2012年高考陕西省理科数学试卷(word版)

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2012年陕西高考理科综合含答案(word版)

2012年陕西高考理科综合含答案(word版)

2012年普通高等学校招生全国统一考试理科综合能力测试本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分。

第I卷1至8页,第II卷9至16页,共300分。

考生注意:1.答题前,考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上。

考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致。

2.第I卷每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。

第II卷用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答,在试题卷上作答,答案无效。

3.考试结束,监考员将试题卷、答题卡一并收回。

第I卷一、选择题:1.同一物种的两类细胞各产生一种分泌蛋白,组成这两种蛋白质的各种氨基酸含量相同,但排列顺序不同。

其原因是参与这两种蛋白质合成的是(B)A. tRNA 种类不同 B. mRNA碱基序列不同C.核糖体成分不同D.同一密码子所决定的氨基酸不同2.下列关于细胞癌变的叙述,错误的是(D)A.癌细胞在条件不适宜时可无限增殖B.癌变前后,细胞的形态和结构有明显差别C.病毒癌基因可整合到宿主基因组诱发癌变D.原癌基因的主要功能是阻止细胞发生异常增殖3.哺乳动物因长时间未饮水导致机体脱水时,会发生的生理现象是(B)A.血浆渗透压降低B.抗利尿激素分泌增加C.下丘脑渗透压感受器受到的刺激减弱D.肾小管和集合管对水的重吸收作用减弱4.当人看到酸梅时唾液分泌会大量增加,对此现象的分析,错误的是(C)A.这一反射过程需要大脑皮层的参与B.这是一种反射活动,其效应器是唾液腺C.酸梅色泽直接刺激神经中枢引起唾液分泌D.这一过程中有“电—化学—电”信号的转化5.取生长状态一致的燕麦胚芽鞘,分为a、b、c、d四组。

将a、b两组胚芽鞘尖端下方的一段切除,再从c、d两组胚芽鞘中的相应位置分别切取等长的一段,并按图中所示分别接入a、b两组胚芽鞘被切除的位置,得到a′、b′两组胚芽鞘。

2012年高考数学理科陕西卷(含答案解析)

2012年高考数学理科陕西卷(含答案解析)

绝密★启用前2012年普通高等学校招生全国统一考试(陕西卷)理科数学注意事项:1.本试卷分为两部分,第一部分为选择题,第二部分为非选择题.2.考生领到试卷后,须按规定在试卷上填写姓名、准考证号,并在答题卡上填涂对应的试卷类型信息.3.所有解答必须填写在答题卡上指定区域内.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.第一部分(共50分)一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求(本大题共10小题,每小题5分,共50分).1.集合{|lg 0}M x x =>,2{|4}N x x =≤,则M N =I( )A .(1,2)B .[1,2)C .(1,2]D .[1,2] 2.下列函数中,既是奇函数又是增函数的为( )A .1y x =+B .3y x =-C .1y x =D .||y x x = 3.设,a b ∈R ,i 是虚数单位,则“0ab =”是“复数iba +为纯虚数”的 ( )A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充分必要条件D .既不充分也不必要条件4.已知圆C :22+4=0x y x -,l 是过点(3,0)P 的直线,则( )A .l 与C 相交B .l 与C 相切C .l 与C 相离D .以上三个选项均有可能 5.如图,在空间直角坐标系中有直三棱柱111ABC A B C -,12CA CC CB ==,则直线1BC 与 直线1AB 夹角的余弦值为( )A .5 B .5 C .25D .356.从甲乙两个城市分别随机抽取16 台自动售货机,对其销售额进行统计,统计数据用茎 叶图表示(如图所示).设甲乙两组数据的平均数分别为x 甲,x 乙,中位数分别为m 甲, m 乙,则( )A .x x <甲乙,m m >乙甲B .x x <甲乙,m m <乙甲C .x x >甲乙,m m >乙甲D .x x >甲乙,m m <乙甲 7.设函数()e x f x x =,则( ) A .1x =为()f x 的极大值点B .1x =为()f x 的极小值点C .1x =-为()f x 的极大值点D .1x =-为()f x 的极小值点8.两人进行乒乓球比赛,先赢3 局者获胜,决出胜负为止,则所有可能出现的情形(各人输赢局次的不同视为不同情形)共有( ) A .10 种 B .15 种 C .20 种 D .30 种9.在△ABC 中,角A ,B ,C 所对边的长分别为a ,b ,c ,若2222a +b =c ,则cos C 的最 小值为 ( ) A .3B .2 C .12D .12-10.右图是用模拟方法估计圆周率π值的程序框图,P 表示估计结果,则图中空白框内应填入( )A .1000NP =B .41000NP =C .1000MP =D .41000MP =姓名________________ 准考证号_____________------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效---------------第二部分(共100分)二、填空题:把答案填在答题卡相应题号后的横线上(本大题共5小题,每小题5分,共25分). 11.观察下列不等式213122+< 221151233++< 222111712344+++< ……照此规律,第五个...不等式为 . 12.5()a x +展开式中2x 的系数为10,则实数a 的值为 . 13.右图是抛物线形拱桥,当水面在l 时,拱顶离水面2 米,水面宽4 米.水位下降1 米后,水面宽 米.14.设函数ln , 0,()21, 0,x x f x x x >⎧=⎨--⎩≤D 是由x 轴和曲线=()y f x 及该曲线在点(1,0)处的切线所围成的封闭区域,则2z x y =-在D 上的最大值为 .15.(考生注意:请在下列三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题评分)A .(不等式选做题)若存在实数x 使|||1|3x a x -+-≤成立,则实数a 的取值范围是 .B .(几何证明选做题)如图,在圆O 中,直径AB 与弦CD 垂直, 垂足为E ,EF DB ⊥,垂足为F ,若6AB =,1AE =,则DF DB =g .C .(坐标系与参数方程选做题)直线2cos 1ρθ=与圆2cos ρθ=相交的弦长为 .三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(本大题共6小题,共75分).16.(本小题满分12分)函数π()sin()1(0,0)6f x A x A ωω=-+>>的最大值为3,其图像相邻两条对称轴之间的距离为π2. (Ⅰ)求函数()f x 的解析式;(Ⅱ)设(0,)2πα∈,()22f α=,求α的值.17.(本小题满分12分)设{}n a 是公比不为1的等比数列,其前n 项和为n S ,且534,,a a a 成等差数列. (Ⅰ)求数列{}n a 的公比;(Ⅱ)证明:对任意k ∈+N ,21,,k k k S S S ++成等差数列.18.(本小题满分12分)(Ⅰ)如图,证明命题“a 是平面π内的一条直线,b 是π外的一条直线(b 不垂直于π),c 是直线 b 在π上的投影,若a b ⊥,则a c ⊥”为真;(Ⅱ)写出上述命题的逆命题,并判断其真假(不 需证明).19.(本小题满分12分)已知椭圆221:14x C y +=,椭圆2C 以1C 的长轴为短轴,且与1C 有相同的离心率.(Ⅰ)求椭圆2C 的方程;(Ⅱ)设O 为坐标原点,点A ,B 分别在椭圆1C 和2C 上,2OB OA =u u u r u u u r,求直线AB的方程.20.(本小题满分13分)某银行柜台设有一个服务窗口,假设顾客办理业务所需的时间相互独立,且都是整 数分钟,对以往顾客办理业务所需的时间统计结果如下:从第一个顾客办理业务时计时.(Ⅰ)估计第三个顾客恰好等待4 分钟开始办理业务的概率;(Ⅱ)X 表示至第2 分钟末已办理完业务的顾客人数,求X 的分布列及数学期望.21.(本小题满分14分)设函数()=++(,,)n n f x x bx c n b c ∈∈+N R .(Ⅰ)设2,=1,=1n b c -≥,证明:()n f x 在区间1(,1)2内存在唯一零点;(Ⅱ)设=2n ,若对任意12,[1,1]x x ∈-,有2122|()()|4f x f x -≤,求b 的取值范围; (Ⅲ)在(Ⅰ)的条件下,设n x 是()n f x 在(12,1)内的零点,判断数列23,,,n x x x L L 的增减性.办理业务所需的时间(分)12345频率0.1 0.4 0.3 0.1 0.1理科数学答案解析又由相交弦定理得=155DE AE EB =⨯=g ,5DF BD ∴=g.a c ∴⊥;ac ∴⊥;。

2012年高考真题理科数学精解精析系列:陕西

2012年高考真题理科数学精解精析系列:陕西

2012年普通高等学校招生全国统一考试(陕西卷)数学(理科)一、选择题1. 集合{|lg 0}M x x =>,2{|4}N x x =≤,则M N =( )A .(1,2)B .[1,2)C .(1,2]D .[1,2]【解析】{}1>=x x M ,{}22≤≤-=x x N ,则{}21≤<=⋂x x N M ,故选C 2. 下列函数中,既是奇函数又是增函数的为( )A .1y x =+B .3x y -= C .1y x=D .||y x x = 【解析】选项中是奇函数的有B 、C 、D ,增函数有D ,故选D 3. 设,a b R ∈,i 是虚数单位,则“0ab =”是“复数ba i+为纯虚数”的( ) A .充分不必要条件 B .必要不充分条件C .充分必要条件D .既不充分也不必要条件【解析】“0ab =”则0=a 或0=b ,“复数ba i+为纯虚数”则0=a 且0≠b ,则 “0ab =”是“复数ba i+为纯虚数”的必要不充分条件,故选B 4. 已知圆22:40C x y x +-=,l 过点(3,0)P 的直线,则( ) A .l 与C 相交 B .l 与C 相切C .l 与C 相离D .以上三个选项均有可能【解析】点(3,0)P 在圆内,则l 必与C 相交,故选A5. 如图,在空间直角坐标系中有直三棱柱111ABC A B C -,12CA CC CB ==,则直线1BC 与直线1AB 夹角的余弦值为( )ABC.5D .35【解析】设1=CB ,则()1,2,21-=AB ,()1,2,01-=BC ,则55,cos 11=>=<BC AB ,故选A6. 从甲乙两个城市分别随机抽取16台自动售货机,对其销售额进行统计,统计数据用茎叶图表示(如图所示),设甲乙两组数据的平均数分别为x 甲,x 乙,中位数分别为m 甲,m 乙,则( )A .x x <甲乙,m 甲>m 乙B .x x <甲乙,m 甲<m 乙C .x x >甲乙,m 甲>m 乙D .x x >甲乙,m 甲<m 乙【解析】经计算得:x 甲=21.5625,x 乙=28.5625,m 甲=20,m 乙=29,故选B 7. 设函数()xf x xe =,则( ) A .1x =为()f x 的极大值点 B .1x =为()f x 的极小值点C .1x =-为()f x 的极大值点D .1x =-为()f x 的极小值点【解析】()x f x xe =,()1'+=x e f x x ,0>x e 恒成立,令0'=x f ,则1-=x当1-<x 时,0'<x f ,函数单调减,当1->x 时,0'>x f ,函数单调增,则1x =-为()f x 的极小值点,故选D8. 两人进行乒乓球比赛,先赢三局着获胜,决出胜负为止,则所有可能出现的情形(各人输赢局次的不同视为不同情形)共有( ) A .10种 B .15种 C .20种 D .30种 【解析】甲赢和乙赢的可能情况是一样的,所以假设甲赢的情况如下: 若两人进行3场比赛,则情况只有是甲全赢1种情况;若两人进行4场比赛,第4场比赛必为甲赢前3场任选一场乙赢为313=C 种情况;若两人进行5场比赛,第5场比赛必为甲赢前4场任选一场乙赢为624=C 种情况; 综上,甲赢有10种情况,同理,乙赢有10种情况, 则所有可能出现的情况共20种,故选C9. 在ABC ∆中角A 、B 、C 所对边长分别为,,a b c ,若2222a b c +=,则cos C 的最小值为( )A .2B .2C .12D .12-【解析】2122cos 2222222=+-≥-+=b ac c ab c b a C ,故选C 10. 右图是用模拟方法估计圆周率π的程序框图,P 表示估计结果,则图中空白框内应填入( )A .1000NP =B .41000NP =C .1000MP =D .41000MP =【解析】M 表示落入扇形的点的个数,1000表示落入正方形的点的个数, 则点落入扇形的概率为1000M, 由几何概型知,点落入扇形的概率为4π, 则10004MP ==π,故选D 二. 填空题:把答案填写在答题卡相应的题号后的横线上(本大题共5小题,每小题5分,共25分)11. 观察下列不等式213122+< 231151233++<,474131211222<+++,……照此规律,第五个...不等式为 . 【答案】6116151413121122222<+++++【解析】观察不等式的左边发现,第n 个不等式的左边=()2221131211+++++n L , 右边=()1112+-+n n ,所以第五个不等式为6116151413121122222<+++++.12. 5()a x +展开式中2x 的系数为10, 则实数a 的值为 .【答案】1【解析】∵r r r r x a C T -+=551,令2=r ,则23253x a C T =, 又∵2x 的系数为10,则10325=a C ,∴1=a13. 右图是抛物线形拱桥,当水面在l 时,拱顶离水面2米,水面宽4米,水位下降1米后,水面宽 米.【答案】62【解析】建立如图所示的直角坐标系,使拱桥的顶点O 的坐标为(0,0), 设l 与抛物线的交点为A 、B ,根据题意知A (-2,-2),B (2,-2) 设抛物线的解析式为2ax y =,则有()222-⨯=-a ,∴21-=a ∴抛物线的解析式为221x y -= 水位下降1米,则y=-3,此时有6=x 或6-=x∴此时水面宽为62米。

2012年新课标数学高考试题(理科数学理科数学高考试题,word教师版【免费下载】)

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2012年普通高等学校招生全国统一考试(新课标) 理科数学第一卷一. 选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给同的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

(1)已知集合{1,2,3,4,5}A =,{(,),,}B x y x A y A x y A =∈∈-∈;,则B 中所含元素的个数为( )()A 3()B 6 ()C 8 ()D 10【解析】选D5,1,2,3,x y ==,4,1,2,3x y ==,3,1,2x y ==,2,1x y ==共10个 (2)将2名教师,4名学生分成2个小组,分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动,每个小组由1名教师和2名学生组成,不同的安排方案共有( )()A 12种()B 10种 ()C 9种()D 8种【解析】选A甲地由1名教师和2名学生:122412C C =种 (3)下面是关于复数21z i=-+的四个命题:其中的真命题为( )1:2p z = 22:2p z i = 3:p z 的共轭复数为1i + 4:p z 的虚部为1-()A 23,p p ()B 12,p p ()C ,p p 24 ()D ,p p 34【解析】选C 22(1)11(1)(1)iz i ii i --===---+-+--1:p z =22:2p z i =,3:p z 的共轭复数为1i -+,4:p z 的虚部为1-(4)设12F F 是椭圆2222:1(0)x y E a b ab+=>>的左、右焦点,P 为直线32a x =上一点,∆21F P F 是底角为30 的等腰三角形,则E 的离心率为( )()A 12()B23()C 34()D 45【解析】选C ∆21F P F 是底角为30的等腰三角形221332()224c P F F F a c c e a ⇒==-=⇔==(5)已知{}n a 为等比数列,472a a +=,568a a =-,则110a a +=( )()A 7()B 5 ()C -5()D -7【解析】选D472a a +=,56474784,2a a a a a a ==-⇒==-或472,4a a =-= 471101104,28,17a a a a a a ==-⇒=-=⇔+=- 471011102,48,17a a a a a a =-=⇒=-=⇔+=-(6)如果执行右边的程序框图,输入正整数(2)N N ≥和实数12,,...,n a a a ,输出,A B ,则( )()A A B +为12,,...,n a a a 的和()B 2A B +为12,,...,n a a a 的算术平均数()C A 和B 分别是12,,...,n a a a 中最大的数和最小的数 ()D A和B 分别是12,,...,n a a a 中最小的数和最大的数【解析】选C(7)如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某几何体的三视图,则此几何体的体积为( )()A 6()B 9 ()C 12 ()D 18【解析】选B该几何体是三棱锥,底面是俯视图,高为3 此几何体的体积为11633932V =⨯⨯⨯⨯=(8)等轴双曲线C 的中心在原点,焦点在x 轴上,C 与抛物线x y 162=的准线交于,A B两点,AB =C 的实轴长为( )()A ()B ()C 4 ()D 8【解析】选C设222:(0)C x y a a -=>交x y 162=的准线:4l x =-于(4,A -(4,B --得:222(4)4224a a a =--=⇔=⇔=(9)已知0ω>,函数()sin()4f x x πω=+在(,)2ππ上单调递减。

2012年高考理数真题试卷(陕西卷)

2012年高考理数真题试卷(陕西卷)

第1页,总17页…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………姓名:____________班级:____________学号:___________…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………2012年高考理数真题试卷(陕西卷)考试时间:**分钟 满分:**分姓名:____________班级:____________学号:___________题号 一 二 三 总分 核分人 得分注意事项:1、填写答题卡的内容用2B铅笔填写2、提前 15 分钟收取答题卡第Ⅰ卷 客观题第Ⅰ卷的注释评卷人 得分一、单选题(共10题)1. (2012•陕西)集合M={x|lgx >0},N={x|x 2≤4},则M∩N=( ) A . (0,2] B . (0,2) C . (1,2] D . (1,2)2. (2012•陕西)下列函数中,既是奇函数又是增函数的为( ) A . y=x+1 B . y=﹣x 2 C . y= D . y=x|x|3. (2012•陕西)如图,在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1 , CA=CC 1=2CB ,则直线BC 1与直线AB 1夹角的余弦值为()A .B .C .D .4. (2012•陕西)已知圆C :x 2+y 2﹣4x=0,l 为过点P (3,0)的直线,则( ) A . l 与C 相交 B . l 与C 相切C . l 与C 相离D . 以上三个选项均有可能答案第2页,总17页………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………5. (2012•陕西)如图是用模拟方法估计圆周率π的程序框图,P 表示估计结果,则图中空白框内应填入( )A .B .C .D .6. (2012•陕西)从甲乙两个城市分别随机抽取16台自动售货机,对其销售额进行统计,统计数据用茎叶图表示(如图所示),设甲乙两组数据的平均数分别为,,中位数分别为m 甲 , m 乙 , 则( )A . , m 甲>m 乙B . , m 甲<m 乙C . , m 甲>m 乙D ., m 甲<m 乙7. (2012•陕西)在△ABC 中,角A ,B ,C 所对边长分别为a ,b ,c ,若a 2+b 2=2c 2 , 则cosC 的最小值为( )A .B .C .D .8. (2012•陕西)设a ,b△R ,i 是虚数单位,则“ab=0”是“复数为纯虚数”的( )。

2012年陕西省高考数学试卷(理科)答案与解析精选全文

2012年陕西省高考数学试卷(理科)答案与解析精选全文

可编辑修改精选全文完整版2012年陕西省高考数学试卷(理科)参考答案与试题解析一、选择题1.(5分)(2012•陕西)集合M={x|lgx>0},N={x|x2≤4},则M∩N=()A.(1,2)B.[1,2)C.(1,2]D.[1,2]考点:对数函数的单调性与特殊点;交集及其运算.专题:计算题.分析:先求出集合M、N,再利用两个集合的交集的定义求出M∩N.解答:解:∵M={x|lgx>0}={x|x>1},N={x|x2≤4}={x|﹣2≤x≤2},∴M∩N={x|1<x≤2},故选C.点评:本题主要考查对数函数的单调性和特殊点,两个集合的交集的定义和求法,属于基础题.2.(5分)(2012•陕西)下列函数中,既是奇函数又是增函数的为()A.y=x+1 B.y=﹣x2C.D.y=x|x|考点:函数奇偶性的判断;函数单调性的判断与证明.专题:探究型.分析:对于A,非奇非偶;对于B,是偶函数;对于C,是奇函数,但不是增函数;对于D,令f(x)=x|x|=,可判断函数既是奇函数又是增函数,故可得结论.解答:解:对于A,非奇非偶,是R上的增函数,不符合题意;对于B,是偶函数,不符合题意;对于C,是奇函数,但不是增函数;对于D,令f(x)=x|x|,∴f(﹣x)=﹣x|﹣x|=﹣f(x);∵f(x)=x|x|=,∴函数是增函数故选D.点评:本题考查函数的性质,考查函数的奇偶性与单调性的判断,属于基础题.3.(5分)(2012•陕西)设a,b∈R,i是虚数单位,则“ab=0”是“复数为纯虚数”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件考点:复数的基本概念;必要条件、充分条件与充要条件的判断.专题:计算题.分析:利用“ab=0”与“复数为纯虚数”互为前提与结论,经过推导判断充要条件.解答:解:因为“ab=0”得a=0或b=0,只有a=0,并且b≠0,复数为纯虚数,否则不成立;复数=a﹣bi为纯虚数,所以a=0并且b≠0,所以ab=0,因此a,b∈R,i是虚数单位,则“ab=0”是“复数为纯虚数”的必要不充分条件.故选B.点评:本题考查复数的基本概念,充要条件的判断,考查基本知识的灵活运用.4.(5分)(2012•陕西)已知圆C:x2+y2﹣4x=0,l为过点P(3,0)的直线,则()A.l与C相交B.l与C相切C.l与C相离D.以上三个选项均有可能考点:直线与圆的位置关系.专题:计算题.分析:将圆C的方程化为标准方程,找出圆心C坐标和半径r,利用两点间的距离公式求出P与圆心C间的长,记作d,判断得到d小于r,可得出P在圆C内,再由直线l过P 点,可得出直线l与圆C相交.解答:解:将圆的方程化为标准方程得:(x﹣2)2+y2=4,∴圆心C(2,0),半径r=2,又P(3,0)与圆心的距离d==1<2=r,∴点P在圆C内,又直线l过P点,则直线l与圆C相交.故选A.点评:此题考查了直线与圆的位置关系,涉及的知识有:圆的标准方程,两点间的距离公式,以及点与圆的位置关系,直线与圆的位置关系由d与r的关系来确定:当d<r时,直线与圆相交;当d=r时,直线与圆相切;当d>r时,直线与圆相离(d表示圆心到直线的距离,r为圆的半径).5.(5分)(2012•陕西)如图,在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC﹣A1B1C1,CA=CC1=2CB,则直线BC1与直线AB1夹角的余弦值为()A.B.C.D.考点:异面直线及其所成的角.专题:计算题.分析:根据题意可设CB=1,CA=CC1=2,分别以CA、CC1、CB为x轴、y轴和z轴建立如图坐标系,得到A、B、B1、C1四个点的坐标,从而得到向量与的坐标,根据异面直线所成的角的定义,结合空间两个向量数量积的坐标公式,可以算出直线BC1与直线AB1夹角的余弦值.解答:解:分别以CA、CC1、CB为x轴、y轴和z轴建立如图坐标系,∵CA=CC1=2CB,∴可设CB=1,CA=CC1=2∴A(2,0,0),B(0,0,1),B1(0,2,1),C1(0,2,0)∴=(0,2,﹣1),=(﹣2,2,1)可得•=0×(﹣2)+2×2+(﹣1)×1=3,且=,=3,向量与所成的角(或其补角)就是直线BC1与直线AB1夹角,设直线BC1与直线AB1夹角为θ,则cosθ==故选A点评:本题给出一个特殊的直三棱柱,求位于两个侧面的面对角线所成角的余弦之值,着重考查了空间向量的坐标运算和异面直线及其所成的角的概论,属于基础题.6.(5分)(2012•陕西)从甲乙两个城市分别随机抽取16台自动售货机,对其销售额进行统计,统计数据用茎叶图表示(如图所示),设甲乙两组数据的平均数分别为,,中位数分别为m甲,m乙,则()A.,m甲>m乙B.,m甲<m乙C.,m甲>m乙D.,m甲<m乙考点:茎叶图;众数、中位数、平均数.专题:计算题.分析:直接求出甲与乙的平均数,以及甲与乙的中位数,即可得到选项.解答:解:甲的平均数甲==,乙的平均数乙==,所以甲<乙.甲的中位数为20,乙的中位数为29,所以m甲<m乙故选:B.点评:本题考查茎叶图,众数、中位数、平均数的应用,考查计算能力.7.(5分)(2012•陕西)设函数f(x)=xe x,则()A.x=1为f(x)的极大值点B.x=1为f(x)的极小值点C.x=﹣1为f(x)的极大值点D.x=﹣1为f(x)的极小值点考点:利用导数研究函数的极值.专题:计算题.分析:由题意,可先求出f′(x)=(x+1)e x,利用导数研究出函数的单调性,即可得出x=﹣1为f(x)的极小值点解答:解:由于f(x)=xe x,可得f′(x)=(x+1)e x,令f′(x)=(x+1)e x=0可得x=﹣1令f′(x)=(x+1)e x>0可得x>﹣1,即函数在(﹣1,+∞)上是增函数令f′(x)=(x+1)e x<0可得x<﹣1,即函数在(﹣∞,﹣1)上是减函数所以x=﹣1为f(x)的极小值点故选D点评:本题考查利用导数研究函数的极值,解题的关键是正确求出导数及掌握求极值的步骤,本题是基础题,8.(5分)(2012•陕西)两人进行乒乓球比赛,先赢三局者获胜,决出胜负为止,则所有可能出现的情形(各人输赢局次的不同视为不同情形)共有()A.10种B.15种C.20种D.30种考点:排列、组合及简单计数问题;计数原理的应用.专题:计算题.分析:根据分类计数原理,所有可能情形可分为三类,在每一类中可利用组合数公式计数,最后三类求和即可得结果解答:解:第一类:三局为止,共有2种情形;第二类:四局为止,共有2×=6种情形;第三类:五局为止,共有2×=12种情形;故所有可能出现的情形共有2+6+12=20种情形故选C点评:本题主要考查了分类和分步计数原理的运用,组合数公式的运用,分类讨论的思想方法,属基础题9.(5分)(2012•陕西)在△ABC中,角A,B,C所对边长分别为a,b,c,若a2+b2=2c2,则cosC的最小值为()A.B.C.D.考点:余弦定理.专题:计算题;压轴题.分析:通过余弦定理求出cosC的表达式,利用基本不等式求出cosC的最小值.解答:解:因为a2+b2=2c2,所以由余弦定理可知,c2=2abcosC,cosC==.故选C.点评:本题考查三角形中余弦定理的应用,考查基本不等式的应用,考查计算能力.10.(5分)(2012•陕西)如图是用模拟方法估计圆周率π的程序框图,P表示估计结果,则图中空白框内应填入()A.B.C.D.考点:循环结构.专题:计算题;压轴题.分析:由题意以及框图的作用,直接推断空白框内应填入的表达式.解答:解:法一:由题意以及程序框图可知,用模拟方法估计圆周率π的程序框图,M是圆周内的点的次数,当i大于1000时,圆周内的点的次数为4M,总试验次数为1000,所以要求的概率,所以空白框内应填入的表达式是.故选D.法二:随机输入xi∈(0,1),yi∈(0,1)那么点P(xi,yi)构成的区域为以O(0,0),A(1,0),B(1,1),C(0,1)为顶点的正方形.判断框内x2i+y2i≤1,若是,说说明点P(x i,y i)在单位圆内部(圆)内,并累计记录点的个数M若否,则说明点P(x i,y i)在单位圆内部(圆)外,并累计记录点的个数N第2个判断框i>1000,是进入计算此时落在单位圆内的点的个数为M,一共判断了1000个点那么圆的面积/正方形的面积=,即π12÷1=∴π=(π的估计值)即执行框内计算的是.故选D.点评:本题考查程序框图的作用,考查模拟方法估计圆周率π的方法,考查计算能力.二、填空题:把答案填写在答题卡相应的题号后的横线上(本大题共5小题,每小题5分,共25分)11.(5分)(2012•陕西)观察下列不等式:,,…照此规律,第五个不等式为1+++++<.考点:归纳推理.专题:探究型.分析:由题设中所给的三个不等式归纳出它们的共性:左边式子是连续正整数平方的倒数和,最后一个数的分母是不等式序号n+1的平方,右边分式中的分子与不等式序号n 的关系是2n+1,分母是不等式的序号n+1,得出第n个不等式,即可得到通式,再令n=5,即可得出第五个不等式解答:解:由已知中的不等式1+,1++,…得出左边式子是连续正整数平方的倒数和,最后一个数的分母是不等式序号n+1的平方右边分式中的分子与不等式序号n的关系是2n+1,分母是不等式的序号n+1,故可以归纳出第n个不等式是1+…+<,(n≥2),所以第五个不等式为1+++++<故答案为:1+++++<点评:本题考查归纳推理,解题的关键是根据所给的三个不等式得出它们的共性,由此得出通式,本题考查了归纳推理考察的典型题,具有一般性12.(5分)(2012•陕西)(a+x)5展开式中x2的系数为10,则实数a的值为1.考点:二项式系数的性质.专题:计算题.分析:直接利用二项式定理的展开式的通项公式,求出x2的系数是10,得到方程,求出a 的值.解答:解:(a+x)5展开式中x2的系数为,因为(a+x)5展开式中x2的系数为10,所以=10,解得a=1,故答案为:1.点评:本题考查二项式定理系数的性质,考查计算能力.13.(5分)(2012•陕西)如图是抛物线形拱桥,当水面在l时,拱顶离水面2米,水面宽4米.水位下降1米后,水面宽为2米.考点:抛物线的应用.专题:计算题;压轴题.分析:先建立直角坐标系,将A点代入抛物线方程求得m,得到抛物线方程,再把y=﹣3代入抛物线方程求得x0进而得到答案.解答:解:如图建立直角坐标系,设抛物线方程为x2=my,将A(2,﹣2)代入x2=my,得m=﹣2∴x2=﹣2y,代入B(x0,﹣3)得x0=,故水面宽为2m.故答案为:2.点评:本题主要考查抛物线的应用.考查了学生利用抛物线解决实际问题的能力.14.(5分)(2012•陕西)设函数,D是由x轴和曲线y=f(x)及该曲线在点(1,0)处的切线所围成的封闭区域,则z=x﹣2y在D上的最大值为2.考点:利用导数研究曲线上某点切线方程;简单线性规划.专题:计算题;压轴题.分析:先求出曲线在点(1,0)处的切线,然后画出区域D,利用线性规划的方法求出目标函数z的最大值即可.解答:解:当x>0时,f′(x)=,则f′(1)=1,所以曲线y=f(x)及该曲线在点(1,0)处的切线为y=x﹣1,D是由x轴和曲线y=f(x)及该曲线在点(1,0)处的切线所围成的封闭区域如下图阴影部分.z=x﹣2y可变形成y=x﹣,当直线y=x﹣过点A(0,﹣1)时,截距最小,此时z最大.最大值为2.故答案为:2.点评:本题主要考查了线性规划,以及利用导数研究函数的切线,同时考查了作图的能力和分析求解的能力,属于中档题.15.(5分)(2012•陕西)(考生注意:请在下列三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题评分)A.(不等式选做题)若存在实数x使|x﹣a|+|x﹣1|≤3成立,则实数a的取值范围是﹣2≤a≤4.B.(几何证明选做题)如图,在圆O中,直径AB与弦CD垂直,垂足为E,EF⊥DB,垂足为F,若AB=6,AE=1,则DF•DB=5.C.(坐标系与参数方程)直线2ρcosθ=1与圆ρ=2cosθ相交的弦长为.考点:绝对值不等式的解法;直线与圆相交的性质;与圆有关的比例线段;简单曲线的极坐标方程.专题:计算题;作图题;压轴题.分析:A;利用表示数轴上的x到a的距离加上它到1的距离,它的最大值等于3,作图可得实数a的取值范围.B;利用相交弦定理AE•EB=CE•ED,AB⊥CD可得DE=;在Rt△EDB中,由射影定理得:DE2=DF•DB=5,即得答案;C;将直线与圆的极坐标方程化为普通方程分别为:x=,(x﹣1)2+y2=1,从而可得相交弦长.解答:解:A.∵存在实数x使|x﹣a|+|x﹣1|≤3成立,而|x﹣a|+|x﹣1|表示数轴上的x到a的距离加上它到1的距离,又最大值等于3,由图可得:当表示a的点位于AB之间时满足|x﹣a|+|x﹣1|≤3,∴﹣2≤a≤4,故答案为:﹣2≤a≤4.B;∵AB=6,AE=1,由题意可得△AEC∽△DEB,DE=CE,∴DE•CE=AE•EB=1×5=5,即DE=.在Rt△EDB中,由射影定理得:DE2=DF•DB=5.故答案为:5.C;∵2ρcosθ=1,∴2x=1,即x=;又圆ρ=2cosθ的普通方程由ρ2=2ρcosθ得:x2+y2=2x,∴(x﹣1)2+y2=1,∴圆心(1,0)到直线x=的距离为,∴相交弦长的一半为=,∴相交弦长为.故答案为:.点评:本题A考查绝对值不等式的解法,绝对值的意义,求出|x﹣a|+|x﹣1|的最大值是3是解题的关键,考查作图与理解能力,属于中档题.本题B考查与圆有关的比例线段,掌握相交弦定理与射影定理是解决问题的关键,而C着重简单曲线的极坐标方程,化普通方程是关键,属于中档题.三、解答题16.(12分)(2012•陕西)函数(A>0,ω>0)的最大值为3,其图象相邻两条对称轴之间的距离为,(1)求函数f(x)的解析式;(2)设,则,求α的值.考点:由y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式;三角函数的恒等变换及化简求值.专题:三角函数的图像与性质.分析:(1)通过函数的最大值求出A,通过对称轴求出周期,求出ω,得到函数的解析式.(2)通过,求出,通过α的范围,求出α的值.解答:解:(1)∵函数f(x)的最大值为3,∴A+1=3,即A=2,∵函数图象相邻两条对称轴之间的距离为,=,T=π,所以ω=2.故函数的解析式为y=2sin(2x﹣)+1.(2)∵,所以,∴,∵∴,∴,∴.点评:本题考查由y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式,三角函数的恒等变换及化简求值,考查计算能力.17.(12分)(2012•陕西)设{a n}是公比不为1的等比数列,其前n项和为S n,且a5,a3,a4成等差数列.(1)求数列{a n}的公比;(2)证明:对任意k∈N+,S k+2,S k,S k+1成等差数列.考点:等比数列的通项公式;等差数列的性质.专题:综合题.分析:(1)设{a n}的公比为q(q≠0,q≠1),利用a5,a3,a4成等差数列结合通项公式,可得,由此即可求得数列{a n}的公比;(2)对任意k∈N+,S k+2+S k+1﹣2S k=(S k+2﹣S k)+(S k+1﹣S k)=a k+2+a k+1+a k+1=2a k+1+a k+1×(﹣2)=0,从而得证.解答:(1)解:设{a n}的公比为q(q≠0,q≠1)∵a5,a3,a4成等差数列,∴2a3=a5+a4,∴∵a1≠0,q≠0,∴q2+q﹣2=0,解得q=1或q=﹣2∵q≠1,∴q=﹣2(2)证明:对任意k∈N+,S k+2+S k+1﹣2S k=(S k+2﹣S k)+(S k+1﹣S k)=a k+2+a k+1+a k+1=2a k+1+a k+1×(﹣2)=0∴对任意k∈N+,S k+2,S k,S k+1成等差数列.点评:本题考查等差数列与等比数列的综合,熟练运用等差数列的性质,等比数列的通项是解题的关键.18.(12分)(2012•陕西)(1)如图,证明命题“a是平面π内的一条直线,b是π外的一条直线(b不垂直于π),c是直线b在π上的投影,若a⊥b,则a⊥c”为真.(2)写出上述命题的逆命题,并判断其真假(不需要证明)考点:向量语言表述线面的垂直、平行关系;四种命题;向量语言表述线线的垂直、平行关系.专题:证明题.分析:(1)证法一:做出辅助线,在直线上构造对应的方向向量,要证两条直线垂直,只要证明两条直线对应的向量的数量积等于0,根据向量的运算法则得到结果.证法二:做出辅助线,根据线面垂直的性质,得到线线垂直,根据线面垂直的判定定理,得到线面垂直,再根据性质得到结论.(2)把所给的命题的题设和结论交换位置,得到原命题的逆命题,判断出你命题的正确性.解答:证明:(1)证法一:如图,过直线b上任一点作平面α的垂线n,设直线a,b,c,n对应的方向向量分别是,则共面,根据平面向量基本定理,存在实数λ,μ使得,则=因为a⊥b,所以,又因为a⊂α,n⊥α,所以,故,从而a⊥c证法二如图,记c∩b=A,P为直线b上异于点A的任意一点,过P做PO⊥π,垂足为O,则O∈c,∵PO⊥π,a⊂π,∴直线PO⊥a,又a⊥b,b⊂平面PAO,PO∩b=P,∴a⊥平面PAO,又c⊂平面PAO,∴a⊥c(2)逆命题为:a是平面π内的一条直线,b是π外的一条直线(b不垂直于α),c 是直线b在π上的投影,若a⊥c,则a⊥b,逆命题为真命题点评:本题考查用向量的方法证明线线垂直,利用线面垂直的判定和性质证明线线垂直,考查命题的逆命题的写法,本题是一个综合题目,是一个中档题.19.(12分)(2012•陕西)已知椭圆C1:+y2=1,椭圆C2以C1的长轴为短轴,且与C1有相同的离心率.(1)求椭圆C2的方程;(2)设O为坐标原点,点A,B分别在椭圆C1和C2上,=2,求直线AB的方程.考点:直线与圆锥曲线的关系;椭圆的标准方程;椭圆的简单性质.专题:综合题;压轴题.分析:(1)求出椭圆的长轴长,离心率,根据椭圆C2以C1的长轴为短轴,且与C1有相同的离心率,即可确定椭圆C2的方程;(2)设A,B的坐标分别为(x A,y A),(x B,y B),根据,可设AB的方程为y=kx,分别与椭圆C1和C2联立,求出A,B的横坐标,利用,即可求得直线AB的方程.解答:解:(1)椭圆的长轴长为4,离心率为∵椭圆C2以C1的长轴为短轴,且与C1有相同的离心率∴椭圆C2的焦点在y轴上,2b=4,为∴b=2,a=4∴椭圆C2的方程为;(2)设A,B的坐标分别为(x A,y A),(x B,y B),∵∴O,A,B三点共线,且点A,B不在y轴上∴设AB的方程为y=kx将y=kx代入,消元可得(1+4k2)x2=4,∴将y=kx代入,消元可得(4+k2)x2=16,∴∵,∴=4,∴,解得k=±1,∴AB的方程为y=±x点评:本题考查椭圆的标准方程,考查直线与椭圆的位置关系,解题的关键是掌握椭圆几何量关系,联立方程组求解.20.(13分)(2012•陕西)某银行柜台设有一个服务窗口,假设顾客办理业务所需的时间互相独立,且都是整数分钟,对以往顾客办理业务所需的时间统计结果如下:办理业务所需的时间(分)1 2 3 4 5频率0.1 0.4 0.3 0.1 0.1从第一个顾客开始办理业务时计时.(1)估计第三个顾客恰好等待4分钟开始办理业务的概率;(2)X表示至第2分钟末已办理完业务的顾客人数,求X的分布列及数学期望.考点:离散型随机变量的期望与方差;离散型随机变量及其分布列.专题:综合题;压轴题.分析:(1)设Y表示顾客办理业务所需的时间,用频率估计概率,可得Y的分布列,A表示事件“第三个顾客恰好等待4分钟开始办理业务”,则时间A对应三种情形:①第一个顾客办理业务所需时间为1分钟,且第二个顾客办理业务所需的时间为3分钟;②第一个顾客办理业务所需的时间为3分钟,且第二个顾客办理业务所需的时间为1分钟;③第一个和第二个顾客办理业务所需的时间均为2分钟,由此可求概率;(2)确定X所有可能的取值,求出相应的概率,即可得到X的分布列及数学期望.解答:解:设Y表示顾客办理业务所需的时间,用频率估计概率,得Y的分布如下:Y 1 2 3 4 5P 0.1 0.4 0.3 0.1 0.1(1)A表示事件“第三个顾客恰好等待4分钟开始办理业务”,则时间A对应三种情形:①第一个顾客办理业务所需时间为1分钟,且第二个顾客办理业务所需的时间为3分钟;②第一个顾客办理业务所需的时间为3分钟,且第二个顾客办理业务所需的时间为1分钟;③第一个和第二个顾客办理业务所需的时间均为2分钟.所以P(A)=0.1×0.3+0.3×0.1+0.4×0.4=0.22(2)X所有可能的取值为:0,1,2.X=0对应第一个顾客办理业务所需的时间超过2分钟,所以P(X=0)=P(Y>2)=0.5;X=1对应第一个顾客办理业务所需的时间为1分钟且第二个顾客办理业务所需时间超过1分钟,或第一个顾客办理业务所需的时间为2分钟,所以P(X=1)=0.1×0.9+0.4=0.49;X=2对应两个顾客办理业务所需的时间均为1分钟,所以P(X=2)=0.1×0.1=0.01;所以X的分布列为X 0 1 2P 0.5 0.49 0.01EX=0×0.5+1×0.49+2×0.01=0.51.点评:本题考查概率的求解,考查离散型随机变量的分布列与期望,解题的关键是明确变量的取值与含义.21.(14分)(2012•陕西)设函数f n(x)=x n+bx+c(n∈N+,b,c∈R)(1)设n≥2,b=1,c=﹣1,证明:f n(x)在区间内存在唯一的零点;(2)设n=2,若对任意x1,x2∈[﹣1,1],有|f2(x1)﹣f2(x2)|≤4,求b的取值范围;(3)在(1)的条件下,设x n是f n(x)在内的零点,判断数列x2,x3,…,x n的增减性.考点:数列与函数的综合;根的存在性及根的个数判断.专题:函数的性质及应用.分析:(1)根据fn()f n(1)=(﹣)×1<0,以及f n(x)在区间内单调递增,可得f n(x)在区间内存在唯一的零点.(2)当n=2,由题意可得函数f2(x)在[﹣1,1]上的最大值与最小值的差M≤4,分当>1时、当﹣1≤﹣<0时、当0≤﹣≤1 时三种情况,分别求得b的取值范围,再取并集,即得所求.(3)证法一:先求出f n(x n)和f n+1(x n+1)的解析式,再由当x n+1∈时,f n(x n)=0=f n+1(x n+1)=+x n+1﹣1<+x n+1﹣1=f n(x n+1),且f n(x)在区间内单调递增,故有x n<x n+1,从而得出结论.证法二:设x n是f n(x)=x n+x﹣1在内的唯一零点,由f n+1(x n)f n+1(1)<0可得f n+1(x)的零点在(x n,1)内,从而有x n<x n+1(n≥2),由此得出结论.解答:解:(1)由于n≥2,b=1,c=﹣1,fn(x)=x n+bx+c=x n+x﹣1,∴f n()f n(1)=(﹣)×1<0,∴f n(x)在区间内存在零点.再由f n(x)在区间内单调递增,可得f n(x)在区间内存在唯一的零点.(2)当n=2,函数f2(x)=x2+bx+c,对任意x1,x2∈[﹣1,1],有|f2(x1)﹣f2(x2)|≤4,故函数f2(x)在[﹣1,1]上的最大值与最小值的差M≤4.当>1时,即b>2或b<﹣2时,M=|f2(﹣1)﹣f2(1)|=2|b|>4,这与题设相矛盾.当﹣1≤﹣<0时,即0<b≤2时,M=f2(1)﹣=≤4 恒成立.当0≤﹣≤1 时,即﹣2≤b≤0时,M=f2(﹣1)﹣=≤4 恒成立.综上可得,﹣2≤b≤2.(3)证法一:在(1)的条件下,x n是f n(x)=x n+x﹣1在内的唯一零点,则有f n(x n)=+x n﹣1=0,f n+1(x n+1)=+x n+1﹣1=0.当x n+1∈时,f n(x n)=0=f n+1(x n+1)=+x n+1﹣1<+x n+1﹣1=f n (x n+1).由(1)知,f n(x)在区间内单调递增,故有x n<x n+1,故数列x2,x3,…,x n单调递增数列.证法二:设x n是f n(x)=x n+x﹣1在内的唯一零点,f n+1(x n)f n+1(1)=(+x n﹣1)×1=+x n﹣1<+x n﹣1=0,故f n+1(x)的零点在(x n,1)内,∴x n<x n+1(n≥2),故数列x2,x3,…,x n单调递增数列.点评:本题主要考查方程的根的存在性及个数判断,树立与函数的综合,体现了分类讨论、化归与转化的数学思想,属于难题.。

2012年陕西高考数学试题(理数)

2012年陕西高考数学试题(理数)
∵函数图像的相邻两条对称轴之间的距离为 17.(本小题满分 12 分) 设 {an } 的公比不为 1 的等比数列,其前 n 项和为 S n ,且 a5 , a3 , a4 成等差数列. (1)求数列 {an } 的公比;
(2)证明:对任意 k ∈ N + , S k +2 ,
S k , S k +1 成等差数列.
【答案】 2 6 【解析】建立如图所示的直角坐标系,使拱桥的顶点 O 的坐标为(0,0) , 设 l 与抛物线的交点为 A、B,根据题意知 A(-2,-2) ,B(2,-2) 设抛物线的解析式为 y = ax 2 ,则有 − 2 = a × (− 2) ,∴ a = − ∴抛物线的解析式为 y = −
2a1 (1 − q k ) 1− q =

证法二:对任意 k ∈ N + , 2S k =
Sk + 2 + Sk +1 =
a1 (1 − q k + 2 )
1− q
+
a1 (1 − q k +1 )
1− q
a1 ( 2 − q k + 2 − q k +1 )
1− q

2S k − ( S k + 2 + S k +1 ) =
【解析】观察不等式的左边发现,第 n 个不等式的左边= 1 +
右边=
2(n + 1) − 1 1 1 1 1 1 11 ,所以第五个不等式为 1 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 < . n +1 2 3 4 5 6 6

12. ( a + x) 5 展开式中 x 2 的系数为 10, 则实数 a 的值为 【答案】1

2012年高考全国卷理科数学试题及答案WORD版

2012年高考全国卷理科数学试题及答案WORD版

2012年高考全国卷理科数学试题及答案本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,第Ⅰ卷第1至2页,第Ⅱ卷第3至第4页。

考试结束,务必将试卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷一、选择题(1)复数131i i-+=+ (A )2i + (B )2i - (C )12i + (D )12i -(2)已知集合{A =,{1,}B m =,A B A =,则m =(A )0(B )0或3 (C )1(D )1或3(3)椭圆的中心在原点,焦距为4,一条准线为4x =-,则该椭圆的方程为(A )2211612x y += (B )221128x y += (C )22184x y += (D )221124x y += (4)已知正四棱柱1111ABCD A B C D -中 ,2AB =,1CC =E 为1CC 的中点,则直线1AC 与平面BED 的距离为(A )2 (B(C(D )1(5)已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,55a =,515S =,则数列11{}n n a a +的前100项和为 (A )100101 (B )99101(C )99100 (D )101100(6)ABC ∆中,AB 边的高为CD ,若CB a =,CA b =,0a b ⋅=,||1a =,||2b =,则AD =(A )1133a b - (B )2233a b - (C )3355a b - (D )4455a b - (7)已知α为第二象限角,sin cos 3αα+=,则cos2α= (A) (B)- (C(D(8)已知1F 、2F 为双曲线22:2C x y -=的左、右焦点,点P 在C 上,12||2||PF PF =,则12cos F PF ∠=(A )14 (B )35 (C )34 (D )45(9)已知ln x π=,5log 2y =,12z e -=,则(A )x y z << (B )z x y << (C )z y x << (D )y z x <<(10)已知函数33y x x c =-+的图像与x 恰有两个公共点,则c =(A )2-或2 (B )9-或3 (C )1-或1 (D )3-或1(11)将字母,,,,,a a b b c c 排成三行两列,要求每行的字母互不相同,每列的字母也互不相同,则不同的排列方法共有(A )12种 (B )18种 (C )24种 (D )36种(12)正方形ABCD 的边长为1,点E 在边AB 上,点F 在边BC 上,37AE BF ==。

2012年陕西省高考数学试卷(理科)附送答案

2012年陕西省高考数学试卷(理科)附送答案

2012年陕西省高考数学试卷(理科)一、选择题1.(5分)集合M={x|lgx>0},N={x|x2≤4},则M∩N=()A.(0,2]B.(0,2) C.(1,2]D.(1,2)2.(5分)下列函数中,既是奇函数又是增函数的为()A.y=x+1 B.y=﹣x2C.y= D.y=x|x|3.(5分)设a,b∈R,i是虚数单位,则“ab=0”是“复数为纯虚数”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件4.(5分)已知圆C:x2+y2﹣4x=0,l为过点P(3,0)的直线,则()A.l与C相交B.l与C相切C.l与C相离D.以上三个选项均有可能5.(5分)如图,在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC﹣A1B1C1,CA=CC1=2CB,则直线BC1与直线AB1夹角的余弦值为()A.B.C.D.6.(5分)从甲乙两个城市分别随机抽取16台自动售货机,对其销售额进行统计,统计数据用茎叶图表示(如图所示),设甲乙两组数据的平均数分别为,,中位数分别为m甲,m乙,则()A.,m 甲>m乙B.,m甲<m乙C.,m 甲>m乙D.,m甲<m乙7.(5分)设函数f(x)=xe x,则()A.x=1为f(x)的极大值点B.x=1为f(x)的极小值点C.x=﹣1为f(x)的极大值点D.x=﹣1为f(x)的极小值点8.(5分)两人进行乒乓球比赛,先赢三局者获胜,决出胜负为止,则所有可能出现的情形(各人输赢局次的不同视为不同情形)共有()A.10种B.15种C.20种D.30种9.(5分)在△ABC中,角A,B,C所对边长分别为a,b,c,若a2+b2=2c2,则cosC的最小值为()A.B.C.D.10.(5分)如图是用模拟方法估计圆周率π的程序框图,P表示估计结果,则图中空白框内应填入()A. B. C. D.二、填空题:把答案填写在答题卡相应的题号后的横线上(本大题共5小题,每小题5分,共25分)11.(5分)观察下列不等式:①1+<;②1++<;③1+++<;…照此规律,第五个不等式为.12.(5分)(a+x)5展开式中x2的系数为10,则实数a的值为.13.(5分)如图是抛物线形拱桥,当水面在l时,拱顶离水面2米,水面宽4米.水位下降1米后,水面宽为米.14.(5分)设函数,D是由x轴和曲线y=f(x)及该曲线在点(1,0)处的切线所围成的封闭区域,则z=x﹣2y在D上的最大值为.15.(5分)(考生注意:请在下列三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题评分)A.(不等式选做题)若存在实数x使|x﹣a|+|x﹣1|≤3成立,则实数a的取值范围是.B.(几何证明选做题)如图,在圆O中,直径AB与弦CD垂直,垂足为E,EF ⊥DB,垂足为F,若AB=6,AE=1,则DF•DB=.C.(坐标系与参数方程)直线2ρcosθ=1与圆ρ=2cosθ相交的弦长为.三、解答题16.(12分)函数(A>0,ω>0)的最大值为3,其图象相邻两条对称轴之间的距离为,(1)求函数f(x)的解析式;(2)设,则,求α的值.17.(12分)设{a n}是公比不为1的等比数列,其前n项和为S n,且a5,a3,a4成等差数列.(1)求数列{a n}的公比;(2)证明:对任意k∈N+,S k+2,S k,S k+1成等差数列.18.(12分)(1)如图,证明命题“a是平面π内的一条直线,b是π外的一条直线(b不垂直于π),c是直线b在π上的投影,若a⊥b,则a⊥c”为真.(2)写出上述命题的逆命题,并判断其真假(不需要证明)19.(12分)已知椭圆C1:+y2=1,椭圆C2以C1的长轴为短轴,且与C1有相同的离心率.(1)求椭圆C2的方程;(2)设O为坐标原点,点A,B分别在椭圆C1和C2上,=2,求直线AB的方程.20.(13分)某银行柜台设有一个服务窗口,假设顾客办理业务所需的时间互相独立,且都是整数分钟,对以往顾客办理业务所需的时间统计结果如表:办理业务所需的时间(分)12345频率0.10.40.30.10.1从第一个顾客开始办理业务时计时.(1)估计第三个顾客恰好等待4分钟开始办理业务的概率;(2)X表示至第2分钟末已办理完业务的顾客人数,求X的分布列及数学期望.21.(14分)设函数f n(x)=x n+bx+c(n∈N+,b,c∈R)(1)设n≥2,b=1,c=﹣1,证明:f n(x)在区间内存在唯一的零点;(2)设n=2,若对任意x1,x2∈[﹣1,1],有|f2(x1)﹣f2(x2)|≤4,求b的取值范围;(3)在(1)的条件下,设x n是f n(x)在内的零点,判断数列x2,x3,…,x n的增减性.2012年陕西省高考数学试卷(理科)参考答案与试题解析一、选择题1.(5分)(2012•陕西)集合M={x|lgx>0},N={x|x2≤4},则M∩N=()A.(0,2]B.(0,2) C.(1,2]D.(1,2)【分析】根据集合的基本运算,进行求解即可.【解答】解:M={x|lgx>0}={x|x>1},N={x|x2≤4}={x|﹣2≤x≤2},则M∩N={x|1<x≤2},故选:C.2.(5分)(2012•陕西)下列函数中,既是奇函数又是增函数的为()A.y=x+1 B.y=﹣x2C.y= D.y=x|x|【分析】根据函数奇偶性和单调性的性质分别进行判断即可.【解答】解:A.y=x+1为非奇非偶函数,不满足条件.B.y=﹣x2是偶函数,不满足条件.C.y=是奇函数,但在定义域上不是增函数,不满足条件.D.设f(x)=x|x|,则f(﹣x)=﹣x|x|=﹣f(x),则函数为奇函数,当x>0时,y=x|x|=x2,此时为增函数,当x≤0时,y=x|x|=﹣x2,此时为增函数,综上在R上函数为增函数.故选:D3.(5分)(2012•陕西)设a,b∈R,i是虚数单位,则“ab=0”是“复数为纯虚数”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【分析】利用“ab=0”与“复数为纯虚数”互为前提与结论,经过推导判断充要条件.【解答】解:因为“ab=0”得a=0或b=0,只有a=0,并且b≠0,复数为纯虚数,否则不成立;复数=a﹣bi为纯虚数,所以a=0并且b≠0,所以ab=0,因此a,b∈R,i是虚数单位,则“ab=0”是“复数为纯虚数”的必要不充分条件.故选B.4.(5分)(2012•陕西)已知圆C:x2+y2﹣4x=0,l为过点P(3,0)的直线,则()A.l与C相交B.l与C相切C.l与C相离D.以上三个选项均有可能【分析】将圆C的方程化为标准方程,找出圆心C坐标和半径r,利用两点间的距离公式求出P与圆心C间的长,记作d,判断得到d小于r,可得出P在圆C 内,再由直线l过P点,可得出直线l与圆C相交.【解答】解:将圆的方程化为标准方程得:(x﹣2)2+y2=4,∴圆心C(2,0),半径r=2,又P(3,0)与圆心的距离d==1<2=r,∴点P在圆C内,又直线l过P点,则直线l与圆C相交.故选A.5.(5分)(2012•陕西)如图,在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC﹣A1B1C1,CA=CC1=2CB,则直线BC1与直线AB1夹角的余弦值为()A.B.C.D.【分析】根据题意可设CB=1,CA=CC1=2,分别以CA、CC1、CB为x轴、y轴和z 轴建立如图坐标系,得到A、B、B1、C1四个点的坐标,从而得到向量与的坐标,根据异面直线所成的角的定义,结合空间两个向量数量积的坐标公式,可以算出直线BC1与直线AB1夹角的余弦值.【解答】解:分别以CA、CC1、CB为x轴、y轴和z轴建立如图坐标系,∵CA=CC1=2CB,∴可设CB=1,CA=CC1=2∴A(2,0,0),B(0,0,1),B1(0,2,1),C1(0,2,0)∴=(0,2,﹣1),=(﹣2,2,1)可得•=0×(﹣2)+2×2+(﹣1)×1=3,且=,=3,向量与所成的角(或其补角)就是直线BC1与直线AB1夹角,设直线BC1与直线AB1夹角为θ,则cosθ==故选A6.(5分)(2012•陕西)从甲乙两个城市分别随机抽取16台自动售货机,对其销售额进行统计,统计数据用茎叶图表示(如图所示),设甲乙两组数据的平均数分别为,,中位数分别为m甲,m乙,则()A.,m 甲>m乙B.,m甲<m乙C.,m 甲>m乙D.,m甲<m乙【分析】直接求出甲与乙的平均数,以及甲与乙的中位数,即可得到选项.【解答】解:甲的平均数甲==,乙的平均数乙==,所以甲<乙.甲的中位数为20,乙的中位数为29,所以m甲<m乙故选:B.7.(5分)(2012•陕西)设函数f(x)=xe x,则()A.x=1为f(x)的极大值点B.x=1为f(x)的极小值点C.x=﹣1为f(x)的极大值点D.x=﹣1为f(x)的极小值点【分析】由题意,可先求出f′(x)=(x+1)e x,利用导数研究出函数的单调性,即可得出x=﹣1为f(x)的极小值点【解答】解:由于f(x)=xe x,可得f′(x)=(x+1)e x,令f′(x)=(x+1)e x=0可得x=﹣1令f′(x)=(x+1)e x>0可得x>﹣1,即函数在(﹣1,+∞)上是增函数令f′(x)=(x+1)e x<0可得x<﹣1,即函数在(﹣∞,﹣1)上是减函数所以x=﹣1为f(x)的极小值点故选D8.(5分)(2012•陕西)两人进行乒乓球比赛,先赢三局者获胜,决出胜负为止,则所有可能出现的情形(各人输赢局次的不同视为不同情形)共有()A.10种B.15种C.20种D.30种【分析】根据分类计数原理,所有可能情形可分为三类,在每一类中可利用组合数公式计数,最后三类求和即可得结果【解答】解:第一类:三局为止,共有2种情形;第二类:四局为止,共有2×=6种情形;第三类:五局为止,共有2×=12种情形;故所有可能出现的情形共有2+6+12=20种情形故选C9.(5分)(2012•陕西)在△ABC中,角A,B,C所对边长分别为a,b,c,若a2+b2=2c2,则cosC的最小值为()A.B.C.D.【分析】通过余弦定理求出cosC的表达式,利用基本不等式求出cosC的最小值.【解答】解:因为a2+b2=2c2,所以由余弦定理可知,c2=2abcosC,cosC==.故选C.10.(5分)(2012•陕西)如图是用模拟方法估计圆周率π的程序框图,P表示估计结果,则图中空白框内应填入()A. B. C. D.【分析】由题意以及框图的作用,直接推断空白框内应填入的表达式.【解答】解:法一:由题意以及程序框图可知,用模拟方法估计圆周率π的程序框图,M是圆周内的点的次数,当i大于1000时,圆周内的点的次数为4M,总试验次数为1000,所以要求的概率,所以空白框内应填入的表达式是.故选D.法二:随机输入xi∈(0,1),yi∈(0,1)那么点P(xi,yi)构成的区域为以O(0,0),A(1,0),B(1,1),C(0,1)为顶点的正方形.判断框内x2i+y2i≤1,若是,说说明点P(x i,y i)在单位圆内部(圆)内,并累计记录点的个数M 若否,则说明点P(x i,y i)在单位圆内部(圆)外,并累计记录点的个数N 第2个判断框i>1000,是进入计算此时落在单位圆内的点的个数为M,一共判断了1000个点那么圆的面积/正方形的面积=,即π12÷1=∴π=(π的估计值)即执行框内计算的是.故选D.二、填空题:把答案填写在答题卡相应的题号后的横线上(本大题共5小题,每小题5分,共25分)11.(5分)(2012•陕西)观察下列不等式:①1+<;②1++<;③1+++<;…照此规律,第五个不等式为1+++++<.【分析】由题设中所给的三个不等式归纳出它们的共性:左边式子是连续正整数平方的倒数和,最后一个数的分母是不等式序号n+1的平方,右边分式中的分子与不等式序号n的关系是2n+1,分母是不等式的序号n+1,得出第n个不等式,即可得到通式,再令n=5,即可得出第五个不等式【解答】解:由已知中的不等式1+,1++,…得出左边式子是连续正整数平方的倒数和,最后一个数的分母是不等式序号n+1的平方右边分式中的分子与不等式序号n的关系是2n+1,分母是不等式的序号n+1,故可以归纳出第n个不等式是1+…+<,(n≥2),所以第五个不等式为1+++++<故答案为:1+++++<12.(5分)(2012•陕西)(a+x)5展开式中x2的系数为10,则实数a的值为1.【分析】直接利用二项式定理的展开式的通项公式,求出x2的系数是10,得到方程,求出a的值.【解答】解:(a+x)5展开式中x2的系数为,因为(a+x)5展开式中x2的系数为10,所以=10,解得a=1,故答案为:1.13.(5分)(2012•陕西)如图是抛物线形拱桥,当水面在l时,拱顶离水面2米,水面宽4米.水位下降1米后,水面宽为2米.【分析】先建立直角坐标系,将A点代入抛物线方程求得m,得到抛物线方程,再把y=﹣3代入抛物线方程求得x0进而得到答案.【解答】解:如图建立直角坐标系,设抛物线方程为x2=my,将A(2,﹣2)代入x2=my,得m=﹣2∴x2=﹣2y,代入B(x0,﹣3)得x0=,故水面宽为2m.故答案为:2.14.(5分)(2012•陕西)设函数,D是由x轴和曲线y=f(x)及该曲线在点(1,0)处的切线所围成的封闭区域,则z=x﹣2y在D上的最大值为2.【分析】先求出曲线在点(1,0)处的切线,然后画出区域D,利用线性规划的方法求出目标函数z的最大值即可.【解答】解:当x>0时,f′(x)=,则f′(1)=1,所以曲线y=f(x)及该曲线在点(1,0)处的切线为y=x﹣1,D是由x轴和曲线y=f(x)及该曲线在点(1,0)处的切线所围成的封闭区域如下图阴影部分.z=x﹣2y可变形成y=x﹣,当直线y=x﹣过点A(0,﹣1)时,截距最小,此时z最大.最大值为2.故答案为:2.15.(5分)(2012•陕西)(考生注意:请在下列三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题评分)A.(不等式选做题)若存在实数x使|x﹣a|+|x﹣1|≤3成立,则实数a的取值范围是﹣2≤a≤4.B.(几何证明选做题)如图,在圆O中,直径AB与弦CD垂直,垂足为E,EF ⊥DB,垂足为F,若AB=6,AE=1,则DF•DB=5.C.(坐标系与参数方程)直线2ρcosθ=1与圆ρ=2cosθ相交的弦长为.【分析】A;利用表示数轴上的x到a的距离加上它到1的距离,它的最大值等于3,作图可得实数a的取值范围.B;利用相交弦定理AE•EB=CE•ED,AB⊥CD可得DE=;在Rt△EDB中,由射影定理得:DE2=DF•DB=5,即得答案;C;将直线与圆的极坐标方程化为普通方程分别为:x=,(x﹣1)2+y2=1,从而可得相交弦长.【解答】解:A.∵存在实数x使|x﹣a|+|x﹣1|≤3成立,而|x﹣a|+|x﹣1|表示数轴上的x到a的距离加上它到1的距离,又最大值等于3,由图可得:当表示a的点位于AB之间时满足|x﹣a|+|x﹣1|≤3,∴﹣2≤a≤4,故答案为:﹣2≤a≤4.B;∵AB=6,AE=1,由题意可得△AEC∽△DEB,DE=CE,∴DE•CE=AE•EB=1×5=5,即DE=.在Rt△EDB中,由射影定理得:DE2=DF•DB=5.故答案为:5.C;∵2ρcosθ=1,∴2x=1,即x=;又圆ρ=2cosθ的普通方程由ρ2=2ρcosθ得:x2+y2=2x,∴(x﹣1)2+y2=1,∴圆心(1,0)到直线x=的距离为,∴相交弦长的一半为=,∴相交弦长为.故答案为:.三、解答题16.(12分)(2012•陕西)函数(A>0,ω>0)的最大值为3,其图象相邻两条对称轴之间的距离为,(1)求函数f(x)的解析式;(2)设,则,求α的值.【分析】(1)通过函数的最大值求出A,通过对称轴求出周期,求出ω,得到函数的解析式.(2)通过,求出,通过α的范围,求出α的值.【解答】解:(1)∵函数f(x)的最大值为3,∴A+1=3,即A=2,∵函数图象相邻两条对称轴之间的距离为,=,T=π,所以ω=2.故函数的解析式为y=2sin(2x﹣)+1.(2)∵,所以,∴,∵∴,∴,∴.17.(12分)(2012•陕西)设{a n}是公比不为1的等比数列,其前n项和为S n,且a5,a3,a4成等差数列.(1)求数列{a n}的公比;(2)证明:对任意k∈N+,S k+2,S k,S k+1成等差数列.【分析】(1)设{a n}的公比为q(q≠0,q≠1),利用a5,a3,a4成等差数列结合通项公式,可得,由此即可求得数列{a n}的公比;(2)对任意k∈N+,S k+2+S k+1﹣2S k=(S k+2﹣S k)+(S k+1﹣S k)=a k+2+a k+1+a k+1=2a k+1+a k+1×(﹣2)=0,从而得证.【解答】(1)解:设{a n}的公比为q(q≠0,q≠1)∵a5,a3,a4成等差数列,∴2a3=a5+a4,∴∵a1≠0,q≠0,∴q2+q﹣2=0,解得q=1或q=﹣2∵q≠1,∴q=﹣2(2)证明:对任意k∈N+,S k+2+S k+1﹣2S k=(S k+2﹣S k)+(S k+1﹣S k)=a k+2+a k+1+a k+1=2a k+1+a k+1×(﹣2)=0∴对任意k∈N+,S k+2,S k,S k+1成等差数列.18.(12分)(2012•陕西)(1)如图,证明命题“a是平面π内的一条直线,b是π外的一条直线(b不垂直于π),c是直线b在π上的投影,若a⊥b,则a⊥c”为真.(2)写出上述命题的逆命题,并判断其真假(不需要证明)【分析】(1)证法一:做出辅助线,在直线上构造对应的方向向量,要证两条直线垂直,只要证明两条直线对应的向量的数量积等于0,根据向量的运算法则得到结果.证法二:做出辅助线,根据线面垂直的性质,得到线线垂直,根据线面垂直的判定定理,得到线面垂直,再根据性质得到结论.(2)把所给的命题的题设和结论交换位置,得到原命题的逆命题,判断出你命题的正确性.【解答】证明:(1)证法一:如图,过直线b上任一点作平面α的垂线n,设直线a,b,c,n对应的方向向量分别是,则共面,根据平面向量基本定理,存在实数λ,μ使得,则=因为a⊥b,所以,又因为a⊂α,n⊥α,所以,故,从而a⊥c证法二如图,记c∩b=A,P为直线b上异于点A的任意一点,过P做PO⊥π,垂足为O,则O∈c,∵PO⊥π,a⊂π,∴直线PO⊥a,又a⊥b,b⊂平面PAO,PO∩b=P,∴a⊥平面PAO,又c⊂平面PAO,∴a⊥c(2)逆命题为:a是平面π内的一条直线,b是π外的一条直线(b不垂直于π),c是直线b在π上的投影,若a⊥c,则a⊥b,逆命题为真命题19.(12分)(2012•陕西)已知椭圆C1:+y2=1,椭圆C2以C1的长轴为短轴,且与C1有相同的离心率.(1)求椭圆C2的方程;(2)设O为坐标原点,点A,B分别在椭圆C1和C2上,=2,求直线AB的方程.【分析】(1)求出椭圆的长轴长,离心率,根据椭圆C2以C1的长轴为短轴,且与C1有相同的离心率,即可确定椭圆C2的方程;(2)设A,B的坐标分别为(x A,y A),(x B,y B),根据,可设AB的方程为y=kx,分别与椭圆C1和C2联立,求出A,B的横坐标,利用,即可求得直线AB的方程.【解答】解:(1)椭圆的长轴长为4,离心率为∵椭圆C2以C1的长轴为短轴,且与C1有相同的离心率∴椭圆C2的焦点在y轴上,2b=4,为∴b=2,a=4∴椭圆C2的方程为;(2)设A,B的坐标分别为(x A,y A),(x B,y B),∵∴O,A,B三点共线,且点A,B不在y轴上∴设AB的方程为y=kx将y=kx代入,消元可得(1+4k2)x2=4,∴将y=kx代入,消元可得(4+k2)x2=16,∴∵,∴=4,∴,解得k=±1,∴AB的方程为y=±x20.(13分)(2012•陕西)某银行柜台设有一个服务窗口,假设顾客办理业务所需的时间互相独立,且都是整数分钟,对以往顾客办理业务所需的时间统计结果如表:办理业务所需的时间(分)12345频率0.10.40.30.10.1从第一个顾客开始办理业务时计时.(1)估计第三个顾客恰好等待4分钟开始办理业务的概率;(2)X表示至第2分钟末已办理完业务的顾客人数,求X的分布列及数学期望.【分析】(1)设Y表示顾客办理业务所需的时间,用频率估计概率,可得Y的分布列,A表示事件“第三个顾客恰好等待4分钟开始办理业务”,则时间A对应三种情形:①第一个顾客办理业务所需时间为1分钟,且第二个顾客办理业务所需的时间为3分钟;②第一个顾客办理业务所需的时间为3分钟,且第二个顾客办理业务所需的时间为1分钟;③第一个和第二个顾客办理业务所需的时间均为2分钟,由此可求概率;(2)确定X所有可能的取值,求出相应的概率,即可得到X的分布列及数学期望.【解答】解:设Y表示顾客办理业务所需的时间,用频率估计概率,得Y的分布如下:Y12345P0.10.40.30.10.1(1)A表示事件“第三个顾客恰好等待4分钟开始办理业务”,则时间A对应三种情形:①第一个顾客办理业务所需时间为1分钟,且第二个顾客办理业务所需的时间为3分钟;②第一个顾客办理业务所需的时间为3分钟,且第二个顾客办理业务所需的时间为1分钟;③第一个和第二个顾客办理业务所需的时间均为2分钟.所以P(A)=0.1×0.3+0.3×0.1+0.4×0.4=0.22(2)X所有可能的取值为:0,1,2.X=0对应第一个顾客办理业务所需的时间超过2分钟,所以P(X=0)=P(Y>2)=0.5;X=1对应第一个顾客办理业务所需的时间为1分钟且第二个顾客办理业务所需时间超过1分钟,或第一个顾客办理业务所需的时间为2分钟,所以P(X=1)=0.1×0.9+0.4=0.49;X=2对应两个顾客办理业务所需的时间均为1分钟,所以P(X=2)=0.1×0.1=0.01;所以X的分布列为X012P0.50.490.01EX=0×0.5+1×0.49+2×0.01=0.51.21.(14分)(2012•陕西)设函数f n(x)=x n+bx+c(n∈N+,b,c∈R)(1)设n≥2,b=1,c=﹣1,证明:f n(x)在区间内存在唯一的零点;(2)设n=2,若对任意x1,x2∈[﹣1,1],有|f2(x1)﹣f2(x2)|≤4,求b的取值范围;(3)在(1)的条件下,设x n是f n(x)在内的零点,判断数列x2,x3,…,x n的增减性.【分析】(1)根据f n()f n(1)=(﹣)×1<0,以及f n(x)在区间内单调递增,可得f n(x)在区间内存在唯一的零点.(2)当n=2,由题意可得函数f2(x)在[﹣1,1]上的最大值与最小值的差M≤4,分当>1时、当﹣1≤﹣<0时、当0≤﹣≤1 时三种情况,分别求得b的取值范围,再取并集,即得所求.(3)证法一:先求出f n(x n)和f n+1(x n+1)的解析式,再由当x n+1∈时,f n(x n)=0=f n+1(x n+1)=+x n+1﹣1<+x n+1﹣1=f n(x n+1),且f n(x)在区间内单调递增,故有x n<x n+1,从而得出结论.证法二:设x n是f n(x)=x n+x﹣1在内的唯一零点,由f n+1(x n)f n+1(1)(x)的零点在(x n,1)内,从而有x n<x n+1(n≥2),由此得出结<0可得f n+1论.【解答】解:(1)由于n≥2,b=1,c=﹣1,f n(x)=x n+bx+c=x n+x﹣1,∴f n()f n(1)=(﹣)×1<0,∴f n(x)在区间内存在零点.再由f n(x)在区间内单调递增,可得f n(x)在区间内存在唯一的零点.(2)当n=2,函数f2(x)=x2+bx+c,对任意x1,x2∈[﹣1,1],有|f2(x1)﹣f2(x2)|≤4,故函数f2(x)在[﹣1,1]上的最大值与最小值的差M≤4.当>1时,即b>2或b<﹣2时,M=|f2(﹣1)﹣f2(1)|=2|b|>4,这与题设相矛盾.当﹣1≤﹣<0时,即0<b≤2时,M=f2(1)﹣=≤4 恒成立.当0≤﹣≤1 时,即﹣2≤b≤0时,M=f2(﹣1)﹣=≤4 恒成立.综上可得,﹣2≤b≤2.(3)证法一:在(1)的条件下,x n是f n(x)=x n+x﹣1在内的唯一零点,则有f n(x n)=+x n﹣1=0,f n+1(x n+1)=+x n+1﹣1=0.∈时,f n(x n)=0=f n+1(x n+1)=+x n+1﹣1<+x n+1﹣1=f n 当x n+1(x n).+1由(1)知,f n(x)在区间内单调递增,故有x n<x n+1,故数列x2,x3,…,x n单调递增数列.证法二:设x n是f n(x)=x n+x﹣1在内的唯一零点,f n+1(x n)f n+1(1)=(+x n﹣1)×1=+x n﹣1<+x n﹣1=0,(x)的零点在(x n,1)内,∴x n<x n+1(n≥2),故数列x2,x3,…,x n单故f n+1调递增数列.。

2012陕西高考数学试题及答案

2012陕西高考数学试题及答案

2012陕西高考数学试题及答案根据要求,下面是一份模拟的2012年陕西高考数学试题及答案的内容:2012年陕西省普通高等学校招生全国统一考试数学试题一、选择题(本题共10小题,每小题5分,共50分)1. 下列哪个数是无理数?A. πB. √2C. 0.33333...(无限循环小数)D. 1/3答案:A2. 函数f(x) = 2x^2 - 3x + 1在x=1处的导数是:A. 1B. 2C. 3D. 4答案:B3. 已知集合A={1, 2, 3},B={2, 3, 4},求A∪B:A. {1, 2, 3}B. {1, 2, 3, 4}C. {2, 3}D. {1, 4}答案:B...(此处省略其他选择题,以此类推)二、填空题(本题共5小题,每小题5分,共25分)1. 若直线y = 2x + 3与x轴相交,则交点坐标为()。

答案:(-3/2, 0)2. 已知等差数列的前三项分别为3, 7, 11,求第10项的值。

答案:35...(此处省略其他填空题,以此类推)三、解答题(本题共4小题,共75分)1. 解不等式:|x-2| + |x+3| ≤ 8,并用区间表示解集。

答案:解:首先考虑x的三个区间,即x < -3,-3 ≤ x ≤ 2,x > 2。

对于每个区间,去掉绝对值符号,分别解不等式,最后得到解集为[-3, 5]。

2. 已知函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2,求其在[-1, 3]上的最大值和最小值。

答案:首先求导数f'(x) = 3x^2 - 6x。

令f'(x) = 0,解得x = 0,2。

然后分别计算f(-1), f(0), f(2), f(3)的值,得到最大值为f(3) = 8,最小值为f(0) = 2。

...(此处省略其他解答题,以此类推)结束语本套试题旨在考查学生的数学基础知识、运算能力、逻辑推理能力以及解决实际问题的能力。

希望考生们能够认真审题,仔细作答,发挥出自己的最佳水平。

2012年全国高考理科数学试题及答案-陕西卷-1

2012年全国高考理科数学试题及答案-陕西卷-1

20.(本小题满分13分)
某银行柜台设有一个服务窗口,假设顾客办理业务所需的时间互相独立,且都是整数分钟,对以往顾客办理业务所需的时间统计结果如下:
从第一个顾客开始办理业务时计时.
(Ⅰ)估计第三个顾客恰好等待4分钟开始办理业务的概率;
(Ⅱ)X 表示至第2分钟末已办理完业务的顾客人数,求X 的分布列及数学期望.
21.(本小题满分14分)
设函数()(,,)n n f x x bx c n N b c R +=++∈∈.
(Ⅰ)设2n ≥,1,1b c ==-,证明:()n f x 在区间1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭
内存在唯一的零点; (Ⅱ)设2n =,若对任意12,x x [1,1]∈-,有2122|()()|4f x f x -≤,求b 的取值范围; (Ⅲ)在(Ⅰ)的条件下,设n x 是()n f x 在1,12⎛⎫
⎪⎝⎭内的零点,判断数列23,,,n x x x 的增减性。

2012年普通高等学校招生全国统一考试陕西卷(理数)Word版无答案

2012年普通高等学校招生全国统一考试陕西卷(理数)Word版无答案

2012年陕西省高考理科数学试题一、选择题1. 集合{|lg 0}M x x =>,2{|4}N x x =≤,则M N =( )A · (1,2)B · [1,2)C · (1,2]D · [1,2] 2. 下列函数中,既是奇函数又是增函数的为( )A · 1y x =+B · 2y x =-C ·1y x =D · ||y x x =3. 设,a b R ∈,i 是虚数单位,则“0ab =”是“复数ba i +为纯虚数”的( )A ·充分不必要条件B · 必要不充分条件C · 充分必要条件D · 既不充分也不必要条件4. 已知圆22:40C x y x +-=,l 过点(3,0)P 的直线,则( ) A ·l 与C 相交 B · l 与C 相切 C ·l 与C 相离 D. 以上三个选项均有可能 5. 如图,在空间直角坐标系中有直三棱柱111ABC A B C -,12CA CC CB ==,则直线1BC 与直线1AB 夹角的余弦值为( )A ·B· C ·D · 356. 从甲乙两个城市分别随机抽取16台自动售货机,对其销售额进行统计,统计数据用茎叶图表示(如图所示),设甲乙两组数据的平均数分别为x 甲,x 乙,中位数分别为m 甲,m 乙,则( )A · x x <甲乙,m 甲>m 乙B · x x <甲乙,m 甲<m 乙C · x x >甲乙,m 甲>m 乙D · x x >甲乙,m 甲<m 乙7. 设函数()xf x xe =,则( )A · 1x =为()f x 的极大值点B ·1x =为()f x 的极小值点C · 1x =-为()f x 的极大值点D · 1x =-为()f x 的极小值点8. 两人进行乒乓球比赛,先赢三局着获胜,决出胜负为止,则所有可能出现的情形(各人输赢局次的不同视为不同情形)共有( )A · 10种B ·15种C · 20种D · 30种9. 在ABC ∆中,角,,A B C 所对边长分别为,,a b c ,若2222a b c +=,则cos C 的最小值为( )A ·B ·2 C · 12 D · 12-10. 右图是用模拟方法估计圆周率π的程序框图,P 表示估计结果,则图中空白框内应填入( )A ·1000N P =B ·41000N P =C ·1000M P =D · 41000M P =二· 填空题:把答案填写在答题卡相应的题号后的横线上(本大题共5小题,每小题5分,共25分) 11. 观察下列不等式213122+< 231151233++<, 222111512343+++<……照此规律,第五个不等式为 ·12. 5()a x +展开式中2x 的系数为10, 则实数a 的值为 ·13. 右图是抛物线形拱桥,当水面在l 时,拱顶离水面2米,水面宽4米,水位下降1米后,水面宽 米·14. 设函数ln ,0()21,0x x f x x x >⎧=⎨--≤⎩,D 是由x 轴和曲线()y f x =及该曲线在点(1,0)处的切线所围成的封闭区域,则2z x y =-在D 上的最大值为 ·15. (考生注意:请在下列三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题评分)A ·(不等式选做题)若存在实数x 使|||1|3x a x -+-≤成立,则实数a 的取值范围是 ·B ·(几何证明选做题)如图,在圆O 中,直径AB 与弦CD 垂直,垂足为E ,EF DB ⊥,垂足为F ,若6AB =,1AE =,则DF DB ⋅= ·C ·(坐标系与参数方程)直线2cos 1ρθ=与圆2cos ρθ=相交的弦长为 · 三、解答题16.(本小题满分12分)函数()sin()16f x A x πω=-+(0,0A ω>>)的最大值为3, 其图像相邻两条对称轴之间的距离为2π,(1)求函数()f x 的解析式;(2)设(0,)2πα∈,则()22f α=,求α的值·17.(本小题满分12分) 设{}n a 的公比不为1的等比数列,其前n 项和为n S ,且534,,a a a 成等差数列·(1)求数列{}n a 的公比;(2)证明:对任意k N +∈,21,,k k k S S S ++成等差数列·18. (本小题满分12分)(1)如图,证明命题“a 是平面π内的一条直线,b 是π外的一条直线(b 不垂直于π),c 是直线b 在π上的投影,若a b ⊥,则a c ⊥”为真·(2)写出上述命题的逆命题,并判断其真假(不需要证明)19. (本小题满分12分)已知椭圆221:14x C y +=,椭圆2C 以1C 的长轴为短轴,且与1C 有相同的离心率·(1)求椭圆2C 的方程;(2)设O 为坐标原点,点A ,B 分别在椭圆1C 和2C 上,2OB OA =,求直线AB 的方程·20.(本小题满分13分)某银行柜台设有一个服务窗口,假设顾客办理业务所需的时间互相独立,且都是整数分钟,对以往顾客办理业务所需的时间统计结果如下:从第一个顾客开始办理业务时计时·(1)估计第三个顾客恰好等待4分钟开始办理业务的概率;(2)X 表示至第2分钟末已办理完业务的顾客人数,求X 的分布列及数学期望·21· (本小题满分14分)设函数()(,,)nn f x x bx c n N b c R +=++∈∈ (1)设2n ≥,1,1b c ==-,证明:()n f x 在区间1,12⎛⎫⎪⎝⎭内存在唯一的零点;(2)设2n =,若对任意12,x x [1,1]∈-,有2122|()()|4f x f x -≤,求b 的取值范围;(3)在(1)的条件下,设n x 是()n f x 在1,12⎛⎫⎪⎝⎭内的零点,判断数列23,,,nx x x 的增减性·。

2012年全国普通高等学校招生统一考试理科数学(陕西卷)

2012年全国普通高等学校招生统一考试理科数学(陕西卷)

2021年全国普通高等学校招生统一考试理科数学(陕西卷)学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________一、单选题1.集合{}lg 0M x x =,2{|4}N x x =≤,则M N ⋂=( )A .(1,2)B .(1,2)C .[1,2)D .(1,2] 2.下列函数中,既是奇函数又是增函数的为( )A 、1y x =+B 、2y x =- C 、1y x= D 、||y x x = 3.设,a b R ∈,i 是虚数单位,则“0ab =”是“复数b a i +为纯虚数”的( ) A 、充分不必要条件 B 、必要不充分条件C 、充分必要条件D 、既不充分也不必要条件4.已知圆22:40C x y x +-=,l 过点(3,0)P 的直线,则( )A 、l 与C 相交B 、l 与C 相切C 、l 与C 相离D 、以上三个选项均有可能5.如图,在空间直角坐标系中有直三棱柱111ABC A B C -,且12CA CC CB ==,则直线1BC 与直线1AB 夹角的余弦值为( )A B C D .356.从甲乙两个城市分别随机抽取16台自动售货机,对其销售额进行统计,统计数据用茎叶图表示(如图所示),设甲乙两组数据的平均数分别为x 甲,x 乙,中位数分别为m 甲,m 乙,则( )A .x x <甲乙,m 甲>m 乙 B .x x <甲乙,m 甲<m 乙 C .x x >甲乙,m 甲>m 乙 D .x x >甲乙,m 甲<m 乙7.设函数()x f x xe =,则( )A .1x =为()f x 的极大值点B .1x =为()f x 的极小值点C .1x =-为()f x 的极大值点D .1x =-为()f x 的极小值点8.两人进行乒乓球比赛,先赢三局着获胜,决出胜负为止,则所有可能出现的情形(各人输赢局次的不同视为不同情形)共有( )A .10种B .15种C .20种D .30种9.在ABC ∆中,角,,A B C 所对边长分别为,,a b c ,若2222a b c +=,则cos C 的最小值为( )A B .2 C .12 D .12- 10.右图是用模拟方法估计圆周率π的程序框图,P 表示估计结果,则图中空白框内应填入( )A .1000N P = B .41000N P = C .1000M P = D .41000M P =二、填空题11.观察下列不等式213122+< 231151233++<, 222111712344+++< ……照此规律,第五个...不等式为 12.5()a x +展开式中2x 的系数为10, 则实数a 的值为13.右图是抛物线形拱桥,当水面在l 时,拱顶离水面2米,水面宽4米,水位下降1米后,水面宽 米14.设函数ln ,0()21,0x x f x x x >⎧=⎨--≤⎩,D 是由x 轴和曲线()y f x =及该曲线在点(1,0)处的切线所围成的封闭区域,则2z x y =-在D 上的最大值为15.若存在实数x 使13x a x -+-≤成立,则实数a 的取值范围是___________.16.如图,在圆O 中,直径AB 与弦CD 垂直,垂足为E ,EF DB ⊥,垂足为F ,若6AB =,1AE =,则DF DB ⋅=17.直线2cos 1ρθ=与圆2cos ρθ=相交的弦长为__________.三、解答题18.函数()sin()16f x A x πω=-+(0,0A ω>>)的最大值为3, 其图像相邻两条对称轴之间的距离为2π, (1)求函数()f x 的解析式; (2)设(0,)2πα∈,则()22f α=,求α的值 19.设{}n a 的公比不为1的等比数列,其前n 项和为n S ,且534,,a a a 成等差数列. (1)求数列{}n a 的公比;(2)证明:对任意k N +∈,21,,k k k S S S ++成等差数列 20.(1)如图,证明命题“a 是平面π内的一条直线,b 是π外的一条直线(b 不垂直于π),c 是直线b 在π上的投影,若a b ⊥,则a c ⊥”为真.(2)写出上述命题的逆命题,并判断其真假(不需要证明)21.已知椭圆1C :2214x y +=,椭圆2C 的中心在坐标原点,焦点在y 轴上,与1C 有相同的离心率,且过椭圆1C 的长轴端点.(1)求椭圆2C 的标准方程;(2)设O 为坐标原点,点,A B 分别在椭圆1C 和2C 上,若2OB OA =,求直线AB 的方程.22.某银行柜台设有一个服务窗口,假设顾客办理业务所需的时间互相独立,且都是整数分钟,对以往顾客办理业务所需的时间统计结果如下:从第一个顾客开始办理业务时计时.(1)估计第三个顾客恰好等待4分钟开始办理业务的概率;(2)X 表示至第2分钟末已办理完业务的顾客人数,求X 的分布列及数学期望.23.设函数()(),,n n f x x bx c n N b c R +=++∈∈(1)设2n ≥,1,1b c ==-,证明:()n f x 在区间1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭内存在唯一的零点; (2)设2n =,若对任意12,x x []1,1∈-,有()()21224f x f x -≤,求b 的取值范围; (3)在(1)的条件下,设n x 是()n f x 在1,12⎛⎫⎪⎝⎭内的零点,判断数列23,,,n x x x 的增减性.参考答案1.C【解析】∵M={x|x>1},N={x|-2≤x≤2},∴M∩N={x|1<x≤2}.故选C.2.D【考点定位】该题主要考察函数的奇偶性和单调性,理解和掌握基本函数的性质是关键【解析】A 是增函数不是奇函数错误,B 和C 都不是定义域内的增函数排除,只有D 正确,因此选D.3.B【考点定位】此题主要考察充分必要条件和复数的概念以及它们之间的逻辑关系,掌握概念是根本 【解析】b i b i≠当ab=0时,a=0或b=0,a+不一定是纯虚数,反之当a+是纯虚数时,a=0,b 0,ab=0,因此B 正确. 4.A【解析】略5.A【详解】设CA =2,则C (0,0,0),A (2,0,0),B (0,0,1),C 1(0,2,0),B 1(0,2,1),可得1AB =(-2,2,1),1BC =(0,2,-1),由向量的夹角公式得cos 〈1AB ,1BC 〉+-6.B【解析】 从茎叶图来看乙中数据集中,甲比较分散,所以18+2227+31==20==29..22x x m m B <<∴甲乙甲乙,又选 7.D【解析】试题分析:因为()x f x xe =,所以()()()=+=+1,=0,x=-1x x x f x e xe e x f x 令得''.又()()()()()>0:>-1;<0<-1,--1-1+f x x f x x f x 由得由得:所以在,,在,∞'∞',所以1x =-为()f x 的极小值点.考点:利用导数研究函数的极值;导数的运算法则.点评:极值点的导数为0 ,但导数为0的点不一定是极值点.8.C【解析】试题分析:第一类:三局为止,共有2种情形;第二类:四局为止,共有2326C ⨯=种情形;第三类:五局为止,共有24212C ⨯=种情形;故所有可能出现的情形共有种情形故选C.考点:1、分类计数原理;2、排列组合.【易错点睛】本题主要考查分类计数原理、排列组合,属容易题.根据题意,可得分为三种情况:三局结束比赛、四局结束比赛和五局结束比赛,故用到分类计数原理,当三局结束比赛时,三场都同一个人胜,共2种情况;当四局结束比赛时,若甲胜时,则前三局甲胜2场,最后一场甲胜,共有23C 种方法,同理乙胜利时,有23C 种方法;当五局结束比赛时,若甲胜,则前四局甲胜2场,最后一场甲胜,共有24C 种方法,同理乙胜利时,有24C 种方法;此类问题中一定要注意,若甲胜,则最后一场必须是甲胜,前面只能胜2场,否则容易出错.9.C【解析】 2221()2c a b =+,由余弦定理得,222221cos 242a b c a b C ab ab +-+==≥当且仅当a b =时取“=”,cos C ∴的最小值为12,选C. 10.D【解析】 试题分析:由题意以及程序框图可知,用模拟方法估计圆周率π的程序框图,M 是圆周内的点的次数,当i 大于1000时,圆周内的点的次数为4M ,总试验次数为1000,所以要求的概率1000M ,所以空白框内应填入的表达式是41000M P = 考点:程序框图11.2222211111111++.234566+++< 【解析】试题分析:根据已知不等式,①232112<+;②353121122<++;③474131211222<+++ ,得出左边式子是连续正整数平方的倒数和,最后一个数的分母是不等式序号n+1的平方,右边分式中的分子与不等式序号n 的关系是2n+1,分母是不等式的序号n+1,故可以归纳出第n 个不等式是222211112n 11234(n+1)n+2++++++<(n 2≥),所以第五个不等式为6116151413*********<+++++ 考点:本题考查归纳推理,解题的关键是根据所给的三个不等式得出它们的共性,由此得出通式,本题考查了归纳推理考察的典型题,具有一般性点评:由题设中所给的三个不等式归纳出它们的共性:左边式子是连续正整数平方的倒数和,最后一个数的分母是不等式序号n+1的平方,右边分式中的分子与不等式序号n 的关系是2n+1,分母是不等式的序号n+1,得出第n 个不等式,即可得到通式,再令n=5,即可得出第五个不等式12.1【考点定位】该题主要考查二项式定理及其性质【解析】5252155,2,10, 1.r r r r T C a x r C a a --+=∴=∴=∴=13.【考点定位】本题主要考察抛物线的标准方程及其应用,紧扣课本【解析】先以拱顶为原点,建立直角坐标系,设水面和拱桥交点A (2,-2)则抛物线方程为2222,2=-2p(-2),2p=2,2,x py x y =-∴=-代入得当水面下降1米时,水面和拱桥的交点记作B (a,-3)则代入抛物线方程得:因此水面宽.14.2【考点定位】此题主要考察线性规划,导数的几何意义等【解析】 max 1(),(1)1,:1()0 2.f x k f l y x xl f x x ''=∴==∴=-=切线,因而切线、曲线、轴围成三角形区域,其中最优解是(,-1),代入得z 15.2 4.a -≤≤【考点定位】 本题主要考察绝对值不等式的性质及其运用【解析】试题分析:本题的几何意义是:存在在数轴上到的距离与到的距离之和小于的点.有13a -≤,24a ∴-<<.考点:含绝对值的不等式的解法.【易错点晴】本题主要考查了含绝对值不等式的解法.含有多个绝对值符号的不等式,一般可用零点分段法求解,对于形如或,利用实数绝对值的几何意义求解较简便.选择或填空题可采用绝对值几何意义的方法,解答题要采用零点分段求解的方法.本题难度不大,属于中档题.16.5【考点定位】 该题主要考察直线和圆的位置关系的证明与计算【解析】 22,,=,=15 5. 5.DF DE Rt DEF Rt DEB DE DF BD DE BDDE AE EB DF BD ∆∆∴=⋅⋅=⨯=∴⋅=即又由相交弦定理得 17【分析】将极坐标方程化为直角坐标系方程是常用方法.【详解】将直线2cos 1ρθ=化为普通方程为:21x =,∵2cos ρθ=,∴22cos ρρθ=,化为普通方程为:222x y x +=,即()2211x y -+=,联立得()222111x x y =⎧⎪⎨-+=⎪⎩,解得12x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,∴直线与圆相交的弦长为=考点:简单曲线的极坐标方程.18.()2sin(2)16f x x π=-+ 3πα=【考点定位】本题主要考察三角函数的图象性质,三角函数的求值,把握三角函数的图像和性质以及三角公式是关键 【解析】1)1322..2()2sin(2) 1.226A A T T f x x T ππππω+=∴=∴==∴==∴=-+(,,又函数图象相邻对称轴间的距离为半个周期,,12()2sin()12,sin(),26620,,,.2663663f αππααπππππππαααα=-+=∴-=<<∴-<-<∴-=∴=()19.2q =-【考点定位】本题主要考察等差等比数列的概念、通项公式、求和公式及其性质.关键要把握两种基本数列的相关知识 【解析】 (1)24353435411121,,2=+2,0,0,20,2,1(. 2.a a a a a a a q a q a q a q q q q q ∴∴=+≠≠∴+-=∴=-∴=-成等差数列,,舍去)(2)证法一.(等差中项法)2121121112()()2(2)0.k k k k k k k k k k k k k N S S S S S S S a a a a a ++++++++++∈∴+-=-+-++=+-=证法二.(公式法)∵2S k =2a 1(1−q k )1−q ,S k+2+S k+1=a 1(1−q k+2)1−q+a 1(1−q k+1)1−q =a 1(2−q k+2−q k+1)1−q ;∴2S k −(S k+2+S k+1)=2a 1(1−q k )1−q−a 1(2−q k+2−q k+1)1−q=a 1q k1−q (q 2+q −2)=0(∵q =−2),∴S k+2,S k ,S k+1成等差数列.20.(1)见解析(2)逆命题为:a 是平面π内的一条直线,b 是π外的一条直线(b 不垂直于π),c 是直线b 在π上的投影,若a c ⊥,则a b ⊥ 该逆命题是真命题, 【解析】 (1)证法一.(向量法)如图过直线b 上任一点作平面π的垂线n ,设直线a,b,c,n 的方向向量分别为,,,,,,=+=+=+=0.=0=0.a b c n b c n c b n a c a b n a b a n a n a n a c a c λμλμλμλμππ∴∴⋅⋅⋅⋅⊂⊥∴⋅∴⋅∴⊥则共面,存在实数,使,()()(),,,,证法二(利用垂直关系证明)如图,,,,,,,,.c b A P b A PO O c PO a a b b PAO PO b P a PAO c PAO a c π⋂=⊥∈∴⊥⊥⊂⋂=∴⊥⊂∴⊥为直线上异于的点,作平面,平面平面 逆命题为【考点定位】本题主要考察空间垂直关系的证明,空间垂直关系定理和定理的证明,考查向量在空间几何中的运用.主要把握垂直关系的证明及向量概念和运算是根本21.221.164x y +=.y x y x ==-或【考点定位】本题主要考察曲线与方程、椭圆的标准方程,直线与曲线、直线与直线,圆锥曲线的综合问题.掌握通性通法是关键 【解析】试题分析:(1)求椭圆的标准方程,由于已知焦点在y 上,而且它过点(2,0),(2,0)-,因此可设方程为22214y x a +=(2)a >,由离心率求得a 即可;(2)本题实质是直线与椭圆相交问题,由已知2OB OA =知直线AB 的斜率存在,因此设其方程为y kx =,同时设1122(,),(,)A x y B x y ,把y kx =分别代入两椭圆方程得21x ,22x ,由2OB OA =,得22214x x =,由此可求得k 值.试题解析:(1)由1C 的方程可得e =依题意可设椭圆2C 的方程为22214y x a +=(2)a >,由已知1C 的离心率为2, 则有22434a a -=,解得:216a =. 故椭圆2C 的方程为221164y x +=.(2)设A ,B 两点的坐标分别为11(,)x y ,22(,)x y ,由2OB OA =及(1)知, O ,A ,B 三点共线且点A ,B 不在y 轴上,因此可设直线AB 的方程为y kx =.将y kx =代入2214x y +=中,解得212414x k =+. 将y kx =代入221164y x +=中,解得:222164x k =+. 又由2OB OA =,得22214x x =,即221616414k k =++,解得1k =±.故直线AB 的方程为y x =或y x =-.考点:椭圆的标准方程,直线与椭圆相交问题.【名师点睛】1.运用待定系数法求椭圆标准方程,即设法建立关于a 、b 的方程组,先定型、再定量,若位置不确定时,考虑是否两解,有时为了解题需要,椭圆方程可设为mx 2+ny 2=1(m >0,n >0,m≠n ),由题目所给条件求出m 、n 即可.2.研究直线和圆锥曲线的位置关系,一般转化为研究其直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组解的个数,但对于选择题、填空题,常充分利用几何条件,利用数形结合的方法求解.最基本的方法是解方程组(当然这要求方程组的解易于求得,解的形式比较简单).22.(1)0.22;(2)见解析. 【解析】设顾客办理业务所需时间,Y ,用频率估计概率的分布列如下(1)事件“第三个顾客恰好等待4分钟开始办理业务”记作A ,则)(1)(3)(3)(1)(2)(2)0.10.30.30.10.40.40.22.P A P Y P Y P Y P Y P Y P Y ===+==+===⨯+⨯+⨯=((2)X 所有可能取值为0,1,2.所以P(X=0)=P(Y>2)=0.5; P(X=1)=P(Y=1)P(Y>1)+P(Y=2)=0.10.90.40.49;⨯+= P(X=2)=P(Y=1)P(Y=1)=0.10.10.01.⨯=因此X 的分布列为:所以X 的期望00.5+10.49+20.01=0.51.EX =⨯⨯⨯23.见解析 【分析】(1)利用导数判断函数()f x 在112,)上递增,结合()111110222n f f ⎛⎫⎛⎫=-⨯<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭可得结果;(2)对任意12,x x []1,1∈-,有()()21224f x f x -≤,等价于()f x 的最大值4M ≤,分类讨论,求()f x 的最大值,即可筛选出符合题意的b 的范围;(3)先证明()()+1+110n n f x f <.可得()+1n f x 的零点+1n x 在+11n x (,)内,可得+1n n x x <,从而可得结论.【详解】20b -≤≤(2)2n =时,对任意12,x x []1,1∈-,有()()21224f x f x -≤,等价于()f x 的最大值4M ≤,()2,f x x bx c =++若12b>与题设矛盾; ()f x 的最大值()()1124M f f b =--=>与题设矛盾;若102b-≤-≤,即02b <≤时,()21(42bb M f f ⎛⎫=--=≤ ⎪⎝⎭恒成立; 若012b,≤-≤即22b -≤≤时,()21(42bb M f f ⎛⎫=--=≤ ⎪⎝⎭恒成立, 综上可得22b -≤≤.(3)设x n 是f n (x)在(12,1)内的唯一零点,f n +1(x)f n +1(1)=(x nn+1+x n −1)×1=x nn+1+x n−1<x n n+x n −1=0,∴f n +1(x)的零点x n +1在区间(x n +1,1)内,∴x n <x n +1(n ≥2),∴数列x 2,x 3,⋯,x n ,⋯是递增数列.【点睛】本题主要考查函数的零点,不等式恒成立问题,考查了分类讨论思想与转化思想的应用,属于难题. 分类讨论思想解决高中数学问题的一种重要思想方法,是中学数学四种重要的数学思想之一,尤其在解决含参数问题发挥着奇特功效,大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是将题设条件研究透,这样才能快速找准突破点. 充分利用分类讨论思想方法能够使问题条理清晰,进而顺利解答,希望同学们能够熟练掌握并应用与解题当中.。

2012年高考数学(理)试卷(陕西自主命题)(空白卷)

2012年高考数学(理)试卷(陕西自主命题)(空白卷)

一、选择题1. 集合{|lg 0}M x x =>,2{|4}N x x =≤,则MN =( )A 。

(1,2)B 。

[1,2)C 。

(1,2]D 。

[1,2] 2. 下列函数中,既是奇函数又是增函数的为( )A 。

1y x =+B 。

2y x =- C 。

1y x=D 。

||y x x =4. 已知圆22:40C x y x +-=,l 过点(3,0)P 的直线,则( )A 。

l 与C 相交B 。

l 与C 相切 C 。

l 与C 相离 D. 以上三个选项均有可能7. 设函数()xf x xe =,则( )A 。

1x =为()f x 的极大值点B 。

1x =为()f x 的极小值点C 。

1x =-为()f x 的极大值点D 。

1x =-为()f x 的极小值点8. 两人进行乒乓球比赛,先赢三局着获胜,决出胜负为止,则所有可能出现的情形(各人输赢局次的不同视为不同情形)共有( )A 。

10种B 。

15种C 。

20种D 。

30种9. 在ABC ∆中,角,,A B C 所对边长分别为,,a b c ,若2222a b c +=,则cos C 的最小值为( ) A 。

32 B 。

22 C 。

12 D 。

12-二。

填空题:把答案填写在答题卡相应的题号后的横线上(本大题共5小题,每小题5分,共25分)12. 5()a x +展开式中2x 的系数为10, 则实数a 的值为 。

13. 右图是抛物线形拱桥,当水面在l 时,拱顶离水面2米,水面宽4米,水位下降1米后,水面宽 米。

C 。

(坐标系与参数方程)直线2cos 1ρθ=与圆2cos ρθ=相交的弦长为 。

三、解答题16.(本小题满分12分)函数()sin()16f x A x πω=-+(0,0A ω>>)的最大值为3, 其图像相邻两条对称轴之间的距离为2π, (1)求函数()f x 的解析式; (2)设(0,)2πα∈,则()22f α=,求α的值。

2012陕西高考理科数学试题和答案(word打印版).doc

2012陕西高考理科数学试题和答案(word打印版).doc

2012陕西高考理科数学试题和答案(word打印版)2012年普通高等学校招生全国统一考试(陕西卷)理科数学第Ⅰ卷(选择题 共50分)一、选择题(本题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,有且只有一项是符合题目要求的).1、集合}0lg |{>=x x M ,}4|{2≤=x x N ,则=N M ( )A .(1,2)B .[1,2)C .(1,2]D .[1,2]2、下列函数中,既是奇函数又是增函数的为( )A .1+=x yB .3x y -= C .xy 1= D .||x x y = 3、设a ,R b ∈,i 是虚数单位,则“0=ab ”是“复数iba +为纯虚数”的( )A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充分必要条件D .既不充分也不必要条件4、已知圆C :0422=-+x y x,l 是过点P (3,0)的直线,则( )A .l 与C 相交B .l 与C 相切C .l 与C 相离D .以上三个选项均有可能5、如图,在空间直角坐标系中有直三棱柱111C B A ABC -,CB CC CA 21==,则直线1BC 与直线1AB 夹角的余弦值为( )A .55B .35C .552D .53 6、从甲乙两个城市分别随机抽取16台自动售货机,对其销售额进行统计,统计数据用茎叶图表示(如图所示).设甲乙两组数据的平均数分别为甲x ,乙x ,中位数分别为甲m ,乙m ,则( ) A .乙甲x x<,乙甲m m > B .乙甲x x<,乙甲m m < C .乙甲x x> ,乙甲m m > D .乙甲x x >,乙甲m m <7、设函数x xe x f =)(,则( )A .1=x 为)(x f 的极大值点B .1=x 为)(x f 的极小值点C .1-=x 为)(x f 的极大值点 D. 1-=x 为)(x f 的极小值点8、两人进行乒乓球比赛,先赢3局者获胜,决出胜负为止,则所有可能出现的情形(各人输赢局次的不同视为不同情形)共有( )A .10种B .15种C .20种D .30种 9、在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边长分别为a ,b ,c ,若2222c b a =+,则C cos 的最小值为( )A .23B .22C .21D .21- 10、右图是用模拟方法估计圆周率π值的程序框图,P 表示估计结果,则图中空白框内应填入( )A .1000N P =B .10004N P = C .1000M P =D .10004M P = 第Ⅱ卷(非选择题 共100分)二、填空题(本大题共有5小题,每小题5分,共25分) 11、观察下列不等式232112<+ 353121122<++ 474131211222<+++ ••••••照此规律,第五个...不等式为________________________________.12、5)(x a +的展开式中2x 的系数为10,则实数a 的值为_____.13、右图是抛物线形拱桥,当水面在l 时,拱顶离水面2米,水面宽4米.水位下降1米后,水面宽______米.14、设函数⎩⎨⎧≤-->=,0,12,0,ln )(x x x x x f D 是由x 轴和曲线)(x f y =及该曲线在点(1,0)处的切线所围成的封闭区域,则y x z 2-=在D 上的最大值为___ _.15、(考生注意:请在下列三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题评分)A.(不等式选做题)若存在实数x 使3|1|||≤-+-x a x 成立,则实数a 的取值范围是__________________.B.(几何证明选做题)如图,在圆O 中,直径AB 与弦CD 垂直,垂足为E ,DB EF ⊥,垂足为F ,若6=AB ,1=AE ,则=⋅DB DF _______.C.(坐标系与参数方程选做题)直线1cos 2=θρ与圆θρcos 2=相交的弦长为___.三.解答题:(本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)。

2012年陕西高考数学 (2)

2012年陕西高考数学 (2)

2012年陕西高考数学引言2012年陕西高考数学试题考察了数学科目的各个方面,包括代数、几何、概率与统计等内容。

本文将对试题进行逐题分析和解答,以帮助考生更好地理解和掌握数学知识。

题目1 分析与解答题目1内容:已知两个正实数 a 与 b 满足条件 a * b = 1,求证a^2 + b^2 ≥ 2。

分析:根据题目条件,我们可以设 a = p/q,b = q/p (其中 p、q 为正实数)。

代入不等式a^2 + b^2 ≥ 2 可得(p/q)^2 + (q/p)^2 ≥ 2。

化简后可得p^4 + q^4 ≥ 2p2q2。

解答:根据平均值不等式,我们有(p^4 + q^4)/2 ≥ ((p2)2 + (q2)2)/2,即 p^4 + q^4 ≥ p2q2 + q2p2 = 2p2q2。

所以原不等式成立,即a^2 + b^2 ≥ 2。

题目2 分析与解答题目2内容:已知一条空间直线 L 平行于平面α,且不垂直于坐标轴,该直线与三个平面β、γ、δ 分别交于点 A、B、C。

若直线 L 与坐标轴的距离为 H,平面β、γ、δ 分别与坐标轴组成的线段长度分别为 D1、D2、D3,求证 (HA/D1)^2 +(HB/D2)^2 + (HC/D3)^2 ≥ 1。

分析:根据题目条件,我们可以利用空间几何的相关知识进行分析。

设直线 L与坐标轴的距离为 H1、H2、H3 (分别表示 L 与 x、y、z 轴的距离),线段长度分别为 D1、D2、D3,则有 HA/D1 = H1,HB/D2 = H2,HC/D3 = H3。

所以题目要求证明的不等式可以简化为H1^2 + H2^2 + H3^2 ≥ 1。

解答:由于直线 L 与平面α 平行且不垂直于坐标轴,所以它一定与某一坐标轴平行。

设直线 L 与 x 轴平行,则 H1 = 0,H2 ≠ 0,H3 ≠ 0。

此时 H1^2 + H2^2 +H3^2 = 0 + H2^2 + H3^2 = H2^2 + H3^2 ≥ 1。

2012年高考数学(理)试卷(陕西自主命题)(解析)

2012年高考数学(理)试卷(陕西自主命题)(解析)

本套试卷命题的立意、考查的出发点和考查的内容在于新课程以及新课标和新考纲;考查的全面到位,每个考点立足于基本知识点、基本思想和基本方法,紧扣课本、紧扣大纲、灵活多变.特别是第10题来巧妙地将算法和模拟方法结合在一起,在知识交汇处命题;第13题来自课本,第18题实质是证明三垂线定理,注重新课程.一.选择题1. 集合{|lg 0}M x x =>,2{|4}N x x =≤,则M N =( )A (1,2)B 。

[1,2)C 。

(1,2]D 。

[1,2]2. 下列函数中,既是奇函数又是增函数的为( ) A 1y x =+ B 。

2y x =- C 。

1y x=D 。

||y x x = 3. 设,a b R ∈,i 是虚数单位,则“0ab =”是“复数ba i+为纯虚数”的( ) A 充分不必要条件 B 必要不充分条件C 充分必要条件D 既不充分也不必要条件bibi≠当ab=0时,a=0或b=0,a+不一定是纯虚数,反之当a+是纯虚数时,a=0,b 0,ab=0,因此B 正确.【答案】B 【考点定位】此题主要考察充分必要条件和复数的概念以及它们之间的逻辑关系,掌握概念是根本.4. 已知圆22:40C x y x +-=,l 过点(3,0)P 的直线,则( )A 。

l 与C 相交B 。

l 与C 相切 C 。

l 与C 相离 D. 以上三个选项均有可能 【解析】5.如图,在空间直角坐标系中有直三棱柱111ABC A B C -,12CA CC CB ==,则直线1BC 与直线1AB 夹角的余弦值为( )A55 B 53 C 255 D 356.从甲乙两个城市分别随机抽取16台自动售货机,对其销售额进行统计,统计数据用茎叶图表示(如图所示),设甲乙两组数据的平均数分别为x 甲,x 乙,中位数分别为m 甲,m 乙,则( )A x x <甲乙,m 甲>m 乙B x x <甲乙,m 甲<m 乙C x x >甲乙,m 甲>m 乙D x x >甲乙,m 甲<m 乙7.设函数()xf x xe =,则( )A 1x =为()f x 的极大值点B 1x =为()f x 的极小值点C 1x =-为()f x 的极大值点D 1x =-为()f x 的极小值点8.两人进行乒乓球比赛,先赢三局着获胜,决出胜负为止,则所有可能出现的情形(各人输赢局次的不同视为不同情形)共有( )A 10种 B15种 C 20种 D 30种【解析】某一个队获胜可以分成3中情况,得分3:0,4:1,5:2;方法数为2213421+)20.C C C +⋅=( 【答案】C【考点定位】该题主要考察分类组合的实际应用,把握分类,正确运用组合是关键.9.在ABC ∆中,角,,A B C 所对边长分别为,,a b c ,若2222a b c +=,则cos C 的最小值为( ) A32 B 22 C 12 D 12-二.填空题11.观察下列不等式213122+< 231151233++<,222111712344+++<……照此规律,第五个...不等式为 14.设函数ln ,0()21,0x x f x x x >⎧=⎨--≤⎩,D 是由x 轴和曲线()y f x =及该曲线在点(1,0)处的切线所围成的封闭区域,则2z x y =-在D 上的最大值为15.A (不等式选做题)若存在实数x 使|||1|3x a x -+-≤成立,则实数a 的取值范围是 A 【解析】A 5分 12章 3节 选修4-5 中T由题意知左边的最小值小于或等于3即可,根据不等式的性质得)(1)3,13,2 4.x a x a a ---≤∴-≤-≤≤(【答案】2 4.a -≤≤【考点定位】 本题主要考察绝对值不等式的性质及其运用.15 C(坐标系与参数方程)直线2cos 1ρθ=与圆2cos ρθ=相交的弦长为 【解析】 化极坐标为直角坐标得直线2213,(1)1,2= 3.22x x y =-+=⨯圆由勾股定理可得相交弦长为3.【考点定位】本题主要考察极坐标系与极坐标方程,先化为普通方程后求解.三.解答题:16.(本小题满分12分) 函数()sin()16f x A x πω=-+(0,0A ω>>)的最大值为3, 其图像相邻两条对称轴之间的距离为2π,(1)求函数()f x 的解析式; (2)设(0,)2πα∈,则()22f α=,求α的值17.(本小题满分12分)设{}n a 的公比不为1的等比数列,其前n 项和为n S ,且534,,a a a 成等差数列。

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2012年陕西省高考理科数学试题
一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求的(本大题共10小题,每小题5分,共50分).
1. 集合{|lg 0}M x x =>,2{|4}N x x =≤,则M N = ( C ) (A ) (1,2) (B ) [1,2) (C ) (1,2] (D ) [1,2]
2. 下列函数中,既是奇函数又是增函数的为( D )
(A ) 1y x =+ (B ) 3y x =- (C ) 1
y x = (D ) ||y x x = 3. 设,a b R ∈,i 是虚数单位,则“0ab =”是“复数b
a i
+为纯虚数”的( B )
(A )充分不必要条件 (B ) 必要不充分条件 (C )充分必要条件 (D ) 既不充分也不必要条件 4. 已知圆22:40C x y x +-=,l 过点(3,0)P 的直线,则( A )
(A )l 与C 相交 (B ) l 与C 相切 (C )l 与C 相离 (D ) 以上三个选项均有可能
5. 如图,在空间直角坐标系中有直三棱柱111ABC A B C -,12CA CC CB ==,则直线1BC 与直线1AB 夹角的余弦值为( A )
(A )(B (C )(D ) 35
6. 从甲乙两个城市分别随机抽取16台自动售货机,对其销售额进行统计,统计数据用茎叶图表示(如图所示),设甲乙两组数据的平均数分别为x 甲,x 乙,中位数分别为m 甲,m 乙,则( B )
(A ) x x <甲乙,m 甲>m 乙
(B ) x x <甲乙,m 甲<m 乙 (C ) x x >甲乙,m 甲>m 乙 (D ) x x >甲乙,m 甲<m 乙
7. 设函数()x f x xe =,则( D )
(A ) 1x =为()f x 的极大值点 (B )1x =为()f x 的极小值点 (C ) 1x =-为()f x 的极大值点 (D )1x =-为()f x 的极小值点
8. 两人进行乒乓球比赛,先赢3局者获胜,决出胜负为止,则所有可能出现的情形(各人输赢局次的不同视为不同情形)共有( C )
(A ) 10种 (B )15种 (C ) 20种 (D ) 30种
9. 在ABC ∆中,角,,A B C 所对边的长分别为,,a b c ,若2
2
2
2a b c +=,则cos C 的最小值为( C )
(A )(B ) 2
(C ) 12 (D ) 12-
10. 右图是用模拟方法估计圆周率π值的程序框图,P 表示估计结果,则图中空白框内应填入( D )
(A ) 1000N
P = (B ) 41000N
P =
(C ) 1000M
P =
(D ) 41000
M
P =
二、填空题:把答案填在答题卡相应题号后的横线上(本大题共5小题,每小题5分,共25分)
11. 观察下列不等式
2131+
<
222712344
+++<
……
照此规律,第五个...不等式为 222221
1
1
1
1
11
1++234566+++<. 12. 5()a x +展开式中2
x 的系数为10, 则实数a 的值为 1 。

13. 右图是抛物线形拱桥,当水面在l 时,拱顶离水面2米,水面宽4米,水位下降1米后,
水面宽
14. 设函数ln ,0
()21,0x x f x x x >⎧=⎨
--≤⎩
,D 是由x 轴和曲线()y f x =及该曲线在点
(1,0)处的切线所围成的封闭区域,则2z x y =-在D 上的最大值为 2 。

15. (考生注意:请在下列三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题评分) A.(不等式选做题)若存在实数x 使|||1|3x a x -+-≤成立,则实数a 的取值范围是 -2
≤a ≤4 。

B.(几何证明选做题)如图,在圆O 中,直径AB 与弦CD 垂直,垂足为E ,EF DB ⊥,垂足为F ,若6AB =,1AE =,则DF DB ⋅= 5 。

C.(坐标系与参数方程选做题)直线2cos 1ρθ=与圆2cos ρθ=三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(本大题共6小题,共75分). 16.(本小题满分12分)
函数()sin()16
f x A x π
ω=-+(0,0A ω>>)的最大值为3, 其图像相邻两条对称
轴之间的距离为
2
π, (Ⅰ)求函数()f x 的解析式;
(Ⅱ)设(0,)2π
α∈,则()22
f α
=,求α的值。

17.(本小题满分12分)
设{}n a 是公比不为1的等比数列,其前n 项和为n S ,且534,,a a a 成等差数列. (Ⅰ)求数列{}n a 的公比; (Ⅱ)证明:对任意k N +∈,21,,k k k S S S ++成等差数列.
18. (本小题满分12分)
(Ⅰ)如图,证明命题“a是平面π内的一条直线,b是π外的一条直线(b不垂直于π),c是直线b在π上的投影,若a b
⊥,则a c
⊥”为真;
(Ⅱ)写出上述命题的逆命题,并判断其真假(不需证明)
19. (本小题满分12分)
已知椭圆2
21:14
x C y +=,椭圆2C 以1C 的长轴为短轴,且与1C 有相同的离心率. (Ⅰ)求椭圆2C 的方程;
(Ⅱ)设O 为坐标原点,点A ,B 分别在椭圆1C 和2C 上,2OB OA =
,求直线AB 的方
程.
20.(本小题满分13分)
某银行柜台设有一个服务窗口,假设顾客办理业务所需的时间互相独立,且都是整数分
钟,对以往顾客办理业务所需的时间统计结果如下:
从第一个顾客开始办理业务时计时.
(Ⅰ)估计第三个顾客恰好等待4分钟开始办理业务的概率;
(Ⅱ)X表示至第2分钟末已办理完业务的顾客人数,求X的分布列及数学期望.
21.(本小题满分14分)
设函数()(,,)n
n f x x bx c
n N b c R +=++∈∈.
(Ⅰ)设2n ≥,1,
1b c ==-,证明:()n f x 在区间1,12⎛⎫
⎪⎝⎭
内存在唯一的零点;
(Ⅱ)设2n =,若对任意12,x x [1,1]∈-,有2122|()()|4f x f x -≤,求b 的取值范围; (Ⅲ)在(Ⅰ)的条件下,设n x 是()n f x 在1,12⎛⎫
⎪⎝⎭
内的零点,判断数列23,,,n x x x 的增减性。

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