2016年高考数学试卷(全国1)(理科)----
2016全国1高考数学(理)真题及答案解析精编版
2016年普通高等学校招生全国统一考试理科数学及答案注意事项:1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷1至3页,第Ⅱ卷3至5页.2.答题前,考生务必将自己的、准考证号填写在本试题相应的位置.3.全部答案在答题卡上完成,答在本试题上无效.4.考试结束后,将本试题和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一. 选择题:本大题共12小题,每题5分,在每题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.〔1〕设集合2{|430}A x x x =-+<,{|230}B x x =->,则A B = 〔A 〕3(3,)2--〔B 〕3(3,)2-〔C 〕3(1,)2〔D 〕3(,3)2〔2〕设(1i)1i x y +=+,其中x ,y 是实数,则i =x y +〔A 〕1〔B 〔C D 〕2〔3〕已知等差数列{}n a 前9项的和为27,10=8a ,则100=a 〔A 〕100〔B 〕99〔C 〕98〔D 〕97〔4〕某公司的班车在7:00,8:00,8:30发车,小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车,且到达发车站的时刻是随机的,则他等车时间不超过10分钟的概率是〔A 〕〔B 〕〔C 〕〔D 〕〔5〕已知方程–=1表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为4,则n 的取值范围是〔A 〕(–1,3) 〔B 〕(–1,3) 〔C 〕(0,3) 〔D 〕(0,3)〔6〕如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.假设该几何体的体积是,则它的外表积是 〔A 〕17π〔B 〕18π〔C 〕20π〔D 〕28π 〔7〕函数y =2x 2–e |x |在[–2,2]的图像大致为〔A 〕〔B 〕〔C 〕〔D 〕〔8〕假设101a b c >><<,,则〔A 〕c c a b <〔B 〕c c ab ba <〔C 〕log log b a a c b c <〔D 〕log log a b c c <〔9〕执行右面的程序图,如果输入的011x y n ===,,,则输出x ,y 的值满足〔A 〕2y x =〔B 〕3y x =〔C 〕4y x =〔D 〕5y x =(10)以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A 、B 两点,交C 的标准线于D 、E 两点.已知|AB |=|DE|=C 的焦点到准线的距离为 (A)2 (B)4 (C)6 (D)8(11)平面a 过正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的顶点A ,a //平面CB 1D 1,a ⋂平面ABCD =m ,a ⋂平面ABA 1B 1=n ,则m 、n 所成角的正弦值为B )213()sin()(0),24f x x+x ππωϕωϕ=>≤=-,为()f x 的零点,4x π=为()y f x =图像的对称轴,且()f x 在51836ππ⎛⎫⎪⎝⎭,单调,则ω的最大值为〔A 〕11 〔B 〕9 〔C 〕7 〔D 〕5第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题~第(21)题为必考题,每个试题考生都必须作答.第(22)题~第(24)题为选考题,考生根据要求作答.二、填空题:本大题共3小题,每题5分(13)设向量a =(m ,1),b =(1,2),且|a +b |2=|a |2+|b |2,则m =. (14)5(2x 的展开式中,x 3的系数是.〔用数字填写答案〕 〔15〕设等比数列满足a 1+a 3=10,a 2+a 4=5,则a 1a 2…a n 的最大值为。
2016年高考理科数学全国1卷Word版(含详细答案)
(13)设向量a ,b ,且 a b a b ,则 .
(14) 的展开式中, 的系数是.(用数字填写答案)
(15)设等比数列 满足 , ,则 的最大值为.
(16)某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品A需要甲材料,乙材料1kg,用5个工时;生产一件产品B需要甲材料,乙材料,用3个工时.生产一件产品A的利润为2100元,生产一件产品B的利润为900元.该企业现有甲材料150kg,乙材料90kg,则在不超过600个工时的条件下,生产产品A、产品B的利润之和的最大值为元.
(A)2(B)4(C)6(D)8
(11)平面 过正方体 的顶点 , 平面 , 平面
, 平面 ,则 所成角的正弦值为
(A) (B) (C) (D)
(12)已知函数 , 为 的零点, 为
图像的对称轴,且 在 单调,则 的最大值为
(A)11(B)9(C)7(D)5
第II卷
本卷包括必考题和选考题两部分。第(13)题~第(21)题为必考题,每个试题考生都必须作答。第(22)题~第(24)题为选考题,考生根据要求作答。
(4)某公司的班车在 , , 发车,小明在 至 之间到达发车站乘
坐班车,且到达发车站的时候是随机的,则他等车时间不超过10分钟的概率是
(A) (B) (C) (D)
(5)已知方程 表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为 ,则 的
取值范围是
(A) (B) (C) (D)
(6)如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中
根据几何概型,所求概率 .
故选B.
5. 表示双曲线,则
∴
由双曲线性质知: ,其中 是半焦距
2016年高考理科数学试题全国卷1及解析word完美版
2016年普通高等学校招生全国统一考试理科数学一、选择题:本大题共 12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1、设集合 A={X |X 2T X +3<0}, B={x|2x £>0},则 A A B=()3D . (2,3) )D . 2】】更换的易损專件對D 、E 两点.已知 |AB|=4 . 2, |DE|=2 5,则 C 的焦点到准线的距离为() A . 2 B . 4 C. 6 D . 811、平面a 过正方体 ABCDS 1B 1C 1D 1的顶点 A , a//平面CB1D 1, a A 平面 ABCD=m, a A 平面 ABB 1A 1= n ,贝U m 、n 所 成角的正弦值为() .3 ,2A . ~B . 2n n n n 5 n12、 已知函数f(x)=sin( 3X+$)(3>0, |创 勺,x= p 为f(x)的零点,x=4为y=f(x)图像的对称轴,且f(x)在聒品)单调, 则3的最大值为() A . 11 B. 9 C. 7D. 5二、 填空题:本大题共 4小题,每小题5分13、 _____________________________________________________________________ 设向量 a=(m,1), b=(1,2),且 |a+b|2=|a| 2+| b|2,贝V m= ______________________________________________________ .3A . (3~2) 2、 设(1+i )x=1+yi ,33B . (£,2)C.(1,2)其中x , y 是实数,则|x+yi|=(B . ,'2C . ‘33、 已知等差数列{a n }前9项的和为27, a 10=8,贝U a 100=() A .100 B . 994、 某公司的班车在 7:00, 8:00,是随机的,1A . 3 C . 98 D . 97 8:30发车,小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车,且到达发车站的时刻10分钟的概率是() 2 3 C. 3 D . 4 5、已知方程 则他等车时间不超过 1 B . 2 y 2—=1表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为 4,则n 的取值范围是() B . (-1^3)C. (0,3) D . (0,迈)2m 2+n 3m 2-n A . (-1,3)6、 如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径. 它的表面积是() A . 17 nB . 18 nC. 20 n7、 函数y=2x 2-e |x|在[-,2]的图像大致为(28 n 口 r若该几何体的体积是"y ,则1.L■Z-n J7a)B . ab c <ba c C. alog b c<blog a cx=0, y=1, n=1,则输出 D . x , y 的值满足()Iog a c<log b c D . 28 nA .8、 若 a>b>1, 0<c<1,则( A . a c <b c9、 执行下左1图的程序图,如果输入的B. C.D .40 2014、(2x+&)5的展开式中,x3的系数是____________ (用数字填写答案).15、设等比数列满足{a n}满足a1+a3=10, a2+a4=5,贝U a1a2・・・an的最大值为_______ .16、某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品A需要甲材料1.5kg,乙材料1kg,用5个工时;生产一件产品B需要甲材料0.5kg,乙材料0.3kg,用3个工时,生产一件产品A的利润为2100元, 生产一件产品B的利润为900元.该企业现有甲材料150kg,乙材料90kg,则在不超过600个工时的条件下,生产产品A、产品B 的利润之和的最大值为______________________________ 元.三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.(必考题)17、(本题满分为12分)△ ABC的内角A, B, C的对边分别别为a, b, c,已知2cosC(acosB+bcosA)=c(1) 求c;⑵若c= 7, △ ABC的面积为求△ ABC的周长.18、(本题满分为12分)如上左2图,在已A, B, C, D, E, F为顶点的五面体中,面ABEF为正方形,AF=2FD, /AFD=90 ,°且二面角D-KF-E 与二面角C-BE-F 都是60 °(1) 证明;平面ABEF丄平面EFDC;(2) 求二面角E-BC-K的余弦值.19、(本小题满分12 分)某公司计划购买2 台机器,该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件,在购进机器时,可以额外购买这种零件作为备件,每个200 元.在机器使用期间,如果备件不足再购买,则每个500 元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件,为此搜集并整理了100 台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数,得如上左3图柱状图.以这100 台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率,记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数,n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数.(1) 求X的分布列;(2) 若要求P(X < n) >,0确定n的最小值;(3) 以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据,在n=19与n=20之中选其一,应选用哪个?20、(本小题满分12分)设圆x2+y2+2x-5=0的圆心为A,直线I过点B(1,0)且与x轴不重合,I交圆A于C, D两点, 过B作AC的平行线交AD于点E.(1) 证明|EA|+|EB| 为定值,并写出点E 的轨迹方程;(2) 设点E的轨迹为曲线C i,直线I交C i于M , N两点,过B且与I垂直的直线与圆A交于PQ两点,求四边形MPNQ 面积的取值范围.21、(本小题满分12分)已知函数f(x)=(x -)e x+a(x-)2有两个零点.(1)求a 的取值范围;⑵设X1, x2是的两个零点,证明:X什x2<2.22、(本小题满分10分)[选修4-:几何证明选讲]如图,△ OAB 是等腰三角形,/ AOB=120°.以0为圆心,^OA 为半径作圆.(1)证明:直线AB 与O 0相切x=acost23、(本小题满分10分)[选修4 -:坐标系与参数方程]在直线坐标系xoy 中,曲线C i 的参数方程为y=1+as i nt (t 为参数,a>0).在以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线 Q : p =4cos. 0 (1)说明C 1是哪种曲线,并将 G 的方程化为极坐标方程;⑵直线Q 的极坐标方程为 0 =a ,其中a o 满足tan=2,若曲线C 1与C 2的公共点都在 C 3上,求a .24、(本小题满分10分)[选修4-5:不等式选讲]已知函数f(x)=|x+1| -2x 詡. (1) 在答题卡第(24)题图中画出y= f(x)的图像; (2) 求不等式|f(x)|>1的解集.B, GD 四点共圆,证明:AB// CD.⑵点C, D 在O 0上,且A ,理科数学参考答案一、选择题:1、D2、B3、C4、B5、A6、A7、D 8、C二、填空题:13、—14、1015、6416、2160009、C 10、B 11、A 12、B三、解答题:17、解:⑴由已知及正弦定理得,2cosC(sinAcosB+sinBcosA)=sinC 即2cosCsin(A+B)=sinC 故2sinCcosC=sinC可得cosC弓,所以C=3.2 3(2)由已知,*absinC=323•又C=n,所以ab=6.由已知及余弦定理得,a2+b2 ^2abcosC=7,故a2+b2=13,从而(a+b)2=25.所以△ ABC的周长为5+ ■'7.18、解:⑴由已知可得AF丄DF, AF丄FE所以AF丄平面EFDC 又F 平面ABEF故平面ABEF丄平面EFDC⑵过D作DG丄EF,垂足为G,由⑴知DG丄平面ABEF.以G为坐标原点,向量GF的方向为x轴正方向,|GF|为单位长度,建立如图所示的空间直角坐标系G -cy z.由(1)知/DFE为二面角D-AF-E 的平面角,故/DFE=60 ,则|DF|=2 , |DG|=3 ,可得A(1,4,0), B(43,4,0), E(43,0,0),D(0,0,V3).由已知,AB// EF,所以AB// 平面EFDC 又平面ABCDH 平面EFDC=DA 故AB// CD, CD// EF. 由BE// AF,可得BE丄平面EFDC所以/ CEF为二面角CHBE-F的平面角,/ CEF=60 .从而可得C(H2,0^3).所以向量EC=(1,0,⑶,EB=(0,4,0), AC=(43,T, :3), AB=(T,0,0).设n=(x,y,z)是平面BCE的法向量,则n三二,即x+ - 3z=0,所以可取n EB=04y=0设m是平面ABCD的法向量,则m AB=0,同理可取m=(0,Q3,4).则故二面角E-BC-K的余弦值为-[9.9、解:(1)由柱状图并以频率代替概率可得,一台机器在三年内需更换的易损零件数为8, 9, 10, 11的概率分别为0.2, 0.4, 0.2, 0.2,从而:P(X=16)=0.2 X 0.2=0.04 P(X=17)=2 X 0.2 X 0.4=0.16 P(X=18)=2 X 0.2 X 0.2+0.4 X Q.4=0.24 P(X=19)=2 X 0.2 X 0.2+2 X 0.4 X;.2=X=40)=2 X 0.2 X 0.4+0.2 X;0.2=0E2X=21)=2 X 0.2 X 0.2=0.08X 16 17 18 19 20 21 22P 0.04 0.16 0.24 0.24 0.2 0.08 0.04⑵由(1)知P(X < 18)=0.44 P(X w 19)=0.68 故n 的最小值为19.(3) 记Y表示2台机器在购买易损零件上所需的费用(单位:元). 当n=19 时,EY=19< 200X 0.68+(19 X 200+500) X 0.2+(19 X 200+2X 500) X 0.08+(19 X 200+3X 500) X.0.04=4040当n=20 时,EY=2(X 200X 0.88+(20 X 200+500) X 0.08+(20 X 200+2X 500) X 0.04=4080 可知当n=19时所需费用的期望值小于n=20时所需费用的期望值,故应选n=19 .20、解:(1):|AD|=|AC| , EB// AC,故/ EBD=/ ACD=Z ADC, /• |EB|=|ED|,故|EA|+|EB|=|EA|+|ED|=|AD| 又圆A的标准方程为(x+1)2+y2=16,从而|AD|=4,所以|EA|+|EB|=4 .2 2由题设得A(-1,0), B(1,0), |AB|=2,由椭圆定义可得点E的轨迹方程为:X4+y3=1(y工°)n=(3,0, —3).cos <n,m>=—⑵当l 与x 轴不垂直时,设l 的方程为y=k(x - 1)(k £M(x i ,y i ), N(X 2,y 2). 出尸丁1)® c c c c 8k 2 4k 2-2 由x 2 y 2 d … —+—=i4 3四边形 MPNQ 的面积 S=2|MN||PQ|=121+4k 1+3.可得当I 与x 轴不垂直时,四边形 MPNQ 面积的取值范围为[12,8 .3).当I 与x 轴垂直时,其方程为 x=1, |MN|=3 , |PQ|=8,四边形 MPNQ 的面积为12 . 综上,四边形MPNQ 面积的取值范围为[12,8 3).21、解:(1)f(x)=(x -1)e x +2a(x-1)=(x -)(e x +2a).① 设a=0,则f(x)=(x 2)e x , f(x)只有一个零点.② 设a>0,则当x € (-a )时,f(x)<0 ;当x € (1,+s )时,f(x)>0 .所以f(x)在(-^ )上单调递减,在(1,+〜上单调递 增. a a 3又 f(1)= -e , f(2)=a ,取 b 满足 b<0 且 b<lng ,则 f(b)>q(b ~2)+a(b -)2=a(b 2—b)>0,故 f(x)存在两个零点. ③ 设 a<0,由 f(x)=O 得 x=1 或 x=ln( -2a).若a >-,则ln( - 2a)§1故当x € (1,+〜时,f(x)>0,因此f(x)在(1,+〜上单调递增.又当 xwi 时,f(x)<0,所以f(x)不存在两个零点.若 a<-|,贝U ln( -2a)>1,故当 x € (1,ln( -2a))时,f(x)<0;当 x € (ln( -2a),+ 〜时,f(x)>0 .因此 f(x)在(1,ln( -2a))单调递 减,在(ln(£a),+a )单调递增.又当x wi 时,f(x)<0,所以f(x)不存在两个零点. 综上,a 的取值范围为(0,+^).(2)不妨设X 1<x 2,由(1)知x € ( - a )1 x 2 € (1,+a ), 2 -x ? € (-呵),f(x)在(- a )上单调递减,所以 x 什X 2<2等价于f(x 1)>f(2 %),即 f(2 伙2)<0.由于 f(2 -2)=-ee 2-2+a(x 2-)2,而 f(x 2)=(x 2 72)e x2+a(x 2 -1)2=0,所以 f(2 -2)=-2e 2-2-X 2 ^e^.设 g(x)= ^xe 2- -x-2)e x ,则 g'(x)=(x -)(e 2^.所以当 x>1 时,g'(x)<0,而 g(1)=0,故当 x>1 时,g(x)<0.从而 g(X 2)=f (2 -Q )<0,故 x 1+x 2<2.22、解:(1)设E 是AB 的中点,连结 OE , 因为 OA=OB, / AOB=120,所以 OE 丄 AB , / AOE=60 .1在Rt A AOE 中,OE^AO,即O 到直线AB 的距离等于圆 O 的半径,所以直线⑵因为OA=2OD,所以O 不是A , B , C , D 四点所在圆的圆心,设 O'是A , B , C, D 四点所在圆的圆心,作直线 OO'.由已知得O 在线段AB 的垂直平分线上,又 O'在线段AB 的垂直平分线上,所以 OO'丄AB .同理可证,OO'丄CD.所以AB // CD.x=acosto o o00 o23、解:⑴ y =1+asint (t 为参数),二 x 2+(y-1)2=a 2® • C 1 为以(0,1)为圆心,a 为半径的圆,方程为 x 2+y 2 42y+1 -a 2=0. ••• x 2+y 2 + p 2, y= p sin , • p 2- 2 p sin 9a 2=10-P 为 G 的极坐标方程.⑵C 2: p =4cos,(两边同乘 p 得 p =4 p cos, 0•- p =x 2+y 2, p cos 0 亍x • x 2+y 2=4x ,即(x~2)2+y 2=4②C 3:化为普通方程为 y=2x .由题意:G 和C 2的公共方程所在直线即为Q,8k 2 4k 2 -2 __ 12(k 2+1) 得(4k 2+3)x 2 -8k 2x+4k 2 -2=0. /• x 什血*2+3,X i x 2= 4R 2+3 • |MN|= 1+k 2|x1 -<2|= 4^^+^ • 过点B(1,0)且与I 垂直的直线 m : y= -k (x -1), A 到m 的距离为,所以|PQ|=2 % j AB 与O O 相切. 2-;+1.故EBx>5或 x<3, /• x < -. 1 13-1<x<2, |3x -2|>1,解得 x>1 或 x<3.••• -1<x<3或 1<x<2.3 3当 x 亏 |4 -x|>1,解得 x>5 或 x<3, •x<3或 x>5.1 综上,x<3或 1<x<3 或 x>5.1•|f(x)|>1,解集为(-«3)0(1,3)u (5,+m ).①-② 得:4x42y+1 -a 2=0,即为 C 3. /• 1 -a 2=0, /• a=1. 24、解:⑴如图: 3⑵f(x)= 3x -2( -1<x<2)又•- |f(x)|>134 —x 多 x < -,|x —|>13。
2016年高考理科数学全国1卷Word版(含详细答案)
绝密★ 启用前试题种类: A 2016 年一般高等学校招生全国一致考试理科数学本试题卷共 5 页, 24 题(含选考题 )。
全卷满分 150 分。
考试用时 120 分钟。
★祝考试顺利★注意事项:1、答题前,先将自己的姓名、准考据号填写在试题卷和答题卡上,并将准考据号条形码粘贴在答题卡上的指定地点。
用2B 铅笔将答题卡上试卷种类 A 后的方框涂黑。
2、选择题的作答:每题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、底稿纸和答题卡上的非答题地区内均无效。
3、填空题和解答题的作答:用署名笔挺接答在答题卡上对应的答题地区内。
写在试题卷、底稿纸和答题卡上的非答题地区均无效。
4、选考题的作答:先把所选题目的题号在答题卡上指定的地点用2B 铅笔涂黑。
答案写在答题卡上对应的答题地区内,写在试题卷、底稿纸和答题卡上的非答题地区均无效。
5、考试结束后,请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷一、选择题:此题共12 小题,每题5 分,在每题给出的四个选项中,只有一项为哪一项切合题目要求的。
(1)设会合A{ x x24x 30},B{ x 2x 3 0},则A B(A)( 3,3)(B)(3,3)(C)(1,3)(D)(3,3) 2222(2)设(1 i ) x1yi ,此中x, y是实数,则x yi(A)1(B)2(C)3(D)2(3)已知等差数列{ a n } 前9项的和为27 ,a108,则 a100( A)100(B)99(C)98(D)97(4)某公司的班车在7 : 30 , 8 : 00,8 : 30 发车,小明在 7 : 50 至 8 : 30之间抵达发车站乘坐班车,且抵达发车站的时候是随机的,则他等车时间不超出10 分钟的概率是(A)1(B)1(C)2(D)3 3234(5)已知方程x 2 y21 表示双曲线, 且该双曲线两焦点间的距离为 4 ,则 n 的2n 3m 2nm 取值范围是(A ) ( 1,3)(B ) ( 1, 3) ( C ) (0,3) ( D ) (0, 3)(6)如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径.若该几何体的体积是28,则它的3表面积是(A ) 17(B ) 18 (C ) 20(D ) 28(7)函数 y2x 2 e x 在 [ 2,2] 的图像大概为y y ( A )1( B )12 O2x2 O2xy y ( C )1( D )12O2x2 O2x(8)若 a b1, 0 c 1,则( A ) a cb c( B ) ab cba c ( C ) a log b c b log a c ( D ) log a c log b c(9)履行右边的程序框图,假如输入的x 0, y 1, n 1,则输出 x, y 的值知足( A ) y 2 x( B ) y 3x( C ) y 4x ( D ) y 5x( 10)以抛物线C 的极点为圆心的圆交 C 于 A, B 两点,交 C 的准线于 D, E 两点,已知AB 42,DE2 5 ,则 C 的焦点到准线的距离为(A )2(B )4(C )6 (D )8(11)平面过正方体 ABCDA 1B 1C 1D 1 的极点 A , // 平面 CB 1D 1 ,平面 ABCDm ,平面 ABB 1 A 1 n ,则 m,n 所成角的正弦值为32 ( C )31( A )(B )(D )2 23 3(12)已知函数f ( x)sin( x)(0,2) , x为 f ( x) 的零点,x为44y f ( x) 图像的对称轴,且 f ( x) 在( ,5) 单一,则的最大值为3618(A)11(B)9(C)7(D)5第II 卷本卷包含必考题和选考题两部分。
2016全国卷Ⅰ高考理科数学试卷及答案与解析(word版)
2016年普通高等学校招生全统一考试理科数学★祝考试顺利★第Ⅰ卷一、选择题:本题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
(1) 设集合{}0342<+-=x x x A ,{}032>-=x x B ,则=B A(A )(3-,23-) (B )(3-,23) (C )(1,23) (D )(23-,3)(2) 设yi x i +=+1)1(,其中x ,y 是实数,则=+yi x(A )1 (B )2 (C )3 (D )2(3) 已知等差数列{}n a 前9项的和为27,810=a ,则=100a(A )100 (B )99 (C )98 (D )97(4) 某公司的班车在7:30,8:00,8:30发车,小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车,且到达发车站的时刻是随机的,则他等车时间不超过10分钟的概率是 (A )31(B )21 (C )32 (D )43 (5) 已知方程132222=--+nm y n m x 表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为4,则m 的取值范围是 (A )(1-,3) (B )(1-,3) (C )(0,3) (D )(0,3)(6) 如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径.若该几何体的体积是328π,则它的表面积是 (A )17π (B )18π (C )20π (7) 函数xe x y -=22在[]22,-的图象大致为 (A ) (B ) (C (D )(8) 若1>>b a ,10<<c ,则(A )c c b a < (B )cc ba ab <(C )c b c a a b log log < (D )c c b a log log <(9) 执行右图的程序框图,如果输入的0=x ,1=y ,1=n ,则输出y x ,的值满足(A )x y 2= (B )x y 3= (C )x y 4= (D )x y 5=(10) 以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A ,B 两点,交C 的准线于D ,E 两点.已知24=AB ,52=DE ,则C 的焦点到准线的距离为(A )2 (B )4 (C )6 (D )8(11) 平面α过正方体1111D C B A ABCD -的顶点A ,α∥平面11D CB ,α∩平面m ABCD =,α∩平面n A ABB =11,则n m ,所成角的正弦值为(A )23 (B )22 (C )33 (D )31(12) 已知函数)sin()(ϕω+=x x f )2,0(πϕω≤>,4π-=x 为)(x f 的零点,4π=x 为)(x f y =图象的对称轴,且)(x f 在)365,18(ππ单调,则ω的最大值为 (A )11 (B )9 (C )7 (D )5第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。
2016高考理科数学全国1卷-含答案
2016年普通高等学校招生全统一考试理科数学第Ⅰ卷一、选择题:本题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
(1) 设集合{}0342<+-=x x x A ,{}032>-=x x B ,则=B A(A )(3-,23-) (B )(3-,23) (C )(1,23) (D )(23-,3)(2) 设yi x i +=+1)1(,其中x ,y 是实数,则=+yi x(A )1 (B )2 (C )3 (D )2(3) 已知等差数列{}n a 前9项的和为27,810=a ,则=100a(A )100 (B )99 (C )98 (D )97(4) 某公司的班车在7:30,8:00,8:30发车,小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车,且到达发车站的时刻是随机的,则他等车时间不超过10分钟的概率是 (A )31(B )21 (C )32 (D )43 (5) 已知方程132222=--+nm y n m x 表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为4,则m 的取值范围是 (A )(1-,3) (B )(1-,3) (C )(0,3) (D )(0,3)(6) 如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径.若该几何体的体积是328π,则它的表面积是 (A )17π (B )18π (C )20π (D )28π(7) 函数xe x y -=22在[]22,-的图象大致为(A ) (B ) (C ) (D )(8) 若1>>b a ,10<<c ,则(A )c c b a < (B )c c ba ab < (C )c b c a a b log log < (D )c c b a log log <(9) 执行右图的程序框图,如果输入的0=x ,1=y ,1=n ,则输出y x ,的值满足(A )x y 2= (B )x y 3= (C )x y 4= (D )y (10) 以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A ,B 两点,交C 点.已知24=AB ,52=DE ,则C (A )2 (B )4 (C )6 (D )8(11) 平面α过正方体1111D C B A ABCD -的顶点A ,α∥平面11D CB ,α∩平面m ABCD =,α∩平面n A ABB =11,则n m ,所成角的正弦值为(A )23 (B )22 (C )33 (D )31(12) 已知函数)sin()(ϕω+=x x f )2,0(πϕω≤>,4π-=x 为)(x f 的零点,4π=x 为)(x f y =图象的对称轴,且)(x f 在)365,18(ππ单调,则ω的最大值为 (A )11 (B )9 (C )7 (D )5第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。
2016年高考理科数学(全国新课标卷1)(含解析)
绝密★启用前2016年普通高等学校招生全国统一考试(全国新课标卷1)理科数学使用地区:山西、河南、河北、湖南、湖北、江西、安徽、福建、广东本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分.第Ⅰ卷1至3页,第Ⅱ卷4至6页,满分150分. 考生注意:1. 答题前,考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上.考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致.2. 第Ⅰ卷每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.第Ⅱ卷用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答.若在试题卷上作答,答案无效.3. 考试结束,监考员将本试题卷、答题卡一并收回.第Ⅰ卷一、选择题:本题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.设集合2430={|}A x x x -+<,3{}0|2x B x ->=,则A B =( ) A .3(3,)2--B .3(3,)2-C .3(1,)2D .3(,3)22.设(1i)1i x y +=+,其中x ,y 是实数,则|i |x y +=( )A .1 BCD .23.已知等差数列{}n a 前9项的和为27,108a =,则100a =( )A .100B .99C .98D .974.某公司的班车在7:30,8:00,8:30发车,小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车,且到达发车站的时刻是随机的,则他等车时间不超过10分钟的概率是( )A .13 B .12 C .23D .345.已知方程222213xym nm n-=+-表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为4,则n 的取值范围是( )A .(1,3)-B.(1-C .(0,3)D.6.如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若该几何体的体积是283π,则它的表面积是 ( )A .17πB .18πC .20πD .28π7.函数2|x|2y x e =-在[2,2]-的图象大致为( )ABC D 8. 若0a b >>,01c <<,则( )A .cca b <B .ccab ba > C .alog log b a c b c <D .log log a b c c<9.执行右面的程序框图,如果输入的0x =,1y =,1n =,则输出x ,y 的值满足( )A .2y x =B .3y x =C .4y x =D .5y x =10.以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A ,B 两点,交C 的准线于D ,E 两点,已知||AB =||DE =C 的焦点到准线的距离为( )A .2B .4C .6D .811.平面α过正方体1111ABCD A B C D -的顶点A ,//α平面11CB D ,α平面=ABCD m ,α平面11=ABB A n ,则m ,n 所成角的正弦值为( )A B CD .1312.已知函数()sin()(0,||)2f x x πωϕωϕ=+>≤,4x π=-为()f x 的零点,4x π=为()y f x =图象的对称轴,且()f x 在5(,)1836ππ单调,则ω的最大值为( )A .11B .9C .7D .5姓名________________ 准考证号_____________--------在--------------------此-------------------卷-------------------上--------------------答-------------------题--------------------无------------------效----------第II 卷注意事项:第Ⅱ卷共3页,须用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答,若在试题卷上作答,答案无效.本卷包括必考题和选考题两部分.第13~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22~24题为选考题,考生根据要求作答. 二、填空题:本题共4小题,每小题5分.13.设向量a (,1)m =,b (1,2)=,且|a +b ||2=a ||2+b 2|,则m = . 14.5(2x 的展开式中,3x 的系数是 (用数字填写答案).15.设等比数列{}n a 满足1310a a +=,245a a +=,则12n a a a …的最大值为 . 16.某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品A 需要甲材料1.5 kg ,乙材料1 kg ,用5个工时;生产一件产品B 需要甲材料0.5 kg ,乙材料0.3 kg ,用3个工时.生产一件产品A 的利润为2 100元,生产一件产品B 的利润为900元.该企业现有甲材料150 kg ,乙材料90 kg ,则在不超过600个工时的条件下,生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为 元. 三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分12分)ABC △的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知2cos (cos cos )C a B b A c +=. (Ⅰ)求C ;(Ⅱ)若c =ABC △,求ABC △的周长.18.(本小题满分12分)如图,在以A ,B ,C ,D ,E ,F 为顶点的五面体中,面ABEF 为正方形,AF =2FD ,90AFD ∠=,且二面角D AF E --与二面角C BE F --都是60. (Ⅰ)证明:平面ABEF ⊥平面EFDC ; (Ⅱ)求二面角E BC A --的余弦值.19.(本小题满分12分)某公司计划购买2台机器,该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件,在购进机器时,可以额外购买这种零件作为备件,每个200元.在机器使用期间,如果备件不足再购买,则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件,为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数,得下面柱状图: 以这100台机器更换的易损零件数的 频率代替1台机器更换的易损零件数 发生的概率,记X 表示2台机器三年 内共需更换的易损零件数,n 表示购 买2台机器的同时购买的易损零件数. (Ⅰ)求X 的分布列;(Ⅱ)若要求()0.5P X n ≤≥,确定n 的最小值;(Ⅲ)以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据,在n =19与n =20之中选其一,应选用哪个?20.(本小题满分12分)设圆22215=0x y x ++-的圆心为A ,直线l 过点(10)B ,且与x 轴不重合,l 交圆A 于C ,D 两点,过B 作AC 的平行线交AD 于点E .(Ⅰ)证明||||EA EB +为定值,并写出点E 的轨迹方程;(Ⅱ)设点E 的轨迹为曲线1C ,直线l 交1C 于M ,N 两点,过B 且与l 垂直的直线与圆A 交于P ,Q 两点,求四边形MPNQ 面积的取值范围.21.(本小题满分12分)已知函数2()(2)(1)xf x x e a x =-+-有两个零点.(Ⅰ)求a 的取值范围;(Ⅱ)设1x ,2x 是()f x 的两个零点,证明:122x x +<.请考生在第22~24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分. 22.(本小题满分10分)选修41-:几何证明选讲如图,OAB △是等腰三角形,120AOB ∠=.以O 为圆心,12OA 为半径作圆. (Ⅰ)证明:直线AB 与⊙O 相切;(Ⅱ)点C ,D 在⊙O 上,且A ,B ,C ,D 四点共圆,证明:AB CD ∥.23.(本小题满分10分)选修44-:坐标系与参数方程在直线坐标系xOy 中,曲线1C 的参数方程为cos ,1sin ,x a t y a t =⎧⎨=+⎩(t 为参数,0a >).在以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线2:4cos C ρθ=. (Ⅰ)说明1C 是哪一种曲线,并将1C 的方程化为极坐标方程;(Ⅱ)直线3C 的极坐标方程为0θα=,其中0α满足0tan 2α=,若曲线1C 与2C 的公共点都在3C 上,求a .24.(本小题满分10分),选修45-:不等式选讲已知函数()|1||23|f x x x =+--. (Ⅰ)在图中画出()y f x =的图象; (Ⅱ)求不等式|()|1f x >的解集.ABCDEF2016年普通高等学校招生全国统一考试(全国新课标卷1)理科数学答案解析第Ⅰ卷一、选择题 1.【答案】D【解析】{}{}2A x x 4x 30x 1x 3=-+<=<<,{}3B x 2x 30x x 2⎧⎫=->=>⎨⎬⎩⎭,故3B x 2⎧=⎨⎩【提示】解不等式求出集合【考点】交集及其运算【解析】(1i)x 1yi +=+,x xi 1yi ∴+=+,即x 1x y =⎧⎨=,解得x 1y 1=⎧⎨=,即x y i 1i 2+=+=【解析】等差数列,又10a 8=,【提示】根据已知可得【考点】等差数列的性质】双,方【解析】f (x)y =时,y 8=-x4x e 0-=【解析】a b 1>>线的距离为4.【提示】画出图形,设出抛物线方程,利用勾股定理以及圆的半径列出方程求解即可.【考点】圆与圆锥曲线的综合,抛物线的简单性质11.【答案】A【解析】如图,α∥平面CB α平面ABCD α平面ABA,11CB D △60,则m 32.【提示】画出图形,判断出m 【考点】异面直线及其所成的角【解析】πx 4=-为1πT 2=,即12ππ(n N 2=∈ω为正奇数,f (x)在5π36⎛⎫⎪⎝⎭上单调,πππ361812-=时,11π4-+π2ϕ≤,9π4-+ϕ,π2ϕ≤,ω【答案】2-222a b a b +=+,可得a b 0=,向量a (m,1)=,b (1,2)=,n123n (q++++-…6264==.【提示】设A ,B 两种产品分别是标函数,利用线性规划作出可行域,通过目标函数的几何意义,求出其最大值即可.【考点】简单线性规划的应用三、解答题17.【答案】(Ⅰ)在ABC △已知等式利用正弦定理化简得12ab2,(a ∴的周长为5+(Ⅰ)A BEF 为正方形,AFD 90∠=,A F DF ∴⊥,DF EF F =,AF ∴⊥平面EFDCAF ⊂平面∴平面A BEF (Ⅱ)由A BE EF ⊥BE ∴⊥平面可得DFE 60∠.A B EF ∥EFDC AB ∴∥平面平面EFDC 平面ABCD ,EB (0,2a,0)∴=,a BC ,⎛= ,AB (2a,0,0)=-设平面BEC 的法向量为m (x ,=,则m EB 0m BC 0⎧=⎪⎨=⎪⎩,则m (3,0,=设平面ABC 的法向量为n (x ,y ,z =n BC=0n AB 0⎧⎪⎨=⎪⎩,则,取n (0,3,4)=的大小为θ,m n |m ||n |31316==++【提示】(Ⅰ)证明AF ⊥平面EFDC 平面EFDC ;(Ⅱ)证明四边形EFDC 为等腰梯形,4040=1EX EX <解法二:购买零件所用费用含两部分,一部分为购买零件的费用,另一部分为备件不足时额外购222222143m 41m1m||MN |12242423m 41m3m 4+++===+++时,S 取得最小值12,又10>,可得3S 24833<=【提示】(Ⅰ)求得圆A EB ED =,再由圆的定义和椭圆的定义,b ,c ,即可得到所求轨迹方程;(Ⅱ)设直线l :x my =+0)1x ,2x 1x 121(x 2)e (x 1)-=-2[(x 2)g (x)-+'=∴当x 1<时,e 1,OA OB =120,OK ∴30,1OK OAsin30OA 2=直线AB 与O 相切;D 四点所在圆的圆心,设四点所在圆的圆心,OA OB =的中垂线,∴AB 中点,连结30,1OK OAsin30OA 2=曲线如图:(Ⅱ)由f (x)1>,可得,当3当x ≥时,4x 1->,解得x 5>或x 3<,即有x 3≤<或x 5>.(1,3)(5,)⎫+∞⎪⎭(Ⅰ)运用分段函数的形式写出f (x)的解析式,由分段函数的画法,即可得到所。
2016年全国高考数学(理科)试题及答案-全国1卷(解析版)
绝密 ★ 启用前2016年普通高等学校招生全国统一考试(全国1卷)数学(理科)注意事项: 1。
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷1至3页,第Ⅱ卷3至5页。
2。
答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置。
3。
全部答案在答题卡上完成,答在本试题上无效. 4. 考试结束后,将本试题和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷一. 选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
(1)设集合{}2430A x x x =-+< ,{}230x x ->,则A B =(A )33,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭ (B )33,2⎛⎫- ⎪⎝⎭ (C )31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭(D)3,32⎛⎫⎪⎝⎭【答案】D考点:集合的交集运算【名师点睛】集合是每年高考中的必考题,一般以基础题形式出现,属得分题。
解决此类问题一般要把参与运算的集合化为最简形式再进行运算,如果是不等式解集、函数定义域及值域有关数集之间的运算,常借助数轴进行运算。
(2)设(1i)1i x y +=+,其中x ,y 实数,则i =x y + (A )1 (B 2 (3 (D )2 【答案】B 【解析】试题分析:因为(1)=1+,x i yi +所以=1+,=1,1,||=|1+|2,x xi yi x y x x yi i +==+=故选B 。
考点:复数运算【名师点睛】复数题也是每年高考必考内容,一般以客观题形式出现,属得分题。
高考中复数考查频率较高的内容有:复数相等,复数的几何意义,共轭复数,复数的模及复数的乘除运算,这类问题一般难度不大,但容易出现运算错误,特别是2i 1=-中的负号易忽略,所以做复数题要注意运算的准确性。
(3)已知等差数列{}n a 前9项的和为27,108a =,则100a = (A )100 (B )99 (C )98 (D)97 【答案】C 【解析】试题分析:由已知,1193627,98a d a d +=⎧⎨+=⎩所以110011,1,9919998,a d a a d =-==+=-+=故选C 。
2016全国1高考数学(理)真题及答案解析精编版.doc
2016 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学及答案注意事项:1. 本试卷分第Ⅰ卷 ( 选择题 ) 和第Ⅱ卷 ( 非选择题 ) 两部分 . 第Ⅰ卷 1 至 3 页,第Ⅱ卷 3至5页.2. 答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置.3. 全部答案在答题卡上完成,答在本试题上无效 .4. 考试结束后,将本试题和答题卡一并交回 .第Ⅰ卷一 . 选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.(1)设集合A { x | x 24x 3 0} , B { x | 2x 3 0} ,则 A I B( 3, 3)( 3,3)(1,3)( 3,3)(A )2(B )2(C )2(D )2(2)设(1 i) x1yi,其中 x ,y 是实数,则x yi =(A )1(B )2(C ) 3(D )2(3)已知等差数列{ an}前9项的和为27,a10=8,则a100=(A)100(B)99(C)98(D)97(4)某公司的班车在 7:00 ,8:00 ,8:30 发车,小明在 7:50 至 8:30 之间到达发车站乘坐班车,且到达发车站的时刻是随机的,则他等车时间不超过10 分钟的概率是(A)( B)( C)( D)(5)已知方程– =1 表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为4,则n的取值范围是(A)( –1,3)(B)(–1,3)(C)(0,3)(D)(0,3)(6)如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径 . 若该几何体的体积是,则它的表面积是(A)17π( B)18π( C)20π( D)28π(7)函数y=2x2–e|x|在[ –2,2] 的图像大致为(A)(B)(C)(D)(8)若a b 10, c 1,则(A)a c b c() ab c ba c()()B C a log b c b log a c D log a c log b c(9)执行右面的程序图,如果输入的x 0, y 1, n 1,则输出x,y的值满足(A)y2x (B) y 3x (C) y 4x (D) y 5x(10)以抛物线 C的顶点为圆心的圆交 C于 A、B两点,交 C的标准线于 D、E两点. 已知 | AB|= 4 2,| DE|=2 5,则C的焦点到准线的距离为(A)2(B)4(C)6(D)8(11) 平面a过正方体ABCD-A B CD的顶点A,a// 平面CBD,平面 ABCD=m,1111 1 1a a平面 ABA1B1=n,则 m、n 所成角的正弦值为(A) 3(B)2(C)3(D) 1 223 312. 已知函数 f xsin(x+)(0,), x 为 f (x) 的零点, x为 y f ( x) 图( )442像的对称轴,且 f ( x) 在5单调,则的最大值为18 ,36(A )11(B )9(C )7 (D )5第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分 . 第(13) 题~第 (21) 题为必考题, 每个试题考生都必须作答 . 第(22) 题~第(24) 题为选考题,考生根据要求作答 .二、填空题:本大题共3 小题,每小题 5 分(13) 设向量 a =( m ,1) ,b =(1 ,2) ,且 | a +b | 2=| a | 2+| b | 2,则 m =.(14) (2 x x )5 的展开式中, x 3 的系数是 . (用数字填写答案)( 15)设等比数列满足 a 1+a 3=10,a 2+a 4=5,则 a 1a 2 a n 的最大值为。
2016年高考理科数学全国1卷Word版(含详细答案)
(A) (B) (C) (D)
(2)设 ,其中 是实数,则
(A) (B) (C) (D)
(3)已知等差数列 前 项的和为 , ,则
(A) (B) (C) (D)
(4)某公司的班车在 , , 发车,小明在 至 之间到达发车站乘
坐班车,且到达发车站的时候是随机的,则他等车时间不超过10分钟的概率是
(21)(本小题满分12分)
已知函数 有两个零点.
(Ⅰ)求 的取值范围;
(Ⅱ)设 是 的两个零点,证明: .
请考生在第(22)、(23)、(24)题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.
(22)(本小题满分10分)选修4-1:几何证明选讲
如图, 是等腰三角形, .以 为圆心,
为半径作圆.
(Ⅰ)证明:直线 与⊙ 相切;
4、选考题的作答:先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。答案写在答题卡上对应的答题区域内,写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。晖军頷损铖榄煬种撵摈賠宽櫬皱鳏趨飩黌埡蕭弳龉鶘鈉縝飆徠賻繭蓟閏贐錳寿袄帐鲍農亏厩壙届线鱿舊赞龅诨銨续呓恽习餓圇权匭姍鋇顓员贺頻轨稅個燜够镍鏽鐘闔鹌兹約侣蜆况脹鍔飯裝饱匮繼谗贱馍党漸啭锴泺媯黄繞橫钫。
(11)平面 过正方体 的顶点 , 平面 , 平面
, 平面 ,则 所成角的正弦值为
(A) (B) (C) (D)
(12)已知函数 , 为 的零点, 为
图像的对称轴,且 在 单调,则 的最大值为
(A)11(B)9(C)7(D)5
第II卷
本卷包括必考题和选考题两部分。第(13)题~第(21)题为必考题,每个试题考生都必须作答。第(22)题~第(24)题为选考题,考生根据要求作答。懾圇贄疗锈鎳沒蚀棧屨惭綻釗滄脓玑鲚窑濘盡湊鏇鷥錠閾胆竞繪锖缨肾糁勱萤哝鹩灤詎資纪緱赢诽麩讥鹰鋪鏑竖囂饨斷壇钶钟睾嬷韫薈殮禄阏铈鉻質铪稱悫惨茔俦牵鈣頃赢痙悫鹤担隱遞訟兴踬讽栈涣瀏锣辫闡綢務盜儉謁骄隊。
2016年高考理科数学全国Ⅰ卷试题及答案
绝密★启封并使用完毕前试题类型:A2016年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项:1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷1至3页,第Ⅱ卷3至5页.2.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置.3.全部答案在答题卡上完成,答在本试题上无效.4.考试结束后,将本试题和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一.选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.(1)设集合2{|430}A x x x=-+<,{|230}B x x=->,则A B=(A)3(3,)2--(B)3(3,)2-(C)3(1,)2(D)3(,3)2(2)设(1i)1ix y+=+,其中x,y是实数,则i=x y+(A)1(B )2(C )3(D)2(3)已知等差数列{}na前9项的和为27,10=8a,则100=a(A)100(B)99(C)98(D)97(4)某公司的班车在7:00,8:00,8:30发车,学.科网小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车,且到达发车站的时刻是随机的,则他等车时间不超过10分钟的概率是(A)(B)(C)(D)(5)已知方程–=1表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为4,则n的取值范围是(A)(–1,3) (B)(–1,3) (C)(0,3) (D)(0,3)(6)如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若该几何体的体积是,则它的表面积是(A)17π(B)18π(C)20π(D)28π(7)函数y=2x2–e|x|在[–2,2]的图像大致为(A )(B )(C )(D )(8)若101a b c >><<,,则 (A )c c a b <(B )c c ab ba <(C )log log b a a c b c <(D )log log a b c c <(9)执行右面的程序图,如果输入的011x y n ===,,,则输出x ,y 的值满足(A )2y x =(B )3y x =(C )4y x =(D )5y x =(10)以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A 、B 两点,交C 的标准线于D 、E 两点.已知|AB |=42,|DE|=25,则C 的焦点到准线的距离为(A)2 (B)4 (C)6 (D)8(11)平面a 过正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的顶点A ,a //平面CB 1D 1,a ⋂平面ABCD =m ,a ⋂平面ABA 1B 1=n ,则m 、n 所成角的正弦值为 (A)32(B )22 (C)33(D)13 12.已知函数()sin()(0),24f x x+x ππωϕωϕ=>≤=-,为()f x 的零点,4x π=为()y f x =图像的对称轴,且()f x 在51836ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭,单调,则ω的最大值为 (A )11 (B )9 (C )7 (D )5第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题~第(21)题为必考题,每个试题考生都必须作答.第(22)题~第(24)题为选考题,考生根据要求作答.二、填空题:本大题共3小题,每小题5分(13)设向量a =(m ,1),b =(1,2),且|a +b |2=|a |2+|b |2,则m =. (14)5(2)x x +的展开式中,x 3的系数是.(用数字填写答案)(15)设等比数列满足a 1+a 3=10,a 2+a 4=5,则a 1a 2…a n 的最大值为。
(完整word版)2016年全国高考数学(理科)试题及答案-全国1卷(解析版)
范围是
(A) 1,3 (B) 1, 3 (C) 0,3 (D) 0, 3
【答案】A
考点:双曲线的性质 【名师点睛】双曲线知识一般作为客观题学生出现,主要考查双曲线几何性质,属于基础题.注意 双曲线的焦距是 2c 不是 c,这一点易出错. (6)如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若该几何
一. 选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目 要求的.
(1)设集合 A x x2 4x 3 0 , x 2x 3 0 ,则 A B
(A)
3,
3 2
【答案】D
(B)
3,
3 2
(C)
1,
3 2
(D)
3 2
,
3
考点:集合的交集运算 【名师点睛】集合是每年高考中的必考题,一般以基础题形式出现,属得分题.解决此类问题一般 要把参与运算的集合化为最简形式再进行运算,如果是不等式解集、函数定义域及值域有关数 集之间的运算,常借助数轴进行运算.
(8)若 a b 1,0 c 1,则 (A) ac bc (B) abc bac (C) a logb c b loga c (D) loga c logb c
【答案】C 【解析】
试题分析:用特殊值法,令 a 3, b
2,c
1
1
得 32
1
22 ,选项
A
1
错误, 3 22
1
2 32 ,选项
2016 高考数学(理科)试卷(全国 1 卷)
绝密 ★ 启用前
2016 年普通高等学校招生全国统一考试(全国 1 卷)
数学(理科)
注意事项: 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷 1 至 3 页,第Ⅱ卷 3 至 5 页. 2.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置. 3.全部答案在答题卡上完成,答在本试题上无效. 4. 考试结束后,将本试题和答题卡一并交回. 第Ⅰ卷
2016年高考理科数学全国1卷(word+精编详解)
请考生完整、准确填写以下信息姓名 准考证号考场号 座位号本 试 卷 上 交 至 各 地、州、市、师 招 办 封 存装订线 装订线2016年 普通高考绝密★启用前2016年普通高等学校招生全国统一考试(全国1卷)理科数学试题一.选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设集合A ={x |x 2-4x +3<0},B ={x |2x -3>0},则A ∩B =( ) A.⎝⎛⎭⎫-3,-32 B.⎝⎛⎭⎫-3,32 C.⎝⎛⎭⎫1,32 D.⎝⎛⎭⎫32,3 2.设(1+i )x =1+yi ,其中x ,y 是实数,则|x +yi |=( )A.1B. 2C. 3D.2 3.已知等差数列{a n }前9项的和为27,a 10=8,则a 100=( ) A.100 B.99 C.98 D.974.某公司的班车在7:00,8:00,8:30发车,小明在7:50至8:30之间到达发车站乘 坐班车,且到达发车站的时刻是随机的,则他等车时间不超过10分钟的概率是( ) A.13 B.12 C.23 D.345.已知方程x 2m 2+n -y 23m 2-n =1表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为4,则n 的取值范围是( )A.(-1,3)B.(-1,3)C.(0,3)D.(0,3)6.如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径.若该几 何体的体积是28π3,则它的表面积是( )A.17πB.18πC.20πD.28π 7.函数y =2x 2-e |x |在[-2,2]的图象大致为( )8.若a >b >1,0<c <1,则( )A.a c <b cB.ab c <ba cC.a log b c <b log a cD.log a c <log b c9.执行如图所示的程序框图,如果输入的x =0,y =1,n =1,则输出x ,y 的值满足( )A.y =2xB.y =3xC.y =4xD.y =5x10. 以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A ,B 两点,交C 的准线于D ,E 两点.已知|AB |=42,|DE |=25,则C 的焦点到准线的距离为( )A.2B.4C.6D.811.平面α过正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的顶点A ,α∥平面CB 1D 1,α∩平面ABCD =m ,α∩平面ABB 1A 1=n ,则m ,n 所成角的正弦值为( ) A.32 B.22C.33D.1312.已知函数f (x )=sin(ωx +φ)⎝⎛⎭⎫ω>0,|φ|≤π2,x =-π4为f (x )的零点,x =π4为y =f (x )图象的对称轴,且f (x )在⎝⎛⎭⎫π18,5π36上单调,则ω的最大值为( )A.11B.9C.7D.5第II 卷(非选择题)二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.13.设向量a =(m ,1),b =(1,2),且|a +b |2=|a |2+|b |2,则m =________.14.(2x +x )5的展开式中,x 3的系数是______________(用数字填写答案).15.设等比数列满足a 1+a 3=10,a 2+a 4=5,则a 1a 2…a n 的最大值为__________.16.某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品A 需要甲材料1.5 kg,乙材料1 kg,用5个工时;生产一件产品B 需要甲材料0.5 kg,乙材料0.3 kg,用3个工时,生产一件产品A 的利润为2 100元,生产一件产品B 的利润为900元.该企业现有甲材料150 kg,乙材料90 kg,则在不超过600个工时的条件下,生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为________元.三、解答题(本大题共6小题,满分70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知2cos C (a cos B +b cos A )=c .(1)求C ;(2)若c =7,△ABC 的面积为332,求△ABC 的周长.装订线 装订线18.如图,在以A ,B ,C ,D ,E ,F 为顶点的五面体中,平面ABEF 为正方形,AF =2FD ,∠AFD =90°,且二面角D -AF -E 与二面角C -BE -F 都是60°.(1)证明:平面ABEF ⊥EFDC ;(2)求二面角E -BC -A 的余弦值.19.某公司计划购买2台机器,该种机器使用三年后即被淘汰,机器有一易损零件,在购进机器时,可以额外购买这种零件作为备件,每个200元.在机器使用期间,如果备件不足再购买,则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件,为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数,得下面柱状图:以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率,记X 表示2台机器三年内共需更换的易损零件数,n 表示购买2台机器的同时购买的易损零件数.(1)求X 的分布列;(2)若要求P (X ≤n )≥0.5,确定n 的最小值;(3)以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据,在n =19与n =20之中选其一,应选用哪个?20.设圆x 2+y 2+2x -15=0的圆心为A ,直线l 过点B (1,0)且与x 轴不重合,l 交圆A 于C ,D两点,过B 作AC 的平行线交AD 于点E .(1)证明|EA |+|EB |为定值,并写出点E 的轨迹方程;(2)设点E 的轨迹为曲线C 1,直线l 交C 1于M ,N 两点,过B 且与l 垂直的直线与圆A 交于 P ,Q 两点,求四边形MPNQ 面积的取值范围.21.已知函数f (x )=(x -2)e x +a (x -1)2有两个零点. (1)求a 的取值范围;(2)设x 1,x 2是f (x )的两个零点,证明:x 1+x 2<2.22.如图,△OAB 是等腰三角形;∠AOB =120°.以O 为圆心,12OA 为半径作圆.(1)证明:直线AB 与⊙O 相切;(2)点C ,D 在⊙O 上,且A ,B ,C ,D 四点共圆,证明:AB ∥CD . 23.在直角坐标系xOy 中,曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x =a cos t ,y =1+a sin t(t 为参数,a >0).在以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C 2:ρ=4cos θ. (1)说明C 1是哪一种曲线,并将C1的方程化为极坐标方程;(2)直线C 3的极坐标方程为θ=α0,其中α0满足tan α0=2,若曲线C 1与C 2的公共点都在C 3上,求a .24.已知函数f (x )=|x +1|-|2x -3|. (1)在图中画出y =f (x )的图象; (2)求不等式|f (x )|>1的解集.请考生完整、准确填写以下信息姓名准考证号考场号座位号本试卷上交至各地、州、市、师招办封存装订线装订线216年普通高考绝密★启用前2016年普通高等学校招生全国统一考试(全国1卷)理科数学参考答案一.选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.答案D 解析由A={x|x2-4x+3<0}={x|1<x<3},B={x|2x-3>0}=⎩⎨⎧⎭⎬⎫x⎪⎪x>32,得A∩B=⎩⎨⎧⎭⎬⎫x⎪⎪32<x<3=⎝⎛⎭⎫32,3,故选D.2.答案B 解析由(1+i)x=1+y i,得x+x i=1+y i⇒⎩⎪⎨⎪⎧x=1,x=y⇒⎩⎪⎨⎪⎧x=1,y=1.所以|x+y i|=x2+y2=2,故选B.3.答案C 解析由等差数列性质,知S9=9(a1+a9)2=9×2a52=9a5=27,得a5=3,而a10=8,因此公差d=a10-a510-5=1,∴a100=a10+90d=98,故选C.]4.答案B 解析如图所示,画出时间轴:小明到达的时间会随机的落在图中线段AB中,而当他的到达时间落在线段AC或DB时,才能保证他等车的时间不超过10分钟,根据几何概型得所求概率P=10+1040=12,故选B.5.答案A 解析∵方程x2m2+n-y23m2-n=1表示双曲线,∴(m2+n)·(3m2-n)>0,解得-m2<n<3m2,由双曲线性质,知c2=(m2+n)+(3m2-n)=4m2(其中c是半焦距),∴焦距2c=2×2|m|=4,解得|m|=1,∴-1<n<3,故选A.]6.答案A 解析由题知,该几何体的直观图如图所示,它是一个球(被过球心O且互相垂直的三个平面)切掉左上角的18后得到的组合体,其表面积是球面面积的78和三个14圆面积之和,易得球的半径为2,则得S=78×4π×22+3×14π×22=17π,故选A.7.答案D 解析f(2)=8-e2>8-2.82>0,排除A;f(2)=8-e2<8-2.72<1,排除B;在x>0时,f(x)=2x2-e x,f′(x)=4x-e x,当x∈⎝⎛⎭⎫0,14时,f′(x)<14×4-e0=0,因此f(x)在⎝⎛⎭⎫0,14上单调递减,排除C,故选D.8.答案C 解析对A:由于0<c<1,∴函数y=x c在R上单调递增,则a>b>1⇒a c>b c,故A错;对B:由于-1<c-1<0,∴函数y=x c-1在(1,+∞)上单调递减,∴a>b>1⇔a c-1<b c-1⇔ba c<ab c,故B错;对C:要比较a log b c和b log a c,只需比较a ln cln b和b ln cln a,只需比较ln cb ln b和ln ca ln a,只需比较b ln b和a ln a.构造函数f(x)=x ln x(x>1),则f′(x)=ln x+1>1>0,f(x)在(1,+∞)上单调递增,因此f(a)>f(b)>0⇒a ln a>b ln b>0⇒1a ln a<1b ln b,又由0<c<1得ln c<0,∴ln ca ln a>ln cb ln b⇒b log a c>a log b c,C正确;对D:要比较log a c和log b c,只需比较ln cln a和ln cln b,而函数y=ln x在(1,+∞)上单调递增,故a>b>1⇔ln a>ln b>0⇔1ln a<1ln b,又由0<c<1得ln c<0,∴ln cln a>ln cln b⇔log a c>log b c,D错误,故选C.9.答案C 解析执行题中的程序框图,知第一次进入循环体:x=0+1-12=0,y=1×1=1,x2+y2<36;第二次执行循环体:n=1+1=2,x=0+2-12=12,y=2×1=2,x2+y2<36;第三次执行循环体:n=2+1=3,x=12+3-12=32,y=3×2=6,x2+y2>36,满足x2+y2≥36,故退出循环,输出x=32,y=6,满足y=4x,故选C.10.答案B 解析不妨设抛物线C:y2=2px(p>0),则圆的方程可设为x2+y2=r2(r>0),如图,又可设A(x0,22),D⎝⎛⎭⎫-p2,5,点A(x0,22)在抛物线y2=2px上,∴8=2px0,①点A(x0,22)在圆x2+y2=r2上,∴x20+8=r2,②点D⎝⎛⎭⎫-p2,5在圆x2+y2=r2上,∴5+⎝⎛⎭⎫p22=r2,③联立①②③,解得p=4,即C的焦点到准线的距离为p=4,故选B.11.答案A 解析如图所示,设平面CB1D1∩平面ABCD=m1,∵α∥平面CB1D1,则m1∥m,又∵平面ABCD∥平面A1B1C1D1,平面CB1D1∩平面A1B1C1D1=B1D1,∴B1D1∥m1,∴B1D1∥m,同理可得CD1∥n.装订线 装订线故m 、n 所成角的大小与B 1D 1、CD 1所成角的大小相等,即∠CD 1B 1的大小. 而B 1C =B 1D 1=CD 1(均为面对角线),因此∠CD 1B 1=π3,得sin ∠CD 1B 1=32,故选A.12.答案B 解析 因为x =-π4为f (x )的零点,x =π4为f (x )的图象的对称轴,所以π4-⎝⎛⎭⎫-π4=T 4+kT ,即π2=4k +14T =4k +14·2πω,所以ω=4k +1(k ∈N *), 又因为f (x )在⎝⎛⎭⎫π18,5π36上单调,所以5π36-π18=π12≤T 2=2π2ω,即ω≤12,由此得ω的最大值为9,故选B.]第II 卷(非选择题)二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.13.答案 -2 解析 由|a +b |2=|a |2+|b |2,得a ⊥b ,所以m ×1+1×2=0,得m =-2.14.答案 10 解析 (2x +x )5展开式的通项公式T k +1=C k 5(2x )5-k (x )k =C k 525-k x 5-k2,k ∈{0,1,2,3,4,5},令5-k 2=3解得k =4,得T 5=C 4525-4x 5-42=10x 3,∴x 3的系数是10.]15.答案 64 解析 设等比数列{a n }的公比为q ,∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1+a 3=10,a 2+a 4=5⇒⎩⎪⎨⎪⎧a 1+a 1q 2=10,a 1q +a 1q 3=5,解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1=8,q =12,∴a 1a 2…a n =⎝⎛⎭⎫12(-3)+(-2)+…+(n -4)=⎝⎛⎭⎫1212n (n -7)=⎝⎛⎭⎫1212⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎫n -722-494, 当n =3或4时,12⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎫n -722-494取到最小值-6,此时⎝⎛⎭⎫1212⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎫n -722-494取到最大值26,所以a 1a 2…a n的最大值为64. 16.答案 216 000 解析 设生产A 产品x 件,B 产品y 件,根据所耗费的材料要求、工时要求等其他限制条件,得线性约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧1.5x +0.5y ≤150,x +0.3y ≤90,5x +3y ≤600,x ≥0,y ≥0,x ∈N *,y ∈N*目标函数z =2 100x +900y .作出可行域为图中的四边形,包括边界,顶点为(60,100),(0,200),(0,0),(90,0),在(60,100)处取得最大值,z max =2 100×60+900×100=216 000(元).三、解答题(本大题共6小题,满分70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.解析 (1)由已知及正弦定理得,2cos C (sin A cos B +sin B cos A )=sin C ,2cos C sin(A +B )=sin C ,故2sin C cos C =sin C .可得cos C =12,所以C =π3.(2)由已知,12ab sin C =332,又C =π3,所以ab =6,由已知及余弦定理得,a 2+b 2-2ab cos C =7,故a 2+b 2=13,从而(a +b )2=25. 所以△ABC 的周长为5+7.18.解析 (1)证明 由已知可得AF ⊥DF ,AF ⊥FE ,所以AF ⊥平面EFDC ,又AF ⊂平面ABEF ,故平面ABEF ⊥平面EFDC .(2)解 过D 作DG ⊥EF ,垂足为G ,由(1)知DG ⊥平面ABEF .以G 为坐标原点,GF →的方向为x 轴正方向,|GF →|为单位长,建立如图所示的空间直角坐标 系G -xyz .由(1)知∠DFE 为二面角D -AF -E 的平面角,故∠DFE =60°,则|DF |=2,|DG |=3, 可得A (1,4,0),B (-3,4,0),E (-3,0,0),D (0,0,3).由已知,AB ∥EF ,所以AB ∥平面EFDC ,又平面ABCD ∩平面EFDC =CD , 故AB ∥CD ,CD ∥EF ,由BE ∥AF ,可得BE ⊥平面EFDC ,所以∠CEF 为二面角C -BE -F 的平面角,∠CEF =60°, 从而可得C (-2,0,3).所以EC →=(1,0,3),EB →=(0,4,0),AC →=(-3,-4,3),AB →=(-4,0,0). 设n =(x ,y ,z )是平面BCE 的法向量,则⎩⎪⎨⎪⎧n ·EC →=0,n ·EB →=0,即⎩⎨⎧x +3z =0,4y =0.所以可取n =(3,0,-3).设m 是平面ABCD 的法向量,则⎩⎪⎨⎪⎧m ·AC →=0,m ·AB →=0.同理可取m =(0,3,4),则cos 〈n ,m 〉=n ·m |n ||m |=-21919.故二面角E -BC -A 的余弦值为-21919.19.解析 (1)由柱状图并以频率代替概率可得,一台机器在三年内需更换的易损零件数为8,9,10,11的概率分别为0.2,0.4,0.2,0.2,从而 P (X =16)=0.2×0.2=0.04;P (X =17)=2×0.2×0.4=0.16;P (X =18)=2×0.2×0.2+0.4×0.4=0.24;P (X =19)=2×0.2×0.2+2×0.4×0.2=0.24; P (X =20)=2×0.2×0.4+0.2×0.2=0.2;P (X =21)=2×0.2×0.2=0.08;请考生完整、准确填写以下信息姓名 准考证号考场号 座位号本 试 卷 上 交 至 各 地、州、市、师 招 办 封 存装订线 装订线2016年 普通高考P (X =22)=0.2×0.2=0.04; 所以X 的分布列为X 16 17 18 19 20 21 22 P0.040.160.240.240.20.080.04(2)由(3)记Y 表示2台机器在购买易损零件上所需的费用(单位:元).当n =19时,EY =19×200×0.68+(19×200+500)×0.2+(19×200+2×500)×0.08 +(19×200+3×500)×0.04=4 040.当n =20时,EY =20×200×0.88+(20×200+500)×0.08+(20×200+2×500)×0.04=4 080. 可知当n =19时所需费用的期望值小于n =20时所需费用的期望值,故应选n =19.20.解析 (1)证明 因为|AD |=|AC |,EB ∥AC ,故∠EBD =∠ACD =∠ADC ,所以|EB |=|ED |,故|EA |+|EB |=|EA |+|ED |=|AD |.又圆A 的标准方程为(x +1)2+y 2=16,从而|AD |=4,所以|EA |+|EB |=4.由题设得A (-1,0),B (1,0),|AB |=2,由椭圆定义可得点E 的轨迹方程为:x 24+y 23=1(y ≠0).(2)解 当l 与x 轴不垂直时,设l 的方程为y =k (x -1)(k ≠0),M (x 1,y 1),N (x 2,y 2). 由⎩⎪⎨⎪⎧y =k (x -1),x 24+y 23=1得(4k 2+3)x 2-8k 2x +4k 2-12=0.则x 1+x 2=8k 24k 2+3,x 1x 2=4k 2-124k 2+3,所以|MN |=1+k 2|x 1-x 2|=12(k 2+1)4k 2+3.过点B (1,0)且与l 垂直的直线m :y =-1k (x -1),A 到m 的距离为2k 2+1,所以|PQ |=242-⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 2+12=44k 2+3k 2+1. 故四边形MPNQ 的面积S =12|MN ||PQ |=121+14k 2+3. 可得当l 与x 轴不垂直时,四边形MPNQ 面积的取值范围为(12,83).当l 与x 轴垂直时,其方程为x =1,|MN |=3,|PQ |=8,四边形MPNQ 的面积为12. 综上,四边形MPNQ 面积的取值范围为[12,83).21.解析 (1)f ′(x )=(x -1)e x +2a (x -1)=(x -1)(e x +2a ).①设a =0,则f (x )=(x -2)e x ,f (x )只有一个零点.②设a >0,则当x ∈(-∞,1)时,f ′(x )<0;当x ∈(1,+∞)时,f ′(x )>0,所以f (x )在(-∞,1) 上单调递减,在(1,+∞)上单调递增.又f (1)=-e,f (2)=a ,取b 满足b <0且b <ln a 2,则f (b )>a2(b -2)+a (b -1)2=a ⎝⎛⎭⎫b 2-32b >0, 故f (x )存在两个零点.③设a <0,由f ′(x )=0得x =1或x =ln(-2a ).若a ≥-e2,则ln(-2a )≤1,故当x ∈(1,+∞)时,f ′(x )>0,因此f (x )在(1,+∞)上单调递增.又当x ≤1时,f (x )<0,所以f (x )不存在两个零点. 若a <-e2,则ln(-2a )>1,故当x ∈(1,ln(-2a ))时,f ′(x )<0;当x ∈(ln(-2a ),+∞)时,f ′(x )>0,因此f (x )在(1,ln(-2a ))上单调递减,在(ln(-2a ),+∞)上单调递增. 又当x ≤1时,f (x )<0,所以f (x )不存在两个零点. 综上,a 的取值范围为(0,+∞).(2)不妨设x 1<x 2.由(1)知,x 1∈(-∞,1),x 2∈(1,+∞),2-x 2∈(-∞,1),f (x )在(-∞,1)上单调递减,所以x 1+x 2<2等价于f (x 1)>f (2-x 2),即f (2-x 2)<0. 由于f (2-x 2)=-x 2e 2-x 2+a (x 2-1)2,而f (x 2)=(x 2-2)e x 2+a (x 2-1)2=0,所以f (2-x 2)=-x 2e 2-x2-(x 2-2)e x2.设g (x )=-x e 2-x -(x -2)e x ,则g ′(x )=(x -1)(e 2-x -e x ),所以当x >1时,g ′(x )<0,而g (1)=0, 故当x >1时,g (x )<0,从而g (x 2)=f (2-x 2)<0,故x 1+x 2<2.22.证明 (1)设E 是AB 的中点,连接OE .因为OA =OB ,∠AOB =120°,所以OE ⊥AB ,∠AOE =60°,在Rt △AOE 中,OE =12AO ,即O 到直线AB 的距离等于⊙O 的半径,所以直线AB 与⊙O 相切.(2)因为OA =2OD ,所以O 不是A ,B ,C ,D 四点所在圆的圆心. 设O ′是A ,B ,C ,D 四点所在圆的圆心,作直线OO ′.由已知得O 在线段AB 的垂直平分线上,又O ′在线段AB 的垂直平分线上,所以OO ′⊥AB . 同理可证,OO ′⊥CD ,所以AB ∥CD .23.解析 (1)消去参数t 得到C 1的普通方程x 2+(y -1)2=a 2,C 1是以(0,1)为圆心,a 为半径的圆. 将x =ρcos θ,y =ρsin θ代入C 1的普通方程中,得到C 1的极坐标方程为ρ2-2ρsin θ+1-a 2=0.(2)曲线C 1,C 2的公共点的极坐标满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧ρ2-2ρsin θ+1-a 2=0,ρ=4cos θ.若ρ≠0,由方程组得16cos 2θ-8sin θcos θ+1-a 2=0,由已知tan θ=2,可得16cos 2θ-8sin θcos θ=0,从而1-a 2=0,解得a =-1(舍去),a =1.a =1时,极点也为C 1,C 2的公共点,在C 3上. 所以a =1.装订线 装订线24.解析 (1)f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧x -4,x ≤-1,3x -2,-1<x ≤ 32,-x +4,x >32,y =f (x )的图象如图所示.(2)由f (x )的表达式及图象,当f (x )=1时,可得x =1或x =3; 当f (x )=-1时,可得x =13或x =5,故f (x )>1的解集为{x |1<x <3};f (x )<-1的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <13或x >5.所以|f (x )|>1的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <13或1<x <3或x >5.。
2016年高考理科数学全国1卷--附答案
2016年高考数学全国1卷(理科)一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,每小题只有一项是符合题目要求的.1.设集合A={x|x2﹣4x+3<0},B={x|2x﹣3>0},则A∩B=( )A.(﹣3,﹣) B.(﹣3,) C.(1,)D.(,3)2.设(1+i)x=1+yi,其中x,y是实数,则|x+yi|=()A.1 B . C . D.23.已知等差数列{a n}前9项的和为27,a10=8,则a100=()A.100 B.99 C.98 D.974.某公司的班车在7:00,8:00,8:30发车,小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车,且到达发车站的时刻是随机的,则他等车时间不超过10分钟的概率是( )A .B .C .D .5.已知方程﹣=1表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为4,则n的取值范围是()A.(﹣1,3) B.(﹣1,) C.(0,3) D.(0,)6.如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若该几何体的体积是,则它的表面积是()A.17π B.18πC.20π D.28π7.函数y=2x2﹣e|x|在[﹣2,2]的图象大致为()A .B .C .D .8.若a>b>1,0<c<1,则()A.a c<b c B.ab c<ba c C.alog b c<blog a c D.log a c<log b c 9.执行如图的程序框图,如果输入的x=0,y=1,n=1,则输出x,y的值满足()A.y=2x B.y=3x C.y=4x D.y=5x10.以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A、B两点,交C的准线于D、E两点.已知|AB|=4,|DE|=2,则C的焦点到准线的距离为()A.2 B.4 C.6 D.811.平面α过正方体ABCD﹣A1B1C1D1的顶点A,α∥平面CB1D1,α∩平面ABCD=m,α∩平面ABB1A1=n,则m、n所成角的正弦值为()A .B .C .D .12.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|≤),x=﹣为f(x)的零点,x=为y=f(x)图象的对称轴,且f(x )在(,)上单调,则ω的最大值为()A.11 B.9 C.7 D.5二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.13.设向量=(m,1),=(1,2),且|+|2=||2+||2,则m= .14.(2x+)5的展开式中,x3的系数是.(用数字填写答案)15.设等比数列{a n}满足a1+a3=10,a2+a4=5,则a1a2…a n的最大值为.16.某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品A需要甲材料1。
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2016年普通高等学校招生全国统一考试理科数学第Ⅰ卷一. 选择题:本大题共12小题,每小题5分.(1)设集合2{|430}A x x x =-+<,{|230}B x x =->,则A B = (A )3(3,)2--(B )3(3,)2-(C )3(1,)2(D )3(,3)2(2)设(1i)1i x y +=+,其中x ,y 是实数,则i =x y + (A )1(B(CD )2 (3)已知等差数列{}n a 前9项的和为27,10=8a ,则100=a(A )100(B )99(C )98(D )97(4)某公司的班车在7:00,8:00,8:30发车,学.科网小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车,且到达发车站的时刻是随机的,则他等车时间不超过10分钟的概率是 (A )31(B )21(C )32(D )43 (5)已知方程132222=--+nm y n m x 表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为4,则n 的取值范围是(A )(–1,3) (B )(–1,3) (C )(0,3) (D )(0,3)(6)如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若该几何体的体积是,则它的表面积是 (A )17π(B )18π(C )20π(D )28π (7)函数y =2x 2–e |x |在[–2,2]的图像大致为(A )(B )(C )(D )(8)若101a b c >><<,,则(A )c c a b <(B )c c ab ba <(C )log log b a a c b c <(D )log log a b c c <(9)执行右面的程序图,如果输入的011x y n ===,,,则输出x ,y 的值满足(A )2y x =(B )3y x =(C )4y x =(D )5y x =(10)以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A 、B 两点,交C 的标准线于D 、E 两点.已知|AB|=,|DE|=C 的焦点到准线的距离为(11)平面a 过正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的顶点A ,a //平面CB 1D 1,a ⋂平面ABCD =m ,a ⋂平面ABA 1B 1=n ,则m 、n 所成角的正弦值为B(D)13(12).已知函数()sin()(0),24f x x+x ππωϕωϕ=>≤=-,为()f x 的零点,4x π=为()y f x =图像的对称轴,且()f x 在51836ππ⎛⎫⎪⎝⎭,单调,则ω的最大值为 (A )11 (B )9 (C )7 (D )5第II 卷二、填空题:本大题共3小题,每小题5分(13)设向量a =(m ,1),b =(1,2),且|a +b |2=|a |2+|b |2,则m =__________.(14)5(2x +的展开式中,x 3的系数是_________.(用数字填写答案)(15)设等比数列满足a 1+a 3=10,a 2+a 4=5,则a 1a 2…a n 的最大值为____________。
(16)某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料。
生产一件产品A 需要甲材料1.5kg ,乙材料1kg ,用5个工时;生产一件产品B 需要甲材料0.5kg ,乙材料0.3kg ,用3个工时,生产一件产品A 的利润为2100元,生产一件产品B 的利润为900元。
该企业现有甲材料150kg ,乙材料90kg ,则在不超过600个工时的条件下,生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为__________元。
三.解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. (17)(本题满分为12分) △ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别别为a ,b ,c ,已知2cos (cos cos ).C a B+b A c =(18)(本题满分为12分)如图,在已A ,B ,C ,D ,E ,F 为顶点的五面体中,面ABEF 为正方形,AF =2FD ,90AFD ∠=,且二面角D -AF -E 与二面角C -BE -F 都是60.(I )证明平面ABEF ⊥EFDC ; (II )求二面角E -BC -A 的余弦值.(19)(本小题满分12分)某公司计划购买2台机器,该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件,在购进机器时,可以额外购买这种零件作为备件,每个200元.在机器使用期间,如果备件不足再购买,则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件,为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数,得下面柱状图:以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率,记X 表示2台机器三年内共需更换的易损零件数,n 表示购买2台机器的同时购买的易损零件数. (I )求X 的分布列;(II )若要求()0.5P X n ≤≥,确定n 的最小值;(III )以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据,在19n =与20n =之中选其一,应选用哪个?20. (本小题满分12分)设圆222150x y x ++-=的圆心为A ,直线l 过点B (1,0)且与x 轴不重合,l 交圆A 于C ,D 两点,过B 作AC 的平行线交AD 于点E . (I )证明EA EB +为定值,并写出点E 的轨迹方程;(II )设点E 的轨迹为曲线C 1,直线l 交C 1于M ,N 两点,学科&网过B 且与l 垂直的直线与圆A 交于P ,Q 两点,求四边形MPNQ 面积的取值范围. (21)(本小题满分12分) 已知函数2)1()2()(-+-=x a e x x f x有两个零点.(I)求a 的取值范围; (II)设x 1,x 2是的两个零点,证明:+x 2<2.请考生在22、23、24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请写清题号(22)(本小题满分10分)选修4-1:几何证明选讲 如图,△OAB 是等腰三角形,∠AOB =120°.以⊙O 为圆心,21OA 为半径作圆. (I)证明:直线AB 与⊙O 相切;(II)点C ,D 在⊙O 上,且A ,B ,C ,D 四点共圆,证明:AB ∥CD.(23)(本小题满分10分)选修4—4:坐标系与参数方程在直线坐标系xoy 中,曲线C 1的参数方程为(t 为参数,a >0)。
在以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C 2:ρ=4cos θ。
(I )说明C 1是哪种曲线,并将C 1的方程化为极坐标方程;(II )直线C 3的极坐标方程为θ=α0,其中α0满足tan α0=2,若曲线C 1与C 2的公共点都在C 3上,求a 。
(24)(本小题满分10分),选修4—5:不等式选讲 已知函数f (x )= ∣x +1∣-∣2x -3∣.(I )在答题卡第(24)题图中画出y = f (x )的图像; (II )求不等式∣f (x )∣﹥1的解集。
2016年普通高等学校招生全国统一考试理科数学参考答案一、 选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.(1)D (2)B (3)C (4)B (5)A (6)A (7)D (8)C (9)C (10)B (11)A (12)B 二、填空题:本大题共4小题,每小题5分 (13)2- (14)10 (15)64 (16)216000 三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. (17)(本小题满分为12分)解:(I )由已知及正弦定理得,()2cosC sin cos sin cos sinC A B+B A =, 即()2cosCsin sinC A+B =.故2sinCcosC sinC =. 可得1cosC 2=,所以C 3π=. (II)由已知,1sin C 22ab =.又C 3π=,所以6ab =.由已知及余弦定理得,222cosC 7a b ab +-=.故2213a b +=,从而()225a b +=.所以C ∆AB的周长为5. (18)(本小题满分为12分)解:(I )由已知可得F DF A ⊥,F F A ⊥E ,所以F A ⊥平面FDC E . 又F A ⊂平面F ABE ,故平面F ABE ⊥平面FDC E .以G 为坐标原点,GF 的方向为x 轴正方向,GF 为单位长度,建立如图所示的空间直角坐标系G xyz -.由(I )知DF ∠E 为二面角D F -A -E 的平面角,故DF 60∠E =,则DF 2=,DG 3=,可得()1,4,0A ,()3,4,0B -,()3,0,0E -,(D .由已知,//F AB E ,所以//AB 平面FDC E . 又平面CDAB 平面FDC DC E =,故//CD AB ,CD//F E .由//F BE A ,可得BE ⊥平面FDC E ,所以C F ∠E 为二面角C F -BE -的平面角,C F 60∠E =.从而可得(C -.所以(C E =,()0,4,0EB =,(C 3,A =--,()4,0,0AB =-.设(),,n x y z =是平面C B E 的法向量,则C 00n n ⎧⋅E =⎪⎨⋅EB =⎪⎩,即040x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩,所以可取(3,0,n =.设m 是平面CD AB 的法向量,则C 0m m ⎧⋅A =⎪⎨⋅AB =⎪⎩,同理可取()0,3,4m =.则29co s ,n m n m nm ⋅==-故二面角C E-B -A 的余弦值为-.(19)(本小题满分12分)解:(Ⅰ)由柱状图并以频率代替概率可得,一台机器在三年内需更换的易损零件数为8,9,10,11的概率分别为0.2,0.4,0.2,0.2,从而04.02.02.0)16(=⨯==X P ;16.04.02.02)17(=⨯⨯==X P ; 24.04.04.02.02.02)18(=⨯+⨯⨯==X P ; 24.02.04.022.02.02)19(=⨯⨯+⨯⨯==X P ; 2.02.02.04.02.02)20(=⨯+⨯⨯==X P ;08.02.02.02)21(=⨯⨯==X P ;04.02.02.0)22(=⨯==X P .所以X 的分布列为(Ⅱ)由(Ⅰ)知44.0)18(=≤X P ,68.0)19(=≤X P ,故n 的最小值为19. (Ⅲ)记Y 表示2台机器在购买易损零件上所需的费用(单位:元).当19=n 时,08.0)500220019(2.0)50020019(68.020019⨯⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=EY404004.0)500320019(=⨯⨯+⨯+.学科&网当20=n 时,04.0)500220020(08.0)50020020(88.020020⨯⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=EY 4080=.可知当19=n 时所需费用的期望值小于20=n 时所需费用的期望值,故应选19=n .20.解:(Ⅰ)因为||||AC AD =,AC EB //,故ADC ACD EBD ∠=∠=∠, 所以||||ED EB =,故||||||||||AD ED EA EB EA =+=+.又圆A 的标准方程为16)1(22=++y x ,从而4||=AD ,所以4||||=+EB EA . 由题设得)0,1(-A ,)0,1(B ,2||=AB ,由椭圆定义可得点E 的轨迹方程为:13422=+y x (0≠y ). (Ⅱ)当l 与x 轴不垂直时,设l 的方程为)0)(1(≠-=k x k y ,),(11y x M ,),(22y x N .由⎪⎩⎪⎨⎧=+-=134)1(22y x x k y 得01248)34(2222=-+-+k x k x k .则3482221+=+k k x x ,341242221+-=k k x x .所以34)1(12||1||22212++=-+=k k x x k MN . 过点)0,1(B 且与l 垂直的直线m :)1(1--=x k y ,A 到m 的距离为122+k ,所以1344)12(42||22222++=+-=k k k PQ .故四边形MPNQ 的面积341112||||212++==k PQ MN S .可得当l 与x 轴不垂直时,四边形MPNQ 面积的取值范围为)38,12[.当l 与x 轴垂直时,其方程为1=x ,3||=MN ,8||=PQ ,四边形MPNQ 的面积为12.综上,四边形MPNQ 面积的取值范围为)38,12[.(21)(本小题满分12分)解:(Ⅰ)'()(1)2(1)(1)(2)x x f x x e a x x e a =-+-=-+. (i )设0a =,则()(2)x f x x e =-,()f x 只有一个零点.(ii )设0a >,则当(,1)x ∈-∞时,'()0f x <;当(1,)x ∈+∞时,'()0f x >.所以()f x 在(,1)-∞上单调递减,在(1,)+∞上单调递增. 又(1)f e =-,(2)f a =,取b 满足0b <且ln2ab <,则 223()(2)(1)()022a fb b a b a b b >-+-=->,故()f x 存在两个零点. (iii )设0a <,由'()0f x =得1x =或ln(2)x a =-. 若2ea ≥-,则ln(2)1a -≤,故当(1,)x ∈+∞时,'()0f x >,因此()f x 在(1,)+∞上单调递增.又当1x ≤时,()0f x <,所以()f x 不存在两个零点.学科&网 若2ea <-,则l n (2)a ->,故当(1,l n (2x a ∈-时,'()0f x <;当(l n (2),x a ∈-+∞时,'()0f x >.因此()f x 在(1,ln(2))a -单调递减,在(ln(2),)a -+∞单调递增.又当1x ≤时,()0f x <,所以()f x 不存在两个零点.综上,a 的取值范围为(0,)+∞.(Ⅱ)不妨设12x x <,由(Ⅰ)知12(,1),(1,)x x ∈-∞∈+∞,22(,1)x -∈-∞,()f x 在(,1)-∞上单调递减,所以122x x +<等价于12()(2)f x f x >-,即2(2)0f x -<.由于222222(2)(1)x f x x e a x --=-+-,而22222()(2)(1)0x f x x e a x =-+-=,所以222222(2)(2)x x f x x ex e --=---.设2()(2)x x g x xe x e -=---,则2'()(1)()x x g x x e e -=--. 所以当1x >时,'()0g x <,而(1)0g =,故当1x >时,()0g x <. 从而22()(2)0g x f x =-<,故122x x +<.请考生在22、23、24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请写清题号(22)(本小题满分10分)选修4-1:几何证明选讲 解:(Ⅰ)设E 是AB 的中点,连结OE ,因为,120OA OB AOB =∠=︒,所以OE AB ⊥,60AOE ∠=︒.在Rt AOE ∆中,12OE AO =,即O 到直线AB 的距离等于圆O 的半径,所以直线AB 与⊙O 相切.EO'DCO BA(Ⅱ)因为2OA OD =,所以O 不是,,,A B C D 四点所在圆的圆心,设'O 是,,,A B C D 四点所在圆的圆心,作直线'OO .由已知得O 在线段AB 的垂直平分线上,又'O 在线段AB 的垂直平分线上,所以'OO AB ⊥. 同理可证,'OO CD ⊥.所以//AB CD .(23)(本小题满分10分)解:⑴ cos 1sin x a ty a t=⎧⎨=+⎩ (t 均为参数)∴()2221x y a +-= ①∴1C 为以()01,为圆心,a 为半径的圆.方程为222210x y y a +-+-= ∵222sin x y y ρρθ+==, ∴222sin 10a ρρθ-+-= 即为1C 的极坐标方程⑵ 24cos C ρθ=:学科&网 两边同乘ρ得22224cos cos x y x ρρθρρθ==+=,224x y x ∴+=即()2224x y -+= ②3C :化为普通方程为2y x =①—②得:24210x y a -+-=,即为3C ∴210a -= ∴1a =(24)(本小题满分10分) 解:⑴ 如图所示:⑵ ()4133212342x x f x x x x x ⎧⎪--⎪⎪=--<<⎨⎪⎪-⎪⎩,≤,,≥()1f x >当1x -≤,41x ->,解得5x >或3x <1x -∴≤当312x -<<,321x ->,解得1x >或13x < 113x -<<∴或312x <<当32x ≥,41x ->,解得5x >或3x <332x <∴≤或5x > 综上,13x <或13x <<或5x >。