曲线与曲面积分辅导

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曲线积分与曲面积分常见题型攻略

曲线积分与曲面积分常见题型攻略以心同学整理一、计算第一类曲线积分步骤：（一）平面曲线积分t t g y t x L ,)()(:1.化简（1）代入化简【常用在k t g t f )](),([ （常数）的情形】Lds y x f ),(Lds t g t f )](),([ kskds L其中s 为积分曲线L 的长度。

（2）利用奇偶对称性化简①若积分曲线L 关于坐标轴y 轴对称，则有Lds y x f ),(1),(,),(2),(0L x y x f ds y x f x y x f 的偶函数是的奇函数是，其中1L 为y 轴右边部分。

②若积分曲线段L 关于坐标轴x 轴对称，则有Lds y x f ),(1),(,),(2),(0L y y x f ds y x f y y x f 的偶函数是的奇函数是，其中1L 为x 轴上边部分。

（3）利用轮换对称性化简若积分曲线L 中把x 与y 互换，积分曲线不变，则有Lds y x f ),( Ldsx y f ),(2.确定积分曲线L 的参数式方程t t g y t x L ,)()(:注：积分曲线一般以)(x f y 或)(y g x 的形式出现，此时参数式为：b x a x f y x x L,)(:，dy c y y y g x L,)(:3.套公式（一代二换三定限）化为定积分Lds y x f ),(dtt g t t g t f )()()](),([22注意：上限大于下限 4.计算定积分例1【2017-2018期末】设L 是直线)40(1243 x y x 的一段，则Lds y x )43(60；解：Lds y x )43( Lds12代入化简6012 s 。

例2【2018-2019期末】计算Lds x y)(2，其中L 为圆周422 y x .解：法一：L 的参数方程为sin 2cos 2y x （ 20 ），d d ds 2)cos 2()sin 2(22 ，于是Lds x y )(22022)cos 2sin 4(d 0sin 8202d822148 .法二：由对称性有Lds y 2 Lds x 2（轮换对称），0 Lxds （奇偶对称）所以Lds x y )(2 Lds y 2L ds y x )(2122 Lds 421（代入化简）8422 Lds .例3【2019-2020期末】计算曲线积分Lds y xy x )(22，其中L 为平面区域}0,1|),{(22 y y x y x D 的边界曲线。

曲线积分与曲面积分复习

第8章曲线积分与曲面积分8.1 向量值函数在有向曲线上的积分第二型曲线积分概念与形式恒力沿直线方向做功 →→→→⋅=⋅=l F l F w θcos ||||变力沿曲线运动⇒取微元 Qdy Pdx ds F dw +=⋅=→||，则⎰++=LQdy Pdx W 。

平面曲线⎰++LQdy Pdx ，空间曲线⎰+++LRdz Qdy Pdx ，性质⎰⎰-+=LL一、计算方法1．设参数，化定积分⎰Ldx y x P ),(＋dy y x Q ),(＝dt t y t y t x Q t x t y t x P t t })()](),([)()](),([{1⎰'+'2．平面闭曲线上积分－用格林公式⎰⎰⎰+=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-∂∂L D Qdy Pdx dxdy y P x Q ，其中L 是D 的取正向的边界曲线，D 为单连通区域，P ，Q 与L D ⋃上有连续一阶偏导数。

3．对于积分与路径无关的可自选路径 4．积分与路径无关),(),,(y x Q y x P 及偏导数于L D ⋃上连续。

下列四个命题等价（1）⎰+CQdy Pdx ＝0，对D 内任意闭曲线C .（2）⎰+LQdy Pdx 积分与路径无关（3）存在),(y x u 使du ＝dy y x Q dx y x P ),(),(+BA LLu du Qdy Pdx |==+⇒⎰⎰（4）x Qy P∂∂=∂∂ 在D 内恒成立.常以（4）为条件，（2）作为结论，自选路径积分二、例题1．基础题目，设参数，化定积分（1）计算⎰-=Lydx xdyI ，:L 如图ABCDEA 解（1）设参数法⎰∑⎰==Li L i51于1L 上设t x cos =，t y sin =⎰⎰-=+=-02222)sin (cos 1ππdt t t ydx xdy L于2L 上设t x cos =，t y sin 2=⎰⎰=⋅+⋅=-2)sin sin 2cos 2(cos 2ππdt t t t t ydx xdy L于3L 上以x 为参数，xdxdy 2-=⎰⎰-=---=-22238)]2()2([3dx x x x ydx xdy L于4L 上以y 诶参数 2-=x ，0=dx ⎰⎰-=-=-1224dy ydx xdy L 于5L 上 1-=y ，以x 为参数(0=dy ) ⎰⎰-=--=-022)1(5dx ydx xdy L综上231423+=-⎰πLydx xdy解（2）（用格林公式）)(224321S S S S dxdyydx xdy DL+++==-⎰⎰⎰231423222232212141412+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅⋅+⋅⋅+=πππ（2）计算 ⎰++=Cdz x dy z dx y I 222。

曲线积分与曲面积分复习

L
f ( x, y )ds f ( (t ), (t )) (t )2 ( t )2 dt

一定，二代，三换元，定，代，换关键在方程。小下限,大上限.
L:
L:
步骤：
1.写出L的参数方程，确定参数的范围 2.化为定积分

L
f ( x, y )ds f ( (t ), (t )) (t )2 ( t )2 dt
应用：
例6 计算 L (3x y)dy ( x y)dx, 其中L为
( x 1) 2 ( y 4) 2 9 的负向.
例7 计算
2 2 xdy , 其中 L 为 x y 1上由点 L
A(1,0) 到点 B(0,1) 的一段弧.
例8 计算原点的分段光滑正向闭曲线. y L
利用路径无关计算曲线积分
2 2 xy d x x dy，其中L是xoy平面内的任例9 计算 L
意有向闭曲线. 特点：路径无关，闭曲线,积分为零.
x e 例10 计算 L cos ydx sin ydy，其中L是从点(0, 0)
到点 ( , ) 的任意有向曲线. 2 2
特点：路径无关，非闭曲线,选易积分路线.
i
n 1
L
L
对坐标的曲线积分

M i 1 M2 M 1
L
Pdx Qdy
A
o
x
对坐标的曲线积分

L
Pdx Qdy
特点(1)积分曲线是有向曲线弧. (2)被积函数的定义域是曲线弧.
P( x, y ), Q( x, y ),( x, y) L
(3)微元 dx,dy 是有向弧微分ds 在坐标轴上的投影与一类曲线积分的本质区别

曲线积分和曲面积分的物理意义

曲线积分和曲面积分的物理意义摘要：1.曲线积分概述2.曲面积分的物理意义3.曲线积分与曲面积分的联系与区别4.实际应用案例分析正文：一、曲线积分概述曲线积分是一种数学工具，用于计算曲线上的物理量，如力、速度、能量等。

它在物理学、工程学等领域具有广泛的应用。

曲线积分的基本思想是将曲线划分为无数小段，计算每小段上的物理量与长度的乘积之和。

根据积分路径的不同，曲线积分可分为线积分和面积分。

二、曲面积分的物理意义曲面积分是对曲面上物理量的积分，其基本思想是将曲面划分为无数小面，计算每个小面上的物理量与面积的乘积之和。

曲面积分可分为两类：法向量积分和切向量积分。

法向量积分用于计算曲面上某一点的垂直方向物理量，如压力、温度等；切向量积分用于计算曲面上某一点的切线方向物理量，如速度、力等。

曲面积分在物理学、工程学等领域具有重要的物理意义。

三、曲线积分与曲面积分的联系与区别曲线积分与曲面积分都是对物理量沿路径或曲面的积分。

它们的联系在于都是通过对路径或曲面进行划分，计算各小段或小面上物理量与长度或面积的乘积之和。

然而，它们也有明显的区别。

曲线积分主要针对曲线路径，关注沿路径的变化；而曲面积分针对曲面，关注的是曲面上各点的物理量。

此外，曲线积分可分为线积分和面积分，而曲面积分可分为法向量积分和切向量积分。

四、实际应用案例分析1.电磁学：在电磁学中，曲线积分广泛应用于计算电场线、磁感线等。

通过计算曲线上某一点的电场强度或磁场强度与弧长的乘积之和，可以得到电场线或磁感线的分布情况。

2.流体力学：在流体力学中，曲面积分可用于计算流体沿曲面的速度分布。

通过计算曲面上各点的速度与面积的乘积之和，可以得到流体的速度分布情况，进而分析流体的运动规律。

3.热传导：在热传导问题中，曲线积分可以用于计算温度沿曲线的分布。

通过计算曲线上某一点的温度与弧长的乘积之和，可以得到温度的分布情况，进而分析热传导过程。

总之，曲线积分和曲面积分在物理学、工程学等领域具有重要的应用价值。

曲线与曲面积分

曲线与曲面积分曲线与曲面积分是微积分中重要的概念，广泛应用于物理学、工程学等领域。

本文将介绍曲线与曲面积分的基本概念、计算方法以及应用案例。

一、曲线积分曲线积分是对曲线上某个函数的积分运算。

曲线可以是平面曲线，也可以是空间曲线。

我们以平面曲线为例进行说明。

设曲线C是由参数方程(x(t), y(t))表示，其中t的取值范围是[a, b]。

对于函数f(x, y)，曲线积分的定义如下：∫f(x, y) ds = ∫f(x(t), y(t))√[x'(t)]²+[y'(t)]² dt其中ds表示弧长元素。

计算曲线积分的方法主要有参数法和直接法。

参数法是将曲线参数化，然后将曲线积分转化为参数的积分，最后求解参数积分。

直接法是根据曲线的方程，利用弧微分公式，将曲线积分直接转化为函数的定积分。

曲线积分在物理学中有广泛应用，例如计算沿曲线C的力场的功、电场/磁场对电流/磁通的做功等。

二、曲面积分曲面积分是对曲面上某个函数的积分运算。

曲面可以是平面曲面，也可以是空间曲面。

我们以平面曲面为例进行说明。

设曲面S是由参数方程(x(u, v), y(u, v), z(u, v))表示，其中(u, v)的取值范围是[D]。

对于函数f(x, y, z)，曲面积分的定义如下：∬f(x, y, z) dS = ∬f(x(u, v), y(u, v), z(u, v))∥ru×rv∥ dudv其中∥ru×rv∥表示曲面元素的面积，并且ru和rv是曲面的切向量。

计算曲面积分的方法主要有参数法和直接法。

参数法是将曲面参数化，然后将曲面积分转化为参数的积分，最后求解参数积分。

直接法是根据曲面的方程，利用曲面微分公式，将曲面积分直接转化为函数的定积分。

曲面积分在物理学和工程学中有广泛应用，如计算电场/磁场通过曲面的电通量/磁通量、计算曲面上流体的流量等。

三、应用案例1. 计算曲线积分假设曲线C是圆周x²+y²=a²，并且函数f(x, y) = x²+y²。

高等数学第十章曲线积分与曲面积分(考研辅导班内部资料)

ds L ( L 表示曲线 L 的弧长 ) ．
L
积函数可用积分曲线方程作变换．
（ 6）奇偶性与对称性如果积分弧段 L (AB ) 关于 y 轴对称，
f (x, y)ds 存在，则
L( AB )
f ( x, y)ds
L ( AB )
0,
f ( x, y) 关于 x是奇函数 ,
2
f ( x, y)ds，f ( x, y) 关于 x是偶函数 .
切线的方向余弦是一个常量。所以，当积分曲线是直线时，可能采用两类不同的曲线积分的
转换。
定理 4 （格林公式）
设 D 是由分段光滑的曲线 L 围成，函数 P( x, y), Q (x, y) 及其一阶偏导数在 D 上连续，
则有
P(x, y)dx Q (x, y)d y
Q P dxdy
L
Dx x
设 L (AB ) 的平面曲线：其参数方程： x
分别是和，则
(t), y
(t) ，起点和终点对应的参数取值
Pdx Qdy
L ( AB)
{ P( (t ), (t)] (t) Q[( (t), (t )] (t )}dt
设 L (AB ) 的空间曲线：其参数方程： x (t), y (t ), z w(t ) ，起点和终点对应的
表示曲线的线密度。定义 2 第二类曲线积分（对坐标的曲线积分）
（ 1）平面曲线 L( AB) 的积分：
P(x, y)dx Q( x, y)dy
L ( AB )
（ 2）空间曲线 L( AB) 的积分：
n
lim
(T ) 0
[ f ( k , k ) xk
k1
f ( k , k ) yk ]

曲线积分与曲面积分

曲线积分与曲面积分曲线积分与曲面积分是微积分中重要的概念和计算方法，它们在物理、工程和其他科学领域中的应用广泛。

本文将重点介绍曲线积分和曲面积分的概念、计算方法和应用。

一、曲线积分曲线积分是对曲线上的函数进行积分运算的方法。

它可以用来计算曲线上的物理量或者曲线周围的环量。

曲线积分可以分为第一类曲线积分和第二类曲线积分。

1. 第一类曲线积分第一类曲线积分也叫标量场的曲线积分，是对曲线上函数的积分。

设曲线C为参数方程r(t) = {x(t), y(t), z(t)}，函数f(x, y, z)在曲线C上有定义，则第一类曲线积分的计算公式为：∫[C]f(x, y, z)ds = ∫[a,b]f(x(t), y(t), z(t))|r'(t)|dt其中ds表示曲线上的长度元素，|r'(t)|表示参数方程的导数的模。

2. 第二类曲线积分第二类曲线积分也叫矢量场的曲线积分，是对曲线上的矢量场进行积分。

设曲线C为参数方程r(t) = {x(t), y(t), z(t)}，矢量场F(x, y, z)在曲线C上有定义，则第二类曲线积分的计算公式为：∫[C]F(x, y, z)•dr = ∫[a,b]F(x(t), y(t), z(t))•r'(t)dt其中•表示矢量的点积运算。

二、曲面积分曲面积分是对曲面上的函数进行积分运算的方法。

曲面积分可以分为第一类曲面积分和第二类曲面积分。

1. 第一类曲面积分第一类曲面积分也叫标量场的曲面积分，是对曲面上函数的积分。

设曲面S为参数方程r(u, v) = {x(u, v), y(u, v), z(u, v)}，函数f(x, y, z)在曲面S上有定义，则第一类曲面积分的计算公式为：∬[S]f(x, y, z)dS = ∬[D]f(x(u, v), y(u, v), z(u, v))|ru × rv|dudv其中dS表示曲面上的面积元素，D为参数化区域，ru和rv分别为参数方程r(u, v)对u和v的偏导数，ru × rv表示它们的叉积。

曲线积分与曲面积分(解题方法归纳)

⎰ ⎪⎩2 L f ( x, y)ds⎰ P( x, y)dx = ⎨ 2⎰ P( x , y)dy⎪⎩L⎰ Q( x, y)dy = ⎨ 2⎰ Q( x , y)dy Q 对x 为奇函数⎪⎩ L⎰ ⎪⎩2 L f ( x, y)ds⎰ P( x, y)dx = ⎨ 2⎰ P( x , y)dy⎪⎩L⎰ Q( x, y)dy = ⎨ 2⎰ Q( x , y)dy Q 对y 为偶函数⎪⎩ L第十一章解题方法归纳一、曲线积分与曲面积分的计算方法1.曲线积分与曲面积分的计算方法归纳如下：(1) 利用性质计算曲线积分和曲面积分.(2) 直接化为定积分或二重积分计算曲线或曲面积分 (3) 利用积分与路径无关计算对坐标的曲线积分. (4) 利用格林公式计算平面闭曲线上的曲线积分. (5) 利用斯托克斯公式计算空间闭曲线上的曲线积分. (6) 利用高斯公式计算闭曲面上的曲面积分.2. 在具体计算时，常用到如下一些结论：（1）若积分曲线 L 关于 y 轴对称，则⎰ L ⎧⎪ 0 f ( x , y)ds = ⎨1f 对x 为奇函数f 对x 为偶函数⎧⎪0P 对x 为奇函数 LP 对x 为偶函数 1⎧⎪0 Q 对x 为偶函数L1其中 L 是 L 在右半平面部分.1若积分曲线 L 关于 x 轴对称，则⎰ L ⎧⎪ 0 f ( x , y)ds = ⎨1f 对y 为奇函数f 对y 为偶函数⎧⎪0P 对y 为偶函数 LP 对y 为奇函数 1⎧⎪0 Q 对y 为奇函数L1其中 L 是 L 在上半平面部分.1（2）若空间积分曲线 L 关于平面 y = x 对称，则⎰Lf ( x )ds = ⎰ f ( y)ds .Lf ( x, y , z)dS = ⎨2⎰⎰ R( x , y , z)dS f 对z 为偶函数 ⎩ ∑1 ⎰⎰ R( x, y , z)dxdy = ⎨ 2⎰⎰ R( x , y , z)dxdy R 对z 为奇函数⎩ ∑1 ⎪ f ( x, y , z)dS = ⎨2⎰⎰ R( x , y , z)dS f 对x 为偶函数 ⎩ ∑1 ⎩ ∑1 ⎪ ⎨ f ( x, y , z)dS = ⎨2⎰⎰ R( x , y , z)dS f 对y 为偶函数 ⎩ ∑1 ⎰⎰ Q( x, y , z)dzdx = ⎨ 2⎰⎰ Q ( x , y , z)dzdx Q 对y 为奇函数⎩ ∑1 ⎪ 若空间曲线弧 Γ : ⎨ y = y(t ) (α ≤ t ≤ β ) ，则 ⎪ z = z(t ) （3）若积分曲面 ∑ 关于 xOy 面对称，则⎰⎰∑⎧0 f 对z 为奇函数 ⎪⎪⎧0 R 对z 为偶函数⎪ ∑其中 ∑ 是 ∑ 在 xOy 面上方部分.1若积分曲面 ∑ 关于 yOz 面对称，则⎰⎰∑⎧0 f 对x 为奇函数 ⎪⎪⎧0 P 对x 为偶函数 ⎰⎰ P( x, y , z)d y d z = ⎪2⎰⎰ P( x , y , z)dy d zP 对x 为奇函数∑其中 ∑ 是 ∑ 在 yOz 面前方部分.1若积分曲面 ∑ 关于 zOx 面对称，则⎰⎰∑⎧0 f 对y 为奇函数 ⎪⎪⎧0 Q 对y 为偶函数⎪ ∑其中 ∑ 是 ∑ 在 zOx 面右方部分.1⎧ x = x(t )（4）若曲线弧 L : ⎨ (α ≤ t ≤ β ) ，则⎩ y = y(t )⎰Lf ( x , y)ds = ⎰ β f [x(t ), y(t )] x '2 (t ) + y '2 (t )dtα(α < β )若曲线弧 L : r = r (θ ) (α ≤ θ ≤ β ) （极坐标），则⎰Lf ( x , y)ds = ⎰ βf [r (θ )cos θ , r (θ )sin θ ] r 2 (θ ) + r '2 (θ )d θα⎧ x = x(t )⎪⎩（5）若有向曲线弧 L : ⎨(t : α → β ) ，则 y = y(t )若空间有向曲线弧 Γ : ⎨ y = y(t ) (t : α → β ) ，则 ⎪ z = z(t )⎰Γf ( x , y , z)ds = ⎰ β f [x(t ), y(t ), z(t )] x '2 (t ) + y '2 (t ) + z '2 (t )dt (α < β )α⎧ x = x(t ) ⎩⎰LP( x , y)dx + Q( x , y)dy = ⎰β{P [x(t ), y(t )]x '(t ) + Q [x(t ), y(t ) ]y '(t )}dtα⎧ x = x(t )⎪⎩⎰P( x , y , z)dx + Q( x , y , z)dy + R( x , y , z )dzΓ= ⎰β{P [x(t ), y(t ), z (t )]x '(t ) + Q [x(t ), y(t ), z (t )]y '(t ) + R [x(t ), y(t ), z (t ) ]z '(t )}dtα（6）若曲面 ∑ : z = z ( x , y) (( x , y) ∈ D ) ，则xy⎰⎰ f ( x , y , z)dS = ⎰⎰ f [x, y , z( x , y)] 1 + z ' 2( x , y) + z ' 2( x , y)dxdyxy∑D xy其中 D 为曲面 ∑ 在 xOy 面上的投影域.xy若曲面 ∑ : x = x( y , z ) (( y , z) ∈ D ) ，则yz⎰⎰ f ( x , y , z)dS = ⎰⎰ f [x( y , z), y , z ]∑D yz其中 D 为曲面 ∑ 在 yOz 面上的投影域.yz若曲面 ∑ : y = y( x , z ) (( x , z ) ∈ D ) ，则zx⎰⎰ f ( x , y , z)dS = ⎰⎰ f [x, y( x , z), z ]1 + x '2 ( y , z) + x '2 ( y , z)dydzy z1 + y '2 ( y , z) + y ' 2 ( y , z)d zdxz x∑Dzx其中 D 为曲面 ∑ 在 zOx 面上的投影域.zx（7）若有向曲面 ∑ : z = z( x , y) ，则⎰⎰ R( x , y , z)dx dy = ± ⎰⎰ R[ x , y , z( x , y)]dx dy （上“+”下“-”）∑D xy其中 D 为 ∑ 在 xOy 面上的投影区域.xy若有向曲面 ∑ : x = x( y , z) ，则⎰⎰ P( x , y , z)dydz = ± ⎰⎰ P[ x ( y , z), y , z]dydz （前“+”后“-”）∑D yz其中 D 为 ∑ 在 yOz 面上的投影区域.yz⇔ ∂ P L ⎝ ∂x ∂y ⎭Ò⎰⎰ P( x, y , z)dy dz + Q( x, y , z)dzdx + R( x, y , z)dxdy = ⎰⎰⎰⎛ ∂P + ∂Q + ∂R ⎫⎪dv⎰ ⎰ ⎪ Ò⎰⎰ (P cos α + Q cos β + R cos γ )dS = ⎰⎰⎰⎛ ∂P + ∂Q + ∂R ⎫⎪dv⎰ 若有向曲面 ∑ : y = y( x , z) ，则⎰⎰ Q ( x , y , z)dzdx = ± ⎰⎰ Q[ x , y( x , z ), z ]dzdx （右“+”左“-”）∑Dzx其中 D 为 ∑ 在 zOx 面上的投影区域.zx（8） ⎰ P d x + Q d y 与路径无关 ⇔ ÑP d x + Q d y = 0 （ c 为 D 内任一闭曲线）Lc⇔ du ( x , y) = Pdx + Qdy （存在 u ( x , y) ）∂Q=∂ y ∂ x其中 D 是单连通区域， P( x , y), Q ( x , y) 在 D 内有一阶连续偏导数.（9）格林公式ÑP( x , y)dx + Q( x , y)dy = ⎰⎰ ⎛ ∂Q - ∂P ⎫dxdy D其中 L 为有界闭区域 D 的边界曲线的正向， P( x , y), Q ( x , y) 在 D 上具有一阶连续偏导数.（10）高斯公式⎝ ∂x ∂y ∂z ⎭ ∑ Ω或∑ Ω ⎝ ∂x ∂y ∂z ⎭其中 ∑ 为空间有界闭区域 Ω 的边界曲面的外侧， P( x , y , z), Q ( x , y , z), R( x , y , z) 在Ω 上具有一阶连续偏导数， cos α ,cos β ,cos γ 为曲面 ∑ 在点 ( x , y , z) 处的法向量的方向余弦.（11）斯托克斯公式d y d z dzdx dx dy ÑPdx + Qdy + Rdz = ⎰⎰ ∂ ∂x∂ ∂y ∂∂zΓ ∑P Q R其中 Γ 为曲面 ∑ 的边界曲线，且 Γ 的方向与 ∑ 的侧（法向量的指向）符合右手螺旋法则， P , Q , R 在包含 ∑ 在内的空间区域内有一阶连续偏导数.1. 计算曲线积分或曲面积分的步骤：= ⎰ = ⎰ + ⎰⎰ ⎰ （1）计算曲线积分的步骤：1）判定所求曲线积分的类型（对弧长的曲线积分或对坐标的曲线积分）； 2）对弧长的曲线积分，一般将其化为定积分直接计算；对坐标的曲线积分：① 判断积分是否与路径无关，若积分与路径无关，重新选取特殊路径积分；② 判断是否满足或添加辅助线后满足格林公式的条件，若满足条件，利用格林公式计算（添加的辅助线要减掉）；③ 将其化为定积分直接计算.④ 对空间曲线上的曲线积分，判断是否满足斯托克斯公式的条件，若满足条件，利用斯托克斯公式计算；若不满足，将其化为定积分直接计算.（2）计算曲面积分的步骤：1）判定所求曲线积分的类型（对面积的曲面积分或对坐标的曲面积分）； 2）对面积的曲面积分，一般将其化为二重积分直接计算；对坐标的曲面积分：① 判断是否满足或添加辅助面后满足高斯公式的条件，若满足条件，利用高斯公式计算（添加的辅助面要减掉）；② 将其投影到相应的坐标面上，化为二重积分直接计算.例 1 计算曲线积分 I = ⎰ L dx + dy x + y + x 2，其中 L 为 x + y = 1取逆时针方向.解I = ⎰Ldx + dy dx + dy dx dyx + y + x 2 L 1 + x 2 L 1 + x 2 L 1 + x 2由于积分曲线 L 关于 x 轴、 y 轴均对称，被积函数 P = Q =函数，因此1 1 + x 2对 x 、 y 均为偶dx L 1 + x2= 0 ,dy L 1 + x 2= 0故I = ⎰Ldx + dy x + y + x 2= 0『方法技巧』对坐标的曲线积分的对称性与对弧长的曲线积分对称性不同，记清楚后再使用.事实上，本题还可应用格林公式计算.dS = ⎰⎰ y dS = ⎰⎰ z 3⎰⎰ ( x= R 2 ⎰⎰ dS + 4π R 2n 2 = 4π R 2[ (a 2 + b 2 + c 2 ) + n 2 ]⎰⎰ ⎰⎰ ( 2⎰⎰ (⎰⎰ ⎰⎰x 2 + y 2，其中 L 为圆周 x 2 + y 2 = a 2 (a > 0) 的逆⎰例 2计算曲面积分 I = ⎰⎰ (ax + by + cz + n)2 dS ，其中 ∑ 为球面∑x 2 + y 2 + z 2 = R 2 .解I = ⎰⎰ (ax + by + cz + n)2 dS∑= ⎰⎰ (a 2 x 2 + b 2 y 2 + c 2 z 2 + n 2 + 2abxy + 2acxz + 2bcyz + 2anx + 2bny + 2cnz)dS∑由积分曲面的对称性及被积函数的奇偶性知⎰⎰ xydS = ⎰⎰ xzdS = ⎰⎰ yzdS = ⎰⎰ xdS = ⎰⎰ ydS = ⎰⎰ zdS = 0∑∑∑∑∑∑又由轮换对称性知⎰⎰ x 222dS∑∑∑故I = a 2 ⎰⎰ x 2dS + b 2 ⎰⎰ y 2dS + c 2 ⎰⎰ z 2dS + n 2 ⎰⎰ dS∑∑∑∑= (a 2 + b 2 + c 2 )⎰⎰ x 2dS + n 2 ⎰⎰ dS∑∑=a 2 +b 2 +c 22+ y 2 + z 2 )dS + 4π R 2n 2∑a 2 +b 2 +c 2R2 3 3∑『方法技巧』对面积的曲面积分的对称性与对坐标的曲面积分的对称性不同，理解起来更容易些.若碰到积分曲面是对称曲面，做题时可先考虑一下对称性.例 3 计算曲面积分 Ò ( x 2 + y 2 + z 2 )dS ，其中 ∑ 为球面 x 2 + y 2 + z 2 = 2ax .∑解乙 x + y 2+ z 2)dS =∑⎰⎰ 2axdS = 2a 乙x - a)dS + 2a 2⎰⎰ dS∑ ∑ ∑= 0 + 2a 2 Ò d S = 2a 2 g 4π a 2 = 8π a 4∑『方法技巧』积分曲面 ∑ 是关于 x - a = 0 对称的，被积函数 x - a 是 x - a 的奇函数，因此 Ò ( x - a)dS = 0∑例 4 计算曲线积分 Ñ L xy 2dy - x 2 ydxÑxy dy-x⎰⎛1π31π⎫1=8a3⎰2(sin2θ-sin4θ)dθ=8a3 g-g g⎪=πa3蜒xy dy-x⎰a⎰Ñxy dy-x⎰⎰dθ⎰aρ2gρdρ=1πa3⎪⎪n gn-2gL⎪n-1gn-3g Lg n为奇数g g g n为偶数时针方向.解法1直接计算.将积分曲线L表示为参数方程形式⎧x=a cosθL:⎨⎩y=a sinθ(θ:0→2π)代入被积函数中得22ydx L x2+y2=a3⎰2π[cosθsin2θcosθ-cos2θsinθ(-sinθ)]dθ0=2a3⎰2πsin2θcos2θdθ=2a3⎰2πsin2θ(1-sin2θ)dθ00π0⎝22422⎭2解法2利用格林公式22ydx L x2+y2=1Lxy2dy-x2ydx=1a⎰⎰(x2+y2)dxdyD其中D:x2+y2≤a2，故22ydx L x2+y2=12πa02『方法技巧』本题解法1用到了定积分的积分公式：⎧n-1n-3π⎰2sin nθdθ=⎨⎪⎩n n-22331π422解法2中，一定要先将积分曲线x2+y2=a2代入被积函数的分母中，才能应用格林公式，否则不满足P,Q在D内有一阶连续偏导数的条件.例5计算曲线积分⎰(x+y)dx-(x-y)dy，其中L为沿y=πcos x由点L x2+y2A(-π,π)到点B(-π,-π)的曲线弧.解直接计算比较困难.由于P=x+y-x+y,Q=x2+y2x2+y2，∂P x2-y2-2x y∂Q==∂y(x2+y2)2∂x因此在不包含原点O(0,0)的单连通区域内，积分与路径无关.取圆周x2+y2=2π2上从A(-π,π)到点B(-π,-π)的弧段L'代替原弧段L，⎪⎩y=2πsinθ(θ:-=⎰4[(cosθ+sinθ)(-sinθ)-(cosθ-sinθ)cosθ]dθ3=-⎰4dθ=-π2(D xy 0(1-x-y)2dy=⎰(1-x)4dx其参数方程为：L⎧⎪x=2πcosθ':⎨π4→5π4)，代入被积函数中得⎰L (x+y)dx-(x-y)dy1=x2+y22π2⎰L'(x+y)dx-(x-y)dy5ππ-45ππ-4『方法技巧』本题的关键是选取积分弧段L'，既要保证L'简单，又要保证不经过坐标原点.例6计算曲面积分⎰⎰xdydz+ydzdx+zdxdy，其中∑为x+y+z=1的法∑向量与各坐标轴正向夹锐角的侧面.解由于曲面∑具有轮换对称性，⎰⎰xdydz=⎰⎰ydzdx=⎰⎰zdxdy，∑投影到xOy面的区域D={x,y)xy∑∑∑x+y≤1}，故⎰⎰xdydz+ydzdx+zdxdy=3⎰⎰zdxdy=3⎰⎰(1-∑∑∑x-y)2dxdy=3⎰⎰(1-x-y)2dxdy=3⎰1d x⎰(1-1t=1-x-⎰0t4(1-t)d t=301x)21120『方法技巧』由于积分曲面∑具有轮换对称性，因此可以将dy d z,dzdx直接转换为dx dy，∑只要投影到xOy面即可.例7计算曲面积分⎰⎰(x-y2)dy dz+(y-z2)dzdx+(z-x2)dxdy，其中∑为锥∑面z2=x2+y2在0≤z≤h部分的上侧.解利用高斯公式.添加辅助面∑:z=h(x2+y2≤h2)，取下侧，则1⎰⎰(x-y∑2)dy dz+(y-z2)dzdx+(z-x2)dxdy=⎰⎰(x-y2)d y d z+(y-z2)d zdx+(z-x2)dxdy∑+∑1( = -3g π h 2 g h + h ⎰⎰ dxdy - ⎰⎰ ( x 2 + y 2 )dxdy= -π h 3 + h g π h 2 - ⎰ d θ ⎰ h ρ 3d ρ = - 1 π h 4Ñ( z - y)dx + ( x - z)dy + ( x - y)dz ，其中 L : ⎧⎨ x例 8 计算曲线积分 ⎰ 0( ⎰-⎰⎰ ( x - y 2 )d y d z + ( y - z 2 )dzdx + ( z - x 2 )dxdy∑1= -⎰⎰⎰ 3d x dy dz - ⎰⎰ (h - x 2 )dxdy = -3⎰⎰⎰ d xdy dz + ⎰⎰ (h - x 2 )dx dyΩ ∑1ΩD xy其中 Ω 为 ∑ 和 ∑ 围成的空间圆锥区域，D 为 ∑ 投影到 xOy 面的区域，即1xyD = { x , y) x 2 + y 2 ≤ h 2}，由 D 的轮换对称性，有xy xy⎰⎰ x 2dxdy = 1⎰⎰ ( x2D xyD xy2+ y 2 )dxdy故⎰⎰ ( x - y 2 )dy dz + ( y - z 2 )dzdx + ( z - x 2 )dxdy∑1 13 2D xyD xy1 2π2 0 4『方法技巧』添加辅助面时，既要满足封闭性，又要满足对侧的要求 .本题由于积分锥面取上侧（内侧），因此添加的平面要取下侧，这样才能保证封闭曲面取内侧，使用高斯公式转化为三重积分时，前面要添加负号.2 + y 2 = 1L ⎩ x - y + z = 2从 z 轴的正向往负向看， L 的方向是顺时针方向.解应用斯托克斯公式计算. 令 ∑ : x - y + z = 2 ( x 2 + y 2 ≤ 1)取下侧，∑ 在 xOy面的投影区域为 D = { x, y) x 2 + y 2 ≤ 1}，则xydy dz dzdx dx dyÑ( z - y)dx + ( x - z)dy + ( x - y)dz = ⎰⎰L∑∂ ∂x z - y ∂ ∂y x - z ∂∂z x - y= ⎰⎰ 2dx dy = -2 ⎰⎰ dx dy = -2π∑D xy『方法技巧』本题用斯托克斯公式计算比直接写出曲线 L 的参数方程代入要简单，所有应用斯托克斯公式的题目，曲面 ∑ 的选取都是关键， ∑ 既要简单，又要满足斯托克斯的条件，需要大家多加练习.二、曲线积分与曲面积分的物理应用⎰ ρ ( x , y)ds⎰ ρ ( x , y)ds⎰ ρ ( x , y)ds,⎰ ρ ( x , y)ds,z =⎰ ρ ( x , y)ds⎰⎰ρ ( x , y , z)dS ⎰⎰ ρ ( x , y , z)dS⎰⎰ ρ ( x , y , z)dSLLx yL1.曲线积分与曲面积分的物理应用归纳如下：(1) 曲线或曲面形物体的质量.(2) 曲线或曲面的质心（形心）. (3) 曲线或曲面的转动惯量. (4) 变力沿曲线所作的功. (5) 矢量场沿有向曲面的通量. (6) 散度和旋度.2. 在具体计算时，常用到如下一些结论：（1）平面曲线形物体M = ⎰ ρ ( x , y)dsL空间曲线形物体 M = ⎰ ρ ( x , y , z)dsL曲面形构件M = ⎰⎰ ρ ( x , y , z)dS∑（2）质心坐标平面曲线形物体的质心坐标：x =⎰ x ρ ( x , y)dsL,y =⎰ y ρ ( x , y)dsLLL空间曲线形物体的质心坐标：x =⎰ x ρ( x , y , z )ds LLy =⎰ y ρ( x , y , z )d s LL⎰z ρ ( x , y , z )ds L L曲面形物体的质心坐标：⎰⎰ x ρ ( x , y , z)dS⎰⎰ y ρ ( x , y , z)dS⎰⎰ z ρ ( x , y , z)dSx =∑ , y =∑ , z =∑ ∑∑∑当密度均匀时，质心也称为形心.（3）转动惯量平面曲线形物体的转动惯量： I = ⎰ y 2 ρ ( x , y)ds , I = ⎰ x 2 ρ( x , y)dsx y空间曲线形物体的转动惯量：I=⎰(x2+y2)ρ(x,y,z)ds z10/13曲面形物体的转动惯量：I x (y2z2)(x,y,z)dS,Iy(z2x2)(x,y,z)dSIz(x2y2)(x,y,z)dS其中(x,y)和(x,y,z)分别为平面物体的密度和空间物体的密度.（4）变力沿曲线所作的功平面上质点在力F P(x,y)i+Q(x,y)j作用下，沿有向曲线弧L从A点运动到B点，F所做的功W P(x,y)dx Q(x,y)dyAB空间质点在力F P(x,y,z)i+Q(x,y,z)j+R(x,y,z)k作用下，沿有向曲线弧L从A点运动到B点，F所做的功W P(x,y,z)dx Q(x,y,z)dy R(x,y,z)dzAB（2）矢量场沿有向曲面的通量矢量场A P(x,y,z)i+Q(x,y,z)j+R(x,y,z)k通过有向曲面指定侧的通量P(x,y,z)dydz Q(x,y,z)dzdx R(x,y,z)dxdy（3）散度和旋度矢量场A P(x,y,z)i+Q(x,y,z)j+R(x,y,z)k的散度div A P Q R x y z矢量场A P(x,y,z)i+Q(x,y,z)j+R(x,y,z)k的旋度rotA(R Qy zP R Q P)i()j+()kz x x yx P iyQj kzR1.曲线积分或曲面积分应用题的计算步骤：例 9 设质点在场力 F = k{ y , - x }的作用下，沿曲线 L : y = cos x 由 A(0, )移动到 B( ,0) ，求场力所做的功.（其中 r = x 2+ y 2, k 为常数）» r oBx»AB r 2 ，则 = = ∂ y r 4 ∂ x ( x + y ≠ 0) W = k ⎰ dx - dy = k ⎰ 0-(sin 2θ + cos 2 θ )d θ = kL 1 r 2r 2 2（1）根据所求物理量，代入相应的公式中；（2）计算曲线积分或曲面积分.ππ r 2 2 2π2解积分曲线 L 如图 11.7 所示. 场力所做的功为yW = ⎰ABAP( x, y)dx + Q( x, y)dy L L 1= k ⎰y xdx - dy2令 P = y x ∂ P k ( x 2 - y 2 ) ∂Q , Q =- 22 r 2 r 2图 11.7即在不含原点的单连通区域内，积分与路径无关. 另取由 A 到 B 的路径：L : x = 1 π π πcos θ , y = sin θ (θ : → 0) 2 2 2y x π π 2『方法技巧』本题的关键是另取路径 L ，一般而言，最简单的路径为折线1路径，比如 AO U OB ，但不可以选取此路径，因为 P , Q 在原点处不连续. 换句话说，所取路径不能经过坐标原点，当然路径 L 的取法不是唯一的.1例 10设密度为 1 的流体的流速 v = xz 2 i + sin x k ，曲面 ∑ 是由曲线⎧⎪ y = 1 + z 2⎨⎪⎩ x = 0(1≤ z ≤ 2) 饶 z 轴旋转而成的旋转曲面，其法向量与 z 轴正向的夹角为锐角，求单位时间内流体流向曲面 ∑ 正侧的流量 Q .解旋转曲面为 ∑ : x 2 + y 2 - z 2 = 1 (1≤ z ≤ 2) ，令∑ 为平面 z = 1 在 ∑ 内的部分1取上侧， ∑ 为平面 z = 2 在 ∑ 内的部分取下侧，则 ∑ + ∑ + ∑ 为封闭曲面的内侧，2 12故Q = ⎰⎰ P( x , y , z)dy dz + Q( x , y , z)dzdx + R( x , y , z)dxdy∑= ⎰⎰ xz 2dy dz + sin xdxdy∑= -⎰⎰⎰ z 2dx dy dz - ⎰⎰ s in xdxdy - ⎰⎰ s in xdxdy=⎰⎰ xz 2d y d z + sin xdxdy - ⎰⎰ xz 2d y d z + sin xdxdy - ⎰⎰ xz 2d y dz + sin xdxdy∑+∑1 +∑ 2 ∑1∑2Ω∑1 ∑2= -⎰ 2 z 2dz⎰⎰ dx dy -⎰⎰ sin xdxdy +⎰⎰ sin xdxdy1x 2 + y 2 ≤1+ z 2x 2 + y 2 ≤2x 2 + y 2 ≤5= -π ⎰ 2z 2 (1+ z 2 )dz - 0 + 0 = -1128 15π『方法技巧』本题的关键是写出旋转曲面 ∑ 的方程，其次考虑封闭曲面的侧，以便应用高斯公式，最后用截痕法计算三重积分，用对称性计算二重积分.。

曲线积分与曲面积分的应用

曲线积分与曲面积分的应用曲线积分与曲面积分是微积分的重要概念，在应用数学和物理学领域经常被用到。

本文将介绍曲线积分与曲面积分的概念、计算方法以及在实际问题中的应用。

一、曲线积分的概念与计算方法曲线积分用于计算曲线上的某个向量场的沿曲线的积分。

设曲线C 为参数方程r(t)=(x(t), y(t), z(t)), 其中t∈[a, b]。

向量场F(x, y, z)=(P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z))在曲线C上的曲线积分定义为：∫[a,b] F·dr = ∫[a,b] (Pdx + Qdy + Rdz)计算曲线积分的方法有两种，一种是根据参数方程直接计算，另一种是通过换元法转化为定积分。

无论使用哪种方法，都需要注意确定积分路径的方向。

二、曲线积分的应用1. 力的做功：假设有一个物体沿曲线C移动，受到力F(x, y, z)的作用。

则力F在曲线C上做的功可以通过曲线积分来计算。

例如，当物体受到重力作用时，曲线积分可以用于计算物体从一个位置到另一个位置的重力做功。

2. 流量计算：曲线积分还可以用于计算流体通过给定曲线边界的流量。

例如，在计算液体或气体通过管道的流量时，可以通过曲线积分来确定通过给定管道截面的流体的体积流量。

三、曲面积分的概念与计算方法曲面积分用于计算曲面上的某个向量场的通过曲面的流量。

设曲面S由参数方程r(u, v)=(x(u, v), y(u, v), z(u, v))定义，其中(u, v)∈D。

向量场F(x, y, z)=(P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z))在曲面S上的曲面积分定义为：∬S F·dS = ∬D (F·(ru×rv)) dA其中，ru和rv分别是参数方程r(u, v)对u和v的偏导数向量，ru×rv 是其叉乘，dA是面积元素。

计算曲面积分的方法包括参数化法、单位法向量法和投影法等。

高数下第十一章曲线积分与曲面积分

L:yx2,x从 0变1,到
原式 1(2xx2x22x)dx 0
4 1 x3dx 1. 0
整理课件
y x2
B(1,1)
A(1,0)
23
(2) 化为y的对积. 分 L:xy2,y从 0变1到 ,
原式 1(2y2y2yy4)dy 0 5 1 y4dx1. 0
( 3 ) 原式 OA2xydxx2dy AB2xydxx2dy
解记 L所围成的闭区域为 D,
令 Px2yy2, Qx2 xy2, 则当 x2y20时 ,有 Q x(x y22 yx22)2 P y.
整理课件
37
y
(1) 当(0,0)D时,
L
xdy ydx
D
由格林公式知 L x2 y2 0 o
x
(2) 当 (0,0) D 时 ,
作位于 D 内圆周 l:x 2 y 2 r2 , y L
xydx xydx
L
AB
1 y2y(y2)dy 1
2 1 y4dy 4 .
1
5
整理课件
B(1,1)
y2 x
A(1,1)
20
例2 计算y2dx,其中 L为 L
(1)半径为 a、圆心为原点、针按方逆向时绕行的上半圆 ; 周 (2)从点A(a,0)沿x轴到点 B(a,0)的直线. 段
解 (1) L: x y a ascions,
整理课件
28
练习题：
1、 xydx,其中L 为圆周( x a)2 y 2 a 2 (a 0)及 L x 轴所围成的在第一象限内的区域的整个边界(按
逆时针方向绕行)；
2、
(x
L
y)dx ( x x2 y2

曲线积分与曲面积分

第十一章曲线积分与曲面积分定积分和重积分是讨论定义在直线段、平面图形或者空间区域上函数的积分问题．但在实际问题中，这些还不够用，例如当我们研究受力质点作曲线运动时所作的功以及通过某曲面流体的流量等问题时，还要用到积分区域是平面上或空间中的一条曲线，或者空间中的一张曲面的积分，这就是这一章要讲的曲线积分和曲面积分.教学目标1．理解对弧长曲线积分和对坐标曲线积分的概念和性质；2．掌握对弧长曲线积分和对坐标曲线积分的计算方法；3．理解两类曲线积分之间的关系；4．掌握格林公式；5．会应用平面曲线积分与路径无关的条件；6．理解对弧长曲线面积分和对坐标曲面积分的概念和性质；7．掌握对弧长曲面积分和对坐标曲面积分的计算方法；8．理解两类曲面积分之间的关系。

教学要求1．掌握对弧长曲线积分和对坐标曲线积分的计算方法。

2．掌握格林公式。

3．应用平面曲线积分与路径无关的条件解决相关类型的问题。

4．掌握对弧长曲面积分和对坐标曲面积分的计算方法。

知识点、重点归纳1．分析实际问题，将其转化为相关的数学问题；2．应用曲线或者曲面积分的计算方法求解问题；3．理解格林公式的实质；4．应用平面曲线积分与路径无关的条件解决相关类型的问题。

第一节对弧长的曲线积分一、对弧长曲线积分的概念与性质定义 L 为xoy 面内的一条光滑曲线弧，),(y x f 在L 上有界，用i M 将L 分成n 小段i S ∆，任取一点i i i S ∆∈),(ηξ()1,2,3...,i n =，作和ini iiS f ∆∑=1),(ηξ，令},,,m ax {21n s s s ∆∆∆= λ，当λ0→时，01lim (,)ni i i i f S λξη→=∆∑存在，称此极限值为),(y x f 在L 上对弧长的曲线积分（第一类曲线积分）记为=⎰ds y x f L),(01lim (,)ni i ii f S λξη→=∆∑注意：（1）若曲线封闭，积分号⎰ds y x f ),(（2）若),(y x f 连续，则ds y x f L⎰),(存在，其结果为一常数.（3）几何意义),(y x f =1，则ds y x f L⎰),(=L （L 为弧长）（4）物理意义 M =ds y x L⎰),(ρ（5）此定义可推广到空间曲线ds y z x f ⎰Γ),,(=01lim (,,)ni i i ii f S λξηζ→=∆∑（6）将平面薄片重心、转动惯量推广到曲线弧上重心：Mxdsx L⎰=ρ，Mydsy L⎰=ρ，Mzdsz L⎰=ρ。

高数考研备战曲线积分与曲面积分的关系与转化

高数考研备战曲线积分与曲面积分的关系与转化曲线积分和曲面积分是数学中的重要概念，在高数考研备战中也是必不可少的知识点。

曲线积分主要用于计算曲线上某个物理量的总量，而曲面积分则用于计算曲面上某个物理量的总量。

两者之间存在一定的关系和转化方法，下面我们将详细介绍。

一、曲线积分的概念和计算方法曲线积分是用来计算曲线上某个物理量的总量。

在数学上通常将曲线积分分为第一类曲线积分和第二类曲线积分。

1. 第一类曲线积分第一类曲线积分是指对曲线上函数的积分运算。

根据曲线的参数方程表示，第一类曲线积分可以表示为：∫ [a, b] f(x(t), y(t)) ds其中，f(x, y)是定义在曲线上的函数，x(t)和y(t)是曲线的参数方程，ds是曲线上的弧长元素。

2. 第二类曲线积分第二类曲线积分是指对曲线上向量场的积分运算。

根据曲线的参数方程表示，第二类曲线积分可以表示为：∫ [a, b] F(x(t), y(t)) · dr其中，F(x, y)是定义在曲线上的向量场，x(t)和y(t)是曲线的参数方程，dr是曲线上的切向量元素。

二、曲面积分的概念和计算方法曲面积分是用来计算曲面上某个物理量的总量。

曲面积分同样分为第一类曲面积分和第二类曲面积分。

1. 第一类曲面积分第一类曲面积分是指对曲面上函数的积分运算。

根据曲面的参数方程表示，第一类曲面积分可以表示为：∫∫ Ω f(x, y, z) dS其中，f(x, y, z)是定义在曲面上的函数，Ω是曲面的投影区域，dS 是曲面上的面积元素。

2. 第二类曲面积分第二类曲面积分是指对曲面上向量场的积分运算。

根据曲面的参数方程表示，第二类曲面积分可以表示为：∫∫ Ω F(x, y, z) · dS其中，F(x, y, z)是定义在曲面上的向量场，Ω是曲面的投影区域，dS是曲面上的面积元素。

三、曲线积分与曲面积分的关系与转化在某些情况下，曲线积分和曲面积分之间存在一定的联系与转化方法。

曲线积分与曲面积分知识点

第十章曲线积分与曲面积分一、一、重点两类曲面积分及两类曲面积分的计算和格林公式、高斯公式的应用二、二、难点对曲面侧的理解，把对坐标的曲面积分化成二重积分，利用格林公式求非闭曲线上的第二类曲线积分，及利用高斯公式计算非闭曲面上的第二类曲面积分。

三、三、内容提要1． 1．曲线（面）积分的定义：（1）（1）第一类曲线积分∑⎰=→∆∆ni i i i LS f ds y x f 0),(lim ),(ηξλ（存在时）i S ∆表示第i 个小弧段的长度，（i i ηξ,）是i S ∆上的任一点小弧段的最大长度。

实际意义：当f(x,y)表示L 的线密度时，⎰Lds y x f ),(表示L 的质量；当f(x,y) ≡1时，⎰Lds表示L 的弧长，当f(x,y)表示位于L 上的柱面在点（x,y ）处的高时，⎰Lds y x f ),(表示此柱面的面积。

（2）（2）第二类曲线积分]),(),([lim 1i i i ni iiiLy Q x P Qdy Pdx ∆+∆∆+∑⎰=→ηξηξλ(存在时)实际意义：设变力F =P(x,y) i +Q(x,y) j 将质点从点A 沿曲线L 移动到B 点，则F 作的功为：⎰⎰+=⋅=L L Qdy Pdx S d F W，其中S d =（dx,dy ）事实上，⎰L Pdx ，⎰L Qdy 分别是F在沿X 轴方向及Y 轴方向所作的功。

（3）（3）第一类曲面积分∑⎰⎰=→∑∆∆ni i iiiS f ds z y x f 1),,(lim ),,(ζηξλ(存在时)i S ∆表示第i 个小块曲面的面积，（i i i ζηξ,,）为i S ∆上的任一点，λ是n 块小曲面的最大直径。

实际意义：当f(x,y ，z)表示曲面∑上点（x,y,z ）处的面密度时，⎰⎰∑ds z y x f ),,(表示曲面∑的质量，当f(x,y,z) ≡1时，⎰⎰∑ds 表示曲面∑的面积。

曲线积分与曲面积分

曲线积分与曲面积分曲线积分和曲面积分是微积分中的重要概念，它们在物理、工程等领域中有着广泛的应用。

本文将详细介绍曲线积分和曲面积分的定义、计算方法以及应用。

一、曲线积分曲线积分是沿曲线上的各点对一个矢量场进行积分的操作。

它可以帮助我们计算曲线周围矢量场的某种性质，如流量、环量等。

曲线积分可以分为第一类曲线积分和第二类曲线积分。

1. 第一类曲线积分第一类曲线积分又称为曲线上的标量场积分，它的计算只涉及到被积函数。

设曲线C的参数方程为x=f(t)，y=g(t)，z=h(t)，其中a≤t≤b。

对于曲线上每一点P(x,y,z)，记r(t)=x i + y j + z k为P的位置矢量，则第一类曲线积分的定义为：∫[f(x,y,z)]•ds=∫[f(x(t),y(t),z(t))•r'(t)]dt其中[f(x,y,z)]为被积函数，ds为曲线C上各点的弧长元素，r'(t)为曲线C在P点处的切向量。

2. 第二类曲线积分第二类曲线积分又称为曲线上的矢量场积分，计算是将矢量场与切向量进行点积。

设曲线C的参数方程为x=f(t)，y=g(t)，z=h(t)，其中a≤t≤b。

对于曲线上每一点P(x,y,z)，记r(t)=x i + y j + z k为P的位置矢量，则第二类曲线积分的定义为：∫[F(x,y,z)]•dr=∫[F(x(t),y(t),z(t))•r'(t)]dt其中[F(x,y,z)]为矢量场，dr为曲线C上各点的位置矢量元素，即dr=r'(t)dt。

二、曲面积分曲面积分是在曲面上对一个矢量场或标量场进行积分的操作。

它可以帮助我们计算曲面上矢量场的通量、曲面的面积等。

曲面积分同样可以分为第一类曲面积分和第二类曲面积分。

1. 第一类曲面积分第一类曲面积分又称为曲面上的标量场积分，它的计算只涉及到被积函数。

设曲面S的参数方程为x=g(u,v)，y=h(u,v)，z=k(u,v)，其中D 为曲面S在(u,v)平面上的投影区域。

多元向量函数的曲线积分与曲面积分

多元向量函数的曲线积分与曲面积分曲线积分和曲面积分是向量微积分中的重要概念，用于描述多元向量函数在曲线上和曲面上的积分性质。

在本文中，我们将介绍多元向量函数的曲线积分和曲面积分的定义、计算方法和一些重要性质。

一、曲线积分曲线积分用于描述多元向量函数沿着曲线的积分性质。

设曲线C为参数方程r(t)=(x(t),y(t),z(t))，其中a≤t≤b是参数区间。

若函数F(x,y,z)=(P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z))定义在曲线C上，那么多元向量函数F沿曲线C的曲线积分可以表示为：∫C F·dr = ∫C (Pdx+Qdy+Rdz)其中dr=(dx,dy,dz)是曲线C上的微元向量，P,Q,R是F的分量函数。

计算曲线积分的方法有两种，一种是直接计算，根据曲线参数方程将x,y,z替换成参数t，在参数区间上对分量函数P,Q,R进行积分。

另一种是利用格林公式或斯托克斯定理，将曲线积分转化为二重积分或三重积分进行计算。

二、曲面积分曲面积分用于描述多元向量函数通过曲面的积分性质。

设曲面S为参数方程r(u,v)=(x(u,v),y(u,v),z(u,v))，其中(u,v)∈D是参数区域。

若函数F(x,y,z)=(P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z))定义在曲面S上，那么多元向量函数F通过曲面S的曲面积分可以表示为：∬S F·dS = ∬S (PdSx+QdSy+RdSz)其中dS=(dSx,dSy,dSz)是曲面S上的面积微元向量，P,Q,R是F的分量函数。

计算曲面积分的方法也有两种，一种是直接计算，根据曲面参数方程将x,y,z替换成参数u,v，在参数区域上对分量函数P,Q,R乘以面积微元dS进行积分。

另一种是利用高斯定理，将曲面积分转化为三重积分进行计算。

三、曲线积分与曲面积分的关系曲线积分和曲面积分之间存在密切的关系。

根据斯托克斯定理，对于光滑曲面S的边界曲线C，有以下等式成立：∫C F·dr = ∬S rotF·dS其中rotF=(∂R/∂y-∂Q/∂z, ∂P/∂z-∂R/∂x, ∂Q/∂x-∂P/∂y)是F的旋度。

曲线积分与曲面积分解题技巧

曲线积分与曲面积分的解题技巧1．对弧长的曲线积分的解题技巧一般采用直接计算法，即写出曲线的参数方程，借助弧微分计算公式，直接代入被积被积表达式转换为定积分的方法计算，注意定积分下限小于上限。

也可以考虑借助于其实际意义，借助元素法转换为其他类型的积分来完成计算。

2．对坐标的曲线积分的解题技巧(1) 直接计算方法，参数方程表达式直接代入，转换为定积分计算的方法。

注意定积分下限为起点对应的参数，上限为终点对应的参数。

(2) 两类曲线积分之间的关系。

注意方向余弦构成的切向量的方向应与曲线方向一直。

(3) 格林公式，当积分曲线为空间曲线时，则使用格林公式。

(注意三个条件：封闭性，方向性与偏导的连续性)(4) 积分与路径无关(格林公式)。

3．对面积的曲面积分的解题技巧一般采用直接计算法，要求积分曲面为简单类型，不为简单类型的积分曲面借助于积分对积分区域的可加性，将其分割为简单类型，借助面积微元的积分变量微元的描述形式转换为二重积分计算。

也可以考虑借助于其实际意义，借助元素法转换为其他类型的积分来完成计算。

对面积的曲面积分只需要考虑曲面为一种简单类型。

4．对坐标的曲面积分的解题技巧(1) 直接计算方法，将对不同坐标的曲面积分分开单独计算，考虑曲面为单独的三种不同简单类型，采取直接代入函数表达式转换为二重积分的方法计算，唯一要注意的是，法向量与相应坐标轴的方向关系决定直接将曲面积分转换为二重积分的正负。

(2) 两类曲面积分之间的关系。

注意方向余弦构成的法向量的方向应与曲面的法向量方向一直。

(3) 利用两类曲面积分之间的关系，将三个对坐标的曲面积分转换为一种类型的对坐标的曲面积分，这样就只要考虑曲面为一种类型的简单类型即可。

(4) 高斯公式，当积分曲线为空间曲线时，则使用格林公式。

(注意三个条件：封闭性，方向性与偏导的连续性)。

曲线与曲面积分计算曲线积分与曲面积分的基本技巧

曲线与曲面积分计算曲线积分与曲面积分的基本技巧曲线与曲面积分：计算曲线积分与曲面积分的基本技巧曲线积分和曲面积分是微积分中重要的概念，应用广泛。

在本文中，我们将探讨曲线积分和曲面积分的基本技巧和计算方法。

在开始之前，我们先对曲线积分和曲面积分进行简要介绍。

1. 曲线积分曲线积分是对曲线上的某个向量场的积分，其计算方法有两种：第一类曲线积分和第二类曲线积分。

第一类曲线积分是对标量函数的积分，而第二类曲线积分是对向量函数的积分。

1.1 第一类曲线积分第一类曲线积分也称为沿曲线的线积分，其计算公式为：∫f(x, y, z) • dr = ∫f(x(t), y(t), z(t)) • r'(t) dt，其中f(x, y, z)为曲线上的函数，r(t)为曲线上的向量函数，r'(t)为r(t)的导数。

1.2 第二类曲线积分第二类曲线积分也称为曲线上的向量场的线积分，其计算公式为：∫F • dr = ∫F(x(t), y(t), z(t)) • r'(t) dt，其中F为曲线上的向量函数，r(t)为曲线上的向量函数，r'(t)为r(t)的导数。

2. 曲面积分曲面积分是对曲面上的某个标量函数或向量函数的积分，其计算方法也有两种：第一类曲面积分和第二类曲面积分。

第一类曲面积分是对标量函数的积分，而第二类曲面积分是对向量函数的积分。

2.1 第一类曲面积分第一类曲面积分也称为曲面上的标量场的曲面积分，其计算公式为：∬f(x, y, z) dS，其中f(x, y, z)为曲面上的函数，dS为曲面元素面积。

2.2 第二类曲面积分第二类曲面积分也称为曲面上的向量场的曲面积分，其计算公式为：∬F • dS = ∬F(x, y, z) • n dS，其中F为曲面上的向量函数，dS为曲面元素面积，n为曲面上某一点的法向量。

3. 计算曲线积分的基本技巧在计算曲线积分时，我们需要掌握以下基本技巧：3.1 参数化对于曲线上的向量函数，我们需要找到一个参数来表示该曲线，通常使用参数t来表示曲线上的点。

曲线积分与曲面积分计算

曲线积分与曲面积分计算曲线积分和曲面积分是微积分中的重要概念，用于计算沿曲线的路径或曲面上的某个向量场的总体效应。

本文将介绍曲线积分和曲面积分的概念、计算方法以及应用领域。

一、曲线积分曲线积分是计算沿曲线的路径的某个向量场的总体效应的方法。

当我们想要计算曲线上的某个物理量时，曲线积分可以提供有效的工具。

下面以一个简单的例子来说明曲线积分的计算方法。

设有一条光滑曲线C，其参数方程为r(t)=(x(t), y(t), z(t))，其中a≤t≤b。

在曲线C上有一个向量场F=(P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z))，我们想要计算该向量场沿曲线C的积分。

曲线积分的计算方法为∫CF·dr，其中CF=(P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z))·(dx, dy, dz)。

由此可知，曲线积分等于向量场F与路径元素的内积，再对路径元素求累积。

在具体计算中，我们可以先求得路径元素dx, dy, dz，再分别与向量场F的各个分量进行乘法运算，最后求和即可得到曲线积分的结果。

二、曲面积分曲面积分是计算曲面上的某个向量场的总体效应的方法。

与曲线积分类似，曲面积分也可以用于计算物理量在曲面上的分布情况。

下面以一个简单的例子来说明曲面积分的计算方法。

设有一个光滑曲面S，其参数方程为r(u, v)=(x(u, v), y(u, v), z(u, v))，其中(a≤u≤b, c≤v≤d)。

在曲面S上有一个向量场F=(P(x, y, z), Q(x, y, z),R(x, y, z))，我们想要计算该向量场在曲面S上的积分。

曲面积分的计算方法为∬SF·dS，其中SF=(P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z))·(dSx, dSy, dSz)。

由此可知，曲面积分等于向量场F与曲面元素的内积，再对曲面元素求累积。

曲线积分与曲面积分备课教案

曲线积分与曲面积分备课教案第一章：曲线积分概述1.1 曲线积分的概念引入曲线积分的基本概念，理解曲线积分的重要性。

解释曲线积分的定义，通过图形和实例进行说明。

1.2 曲线积分的计算方法介绍常用的曲线积分计算方法，如参数法、极坐标法等。

讲解如何选择合适的计算方法，并通过实例进行演示。

第二章：曲线积分的应用2.1 曲线长度引入曲线长度的概念，并解释其与曲线积分的关系。

学习计算曲线长度的方法，并通过实例进行练习。

2.2 曲线围成的面积介绍曲线围成面积的概念，并解释其与曲线积分的关系。

学习计算曲线围成面积的方法，并通过实例进行练习。

第三章：曲面积分概述3.1 曲面积分的概念引入曲面积分的概念，理解曲面积分的重要性。

解释曲面积分的定义，通过图形和实例进行说明。

3.2 曲面积分的计算方法介绍常用的曲面积分计算方法，如参数法、极坐标法等。

讲解如何选择合适的计算方法，并通过实例进行演示。

第四章：曲面积分的应用4.1 曲面的面积引入曲面面积的概念，并解释其与曲面积分的关系。

学习计算曲面面积的方法，并通过实例进行练习。

4.2 曲面的体积介绍曲面体积的概念，并解释其与曲面积分的关系。

学习计算曲面体积的方法，并通过实例进行练习。

第五章：曲线积分与曲面积分的进一步应用5.1 曲线积分与曲面积分的联系与区别探讨曲线积分与曲面积分的联系与区别，加深对两种积分概念的理解。

通过实例说明两种积分的应用场景和计算方法的不同。

5.2 曲线积分与曲面积分的综合应用引入实际应用问题，综合运用曲线积分和曲面积分进行解决。

通过实例讲解如何将实际问题转化为曲线积分或曲面积分问题，并进行计算和分析。

第六章：曲线积分与曲面积分的定积分形式6.1 曲线积分的定积分形式引入曲线积分的定积分形式，解释其与不定积分的关系。

学习如何从曲线积分的定积分形式进行计算，并通过实例进行演示。

6.2 曲面积分的定积分形式介绍曲面积分的定积分形式，解释其与不定积分的关系。