平稳随机过程的概念
合集下载
平稳随机过程的概念
所以随机相位周期过程是平稳的. 特别, 随机相位 正弦波是平稳的.
例3
考虑随机电报信号 x( t ) I
信号X ( t )由只
取 I或 I
o
I
t
的电流给出 .
这里 P{ X ( t ) I } P{ X ( t ) I } 1 / 2
而正负号在区间 ( t , t )内变化的次数N ( t , t )
2. 广义平稳过程
{ X ( t ), t T }, 如果对任意 定义1 给定二阶矩过程
t,t T :
E[ X ( t )] X
(常数)
E[ X ( t ) X ( t )] RX ( )
则称{ X ( t ), t T }为宽平稳过程, 或广义平稳过程 .
其中A是服从瑞利分布的随机 变量, 其概率密度为
a e f (a ) 2 0,
a2 2 2
, a0 a0
是在(0,2π )上服从均匀分布且与 A 相互独立的 随机变量, 是一常数,问X n ( t ) 是不是平稳过程?
解 因 E ( A)
a
2 2
即相关函数只与k l 有关,
所以它是宽平稳的随机序列.
如果 X1 , X 2 ,, X k ,是独立同分布的 , 则序列是
严平稳的.
例2 设s( t )是一周期为T的函数,是在(0, t )上服
从均匀分布的随机变量 , 称X (t ) s(t )为随机
相位周期过程. 试讨论它的平稳性 .
说明 (1) 严平稳过程只要二阶矩存在, 则它必定也 是宽平稳的. 反之不成立. (2) 宽平稳的正态过程必定也是严平稳的.
随机过程课程第五章 平稳过程
（1）均值函数为常数： m(t) E[X (t)] m
（2）相关函数仅是时间差 t1 t2 的函数：
记
B( ) R(t1,t2 )
证 只对连续型的情况
m(t) E[ X (t)] xf (t；x)dx
xf (x)dx m
首页
R(t1,t2 ) E[ X (t1) X (t2 )]
而与时间起点无关。
证
首页
一对维任意的 ，必有 f (t；x) f (t ；x) 若令 t ，得
f (t；x) f (0；x) f (x) 即一维概率密度 f (t；x) 与 t 无关。
同理有一维分布函数也与t无关，
即 F(t；x) F(0；x)
证 二维 对于二维概率密度，有
f (t1,t2；x1, x2 ) f (t1 ,t2 ；x1, x2 )
首页
返回
第三节 平稳正态过程与正交增量过程
一、平稳正态过程
定义1 若正态随机过程{ X (t) ,t (,) }，满足
E[X (t)] m
R(t1,t2 ) E[ X (t1) X (t2 )] B( )
则称 X (t)为平稳正态过程。
t1 t2
注 平稳正态过程一定是严平稳过程。
证
由于
第五章 平稳过程
第一节 基本概念 第二节 平稳过程相关函数的性质 第三节 平稳正态过程与正交增量过程 第四节 遍历性定理
第一节 基本概念
一、严平稳过程
定义1 设随机过程{ X (t) ,t T }， 若对任意n，任意 t1，t2 , , tn T t1 t2 tn 当t1 ，t2 ，…，tn T 时，有 F (t1, t2 , , tn；x1, x2 , , xn ) P{X (t1） x1, X (t2 ) x2 , , X (tn ) xn )}
Ch12-平稳随机过程
例 2 . 随机相位正弦波 X t aCos t ， RV : f
1 2
， 0 2
试讨论平稳性
sol . X t 0 E X t X t E a a a
2
a R X t1 , t 2 Cos R X 2 随机相位正弦波为(宽 )平稳 sp
p p
T T
U x X t dt P X t x F1 x — — 分 布 函 数 各 态 历 经
p
(4).(1) 和 (2) — — 平 稳 过 程 各 态 历 经
例1 讨论随机相位正弦波的平稳性和各态历经性
1 随机相位正弦波 X t aCos t ， RV : f ， 0, 2 2 sol. 1: 平稳性
Fn x1 ,..., x n ; t1 ,..., t n Fn x1 ,..., x n ; t1 ,..., t n
2.严平稳过程的分布与数 字特征 1：一维分布 ，F1 x; t1 F1 x; t1 , f1 x; t1 f1 x;0 f1 x — —与 t 无关 则均值： EX t1 x1 f1 x1; t dx1 x1 f1 x dx1 X
( ) I e I 2 e 2 k 0关 ， 故 若 τ<0 时 ， 只 需 令 t ’=t+ τ，则有 E[X(t)X(t+τ)] =E[X(t`)X(t`+ τ )]= I2 e-2λ∣τ∣
图12-2
故这一过程的自相关函数为 E[X(t)X(t+τ)]= I2e-2λ∣τ∣ 它只与τ有关。因此随机电报信号X(t)是 一平稳过程。其图形如上图所示
第十二章-平稳随机过程
7
若T为离散集, 称平稳过程{X(t), t T }为 平稳序列.
广义平稳过程
严平稳过程
严平稳过程 二阶矩存在 广义平稳过程
严平稳过程 正态过程 广义平稳过程
8
例1 设{Xk , k = 1,2,…}是互不相关的随机变量 序列, E[Xk ] = 0, E[Xk ²] = σ², 则有
解 由假设, Θ的概率密度为
f
(
)
1
/
T, 0,
0 T,
其 它.
于是, X(t)的均值函数为
T
E[ X (t)] E[s(t )]
0
s(
t
)
1 T
d
1
t T
s( )d
Tt
10
利用s(φ)的周期性, 可知
E[X (t)] 1 T s( )d 常数. T0
而自相关函数
RX (t, t ) E[s(t )s(t )]
• 当X(t)和Y(t)是联合平稳随机过程时, W(t) = X(t) +Y(t)是平稳随机过程.
18
事实上, E[W(t)]= E[X(t)] + E[Y(t)] = 常数.
E[W (t)W (t )] E{[X (t) Y (t)][X (t ) Y (t )]} E[ X (t)X (t ) X (t)Y (t ) Y (t)X (t ) Y (t)Y (t )] E[ X (t)X (t )] E[ X (t)Y (t )] E[Y (t)X (t )] E[Y (t)Y (t )] RX ( ) RXY ( ) RYX ( ) RY ( ) RW ( )
t1, t2,, tnT, t1+h, t2 +h,,tn+h T， 若(X(t1), X(t2),, X(tn))与
若T为离散集, 称平稳过程{X(t), t T }为 平稳序列.
广义平稳过程
严平稳过程
严平稳过程 二阶矩存在 广义平稳过程
严平稳过程 正态过程 广义平稳过程
8
例1 设{Xk , k = 1,2,…}是互不相关的随机变量 序列, E[Xk ] = 0, E[Xk ²] = σ², 则有
解 由假设, Θ的概率密度为
f
(
)
1
/
T, 0,
0 T,
其 它.
于是, X(t)的均值函数为
T
E[ X (t)] E[s(t )]
0
s(
t
)
1 T
d
1
t T
s( )d
Tt
10
利用s(φ)的周期性, 可知
E[X (t)] 1 T s( )d 常数. T0
而自相关函数
RX (t, t ) E[s(t )s(t )]
• 当X(t)和Y(t)是联合平稳随机过程时, W(t) = X(t) +Y(t)是平稳随机过程.
18
事实上, E[W(t)]= E[X(t)] + E[Y(t)] = 常数.
E[W (t)W (t )] E{[X (t) Y (t)][X (t ) Y (t )]} E[ X (t)X (t ) X (t)Y (t ) Y (t)X (t ) Y (t)Y (t )] E[ X (t)X (t )] E[ X (t)Y (t )] E[Y (t)X (t )] E[Y (t)Y (t )] RX ( ) RXY ( ) RYX ( ) RY ( ) RW ( )
t1, t2,, tnT, t1+h, t2 +h,,tn+h T， 若(X(t1), X(t2),, X(tn))与
平稳随机过程及其遍历性
从概率密度函数的角度讲，高阶平稳一定低阶平稳
6
f X (x1, x2 , t1, t2 ) f X (x1, x2 , )
随机过程X(t)的自相关函数，自协方差函数都是 平稳的。
都与时间无关
RX (t1, t2 ) x1x2 f X (x1, x2;t2 t1)dx1dx2
x1x2
➢ 二阶平稳(n=2) 严平稳随机过程的二维概率密度只与 t1, t2的 时间间隔有关，而与时间起点无关。 n 2, t t1, t2 t1时，二维概率密度：
fX (x1, x2 ,t1,t2 ) f X (x1, x2,t1 t,t2 t)
fX (x1, x2 , 0,t2 t1) f X (x1, x2, )
平稳随机过程及其遍历性
随机过程可分为平稳与非平稳两大类, 严格地说, 所 有信号都就是非平稳得, 但就是, 平稳信号得分析要容 易得多, 而且在电子系统中, 如果产生一个随机过程得 主要物理条件在时间得进程中不改变, 或变化极小, 可 以忽略, 则此信号可以认为就是平稳得、 如接收机得 噪声电压信号, 刚开机时由于元器件上温度得变化, 使 得噪声电压在开始时有一段暂态过程, 经过一段时间 后, 温度变化趋于稳定, 这时得噪声电压信号可以认为 就是平稳得。
或
X (很t) 小m，X 即使X (两t 者 )的 m相X 关程度较强，则 也不会
太大，所以K并X 不( )能准确表示关联程度的大小。为了消除
实际应用中,通过上式来判定过程得平稳性就是很不容易得,因此 在实际中往往不需要所有时间都平稳,只要观测得有限时间平稳 就行了。
3
f X (x1,, xn ,t1 t,,tn t) f X (x1,, xn ,t1,,tn )
(2) 特性 ➢ 一阶平稳(n=1) 严平稳随机过程得一维概率密度函数与时间无关 n 1, t t1 时,对于一维概率密度有: fX (x1, t1 t) f X (x1, t1) f X (x1, 0) f X (x1)
6
f X (x1, x2 , t1, t2 ) f X (x1, x2 , )
随机过程X(t)的自相关函数，自协方差函数都是 平稳的。
都与时间无关
RX (t1, t2 ) x1x2 f X (x1, x2;t2 t1)dx1dx2
x1x2
➢ 二阶平稳(n=2) 严平稳随机过程的二维概率密度只与 t1, t2的 时间间隔有关，而与时间起点无关。 n 2, t t1, t2 t1时，二维概率密度：
fX (x1, x2 ,t1,t2 ) f X (x1, x2,t1 t,t2 t)
fX (x1, x2 , 0,t2 t1) f X (x1, x2, )
平稳随机过程及其遍历性
随机过程可分为平稳与非平稳两大类, 严格地说, 所 有信号都就是非平稳得, 但就是, 平稳信号得分析要容 易得多, 而且在电子系统中, 如果产生一个随机过程得 主要物理条件在时间得进程中不改变, 或变化极小, 可 以忽略, 则此信号可以认为就是平稳得、 如接收机得 噪声电压信号, 刚开机时由于元器件上温度得变化, 使 得噪声电压在开始时有一段暂态过程, 经过一段时间 后, 温度变化趋于稳定, 这时得噪声电压信号可以认为 就是平稳得。
或
X (很t) 小m，X 即使X (两t 者 )的 m相X 关程度较强，则 也不会
太大，所以K并X 不( )能准确表示关联程度的大小。为了消除
实际应用中,通过上式来判定过程得平稳性就是很不容易得,因此 在实际中往往不需要所有时间都平稳,只要观测得有限时间平稳 就行了。
3
f X (x1,, xn ,t1 t,,tn t) f X (x1,, xn ,t1,,tn )
(2) 特性 ➢ 一阶平稳(n=1) 严平稳随机过程得一维概率密度函数与时间无关 n 1, t t1 时,对于一维概率密度有: fX (x1, t1 t) f X (x1, t1) f X (x1, 0) f X (x1)
平稳随机过程
相关时间：
0 rX ( )d
0
rX ( )
1
rX ( 0 ) 0.05
0
0
相关时间示意图
2.3 平稳随机过程
4 2 0 -2 -4
10 5 0 -5 -10
0
50
100
0
50数
0 100
相关时间越长，反映随机过程前后取值之间的依 赖性越强，变化越缓慢，相关时间越小，反映随 机过程前后取值之间的依赖性越弱，变化越缓慢
2 mX RX 2 () 100 2
2 2 X RX (0) mX 200
E[ X 2 (t )] RX (0) 300
2.3 平稳随机过程
3 相关系数及相关时间 也称为归一化协 方差函数或标准 协方差函数。
相关系数：
rX ( )
K X ( )
2 X
2 RX ( ) mX 2 X
for Nk k=2 称为二阶严平稳,如果对N=k成立,那么对N<k也成立. (2) 渐近严平稳 当c时,X(t+c)的任意n维分布与c无关,即
lim f X ( x1 , x2 , , xN , t1 c, t2 c, , t N c)
c
存在,且与c无关.
(3) 循环平稳 如果X(t)的分布函数满足如下关系
2.3 平稳随机过程
1 平稳随机过程的定义 严格 平稳 随机 过程 如果随机过程的任意n维分布不随时间起 点变化，即当时间平移时，其任意的n维 概率密度不变，则称是严格平稳的随机过 程或称为狭义平稳随机过程。
f X ( x1 ,, xn , t1 t ,, t n t ) f X ( x1 ,, xn , t1 ,, t n )
随机过程平稳过程第六
• 宽平稳过程 • 严平稳过程 二阶矩存在 • 严平稳过程
正态过程
严平稳过程 宽平稳过程 宽平稳过程
4.严平稳与宽平稳的关系 严平稳过程不一定是宽 平稳的，因为严平稳 定义只涉及有限维分布 ，而并不要求一、二阶 矩 存在，但对二阶矩过程 ，严平稳必是宽平稳。 反过来，宽平稳也不一 定是严平稳，因为宽 平稳只要求均值函数与 t无关，导不出一维分布 与 t无关，又相关函数 Rt , t 与t无关，导不出二维 分布F x1 , x2 ; t , t 与t无关。 但对于正态平稳过程是 个例外，由于正态过程 的概率密度是由均值和 相关函数完全确定，另 外正 态过程的二阶矩总是存 在的。
x(t) 1 o -1
t
9
平稳过程的概念与例
且V与X(t)独立,令Y(t)=VX(t),试讨论随机过程Y(t)的 平稳性. 解: (1) 由于随机点N(t)是具有参数λ的泊松过程,故在 [0,t]内随机点出现k次的概率 k ( t ) P (t)=e-λt ,k=0,10(t)+P2(t)+P4(t)+…
6.1
平稳随机过程的概念
• 例6.1 设X(t)=Ycos(t)+Zsin(t), t>0，且 Y, Z相互独立，EY=EZ=0，DY=DZ=2， 试讨论随机过程{X(t), t>0}的平稳性。
解 m X (t ) EX (t ) E[Y cos(t ) Z sin(t )] cos(t ) EY sin(t ) EZ 0 RX ( s, t ) E[ X ( s) X (t )]
所以{X(t)，t T }为宽平稳过程。
6.1
平稳随机过程的概念
• 例6.2 设{Xn,n=0, 1, 2,}是实的互不 相关随机变量序列，且E[Xn]=0，D[Xn] =2 ，试讨论随机序列的平稳性。
概率论第三章 平稳随机过程
则称X(t)为宽平稳过程(或称广义平稳过程)
严平稳过程只要均方值有界， 就是广义平稳的， 但反之则不一定。
当我们同时考虑两个平稳过程X(t)和Y(t)时，若它 们的互相关函数仅是单变量τ 的函数，即
RX Y (t1, t2 ) E[ X (t1 )Y (t2 )] RXY ( ), t2 t1,
则称X(t)和Y(t)宽平稳相依，或称这两个随机过程 是联合宽平稳的。
例3.1 设随机过程 X (t) a cos(0 t )
式中a，ω0为常数，Φ是在区间(0，2π)上均匀分 布的随机变量, 这种信号通常称为随相正弦波。求 证X(t)是宽平稳的。
二、各态历经（遍历）随机过程
在上面的讨论中，每当谈到随机过程时，就意味 着所涉及的是大量的样本函数的集合。要得到随机过 程的统计特性，就需要观察大量的样本函数。
ln
p( X
/
mX
)
K
N 1
exp
i0
(xi
mX
2
2 X
)2
均值估计
让对数似然函数取最大值
ln p( X / mX ) 0 m X
得到均值的最大似然估值
mˆ X
1 N
N 1
xi
i0
此式说明，可用N个观测值的算术平均作为均值mX的估值。
估计量的性质（工程）
1．有偏估计与无偏估计
由于估计量依赖于观测结果，因此估计量本身是 随机变量，于是它也存在其均值和方差。
定义1：取对应于ρX(τ)=0．05的那个时间为相关 时间τ
0
定义2：用图3.6中的矩形(高为ρX(0)=1，底为τ0的
矩形)面积等于阴影面(ρX(τ)积分的一半)来定义
τ0，即
严平稳过程只要均方值有界， 就是广义平稳的， 但反之则不一定。
当我们同时考虑两个平稳过程X(t)和Y(t)时，若它 们的互相关函数仅是单变量τ 的函数，即
RX Y (t1, t2 ) E[ X (t1 )Y (t2 )] RXY ( ), t2 t1,
则称X(t)和Y(t)宽平稳相依，或称这两个随机过程 是联合宽平稳的。
例3.1 设随机过程 X (t) a cos(0 t )
式中a，ω0为常数，Φ是在区间(0，2π)上均匀分 布的随机变量, 这种信号通常称为随相正弦波。求 证X(t)是宽平稳的。
二、各态历经（遍历）随机过程
在上面的讨论中，每当谈到随机过程时，就意味 着所涉及的是大量的样本函数的集合。要得到随机过 程的统计特性，就需要观察大量的样本函数。
ln
p( X
/
mX
)
K
N 1
exp
i0
(xi
mX
2
2 X
)2
均值估计
让对数似然函数取最大值
ln p( X / mX ) 0 m X
得到均值的最大似然估值
mˆ X
1 N
N 1
xi
i0
此式说明，可用N个观测值的算术平均作为均值mX的估值。
估计量的性质（工程）
1．有偏估计与无偏估计
由于估计量依赖于观测结果，因此估计量本身是 随机变量，于是它也存在其均值和方差。
定义1：取对应于ρX(τ)=0．05的那个时间为相关 时间τ
0
定义2：用图3.6中的矩形(高为ρX(0)=1，底为τ0的
矩形)面积等于阴影面(ρX(τ)积分的一半)来定义
τ0，即
随机过程第六章平稳随机过程
3
6.1 平稳随机过程的概念
• 宽平稳过程
严平稳过程
• 严平稳过程 二阶矩存在 宽平稳过程
正态过程
• 严平稳过程
宽平稳过程
4
6.1 平稳随机过程的概念
例6.1 设X(t)=Ycos(t)+Zsin(t), t>0，且Y, Z相互独立， EY=EZ=0，DY=DZ=2，试讨论随机过程{X(t), t>0}的平稳 性。
其中ti1 ti ti (i 1, 2, , n)
36
6.3 随机分析简介
定义6.8 如果当n0时，Sn均方收敛于S,即
，
则称 f (t) X (t) 在区间[a, b]上均方可积，并记为
b
n
S
a
f (t) X (t)dt
l.i.m n 0
i 1
f (ti)X (ti)(ti ti1)
令
l.i.m
n
Xn
X,
l.i.m
n
Yn)
l.i.m
n
cn
lim
n
cn
c
(2) l.i.mU U n
(3)
l.i.m
n
cnU
cU
27
6.3 随机分析简介
(4)
l.i.m
n
aX
n
bYn
aX
bY
(5)
lim
n
EX
n
EX
E
ln.i.m
X
n
(6)
lim E
n
XnYm
E[XY ]
则称X(t)和Y(t)是联合平稳随机过程。
18
6.2 联合平稳随机过程
命题：当X(t)和Y(t)是联合平稳随机过程时，W(t)=X(t)+Y(t)是平 稳随机过程。事实上，EW(t)=EX(t)+EY(t)=常数，
6.1 平稳随机过程的概念
• 宽平稳过程
严平稳过程
• 严平稳过程 二阶矩存在 宽平稳过程
正态过程
• 严平稳过程
宽平稳过程
4
6.1 平稳随机过程的概念
例6.1 设X(t)=Ycos(t)+Zsin(t), t>0，且Y, Z相互独立， EY=EZ=0，DY=DZ=2，试讨论随机过程{X(t), t>0}的平稳 性。
其中ti1 ti ti (i 1, 2, , n)
36
6.3 随机分析简介
定义6.8 如果当n0时，Sn均方收敛于S,即
，
则称 f (t) X (t) 在区间[a, b]上均方可积，并记为
b
n
S
a
f (t) X (t)dt
l.i.m n 0
i 1
f (ti)X (ti)(ti ti1)
令
l.i.m
n
Xn
X,
l.i.m
n
Yn)
l.i.m
n
cn
lim
n
cn
c
(2) l.i.mU U n
(3)
l.i.m
n
cnU
cU
27
6.3 随机分析简介
(4)
l.i.m
n
aX
n
bYn
aX
bY
(5)
lim
n
EX
n
EX
E
ln.i.m
X
n
(6)
lim E
n
XnYm
E[XY ]
则称X(t)和Y(t)是联合平稳随机过程。
18
6.2 联合平稳随机过程
命题：当X(t)和Y(t)是联合平稳随机过程时，W(t)=X(t)+Y(t)是平 稳随机过程。事实上，EW(t)=EX(t)+EY(t)=常数，
平稳随机过程的概念
平稳随机过程的概念
平稳随机过程是指具有固定统计特性的随机过程。
具体而言，平稳随机过程在时间上的统计性质不随时间变化而变化，即其概率密度函数、平均值、自相关函数等都不受时间起点的影响。
平稳随机过程分为弱平稳和强平稳两种类型。
弱平稳是指随机过程的均值和自相关函数不随时间变化而变化，而强平稳还要求联合分布函数不随时间变化而变化。
对于弱平稳随机过程，其特点是平均值和自相关函数只与时间差有关，与时间起点无关。
具体来说，对于平稳随机过程X(t)，其平均值为E[X(t)]，自相关函数为R(t1,t2):
1. 平稳随机过程的平均值不随时间变化而变化，即对于任意t，有E[X(t)]= E[X(0)]。
2. 平稳随机过程的自相关函数只与时间差有关，即对于任意
t1,t2，有R(t1,t2) = R(t1-t2)。
强平稳过程除了满足弱平稳条件外，还要求联合分布函数不随时间变化而变化，即对于任意t1,t2和任意k1,k2，有联合分布
函数F(x1,x2,t1,t2) = F(x1,x2,t1+k,t2+k)。
这意味着在时间上的
任意平移，联合分布函数都保持不变。
平稳随机过程在实际应用中具有广泛的应用，例如信号处理、通信系统、金融市场等领域。
由于其统计特性不随时间变化而变化，使得对时间序列进行建模和预测更加稳定、可靠。
04 平稳随机过程 070924
t1 t2
则称
{X (t ), t T } 为广义平稳随机过程。 （弱平稳随机过程）
3、广义平稳与狭义平稳
当 E[ X (t )]
2
时， 狭义平稳 广义平稳
当X(t)为高斯过程时，
狭义平稳 广义平稳
广义平稳和狭义平稳并没有必然的
因果关系。
例2.2-1
设随机过程 X t At ，A为均匀分布于
同理
C ( ) C ( )
2、 在零点处达最大值
用公式表示：
同理可证：
（练习）
R(0) | R( ) |
C (0) C ( )
证明：E{[ X (t ) X (t )]2 } 0
即E[ X 2 (t ) 2 X (t ) X (t ) X 2 (t )] 0 而E[ X 2 (t )] E[ X 2 (t )] R(0) 故2 R(0) 2 R( ) 0 R(0) | R( ) |
1
1 2
1 2 0 ... n
或：
2
...
1 2 n RX t k , t m 0 ... n
狭义平稳随机过程的条件过于严格，
往往难于实现。 弱化条件，在二阶矩范围内（一阶 矩、二阶矩）满足平稳性，已经可 以满足实际中的分析要求。
2、广义平稳随机过程的定义
设 { X (t ), t T } 是一随机过程， E[ X 2 (t )] 且有：
(1) E[ X (t )] mx 常数 一阶矩 (2) R(t1 , t2 ) E[ X (t1 ) X (t2 )] R( ) 二阶矩
则称
{X (t ), t T } 为广义平稳随机过程。 （弱平稳随机过程）
3、广义平稳与狭义平稳
当 E[ X (t )]
2
时， 狭义平稳 广义平稳
当X(t)为高斯过程时，
狭义平稳 广义平稳
广义平稳和狭义平稳并没有必然的
因果关系。
例2.2-1
设随机过程 X t At ，A为均匀分布于
同理
C ( ) C ( )
2、 在零点处达最大值
用公式表示：
同理可证：
（练习）
R(0) | R( ) |
C (0) C ( )
证明：E{[ X (t ) X (t )]2 } 0
即E[ X 2 (t ) 2 X (t ) X (t ) X 2 (t )] 0 而E[ X 2 (t )] E[ X 2 (t )] R(0) 故2 R(0) 2 R( ) 0 R(0) | R( ) |
1
1 2
1 2 0 ... n
或：
2
...
1 2 n RX t k , t m 0 ... n
狭义平稳随机过程的条件过于严格，
往往难于实现。 弱化条件，在二阶矩范围内（一阶 矩、二阶矩）满足平稳性，已经可 以满足实际中的分析要求。
2、广义平稳随机过程的定义
设 { X (t ), t T } 是一随机过程， E[ X 2 (t )] 且有：
(1) E[ X (t )] mx 常数 一阶矩 (2) R(t1 , t2 ) E[ X (t1 ) X (t2 )] R( ) 二阶矩
4平稳随机过程
4．平稳相关与互相关函数
（1）定义: 设{X(t)},{Y(t)},t∈T为两个平稳过程， 定义 如果它们的互相关函数RXY(t,t+τ)只是τ 的函数,即 RXY(t,t+τ)=E[X(t)Y(t+τ)]= RXY(τ),则称{X(t)},{Y(t)} 是平稳相关的，或称{X(t)}与{Y(t)}是联合平稳过程. 并称 RXY(τ)=E[X(t)Y(t+τ)] 为{X(t)}与{Y(t)}的互相关函数。
3．自相关函数的性质
性质1.Rx(0)≥0； 证: Rx(0)=E[X2(t)]≥0
R(τ)
0
τ
性质2. Rx(τ)为偶函数，即Rx(-τ)=Rx(τ) 证： Rx(-τ)=E[X(t)X(t-τ)]= E[X(t-τ)X(t)]= Rx(τ) 性质3.|Rx(τ)|≤ Rx(0) 证：由柯西-施瓦兹不等式
且E[Xn]=0,D(Xn)=σ2>0,讨论其平稳性. 解: 因为E[Xn]=0,
σ 2 E[ X n X m ] = 0 n=m n≠m
故其均值函数µX(n)=0为常数,其自相关函数 RX(n,m)只 与m-n有关,所以它是平稳时间序列。
例2:随机相位正弦波X(t)=acos(ω0t+Θ) ，a, ω0为常数，
例2: 设X(t)=Asin(ωt+Θ)，Y(t)=Bsin(ωt+Θ-Φ),A,B,
Φ, ω为常数，Θ在(0,2π)上服从均匀分布，求RXY(τ)。 解: X(t),Y(t)均为平稳过程.
R XY (τ ) = E[ X ( t )Y ( t + τ )]
= E [ A sin(ω t + Θ ) B sin(ω t + ω τ + Θ − Φ )]
随机过程第五章 平稳随机过程
1,
0,
T st;
其他.
E{Y (s)Y (t)} E{E[Y (s)Y (t) ]}
st
1 P{ T s t } 1 ,
T 对于 t 的其它情形可做类似推理.
电子科技大学
随机二元传输过程是一个平稳过程,记τ=s－t,
其自相关函数为
0,
),
a;
0,
a
RX(t, t+τ)与 t 无关, 故X(t) 是宽平稳过程.
P128例12 泊松过程不是平稳过程，
是平稳增量过程.
电子科技大学
三、两种平稳性的关系
1）严平稳过程不一定是宽平稳的; 因宽平稳过程一定是二阶矩过程,而严平稳 过程未必是二阶矩过程. 2）宽平稳不一定 严平稳;
CX (s,t) RX (s,t) mX 2 RX () mX 2
电子科技大学
注 自协方差函数与自相关函数都仅依赖于t－s.
平稳过程在实际中是常见过程,如
照明电网中电压的波动过程; 电子系统中的随机噪声; 稳定气象条件下海域中一定点处的海浪高度 随时间的变化或随地点的变化(平稳随机场)； 卫星图片中相同条件下的灰度水平.
t 0,
随机变量与 随机过程》
其中X0 与N(t)相互独立，且
美 A.帕普
力斯，p303
C C
X0 ～ 1 1 C > 0,
2 2
电子科技大学
讨论｛X(t), t≥0｝的平稳性.
C
－C
解 因 X (t) X0(1)N(t) , t 0, mX (t) E[X(t)] E(X0 )E[(1)N(t)] 0, t 0
第3章平稳随机过程总
（ii）严平稳随机过程的二维概率密度只与 t1, t2的时 间间隔有关，而与时间起点无关
(3.1.6) (3.1.7)
CX (t1,t2 ) CX ( ) RX ( ) mX2
CX (0)
RX (0) mX2
2 X
(3.1.8) (3.1.9)
（4）严平稳的判断
• 按照严平稳的定义，判断一个随机过程是否为严平稳， 需要知道其n维概率密度，可是求n维概率密度是比较 困难的。不过，如果有一个反例（例3.2），就可以判 断某随机过程不是严平稳的，具体方法有两个：
遍历性过程
一般随机过程要对大量样本函数在特定时刻 取值，用统计方法得到数字特征。这种方法 成为统计平均或集合平均，也简称为集平均 。 辛钦证明：在具备一定的补充条件下，对平 稳随机过程的一个样本函数取时间均值，就 从概率意义上趋近于此过程的统计均值。
任何一个样本函数的特性都能充分地代表整 个随机过程的特性。
在通信中，常常把稳定状态下的随机过 程，当作平稳随机过程来处理，这样，对 这个随机过程任何时候来测量，都会得到 同样的结果，从而大大简化了数学模型。 对一些非平稳的随机过程，在较短的时间 内，常常把它作为平稳随机过程来处理。
第3章 平稳随机过程
1 平稳随机过程的定义
严格 平稳 随机 过程
如果随机过程的任意n维分布不随时间起点变 化，即当时间平移时，其任意的n维概率密度 不变，则称是严格平稳的随机过程或称为狭 义平稳随机过程。
RZ (t1,t2 ) E[Z (t1)Z (t2 )] E{[ X cos t1 Y sin t1][ X cos t2 Y sin t2 ]} E[ X 2 ]cos t1 cos t2 E[Y 2 ]sin t1 sin t2
区分随机过程的“强、弱、平稳”特性及其应用
区分随机过程的“强、弱、平稳”特性及其应用随机过程是随机现象的数学模型，对于不同的随机过程，它们呈现出的特征可能不同，这些特征往往可以帮助我们更好地理解和利用这些随机过程。
其中，“强、弱、平稳”特性是区分随机过程的重要特征之一，本文将对这三种特性的含义和应用进行介绍。
一、强特性强特性也称“样本路径刻面逐点”收敛，是指随机过程的实现轨迹以概率1收敛于某个确定的函数。
因此，强特性能够保证随机过程的实现轨迹具有一定的稳定性，对于计算实现轨迹的统计量，如均值和方差等，有较好的精确度。
强特性的一个重要应用是在风险建模和风险评估中。
比如，对于股票价格的随机过程，强特性可以给我们提供了一个更加准确的预测，减少了金融市场的风险。
二、弱特性弱特性又称“矩收敛”，是指随机过程的统计特性收敛于某个确定的函数。
与强特性不同的是，弱特性只能保证随机过程统计性质的收敛，而不能保证实现轨迹的收敛。
例如，对于一个有限范围内的随机游走过程，其实现轨迹是不收敛的，但是它满足弱特性，因此我们可以通过它的期望和协方差性质等来计算一些统计量。
弱特性的应用，在统计建模中尤其重要，它可以帮助建立统计模型并对数据进行分析和预测，如时间序列分析和金融风险度量等。
三、平稳特性平稳特性也称“平稳性”，是指随机过程的统计特性不随时间而变化。
对于平稳过程，随机过程在时间维度上的统计特性是保持不变的。
平稳性分为宽平稳和严平稳。
其中宽平稳是指均值和协方差在时间平移下不变，严平稳则更为严格，它要求随机过程的所有阶矩在时间平移下都是不变的。
平稳特性是理解随机过程的重要工具。
在实际应用中，平稳特性可以帮助建立更加简洁和准确的模型。
比如，对于广泛的市场分析、自然现象的分析、心电信号处理等方面，平稳特性可以提供简便和直观的方法，更好地理解与描述随机现象。
总结：强、弱和平稳是所涉及的不同随机过程之间的关键特性。
他们在模型构建与验证过程中具有重要的地位。
通过理解这些特性，我们可以更好地理解和应用各种随机过程。
第十二章 平稳随机过程
{ X t }是严平稳过程当且仅当 （）所有的X t同分布。 1 （2）对任意n ≥ 2, ( X t1 , X t2, ..., X tn )的分布 仅与时间差t2 − t1,t3 − t2, ..., tn − tn −1有关， 而与起始时间t1无关。
严平稳过程的数字特征：
设严平稳过程 { X ( t )} 是二阶矩过程，则 （1）µ X ( t ) = E X ( t ) = E X ( 0 ) ＝＝ µ X ( 常数 ) （2）RX ( t1 , t2 ) = E X ( t1 ) X ( t2 ) = E X ( 0 ) X ( t2 − t1 ) ＝＝ RX ( t2 − t1 )
解： X ( t ) > = lim 1 < T →+∞ 2T
将Θ看作一定值
X ( t ) = acos (ω t + Θ )的时间平均
T
∫
−T
acos (ω t + Θ ) dt
a sin (ωT + Θ ) − sin ( −ωT + Θ ) ＝＝＝＝ lim T →+∞ 2T ω
20
独立同分布平稳序列的均值遍历性
设X 1 ,K , X n， , 独立同分布，EX 1 = µ , DX 1 = σ 2 > 0, K 则大数定理成立：
1 p → ∑ X i µ n i =1
n
定理一： (均值各态历经定理 ) P{< X (t ) >= µ X } = 1 ⇔ 1 lim T →+∞ T
1 2 n
t1 , t2 ,L tn ∈ T 和任意实数h，当t1 + h, t2 + h,L , tn + h ∈ T 时,
随机过程-2-平稳过程
此时，
CXY (t, t ) RXY (t, t ) mX (t)mY (t ) RXY ( ) mX mY CXY ( )
平稳相关随机过程互相关函数的性质（ CXY ( ) 也具有相同的性质） ① RXY ( ) RYX ( ) ② RXY ( ) RX (0) RY (0)
例5 X (t), t ，X(t)只取 I ， P{X (t) I} P{X (t) I} 1 2
[t,t ] 内正负号变化次数记为 N (t,t )，服从参数为 , ( 0)
的泊松分布。判断X(t)的平稳性。
复平稳过程
定义： {Z (t), t T}是复随机过程，若 mZ (t) mZ , (complex constant)
讨论 Z (t) 的平稳性。
复平稳过程的协方差函数
CZ (t1, t2 ) RZ (t1, t2 ) mZ (t1)mZ* (t2 ) RZ (t2 t1) | mZ |2
CZ ( ) CZ (t, t )
DZ (t) CZ (t, t) CZ (0)
§2 相关函数的性质
一、自相关函数的性质
mX (t) mX
f ( x1, x2;t1, t2 ) f ( x1, x2;t1 , t2 )
RX (t1, t2 ) x1x2 f ( x1, x2;t1, t2 )dx1dx2
x1x2 f ( x1, x2;t1 , t2 )dx1dx2
RX (t1 , t2 )
k
例3 X (t) a cos(0t Φ) ，a,0 为正常数，Φ ~ U[0,2 ]
判断 X (t) 是否弱平稳。
例4 X (t) Acos0t B sin0t, t ， 0 为正常数， A, B独立，EA EB 0, DA DB 2 0
CXY (t, t ) RXY (t, t ) mX (t)mY (t ) RXY ( ) mX mY CXY ( )
平稳相关随机过程互相关函数的性质（ CXY ( ) 也具有相同的性质） ① RXY ( ) RYX ( ) ② RXY ( ) RX (0) RY (0)
例5 X (t), t ，X(t)只取 I ， P{X (t) I} P{X (t) I} 1 2
[t,t ] 内正负号变化次数记为 N (t,t )，服从参数为 , ( 0)
的泊松分布。判断X(t)的平稳性。
复平稳过程
定义： {Z (t), t T}是复随机过程，若 mZ (t) mZ , (complex constant)
讨论 Z (t) 的平稳性。
复平稳过程的协方差函数
CZ (t1, t2 ) RZ (t1, t2 ) mZ (t1)mZ* (t2 ) RZ (t2 t1) | mZ |2
CZ ( ) CZ (t, t )
DZ (t) CZ (t, t) CZ (0)
§2 相关函数的性质
一、自相关函数的性质
mX (t) mX
f ( x1, x2;t1, t2 ) f ( x1, x2;t1 , t2 )
RX (t1, t2 ) x1x2 f ( x1, x2;t1, t2 )dx1dx2
x1x2 f ( x1, x2;t1 , t2 )dx1dx2
RX (t1 , t2 )
k
例3 X (t) a cos(0t Φ) ，a,0 为正常数，Φ ~ U[0,2 ]
判断 X (t) 是否弱平稳。
例4 X (t) Acos0t B sin0t, t ， 0 为正常数， A, B独立，EA EB 0, DA DB 2 0
三.平稳随机过程
被近似看作平稳过程，或分段看作短时平稳过程。 * 非平稳随机过程的理论分析相对复杂、相对不成熟。
5.1 平稳随机过程
5.1.1 严平稳 (1) 定义
t1
t2
tn
如果对于任意的n和 ，随机过程 X(t)的 tn t1 t2 n 维概率密度满足：
f X (x1 , x 2 ,, x n ; t1 , t 2 ,, t n ) f X (x1 , x 2 ,, x n ; t1 , t 2 ,, t n )
mX (t ) EX t E t 2 A sin t B cost t 2 EAsin t EBcost
t2
X(t)不是平稳过程。
Y t X t mX (t ) A sin t B cost mY (t ) EY t EA sin t B cost 0 RY (t1 , t2 ) EY t1 Y t2 E A sin t1 B cost1 A sin t2 B cost2
循环平稳性
5.1.3
循环平稳性
5.1.3
循环平稳性
5.1.3
循环平稳性
5.1.3
循环平稳性
5.1.3
循环平稳性
5.1.3
循环平稳性
5.1.3
循环平稳性
5.1.3
循环平稳性
除Guass SSS 二阶矩过程 WSS
二阶矩过程 SSCS WSCS
5.1.4 平稳随机过程相关函数的性质 1) 实平稳过程X(t)的自相关函数是偶函数，即
(2)用钜形（高为 rX (0) 1 ,底为 0 的矩形）面积等于阴
0 rX ( )d
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
严平稳的.
例2 设s(t)是一周期为T的函数,是在(0,t)上服 从均匀分布的随机变量,称X (t) s(t )为随机
相位周期过程. 试讨论它的平稳性.
解 的概率密度为
f
(
)
1/T , 0
0, 其他.
T,
X(t) 的均值函数为
E[X (t)] E[s(t )]
T
s( t
) 1 d
定义1 给定二阶矩过程{ X (t), t T },如果对任意
t,t T : E[ X (t)] X (常数)
E[ X (t)X (t )] RX ( )
则称{ X (t), t T }为宽平稳过程,或广义平稳过程. 说明
(1) 严平稳过程只要二阶矩存在, 则它必定也 是宽平稳的. 反之不成立.ຫໍສະໝຸດ 2aea2 2 2
da
2
2
0
故 E[Acos(t )] EA E[cos(t )]
所以随机相位周期过程是平稳的. 特别, 随机相位 正弦波是平稳的.
例3 考虑随机电报信号 x(t) I
o
信号X (t )由只 取 I或 I
t 的电流给出.
I 这里 P{ X (t) I } P{ X (t) I } 1/ 2 而正负号在区间(t,t )内变化的次数N (t,t ) 是随机的, 假设N (t,t )服从泊松分布.
结果与t 无关
k0
I 2e
( )k
k0
I 2e2
.
k0 k!
而 0时,令t t , 则自相关函数: E[ X (t )X (t )] I 2e2 只与有关
所以随机电报信号 X (t) 是一平稳过程.
其图形为:
RX ( )
I2
o
例4 设随机过程X (t) Acos(t ), t ,
1
iT
s( )d .
0
T
Ti
利用s( )的周期性
知 E[ X (t)] 1 T s( )d 常数. T0 而自相关函数
RX (t,t ) E[s(t )s(t )]
仅与有关
T s(t )s(t ) 1 d
0
具有周T 期性
1 T
iT i
s( )s( )d RX ( )
二、应用举例
例1 设{Xk ,k 1,2, }是互不相关的随机变量
序列,且
E[
Xk
]
0,
E[
X
2 k
]
2
,则有
Rx (k, l)
E[ Xk
Xl
]
2 ,
0, k
k l, l,
即相关函数只与 k l 有关,
所以它是宽平稳的随机序列.
如果 X1, X2, , Xk , 是独立同分布的,则序列是
变函数. (即不随时间的推移而变化).
协方差函数可以表示为
CX ( ) E{[ X (t) X ][ X (t ) X ]}
RX
(
)
2 X
.
若令 0 ,
则
2 X
CX (0)
RX
(0)
2 X
.
说明 要确定一个随机过程的分布函数, 并进而判定
其平稳性在实际中不易办到.
2. 广义平稳过程
其中A是服从瑞利分布的随机变量,其概率密度为
f
(a)
a
2
e
a2 2 2
,
a0
0,
a0
是在(0,2π )上服从均匀分布且与 A 相互独立的
随机变量, 是一常数,问Xn(t)是不是平稳过程?
解
因
E( A)
a2
0 2
e
a2 2 2
da
π 2
E( A2 )
a3
0 2
e
a2 2 2
da
第一节 平稳随机过程的概念
一、平稳随机过程的概念 二、应用举例 三、小结
一、平稳随机过程的概念
在实际中, 有相当多的随机过程, 不仅它现 在的状态, 而且它过去的状态, 都对未来状态的 发生有着很强的影响.
如果过程的统计特性不随时间的推移而变 化, 则称之为平稳随机过程.
1. 定义
如果对于任意的n( 1,2, ), t1, t2 , , tn T和 任意实数h,当t1 h, t2 h, , tn h T时, n维随机 变量 ( X (t1 ), X (t2 ), , X (tn )) 和 ( X (t1 h), X (t2 h), , X (tn h))
平稳过程数字特征的特点: (设平稳过程X (t)的均值函数E[ X (t)]存在) (1) 平稳过程的所有样本曲线都在水平直线
x(t) X 上下波动,平均偏离度为X .
(2) 设平稳过程X (t)的自相关函数 Rx (t1, t2 ) E[ X (t1 ) X (t2 )]存在.
那么平稳过程的自相关函数仅是t2 t1 的单
(2) 宽平稳的正态过程必定也是严平稳的.
定义2 同时考虑两个平稳过程: X (t) 和 Y (t)
如果它们的互相关函数也只是时间差的单 变量函数, 即
RXY (t,t ) E[ X (t)Y (t )] RXY ( ),
那么,称X (t) 和 Y (t)是平稳相关的,或两过程是 联合宽平稳的.
如果电流在[t,t )内变号奇数次 X (t)和X (t )乘积为 I 2,
事件 {X (t)X (t ) I 2}的概率为
P( A0 ) P( A2 ) P( A4 ) ...
事件 {X (t)X (t ) I 2}的概率为
P( A1 ) P( A3 )
E[ X (t)X (t )] I 2 P( A2k ) I 2 P( A2k1)
即事件
Ak {N (t, t ) k}
的概率为
P(
Ak
)
( )k
k!
e
,
k 0,1,2,
其中 0是单位时间内变号次数的数学期望.
试讨论 X (t) 的平稳性.
解 E[X (t)] 0
下面计算 E[ X (t)X (t )] 如果电流在[t,t )内变号偶数次
X (t)和X (t )必同号且乘积为I 2,
具有相同的分布函数, 则称随机过程{ X (t), t T} 具有平稳性, 并同时称此过程为平稳随机过程, 或简称平稳过程 (严平稳过程或狭义平稳过程).
平稳过程的参数集T, 一般为: (,), [0,), {0,1,2, } 或 {0,1,2, }.
当T为离散情况, 称平稳过程X n 为平稳随
机序列, 或平稳时间序列. 说明 (1) 将随机过程划分为平稳过程和非平稳过程有重 要的实际意义. 过程若是平稳的可使问题的分析尤 为简化. (2) 平稳过程的数字特征有很好的性质.