数学经典问题-七桥问题
七桥问题Seven Bridges Problem
七桥问题Seven Bridges Problem著名古典数学问题之一。
在哥尼斯堡的一个公园里，有七座桥将普雷格尔河中两个岛及岛与河岸连接起来(如图)。
问是否可能从这四块陆地中任一块出发，恰好通过每座桥一次，再回到起点?欧勒于1736年研究并解决了此问题，他把问题归结为如下右图的“一笔画”问题，证明上述走法是不可能的。
有关图论研究的热点问题。
18世纪初普鲁士的柯尼斯堡，普雷格尔河流经此镇，奈发夫岛位于河中，共有7座桥横跨河上，把全镇连接起来。
当地居民热衷于一个难题：是否存在一条路线，可不重复地走遍七座桥。
这就是柯尼斯堡七桥问题。
L.欧拉用点表示岛和陆地，两点之间的连线表示连接它们的桥，将河流、小岛和桥简化为一个网络，把七桥问题化成判断连通网络能否一笔画的问题。
他不仅解决了此问题，且给出了连通网络可一笔画的充要条件是它们是连通的，且奇顶点(通过此点弧的条数是奇数)的个数为0或2。
当Euler在1736年访问Konigsberg, Prussia(now Kaliningrad Russia)时，他发现当地的市民正从事一项非常有趣的消遣活动。
Konigsberg城中有一条名叫Pregel的河流横经其中，这项有趣的消遣活动是在星期六作一次走过所有七座桥的散步，每座桥只能经过一次而且起点与终点必须是同一地点。
Euler把每一块陆地考虑成一个点，连接两块陆地的桥以线表示。
后来推论出此种走法是不可能的。
他的论点是这样的，除了起点以外，每一次当一个人由一座桥进入一块陆地（或点）时，他（或她）同时也由另一座桥离开此点。
所以每行经一点时，计算两座桥（或线），从起点离开的线与最后回到始点的线亦计算两座桥，因此每一个陆地与其他陆地连接的桥数必为偶数。
七桥所成之图形中，没有一点含有偶数条数，因此上述的任务无法完成.欧拉的这个考虑非常重要，也非常巧妙，它正表明了数学家处理实际问题的独特之处——把一个实际问题抽象成合适的“数学模型”。
七桥问题文档
七桥问题简介七桥问题是欧拉于1736年提出的一道经典问题，它被认为是图论和数学中最著名的问题之一。
该问题描述了一个欧拉图中的岛屿，岛屿之间通过桥连接，玩家需要找到一条路径，经过每座桥且只经过一次。
欧拉通过解决这个问题，为图论奠定了坚实的基础。
图论的研究对于网络、电路、计算机科学等领域都有重要的应用。
本文将介绍七桥问题的背景、欧拉图的定义、问题解决思路以及相关应用。
七桥问题的背景七桥问题源于基尔岛(Königsberg)的一组岛屿和桥。
这组岛屿位于普鲁士河(Pregel River)中，其中一个岛屿是普鲁士城堡(Königsberg Castle)。
岛屿之间有七座桥，人们想知道是否可以从一个起点，经过每座桥且只经过一次，最后回到起点。
欧拉思考了这个问题，并使用了一种崭新的数学方法解决了这个问题。
他的解决方案不仅解决了七桥问题，而且还为图论奠定了基础。
欧拉图的定义在解决七桥问题之前，欧拉提出了一种新的图形表示方法，称为欧拉图。
欧拉图是由顶点(节点)和边(连接两个节点的线)组成的图形。
欧拉图具有以下特点：•图中的每个边都连接两个不同的顶点；•所有的边都被标志为未被访问过。
欧拉图在解决七桥问题中发挥了关键作用。
欧拉通过观察欧拉图的特性，找到了解决七桥问题的方法。
七桥问题的解决思路欧拉通过分析七桥问题，提出了解决此类问题的一般方法。
他的思路包括以下几个步骤：1.将地图抽象为欧拉图：将地图上的岛屿视为顶点，将岛屿之间的桥视为边，建立起欧拉图的模型。
2.确定欧拉圈和欧拉路径：通过分析欧拉图的特性，判断是否存在一条欧拉路径或欧拉圈。
3.判断是否可以遍历每座桥且只经过一次：如果存在欧拉路径，则可以遍历每座桥且只经过一次；如果存在欧拉圈，则可以遍历每座桥且只经过一次，且最终回到起点。
在七桥问题中，欧拉图的模型具有四座岛屿，其中三座岛屿与普鲁士城堡通过桥相连。
通过观察欧拉图的特性，我们可以发现该图不存在欧拉路径或欧拉圈，因此无法找到一条路径，经过每座桥且只经过一次。
格尼斯堡七桥问题
首府。第二次世界大战后，成为前苏联最大的海军基地。现在 的格尼斯堡位于立陶宛和波兰之间。 在第二次世界大战时，法军经这里入侵波兰。后来苏军也从 格尼斯堡城是由条顿骑士团在1308年建立，曾作为东普鲁士的
这里打进德国，所以格尼斯堡是一座名城。同时这里也诞生过 许多伟大人物，其中包括18世纪著名的唯心主义哲学家康德和19
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最短邮路问题——邮递员每天要走
如果一张图中奇点数大于2，并且是2 的n倍，则该图至少需要n笔
才能画成。如下图所示。
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重复部分应该选择最短的邮路区间，故以下三种方案中，第 三个方案最好。
回头来看邮路图，其中有6个奇点，故至少要3笔才能画成，
最短邮路问题是1960年由我国山东师范大学管梅谷教授提出并解
这个问题看似简单，人人都乐意去测试一下自己的智力，可
是把全城人的智力加在一起，也没有找到一条合适的路线。这 个问题传开以后，许多欧洲有学问的人也参与思考，同样是一 筹莫展。就这样，格尼斯堡这个“七桥问题”给人们提供了丰富 的乐趣和数学兴味，因而使得这座波罗的海的海滨古城闻名遐 迩。
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2.欧拉与格尼斯堡七桥问题
（2）不考虑桥梁的曲直、长短，不妨将它们看成连接4个点的7
于是一座仪态万千的格 尼斯堡古城在欧拉笔下 就变成了一个结构简单 是几何图形。
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于是七桥问题就变成了用笔不重复的（笔不离开纸面）画出 这个几何图形的问题，即“一笔画”问题。如果可以画出来， 则必有一个起点和一个终点，如果这两点不重合，则与起点或 终点相交的线必为奇数条（称为奇点），如果起点与终点重合， 则与之相交的线必为偶数条（称为偶点），而除了起点与终点 外，其他点也必为偶点。据以上分析，如果一个图形可以一笔 画出来，则必须满足两个条件： 他任意点。（2）图中的奇点数只能是0或2.
世界数学难题——哥尼斯堡七桥问题
世界数学难题——哥尼斯堡七桥问题18世纪时，欧洲有一个风景秀丽的小城哥尼斯堡(今俄罗斯加里宁格勒)，那里的普莱格尔河上有七座桥。
将河中的两个岛和河岸连结，城中的居民经常沿河过桥散步，于是提出了一个问题：一个人怎样才能一次走遍七座桥，每座桥只走过一次，最后回到出发点？大家都试图找出问题的答案，但是谁也解决不了这个问题。
这就是哥尼斯堡七桥问题，一个著名的图论问题。
1727年在欧拉20岁的时候，被俄国请去在圣彼得堡（原列宁格勒）的科学院做研究。
他的德国朋友告诉了他这个曾经令许多人困惑的问题。
欧拉并没有跑到哥尼斯堡去走走。
他把这个难题化成了这样的问题来看：把二岸和小岛缩成一点，桥化为边，于是“七桥问题”就等价于下图中所画图形的一笔画问题了，这个图如果能够一笔画成的话，对应的“七桥问题”也就解决了。
经过研究，欧拉发现了一笔画的规律。
他认为，能一笔画的图形必须是连通图。
连通图就是指一个图形各部分总是有边相连的，这道题中的图就是连通图。
但是，不是所有的连通图都可以一笔画的。
能否一笔画是由图的奇、偶点的数目来决定的。
那么什么叫奇、偶点呢？与奇数（单数）条边相连的点叫做奇点；与偶数（双数）条边相连的点叫做偶点。
如下图中的①、④为奇点，②、③为偶点。
1．凡是由偶点组成的连通图，一定可以一笔画成。
画时可以把任一偶点为起点，最后一定能以这个点为终点画完此图。
例如下图都是偶点，画的线路可以是：①→③→⑤→⑦→②→④→⑥→⑦→①2．凡是只有两个奇点的连通图（其余都为偶点），一定可以一笔画成。
画时必须把一个奇点为起点，另一个奇点终点。
例如下图的线路是：①→②→③→①→④3．其他情况的图都不能一笔画出。
格尼斯堡七桥问题解法
格尼斯堡七桥问题解法一、问题背景格尼斯堡七桥问题，是欧拉在1735年提出的一个著名的数学难题。
该问题描述为：有一座连通的城市，其中包含七座桥，如何从任意一个地方出发，经过每座桥恰好一次，最终回到原地。
二、传统解法1.暴力搜索最简单直观的方法是暴力搜索。
遍历所有可能情况，判断是否符合条件。
但是由于状态空间巨大（7个节点有51840种排列方式），这种方法不可行。
2.欧拉回路算法欧拉回路算法是解决格尼斯堡七桥问题最常用的方法之一。
它基于欧拉定理：如果一个图中所有顶点度数均为偶数，则该图存在欧拉回路。
通过构建图模型，并计算每个节点的度数，可以判断是否存在欧拉回路。
如果存在，则可以通过遍历欧拉回路来解决问题。
但是，在实际应用中，并不是所有图都存在欧拉回路。
因此，这种方法并不能完全解决格尼斯堡七桥问题。
三、新解法1.图论与拓扑学结合将图论和拓扑学结合使用，可以更好地解决格尼斯堡七桥问题。
首先，将城市中的桥和岛屿抽象成节点，将桥连接岛屿的关系抽象成边。
然后，通过计算每个节点的度数，可以判断是否存在欧拉通路。
如果存在欧拉通路，则可以通过遍历欧拉通路来解决问题。
但是，在实际应用中，并不是所有图都存在欧拉通路。
因此，这种方法并不能完全解决格尼斯堡七桥问题。
2.基于网络流的解法基于网络流的解法是一种更高效、更准确的方法。
它基于最大流最小割定理：如果一个网络中所有源点到汇点的路径都满流，则该网络存在一组最大流，并且这组最大流等于所有源点到汇点路径上边权之和。
通过构建网络模型，并计算每个节点之间的容量和费用，可以求出从任意一个节点出发经过每座桥恰好一次回到原地所需的最小费用和路径。
具体步骤如下：（1）将城市中的桥和岛屿抽象成节点，将桥连接岛屿的关系抽象成边。
（2）对于每个节点i，设其入度为diin，出度为diout，则其容量为min(diin,diout)。
容量表示从该节点出发经过该边的最大流量。
（3）对于每条边(i,j)，其费用为1。
七桥问题
1、七桥问题伟大的数学家欧拉（L.Euler 1707-1783）在被请到俄国做研究工作期间,他的一位德国朋友,向他求教了一个令许多哥尼斯堡（德国的一个小城镇Konigsberg）人感到困惑的问题：原来在这座城中有一条河横贯市中心,河中心有两个小岛.在当时有七座桥把这两个小岛和对岸联结起来.见下面的图示：当时有人曾想办法从家里出发走过所有的桥回到家里,他们想是否能够从某座桥出发使得所走过的桥都只过一次呢？许多人都尝试过,但都没有获得成功,那么现在是否有一种办法,能把所有的桥都走过一次呢？欧拉的朋友将这个“哥尼斯堡七桥问题”告诉了欧拉,并且要他想法子解决.欧拉并没有真的去哥尼斯堡,而是把这个问题进行了数学处理：把两岸和两个小岛缩成一点,把桥化为边,两个顶点有边线联结.欧拉得到了下面的图：欧拉考虑这个图能否用一笔画成,如果能够一笔画成的话,则对应的七桥问题也就解决了.为此,欧拉先研究了一般的能一笔画出的图形应该具有什么样的性质？他发现其中的点可以分为两种,全部点都是偶点或者有两个点是奇点（进出点的边数是偶数的点称为偶点；进出点的边数是奇数的点叫奇点）.我们知道,如果一个图能够用一笔画出,那么在这个图上一定有一个点是始点（起笔点）,一个点是终点（收笔点）,其它的点为过路点.首先,我们看过路点具有的性质.在这种点一定是有进有出的,不可能有进无出或者有出无进,即这类点为偶点；其次,考虑始点与终点,并且这两个点不重合的情况,此时它们一定是奇点；再有,始点与终点重合的情况,此时它们也是属于有进有出的点,即为偶点.综上,一个图要是能够一笔画出的话,则其中的点应该有两个奇点,其余的点全部为偶点；或者其中的点都是偶数点.由于七桥问题中的点（4个）都是奇点,所以七桥问题不可能一笔画出.这就是说,一个人要想没有重复地走过7座桥是不可能的.七桥问题是Euler在1736年解决的.一般地,该结论被视为图论历史上的第一个定理.。
七桥问题小短文
七桥问题小短文
摘要：
1.七桥问题的起源和背景
2.七桥问题的解决方法
3.七桥问题的意义和影响
正文：
七桥问题起源于18 世纪初的波兰，它是一个有趣的图论问题。
这个问题描述了波兰一个城市的维斯瓦河上的七座桥，市民们想要知道是否存在一条路径，使得他们可以从某座桥走到另一座桥，同时不重复经过任何一座桥。
这个问题看似简单，实际上却引发了图论这一数学分支的诞生。
七桥问题的解决方法是通过图论中的“欧拉回路”概念。
欧拉回路是指在一个图中，经过每条边一次且回到起点的一条路径。
通过分析七桥问题，数学家欧拉发现，只有当图中所有顶点的度数都是偶数时，才存在欧拉回路。
在七桥问题中，由于每个顶点的度数都是奇数，因此不存在欧拉回路，市民们无法通过七座桥走一遍回到起点。
七桥问题的意义和影响深远。
它不仅使得图论这一数学分支得到了发展，还对现实生活中的许多问题产生了影响。
例如，在计算机网络、交通运输、电路设计等领域，图论的应用都发挥了重要作用。
同时，七桥问题也成为了图论发展史上的一个经典案例，启发了无数数学家和工程师去研究更多有趣的图论问题。
总之，七桥问题作为一个历史悠久的数学问题，它的解决方法和意义对图
论的发展产生了深远影响。
哥尼斯堡七桥问题答案
哥尼斯堡七桥问题答案问题简介哥尼斯堡七桥问题是数学史上的一个著名问题，它由瑞士数学家欧拉在18世纪提出。
问题描述如下：哥尼斯堡的一座岛屿被普雷格尔河和纳勒曼河所环绕，而岛上有七座桥连接了岛与河岸的各个区域。
欧拉的问题是能否找到一条路线，使得每座桥都只经过一次，且最终回到起点。
欧拉图的引入为了解决这一问题，欧拉引入了欧拉图的概念。
欧拉图是指一个图中存在一条路径，经过图中每条边一次且仅一次，且最终回到起点。
欧拉图的概念为解决哥尼斯堡七桥问题提供了思路。
哥尼斯堡七桥问题的解答欧拉图的性质在欧拉引入的欧拉图概念中，他提出了以下性质：1.如果一个图是欧拉图，那么它的度数为奇数的顶点个数一定是0个或2个。
2.如果一个图是欧拉图，那么它的每个顶点都是偶数度数。
欧拉图的性质为解决哥尼斯堡七桥问题提供了重要的线索。
哥尼斯堡七桥问题的解答根据欧拉图的性质，我们可以进行如下步骤来解决哥尼斯堡七桥问题：1.对于给定的一组桥和岛屿，首先统计每个岛屿的度数（与之相连的桥的数量）。
如果某个岛屿的度数为奇数，则将其记为M。
2.如果M为0，则存在一条路径，经过所有的桥且每座桥只经过一次，最终可以回到起点，问题得到解答。
3.如果M为2，则存在两条路径，经过所有的桥且每座桥只经过一次，最终可以从一条路径回到另一条路径，问题得到解答。
4.如果M大于2，则不存在满足条件的路径，问题无解。
示例以下是一个具体的示例来解答哥尼斯堡七桥问题：给定的桥和岛屿如下图所示：A---B---C/ \\ / \\ / \\D---E---F---G根据图中的连接关系，我们可以统计每个岛屿的度数： - A的度数为2 - B的度数为3 - C的度数为2 - D的度数为3 - E的度数为4 - F的度数为4 - G的度数为2从统计结果可知，B、D、E、F的度数为奇数，即M=4。
根据步骤3的解答方法，我们可以得出结论：不存在满足条件的路径，问题无解。
结论哥尼斯堡七桥问题既是数学史上的著名问题，也是欧拉图理论的起点之一。
奥林匹克数学七桥问题
B
B为奇点， A和C为偶点。
与奇数条线相连的点叫“奇点”; 与偶数条线相连的点叫“偶点”。
在连通图中，奇点的个数是0或2，这幅 图可以一笔画，否则不能一笔画。
①奇点的个数是0时，可以任一偶点为起点， 最后还回到这一点。 ②奇点的个数是2时，必须以一个奇点为起点， 另一个奇点为终点。
1.下图是国际奥委会的会标，你能一笔把它
奥林匹克数学
一笔画 你能笔尖不离纸,一笔画出下面的 每个图形吗? 试试看.（不走重复路线）
故事发生在18世纪的哥尼斯堡城.流经那里的一条 河中有两个小岛，还有七座桥把这两个小岛与河岸 联系起来那里风景优美，游人众多。
在这美丽的地方，人们议论着一个有趣的问题：
一个游人怎样才能不重复地一次走遍七座 桥，最后又回到出发点呢？
画出来吗？
2.下图是某展览厅的平面图，它由五个展室组成，任
两展室之间都有门相通，整个展览厅还有一个进口 和一个出口，问游人能否一次不重复地穿过所有的 门，并且从入口进，从出口出？
B
C
D
E A
FLeabharlann 谢谢观赏直到1836年，瑞士著名的数学家欧拉才证明了这个 问题的不可能性。 欧拉解决这个问题的方法非常巧妙.他认为： 人们关心的只是一次不重复地走遍这七座桥，而 并不关心桥的长短和岛的大小，因此，岛和岸都 可以看作一个点，而桥则可以看成是连接这些点 的一条线.这样，一个实际问题就转化为一个几何 图形（如下图）能否一笔画出的问题了. C A D
有趣的七桥问题课件
问题是要找到一条路径，这条路径可以遍历所有的桥和岛屿一次并回到 起点。
然而，数学家们经过论证发现，这样的路径是不存在的。
03
七桥问题的解法与证明
解法
01
使用穷举法
七桥问题的一个经典解法是使用穷举法，即列举出所有可能的走法，然
后逐一判断是否能够走完所有的桥且不重复。
02 03
使用图论算法
近年来，图论算法被广泛应用于解决七桥问题，其中最著名的算法是深 度优先搜索和广度优先搜索。这些算法可以高效地找到图中的哈密顿回 路，从而解决了七桥问题。
具有重要意义。
经济学
七桥问题的应用也渗透到经济学 中，例如在交通网络规划、物流 配送和城市规划等领域，通过解 决类似的问题来提高效率和减少
成本。
价值
学术价值
七桥问题具有重要的学术价值，它为图论、运筹学、计算机科学和 经济学等多个学科提供了基本的研究对象和理论依据。
实用价值
七桥问题的实用价值非常高，它的应用范围广泛，有助于提高生产 效率、降低成本、优化资源配置和提高生活质量等方面。
入思考。
03
实践性强
七桥问题具有很强的实践性， 它引导人们通过实践来解决问 题，而不是纯粹的理03
重视实践
七桥问题启示我们，理论 是重要的，但实践同样重 要。只有通过实践，才能 真正理解和掌握知识。
勇于挑战
七桥问题鼓励我们勇于挑 战传统观念和思维模式， 以发现新的知识和真理。
培养创新思维
有趣的七桥问题课件
目录
• 七桥问题的起源和背景 • 七桥问题的定义和描述 • 七桥问题的解法与证明 • 七桥问题的扩展和引申 • 七桥问题的应用和价值 • 七桥问题的有趣之处和启示
01
简述欧拉的哥尼斯城堡七桥问题及其解答。
简述欧拉的哥尼斯城堡七桥问题及其解答。
欧拉的哥尼斯城堡七桥问题是数学史上具有重要意义的问题之一，它以其简单的描述和深刻的解决方法而闻名于世。
在这篇文章中，我将从探讨欧拉的哥尼斯城堡七桥问题的背景和含义开始，逐步深入讨论其解答过程和所带来的启示，从而帮助您更全面、深刻和灵活地理解这一经典问题。
1. 哥尼斯城堡七桥问题的背景和含义哥尼斯城堡七桥问题最早出现在康托尔夫的信末提及的题，它涉及到了一座连接着市区两岸的岛屿与河岸的七座桥，问题是：是否存在一条路径，可以恰好经过每座桥一次且只一次？这个问题看似简单，实质上却涉及了数学中的图论问题，是一道离散数学的经典问题。
通过解答这个问题，我们不仅能够深入理解图论的基本概念，还能够从中感受到数学家们的奇妙思维和深刻见解。
2. 哥尼斯城堡七桥问题的解答过程让我们来看看欧拉是如何解答这一问题的。
欧拉通过巧妙的建模与抽象，将问题转化为了图论中的一个基本问题——欧拉回路的存在性问题。
他发现，只有当每个顶点的度数都是偶数时，才可能存在欧拉回路。
而对于哥尼斯城堡的七座桥来说，其中有两座桥的度数是奇数，因此不可能存在符合要求的路径。
这一广义化的解答方法，为后来图论领域的发展奠定了基础，也引发了人们对数学方法和思维方式的深刻思考。
3. 哥尼斯城堡七桥问题的启示从欧拉的解答过程中，我们不仅能够感受到他对数学方法的精妙应用，还能从中领悟到解决问题的普适性原则。
欧拉的解决方法不依赖于特定的桥的数量和位置，而是基于对整个图结构的抽象分析，这种抽象的思维方式为解决其他复杂问题提供了有益的启示。
欧拉的解答方法还向我们展示了数学家们的严谨和求真精神，这种精神对于我们解决其他领域的问题同样具有深远的影响。
4. 个人观点和理解对于欧拉的哥尼斯城堡七桥问题，我深感敬佩。
欧拉通过对具体问题的抽象分析，不仅解决了问题本身，还奠定了图论领域的基础，为后人提供了解决其他复杂问题的方法和思路。
在我看来，欧拉的解答方法不仅展现了数学的美感，更启示我们在解决其他问题时应该注重抽象思维和普适性原则，追求真理的精神。
有趣的七桥问题
在 这 个 城 市 的 中 间 ， 有 一 条 宽 宽 的 河 流 经 过 ， 这 条 河 把 整 个 城
市分成了四块陆 地。
比较好 玩的 是 这条宽宽 的 河流 中 间 有 两个小 岛 。 ，
从
小岛往两岸去
一 共有七 座桥
，
，
人们 来来 往往 非 常 方 便 （
如
图
１ ） 。
时 间 长
拉 ， 数 学 家 欧 拉 经 过 反 复 的 研 究 ， 并 且 实 地 试 验 之 后 指 出 ， 没 有 任 何 的 行 走 路 线 可 以 把 所 有 的 小 桥 都 走 一 遍 并 且 不 重 复 。 为 什 么 呢 ？ 正 当 人 们
，
不 明 白 的 时 候 ， ２８ 岁 的 欧 拉 在 第 二 年 专 □ 写 了 篇 一 论 文 《 柯 尼 斯 堡 的 七 桥 》 ， 充 分 证 明 了 符 合 条 件 的 路 线 是 不 存 在 的 。 他 是 怎 样 旺 明 的 呢 ？ 原
了 当 地 人 提 出 了 这 样 一 个 问 题 ： 如 果 把 所 有 的 桥 都 走 一 遍 ， 还 不 走 重 复 的 ，
路 线 可 以 怎 样 走 呢 ？ ，
Ｋ ｏ ｋ ｉ ｎ ｇ＾ ｂｅ ｒ ｇ ａ
一
１觀
０
行 走 路 线没 有 得 到 解 决 ， 但 却 收 到 了 更 大 的 惊 喜 。 １ ７３ ５ 年 ， 当 地 的 人 们 请 教 正 在 俄 罗 斯 学 习 的 著 名 的 瑞 士 数 学 家 莱 昂 哈 德 ？ 欧
来 ， 大 数 学 家 欧 拉 把 这 个 七 桥 景 物 画 成 了 简 单 图 形 ， 用
最 简 单 的 点 、 线 来 表 示 这 个 问 题 于 是 七 桥 问 题 就 被
世界著名数学疑难问题简介
世界著名数学疑难问题简介哥尼斯堡七桥问题18世纪在哥尼斯堡城(今俄罗斯加里宁格勒)的普莱格尔河上有7座桥，将河中的两个岛和河岸连结，如图1所示。
城中的居民经常沿河过桥散步，于是提出了一个问题：能否一次走遍7座桥，而每座桥只许通过一次，最后仍回到起始地点。
这就是七桥问题，一个著名的图论问题。
图 1这个问题看起来似乎不难，但人们始终没有能找到答案，最后问题提到了大数学家欧拉那里。
欧拉以深邃的洞察力很快证明了这样的走法不存在。
欧拉是这样解决问题的：既然陆地是桥梁的连接地点，不妨把图中被河隔开的陆地看成A、B、C、D4个点，7座桥表示成7条连接这4个点的线，如图2所示。
图 2于是“七桥问题”就等价于图3中所画图形的一笔画问题了。
欧拉注意到，每个点如果有进去的边就必须有出来的边，从而每个点连接的边数必须有偶数个才能完成一笔画。
图3的每个点都连接着奇数条边，因此不可能一笔画出，这就说明不存在一次走遍7座桥，而每座桥只许通过一次的走法。
欧拉对“七桥问题”的研究是图论研究的开始，同时也为拓扑学的研究提供了一个初等的例子。
(更多的了解，请参看《力学园地》2010-4期的“释疑解惑”的介绍。
)哥德巴赫猜想1742年德国人哥德巴赫给当时住在俄国彼得堡的大数学家欧拉写了一封信，在信中提出两个问题：第一，是否每个大于4的偶数都能表示为两个奇质数之和？如6=3+3，14=3+11等。
第二，是否每个大于7的奇数都能表示3个奇质数之和？如9=3+3+3，15=3+5+7等。
这就是著名的哥德巴赫猜想。
它是数论中的一个著名问题，常被称为数学皇冠上的明珠。
实际上第一个问题的正确解法可以推出第二个问题的正确解法，因为每个大于7的奇数显然可以表示为一个大于4的偶数与3的和。
1937年，苏联数学家维诺格拉多夫利用他独创的“三角和”方法证明了每个充分大的奇数可以表示为3个奇质数之和，基本上解决了第二个问题。
但是第一个问题至今仍未解决。
由于问题实在太困难了，数学家们开始研究较弱的命题：每个充分大的偶数可以表示为质因数个数分别为m、n的两个自然数之和，简记为“m+n”。
哥尼斯堡七桥问题
七桥问题的起源
18世纪初，哥尼斯堡的居民开 始对城市中的七座桥梁产生了 浓厚的兴趣。
当时，人们开始思考是否能够 遍历这七座桥梁，每座桥只过 一次，最后回到起始点。
这个问题引起了广泛的关注和 讨论，成为了著名的哥尼斯堡 七桥问题。
02
问题描述
七座桥与哥尼斯堡城市的关系
哥尼斯堡是位于普鲁士王国的一个城市，拥有七座桥梁连接 城市的各个部分。这些桥梁是该城市的重要交通枢纽，也是 文化和历史遗产。
05
结论
哥尼斯堡七桥问题的历史地位和意义
1 2
开启图论研究先河
哥尼斯堡七桥问题被视为图论和欧拉路径研究的 起点，为后续图论学科的发展奠定了基础。
推动数学发展
该问题的解决推动了数学领域中拓扑学和几何学 的发展，对数学理论产生了深远的影响。
3
Hale Waihona Puke 激发探索精神哥尼斯堡七桥问题激发了人们对数学和图论的兴 趣，促使更多人投身于数学研究，推动数学科学 的进步。
物等，以推动数学和其他学科的共同发展。
THANKS
感谢观看
03
欧拉的研究
欧拉对七桥问题的初步探索
欧拉对七桥问题的初步探索始于对哥尼斯堡城市结构的观察。他注意到城市中的七座桥，并 思考是否可以从哥尼斯堡的一个地方开始，遍历所有的桥，每座桥只过一次，最后回到开始 的地方。
欧拉注意到，尽管哥尼斯堡的居民可能认为这是一个有趣的问题，但并没有实际的数学模型 或理论来支持或解决这个问题。
哥尼斯堡七桥问
• 引言 • 问题描述 • 欧拉的研究 • 七桥问题的扩展和影响 • 结论
01
引言
哥尼斯堡背景介绍
01
哥尼斯堡是普鲁士王国的城市， 位于普鲁士东部的奥得河畔，是 重要的交通枢纽和商业中心。
七桥问题 数学故事
七桥问题数学故事
七桥问题是一道经典的数学问题，它起源于18世纪的欧洲。
这个问题的背景是在俄罗斯的柯尼斯堡（今属于俄罗斯加里宁格勒）城市，有一座城市由普列戈尔河流经，河中有一些小岛，通过七座桥连接在一起。
问题是，是否可能通过这七座桥，只经过一次，并走遍每个桥头的情况下，从一个岛屿开始，最终回到原点？
这个问题最初由瑞士的数学家欧拉在1736年解决，他利用图论的概念和数学思想给出了答案。
欧拉对该问题进行了抽象化处理，将桥及其连接关系转化为数学图，将岛屿和桥变成了数学中的节点和边。
通过分析节点的度数（与节点相连的边的数目），他得出了结论：如果一个节点的度数是奇数，那么无论如何也无法只经过一次，走遍每个边。
而柯尼斯堡的七桥问题中，恰好有4个岛屿的度数是奇数，这意味着无法通过一次行走，穿越每座桥只一次。
欧拉所提出的解决方法和创立的图论理论对数学和科学的发展有着重要影响。
七桥问题也因此成为图论的奠基之作，为日后图论及其应用的研究打下了基础。
这个经典的数学故事告诉我们，数学问题并非仅仅存在于纸上和教科书中，它们有时会引发对现实世界的深入思考和解决方案的探索。
数学的力量和思维方法能够帮助我们理解和解决复杂的问题，推动科学的进步和技术的发展。
哥尼斯堡七桥问题
一、哥尼斯堡七桥问题18世纪在哥尼斯堡城(今俄罗斯加里宁格勒)的普莱格尔河上有7座桥，将河中的两个岛和河岸连结，如图1所示。
城中的居民经常沿河过桥散步，于是提出了一个问题：能否一次走遍7座桥，而每座桥只许通过一次，最后仍回到起始地点。
这就是七桥问题，一个著名的图论问题。
图1这个问题看起来似乎不难，但人们始终没有能找到答案，最后问题提到了大数学家欧拉那里。
欧拉以深邃的洞察力很快证明了这样的走法不存在。
欧拉是这样解决问题的：既然陆地是桥梁的连接地点，不妨把图中被河隔开的陆地看成A、B、C、D4个点，7座桥表示成7条连接这4个点的线，如图2所示。
图2 图3于是“七桥问题”就等价于图3中所画图形的一笔画问题了。
欧拉注意到，每个点如果有进去的边就必须有出来的边，从而每个点连接的边数必须有偶数个才能完成一笔画。
图3的每个点都连接着奇数条边，因此不可能一笔画出，这就说明不存在一次走遍7座桥，而每座桥只许通过一次的走法。
欧拉对“七桥问题”的研究是图论研究的开始，同时也为拓扑学的研究提供了一个初等的例子.二、四色猜想近代三大数学难题之一。
四色猜想的提出来自英国。
1852年，毕业于伦敦大学的弗南西斯.格思里来到一家科研单位搞地图着色工作时，发现了一种有趣的现象：“看来，每幅地图都可以用四种颜色着色，使得有共同边界的国家着上不同的颜色。
”这个结论能不能从数学上加以严格证明呢？他和在大学读书的弟弟格里斯决心试一试。
兄弟二人为证明这一问题而使用的稿纸已经堆了一大叠，可是研究工作没有进展。
1852年10月23日，他的弟弟就这个问题的证明请教他的老师、著名数学家德.摩尔根，摩尔根也没有能找到解决这个问题的途径，于是写信向自己的好友、著名数学家哈密尔顿爵士请教。
哈密尔顿接到摩尔根的信后，对四色问题进行论证。
但直到1865年哈密尔顿逝世为止，问题也没有能够解决。
1872年，英国当时最著名的数学家凯利正式向伦敦数学学会提出了这个问题，于是四色猜想成了世界数学界关注的问题。
趣味数学七桥问题共39页
1、纪律是管理关系的形式。——阿法 纳西耶 夫 2、改革如果不讲纪律，就难以成功。
3、道德行为训练，不是通过语言影响 ，而是 让儿童 练习良 好道德 行为， 克服懒 惰、轻 率、不 守纪律 、颓废 等不良 行为。 4、学校没有纪律便如磨房里没有水。 ——夸 美纽斯
5、教导儿童服从真理、服从集体，养 成儿童 自觉的 纪律性 ，这是 儿童道 德教育 最重要 的部分 。—— 陈鹤琴
▪29、勇猛、大胆和坚定的来自心能够抵得上武器的精良。——达·芬奇
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30、意志是一个强壮的盲人，倚靠在明眼的跛子肩上。——叔本华
谢谢！
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26、要使整个人生都过得舒适、愉快，这是不可能的，因为人类必须具备一种能应付逆境的态度。——卢梭
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27、只有把抱怨环境的心情，化为上进的力量，才是成功的保证。——罗曼·罗兰
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28、知之者不如好之者，好之者不如乐之者。——孔子
七桥问题解法
七桥问题解法七桥问题解法概述七桥问题是欧拉在1735年提出的一个著名的数学问题，它是图论的开山之作。
问题描述如下：柯尼斯堡城中有一些小岛和七座桥，游客想要走遍所有的桥，但是每座桥只能经过一次。
问是否存在这样的路径？欧拉在解决这个问题时，创造性地引入了图论的概念，并通过对图的分析和转化得出了结论：不存在这样的路径。
这个结论为图论奠定了基础，并成为了数学史上的里程碑。
本文将介绍欧拉提出的解决方法以及其他相关解法。
欧拉方法欧拉方法是通过将问题转化为图论中的欧拉回路来解决七桥问题。
具体步骤如下：1. 将城市和桥看作节点和边，构建无向图。
2. 判断该无向图是否连通。
如果不连通，则不存在一条路径可以经过所有桥；如果连通，则继续下一步。
3. 统计每个节点的度数（即相邻边数），如果存在奇数度节点，则不存在欧拉回路；如果所有节点度数均为偶数，则存在欧拉回路。
4. 如果存在欧拉回路，则可以通过欧拉回路经过所有桥，否则不存在这样的路径。
其他解法1. 哈密顿回路法：哈密顿回路是指一条经过每个节点恰好一次的路径。
如果七桥问题中存在哈密顿回路，则可以通过该路径经过所有桥。
但是，判断一个图是否存在哈密顿回路是一个NP完全问题，难以在多项式时间内解决。
2. 矩阵论法：可以将无向图表示为邻接矩阵，通过对矩阵进行运算得出结论。
但是，该方法复杂度较高，不适合大规模的图。
3. 拓扑排序法：将节点按照拓扑序列排序后，如果相邻节点之间都存在边，则存在欧拉回路。
但是，该方法只适用于有向无环图。
总结七桥问题是图论的开山之作，在解决这个问题时欧拉引入了欧拉回路的概念，并通过对图的分析和转化得出了结论。
除了欧拉方法外，还有其他解法如哈密顿回路法、矩阵论法和拓扑排序法等。
不同的解法适用于不同类型的图，选择合适的方法可以提高求解效率。
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数学经典问题·七桥问题
当Euler在1736年访问Konigsberg, Prussia(now Kaliningrad Russia)时，他发现当地的市民正从事一项非常有趣的消遣活动。
Konigsberg城中有一条名叫Pregel的河流横经其中，在河上建有七座桥。
这项有趣的消遣活动是在星期六作一次走过所有七座桥的散步，每座桥只能经过一次而且起点与终点必须是同一地点。
Euler把每一块陆地考虑成一个点，连接两块陆地的桥以线表示，後来推论出此种走法是不可能的。
他的论点是这样的，除了起点以外，每一次当一个人由一座桥进入一块陆地（或点）时，他（或她）同时也由另一座桥离开此点。
所以每行经一点时，计算两座桥（或线），从起点离开的线与最後回到始点的线亦计算两座桥，因此每一个陆地与其他陆地连接的桥数必为偶数。
七桥所成之图形中，没有一点含有偶数条数，因此上述的任务是不可能实现的。