2004年普通高等学校招生全国统一考试数学(江苏)卷

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2004年普通高等学校招生江苏卷数学试题

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的

1.设集合P={1，2，3，4}，Q={R x x x ∈≤,2}，则P ∩Q 等于 ( ) (A){1，2} (B) {3，4} (C) {1} (D) {-2，-1，0，1，2}

2.函数y=2cos 2x+1(x ∈R )的最小正周期为 ( ) (A)

2

π

(B)π (C)π2 (D)π4 3.从4名男生和3名女生中选出4人参加某个座谈会，若这4人中必须既有男生又有女生，则不同的选法共有 ( ) (A)140种 (B)120种 (C)35种 (D)34种

4.一平面截一球得到直径是6cm 的圆面，球心到这个平面的距离是4cm ，则该球的体积是

( )

(A)

33π100cm (B) 33π208cm (C) 3

3

π500cm (D)

33π3416cm 5.若双曲线1822

2=-b

y x 的一条准线与抛物线x y 82=的准线重合，则双曲线离心率为

( )

(A)2 (B)22 (C) 4 (D)24 6.某校为了了解学生的课外阅读情况，随机调查了50名学生，得到他们在某一天各自课外阅读所用时间的数据，结果用右侧的条形图表示. 根据条形图可得这50名学生这一天平均每人的课外阅读时间为 ( ) (A)0.6小时 (B)0.9小时 (C)1.0小时 (D)1.5小时

7.4)2(x x +的展开式中x 3的系数是 ( ) (A)6 (B)12 (C)24 (D)48

8.若函数)1,0)((log ≠>+=a a b x y a 的图象过两点(-1，0)和(0，1)，则 ( ) (A)a=2,b=2 (B)a= 2 ,b=2 (C)a=2,b=1 (D)a= 2 ,b= 2

9.将一颗质地均匀的骰子（它是一种各面上分别标有点数1，2，3，4，5，6的正方体玩具）先后抛掷3次，至少出现一次6点向上和概率是 ( ) (A)5216 (B)25216 (C)31216 (D)91216

10.函数13)(3+-=x x x f 在闭区间[-3，0]上的最大值、最小值分别是 ( ) (A)1，-1 (B)1，-17 (C)3，-17 (D)9，-19

11.设k>1，f(x)=k(x-1)(x ∈R ) . 在平面直角坐标系xOy 中，函数y=f(x)的图象与x 轴交于A 点，它的反函数y=f -

1(x)的图象与y 轴交于B 点，并且这两个函数的图象交于P 点. 已知

四边形OAPB 的面积是3，则k 等于 ( ) (A)3 (B)32 (C)43 (D)65

12.设函数)(1)(R x x

x

x f ∈+-

=，区间M=[a ，b](a

则不等式ax 2+bx+c>0的解集是_______________________.

14.以点(1，2)为圆心，与直线4x+3y-35=0相切的圆的方程是________________.

15.设数列{a n }的前n 项和为S n ，S n =2

)

13(1-n a (对于所有n ≥1)，且a 4=54，则a 1的数值是

_______________________.

16.平面向量,中，已知=(4，-3)=1，且⋅=5，则向量=__________. 三、解答题：本大题共6小题，共74分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤

17（本小题满分12分）.已知0<α<2π，tan 2α+cot 2α=25，求sin(3

π

α-)的值.

18.（本小题满分12分）在棱长为4的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，O 是正方形A 1B 1C 1D 1的中心，点P 在棱CC 1上，且CC 1=4CP.

(Ⅰ)求直线AP 与平面BCC 1B 1所成的角的大小（结果用反三角函数值表示）； (Ⅱ)设O 点在平面D 1AP 上的射影是H ，求证：D 1H ⊥AP ； (Ⅲ)求点P 到平面ABD 1的距离.

19.（本小题满分12分）制定投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损.

某投资人打算投资甲、乙两个项目. 根据预测，甲、乙项目可能的最大盈利率分别为100﹪和50﹪，可能的最大亏损分别为30﹪和10﹪. 投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元. 问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元，才能使可能的盈利最大？

20.（本小题满分12分）设无穷等差数列{a n }的前n 项和为S n . (Ⅰ)若首项=1a 3

2

，公差1=d ，求满足2)(2k k S S =的正整数k ；

(Ⅱ)求所有的无穷等差数列{a n }，使得对于一切正整数k 都有2)(2k k S S =成立.

· B 1

P A

C

D

A 1

C 1

D 1

B

O H

·

21.（本小题满分12分）已知椭圆的中心在原点，离心率为1

2 ，一个焦点是F （-m,0）(m 是

大于0的常数). (Ⅰ)求椭圆的方程；

(Ⅱ)设Q 是椭圆上的一点，且过点F 、Q 的直线l 与y 轴交于点M. =，求直

线l 的斜率.

22.（本小题满分14分）已知函数))((R x x f ∈满足下列条件：对任意的实数x 1，x 2都有 )]()()[()(λ2121221x f x f x x x x --≤-和2121)()(x x x f x f -≤-，其中λ是大于0的常数.设实数a 0，a ，b 满足 0)(0=a f 和)(λa f a b -=

(Ⅰ)证明1λ≤，并且不存在00a b ≠，使得0)(0=b f ； (Ⅱ)证明20220))(λ1()(a a a b --≤-； (Ⅲ)证明222)]()[λ1()]([a f b f -≤.