平稳随机过程的谱分析
常见平稳过程及相应谱密度计算过程
常见平稳过程及相应谱密度计算过程常见平稳过程及相应谱密度计算过程平稳过程是指随机过程的统计特性在时间推移下不发生变化的一类随机过程。
在许多工程和科学领域，平稳过程是非常常见的。
另外，谱密度也是在许多领域中用于分析信号和系统特性的重要工具。
在本文中，我们将介绍几种常见的平稳过程及对应的谱密度计算方法。
1.白噪声过程白噪声过程是指均值为零且具有常数功率谱密度的随机过程。
其谱密度为常数，表示该随机过程在所有频率上均有相同的能量分布，从而说明信号在所有频率上均匀分布。
其计算公式为：$$S_{xx}=N_0$$其中，$S_{xx}$是该过程的功率谱密度，$N_0$是噪声的谱密度。
2.布朗运动过程布朗运动是一种在物理学和金融学中常见的平稳过程。
它被定义为一个随机游走过程，其中每个步骤都是随机的，但总体趋势向前移动。
布朗运动可以用以下随机微分方程描述：$$dX_t=\mu dt+\sigma dW_t$$其中，$X_t$是在时间$t$的位置，$\mu$是平均漂移率，$\sigma$是扩散系数，$W_t$是布朗运动的随机因素。
布朗运动的功率谱密度为：$$S_{xx}=\frac{2\sigma^2}{\omega^2}$$其中，$\omega$是频率。
3.自回归过程自回归过程是一种用于时间序列分析的平稳过程。
它被描述为前一时间点的值与当前时间点的值之间的线性关系。
自回归过程可以表示为以下形式：$$X_t=\sum_{i=1}^{p}a_iX_{t-i}+e_t$$其中，$X_t$表示在时间$t$的值，$a_i$表示自回归系数，$e_t$是误差项。
自回归过程的功率谱密度可以用以下公式计算：$$S_{xx}=\frac{\sigma_e^2}{1-\sum_{i=1}^{p}a_i e^{-j\omega i}}$$其中，$\sigma_e^2$是误差项的方差。
4.滑动平均过程滑动平均过程是一种用于时间序列分析的平稳过程，它表示为随机误差项的加权和。
第二章 平稳随机过程的谱分析
u 2T
2T
2015-2-10
u 2T
u 2T
17
《随机信号分析》教学组
则
2T 1 1 2T S X ( ) lim { 0 d 2T RX ( )e j du T 2T 2
0 2T 1 2T d 2T RX ( )e j du} 2
对 S X ( ) 在X(t)的整个频率范围内积分， 便可得到X(t)的功率。 对于平稳随机过程，有：
1 E[ X ( t )] 2
2
2015-2-10
S X ( )d
14
《随机信号分析》教学组
三、功率谱密度与自相关函数之间的关系
确定信号： x(t ) X ( j) 随机信号：平稳随机过程的自相关函数
率。 2 解： E[ X (t )] E[a 2 cos2 (0t )]
a2 E{ [1 cos(20t 2)]} 2 2 2 a a 22 cos(20t 2 )d 0 2 2
a2 a2 sin(20 t 2 ) 02 2 2 a2 a2 sin 20t 2
S X ( ) 2 RX ( ) cosd
0
RX ( )
2015-2-10
1
0
S X ( ) cos d
19
《随机信号分析》教学组
3．单边功率谱
由于实平稳过程x(t)的自相关函数 RX ( ) 是实偶函数，功率谱密度也一定是实偶函 数。有时我们经常利用只有正频率部分的 单边功率谱。
2T 1 1 2T lim{ d RX ( )e j du} 2T 2 T 2T 2T 1 2T j lim ( 2 T ) R ( ) e d X T 2T 2T 2T lim (1 ) RX ( )e j d T 2T 2T 2T j RX ( )e j d RX ( )e d lim
随机信号分析实验报告
随机信号分析实验报告实验一：平稳随机过程的数字特征实验二：平稳随机过程的谱分析实验三：随机信号通过线性系统的分析实验四：平稳时间序列模型预测班级：姓名：学号：一、实验目的1、加深理解平稳随机过程数字特征的概念2、掌握平稳随机序列期望、自相关序列的求解3、分析平稳随机过程数字特征的特点二、实验原理平稳随机过程数字特征求解的相关原理三、实验过程function y = experiment number = 49; %学号49 I = 8; %幅值为8 u = 1/number;Ex = I*0.5 + (-I)*0.5; N = 64; C0 = 1; %计数 p(1) = exp(-u);for m = 2:N k = 1:m/2;p(m) = exp(-u*m) + sum((u*m).^(2*k)./factorial(2*k)*exp(-u*m));2222()[()()]{()()}{()()}X R m E X n X n m I P X n X n m I I P X n X n m I =+=+=-+=-E[X(n)]= I P{X(n)=+I}+(-I)P{X(n)=-I}=0⨯⨯0m >当时，/222(){()()}(2)!m k mk m P X n X n m I e P k λλ⎢⎥⎣⎦-=+===∑222()(1)(21)X R m I P I P I P =--=-2()()X X XC m R m m =-me I m n X n X E m R λ22)]()([)(-=+=end;pp = [fliplr(p) C0 p];Rx = (2*pp - 1)*I^2;m = -N:N;Kx = Rx - Ex*Ex;rx = Kx/25;subplot(211), plot(m,Rx); axis([-N N 0 I*I]); title('自相关序列');subplot(212), plot(m,rx); axis([-N N 0 1]); title('自相关序数');四、实验结果及分析自相关序列的特点分析：m>0时Rx(m)随着m的增大而减小，m<0时Rx(m)随着m的增大而增大。
随机过程-平稳过程
FX () S（） , d X
随机过程——西安电子科技大学数学系 冯海林
对平稳时间序列有相类似的结果.
设X={Xn, n=0, ±1, ±2,…}是平稳时间序列,则其 相关函数可以表示为 1 jm R（m） X e dFX (), m 0, 1, () 2
1 t T s( )s( )d T t
只与 有关系.
所以X是平稳过程.
随机过程——西安电子科技大学数学系 冯海林
例2 对复随机过程 Z t=Xt +jYt 若mZ(t)是复常数， RZ(t,t+τ )=RZ(τ ),则称 Z={Zt, -∞<t<+ ∞}为复平稳过程. 设Ak和ω k分别是实随机变量和实常数(k=1,2…,n),
随机过程西安电子科技大学数学系冯海林平稳过程的谱分解平稳过程的谱分解随机过程西安电子科技大学数学系冯海林平稳过程的谱分解定理551是均方连续的平稳过程则其相关函数可以表示为上非负有界单调不减右连续且f随机过程西安电子科技大学数学系冯海林所以f是某个随机变量w的特征函数即存在分布函数g随机过程西安电子科技大学数学系冯海林随机过程西安电子科技大学数学系冯海林称函数f为平稳过程x相关函数的谱展开式或谱分解式
k 1
E[Ak ]=0时，上式与t无关.
随机过程——西安电子科技大学数学系 冯海林
R（t , t ) E[Zt Z t ] Z E[ Ak e jk t Ak e jk ( t ) ]
k 1 k 1 n n
= E[ Ak Al ]e j (l k )t e jl
令
Zt Ak e
k 1
n
jk t
随机信号的谱分析
单边功率谱
单边功率谱——实平稳过程的谱密度 SX () 是偶函数，
因而可将负的频率范围内的值折算到正频率范围内。
FX
()
2 lim T
1 T
E
T 0
X
(t) eitd t
2
,
0
0 ,
0
FX () 20G,X () ,
0 0
GX()
FX()
平稳随机序列的功率谱
对于平稳随机序列X (n)，若它的自相关函数RX (m) 满足
[解]
GX
()
2
ea
0
cos(0
) cos() d
ea
0
[cos(0
)
cos(0
)
]d
a
a
a2 ( 0 )2 a2 ( 0 )2
例3 设随机序列X(n) = W(n) +W(n-1)，其中W(n)是高斯随
机序列，mW=0, RW(m)=2(m)，求X(n)的均值、自相关 函数和谱密度 GX () .
若 X (t) 和 Y (t)相互正交，则
RW ( ) RX ( ) RY ( )
GW () GX () GY ()
[例4] 如图所示X (t) 是平稳过程，过程Y (t)= X (t)+ X (tT)
也是平稳的，求Y (t) 的功率谱。
X (t)
[解]
Y (t)
延迟T
RY (t, t ) E[Y (t)Y (t )] E{[ X (t) X (t T )][ X (t ) X (t T )]} 2RX ( ) RX ( T ) RX ( T )
GX
() e j
d
N0
第四章 平稳随机过程的谱分析
1 2
S
X
(
)e
j
d
自相关函数和功率谱密度皆为偶函数
若随机过程X t是平稳的，自相关函数绝对可积，则自相关函数
jt
ddt
1
2
XX
()
x(t)e jt dtd
1
2
X
X
()X
* X
()d
1
2
X
X
()
2d
4.1、平稳随机过程的功率谱密度 ❖功率谱
功率型信号：能量无限、平均功率有限的信号
P lim 1 T s(t) 2 dt T 2T T 其能谱不存在，而功率谱存在
持续时间无限长的信号一般能量无限
4.1、平稳随机过程的功率谱密度
❖如何计算随机信号的平均功率？
2）时域计算方法
任一样本函数的平均功率为
W
lim
T
1 2T
T x2(t, )dt
T
随机过程的平均功率为
W
E[W
]
lim
T
1 2T
T E{X 2(t)}dt
T
若为各态历经过程：
W =W
4.1、平稳随机过程的功率谱密度 ❖如何计算随机信号的平均功率？
2020/5/20
6
4.1、平稳随机过程的功率谱密度
❖傅立叶变换
则 x(t)的傅立叶变换为：
X () x(t)e jt dt
其反变换为：
x(t) 1 X ()e jt d
2
频谱密度存在的条件为：
频谱密度
x(t)dt
2020/5/即20 信号为绝对可积信号
包含：振幅谱 相位谱
求各样本函数功率谱密度的统计平均
随机过程5.4 平稳过程的谱分析简介
1) S(ω)为实值非负函数，即
S() S() 0.
2)又若{X(t), t∈R}是实过程, 则S(ω)是偶 函数. 证 1) S() lim 1 E[ F(,T ) 2 ] S() 0;
T 2T
2) 实平稳过程的相关函数是偶函数, 由(5) 式可得
S() R()e jd R()e jd
2T T
2 2T
成立.
上式两边求均值再取极限, 左端为
lim
T
E
1 2T
T
X
2
(t
)dt
T
(4)
电子科技大学
称为平稳过程X(t) 的平均功率.
若(4)中的积分与求均值可交换顺序, 则
1
lim T 2T
T
E{
T
X (t )
2 }dt
E[
X (t )
注
RX
(
)
1
2
e
jt
dFX
(
),
R
称为平稳过程相关函数的谱展式.
定义5.4.1 称FX(ω)为过程{X(t),t∈T}的谱函
数，若存在SX (ω)，使
FX () SX (1 )d1, R
电子科技大学
称SX(ω)为过程的谱密度. 利用特征函数和分布函数之间的关系,可
S() R()e jd, (5)
R()
1 2ຫໍສະໝຸດ S ()ejd,(6)
平稳过程的相关函数与功率谱密度构成一
对Fourier变换.
注 (6) 式称为相关函数的谱分解式.
推论1 {X(t), t∈R}是平稳过程, 则其谱密 度S(ω) 满足
第7章平稳过程的谱分析资料
相关函数：
RX
(
)
1
2
s
X
(
)
ei
d
N0
2
ei d
N0
(
)
[定义′] 称均值为零、相关函数 RX () = N0 () 的实平
稳过程为白噪声过程。
目录
7.4 联合平稳过程的互谱密度
频率响应与脉冲响应
对于线性时不变系统，输出 y (t) 等于输入 x (t)与单位 脉冲响应 h (t) 的卷积，
y(t) x(t) h(t)
傅式变换——输出频谱Y () 与输入频谱 X () 的关系：
Y () X () H ()
定理1
设L为线性时不变系统，当输入一个谐波信号 x(t)=eit 时，则输出为
对平稳随机序列 X n , n 0,1,2, ，均值为0，如果
| RX (n) |
n
当 在 [ , ] 上取值时，若
sX () RX (n)ein n
绝对一致收敛，则sX () 是[ , ] 上的连续函数，称
sX () RX (n)ein ,
L[a1x1(t) a2 x2 (t)] a1L[x1(t)] a2 L[x2 (t)] a1 y1(t) a2 y2 (t)
时不变系统： y(t ) L[x(t )]
下列微分算子和积分算子是线性时不变的
（1） （2）
L d dt
t
L ( )du
a0
2m
随机信号分析实验报告
随机信号分析实验报告实验一：平稳随机过程的数字特征实验二：平稳随机过程的谱分析实验三：随机信号通过线性系统的分析实验四：平稳时间序列模型预测班级：姓名：学号：一、实验目的1、加深理解平稳随机过程数字特征的概念2、掌握平稳随机序列期望、自相关序列的求解3、分析平稳随机过程数字特征的特点二、实验原理平稳随机过程数字特征求解的相关原理三、实验过程function y = experimentnumber = 49; %学号49I = 8; %幅值为8u = 1/number;Ex = I*0.5 + (-I)*0.5;N = 64;C0 = 1; %计数p(1) = exp(-u);for m = 2:Nk = 1:m/2;p(m) = exp(-u*m) + sum((u*m).^(2*k)./factorial(2*k)*exp(-u*m));2222()[()()]{()()}{()()}X R m E X n X n m I P X n X n m I I P X n X n m I =+=+=-+=-E[X(n)]= I P{X(n)=+I}+(-I)P{X(n)=-I}=0⨯⨯0m >当时，/2220(){()()}(2)!m k m k m P X n X n m I e P k λλ⎢⎥⎣⎦-=+===∑222()(1)(21)X R m I P I P I P =--=-2()()X X X C m R m m =-me I m n X n X E m R λ22)]()([)(-=+=end;pp = [fliplr(p) C0 p];Rx = (2*pp - 1)*I^2;m = -N:N;Kx = Rx - Ex*Ex;rx = Kx/25;subplot(211), plot(m,Rx); axis([-N N 0 I*I]); title('自相关序列');subplot(212), plot(m,rx); axis([-N N 0 1]); title('自相关序数');四、实验结果及分析自相关序列的特点分析：m>0时Rx(m)随着m的增大而减小，m<0时Rx(m)随着m的增大而增大。
随机信号分析_第三章_平稳随机过程的谱分析
A RX (t , t ) e j d
说明如果A<RX(t,t+τ)>绝对可积，那自 相关函数的时间平均与功率谱密度是傅 里叶变换对。
对于平稳随机过程，由于： A<RX(t,t+τ)>＝ A<RX(τ)>＝ RX(τ) 所以: j S X ( ) RX ( )e d
S X ( ) R X ( )e
0
j
d
0
Ae e
j
d Ae
e
j
d
1 1 A[ ] j j 2 A 2 2
例3.4 P203 设随机相位信号X(t)＝Acos(ω0t+θ)， 其中A, ω0为常数； θ为随机相位，在（0， 2π）均匀分布。可以计算初其自相关函 数RX(τ)=[A2cos (ω0τ)]/2, 求X(t)的功率谱 密度。 解：引入δ函数。 1 1 j ()e d 2 2
3.2.1 功率谱密度的性质
1. 功率谱密度的非负性。即： SX(ω)>=0 2. 功率谱密度是ω的实函数。即： SX(ω)= SX(ω)
3. 对于实随机过程来讲，功率谱密度是ω 的偶函数。即： SX(ω)＝ SX(－ω) 4. 功率谱密度可积。即：
S X ( )d
3.2.2 谱分解定理
满足上述条件的x(t)的傅利叶变换为：
Fx ( ) x(t )e
jt
dt
称为x(t)的频谱。为一复数，有 Fx(ω)= Fx(-ω)
Fx(ω)的傅利叶反变换为：
1 x(t ) 2
实验二平稳随机过程的谱分析
实验二平稳随机过程的谱分析谱分析是对平稳随机过程的频率特性进行研究的一种方法。
它通过分析随机过程在不同频率下的能量分布，可以揭示出随机过程的主要频率成分和其相应的能量。
在实验二中，我们将以一个平稳随机过程为例，详细介绍谱分析的方法和步骤，并通过具体的实例来说明如何进行谱分析。
首先，我们需要明确谱密度函数的概念。
谱密度函数描述了随机过程在各个频率上的能量分布，其定义为随机过程在单位频率范围内的功率谱与单位频率之比。
一般地，谱密度函数可以通过傅里叶变换和自相关函数计算得到。
接下来，我们需要计算随机过程的自相关函数。
自相关函数反映了随机过程在不同时刻之间的相关性，其定义为随机过程在不同时刻的取值之积的期望。
通过计算自相关函数，我们可以得到随机过程的自相关系数和自相关函数的性质。
然后，我们可以通过自相关函数计算随机过程的功率谱密度函数。
功率谱密度函数描述了随机过程在各个频率上的能量分布，其定义为自相关函数的傅里叶变换。
通过计算功率谱密度函数，我们可以得到随机过程的频谱特性。
在进行谱分析时，我们需要选择适当的算法和工具进行计算。
常见的算法包括周期图法、Welch法和傅里叶变换法。
周期图法是一种通过周期图对随机过程进行频谱分析的方法，其步骤包括选择窗函数、计算周期图和计算功率谱密度函数。
Welch法是一种通过分段计算随机过程的频谱的方法，其步骤包括选择窗函数、选择段数、计算每一段的频谱并对它们求平均。
傅里叶变换法是一种通过对随机过程进行傅里叶变换得到频谱的方法，其步骤包括对随机过程进行傅里叶变换和计算功率谱密度函数。
最后，我们可以通过绘制频谱图来直观地表示随机过程的频谱特性。
频谱图是将频率作为横坐标、功率谱密度函数的取值作为纵坐标，以直方图或曲线的形式展示出来。
通过观察频谱图，我们可以得到随机过程的主要频率成分和其相应的能量。
综上所述，谱分析是一种揭示平稳随机过程频率特性的重要方法。
通过计算自相关函数和功率谱密度函数，并绘制频谱图，可以得到平稳随机过程的主要频率成分和其相应的能量，进而对随机过程进行频域分析。
随机过程第五章 平稳随机过程
1,
0,
T st;
其他.
E{Y (s)Y (t)} E{E[Y (s)Y (t) ]}
st
1 P{ T s t } 1 ,
T 对于 t 的其它情形可做类似推理.
电子科技大学
随机二元传输过程是一个平稳过程,记τ=s－t,
其自相关函数为
0,
),
a;
0,
a
RX(t, t+τ)与 t 无关, 故X(t) 是宽平稳过程.
P128例12 泊松过程不是平稳过程，
是平稳增量过程.
电子科技大学
三、两种平稳性的关系
1）严平稳过程不一定是宽平稳的; 因宽平稳过程一定是二阶矩过程,而严平稳 过程未必是二阶矩过程. 2）宽平稳不一定 严平稳;
CX (s,t) RX (s,t) mX 2 RX () mX 2
电子科技大学
注 自协方差函数与自相关函数都仅依赖于t－s.
平稳过程在实际中是常见过程,如
照明电网中电压的波动过程; 电子系统中的随机噪声; 稳定气象条件下海域中一定点处的海浪高度 随时间的变化或随地点的变化(平稳随机场)； 卫星图片中相同条件下的灰度水平.
t 0,
随机变量与 随机过程》
其中X0 与N(t)相互独立，且
美 A.帕普
力斯，p303
C C
X0 ～ 1 1 C > 0,
2 2
电子科技大学
讨论｛X(t), t≥0｝的平稳性.
C
－C
解 因 X (t) X0(1)N(t) , t 0, mX (t) E[X(t)] E(X0 )E[(1)N(t)] 0, t 0
高斯平稳随机过程的功率谱
高斯平稳随机过程的功率谱
高斯平稳随机过程的功率谱是一个重要的统计特性，用于描述随机过程在频域的特性。
功率谱密度是频率域上信号或者时间序列的功率分布的度量。
对于一个高斯平稳随机过程，它的主要特性包括其均值为常数，自相关函数只与时间间隔有关。
这些特性使得我们可以方便地分析和处理这类随机过程。
平稳随机过程的功率谱密度是其自相关函数的傅里叶变换，这是由维纳-辛钦定理给出的。
高斯平稳随机过程的功率谱具有一些特殊的性质。
例如，它是非负的、实的、并且是偶函数。
此外，功率谱密度是可积的，这意味着在整个频率范围内的功率是有限的。
高斯平稳随机过程的功率谱在分析各种信号和噪声中都有广泛的应用，例如通信系统、控制系统、雷达和声学等领域。
通过对功率谱的分析，我们可以了解信号或噪声在不同频率下的强度分布，从而设计出更有效的信号处理算法和系统。
随机过程Ch7 平稳过程的谱分析
=
1 2
lim
4 T
1
T→∞ 2 T
|Fx(ω,T)|2dω
显然上式左边可以看做是x(t)消耗在1Ω电阻上的平均功 率,相应地,称右边的被积函数 lim |Fx(ω,T)|2 T→∞ 2 T 为功率密度. 以上讨论的是普通时间的实质函数的频谱分析,对于随 机过程{X(t),-≦<t<≦}可以作类似的分析.
T→∞ 2 T
E[X2(t)]dt T
T
=lim
T→∞
1 2T
[
T T
a
2
-
a
2
=
a
2
2
sin(2ω0t)]dt
.
2
以上讨论了平稳过程的谱密度,对于平稳随机序列的谱 分析,我们类似地给出以下结果.
平稳过程的谱密度
设{Xn,n=0,±1,±2,…}为平稳随机序列,均值为零.若 τ只取离散值,且相关函数RX(τ)满足 |RX(n)|＜≦.当 n ω在[-π,π]上取值时,若 sx(ω)= RX(n)e-inω (△) n 绝对一致收敛,则sx(ω)是[-π,π]上的连续函数, 且对 上式取绝对值再积分,有 |sx(ω)|dω≤ |RX(n)| |e-inω|dω＜≦, 故 sx(ω)einωdω存在.于是(△)是以 1 RX(n)= sx(ω)einωdω, n=0,±1,±2,…(△)
T→∞ 2 T
T
1
T
=RX(0). (◇) 由(◇)式和(◇)式看出,平稳过程的平均功率等于该过程 的均方值,或等于它的谱密度在频域上的积分,即 2= 1 S (ω)dω. ψ X
该式是平稳过程X(t)的平均功率的频谱展开式,sX(ω)描 述了各种频率成分所具有的能量大小. 例7.1 设有随机过程X(t)=acos(ω0t+Θ), a,ω0为常数,
随机过程的平稳性分析
随机过程的平稳性分析随机过程是描述随机变量随着时间或空间的变化而产生的一系列随机变量的数学模型。
平稳性是对随机过程中的统计特性进行分析的重要概念之一。
在随机过程中，平稳性是指随机过程的统计特性在时间或空间上的不变性，即该过程在不同时间或空间下具有相似的统计性质。
1. 随机过程的基本概念随机过程可以分为离散随机过程和连续随机过程。
离散随机过程是在离散时间或空间上进行观测和分析的随机过程，而连续随机过程则是在连续时间或空间上进行观测和分析的随机过程。
随机过程的定义需要考虑概率空间、状态空间和时间参数等因素。
2. 平稳性的定义在随机过程中，平稳性通常分为严格平稳和宽平稳两种情况。
严格平稳是指随机过程的联合分布在时间或空间上的任何平移变换下保持不变；而宽平稳是指随机过程的均值函数和自相关函数在时间或空间上保持不变。
平稳性是对随机过程的统计特性做出的基本假设，它能够提供对过程的长期行为和性质的重要认识。
3. 平稳性分析的方法在实际问题中，我们可以通过一系列统计方法和技术来对随机过程的平稳性进行分析。
常用的方法包括自相关函数法、功率谱法、小波分析法等。
这些方法能够帮助我们对随机过程中的平稳性进行定量描述和分析，从而更好地理解随机过程的统计特性。
4. 应用实例随机过程的平稳性分析在实际中具有广泛的应用。
例如，在金融领域，我们可以利用平稳性分析来对金融时间序列数据进行建模和预测；在通信领域，我们可以利用平稳性分析来优化信号处理算法和系统设计。
这些应用实例充分展示了平稳性分析在随机过程中的重要性和实用性。
5. 结论随机过程的平稳性分析是对随机过程统计特性进行深入了解和研究的重要手段。
通过对随机过程的平稳性进行分析，我们可以更好地理解随机过程的规律和性质，为实际问题的解决提供有效的方法和思路。
以上是关于随机过程的平稳性分析的相关内容，希望能对读者有所帮助。
随机过程的平稳性检验
随机过程的平稳性检验随机过程是概率论中的重要概念，用于描述随机变量随时间变化的规律。
在实际应用中，我们常常需要对随机过程的性质进行检验，其中平稳性是一项重要的指标。
本文将介绍随机过程的平稳性检验方法以及其在实际问题中的应用。
一、随机过程的平稳性定义与特性随机过程是指一组随机变量组成的序列，其中每个随机变量表示随机过程在不同时间点的取值。
随机过程的平稳性是指其统计特性在时间上保持不变的性质。
具体地，随机过程X(t)在宽平稳意义下具有以下特性：1. 均值平稳性：对于任意的t1和t2，随机变量X(t1)和X(t2)具有相同的均值；2. 自协方差平稳性：对于任意的t1和t2，随机变量X(t1)和X(t2)的协方差仅依赖于时间差t2-t1，与具体的时间点无关。
二、平稳性检验方法为了检验随机过程的平稳性，常用的方法有时域方法和频域方法。
1. 时域方法时域方法基于样本数据，直接分析随机变量在不同时间点的取值。
常见的时域方法有：（1）样本均值与样本方差比较法：计算不同时间点上的样本均值和样本方差，比较它们是否相同。
（2）自相关函数法：计算不同时间点上的自相关系数，若自相关系数与时间差无关，则认为随机过程具有平稳性。
（3）自协方差函数法：计算不同时间点上的自协方差系数，若自协方差系数与时间差无关，则认为随机过程具有平稳性。
2. 频域方法频域方法则通过对随机过程进行傅里叶变换，将随机过程表示为频率域上的分布。
常见的频域方法有：（1）功率谱密度法：计算随机过程的功率谱密度函数，若功率谱密度函数仅依赖于频率而与具体的时间点无关，则认为随机过程具有平稳性。
（2）自相关函数的傅里叶变换法：计算随机过程的自相关函数的傅里叶变换，若傅里叶变换结果仅依赖于频率而与具体的时间点无关，则认为随机过程具有平稳性。
三、平稳性检验的应用随机过程的平稳性检验在实际问题中有着广泛的应用，以下以金融领域为例进行说明。
金融市场中的股票价格可以看作是随机过程，在投资决策中需要考虑其平稳性。
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第3章 平稳随机过程的谱分析付里叶变换是处理确定性信号的有效工具，它信号的频域内分析处理信号，常常使分析工作大为简化。
对于随机信号，是否也可以应用频域分析方法？付里叶变换是否可引入随机信号中？3.1 随机过程的谱分析3.1.1 回顾：确定性信号的谱分析)(t f 是非周期实函数， )(t f 的付里叶变换存在的充要条件是：1．)(t f 在),(∞-∞上满足狄利赫利条件；2．)(t f 绝对可积：+∞<⎰+∞∞-dt t f )(3．若)(t f 代表信号，则)(t f 信号的总能量有限，即：+∞<⎰+∞∞-dt t f 2)()(t f 的付里叶变换为：⎰+∞∞--=dt e t f F t j ωω)()(付里叶逆变换为⎰+∞∞-=ωωπωd e F t f t j )(21)(重要等式：⎰⎰+∞∞-+∞∞-=ωωπd F dt t f 22)(21)(此等式称为帕塞瓦（Parseval ）等式，其物理意义是：等式左边信号在时域上的总能量，等式右边的2)(ωF 可认为是单位频带内的能量，总能量通过积分⎰+∞∞-ωωd F 2)(得到，称2)(ωF 等于为能谱密度。
3.1.2 随机过程的功率谱密度一、样本函数的平均功率问题1：由于付里叶变换是针对确定性函数进行的，在处理随机过程)(t X 时，取)(t X 的一个样本函数)(t x （在曲线族中取某一曲线）来进行付里叶分析。
问题2：随机过程)(t X 的样本函数)(t x 一般不满足付里叶变换的条件，它的总能量是无限的，需考虑平均功率。
若随机过程)(t X 的样本函数)(t x 满足+∞<=⎰-∞→TTT dt t x TW 2)(21limW 称为样本函数)(t x 的平均功率。
对于平稳过程，其样本函数的平均功率是有限的。
二、截取函数对于)(t X 的一个样本函数)(t x ，在)(t x 中截取长为T 2的一段，记为)(t x T，它满足：⎪⎩⎪⎨⎧≥<=Tt T t t x t x T 0)()(称)(t x T为)(t x 的截取函数。
三、截取函数的付里叶变换 0>T ，取定后，)(t x T的付里叶变换一定存在：⎰⎰--+∞∞--==TTt j tj T T dt e t x dt et x X ωωω)()()(其付里叶逆变换为：⎰+∞∞-=ωωπωd e X t x t j T T )(21)(其帕塞瓦（Parseval ）等式为⎰⎰⎰+∞∞--+∞∞-==ωωπd X dt t x dt t x T TTT 222)(21)()(四、随机过程的平均功率说明：)(t x T与)(ωT X 具有随机性，因为)(t x 是)(t X 的一个样本，具有随机性，因此，)(t x T与)(ωT X 都是随机变量。
由⎰⎰+∞∞--=ωωπd X dt t x T TT22)(21)(⇔ ⎰⎰+∞∞--=ωωπd X Tdt t x TT TT22)(41)(21⇔])(41[])(21[22⎰⎰+∞∞--=ωωπd X TE dt t x TE T TT⇔⎰⎰∞+∞--=ωωπd TX E dt t x E T T TT2])([21])([2122⇔ ⎰⎰∞+∞-∞→-∞→==ωωπd TX E dt t x E T W T T TT T 2])([lim 21])([21lim 22称⎰-∞→=T T T dt t x E T W ])([21lim 2为随机过程)(t X 的平均功率。
记TX E S T T X2])([lim)(2ωω∞→=，称)(ωXS 为随机过程)(t X 的功率谱密度。
)(ωX S 描述了随机过程)(t X 的功率在各个频率分量上的分布。
3.1.3功率谱密度与复频率面拉谱拉斯变换回顾：在付里叶变换中，令ωj s =，便有变换为⎰+∞∞--=dt e t f s F t s )()(这便是有名的拉谱拉斯变换。
令ωσj s +=，用s 来代替ω，得)(s S X，s 是复频率。
应用复频率来表示平稳随机过程的功率谱密度，在某些实际应用中是很方便的。
取0=σ，)(s S X 便是由拉谱拉斯变换引伸出的频谱分析。
3.2 功率谱密度的性质 1．功率谱密度为非负函数，即：0)(≥ωX S2． 功率谱密度为ω的实函数。
3．功率谱密度为ω的偶函数：)()(ωω-=X X S S证明：4．功率谱函数可积∞<⎰∞∞-ωωd S X )(5．有理谱密度是实际应用中最觉常见的一类功率谱密度，自然界和工程实际应用中的有色噪声常常可用有理函数形式的功率谱密度来逼近。
这时，)(ωXS 可以表示为两个多项式之比，即2222222022222220)()(d d d c c c S S N N N M M M X ++++++++=----ωωωωωωω必须满足N M <。
3.3 功率谱密度与自相关函数之间的关系定理：平稳随机过程的自相关函数与功率谱密度之间构成付里叶变换对，即：设)(ωXS 是功率谱密度，)(τX R 是自相关函数，则有 ⎰+∞∞--=ττωωτd e R S j X X )()(⎰+∞∞-=ωωπτωτd e S R j X X )(21)(证明：TX E S T T X 2])([lim)(2ωω∞→=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=*∞→T X X E T T T 2)()(lim ωω ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎰⎰---∞→TTTTt j t j T dt e t X dt et X TE 221121)()(21lim ωω⎰⎰----∞→=T T t t j TTT dt dt e t X t X E T 21)(2112)]()([21lim ω⎰⎰----∞→=TT t t j TTX T dt dt e t t R T21)(2112),(21lim ω令1t t =， 12t t -=τ，则1dt dt =，τd dt =2{}⎰⎰-----∞→+=tT tT j TTX T X d e dt t t R T S ττωωτ),(21lim)(⎰⎰∞∞---∞→⎭⎬⎫⎩⎨⎧=ττωτd e dt R T j TT XT )(21lim⎰∞∞--∞→⎭⎬⎫⎩⎨⎧⋅⋅=ττωτd e T R T j X T 2)(21lim⎰∞∞--=ττωτd e R j X )()(ωX S 与)(τX R 的相互关系反映了时域特性与频域特性之间的联系，是分析随机信号的一个最重要、最基本的公式：可以相互利用，使求解计算大大简化。
3.4 联合平稳随机过程的互谱密度1． 两个随机过程)(t X 、)(t Y 的截取函数设)(t x 、)(t y 分别为)(t X 与)(t Y 的样本函数，令：⎪⎩⎪⎨⎧≥<=Tt T t t x t x T 0)()(⎪⎩⎪⎨⎧≥<=Tt T t t y t y T 0)()()(t x T 、)(t y T 分别称为)(t x 与)(t y 的截取函数。
2． 截取函数的付里叶变换)(t x T 、)(t y T 的付里叶变换分别为⎰⎰--+∞∞--==TTt j tj T T dt e t x dt et x X ωωω)()()(⎰⎰--+∞∞--==TTt j tj T T dt e t y dt et yx Y ωωω)()()(付里叶逆变换分别为⎰+∞∞-=ωωπωd e X t x t j T T )(21)( ⎰+∞∞-=ωωπωd e Y t y t j T T )(21)(3． 样本函数互功率样本函数)(t x 与)(t y 的互功率定义为：⎰-∞→=TTT xy dt t y t x TW )()(21lim4． 帕塞瓦定理根据帕塞瓦定理，有⎰⎰∞∞-*∞∞-*=ωωωπd Y X dt t y t x T T T T)()(21)()(又，⎰⎰∞∞-*-=dt t y t x dt t y t x T T TT)()()()(所以，⎰⎰∞∞-*-=ωωωπd Y X dt t y t x T T TT)()(21)()(5． 两个随机过程的互功率由于)(t x 与)(t y 具有随机性，)(t x T 、)(t y T 也具有随机性，从而)(ωT X 、)(ωT Y 具有随机性。
为消除随机性，取：⎰⎰⎰-∞→-∞→-∞→===TT T TTT T T T XY dt t Y t X E Tdtt y t x E T dt t y t x T E W )]()([21lim )]()([21lim])()(21lim [称其为随机过程的互功率。
6． 互功率谱密度由帕塞瓦定理，有⎰⎰∞∞-*-=ωωωπd Y X dt t y t x T T TT )()(21)()(⎰⎰∞∞-*∞→-∞→==ωωωπd T Y X E dt t y t x T E W T T T TT T XY2)]()([lim 21])()(21[lim令：TY X E S T T T XY 2)]()([lim )(ωωω*∞→=称)(ωXY S 为互功率谱。
7． 平稳随机过程互相关与互功率谱的关系定理:互相关与互功率谱为一付里叶变换对，即：⎰+∞∞--=ττωωτd e R S j XY XY )()(⎰+∞∞-=ωωπτωτd e S R j XY XY )(21)(和⎰+∞∞--=ττωωτd e R S j YX YX )()(⎰+∞∞-=ωωπτωτd e S R j YX YX )(21)(8． 互功率谱密度的性质（1）)()()(ωωω*=-=YX YX XY S S S（2）若)(t X 与)(t Y 正交，则0)()(==ωωYX XY S S（3）若)(t X 与)(t Y 不相关，则)(2)()(ωδπωω⋅⋅⋅==Y X YX XY m m S S3.5 噪声与功率谱密度1． 理想白噪声若)(t N 是一个具有0均值的平稳过程，其功率谱密度均匀分布在),(+∞-∞的： 整个频率区间，即021)(N S N =ω0N 为一正实数，则称)(t N 为白噪声过程，简称白噪声。
2． 白噪声的时域分析由⎰+∞∞-=ωωπτωτd eS R j N N )(21)(及021)(N S N =ω，有)(21)(0τδτ⋅=N R N )(t N R 自相关系数为⎩⎨⎧===其他1)0()()(τττN N N R R r以上说明，白噪声在任两个相邻时刻（两个时刻不管多么邻近）的取值都是不相关的。
这说明白噪声过程随时间的起伏极快。
3． 白噪声在工程中的应用实际上，白噪声是不存在的。
在工程中，当所研究的随机过程通过某一系统时，若过程的功率谱密度在一个比系统带宽大得多的频率范围内近似均匀分布，就可以把它当作白噪声来处理。