5.2菱形(2)
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C
B
例2、求证：有一条对角线平分一个内角的平
行四边形是菱形
已知：四边形ABCD是平行四边形，对角线AC平分∠DAB
求证：四边形ABCD是菱形 证明： ∵ 四边形ABCD是平行四边形
倍 速 课 时 学 练 D A 1 2 B
∴ AB∥CD （平行四边形的定义）
∴ ∠2=∠ACD（两直线平行，内错角相等） ∵ AC平分∠DAB ∴ ∠1=∠2 ∴ ∠1=∠ACD ∴ AD=AC （在一个三角形中，等角对等边）
矩形集合
的长分别为6cm和8cm，求证：这个平行四
边形为菱形。
倍 速 课 时 学 练
例1、如图，在 矩形ABCD中，对角线AC垂直平分与AD BC分别交于E，F 。 求证：四边形AFCE是菱形
E 证明:∵四边形ABCD是矩形, A ∴AE//FC(矩形的定义) ∴∠EAC=∠ACF O 又∵∠AOE=∠COF,AO=CO, B ∴△AOE≌△COF, F ∴EO=FO. ∴四边形是AFCE平行四边形 (对角线相互平分的四边形是平行四边形). ∵EF⊥AC ∴四边形AFCE是菱形 (对角线互相垂直的平行四边形是菱形). D
对角线互相垂 直的平行四边 形是菱形
一组邻边相等 的平行四边形 是菱形
D
B
A
B
C
D ∵□ABCD AB=AD ∴四边形ABCD是菱形
判定法 三
C
DE,EF是△ABC的两条中位线,我们探究的问题是:这
两条中位线和三角形的两条边所围成的四边形的形状 与原三角形的形状有什么关系.建议按下列步骤探索: (1)围成的四边形是否必定是平行四边形?
四边形
菱形
倍 速 课 时 学 练
平行四边形Fra Baidu bibliotek
练一练
D 4cm o 6cm B )
1、画一个菱形，使它的两条对角线的长分别为4cm和6cm
A C
2、辨一辨
倍 速 课 时 学 练
（1）两条对角线互相垂直的四边形是菱形. ( 错
D A O
（2）两条对角线互相垂直平分的四边形是菱形. ( 对
C
B
练一练:
3、一边长为5cm平行四边形的两条对角线
倍 速 课 时 学 练
做一做
1、如图，两张等宽的纸条交重叠在一起，重叠的部 分ABCD是菱形吗？为什么？
A
倍 速 课 时 学 练 B C
D
练一练:
3、如图，在等边三角形ABC中，D，E，F分别是 果有，请你把它们找出来。
各边的中点。连结DE、EF、FD图中有菱形吗？如
A
倍 速 课 时 学 练
D
E F
A
(2)在什么条件下,围成的四边形是菱形?
倍 速 课 时 学 练
D F
(3)在什么条件下,围成的四边形 是矩形?
(4)你还能发现其他什么结论吗?
B E
C
做一做
5、在直角坐标系中,点A,B,C,D的坐标依次为(-1,0),
(x,y),(-1,5),(-7,z).求x,y, z的值，使四边形ABCD 为菱形?
C
倍 速 课 时 学 练
做一做
3、将菱形ABCD沿AC方向平移至A1B1C1D1, A1D1交CD于
点E, A1B1交BC于点F. 判断四边形A1FCE是不是菱形,
并说明理由.
D E A D1
倍 速 课 时 学 练
A1 F B
C
C1
B1
练一练:
4、已知如图，在四边形ABCD中，E，F，G，H 依次是AB、BC、CD、DA的中点，请添一个 条件，使四边形DFGH为菱形。 矩形
解：添加的条件是：
倍 速 课 时 学 练
D
G
C
理由是：
H F
A
E
B
全课小结——菱形的判定
文字语言 判定法 四边相等的四边 一 形是菱形 图形语言
A B A O C D
符号语言
∵AB=BC=CD=DA
∴四边形ABCD是菱形 ∵□ABCD AC⊥BD ∴四边形ABCD是菱形
判定 法二 倍 速 课 时 学 练
取一张长方形纸片,按下图的方法对折两次,并沿图
(3)中的斜线剪开,把剪下的1这部分展开,平铺在桌面上
1
倍 速 课 时 学 练 (1)
(2)
(3)
议一议:(1)剪出的这个图形是哪一种四边形?一定 是菱形吗? (2)根据折叠, 剪裁的过程,这个四边形的边和对角
线分别具有什么性质 ? (3) 一个平行四边形具备怎样的条件 ,就可以判定它是菱
D B 四边形ABCD C
A
D
AB=BC=CD=DA B C
菱形ABCD
∴四边形ABCD是菱形
∵AB=BC=CD=DA
倍 速 课 时 学 练
对角线互相垂直的平行四边形是菱形
A
B C D
A
AC⊥BD B C
D
□ABCD ∵□ABCD，AC⊥BD
菱形ABCD ∴ □ABCD是菱形
菱形的判定方法：
四条边相等
D A O B
C
定理1.四条边相等的四边形是菱形.
已知:在平行四边形ABCD中,BD⊥AC,O为垂足. 求证:平行四边形ABCD是菱形. 倍 证明：∵四边形ABCD是平行四边形
速 课 时 学 练
∴AO=OC
∵BD⊥AC
∴AD=CD ∴平行四边形ABCD是菱形
菱形的判定：
四条边都相等的四边形是菱形 . A
∴ 四边形ABCD是菱形 （邻边相等的平行四边形是菱形
做一做
2、如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分 AE与BF相交于点O。
求证：四边形ABEF是菱形
倍 速 课 时 学 练
线与BC交于点E，∠ABC的平分线与AD交于点F，
A 3 4
B
F
1 2
D
E
C
四边形集合 平行四边形集合 菱形集合
倍 速 课 时 学 练
B
例2、求证：有一条对角线平分一个内角的平
行四边形是菱形
已知：四边形ABCD是平行四边形，对角线AC平分∠DAB
求证：四边形ABCD是菱形 证明： ∵ 四边形ABCD是平行四边形
倍 速 课 时 学 练 D A 1 2 B
∴ AB∥CD （平行四边形的定义）
∴ ∠2=∠ACD（两直线平行，内错角相等） ∵ AC平分∠DAB ∴ ∠1=∠2 ∴ ∠1=∠ACD ∴ AD=AC （在一个三角形中，等角对等边）
矩形集合
的长分别为6cm和8cm，求证：这个平行四
边形为菱形。
倍 速 课 时 学 练
例1、如图，在 矩形ABCD中，对角线AC垂直平分与AD BC分别交于E，F 。 求证：四边形AFCE是菱形
E 证明:∵四边形ABCD是矩形, A ∴AE//FC(矩形的定义) ∴∠EAC=∠ACF O 又∵∠AOE=∠COF,AO=CO, B ∴△AOE≌△COF, F ∴EO=FO. ∴四边形是AFCE平行四边形 (对角线相互平分的四边形是平行四边形). ∵EF⊥AC ∴四边形AFCE是菱形 (对角线互相垂直的平行四边形是菱形). D
对角线互相垂 直的平行四边 形是菱形
一组邻边相等 的平行四边形 是菱形
D
B
A
B
C
D ∵□ABCD AB=AD ∴四边形ABCD是菱形
判定法 三
C
DE,EF是△ABC的两条中位线,我们探究的问题是:这
两条中位线和三角形的两条边所围成的四边形的形状 与原三角形的形状有什么关系.建议按下列步骤探索: (1)围成的四边形是否必定是平行四边形?
四边形
菱形
倍 速 课 时 学 练
平行四边形Fra Baidu bibliotek
练一练
D 4cm o 6cm B )
1、画一个菱形，使它的两条对角线的长分别为4cm和6cm
A C
2、辨一辨
倍 速 课 时 学 练
（1）两条对角线互相垂直的四边形是菱形. ( 错
D A O
（2）两条对角线互相垂直平分的四边形是菱形. ( 对
C
B
练一练:
3、一边长为5cm平行四边形的两条对角线
倍 速 课 时 学 练
做一做
1、如图，两张等宽的纸条交重叠在一起，重叠的部 分ABCD是菱形吗？为什么？
A
倍 速 课 时 学 练 B C
D
练一练:
3、如图，在等边三角形ABC中，D，E，F分别是 果有，请你把它们找出来。
各边的中点。连结DE、EF、FD图中有菱形吗？如
A
倍 速 课 时 学 练
D
E F
A
(2)在什么条件下,围成的四边形是菱形?
倍 速 课 时 学 练
D F
(3)在什么条件下,围成的四边形 是矩形?
(4)你还能发现其他什么结论吗?
B E
C
做一做
5、在直角坐标系中,点A,B,C,D的坐标依次为(-1,0),
(x,y),(-1,5),(-7,z).求x,y, z的值，使四边形ABCD 为菱形?
C
倍 速 课 时 学 练
做一做
3、将菱形ABCD沿AC方向平移至A1B1C1D1, A1D1交CD于
点E, A1B1交BC于点F. 判断四边形A1FCE是不是菱形,
并说明理由.
D E A D1
倍 速 课 时 学 练
A1 F B
C
C1
B1
练一练:
4、已知如图，在四边形ABCD中，E，F，G，H 依次是AB、BC、CD、DA的中点，请添一个 条件，使四边形DFGH为菱形。 矩形
解：添加的条件是：
倍 速 课 时 学 练
D
G
C
理由是：
H F
A
E
B
全课小结——菱形的判定
文字语言 判定法 四边相等的四边 一 形是菱形 图形语言
A B A O C D
符号语言
∵AB=BC=CD=DA
∴四边形ABCD是菱形 ∵□ABCD AC⊥BD ∴四边形ABCD是菱形
判定 法二 倍 速 课 时 学 练
取一张长方形纸片,按下图的方法对折两次,并沿图
(3)中的斜线剪开,把剪下的1这部分展开,平铺在桌面上
1
倍 速 课 时 学 练 (1)
(2)
(3)
议一议:(1)剪出的这个图形是哪一种四边形?一定 是菱形吗? (2)根据折叠, 剪裁的过程,这个四边形的边和对角
线分别具有什么性质 ? (3) 一个平行四边形具备怎样的条件 ,就可以判定它是菱
D B 四边形ABCD C
A
D
AB=BC=CD=DA B C
菱形ABCD
∴四边形ABCD是菱形
∵AB=BC=CD=DA
倍 速 课 时 学 练
对角线互相垂直的平行四边形是菱形
A
B C D
A
AC⊥BD B C
D
□ABCD ∵□ABCD，AC⊥BD
菱形ABCD ∴ □ABCD是菱形
菱形的判定方法：
四条边相等
D A O B
C
定理1.四条边相等的四边形是菱形.
已知:在平行四边形ABCD中,BD⊥AC,O为垂足. 求证:平行四边形ABCD是菱形. 倍 证明：∵四边形ABCD是平行四边形
速 课 时 学 练
∴AO=OC
∵BD⊥AC
∴AD=CD ∴平行四边形ABCD是菱形
菱形的判定：
四条边都相等的四边形是菱形 . A
∴ 四边形ABCD是菱形 （邻边相等的平行四边形是菱形
做一做
2、如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分 AE与BF相交于点O。
求证：四边形ABEF是菱形
倍 速 课 时 学 练
线与BC交于点E，∠ABC的平分线与AD交于点F，
A 3 4
B
F
1 2
D
E
C
四边形集合 平行四边形集合 菱形集合
倍 速 课 时 学 练