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2016届高考数学一轮复习教学案(基础知识+高频考点+解题训练)数系的扩充与复数的引入(含解析)要点

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2016届高考数学一轮复习教学案(基础知识+高频考点+解题训练)导数的应用(二)(含解析)

2016届高考数学一轮复习教学案(基础知识+高频考点+解题训练)导数的应用(二)(含解析)

2016届高考数学一轮复习教学案导数的应用(二)典题导入[例1] 已知函数f (x )＝x 2ln x －a (x 2－1)，a ∈R.(1)当a ＝－1时，求曲线f (x )在点(1，f (1))处的切线方程； (2)若当x ≥1时，f (x )≥0成立，求a 的取值范围． [自主解答] (1)当a ＝－1时，f (x )＝x 2ln x ＋x 2－1，f ′(x )＝2x ln x ＋3x .则曲线f (x )在点(1，f (1))处的切线的斜率为f ′(1)＝3，又f (1)＝0，所以切线方程为3x －y －3＝0.(2)f ′(x )＝2x ln x ＋(1－2a )x ＝x (2ln x ＋1－2a )，其中x ≥1.当a ≤12时，因为x ≥1，所以f ′(x )≥0，所以函数f (x )在[1，＋∞)上单调递增，故f (x )≥f (1)＝0.当a >12时，令f ′(x )＝0，得x ＝e a －12.若x ∈[1，e a －12)，则f ′(x )<0，所以函数f (x )在[1，e a －12)上单调递减．所以当x ∈[1，e a －12)时，f (x )≤f (1)＝0，不符合题意．综上a 的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤－∞，12.利用导数解决参数问题主要涉及以下方面：(1)已知不等式在某一区间上恒成立，求参数的取值范围：一般先分离参数，再转化为求函数在给定区间上的最值问题求解．(2)已知函数的单调性求参数的取值范围：转化为f ′(x )≥0(或f ′(x )≤0)恒成立的问题． (3)已知函数的零点个数求参数的取值范围：利用函数的单调性、极值画出函数的大致图象，数形结合求解．以题试法1．设函数f (x )＝12x 2＋e x －x e x .(1)求f (x )的单调区间；(2)若当x ∈[－2,2]时，不等式f (x )>m 恒成立，求实数m 的取值范围． 解：(1)函数f (x )的定义域为(－∞，＋∞)， ∵f ′(x )＝x ＋e x －(e x ＋x e x )＝x (1－e x )， 若x ＝0，则f ′(x )＝0；若x <0，则1－e x >0，所以f ′(x )<0； 若x >0，则1－e x <0，所以f ′(x )<0. ∴f (x )在(－∞，＋∞)上为减函数， 即f (x )的单调减区间为(－∞，＋∞)． (2)由(1)知，f (x )在[－2,2]上单调递减． 故[f (x )]min ＝f (2)＝2－e 2，∴m <2－e 2时，不等式f (x )>m 恒成立． 故m 的取值范围为(－∞，2－e 2)．[例2] 已知f (x )＝ax －ln x ，x ∈(0，e]，g (x )＝ln xx，其中e 是自然常数，a ∈R.(1)讨论a ＝1时，函数f (x )的单调性和极值； (2)求证：在(1)的条件下，f (x )>g (x )＋12.[自主解答] (1)∵f (x )＝x －ln x ， f ′(x )＝1－1x ＝x －1x，∴当0<x <1时，f ′(x )<0，此时f (x )单调递减； 当1<x <e 时，f ′(x ) >0，此时f (x )单调递增． ∴f (x )的极小值为f (1)＝1.(2)证明：由(1)知[f (x )]min ＝1.又g ′(x )＝1－ln x x2， ∴当0<x <e 时，g ′(x )>0，g (x )在(0，e]上单调递增． ∴[g (x )]max ＝g (e)＝1e <12.∴[f (x )]min －[g (x )]max >12.∴在(1)的条件下，f (x )>g (x )＋12.在本例条件下，是否存在正实数a ，使f (x )的最小值是3？若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由．解：假设存在正实数a ，使f (x )＝ax －ln x (x ∈(0，e])有最小值3.因为f ′(x )＝a －1x＝ax －1x，当0<1a<e 时，f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0，1a 上单调递减，在⎝ ⎛⎦⎥⎤1a，e 上单调递增，所以[f (x )]min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝1＋ln a ＝3，a ＝e 2，满足条件；当1a≥e 时，f (x )在(0，e]上单调递减，[f (x )]min ＝f (e)＝a e －1＝3，a ＝4e(舍去)，所以，此时a 不存在．综上，存在实数a ＝e 2，使得当x ∈(0，e]时f (x )有最小值3.由题悟法利用导数方法证明不等式f (x )>g (x )在区间D 上恒成立的基本方法是构造函数h (x )＝f (x )－g (x )，然后根据函数的单调性，确定函数的最值证明h (x )>0.以题试法2．已知f (x )＝x ln x . (1)求g (x )＝f x ＋kx(k ∈R)的单调区间；(2)证明：当x ≥1时，2x －e≤f (x )恒成立． 解：(1)g (x )＝ln x ＋k x，∴令g ′(x )＝x －k x 2＝0得x ＝k .∵x >0，∴当k ≤0时，g ′(x )>0.∴函数g (x )的增区间为(0，＋∞)，无减区间； 当k >0时g ′(x )>0得x >k ；g ′(x )<0得0<x <k ， ∴增区间为(k ，＋∞)，减区间为(0，k )． (2)证明：设h (x )＝x ln x －2x ＋e(x ≥1)，令h ′(x )＝ln x －1＝0得x ＝e ，h (x )，h ′(x )的变化情况如下：故h (x )≥0.即f (x )≥2x －e.典题导入[例3] 某物流公司购买了一块长AM ＝30米，宽AN ＝20米的矩形地块AMPN ，规划建设占地如图中矩形ABCD 的仓库，其余地方为道路和停车场，要求顶点C 在地块对角线MN 上，顶点B 、D 分别在边AM 、AN 上，假设AB 的长度为x 米．(1)要使仓库的占地面积不少于144平方米，求x 的取值范围；(2)要规划建设的仓库是高度与AB 的长度相同的长方体建筑，问AB 的长度为多少时仓库的库容量最大．(墙地及楼板所占空间忽略不计)[自主解答] (1)依题意得△NDC 与△NAM 相似，所以DC AM ＝ND NA ，即x30＝20－AD 20，故AD ＝20－23x ，矩形ABCD 的面积为20x －23x 2(0<x <30)．要使仓库的占地面积不少于144平方米，则20x －23x 2≥144，化简得x 2－30x ＋216≤0， 解得12≤x ≤18.(2)由(1)知仓库的体积V ＝20x 2－23x 3(0<x <30)，令V ′＝40x －2x 2＝0，得x ＝0或x ＝20.当0<x <20时，V ′>0，当20<x <30时，V ′<0，所以当x ＝20时V 取最大值，且最大值为8 0003，即AB 的长度为20米时仓库的库存容量最大．由题悟法利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤(1)分析实际问题中各个量之间的关系，建立数学模型，写出函数关系式y ＝f (x )； (2)求出函数的导函数f ′(x )，解方程f ′(x )＝0；(3)比较函数在区间端点和使f ′(x )＝0的点处的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值．以题试法3．某城市在发展过程中，交通状况逐渐受到有关部门的关注，据有关统计数据显示，从上午6点到中午12点，车辆通过该市某一路段的用时y (分钟)与车辆进入该路段的时刻t 之间关系可近似地用如下函数给出：y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－18t 3－34t 2＋36t －6294，6≤t <9，18t ＋594，9≤t ≤10，－3t 2＋66t －345，10<t ≤12，求从上午6点到中午12点，通过该路段用时最多的时刻． 解：①当6≤t <9时， y ′＝－38t 2－32t ＋36＝－38(t ＋12)(t －8)．令y ′＝0，得t ＝－12(舍去)或t ＝8. 当6≤t <8时，y ′>0， 当8<t <9时，y ′<0，故t ＝8时，y 有最大值，y max ＝18.75. ②当9≤t ≤10时，y ＝18t ＋594是增函数，故t ＝10时，y max ＝16.③当10<t ≤12时，y ＝－3(t －11)2＋18， 故t ＝11时，y max ＝18.综上可知，通过该路段用时最多的时刻为上午8点．1．f (x )是定义在(0，＋∞)上的非负可导函数，且满足xf ′(x )＋f (x )≤0，对任意正数a ，b ，若a <b ，则必有( )A ．af (b )≤bf (a )B ．bf (a )≤af (b )C ．af (a )≤f (b )D ．bf (b )≤f (a )解析：选A ∵xf ′(x )≤－f (x )，f (x )≥0，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫f x x ′＝xfx －f x x 2≤－2f xx2≤0. 则函数f x x在(0，＋∞)上是单调递减的，由于0<a <b ，则f a a≥f b b.即af (b )≤bf (a )．2．(2012·山西适应性训练)若商品的年利润y (万元)与年产量x (百万件)的函数关系式y＝－x 3＋27x ＋123(x >0)，则获得最大利润时的年产量为( )A ．1百万件B ．2百万件C ．3百万件D ．4百万件解析：选C 依题意得，y ′＝－3x 2＋27＝－3(x －3)(x ＋3)，当0<x <3时，y ′>0；当x >3时，y ′<0.因此，当x ＝3时，该商品的年利润最大．3．已知函数f (x )是R 上的偶函数，且在(0，＋∞)上有f ′(x )>0，若f (－1)＝0，那么关于x 的不等式xf (x )<0的解集是________．解析：在(0，＋∞)上有f ′(x )>0，所以f (x )在(0，＋∞)单调递增．又函数f (x )是R 上的偶函数，所以f (1)＝f (－1)＝0.当x >0时，f (x )<0，∴0<x <1；当x <0时，图象关于y 轴对称，f (x )>0，∴x <－1.答案：(－∞，－1)∪(0,1)4．直线y ＝a 与函数f (x )＝x 3－3x 的图象有相异的三个公共点，则a 的取值范围是________．解析：令f ′(x )＝3x 2－3＝0，得x ＝±1，可得极大值为f (－1)＝2，极小值为f (1)＝－2，如图，观察得－2<a <2时恰有三个不同的公共点．答案：(－2,2)5．已知函数f (x )＝x 2＋ln x .(1)求函数f (x )在[1，e]上的最大值和最小值； (2)求证：当x ∈(1，＋∞)时，函数f (x )的图象在g (x )＝23x 3＋12x 2的下方．解：(1)∵f (x )＝x 2＋ln x ，∴f ′(x )＝2x ＋1x.∵x ＞1时，f ′(x )＞0，故f (x )在[1，e]上是增函数， ∴f (x )的最小值是f (1)＝1，最大值是f (e)＝1＋e 2. (2)证明：令F (x )＝f (x )－g (x )＝12x 2－23x 3＋ln x ，∴F ′(x )＝x －2x 2＋1x ＝x 2－2x 3＋1x＝x 2－x 3－x 3＋1x＝－x x 2＋x ＋x.∵x ＞1，∴F ′(x )＜0.∴F (x )在(1，＋∞)上是减函数．∴F (x )＜F (1)＝12－23＝－16＜0，即f (x )＜g (x )．∴当x ∈(1，＋∞)时，函数f (x )的图象总在g (x )的图象的下方． 6．(2012·乌鲁木齐诊断性测验)已知函数(理)f (x )＝e x －m －x ，(文)f (x )＝1e me x －x ，其中m 为常数．(1)若对任意x ∈R 有f (x )≥0成立，求m 的取值范围；(2)当m >1时，判断f (x )在[0,2m ]上零点的个数，并说明理由． 解：(1)依题意，可知f (x )在R 上连续，且f ′(x )＝e x －m －1， 令f ′(x )＝0，得x ＝m .故当x ∈(－∞，m )时，e x －m <1，f ′(x )<0，f (x )单调递减； 当x ∈(m ，＋∞)时，e x －m >1，f ′(x )>0，f (x )单调递增； 故当x ＝m 时，f (m )为极小值，也是最小值． 令f (m )＝1－m ≥0，得m ≤1，即对任意x ∈R ，f (x )≥0恒成立时，m 的取值范围是(－∞，1]．(2)由(1)知f (x )在[0,2m ]上至多有两个零点，当m >1时，f (m )＝1－m <0. ∵f (0)＝e －m >0，f (0)·f (m )<0， ∴f (x )在(0，m )上有一个零点．又f (2m )＝e m －2m ，令g (m )＝e m －2m ， ∵当m >1时，g ′(m )＝e m －2>0， ∴g (m )在(1，＋∞)上单调递增．∴g (m )>g (1)＝e －2>0，即f (2m )>0.∴f (m )·f (2m )<0，∴f (x )在(m,2m )上有一个零点． 故f (x )在[0,2m ]上有两个零点．7．(2013·泰安模拟)某种产品每件成本为6元，每件售价为x 元(6<x <11)，年销售为u 万件，若已知5858－u 与⎝⎛⎭⎪⎫x －2142成正比，且售价为10元时，年销量为28万件．(1)求年销售利润y 关于售价x 的函数关系式； (2)求售价为多少时，年利润最大，并求出最大年利润．解：(1)设5858－u ＝k ⎝⎛⎭⎪⎫x －2142，∵售价为10元时，年销量为28万件，∴5858－28＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫10－2142，解得k ＝2.∴u ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2142＋5858＝－2x 2＋21x ＋18.∴y ＝(－2x 2＋21x ＋18)(x －6)＝－2x 3＋33x 2－108x －108(6<x <11)． (2)y ′＝－6x 2＋66x －108 ＝－6(x 2－11x ＋18) ＝－6(x －2)(x －9)．令y ′＝0，得x ＝2(舍去)或x ＝9， 显然，当x ∈(6,9)时，y ′>0； 当x ∈(9,11)时，y ′<0.∴函数y ＝－2x 3＋33x 2－108x －108在(6,9)上是递增的，在(9,11)上是递减的． ∴当x ＝9时，y 取最大值，且y max ＝135，∴售价为9元时，年利润最大，最大年利润为135万元．1．(2012·潍坊模拟)已知函数f(x)＝(x2－3x＋3)e x，x∈[－2，t](t>－2)．(1)当t<1时，求函数y＝f(x)的单调区间；(2)设f(－2)＝m，f(t)＝n，求证：m<n.解：(1)f′(x)＝(2x－3)e x＋e x(x2－3x＋3)＝e x x(x－1)，①当－2<t≤0，x∈[－2，t]时，f′(x)≥0，f(x)单调递增；②当0<t<1，x∈[－2,0)时，f′(x)>0，f(x)单调递增，当x∈(0，t]时，f′(x)<0，f(x)单调递减．综上，当－2<t≤0时，y＝f(x)的单调递增区间为[－2，t]；当0<t<1时，y＝f(x)的单调递增区间为[－2,0)，单调递减区间为(0，t]．(2)证明：依题意得m＝f(－2)＝13e－2，n＝f(t)＝(t2－3t＋3)e t，设h(t)＝n－m＝(t2－3t＋3)e t－13e－2，t>－2，h′(t)＝(2t－3)e t＋e t(t2－3t＋3)＝e t t(t－1)(t>－2)．故h(t)，h′(t)随t的变化情况如下表：由上表可知h(t)的极小值为h(1)＝e－e2＝3e2>0，又h(－2)＝0，故当－2<t<0时，h(t)>h(－2)＝0，即h(t)>0，因此，n－m>0，即m<n.2．(2012·资阳模拟)已知函数f(x)＝x3－3ax＋b(a，b∈R)在x＝2处的切线方程为y ＝9x－14.(1)求f(x)的单调区间；(2)令g(x)＝－x2＋2x＋k，若对任意x1∈[0,2]，均存在x2∈[0,2]，使得f(x1)<g(x2)，求实数k 的取值范围．解：(1)f ′(x )＝3x 2－3a ，∵f (x )在x ＝2处的切线方程为y ＝9x －14，∴⎩⎪⎨⎪⎧ f ＝4，f＝9，则⎩⎪⎨⎪⎧ 8－6a ＋b ＝4，12－3a ＝9，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2.∴f (x )＝x 3－3x ＋2，则f ′(x )＝3x 2－3＝3(x ＋1)(x －1)． 由f ′(x )>0，得x <－1或x >1； 由f ′(x )<0，得－1<x <1.故函数f (x )的单调递减区间是(－1,1)；单调递增区间是(－∞，－1)，(1，＋∞)． (2)由(1)知，函数f (x )在(0,1)上单调递减，在(1,2)上单调递增． 又f (0)＝2，f (2)＝4，有f (0)<f (2)，∴函数f (x )在区间[0,2]上的最大值f (x )max ＝f (2)＝4. 又g (x )＝－x 2＋2x ＋k ＝－(x －1)2＋k ＋1，∴函数g (x )在[0,2]上的最大值为g (x )max ＝g (1)＝k ＋1. ∵对任意x 1∈[0,2]，均存在x 2∈[0,2]，使f (x 1)<f (x 2)成立， ∴有f (x )max <g (x )max ，则4<k ＋1，即k >3. 故实数k 的取值范围是(3，＋∞)．1．已知向量m ＝(x 0，－1)，n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，y 0，x 0，334，y 0成等差数列，2，x 0，y 0成等比数列．(1)求证：m ⊥n ；(2)若存在不为零的实数k 与t ，使得a ＝(t 2－3)m ＋n ，b ＝tm －kn ，且a ⊥b ，|a |≤37，试讨论函数k ＝f (t )的单调性，并求出函数的极值．解：(1)证明：由x 0，334，y 0成等差数列得x 0＋y 0＝332，①由2，x 0，y 0成等比数列得x 0＝2y 0，②由①与②可得x 0＝3，y 0＝32，所以m ＝(3，－1)，n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12，32，因为m ·n ＝(3，－1)·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12，32＝32－32＝0， 所以m ⊥n .(2)由(1)得|m |＝2，|n |＝1， 因为|a |≤37，m ⊥n ，所以|a |2＝(t 2－3)2|m |2＋2(t 2－3)m ·n ＋|n |2＝4(t 2－3)2＋1≤37，所以0≤t 2≤6，所以－6≤t ≤6.又a ·b ＝t (t 2－3)|m |2－k (t 2－3)m ·n ＋tm ·n －k |n |2＝4t (t 2－3)－k ＝0， 所以k ＝f (t )＝4t (t 2－3)(－6≤t ≤6)，k ′＝f ′(t )＝[4t (t 2－3)]′＝12t 2－12，令12t 2－12＝0，得t ＝±1.当t 变化时，f ′(t )，f (t )的变化情况如下表：的极大值为8，极小值为－8.2．设函数f (x )＝ln x －p (x －1)，p ∈R. (1)当p ＝1时，求函数f (x )的单调区间；(2)设函数g (x )＝xf (x )＋p (2x 2－x －1)，对任意x ≥1都有g (x )≤0成立，求p 的取值范围．解：(1)当p ＝1时，f (x )＝ln x －x ＋1，其定义域为(0，＋∞)．所以f ′(x )＝1x－1.由f ′(x )＝1x－1>0得0<x <1，由f ′(x )<0得x >1.所以函数f (x )的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1，＋∞)．(2)由函数g (x )＝xf (x )＋p (2x 2－x －1)＝x ln x ＋p (x 2－1)(x >0)，得g ′(x )＝ln x ＋1＋2px . 由(1)知，当p ＝1时，f (x )≤f (1)＝0， 即不等式ln x ≤x －1成立．①当p ≤－12时，g ′(x )＝ln x ＋1＋2px ≤(x －1)＋1＋2px ＝(1＋2p )x ≤0，即函数g (x )在[1，＋∞)上单调递减，从而g (x )≤g (1)＝0，满足题意；②当－12<p <0时，若x ∈⎝⎛⎭⎪⎫1，－12p ，则ln x >0，1＋2px >0，从而g ′(x )＝ln x ＋1＋2px >0，即函数g (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－12p 上单调递增，从而存在x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－12p 使得g (x 0)>g (1)＝0，不满足题意；③当p ≥0时，由x ≥1知g (x )＝x ln x ＋p (x 2－1)≥0恒成立，此时不满足题意．综上所述，实数p 的取值范围为⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－12.集合与常用逻辑用语 函数、导数及其应用(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分)1．(2012·广州调研)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－x ，x ≤0，a x，x >0，若f (1)＝f (－1)，则实数a 的值等于( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选B 根据题意，由f (1)＝f (－1)可得a ＝1－(－1)＝2.2．(2012·江西高考)若全集U ＝{}x ∈R|x 2≤4，则集合A ＝{}x ∈R||x ＋1|≤1的补集∁U A 为( )A.{}x ∈R|0<x <2 B.{}x ∈R|0≤x <2 C.{}x ∈R|0<x ≤2D.{}x ∈R|0≤x ≤2解析：选C 因为U ＝{x ∈R|x 2≤4}＝{x ∈R|－2≤x ≤2}，A ＝{x ∈R||x ＋1|≤1}＝{x ∈R|－2≤x ≤0}．借助数轴易得∁U A ＝{x ∈R|0<x ≤2}．3．下列函数中，恒满足f (2x )＝[f (x )]2的是( ) A ．f (x )＝|x | B ．f (x )＝1x(x ≠0)C ．f (x )＝e xD ．f (x )＝sin x解析：选C 若f (x )＝e x ，则f (2x )＝e 2x ＝(e x )2＝[f (x )]2.4．(2012·大同调研)已知函数f (x )＝x 2＋bx (b ∈R)，则下列结论正确的是( ) A ．∀b ∈R ，f (x )在(0，＋∞)上是增函数 B ．∀b ∈R ，f (x )在(0，＋∞)上是减函数 C ．∃b ∈R ，f (x )为奇函数 D ．∃b ∈R ，f (x )为偶函数解析：选D 注意到当b ＝0时，f (x )＝x 2是偶函数．5．(2013·龙岩四校联考)已知函数y ＝f (x )的图象在点M (3，f (3))处的切线方程是y ＝13x ＋23，则f (3)＋f ′(3)的值为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．5解析：选B 因为切点(3，f (3))在切线上，所以f (3)＝1＋23＝53，切点处的导数为切线的斜率，所以f ′(3)＝13，所以f (3)＋f ′(3)＝2.6．(2012·汕头一测)已知集合A 是函数f (x )＝1－x 2|x ＋1|－1的定义域，集合B 是整数集，则A ∩B 的子集的个数为( )A ．4B ．6C ．8D ．16解析：选A 要使函数f (x )有意义，则需⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2≥0，|x ＋1|－1≠0，解得－1≤x <0或0<x ≤1，所以函数的定义域A ＝{x |－1≤x <0，或0<x ≤1}．所以A ∩B ＝{1，－1}，其子集的个数为4.7．已知a ＝log 23＋log 23，b ＝log 29－log 23，c ＝log 32，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a ＝b <cB ．a ＝b >cC ．a <b <cD ．a >b >c 解析：选B ∵a ＝log 23＋log 23＝log 233，b ＝log 29－log 23＝log 233，∴a ＝b .又∵函数y ＝log a x (a >1)为增函数， ∴a ＝log 233>log 22＝1，c ＝log 32<log 33＝1，∴a ＝b >c .8．(2012·南昌一模)函数y ＝x 12－1的图象关于x 轴对称的图象大致是( )解析：选B 函数y ＝x 12＝x ，该函数的图象就是抛物线y 2＝x 在x 轴及其以上的部分，故函数y ＝x 12－1＝x －1是将上述图象向下平移一个单位得到的，再作其关于x 轴对称的图象，即选项B 中的图象．9．(2012·长春第二次调研)若a >2，则函数f (x )＝13x 3－ax 2＋1在(0,2)内零点的个数为( )A ．3B ．2C ．1D ．0解析：选C 依题意得f ′(x )＝x 2－2ax ，由a >2可知，f ′(x )在x ∈(0,2)时恒为负，即f (x )在(0,2)内单调递减，又f (0)＝1>0，f (2)＝83－4a ＋1<0，因此f (x )在(0,2)内只有一个零点．10．(2012·河南三市第二次调研)设U 为全集，对集合X ，Y ，定义运算“*”，X *Y ＝∁U (X ∩Y )．对于任意集合X ，Y ，Z ，则(X *Y )*Z ＝( )A ．(X ∪Y )∩∁U ZB ．(X ∩Y )∪∁U ZC ．(∁U X ∪∁U Y )∩ZD ．(∁U X ∩∁U Y )∪Z解析：选B 依题意得(X *Y )＝∁U (X ∩Y )＝(∁U X )∪(∁U Y )，(X *Y )*Z ＝∁U [(X *Y )∩Z ]＝∁U [∁U (X ∩Y )∩Z ]＝{∁U [∁U (X ∩Y )]}∪(∁U Z )＝(X ∩Y )∪(∁U Z )．11．(2012·重庆高考)已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且以2为周期，则“f (x )为[0,1]上的增函数”是“f (x )为[3,4]上的减函数”的( )A ．既不充分也不必要的条件B ．充分而不必要的条件C ．必要而不充分的条件D ．充要条件解析：选D 由题意可知函数在[0,1]上是增函数，在[－1,0]上是减函数，在[3,4]上也是减函数；反之也成立．12．下列命题：①∀x ∈R ，不等式x 2＋2x >4x －3均成立； ②若log 2x ＋log x 2≥2，则x >1；③“若a >b >0且c <0，则c a >cb”的逆否命题是真命题；④若命题p ：∀x ∈R ，x 2＋1≥1，命题q ：∃x ∈R ，x 2－x －1≤0，则命题p ∧(綈q )是真命题．其中真命题为( )A ．①②③B ．①②④C ．①③④D ．②③④解析：选A 由x 2＋2x >4x －3推得x 2－2x ＋3＝(x －1)2＋2>0恒成立，故①正确；根据基本不等式可知要使不等式log 2x ＋log x 2≥2成立需要x >1，故②正确；由a >b >0得0<1a<1b ，又c <0，可得c a >cb，则可知其逆否命题为真命题，故③正确；命题p 是真命题，命题q 是真命题，所以p ∧(綈q )为假命题，故④不正确．二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)13．(2013·河北质检)函数y ＝log 12(3x －a )的定义域是⎝ ⎛⎭⎪⎫23，＋∞，则a ＝________.解析：由3x －a >0得x >a3.因此，函数y ＝log 12(3x －a )的定义域是⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3，＋∞，所以a3＝23，即a ＝2. 答案：214． (2012·南通一调)设P 是函数y ＝x (x ＋1)图象上异于原点的动点，且该图象在点P 处的切线的倾斜角为θ，则θ的取值范围是________．解析：依题意得，y ＝x 32＋x 12，y ′＝32x 12＋12x －12(x >0)，当x >0时，y ′＝32x 12＋12x －12≥232x 12×12x －12＝3，即该图象在点P 处的切线的斜率不小于3，即tan θ≥ 3.又θ∈[0，π)，因此π3≤θ<π2，即θ的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫π3，π2.答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫π3，π215．(2012·山东高考)若函数f (x )＝a x (a >0，a ≠1)在[－1,2]上的最大值为4，最小值为m ，且函数g (x )＝(1－4m )x 在[0，＋∞)上是增函数，则a ＝________.解析：函数g (x )在[0，＋∞)上为增函数，则1－4m >0，即m <14.若a >1，则函数f (x )在[－1,2]上的最小值为1a ＝m ，最大值为a 2＝4，解得a ＝2，12＝m ，与m <14矛盾；当0<a <1时，函数f (x )在[－1,2]上的最小值为a 2＝m ，最大值为a －1＝4，解得a ＝14，m ＝116<14.所以a ＝14.答案：1416．(2012·福州质检)已知集合M 是满足下列条件的函数f (x )的全体：(1)f (x )既不是奇函数也不是偶函数；(2)函数f (x )有零点．那么在函数①f (x )＝|x |－1，②f (x )＝2x －1，③f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －2，x >0，0，x ＝0，x ＋2，x <0，④f (x )＝x 2－x －1＋ln x 中，属于M 的有________．(写出所有符合的函数序号)解析：对于①，∵f (－x )＝|－x |－1＝|x |－1＝f (x )，∴f (x )＝|x |－1是偶函数，∴①不符合条件；易知f (x )＝2x －1既不是奇函数也不是偶函数，且有一个零点x ＝0，∴②符合条件；对于③，令x >0，则－x <0，∴f (x )＝x －2，f (－x )＝－x ＋2＝－(x －2)，即f (x )＝－f (－x )，又f (0)＝0，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －2，x >0，0，x ＝0，x ＋2，x <0.是奇函数，∴③不符合条件；对于④，函数f (x )＝x 2－x －1＋ln x 的定义域为(0，＋∞)，故它既不是奇函数也不是偶函数，∵f ′(x )＝2x －1＋1x＝2x 2－x ＋1x＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －142＋78x>0，∴函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增，又f (1)＝1－1－1＋0＝－1<0，f (e)＝e 2－e －1＋1＝e(e －1)>0，∴函数f (x )在(1，e)上存在零点，∴④符合条件．答案：②④三、解答题(本题共6小题，共70分)17．(本小题满分10分)已知函数y ＝f (x )的图象关于原点对称，且x >0时，f (x )＝x 2－2x ＋3，试求f (x )在R 上的表达式，并画出它的图象，根据图象写出它的单调区间．解：∵f (x )的图象关于原点对称，∴f (－x )＝－f (x )，又当x >0时，f (x )＝x 2－2x ＋3， ∴当x <0时，f (x )＝－x 2－2x －3. 当x ＝0时，f (x )＝0.∴函数解析式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ＋3，x >0.0，x ＝0，－x 2－2x －3，x <0.作出函数的图象如图．根据图象可以得函数的增区间为(－∞，－1)，(1，＋∞)； 函数的减区间为(－1,0)，(0,1)． 18．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝log 3(ax ＋b )的部分图象如右图所示． (1)求f (x )的解析式与定义域；(2)函数f (x )的图象能否由y ＝log 3x 的图象平移变换得到．解：(1)由图可知(2,1)(5,2)是f (x )＝log 3(ax ＋b )上的两点，将其代入函数表达式可得⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＋b ＝3，5a ＋b ＝9⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－1. ∴f (x )的解析式为f (x )＝log 3(2x －1)． ∵f (x )有意义需满足2x －1>0，∴x >12.∴f (x )的定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞. (2)∵f (x )＝log 3(2x －1)＝log 3⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12＝log 3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12＋log 32，∴f (x )的图象是由y ＝log 3x 的图象向右平移12个单位，再向上平移log 32个单位得到的．故可以由y ＝log 3x 的图象平移得到．19．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝x (x 2－ax －3)． (1)若f (x )在区间[1，＋∞)上是增函数，求实数a 的取值范围； (2)若x ＝－13是f (x )的极值点，求f (x )在区间[1,4]上的最大值．解：(1)∵f (x )＝x (x 2－ax －3)，∴f ′(x )＝3x 2－2ax －3. ∵f (x )在[1，＋∞)上是增函数， ∴在[1，＋∞)上恒有f ′(x )≥0，即3x 2－2ax －3≥0在[1，＋∞)上恒成立． 得a ≤32⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x 在[1，＋∞)上恒成立．∵当x ≥1时，32⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x ≥32(1－1)＝0，∴a ≤0.(2)依题意得f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝0，即13＋23a －3＝0，得a ＝4， 故f (x )＝x 3－4x 2－3x . 令f ′(x )＝3x 2－8x －3＝0，得x 1＝－13，x 2＝3.当x 在[1,4]上变化时，f ′(x )与f (x )的变化情况如下表：所以f (20．(本小题满分12分)经市场调查，某种商品在过去50天的销售量和价格均为销售时间t (天)的函数，且销售量近似地满足f (t )＝－2t ＋200(1≤t ≤50，t ∈N)．前30天价格为g (t )＝12t ＋30(1≤t ≤30，t ∈N)，后20天价格为g (t )＝45(31≤t ≤50，t ∈N)．(1)写出该种商品的日销售额S 与时间t 的函数关系； (2)求日销售额S 的最大值． 解：(1)根据题意，得S ＝⎩⎪⎨⎪⎧－2t ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12t ＋30，1≤t ≤30，t ∈N ，－2t ＋，31≤t ≤50，t ∈N＝⎩⎪⎨⎪⎧－t 2＋40t ＋6 000，1≤t ≤30，t ∈N ，－90t ＋9 000，31≤t ≤50，t ∈N.(2)①∵当1≤t ≤30，t ∈N 时，S ＝－(t －20)2＋6 400， ∴当t ＝20时，S 的最大值为6 400.②当31≤t ≤50，t ∈N 时，S ＝－90t ＋9 000为减函数， ∴当t ＝31时，S 的最大值为6 210. ∵6 210<6 400，∴当t ＝20时，日销售额S 有最大值6 400.21.已知函数f (x )＝13x 3＋1－a2x 2－ax －a ，x ∈R ，其中a >0. (1)求函数f (x )的单调区间；(2)若函数f (x )在区间(－2,0)内恰有两个零点，求a 的取值范围； 解：(1)f ′(x )＝x 2＋(1－a )x －a ＝(x ＋1)(x －a )．由f ′(x )＝0，得x 1＝－1，x 2＝a >0. 当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：(2)由(1)知f (x )在区间(－2，－1)内单调递增，在区间(－1，0)内单调递减，从而函数f (x )在区间(－2,0)内恰有两个零点即⎩⎪⎨⎪⎧f －，f－，f，解得0<a <13.所以a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13.22. (2012·安徽名校模拟)已知函数f (x )＝a x 2－x －e x(x ∈R)，a 为正数．(1)求函数f (x )的单调区间；(2)若对任意x 1，x 2∈[0,4]均有|f (x 1)－f (x 2)|<1成立，求实数a 的取值范围． 解：(1)∵f (x )＝a x 2－x －e x，∴f ′(x )＝a x －x －ax 2－x －xe 2x＝－ax x －e x.令f ′(x )＝0，解得x 1＝0，x 2＝3. ∵a >0，∴由f ′(x )>0，得0<x <3；由f ′(x )<0，得x <0或x >3.故函数f (x )的单调递增区间为(0,3)，单调递减区间为(－∞，0)，(3，＋∞)．(2)由(1)易知函数f (x )在[0,3]上为增函数，在[3,4] 上为减函数．∴函数f (x )在[0,4]上的最大值f (3)＝5ae 3，又∵f (0)＝－a <0，f (4)＝11a e －4>0， ∴f (0)<f (4)．∴f (x )在[0,4]上的最小值为f (0)＝－a . ∴要使函数f (x )对任意x 1，x 2∈[0,4]均有 |f (x 1)－f (x 2)|<1成立，只需|f (3)－f (0)|<1即可，即⎪⎪⎪⎪⎪⎪5a e 3＋a <1. ∵a >0，∴0<a <e 35＋e 3.。

【三维设计】高考数学一轮复习 (基础知识+高频考点+解题训练)集合教学案

【三维设计】高考数学一轮复习 (基础知识+高频考点+解题训练)集合教学案

第一节集__合[知识能否忆起]一、元素与集合1．集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性． 2．集合中元素与集合的关系：元素与集合之间的关系有属于和不属于两种，表示符号为∈和∉. 3．常见集合的符号表示：4．集合的表示法：列举法、描述法、韦恩图． 二、集合间的基本关系 A B 或B A∅B (B ≠∅)三、集合的基本运算[小题能否全取]1．(2012·大纲全国卷)已知集合A ＝{x |x 是平行四边形}，B ＝{x |x 是矩形}，C ＝{x |x 是正方形}，D ＝{x |x 是菱形}，则( )A ．A ⊆B B ．C ⊆B C ．D ⊆CD ．A ⊆D解析：选B 选项A 错，应当是B ⊆A .选项B 对，正方形一定是矩形，但矩形不一定是正方形．选项C 错，正方形一定是菱形，但菱形不一定是正方形．选项D 错，应当是D ⊆A .2．(2012·浙江高考)设集合A ＝{x |1＜x ＜4}，集合B ＝{x |x 2－2x －3≤0}，则A ∩(∁R B )＝( )A ．(1,4)B ．(3,4)C ．(1,3)D ．(1,2)∪(3,4)解析：选B 因为∁R B ＝{x |x ＞3，或x ＜－1}，所以A ∩(∁R B )＝{x |3＜x ＜4}． 3．(教材习题改编)A ＝{1,2,3}，B ＝{x ∈R |x 2－ax ＋1＝0，a ∈A }，则A ∩B ＝B 时a 的值是( )A ．2B ．2或3C ．1或3D ．1或2解析：选D 验证a ＝1时B ＝∅满足条件；验证a ＝2时B ＝{1}也满足条件． 4.(2012·盐城模拟)如图，已知U ＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}，集合A ＝{2,3,4,5,6,8}，B ＝{1,3,4,5,7}，C ＝{2,4,5,7,8,9}，用列举法写出图中阴影部分表示的集合为________．解析：阴影部分表示的集合为A ∩C ∩(∁U B )＝{2,8}． 答案：{2,8}5．(教材习题改编)已知全集U ＝{－2，－1,0,1,2}，集合A ＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ＝2n －1，x ，n ∈Z ，则∁U A ＝________.解析：因为A ＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ＝2n －1，x ，n ∈Z ，当n ＝0时，x ＝－2；n ＝1时不合题意；n ＝2时，x ＝2；n ＝3时，x ＝1； n ≥4时，x ∉Z ；n ＝－1时，x ＝－1； n ≤－2时，x ∉Z .故A ＝{－2,2,1，－1}，又U ＝{－2，－1,0,1,2}，所以∁U A ＝{0}． 答案：{0}1.正确理解集合的概念研究一个集合，首先要看集合中的代表元素，然后再看元素的限制条件，当集合用描述法表示时，注意弄清其元素表示的意义是什么．注意区分{x |y ＝f (x )}、{y |y ＝f (x )}、{(x ，y )|y ＝f (x )}三者的不同．2．注意空集的特殊性空集是不含任何元素的集合，空集是任何集合的子集．在解题时，若未明确说明集合非空时，要考虑到集合为空集的可能性．例如：A ⊆B ，则需考虑A ＝∅和A ≠∅两种可能的情况．典题导入[例1] (1)(2012·新课标全国卷)已知集合A ＝{1,2,3,4,5}，B ＝{(x ，y )|x ∈A ，y ∈A ，x －y ∈A }，则B 中所含元素的个数为( )A ．3B ．6C ．8D ．10(2)已知集合M ＝{1，m }，N ＝{n ，log 2n }，若M ＝N ，则(m －n )2013＝________.[自主解答] (1)∵B ＝{(x ，y )|x ∈A ，y ∈A ，x －y ∈A }，A ＝{1,2,3,4,5}， ∴x ＝2，y ＝1；x ＝3，y ＝1,2；x ＝4，y ＝1,2,3；x ＝5，y ＝1,2,3,4.∴B ＝{(2,1)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)}， ∴B 中所含元素的个数为10. (2)由M ＝N 知⎩⎪⎨⎪⎧ n ＝1，log 2n ＝m或⎩⎪⎨⎪⎧n ＝m ，log 2n ＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝0，n ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，n ＝2，故(m －n )2 013＝－1或0.[答案] (1)D (2)－1或0由题悟法1．研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性，对于含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合的元素是否满足互异性．2．对于集合相等首先要分析已知元素与另一个集合中哪一个元素相等，分几种情况列出方程(组)进行求解，要注意检验是否满足互异性．以题试法1．(1)(2012·北京东城区模拟)设P 、Q 为两个非空实数集合，定义集合P ＋Q ＝{a ＋b |a ∈P ，b ∈Q }，若P ＝{0,2,5}，Q ＝{1,2,6}，则P ＋Q 中元素的个数为( )A ．9B ．8C ．7D ．6(2)已知集合A ＝{a －2,2a 2＋5a,12}，且－3∈A ，则a ＝________.解析：(1)∵P ＋Q ＝{a ＋b |a ∈P ，b ∈Q }，P ＝{0,2,5}，Q ＝{1,2,6}，∴当a ＝0时，a ＋b 的值为1,2,6；当a ＝2时，a ＋b 的值为3,4,8；当a ＝5时，a ＋b 的值为6,7,11，∴P ＋Q ＝{1,2,3,4,6,7,8,11}，∴P ＋Q 中有8个元素． (2)∵－3∈A ，∴－3＝a －2或－3＝2a 2＋5a . ∴a ＝－1或a ＝－32.当a ＝－1时，a －2＝－3,2a 2＋5a ＝－3， 与元素互异性矛盾，应舍去．当a ＝－32时，a －2＝－72，2a 2＋5a ＝－3.∴a ＝－32满足条件．答案：(1)B (2)－32典题导入[例2] (1)(2012·湖北高考)已知集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0，x ∈R }，B ＝{x |0<x <5，x ∈N }，则满足条件A ⊆C ⊆B 的集合C 的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4(2)已知集合A ＝{x |log 2x ≤2}，B ＝(－∞，a )，若A ⊆B ，则实数a 的取值范围是(c ，＋∞)，其中c ＝________.[自主解答] (1)由x 2－3x ＋2＝0得x ＝1或x ＝2，∴A ＝{1,2}．由题意知B ＝{1,2,3,4}，∴满足条件的C 可为{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,3,4}． (2)由log 2x ≤2，得0<x ≤4，即A ＝{x |0<x ≤4}，而B ＝(－∞，a )，由于A ⊆B ，如图所示，则a >4，即c ＝4. [答案] (1)D (2)4由题悟法1．判断两集合的关系常有两种方法：一是化简集合，从表达式中寻找两集合间的关系；二是用列举法表示各集合，从元素中寻找关系．2．已知两集合间的关系求参数时，关键是将两集合间的关系转化为元素间的关系，进而转化为参数满足的关系．解决这类问题常常需要合理利用数轴、Venn 图帮助分析．以题试法2．(文)(2012·郑州模拟)已知集合A ＝{2,3}，B ＝{x |mx －6＝0}，若B ⊆A ，则实数m 的值为( )A ．3B ．2C ．2或3D ．0或2或3解析：选D 当m ＝0时，B ＝∅⊆A ；当m ≠0时，由B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫6m ⊆{2,3}可得6m＝2或6m＝3，解得m ＝3或m ＝2， 综上可得实数m ＝0或2或3.(理)已知集合A ＝{y |y ＝－x 2＋2x }，B ＝{x ||x －m |<2 013}，若A ∩B ＝A ，则m 的取值范围是( )A ．[－2 012,2 013]B ．(－2 012,2 013)C ．[－2 013,2 011]D ．(－2 013,2 011)解析：选B 集合A 表示函数y ＝－x 2＋2x 的值域，由t ＝－x 2＋2x ＝－(x －1)2＋1≤1，可得0≤y ≤1，故A ＝[0,1]．集合B 是不等式|x －m |<2 013的解集，解之得m －2 013<x <m ＋2 013，所以B ＝(m －2 013，m ＋2 013)．因为A ∩B ＝A ，所以A ⊆B .如图，由数轴可得⎩⎪⎨⎪⎧m －2 013<0，m ＋2 013>1，解得－2 012<m <2 013.典题导入[例3] (1)(2011·江西高考)若全集U ＝{1,2,3,4,5,6}，M ＝{2,3}，N ＝{1,4}，则集合{5,6}等于( )A ．M ∪NB ．M ∩NC ．(∁U M )∪(∁U N )D ．(∁U M )∩(∁U N )(2)(2012·安徽合肥质检)设集合A ＝{x |x 2＋2x －8<0}，B ＝{x |x <1}，则图中阴影部分表示的集合为( )A ．{x |x ≥1}B ．{x |－4<x <2}C ．{x |－8<x <1}D ．{x |1≤x <2}[自主解答] (1)∵M ∪N ＝{1,2,3,4}， ∴(∁U M )∩(∁U N )＝∁U (M ∪N )＝{5,6}． (2)∵x 2＋2x －8<0， ∴－4<x <2， ∴A ＝{x |－4<x <2}， 又∵B ＝{x |x <1}，∴图中阴影部分表示的集合为A ∩(∁U B )＝{x |1≤x <2}． [答案] (1)D (2)D将例3(1)中的条件“M ＝{2,3}”改为“M ∩N ＝N ”，试求满足条件的集合M 的个数． 解：由M ∩N ＝N 得M ⊇N .含有2个元素的集合M 有1个，含有3个元素的集合M 有4个， 含有4个元素的集合M 有6个，含有5个元素的集合M 有4个， 含有6个元素的集合M 有1个．因此，满足条件的集合M 有1＋4＋6＋4＋1＝16个．由题悟法1．在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn 图和数轴使抽象问题直观化．一般地，集合元素离散时用Venn图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时注意端点值的取舍．2．在解决有关A∩B＝∅，A⊆B等集合问题时，一定先考虑A或B是否为空集，以防漏解．另外要注意分类讨论和数形结合思想的应用．以题试法3．(2012·锦州模拟)已知全集U＝R，集合A＝{x|x2－2x>0}，B＝{x|y＝lg(x－1)}，则(∁U A)∩B等于( )A．{x|x>2，或x<0} B．{x|1<x<2}C．{x|1<x≤2} D．{x|1≤x≤2}解析：选C A＝{x|x(x－2)>0}＝{x|x>2，或x<0}，B＝{x|y＝lg(x－1)}＝{x|x－1>0}＝{x|x>1}，∁U A＝{x|0≤x≤2}．∴(∁U A)∩B＝{x|1<x≤2}．1．(2012·新课标全国卷)已知集合A＝{x|x2－x－2<0}，B＝{x|－1<x<1}，则( ) A．A B B．B AC．A＝B D．A∩B＝∅解析：选B A＝{x|x2－x－2<0}＝{x|－1<x<2}，B＝{x|－1<x<1}，所以B A.2．(2012·山西四校联考)已知集合M＝{0,1}，则满足M∪N＝{0,1,2}的集合N的个数是( )A．2 B．3C．4 D．8解析：选C 依题意得，满足M∪N＝{0,1,2}的集合N有{2}，{0,2}，{1,2}，{0,1,2}共4个．3．设集合P＝{3，log2a}，Q＝{a，b}，若P∩Q＝{0}，则P∪Q＝( )A．{3,0} B．{3,0,1}C．{3,0,2} D．{3,0,1,2}解析：选B 因为P∩Q＝{0}，所以0∈P，log2a＝0，a＝1，而0∈Q，所以b＝0.所以P∪Q＝{3,0,1}．4．(2012·辽宁高考)已知全集U＝{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}，集合A＝{0,1,3,5,8}，集合B＝{2,4,5,6,8}，则(∁U A)∩(∁U B)＝( )A．{5,8} B．{7,9}C．{0,1,3} D．{2,4,6}解析：选B 因为A∪B＝{0,1,2,3,4,5,6,8}，所以(∁U A)∩(∁U B)＝∁U(A∪B)＝{7,9}．5．(2013·合肥质检)已知集合A＝{－2，－1,0,1,2}，集合B＝{x∈Z||x|≤a}，则满足A B的实数a的一个值为( )A．0 B．1C．2 D．3解析：选D 当a＝0时，B＝{0}；当a＝1时，B＝{－1,0,1}；当a＝2时，B＝{－2，－1,0,1,2}；当a＝3时，B＝{－3，－2，－1,0,1,2,3}，显然只有a＝3时满足条件．6．已知全集U＝R，集合A＝{x|3≤x<7}，B＝{x|x2－7x＋10<0}，则∁U(A∩B)＝( ) A．(－∞，3)∪(5，＋∞) B．(－∞，3]∪[5，＋∞)C．(－∞，3)∪[5，＋∞) D．(－∞，3]∪(5，＋∞)解析：选C x2－7x＋10<0⇔(x－2)·(x－5)<0⇒2<x<5，A∩B＝{x|3≤x<5}，故∁U(A∩B)＝(－∞，3)∪[5，＋∞)．7．(2012·大纲全国卷)已知集合A＝{1,3，m}，B＝{1，m}，A∪B＝A，则m＝( ) A．0或 3 B．0或3C．1或 3 D．1或3解析：选B 法一：∵A∪B＝A，∴B⊆A.又A＝{1,3，m}，B＝{1，m}，∴m＝3或m＝m.由m＝m得m＝0或m＝1.但m＝1不符合集合中元素的互异性，故舍去，故m＝0或m ＝3.法二：∵B＝{1，m}，∴m≠1，∴可排除选项C、D.又当m＝3时，A＝{1,3，3}，B＝{1,3}，满足A∪B＝{1,3，3}＝A，故选B.8．设S＝{x|x<－1，或x>5}，T＝{x|a<x<a＋8}，S∪T＝R，则a的取值范围是( ) A．(－3，－1) B．[－3，－1]C．(－∞，－3]∪(－1，＋∞) D．(－∞，－3)∪(－1，＋∞)解析：选A 在数轴上表示两个集合，因为S∪T＝R，由图可得⎩⎪⎨⎪⎧a <－1，a ＋8>5，解得－3<a <－1.9．若集合U ＝R ，A ＝{x |x ＋2>0}，B ＝{x |x ≥1}，则A ∩(∁U B )＝________. 解析：由题意得∁U B ＝(－∞，1)， 又因为A ＝{x |x ＋2>0}＝{x |x >－2}， 于是A ∩(∁U B )＝(－2,1)． 答案：(－2,1)10．(2012·武汉适应性训练)已知A ，B 均为集合U ＝{1,2,3,4,5,6}的子集，且A ∩B ＝{3}，(∁U B )∩A ＝{1}，(∁U A )∩(∁U B )＝{2,4}，则B ∩(∁U A )＝________.解析：依题意及韦恩图得，B ∩(∁U A )＝{5,6}． 答案：{5,6}11．已知R 是实数集，M ＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫2x<1，N ＝{y |y ＝x －1}，则N ∩(∁R M )＝________.解析：M ＝{x |x <0，或x >2}，所以∁R M ＝[0,2]， 又N ＝[0，＋∞)，所以N ∩(∁R M )＝[0,2]． 答案：[0,2]12．(2012·吉林模拟)已知U ＝R ，集合A ＝{x |x 2－x －2＝0}，B ＝{x |mx ＋1＝0}，B ∩(∁UA )＝∅，则m ＝________.解析：A ＝{－1,2}，B ＝∅时，m ＝0；B ＝{－1}时，m ＝1；B ＝{2}时，m ＝－12.答案：0,1，－1213．(2012·苏北四市调研)已知集合A ＝{x |x 2＋a ≤(a ＋1)x ，a ∈R }，存在a ∈R ，使得集合A 中所有整数元素的和为28，则实数a 的取值范围是________．解析：不等式x 2＋a ≤(a ＋1)x 可化为(x －a )(x －1)≤0，由题意知不等式的解集为{x |1≤x ≤a }．A 中所有整数元素构成以1为首项，1为公差的等差数列，其前7项和为＋2＝28，所以7≤a <8，即实数a 的取值范围是[7,8)．答案：[7,8)14．(2012·安徽名校模拟)设集合S n ＝{1,2,3，…，n }，若X ⊆S n ，把X 的所有元素的乘积称为X 的容量(若X 中只有一个元素，则该元素的数值即为它的容量，规定空集的容量为0)．若X 的容量为奇(偶)数，则称X 为S n 的奇(偶)子集．则S 4的所有奇子集的容量之和为________．解析：∵S 4＝{1,2,3,4}，∴X ＝∅，{1}，{2}，{3}，{4}，{1,2}，{1,3}，{1,4}，{2,3}，{2,4}，{3,4}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,3,4}，{2,3,4}，{1,2,3,4}．其中是奇子集的为X ＝{1}，{3}，{1,3}，其容量分别为1,3,3，所以S 4的所有奇子集的容量之和为7.答案：71．(2012·杭州十四中月考)若集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫y ⎪⎪⎪y ＝lg x ，110≤x ≤10，B ＝{－2，－1,1,2}，全集U ＝R ，则下列结论正确的是( )A ．A ∩B ＝{－1,1} B ．(∁U A )∪B ＝[－1,1]C ．A ∪B ＝(－2,2)D ．(∁U A )∩B ＝[－2,2]解析：选A ∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤110，10，∴y ∈[－1,1]，∴A ∩B ＝{－1,1}．2．设A 是自然数集的一个非空子集，对于k ∈A ，如果k 2∉A ，且k ∉A ，那么k 是A 的一个“酷元”，给定S ＝{x ∈N |y ＝lg(36－x 2)}，设M ⊆S ，且集合M 中的两个元素都是“酷元”，那么这样的集合M 有( )A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个解析：选C 由36－x 2>0，解得－6<x <6.又因为x ∈N ，所以S ＝{0,1,2,3,4,5}． 依题意，可知若k 是集合M 的“酷元”是指k 2与k 都不属于集合M .显然k ＝0,1都不是“酷元”．若k ＝2，则k 2＝4；若k ＝4，则k ＝2.所以2与4不同时在集合M 中，才能成为“酷元”．显然3与5都是集合S 中的“酷元”．综上，若集合M 中的两个元素都是“酷元”，则这两个元素的选择可分为两类： (1)只选3与5，即M ＝{3,5}；(2)从3与5中任选一个，从2与4中任选一个，即M ＝{3,2}或{3,4}或{5,2}或{5,4}． 所以满足条件的集合M 共有5个．3．(2013·河北质检)已知全集U ＝R ，集合M ＝{x |x ＋a ≥0}，N ＝{x |log 2(x －1)<1}，若M ∩(∁U N )＝{x |x ＝1，或x ≥3}，那么( )A ．a ＝－1B ．a ≤1C ．a ＝1D ．a ≥1解析：选A 由题意得M ＝{x |x ≥－a }，N ＝{x |1<x <3}，所以∁U N ＝{x |x ≤1，或x ≥3}，又M ∩(∁U N )＝{x |x ＝1，或x ≥3}，因此－a ＝1，a ＝－1.4．给定集合A ，若对于任意a ，b ∈A ，有a ＋b ∈A ，且a －b ∈A ，则称集合A 为闭集合，给出如下三个结论：①集合A ＝{－4，－2,0,2,4}为闭集合；②集合A ＝{n |n ＝3k ，k ∈Z }为闭集合；③若集合A 1，A 2为闭集合，则A 1∪A 2为闭集合．其中正确结论的序号是________．解析：①中，－4＋(－2)＝－6∉A ，所以不正确；②中设n 1，n 2∈A ，n 1＝3k 1，n 2＝3k 2，k 1，k 2∈Z ，则n 1＋n 2∈A ，n 1－n 2∈A ，所以②正确； ③令A 1＝{－4,0,4}，A 2＝{－2,0,2}，则A 1，A 2为闭集合，但A 1∪A 2不是闭集合，所以③不正确．答案：②5．已知集合A ＝{x |x 2－2x －3≤0，x ∈R }，B ＝{x |m －2≤x ≤m ＋2}．(1)若A ∩B ＝[1,3]，求实数m 的值；(2)若A ⊆∁R B ，求实数m 的取值范围．解：A ＝{x |－1≤x ≤3}，B ＝{x |m －2≤x ≤m ＋2}．(1)∵A ∩B ＝[1,3]，∴⎩⎪⎨⎪⎧ m －2＝1，m ＋2≥3，得m ＝3.(2)∁R B ＝{x |x ＜m －2，或x ＞m ＋2}．∵A ⊆∁R B ，∴m －2＞3或m ＋2＜－1.∴m ＞5或m ＜－3.即m 的取值范围为(－∞，－3)∪(5，＋∞)．6．(2012·衡水模拟)设全集I ＝R ，已知集合M ＝{x |(x ＋3)2≤0}，N ＝{x |x 2＋x －6＝0}．(1)求(∁I M )∩N ；(2)记集合A ＝(∁I M )∩N ，已知集合B ＝{x |a －1≤x ≤5－a ，a ∈R }，若B ∪A ＝A ，求实数a 的取值范围．解：(1)∵M ＝{x |(x ＋3)2≤0}＝{－3}， N ＝{x |x 2＋x －6＝0}＝{－3,2}，∴∁I M ＝{x |x ∈R 且x ≠－3}，∴(∁I M )∩N ＝{2}．(2)A ＝(∁I M )∩N ＝{2}，∵A ∪B ＝A ，∴B ⊆A ，∴B ＝∅或B ＝{2}，当B ＝∅时，a －1>5－a ，∴a >3；当B ＝{2}时，⎩⎪⎨⎪⎧ a －1＝2，5－a ＝2，解得a ＝3，综上所述，所求a 的取值范围为{a |a ≥3}．1．现有含三个元素的集合，既可以表示为⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ，b a ，1，也可表示为{a 2，a ＋b,0}，则a 2 013＋b 2 013＝________.解析：由已知得b a ＝0及a ≠0，所以b ＝0，于是a 2＝1，即a ＝1或a ＝－1，又根据集合中元素的互异性可知a ＝1应舍去，因此a ＝－1，故a2 013＋b 2 013＝(－1)2 013＝－1.答案：－12．集合S ＝{a ，b ，c ，d ，e }，包含{a ，b }的S 的子集共有( )A ．2个B ．3个C ．5个D ．8个 解析：选D 包含{a ，b }的S 的子集有：{a ，b }；{a ，b ，c }，{a ，b ，d }，{a ，b ，e }；{a ，b ，c ，d }，{a ，b ，c ，e }，{a ，b ，d ，e }；{a ，b ，c ，d ，e }共8个．3．某班有36名同学参加数学、物理、化学课外探究小组，每名同学至多参加两个小组．已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为26、15、13，同时参加数学和物理小组的有6人，同时参加物理和化学小组的有4人，则同时参加数学和化学小组的有________人．解析：由题意知，同时参加三个小组的人数为0，设同时参加数学和化学小组的人数为x ，Venn 图如图所示，∴(20－x )＋6＋5＋4＋(9－x )＋x ＝36，解得x ＝8.答案：84．已知集合A ＝{x |x 2＋2x ＋a ≤0}，B ＝{x |a ≤x ≤4a －9}，若A ，B 中至少有一个不是空集，则a 的取值范围是________．解析：若A ，B 全为空集，则实数a 满足4－4a <0且a >4a －9，即1<a <3，则满足题意的a 的取值范围为(－∞，1]∪[3，＋∞)．答案：(－∞，1]∪[3，＋∞)5．(2012·重庆高考)设平面点集A ＝(x ，y )(y －x )·⎭⎬⎫⎝ ⎛⎭⎪⎫y －1x ≥0，B ＝{(x ，y )|(x －1)2＋(y －1)2≤1}，则A ∩B 所表示的平面图形的面积为( )A.34π B.35π C.47π D.π2解析：选D A ∩B 表示的平面图形为图中阴影部分，由对称性可知，S C ＝S F ，S D ＝S E .因此A ∩B 所表示的平面图形的面积是圆面积的一π2.半，即为。

山东高考数学一轮总复习教学案设计参考-数系的扩充与复数的引入含答案解析

山东高考数学一轮总复习教学案设计参考-数系的扩充与复数的引入含答案解析

第2讲数系的扩充与复数的引入[考纲解读] 1.理解复数的基本概念及复数相等的充要条件．(重点)2．了解复数的代数表示法及几何意义，能将代数形式的复数在复平面上用点或向量表示，并能将复平面上的点或向量所对应的复数用代数形式表示．3．能进行复数形式的四则运算，并了解复数代数形式的加、减运算的几何意义．(重点、难点)[考向预测]从近三年高考情况来看，本讲在高考中属于必考内容．预测2021年将会考查：①复数的基本概念与四则运算；②复数模的计算；③复数的几何意义．题型为客观题，难度一般不大，属于基础题型．对应学生用书P1971.内容意义备注复数的概念形如□01a＋bi(a∈R，b∈R)的数叫复数，其中实部为□02a，虚部为□03b若b＝0，则a＋bi为实数；若a＝0且b≠0，则a＋bi为纯虚数复数相等a＋bi＝c＋di⇔□04a＝c且b＝d实部与实部、虚部与虚部对应相等共轭复数a＋bi与c＋di共轭⇔□05a＝c且b＝－d(a，b，c，d∈R)实数的共轭复数是它本身复平面建立平面直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，□06x轴叫实轴，y轴叫虚轴实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数，各象限内的点都复数集C 和复平面内所有的点组成的集合是一一对应的，复数集C 与复平面内所有以原点O 为起点的向量组成的集合也是一一对应的，即 (1)复数z ＝a ＋bi 一一对应复平面内的点□01Z (a ，b )(a ，b ∈R )． (2)复数z ＝a ＋bi (a ，b ∈R )一一对应平面向量OZ →. 3.复数代数形式的四则运算 (1)运算法则设z 1＝a ＋bi ，z 2＝c ＋di (a ，b ，c ，d ∈R )，则复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z 1，z 2，z 3∈C ，有z 1＋z 2＝□04z 2＋z 1，(z 1＋z 2)＋z 3＝□05z 1＋(z 2＋z 3)． (3)复数乘法的运算定律复数的乘法满足交换律、结合律、分配律，即对于任意z 1，z 2，z 3∈C ，有z 1·z 2＝□06z 2·z 1，(z 1·z 2)·z 3＝□07z 1·(z 2·z 3)，z 1(z 2＋z 3)＝□08z 1z 2＋z 1z 3. (4)复数加、减法的几何意义①复数加法的几何意义：若复数z 1，z 2对应的向量OZ 1→，OZ 2→不共线，则复数z 1＋z 2是□09OZ 1→＋OZ 2→所对应的复数． ②复数减法的几何意义：复数z 1－z 2是□10OZ 1→－OZ 2→即Z 2Z 1→所对应的复数． 4.模的运算性质：①|z |2＝|z －|2＝□01z ·z －；②|z 1·z 2|＝□02|z 1||z 2|；③⎪⎪⎪⎪⎪⎪z 1z 2＝□03|z 1||z 2|.1.概念辨析(1)关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ，b ，c ∈R 且a ≠0)一定有两个根．( ) (2)若复数a ＋bi 中a ＝0，则此复数必是纯虚数．( ) (3)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小．( )(4)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模．( )答案 (1)√ (2)× (3)× (4)√ 2.小题热身(1)已知i 为虚数单位，z ＝41＋i，则复数z 的虚部为( ) A.－2i B ．2i C ．2 D ．－2答案 D 解析 z ＝41＋i ＝4(1－i )(1＋i )(1－i )＝4(1－i )2＝2－2i ，故虚部为－2.故选D. (2)(2019·全国卷Ⅱ)设z ＝－3＋2i ，则在复平面内z －对应的点位于( ) A.第一象限 B ．第二象限 C.第三象限 D ．第四象限答案 C解析 z －＝－3－2i ，故z －对应的点(－3，－2)位于第三象限．故选C. (3)在复平面内，复数z ＝cos3＋i sin3(i 为虚数单位)，则|z |为( )A.4 B ．3 C ．2 D ．1答案 D解析 |z |＝cos 23＋s i n 23＝1.(4)设复数z 1＝2－i ，z 2＝a ＋2i (i 为虚数单位，a ∈R )，若z 1z 2∈R ，则a ＝________. 答案 4解析 因为z 1z 2＝(2－i )(a ＋2i ) ＝2a ＋2＋(4－a )i ，且z 1z 2是实数，所以4－a ＝0即a ＝4.对应学生用书P198题型 一 复数代数形式的四则运算1.(2019·全国卷Ⅲ)若z (1＋i )＝2i ，则z ＝( ) A.－1－i B ．－1＋i C.1－i D ．1＋i答案 D解析 由z (1＋i )＝2i ，得z ＝2i 1＋i ＝2i (1－i )(1＋i )(1－i )＝2i (1－i )2＝i (1－i )＝1＋i .故选D.2.已知i 是虚数单位，⎝⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 8＋⎝ ⎛⎭⎪⎫21－i 2020＝________. 答案 0解析 原式＝⎝⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 8＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫21－i 21010＝i 8＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2－2i 1010＝i 8＋i 1010＝1＋i 4×252＋2＝0.1.复数代数形式运算问题的解题策略(1)复数的加减法在进行复数的加减法运算时，可类比合并同类项，运用法则(实部与实部相加减，虚部与虚部相加减)计算即可． (2)复数的乘法复数的乘法类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位i 的看作一类同类项，不含i 的看作另一类同类项，分别合并即可． (3)复数的除法除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把i 的幂写成最简形式．2.记住以下结论，可提高运算速度(1)(1±i )2＝±2i ；(2)1＋i 1－i ＝i ；(3)1－i 1＋i ＝－i ；(4)a ＋bii ＝b －ai ；(5)i 4n ＝1，i 4n ＋1＝i ，i 4n ＋2＝－1，i 4n ＋3＝－i (n ∈N )．1.(2＋i )(1－i )21－2i ＝( )A.2 B ．－2 C.13 D ．－13答案 A解析 (2＋i )(1－i )21－2i ＝(2＋i )(－2i )1－2i＝－4i ＋21－2i ＝2(1－2i )1－2i＝2. 2.(2019·武汉模拟)设复数z 满足1＋2z1－z＝i ，则z ＝( ) A.15＋35i B.15－35i C.－15＋35i D ．－15－35i 答案 C 解析 解法一：由1＋2z 1－z ＝i 得1＋2z ＝i －iz ，所以z ＝－1＋i 2＋i ＝(－1＋i )(2－i )(2＋i )(2－i )＝－15＋35i .故选C.解法二：设z ＝a ＋bi (a ，b ∈R )，则1＋2z1－z＝i 可化为1＋2a ＋2bi ＝i －ai ＋b ，则1＋2a ＋2bi ＝b ＋(1－a )i ，所以⎩⎨⎧1＋2a ＝b ，2b ＝1－a ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－15，b ＝35，所以z ＝－15＋35i .故选C.题型 二 复数的有关概念1.(2019·全国卷Ⅱ)设z ＝i (2＋i )，则z －＝( ) A.1＋2i B ．－1＋2i C ．1－2i D ．－1－2i答案 D解析 ∵z ＝i (2＋i )＝－1＋2i ，∴z －＝－1－2i .故选D.2.(2019·青岛二模)“a ＝2”是“复数z ＝(a ＋2i )(－1＋i )i (a ∈R )为纯虚数”的( )A.充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C.充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案 C解析 当a ＝2时，(a ＋2i )(－1＋i )i ＝2(1＋i )(－1＋i )i ＝－4i ＝4i ，为纯虚数；若(a ＋2i )(－1＋i )i ＝－a －2＋(a －2)ii ＝a －2＋(a ＋2)i 是纯虚数，则a －2＝0，a＋2≠0，所以a ＝2.所以“a ＝2”是“复数z ＝(a ＋2i )(－1＋i )i (a ∈R )为纯虚数”的充要条件．故选C.3.(2019·全国卷Ⅰ)设z ＝3－i1＋2i ，则|z |＝( )A.2B. 3C. 2 D ．1答案 C 解析 ∵z ＝3－i 1＋2i ＝(3－i )(1－2i )(1＋2i )(1－2i )＝1－7i5， ∴|z |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫152＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－752＝ 2.故选C. 4.(2019·东北育才学校模拟)若复数z ＝a ＋i1－i ，且zi 3>0，则实数a 的值等于( )A.1 B ．－1 C.12 D ．－12答案 A解析 ∵z ＝a ＋i 1－i ＝(a ＋i )(1＋i )(1－i )(1＋i )＝a －1＋(a ＋1)i2，∴zi 3＝(a －1)i 3＋(a ＋1)i 42＝－(a －1)i ＋(a ＋1)2.∵zi 3>0，∴zi 3为实数，∴－a －12＝0，∴a ＝1.当a ＝1时，zi 3＝1>0，符合题意．故选A.处理复数基本概念问题的关键因为复数的分类、相等、模、共轭复数等问题都与实部和虚部有关，所以处理复数有关基本概念问题的关键是找准复数的实部和虚部，即转化为a ＋bi (a ，b ∈R )的形式，再从定义出发，把复数问题转化成实数问题来处理．1.(2019·山西大学附中模拟)复数i (－6＋i )|3－4i |的实部与虚部之差为( )A.－1 B ．1 C ．－75 D.75答案 B解析 因为i (－6＋i )|3－4i |＝－15－65i ，所以实部为－15，虚部为－65，所以实部与虚部之差为－15－－65＝1.故选B.2.(2017·浙江高考)已知a ，b ∈R ，(a ＋bi )2＝3＋4i (i 是虚数单位)，则a 2＋b 2＝________，ab ＝________. 答案 5 2解析 因为(a ＋bi )2＝a 2－b 2＋2abi .由(a ＋bi )2＝3＋4i ，得⎩⎨⎧a 2－b 2＝3，ab ＝2.解得a 2＝4，b 2＝1.所以a 2＋b 2＝5，ab ＝2. 题型 三 复数的几何意义1.(2020·福州质检)设复数z 1，z 2在复平面内对应的点关于实轴对称，z 1＝2＋i ，则z 1z 2＝( )A.1＋iB.35＋45iC.1＋45i D ．1＋43i答案 B解析 因为复数z 1，z 2在复平面内对应的点关于实轴对称，z 1＝2＋i ，所以z 2＝2－i ，所以z 1z 2＝2＋i 2－i ＝(2＋i )25＝35＋45i ，故选B.2.(2019·长沙一模)在复平面内表示复数m ＋im －i的点位于第一象限，则实数m 的取值范围是( ) A.(－∞，－1) B ．(－∞，0) C.(0，＋∞) D ．(1，＋∞)答案 D解析 由题意，得m ＋i m －i ＝(m ＋i )2(m －i )(m ＋i )＝m 2－1＋2mi m 2＋1＝m 2－1m 2＋1＋2m m 2＋1i ，所以复数m ＋i m －i 对应的点的坐标为m 2－1m 2＋1，2mm 2＋1.又此点位于第一象限，所以⎩⎪⎨⎪⎧m 2－1m 2＋1>0，2m m 2＋1>0，解得m >1，即实数m 的取值范围是(1，＋∞)．故选D.3.(2019·全国卷Ⅰ)设复数z 满足|z －i |＝1，z 在复平面内对应的点为(x ，y )，则( )A.(x ＋1)2＋y 2＝1 B ．(x －1)2＋y 2＝1 C.x 2＋(y －1)2＝1 D ．x 2＋(y ＋1)2＝1答案 C解析 由已知条件，可得z ＝x ＋yi .∵|z －i |＝1， ∴|x ＋yi －i |＝1，∴x 2＋(y －1)2＝1.故选C.复数的几何意义及应用(1)复数z 、复平面上的点Z 及向量OZ →相互联系，即z ＝a ＋bi (a ，b ∈R )⇔Z (a ，b )⇔OZ→. (2)由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观．提醒：|z |的几何意义：令z ＝x ＋yi (x ，y ∈R )，则|z |＝x 2＋y 2，由此可知表示复数z 的点到原点的距离就是|z |的几何意义；|z 1－z 2|的几何意义是复平面内表示复数z 1，z 2的两点之间的距离．1.(2019·长春二模)已知复数z ＝i ＋i 2，则在复平面内z 对应的点位于( ) A.第一象限 B ．第二象限 C.第三象限 D ．第四象限答案 B解析 ∵i ＋i 2＝－1＋i ，∴i ＋i 2在复平面内对应的点为(－1,1)，在第二象限．故选B.2.在复平面内，若O (0,0)，A (2，－1)，B (0,3)，则在▱OACB 中，点C 所对应的复数为( )A.2＋2i B ．2－2i C ．1＋i D ．1－i答案 A解析 在▱OACB 中，OC →＝OA →＋OB →＝(2，－1)＋(0,3)＝(2,2)，所以点C 所对应的复数为2＋2i .3.如图所示的网格纸中小正方形的边长是1，复平面内点Z 对应的复数z 满足(z 1－i )·z ＝1，则复数z 1＝( )A ．－25＋45i B.25＋45i C.25－45i D.－25－45i 答案 B解析 由图可知z ＝2＋i ，因为(z 1－i )·z ＝1， 所以z 1＝1z ＋i ＝12＋i＋i ＝2－i 5＋i ＝25＋45i .对应学生用书P289组 基础关1.(2019·潍坊模拟)设z ＝i 3＋2－i1＋2i ，则z 的虚部是( )A.－1 B ．－45i C ．－2i D ．－2答案 D解析 z ＝i 3＋2－i 1＋2i ＝－i ＋(2－i )(1－2i )(1＋2i )(1－2i )＝－i ＋2－5i ＋2i25＝－i －i ＝－2i ，∴z 的虚部为－2.故选D.2.(2020·大连摸底)在复平面内，复数z ＝4－7i2＋3i(i 是虚数单位)，则z 的共轭复数z －在复平面内对应的点位于( ) A.第一象限 B ．第二象限 C.第三象限 D ．第四象限答案 B 解析 z ＝4－7i 2＋3i＝(4－7i )(2－3i )13＝－13－26i 13＝－1－2i ，其共轭复数z －＝－1＋2i 对应的点(－1,2)在第二象限.3.(2019·南宁二模)若复数z 满足(1＋z )(1＋i )＝1＋2i (i 是虚数单位)，则|z |＝( ) A.22 B.32 C. 2 D. 3答案 A解析 解法一：由(1＋z )(1＋i )＝1＋2i ，得z ＝1＋2i 1＋i－1＝12＋12i ，所以|z |＝122＋122＝22.故选A.解法二：设z ＝a ＋bi (a ，b ∈R )．由(1＋z )(1＋i )＝1＋2i ，得(1＋a ＋bi )(1＋i )＝1＋2i ，所以(1＋a －b )＋(1＋a ＋b )i ＝1＋2i ，所以⎩⎨⎧1＋a －b ＝1，1＋a ＋b ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝12，所以z ＝12＋12i ，则|z |＝122＋122＝22.故选A.4.(2019·广东湛江测试)若z ＝(a －2)＋ai 为纯虚数，其中a ∈R ，则a ＋i 71＋ai ＝( ) A.i B ．1 C ．－i D ．－1答案 C解析 ∵z 为纯虚数，∴⎩⎨⎧a －2＝0，a ≠0，∴a ＝2，∴a ＋i 71＋ai ＝2－i1＋2i ＝(2－i )(1－2i )(1＋2i )(1－2i )＝－3i3＝－i .故选C.5.已知m 为实数，i 为虚数单位，若m ＋(m 2－4)i >0，则m ＋2i2－2i＝( )A.i B ．1 C ．－i D ．－1答案 A解析 因为m ＋(m 2－4)i >0，所以m ＋(m 2－4)i 是实数，所以⎩⎨⎧m >0，m 2－4＝0，故m ＝2.所以m ＋2i 2－2i ＝2＋2i 2－2i ＝1＋i1－i＝i . 6.(2019·江西省重点中学协作体第一次联考)已知i 为虚数单位，(1＋i )x ＝2＋yi ，其中x ，y ∈R ，则|x ＋yi |＝( ) A.2 2 B. 2 C ．2 D ．4答案 A解析 ∵(1＋i )x ＝2＋yi ，x ＋ix ＝2＋yi .∴x ＝2，y ＝2，∴|x ＋yi |＝2 2.故选A. 7.(2017·全国卷Ⅰ)设有下面四个命题： p 1：若复数z 满足1z ∈R ，则z ∈R ；p2：若复数z满足z2∈R，则z∈R；p3：若复数z1，z2满足z1z2∈R，则z1＝z－2；p4：若复数z∈R，则z－∈R.其中的真命题为()A.p1，p3B．p1，p4C．p2，p3D．p2，p4答案 B解析设z＝a＋bi(a，b∈R)，z1＝a1＋b1i(a1，b1∈R)，z2＝a2＋b2i(a2，b2∈R)．对于p1，若1z∈R，即1a＋bi＝a－bia2＋b2∈R，则b＝0且a≠0⇒z＝a＋bi＝a∈R，所以p1为真命题．对于p2，若z2∈R，即(a＋bi)2＝a2＋2abi－b2∈R，则ab＝0.当a＝0，b≠0时，z＝a＋bi＝bi∈/ R，所以p2为假命题．对于p3，若z1z2∈R，即(a1＋b1i)(a2＋b2i)＝(a1a2－b1b2)＋(a1b2＋a2b1)i∈R，则a1b2＋a2b1＝0.而z1＝z－2，即a1＋b1i＝a2－b2i⇔a1＝a2，b1＝－b2.因为a1b2＋a2b1＝0⇒/ a1＝a2，b1＝－b2，所以p3为假命题．对于p4，若z∈R，即a＋bi∈R，则b＝0⇒z－＝a－bi＝a∈R，所以p4为真命题．故选B.8.(2017·天津高考)已知a∈R，i为虚数单位，若a－i2＋i为实数，则a的值为________．答案－2解析∵a∈R，a－i2＋i＝(a－i)(2－i)(2＋i)(2－i)＝2a－1－(a＋2)i5＝2a－15－a＋25i为实数，∴－a＋25＝0，∴a＝－2.9.设i是虚数单位，若z＝i2020i2021－1，则复数z的虚部是________．答案－1 2解析因为z＝i2020i2021－1＝i505×4i505×4＋1－1＝1i－1＝－12－12i，所以复数z的虚部是－12.10.已知复数z 满足z ＋|z |＝3＋i ，则z ＝________. 答案 43＋i解析 设z ＝a ＋bi (a ，b ∈R )．因为z ＋|z |＝3＋i ，所以a ＋a 2＋b 2＋bi ＝3＋i ， 即⎩⎨⎧a ＋a 2＋b 2＝3，b ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝43，b ＝1，所以z ＝43＋i .组 能力关1.(2019·哈尔滨模拟)复数z ＝a ＋bi (a ，b ∈R )，i 为虚数单位，z －为z 的共轭复数，则以下结论正确的是( ) A.z 2＝|z |2B.若a ＝0则z 为纯虚数C.(z －z －)(z ＋z －)＝0D.若a ＝b ，则z 对应复平面上的点在复平面一、三象限角平分线上 答案 D解析 z 2＝(a ＋bi )2＝a 2－b 2＋2abi ，|z |2＝(a 2＋b 2)2＝a 2＋b 2，故A 错误；当a ＝0，b ≠0时，z 为纯虚数，故B 错误；因为z ＝a ＋bi (a ，b ∈R )，所以z －＝a －bi ，(z －z －)(z ＋z －)＝2bi ·2a ＝4abi ≠0，故C 错误；z ＝a ＋bi ，对应复平面上的点坐标为(a ，b )，若a ＝b ，则此点在复平面一、三象限角平分线上，故D 正确.2.(2019·湖北四地七校联考)欧拉公式e iθ＝cos θ＋i sin θ(e 是自然对数的底数，i 是虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发现的．它将三角函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，当θ＝π时，就有e i π＋1＝0.根据上述背景知识，试判断e －i 2020π3表示的复数在复平面内对应的点位于( ) A.第一象限 B ．第二象限 C.第三象限 D ．第四象限答案 B解析 由题意，e －i 2020π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2020π3＋i sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2020π3＝－cos π3＋i sin π3＝－12＋32i ，则e －i 2020π3表示的复数在复平面内对应的点为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32，位于第二象限．选B. 3.(2019·西安模拟)已知方程x 2＋(4＋i )x ＋4＋ai ＝0(a ∈R )有实根b ，且z ＝a ＋bi ，则复数z 等于( ) A.2－2i B ．2＋2i C.－2＋2i D ．－2－2i答案 A解析 由题意得b 2＋(4＋i )b ＋4＋ai ＝0，整理得(b 2＋4b ＋4)＋(a ＋b )i ＝0，所以⎩⎨⎧ (b ＋2)2＝0，a ＋b ＝0，所以⎩⎨⎧a ＝2，b ＝－2，所以z ＝2－2i . 4.已知复数z 在复平面内对应的点在第三象限，则z 1＝z －＋|z |在复平面内对应的点在( ) A.第一象限 B ．第二象限 C.第三象限 D ．第四象限答案 A解析 令z ＝a ＋bi (a <0，b <0)，则|z |＝a 2＋b 2>|a |，z 1＝z －＋|z |＝(a 2＋b 2＋a )－bi ，又a 2＋b 2＋a >0，－b >0，所以z 1在复平面内对应的点在第一象限. 5.已知复数z ＝(a －2)＋(a ＋1)i (a ∈R )的对应点在复平面的第二象限，则|1＋ai |的取值范围是________． 答案 [1，5)解析 复数z ＝(a －2)＋(a ＋1)i 对应的点的坐标为(a －2，a ＋1)，因为该点位于第二象限，所以⎩⎨⎧a －2<0，a ＋1>0，解得－1<a <2.所以|1＋ai |＝1＋a 2∈[1，5).6.复数z 1，z 2满足z 1＝m ＋(4－m 2)i ，z 2＝2cos θ＋(λ＋3sin θ)i (m ，λ，θ∈R )，并且z 1＝z 2，则λ的取值范围是________．答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－916，7解析 由复数相等的充要条件，可得⎩⎨⎧m ＝2cos θ，4－m 2＝λ＋3s i n θ，化简得4－4cos 2θ＝λ＋3sin θ，由此可得λ＝－4cos 2θ－3sin θ＋4＝－4(1－sin 2θ)－3sin θ＋4＝4sin 2θ－3sin θ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫s i n θ－382－916，因为sin θ∈[－1,1]，所以λ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－916，7.。

高三数学一轮复习计划

高三数学一轮复习计划

高三数学一轮复习计划高三数学第一轮复备考计划一、指导思想为了适应新课程改革要求, 提高高中数学复效率是非常重要的。

数学复可以让学生更好地掌握数学基本知识和基本技能, 以及数学思想方法, 从而培养学生的思维能力, 激发学生研究数学的兴趣, 树立学好数学的信心, 争取在考试中取得满意的成绩。

二、复建议:1.以教材和资料《全品》为主1）用好课本例题、题复时, 考生要“回归”课本, 重新研究每个考点, 注意知识点的融会贯通, 掌握解题的通性、通法, 提高解题能力和速度。

考生复课本时, 要注意内容、符号表达的统一, 以及定义、定理、公式等叙述的规范。

同时, 许多高考试题都是由教材中的例题、题引申变化而来。

因此, 考生必须利用好课本, 夯实基础知识；教师也要注重课本的基础作用, 重视知识的交汇点, 培养学生逻辑思维能力。

2）用好资料《全品》熟练掌握课本, 夯实基础知识后, 可以通过《全品》再加强基础知识的应用, 训练解题能力和解题速度。

根据考试说明的变化, 应加强这方面的训练, 特别是要训练如何灵活选择较简运算途径解决繁杂计算的能力。

2.研读《考试大纲》、《考试说明》把握复方向研读《考试大纲》、《考试说明》可以帮助考生把握复方向, 重点复考试重点和难点。

同时, 也有助于考生了解考试形式和要求, 有针对性地进行复。

全体高三数学教师需要深入研究《考试大纲》, 认真研究《考试说明》, 以制订科学的复备考方案, 规范复内容和能力要求, 避免盲目复。

《考试大纲》是普通高考的纲领, 明确规定了高考的性质、内容、形式及试卷结构和试题题型, 是高考命题的依据, 指导整个高考工作, 也是教师备课的依据。

因此, 深入研究当年的《考试大纲》, 特别是与研究高考试题结合起来, 对科学预测试题变化, 及时调整复方案, 有着十分重要的意义。

教师需要注重《考试大纲》、《考试说明》的导向作用, 把握好复的范围重点、难点、热点, 制订周密的复计划, 正确控制知识的难度, 复内容的深度和广度, 防止一切依赖复资料, 脱离学生实际, 教材实际和高考实际的现象发生。

【高考讲坛】2016届高考数学一轮复习 第4章 第5节 数系的扩充与复数的引入课件 理 苏教版

【高考讲坛】2016届高考数学一轮复习 第4章 第5节 数系的扩充与复数的引入课件 理 苏教版

[答案] 21
考向 1
复数代数形式的运算(高频考点)
命题视角
复数代数形式的四则运算是每年高考的必考内
容．题型为选择题或填空题，难度较小，属容易题． 高考对复数代数形式的运算的考查主要有以下几个命题角度： (1)复数的乘法运算； (2)复数的除法运算； 浙江高考改编)已知 i 是虚数单位，则(2 ＋i)(3＋i)＝________.
(1)(2013· 山东高考改编)复数 z 满足(z－3)(2
－i)＝5(i 为虚数单位)，则 z 的共轭复数 z 为________． (2)(2013· 课标全国卷Ⅰ改编)若复数 z 满足(3－4i)z＝|4＋3i|， 则 z 的虚部为________．
52＋i 5 [解析] (1)由(z－3)(2－i)＝5，得 z＝ ＋3＝ ＋3 2－i 2－i2＋i 52＋i ＝ 5 ＋3＝5＋i，∴ z ＝5－i. |4＋3i| 42＋32 53＋4i 3 (2)∵(3－4i)z＝|4＋3i|，∴z＝ ＝ ＝ 25 ＝5＋ 3－4i 3－4i 4 4 5i，∴z 的虚部为5.
[答案] (1)× (2)× (3)× (4)√
2．(教材习题改编)复数 z＝(1－i)i 的虚部为________． [解析] 因为 z＝(1－i)i＝1＋i，所以虚部为 1.
[答案] 1
a＋2i 3．若复数 为纯虚数，则实数 a＝________. 1＋i
[解析]
a＋2i a＋2i1－i a＋2＋2－ai 因为 ＝ ＝ ，由已知该 2 1＋i 1＋i1－i
[答案] (1)一 (2)－5
【规律方法】 1．判断复数在平面内的点的位置的方法 首先将复数化成 a＋bi(a，b∈R)的形式，其次根据实部 a 和虚 部 b 的符号来确定点所在的象限． → 一一对应， 2． (1)复数 z＝a＋bi(a， b∈R)与点 Z(a， b)及向量OZ 相等向量表示同一复数． (2)复数加减法运算可借助向量的平行四边形法则和三角形法 则进行．

2016版高考数学大一轮复习课件：第11章-第5节数系的扩充与复数的引入

2016版高考数学大一轮复习课件：第11章-第5节数系的扩充与复数的引入

C．第三象限
D．第四象限
课
核
时
心 考
【答案】 (1)D (2)A
限 时
向
检
测
菜单
第二十四页，编辑于星期五：二十三点 五十四 分。
名师金典·新课标高考总复习·理科数学
思想方法之二十六 解决复数问题的根本方法——实数化
基 础 知 识 点
复数集是实数集的推广和发展，在解决复数问题时，将 复数问题转化为熟悉的实数问题，有助于解决问题．复数问
方 法 技 巧
A．2＋3i B．2－3i C．3＋2i D．3－2i
(2)i 为虚数单位，则11＋－ii2 015＝(
)
A．－i
B．－1
课
核
时
心 考
C．i
D．1
限 时
向
检
【答案】 (1)A (2)A
测
菜单
第十七页，编辑于星期五：二十三点 五十四分。
名师金典·新课标高考总复习·理科数学
规律方法 2 1.复数的加法、减法、乘法运算可以类比多
名师金典·新课标高考总复习·理科数学
基 础 知 识 点
———————— [1 个示范例] ————————
方 法 技 巧
(2013·天津高考)已知 a，b∈R，i 是虚数单位．若
(a＋i)(1＋i)＝bi，则 a＋bi＝________.
【解析】 由复数相等的定义求得 a，b 的值，即得复数． 课
位)，则|z|＝( )
A．1
B．2
课
核
C. 2
D. 3
时
心
限
考
时
向
检
测
菜单
第十二页，编辑于星期五：二十三点 五十四分。

2016届高考数学一轮复习教学案(基础知识+高频考点+解题训练)圆锥曲线的综合问题

2016届高考数学一轮复习教学案(基础知识+高频考点+解题训练)圆锥曲线的综合问题

2016届高考数学一轮复习教学案圆锥曲线的综合问题[知识能否忆起]1．直线与圆锥曲线的位置关系判定直线与圆锥曲线的位置关系时，通常是将直线方程与曲线方程联立，消去变量y (或x )得关于变量x (或y )的方程：ax 2＋bx ＋c ＝0(或ay 2＋by ＋c ＝0)．若a ≠0，可考虑一元二次方程的判别式Δ，有： Δ>0⇔直线与圆锥曲线相交； Δ＝0⇔直线与圆锥曲线相切； Δ<0⇔直线与圆锥曲线相离．若a ＝0且b ≠0，则直线与圆锥曲线相交，且有一个交点． 2．圆锥曲线的弦长问题设直线l 与圆锥曲线C 相交于A 、B 两点，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则弦长|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|或1＋1k2|y 1－y 2|.[小题能否全取]1．(教材习题改编)与椭圆x 212＋y 216＝1焦点相同，离心率互为倒数的双曲线方程是( )A ．y 2－x 23＝1 B.y 23－x 2＝1C.34x 2－38y 2＝1D.34y 2－38x 2＝1 解析：选A 设双曲线方程为y 2a 2－x 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，则⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝c 2，ca ＝2，c ＝2，得a ＝1，b ＝ 3.故双曲线方程为y 2－x 23＝1.2．(教材习题改编)直线y ＝kx －k ＋1与椭圆x 29＋y 24＝1的位置关系是( )A ．相交B ．相切C ．相离D ．不确定解析：选A 由于直线y ＝kx －k ＋1＝k (x －1)＋1过定点(1,1)，而(1,1)在椭圆内，故直线与椭圆必相交．3．过点(0,1)作直线，使它与抛物线y 2＝4x 仅有一个公共点，这样的直线有( ) A ．1条 B ．2条 C ．3条D ．4条解析：选C 结合图形分析可知，满足题意的直线共有3条：直线x ＝0，过点(0,1)且平行于x 轴的直线以及过点(0,1)且与抛物线相切的直线(非直线x ＝0)．4．过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左顶点A 且斜率为1的直线与椭圆的另一个交点为M ，与y 轴的交点为B ，若|AM |＝|MB |，则该椭圆的离心率为________．解析：由题意知A 点的坐标为(－a,0)，l 的方程为y ＝x ＋a ，所以B 点的坐标为(0，a )，故M 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2，a 2，代入椭圆方程得a 2＝3b 2，则c 2＝2b 2，则c 2a 2＝23，故e ＝63.答案：635．已知双曲线方程是x 2－y 22＝1，过定点P (2,1)作直线交双曲线于P 1，P 2两点，并使P (2,1)为P 1P 2的中点，则此直线方程是________________．解析：设点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，则由x 21－y 212＝1，x 22－y 222＝1，得k ＝y 2－y 1x 2－x 1＝x 2＋x 1y 2＋y 1＝2×42＝4，从而所求方程为4x －y －7＝0.将此直线方程与双曲线方程联立得14x 2－56x ＋51＝0，Δ＞0，故此直线满足条件．答案：4x －y －7＝01.直线与圆锥曲线的位置关系，主要涉及弦长、弦中点、对称、参数的取值范围、求曲线方程等问题．解题中要充分重视根与系数的关系和判别式的应用．2．当直线与圆锥曲线相交时：涉及弦长问题，常用“根与系数的关系”设而不求计算弦长(即应用弦长公式)；涉及弦的中点问题，常用“点差法”设而不求，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来，相互转化．同时还应充分挖掘题目中的隐含条件，寻找量与量间的关系灵活转化，往往就能事半功倍．解题的主要规律可以概括为“联立方程求交点，韦达定理求弦长，根的分布找范围，曲线定义不能忘”．典题导入[例1] (2012·北京高考)已知椭圆C ：x 2a2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个顶点为A (2,0)，离心率为22.直线y ＝k (x －1)与椭圆C 交于不同的两点M ，N .(1)求椭圆C 的方程；(2)当△AMN 的面积为103时，求k 的值．[自主解答](1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，c a ＝22，a 2＝b 2＋c 2，解得b ＝2，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 22＝1. (2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －，x 24＋y22＝1，得(1＋2k 2)x 2－4k 2x ＋2k 2－4＝0.设点M ，N 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则y 1＝k (x 1－1)，y 2＝k (x 2－1)，x 1＋x 2＝4k 21＋2k 2，x 1x 2＝2k 2－41＋2k 2，所以|MN |＝x 2－x 12＋y 2－y 12＝＋k 2x 1＋x 22－4x1x 2]＝2＋k 2＋6k 21＋2k 2.又因为点A (2,0)到直线y ＝k (x －1)的距离d ＝|k |1＋k 2，所以△AMN 的面积为 S ＝12|MN |· d ＝|k |4＋6k 21＋2k 2.由|k |4＋6k 21＋2k 2＝103，解得k ＝±1.由题悟法研究直线与圆锥曲线的位置关系时，一般转化为研究其直线方程与圆锥方程组成的方程组解的个数，但对于选择、填空题也可以利用几何条件，用数形结合的方法求解．以题试法1．(2012·信阳模拟)设抛物线y 2＝8x 的准线与x 轴交于点Q ，若过点Q 的直线l 与抛物线有公共点，则直线l 的斜率的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12 B ．[－2,2] C ．[－1,1]D ．[－4,4]解析：选C 易知抛物线y 2＝8x 的准线x ＝－2与x 轴的交点为Q (－2,0)，于是，可设过点Q (－2,0)的直线l 的方程为y ＝k (x ＋2)(由题可知k 是存在的)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝8x ，y ＝k x ＋⇒k 2x 2＋(4k 2－8)x ＋4k 2＝0.当k ＝0时，易知符合题意；当k ≠0时，其判别式为Δ＝(4k 2－8)2－16k 4＝－64k 2＋64≥0，可解得－1≤k ≤1.典题导入[例2] (2012·浙江高考)如图，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为12，其左焦点到点P (2,1)的距离为10.不过原点O 的直线l与C 相交于A ，B 两点，且线段AB 被直线OP 平分．(1)求椭圆C 的方程；(2)求△ABP 面积取最大值时直线l 的方程．[自主解答] (1)设椭圆左焦点为F (－c,0)，则由题意得⎩⎪⎨⎪⎧＋c 2＋1＝10，c a ＝12，得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝1，a ＝2.所以椭圆方程为x 24＋y 23＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，线段AB 的中点为M .当直线AB 与x 轴垂直时，直线AB 的方程为x ＝0，与不过原点的条件不符，舍去．故可设直线AB 的方程为y ＝kx ＋m (m ≠0)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，3x 2＋4y 2＝12消去y ，整理得(3＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－12＝0， ① 则Δ＝64k 2m 2－4(3＋4k 2)(4m 2－12)＞0，⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－8km3＋4k 2，x 1x 2＝4m 2－123＋4k 2.所以线段AB 的中点为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4km 3＋4k 2，3m 3＋4k 2. 因为M 在直线OP ：y ＝12x 上，所以3m 3＋4k 2＝－2km3＋4k 2.得m ＝0(舍去)或k ＝－32.此时方程①为3x 2－3mx ＋m 2－3＝0，则Δ＝3(12－m 2)＞0，⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝m ，x 1x 2＝m 2－33.所以|AB |＝1＋k 2·|x 1－x 2|＝396·12－m 2，设点P 到直线AB 的距离为d ，则d ＝|8－2m |32＋22＝2|m －4|13. 设△ABP 的面积为S ，则 S ＝12|AB |·d ＝36·m －2－m 2.其中m ∈(－23，0)∪(0,23)．令u (m )＝(12－m 2)(m －4)2，m ∈[－23，23 ]，u ′(m )＝－4(m －4)(m 2－2m －6)＝－4(m －4)(m －1－7)(m －1＋7)．所以当且仅当m ＝1－7时，u (m )取到最大值． 故当且仅当m ＝1－7时，S 取到最大值．综上，所求直线l 的方程为3x ＋2y ＋27－2＝0.由题悟法1．解决圆锥曲线的最值与范围问题常见的解法有两种：几何法和代数法．(1)若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决，这就是几何法；(2)若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立起目标函数，再求这个函数的最值，这就是代数法．2．在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下五个方面考虑： (1)利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；(2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是在两个参数之间建立等量关系；(3)利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； (4)利用基本不等式求出参数的取值范围； (5)利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围．以题试法2．(2012·东莞模拟)已知抛物线y 2＝2px (p ≠0)上存在关于直线x ＋y ＝1对称的相异两点，则实数p 的取值范围为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，0B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，23C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，0D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32 解析：选B 设抛物线上关于直线x ＋y ＝1对称的两点是M (x 1，y 1)、N (x 2，y 2)，设直线MN 的方程为y ＝x ＋b .将y ＝x ＋b 代入抛物线方程，得x 2＋(2b －2p )x ＋b 2＝0，则x 1＋x 2＝2p －2b ，y 1＋y 2＝(x 1＋x 2)＋2b ＝2p ，则MN 的中点P 的坐标为(p －b ，p )．因为点P 在直线x ＋y ＝1上，所以2p －b ＝1，即b ＝2p －1.又Δ＝(2b －2p )2－4b 2＝4p 2－8bp ＞0，将b ＝2p －1代入得4p 2－8p (2p －1)＞0，即3p 2－2p ＜0，解得0＜p ＜23.典题导入[例3] (2012·辽宁高考)如图，椭圆C 0：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0，a ，b 为常数)，动圆C 1：x 2＋y 2＝t 21，b <t 1<a .点A 1，A 2分别为C 0的左，右顶点，C 1与C 0相交于A ，B ，C ，D 四点．(1)求直线AA 1与直线A 2B 交点M 的轨迹方程；(2)设动圆C 2：x 2＋y 2＝t 22与C 0相交于A ′，B ′，C ′，D ′四点，其中b <t 2<a ，t 1≠t 2.若矩形ABCD 与矩形A ′B ′C ′D ′的面积相等，证明：t 21＋t 22为定值． [自主解答] (1)设 A (x 1，y 1)，B (x 1，－y 1)，又知A 1(－a,0)，A 2(a,0)，则直线A 1A 的方程为y ＝y 1x 1＋a(x ＋a )，①直线A 2B 的方程为y ＝－y 1x 1－a(x －a )．②由①②得y 2＝－y 21x 21－a2(x 2－a 2)．③由点A (x 1，y 1)在椭圆C 0上，故x 21a 2＋y 21b 2＝1.从而y 21＝b 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 21a 2，代入③得x 2a 2－y 2b 2＝1(x <－a ，y <0)． (2)证明：设A ′(x 2，y 2)，由矩形ABCD 与矩形A ′B ′C ′D ′的面积相等，得4|x 1||y 1|＝4|x 2|·|y 2|，故x 21y 21＝x 22y 22.因为点A ，A ′均在椭圆上，所以b 2x 21⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 21a 2＝b 2x 22⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 22a 2. 由t 1≠t 2，知x 1≠x 2，所以x 21＋x 22＝a 2，从而y 21＋y 22＝b 2， 因此t 21＋t 22＝a 2＋b 2为定值．由题悟法1．求定值问题常见的方法有两种(1)从特殊入手，求出表达式，再证明这个值与变量无关；(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值． 2．定点的探索与证明问题(1)探索直线过定点时，可设出直线方程为y ＝kx ＋b ，然后利用条件建立b 、k 等量关系进行消元，借助于直线系方程找出定点；(2)从特殊情况入手，先探求定点，再证明一般情况．以题试法3．(2012·山东省实验中学模拟)已知抛物线y 2＝2px (p ≠0)及定点A (a ，b )，B (－a,0)，ab ≠0，b 2≠2pa ，M 是抛物线上的点．设直线AM ，BM 与抛物线的另一个交点分别为M 1，M 2，当M 变动时，直线M 1M 2恒过一个定点，此定点坐标为________．解析：设M ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 202p ，y 0，M 1⎝ ⎛⎭⎪⎫y 212p ，y 1，M 2⎝ ⎛⎭⎪⎫y 222p ，y 2，由点A ，M ，M 1共线可知y 0－b y 202p－a＝y 1－y 0y 212p －y 202p ，得y 1＝by 0－2pa y 0－b，同理由点B ，M ，M 2共线得y 2＝2pay 0.设(x ，y )是直线M 1M 2上的点，则y 2－y 1y 222p －y 212p ＝y 2－y y 222p－x，即y 1y 2＝y (y 1＋y 2)－2px ，又y 1＝by 0－2pa y 0－b，y 2＝2pay 0，则(2px －by )y 02＋2pb (a －x )y 0＋2pa (by －2pa )＝0.当x ＝a ，y ＝2pab时上式恒成立，即定点为⎝⎛⎭⎪⎫a ，2pa b . 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，2pa b1．已知双曲线x 2－y 23＝1的左顶点为A 1，右焦点为F 2，P 为双曲线右支上一点，则1PA ,·2PF ,的最小值为( )A ．－2B ．－8116C ．1D ．0解析：选A 设点P (x ，y )，其中x ≥1.依题意得A 1(－1,0)，F 2(2,0)，由双曲线方程得y 2＝3(x 2－1)．1PA ,·2PF ,＝(－1－x ，－y )·(2－x ，－y )＝(x ＋1)(x －2)＋y 2＝x 2＋y 2－x －2＝x 2＋3(x 2－1)－x －2＝4x 2－x －5＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫x －182－8116，其中x ≥1.因此，当x ＝1时，1PA ,·2PF ,取得最小值－2.2．过抛物线y 2＝2x 的焦点作一条直线与抛物线交于A 、B 两点，它们的横坐标之和等于2，则这样的直线( )A ．有且只有一条B ．有且只有两条C ．有且只有三条D ．有且只有四条解析：选B 设该抛物线焦点为F ，则|AB |＝|AF |＋|FB |＝x A ＋p 2＋x B ＋p2＝x A ＋x B ＋1＝3＞2p ＝2.所以符合条件的直线有且仅有两条．3．(2012·南昌联考)过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点F 作与x 轴垂直的直线，分别与双曲线、双曲线的渐近线交于点M 、N (均在第一象限内)，若FM ,＝4MN ,，则双曲线的离心率为( )A.54B.53C.35D.45解析：选B 由题意知F (c,0)，则易得M ，N 的纵坐标分别为b 2a，bc a，由FM ,＝4MN ,得b 2a ＝4·⎝ ⎛⎭⎪⎫bc a －b 2a ，即b c ＝45.又c 2＝a 2＋b 2，则e ＝c a ＝53.4．已知椭圆x 225＋y 216＝1的焦点是F 1，F 2，如果椭圆上一点P 满足PF 1⊥PF 2，则下面结论正确的是( )A ．P 点有两个B ．P 点有四个C ．P 点不一定存在D ．P 点一定不存在解析：选D 设椭圆的基本量为a ，b ，c ，则a ＝5，b ＝4，c ＝3.以F 1F 2为直径构造圆，可知圆的半径r ＝c ＝3＜4＝b ，即圆与椭圆不可能有交点．5．已知椭圆C ：x 22＋y 2＝1的两焦点为F 1，F 2，点P (x 0，y 0)满足x 202＋y 20≤1，则|PF 1|＋|PF 2|的取值范围为________．解析：当P 在原点处时，|PF 1|＋|PF 2|取得最小值2；当P 在椭圆上时，|PF 1|＋|PF 2|取得最大值22，故|PF 1|＋|PF 2|的取值范围为[2,22 ]．答案：[2,22 ]6．(2013·长沙月考)直线l ：x －y ＝0与椭圆x 22＋y 2＝1相交于A 、B 两点，点C 是椭圆上的动点，则△ABC 面积的最大值为________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝0，x22＋y 2＝1，得3x 2＝2，∴x ＝±63，∴A ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫63，63，B ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－63，－63，∴|AB |＝433.设点C (2cos θ，sin θ)，则点C 到AB 的距离d ＝|2cos θ－sin θ|2＝32·⎪⎪sin(θ－φ)⎪⎪≤32，∴S △ABC ＝12|AB |·d ≤12×433×32＝2.答案：27．设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2＋y 2b 2＝1(0<b <1)的左，右焦点，过F 1的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且|AF 2|，|AB |，|BF 2|成等差数列．(1)求|AB |；(2)若直线l 的斜率为1，求b 的值． 解：(1)由椭圆定义知|AF 2|＋|AB |＋|BF 2|＝4， 又2|AB |＝|AF 2|＋|BF 2|，得|AB |＝43.(2)l 的方程为y ＝x ＋c ，其中c ＝1－b 2.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则A ，B 两点坐标满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋c ，x 2＋y2b2＝1，化简得(1＋b 2)x 2＋2cx ＋1－2b 2＝0.则x 1＋x 2＝－2c1＋b 2，x 1x 2＝1－2b 21＋b 2.因为直线AB 的斜率为1， 所以|AB |＝2|x 2－x 1|，即43＝2|x 2－x 1|.则89＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝－b 2＋b 22－－2b 21＋b 2＝8b 4＋b 22，解得b ＝22.8．(2012·黄冈质检)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为22，椭圆上任意一点到右焦点F 的距离的最大值为2＋1.(1)求椭圆的方程；(2)已知点C (m,0)是线段OF 上一个动点(O 为坐标原点)，是否存在过点F 且与x 轴不垂直的直线l 与椭圆交于A ，B 点，使得|AC |＝|BC |？并说明理由．解：(1)∵⎩⎪⎨⎪⎧e ＝c a ＝22a ＋c ＝2＋1，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2c ＝1，∴b ＝1，∴椭圆的方程为x 22＋y 2＝1.(2)由(1)得F (1,0)，∴0≤m ≤1. 假设存在满足题意的直线l ，设l 的方程为y ＝k (x －1)，代入x 22＋y 2＝1中，得(2k 2＋1)x 2－4k 2x ＋2k 2－2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4k 22k 2＋1，x 1x 2＝2k 2－22k 2＋1，∴y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2－2)＝－2k2k 2＋1.设AB 的中点为M ，则M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 22k 2＋1，－k 2k 2＋1. ∵|AC |＝|BC |，∴CM ⊥AB ，即k CM ·k AB ＝－1，∴k2k 2＋1m －2k 22k 2＋1·k ＝－1，即(1－2m )k 2＝m .∴当0≤m ＜12时，k ＝±m1－2m，即存在满足题意的直线l ；当12≤m ≤1时，k 不存在，即不存在满足题意的直线l . 9．(2012·江西模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，直线y ＝x ＋6与以原点为圆心，以椭圆C 的短半轴长为半径的圆相切，F 1，F 2为其左，右焦点，P 为椭圆C 上任一点，△F 1PF 2的重心为G ，内心为I ，且IG ∥F 1F 2.(1)求椭圆C 的方程；(2)若直线l ：y ＝kx ＋m (k ≠0)与椭圆C 交于不同的两点A ，B ，且线段AB 的垂直平分线过定点C ⎝ ⎛⎭⎪⎫16，0，求实数k 的取值范围．解：(1)设P (x 0，y 0)，x 0≠±a ，则G ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 03，y 03.又设I (x I ，y I )，∵IG ∥F 1F 2， ∴y I ＝y 03，∵|F 1F 2|＝2c ，∴S △F 1PF 2＝12·|F 1F 2|·|y 0|＝12(|PF 1|＋|PF 2|＋|F 1F 2|)·| y 03| ，∴2c ·3＝2a ＋2c ，∴e ＝c a ＝12，又由题意知b ＝|6|1＋1，∴b ＝3，∴a ＝2，∴椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1y ＝kx ＋m，消去y ，得(3＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－12＝0，由题意知Δ＝(8km )2－4(3＋4k 2)(4m 2－12)＞0，即m 2＜4k 2＋3，又x 1＋x 2＝－8km3＋4k 2，则y 1＋y 2＝6m3＋4k 2，∴线段AB 的中点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－4km 3＋4k 2，3m 3＋4k 2. 又线段AB 的垂直平分线l ′的方程为y ＝－1k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －16，点P 在直线l ′上，∴3m3＋4k 2＝－1k ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4km 3＋4k 2－16， ∴4k 2＋6km ＋3＝0，∴m ＝－16k(4k 2＋3)，∴k 2＋236k 2＜4k 2＋3，∴k 2＞332，解得k＞68或k ＜－68，∴k 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－∞，－68∪⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫68，＋∞.1．(2012·长春模拟)已知点A (－1,0)，B (1,0)，动点M 的轨迹曲线C 满足∠AMB ＝2θ，|AM |,·|BM |,cos 2θ＝3，过点B 的直线交曲线C 于P ，Q 两点．(1)求|AM |,＋|BM |,的值，并写出曲线C 的方程； (2)求△APQ 的面积的最大值．解：(1)设M (x ，y )，在△MAB 中，|AB |,＝2，∠AMB ＝2θ，根据余弦定理得|AM |,2＋|BM |,2－2|AM |,·|BM |,cos 2θ＝|AB |,2＝4，即(|AM |,＋|BM |,)2－2|AM |,·|BM |,·(1＋cos 2θ)＝4，所以(|AM|,＋|BM|,)2－4|AM|,| BM|,·cos2θ＝4.因为|AM|,·|BM|,cos2θ＝3，所以(|AM|,＋|BM|,)2－4×3＝4，所以|AM|,＋|BM|,＝4.又|AM|,＋|BM|,＝4＞2＝|AB|，因此点M的轨迹是以A，B为焦点的椭圆(点M在x轴上也符合题意)，设椭圆的方程为x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)，则a＝2，c＝1，所以b2＝a2－c2＝3.所以曲线C的方程为x24＋y23＝1.(2)设直线PQ的方程为x＝my＋1.由⎩⎪⎨⎪⎧x＝my＋1x24＋y23＝1，消去x，整理得(3m2＋4)y2＋6my－9＝0.①显然方程①的判别式Δ＝36m2＋36(3m2＋4)＞0，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则△APQ的面积S△APQ＝12×2×|y1－y2|＝|y1－y2|.由根与系数的关系得y1＋y2＝－6m3m2＋4，y1y2＝－93m2＋4，所以(y1－y2)2＝(y1＋y2)2－4y1y2＝48×3m2＋33m 2＋42.令t＝3m2＋3，则t≥3，(y1－y2)2＝48t＋1t＋2，由于函数φ(t )＝t ＋1t在[3，＋∞)上是增函数，所以t ＋1t ≥103，当且仅当t ＝3m 2＋3＝3，即m ＝0时取等号，所以(y 1－y 2)2≤48103＋2＝9，即|y 1－y 2|的最大值为3， 所以△APQ 的面积的最大值为3，此时直线PQ 的方程为x ＝1. 2．(2012·郑州模拟)已知圆C 的圆心为C (m,0)，m ＜3，半径为5，圆C 与离心率e＞12的椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的其中一个公共点为A (3,1)，F 1，F 2分别是椭圆的左、右焦点．(1)求圆C 的标准方程；(2)若点P 的坐标为(4,4)，试探究直线PF 1与圆C 能否相切？若能，设直线PF 1与椭圆E 相交于D ，B 两点，求△DBF 2的面积；若不能，请说明理由．解：(1)由已知可设圆C 的方程为(x －m )2＋y 2＝5(m ＜3)， 将点A 的坐标代入圆C 的方程中，得(3－m )2＋1＝5， 即(3－m )2＝4，解得m ＝1，或m ＝5. ∴m ＜3，∴m ＝1.∴圆C 的标准方程为(x －1)2＋y 2＝5. (2)直线PF 1能与圆C 相切，依题意设直线PF 1的斜率为k ，则直线PF 1的方程为y ＝k (x －4)＋4，即kx －y －4k ＋4＝0，若直线PF 1与圆C 相切，则|k －0－4k ＋4|k 2＋1＝5.∴4k 2－24k ＋11＝0，解得k ＝112或k ＝12.当k ＝112时，直线PF 1与x 轴的交点的横坐标为3611，不合题意，舍去．当k ＝12时，直线PF 1与x 轴的交点的横坐标为－4，∴c ＝4，F 1(－4,0)，F 2(4,0)． ∴由椭圆的定义得： 2a ＝|AF 1|＋|AF 2|＝＋2＋12＋－2＋12＝52＋2＝6 2.∴a ＝32，即a 2＝18，∴e ＝432＝223＞12，满足题意．故直线PF 1能与圆C 相切．直线PF 1的方程为x －2y ＋4＝0，椭圆E 的方程为x 218＋y 22＝1.设B (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，把直线PF 1的方程代入椭圆E 的方程并化简得，13y 2－16y －2＝0，由根与系数的关系得y 1＋y 2＝1613，y 1y 2＝－213，故S △DBF 2＝4|y 1－y 2|＝4y 1＋y 22－4y 1y 2＝241013.1．已知抛物线C 的顶点在坐标原点，焦点为F (1,0)，过焦点F 的直线l 与抛物线C 相交于A ，B 两点，若直线l 的倾斜角为45°，则弦AB 的中点坐标为( )A ．(1,0)B ．(2,2)C ．(3,2)D ．(2,4)解析：选C 依题意得，抛物线C 的方程是y 2＝4x ，直线l 的方程是y ＝x －1.由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，y ＝x －1消去y 得(x －1)2＝4x ，即x 2－6x ＋1＝0，因此线段AB 的中点的横坐标是62＝3，纵坐标是y ＝3－1＝2，所以线段AB 的中点坐标是(3,2)．2．若直线mx ＋ny ＝4和圆O ：x 2＋y 2＝4没有交点，则过点(m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 24＝1的交点个数为( ) A ．至多1个 B ．2个 C ．1个D ．0个解析：选B 由题意得4m 2＋n 2＞2，即m 2＋n 2＜4，则点(m ，n )在以原点为圆心，以2为半径的圆内，此圆在椭圆x 29＋y 24＝1的内部．3．(2012·深圳模拟)如图，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32，以椭圆C 的左顶点T 为圆心作圆T ：(x ＋2)2＋y 2＝r 2(r ＞0)，设圆T 与椭圆C 交于点M 与点N .(1)求椭圆C 的方程；(2)求TM ,·TN ,的最小值，并求此时圆T 的方程； (3)设点P 是椭圆C 上异于M ，N 的任意一点，且直线MP ，NP 分别与x 轴交于点R ，S ，O 为坐标原点，求证：|OR |·|OS |为定值．解：(1)依题意，得a ＝2，e ＝ca＝32， ∴c ＝3，b ＝a 2－c 2＝1. 故椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)易知点M 与点N 关于x 轴对称，设M (x 1，y 1)，N (x 1，－y 1)，不妨设y 1＞0. 由于点M 在椭圆C 上，∴y 21＝1－x 214.(*)由已知T (－2,0)，则TM ,＝(x 1＋2，y 1)，TN ,＝(x 1＋2，－y 1)，∴TM ,·TN ,＝(x 1＋2，y 1)·(x 1＋2，－y 1)＝(x 1＋2)2－y 21＝(x 1＋2)2－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 214＝54x 21＋4x 1＋3 ＝54⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋852－15.由于－2＜x 1＜2，故当x 1＝－85时，TM ,·TN ,取得最小值－15.把x 1＝－85代入(*)式，得y 1＝35，故M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－85，35，又点M 在圆T 上，代入圆的方程得r 2＝1325. 故圆T的方程为(x ＋2)2＋y 2＝1325. (3)设P (x 0，y 0)，则直线MP 的方程为：y －y 0＝y 0－y 1x 0－x 1(x －x 0)，令y ＝0，得x R ＝x 1y 0－x 0y 1y 0－y 1，同理：x S ＝x 1y 0＋x 0y 1y 0＋y 1，故x R ·x S ＝x 21y 20－x 20y 21y 20－y 21.(**)又点M 与点P 在椭圆上，故x 20＝4(1－y 20)，x 21＝4(1－y 21)，代入(**)式， 得x R ·x S ＝－y 21y 20－－y 20y 21y 20－y 21＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫y 20－y 21y 20－y 21＝4. 所以|OR |·|OS |＝|x R |·|x S |＝|x R ·x S |＝4为定值．平面解析几何(时间：120分钟，满分150分)一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分)1．(2012·佛山模拟)已知直线l ：ax ＋y －2－a ＝0在x 轴和y 轴上的截距相等，则a 的值是( )A ．1B ．－1C ．－2或－1D ．－2或1解析：选D 由题意得a ＋2＝a ＋2a，解得a ＝－2或a ＝1.2．若直线l 与直线y ＝1，x ＝7分别交于点P ，Q ，且线段PQ 的中点坐标为(1，－1)，则直线l 的斜率为( )A.13B ．－13C ．－32D.23解析：选B 设P (x P ,1)，由题意及中点坐标公式得x P ＋7＝2，解得x P ＝－5，即P (－5,1)，所以k ＝－13.3．(2012·长春模拟)已知点A (1，－1)，B (－1,1)，则以线段AB 为直径的圆的方程是( ) A ．x 2＋y 2＝2 B ．x 2＋y 2＝ 2C ．x 2＋y 2＝1D ．x 2＋y 2＝4解析：选A AB 的中点坐标为(0,0)， |AB |＝[1－－2＋－1－2＝22，∴圆的方程为x 2＋y 2＝2.4．(2012·福建高考)已知双曲线x 24－y 2b 2＝1的右焦点与抛物线y 2＝12x 的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于( )A. 5 B ．4 2C ．3D ．5解析：选A ∵抛物线y 2＝12x 的焦点坐标为(3,0)，故双曲线x 24－y 2b 2＝1的右焦点为(3,0)，即c ＝3，故32＝4＋b 2，∴b 2＝5，∴双曲线的渐近线方程为y ＝±52x ，∴双曲线的右焦点到其渐近线的距离为⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪52×31＋54＝ 5.5．(2012·郑州模拟)若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左，右焦点分别为F 1，F 2，线段F 1F 2被抛物线y 2＝2bx 的焦点分成7∶3的两段，则此双曲线的离心率为( )A.98B.53C.324D.54解析：选B 依题意得，c ＋b 2＝77＋3×2c ，即b ＝45c (其中c 是双曲线的半焦距)，a ＝c 2－b 2＝35c ，则c a ＝53，因此该双曲线的离心率等于53. 6．设双曲线的左，右焦点为F 1，F 2，左，右顶点为M ，N ，若△PF 1F 2的一个顶点P 在双曲线上，则△PF 1F 2的内切圆与边F 1F 2的切点的位置是( )A ．在线段MN 的内部B ．在线段F 1M 的内部或NF 2内部C ．点N 或点MD ．以上三种情况都有可能解析：选C 若P 在右支上，并设内切圆与PF 1，PF 2的切点分别为A ，B ，则|NF 1|－|NF 2|＝|PF 1|－|PF 2|＝(|PA |＋|AF 1|)－(|PB |＋|BF 2|)＝|AF 1|－|BF 2|.所以N 为切点，同理P 在左支上时，M 为切点． 7．圆x 2＋y 2－4x ＝0在点P (1, 3)处的切线方程为( ) A ．x ＋3y －2＝0 B ．x ＋3y －4＝0 C ．x －3y ＋4＝0D ．x －3y ＋2＝0解析：选D 圆的方程为(x －2)2＋y 2＝4，圆心坐标为(2,0)，半径为2，点P 在圆上，设切线方程为y －3＝k (x －1)，即kx －y －k ＋3＝0，所以|2k －k ＋3|k 2＋1＝2，解得k ＝33.所以切线方程为y －3＝33(x －1)，即x －3y ＋2＝0.8．(2012·新课标全国卷)等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线y 2＝16x 的准线交于A ，B 两点，|AB |＝43，则C 的实轴长为( ) A.2B ．2 2C ．4D ．8解析：选C 抛物线y 2＝16x 的准线方程是x ＝－4，所以点A (－4，23)在等轴双曲线C ：x 2－y 2＝a 2(a ＞0)上，将点A 的坐标代入得a ＝2，所以C 的实轴长为4.9．(2012·潍坊适应性训练)已知双曲线C ：x 24－y 25＝1的左，右焦点分别为F 1，F 2，P为C 的右支上一点，且|PF 2|＝|F 1F 2|，则|PF 2|＝|F 1F 2|，则1PF ,·2PF ,等于( )A ．24B ．48C ．50D ．56解析：选C 由已知得|PF 2|＝|F 1F 2|＝6，根据双曲线的定义可得|PF 1|＝10，在△F 1PF 2中，根据余弦定理可得cos ∠F 1PF 2＝56，所以1PF ,·2PF ,＝10×6×56＝50.10．(2012·南昌模拟)已知△ABC 外接圆半径R ＝1433，且∠ABC ＝120°，BC ＝10，边BC 在x 轴上且y 轴垂直平分BC 边，则过点A 且以B ，C 为焦点的双曲线方程为( )A.x 275－y 2100＝1B.x 2100－y 275＝1 C.x 29－y 216＝1D.x 216－y 29＝1 解析：选D ∵sin ∠BAC ＝BC 2R ＝5314，∴cos ∠BAC ＝1114，|AC |＝2R sin ∠ABC ＝2×1433×32＝14，sin ∠ACB ＝sin(60°－∠BAC )＝sin 60°cos∠BAC －cos 60°sin∠BAC ＝32×1114－12×5314＝3314， ∴|AB |＝2R sin ∠ACB ＝2×1433×3314＝6，∴2a ＝||AC |－|AB ||＝14－6＝8，∴a ＝4，又c ＝5，∴b 2＝c 2－a 2＝25－16＝9， ∴所求双曲线方程为x 216－y 29＝1.11．(2012·乌鲁木齐模拟)已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，P ，Q 是抛物线上的两个点，若△PQF 是边长为2的正三角形，则p 的值是( )A ．2± 3B ．2＋ 3C.3±1D.3－1解析：选A 依题意得F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，设P ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 212p ，y 1，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 222p ，y 2(y 1≠y 2)．由抛物线定义及|PF |＝|QF |，得y 212p ＋p 2＝y 222p ＋p2，所以y 21＝y 22，所以y 1＝－y 2.又|PQ |＝2，因此|y 1|＝|y 2|＝1，点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12p ，y 1.又点P 位于该抛物线上，于是由抛物线的定义得|PF |＝12p ＋p2＝2，由此解得p ＝2± 3.12．已知中心在原点，焦点在坐标轴上，焦距为4的椭圆与直线x ＋3y ＋4＝0有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为( )A ．32或4 2B ．26或27C ．25或27D.5或7解析：选C 设椭圆方程为mx 2＋ny 2＝1(m ≠n 且m ，n ＞0)，与直线方程x ＋3y ＋4＝0联立，消去x 得(3m ＋n )y 2＋83my ＋16m －1＝0，由Δ＝0得3m ＋n ＝16mn ，即3n ＋1m＝16，①又c ＝2，即1m －1n＝±4，②由①②联立得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝17n ＝13或⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1n ＝15，故椭圆的长轴长为27或2 5.二、填空题(本题有4小题，每小题5分，共20分)13．(2012·青岛模拟)已知两直线l 1：x ＋y sin θ－1＝0和l 2：2x sin θ＋y ＋1＝0，当l 1⊥l 2时，θ＝________.解析：l 1⊥l 2的充要条件是2sin θ＋sin θ＝0，即sin θ＝0，所以θ＝k π(k ∈Z )．所以当θ＝k π(k ∈Z )时，l 1⊥l 2.答案：k π(k ∈Z )14．已知F 1，F 2分别是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左，右焦点，A ，B 分别是此椭圆的右顶点和上顶点，P 是椭圆上一点，O 是坐标原点，OP ∥AB ，PF 1⊥x 轴，|F 1A |＝10＋5，则此椭圆的方程是______________________．解析：由于直线AB 的斜率为－b a，故直线OP 的斜率为－b a，直线OP 的方程为y ＝－b a x .与椭圆方程联立得x 2a 2＋x 2a 2＝1，解得x ＝±22a .根据PF 1⊥x 轴，取x ＝－22a ，从而－22a ＝－c ，即a ＝2c .又|F 1A |＝a ＋c ＝10＋5，故2c ＋c ＝10＋5，解得c ＝5，从而a ＝10.所以所求的椭圆方程为x 210＋y 25＝1.答案：x 210＋y 25＝115．(2012·陕西高考)右图是抛物线形拱桥，当水面在l 时，拱顶离水面2米，水面宽4米．水位下降1米后，水面宽________米．解析：设抛物线的方程为x 2＝－2py ，则点(2，－2)在抛物线上，代入可得p ＝1，所以x 2＝－2y .当y ＝－3时，x 2＝6，即x ＝±6，所以水面宽为26.答案：2616．(2012·天津高考)设m ，n ∈R ，若直线l ：mx ＋ny －1＝0与x 轴相交于点A ，与y 轴相交于点B ，且l 与圆x 2＋y 2＝4相交所得弦的长为2，O 为坐标原点，则△AOB 面积的最小值为________．解析：由直线与圆相交所得弦长为2，知圆心到直线的距离为3，即1m 2＋n 2＝3，所以m 2＋n 2＝13≥2|mn |，所以|mn |≤16，又A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ，0，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1n ，所以△AOB 的面积为12|mn |≥3，最小值为3.答案：3三、解答题(本题共6小题，共70分)17．(10分)求过直线l 1：x －2y ＋3＝0与直线l 2：2x ＋3y －8＝0的交点，且到点P (0,4)距离为2的直线方程．解：由⎩⎪⎨⎪⎧ x －2y ＋3＝0，2x ＋3y －8＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2.所以l 1与l 2的交点为(1,2)，设所求直线y －2＝k (x －1)(由题可知k 存在)，即kx －y ＋2－k ＝0，∵P (0,4)到直线距离为2，∴2＝|－2－k |1＋k 2，解得k ＝0或k ＝43.∴直线方程为y ＝2或4x －3y ＋2＝0.18．(12分)(2012·南昌模拟)已知圆C 过点P (1,1)，且与圆M ：(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝r 2(r ＞0)关于直线x ＋y ＋2＝0对称．(1)求圆C 的方程；(2)过点P 作两条相异直线分别与圆C 相交于A ，B ，且直线PA 和直线PB 的倾斜角互补，O 为坐标原点，试判断直线OP 和AB 是否平行？请说明理由．解：设圆心C (a ，b )，则⎩⎪⎨⎪⎧a －22＋b －22＋2＝0，b ＋2a ＋2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝0，则圆C 的方程为x 2＋y 2＝r 2，将点P 的坐标代入得r 2＝2， 故圆C 的方程为x 2＋y 2＝2.(2)由题意知，直线PA 和直线PB 的斜率存在，且互为相反数，故可设PA ：y －1＝k (x －1)，PB ：y －1＝－k (x －1)，由⎩⎪⎨⎪⎧y －1＝k x －，x 2＋y 2＝2得(1＋k 2)x 2＋2k (1－k )x ＋(1－k )2－2＝0.因为点P 的横坐标x ＝1一定是该方程的解，故可得x A ＝k 2－2k －11＋k 2.同理可得x B ＝k 2＋2k －11＋k 2，所以k AB ＝y B －y A x B －x A＝－k x B －－k x A －x B －x A＝2k －k x B ＋x Ax B －x A＝1＝k OP ，所以，直线AB 和OP 一定平行．19．(12分)(2012·天津高考)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，点P ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫55a ，22a 在椭圆上．(1)求椭圆的离心率；(2)设A 为椭圆的左顶点，O 为坐标原点．若点Q 在椭圆上且满足|AQ |＝|AO |，求直线OQ 的斜率的值．解：(1)因为点P ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫55a ，22a 在椭圆上，故a 25a 2＋a 22b 2＝1，可得b 2a 2＝58.于是e 2＝a 2－b 2a 2＝1－b 2a 2＝38，所以椭圆的离心率e ＝64.(2)设直线OQ 的斜率为k ，则其方程为y ＝kx ，设点Q 的坐标为(x 0，y 0)．由条件得⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝kx 0，x 2a 2＋y20b2＝1，消去y 0并整理得x 20＝a 2b 2k 2a 2＋b 2.①由|AQ |＝|AO |，A (－a,0)及y 0＝kx 0，得(x 0＋a )2＋k 2x 20＝a 2.整理得(1＋k 2)x 20＋2ax 0＝0，而x 0≠0，故x 0＝－2a 1＋k 2，代入①，整理得(1＋k 2)2＝4k 2·a 2b 2＋4.由(1)知a 2b 2＝85，故(1＋k 2)2＝325k 2＋4，即5k 4－22k 2－15＝0，可得k 2＝5. 所以直线OQ 的斜率k ＝±5.20．(12分)(2012·河南模拟)已知椭圆x 2a2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为22，短轴的一个端点为M (0,1)，直线l ：y ＝kx －13与椭圆相交于不同的两点A ，B .(1)若|AB |＝4269，求k 的值； (2)求证：不论k 取何值，以AB 为直径的圆恒过点M . 解：(1)由题意知ca ＝22，b ＝1.由a 2＝b 2＋c 2可得c ＝b ＝1，a ＝2，∴椭圆的方程为x 22＋y 2＝1.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －13，x 22＋y 2＝1得(2k 2＋1)x 2－43kx －169＝0.Δ＝169k 2－4(2k 2＋1)×⎝ ⎛⎭⎪⎫－169＝16k 2＋649＞0恒成立， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4k k 2＋，x 1x 2＝－16k 2＋.∴|AB |＝1＋k 2·|x 1－x 2|＝1＋k 2·x 1＋x 22－4x 1x 2＝4＋k 2k 2＋k 2＋＝4269， 化简得23k 4－13k 2－10＝0，即(k 2－1)(23k 2＋10)＝0，解得k ＝±1.(2)∵MA ,＝(x 1，y 1－1)，MB ,＝(x 2，y 2－1)，∴MA ,·MB ,＝x 1x 2＋(y 1－1)(y 2－1)，＝(1＋k 2)x 1x 2－43k (x 1＋x 2)＋169＝－＋k 2k 2＋－16k 2k 2＋＋169 ＝0.∴不论k 取何值，以AB 为直径的圆恒过点M .21． (2012·广州模拟)设椭圆M ：x 2a 2＋y 22＝1(a ＞2)的右焦点为F 1，直线l ：x ＝a 2a 2－2与x 轴交于点A ，若1OF ,＋21AF ,＝0(其中O 为坐标原点)．(1)求椭圆M 的方程；(2)设P 是椭圆M 上的任意一点，EF 为圆N ：x 2＋(y －2)2＝1的任意一条直径(E ，F 为直径的两个端点)，求PE ,·PF ,的最大值．解：(1)由题设知，A ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a 2a 2－2，0，F 1(a 2－2，0)，由1OF ,＋21AF ,＝0，得a 2－2＝2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a 2a 2－2－a 2－2， 解得a 2＝6.所以椭圆M 的方程为x 26＋y 22＝1. (2)设圆N ：x 2＋(y －2)2＝1的圆心为N ，则PE ,·PF ,＝(NE ,－NP ,)·(NF ,－NP ,) ＝(－NF ,－NP ,)·(NF ,－NP ,)＝NP ,2－NF ,2＝NP ,2－1.从而将求PE ,·PF ,的最大值转化为求NP ―→,2的最大值．因为P 是椭圆M 上的任意一点，设P (x 0，y 0)，所以x 206＋y 202＝1，即x 20＝6－3y 20. 因为点N (0,2)，所以NP ,2＝x 20＋(y 0－2)2＝－2(y 0＋1)2＋12. 因为y 0∈[－2， 2]，所以当y 0＝－1时，NP ,2取得最大值12. 所以PE ,·PF ,的最大值为11.22． (2012·湖北模拟)如图，曲线C 1是以原点O 为中心，F 1，F 2为焦点的椭圆的一部分．曲线C 2是以O 为顶点，F 2为焦点的抛物线的一部分，A 是曲线C 1和C 2的交点且∠AF 2F 1为钝角，若|AF 1|＝72，|AF 2|＝52. (1)求曲线C 1和C 2的方程；(2)设点C 是C 2上一点，若|CF 1|＝2|CF 2|，求△CF 1F 2的面积． 解：(1)设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)， 则2a ＝|AF 1|＋|AF 2|＝72＋52＝6，得a ＝3.设A (x ，y )，F 1(－c,0)，F 2(c,0)，则(x ＋c )2＋y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫722，(x －c )2＋y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫522，两式相减得xc ＝32. 由抛物线的定义可知|AF 2|＝x ＋c ＝52， 则c ＝1，x ＝32或x ＝1，c ＝32.又∠AF 2F 1为钝角，则x ＝1，c ＝32不合题意，舍去．当c ＝1时，b ＝22，所以曲线C 1的方程为x 29＋y 28＝1⎝ ⎛⎭⎪⎫－3≤x ≤32，曲线C 2的方程为y 2＝4x ⎝⎛⎭⎪⎫0≤x ≤32. (2)过点F 1作直线l 垂直于x 轴，过点C 作CC 1⊥l 于点C 1，依题意知|CC 1|＝|CF 2|. 在Rt △CC 1F 1中，|CF 1|＝2|CF 2|＝2|CC 1|，所以∠C 1CF 1＝45°，所以∠CF 1F 2＝∠C 1CF 1＝45°.在△CF 1F 2中，设|CF 2|＝r ，则|CF 1|＝2r ，|F 1F 2|＝2. 由余弦定理得22＋(2r )2－2×2×2r cos 45°＝r 2， 解得r ＝2，所以△CF 1F 2的面积S △CF 1F 2＝12|F 1F 2|·|CF 1|sin 45°＝12×2×22sin 45°＝2.。

高考数学一轮复习教案(含答案) 第4章 第4节 数系的扩充与复数的引入

高考数学一轮复习教案(含答案) 第4章 第4节 数系的扩充与复数的引入

第四节 数系的扩充与复数的引入[考纲传真] 1.理解复数的概念，理解复数相等的充要条件.2.了解复数的代数表示法及其几何意义.3.能进行复数代数形式的四则运算，了解两个具体复数相加、减的几何意义．1．复数的有关概念(1)复数的概念：形如a ＋b i(a ，b ∈R )的数叫复数，其中a 叫做复数z 的实部，b 叫做复数z 的虚部(i 为虚数单位)．(2)分类：(3)⇔a ＝c ，b ＝d ((4)共轭复数：a ＋b i 与c ＋d i共轭⇔a ＝c ，b ＝－d(a ，b ，c ，d ∈R )． (5)复数的模：向量OZ →的模叫做复数z ＝a ＋b i 的模，记作|z |或|a ＋b i|，即|z |＝|a ＋b i|a ，b ∈R )．2．复数的几何意义 复数z ＝a ＋b i 复平面内的点Z (a ，b ) 平面向量OZ →＝(a ，b )．3．复数的运算(1)运算法则：设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i ，a ，b ，c ，d ∈R .(2)几何意义：复数加减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行．如图给出的平行四边形OZ 1ZZ 2可以直观地反映出复数加减法的几何意义，即OZ →＝OZ 1→＋OZ 2→，Z 1Z 2→＝OZ 2→－OZ 1→.[常用结论]1．(1±i)2＝±2i ，1＋i 1－i ＝i ，1－i1＋i＝－i.2．－b ＋a i ＝i(a ＋b i)．3．i 4n ＝1，i 4n ＋1＝i ，i 4n ＋2＝－1，i 4n ＋3＝－i(n ∈N *)；i 4n ＋i 4n ＋1＋i 4n ＋2＋i 4n ＋3＝0(n ∈N *)．4．z ·z ＝|z |2＝|z |2，|z 1·z 2|＝|z 1|·|z 2|，⎪⎪⎪⎪⎪⎪z 1z 2＝|z 1||z 2|，|z n |＝|z |n .[基础自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )中，虚部为b i.( )(2)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小． ( ) (3)实轴上的点表示实数，虚轴上的点都表示纯虚数． ( )(4)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模.( )[答案] (1)× (2)× (3)× (4)√2.(教材改编)如图所示，在复平面内，点A 表示复数z ，则图中表示z 的共轭复数的点是( )A ．AB ．BC ．CD ．DB [共轭复数对应的点关于实轴对称．]3．(教材改编)设m ∈R ，复数z ＝m 2－1＋(m ＋1)i 表示纯虚数，则m 的值为( )A ．1B ．－1C ．±1D ．0A [由题意得⎩⎨⎧m 2－1＝0m ＋1≠0，解得m ＝1，故选A.]4．复数1＋2i2－i ＝( )A ．iB ．1＋iC ．－iD ．1－iA [1＋2i 2－i ＝(1＋2i )(2＋i )(2－i )(2＋i )＝5i5＝i.] 5．(教材改编)设x ，y ∈R ，若(x ＋y )＋(y －1)i ＝(2x ＋3y )＋(2y ＋1)i ，则复数z ＝x ＋y i 在复平面上对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限D [由题意知⎩⎨⎧ x ＋y ＝2x ＋3y ，y －1＝2y ＋1，解得⎩⎨⎧x ＝4，y ＝－2.则复数z ＝4－2i 在复平面上对应的点位于第四象限，故选D.]1．(2018·全国卷Ⅰ)设z ＝1－i1＋i＋2i ，则|z |＝( ) A ．0 B.12 C ．1 D. 2 C [z ＝1－i 1＋i ＋2i ＝(1－i )2(1＋i )(1－i )＋2i ＝i ，所以|z |＝1.]2．(2018·浙江高考)复数21－i(i 为虚数单位)的共轭复数是( ) A ．1＋i B ．1－i C ．－1＋iD ．－1－iB [21－i ＝2(1＋i )(1－i )(1＋i )＝1＋i ，所以复数21－i的共轭复数为1－i ，故选B.] 3．(2017·天津高考)已知a ∈R ，i 为虚数单位，若a －i2＋i为实数，则a 的值为________．－2 [∵a ∈R ，a －i 2＋i ＝(a －i )(2－i )(2＋i )(2－i )＝2a －1－(a ＋2)i 5＝2a －15－a ＋25i 为实数，∴－a ＋25＝0，∴a ＝－2.]►考法1 复数的乘法运算【例1】 (1)(2018·全国卷Ⅲ)(1＋i)(2－i)＝( ) A ．－3－i B ．－3＋i C ．3－iD ．3＋i(2)(2016·全国卷Ⅰ)设(1＋2i)(a ＋i)的实部与虚部相等，其中a 为实数，则a ＝( )A ．－3B ．－2C ．2D ．3(3)若a 为实数，且(2＋a i)(a －2i)＝－4i ，则a ＝( ) A ．－1 B ．0C ．1D ．2(1)D (2)A (3)B [(1)(1＋i)(2－i)＝2－i ＋2i －i 2＝3＋i.故选D.(2)(1＋2i)(a ＋i)＝a －2＋(1＋2a )i ，由题意知a －2＝1＋2a ，解得a ＝－3，故选A.(3)因为(2＋a i)(a －2i)＝－4i ， 所以4a ＋(a 2－4)i ＝－4i.所以⎩⎨⎧4a ＝0，a 2－4＝－4.解得a ＝0.故选B.]►考法2 复数的除法运算【例2】 (1)(2018·天津高考)i 是虚数单位，复数6＋7i1＋2i＝________. (2)(2018·江苏高考)若复数z 满足i·z ＝1＋2i ，其中i 是虚数单位，则z 的实部为________．(1)4－i (2)2 [(1)6＋7i 1＋2i ＝(6＋7i )(1－2i )(1＋2i )(1－2i )＝6＋14＋7i －12i5＝4－i.(2)z ＝1＋2i i ＝(1＋2i )(－i )i (－i )＝2－i故z 的实部为2.]►考法3 复数的综合运算【例3】 (1)(2019·太原模拟)设复数z 满足1－z1＋z＝i ，则z 的共轭复数为( ) A ．i B ．－iC ．2iD ．－2i (2)(2016·全国卷Ⅲ)若z ＝4＋3i ，则z|z |＝( )A ．1B ．－1 C.45＋35iD.45－35i(3)若复数z 满足 2z ＋z ＝3－2i ，其中i 为虚数单位，则z 等于( ) A ．1＋2i B ．1－2i C ．－1＋2iD ．－1－2i(1)A (2)D (3)B [(1)由1－z1＋z＝i 得1－z ＝i ＋z i. 即(1＋i)z ＝1－i ，则z ＝1－i1＋i＝－i ， 因此z ＝i ，故选A.(2)∵z ＝4＋3i ，∴z ＝4－3i ，|z |＝42＋32＝5， ∴z|z |＝4－3i 5＝45－35i.(3)设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z ＝a －b i ，所以2(a ＋b i)＋(a －b i)＝3－2i ，整理得3a ＋b i ＝3－2i ，所以⎩⎨⎧ 3a ＝3，b ＝－2，解得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝－2，所以z ＝1－2i ，故选B.](1)(2019·合肥模拟)已知i 为虚数单位，则2－i＝( )A ．5B ．5iC ．－75－125iD ．－75＋125i(2)(2019·惠州模拟)已知复数z 的共轭复数为z ，若z (1－i)＝2i(i 为虚数单位)，则z ＝( )A ．iB ．i －1C ．－i －1D ．－i(3)(2019·南昌模拟)设z 的共轭复数是z ，若z ＋z ＝2，z 2＝－2i ，则z ＝( ) A.12－12i B.12＋12i C ．1＋iD ．1－i(1)A (2)C (3)D [(1)法一：(2＋i )(3－4i )2－i ＝10－5i2－i ＝5，故选A.法二：(2＋i )(3－4i )2－i ＝(2＋i )2(3－4i )(2＋i )(2－i )＝(3＋4i )(3－4i )5＝5，故选A.(2)由已知可得z ＝2i1－i ＝2i (1＋i )(1－i )(1＋i )＝－1＋i ，则z ＝－1－i ，故选C. (3)对四个选项逐一验证可知，当z ＝1－i 时，符合题意，故选D.]【例4】 (1)(2018·北京高考)在复平面内，复数11－i的共轭复数对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限(2)(2019·郑州模拟)若复数(1－i)(a ＋i)在复平面内对应的点在第二象限，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，1)B ．(－∞，－1)C ．(1，＋∞)D ．(－1，＋∞)(1)D (2)B [(1)11－i ＝1＋i (1－i )(1＋i )＝1＋i 2＝12＋12i ，所以11－i 的共轭复数为12－12i ，在复平面内对应的点为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－12，位于第四象限，故选D.(2)复数(1－i)(a ＋i)＝a ＋1＋(1－a )i ，其在复平面内对应的点(a ＋1,1－a )在第二象限，故⎩⎨⎧a ＋1＜0，1－a ＞0，解得a ＜－1，故选B.](1)(2019·广州模拟)设z ＝1＋i(i 是虚数单位)，则复数2z ＋z 2在复平面内对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限(2)在复平面内与复数z ＝5i1＋2i所对应的点关于虚轴对称的点为A ，则A 对应的复数为( )A ．1＋2iB ．1－2iC ．－2＋iD ．2＋i (1)A (2)C [(1)因为z ＝1＋i ，所以2z ＋z 2＝21＋i ＋(1＋i)2＝2(1－i )(1＋i )(1－i )＋1＋2i ＋i 2＝2(1－i )2＋2i ＝1＋i ，所以该复数在复平面内对应的点的坐标为(1,1)，位于第一象限，故选A.(2)依题意得，复数z ＝5i (1－2i )(1＋2i )(1－2i )＝i(1－2i)＝2＋i ，其对应的点的坐标是(2,1)，因此点A (－2,1)对应的复数为－2＋i.]1．(2017·全国卷Ⅰ)下列各式的运算结果为纯虚数的是( ) A ．i(1＋i)2 B ．i 2(1－i) C ．(1＋i)2D ．i(1＋i)C [A 项，i(1＋i)2＝i(1＋2i ＋i 2)＝i ×2i ＝－2，不是纯虚数． B 项，i 2(1－i)＝－(1－i)＝－1＋i ，不是纯虚数． C 项，(1＋i)2＝1＋2i ＋i 2＝2i ，是纯虚数．D 项，i(1＋i)＝i ＋i 2＝－1＋i ，不是纯虚数．故选C.]2．(2017·全国卷Ⅲ)复平面内表示复数z＝i(－2＋i)的点位于()A．第一象限 B．第二象限C．第三象限D．第四象限C[∵z＝i(－2＋i)＝－1－2i，∴复数z＝－1－2i所对应的复平面内的点为Z(－1，－2)，位于第三象限．故选C.]3．(2016·全国卷Ⅰ)设(1＋i)x＝1＋y i，其中x，y是实数，则|x＋y i|＝() A．1 B. 2 C.3D．2B[∵(1＋i)x＝1＋y i，∴x＋x i＝1＋y i.又∵x，y∈R，∴x＝1，y＝x＝1.∴|x＋y i|＝|1＋i|＝2，故选B.]4．(2015·全国卷Ⅰ)已知复数z满足(z－1)i＝1＋i，则z＝()A．－2－i B．－2＋iC．2－i D．2＋iC[∵(z－1)i＝i＋1，∴z－1＝i＋1i＝1－i，∴z＝2－i，故选C.]。

高考数学一轮复习教学案(基础知识+高频考点+解题训练)数系的扩充与复数的引入(含解析)

高考数学一轮复习教学案(基础知识+高频考点+解题训练)数系的扩充与复数的引入(含解析)

数系的扩充与复数的引入[知识能否忆起]一、复数的有关概念1．复数的概念：形如a ＋b i(a ，b ∈R )的数叫复数，其中a ，b 分别是它的实部和虚部．若b ＝0，则a ＋b i 为实数；若b ≠0，则a ＋b i 为虚数；若a ＝0，b ≠0，则a ＋b i 为纯虚数．2．复数相等：a ＋b i ＝c ＋d i ⇔a ＝c ，b ＝d (a ，b ，c ，d ∈R )．3．共轭复数：a ＋b i 与c ＋d i 共轭⇔a ＝c ，b ＋d ＝0(a ，b ，c ，d ∈R )．4．复数的模：向量OZ ―→的长度叫做复数z ＝a ＋b i 的模，记作|z |或|a ＋b i|，即|z |＝|a ＋b i|＝a 2＋b 2.二、复数的几何意义复数z ＝a ＋b i ―→复平面内的点Z (a ，b )―→平面向量OZ u u u r .三、复数的运算1．复数的加、减、乘、除运算法则设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )，则： (1)加法：z 1＋z 2＝(a ＋b i)＋(c ＋d i)＝(a ＋c )＋(b ＋d )i ； (2)减法：z 1－z 2＝(a ＋b i)－(c ＋d i)＝(a －c )＋(b －d )i ； (3)乘法：z 1·z 2＝(a ＋b i)·(c ＋d i)＝(ac －bd )＋(ad ＋bc )i ； (4)除法：z 1z 2＝a ＋b i c ＋d i ＝(a ＋b i )(c －d i )(c ＋d i )(c －d i )＝(ac ＋bd )＋(bc －ad )ic ＋d (c ＋d i ≠0)．2．复数加法、乘法的运算律对任意z 1，z 2，z 3∈C ，有z 1＋z 2＝z 2＋z 1，(z 1＋z 2)＋z 3＝z 1＋(z 2＋z 3)；z 1·z 2＝z 2·z 1，(z 1·z 2)·z 3＝z 1·(z 2·z 3)，z 1(z 2＋z 3)＝z 1z 2＋z 1z 3.[小题能否全取]1．(教材习题改编)已知a ∈R ，i 为虚数单位，若(1－2i)(a ＋i)为纯虚数，则a 的值等于( )A ．－6B ．－2C ．2D ．6解析：选B 由(1－2i)(a ＋i)＝(a ＋2)＋(1－2a )i 是纯虚数，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2＝0，1－2a ≠0，由此解得a＝－2.2．(2011·湖南高考)若a ，b ∈R ，i 为虚数单位，且(a ＋i)i ＝b ＋i ，则( ) A ．a ＝1，b ＝1B ．a ＝－1，b ＝1C ．a ＝－1，b ＝－1D ．a ＝1，b ＝－1解析：选D 由(a ＋i)i ＝b ＋i ，得－1＋a i ＝b ＋i ，根据两复数相等的充要条件得a ＝1，b ＝－1.3．(2012·天津高考)i 是虚数单位，复数5＋3i 4－i ＝( )A ．1－iB ．－1＋iC ．1＋iD ．－1－i解析：选C 5＋3i 4－i ＝(5＋3i )(4＋i )(4－i )(4＋i )＝20＋5i ＋12i ＋3i 216－i 2＝17＋17i17＝1＋i.4．若复数z 满足z1＋i ＝2i ，则z 对应的点位于第________象限．解析：z ＝2i(1＋i)＝－2＋2i ，因此z 对应的点为(－2,2)，在第二象限内． 答案：二5．若复数z 满足z ＋i ＝3＋ii ，则|z |＝________.解析：因为z ＝3＋ii －i ＝1－3i －i ＝1－4i ，则|z |＝17.答案：17 1.复数的几何意义除了复数与复平面内的点和向量的一一对应关系外，还要注意 (1)|z |＝|z －0|＝a (a >0)表示复数z 对应的点到原点的距离为a ； (2)|z －z 0|表示复数z 对应的点与复数z 0对应的点之间的距离． 2．复数中的解题策略(1)证明复数是实数的策略：①z ＝a ＋b i ∈R ⇔b ＝0(a ，b ∈R )；②z ∈R ⇔z ＝z . (2)证明复数是纯虚数的策略：①z ＝a ＋b i 为纯虚数⇔a ＝0，b ≠0(a ，b ∈R )； ②b ≠0时，z －z ＝2b i 为纯虚数；③z 是纯虚数⇔z ＋z ＝0且z ≠0.复数的有关概念典题导入[例1] (1)(2012·陕西高考)设a ，b ∈R ，i 是虚数单位，则“ab ＝0”是“复数a ＋bi 为纯虚数”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件(2)(2012·郑州质检)如果复数2－b i1＋2i (其中i 为虚数单位，b 为实数)的实部和虚部互为相反数，那么b 等于( )A ．－23B.23C. 2D ．2[自主解答] (1)若复数a ＋bi ＝a －b i 为纯虚数，则a ＝0，b ≠0，ab ＝0；而ab ＝0时a＝0或b ＝0，a ＋b i 不一定是纯虚数，故“ab ＝0”是“复数a ＋bi 为纯虚数”的必要不充分条件．(2)2－b i 1＋2i ＝(2－b i )(1－2i )(1＋2i )(1－2i )＝(2－2b )－(4＋b )i5，依题意有2－2b ＝4＋b ，解得b ＝－23.[答案] (1)B (2)A由题悟法处理有关复数的基本概念问题，关键是找准复数的实部和虚部，从定义出发，把复数问题转化成实数问题来处理．由于复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )由它的实部与虚部唯一确定，故复数z 与点Z (a ，b )相对应．以题试法1．(2012·东北模拟)已知x1＋i ＝1－y i ，其中x ，y 是实数，i 是虚数单位，则x ＋y i 的共轭复数为( )A ．1＋2iB ．1－2iC ．2＋iD ．2－i解析：选D 依题意得x ＝(1＋i)(1－y i)＝(1＋y )＋(1－y )i ；又x ，y ∈R ，于是有⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋y ，1－y ＝0，解得x ＝2，y ＝1. x ＋y i ＝2＋i ，因此x ＋y i 的共轭复数是2－i.复数的几何意义典题导入[例2] (2012·山西四校联考)已知复数z 的实部为－1，虚部为2，则2－iz (i 为虚部单位)在复平面内对应的点所在的象限为( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限[自主解答] 选C 依题意得2－i z ＝2－i －1＋2i ＝(2－i )(－1－2i )(－1＋2i )(－1－2i )＝－4－3i5，因此该复数在复平面内对应的点的坐标是⎝⎛⎭⎫－45，－35，位于第三象限． 由题悟法复数与复平面内的点是一一对应的，复数和复平面内以原点为起点的向量也是一一对应的，因此复数加减法的几何意义可按平面向量加减法理解，利用平行四边形法则或三角形法则解决问题．以题试法2．(1)在复平面内，复数6＋5i ，－2＋3i 对应的点分别为A ，B ，若C 为线段AB 的中点，则点C 对应的复数是( )A ．4＋8iB ．8＋2iC ．2＋4iD ．4＋i(2)(2012·连云港模拟)已知复数z 1＝－1＋2i ，z 2＝1－i ，z 3＝3－4i ，它们在复平面上对应的点分别为A ，B ，C ，若OC u u u r ＝λOA u u u r ＋μOB u u u r，(λ，μ∈R )，则λ＋μ的值是________．解析：(1)复数6＋5i 对应的点为A (6,5)，复数－2＋3i 对应的点为B (－2,3)．利用中点坐标公式得线段AB 的中点C (2,4)，故点C 对应的复数为2＋4i.(2)由条件得OC u u u r ＝(3，－4)，OA u u u r ＝(－1,2)，OB u u u r＝(1，－1)，根据OC u u u r ＝λOA u u u r ＋μOB u u u r 得(3，－4)＝λ(－1,2)＋μ(1，－1)＝(－λ＋μ，2λ－μ)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ －λ＋μ＝3，2λ－μ＝－4，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－1，μ＝2.∴λ＋μ＝1. 答案：(1)C (2)1复数的代数运算典题导入[例3] (1)(2012·山东高考)若复数z 满足z (2－i)＝11＋7i(i 为虚数单位)，则z 为( ) A ．3＋5i B ．3－5i C ．－3＋5iD ．－3－5i(2)(2011·重庆高考)复数i 2＋i 3＋i 41－i ＝( )A ．－12－12iB ．－12＋12iC.12－12iD.12＋12i [自主解答] (1)z ＝11＋7i 2－i ＝(11＋7i )(2＋i )(2－i )(2＋i )＝15＋25i5＝3＋5i.(2)i 2＋i 3＋i 41－i ＝(－1)＋(－i )＋11－i ＝－i1－i＝－i (1＋i )(1－i )(1＋i )＝1－i 2＝12－12i.[答案] (1)A (2)C由题悟法1．复数的加法、减法、乘法运算可以类比多项式运算，除法运算是分子分母同乘以分母的共轭复数，注意要把i 的幂写成最简形式．2．记住以下结论，可提高运算速度：①(1±i)2＝±2i ；②1＋i 1－i ＝i ；③1－i 1＋i ＝－i ；④a ＋b i i ＝b －a i ；⑤i 4n ＝1，i 4n ＋1＝i ，i 4n ＋2＝－1，i 4n ＋3＝－i(n ∈N )．以题试法3．(1)(2012·山西四校联考)设复数z 的共轭复数为z ，若z ＝1－i(i 为虚数单位)，则z z ＋z 2的值为( )A ．－3iB ．－2iC ．iD ．－i(2)i 为虚数单位，⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 4＝________.解析：(1)依题意得zz ＋z 2＝1＋i 1－i ＋(1－i)2＝－i 2＋i1－i－2i ＝i －2i ＝－i.(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 4＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤(1＋i )224＝i 4＝1. 答案：(1)D (2)11．(2012·江西高考)若复数z ＝1＋i(i 为虚数单位)，z 是z 的共轭复数，则z 2＋z 2的虚部为( )A ．0B ．－1C ．1D ．－2解析：选A ∵z ＝1＋i ，∴z ＝1－i ，∴z 2＋z 2＝(z ＋z )2－2z z ＝4－4＝0，∴z 2＋z2的虚部为0.2．(2012·北京高考)在复平面内，复数10i 3＋i 对应的点的坐标为( )A ．(1,3)B ．(3,1)C ．(－1,3)D ．(3，－1)解析：选A 由10i3＋i ＝10i (3－i )(3＋i )(3－i )＝10(1＋3i )10＝1＋3i 得，该复数对应的点为(1,3)．3．(2012·长春调研)若复数(a ＋i)2在复平面内对应的点在y 轴负半轴上，则实数a 的值是( )A ．1B ．－1 C. 2D ．－ 2解析：选B 因为复数(a ＋i)2＝(a 2－1)＋2a i ，所以其在复平面内对应的点的坐标是(a 2－1,2a )，又因为该点在y 轴负半轴上，所以有⎩⎪⎨⎪⎧a 2－1＝0，2a <0，解得a ＝－1.4．(2013·萍乡模拟)复数(1＋2i )(2＋i )(1－i )2等于( )A.52 B ．－52C.52iD ．－52i解析：选B (1＋2i )(2＋i )(1－i )2＝2＋4i ＋i ＋2i 2－2i ＝5i －2i＝－52. 5．(2012·河南三市调研)已知i 为虚数单位，复数z ＝2＋i 1－2i ，则|z |＋1z ＝( )A ．iB ．1－iC ．1＋iD ．－i解析：选B 由已知得z ＝2＋i 1－2i ＝－2i 2＋i 1－2i ＝i (1－2i )1－2i＝i ，|z |＋1z ＝|i|＋1i ＝1－i.6．(2012·安徽名校模拟)设复数z 的共轭复数为z ，若(2＋i)z ＝3－i ，则z ·z 的值为( ) A ．1 B ．2 C. 2D ．4解析：选B 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，代入(2＋i)z ＝3－i ，得(2a －b )＋(2b ＋a )i ＝3－i ，从而可得a ＝1，b ＝－1，那么z ·z ＝(1－i)(1＋i)＝2.7．(2013·长沙模拟)已知集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫i ，i 2，1i ，(1＋i )2i ，i 是虚数单位，Z 为整数集，则集合Z ∩M 中的元素个数是( )A ．3个B ．2个C ．1个D ．0个解析：选B 由已知得M ＝{i ，－1，－i,2}，Z 为整数集，∴Z ∩M ＝{－1,2}，即集合Z ∩M 中有2个元素．8．定义：若z 2＝a ＋b i(a ，b ∈R ，i 为虚数单位)，则称复数z 是复数a ＋b i 的平方根．根据定义，则复数－3＋4i 的平方根是( )A ．1－2i 或－1＋2iB ．1＋2i 或－1－2iC ．－7－24iD ．7＋24i解析：选B 设(x ＋y i)2＝－3＋4i(x ，y ∈R )，则⎩⎪⎨⎪⎧x 2－y 2＝－3，xy ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－2.9．在复平面内，复数1＋i 与－1＋3i 分别对应向量OA u u u r 和OB u u u r，其中O 为坐标原点，则|AB u u u r|＝________.解析：由题意知A (1,1)，B (－1,3)，故|AB u u u r|＝(－1－1)2＋(3－1)2＝2 2.答案：2 210．已知复数z ＝1－i ，则z 2－2zz －1＝________.解析：z 2－2z z －1＝(z －1)2－1z －1＝z －1－1z －1＝(－i)－1－i ＝－i －i －i·i ＝－2i.答案：－2i11．设复数z 满足|z |＝5且(3＋4i)z 是纯虚数，则z ＝________. 解析：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则有a 2＋b 2＝5.于是(3＋4i)z ＝(3a －4b )＋(4a ＋3b )i.由题设得⎩⎪⎨⎪⎧ 3a －4b ＝04a ＋3b ≠0得b ＝34a 代入得a 2＋⎝⎛⎭⎫34a 2＝25，a ＝±4，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4，b ＝－3.∴z ＝4－3i 或z ＝－4＋3i. 答案：±(4－3i)12.(－1＋i )(2＋i )i 3＝________.解析：(－1＋i )(2＋i )i 3＝－3＋i －i ＝－1－3i.答案：－1－3i13．(2011·上海高考改编)已知复数z 1满足(z 1－2)(1＋i)＝1－i(i 为虚数单位)，复数z 2的虚部为2，且z 1·z 2是实数，则z 2＝________.解析：(z 1－2)(1＋i)＝1－i ⇒z 1＝2－i. 设z 2＝a ＋2i ，a ∈R . 则z 1·z 2＝(2－i)(a ＋2i) ＝(2a ＋2)＋(4－a )i.∵z 1·z 2∈R ，∴a ＝4.∴z 2＝4＋2i. 答案：4＋2i14．若复数z ＝a 2－1＋(a ＋1)i(a ∈R )是纯虚数，则1z ＋a的虚部为________．解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 2－1＝0，a ＋1≠0，所以a ＝1，所以1z ＋a ＝11＋2i ＝1－2i (1＋2i )(1－2i )＝15－25i ，根据虚部的概念，可得1z ＋a的虚部为－25.答案：－251．(2012·山东日照一模)在复数集C 上的函数f (x )满足f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋x ，x ∈R ，(1－i )x ，x ∉R ，则f (1＋i)等于( )A ．2＋iB ．－2C ．0D ．2解析：选D ∵1＋i ∉R ，∴f (1＋i)＝(1－i)(1＋i)＝2.2．已知i 为虚数单位，a 为实数，复数z ＝(1－2i)(a ＋i)在复平面内对应的点为M ，则“a >12”是“点M 在第四象限”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选C z ＝(1－2i)(a ＋i)＝(a ＋2)＋(1－2a )i ，若其对应的点在第四象限，则a ＋2>0，且1－2a <0，解得a >12.即“a >12”是“点M 在第四象限”的充要条件．3．已知复数z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，且|z －2|＝3，则yx 的最大值为________．解析：|z －2|＝(x －2)2＋y 2＝3，∴(x －2)2＋y 2＝3. 由图可知⎝⎛⎭⎫y x max ＝31＝ 3. 答案： 34．复数z ＝(m 2＋5m ＋6)＋(m 2－2m －15)i ，与复数12＋16i 互为共轭复数，则实数m ＝________.解析：根据共轭复数的定义得⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋5m ＋6＝12，m 2－2m －15＝－16.解之得m ＝1. 答案：15．已知z 是复数，z ＋2i ，z 2－i 均为实数(i 为虚数单位)，且复数(z ＋a i)2在复平面上对应的点在第一象限，求实数a 的取值范围．解：设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，则z ＋2i ＝x ＋(y ＋2)i ，由题意得y ＝－2. ∵z2－i ＝x －2i 2－i ＝15(x －2i)(2＋i) ＝15(2x ＋2)＋15(x －4)i. 由题意得x ＝4，∴z ＝4－2i. ∴(z ＋a i)2＝(12＋4a －a 2)＋8(a －2)i.由于(z ＋a i)2在复平面上对应的点在第一象限，∴⎩⎪⎨⎪⎧12＋4a －a 2>0，8(a －2)>0，解得2<a <6. ∴实数a 的取值范围是(2,6)．6．设z 是虚数，ω＝z ＋1z ，且－1<ω<2.(1)求|z |的值及z 的实部的取值范围； (2)设u ＝1－z1＋z ，求证：u 为纯虚数．解：(1)设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R ，b ≠0)，ω＝a ＋b i ＋1a ＋b i ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋a a 2＋b 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b －b a 2＋b 2i ，∵ω是实数，∴b －ba 2＋b2＝0.又b ≠0，∴a 2＋b 2＝1.∴|z |＝1，ω＝2a . ∵－1<ω<2，∴－12<a <1，即z 的实部的取值范围是⎝⎛⎭⎫－12，1. (2)u ＝1－z 1＋z ＝1－a －b i 1＋a ＋b i ＝1－a 2－b 2－2b i (1＋a )2＋b 2＝－ba ＋1i.∵－12<a <1，b ≠0，∴u 为纯虚数．1．已知a ＋2ii ＝b ＋i(a ，b ∈R )，其中i 为虚数单位，则a ＋b ＝( )A ．－1B ．1C ．2D ．3解析：选B a ＋2i i ＝i (a ＋2i )i 2＝2－a i ＝b ＋i ，由复数相等的条件得b ＝2，a ＝－1，则a ＋b ＝1.2．对任意复数z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，i 为虚数单位，则下列结论正确的是( ) A ．|z －z |＝2y B ．z 2＝x 2＋y 2 C ．|z －z |≥2xD ．|z |≤|x |＋|y |解析：选D ∵z －z ＝2y i ，∴|z －z |＝2|y |，选项A 、C 错误；而z 2＝(x ＋y i)2＝x 2－y 2＋2xy i ，选项B 错误；而|z |＝x 2＋y 2，|z |2＝x 2＋y 2，(|x |＋|y |)2＝x 2＋y 2＋2|xy |≥x 2＋y 2，因此|z |≤|x |＋|y |.3．已知虚数z ，使得z 1＝z 1＋z 2和z 2＝z 21＋z 都为实数，求z .解：设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R ，且y ≠0)，则 z 2＝x 2－y 2＋2xy i ，∴z 1＝x (x 2＋y 2＋1)＋y (1－x 2－y 2)i(x 2－y 2＋1)2＋4x 2y2， ∵z 1∈R ，又y ≠0，∴x 2＋y 2＝1，同理，由z 2∈R 得x 2＋2x ＋y 2＝0，解得⎩⎨⎧x ＝－12，y ＝±32.∴z ＝－12±32i.三角函数、解三角形 平面向量、数系的扩充与复数的引入一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分) 1．(2012·新课标全国卷)复数z ＝－3＋i2＋i 的共轭复数是( )A ．2＋iB ．2－iC ．－1＋iD ．－1－i解析：选D z ＝－3＋i 2＋i ＝(－3＋i )(2－i )(2＋i )(2－i )＝－1＋i ，所以z ＝－1－i.2．(2012·潍坊模拟)已知x ∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，cos x ＝45，则tan 2x ＝( ) A.724 B ．－724C.247D ．－247解析：选D 依题意得sin x ＝－1－cos 2x ＝－35，tan x ＝sin x cos x ＝－34，所以tan 2x ＝2tan x1－tan 2x＝2×⎝⎛⎭⎫－341－⎝⎛⎭⎫－342＝－247. 3．(2012·广州调研)设复数z 1＝1－3i ，z 2＝3－2i ，则z 1z 2在复平面内对应的点在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：选D 因为z 1z 2＝1－3i 3－2i ＝(1－3i )(3＋2i )(3－2i )(3＋2i )＝9－7i 13，所以z 1z 2在复平面内对应的点为⎝⎛⎭⎫913，－713，在第四象限．4．(2012·邵阳模拟)已知a ＝(1，sin 2x )，b ＝(2，sin 2x )，其中x ∈(0，π)．若|a ·b |＝|a ||b |，则tan x 的值等于( )A ．1B ．－1 C. 3D.22解析：选A 由|a ·b |＝|a ||b |知， a ∥b ，所以sin 2x ＝2sin 2x ，即2sin x cos x ＝2sin 2x ，而x ∈(0，π)， 所以sin x ＝cos x ，tan x ＝1.5．(2012·福州质检查)“cos α＝35”是“cos 2α＝－725”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A ∵cos α＝35，∴cos 2α＝2cos 2α－1＝2×925－1＝－725，∴由cos α＝35可推出cos 2α＝－725.由cos 2α＝－725得cos α＝±35，∴由cos 2α＝－725不能推出cos α＝35.综上，“cos α＝35”是“cos 2α＝－725”的充分而不必要条件．6．若函数f (x )＝sin x ＋φ3(φ∈[0,2π])是偶函数，则φ＝( ) A.π2B.2π3C.3π2D.5π3解析：选C ∵f (x )为偶函数，∴φ3＝k π＋π2(k ∈Z )，∴φ＝3k π＋32π(k ∈Z )．又∵φ∈[0,2π]，∴φ＝32π.7．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，若c cos A ＝b ，则△ABC ( ) A ．一定是锐角三角形 B ．一定是钝角三角形 C ．一定是直角三角形 D ．一定是斜三角形解析：选C 在△ABC 中，因为c cos A ＝b ，根据余弦定理，得c ·b 2＋c 2－a 22bc ＝b ，故c 2＝a 2＋b 2，因此△ABC 一定是直角三角形．8．设点A (2,0)，B (4,2)，若点P 在直线AB 上，且|AB u u u r |＝2|AP u u u r|，则点P 的坐标为( )A ．(3,1)B ．(1，－1)C ．(3,1)或(1，－1)D ．无数多个解析：选C 设P (x ，y )，则由|AB u u u r |＝2|AP u u u r |，得AB u u u r ＝2AP u u u r 或AB u u u r ＝－2AP u u u r .AB u u u r ＝(2,2)，AP u u u r＝(x －2，y )，即(2,2)＝2(x －2，y )，x ＝3，y ＝1，P (3,1)，或(2,2)＝－2(x －2，y )，x ＝1，y ＝－1，P (1，－1)．9．(2012·福州质检)将函数f (x )＝sin 2x (x ∈R )的图象向右平移π4个单位后，所得到的图象对应的函数的一个单调递增区间是( )A.⎝⎛⎭⎫－π4，0 B.⎝⎛⎭⎫0，π2 C.⎝⎛⎭⎫π2，3π4D.⎝⎛⎭⎫3π4，π解析：选B 将函数f (x )＝sin 2x (x ∈R )的图象向右平移π4个单位后得到函数g (x )＝sin2⎝⎛⎭⎫x －π4＝－cos 2x 的图象，则函数g (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π，k π＋π2，k ∈Z ，而满足条件的只有B.10．(2012·西安名校三检)已知tan β＝43，sin(α＋β)＝513，且α，β∈(0，π)，则sin α的值为( )A.6365 B.1365 C.3365D.6365或3365解析：选A 依题意得sin β＝45，cos β＝35；注意到sin(α＋β)＝513<sin β，因此有α＋β>π2(否则，若α＋β≤π2，则有0<β<α＋β≤π2，0<sin β<sin(α＋β)，这与“sin(α＋β)<sin β”矛盾)，cos(α＋β)＝－1213，sin α＝sin[(α＋β)－β]＝sin(α＋β)cos β－cos(α＋β)sin β＝6365.11．(2012·河南三市调研)在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且b 2＝a 2－ac ＋c 2，C －A ＝90°，则cos A cos C ＝( )A.14B.24C ．－14D ．－24解析：选C 依题意得a 2＋c 2－b 2＝ac ，cosB ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝ac 2ac ＝12.又0°<B <180°，所以B ＝60°，C ＋A ＝120°.又C －A ＝90°，所以C ＝90°＋A ，A ＝15°，cos A cos C ＝cos A cos(90°＋A )＝－12sin 2A ＝－12sin 30°＝－14.12．(2012·广东高考)对任意两个非零的平面向量α和β，定义α∘β＝α·ββ·β.若两个非零的平面向量a ，b 满足a 与b 的夹角θ∈⎝⎛⎭⎫π4，π2，且a ∘b 和b ∘a 都在集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫n 2|n ∈Z 中，则a ∘b ＝( )A.52B.32 C ．1D.12解析：选D a ∘b ＝a ·b b ·b ＝|a ||b|cos θ|b |2＝|a |cos θ|b |，①b ∘a ＝b ·a a ·a ＝|b ||a |cos θ|a |2＝|b |cos θ|a |.②∵θ∈⎝⎛⎭⎫π4，π2，∴0<cos θ<22. ①×②得(a ∘b )(b ∘a )＝cos 2θ∈⎝⎛⎭⎫0，12. 因为a ∘b 和b ∘a 都在集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫n 2|n ∈Z 中，设a ∘b ＝n 12，b ∘a ＝n 22(n 1，n 2∈Z )，即(a ∘b )·(b ∘a )＝cos 2θ＝n 1n 24，所以0<n 1n 2<2，所以n 1，n 2的值均为1，故a ∘b ＝n 12＝12.二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)13．△ABC 的三个内角A 、B 、C 所对边的长分别为a 、b 、c ，已知a ＝2，b ＝3，则sin Asin (A ＋C )＝________.解析：sin A sin (A ＋C )＝sin A sin B ＝a b ＝23.答案：2314．(2012·安徽高考)设向量a ＝(1,2m )，b ＝(m ＋1,1)，c ＝(2，m )．若(a ＋c )⊥b ，则|a |＝________.解析：a ＋c ＝(1,2m )＋(2，m )＝(3,3m )． ∵(a ＋c )⊥b ，∴(a ＋c )·b ＝(3,3m )·(m ＋1,1)＝6m ＋3＝0. ∴m ＝－12.∴a ＝(1，－1)．∴|a |＝ 2. 答案： 215.如图，在坡度为15°的观礼台上，某一列座位所在直线AB 与旗杆所在直线MN 共面，在该列的第一个座位A 和最后一个座位B 测得旗杆顶端N 的仰角分别为60°和30°，且座位A 、B 的距离为106米，则旗杆的高度为________米．解析：由题可知∠BAN ＝105°，∠BNA ＝30°，由正弦定理得AN sin 45°＝106sin 30°，解得AN ＝203(米)，在Rt △AMN 中，MN ＝203sin 60°＝30(米)．故旗杆的高度为30米．答案：3016．已知函数f (x )＝2sin 2⎝⎛⎭⎫π4＋x －3cos 2x －1，x ∈R ，若函数h (x )＝f (x ＋α)的图象关于点⎝⎛⎭⎫－π3，0对称，且α∈(0，π)，则α的值为________． 解析：∵f (x )＝2sin 2⎝⎛⎭⎫π4＋x －3cos 2x －1＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3，∴h (x )＝f (x ＋α)＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2α－π3. ∵函数h (x )的图象的对称中心为⎝⎛⎭⎫－π3，0∴－2π3＋2α－π3＝k π.∴α＝(k ＋1)π2，k ∈z .又α∈(0，π)，∴α＝π2.答案：π2三、解答题(本题共6小题，共70分)17．(本小题满分10分)(2012·广州二测)已知函数f (x )＝A sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π3(A >0，ω>0)在某一个周期内的图象的最高点和最低点的坐标分别为⎝⎛⎭⎫5π12，2，⎝⎛⎭⎫11π12，－2. (1)求A 和ω的值；(2)已知α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，且sin α＝45，求f (α)的值． 解：(1)∵函数f (x )在某一周期内的图象的最高坐标为⎝⎛⎭⎫5π12，2， ∴A ＝2，得函数f (x )的周期T ＝2⎝⎛⎭⎫11π12－5π12＝π， ∴ω＝2πT＝2.(2)由(1)知f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3.∵α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，且sin α＝45， ∴cos α＝1－sin 2α＝35，∴sin 2α＝2sin αcos α＝2425，cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝－725.∴f (α)＝2sin ⎝⎛⎭⎫2α－π3＝2⎝⎛⎭⎫sin 2αcos π3－cos 2αsin π3 ＝2⎝⎛⎭⎫2425×12＋725×32＝24＋7325.18．(本小题满分12分)(2012·天津高考)已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋2cos 2x －1，x ∈R .(1)求函数f (x )的最小正周期；(2)求函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π4，π4上的最大值和最小值． 解：(1)f (x )＝sin 2x ·cos π3＋cos 2x ·sin π3＋sin 2x ·cos π3－cos 2x ·sin π3＋cos 2x ＝sin 2x ＋cos2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4. 所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.(2)因为f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π4，π8上是增函数，在区间⎣⎡⎦⎤π8，π4上是减函数，又f ⎝⎛⎭⎫－π4＝－1，f ⎝⎛⎭⎫π8＝2，f ⎝⎛⎭⎫π4＝1，故函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π4，π4上的最大值为2，最小值为－1. 19．(本小题满分12分)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足(2a －c )cos B ＝b cos C .(1)求角B 的大小；(2)设m ＝(sin A ，cos 2A )，n ＝(4k,1)(k >1)，且m ·n 的最大值是5，求k 的值．解：(1)因为(2a －c )cos B ＝b cos C ，所以在△ABC 中，由正弦定理，得(2sin A －sin C )cos B ＝sin B cos C ，所以2sin A cos B ＝sin B cos C ＋cos B sin C ， 即2sin A cos B ＝sin A .又在△ABC 中，sin A >0，B ∈(0，π)，所以cos B ＝12.所以B ＝π3.(2)因为m ＝(sin A ，cos 2A )，n ＝(4k,1)(k >1)，所以m ·n ＝4k sin A ＋cos 2A ＝－2sin 2A ＋4k sin A ＋1， 即m ·n ＝－2(sin A －k )2＋2k 2＋1.又B ＝π3，所以A ∈⎝⎛⎭⎫0，2π3.所以sin A ∈(0,1]． 所以当sin A ＝1⎝⎛⎭⎫A ＝π2时，m ·n 的最大值为4k －1. 又m ·n 的最大值是5，所以4k －1＝5.所以k ＝32.20．(本小题满分12分)已知复数z 1＝sin 2x ＋t i ，z 2＝m ＋(m －3cos 2x )i(i 为虚数单位，t ，m ，x ∈R )，且z 1＝z 2.(1)若t ＝0且0<x <π，求x 的值；(2)设t ＝f (x )，已知当x ＝α时，t ＝12，试求cos ⎝⎛⎭⎫4α＋π3的值． 解：(1)因为z 1＝z 2，所以⎩⎪⎨⎪⎧sin 2x ＝m ，t ＝m －3cos 2x ，即t ＝sin 2x －3cos 2x .若t ＝0，则sin 2x －3cos 2x ＝0，得tan 2x ＝ 3. 因为0<x <π，所以0<2x <2π，所以2x ＝π3或2x ＝4π3，所以x ＝π6或x ＝2π3.(2)因为t ＝f (x )＝sin 2x －3cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3， 因为当x ＝α时，t ＝12，所以2sin ⎝⎛⎭⎫2α－π3＝12， sin ⎝⎛⎭⎫π3－2α＝－14， 所以cos ⎝⎛⎭⎫4α＋π3＝cos 2⎝⎛⎭⎫2α＋π6＝2cos 2⎝⎛⎭⎫2α＋π6－1＝2sin 2⎝⎛⎭⎫π3－2α－1＝2⎝⎛⎭⎫－142－1＝－78. 21．(本小题满分12分)(2012·长春调研)如图，在平面直角坐标系中，锐角α和钝角β的终边分别与单位圆交于A ，B 两点．(1)如果A ，B 两点的纵坐标分别为45，1213，求cos α和sin β；(2)在(1)的条件下，求cos(β－α)的值；(3)已知点C (－1，3)，求函数f (α)＝OA u u u r ·OC u u u r的值域． 解：(1)根据三角函数的定义，得sin α＝45，sin β＝1213.又α是锐角，所以cos α＝35.(2)由(1)知sin β＝1213.因为β是钝角，所以cos β＝－513.所以cos(β－α)＝cos βcos α＋sin βsin α ＝⎝⎛⎭⎫－513×35＋1213×45＝3365. (3)由题意可知，OA u u u r ＝(cos α，sin α)，OC u u u r＝(－1，3)． 所以f (α)＝OA u u u r ·OC u u u r ＝3sin α－cos α＝2sin ⎝⎛⎭⎫α－π6， 因为0<α<π2，所以－π6<α－π6<π3，所以－12<sin ⎝⎛⎭⎫α－π6<32，从而－1<f (α)< 3. 所以函数f (α)的值域为(－1, 3)．22．(本小题满分12分)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是∠A ，∠B ，∠C 的对边长，已知 2sin A ＝3cos A .(1)若a 2－c 2＝b 2－mbc ，求实数m 的值； (2)若a ＝3，求△ABC 面积的最大值．解：(1)由2sin A ＝3cos A 两边平方得2sin 2A ＝3cos A 即(2cos A －1)(cos A ＋2)＝0，解得cos A ＝12或cos A ＝－2(舍)．而a 2－c 2＝b 2－mbc可以变形为b 2＋c 2－a 22bc ＝m2，即cos A ＝m 2＝12，所以m ＝1.(2)由(1)知 cos A ＝12，则sin A ＝32.又b 2＋c 2－a 22bc ＝12，所以bc ＝b 2＋c 2－a 2≥2bc －a 2，即bc ≤a 2.当且仅当b ＝c 时等号成立．故S △ABC ＝bc2sinA ≤a 22·32＝334.。

【三维设计】高考数学一轮复习 (基础知识+高频考点+解题训练)古典概型教学案

【三维设计】高考数学一轮复习 (基础知识+高频考点+解题训练)古典概型教学案

古_典_概_型[知识能否忆起]一、基本事件的特点1．任何两个基本事件是互斥的．2．任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和． 二、古典概型的两个特点1．试验中所有可能出现的基本事件只有有限个，即有限性． 2．每个基本事件出现的可能性相等，即等可能性．[提示] 确定一个试验为古典概型应抓住两个特征：有限性和等可能性． 三、古典概型的概率公式P (A )＝A 包含的基本事件的个数基本事件的总数.[小题能否全取]1．(教材习题改编)从甲、乙、丙三人中任选两名代表，甲被选中的概率为( ) A.12 B.13 C.23D ．1解析：选C 基本事件总数为(甲、乙)、(甲、丙)、(乙、丙)共三种，甲被选中共2种．则P ＝23.2．(教材习题改编)从1,2,3,4,5,6六个数中任取2个数，则取出的两个数不是连续自然数的概率是( )A.35 B.25 C.13D.23解析：选D 从六个数中任取2个数有15种方法，取出的两个数是连续自然数有5种情况，则取出的两个数不是连续自然数的概率P ＝1－515＝23. 3．甲、乙两同学每人有两本书，把四本书混放在一起，每人随机拿回两本，则甲同学拿到一本自己书一本乙同学书的概率是( )33C.12D.14解析：选B 记甲同学的两本书为A ，B ，乙同学的两本书为C ，D ，则甲同学取书的情况有AB ，AC ，AD ，BC ，BD ，CD 共6种，有一本自己的书，一本乙同学的书的取法有AC ，AD ，BC ，BD 共4种，所求概率P ＝23.4．(2012·南通一调)将甲、乙两球随机放入编号为1,2,3的3个盒子中，每个盒子的放球数量不限，则在1,2号盒子中各有一个球的概率为________．解析：依题意得，甲、乙两球各有3种不同的放法，共9种放法，其中有1,2号盒子中各有一个球的放法有2种，故有1,2号盒子中各有一个球的概率为29.答案：295．(教材习题改编)从3台甲型彩电和2台乙型彩电中任选两台，其中两种品牌的彩电齐全的概率是________．解析：P ＝3×210＝35.答案：351.古典概型的判断：一个试验是否为古典概型，在于这个试验是否具有古典概型的两个特征——有限性和等可能性，只有同时具备这两个特点的概率模型才是古典概型．2．对于复杂的古典概型问题要注意转化为几个互斥事件的概率问题去求．典题导入[例1] (2012·安徽高考)袋中共有6个除了颜色外完全相同的球，其中有1个红球、2个白球和3个黑球．从袋中任取两球，两球颜色为一白一黑的概率等于( )A.15B.2555[自主解答] (文)设袋中红球用a 表示，2个白球分别用b 1，b 2表示，3个黑球分别用c 1，c 2，c 3表示，则从袋中任取两球所含基本事件为(a ，b 1)，(a ，b 2)，(a ，c 1)，(a ，c 2)，(a ，c 3)，(b 1，b 2)，(b 1，c 1)，(b 1，c 2)，(b 1，c 3)，(b 2，c 1)，(b 1，c 2)，(b 2，c 3)，(c 1，c 2)，(c 1，c 3)，(c 2，c 3)共15个．两球颜色为一白一黑的基本事件有(b 1，c 1)，(b 1，c 2)，(b 1，c 3)，(b 2，c 1)，(b 2，c 2)，(b 2，c 3)共6个．因此其概率为615＝25.(理)从6个球中任取两球有C 26＝15种取法，颜色一黑一白的取法有C 12C 13＝6种，故概率P ＝615＝25.[答案] B在本例条件下，求两球不同色的概率．解：两球不同色可分三类：一红一白，一红一黑，一白一黑． 故P ＝1×2＋1×3＋2×315＝1115.由题悟法计算古典概型事件的概率可分三步：(1)算出基本事件的总个数n ；(2)求出事件A 所包含的基本事件个数m ；(3)代入公式求出概率P .以题试法1．“≺数”是指每个数字比其左边的数字大的自然数(如 1 469)，在两位的“≺数”中任取一个数比36大的概率是( )A.12 B.23 C.34D.45解析：选A 在两位数中，十位是1的“≺数”有8个；十位是2的“≺数”有7个；……；十位是8的“≺数”有1个．则两位数中，“≺数”共有8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝36个，比36大的“≺数”共有3＋5＋4＋3＋2＋1＝18个．故在两位的“≺数”中任取一个数比36大的概率是1836＝12.典题导入[例2] (2012·江西高考)如图所示，从A 1(1,0,0)，A 2(2,0,0)，B 1(0，1,0)，B 2(0,2,0)，C 1(0,0，1)，C 2(0,0,2)这6个点中随机选取3个点．(1)求这3点与原点O 恰好是正三棱锥的四个顶点的概率； (2)求这3点与原点O 共面的概率．[自主解答] (文)从这6个点中随机选取3个点的所有可能结果是：x 轴上取2个点的有A 1A 2B 1，A 1A 2B 2，A 1A 2C 1，A 1A 2C 2，共4种； y 轴上取2个点的有B 1B 2A 1，B 1B 2A 2，B 1B 2C 1，B 1B 2C 2，共4种； z 轴上取2个点的有C 1C 2A 1，C 1C 2A 2，C 1C 2B 1，C 1C 2B 2，共4种．所选取的3个点在不同坐标轴上有A 1B 1C 1，A 1B 1C 2，A 1B 2C 1，A 1B 2C 2，A 2B 1C 1，A 2B 1C 2，A 2B 2C 1，A 2B 2C 2，共8种．因此，从这6个点中随机选取3个点的所有可能结果共20种．(1)选取的这3个点与原点O 恰好是正三棱锥的四个顶点的所有可能结果有：A 1B 1C 1，A 2B 2C 2，共2种，因此，这3个点与原点O 恰好是正三棱锥的四个顶点的概率为P 1＝220＝110.(2)法一：选取的这3个点与原点O 共面的所有可能结果有：A 1A 2B 1，A 1A 2B 2，A 1A 2C 1，A 1A 2C 2，B 1B 2A 1，B 1B 2A 2，B 1B 2C 1，B 1B 2C 2，C 1C 2A 1，C 1C 2A 2，C 1C 2B 1，C 1C 2B 2，共12种，因此，这3个点与原点O 共面的概率为P 2＝1220＝35.法二：选取的这3个点与原点不共面的所有可能的结果有A 1B 1C 1，A 1B 1C 2，A 1B 2C 1，A 1B 2C 2，A 2B 1C 1，A 2B 1C 2，A 2B 2C 1，A 2B 2C 2，共8种，因此这3个点与原点O 共面的概率为P 2＝1－820＝35.(理)从这6个点中任取3个点可分三类：在x 轴上取2个点、1个点、0个点，共有C 22C 14＋C 12C 24＋C 34＝20种取法．(1)选取的3个点与原点O 恰好是正三棱锥项点的取法有2种，概率P 1＝220＝110.(2)法一：选取的3个点与原点O 共面的取法有C 22·C 14·3＝12种，所求概率P 2＝1220＝35.法二：选取的3个点与原点不共面的取法有C 12·C 12·C 12＝8种，因此这3个点与原点O 共面的概率P 2＝1－820＝35.由题悟法求较复杂事件的概率问题，解题关键是理解题目的实际含义，把实际问题转化为概率模型．必要时将所求事件转化成彼此互斥的事件的和，或者先求其对立事件的概率，进而再用互斥事件的概率加法公式或对立事件的概率公式求解．以题试法2．一个小朋友任意敲击电脑键盘上的0到9十个键，则他敲击两次(每次只敲击一个数字键)得到的两个数字恰好都是3的倍数的概率为( )A.425B.215C.25D.29解析：选A 任意敲击两次有10×10＝100种方法，两次都是3的倍数有4×4＝16种方法，故所求概率为P ＝16100＝425.1．(2013·惠州调研)一个袋中装有2个红球和2个白球，现从袋中取出1个球，然后放回袋中再取出1个球，则取出的2个球同色的概率为( )A.12B.13C.14D.25解析：选A 把红球标记为红1、红2，白球标记为白1、白2，本试验的基本事件共有16个，其中2个球同色的事件有8个：红1，红1，红1、红2，红2、红1，红2、红2，白1、白1，白1、白2，白2、白1，白2、白2，故所求概率为P ＝816＝12.2．(2012·鸡西模拟)在40根纤维中，有12根的长度超过30 mm ，从中任取一根，取到长度超过30 mm 的纤维的概率是( )A.34 B.310C.25D ．以上都不对解析：选B 在40根纤维中，有12根的长度超过30 mm ，即基本事件总数为40，且它们是等可能发生的，所求事件包含12个基本事件，故所求事件的概率为310.3．(2013·宿州质检)一颗质地均匀的正方体骰子，其六个面上的点数分别为1、2、3、4、5、6，将这一颗骰子连续抛掷三次，观察向上的点数，则三次点数依次构成等差数列的概率为( )A.112 B.118 C.136D.7108解析：选A 基本事件总数为6×6×6，事件“三次点数依次成等差数列”包含的基本事件有(1,1,1)，(1,2,3)，(3,2,1)，(2,2,2)，(1,3,5)，(5,3,1)，(2,3,4)，(4,3,2)，(3,3,3)，(2,4,6)，(6,4,2)，(3,4,5)，(5,4,3)，(4,4,4)，(4,5,6)，(6,5,4)，(5,5,5)，(6,6,6)共18个，所求事件的概率P ＝186×6×6＝112.4．已知某车间在三天内，每天生产10件某产品，其中第一天，第二天分别生产出了1件，n 件次品，而质检部每天要从生产的10件产品中随意抽取4件进行检查，若发现有次品，则当天的产品不能通过．则第一天通过检查的概率为( )A.25 B.35 C.23D.67解析：选B 因为随意抽取4件产品检查是随机事件，而第一天有1件次品，所以第一天通过检查的概率P ＝C 49C 410＝35.5．(2012·宁波模拟)设a ∈{1,2,3,4}，b ∈{2,4,8,12}，则函数f (x )＝x 3＋ax －b 在区间[1,2]上有零点的概率为( )A.12 B.58 C.1116D.34解析：选C 因为f (x )＝x 3＋ax －b ，所以f ′(x )＝3x 2＋a .因为a ∈{1,2,3,4}，因此f ′(x )＞0，所以函数f (x )在区间[1,2]上为增函数．若存在零点，则⎩⎪⎨⎪⎧f ，f，解得a ＋1≤b ≤8＋2a .因此可使函数在区间[1,2]上有零点的有a ＝1，2≤b ≤10，故b ＝2，b ＝4，b ＝8；a ＝2,3≤b ≤12，故b ＝4，b ＝8，b ＝12；a ＝3,4≤b ≤14，故b ＝4，b ＝8，b ＝12；a＝4,5≤b ≤16，故b ＝8，b ＝12.根据古典概型可得有零点的概率为1116.6．某种饮料每箱装6听，其中有4听合格，2听不合格，现质检人员从中随机抽取2听进行检测，则检测出至少有一听不合格饮料的概率是( )A.115 B.35 C.815D.1415解析：选B 从“6听饮料中任取2听饮料”这一随机试验中所有可能出现的基本事件共有15个，而“抽到不合格饮料”含有9个基本事件，所以检测到不合格饮料的概率为P ＝915＝35. 7．(2012·南京模拟)从分别写有0,1,2,3,4的五张卡片中取出一张卡片，记下数字后放回，再从中取出一张卡片．则两次取出的卡片上的数字之和恰好等于4的概率是________．解析：从0,1,2,3,4五张卡片中取出两张卡片的结果有25种，数字之和恰好等于4的结果有(0,4)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(4,0)，所以数字和恰好等于4的概率是P ＝15.答案：158．(2012·重庆高考)某艺校在一天的6节课中随机安排语文、数学、外语三门文化课和其它三门艺术课各1节，则在课表上的相邻两节文化课之间至少间隔1节艺术课的概率为________(用数字作答)．解析：基本事件是对这6门课排列，故基本事件的个数为A 66.“课表上的相邻两节文化课之间至少间隔1节艺术课”就是“任何两节文化课不能相邻”，利用“插空法”，可得其排列方法种数为A 33A 34.根据古典概型的概率计算公式可得事件“课表上的相邻两节文化课之间至少间隔1节艺术课”发生的概率为A 33A 34A 66＝15.答案：159．(2012·江苏高考)现有10个数，它们能构成一个以1为首项，－3为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是________．解析：由题意得a n ＝(－3)n －1，易知前10项中奇数项为正，偶数项为负，所以小于8的项为第一项和偶数项，共6项，即6个数，所以P ＝610＝35.答案：3510．暑假期间，甲、乙两个学生准备以问卷的方式对某城市市民的出行方式进行调查．如图是这个城市的地铁二号线路图(部分)，甲、乙分别从太平街站(用A 表示)、南市场站(用B 表示)、青年大街站(用C 表示)这三站中，随机选取一站作为调查的站点．(1)求甲选取问卷调查的站点是太平街站的概率；(2)求乙选取问卷调查的站点与甲选取问卷调查的站点相邻的概率．解：(1)由题知，所有的基本事件有3个，甲选取问卷调查的站点是太平街站的基本事件有1个，所以所求事件的概率P ＝13.(2)由题知，甲、乙两人选取问卷调查的所有情况见下表：由表格可知，共有9种可能结果，其中甲、乙在相邻的两站进行问卷调查的结果有4种，分别为(A ，B )，(B ，A )，(B ，C )，(C ，B )．因此乙选取问卷调查的站点与甲选取问卷调查的站点相邻的概率为49.11．(2012·济南模拟)将一个质地均匀的正方体(六个面上分别标有数字0,1,2,3,4,5)和一个正四面体(四个面分别标有数字1,2,3,4)同时抛掷1次，规定“正方体向上的面上的数字为a ，正四面体的三个侧面上的数字之和为b ”．设复数为z ＝a ＋b i.(1)若集合A ＝{z |z 为纯虚数}，用列举法表示集合A ；(2)求事件“复数在复平面内对应的点(a ，b )满足a 2＋(b －6)2≤9”的概率． 解：(1)A ＝{6i,7i,8i,9i}． (2)满足条件的基本事件的个数为24.设满足“复数在复平面内对应的点(a ，b )满足a 2＋(b －6)2≤9”的事件为B . 当a ＝0时，b ＝6,7,8,9满足a 2＋(b －6)2≤9； 当a ＝1时，b ＝6,7,8满足a 2＋(b －6)2≤9； 当a ＝2时，b ＝6,7,8满足a 2＋(b －6)2≤9； 当a ＝3时，b ＝6满足a 2＋(b －6)2≤9.即B 为(0,6)，(0,7)，(0,8)，(0,9)，(1,6)，(1,7)，(1,8)，(2,6)，(2,7)，(2,8)，(3,6)共计11个．所以所求概率P ＝1124.12．(2012·福州模拟)已知A 、B 、C 三个箱子中各装有2个完全相同的球，每个箱子里的球，有一个球标着号码1，另一个球标着号码2.现从A 、B 、C 三个箱子中各摸出1个球．(1)若用数组(x ，y ，z )中的x ，y ，z 分别表示从A 、B 、C 三个箱子中摸出的球的号码，请写出数组(x ，y ，z )的所有情形，并回答一共有多少种；(2)如果请您猜测摸出的这三个球的号码之和，猜中有奖，那么猜什么数获奖的可能性最大？请说明理由．解：(1)数组(x ，y ，z )的所有情形为(1,1,1)，(1,1,2)，(1,2,1)，(1,2,2)，(2,1,1)，(2,1,2)，(2,2,1)，(2,2,2)，共8种．(2)记“所摸出的三个球号码之和为i ”为事件A i (i ＝3,4,5,6)，易知，事件A 3包含有1个基本事件，事件A 4包含有3个基本事件，事件A 5包含有3个基本事件，事件A 6包含有1个基本事件，所以，P (A 3)＝18，P (A 4)＝38，P (A 5)＝38，P (A 6)＝18.故所摸出的两球号码之和为4或5的概率相等且最大．故猜4或5获奖的可能性最大．1．(2012·温州十校联考)从x 2m －y 2n＝1(其中m ，n ∈{－1,2，3})所表示的圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线)方程中任取一个，则此方程是焦点在x 轴上的双曲线方程的概率为( )A.12 B.47 C.23D.34解析：选B 当方程x 2m －y 2n ＝1表示椭圆、双曲线、抛物线等圆锥曲线时，不能有m ＜0，n ＞0，所以方程x 2m －y 2n＝1表示椭圆双曲线、抛物线等圆锥曲线的(m ，n )有(2，－1)，(3，－1)，(2,2)，(3,2)，(2,3)，(3,3)，(－1，－1)共7种，其中表示焦点在x 轴上的双曲线时，则m ＞0，n ＞0，有(2,2)，(3,2)，(2,3)，(3,3)共4种，所以所求概率P ＝47.2．设连续掷两次骰子得到的点数分别为m 、n 则直线y ＝m nx 与圆(x －3)2＋y 2＝1相交的概率为________．解析：由题意知，m ∈{1,2,3,4,5,6}，n ∈{1,2,3,4,5,6}，故(m ，n )所有可能的取法共36种．由直线与圆的位置关系得，d ＝|3m |m 2＋n2＜1，即mn ＜24，共有13，14，15，16，26，5种，所以直线y ＝m n x 与圆(x －3)2＋y 2＝1相交的概率为536.答案：5363． (2012·天津高考)某地区有小学21所，中学14所，大学7所，现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取6所学校对学生进行视力调查．(1)求应从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目；(2)若从抽取的6所学校中随机抽取2所学校做进一步数据分析， ①列出所有可能的抽取结果； ②求抽取的2所学校均为小学的概率．解：(1)由分层抽样定义知，从小学中抽取的学校数目为6×2121＋14＋7＝3；从中学中抽取的学校数目为6×1421＋14＋7＝2；从大学中抽取的学校数目为6×721＋14＋7＝1.因此，从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目为3,2,1.(2)①在抽取到的6所学校中，3所小学分别记为A 1，A 2，A 3,2所中学分别记为A 4，A 5，大学记为A 6，则抽取2所学校的所有可能结果为{A 1，A 2}，{A 1，A 3}，{A 1，A 4}，{A 1，A 5}，{A 1，A 6}，{A 2，A 3}，{A 2，A 4}，{A 2，A 5}，{A 2，A 6}，{A 3，A 4}，{A 3，A 5}，{A 3，A 6}，{A 4，A 5}，{A 4，A 6}，{A 5，A 6}共15种．②从6所学校中抽取的2所学校均为小学(记为事件B )的所有可能结果为{A 1，A 2}，{A 1，A 3}，{A 2，A 3}共3种．所以P (B )＝315＝15.1．已知A ＝{1,2,3}，B ＝{x ∈R |x 2－ax ＋b ＝0}，a ∈A ，b ∈A ，则A ∩B ＝B 的概率是( ) A.29 B.13 C.89D ．1解析：选C ∵A ∩B ＝B ，∴B 可能为∅，{1}，{2}，{3}，{1,2}，{2,3}，{1,3}．当B ＝∅时，a 2－4b ＜0，满足条件的a ，b 为a ＝1，b ＝1,2,3；a ＝2，b ＝2,3；a ＝3，b ＝3.当B ＝{1}时，满足条件的a ，b 为a ＝2，b ＝1.当B ＝{2}，{3}时，没有满足条件的a ，b .当B ＝{1,2}时，满足条件的a ，b 为a ＝3，b ＝2.当B ＝{2,3}，{1,3}时，没有满足条件的a ，b .∴A ∩B ＝B 的概率为83×3＝89. 2．将一颗骰子投掷两次分别得到点数a 、b ，则直线ax －by ＝0与圆(x －2)2＋y 2＝2相交的概率为________．解析：圆心(2,0)到直线ax －by ＝0的距离d ＝|2a |a 2＋b 2，当d ＜2时，直线与圆相交，则有d ＝|2a |a 2＋b 2＜2，得b ＞a ，满足题意的b ＞a ，共有15种情况，因此直线ax －by ＝0与圆(x －2)2＋y 2＝2相交的概率为1536＝512. 答案：5123．(2012·福建高考)在等差数列{a n }和等比数列{b n }中，a 1＝b 1＝1，b 4＝8，{a n }的前10项和S 10＝55.(1)求a n 和b n ；(2)现分别从{a n }和{b n }的前3项中各随机抽取一项，写出相应的基本事件，并求这两项的值相等的概率．解：(1)设{a n }的公差为d ，{b n }的公比为q .依题意得S 10＝10＋10×92d ＝55，b 4＝q 3＝8， 解得d ＝1，q ＝2，所以a n ＝n ，b n ＝2n －1.(2)分别从{a n }和{b n }的前3项中各随机抽取一项，得到的基本事件有9个(1,1)，(1,2)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,4)．符合题意的基本事件有2个(1,1)，(2,2)．故所求的概率P ＝29.。

高考数学一轮复习 专题27 数系的扩充与复数的引入教学案 文-人教版高三全册数学教学案

高考数学一轮复习 专题27 数系的扩充与复数的引入教学案 文-人教版高三全册数学教学案

专题27 数系的扩充与复数的引入1．理解复数的基本概念． 2.理解复数相等的充要条件．3.了解复数的代数表示形式及其几何意义．4.会进行复数代数形式的四则运算．5.了解复数的代数形式的加、减运算的几何意义．1．复数的有关概念 内容 意义备注复数的概念形如a ＋b i(a ∈R ，b ∈R )的数叫复数，其中实部为a ，虚部为b若b ＝0，则a ＋b i 为实数；若a ＝0且b ≠0，则a ＋b i 为纯虚数复数相等 a ＋b i ＝c ＋d i ⇔a ＝c 且b ＝d 共轭复数a ＋b i 与c ＋d i 共轭⇔a ＝c 且b ＝－d (a ，b ，c ，d ∈R )复平面 建立平面直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x 轴叫实轴，y 轴叫虚轴实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数，各象限内的点都表示虚数复数的模设OZ →对应的复数为z ＝a ＋b i ，则向量OZ →的长度叫做复数z ＝a ＋b i 的模|z |＝|a ＋b i|＝a 2＋b 22.复数的几何意义复数集C 和复平面内所有的点组成的集合是一一对应的，复数集C 与复平面内所有以原点O 为起点的向量组成的集合也是一一对应的，即 (1)复数z ＝a ＋b i复平面内的点Z (a ，b )(a ，b ∈R )．(2)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )平面向量OZ →.3．复数的运算(1)复数的加、减、乘、除运算法则设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )，则①加法：z 1＋z 2＝(a ＋b i)＋(c ＋d i)＝(a ＋c )＋(b ＋d )i ； ②减法：z 1－z 2＝(a ＋b i)－(c ＋d i)＝(a －c )＋(b －d )i ； ③乘法：z 1·z 2＝(a ＋b i)·(c ＋d i)＝(ac －bd )＋(ad ＋bc )i ； ④除法：z 1z 2＝a ＋b i c ＋d i ＝（a ＋b i ）（c －d i ）（c ＋d i ）（c －d i ）＝ac ＋bd ＋（bc －ad ）ic 2＋d 2(c ＋d i≠0)．(2)复数加法的运算定律复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z 1，z 2，z 3∈C ，有z 1＋z 2＝z 2＋z 1，(z 1＋z 2)＋z 3＝z 1＋(z 2＋z 3)．(3)复数加、减法的几何意义①复数加法的几何意义：若复数z 1，z 2对应的向量OZ 1→，OZ 2→不共线，则复数z 1＋z 2是以OZ 1→，OZ 2→为两邻边的平行四边形的对角线OZ →所对应的复数．②复数减法的几何意义：复数z 1－z 2是OZ 1→－OZ 2→＝Z 2Z 1→所对应的复数．高频考点一 复数的概念例1、(1)设i 是虚数单位．若复数z ＝a －103－i (a ∈R )是纯虚数，则a 的值为( )A ．－3B ．－1C ．1D ．3(2)已知a ∈R ，复数z 1＝2＋a i ，z 2＝1－2i ，若z 1z 2为纯虚数，则复数z 1z 2的虚部为( ) A ．1 B ．i C.25D ．0(3)若z 1＝(m 2＋m ＋1)＋(m 2＋m －4)i(m ∈R )，z 2＝3－2i ，则“m ＝1”是“z 1＝z 2”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分又不必要条件 答案 (1)D (2)A (3)A解析 (1)z ＝a －103－i＝a －(3＋i)＝(a －3)－i ，由a ∈R ，且z ＝a －103－i为纯虚数知a ＝3. (2)由z 1z 2＝2＋a i1－2i＝2＋a i1＋2i5＝2－2a 5＋4＋a 5i 是纯虚数，得a ＝1，此时z 1z 2＝i ，其虚部为1.(3)由⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m ＋1＝3，m 2＋m －4＝－2，解得m ＝－2或m ＝1，所以“m ＝1”是“z 1＝z 2”的充分不必要条件． 【感悟提升】解决复数概念问题的方法及注意事项(1)复数的分类及对应点的位置都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可．(2)解题时一定要先看复数是否为a ＋b i(a ，b ∈R )的形式，以确定实部和虚部． 【变式探究】(1)若复数z ＝(x 2－1)＋(x －1)i 为纯虚数，则实数x 的值为( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．－1或1(2)已知i 是虚数单位，a ，b ∈R ，则“a ＝b ＝1”是“(a ＋b i)2＝2i”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 答案 (1)A (2)A高频考点二 复数的运算例2、(1) i 为虚数单位，i 607的共轭复数为( ) A ．i B ．－i C ．1 D ．－1 (2)复数i(2－i)等于( )A ．1＋2iB ．1－2iC ．－1＋2iD ．－1－2i答案 (1)A (2)A 解析 (1)方法一 i 607＝i4×151＋3＝i 3＝－i ，其共轭复数为i.故选A.方法二 i 607＝i 608i ＝i 4×152i ＝1i ＝－i ，其共轭复数为i.故选A.(2)i(2－i)＝2i －i 2＝1＋2i. 【变式探究】(1)已知1－i2z＝1＋i(i 为虚数单位)，则复数z 等于( )A ．1＋iB ．1－iC ．－1＋iD ．－1－i (2)(1＋i 1－i )6＋2＋3i3－2i ＝________.答案 (1)D (2)－1＋i【方法技巧】复数代数形式运算问题的常见类型及解题策略(1)复数的乘法．复数的乘法类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位i 的看作一类同类项，不含i 的看作另一类同类项，分别合并即可．(2)复数的除法．除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把i 的幂写成最简形式.(3)复数的运算与复数概念的综合题，先利用复数的运算法则化简，一般化为a ＋b i(a ，b ∈R )的形式，再结合相关定义解答．(4)复数的运算与复数几何意义的综合题．先利用复数的运算法则化简，一般化为a ＋b i(a ，b ∈R )的形式，再结合复数的几何意义解答．(5)复数的综合运算．分别运用复数的乘法、除法法则进行运算，要注意运算顺序，要先算乘除，后算加减，有括号要先算括号里面的．【举一反三】(1)若复数z 满足z1－i＝i ，其中i 为虚数单位，则z 等于( )A ．1－iB ．1＋iC ．－1－iD ．－1＋i(2)⎝⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 2 016＝________.(3)－23＋i 1＋23i ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫21－i 2 016＝________.答案 (1)A (2)1 (3)1＋i解析 (1)∵z1－i＝i ，∴z ＝i(1－i)＝i －i 2＝1＋i ，∴z ＝1－i.(2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 2 1 008＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋2i ＋i 21－2i ＋i 2 1 008＝1. (3)原式＝i 1＋23i 1＋23i ＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫21－i 2 1 008＝i ＋⎝⎛⎭⎪⎫2－2i 1 008＝i ＋i 1 008＝i ＋i 4×252＝1＋i.高频考点三 复数的几何意义例3、(1)△ABC 的三个顶点对应的复数分别为z 1，z 2，z 3，若复数z 满足|z －z 1|＝|z －z 2|＝|z －z 3|，则z 对应的点为△ABC 的( ) A ．内心 B ．垂心 C ．重心 D ．外心 答案 D解析 由几何意义知，复数z 对应的点到△ABC 三个顶点距离都相等，z 对应的点是△ABC 的外心．(2)如图所示，平行四边形OABC ，顶点O ，A ，C 分别表示0，3＋2i ，－2＋4i ，试求：①AO →、BC →所表示的复数； ②对角线CA →所表示的复数； ③B 点对应的复数．即B点对应的复数为1＋6i.【感悟提升】因为复平面内的点、向量及向量对应的复数是一一对应的，要求某个向量对应的复数时，只要找出所求向量的始点和终点，或者用向量相等直接给出结论即可．【变式探究】(1)如图，在复平面内，点A表示复数z，则图中表示z的共轭复数的点是( )A．A B．BC．C D．D答案 B解析表示复数z的点A与表示z的共轭复数的点关于x轴对称，∴B点表示z.选B.(2)已知z是复数，z＋2i、z2－i均为实数(i为虚数单位)，且复数(z＋a i)2在复平面内对应的点在第一象限，某某数a的取值X围．解得2<a <6，∴实数a 的取值X 围是(2,6)．1.【2016新课标理】设(1)=1+,x i yi +其中x ,y 实数,则i =x y +( ) （A ）1 （B 2（C 3 （D ）2 【答案】B【解析】因为(1)=1+,x i yi +所以=1+,=1,1,||=|1+|2,x xi yi x y x x yi i +==+=故选B.2.【2016高考新课标3理数】若i 12z =+，则4i1zz =-（ ） (A)1 (B) -1 (C) (D)i - 【答案】C 【解析】4i 4ii (12i)(12i)11zz ==+---，故选C ． 3.【2016高考新课标2理数】已知(3)(1)i z m m =++-在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值X 围是（ ）（A ）(31)-，（B ）(13)-，（C ）(1,)∞+（D ）(3)∞--， 【答案】A【解析】要使复数对应的点在第四象限应满足：m 30m 10+>⎧⎨-<⎩，解得3m 1-<<，故选A.4.【2016年高考理数】设a R ∈，若复数(1)()i a i ++在复平面内对应的点位于实轴上，则a =_______________.【答案】－1【解析】(1)()1(1)1i a i a a i R a ++=-++∈⇒=-，故填：－15.【2016高考某某理数】若复数z 满足232i,z z +=- 其中i 为虚数单位，则z =（ ） （A ）1+2i （B ）12i （C ）12i -+（D ）12i -- 【答案】B6.【2016高考某某理数】已知,a b ∈R ，i 是虚数单位，若(1)(1)i bi a +-=，则ab的值为_______. 【答案】2【解析】由(1i)(1i)1(1)i b b b a +-=++-=，可得110b a b +=⎧⎨-=⎩，所以21a b =⎧⎨=⎩，2ab=，故答案为2．7.【2016高考某某卷】复数(12i)(3i),z =+-其中i 为虚数单位，则z 的实部是________▲________. 【答案】5【解析】(12)(3)55z i i i =+-=+，故z 的实部是51.【2015高考新课标2，理2】若a 为实数且(2)(2)4ai a i i +-=-，则a =（ ） A ．1- B ．0 C ． D ．2 【答案】B【解析】由已知得24(4)4a a i i +-=-，所以240,44a a =-=-，解得0a =，故选B ． 2.【2015高考某某，理2】设i 是虚数单位，则复数32i i-( ) （A ）-i （B ）-3i （C ）i. （D ）3i 【答案】C【解析】32222ii i i i i i i-=--=-+=，选C. 3.【2015高考某某，理2】若复数(是虚数单位 )，则（ ）A ．B ．C ．D ． 【答案】D ．4.【2015高考新课标1，理1】设复数z 满足11zz+-=，则|z|=( ) （A ）1 （B 2（C 3 （D ）2 【答案】A 【解析】由11z i z +=-得，11i z i-+=+=(1)(1)(1)(1)i i i i -+-+-=，故|z|=1，故选A. 5.【2015高考，理1】复数()i 2i -=（ ） A ．12i + B ．12i - C ．12i -+ D ．12i --【答案】A【解析】根据复数乘法运算计算得：2(2)212i i i i i -=-=+，故选A. 6.【2015高考某某，理1】为虚数单位，607i 的共轭复数．．．．为（ ） A ． B ．i - C ．1 D ．1- 【答案】A 【解析】i i i i-=⋅=⨯31514607,所以607i 的共轭复数．．．．为，选A . 7.【2015高考某某，理2】若复数z 满足1zi i=-，其中为虚数为单位，则z =（ ） （A ）1i - （B ）1i + （C ）1i -- （D ）1i -+ 【答案】A 【解析】因为1zi i=-，所以，()11z i i i =-=+ ，所以，1z i =- 故选：A. 8.【2015高考某某，理1】设i 是虚数单位，则复数21ii-在复平面内所对应的点位于（ ） ()32z i i =-z =32i -32i +23i +23i -（A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限 【答案】B9.【2015高考某某，理11】设复数a +bi （a ，b ∈R ）3，则（a +bi ）（a -bi ）=________. 【答案】3【解析】由3a bi +=223a b +=223a b +=，所以22()()3a bi a bi a b +-=+=.10.【2015高考某某，理9】是虚数单位，若复数()()12i a i -+ 是纯虚数，则实数a 的值为. 【答案】2-【解析】()()()12212i a i a a i -+=++-是纯虚数，所以20a +=，即2a =-. 11.【2015某某高考，3】设复数z 满足234z i =+（i 是虚数单位），则z 的模为_______. 5【解析】22|||34|5||5||5z i z z =+=⇒=⇒=12.【2015高考某某，理1】已知()211i i z-=+（为虚数单位），则复数z =（ ） A.1i + B.1i - C.1i -+ D.1i -- 【答案】D.【解析】由题意得，ii ii i z --=+-=+-=1121)1(2，故选D.13.【2015高考某某，理2】若复数z 满足31z z i +=+，其中为虚数单位，则z =． 【答案】1142i + 【解析】设(,)z a bi a b R =+∈，则113()1412142a bi a bi i ab z i ++-=+⇒==⇒=+且 【2015高考某某，理15】设1z ，2C z ∈，则“1z 、2z 中至少有一个数是虚数”是“12z z -是虚数”的（ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件 【答案】B（2014·某某卷）已知i 是虚数单位，a ，b ∈R，得“a ＝b ＝1”是“(a ＋b i)2＝2i”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 【答案】A【解析】由a ，b ∈R，(a ＋b i)2＝a 2－b 2＋2ab i ＝2i, 得⎩⎪⎨⎪⎧a 2－b 2＝0，2ab ＝2，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－1.故选A.（2014·全国卷）设z ＝10i3＋i ，则z 的共轭复数为( )A ．－1＋3iB ．－1－3iC ．1＋3iD ．1－3i 【答案】D【解析】z ＝10i 3＋i ＝10i （3－i ）（3＋i ）（3－i ）＝10（1＋3i ）10＝1＋3i ，根据共轭复数的定义，其共轭复数是1－3i.（2014·卷）复数⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 2＝________．【答案】－1【解析】⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤（1＋i ）2（1－i ）（1＋i ）2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2i 22＝－1.（2014·某某卷）复数z ＝(3－2i)i 的共轭复数z 等于( ) A ．－2－3i B ．－2＋3i C ．2－3i D ．2＋3i 【答案】C【解析】由复数z ＝(3－2i)i ＝2＋3i ，得复数z 的共轭复数z ＝2－3i. （2014·某某卷）已知复数z 满足(3＋4i)z ＝25，则z ＝( )A ．－3＋4iB ．－3－4iC ．3＋4iD ．3－4i 【答案】D【解析】本题考查复数的除法运算，利用分母的共轭复数进行求解． 因为(3＋4i)z ＝25，所以z ＝253＋4i ＝25（3－4i ）（3－4i ）（3＋4i ）＝3－4i.（2014·某某卷）i 为虚数单位，⎝ ⎛⎭⎪⎫1－i 1＋i 2＝( )A ．－1B ．1C ．－iD ．i 【答案】A（2014·某某卷）满足z ＋iz＝i(i 为虚数单位)的复数z ＝( ) A.12＋12i B.12－12i C ．－12＋12i D ．－12－12i【答案】B 【解析】因为z ＋i z ＝i ，则z ＋i ＝z i ，所以z ＝i i －1＝i （－1－i ）（i －1）（－1－i ）＝1－i2. 10．（2014·某某卷）z －是z 的共轭复数，若z ＋z －＝2，(z －z －)i ＝2(i 为虚数单位)，则z ＝( )A ．1＋iB ．－1－iC ．－1＋iD ．1－i 【答案】D【解析】设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)，则z －＝a －b i ，所以2a ＝2，－2b ＝2，得a ＝1，b ＝－1，故z ＝1－i.11．（2014·某某卷）设复数z 满足(z －2i)(2－i)＝5，则z ＝( ) A ．2＋3i B ．2－3i C ．3＋2i D ．3－2i 【答案】A【解析】由(z －2i)(2－i)＝5，得z －2i ＝52－i，故z ＝2＋3i. 12．（2014·新课标全国卷Ⅰ] （1＋i ）3（1－i ）2＝( )A ．1＋iB ．1－iC ．－1＋iD ．－1－i 【答案】D【解析】（1＋i ）3（1－i ）2＝（1＋i ）2（1＋i ）（1－i ）2＝2i （1＋i ）－2i＝－1－i. 13．（2014·新课标全国卷Ⅱ] 设复数z 1，z 2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z 1＝2＋i ，则z 1z 2＝( )A ．－5B ．5C ．－4＋iD ．－4－i 【答案】A【解析】由题知z 2＝－2＋i ，所以z 1z 2＝(2＋i)(－2＋i)＝i 2－4＝－5.14．（2014·某某卷）已知a ，b ∈R，i 是虚数单位，若a －i 与2＋b i 互为共轭复数，则(a ＋b i)2＝( )A ．5－4iB ．5＋4iC ．3－4iD ．3＋4i 【答案】D15．（2014·某某卷）复数2－2i1＋i ＝________．【答案】－2i【解析】2－2i 1＋i ＝2（1－i ）2（1＋i ）（1－i ）＝－2i.16．（2014·某某卷）i 是虚数单位，复数7＋i3＋4i ＝( )A ．1－iB ．－1＋i C.1725＋3125i D ．－177＋257i 【答案】A【解析】7＋i 3＋4i ＝（7＋i ）（3－4i ）（3＋4i ）（3－4i ）＝25－25i 32＋42＝1－i.17．（2013·新课标全国卷Ⅰ] 若复数z 满足(3－4i)z ＝|4＋3i|，则z 的虚部为( ) A ．－4 B ．－45 C ．4 D.45【答案】D【解析】z ＝|4＋3i|3－4i ＝53－4i ＝5（3＋4i ）25＝35＋45i ，故z 的虚部是45.18．（2013·某某卷）设i 是虚数单位，z 是复数z 的共轭复数，若z·zi＋2＝2z ，则z ＝( ) A ．1＋i B ．1－i C ．－1＋i D ．－1－i 【答案】A19．（2013·卷）在复平面内，复数(2－i)2对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 【答案】D【解析】(2－i)2＝4－4i ＋i 2＝3－4i ，对应的复平面内点的坐标为(3，－4)，所以选D. 20．（2013·某某卷）已知复数z 的共轭复数z ＝1＋2i(i 为虚数单位)，则z 在复平面内对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 【答案】D【解析】z ＝1－2i ，对应的点为P(1，－2)，故选D.21．（2013·某某卷）若复数iz ＝2＋4i ，则在复平面内，z 对应的点的坐标是( ) A ．(2，4) B ．(2，－4) C ．(4，－2) D ．(4，2) 【答案】C22．（2013·某某卷）在复平面内，复数z ＝2i1＋i (i 为虚数单位)的共轭复数对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 【答案】D【解析】z ＝2i 1＋i ＝2i （1－i ）（1＋i ）（1－i ）＝i(1－i)＝1＋i ，z ＝1－i ，z 对应的点在第四象限，选D.23．（2013·某某卷）复数z ＝i·(1＋i)(i 为虚数单位)在复平面上对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 【答案】B【解析】由题z ＝i·(1＋i)＝i ＋i 2＝－1＋i ，在复平面上对应的点坐标为(－1，1)，即位于第二象限，选B.24．（2013·某某卷）设z ＝(2－i)2(i 为虚数单位)，则复数z 的模为________． 【答案】5【解析】因为z ＝(2－i)2＝4－4i ＋i 2＝3－4i ，所以复数z 的模为5.25．（2013·某某卷）已知集合M ＝{1，2，zi}，i 为虚数单位，N ＝{3，4}，M∩N＝{4}，则复数z ＝( ) A ．－2i B ．2i C ．－4i D ．4i 【答案】C【解析】zi ＝4z ＝－4i ，故选C.26．（2013·某某卷）复数z ＝1i －1的模为( )A.12B.22 C. 2 D ．2 【答案】B【解析】复数z ＝1i －1＝－1＋i 2，所以|z|＝－1＋i 2＝22，故选B.27．（2013·全国卷）(1＋3i)3＝( ) A ．－8 B ．8 C ．－8i D ．8i 【答案】A【解析】(1＋3i)3＝13＋3×12(3i)＋3×1×(3i)2＋(3i)3＝1＋33i －9－33i ＝－8. 28．（2013·某某卷）复数z 满足(z －3)(2－i)＝5(i 为虚数单位)，则z 的共轭复数z 为( ) A ．2＋i B ．2－i C ．5＋i D ．5－i【答案】D29．（2013·某某卷）设z 1，z 2是复数，则下列命题中的假命题是( ) A ．若|z 1－z 2|＝0，则z 1＝z 2 B ．若z 1＝z 2，则z 1＝z 2C ．若|z 1|＝|z 2|，则z 1·z 1＝z 2·z 2D ．若|z 1|＝|z 2|，则z 21＝z 22 【答案】D立，故D 错．30．（2013·某某卷）如图1－1所示，在复平面内，点A 表示复数z ，则图1－1中表示z 的共轭复数的点是( )图1－1A ．AB ．BC ．CD ．D 【答案】B【解析】复数与共轭复数的几何关系是其表示的点关于x 轴对称．31．（2013·某某卷）已知a ，b∈R，i 是虚数单位，若(a ＋i)(1＋i)＝bi ，则a ＋bi ＝________. 【答案】1＋2i【解析】(a ＋i)(1＋i)＝a －1＋(a ＋1)i ＝bi ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a －1＝0，a ＋1＝b ，解得a ＝1，b ＝2.故a ＋bi ＝1＋2i. 32．（2013·新课标全国卷Ⅱ] 设复数z 满足(1－i)z ＝2i ，则z ＝( )A ．－1＋iB ．－1－iC ．1＋iD ．1－i 【答案】A【解析】(1－i)z ＝2i ，则z ＝2i1－i ＝i(1＋i)＝－1＋i.故选A.33．（2013·某某卷] 已知i 是虚数单位，则(－1＋i)(2－i)＝( ) A ．－3＋i B ．－1＋3i C ．－3＋3i D ．－1＋i 【答案】B【解析】(－1＋i)(2－i)＝－2＋i ＋2i ＋1＝－1＋3i ，故选择B.34．（2013·某某卷）已知复数z ＝5i 1＋2i (i 是虚数单位)，则|z|＝________．【答案】 5【解析】因为z ＝5i （1－2i ）（1＋2i ）（1－2i ）＝2＋i ，所以|z|＝22＋12＝ 5.1．设z ＝11＋i ＋i ，则|z |等于( )A.12B.22C.32 D ．2 答案 B 解析 ∵z ＝11＋i＋i ＝1－i 1＋i 1－i＋i ＝1－i 2＋i ＝12＋12i ，∴|z |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝22，故选B. 2．若i 为虚数单位，图中复平面内点Z 表示复数z ，则表示复数z1＋i的点是( )A ．EB ．FC ．GD ．H 答案 D3．复数z 1，z 2满足z 1＝m ＋(4－m 2)i ，z 2＝2cos θ＋(λ＋3sin θ)i(m ，λ，θ∈R )，并且z 1＝z 2，则λ的取值X 围是( )A ．[－1,1]B .⎣⎢⎡⎦⎥⎤－916，1C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－916，7 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤916，7答案 C解析 由复数相等的充要条件可得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2cos θ，4－m 2＝λ＋3sin θ，化简得4－4cos 2θ＝λ＋3sin θ，由此可得λ＝－4cos 2θ－3sin θ＋4＝－4(1－sin 2θ)－3sin θ＋4＝4sin 2θ－3sin θ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫sin θ－382－916，因为sin θ∈[－1,1]，所以4sin 2θ－3sin θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－916，7.4．设f (n )＝⎝⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－i 1＋i n (n ∈N *)，则集合{f (n )}中元素的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．无数个 答案 C 解析 f (n )＝⎝⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－i 1＋i n ＝i n ＋(－i)n ，f (1)＝0，f (2)＝－2，f (3)＝0，f (4)＝2，f (5)＝0，…∴集合中共有3个元素．5．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋x ，x ∈R ，1＋i x ，x ∉R ，则f [f (1－i)]＝________.答案 3解析 ∵f (1－i)＝(1＋i)(1－i)＝2， ∴f [f (1－i)]＝f (2)＝1＋2＝3.6．复数(3＋i)m －(2＋i)对应的点在第三象限内，则实数m 的取值X 围是________． 答案 m <23解析 z ＝(3m －2)＋(m －1)i ，其对应点(3m －2，m －1)在第三象限内，故3m －2<0且m －1<0，∴m <23.7．已知复数z ＝x ＋y i ，且|z －2|＝3，则y x的最大值为________． 答案38．复数z 1＝3a ＋5＋(10－a 2)i ，z 2＝21－a ＋(2a －5)i ，若z 1＋z 2是实数，某某数a 的值． 解 z 1＋z 2＝3a ＋5＋(a 2－10)i ＋21－a＋(2a －5)i ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3a ＋5＋21－a ＋[(a 2－10)＋(2a －5)]i ＝a －13a ＋5a －1＋(a 2＋2a －15)i.∵z 1＋z 2是实数，∴a 2＋2a －15＝0，解得a ＝－5或a ＝3. 又(a ＋5)(a －1)≠0，∴a ≠－5且a ≠1，故a ＝3.9．已知集合M ＝{1，m,3＋(m 2－5m －6)i}，N ＝{－1,3}，若M ∩N ＝{3}，则实数m 的值为________． 答案 3或6解析 ∵M ∩N ＝{3}，∴3∈M 且－1∉M ， ∴m ≠－1,3＋(m 2－5m －6)i ＝3或m ＝3， ∴m 2－5m －6＝0且m ≠－1或m ＝3， 解得m ＝6或m ＝3.10．若1＋2i 是关于x 的实系数方程x 2＋bx ＋c ＝0的一个复数根，则b ＝________，c ＝________. 答案 －2 311．若虚数z 同时满足下列两个条件：①z ＋5z是实数；②z ＋3的实部与虚部互为相反数．这样的虚数是否存在？若存在，求出z ；若不存在，请说明理由． 解 这样的虚数存在，z ＝－1－2i 或z ＝－2－i. 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R 且b ≠0)，z ＋5z ＝a ＋b i ＋5a ＋b i＝a ＋b i ＋5a －b ia 2＋b 2＝⎝⎛⎭⎪⎫a ＋5a a 2＋b 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b －5b a 2＋b 2i.。

高中数学第一轮复习学案---(11)数系的扩充与复数的引入

高中数学第一轮复习学案---(11)数系的扩充与复数的引入

“数系的扩充与复数的引入”复习学案某某高考考试大纲说明的具体要求：（1）复数的概念：①理解复数的基本概念②理解复数相等的充要条件.③了解复数的代数表示法及其几何意义.（2）复数的四则运算：①会进行复数代数形式的四则运算. ②了解复数代数形式的加、减运算的几何意义.（一）基础知识梳理：“i ”的两条规定：①i 2=-1, ②i 与实数在一起，可以进行通常的四则运算。

2.复数的概念：形如)R b ,a (bi a ∈+的数叫做_______,其中i 叫做___________，a 与b 分别叫做复数a+bi 的______部和_______部。

复数通常用字母_____来表示。

________________叫做复数的代数形式。

全体复数所成的集合叫做________集。

用字母________来表示。

3.复数a+bi=c+di 的充要条件是：____________________.特例a+bi=0⇔_______________.4.对于复数a+bi ，当且仅当___________时，它是实数；当且仅当__________时，它是纯虚数。

5.复数的几何表示：建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做________,x 轴叫做________轴，y 轴叫做_______轴.实轴上的点都表示______数；除原点外，虚轴上的点都表示__________数。

6.复数的模：向量OZ 的模，叫做复数 z=a+bi 的模，即=+=bi a z ________________.7.共轭复数：当两个复数实部______,虚部_____________时，这两个复数叫做共轭复数。

z=a+bi 的共轭复数记作_____________.虚部不为零的两个共轭复数也叫做____________. 性质：2222b a z zz z +===⋅，a z z 2=+； ()()22b a bi a bi a +=++8.复数加、减法法则：(a+bi)+(c+di)=__________________. (a+bi)-(c+di)=__________________. 9．复数代数形式的加、减运算的几何意义：（二）典型例题分析：例1. (2008某某理)若复数(a 2-3a +2)+(a-1)i 是纯虚数，则实数a 的值为（ ）A.1B.2例2.(2008某某文、理)设z 的共轭复数是z ，或z +z =4,z ·z ＝8，则zz等于（ ） （A ）1 （B ）-i (C)±1 (D)±i例3.（2006某某理） ）A ．iB ．i -C iD i例4.（2003理科）若C z ∈且|22|,1|22|i z i z --=-+则的最小值是（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5例5.（2004某某）已知复数z 与(z +2)2－8i 均是纯虚数，则z = .（三）基础训练：1．（2005某某理科）复数z ＝i ＋i 2＋i 3＋i 4的值是（ ）A 、－1B 、0C 、1D 、i2．(2008某某、某某文、理)已知复数1z i =-，则21z z =-（ ） A. 2 B. －2 C. 2i D. －2i3．(2008某某理)已知0<a<2，复数z 的实部为a ，虚部为1，则z 的取值X 围是( )A ．(1,5) B.(1,3) C. (1,5) D.(1,3)4.（2008某某理）已知a 是实数，iia +-1是纯虚数，则a =（ ） （A ）1 （B ）-1 （C ）2 （D ）-25．（2007某某文）复数43i1+2i+的实部是（ ） A ．2-B ．2 C ．3 D ．46.(2007某某文、理)若复数)2)(1(i bi ++是纯虚数（i 是虚数单位，b 是实数）则b ＝（） A ．-2 B ．12- C. 12D ．27．（2006全国Ⅰ卷理）如果复数2()(1)m i mi ++是实数，则实数m =（ ）A ．1B ．1-C ．2D ．2-8．（2000某某，全国文科、理科，某某、某某理科）在复平面内，把复数i 33-对应的向量按顺时钟方向旋转3π，所得向量对应的复数是：（ ） （A ）23（B ）i 32- （C ）3i 3- （D ）3+i 39． (1992全国理科、文科)已知复数z 的模为2,则│z -i│的最大值为：( )(A)1 (B)2 (C)(D)310．(2008某某文、理)若复数z 满足(2)z i z =- (i 是虚数单位)，则z =．11.（2005理科）若12z a i =+, 234z i =-，且12z z 为纯虚数，则实数a 的值为．12.(2006某某理)若复数z 同时满足z －-z ＝2i ，-z ＝iz （i 为虚数单位）,则z ＝ __ ．历届高考中的“复数”试题精选（自我检测）一、选择题：(每小题5分，计70分)1234567891011121314题号答案1．(2008某某文)已知0<a<2，复数z=a+i （i 是虚数单位），则z 的取值X 围是（ ）A ．(1,3) B. (1,5) C. ( 1,3) D.(1,5)2.（2006理）在复平面内，复数1ii+对应的点位于（ ） （A ）第一象限 (B ）第二象限（C ）第三象限（D ）第四象限3．(2008某某理) 复数11212i i+-+-的虚部是（ ）A ．15iB ．15C ．15i -D ．15-4．（2005某某）若i b i i a -=-)2(，其中a 、b ∈R ，i 是虚数单位，则22b a +=（ ） A ．0 B ．2 C ．25D ．55．(2008全国Ⅰ卷理)设a ∈R ，且2()a i i +为正实数，则a =（ ）A ．2B ．1C ．0D ．1-6．（2007某某理）复数22i 1+i ⎛⎫⎪⎝⎭等于（）A ．4iB ．4i -C ．2iD ．2i -7．（2005某某理科）复数iz -=11的共轭复数是（）A ．i 2121+B ．i 2121-C ．i -1D ．i +18.（2007全国Ⅱ理）设复数z 满足i z2i1=+，则z =（ ） (A) -2+i(B) -2-i(C) 2-i(D) 2+i9.（2007全国Ⅰ理）设a 是实数，且211ii a +++是实数，则a ＝（ ） （A ）21（B ）1（C ）23（D ）210.（2006某某理）复数3)i 1(-的虚部为（ ）（A ）3.（B ）－3.（C ）2（D ）－211.（2006某某理）已知=+-=+ni m i n m ni im是虚数单位，则是实数，，，其中11（ ） (A)1+2i (B) 1-2i (C)2—i (D)i 2+12．(2005某某理科)若复数iia 213++（a ∈R ，i 为虚数单位）是纯虚数，则实数a 的值为（ ） （A ）-2 (B)4 (C) -6 (D)613.(2004某某理科) 已知复数i t z i z +=+=21,43,且21z z ⋅是实数,则实数t=（ ）(A)43 (B) 34 (C) --34 (D) --4314．（2004某某）设复数z 满足=+=+-|1|,11z i zz则（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．2二、填空题：（每小题5分，计20分）15．（2008理）已知2()2a i i -=，其中i 是虚数单位，那么实数a =．16.（2007某某理）复数322ii+的虚部为________.17.(2006某某文)若复数z 满足(2)(1)z m m i =-++(i 为虚数单位)为纯虚数,其中m R ∈。

2016届高考数学(文)大一轮复习课件：第4章 第四节 数系的扩充与复数的引入

2016届高考数学(文)大一轮复习课件：第4章 第四节 数系的扩充与复数的引入
第二十页，编辑于星期五：二十一点 四十八分。
2．复数加法的运算定律 复数的加法满足交换律、结合律，即对任何 z1，z2，z3 ∈C，有 z1＋z2＝z2＋z1，(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．
第二十一页，编辑于星期五：二十一点 四十八 分。
[题组练透] 1．(2015·洛阳统考)i 为虚数单位，若复数 z＝12＋－2ii，z 的共轭
[类题通法] 复数代数形式运算问题的解题策略 (1)复数的乘法：复数的乘法类似于多项式的四则运算，可 将含有虚数单位 i 的看作一类同类项，不含 i 的看作另一类同 类项，分别合并即可． (2)复数的除法：除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭 复数，解题中要注意把 i 的幂写成最简形式．
第二十六页，编辑于星期五：二十一点 四十八 分。
[提醒] 在进行复数的代数运算时，记住以下结论，可提高 计算速度．
(1)(1±i)2＝±2i；11＋ －ii＝i；11＋－ii＝－i； (2)－b＋ai＝i(a＋bi)； (3)i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i， i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0，n∈N*.
()
A．1＋i
B．1－i
C．－1＋i
D．－1－i
解析：法一：11＋ －ii32＝1－i－＋23ii－3＝－－2＋2i2i＝1－i i＝－1－i.
法二：11－＋ii23＝11＋ －ii2(1＋i)＝i2(1＋i)＝－1－i.
第二十四页，编辑于星期五：二十一点 四十八 分。
4．已知复数
z＝1－3＋3ii2，
平面内所对应的点在
()
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
解析：因为 z＝－2i－i2＝4＋4ii－1＝3＋i 4i＝i32－54i＝245＋

高考数学 考点单元复习教案4

高考数学 考点单元复习教案4

数系的扩充与复数的引入 1、了解数系的扩充过程，体会实际需求与数学内部的矛盾（数的运算规则、方程理论）在数系扩充过程中的作用.2、理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件3、了解复数的代数表示法及其几何意义，能进行复数代数形式的四则运算，了解复数代数形式的加、减运算的几何意义. 复数的分类模、辐角共轭复数两复数相等基本概念代数形式几何形式三角形式表示形式运算代数式的运算三角式的运算点向量加、减、乘、除乘方、开方几何运用几何问题轨迹问题复数重视复数的概念和运算，注意复数问题实数化.第1课时 复数的有关概念1．复数：形如 ),(R b a ∈的数叫做复数，其中a , b 分别叫它的 和 ．2．分类：设复数 (,)z a bi a b R =+∈：(1) 当 ＝0时，z 为实数；(2) 当 ≠0时，z 为虚数；(3) 当 ＝0, 且 ≠0时，z 为纯虚数.3．复数相等：如果两个复数 相等且 相等就说这两个复数相等.基础过知识网考纲导高考导4．共轭复数：当两个复数实部 ，虚部 时．这两个复数互为共轭复数．(当虚部不为零时，也可说成互为共轭虚数)． 5．若z ＝a ＋bi, (a, b ∈R), 则 | z |＝ ； z z ⋅＝ .6．复平面：建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面, x 轴叫做 ， 叫虚轴．7．复数z ＝a ＋bi(a, b ∈R)与复平面上的点 建立了一一对应的关系．8．两个实数可以比较大小、但两个复数如果不全是实数，就 比较它们的大小.例1. m 取何实数值时，复数z ＝362+--m m m ＋i m m )152(2--是实数？是纯虚数？ 解：① z 是实数503015122=⇒⎩⎨⎧≠+=--⇒m m m m ② z 为纯虚数2303060151222-==⇒⎪⎩⎪⎨⎧≠+=--≠--⇒m m m m m m m 或变式训练1：当m 分别为何实数时，复数z=m 2－1＋(m 2＋3m ＋2)i 是（1）实数？（2）虚数？（3）纯虚数？（4）零？解：（1）m=－1,m=－2；(2)m≠－1,m≠－2；（3）m=1；（4）m=－1．例2. 已知x 、y 为共轭复数，且i xyi y x 643)(2-=-+，求x ．解：设),(,R b a bi a y bi a x ∈-=+=则代入由复数相等的概念可得1,1±=±=b a 变式训练2：已知复数z=1＋i ，如果221z az b z z ++-+=1－i,求实数a,b 的值． 由z=1＋i 得221z az b z z ++-+=()(2)a b a i i+++=（a ＋2)－(a ＋b)i 从而21()1a a b +=⎧⎨-+=-⎩，解得12a b =-⎧⎨=⎩．例3. 若方程0)2()2(2=++++mi x i m x 至少有一个实根，试求实数m 的值.解：设实根为o x ，代入利用复数相等的概念可得o x ＝222±=⇒±m变式训练3：若关于x 的方程x 2＋(t 2＋3t ＋tx )i=0有纯虚数根，求实数t 的值和该方程的根．解：t=－3,x 1=0,x 2=3i ．提示：提示：设出方程的纯虚数根，分别令实部、虚部为0，将问题转化成解方程组．例4. 复数 (,)z x yi x y R =+∈满足|22|||i z z --=，试求y x 33+的最小值.设),(R y x yi x z ∈+=，则2=+y x ，于是692332=≥+-x x典型例变式训练4：已知复平面内的点A 、B 对应的复数分别是i z +=θ21sin 、θθ2cos cos 22i z +-=，其中)2,0(πθ∈，设AB 对应的复数为z .(1) 求复数z ；(2) 若复数z 对应的点P 在直线x y 21=上，求θ的值.解：(1) θ212sin21i z z z --=-= (2) 将)sin 2,1(2θ--P 代入x y 21=可得21sin ±=θ611,67,65,6ππππθ=⇒. 1．要理解和掌握复数为实数、虚数、纯虚数、零时，对实部和虚部的约束条件.2．设z ＝a ＋bi (a ，b ∈R)，利用复数相等和有关性质将复数问题实数化是解决复数问题的常用方法.第2课时 复数的代数形式及其运算1．复数的加、减、乘、除运算按以下法则进行：设12, (,,,)z a bi z c di a b c d R =+=+∈，则(1) 21z z ±＝ ；(2) 21z z ⋅＝ ；(3) 21z z ＝ (≠2z ). 2．几个重要的结论：⑴ )|||(|2||||2221221221z z z z z z +=-++⑵ z z ⋅＝ ＝ .⑶ 若z 为虚数，则2||z ＝ ()2 z =≠填或3．运算律⑴ n m z z ⋅＝ .⑵ n m z )(＝ .⑶ n z z )(21⋅＝ ),(R n m ∈.例1．计算：i i i i i 2121)1()1(20054040++-++--+ 解：提示：利用i i i i =±=±20052,2)1(原式＝0典型例基础过小结归变式训练1：求复数23i =- （A ）13i -+ （B ）1322i + （C ）1322i -+ （D ）13i - 解：22(3)2231323(3)(3)i i i i i i i +-+===-+--+ 故选C ； 例2. 若012=++z z ，求2006200520032002z z z z +++解：提示：利用z z z ==43,1原式＝2)1(432002-=+++z z z z变式训练2：已知复数z 满足z 2＋1＝0，则（z 6＋i ）（z 6－i ）＝ ▲ ．解：2例3. 已知4,a a R >∈，问是否存在复数z ，使其满足ai z i z z +=+⋅32（a ∈R ），如果存在，求出z 的值，如果不存在，说明理由解：提示：设),(R y x yi x z ∈+=利用复数相等的概念有⎩⎨⎧==++ax y y x 23222 0034222>∆⇒=-++⇒a y y i a a z a 216224||2-±-+=⇒≤⇒ 变式训练3：若(2)a i i b i -=+，其中i R b a ,,∈是虚数单位，则a ＋b ＝__________ 解：3例4. 证明：在复数范围内，方程255||(1)(1)2i z i z i z i -+--+=+（i 为虚数单位）无解． 证明：原方程化简为2||(1)(1)1 3.z i z i z i +--+=-设yi x z += (x 、y∈R，代入上述方程得22221 3.x y xi yi i +--=-221(1)223(2)x y x y ⎧+=⎪∴⎨+=⎪⎩ 将（2）代入（1），整理得281250.x x -+=160,()f x ∆=-<∴Q 方程无实数解，∴原方程在复数范围内无解.变式训练4：已知复数z 1满足(1＋i)z 1＝－1＋5i ，z 2＝a －2－i ，其中i 为虚数单位，a∈R, 若12z z -<1z ，求a 的取值范围.解：由题意得 z 1＝151i i-++＝2＋3i, 于是12z z -=42a i -+2(4)4a -+1z =13.2(4)4a -+13，得a 2－8a ＋7<0，1<a<7.小结归1．在复数代数形式的四则运算中，加减乘运算按多项式运算法则进行，除法则需分母实数化，必须准确熟练地掌握.2．记住一些常用的结果，如 ,i的有关性质等可简化运算步骤提高运算速度.3．复数的代数运算与实数有密切联系但又有区别，在运算中要特别注意实数范围内的运算法则在复数范围内是否适用.复数章节测试题一、选择题1．若复数i i a 213++（a R ∈，i 为虚数单位）是纯虚数,则实数a 的值为 （ ） A 、-6 B 、13 C.32D.13 2．定义运算bc ad d c ba -=,,，则符合条件01121=+-+i i iz ，，的复数_z 对应的点在（ ） A ．第一象限； B ．第二象限； C ．第三象限； D ．第四象限；3．若复数()()22ai i --是纯虚数（i 是虚数单位），则实数a =（ ）A.－4；B.4；C.－1；D.1；4．复数i i ⋅--2123=（ ）A ．－IB ．IC ． 22－iD ．－22+i6．若复数z ai z i z 且复数满足,1)1(+=-在复平面上对应的点位于第二象限，则实数a 的取值范围是（ ）A ．1>aB ．11<<-aC ．1-<aD ．11>-<a a 或7．已知复数z 满足2)1()1(i z i +=-，则z ＝（ ）(A) －1+ i (B) 1+i (C) 1－i (D) －1－i8．若复数12,1z a i z i =+=-，且12z z g 为纯虚数，则实数a 为 ( )A ．1B ．-1C ．1或-1D ．09．如果复数)2)(1(i ai ++的实部和虚部相等，则实数a 等于（ ）（A ）1- （B ）31 （C ）21 （D ）1 10．若z 是复数，且i z 432+-=，则z 的一个值为 （ ）A ．1-2iB ．1+2iC ．2-iD ．2+i11．若复数15z a i =-+为纯虚数，其中,a R i ∈为虚数单位，则51a i ai+-=（ ） A ． i B ． i - C ． 1 D ． 1-12．复数1i i+在复平面中所对应的点到原点的距离为（ ） A ．12 B ．22C ．1D ． 2 二、填空题13．设z a bi =+，a ，b∈R，将一个骰子连续抛掷两次，第一次得到的点数为a ，第二次得到的点数为b ，则使复数z 2为纯虚数的概率为 ． 14．设i 为虚数单位，则41i i +⎛⎫= ⎪⎝⎭ ． 15．若复数z 满足方程1-=⋅i i z ，则z= ．16．．已知实数x ，y 满足条件5003x y x y x -+⎧⎪+⎨⎪⎩≥≥≤，i z x y =+（i 为虚数单位），则|12i |z -+的最小值是 ．17．复数z=12i+,则|z|= ． 18．虚数（x －2）+ y i 其中x 、y 均为实数，当此虚数的模为1时，xy 的取值范围是（ ） A ．[－33，33] B ．033[-∪（]330 C ．[－3，3] D ．[－3，0∪（0，3]19．已知i i a z --=1 (a>0)，且复数)(i z z +=ω的虚部减去它的实部所得的差等于23，求复数ω的模.20．．复平面内，点1Z 、2Z 分别对应复数1z 、2z ，且i a a z )10(5321-++=，22(25)1z a i a =+--， )(R a ∈其中，若21z z +可以与任意实数比较大小，求21OZ OZ ⋅的值（O 为坐标原点）.复数章节测试题答案一、选择题1． A 2．答案：A 3．答案：B4．答案：B6．答案：A7．A8．B9．B10．B11．D12．B二、填空题13． 61 14．2i 15．1i +16．答案：22 17．答案：5518． 答案：B ∵⎩⎨⎧≠=+-0y 1y )2x (22, 设k =x y , 则k 为过圆（x －2）2 + y 2 = 1上点及原点的直线斜率，作图如下, k≤3331=, 又∵y≠0 ,∴k≠0.由对称性 选B ．【帮你归纳】本题考查复数的概念,以及转化与化归的数学思维能力，利用复数与解析几何、平面几何之间的关系求解.虚数一词又强调y≠0，这一易错点.【误区警示】本题属于基础题，每步细心计算是求解本题的关键，否则将会遭遇“千里之堤，溃于蚁穴”之尴尬.19．解：i a a a i z z 221)(2+++=+=ω i a 3232+=⇒=⇒ω523||=⇒ω 20．解：依题意21z z +为实数，可得。

高考数学(人教A版选修2-2)第一轮复习教学案：第三章数系的扩充和复数的引入 学案

高考数学(人教A版选修2-2)第一轮复习教学案：第三章数系的扩充和复数的引入 学案

第三章数系的扩充和复数的引入[课标研读]［课标要求］1．复数的概念①理解复数的基本概念.②理解复数相等的充要条件.③了解复数的代数表示法及其几何意义.2．复数的四则运算①会进行复数代数形式的四则运算.②了解复数代数形式的加、减运算的几何意义.［命题展望］本章内容在高考中，以选择题和解答题为主.选择题主要考查：（1）复数的概念，包括虚数、纯虚数、复数的实部和虚部、复数的模、辐角主值、复数相等、共轭复数等概念.（2）复数代数形式的基本运算，包括复数的四则运算，乘方、开方运算，代数形式基本运算的技能与技巧等.（3）复数的几何意义，特别是复数乘法的几何意义——向量旋转，复数运算的几何意义在平面图形中的应用等.在高考中常见的类型有：（1）与基本计算有关的问题；（2）与复数模的最值有关的问题；（3）与复数几何意义有关的问题.解答题主要考查：（1）在复数集中解一元二次方程和二项方程.（2）复数的运算.（3）复数与代数、几何、三角的综合性知识运用.在高考中常见的类型有：（1）解复数方程的问题；（2）求复数的模和的问题；（3）复数与代数几何、三角相关联的综合性问题.从上述我们可以看到高考常以考查复数运算为主，估计这一命题趋势还将继续下去.在复习过程中，要重视复数与相关知识的联系.①复数问题可以转化成三角问题，②复数问题转化为实数范围内的代数问题，③复数问题转化成平面几何问题.在复习过程中，就充分利用相关知识，实现问题的转化.如求模的最值问题可采用以下思考方法：①转化为求三角函数式的最值问题，②转化为实数范围内的最值，③利用模为实数这一性质，||z1|－|z2||≤|z1±z2|≤|z1|＋|z2|，④转化为平面几何问题.随着观察分析角度的不同，产生不同的解题思路和方法，提高学生对算理算法的合理运用的水平.虽然复数试题的难度较低，但非常灵活，具有活而不难的特点，且常考常新，要求具有灵活处理问题的能力，因此在复习时应狠抓基础，对复数的概念，复数运算等要熟练掌握，对于一些常见的虚数,iω等的运算性质等要熟练掌握，现时还要注意数形结合思想，复数问题实数化方法等。

高三数学一轮复习讲义 数系的扩充与复数的引入教案 新人教A版

高三数学一轮复习讲义 数系的扩充与复数的引入教案 新人教A版

数系的扩充与复数的引入自主梳理1．数系的扩充数系扩充的脉络是：________→________→________，用集合符号表示为________⊆________⊆________，实际上前者是后者的真子集．自然数系 有理数系 实数系 N Q R 2．复数的有关概念 (1) 复数的概念 形如a ＋b i (a ，b ∈R )的数叫复数，其中a ，b 分别是它的________和________．实部 虚部复数a ＋b i ⎩⎪⎨⎪⎧实数b ＝0虚数――→b ≠0纯虚数a ＝0(2)复数相等：a ＋b i ＝c ＋d i ⇔____________(a ，b ，c ，d ∈R )． a ＝c ，b ＝d(3)共轭复数：a ＋b i 与c ＋d i 共轭⇔____________(a ，b ，c ，d ∈R )．z 为z 的共轭复数。

a ＝c ，b ＝－d3．复数的几何意义(1) 建立直角坐标系来表示复数的平面，叫做复平面．______叫做实轴，______叫做虚轴．实轴上的点表示________；，虚轴上的点（除原点外）都表示________；各象限内的点都表示____________． x 轴 y 轴 实数 纯虚数 非纯虚数 （2）复数z ＝a ＋b i 复平面内的点Z (a ，b )(a ，b ∈R )．_____平面 向量OZ →________ (3)复数的模 向量OZ →的模r 叫做复数z ＝a ＋b i 的模，记作______或________，即|z |＝|a ＋b i|＝____________.|z | |a ＋b i| a 2＋b 24．复数的运算(1)复数的加、减、乘、除运算法则设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )，则①加法：z 1＋z 2＝(a ＋b i)＋(c ＋d i)＝______________； ②减法：z 1－z 2＝(a ＋b i)－(c ＋d i)＝________________； ③乘法：z 1·z 2＝(a ＋b i)·(c ＋d i)＝________________；④除法：z 1z 2＝a ＋b i c ＋d i ＝a ＋b i c －d ic ＋d i c －d i＝________________________(c ＋d i≠0)．① (a ＋c )＋(b ＋d )i ②(a －c )＋(b －d )i ③(ac －bd )＋(ad ＋bc )i ④ac ＋bd ＋bc －ad ic 2＋d 2(2)复数加法的运算定律复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z 1、z 2、z 3∈C ，有z 1＋z 2＝________，(z 1＋z 2)＋z 3＝______________________. z 2＋z 1 z 1＋(z 2＋z 3)5．进行复数运算时，熟记以下结果有助于简化运算过程(1) (a ±b i)2＝a 2±2ab i －b 2＝a 2－b 2±2ab i ，(a ＋b i)(a －b i)＝a 2＋b 2(2) i 4n ＝1，i 4n ＋1＝i ，i 4n ＋2＝－1，i 4n ＋3＝－i ，i n ＋i n ＋1＋i n ＋2＋i n ＋3＝0 (n ∈N )(3) (1＋i)2＝2i ，(1－i)2＝－2i ，1＋i 1－i ＝i ，1－i 1＋i＝－i复数的加减运算类似于实数中的多项式的加减运算(合并同类项)，复数的乘除运算是复数运算的难点，在乘法运算中要注意i 的幂的性质，区分(a ＋b i)2＝a 2＋2ab i －b 2与(a ＋b )2＝a 2＋2ab ＋b 2；在除法运算中，关键是“分母实数化”(分子、分母同乘以分母的共轭复数)，此时要注意区分(a ＋b i)(a －b i)＝a 2＋b 2与(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2失误与防范两个虚数不能比较大小． z 2<0在复数范围内有可能成立，例如：当z ＝3i 时z 2＝－9<0. 自我检测1．复数i 2＋i 3＋i41－i 等于( )A ．－12－12iB ．－12＋12iC .12－12i D.12＋12iC [i 2＋i 3＋i 41－i ＝－1－i ＋11－i ＝－i 1－i ＝－i 1＋i 1－i 1＋i ＝1－i 2＝12－12i.] 2．复数z ＝1＋i ，z 为z 的共轭复数，则z z －z －1等于( ) A ．－2i B ．－i C ．i D ．2i B [∵z ＝1＋i ，∴z ＝1－i ，∴z ·z ＝|z |2＝2， ∴z ·z －z －1＝2－(1＋i)－1＝－i.]3．设复数z 满足i(z ＋1)＝－3＋2i(i 为虚数单位)，则z 的实部是________.解析 设z ＝a ＋b i(a 、b ∈R )，由i(z ＋1)＝－3＋2i ， 得－b ＋(a ＋1)i ＝－3＋2i ，∴a ＋1＝2，∴a ＝1.4．在复平面内，复数z 满足iz ＋i＝2－i(i 为虚数单位)，则复数z对应的点的坐标为________． (－15，－35)，5．已知复数z 满足1＋2i z ＝1－2i ，则复数z ＝__.－35＋45i__________.题型一 复数的分类例1 已知m ∈R ，复数z ＝m m －2m －1＋(m 2＋2m －3)i ，当m 为何值时，(1)z ∈R ；(2)z 是纯虚数；(3)z 对应的点位于复平面第二象限；(4)z 对应的点在直线x ＋y ＋3＝0上．11．解 (1)当z 为实数时，则有m 2＋2m －3＝0且m －1≠0 得m ＝－3，故当m ＝－3时，z ∈R .(2)当z 为纯虚数时，则有⎩⎪⎨⎪⎧m m －2m －1＝0m 2＋2m －3≠0.解得m ＝0，或m ＝2.∴当m ＝0或m ＝2时，z 为纯虚数．(3)当z 对应的点位于复平面第二象限时，则有，⎩⎪⎨⎪⎧m m －2m －1<0.m 2＋2m －3>0解得m <－3或1<m <2，故当m <－3或1<m <2时，z 对应的点位于复平面的第二象限．(4)当z 对应的点在直线x ＋y ＋3＝0上时，则有m m －2m －1＋(m 2＋2m －3)＋3＝0，得m m 2＋2m －4m －1＝0，解得m ＝0或m ＝－1± 5.∴当m ＝0或m ＝－1±5时，点Z 在直线x ＋y ＋3＝0上．点评： (1)本题考查复数集中各数集的分类，题中给出的复数采用的是标准的代数形式，否则应先化为代数形式，再依据概念求解． (2) 判定复数是实数，仅注重虚部等于0是不够的，还需考虑它的实部是否有意义．变式训练1 当实数m 为何值时，z ＝m 2－m －6m ＋3＋(m 2＋5m ＋6)i ，(1)为实数；(2)为虚数；(3)为纯虚数；(4)复数z 对应的点在复平面内的第二象限． 解得m ＝－1.解 (1)若z 为实数，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋5m ＋6＝0m ＋3≠0，解得m ＝－2.(2)若z为虚数，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋5m ＋6≠0m ＋3≠0，解得m ≠－2且m ≠－3.(3)若z 为纯虚数，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋5m ＋6≠0m 2－m －6m ＋3＝0，解得m ＝3.(4)若z 对应的点在第二象限，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2－m －6m ＋3<0m 2＋5m ＋6>0，即⎩⎪⎨⎪⎧m <－3或－2<m <3m <－3或m >－2，∴m <－3或－2<m <3.题型二 复数的代数运算例2 计算：.(1)(2＋2i)4(1－3i)5； (2)－23＋i 1＋23i ＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫21－i 2 010； (3)⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 6＋2＋3i 3－2i ； (4)2＋2i (1－i)2·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫21＋i 2 008. 解 (1)原式＝16(1＋i)4(1－3i)4(1－3i)＝16(2i)2(－2－23i)2(1－3i) ＝－644(1＋3i)2(1－3i)＝－16(1＋3i)×4＝－41＋3i＝－1＋3i. (2)原式＝i(1＋23i)1＋23i ＋⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫21－i 2 1 005＝i ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2－2i 1 005＝i ＋i 1 005 ＝i ＋i4×251＋1＝i ＋i ＝2i.(3)方法一 原式＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤(1＋i)226＋(2＋3i)(3＋2i)(3)2＋(2)2＝i 6＋6＋2i ＋3i －65＝－1＋i.方法二 (技巧解法)原式＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤(1＋i)226＋(2＋3i)i (3－2i)i ＝i 6＋(2＋3i)i 2＋3i ＝－1＋i. (4)原式＝2＋2i －2i ⎝ ⎛⎭⎪⎫22i 1 004＝1＋i －i ⎝ ⎛⎭⎪⎫1i 1 004＝i －11·1＝－1＋i.点评：复数的代数形式的运算主要有加、减、乘、除及求低次方根．除法实际上是分母实数化的过程．运算结果在解题中的应用，运算的最后结果化为a ＋b i (a ，b ∈R )的形式．要记住一些常用的结果，如i 、－12＋32i 的有关性质等可简化运算步骤提高运算速度．变式训练2 (1) i 是虚数单位，1＋i 1－i 2＋1－i1＋i2等于( )A ．iB ．－iC ．1D ．－1(2)已知复数z ＝3＋i (1－3i)2，z 是z 的共轭复数，则z ·z ＝__14______.(3)复数(－1＋3i)51＋3i的值是__－16______．题型三 复数的几何意义例3 如图所示，平行四边形OABC ，顶点O ，A ，C 分别表示0，3＋2i ，－2＋4i ，试求： (1)AO →所表示的复数，BC →所表示的复数； (2)对角线CA →所表示的复数； (3)求B 点对应的复数． 解 (1)AO →＝－OA →，∴AO →所表示的复数为－3－2i. ∵BC →＝AO →，∴BC →所表示的复数为－3－2i.(2)CA →＝OA →－OC →，∴CA →所表示的复数为 (3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i. (3)OB →＝OA →＋AB →＝OA →＋OC →，∴OB →表示的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i ，即B 点对应的复数为1＋6i. 点评： 根据复平面内的点、向量及向量对应的复数是一一对应的，要求某个向量对应的复数，只要找出所求向量的始点和终点，或者用向量相等直接给出结论即可． 在复数的几何意义中，加法和减法对应向量的三角形法则的方向是应注意的问题，平移往往和加法、减法相结合． 变式训练3(1)在复平面内，复数6＋5i ，－2＋3i 对应的点分别为A ，B .若C 为线段AB 的中点，则点C 对应的复数是 ( )A ．4＋8iB ．8＋2iC ．2＋4iD ．4＋i复数6＋5i 对应A 点的坐标为(6,5)，－2＋3i 对应B 点的坐标为(－2,3)．由中点坐标公式知C 点坐标为(2,4)，∴点C 对应的复数为2＋4i.(2)复数z 1＝3＋4i ，z 2＝0，z 3＝c ＋(2c －6)i 在复平面内对应的点分别为A ，B ，C ，若∠BAC 是钝角，则实数c 的取值范围为________________．解析 在复平面内三点坐标分别为A (3,4)，B (0,0)，C (c ，2c －6)， 由∠BAC 是钝角得AB →·AC →<0且B 、A 、C 不共线，由(－3，－4)·(c －3,2c －10)<0，解得c >4911，其中当c ＝9时，AC →＝(6,8)＝－2AB →，三点共线，故c ≠9. c >4911且c ≠9(3)已知复数z ＝x ＋y i ，且|z －2|＝3，则yx的最大值为___3_____．妙解] 由|z －2|＝3可得，|z －2|2＝(x －2)2＋y 2＝3.设yx＝k ，即得直线方程为kx －y ＝0，∴圆(x －2)2＋y 2＝3的圆心(2,0)到直线kx －y ＝0的距离d ＝2|k |k 2＋1≤ 3.解得k ∈[－3，3]，即得yx的最大值为 3.题型四 用待定系数法解决复数问题例4（1）已知x ，y 为共轭复数，且(x ＋y )2－3xy i ＝4－6i ，求x ，y .（2）已知关于x 的方程x 2＋(m ＋2i)x ＋2＋2i ＝0(m ∈R )有实数根，求m.解 设x ＝a ＋b i (a ，b ∈R )，则y ＝a －b i ，x ＋y ＝2a ，xy ＝a 2＋b 2，代入原式，得(2a )2－3(a 2＋b 2)i ＝4－6i ，根据复数相等得⎩⎪⎨⎪⎧ 4a 2＝4－3(a 2＋b 2)＝－6， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1b ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1b ＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1b ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1b ＝－1.故所求复数为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋i y ＝1－i或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－iy ＝1＋i或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋iy ＝－1－i或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1－iy ＝－1＋i.点评 复数问题的实数化是解决复数问题的最基本也是最重要的方法，其依据是复数相等的充要条件．利用复数相等a ＋b i ＝c ＋d i 列方程时，注意a ，b ，c ，d ∈R 的前提条件．应用复数的实数化策略可解决求复系数方程的实数解、求复平面上动点的轨迹等问题。

高三数学高效课堂资料一轮复习81数系的扩充与复数的引入

高三数学高效课堂资料一轮复习81数系的扩充与复数的引入

高三数学高效课堂资料山东省昌乐一中2015级高三数学(文)翻转课堂课时学案课题数系的扩充与复数的引入编制人张磊审核人自学质疑学案学案内容班级小组姓名________使用时间______年______月______日编号一轮复习81 学案内容学习指导一、基础回顾：参考课本选修1-2第三章并完成《师说》第75页【知识重温】。

然后回答下列问题：注：此类问题如何提出？二、基础自测：做《师说》第74页【小题热身】三、考点突破：考向一：复数的有关概念完成《师说》第75页，例一（1）（2）；（1）设R a，若复数)()1(i a i 在复平面内对应的点位于实轴上，则a 。

（2）设i 是虚数单位,如果复数iia 2的实部与虚部相等,那么实数的值为（）A 31 B31 C 3D-3拓展：（1）复数)3)(21(i i z，其中i 为虚数单位，则z 的实部是_____ 。

（2）设i 是虚数单位,若复数i ai)2(的实部与虚部互为相反数,则实数a 的值为（）考向二：复数的几何意义⑴已知i m m z )1()3(在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是（）A:B:C:D:⑵在复平面内与复数ii z12所对应的点关于实轴对称的点为A,则A 对应的复数为()A.i1 B.i1 C.i1 D.i1考向三：复数的运算⑴若i z 21，则14z z i ⑵若复数z 满足i zz 232，其中i 为虚数单位，则z拓展：⑴已知R ba,，i 是虚数单位，若a bi i )1)(1(。

则ba 的值为：⑵已知i 是虚数单位，62016)11()12(ii i四、合作与检测【微课助学1】（问题2和变式答案；重点讲解变式）【微课助学2】（问题3答案；重点讲解问题3）训练展示学案要求：先自己做，再讨论，小组展示。

A组1、设复数z满足关系：izz2，那么z等于（）A、i43B、i43C、i43D、i432、已知复数2121,,43zzitziz且为实数，则实数t=（）A、43B、34C、34D、433.设a，b∈R．“a=O”是“复数a+bi是纯虚数”的（）A、充分不必要条件B、必要而不充分条件C、充分必要条件D、既不充分也不必要条件4.复数1021iii等于（）A.iB.－1C.iD.15.当12150100zziz时，的值等于（）A、1B、-1C、iD、-i6.已知复数z与2(2)8z i均是纯虚数，则z=7.复数-3z2ii＝的共轭复数是（）（A）2+i（B）2-i（C）-1+i（D）-1-i学案内容B 组8.若M=11,,xx NZ ni x x M n（其中i 为虚数单位），则)(NR C M=（）A 、}1,1{B 、}1{C 、}0,1{D 、}1{9.设z z f )(，i z 431，i z 22则)(21z z f =（）A 、5-3iB 、-2+11iC 、-2+iD 、5-5i10.已知复数z 满足i i z 46)32(（i 为虚数单位）则z 为________C 组：11.求一个复数z ，使得zz4为实数，且22z 自我反思：※自我评价：你完成本节导学案的情况为（） A.很好 B.较好 C.一般 D.较差※学习小结：本节课你从知识，方法方面学到了什么？。

【三维设计】高考数学一轮复习 (基础知识+高频考点+解题训练)函数与方程教学案

【三维设计】高考数学一轮复习 (基础知识+高频考点+解题训练)函数与方程教学案

第九节函数与方程[知识能否忆起]1．函数的零点(1)定义：对于函数y＝f(x)(x∈D)，把使f(x)＝0成立的实数x叫做函数y＝f(x)(x∈D)的零点．(2)函数的零点与相应方程的根、函数的图象与x轴交点间的关系：方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．(3)函数零点的判定(零点存在性定理)：如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．2．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与零点的关系对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．[小题能否全取]1．(教材习题改编)下列图象表示的函数中能用二分法求零点的是( )答案：C2．若函数f (x )＝ax ＋b 有一个零点是2，那么函数g (x )＝bx 2－ax 的零点是( ) A ．0,2 B ．0，12C ．0，－12D ．2，－12解析：选C ∵2a ＋b ＝0，∴g (x )＝－2ax 2－ax ＝－ax (2x ＋1)． ∴零点为0和－12.3．(教材习题改编)根据表格中的数据，可以判定方程e x－x －2＝0的一个根所在的区间为( )A.(－1,0) C ．(1,2)D ．(2,3)解析：选C 设函数f (x )＝e x－x －2，从表中可以看出f (1)·f (2)<0，因此方程e x－x －2＝0的一个根所在的区间为(1,2)．4．用二分法求函数y ＝f (x )在区间(2,4)上的近似解，验证f (2)·f (4)<0，给定精确度ε＝0.01，取区间(2,4)的中点x 1＝2＋42＝3，计算得f (2)·f (x 1)<0，则此时零点x 0∈________(填区间)．解析：由f (2)·f (3)<0可知x 0∈(2,3)． 答案：(2,3)5．已知函数f (x )＝x 2＋x ＋a 在区间(0,1)上有零点，则实数a 的取值范围是________． 解析：∵函数f (x )＝x 2＋x ＋a 在(0,1)上有零点． ∴f (0)f (1)<0.即a (a ＋2)<0，解得－2<a <0. 答案：(－2,0)1.函数的零点不是点：函数y ＝f (x )的零点就是方程f (x )＝0的实数根，也就是函数y ＝f (x )的图象与x轴交点的横坐标，所以函数的零点是一个数，而不是一个点．在写函数零点时，所写的一定是一个数字，而不是一个坐标．2．对函数零点存在的判断中，必须强调： (1)f (x )在[a ，b ]上连续； (2)f (a )·f (b )<0；(3)在(a ，b )内存在零点．这是零点存在的一个充分条件，但不必要．3．对于定义域内连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号．典题导入[例1] (2012·唐山统考)设f (x )＝e x＋x －4，则函数f (x )的零点位于区间( ) A ．(－1,0) B ．(0,1) C ．(1,2)D ．(2,3)[自主解答] ∵f (x )＝e x＋x －4，∴f ′(x )＝e x＋1>0.∴函数f (x )在R 上单调递增．f (－1)＝e －1＋(－1)－4＝－5＋e －1<0，f (0)＝－3<0，f (1)＝e ＋1－4＝e －3<0，f (2)＝e 2＋2－4＝e 2－2>0，f (1)f (2)<0，故零点x 0∈(1,2)．[答案] C由题悟法利用函数零点的存在性定理判断零点所在的区间时，首先看函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象是否连续不断，再看是否有f (a )·f (b )<0.若有，则函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内必有零点．以题试法1．(2013·衡水模拟)设函数y ＝x 3与y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2的图象交点为(x 0，y 0)，则x 0所在的区间是( )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)解析：选B 设函数f (x )＝x 3－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2，f (1)·f (2)<0，且f (x )为单调函数，则x 0∈(1,2)．典题导入[例2] (1)(2012·北京高考)函数f (x )＝x 12－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x的零点的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3(2)(2012·北京东城区模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤0，log 2x ，x >0，则函数y ＝f (f (x ))＋1的零点个数是( )A ．4B ．3C ．2D ．1[自主解答] (1)在同一平面直角坐标系内作出y 1＝x 12与y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x的图象如图所示，易知，两函数图象只有一个交点，因此函数f (x )＝x 12－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x只有1个零点．(2)由f (f (x ))＋1＝0可得f (f (x ))＝－1，又由f (－2)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－1. 可得f (x )＝－2或f (x )＝12.若f (x )＝－2，则x ＝－3或x ＝14；若f (x )＝12，则x ＝－12或x ＝2，综上可得函数y ＝f (f (x ))＋1有4个零点． [答案] (1)B (2)A由题悟法判断函数零点个数的常用方法(1)解方程法：令f (x )＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．(2)零点存在性定理法：利用定理不仅要判断函数在区间[a ，b ]上是连续不断的曲线，且f (a )·f (b )<0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)才能确定函数有多少个零点．(3)数形结合法：转化为两个函数的图象的交点个数问题．先画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的个数，就是函数零点的个数．以题试法2．(2012·湖北高考)函数f (x )＝x cos x 2在区间[0,4]上的零点个数为( )A ．4B ．5C ．6D ．7解析：选C 令x cos x 2＝0，则x ＝0，或x 2＝k π＋π2，又x ∈[0,4]，因此x k ＝k π＋π2(k ＝0,1,2,3,4)，共有6个零点．典题导入[例3] (2011·辽宁高考改编)已知函数f (x )＝e x－x ＋a 有零点，则a 的取值范围是________．[自主解答] ∵f (x )＝e x－x ＋a ， ∴f ′(x )＝e x－1.令f ′(x )＝0，得x ＝0.当x <0时，f ′(x )<0，函数f (x )在(－∞，0)上是减函数； 当x >0时，f ′(x )>0，函数f (x )在(0，＋∞)上是增函数． 故f (x )min ＝f (0)＝1＋a .若函数f (x )有零点，则f (x )min ≤0， 即1＋a ≤0，得a ≤－1. [答案] (－∞，－1]若函数变为f (x )＝ln x －2x ＋a ，其他条件不变，求a 的取值范围． 解：∵f (x )＝ln x －2x ＋a ，∴f ′(x )＝1x－2.令f ′(x )＝0，得x ＝12.当0<x ≤12时f ′(x )≥0，∴f (x )为增函数；当x >12时，f ′(x )<0，∴f (x )为减函数．∴f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝ln 12－1＋a . 若f (x )有零点，则f (x )max ≥0，即ln 12－1＋a ≥0.解得a ≥1－ln 12，a 的取值范围为[)1＋ln 2，＋∞.由题悟法已知函数有零点(方程有根)求参数取值常用的方法(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围． (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决．(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．以题试法3．已知函数f (x )满足f (x ＋1)＝f (x －1)，且f (x )是偶函数，当x ∈[0,1]时，f (x )＝x ，若在区间[－1,3]上函数g (x )＝f (x )－kx －k 有4个零点，则实数k 的取值范围是______．解析：由f (x ＋1)＝f (x －1)得，f (x ＋2)＝f (x )，则f (x )是周期为2的函数．∵f (x )是偶函数，当x ∈[0,1]时，f (x )＝x ，∴当x ∈[－1,0]时，f (x )＝－x ，易得当x ∈[1,2]时，f (x )＝－x ＋2，当x ∈[2,3]时，f (x )＝x －2.在区间[－1,3]上函数g (x )＝f (x )－kx －k 有4个零点，即函数y ＝f (x )与y ＝kx ＋k 的图象在区间[－1,3]上有4个不同的交点．作出函数y ＝f (x )与y ＝kx ＋k 的图象如图所示，结合图形易知，k ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，14.答案：⎝ ⎛⎦⎥⎤0，141．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－1，x ≤1，1＋log 2x ，x >1，则函数f (x )的零点为( )A.12，0 B ．－2,0 C.12D ．0解析：选D 当x ≤1时，由f (x )＝2x－1＝0，解得x ＝0；当x >1时，由f (x )＝1＋log 2x＝0，解得x ＝12，又因为x >1，所以此时方程无解．综上函数f (x )的零点只有0.2．设f (x )＝x 3＋bx ＋c 是[－1,1]上的增函数，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12·f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<0，则方程f (x )＝0在[－1,1]内( )A ．可能有3个实数根B ．可能有2个实数根C ．有唯一的实数根D ．没有实数根解析：选C 由f (x )在[－1,1]上是增函数，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12·f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<0，知f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12上有唯一零点，所以方程f (x )＝0在[－1,1]上有唯一实数根．3．(2012·长沙模拟)已知函数f (x )的图象是连续不断的，x 、f (x )的对应关系如下表：A ．区间[1,2]和[2,3]B ．区间[2,3]和[3,4]C ．区间[2,3]、[3,4]和[4,5]D ．区间[3,4]、[4,5]和[5,6]解析：选C 因为f (2)>0，f (3)<0，f (4)>0，f (5)<0，所以在区间[2,3]，[3,4]，[4,5]内有零点．4．(2013·北京西城二模)执行如图所示的程序框图，若输入如下四个函数： ①y ＝2x； ②y ＝－2x； ③f (x )＝x ＋x －1；④f (x )＝x －x －1. 则输出函数的序号为( )A ．①B ．②C ．③D ．④解析：选D 由图可知输出结果为存在零点的函数，因2x>0，所以y ＝2x没有零点，同样y ＝－2x 也没有零点；f (x )＝x ＋x －1，当x >0时，f (x )≥2，当x <0时，f (x )≤－2，故f (x )没有零点；令f (x )＝x －x －1＝0得x ＝±1，故选D.5．(2012·北京朝阳统考)函数f (x )＝2x－2x－a 的一个零点在区间(1,2)内，则实数a的取值范围是( )A ．(1,3)B ．(1,2)C ．(0,3)D ．(0,2)解析：选C 由条件可知f (1)f (2)<0，即(2－2－a )(4－1－a )<0，即a (a －3)<0，解之得0<a <3.6．(2013·哈师大模拟)若定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋2)＝f (x )，且x ∈[－1,1]时，f (x )＝1－x 2，函数g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x ，x >0，0，x ＝0，－1x，x <0，则函数h (x )＝f (x )－g (x )在区间[－5,5]内的零点个数是( )A ．5B ．7C ．8D ．10解析：选C 依题意得，函数f (x )是以2为周期的函数，在同一坐标系下画出函数y ＝f (x )与函数y ＝g (x )的图象，结合图象得，当x ∈[－5,5]时，它们的图象的公共点共有8个，即函数h (x )＝f (x )－g (x )在区间[－5,5]内的零点个数是8.7．用二分法研究函数f (x )＝x 3＋3x －1的零点时，第一次经计算f (0)<0，f (0.5)>0可得其中一个零点x 0∈______，第二次应计算________．解析：因为f (x )＝x 3＋3x －1是R 上的连续函数，且f (0)<0，f (0.5)>0，则f (x )在x ∈(0,0.5)上存在零点，且第二次验证时需验证f (0.25)的符号．答案：(0,0.5) f (0.25)8．若函数f (x )＝a x －x －a (a >0且a ≠1)有两个零点，则实数a 的取值范围是________． 解析：函数f (x )的零点个数就是函数y ＝a x与函数y ＝x ＋a 的图象交点的个数，易知当a >1时，两图象有两个交点；当0<a <1时，两图象有一个交点．答案：(1，＋∞)9．(2013·南通质检)已知函数f (x )＝x 2＋(1－k )x －k 的一个零点在(2,3)内，则实数k 的取值范围是________．解析：因为Δ＝(1－k )2＋4k ＝(1＋k )2≥0对一切k ∈R 恒成立，又k ＝－1时，f (x )的零点x ＝－1∉(2,3)，故要使函数f (x )＝x 2＋(1－k )x －k 的一个零点在(2,3)内，则必有f (2)·f (3)<0，即2<k <3.答案：(2,3)10．已知函数f (x )＝x 3－x 2＋x 2＋14.证明：存在x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，使f (x 0)＝x 0. 证明：令g (x )＝f (x )－x .∵g (0)＝14，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12－12＝－18，∴g (0)·g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<0. 又函数g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12上连续， ∴存在x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，使g (x 0)＝0，即f (x 0)＝x 0. 11．关于x 的二次方程x 2＋(m －1)x ＋1＝0在区间[0,2]上有解，求实数m 的取值范围． 解：设f (x )＝x 2＋(m －1)x ＋1，x ∈[0,2]， ①若f (x )＝0在区间[0,2]上有一解， ∵f (0)＝1>0，则应有f (2)<0， 又∵f (2)＝22＋(m －1)×2＋1，∴m <－32.②若f (x )＝0在区间[0,2]上有两解，则 ⎩⎪⎨⎪⎧ Δ≥0，0<－m －12<2，f 2 ≥0，∴⎩⎪⎨⎪⎧m －1 2－4≥0，－3<m <1，4＋ m －1 ×2＋1≥0.∴⎩⎪⎨⎪⎧m ≥3或m ≤－1，－3<m <1，m ≥－32.∴－32≤m ≤－1.由①②可知m 的取值范围(－∞，－1]．12．若函数f (x )＝ax 2－x －1有且仅有一个零点，求实数a 的取值范围．解：(1)当a ＝0时，函数f (x )＝－x －1为一次函数，则－1是函数的零点，即函数仅有一个零点．(2)当a ≠0时，函数f (x )＝ax 2－x －1为二次函数，并且仅有一个零点，则一元二次方程ax 2－x －1＝0有两个相等实根．则Δ＝1＋4a ＝0，解得a ＝－14.综上，当a ＝0或a ＝－14时，函数仅有一个零点．1．(2012·“江南十校”联考)已知关于x 的方程|x 2－6x |＝a (a >0)的解集为P ，则P 中所有元素的和可能是( )A ．3,6,9B ．6,9,12C ．9,12,15D ．6,12,15解析：选B 如图，函数y ＝|x 2－6x |的图象关于直线x ＝3对称，将直线y ＝a 从下往上移动可知：P 中所有元素的和可能是6,9,12.2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －2，x >0，－x 2＋bx ＋c ，x ≤0满足f (0)＝1，且f (0)＋2f (－1)＝0，那么函数g (x )＝f (x )＋x 的零点个数为________．解析：∵f (0)＝1，∴c ＝1.又∵f (0)＋2f (－1)＝0，∴f (－1)＝－1－b ＋1＝－12，得b＝12.∴当x >0时，g (x )＝2x －2＝0有唯一解x ＝1；当x ≤0时，g (x )＝－x 2＋32x ＋1，令g (x )＝0，得x ＝2(舍去)或x ＝－12，即g (x )＝0有唯一解．综上可知，g (x )＝f (x )＋x 有2个零点．答案：23．已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c .(1)若a >b >c ，且f (1)＝0，试证明f (x )必有两个零点；(2)若对x 1，x 2∈R ，且x 1<x 2，f (x 1)≠f (x 2)，方程f (x )＝12[f (x 1)＋f (x 2)]有两个不等实根，证明必有一个实根属于(x 1，x 2)．证明：(1)∵f (1)＝0，∴a ＋b ＋c ＝0，又∵a >b >c ，∴a >0，c <0，即ac <0.又∵Δ＝b 2－4ac ≥－4ac >0，∴方程ax 2＋bx ＋c ＝0有两个不等实根，∴函数f (x )有两个零点．(2)令g (x )＝f (x )－12[f (x 1)＋f (x 2)]，则g (x 1)＝f (x 1)－12[f (x 1)＋f (x 2)]＝f x 1 －f x 22，g (x 2)＝f (x 2)－12[f (x 1)＋f (x 2)]＝f x 2 －f x 12，∴g (x 1)·g (x 2)＝f x 1 －f x 2 2·f x 2 －f x 1 2＝－14[f (x 1)－f (x 2)]2. ∵f (x 1)≠f (x 2)，∴g (x 1)·g (x 2)<0.∴g (x )＝0在(x 1，x 2)内必有一实根．即f (x )＝12[f (x 1)＋f (x 2)]在(x 1，x 2)内必有一实根．1．对于定义域为D 的函数f (x )，若存在区间M ＝[a ，b ]⊆D (a <b )，使得{y |y ＝f (x )，x ∈M }＝M ，则称区间M 为函数f (x )的“等值区间”．给出下列四个函数：①f (x )＝2x ；②f (x )＝x 3；③f (x )＝sin x ；④f (x )＝log 2x ＋1.则存在“等值区间”的函数是________．(把正确的序号都填上)解析：问题等价于方程f (x )＝x 在函数的定义域内是否存在至少两个不相等的实根，由于2x >x ，故函数f (x )＝2x 不存在等值区间；由于x 3＝x 有三个不相等的实根x 1＝－1，x 2＝0，x 3＝1，故函数f (x )＝x 3存在三个等值区间[－1,0]，[0,1]，[－1,1]；由于sin x ＝x 只有唯一的实根x ＝0，结合函数图象，可知函数f (x )＝sin x 不存在等值区间；由于log 2x ＋1＝x 有实根x 1＝1，x 2＝2，故函数f (x )＝log 2x ＋1存在等值区间[1,2]．答案：②④2．m 为何值时，f (x )＝x 2＋2mx ＋3m ＋4.(1)有且仅有一个零点；(2)有两个零点且均比－1大．解：(1)若函数f (x )＝x 2＋2mx ＋3m ＋4有且仅有一个零点，则等价于Δ＝4m 2－4(3m ＋4)＝0，即m 2－3m －4＝0，解得m ＝4或m ＝－1.(2)设两零点分别为x 1，x 2，且x 1>－1，x 2>－1，x 1≠x 2.则x 1＋x 2＝－2m ，x 1·x 2＝3m ＋4，故只需⎩⎪⎨⎪⎧ Δ＝4m 2－4 3m ＋4 >0， x 1＋1 ＋ x 2＋1 >0，x 1＋1 x 2＋1 >0⇔⎩⎪⎨⎪⎧ m 2－3m －4>0，－2m ＋2>0，3m ＋4＋ －2m ＋1>0⇔⎩⎪⎨⎪⎧ m <－1或m >4，m <1，m >－5.故m的取值范围是{m|－5<m<－1}．。

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2016届高考数学一轮复习教学案数系的扩充与复数的引入[知识能否忆起]一、复数的有关概念1．复数的概念：形如a ＋b i(a ，b ∈R )的数叫复数，其中a ，b 分别是它的实部和虚部．若b ＝0，则a ＋b i 为实数；若b ≠0，则a ＋b i 为虚数；若a ＝0，b ≠0，则a ＋b i 为纯虚数．2．复数相等：a ＋b i ＝c ＋d i ⇔a ＝c ，b ＝d (a ，b ，c ，d ∈R )．3．共轭复数：a ＋b i 与c ＋d i 共轭⇔a ＝c ，b ＋d ＝0(a ，b ，c ，d ∈R )．4．复数的模：向量OZ ―→的长度叫做复数z ＝a ＋b i 的模，记作|z |或|a ＋b i|，即|z |＝|a ＋b i|＝a 2＋b 2.二、复数的几何意义复数z ＝a ＋b i ―→复平面内的点Z (a ，b )―→平面向量OZ . 三、复数的运算1．复数的加、减、乘、除运算法则设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )，则： (1)加法：z 1＋z 2＝(a ＋b i)＋(c ＋d i)＝(a ＋c )＋(b ＋d )i ； (2)减法：z 1－z 2＝(a ＋b i)－(c ＋d i)＝(a －c )＋(b －d )i ； (3)乘法：z 1·z 2＝(a ＋b i)·(c ＋d i)＝(ac －bd )＋(ad ＋bc )i ； (4)除法：z 1z 2＝a ＋b ic ＋d i＝a ＋bc －d c ＋dc －d＝ac ＋bd ＋bc －adc ＋d (c ＋d i≠0)．2．复数加法、乘法的运算律对任意z 1，z 2，z 3∈C ，有z 1＋z 2＝z 2＋z 1，(z 1＋z 2)＋z 3＝z 1＋(z 2＋z 3)；z 1·z 2＝z 2·z 1，(z 1·z 2)·z 3＝z 1·(z 2·z 3)，z 1(z 2＋z 3)＝z 1z 2＋z 1z 3.[小题能否全取]1．(教材习题改编)已知a ∈R ，i 为虚数单位，若(1－2i)(a ＋i)为纯虚数，则a 的值等于( )A ．－6B ．－2C ．2D ．6解析：选B 由(1－2i)(a ＋i)＝(a ＋2)＋(1－2a )i 是纯虚数，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2＝0，1－2a ≠0，由此解得a ＝－2.2．(2011·湖南高考)若a ，b ∈R ，i 为虚数单位，且(a ＋i)i ＝b ＋i ，则( ) A ．a ＝1，b ＝1B ．a ＝－1，b ＝1C ．a ＝－1，b ＝－1D ．a ＝1，b ＝－1解析：选D 由(a ＋i)i ＝b ＋i ，得－1＋a i ＝b ＋i ，根据两复数相等的充要条件得a ＝1，b ＝－1.3．(2012·天津高考)i 是虚数单位，复数5＋3i4－i ＝( )A ．1－iB ．－1＋iC ．1＋iD ．－1－i 解析：选C 5＋3i4－i＝＋＋－＋＝20＋5i ＋12i ＋3i 216－i 2＝17＋17i 17＝1＋i.4．若复数z 满足z1＋i＝2i ，则z 对应的点位于第________象限．解析：z ＝2i(1＋i)＝－2＋2i ，因此z 对应的点为(－2,2)，在第二象限内． 答案：二5．若复数z 满足z ＋i ＝3＋ii，则|z |＝________.解析：因为z ＝3＋ii －i ＝1－3i －i ＝1－4i ，则|z |＝17.答案：171.复数的几何意义除了复数与复平面内的点和向量的一一对应关系外，还要注意 (1)|z |＝|z －0|＝a (a >0)表示复数z 对应的点到原点的距离为a ； (2)|z －z 0|表示复数z 对应的点与复数z 0对应的点之间的距离． 2．复数中的解题策略(1)证明复数是实数的策略：①z ＝a ＋b i ∈R ⇔b ＝0(a ，b ∈R )；②z ∈R ⇔z ＝z . (2)证明复数是纯虚数的策略：①z ＝a ＋b i 为纯虚数⇔a ＝0，b ≠0(a ，b ∈R )； ②b ≠0时，z －z ＝2b i 为纯虚数；③z 是纯虚数⇔z ＋z ＝0且z ≠0.典题导入[例1] (1)(2012·陕西高考)设a ，b ∈R ，i 是虚数单位，则“ab ＝0”是“复数a ＋bi 为纯虚数”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件(2)(2012·郑州质检)如果复数2－b i1＋2i (其中i 为虚数单位，b 为实数)的实部和虚部互为相反数，那么b 等于( )A ．－23B.23C.2D ．2[自主解答] (1)若复数a ＋bi＝a －b i 为纯虚数，则a ＝0，b ≠0，ab ＝0；而ab ＝0时a ＝0或b ＝0，a ＋b i不一定是纯虚数，故“ab ＝0”是“复数a ＋bi为纯虚数”的必要不充分条件．(2)2－b i 1＋2i＝－b －＋－＝－2b －＋b5，依题意有2－2b ＝4＋b ，解得b ＝－23.[答案] (1)B (2)A由题悟法处理有关复数的基本概念问题，关键是找准复数的实部和虚部，从定义出发，把复数问题转化成实数问题来处理．由于复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )由它的实部与虚部唯一确定，故复数z 与点Z (a ，b )相对应．以题试法1．(2012·东北模拟)已知x1＋i ＝1－y i ，其中x ，y 是实数，i 是虚数单位，则x ＋y i 的共轭复数为( )A ．1＋2iB ．1－2iC ．2＋iD ．2－i解析：选D 依题意得x ＝(1＋i)(1－y i)＝(1＋y )＋(1－y )i ；又x ，y ∈R ，于是有⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋y ，1－y ＝0，解得x ＝2，y ＝1. x ＋y i ＝2＋i ，因此x ＋y i 的共轭复数是2－i.典题导入[例2] (2012·山西四校联考)已知复数z 的实部为－1，虚部为2，则2－i z(i 为虚部单位)在复平面内对应的点所在的象限为( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限[自主解答] 选C 依题意得2－i z ＝2－i－1＋2i＝－－1－－1＋－1－＝－4－3i5，因此该复数在复平面内对应的点的坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫－45，－35，位于第三象限．由题悟法复数与复平面内的点是一一对应的，复数和复平面内以原点为起点的向量也是一一对应的，因此复数加减法的几何意义可按平面向量加减法理解，利用平行四边形法则或三角形法则解决问题．以题试法2．(1)在复平面内，复数6＋5i ，－2＋3i 对应的点分别为A ，B ，若C 为线段AB 的中点，则点C 对应的复数是( )A ．4＋8iB ．8＋2iC ．2＋4iD ．4＋i(2)(2012·连云港模拟)已知复数z 1＝－1＋2i ，z 2＝1－i ，z 3＝3－4i ，它们在复平面上对应的点分别为A ，B ，C ，若OC ＝λOA ＋μOB ，(λ，μ∈R )，则λ＋μ的值是________．解析：(1)复数6＋5i 对应的点为A (6,5)，复数－2＋3i 对应的点为B (－2,3)．利用中点坐标公式得线段AB 的中点C (2,4)，故点C 对应的复数为2＋4i.(2)由条件得OC ＝(3，－4)，OA ＝(－1,2)，OB ＝(1，－1)， 根据OC ＝λOA ＋μOB 得(3，－4)＝λ(－1,2)＋μ(1，－1)＝(－λ＋μ，2λ－μ)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ －λ＋μ＝3，2λ－μ＝－4，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－1，μ＝2. ∴λ＋μ＝1. 答案：(1)C (2)1典题导入[例3] (1)(2012·山东高考)若复数z 满足z (2－i)＝11＋7i(i 为虚数单位)，则z 为( ) A ．3＋5i B ．3－5i C ．－3＋5iD ．－3－5i(2)(2011·重庆高考)复数i 2＋i 3＋i 41－i ＝( )A ．－12－12iB ．－12＋12iC.12－12iD.12＋12i [自主解答] (1)z ＝11＋7i2－i＝＋＋－＋＝15＋25i 5＝3＋5i.(2)i 2＋i 3＋i 41－i ＝－＋－＋11－i ＝－i1－i＝－＋－＋＝1－i 2＝12－12i.[答案] (1)A (2)C由题悟法1．复数的加法、减法、乘法运算可以类比多项式运算，除法运算是分子分母同乘以分母的共轭复数，注意要把i 的幂写成最简形式．2．记住以下结论，可提高运算速度： ①(1±i)2＝±2i；②1＋i 1－i ＝i ；③1－i 1＋i ＝－i ；④a ＋b i i＝b －a i ；⑤i 4n ＝1，i 4n ＋1＝i ，i 4n ＋2＝－1，i 4n ＋3＝－i(n ∈N )．以题试法3．(1)(2012·山西四校联考)设复数z 的共轭复数为z ，若z ＝1－i(i 为虚数单位)，则z z＋z 2的值为( )A ．－3iB ．－2iC ．iD ．－i(2)i 为虚数单位，⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 4＝________. 解析：(1)依题意得zz ＋z 2＝1＋i 1－i ＋(1－i)2＝－i 2＋i1－i－2i ＝i －2i ＝－i.(2)⎝⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 4＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤＋224＝i 4＝1. 答案：(1)D (2)11．(2012·江西高考)若复数z ＝1＋i(i 为虚数单位)，z 是z 的共轭复数，则z 2＋z 2的虚部为( )A ．0B ．－1C ．1D ．－2解析：选A ∵z ＝1＋i ，∴z ＝1－i ，∴z 2＋z 2＝(z ＋z )2－2z z ＝4－4＝0，∴z 2＋z2的虚部为0.2．(2012·北京高考)在复平面内，复数10i3＋i 对应的点的坐标为( )A ．(1,3)B ．(3,1)C ．(－1,3)D ．(3，－1) 解析：选A 由10i3＋i ＝－＋－＝＋10＝1＋3i 得，该复数对应的点为(1,3)．3．(2012·长春调研)若复数(a ＋i)2在复平面内对应的点在y 轴负半轴上，则实数a 的值是( )A ．1B ．－1 C.2D ．－2解析：选B 因为复数(a ＋i)2＝(a 2－1)＋2a i ，所以其在复平面内对应的点的坐标是(a 2－1,2a )，又因为该点在y 轴负半轴上，所以有⎩⎪⎨⎪⎧a 2－1＝0，2a <0，解得a ＝－1.4．(2013·萍乡模拟)复数＋＋－2等于( )A.52B ．－52C.52iD ．－52i解析：选B＋＋－2＝2＋4i ＋i ＋2i 2－2i ＝5i －2i ＝－52.5．(2012·河南三市调研)已知i 为虚数单位，复数z ＝2＋i1－2i ，则|z |＋1z ＝( )A ．iB ．1－iC ．1＋iD ．－i 解析：选B 由已知得z ＝2＋i1－2i ＝－2i 2＋i1－2i＝－1－2i＝i ，|z |＋1z ＝|i|＋1i＝1－i.6．(2012·安徽名校模拟)设复数z 的共轭复数为z ，若(2＋i)z ＝3－i ，则z ·z 的值为( )A ．1B ．2 C.2D ．4解析：选B 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，代入(2＋i)z ＝3－i ，得(2a －b )＋(2b ＋a )i ＝3－i ，从而可得a ＝1，b ＝－1，那么z ·z ＝(1－i)(1＋i)＝2.7．(2013·长沙模拟)已知集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫i ，i 2，1i ，＋2i，i 是虚数单位，Z 为整数集，则集合Z ∩M 中的元素个数是( )A ．3个B ．2个C ．1个D ．0个解析：选B 由已知得M ＝{i ，－1，－i,2}，Z 为整数集，∴Z ∩M ＝{－1,2}，即集合Z ∩M 中有2个元素．8．定义：若z 2＝a ＋b i(a ，b ∈R ，i 为虚数单位)，则称复数z 是复数a ＋b i 的平方根．根据定义，则复数－3＋4i 的平方根是( )A ．1－2i 或－1＋2iB ．1＋2i 或－1－2iC ．－7－24iD ．7＋24i解析：选B 设(x ＋y i)2＝－3＋4i(x ，y ∈R )，则⎩⎪⎨⎪⎧x 2－y 2＝－3，xy ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－2.9．在复平面内，复数1＋i 与－1＋3i 分别对应向量OA 和OB ，其中O 为坐标原点，则|AB |＝________.解析：由题意知A (1,1)，B (－1,3)， 故|AB |＝－1－2＋－2＝2 2.答案：2210．已知复数z ＝1－i ，则z 2－2z z －1＝________.解析：z 2－2z z －1＝z －12－1z －1＝z －1－1z －1＝(－i)－1－i ＝－i －i－i·i＝－2i.答案：－2i11．设复数z 满足|z |＝5且(3＋4i)z 是纯虚数，则z ＝________. 解析：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则有a 2＋b 2＝5.于是(3＋4i)z ＝(3a －4b )＋(4a ＋3b )i.由题设得⎩⎪⎨⎪⎧3a －4b ＝04a ＋3b ≠0得b ＝34a 代入得a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫34a 2＝25，a ＝±4，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4，b ＝－3. ∴z ＝4－3i 或z ＝－4＋3i.答案：±(4－3i) 12.－1＋＋i 3＝________. 解析：－1＋＋i 3＝－3＋i －i＝－1－3i.答案：－1－3i13．(2011·上海高考改编)已知复数z 1满足(z 1－2)(1＋i)＝1－i(i 为虚数单位)，复数z 2的虚部为2，且z 1·z 2是实数，则z 2＝________.解析：(z 1－2)(1＋i)＝1－i ⇒z 1＝2－i. 设z 2＝a ＋2i ，a ∈R . 则z 1·z 2＝(2－i)(a ＋2i) ＝(2a ＋2)＋(4－a )i.∵z 1·z 2∈R ，∴a ＝4.∴z 2＝4＋2i. 答案：4＋2i 14．若复数z ＝a 2－1＋(a ＋1)i(a ∈R )是纯虚数，则1z ＋a的虚部为________．解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 2－1＝0，a ＋1≠0，所以a ＝1，所以1z ＋a ＝11＋2i ＝1－2i ＋－＝15－25i ，根据虚部的概念，可得1z ＋a 的虚部为－25. 答案：－251．(2012·山东日照一模)在复数集C 上的函数f (x )满足f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋x ，x ∈R ，－x ，x ∉R ，则f (1＋i)等于( )A ．2＋iB ．－2C ．0D ．2解析：选D ∵1＋i ∉R ，∴f (1＋i)＝(1－i)(1＋i)＝2.2．已知i 为虚数单位，a 为实数，复数z ＝(1－2i)(a ＋i)在复平面内对应的点为M ，则“a >12”是“点M 在第四象限”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选C z ＝(1－2i)(a ＋i)＝(a ＋2)＋(1－2a )i ，若其对应的点在第四象限，则a ＋2>0，且1－2a <0，解得a >12.即“a >12”是“点M 在第四象限”的充要条件．3．已知复数z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，且|z －2|＝3，则y x的最大值为________．解析：|z －2|＝x －2＋y 2＝3，∴(x －2)2＋y 2＝3.由图可知⎝ ⎛⎭⎪⎫y x max ＝31＝ 3.答案：34．复数z ＝(m 2＋5m ＋6)＋(m 2－2m －15)i ，与复数12＋16i 互为共轭复数，则实数m ＝________.解析：根据共轭复数的定义得⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋5m ＋6＝12，m 2－2m －15＝－16.解之得m ＝1. 答案：15．已知z 是复数，z ＋2i ，z2－i均为实数(i 为虚数单位)，且复数(z ＋a i)2在复平面上对应的点在第一象限，求实数a 的取值范围．解：设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，则z ＋2i ＝x ＋(y ＋2)i ，由题意得y ＝－2. ∵z 2－i ＝x －2i 2－i ＝15(x －2i)(2＋i) ＝15(2x ＋2)＋15(x －4)i. 由题意得x ＝4，∴z ＝4－2i. ∴(z ＋a i)2＝(12＋4a －a 2)＋8(a －2)i.由于(z ＋a i)2在复平面上对应的点在第一象限，∴⎩⎪⎨⎪⎧12＋4a －a 2>0，a －，解得2<a <6.∴实数a 的取值范围是(2,6)．6．设z 是虚数，ω＝z ＋1z，且－1<ω<2.(1)求|z |的值及z 的实部的取值范围； (2)设u ＝1－z1＋z ，求证：u 为纯虚数．解：(1)设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R ，b ≠0)，ω＝a ＋b i ＋1a ＋b i ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋a a 2＋b 2＋⎝⎛⎭⎪⎫b －b a 2＋b 2i ， ∵ω是实数，∴b －ba 2＋b 2＝0.又b ≠0，∴a 2＋b 2＝1.∴|z |＝1，ω＝2a .∵－1<ω<2，∴－12<a <1，即z 的实部的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，1.(2)u ＝1－z 1＋z ＝1－a －b i 1＋a ＋b i ＝1－a 2－b 2－2b i ＋a 2＋b 2＝－b a ＋1i.∵－12<a <1，b ≠0，∴u 为纯虚数．1．已知a ＋2ii＝b ＋i(a ，b ∈R )，其中i 为虚数单位，则a ＋b ＝( ) A ．－1 B ．1 C ．2D ．3解析：选B a ＋2ii＝a ＋i 2＝2－a i ＝b ＋i ，由复数相等的条件得b ＝2，a ＝－1，则a ＋b ＝1.2．对任意复数z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，i 为虚数单位，则下列结论正确的是( ) A ．|z －z |＝2yB ．z 2＝x 2＋y 2C ．|z －z |≥2xD ．|z |≤|x |＋|y |解析：选D ∵z －z ＝2y i ，∴|z －z |＝2|y |，选项A 、C 错误；而z 2＝(x ＋y i)2＝x 2－y 2＋2xy i ，选项B 错误；而|z |＝x 2＋y 2，|z |2＝x 2＋y 2，(|x |＋|y |)2＝x 2＋y 2＋2|xy |≥x 2＋y 2，因此|z |≤|x |＋|y |.3．已知虚数z ，使得z 1＝z 1＋z 2和z 2＝z 21＋z 都为实数，求z .解：设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R ，且y ≠0)，则z 2＝x 2－y 2＋2xy i ，∴z 1＝x x 2＋y 2＋＋y －x 2－y 2x 2－y 2＋2＋4x 2y 2，∵z 1∈R ，又y ≠0，∴x 2＋y 2＝1，同理，由z 2∈R 得x 2＋2x ＋y 2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－12，y ＝±32.∴z ＝－12±32i.三角函数、解三角形 平面向量、数系的扩充与复数的引入一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分) 1．(2012·新课标全国卷)复数z ＝－3＋i2＋i 的共轭复数是( )A ．2＋iB ．2－iC ．－1＋iD ．－1－i 解析：选D z ＝－3＋i 2＋i ＝－3＋－＋－＝－1＋i ，所以z ＝－1－i.2．(2012·潍坊模拟)已知x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，cos x ＝45，则tan 2x ＝( )A.724B ．－724C.247D ．－247解析：选D 依题意得sin x ＝－1－cos 2x ＝－35，tan x ＝sin x cos x ＝－34，所以tan 2x＝2tan x 1－tan 2x ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－341－⎝ ⎛⎭⎪⎫－342＝－247. 3．(2012·广州调研)设复数z 1＝1－3i ，z 2＝3－2i ，则z 1z 2在复平面内对应的点在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 解析：选D 因为z 1z 2＝1－3i3－2i＝－＋－＋＝9－7i 13，所以z 1z 2在复平面内对应的点为⎝ ⎛⎭⎪⎫913，－713，在第四象限．4．(2012·邵阳模拟)已知a ＝(1，sin 2x )，b ＝(2，sin 2x )，其中x ∈(0，π)．若|a ·b |＝|a ||b |，则tan x 的值等于( )A ．1B ．－1 C.3D.22解析：选A 由|a ·b |＝|a ||b |知，a ∥b ，所以sin 2x ＝2sin 2x ，即2sin x cos x ＝2sin 2x ，而x ∈(0，π)， 所以sin x ＝cos x ，tan x ＝1.5．(2012·福州质检查)“cos α＝35”是“cos 2α＝－725”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A ∵cos α＝35，∴cos 2α＝2cos 2α－1＝2×925－1＝－725，∴由cos α＝35可推出cos 2α＝－725.由cos 2α＝－725得cos α＝±35，∴由cos 2α＝－725不能推出cos α＝35.综上，“cos α＝35”是“cos 2α＝－725”的充分而不必要条件．6．若函数f (x )＝sin x ＋φ3(φ∈[0,2π])是偶函数，则φ＝( ) A.π2B.2π3C.3π2D.5π3解析：选C ∵f (x )为偶函数，∴φ3＝k π＋π2(k ∈Z )，∴φ＝3k π＋32π(k ∈Z )．又∵φ∈[0,2π]，∴φ＝32π.7．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，若c cos A ＝b ，则△ABC ( ) A ．一定是锐角三角形 B ．一定是钝角三角形 C ．一定是直角三角形 D ．一定是斜三角形解析：选C 在△ABC 中，因为c cos A ＝b ，根据余弦定理，得c ·b 2＋c 2－a 22bc＝b ，故c 2＝a 2＋b 2，因此△ABC 一定是直角三角形．8．设点A (2,0)，B (4,2)，若点P 在直线AB 上，且|AB |＝2|AP |，则点P 的坐标为( ) A ．(3,1)B ．(1，－1)C ．(3,1)或(1，－1)D ．无数多个解析：选C 设P (x ，y )，则由|AB |＝2|AP |，得AB ＝2AP 或AB ＝－2AP .AB ＝(2,2)，AP ＝(x －2，y )，即(2,2)＝2(x －2，y )，x ＝3，y ＝1，P (3,1)，或(2,2)＝－2(x －2，y )，x ＝1，y ＝－1，P (1，－1)．9．(2012·福州质检)将函数f (x )＝sin 2x (x ∈R )的图象向右平移π4个单位后，所得到的图象对应的函数的一个单调递增区间是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，0B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π4D.⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，π 解析：选B 将函数f (x )＝sin 2x (x ∈R )的图象向右平移π4个单位后得到函数g (x )＝sin2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＝－cos 2x 的图象，则函数g (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π，k π＋π2，k ∈Z ，而满足条件的只有B.10．(2012·西安名校三检)已知tan β＝43，sin(α＋β)＝513，且α，β∈(0，π)，则sin α的值为( )A.6365B.1365C.3365D.6365或3365解析：选A 依题意得sin β＝45，cos β＝35；注意到sin(α＋β)＝513<sin β，因此有α＋β>π2(否则，若α＋β≤π2，则有0<β<α＋β≤π2，0<sin β<sin(α＋β)，这与“sin(α＋β)<sinβ”矛盾)，cos(α＋β)＝－1213，sin α＝sin[(α＋β)－β]＝sin(α＋β)cos β－cos(α＋β)sin β＝6365. 11．(2012·河南三市调研)在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且b 2＝a 2－ac ＋c 2，C －A ＝90°，则cos A cos C ＝( )A.14B.24 C ．－14D ．－24解析：选C 依题意得a 2＋c 2－b 2＝ac ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝ac 2ac ＝12.又0°<B <180°，所以B ＝60°，C ＋A ＝120°.又C －A ＝90°，所以C ＝90°＋A ，A ＝15°，cos A cos C ＝cos A cos(90°＋A )＝－12sin 2A ＝－12sin 30°＝－14.12．(2012·广东高考)对任意两个非零的平面向量α和β，定义α∘β＝α·ββ·β.若两个非零的平面向量a ，b 满足a 与b 的夹角θ∈⎝⎛⎭⎪⎫π4，π2，且a ∘b 和b ∘a 都在集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫n 2|n ∈Z 中，则a ∘b ＝( )A.52B.32 C ．1D.12解析：选D a ∘b ＝a ·b b ·b＝|a ||b|cos θ|b |2＝|a |cos θ|b |，①b ∘a ＝b ·a a ·a＝|b ||a |cos θ|a |2＝|b |cos θ|a |.②∵θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2，∴0<cos θ<22.①×②得(a ∘b )(b ∘a )＝cos 2θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12. 因为a ∘b 和b ∘a 都在集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫n 2|n ∈Z 中，设a ∘b ＝n 12，b ∘a ＝n 22(n 1，n 2∈Z )，即(a ∘b )·(b ∘a )＝cos 2θ＝n 1n 24，所以0<n 1n 2<2，所以n 1，n 2的值均为1，故a ∘b ＝n 12＝12.二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)13．△ABC 的三个内角A 、B 、C 所对边的长分别为a 、b 、c ，已知a ＝2，b ＝3，则sin AA ＋C＝________. 解析：sin AA ＋C ＝sin A sinB ＝a b ＝23.答案：2314．(2012·安徽高考)设向量a ＝(1,2m )，b ＝(m ＋1,1)，c ＝(2，m )．若(a ＋c )⊥b ，则|a |＝________.解析：a ＋c ＝(1,2m )＋(2，m )＝(3,3m )． ∵(a ＋c )⊥b ，∴(a ＋c )·b ＝(3,3m )·(m ＋1,1)＝6m ＋3＝0. ∴m ＝－12.∴a ＝(1，－1)．∴|a |＝ 2.答案：215.如图，在坡度为15°的观礼台上，某一列座位所在直线AB与旗杆所在直线MN 共面，在该列的第一个座位A 和最后一个座位B 测得旗杆顶端N 的仰角分别为60°和30°，且座位A 、B 的距离为106米，则旗杆的高度为________米．解析：由题可知∠BAN ＝105°，∠BNA ＝30°，由正弦定理得ANsin 45°＝106sin 30°，解得AN ＝203(米)，在Rt △AMN 中，MN ＝203sin 60°＝30(米)．故旗杆的高度为30米．答案：30 16．已知函数f (x )＝2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x －3cos 2x －1，x ∈R ，若函数h (x )＝f (x ＋α)的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，0对称，且α∈(0，π)，则α的值为________．解析：∵f (x )＝2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x －3cos 2x －1＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3，∴h (x )＝f (x ＋α)＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋2α－π3.∵函数h (x )的图象的对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，0∴－2π3＋2α－π3＝k π.∴α＝k ＋π2，k ∈z .又α∈(0，π)，∴α＝π2.答案：π2三、解答题(本题共6小题，共70分)17．(本小题满分10分)(2012·广州二测)已知函数f (x )＝A sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx －π3(A >0，ω>0)在某一个周期内的图象的最高点和最低点的坐标分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12，2，⎝⎛⎭⎪⎫11π12，－2. (1)求A 和ω的值；(2)已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，且sin α＝45，求f (α)的值．解：(1)∵函数f (x )在某一周期内的图象的最高坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12，2，∴A ＝2，得函数f (x )的周期T ＝2⎝⎛⎭⎪⎫11π12－5π12＝π，∴ω＝2πT＝2.(2)由(1)知f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3.∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，且sin α＝45，∴cos α＝1－sin 2α＝35，∴sin 2α＝2sin αcos α＝2425，cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝－725.∴f (α)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－π3＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2αcos π3－cos 2αsin π3＝2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2425×12＋725×32＝24＋7325. 18．(本小题满分12分)(2012·天津高考)已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3＋2cos 2x －1，x ∈R .(1)求函数f (x )的最小正周期；(2)求函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4上的最大值和最小值．解：(1)f (x )＝sin 2x ·cos π3＋cos 2x ·sin π3＋sin 2x ·cos π3－cos 2x ·sin π3＋cos 2x ＝sin2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4.所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.(2)因为f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π8上是增函数，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π8，π4上是减函数，又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝－1，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＝2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝1，故函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4上的最大值为2，最小值为－1.19．(本小题满分12分)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足(2a －c )cos B ＝b cos C .(1)求角B 的大小；(2)设m ＝(sin A ，cos 2A )，n ＝(4k,1)(k >1)，且m ·n 的最大值是5，求k 的值． 解：(1)因为(2a －c )cos B ＝b cos C ，所以在△ABC 中，由正弦定理，得(2sin A －sin C )cosB ＝sin B cosC ，所以2sin A cos B ＝sin B cos C ＋cos B sin C ， 即2sin A cos B ＝sin A .又在△ABC 中，sin A >0，B ∈(0，π)，所以cos B ＝12.所以B ＝π3.(2)因为m ＝(sin A ，cos 2A )，n ＝(4k,1)(k >1)， 所以m ·n ＝4k sin A ＋cos 2A ＝－2sin 2A ＋4k sin A ＋1， 即m ·n ＝－2(sin A －k )2＋2k 2＋1.又B ＝π3，所以A ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2π3.所以sin A ∈(0,1]．所以当sin A ＝1⎝⎛⎭⎪⎫A ＝π2时，m ·n 的最大值为4k －1.又m ·n 的最大值是5，所以4k －1＝5.所以k ＝32.20．(本小题满分12分)已知复数z 1＝sin 2x ＋t i ，z 2＝m ＋(m －3cos 2x )i(i 为虚数单位，t ，m ，x ∈R )，且z 1＝z 2.(1)若t ＝0且0<x <π，求x 的值；(2)设t ＝f (x )，已知当x ＝α时，t ＝12，试求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫4α＋π3的值．解：(1)因为z 1＝z 2，所以⎩⎪⎨⎪⎧sin 2x ＝m ，t ＝m －3cos 2x ，即t ＝sin 2x －3cos 2x .若t ＝0，则sin 2x －3cos 2x ＝0，得tan 2x ＝3.因为0<x <π，所以0<2x <2π，所以2x ＝π3或2x ＝4π3，所以x ＝π6或x ＝2π3.(2)因为t ＝f (x )＝sin 2x －3cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，因为当x ＝α时，t ＝12，所以2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－π3＝12，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2α＝－14，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫4α＋π3＝cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π6＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π6－1＝2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2α－1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫－142－1＝－78.21．(本小题满分12分)(2012·长春调研)如图，在平面直角坐标系中，锐角α和钝角β的终边分别与单位圆交于A ，B 两点．(1)如果A ，B 两点的纵坐标分别为45，1213，求cos α和sin β；(2)在(1)的条件下，求cos(β－α)的值； (3)已知点C (－1，3)，求函数f (α)＝OA ·OC 的值域．解：(1)根据三角函数的定义，得sin α＝45，sin β＝1213.又α是锐角，所以cos α＝35.(2)由(1)知sin β＝1213.因为β是钝角，所以cos β＝－513.所以cos(β－α)＝cos βcos α＋sin βsin α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－513×35＋1213×45＝3365. (3)由题意可知，OA ＝(cos α，sin α)，OC ＝(－1，3)．所以f (α)＝OA ·OC ＝3sin α－cos α＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6，因为0<α<π2，所以－π6<α－π6<π3，所以－12<sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6<32，从而－1<f (α)<3.所以函数f (α)的值域为(－1,3)．22．(本小题满分12分)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是∠A ，∠B ，∠C 的对边长，已知 2sin A ＝3cos A .(1)若a 2－c 2＝b 2－mbc ，求实数m 的值； (2)若a ＝3，求△ABC 面积的最大值． 解：(1)由2sin A ＝3cos A 两边平方得2sin 2A ＝3cos A 即(2cos A －1)(cos A ＋2)＝0，解得cos A ＝12或cos A ＝－2(舍)．而a 2－c 2＝b 2－mbc 可以变形为b 2＋c 2－a 22bc＝m2， 即cos A ＝m 2＝12，所以m ＝1.(2)由(1)知 cos A ＝12，则sin A ＝32.又b 2＋c 2－a 22bc＝12，所以bc ＝b 2＋c 2－a 2≥2bc －a 2，即bc ≤a 2.当且仅当b ＝c 时等号成立．故S △ABC ＝bc2sinA ≤a 22·32＝334.。

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