随机过程2014_12

P{ X ( s ) = k X (t ) = n} =
P{ X ( s ) = k , X (t ) = n} P{ X (t ) = n}
P{ X ( s ) = k , X (t ) − X ( s ) = n − k} = P{ X (t ) = n}
参数为 n 和 s/t 的 二项分布
n! s k (t − s ) n − k = ⋅ k!(n − k )! tn
分布函数为 F ( x)，若 F (0) = 0，且 ∀0 < s < t ， 有
s P{W1 ≤ s | X (t ) = 1} = t
则X (t)为具有参数 λ 的泊松过程
四、与泊松过程有关的分布
4、等待时间的条件分布
（2）假设在 [ 0 , t ] 内事件A已经发生 n 次 [定理] 设 {X (t), t ≥ 0 }是泊松过程，已知在[0, t]内事件A发 生n次，则这n次到达时间W1< W2< …< Wn与相应于 n个[0, t]上均匀分布的独立随机变量的顺序统计量 有相同的分布。
k s = C n 1 − t k
s t
n−k
四、与泊松过程有关的分布
4、等待时间的条件分布
（2）假设在[0 , t ]内事件A已经发生 n次，且0 < s < t。 [定理]设 { X (t ), t ≥ 0}是一计数过程，{Tn , n = 1, 2,}为到 达时间间隔序列，若{Tn , n = 1, 2,} 独立同分布，
f Tn (t ) = λe − λt u (t )
ΦTn (t ) =
λ λ − jω
D[Tn ] = 1 λ2
E[Tn ] = 1 λ ,
四、与泊松过程有关的分布
例
已知仪器在 [ 0 , t ] 内发生振动的次数 X(t) 是具有参数 λ的泊松过程。若仪器振动k (k ≥ 1)次就会出现故障，求仪 器在时刻 t0 正常工作的概率。
分布函数为 F ( x)，若 F (0) = 0，ETn < ∞ ，且 ∀n ≥ 1 ，有 ∀0 < s < t ，
P{Wn ≤ s | X (t ) = n} = (s t) ,t > 0
n
则X (t)为具有参数 λ 的泊松过程
n
四、与泊松过程有关的分布
3、时间间隔的分布
设 {X (t), t ≥ 0 }是具有参数λ的泊松过程，{Tn , n ≥ 1 } 是对应的时间间隔序列，则随机变量Tn (n=1,2,…) 是独立同分布的均值为1/λ 的指数分布。
Tn 的分布函数： Tn 的概率密度函数： Tn 的特征函数： Tn 的数字特征： FTn (t ) = P{Tn ≤ t} = (1 − e − λt )u (t )
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1 / t , 0 ≤ s < t fW1 X ( t ) =1 ( s ) = 其它 0,
四、与泊松过程有关的分布
4、等待时间的条件分布
（1）假设在[0 , t ]内事件A已经发生一次，且0 < s < t。 [定理]设 { X (t ), t ≥ 0}是一计数过程，{Tn , n = 1, 2,}为到 达时间间隔序列，若{Tn , n = 1, 2,} 独立同分布，
h →0
fWk ( s ) ⋅ P{ X (t ) − X ( s ) = n − k} P{ X (t ) = n}
h
n! s k −1 s = 1− k (k − 1)!(n − k )! t t
n−k
Beta分布
四、与泊松过程有关的分布
4、等待时间的条件分布
（2）假设在 [ 0 , t ] 内事件A已经发生 n 次，且0 < s < t。 ⟡ 对0 < k < n ， [ 0 , s ] 内事件A发生 k 的概率
n! n , 0 < t1 < < t n < t f (t1 , , t n X (t ) = n) = t 其它 0,
四、与泊松过程有关的分布
4、等待时间的条件分布
（2）假设在 [ 0 , t ] 内事件A已经发生 n 次 ⟡ 第k次(k < n) 发生时间Wk 的条件概率密度函数
随机过程
第12讲 泊松过程(2) 叶 方
哈尔滨工程大学信息与通信工程学院
四、与泊松过程有关的分布
1、等待时间与时间间隔
设 {X (t), t ≥ 0 }是强度为λ的泊松过程， 表示 t 时刻事件A发生的次数 T1 0 W1 T2 T3 Tn Wn-1 Wn
Wn = ∑ Ti
i =1
n
(n ≥ 1)
W2 W3
t
Wn ——事件A 第n次发生的时刻，称等待时间（到达时间） Tn ——事件A第n-1次发生到第n次发生的时间间隔，称第 n个时间间隔
四、与泊松过程有关的分布
2、等待时间的分布
设 {X (t), t ≥ 0 }是具有参数λ的泊松过程，{Wn , n≥1} 是对应的等待时间序列，则随机变量Wn 服从参数 为n与λ 的Γ 分布（又称为爱尔兰分布）。
P{s < Wk ≤ s + h X (t ) = n} =
= P{s < Wk ≤ s + h, X (t ) = n} P{ X (t ) = n} P{s < Wk ≤ s + h} ⋅ P{ X (t ) − X ( s + h) = n − k} P{ X (t ) = n}
fWk
P{s < Wk ≤ s + h X (t ) = n} ( ) s n = lim = X (t )
k n −1 λ ( t ) 其概率分布为 FWn (t ) = 1 − e −λt ∑ k! k =0
u (t )
E[Wn ] = n λ 2 D [ W ] n λ = n
fWn (t ) = λe −λt
(λt ) n −1 u (t ) ( n − 1)!
λn ΦW (ω ) = ( λ − jω ) n
[定理]设 { X (t ), t ≥ 0}是参数为 λ的泊松过程， s 则∀0 < s < t ，有 P{W1 ≤ s | X (t ) = 1} = t
分布函数： 分布密度：
s<0 0, FW1 X ( t ) =1 ( s ) = s / t , 0 ≤ s < t 1, s≥t
k −1
(λt ) k −1 dt ( k − 1)! (λt 0 ) n n!
= P[ X (t 0 ) < k ] = ∑ λe − λt0
n =0
四、与泊松过程有关的分布
4、等待时间的条件分布
（1）假设在[0 , t ]内事件A已经发生一次，且0 < s < t。 到达时间W1的分布
——均匀分布
[解] 仪器发生第k振动的时刻Wk 就是故障时刻T ，则T 的概率 k −1 分布为Γ 分布: λ t ( ) λe − λt , t≥0 f T (t ) = ( k − 1)! t<0 0 , 故仪器在时刻 t0 正常工作的概率为:
P = P (T > t 0 ) =
∞
∫
t0
λe −λt