平稳随机过程的谱分析
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2.2.4 平稳随机过程的相关性分析
τ →∞
2 lim RX (τ ) = RX (∞) = mX
证明 : 当 τ → ∞ 时 , X (t )与 X (t + τ )不相关 , 则有 :
τ →∞
lim R X (τ ) = R X ( ∞ ) = lim E [ X ( t ) X ( t + τ )]
τ →∞
2 = lim { E [ X ( t )] ⋅ E [ X (t + τ )]} = m X
17
∞
样本函数x(t)的平均功率： 样本函数x(t)的平均功率： x(t)的平均功率
1 T 2 w = lim ∫−T xT (t) dt T →∞ 2 T 1 1 ∞ 2 = lim ⋅ ∫−∞ XT (ω) dω T →∞ 2 T 2π 1 ∞ 1 2 = lim ∫−∞[T→∞ 2T XT (ω) ]dω 2π
∫
∞
−∞
xT ( t ) e
− jω t
dt =
∫
T
−T
x (t )e
− jω t
dt
1 xT (t ) = 2π
1 T 2 w = lim ∫−T xT (t) dt T →∞ 2 T
∫
∞
−∞
X T (ω )e jωt dω
2
1 ∞ 2 ∫−∞[x(t)] dt = 2π ∫−∞ X (ω) dω
样本函数x(t)的功率谱密度， 样本函数x(t)的功率谱密度， x(t)的功率谱密度 简称样本的功率谱密度。 简称样本的功率谱密度。
x(t), w和 T (ω)取 于 验 结 , 都 有 定 随 性 X 决 试 的 果 带 一 的 机 .
例 : 已知平稳过程 X (t )的自相关函数为 : (1) R X (τ ) = 3e
2 lim RX (τ ) = RX (∞) = mX
证明 : 当 τ → ∞ 时 , X (t )与 X (t + τ )不相关 , 则有 :
τ →∞
lim R X (τ ) = R X ( ∞ ) = lim E [ X ( t ) X ( t + τ )]
τ →∞
2 = lim { E [ X ( t )] ⋅ E [ X (t + τ )]} = m X
17
∞
样本函数x(t)的平均功率： 样本函数x(t)的平均功率： x(t)的平均功率
1 T 2 w = lim ∫−T xT (t) dt T →∞ 2 T 1 1 ∞ 2 = lim ⋅ ∫−∞ XT (ω) dω T →∞ 2 T 2π 1 ∞ 1 2 = lim ∫−∞[T→∞ 2T XT (ω) ]dω 2π
∫
∞
−∞
xT ( t ) e
− jω t
dt =
∫
T
−T
x (t )e
− jω t
dt
1 xT (t ) = 2π
1 T 2 w = lim ∫−T xT (t) dt T →∞ 2 T
∫
∞
−∞
X T (ω )e jωt dω
2
1 ∞ 2 ∫−∞[x(t)] dt = 2π ∫−∞ X (ω) dω
样本函数x(t)的功率谱密度， 样本函数x(t)的功率谱密度， x(t)的功率谱密度 简称样本的功率谱密度。 简称样本的功率谱密度。
x(t), w和 T (ω)取 于 验 结 , 都 有 定 随 性 X 决 试 的 果 带 一 的 机 .
例 : 已知平稳过程 X (t )的自相关函数为 : (1) R X (τ ) = 3e
第二章 平稳随机过程的谱分析
u 2T
2T
2015-2-10
u 2T
u 2T
17
《随机信号分析》教学组
则
2T 1 1 2T S X ( ) lim { 0 d 2T RX ( )e j du T 2T 2
0 2T 1 2T d 2T RX ( )e j du} 2
对 S X ( ) 在X(t)的整个频率范围内积分， 便可得到X(t)的功率。 对于平稳随机过程，有：
1 E[ X ( t )] 2
2
2015-2-10
S X ( )d
14
《随机信号分析》教学组
三、功率谱密度与自相关函数之间的关系
确定信号： x(t ) X ( j) 随机信号：平稳随机过程的自相关函数
率。 2 解： E[ X (t )] E[a 2 cos2 (0t )]
a2 E{ [1 cos(20t 2)]} 2 2 2 a a 22 cos(20t 2 )d 0 2 2
a2 a2 sin(20 t 2 ) 02 2 2 a2 a2 sin 20t 2
S X ( ) 2 RX ( ) cosd
0
RX ( )
2015-2-10
1
0
S X ( ) cos d
19
《随机信号分析》教学组
3．单边功率谱
由于实平稳过程x(t)的自相关函数 RX ( ) 是实偶函数，功率谱密度也一定是实偶函 数。有时我们经常利用只有正频率部分的 单边功率谱。
2T 1 1 2T lim{ d RX ( )e j du} 2T 2 T 2T 2T 1 2T j lim ( 2 T ) R ( ) e d X T 2T 2T 2T lim (1 ) RX ( )e j d T 2T 2T 2T j RX ( )e j d RX ( )e d lim
随机信号分析实验报告
随机信号分析实验报告实验一：平稳随机过程的数字特征实验二：平稳随机过程的谱分析实验三：随机信号通过线性系统的分析实验四：平稳时间序列模型预测班级：姓名：学号：一、实验目的1、加深理解平稳随机过程数字特征的概念2、掌握平稳随机序列期望、自相关序列的求解3、分析平稳随机过程数字特征的特点二、实验原理平稳随机过程数字特征求解的相关原理三、实验过程function y = experiment number = 49; %学号49 I = 8; %幅值为8 u = 1/number;Ex = I*0.5 + (-I)*0.5; N = 64; C0 = 1; %计数 p(1) = exp(-u);for m = 2:N k = 1:m/2;p(m) = exp(-u*m) + sum((u*m).^(2*k)./factorial(2*k)*exp(-u*m));2222()[()()]{()()}{()()}X R m E X n X n m I P X n X n m I I P X n X n m I =+=+=-+=-E[X(n)]= I P{X(n)=+I}+(-I)P{X(n)=-I}=0⨯⨯0m >当时，/222(){()()}(2)!m k mk m P X n X n m I e P k λλ⎢⎥⎣⎦-=+===∑222()(1)(21)X R m I P I P I P =--=-2()()X X XC m R m m =-me I m n X n X E m R λ22)]()([)(-=+=end;pp = [fliplr(p) C0 p];Rx = (2*pp - 1)*I^2;m = -N:N;Kx = Rx - Ex*Ex;rx = Kx/25;subplot(211), plot(m,Rx); axis([-N N 0 I*I]); title('自相关序列');subplot(212), plot(m,rx); axis([-N N 0 1]); title('自相关序数');四、实验结果及分析自相关序列的特点分析：m>0时Rx(m)随着m的增大而减小，m<0时Rx(m)随着m的增大而增大。
随机信号分析教学大纲
《随机信号分析》教学大纲（Random Signal Analyzing）总学时数：48 ，学分数： 3 其中：实验(上机)学时：0适用专业：通信工程执笔者：党建武（教授/博士）编写日期：2006-04 一、课程的基本要求应掌握随机变量、随机过程、窄带随机过程的基本概念及其统计特性，学会平稳随机过程的谱、随机过程通过线性系统的分析和随机过程通过非线性系统的分析方法。
二、课程内容和学时分配1、概率论随机变量、概率分布、数字特征、极限定理（8学时）。
2、随机过程随机过程的基本概念及其统计特性、平衡随机过程、复随机过程、正态随机过程、Poisson和Markov过程（8学时）。
3、平稳随机过程的谱分析功率谱密度、功率谱密度与自相关函数之间的关系、联合平衡随机过程的互谱密度、自噪声（8学时）。
4、随机信号通过线性系统的分析随机信号通过连续时间系统的分析、随机信号通过离散时间系统的分析、白噪声通过线系统的分析、线性系统输出端随机信号的概率分布（8学时）。
5、窄带随机过程Hilbdrt变换、窄带随机过程的表示方法，窄带高斯随机过程的包络和相位的概率密度，窄带高斯过程包络平方的概率密度（8学时）。
6、随机信号通过非线性系统的分析矩函数求法、直接法、特征函数法、非线性变换的包线法、非线性系统输出端信噪比的计算（8学时）。
三、与其它课程的关系本课程是在先修了概率论、信号与系统两门基础课之后开设的一门理论性很强的专业基础课，该门课程是学生理解与通信专业有关的专业课程的基础,也是学习“信号处理”、“信号检测与估值”和“通信原理”等后续课程的基础。
四、教材与参考书目主要参考书：1、朱华、黄辉宁等，随机信号分析，北京理工大学出版社，19902、A．帕普斯：概率、随机变量、随机过程，保铮等译，西北电讯工程学院，1986。
原名：A papoulis: probability, Random V ariables and stochastic processes, MC Graw-Hill, Inc 1984。
随机过程-平稳过程
FX () S（） , d X
随机过程——西安电子科技大学数学系 冯海林
对平稳时间序列有相类似的结果.
设X={Xn, n=0, ±1, ±2,…}是平稳时间序列,则其 相关函数可以表示为 1 jm R（m） X e dFX (), m 0, 1, () 2
1 t T s( )s( )d T t
只与 有关系.
所以X是平稳过程.
随机过程——西安电子科技大学数学系 冯海林
例2 对复随机过程 Z t=Xt +jYt 若mZ(t)是复常数， RZ(t,t+τ )=RZ(τ ),则称 Z={Zt, -∞<t<+ ∞}为复平稳过程. 设Ak和ω k分别是实随机变量和实常数(k=1,2…,n),
随机过程西安电子科技大学数学系冯海林平稳过程的谱分解平稳过程的谱分解随机过程西安电子科技大学数学系冯海林平稳过程的谱分解定理551是均方连续的平稳过程则其相关函数可以表示为上非负有界单调不减右连续且f随机过程西安电子科技大学数学系冯海林所以f是某个随机变量w的特征函数即存在分布函数g随机过程西安电子科技大学数学系冯海林随机过程西安电子科技大学数学系冯海林称函数f为平稳过程x相关函数的谱展开式或谱分解式
k 1
E[Ak ]=0时，上式与t无关.
随机过程——西安电子科技大学数学系 冯海林
R（t , t ) E[Zt Z t ] Z E[ Ak e jk t Ak e jk ( t ) ]
k 1 k 1 n n
= E[ Ak Al ]e j (l k )t e jl
令
Zt Ak e
k 1
n
jk t
随机信号的谱分析
单边功率谱
单边功率谱——实平稳过程的谱密度 SX () 是偶函数，
因而可将负的频率范围内的值折算到正频率范围内。
FX
()
2 lim T
1 T
E
T 0
X
(t) eitd t
2
,
0
0 ,
0
FX () 20G,X () ,
0 0
GX()
FX()
平稳随机序列的功率谱
对于平稳随机序列X (n)，若它的自相关函数RX (m) 满足
[解]
GX
()
2
ea
0
cos(0
) cos() d
ea
0
[cos(0
)
cos(0
)
]d
a
a
a2 ( 0 )2 a2 ( 0 )2
例3 设随机序列X(n) = W(n) +W(n-1)，其中W(n)是高斯随
机序列，mW=0, RW(m)=2(m)，求X(n)的均值、自相关 函数和谱密度 GX () .
若 X (t) 和 Y (t)相互正交，则
RW ( ) RX ( ) RY ( )
GW () GX () GY ()
[例4] 如图所示X (t) 是平稳过程，过程Y (t)= X (t)+ X (tT)
也是平稳的，求Y (t) 的功率谱。
X (t)
[解]
Y (t)
延迟T
RY (t, t ) E[Y (t)Y (t )] E{[ X (t) X (t T )][ X (t ) X (t T )]} 2RX ( ) RX ( T ) RX ( T )
GX
() e j
d
N0
第四章 平稳随机过程的谱分析
1 2
S
X
(
)e
j
d
自相关函数和功率谱密度皆为偶函数
若随机过程X t是平稳的，自相关函数绝对可积，则自相关函数
jt
ddt
1
2
XX
()
x(t)e jt dtd
1
2
X
X
()X
* X
()d
1
2
X
X
()
2d
4.1、平稳随机过程的功率谱密度 ❖功率谱
功率型信号：能量无限、平均功率有限的信号
P lim 1 T s(t) 2 dt T 2T T 其能谱不存在，而功率谱存在
持续时间无限长的信号一般能量无限
4.1、平稳随机过程的功率谱密度
❖如何计算随机信号的平均功率？
2）时域计算方法
任一样本函数的平均功率为
W
lim
T
1 2T
T x2(t, )dt
T
随机过程的平均功率为
W
E[W
]
lim
T
1 2T
T E{X 2(t)}dt
T
若为各态历经过程：
W =W
4.1、平稳随机过程的功率谱密度 ❖如何计算随机信号的平均功率？
2020/5/20
6
4.1、平稳随机过程的功率谱密度
❖傅立叶变换
则 x(t)的傅立叶变换为：
X () x(t)e jt dt
其反变换为：
x(t) 1 X ()e jt d
2
频谱密度存在的条件为：
频谱密度
x(t)dt
2020/5/即20 信号为绝对可积信号
包含：振幅谱 相位谱
求各样本函数功率谱密度的统计平均
随机过程5.4 平稳过程的谱分析简介
1) S(ω)为实值非负函数，即
S() S() 0.
2)又若{X(t), t∈R}是实过程, 则S(ω)是偶 函数. 证 1) S() lim 1 E[ F(,T ) 2 ] S() 0;
T 2T
2) 实平稳过程的相关函数是偶函数, 由(5) 式可得
S() R()e jd R()e jd
2T T
2 2T
成立.
上式两边求均值再取极限, 左端为
lim
T
E
1 2T
T
X
2
(t
)dt
T
(4)
电子科技大学
称为平稳过程X(t) 的平均功率.
若(4)中的积分与求均值可交换顺序, 则
1
lim T 2T
T
E{
T
X (t )
2 }dt
E[
X (t )
注
RX
(
)
1
2
e
jt
dFX
(
),
R
称为平稳过程相关函数的谱展式.
定义5.4.1 称FX(ω)为过程{X(t),t∈T}的谱函
数，若存在SX (ω)，使
FX () SX (1 )d1, R
电子科技大学
称SX(ω)为过程的谱密度. 利用特征函数和分布函数之间的关系,可
S() R()e jd, (5)
R()
1 2ຫໍສະໝຸດ S ()ejd,(6)
平稳过程的相关函数与功率谱密度构成一
对Fourier变换.
注 (6) 式称为相关函数的谱分解式.
推论1 {X(t), t∈R}是平稳过程, 则其谱密 度S(ω) 满足
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对过程的样本函数做某些限制，最简单的一种方法
是应用截取函数。
7
二 随机过程的功率谱密度
应用截取函数
x(t ) xT (t ) 0
t T t T
8
xT (t )的傅里叶变换存在 当T为有限值时，
X X (T , ) xT (t )e jt dt
x(t )e jt dt
E[ X 2 ( t )] 1 2
S X ( )d
平稳随机过程的均方值有限
S X ( )d
18
二 谱分解定理
1 谱分解
在平稳随机过程中有一大类过程，它们的 功率谱密度为 的有理函数。在实际中，许多 随机过程的功率谱密度都满足这一条件。即使 不满足，也常常可以用有理函数来逼近S X ( ) 。 这时 S X ( ) 可以表示为两个多项式之比，即
a2 E{ [1 cos(20t 2)]} 2 2 2 a a 22 cos(20t 2 )d 0 2 2
a2 a2 sin(20 t 2 ) 02 2 2 a2 a2 sin 20t 2
X (t )不是宽平稳的
13
27
因式分解：
( s 2)(s 2) S X ( s) ( s 1)(s 3)(s 1)(s 3)
jt jt x ( t ) e dt X (T , ) xT (t )e dt T xT (t )e j ( )t dt X X (T ,)
* X
*
* X X (T , ) X X (T , ) X X (T , ) X X (T ,) X X (T ,)
19
S0 ( 2 M c2 M 2 2 M 2 c2 2 c0 ) S X ( ) 2 N d 2 N 2 2 N 2 d 2 2 d 0
M<N
若用复频率s来表示功率谱密度，那么，对 于一个有理函数，总能把它表示成如下的因式 分解形式：
1 A . lim . T 2T
表示时间平均
随机过程的平均功率可以通过对过程的均方值求时间平 均来得到，即对于一般的随机过程（例如，非平稳随机 过程）求平均功率，需要既求时间平均，又求统计平均。 显然，Q不是随机变量。
若平稳
Q A E[ X (t )] E[ X (t )] ＝R (0)
js
( s 2 4) S X (s) 4 s 10s 2 9
( s 2)(s 2) ( s 1)(s 1)(s 3)(s 3)
-3
-2-10 Nhomakorabea1 2 3
15
3.2平稳随机过程功率谱密度的性质
一 功率谱密度的性质 1 功率谱密度为非负的,即 S X ( ) 0
2
X (T ,) X X (T ,) X X (T , )
* X
2
又
S X ( ) lim
T
E[ X X (T , ) ] 2T
2
S X () S X ()
17
4 功率谱密度可积，即 S X ( )d 证明：对于平稳随机过程，有：
lim 证明： S X ( ) T E[ X X (T , ) ] 2T
2
2
X X (T , ) 0
S X ( ) 0
2 功率谱密度是 的实函数
16
3 对于实随机过程来说，功率谱密度是 的偶函数， 即 S X () S X () 证明： xT (t ) 是实函数
（1）a2为实数。 解释：因为其它零极点都共轭出现，余下的常 数必为实数。 （2）SX(s)的所有虚部不为0的零点和极点都成复共 轭出现。 解释：因为SX(ω)为实函数，两两共轭的积必为 实函数。
21
根据平稳随机过程的功率谱密度的性质， 可以导出关于 SX(s)的零、极点的如下性质 ：
（3） SX(s)的所有零、极点皆为偶重的。 解释：因为SX(ω)为偶函数，所以无ω的奇次项， 所以零、极点皆为偶重的。 （ 4） M＜ N。 解释：因为SX(ω)可积，则ω→∞,SX(ω)→0， 所以，N>M。 （5） SX(s)在实轴上无极点。 解释：因为SX(ω)非负、实的偶函数。
T 2
X X (T , ) d
9
令T→∞，再取极限，交换求数学期望和积分的次 序：(注意这里由一条样本函数推广到更一般的随 机过程，即下面式子对所有的样本函数均适用)
1 lim T 2T
E[ X X (T , ) ] 1 d T E[ X (t )]dt 2 lim T 2T
25
1 E[ X (t )] S ( s )ds 2j 上式积分路径是沿着 jω 轴，应用留数法时，
2 j j X
要求积分沿着一个闭合围线进行。为此，考虑沿 着左半平面上的一个半径为无穷大的半圆积分。 根据留数定理，不难得出
E[ X 2 (t )] (左半平面内极点的留数 ）
SX ( s) a * (s 1* )(s M ) * (s 1* )(s N )
（零极点在s下半平面）
且
SX ( s) [ S X (s)]*
S X ( s) S ( s) S ( s)
X
2
X
2
此时
1 j E[ X (t )] S X ( s)ds j 2j
22
2 谱分解定理
ｓ ) 分解成两项之积，即： 根据上面的性质，可将S X (
S X ( s) S X ( s) S X ( s)
X
谱分解定理
其中
( s 1 ) ( s M ) S ( s) a （零极点在s上半平面） ( s 1 ) ( s N )
2 T 2
存在
非负
功率Q
S X ( )
1 T 1 2 Q lim E[ X ( t )]dt S X ( )d T T 2T 2
注意： （1）Q为确定性值，不是随机变量。 （2） S X ( )为确定性实函数。
10
两个结论：
1
Q A E[ X 2 ( t )]
1 E[ X ( t )] 2
2
S X ( )d
12
0t ) ，其中a和0 例：设随机过程 X (t ) a cos( ） 皆是实常数， 是服从（0， 2 上均匀分布的随
机变量，求随机过程 X (t ) 的平均功率。 解： E[ X 2 (t )] E[a 2 cos2 (0t )]
2 2 X
1 2 Q 2
S X ( )d
11
S X ( ) lim T
E[ X X (T , ) ]
2
S X ( ) 描述了随机过程X(t)的 功率谱密度： 功率在各个不同频率上的分布。S X ( ) 称为随 机过程X(t)的功率谱密度。
2T
对 S X ( ) 在X(t)的整个频率范围内积分， 便可得到X(t)的功率。 对于平稳随机过程，有：
24
留数定理 设B(s)为复变量s的函数，且其绕原点的简单 闭曲线C反时针方向上和曲线C内部只有几个 极点s=pi
n 1 则： B( s)ds (曲线C内部极点的留数） 2j i 1
一阶留数 二阶留数
[( s p ) B( s )] s p
d [( s p) 2 B( s)] s p ds
2
由(3.1.17)式，用s代 替jω后得
23
3 SX() 为有理函数时的均方值求法
（1）利用 R ( ) E[ X 2 (t )] RX ( ) 0 RX (0)
X
（2）直接利用积分公式
1 E [ X (t )] 2
2
S X ( )d
（3）查表法
（4）留数法
( s a1 )( s a2 M ) S X ( s) a (s b1 )( s b2 N )
2
a≠b
式中，s为复频率，s=σ+jω。aK、bL(K=1,2,…,2M; L=1,2,…,2N)分别表示SX(s)的零、极点。
20
根据平稳随机过程的功率谱密度的性质， 可以导出关于 SX(s)的零、极点的如下性质 ：
26
例: 考虑一个广义平稳随机过程X(t)，具有功 率谱密度
2 4 S X ( ) 4 10 2 9
求过程的均方值 E[ X 2 (t )] 解:用复频率的方法来求解。 用 ＝ js 代入上式得用复频率 s表示得功 率谱密度：
( s 2 4) S X (s) 4 s 10s 2 9
1 2
X X ( ) d
2
即
1 [ x(t )] dt 2
2
X () d
2 X
5
2 帕塞瓦等式
1 [ x(t )] dt 2
2
X () d
2 X
—非周期性时间函数的帕塞瓦(Parseval)等式。 物理意义：若x(t)表示的是电压(或电流)，则 上式左边代表x(t)在时间(-∞,∞)区间的总能量 （单位阻抗）。因此，等式右边的被积函数 |XX(ω)|2表示了信号x(t)能量按频率分布的情况， 故称|XX(ω)|2为能量谱密度。
T
T
应用帕塞瓦等式
1 2 T x (t )dt 2 X X (T , ) d 1 T 2 1 2 x ( t ) dt X ( T , ) d X T 2T 4T