 1 g 2 f b 2 i 7 6 10 c 7
d
9 e
计算机区域划分算法
计算机区域划分算法
全文共四篇示例，供读者参考
第一篇示例：
计算机区域划分算法是一种用于划分给定区域的算法，通常用于解决图像处理、计算几何、机器学习等领域的问题。区域划分算法的目标是将一个给定的区域划分为若干个子区域，每个子区域具有一定的特征或属性。在实际应用中，区域划分算法可以帮助我们理解、分析和处理复杂的数据集，从而提取有用的信息。本文将介绍几种常见的计算机区域划分算法，并探讨它们的优缺点和应用场景。
一、基于图论的区域划分算法
图论是研究图结构的数学理论，在区域划分算法中得到了广泛应用。基于图论的区域划分算法通常将给定区域表示为一个图，图中的节点表示区域中的像素或数据点，边表示节点之间的联系。常见的基于图论的区域划分算法包括最小生成树算法、最短路径算法和社区发现算法等。
1. 最小生成树算法
最小生成树算法是一种用于在带权图中找到一棵包含所有顶点的生成树的算法。在区域划分中，最小生成树算法可以帮助我们找到最优的区域划分方案，使得每个子区域内的像素或数据点之间的联系尽
可能强。最小生成树算法的基本思想是从一个初始节点开始，逐步添加与已有节点相连的最小权重边，直到包含所有节点为止。
最小生成树算法的优点是简单易懂，时间复杂度低，适用于处理规模较小的数据集。最小生成树算法可能会受到噪声数据的影响，导致划分结果不稳定。
2. 最短路径算法
最短路径算法是一种用于在带权图中找到两个节点之间的最短路径的算法。在区域划分中，最短路径算法可以帮助我们找到区域内任意两个像素或数据点之间的最短距离，从而帮助我们对区域进行更精细的划分。
数据结构之最小生成树Prim算法
数据结构之最⼩⽣成树Prim算法
普⾥姆算法介绍
普⾥姆（Prim）算法，是⽤来求加权连通图的最⼩⽣成树算法
基本思想：对于图G⽽⾔，V是所有顶点的集合；现在，设置两个新的集合U和T，其中U⽤于存放G的最⼩⽣成树中的顶点，T存放G的最⼩⽣成树中的边。从所有uЄU，vЄ(V-U) (V-U表⽰出去U的所有顶点)的边中选取权值最⼩的边(u, v)，将顶点v加⼊集合U中，将边(u, v)加⼊集合T中，如此不断重复，直到U=V为⽌，最⼩⽣成树构造完毕，这时集合T中包含了最⼩⽣成树中的所有边。
代码实现
1. 思想逻辑
（1）以⽆向图的某个顶点（A）出发，计算所有点到该点的权重值，若⽆连接取最⼤权重值#define INF (~(0x1<<31))
（2）找到与该顶点最⼩权重值的顶点（B），再以B为顶点计算所有点到改点的权重值，依次更新之前的权重值，注意权重值为0或⼩于当前权重值的不更新，因为1是⼀当找到最⼩权重值的顶点时，将权重值设为了0，2是会出现⽆连接的情况。
（3）将上述过程⼀次循环，并得到最⼩⽣成树。
2. Prim算法
// Prim最⼩⽣成树
void Prim(int nStart)
{
int i = 0;
int nIndex=0; // prim最⼩树的索引，即prims数组的索引
char cPrims[MAX]; // prim最⼩树的结果数组
int weights[MAX]; // 顶点间边的权值
cPrims[nIndex++] = m_mVexs[nStart].data;
最小生成树的方法
最小生成树的方法
最小生成树（Minimum Spanning Tree）是指在一个带权无向连通图中，找到一个包含所有顶点且总权值最小的树。常用的方法有以下几种：
1. Prim算法（普里姆算法）：从一个起始顶点开始，逐步扩展生成树，每次选择一个与当前生成树距离最小的顶点加入，直到所有顶点都被包含在生成树中。
2. Kruskal算法（克鲁斯卡尔算法）：首先将图的所有边按照权值从小到大排序，然后依次选择权值最小的边加入生成树中，但要保证加入边后不会形成环，直到生成树中包含所有顶点，或者图中的所有边都被考虑过。
3. Boruvka算法（博鲁卡尔算法）：将图的所有顶点分成多个不相交的集合，每个集合中的顶点组成一棵生成树，然后每次选择具有最小权值且连接两个不同集合的边加入生成树中，直到只剩下一个集合。
4. Jarnik算法（加尔尼克算法）：也称为更改版的Prim算法，首先选择一个起始顶点加入生成树中，然后通过比较当前生成树中的顶点到其他顶点的距离，选择一个距离最小的顶点加入生成树，重复该过程直到所有顶点都被包含在生成树中。
这些方法都可以得到最小生成树，但在某些情况下，它们的效率和性能可能会不同。选择合适的方法取决于具体的应用场景和图的特征。
最小生成树
就是并查集的思想。 就是并查集的思想。
最小生成树算法及应用
——Kruskal算法的实现 Kruskal算法的实现 Kruskal
① 将图的存储结构转换成边集数组表示的形式elist，并按照权值从小到大排好序； 将图的存储结构转换成边集数组表示的形式elist，并按照权值从小到大排好序； elist 设数组C[ ..n 用来存储最小生成树的所有边，C[i]是第 次选取的可行边在排好序的elist中的下标； C[1 是第i elist中的下标 ② 设数组C[1..n-1]用来存储最小生成树的所有边，C[i]是第i次选取的可行边在排好序的elist中的下标； 设一个数组S[1..n] S[i]都是集合 初始时S[i]= S[1..n]， 都是集合， ]。 ③ 设一个数组S[1..n]，S[i]都是集合，初始时S[i]= [ i ]。 获取的第i条最小生成树的边} i:=1；{获取的第i条最小生成树的边} 边集数组的下标} j:=1；{边集数组的下标} i<=nWhile i<=n-1 Do Begin 取出第j条边，记下两个顶点分属的集合序号} For k:=1 To n Do Begin {取出第j条边，记下两个顶点分属的集合序号} elist[j]. =k； If elist[j].fromv in s[k] Then m1:=k； elist[j]. =k； If elist[j].endv in s[k] Then m2:=k； End； End； <>m2 找到的elist 条边满足条件，作为第i条边保留} elist第 If m1<>m2 Then Begin {找到的elist第j条边满足条件，作为第i条边保留} C[i]:=j； =i+1 C[i]:=j；i:=i+1； s[m1 =s[m1]+s[m2 合并两个集合} s[m1]:=s[m1]+s[m2]；{合并两个集合} s[m2 另一集合置空} s[m2]:=[ ]； {另一集合置空} End； End； =j+1 取下条边，继续判断} j:=j+1； {取下条边，继续判断} End； End； 输出最小生成树的各边： ④ 输出最小生成树的各边：elist[C[i]]
最小生成树应用场合
最小生成树算法
1.网络布局问题：在一个连通加权无向图中，最小生成树算法可以帮助找到一个包含所有顶点的最小权重树，从而在地图上实现有效的布局。
2.地图着色问题：在地图着色问题中，最小生成树算法可以用于优化颜色分配，使得相邻区域的颜色不同，同时最小化所需的颜色数量。
3.车辆路径优化问题：在物流和运输行业中，最小生成树算法可以用于优化车辆的行驶路径，使得车辆能够更高效地完成配送任务，降低运输成本。
4.通信网络设计：在通信网络设计中，最小生成树算法可以用于构建高效的数据传输网络，使得数据能够在不同的节点之间快速传输。
5.电力系统设计：在电力系统的设计中，最小生成树算法可以用于构建高效的输电网络，使得电能能够从发电厂传输到各个用户。
请注意，这些应用场景中都需要用到最小生成树算法来寻找最优解。
普里姆算法最小生成树例题
普里姆算法最小生成树例题含解答
普里姆算法（Prim's Algorithm）是一种用于求解无向图的最小生成树（Minimum Spanning Tree，MST）的算法。最小生成树是一个包含图中所有顶点的树，且树的边权值之和最小。
下面是一个示例图，我们将使用Prim's算法找到其最小生成树：
```
图：
2 3
A --------- B
| \ |
1| \5 |4
| \ |
C --------- D
6
```
对应的邻接矩阵：
```
A B C D
A [0, 2, 1, 0]
B [2, 0, 5, 3]
C [1, 5, 0, 6]
D [0, 3, 6, 0]
```
假设我们从顶点A开始，下面是Prim's算法的执行步骤：
1. 初始化：
-选择任意起始顶点，这里选择A。
-将A标记为已访问。
-初始化一个最小堆（优先队列），用于存储候选边。
2. 找到最小权值的边：
-将A相邻的边（AB、AC）加入最小堆。
3. 选择最小边：
-从最小堆中选择权值最小的边，这里是AB（权值为2）。
-将B标记为已访问。
-将与B相邻的边（BD、BC）加入最小堆。
4. 重复步骤3：
-从最小堆中选择权值最小的边，这里是BC（权值为3）。
-将C标记为已访问。
-将与C相邻的边（CA、CD）加入最小堆。
5. 继续重复：
-从最小堆中选择权值最小的边，这里是CA（权值为1）。
-将A标记为已访问。
-将与A相邻的边（AB、AC）加入最小堆。
6. 重复步骤3和5：
-从最小堆中选择权值最小的边，这里是AC（权值为1）。
-将C标记为已访问。
-将与C相邻的边（CA、CD）加入最小堆。
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function cp(p1，p2，p：TPoint)：integer； { 计算矢量PP1*PP2 } var v：longint； begin v：=(p1.x-p.x)*(p2.y-p.y)-(p1.y-p.y)*(p2.x-p.x)； if v=0 then cp：=0 else if v>0 then cp：=1 else cp：=-1； end；{cp} function dist(a，b：integer)：longint；{ 计算第a条机器蛇和第b条机器蛇间 的距离，若ab之间有屏蔽，则距离设为无穷大 } var i：integer； begin dist：=oo； for i：=1 to m do { 如果a到b穿过第i个屏蔽，则返回无穷大 } if (cp(w1[i]，w2[i]，s[a])*cp(w1[i]，w2[i]，s[b])=-1) and (cp(s[a]，s[b]，w1[i])*cp(s[a]，s[b]，w2[i])=-1) then exit； dist：=sqr(s[a].x-s[b].x)+sqr(s[a].y-s[b].y)； end；{ dist }
最小生成树算法及应用
[举例] 下面的图（A）表示一个5个城市的地图，图（B）、（C）是对图（A）分别进 行深度优先遍历和广度优先遍历得到的一棵生成树，其权和分别为20和33，前者比 后者好一些，但并不是最小生成树，最小生成树的权和为19。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
[问题分析] 出发点：具有n个顶点的带权连通图，其对应的生成树有n-1条边！ 那么选哪n-1条边呢？ 设图G的度为n，G=（V，E） 我们介绍两种基于贪心的算法，Prim算法和Kruskal算法。
对于不连通的无向图和不是强连通的有向图，若有根或者从根外的任意顶点 出发，调用一次bfs或dfs后，一般不能系统地访问所有顶点，而只能得到以出发 点为根的连通分支（或强连通分支）的生成树。要访问其它顶点，还需要从没有 访问过的顶点中找一个顶点作为起始点，再次调用bfs或dfs，这样得到的是生成 森林。
最小生成树算法及应用
一、生成树的概念 若图是连通的无向图或强连通的有向图，则从图中任意一个顶点出发调用一 次bfs或dfs后，便可以系统地访问图中所有顶点；若图是有根的有向图，则从根 出发通过调用一次dfs或bfs，亦可系统地访问所有顶点。在这种情况下，图中所 有顶点加上遍历过程中经过的边所构成的子图，称为原图的生成树。
最小生成树算法及应用
例1、城市公交网 [问题描述] 有一张城市地图，图中的顶点为城市，无向边代表两个城市间的连通关系， 边上的权为在这两个城市之间修建高速公路的造价，研究后发现，这个地图有一 个特点，即任一对城市都是连通的。现在的问题是，要修建若干高速公路把所有 城市联系起来，问如何设计可使得工程的总造价最少。 [输入] n（城市数，1<=n<=100）； e（边数）； 以下e行，每行3个数i,j,wij，表示在城市i,j之间修建高速公路的造价。 [输出] n-1行，每行为两个城市的序号，表明这两个城市间建一条高速公路。
题目中要求信息可以在任意两条机器蛇间传递、通讯网 络的总长度要尽可能的短，显然这是一个求图的最小生 成树问题。这道题在构造图的过程中还涉及到一点计算 几何的知识。 1、判断线段相交 两条线段AB、CD，相交的充要条件是：A、B在直线CD 的异侧且C、D在直线AB的异侧。也就是说从AC到AD的 方向与从BC到BD的方向不同，从CA到CB的方向也与从 DA到DB的方向不同。
如何证明呢？
最小生成树算法及应用
Kruskal算法在实现过程中的关键和难点在于：如何判断欲加入的一条边 是否与生成树中已保留的边形成回路？ 我们可以将顶点划分到不同的集合中，每个集合中的顶点表示一个无回 路的连通分量，很明显算法开始时，把所有n个顶点划分到n个集合中，每个 集合只有一个顶点，表明顶点之间互不相通。当选取一条边时，若它的两个 顶点分属于不同的集合，则表明此边连通了两个不同的连通分量，因每个连 通分量无回路，所以连通后得到的连通分量仍不会产生回路，因此这条边应 该保留，且把它们作为一个连通分量，即把它的两个顶点所在集合合并成一 个集合。如果选取的一条边的两个顶点属于同一个集合，则此边应该舍弃， 因为同一个集合中的顶点是连通无回路的，若再加入一条边则必然产生回路。
都是基于贪心算法
时间复杂度均为O（n*n）
当然，如果将任意两台计算机都用数据线连接，费用将是相当庞大的。为了节省费用，我们采用数据 的间接传输手段，即一台计算机可以间接的通过若干台计算机（作为中转）来实现与另一台计算机的连接。
现在由你负责连接这些计算机，你的任务是使任意两台计算机都连通（不管是直接的或间接的）。 [输入格式] 输入文件第一行为整数n（2<=n<=100），表示计算机的数目。此后的n行，每行n个整数。 第x+1行y列的整数表示直接连接第x台计算机和第y台计算机的费用。 [输出格式] 输出文件只有一个整数，表示最小的连接费用。 [样例输入] 3 0 1 2 1 0 1 2 1 0 [样例输出] 2（注：表示连接1和2，2和3，费用为2）
由此可以看出，一个图的生成树是不唯一的，不同的搜索方法可以得到不同 的生成树，即使是同一种搜索方法，出发点不同亦可导致不同的生成树。 可以证明：具有n个顶点的带权连通图，其对应的生成树有n-1条边。
最小生成树算法及应用
最小生成树算法及应用
二、求图的最小生成树算法 严格来说，如果图G=（V，E）是一个连通的无向图，则把它的全部顶点V和 一部分边E’构成一个子图G’，即G’=（V， E’），且边集E’能将图中所有顶点连通 又不形成回路，则称子图G’是图G的一棵生成树。 对于带权连通图，生成树的权即为生成树中所有边上的权值总和，权值最 小的生成树，称为图的最小生成树。 求图的最小生成树具有很高的实际应用价值，比如下面的这个例题。
就是并查集的思想。
最小生成树算法及应用
——Kruskal算法的实现
① 将图的存储结构转换成边集数组表示的形式elist，并按照权值从小到大排好序； ② 设数组C[1..n-1]用来存储最小生成树的所有边，C[i]是第i次选取的可行边在排好序的elist中的下标； ③ 设一个数组S[1..n]，S[i]都是集合，初始时S[i]= [ i ]。 i:=1；{获取的第i条最小生成树的边} j:=1；{边集数组的下标} While i<=n-1 Do Begin For k:=1 To n Do Begin {取出第j条边，记下两个顶点分属的集合序号} If elist[j].fromv in s[k] Then m1:=k； If elist[j].endv in s[k] Then m2:=k； End； If m1<>m2 Then Begin {找到的elist第j条边满足条件，作为第i条边保留} C[i]:=j；i:=i+1； s[m1]:=s[m1]+s[m2]；{合并两个集合} s[m2]:=[ ]； {另一集合置空} End； j:=j+1； {取下条边，继续判断} End； ④ 输出最小生成树的各边：elist[C[i]]
最小生成树算法及应用
1、用Prim算法求最小生成树的思想如下： ①设置一个顶点的集合S和一个边的集合TE，S和TE的初始状态均为空集； ②选定图中的一个顶点K，从K开始生成最小生成树，将K加入到集合S； ③重复下列操作，直到选取了n-1条边： 选取一条权值最小的边（X，Y），其中X∈S，not (Y∈S)； 将顶点Y加入集合S，边（X，Y）加入集合TE； ④得到最小生成树T =（S，TE） 。
算法分析
2、套用最小生成树的经典算法求解
以机器蛇为顶点，以不受屏蔽的通信线路为边构建图，就可以直 接套用最小生成树的经典算法求解。由于几乎每两条机器蛇间都 会有一条边，因此应选用Prim算法。
设
const maxn=200 ； oo=2000000000；{ 机器蛇数的上限和无穷大} type TPoint=record {坐标} x，y：longint； end； var s，w1，w2：array[1..maxn] of TPoint； { 机器蛇的坐标和屏蔽线的坐标 } n，m，i，j，k：integer； ba：array[1..maxn] of boolean； { 机器蛇的访问标志} d：array[1..maxn] of longint； {d[i]以机器蛇i为头的最短边长} min：longint； ans：double；
【输入】 输入数据的第一行是一个整数n（n≤200）表示参战的 机器蛇总数。 以下n行，每行两个整数xi，yi，为第i支机器蛇的战斗 位置。 接下来一行是一个整数m（m≤100）表示航母内部可能 产生屏蔽的位置。 最后m行，每行四个整数ai，bi，ci，di，表示线段(ai， bi)-(ci，di)处可能有屏蔽，也就是说通讯网络不能跨越 这条线段。 【输出】 输出数据应仅包括一个实数，表示建立的通讯网的最短 长度，保留3位小数。 如果不能成功建立通讯网，请输出-1.000。
机器蛇
在未来的某次战争中，我军计划了一次军事行动， 目的是劫持敌人的航母。由于这个计划高度保密，你只 知道你所负责的一部分：机器蛇的通信网络。计划中要 将数百条机器蛇投放到航母的各个角落里。由于航母内 部舱室、管线错综复杂，且大部分由金属构成，因此屏 蔽效应十分强烈，况且还要考虑敌人的大强度电子干扰， 如何保持机器蛇间的联系，成了一大难题。每条机器蛇 的战斗位置由作战计划部门制定，将会及时通知你。每 条机器蛇上都带有接收、发射系统，可以同时与多条机 器蛇通讯。由于整个系统承载的数据量庞大，需要一个 固定的通讯网络。情报部门提供了极其详尽的敌方航母 图纸，使你对什么地方有屏蔽了如指掌。 请你设计一个程序，根据以上信息构造通讯网络， 要求信息可以在任意两条机器蛇间传递，同时为了避免 干扰，通讯网络的总长度要尽可能的短。
最小生成树算法及应用
二、求图的最小生成树算法小结 Prim算法和Kruskal算法 三、应用举例
例2、最优布线问题（wire.???） 学校有n台计算机，为了方便数据传输，现要将它们用数据线连接起来。两台计算机被连接是指它们时 间有数据线连接。由于计算机所处的位置不同，因此不同的两台计算机的连接费用往往是不同的。
最小生成树算法及应用
2、用Kruskal算法求最小生成树的思想如下： 设最小生成树为T=（V，TE），设置边的集合TE的初始状态为空集。将图G中的 边按权值从小到大排好序，然后从小的开始依次选取，若选取的边使生成树T不形 成回路，则把它并入TE中，保留作为T的一条边；若选取的边使生成树形成回路， 则将其舍弃；如此进行下去，直到TE中包含n-1条边为止。最后的T即为最小生成树。
如何证明Prim算法的正确性呢？提示：用反证法。
因为操作是沿着边进行的，所以数据结构宜采用边集数组表示法。
最小生成树算法及应用
① 从文件中读入图的邻接矩阵g； ——Prim算法的实现 ② 边集数组elist初始化； For i:=1 To n-1 Do Begin elist[i].fromv:=1；elist[i].endv:=i+1；elist[i].weight:=g[1,i+1]； End； ③ 求出最小生成树的n-1条边； For k:=1 To n-1 Do Begin min:=maxint；m:=k； For j:=k To n-1 Do {查找权值最小的一条边} If elist[j].weight<min Then Begin min:=elist[j].weight；m:=j；End； If m<>k Then Begin t:=elist[k]；elist[k]:=elist[m]；elist[m]:=t；End； {把权值最小的边调到第k个单元} j:=elist[k].endv； {j为新加入的顶点} For i:=k+1 To n-1 Do {修改未加入的边集} Begin s:=elist[i].endv； w:=g[j,s]； If w<elist[i].weight Then Begin elist[i].weight:=w；elist[i].fromv:=j；End； End； End； ④ 输出；