平稳随机过程的谱分析

对过程的样本函数做某些限制，最简单的一种方法
是应用截取函数。
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二 随机过程的功率谱密度
应用截取函数
x(t ) xT (t ) 0
t T t T
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xT (t )的傅里叶变换存在 当T为有限值时，
X X (T , ) xT (t )e jt dt


x(t )e jt dt
E[ X 2 ( t )] 1 2

S X ( )d

平稳随机过程的均方值有限
S X ( )d


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二 谱分解定理
1 谱分解
在平稳随机过程中有一大类过程，它们的 功率谱密度为 的有理函数。在实际中，许多 随机过程的功率谱密度都满足这一条件。即使 不满足，也常常可以用有理函数来逼近S X ( ) 。 这时 S X ( ) 可以表示为两个多项式之比，即
a2 E{ [1 cos(20t 2)]} 2 2 2 a a 22 cos(20t 2 )d 0 2 2
a2 a2 sin(20 t 2 ) 02 2 2 a2 a2 sin 20t 2
X (t )不是宽平稳的
13
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因式分解：
( s 2)(s 2) S X ( s) ( s 1)(s 3)(s 1)(s 3)
jt jt x ( t ) e dt X (T , ) xT (t )e dt T xT (t )e j ( )t dt X X (T ,)
* X

*

* X X (T , ) X X (T , ) X X (T , ) X X (T ,) X X (T ,)
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S0 ( 2 M c2 M 2 2 M 2 c2 2 c0 ) S X ( ) 2 N d 2 N 2 2 N 2 d 2 2 d 0
M<N
若用复频率s来表示功率谱密度，那么，对 于一个有理函数，总能把它表示成如下的因式 分解形式：
1 A . lim . T 2T
表示时间平均
随机过程的平均功率可以通过对过程的均方值求时间平 均来得到，即对于一般的随机过程（例如，非平稳随机 过程）求平均功率，需要既求时间平均，又求统计平均。 显然，Q不是随机变量。
若平稳
Q A E[ X (t )] E[ X (t )] ＝R (0)
js
( s 2 4) S X (s) 4 s 10s 2 9
( s 2)(s 2) ( s 1)(s 1)(s 3)(s 3)
-3
-2-10 Nhomakorabea1 2 3
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3.2平稳随机过程功率谱密度的性质
一 功率谱密度的性质 1 功率谱密度为非负的,即 S X ( ) 0
2
X (T ,) X X (T ,) X X (T , )
* X
2
又
S X ( ) lim
T
E[ X X (T , ) ] 2T
2
S X () S X ()
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4 功率谱密度可积，即 S X ( )d 证明：对于平稳随机过程，有：
lim 证明： S X ( ) T E[ X X (T , ) ] 2T
2
2
X X (T , ) 0
S X ( ) 0
2 功率谱密度是 的实函数
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3 对于实随机过程来说，功率谱密度是 的偶函数， 即 S X () S X () 证明： xT (t ) 是实函数
（1）a2为实数。 解释：因为其它零极点都共轭出现，余下的常 数必为实数。 （2）SX(s)的所有虚部不为0的零点和极点都成复共 轭出现。 解释：因为SX(ω)为实函数，两两共轭的积必为 实函数。
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根据平稳随机过程的功率谱密度的性质， 可以导出关于 SX(s)的零、极点的如下性质 ：
（3） SX(s)的所有零、极点皆为偶重的。 解释：因为SX(ω)为偶函数，所以无ω的奇次项， 所以零、极点皆为偶重的。 （ 4） M＜ N。 解释：因为SX(ω)可积，则ω→∞,SX(ω)→0， 所以，N>M。 （5） SX(s)在实轴上无极点。 解释：因为SX(ω)非负、实的偶函数。
T 2



X X (T , ) d
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令T→∞，再取极限，交换求数学期望和积分的次 序：(注意这里由一条样本函数推广到更一般的随 机过程，即下面式子对所有的样本函数均适用)
1 lim T 2T
E[ X X (T , ) ] 1 d T E[ X (t )]dt 2 lim T 2T
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1 E[ X (t )] S ( s )ds 2j 上式积分路径是沿着 jω 轴，应用留数法时，
2 j j X
要求积分沿着一个闭合围线进行。为此，考虑沿 着左半平面上的一个半径为无穷大的半圆积分。 根据留数定理，不难得出
E[ X 2 (t )] (左半平面内极点的留数 ）
SX ( s) a * (s 1* )(s M ) * (s 1* )(s N )
（零极点在s下半平面）
且
SX ( s) [ S X (s)]*
S X ( s) S ( s) S ( s)
X
2
X
2
此时
1 j E[ X (t )] S X ( s)ds j 2j
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2 谱分解定理
ｓ ) 分解成两项之积，即： 根据上面的性质，可将S X (
S X ( s) S X ( s) S X ( s)
X
谱分解定理
其中
( s 1 ) ( s M ) S ( s) a （零极点在s上半平面） ( s 1 ) ( s N )
2 T 2
存在
非负
功率Q
S X ( )
1 T 1 2 Q lim E[ X ( t )]dt S X ( )d T T 2T 2
注意： （1）Q为确定性值，不是随机变量。 （2） S X ( )为确定性实函数。
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两个结论：
1
Q A E[ X 2 ( t )]
1 E[ X ( t )] 2
2
S X ( )d
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0t ) ，其中a和0 例：设随机过程 X (t ) a cos( ） 皆是实常数， 是服从（0， 2 上均匀分布的随
机变量，求随机过程 X (t ) 的平均功率。 解： E[ X 2 (t )] E[a 2 cos2 (0t )]
2 2 X
1 2 Q 2



S X ( )d
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S X ( ) lim T
E[ X X (T , ) ]
2
S X ( ) 描述了随机过程X(t)的 功率谱密度： 功率在各个不同频率上的分布。S X ( ) 称为随 机过程X(t)的功率谱密度。
2T
对 S X ( ) 在X(t)的整个频率范围内积分， 便可得到X(t)的功率。 对于平稳随机过程，有：
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留数定理 设B(s)为复变量s的函数，且其绕原点的简单 闭曲线C反时针方向上和曲线C内部只有几个 极点s=pi
n 1 则： B( s)ds (曲线C内部极点的留数） 2j i 1
一阶留数 二阶留数
[( s p ) B( s )] s p
d [( s p) 2 B( s)] s p ds
2
由(3.1.17)式，用s代 替jω后得
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3 SX() 为有理函数时的均方值求法
（1）利用 R ( ) E[ X 2 (t )] RX ( ) 0 RX (0)
X
（2）直接利用积分公式
1 E [ X (t )] 2
2



S X ( )d
（3）查表法
（4）留数法
( s a1 )( s a2 M ) S X ( s) a (s b1 )( s b2 N )
2
a≠b
式中，s为复频率，s=σ+jω。aK、bL(K=1,2,…,2M; L=1,2,…,2N)分别表示SX(s)的零、极点。
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根据平稳随机过程的功率谱密度的性质， 可以导出关于 SX(s)的零、极点的如下性质 ：
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例: 考虑一个广义平稳随机过程X(t)，具有功 率谱密度
2 4 S X ( ) 4 10 2 9
求过程的均方值 E[ X 2 (t )] 解:用复频率的方法来求解。 用 ＝ js 代入上式得用复频率 s表示得功 率谱密度：
( s 2 4) S X (s) 4 s 10s 2 9
1 2



X X ( ) d
2
即



1 [ x(t )] dt 2
2
X () d
2 X
5
2 帕塞瓦等式



1 [ x(t )] dt 2
2
X () d
2 X
—非周期性时间函数的帕塞瓦(Parseval)等式。 物理意义：若x(t)表示的是电压(或电流)，则 上式左边代表x(t)在时间(-∞,∞)区间的总能量 （单位阻抗）。因此，等式右边的被积函数 |XX(ω)|2表示了信号x(t)能量按频率分布的情况， 故称|XX(ω)|2为能量谱密度。
T
T
应用帕塞瓦等式
1 2 T x (t )dt 2 X X (T , ) d 1 T 2 1 2 x ( t ) dt X ( T , ) d X T 2T 4T