四.随机过程的功率谱密度

(2) (齐次性) x x ，x R , R;
n
(3) (三角不等式 ) x y x y ，x, y Rn .
则称 x 为向量x的范数.
在向量空间 Rn (C n )中, 设x ( x1 , x2 ,, xn )T
常用的向量 x的范数有
1 范数
X (T , ) X X (T , ) X X (T , )
* X
2
4、功率谱密度可积，即



S X ( )d
功率谱密度与自相关函数
功率谱密度的表达式为
2 E X X (T , ) S X ( ) lim T 2T
其中
X X (T , ) xT (t )e jt dt
维纳－辛钦定理
双边带功率谱密度：功率谱密度分布在整个频率轴上， 称为双边带功率谱密度。 单边带功率谱密度：功率谱密度只定义在零和正的频率 轴上，成为单边带功率谱密度。
单边带功率谱密度与双边带功率谱密度之间的关系为：
2SX ( ) G X ( ) 0
0 0
G X ( )
SX ( )
由
E[ X (t1 ) X (t2 )] RX (t1, t2 ) , T t1, t2 T
1 S X ( ) lim T 2T

T
T t T t
T
T
T
RX (t1 , t2 )e j (t2 t1 ) dt1dt2
得
1 S X ( ) lim T 2T

T
T
x(t ) dt
二阶规范量，若模可积定义为
x(t ) 2
否则定义为



x(t ) dt
2
1 x(t ) 2 lim T 2T

T
T
x(t ) dt
2
向量范数
定义1. 对于n维向量空间 Rn中任意一个向量 x,
若存在唯一一个实数x R与x对应，且满足
(1) (正定性) x 0, 且x Rn , x 0 x 0;
2
随机过程的平均功率
2 E X ( T , ) X 1 T 1 d 2 lim E x ( t ) dt lim T 2T T 2 T 2T
功率谱密度
1 P lim T 2T
1 E x ( t ) dt T 2

确定信号的大小、能量和功率 6.1确定信号的大小、能量和功率
通常用信号在其定义域内的总量来表示信号的大小，
称为信号的规范量。
一阶规范量，若模可积，即满足



x(t ) dt

则一阶规范量定义为
x(t ) 1
否则定义为

x(t ) dt
1 x(t ) 1 lim T 2T
随机过程的功率谱密度
2014-10-15
1
引言
在许多领域的理论与实际应用中，广泛应用到傅立叶变 换这一工具。一方面由于确定性信号的频谱、线性系统的频 率响应等具有鲜明的物理意义。另一方面，在时域上计算确 定性信号通过线性系统必须采用大量的卷积运算，转换到频 域上分析时，可以变换成简单的乘积运算，从而使运算量大 为减少，因而傅立叶变换是确定性信号分析的重要工具。 在随机信号分析领域能否应用傅立叶变换，随机信号是否 存在某种谱特征？回答是可以，不过在随机信号情况下，必 须进行某种处理以后，才能应用傅立叶分析这一工具。因为 一般随机信号的样本函数不满足傅立叶变换的绝对可积条件 ，即 x(t ) dt



S X ( )e j d
对于广义平稳随机过程
RX (t , t ) RX ( ) A RX (t , t ) A RX ( ) RX ( )
则
S X ( ) RX ( )e j d

1 RX ( ) 2



S X ( )e j d
互谱密度
定义两个截取函数 xT (t ) , yT (t) 为
x(t ) xT (t ) 0
t T 其他
y (t ) yT (t ) 0
t T 其他
二者满足绝对可积的条件，则
xT (t ) yT (t )

X X (T , ) X Y (T , )

* X X (T , ) X X (T , ) X X (T , ) 2

功率谱密度可表示为
T 1 T jt1 S X ( ) lim E x(t1 )e dt1 x(t2 )e jt2 dt2 T T 2T T 1 T T jt1 jt2 lim E x ( t ) x ( t ) e e dt1dt2 1 2 T 2T T T
互谱密度的性质
互功率谱密度性质 性质3：若X(t),Y(t)互相正交，互谱密度为零
性质4：若X(t),Y(t)是互不相关的两个随机过
在以后，如不加说明，都指双边带功率谱密度。

平稳随机过程的自相关函数和功率谱密度的对应关系：
X( t )
R X ( )
SX ( )
a S X ( )
2
aX (t )
dX ( t ) dt
a RX ( )
2
d 2 RX ( ) d 2
2n d RX ( ) (1) n d 2 n
定义两随机过程的互功率为
1 PXY (T ) 2T 1 2T

T
T T
xT (t ) yT (t )dt x(t ) y (t )dt

T
应用帕塞瓦定理
1 PXY (T ) 2T

T
T
x(t ) y (t )dt
* XX (T , ) X Y (T , ) d 2T
1 2
2、功率谱密度是ω 的实函数。 3、对于实随机过程来说，功率谱密度是ω 的偶函数，即
S X ()＝S X (－)
截取函数 xT (t ) 为t的实函数，根据傅立叶变换的性质
* XX (T , ) X X (T , )
于是
* X X (T , ) X X (T , ) X X (T , ) 2



T
T
RX (t , t )dt e j d

1 S X ( ) lim T 2T

j R ( t , t ) dt e d T X
T
A RX (t , t ) e j d
1 A RX (t , t ) 2



下面求平均功率
1 A PXY (T ) E[ PXY (T )] 2 T ，得平均功率
* E[ X X (T , ) X Y (T , )] d 2T
1 PXY lim A PXY (T ) lim T T 2
* E[ X X (T , ) X Y (T , )] d 2T
2S X ()
d n X( t ) dn t
2n S X ()
S ( 0 )
X(t )e j0 t
RX ( )e j0
例
已知零均值平稳过程X(t)的
6 S X ( ) 4 , 求RX ( )与DX t . 2 5 4
2
6 2 6 2 解：S X ( ) 4 2 5 4 ( 2 1)( 2 4) A B 2 2 1 4 6 2 6 6 2 24 A 2 | 2 1 2, B 2 | 2 4 8 4 3 1 3
2 范数 Leabharlann Baidu 范数
x 1 x1 x2 xn x 2 ( x1 x2 xn )
xi x max 1i n
2 2 2 1 2
p 范数, p 1
显然
x p ( x1 x2
p
p
xn
p
)
1
p
x 1和 x 2 是 x p 在p 1和p 2时的特例
T 2


X X (T , ) d
两边同除以2T可得
1 2T 1 T x (t )dt 2T * 2
T 2



X X (T , ) d
2
取集合平均可得
1 E 2T 1 E T x (t )dt 2T *2
T 2



X X (T , ) d
确定信号的频谱和能量谱
设信号s(t)为非周期实函数，且满足： 1)
2)
s(t)在内只有有限个第一类间断点和极值点。



s(t ) dt
，即s(t)绝对可积；
那么，s(t)的傅立叶变换存在，为
S ( ) s(t )e jt dt


又称为频谱密度，也简称为频谱。 信号s(t)可以用频谱表示为
S XY （） RXY ( )
互谱密度的性质
互功率谱密度性质 性质1：
S XY () SYX () S () S ()
* YX * XY
性质2：互谱密度的实部是偶函数，虚部是 奇函数。
Re[ S XY ( )] Re[SYX ( )] Re[SYX ( )] Re[S XY ( )] Im[ S XY ( )] Im[SYX ( )] Im[SYX ( )] Im[S XY ( )]
x(t )
x(t ) xT (t ) 0
t T 其他
-T T
t
截取函数的傅立叶变换
X X (T , ) xT (t )e
jt
dt
1 xT (t ) 2
2



X X (T , )e jt d
截取函数应满足帕塞瓦定理
1 x ( t ) dt T 2
1 s (t ) 2



S ( )e jt d
信号s(t)的总能量为
E s 2 (t )dt


根据帕塞瓦尔定理：对能量有限信号，时域内信号的 能量等于频域内信号的能量。即 2 1 2 E s (t )dt S ( ) d 2 其中
e
a|t |
2a 2 2 a
| | 2| |
2 8 S X ( ) 2 2 , 1 4
2 X |0|
R X ( ) e 2e
2|0|
DX (t ) RX (0) m = e 2e
0=1
联合平稳随机过程的互谱密度
S ( )
2
称为s(t)的能量谱密度（能谱密度）。
有限能量信号： 在的条件



s 2 (t )dt
是能量谱密度存
随机信号的功率
样本函数x(t)不满足绝对可积的条件，但功率是有限的 1 T 2 P lim x(t ) dt T 2T T 因此，可以研究随机过程的功率谱。 样本函数x(t)的截取函数
2、 若随机过程广义平稳
P
1 2



S X ( )d
2 E x (t )
1 2



S X ( )d
功率谱密度的性质
1、功率谱密度为非负的，即
S X () 0
2 E X X (T , ) S X ( ) lim T 2T
T 2



S X ( )d
1 2 S X () lim E[ X T () ] T 2T
两个结论
2 1、 P A E x (t ) 随机过程的平均功率可以通过对过程的均方值求时间平均得 到。若随机过程广义平稳
2 2 P A E x ( t ) E x (t )
互功率谱密度定义为
1 * S XY （）＝ lim E X X (T , ) X Y (T , ) T 2T
互谱密度与互相关函数
1、对于实随机过程X(t)、Y(t)有
S XY （）= A RXY (t , t ) e j d
-

2、若X(t),Y(t)联合平稳，有