【精品教案】：第二章 2.5~18《“点差法”在解析几何题中的应用》(人教A版选修2-1)

课题：“点差法”在解析几何题中的应用
课时：18 课型：复习课 复习引入：
在处理直线与圆锥曲线相交形成的弦中点的有关问题时，我们经常用到如下解法：设弦的两个端点坐标分别为()()1122,,x y x y 、，代入圆锥曲线得两方程后相减，得到弦中点坐标与弦所在直线斜率的关系，然后加以求解，这即为“点差法”，此法有着不可忽视的作用，其特点是巧代斜率.本文列举数例，以供参考. 1
求弦中点的轨迹方程
例1 已知椭圆2
212
x y +=，求斜率为的平行弦中点的轨迹方程.
解 设弦的两个端点分别为()()1122,,,P x y Q x y ，PQ 的中点为(),M x y .
则221112x y +=，（1）222212x y +=，
（2） ()()12-得：
()22
22121202
x x y y -+-=， ()1212
1212
02x x y y y y x x +-∴
++=-. 又12
121212
2,2,
2y y x x x y y y x x -+=+==-，40x y ∴+=.
弦中点轨迹在已知椭圆内，所求弦中点的轨迹方程为40x y +=（在已知椭圆内）.
例2 直线():50l ax y a --+=（是参数）与抛物线()2
:1f y x =+的相交弦是AB ，则弦AB 的中
点轨迹方程是 .
解 设()()1122,,A x y B x y 、，AB 中点(),M x y ，则122x x x +=.
()():150l a x y --+=，l ∴过定点()1,5N -，5
1
AB MN y k k x +∴==
-. 又()2
111y x =+，（1）()2
221y x =+，（2）
()()12-得：()()()()2212121212112y y x x x x x x -=+-+=-++，
12
1212
2AB y y k x x x x -∴=
=++-.
于是
5
221
y x x +=+-，即227y x =-. 弦中点轨迹在已知抛物线内，所求弦中点的轨迹方程为227y x =-（在已知抛物线内）. 2
求曲线方程
例3 已知ABC ∆的三个顶点都在抛物线2
32y x =上，其中()2,8A ，且ABC ∆的重心G 是抛物线的
焦点，求直线BC 的方程.
解 由已知抛物线方程得()8,0G .设BC 的中点为()00,M x y ，则A G M 、、三点共线，且
2AG GM =，G ∴分AM 所成比为，于是0
022812
82012
x y +⎧=⎪⎪+⎨
+⎪=⎪⎩+， 解得00
11
4x y =⎧⎨=-⎩，()11,4M ∴-.
设()()1122,,,B x y C x y ，则128y y +=-. 又21132y x =，（1）22232y x =，（2）
()()12-得：()22121232y y x x -=-，1212123232
48
BC
y y k x x y y -∴=
===--+-.
BC ∴所在直线方程为()4411y x +=--，即4400x y +-=.
例4 已知椭圆()222210x y a b a b
+=>>的一条准线方程是1x =，有一条倾斜角为4π
的直线交椭圆于
A B 、两点，若AB 的中点为11,24C ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
，求椭圆方程.
解 设()()1122,,A x y B x y 、，则12121
1,2x x y y +=-+=，且2211221x y a b +=，（1）2222221x y a b
+=，
（2）
()()
12-得：2222
12122
2
x x y y a b --=-，()()2212122212121
1
2
b x x y y b x x a y y a +--∴=-=-⋅
-+，21221221AB
y y b k x x a
-∴===-，222a b ∴=，（3）又21a c =，2a c ∴=，（4）
而
222a b c =+，
（5）由（3），（4），（5）可得2211
,24
a b ==， 所求椭圆方程为22
11124
x y +=.
3
求直线的斜率
例5 已知椭圆221259x y +=上不同的三点()()11229,,4,,,5A x y B C x y ⎛⎫
⎪⎝⎭
与焦点()4,0F 的距离成等
差数列.（1）求证：128x x +=；（2）若线段AC 的垂直平分线与轴的交点为，求直线BT 的斜率k .
（1）证 略. （2）解
128x x +=，设线段AC 的中点为()04,D y .
又A C 、在椭圆上， 22111259x y +=，（1）22
221259x y +=，
（2） ()()12-得：
2222
1212259
x x y y --=-， ()()1212121200
998362525225x x y y x x y y y y +-∴
=-=-⋅=--+.
直线DT 的斜率02536DT y k =
，直线DT 的方程为()0025436y y y x -=-.令0y =，得64
25
x =，即64,025T ⎛⎫ ⎪⎝⎭，直线BT 的斜率9
55644425
k -=
=-. 4
确定参数的范围
例6 若抛物线2
:C y x =上存在不同的两点关于直线():3l y m x =-对称，求实数的取值范围.
解 当0m =时，显然满足.
当0m ≠时，设抛物线C 上关于直线():3l y m x =-对称的两点分别为()()1122,,P x y Q x y 、，且PQ 的中点为()00,M x y ，则211y x =，
（1）222y x =，（2）()()12-得：221212y y x x -=-，1212120
11
2PQ y y k x x y y y -∴=
==-+，
又1PQ k m =-
，02
m
y ∴=-.
中点()00,M x y 在直线():3l y m x =-上，()003y m x ∴=-，于是05
2
x =
.中点M 在抛物线2y x =区域内
2
00y x ∴<，即2
522m ⎛⎫
-< ⎪⎝⎭
，解得m <<
综上可知，所求实数的取值范围是(. 5
证明定值问题
例7 已知AB 是椭圆()22
2210x y a b a b
+=>>不垂直于轴的任意一条弦，是AB 的中点，O 为椭圆的
中心.求证：直线AB 和直线OP 的斜率之积是定值.
证明
设()()1122,,,A x y B x y 且12x x ≠，
则2211221x y a b +=，（1）22
22221x y a b +=，（2） ()()12-得：2222
121222x x y y a b
--=-，
()()2121221212b x x y y x x a y y +-∴=--+，()()
21212
21212AB b x x y y k x x a y y +-∴==--+. 又1212OP
y y k x x +=+，221AB OP b k k a ∴=-⋅，2
2AB OP b k k a
∴⋅=-（定值）. 6 处理存在性问题
例8
已知双曲线22
112
x y -
=，过()1,1B 能否作直线l ，使l 与双曲线交于，Q 两点，
且是线段PQ 的中点，这样的直线如果存在，求出它的方程；如果不存在，说明理由.
解 假设这样的直线存在，设,P Q 的坐标分别为()()1122,,,x y x y ，则122x x +=，122y y +=，又
2211112x y -
=，
（1）22221
12
x y -=，（2） ()()12-得：()()()()121212121
02
x x x x y y y y +--+-=，
()()121220x x y y ---=
PQ ∴的斜率 12
12
2y y k x x -=
=-
又直线l 过,,P Q B 三点，l ∴的方程为 ()121y x -=-，即21y x =-.
但若将21y x =-代入22
112
x y -
=整理得方程22430x x -+=，而此方程无实数解，所以满足题设的直线不存在.。