2018年人教A版必修四 第2章 平面向量单元测试
第二章平面向量课时作业人教A版必修四第2章2.3.2、2.3.3课时作业
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基础达标1.给出下面几种说法:①相等向量的坐标相同;②平面上一个向量对应于平面上唯一的坐标;③一个坐标对应于唯一的一个向量;④平面上一个点与以原点为始点,该点为终点的向量一一对应.其中正确说法的个数是( ).A .1 B.2 C .3 D.4解析 由向量坐标的定义不难看出一个坐标可对应无数个相等的向量,故③错误.答案 C2.已知向量OA →=(3,-2),OB →=(-5,-1),则向量12AB →的坐标是( ).A.⎝ ⎛⎭⎪⎫-4,12 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫4,-12 C .(-8,1) D.(8,1)解析 AB →=OB →-OA →=(-5,-1)-(3,-2)=(-8,1),∴12AB →=12(-8,1)=⎝ ⎛⎭⎪⎫-4,12. 答案 A3.在平行四边形ABCD 中,AC 为一条对角线.若AB →=(2,4),AC →=(1,3),则BD →等于( ).A .(-2,-4)B.(-3,-5) C .(3,5) D.(2,4)解析 ∵AC →=AB →+AD →,∴AD →=AC →-AB →=(-1,-1).∴BD →=AD →-AB →=(-3,-5).答案 B4.a =(4,6),且a =2b ,那么b 的坐标是________.解析 ∵a =2b ,∴b =12a =12(4,6)=(2,3).答案 (2,3)5.已知M (3,-2),N (-5,-1),MP →=12MN →,则P 点的坐标为________.解析 设P (x ,y ),则由MP →=12MN →得,(x -3,y +2)=12(-8,1),所以P 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫-1,-32. 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫-1,-32 6.已知AB →=(x ,y ),B 的坐标是(-2,1),那么OA →的坐标为________.解析 ∵B 的坐标是(-2,1),∴OB →=(-2,1),∴OA →=O B →+BA →=(-2,1)+(-x ,-y )=(-2-x,1-y ).答案 (-2-x,1-y )7.如图,已知四边形ABCD 为平行四边形,O 为对角线AC ,BD 的交点,AD →=(3,7),AB →=(-2,1).求OB →的坐标.解 DB →=AB →-AD →=(-2,1)-(3,7)=(-5,-6),∴OB →=12DB →=12(-5,-6)=⎝ ⎛⎭⎪⎫-52,-3. 能力提升8.已知向量集M ={a |a =(1,2)+λ(3,4),λ∈R },N ={a |a =(-2,-2)+λ(4,5),λ∈R },则M ∩N 等于( ).A .{(1,1)}B.{(1,1),(-2,-2)} C .{(-2,-2)} D.∅解析 设a =(x ,y ),对于M ,(x ,y )=(1,2)+λ(3,4),(x -1,y -2)=λ(3,4),⎩⎨⎧ x -1=3λ,y -2=4λ,∴x -13=y -24.对于N ,(x ,y )=(-2,-2)+λ(4,5),(x +2,y +2)=λ(4,5),⎩⎨⎧ x +2=4λ,y +2=5λ,∴x +24=y +25,解得x =-2,y =-2. 答案 C9.(2012·洛阳高一检测)设m =(a ,b ),n =(c ,d ),规定两向量之间的一个运算为m ⊗n =(ac -bd ,ad +bc ),若已知p =(1,2),p ⊗q =(-4,-3),则q =________.解析 设q =(x ,y ),则由题意可知 ⎩⎨⎧ x -2y =-4,y +2x =-3,解得⎩⎨⎧ x =-2,y =1,所以q =(-2,1). 答案 (-2,1)10.已知向量u =(x ,y )与向量v =(y,2y -x )的对应关系用v =f (u )表示.(1)证明:对任意向量a ,b 及常数m ,n ,恒有f (m a +n b )=mf (a )+nf (b )成立;(2)设a =(1,1),b =(1,0),求向量f (a )及f (b )的坐标;(3)求使f (c )=(p ,q )(p ,q 是常数)的向量c 的坐标.(1)证明 设a =(a 1,a 2),b =(b 1,b 2),则m a +n b =(ma 1+nb 1,ma 2+nb 2),∴f (m a +n b )=(ma 2+nb 2,2ma 2+2nb 2-ma 1-nb 1),mf (a )+nf (b )=m (a 2,2a 2-a 1)+n (b 2,2b 2-b 1),=(ma 2+nb 2,2ma 2+2nb 2-ma 1-nb 1).∴f (m a +n b )=mf (a )+nf (b )成立.(2)解 f (a )=(1,2×1-1)=(1,1),f (b )=(0,2×0-1)=(0,-1).(3)解 设c =(x ,y ),则f (c )=(y,2y -x )=(p ,q ),∴y =p,2y -x =q ,∴x =2p -q ,即向量c =(2p -q ,p ).。
高中数学必修四单元检测:平面向量(2)
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平面向量单元测试题(2)1.已知ABCD 的三个顶点A 、B 、C 的坐标分别为(-2,1)、(3,4)、(-1,3),则第四个顶点D 的坐标为2.有下列命题:①++=0;②(a +b )·c =a ·c +b ·c ;③若a =(m ,4),则|a |=23的充要条件是m =7;④若的起点为A (2,1),终点为B (-2,4),则与x 轴正向所夹角的余弦值是54.其中正确命题的序号是 3.已知a =(-2,5),|b |=2|a |,若b 与a 反向,则b 等于4.已知|a |=8,e 是单位向量,当它们之间的夹角为3π时,a 在e 方向上的投影为 5.若|a |=|b |=1,a ⊥b 且2a +3b 与k a -4b 也互相垂直,则k 的值为6.已知a =(3,4),b ⊥a ,且b 的起点为(1,2),终点为(x ,3x ),则b 等于7.等边△ABC 的边长为1,=a ,=b ,=c ,那么a ·b +b ·c +c ·a 等于8.把函数y =312-x 的图象按a =(-1,2)平移到F ′,则F ′的函数解析式为 9.已知向量e 1、e 2不共线,a =k e 1+e 2,b =e 1+k e 2,若a 与b 共线,则k 等于( )10.已知a 、b 均为非零向量,则|a +b |=|a -b |是a ⊥b 的A .充分非必15要条件B .必要非充分条件C .充要条件D .非充分非必要条件11.如图,M 、N 是△ABC 的一边BC 上的两个三等分点,=a ,=b ,则= .12.a 、b 、a -b 的数值分别为2,3,7,则a 与b 的夹角为 .13.把函数y =-2x 2的图象按a 平移,得到y =-2x 2-4x -1的图象,则a = .14.已知向量a 、b 的夹角为3π,|a |=2,|b |=1,则|a +b ||a -b |的值是 .15、已知向量33(cos,sin )22x x a =,(cos ,sin )22x x b =-,]2,2[ππ-∈x , (1)求证:()a b -⊥()a b +; (2)13a b +=,求cos x 的值16.已知|a|=3,|b|=2,a与b的夹角为60°,c=3a+5b,d=m a-b,c ⊥d,求m的值.17.设i、j分别是直角坐标系x轴、y轴上的单位向量,若在同一直线上有三点A、B、C,且=-2i+m j,=n i+j,=5i-j,⊥,求实数m、n的值.。
高中数学第二章平面向量新人教A版必修4
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平面向量一、选择题1.下列命题中正确的是( )( A ) 两个相等的向量的起点,方向,长度必须都相同( B) 若a,b是两个单位向量,则a= b( C) 若向量a和b共线,则向量a, b 的方向相同( D) 零向量的长度为0,方向是任意的2.如图,在平行四边形ABCD 中,下列结论中错误的是( )( A ) ( C) AB DCAB AD BD( B )( D )AD AB ACAD CB03.在四边形ABCD 中,CB AB BA( )(A) DB (B) CA(C) CD (D) DC4.已知a,b为非零向量,且|a+ b|=| a|+| b|,则一定有( )( A ) a=b ( B ) a∥b,且a,b方向相同( C) a=-b ( D ) a∥b,且a,b方向相反5.化简下列向量: ( 1) AB BC CA (2) AB AC BD CD(3) FQ QP EF EM (4) OA OB AB,结果为零向量的个数是( )(A)1 (B)2 (C)3 (D)4二、填空题6.对于下列命题①相反向量就是方向相反的向量②不相等的向量一定不平行③相等的向量一定共线④共线的单位向量一定相等⑤共线的两个向量一定在同一条直线上其中真命题的序号为______.3 3点A 的位置向量为 ______.8.一艘船以 5 km 的速度出发向垂直于对岸的方向行驶,而船实际的航行方向与水流成30°,则船的实际速度的大小为______ ,水流速度的大小为______.9.如图,在□ABCD中,AO a ,DO b ,用向量a, b 表示下列向量CB______AB =_____.10.已知平面内有□ABCD和点O,若OA a ,OB b,OC c ,OD d,则a-b+c -d=______.三、解答题11.化简:(1) AB AC BD(2) AB CD CB DA12.在单位圆中, B 是 OA 的中点, PQ 过 B 且 PQ∥Ox,MP⊥ Ox,NQ⊥ Ox,则在向量OM,ON,MP,NQ,OP,OQ,OB,OA,PQ 中.( 1) 找出相等的向量;( 2) 找出单位向量;( 3) 找出与OM共线的向量;( 4) 向量OM,ON的长度.13.已知正方形A BCD 的边长为1,若AB a ,BC b ,AC c ,求作向量a-b+c,并求出 |a-b+c|.14.已知向量a, b 满足:| a|=3,| a+ b|=5,| a- b|=5,求| b|.向量的线性运算 ( 二 ) 一、选择题1.若 3( x+ 3a) - 2( a-x) =0,则向量 x= ( ) ( A ) 2a ( B) - 2a ( C) 7a ( D ) 7 a5 52.若AB5e, CD7e且 | AD | | BC |,则四边形ABCD 是 ( ) ( A ) 平行四边形( B ) 非等腰梯形( C)菱形( D)等腰梯形3.如图所示, D 是△ ABC 的边上的中点,则向量CD 等于()(A) BC 1BA ( B ) BC1BA 2 2(C) BC 1BA (D) BC 1 BA2 2 )4.已知向量1- 2e2,b=- 2e1+ 4e2,则向量a与b满足关系 (a= e( A ) b= 2a ( B) 共线且方向相反 ( C) 共线且方向相同(D)不平行5.下列结论中正确的个数是 ( )①若| b|=2| a|,则 b=±2a ②若 a∥ b,b∥ c,则 a∥ c ③若 m a=m b,则a=b④ 0a=0⑤若向量a与b共线,则一定存在一个实数,使得 a= b(A)0个(B)1个(C)2个(D)3 个二、填空题6.化简: 5( 3a- 2b) + 4( 2b-3a) = ______.7.与非零向量a共线的单位向量为 ____________.8.数轴上的点 A,B,C 的坐标分别为2x,- 2,x,且AB 3BC ,则x=______;|AB|= ______.9.已知向量 a 与 b 方向相反,|a|=6,| b|=4,则 a=______b.10.在□ ABCD 中,AB a ,AD b ,AN3NC ,M为BC的中点,则 MN____.三、解答题11.点 D 是△ ABC 边 BC 上一点,且BD 1 BC.设试AB a,AC b,用向量a,b表示3AD.12.已知向量a, b 满足求| a|∶| b|.11 1(a3b)(a b)(3a2b) ,求证:向量 a 与 b 共线,并52 513.已知|a|= 1,|b|= 2.若a=b,求|a-b|的值.14.已知平面中不同的四点A,B,C,D 和非零向量a,b,且AB a2b,CD 5a6b,CD =7a-2b.( 1) 证明: A, B, D 三点共线;( 2) 若a与b共线,证明A, B, C,D 四点共线.向量的分解与向量的坐标表示一、选择题1.已知向量a= ( 4,2) ,向量 b=( x,3),且 a∥b,则x=( )(A)9 (B)6 (C)5 (D)32.已知点 A( 0, 1) , B( 1, 2) , C( 3, 4) ,则AB 2BC的坐标为 ( )( A)( 3,3) ( B)( -3,- 3) ( C)( - 3, 3) ( D)( 3,- 3)3.已知基底 { e1,e2} ,实数 x,y 满足 ( 3x- 4y) e1+ ( 2x-3y) e2= 6e1+ 3e2,则 x- y 的值等于( )(A)3(B)-3(C)0(D)24.在基底 { e1,e2} 下,向量a=e1+ 2e2,b= 2e1-e2,若a∥b,则的值为()(A)0(B)-21(D)-4( C)25.设向量a= ( 1,- 3) ,b= ( - 2,4) ,c= ( - 1,- 2) ,若表示向量4a,4b-2c,2( a-c) ,d 的有向线段首尾相连能构成四边形,则向量 d 为( )( A)( 2,6) ( B)( -2,6)( C)( 2,- 6) ( D)( - 2,- 6)二、填空题6.点 A( 1,- 2) 关于点 B 的对称点为 ( - 2, 3) ,则点 B 的坐标为 ______.7.若 M( 3,- 2) ,N( - 5,- 1) 且MP 1 MN,则 P 点的坐标为 ______________.28.已知点 O( 0,0) , A( 1,2) ,B( 4,5) ,点 P 满足OP OA t AB ,当点P在x轴上时,t= _______.9.已知□ABCD 的三个顶点A( - 1, 3) , B( 3, 4) ,C( 2, 2) ,则顶点D的坐标为 ______.10.向量OA(k,12) , OB (4,5) , OB (10, k) 若A、B、C三点共线,则k= ______.三、解答题11.已知梯形ABCD 中,AB2DC ,M,N分别是DC,AB的中点.设 AD a,AB b 选择基底 { a,b} ,求向量DC,NM在此基底下的分解式.12.已知向量a=( 3,-2),b=(-2,1), c=( 7,-4),( 1) 证明:向量a, b 是一组基底;( 2) 在基底 { a,b} 下,若c= x a+ y b,求实数x, y 的值.13.已知向量a=( 1,2), b=(-3,x).若 m=2a+ b, n= a-3b,且 m∥ n,求实数x的值并判断此 m 时 n 与的方向相同还是相反.14.已知点O( 0,0) , A( 1, 4) ,B( 4,- 2) ,线段 AB 的三等分点C,D ( 点 C 靠近 A) .OC2OD平面向量的数量积及其运算律一、选择题1.若| a |= 4, | b |= 3,〈a , b 〉= 135°,则 a 2 b = ( )(A)6( B)(C)6 2 (D) 622.已知 | a |= 8, e 为单位向量,〈 a , e 〉2π,则 a 在 e 方向上的正射影的数量为 ( )3(A)4 3(B)4(C) 43(D)-4 3.若向量 a , b , c 满足 a 2 b = a 2 c ,则必有 ()( A ) a = 0( B) b = c( C) a =0 或 b = c ( D ) a ⊥ ( b - c )4.若| a |= 1,| b |= 2,且 ( a + b ) ⊥ a ,则〈 a , b 〉= ()( A) 30° ( B) 60°( C) 120° (D)150°5.平面上三点 A ,B ,C ,若 | AB | 3,|BC | 4,|CA | 5,则 AB BC BC CA CA AB= ( )A .25 ( B) -25(C)50(D)-50二、填空题6.已知 a 2 b =- 4, a 在 b 方向上的正射影的数量为-8,则在| a |和 | b | 中,可求出具体数值的是 ______,它的值为 ______.7.已知 a , b 均为单位向量, 〈 a , b 〉= 60°,那么| a + 3b | = ______. 8.已知| a |= 4,| b | = 1,| a - 2b | = 4,则 cos 〈a , b 〉= ______.9.下列命题中,正确命题的序号是______.( 1) | a | 2=a 2;( 2) 若向量 a , b 共线,则 a 2 b =| a || b | ;( 3)( a 2 b ) 2= a 22 b 2;( 4) 若 a 2 b = 0,则 a = 0 或 b = 0( 5)( a -b ) 2 ( a +b ) =| a | 2-| b | 2;10.设向量 a , b , c 满足 a + b +c = 0, ( a -b ) ⊥ c , a ⊥b .若| a |= 1,则 | a | 2+| b |2+| c | 2的值是 ______. 三、解答题11.已知| a |= 5,| b |= 4,〈a , b 〉π,求 ( a + b ) 2 a 和| a + b |.312.向量 a , b 满足 ( a - b ) 2 ( 2a + b ) =- 4,且 | a | = 2,| b |= 4,求〈 a ,b 〉.13.已知 O 为△ ABC 所在平面内一点,且满足(OB OC) (OB OA) 0 ,试判断△ ABC的形状.14.已知向量 a , b 满足:| a |= 1,| b | = 2,| a - b | = 7 .( 1) 求| a - 2b |; ( 2) 若 ( a + 2b ) ⊥( k a - b ) ,求实数 k 的值.向量数量积的坐标运算与度量公式一、选择题1.已知 a = ( - 4, 3) , b = ( 5,6) ,则 3a 2-4a 2 b =()(A)83(B)63(C)57(D)232.已知向量 a ( 3, 1) , b 是不平行于 x 轴的单位向量,且 a b3 ,则 b =()(A)(3, 1) (B) (1,3 ) (C) (1,3 3) ( D)( 1,0)2222443.在△ ABC 中, A( 4, 6) , B( - 4,10) , C( 2, 4) ,则△ ABC 是 ( )( A ) 等腰三角形( B) 锐角三角形( C) 钝角三角形( D ) 直角三角形4.已知 a = ( 0, 1) ,b = ( 1,1) ,且〈 aπ的值为( )b ,a 〉,则实数2(A)-1(B)0(C)1(D)25.已知 a = ( 1, 2) ,b = ( - 2,- 4) , | c |5 ,若 (ab )c 5 ),则〈 a , c 〉= (2( A) 30°( B) 60°( C) 120°(D)150°二、填空题,b 〉=.若a + = ( - ,-1) , - =,- ,则=,〈 a ______ .6 b 2 a b ( 4 3) a 2 b ______7.向量 a = ( 5, 2) 在向量 b =( - 2, 1) 方向上的正射影的数量为 ______. 8.在△ ABC 中, A( 1, 0) , B( 3, 1) , C( 2, 0) 则∠ BCA = ____________. 9.若向量 a 与 b = ( 1, 2) 共线,且满足 a 2 b =- 10,则 a = ______.10.已知点 A( 0,3) ,B( 1,4) ,将有向线段 AB 绕点 A 旋转角π到 AC 的位置,则点C 的2坐标为 ______. 三、解答题11.已知 a = ( - 3,2) ,b = ( 1,2) ,求值: | a + 2b |,( 2a - b ) 2 ( a +b ) ,cos 〈a + b ,a - b 〉.12.若 |a |2 13 , b = ( - 2, 3) ,且 a ⊥ b ,求向量 a 的坐标.13.直角坐标系 xOy 中,已知点 A( 0,1) 和点 B( -3, 4) ,OC 为△ AOB 的内角平分线,且OC 与 AB 交于点 C ,求点 C 的坐标.14.已知 k Z ,AB ( k ,1),AC ( 2,4),| AB | 4 ,且△ ABC 为直角三角形, 求实数 k 的值.用心爱心专心测试十二向量的应用Ⅰ学习目标1.会用向量的方法解决某些简单的平面几何问题.2.会用向量的方法解决物理中简单的力学和速度问题;能将物理问题转化为数学问题,同时会用建立起来的数学模型解释相关的物理问题.Ⅱ基础性训练一、选择题1.作用于原点的两个力f1=( 1,1), f2=( 2,3),为使它们平衡,需要增加力f3,则力 f3 的大小为 ( )( A)( 3,4) ( B)( -3,- 4)( C) 5 (D)252.在水流速度为自西向东,10 km / h 的河中,如果要使船以10 3 km/ h的速度从河南岸垂直到达北岸,则船出发时行驶速度的大小和方向( )( A ) 北偏西 30°, 20 km/ h( B ) 北偏西 60°, 20 km / h( C) 北偏东 30°, 20 km/ h( D ) 北偏东 60°, 20 km / h3.若平行四边形ABCD 满足| AB AD | | AB AD |,则平行四边形ABCD 一定是 ( )(A)正方形(B)矩形(C)菱形(D)等腰梯形4.已知□ABCD 对角线的交点为O,P 为平面上任意一点,且PO =a,则PA PB PC PD = ( )( A ) 2a ( B) 4a ( C) 6a ( D ) 8a5.已知非零向量AB与 AC满足(AB AC)BC 0且 AB.AC 1|AB | |AC | |AB| |AC| 2,则△ ABC为 ( )( A ) 三边均不相等的三角形( B ) 直角三角形( C) 等腰非等边三角形( D ) 等边三角形二、填空题6.自 50 m 高处以水平速度10 m/ s 平抛出一物体,不考虑空气阻力,则该物2s 时的速度的大小为 ______,与竖直向下的方向成角为,则tan=______( g=10 m/ s2).7.夹角为 120°的两个力f1和 f2作用于同一点,且| f 1|=| f2|=m( m>0),则 f1和 f2的合力 f 的大小为______, f 与 f2的夹角为____________.8.正方形ABCD 中, E,F 分别为边DC , BC 的中点,则cos∠ EAF = ____________.9.在△ ABC 中,有命题:①AB AC BC ;②若 ( AB AC) ( AB A C )0 ,则△ABC 为等腰三角形;③AB BC CA=0;④若 AB BC 0 ,则为△ABC锐角三角形.上述命题中正确的是____________( 填上你认为正确的所有序号)三、解答题10.水平电线AB 对竖直电杆BD 的拉力为300 N,斜拉索BC 的拉力为600 N,此时电杆恰好不偏斜,求斜拉索与地面成角的大小以及由此引起的电杆对地面的压力( 电杆自重不计).11.某运动员在风速为东偏北60°, 2 m/ s 的情况下正在以 10 m/ s 的速度向东跑.若风停止,运动员用力不变的情况下,求该运动员跑步速度的大小和方向.12.对于平行四边形ABCD ,点 M 是 AB 的中点,点N 在 BD 上,且BN 1 BD.用向量3的方法证明:M, N, C 三点共线.Ⅲ拓展性训练13.在 Rt△ABC 中,∠ C=90°,且 CA= CB, D 是 CB 的中点, E 是 AB 上一点,且AE=2EB.求证: AD ⊥ CE.14.如图,已知点A( 4, 0) , B( 4,4) , C( 2, 6) ,求 AC 与 OB 的交点 P 的坐标.测试十三平面向量全章综合练习一、选择题1.向量( AB MB) (BO CB) OM 化简后等于( )(A) AC (B) BC ( C) AB (D) AM2.点 A 的坐标为 ( 1,- 3) ,向量AB的坐标为 ( 3,7) ,则点 B 的坐标为 ( ) ( A)( 4,4) ( B)( -2,4) ( C)( 2, 10) ( D)( -2,- 10)3.已知向量a= ( -2, 4) ,b= ( - 1,- 2) , c=( 2,3),则( a+ b) 2 ( a- c)的值为( )(A)10 (B)14 ( C) -10 (D)-144.已知向量a= ( 2,t) ,b= ( 1, 2) .若 t= t1时,a∥b; t= t 2时,a⊥b,则 ( ) ( A ) t1=- 4, t2=- 1 ( B ) t1=- 4, t2= 1( C) t1= 4, t2=- 1 ( D ) t1= 4, t2= 15.若点 O 是△ ABC 所在平面内一点,满足OA OB OB OC OC OA ,则点O是△ABC 的 ( )( A ) 三个内角的角分线的交点( B ) 三条边的垂直平分线的交点( C) 三条中线的交点( D ) 三条高线的交点二、填空题6.河水的流速为 2 m/ s,一只小船想要以垂直于河岸方向10 m/ s 的速度驶向对岸,则小船在静水中的速度的大小应为______________.7.数轴上的点A,B,点 A 的坐标为- 3,且向量AB的长度为5,则点 B 的坐标为 ______.8.已知p= ( - 2, 2) ,q= ( 1,3) ,则p在q方向上的正射影的数量为______.9.已知向量a=( 2,3), b=(-1,2),若( a+b)⊥( a+ b),则实数=______.10.给出下列命题:①a b b; a2a②| a|-| b|<| a- b|;③ |a2b|=|a||b|;④ ( b2 c) a- ( c2 a) b与c垂直;⑤已知 a,b 是非零向量,若| a+ b|=| a- b|,则a⊥ b;a2= b2.⑥已知 a, b 是两个单位向量,则所有正确的命题的序号为____________ .三、解答题11.已知点A( - 2, 1) , B( 1,3) .求线段 AB 中点 M 和三等分点P, Q 的坐标.12.已知 | a|= 2, | b|= 4,〈a,b〉2π.求|a-b|和〈a,a-b〉的余弦值.313.已知向量a=( 1,2), b=( x,1).( 1) 求与 a 垂直的单位向量的坐标;( 2) 求| b-2a|的最小值以及此时 b 的坐标;( 3) 当 x 为何值,a+ 2b与b- 2a平行,并确定它们此时是同向还是反向.14.如图,以原点O 和 A( 5,2) 为两个顶点作等腰直角△OAB,使∠ B= 90°.求点 B 的坐标和 AB 的坐标.参考答案第二章平面向量测试七向量的线性运算 ( 一 )一、选择题1.D 2.C 3.C 4.B 5.C二、填空题6.③7.“东偏北 60°, 6 km”或“北偏东30°, 6 km ” 8. 10 km / h 5 3 km/ h9.b-a;a+b10.0三、解答题11.解: ( 1) CD;( 2) 原式=(AB BC CD) DA AD DA =0.12.解: ( 1) MP NQ OB ;( 2) OP,OQ,OA;( 3) ON,PQ ;( 4)|OM | | ON | 3 213.解:AB a, BC b, AC c ,所以DB a b,BE AC c, DE DB BE a b c ,| a- b+ c|=2.14.解:设AB a, AD b ,做□ABCD.则 AC a b, DB a b ,可得 AC BD 5 ,所以□ABCD为矩形,|b | | AD | 52 32=4.测试八 向量的线性运算 ( 二 )一、选择题1.D 2.D 3.A 4. B 5. A二、填空题6. 3a - 2b 7.a 8.- 4; 6 9. a 3b 10. 1 b 1a| a |244三、解答题11.答: AD2 a 1b .33712.略解:化简得 9a = 7b ,即 ab ,所以 a ∥ b ;| a |∶| b |= 7∶ 9.91,λ= 113.略解:由题意,得| a |=| λ|| b |,∴ | λ|=,22| a - b |=| λ- 1|| b |= 2| λ- 1|= 1 或 3.14. (1) 证明:∵ BDCD CB 2a 4b ,∴ BD 2 AB ,∴ AB // BD ,因为二者均经过点 B ,所以 A , B , C 三点共线. (2)证明:∵ a 与 b 共线,设 a = λb ,∴ BD ( 2 4)b , CD (7 2)b∵CD0, BD 0 ∴7λ- 2≠0, 2λ+ 4≠0.∴ BD 24CD ,7 2∴ BD // CD ,所以 B , C , D 三点共线,又 A ,B , D 三点共线.所以 A , B ,C , D 四点共线.测试九 向量的分解与向量的坐标表示一、选择题1.B 2. B 3.A 4.D 5.D 二、填空题6.( 1,1)7.( 1, 3) 8. t2 9.( -2,1) 10.- 2 或 112 223三、解答题11.答: DC1b ; NM a1b .2412. ( 1) 证明:∵32 ,∴ a 与 b 不平行,所以向量 a , b 是一组基底.213x 2 y 7,x 1, ( 2) 略解: ( 7,- 4) = x( 3,- 2) + y( - 2, 1) ,y4,所以2.2x y13.略解: m =( - 1, 4+x) , n =( 10, 2- 3x) ,因为 m ∥ n ,所以- ( 2- 3x) - 10( 4+ x) =0, x =- 6,此时 m = ( - 1,- 2) , n = ( 10, 20) ,有 n =- 10m ,所以 m 与 n 方向相反.14.略解: ( 1) OC OA AC OA 1(1,4)1(2,2) .AB (3, 6)3 3OD OA AD OA 2AB (1,4)2(3, 6) (3,0) .3 3( 2) OC 2OD ( 2,2) 2(3,0) (8,2) .OE OB OC 2OD ( 4, 2) (8,2) (12,0) .测试十平面向量的数量积及其运算律一、选择题1.D 2.D 3.D 4.C 5.B二、填空题6.|b|; 1 7.13 8.19.①⑤10. 42 4提示:10.由a+b+c=0,得c=-a-b,又 ( a-b) ⊥c,∴ (a-b) 2 (-a-b)=0,2 2∴-| a|- a2 b+a2 b+| b|=0,∴|b|=|a|=1.又 c=- a- b,222 2 ∴| c|=|- a- b|=(- a- b) 2 (- a- b)=| a|+2a2 b+| b|=2.另外,可以结合图示,分析解决问题.三、解答题11.解:a2 b= 10, ( a+b) 2 a=a2+a2 b= 35,|a b | ( a b) 2 a 2 2a b b2 61 .12.解:由题意得2a 2-a2 b-b2=- 4,所以 2a2-a2 b-b2=- 4,得a2 b=-4,cos 〈a,b〉 a b 1, 〈a,b〉=120°| a || b | 213.略解:因为(OB OC) (OB OA) 0 ,所以CB AB=0,从而CB AB ,△ABC 为直角三角形.14.略解: ( 1) |a-b|2=a2- 2ab+b2= 7,所以a2 b=- 1,| a-2b|2= a2-4ab+4b2=21,即|a2b | 21.( 2) 由已知得 ( a+ 2b) 2 ( k a-b) = 0,即 k a2-ab+ 2k ab- 2b2= 0,得 k=- 7.测试十一向量数量积的坐标运算与度量公式一、选择题1.A 2.B 3.D 4.A 5.C提示:5.设c= ( x,y) ,由 | c | 5 ,得x2+y2=5,,①,由 ( a b ) c55 5,得 ( 1, 2) ( x, y),∴ x 2 y,, ②222由①②解得 c( 1 3, 13) ,或 c ( 1 3, 13) .22 2213) 时, cos 〈a c5 1 , 当c (3, 1, 〉222a c5 52|a || c |∴〈 a ,c 〉= 120°,另一种情况,计算结果相同.二、填空题6.- 5; 135° 7. 8 510. ( - 1,4) 或 ( 1,2)58.135° 9. ( - 2,- 4)提示:10.设 C( x , y) ,则 AB(1,1), AC ( x, y 3) ,由 AC ⊥ AB 得, AB AC 0 ,即 x + y - 3= 0,, ①又 | AB | AC , ∴ 2= x 2+ ( y - 3) 2,, ②. 结合①②,解得,x 1,x 1y 或y 4 ∴ C( 1, 2) 或 C( -1,4) .2,三、解答题11.答: |a 2b |37 ;( 2a - b ) 2 ( a + b ) =22; cos a b , ab 55.12.解:设 a = ( x ,y) ,则2x 3 y 0 x 6 x6 x2y252,解得:y 4 或,所以 a =( 6,4) 或y 4a = ( -6,- 4) .13.解:设 C( x , y) ,则 OC( x, y) ,由已知可得: 〈 OA,OC 〉=〈 OB, OC 〉AC // ABx y 113 则,所以,解得OC OCOB OC 3 4 x, y,2yxy2|OA ||OB|55所以 C( 1, 3).2 214.解:由 | AB |4 得 k 2≤ 15,∵ k ∈ Z ,∴ k =- 3,- 2,- 1, 0, 1, 2,3,·2k 4 0 所以 k =- 2;当 A = 90°时, AB ACAB ·BC 0,BC (2 - k ,3)当 C= 90°时,,所以 2( 2- k) +12= 0, k= 8( 舍 ) .AC·BC 0,BC (2 - k,3)综上 k=- 1 或- 2 或 3.测试十二向量的应用一、选择题1.C2.A3.B4.B5.D提示:ABm, AC5.设n ,则|m|=|n|=1,|AB| |AC|由已知 (m n) BC 0 .∴ m BC n BC,∴ m BC cos(x B)n BC cos C ∴c osB= c osC,又B、C∈( 0,)∴B= C.又由已知 m n 1,2∴ m n cos A 1 2∴ cos A 1,又(0,π)2∴A= 60°∴△ ABC 为等边三角形.二、填空题18.46. 10 5m/s;7. m, 60°,9.②③2 5三、解答题10.答:= 60°;300 3N.11.解:如图,建立平面直角坐标系,作□ABCD,设|OC | 2,| OB | 10,则C( 1,3 ),B( 10, 0) ,CB (9, 3),得 |CB| 2 21 9.17m/s,tan AOB3.9由计算器计算得∠ AOB≈ 10. 89°.该运动员跑步速度的大小为9. 17 m/ s,方向为东偏南约10. 89°.MN // MC量,再证明二者具有关系 MN MC 即可.设AB e 1 , AD e 2 ,则 BDe 1 e 2 , BN1e 1 1e 2 .3 3MC1e 1 e 2 , MN MB BN 1e 1 ( 1e 11e 2 ) 1 e 1 1e 2 .22 33 6 3所以 MN1MC ,所以 M , N ,C 三点共线.313.证明:设此等腰直角三角形的直角边长为a ,AD CE( AC CD) (CA AE) AC CA AC AECD CA CD AE|AC|2| AC || AE | cos45 0 |CD || AE |cos45a 22 a 21 a 20 所以 AD ⊥ CE .33或以点 C 为原点, CA , CB 所在的直线分别为x ,y 轴建立平面直角坐标系,则 A( a , 0) , D (0, 1 a), E(1 a, 2a), AD ( a, 1 a), CE ( 1 a, 2a),23 3233可得出 AD CE1 a2 1 a 20 ,所以 AD ⊥CE .3 314.解:设 P( x , y) ,则 OP (x, y) , OB = ( 4, 4) ,由 OP,OB ,共线得 4x -4y = 0,,, ①,AP ( x 4, y) , AC = ( - 2, 6) ,由 AP, AC 共线得 6( x - 4) - y( - 2) =0,, ②,由①②解得, P( 3, 3) .测试十三 平面向量全章综合练习一、选择题 1.A2.A3.B4.C5.D二、填空题6. 2 26m/s7.-8 或 2 2 109.1710.④⑤⑥8.59三、解答题11.解: ABOB OA (3,2) ,OM1(OB OA) ( 1,2),所以 M (1,2),2 22OPOA1AB (1, 5) ,所以 p( 1, 5), OQ OA 2AB (0, 7) ,3 3 33 3 7所以 Q(0, ) .2 7 , cos 〈 a , a -b 〉2712.答:| a -b |7.13.略解: ( 1) 设单位向量为 e = k( - 2, 1) = ( - 2k , k) ,因为 | e | = 1,得 k55,2 5 52 5 5e (5 , 5 ) 或 e ( 5 , 5 ) .(2)|b 2 | ( x 2) 29 ,当 x = 2 时, | b - 2a |最小值为 3,此时 b = ( 2,1) .a ( 3) x 1 ,反向.214.解:设 B( x , y) ,则 AB( x 5, y 2), OBAB OB 0(x, y) ,由已知得,| AB| |OB|x( x5) y( y 2) 0x 3x2 7所以,解得 2 或 2 ,x2y2( x 5)21( y 2)2y 1 7 y 2 32 2 所以 B(3,7)或 B(7,3),AB ( 3, 1)或 AB ( 7,3),222 22 22 2用心 爱心 专心。
高一数学必修四第二章平面向量测试题及答案
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一、选择题: (本大题共10小题,每题4分,共40分.在每题给出的四个选项中,只有一项为哪一项符合题目要求的.)1.设点P 〔3,-6〕,Q 〔-5,2〕,R 的纵坐标为-9,且P 、Q 、R 三点共线,那么R 点的横坐标为〔 〕。
A 、-9B 、-6C 、9D 、62. =(2,3), b =(-4,7),那么 在b 上的投影为〔 〕。
A 、B 、C 、D 、 3.设点A 〔1,2〕,B 〔3,5〕,将向量 按向量 =〔-1,-1〕平移后得向量为〔 〕。
A 、〔2,3〕 B 、〔1,2〕 C 、〔3,4〕 D 、〔4,7〕4.假设(a+b+c)(b+c -a)=3bc ,且sinA=sinBcosC ,那么ΔABC 是〔 〕。
A 、直角三角形B 、等边三角形C 、等腰三角形D 、等腰直角三角形5.| |=4, |b |=3, 与b 的夹角为60°,那么| +b |等于〔 〕。
A 、B 、C 、D 、6.O 、A 、B 为平面上三点,点C 分有向线段 所成的比为2,那么〔 〕。
A 、B 、C 、D 、7.O 是ΔABC 所在平面上一点,且满意条件,那么点O 是ΔABC 的〔 〕。
A 、重心B 、垂心C 、内心D 、外心8.设 、b 、 均为平面内随意非零向量且互不共线,那么以下4个命题: (1)( ·b )2= 2·b 2 (2)| +b |≥| -b | (3)| +b |2=( +b )2(4)(b ) -( a )b 与 不肯定垂直。
其中真命题的个数是〔 〕。
A 、1B 、2C 、3D 、49.在ΔABC 中,A=60°,b=1, ,那么 等于〔 〕。
A 、B 、C 、D 、10.设 、b 不共线,那么关于x 的方程 x 2+b x+ =0的解的状况是〔 〕。
A 、至少有一个实数解B 、至多只有一个实数解C 、至多有两个实数解D 、可能有多数个实数解二、填空题:〔本大题共4小题,每题4分,总分值16分.〕.11.在等腰直角三角形ABC 中,斜边AC=22,那么CA AB =_________12.ABCDEF为正六边形,且AC=a,AD=b,那么用a,b表示AB为______.13.有一两岸平行的河流,水速为1,速度为的小船要从河的一边驶向对岸,为使所行路程最短,小船应朝________方向行驶。
人教A版高中数学 必修四 第二章 §2.4平面向量的数量积 教材课时同步培优练习
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人教A 版高中数学 必修四 第二章 §2.4平面向量的数量积 教材课时同步培优练习一、本节主要知识点回顾1、两个非零向量夹角的概念已知非零向量a与b,作=a,=b,则∠AOB=θ(0≤θ≤π)叫a与b的夹角.说明:(1)当θ=0时,a与b同向; (2)当θ=π时,a与b反向;(3)当θ=2π时,a与b垂直,记a⊥b; (4)注意在两向量的夹角定义,两向量必须是同起点的.范围0︒≤θ≤180︒2、平面向量数量积(内积)的定义:已知两个非零向量a与b,它们的夹角是θ,则数量|a ||b |cos θ叫a与b的数量积,记作a ⋅b ,即有a ⋅b = |a ||b |cos θ,(0≤θ≤π).并规定0与任何向量的数量积为0.⋅探究:两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别(1)两个向量的数量积是一个实数,不是向量,符号由cos θ的符号所决定.(2)两个向量的数量积称为内积,写成a ⋅b ;今后要学到两个向量的外积a ×b ,而a ⋅b 是两个向量的数量的积,书写时要严格区分.符号“· ”在向量运算中不是乘号,既不能省略,也不能用“×”代替.(3)在实数中,若a ≠0,且a ⋅b =0,则b =0;但是在数量积中,若a ≠0,且a ⋅b =0,不能推出b =0.因为其中cos θ有可能为0.(4)已知实数a 、b 、c (b ≠0),则ab=bc ⇒ a=c .但是a ⋅b = b ⋅c a = c如右图:a ⋅b = |a ||b |cos β = |b ||OA|,b ⋅c = |b ||c |cos α = |b ||OA|⇒ a ⋅b = b ⋅c 但a ≠ c(5)在实数中,有(a ⋅b )c = a (b ⋅c ),但是(a ⋅b )c ≠ a (b ⋅c )显然,这是因为左端是与c 共线的向量,而右端是与a 共线的向量,而一般a 与c 不共线.3、“投影”的概念:作图定义:|b |cos θ叫做向量b 在a 方向上的投影. 投影也是一个数量,不是向量;当θ为锐角时投影为正值;当θ为钝角时投影为负值;当θ为直角时投影为0;当θ = 0︒C时投影为 |b |;当θ = 180︒时投影为 -|b |.4、向量的数量积的几何意义:数量积a ⋅b 等于a 的长度与b 在a 方向上投影|b |cos θ的乘积.5、两个向量的数量积的性质:设a 、b 为两个非零向量,e 是与b 同向的单位向量.1︒ e ⋅a = a ⋅e =|a |cos θ2︒ a ⊥b ⇔ a ⋅b = 03︒ 当a 与b 同向时,a ⋅b = |a ||b |;当a 与b 反向时,a ⋅b = -|a ||b |. 特别的a ⋅a = |a |2或a a a ⋅=|| 4︒ cos θ =||||b a b a ⋅ 5︒ |a ⋅b | ≤ |a ||b |6、平面向量数量积的运算律(1)交换律:a ⋅ b = b ⋅ a(2)数乘结合律:(λa )⋅b =λ(a ⋅b ) = a ⋅(λb )(3)分配律:(a + b )⋅c = a ⋅c + b ⋅c7、 平面两向量数量积的坐标表示已知两个非零向量),(11y x a =,),(22y x b =,试用a 和b 的坐标表示b a ⋅.设i 是x 轴上的单位向量,j 是y 轴上的单位向量,那么j y i x a 11+=,j y i x b 22+=所以))((2211j y i x j y i x b a ++=⋅2211221221j y y j i y x j i y x i x x +⋅+⋅+=又1=⋅i i ,1=⋅j j ,0=⋅=⋅i j j i ,所以b a ⋅2121y y x x +=这就是说:两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.即b a ⋅2121y y x x +=8、平面内两点间的距离公式一、 设),(y x a =,则222||y x a +=或22||y x a +=.(2)如果表示向量a 的有向线段的起点和终点的坐标分别为),(11y x 、),(22y x ,那么221221)()(||y y x x a -+-=(平面内两点间的距离公式)二、 向量垂直的判定设),(11y x a =,),(22y x b =,则b a ⊥ ⇔02121=+y y x x三、 两向量夹角的余弦(πθ≤≤0)co s θ =||||b a b a ⋅⋅222221212121y x y x y y x x +++=二、典型例题精选例1、 已知|a |=6, |b |=4, a 与b 的夹角为60o 求(a+2b)·(a -3b).例2、 已知|a |=3, |b |=4, 且a 与b 不共线,k 为何值时,向量a+kb 与a-kb 互相垂直.例3 、判断正误,并简要说明理由.①a·0=0;②0·a=0;③0-AB =BA ;④|a·b|=|a||b|;⑤若a≠0,则对任一非零b有a·b≠0;⑥a·b=0,则a与b中至少有一个为0;⑦对任意向量a,b,с都有(a·b)с=a(b·с);⑧a与b是两个单位向量,则a2=b2.例4、 已知a 、b 都是非零向量,且a + 3b 与7a - 5b 垂直,a - 4b 与7a - 2b 垂直,求a 与b 的夹角.例5、求证:平行四边形两条对角线平方和等于四条边的平方和.证明:如图:平行四边形ABCD 中,DC AB =,BC AD =,AC =+∴||2=AD AB AD AB AD AB ⋅++=+2||222 而=- ,∴||2=⋅-+=-2||222 ∴|AC |2 + |BD |2 = 2222AD AB += 2222||||||||+++例6、 四边形ABCD 中,=a,=b,=с,=d,且a·b=b·с=с·d=d·a,试问四边形ABCD 是什么图形?分析:四边形的形状由边角关系确定,关键是由题设条件演变、推算该四边形的边角量.解:四边形ABCD 是矩形,这是因为:一方面:∵a+b+с+d=0,∴a+b=-(с+d),∴(a+b)2=(с+d)2即|a|2+2a·b+|b|2=|с|2+2с·d+|d|2由于a·b=с·d,∴|a|2+|b|2=|с|2+|d|2①同理有|a|2+|d|2=|с|2+|b|2②由①②可得|a|=|с|,且|b|=|d|即四边形ABCD 两组对边分别相等.∴四边形ABCD 是平行四边形另一方面,由a·b=b·с,有b(a-с)=0,而由平行四边形ABCD 可得a=-с,代入上式得b·(2a)=0,即a·b=0,∴a⊥b也即AB ⊥BC .综上所述,四边形ABCD 是矩形.评述:(1)在四边形中,AB ,BC ,CD ,DA 是顺次首尾相接向量,则其和向量是零向量,即a+b+с+d=0,应注意这一隐含条件应用;(2)由已知条件产生数量积的关键是构造数量积,因为数量积的定义式中含有边、角两种关系.例7、已知a =(1,3),b =(3+1,3-1),则a 与b 的夹角是多少?例8、如图,以原点和A (5, 2)为顶点作等腰直角△OAB ,使∠B = 90︒,求点B 和向量AB 的坐标.解:设B 点坐标(x , y ),则= (x , y ),AB = (x -5, y -2) ∵⊥ ∴x (x -5) + y (y -2) = 0即:x 2 + y 2-5x - 2y = 0 又∵|| = || ∴x 2 + y 2 = (x -5)2 + (y -2)2即:10x + 4y = 29 由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧==-==⇒⎩⎨⎧=+=--+2723232729410025221122y x y x y x y x y x 或 ∴B 点坐标)23,27(-或)27,23(;=)27,23(--或)23,27(-例9、对于任意非零向量a 与b ,求证:||a |-|b ||≤|a ±b |≤|a |+|b |证明:(1)两个非零向量a 与b 不共线时,a +b 的方向与a ,b 的方向都不同,并且|a |-|b |<|a ±b |<||+||(2)两个非零向量与共线时,①与同向,则+的方向与.相同且|+|=||+||.②与异向时,则+的方向与模较大的向量方向相同,设||>||,则|+|=||-||.同理可证另一种情况也成立。
人教A版高中数学必修4第二章 平面向量2.4 平面向量的数量积习题(1)
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高中数学教案学案平面向量的数量积及其应用学习目标: 1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义.2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系.3.掌握数量积的坐标表达式,会进行平面向量数量积的运算.4.能运用数量积表示两个向量的夹角,会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.5.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题.6.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题.1.向量数量积的定义(1)向量数量积的定义:____________________________________________,其中|a |cos 〈a ,b 〉叫做向量a 在b 方向上的投影.(2)向量数量积的性质:①如果e 是单位向量,则a·e =e·a =__________________; ②非零向量a ,b ,a ⊥b ⇔________________; ③a·a =________________或|a |=________________; ④cos 〈a ,b 〉=________; ⑤|a·b |____|a||b |.2.向量数量积的运算律 (1)交换律:a·b =________; (2)分配律:(a +b )·c =________________; (3)数乘向量结合律:(λa )·b =________________. 3.向量数量积的坐标运算与度量公式(1)两个向量的数量积等于它们对应坐标乘积的和,即若a =(a 1,a 2),b =(b 1,b 2),则a·b =________________________;(2)设a =(a 1,a 2),b =(b 1,b 2),则a ⊥b ⇔________________________; (3)设向量a =(a 1,a 2),b =(b 1,b 2),则|a |=________________,cos 〈a ,b 〉=____________________________.(4)若A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则|AB →=________________________,所以|AB →|=_____________________.1.(2010·湖南)在Rt △ABC 中,∠C =90°,AC =4,则AB →·AC →等于 ( ) A .-16 B .-8 C .8 D .16 2.(2010·重庆)已知向量a ,b 满足a·b =0,|a |=1,|b |=2,则|2a -b |= ( ) A .0 B .2 2 C .4 D .8 3.(2011·福州月考)已知a =(1,0),b =(1,1),(a +λb )⊥b ,则λ等于 ( )A .-2B .2 C.12 D .-124.平面上有三个点A (-2,y ),B (0,2y ),C (x ,y ),若A B →⊥BC →,则动点C 的轨迹方程为________________.5.(2009·天津)若等边△ABC 的边长为M 满足CM →=16CB →+23CA →,则MA →·MB →=________.考点一 向量的模及夹角问题 例1 (2011·马鞍山月考)已知|a |=4,|b |=3,(2a -3b )·(2a +b )=61. (1)求a 与b 的夹角θ;(2)求|a +b |;(3)若AB →=a ,BC →=b ,求△ABC 的面积.举一反三1 (1)已知a ,b 是平面内两个互相垂直的单位向量,若向量c 满足(a -c )·(b -c )=0,则|c |的最大值是 ( )A .1B .2C. 2D.22(2)已知i ,j 为互相垂直的单位向量,a =i -2j ,b =i +λj ,且a 与b 的夹角为锐角,实数λ的取值范围为________.考点二 两向量的平行与垂直问题 例2 已知a =(cos α,sin α),b =(cos β,sin β),且k a +b 的长度是a -k b 的长度的3倍(k >0).(1)求证:a +b 与a -b 垂直; (2)用k 表示a ·b ; (3)求a ·b 的最小值以及此时a 与b 的夹角θ.举一反三2 (2009·江苏)设向量a =(4cos α,sin α),b =(sin β,4cos β),c =(cos β,-4sin β).(1)若a 与b -2c 垂直,求tan(α+β)的值; (2)求|b +c |的最大值;(3)若tan αtan β=16,求证:a ∥b .考点三 向量的数量积在三角函数中的应用例3 已知向量a =⎝⎛⎭⎫cos 32x ,sin 32x , b =⎝⎛⎭⎫cos x 2,-sin x 2,且x ∈⎣⎡⎦⎤-π3,π4. (1)求a·b 及|a +b |; (2)若f (x )=a·b -|a +b |,求f (x )的最大值和最小值.举一反三3 (2010·四川)已知△ABC 的面积S =12AB →·AC →·=3,且cos B =35,求cos C .1.一些常见的错误结论:(1)若|a |=|b |,则a =b ;(2)若a 2=b 2,则a =b ;(3)若a ∥b ,b ∥c ,则a ∥c ;(4)若a·b =0,则a =0或b =0;(5)|a·b |=|a |·|b |;(6)(a·b )c =a (b·c );(7)若a·b =a·c ,则b =c .以上结论都是错误的,应用时要注意.2.平面向量的坐标表示与向量表示的比较:(1)要证AB =CD ,可转化证明AB →2=CD →2或|AB →|=|CD →|.(2)要证两线段AB ∥CD ,只要证存在唯一实数λ≠0,使等式AB →=λCD →成立即可.(3)要证两线段AB ⊥CD ,只需证AB →·CD →=0.一、选择题(每小题5分,共25分) 1.(2010·重庆)若向量a =(3,m ),b =(2,-1),a·b =0,则实数m 的值为 ( )A .-32 B.32C .2D .62.已知非零向量a ,b ,若|a |=|b |=1,且a ⊥b ,又知(2a +3b )⊥(k a -4b ),则实数k 的值为 ( )A .-6B .-3C .3D .63.已知△ABC 中,AB →=a ,AC →=b ,a·b <0,S △ABC =154,|a |=3,|b |=5,则∠BAC 等于 ( )A .30°B .-150°C .150°D .30°或150° 4.(2010·湖南)若非零向量a ,b 满足|a |=|b |,(2a +b )·b =0,则a 与b 的夹角为 ( ) A .30° B .60° C .120° D .150° 5.已知a =(2,3),b =(-4,7),则a 在b 上的投影为 ( )A.135B.655C.65D.136.(2010·湖南长沙一中月考)设a =(cos 2α,sin α),b =(1,2sin α-1),α∈⎝⎛⎭⎫π2,π,若a·b =25,则sin α=________. 7.(2010·广东金山中学高三第二次月考)若|a |=1,|b |=2,c =a +b ,且c ⊥a ,则向量a 与b 的夹角为________.8.已知向量m =(1,1),向量n 与向量m 夹角为3π4,且m·n =-1,则向量n =__________________.三、解答题(共38分)9.(12分)已知OA →=(2,5),OB →=(3,1),OC →=(6,3),在线段OC 上是否存在点M ,使MA →⊥MB →,若存在,求出点M 的坐标;若不存在,请说明理由.10.(12分)(2011·杭州调研)已知向量a =(cos(-θ),sin(-θ)),b =(cos ⎝⎛⎭⎫π2-θ,sin ⎝⎛⎭⎫π2-θ). (1)求证:a ⊥b ;(2)若存在不等于0的实数k 和t ,使x =a +(t 2+3)b ,y =-k a +t b ,满足x ⊥y ,试求此时k +t 2t 的最小值.11.(14分)(2011·济南模拟)已知a =(1,2sin x ),b =⎝⎛⎭⎫2cos ⎝⎛⎭⎫x +π6,1,函数f (x )=a·b (x ∈R ).(1)求函数f (x )的单调递减区间;(2)若f (x )=85,求cos ⎝⎛⎭⎫2x -π3的值.答案1.(1)a·b =|a ||b |cos 〈a ,b 〉 (2)①|a |cos 〈a ,e 〉 ②a·b =0 ③|a |2 a·a ④a·b|a||b |⑤≤ 2.(1)b·a(2)a·c +b·c (3)λ(a ·b ) 3.(1)a 1b 1+a 2b 2 (2)a 1b 1+a 2b 2=0 (3)a 21+a 22 a 1b 1+a 2b 2a 21+a 22b 21+b 22(4)(x 2-x 1,y 2-y 1) (x 2-x 1)2+(y 2-y 1)22.B [|2a -b |=(2a -b )2=4a 2-4a·b +b 2=8=2 2.] 3.D [由(a +λb )·b =0得a·b +λ|b |2=0,∴1+2λ=0,∴λ=-12.]4.y 2=8x (x ≠0)解析 由题意得AB →=⎝⎛⎭⎫2,-y 2, BC →=⎝⎛⎭⎫x ,y 2,又AB →⊥BC →,∴AB →·BC →=0, 即⎝⎛⎭⎫2,-y 2·⎝⎛⎭⎫x ,y 2=0,化简得y 2=8x (x ≠0). 5.-2解析 合理建立直角坐标系,因为三角形是正三角形,故设C (0,0),A (23,0),B (3,3),这样利用向量关系式,求得MA →=⎝⎛⎭⎫32,-12,MB →=⎝⎛⎭⎫32,-12,MB →=⎝⎛⎭⎫-32,52,所以MA →·MB →=-2.课堂活动区例1 解 (1)∵(2a -3b )·(2a +b )=61, ∴4|a |2-4a·b -3|b |2=61. 又|a |=4,|b |=3,∴64-4a·b -27=61, ∴a·b =-6.∴cos θ=a·b|a||b |=-64×3=-12.又0≤θ≤π,∴θ=2π3.(2)|a +b |=(a +b )2 =|a |2+2a·b +|b |2=16+2×(-6)+9=13.(3)∵AB →与BC →的夹角θ=2π3,∴∠ABC =π-2π3=π3.又|AB →|=|a |=4,|BC →|=|b |=3,∴S △ABC =12|AB →||BC →|sin ∠ABC=12×4×3×32=3 3. 举一反三1 (1)C [∵|a |=|b |=1,a·b =0,展开(a -c )·(b -c )=0⇒|c |2=c·(a +b ) =|c |·|a +b |cos θ,∴|c |=|a +b |cos θ=2cos θ, ∴|c |的最大值是 2.](2)λ<12且λ≠-2解析 ∵〈a ,b 〉∈(0,π2),∴a ·b >0且a ·b 不同向.即|i |2-2λ|j |2>0,∴λ<12.当a ·b 同向时,由a =k b (k >0)得λ=-2.∴λ<12且λ≠-2.例2 解题思路 1.非零向量a ⊥b ⇔a ·b =0⇔x 1x 2+y 1y 2=0.2.当向量a 与b 是非坐标形式时,要把a 、b 用已知的不共线的向量表示.但要注意运算技巧,有时把向量都用坐标表示,并不一定都能够简化运算,要因题而异.解 (1)由题意得,|a |=|b |=1, ∴(a +b )·(a -b )=a 2-b 2=0, ∴a +b 与a -b 垂直. (2)|k a +b |2=k 2a 2+2k a ·b +b 2=k 2+2k a ·b +1, (3|a -k b |)2=3(1+k 2)-6k a ·b . 由条件知,k 2+2k a ·b +1=3(1+k 2)-6k a ·b ,从而有,a ·b =1+k24k(k >0).(3)由(2)知a ·b =1+k 24k =14(k +1k )≥12,当k =1k时,等号成立,即k =±1.∵k >0,∴k =1.此时cos θ=a ·b |a ||b |=12,而θ∈[0,π],∴θ=π3.故a ·b 的最小值为12,此时θ=π3.举一反三2 (1)解 因为a 与b -2c 垂直, 所以a ·(b -2c )=4cos αsin β-8cos αcos β+4sin αcos β+8sin αsin β =4sin(α+β)-8cos(α+β)=0. 因此tan(α+β)=2.(2)解 由b +c =(sin β+cos β,4cos β-4sin β), 得|b +c |=(sin β+cos β)2+(4cos β-4sin β)2 =17-15sin 2β≤4 2.又当β=-π4时,等号成立,所以|b +c |的最大值为4 2.(3)证明 由tan αtan β=16得4cos αsin β=sin α4cos β,所以a ∥b .例3 解题思路 与三角函数相结合考查向量的数量积的坐标运算及其应用是高考热点题型.解答此类问题,除了要熟练掌握向量数量积的坐标运算公式,向量模、夹角的坐标运算公式外,还应掌握三角恒等变换的相关知识.解 (1)a·b =cos 32x cos x 2-sin 32x sin x2=cos 2x ,|a +b |=⎝⎛⎭⎫cos 32x +cos x 22+⎝⎛⎭⎫sin 32x -sin x 22 =2+2cos 2x =2|cos x |,∵x ∈⎣⎡⎦⎤-π3,π4,∴cos x >0, ∴|a +b |=2cos x .(2)f (x )=cos 2x -2cos x =2cos 2x -2cos x -1=2⎝⎛⎭⎫cos x -122-32. ∵x ∈⎣⎡⎦⎤-π3,π4,∴12≤cos x ≤1, ∴当cos x =12时,f (x )取得最小值-32;当cos x =1时,f (x )取得最大值-1.举一反三3 解 由题意,设△ABC 的角B 、C 的对边分别为b 、c ,则S =12bc sin A =12.AB →·AC →=bc cos A =3>0,∴A ∈⎝⎛⎭⎫0,π2,cos A =3sin A . 又sin 2A +cos 2A =1,∴sin A =1010,cos A =31010.由题意cos B =35,得sin B =45.∴cos(A +B )=cos A cos B -sin A sin B =1010.∴cos C =cos [π-(A +B )]=-1010.课后练习区 1.D [因为a·b =6-m =0,所以m =6.] 2.D [由(2a +3b )·(k a -4b )=0得2k -12=0,∴k =6.]3.C [∵S △ABC =12|a ||b |sin ∠BAC =154,∴sin ∠BAC =12.又a·b <0,∴∠BAC 为钝角.∴∠BAC =150°.] 4.C [由(2a +b )·b =0,得2a·b =-|b |2.cos 〈a ,b 〉=a·b|a||b |=-12|b |2|b |2=-12. ∵〈a ,b 〉∈[0°,180°],∴〈a ,b 〉=120°.] 5.B [因为a·b =|a|·|b |·cos 〈a ,b 〉, 所以,a 在b 上的投影为|a |·cos 〈a ,b 〉=a·b |b |=21-842+72=1365=655.] 6.35解析 ∵a·b =cos 2α+2sin 2α-sin α=25,∴1-2sin 2α+2sin 2α-sin α=25,∴sin α=35.7.120°解析 设a 与b 的夹角为θ,∵c =a +b ,c ⊥a , ∴c·a =0,即(a +b )·a =0.∴a 2+a·b =0. 又|a |=1,|b |=2,∴1+2cos θ=0.∴cos θ=-12,θ∈[0°,180°]即θ=120°.8.(-1,0)或(0,-1)解析 设n =(x ,y ),由m·n =-1, 有x +y =-1.①由m 与n 夹角为3π4,有m·n =|m|·|n |cos 3π4,∴|n |=1,则x 2+y 2=1.②由①②解得⎩⎪⎨⎪⎧ x =-1y =0或⎩⎪⎨⎪⎧x =0y =-1,∴n =(-1,0)或n =(0,-1).9.解 设存在点M ,且OM →=λOC →=(6λ,3λ) (0≤λ≤1), MA →=(2-6λ,5-3λ),MB →=(3-6λ,1-3λ).…………………………………………(4分) ∵MA →⊥MB →,∴(2-6λ)(3-6λ)+(5-3λ)(1-3λ)=0,………………………………………………(8分)即45λ2-48λ+11=0,解得λ=13或λ=1115.∴M 点坐标为(2,1)或⎝⎛⎭⎫225,115.故在线段OC 上存在点M ,使MA →⊥MB →,且点M 的坐标为(2,1)或(225,115).………(12分)10.(1)证明 ∵a·b =cos(-θ)·cos ⎝⎛⎭⎫π2-θ+sin ()-θ·sin ⎝⎛⎭⎫π2-θ =sin θcos θ-sin θcos θ=0.∴a ⊥b .……………………………………………………(4分) (2)解 由x ⊥y 得,x·y =0,即[a +(t 2+3)b ]·(-k a +t b )=0, ∴-k a 2+(t 3+3t )b 2+[t -k (t 2+3)]a·b =0,∴-k |a |2+(t 3+3t )|b |2=0.………………………………………………………………(6分) 又|a |2=1,|b |2=1,∴-k +t 3+3t =0,∴k =t 3+3t .…………………………………………………………(8分) ∴k +t 2t =t 3+t 2+3t t =t 2+t +3=⎝⎛⎭⎫t +122+114.……………………………………………………………………………(10分) 故当t =-12时,k +t 2t 有最小值114.………………………………………………………(12分)11.解 (1)f (x )=a·b =2cos ⎝⎛⎭⎫x +π6+2sin x =2cos x cos π6-2sin x sin π6+2sin x=3cos x +sin x =2sin ⎝⎛⎭⎫x +π3.…………………………………………………………(5分) 由π2+2k π≤x +π3≤3π2+2k π,k ∈Z , 得π6+2k π≤x ≤7π6+2k π,k ∈Z . 所以f (x )的单调递减区间是⎣⎡⎦⎤π6+2k π,7π6+2k π (k ∈Z ).……………………………………………………………(8分)(2)由(1)知f (x )=2sin ⎝⎛⎭⎫x +π3. 又因为2sin ⎝⎛⎭⎫x +π3=85, 所以sin ⎝⎛⎭⎫x +π3=45,……………………………………………………………………(11分) 即sin ⎝⎛⎭⎫x +π3=cos ⎝⎛⎭⎫π6-x =cos ⎝⎛⎭⎫x -π6=45. 所以cos ⎝⎛⎭⎫2x -π3=2cos 2⎝⎛⎭⎫x -π6-1=725.………………………………………………(14分)。
人教版高二必修四数学第二章平面向量试题
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以下是为⼤家整理的关于《⼈教版⾼⼆必修四数学第⼆章平⾯向量试题》的⽂章,供⼤家学习参考!第四部分练习与试卷2.1 平⾯向量的概念及其线性运算(练习)【练习⽬标】1、理解平⾯向量和向量相等的含义,理解向量的⼏何表⽰;2、掌握向量加、减法的运算,并理解其⼏何意义;3、掌握向量数乘的运算,并理解其⼏何意义,以及两个向量共线的含义;4、了解向量线性运算的性质及其⼏何意义。
【⾃我测试】1、下列命题中(1)与⽅向相同(2)与⽅向相反(3)与有相等的模(4)若与垂直其中真命题的个数是 ( )A、0B、1C、2D、32、已知AD、BE是 ABC的边BC、AC上的中线,且,,则为 ( )A、 B、 C、 D、3、O是平⾯上⼀定点,A、B、C是平⾯上不共线的三个点,动点P满⾜,则P的轨迹⼀定经过 ABC的( )A、外⼼B、内⼼C、垂⼼D、重⼼4、若⾮零向量、满⾜| + |=| — |,则与所成⾓的⼤⼩为_________________。
5、已知点M是 ABC的重⼼,若,求的值。
6、 ABC的外接圆的圆⼼为O,两条边上的⾼的交点为H,,求实数的值。
2.2 平⾯向量的坐标运算【练习⽬标】1、知识与技能:了解平⾯向量的基本定理及其意义、掌握平⾯向量的正交分解及其坐标表⽰;理解⽤坐标表⽰的平⾯向量共线的条件。
2、能⼒⽬标:会⽤坐标表⽰平⾯向量的加、减与数乘运算;3、情感⽬标:通过对平⾯向量的基本定理来理解坐标,实现从图形到坐标的转换过程,锻炼学⽣的转化能⼒。
【⾃我测试】1、下列命题正确的是()A、 B、C、 D、2、已知正⽅形ABCD的边长为1,,则 = ()A、0B、3C、D、3、已知,则共线的条件是()A、 B、 C、 D、或4、如图,在中D、E、F分别是AB、BC、CA的中点,则()A、 B、 C、 D、5、若,则实数p、q的值为()A、 B、 C、 D、6、已知A、B、C是坐标平⾯上的三点,其坐标分别为A(1,2),B(4,1),C(0,-1),则是()A、等腰三⾓形B、等腰直⾓三⾓形C、直⾓三⾓形D、以上都不对2.3 平⾯向量的数量积及其运算【学习⽬标】1.知识与技能:(1)理解向量数量积的定义与性质;(2)理解⼀个向量在另⼀个向量上的投影的定义;(3)掌握向量数量积的运算律;(4)理解两个向量的夹⾓定义;【⾃我测试】1、已知,,和的夹⾓为,则为()A. B. C. D.2、已知向量,,若,则()A. B. C. D.3、在△ABC中,a,b,c分别为三个内⾓A,B,C所对的边,设向量,若 ,则⾓A的⼤⼩为()A. B. C. D.4、设是任意的⾮零平⾯向量,且它们相互不共线,下列命题:①②③不与垂直④其中正确的是()A.①②B.②③C.③④D.②④5、若向量与的夹⾓为,,则向量的模为()A. B. C. D.6、为锐⾓三⾓形的充要条件是()A. B.C. D.7、设是两个⾮零向量,是在的⽅向上的投影,⽽是在的⽅向上的投影,若与的夹⾓为钝⾓,则()A. B. C. D.8、在中,若且,则的形状是()A.等边三⾓形 B.直⾓三⾓形 C.等腰⾮等边三⾓形 D.三边均不相等的三⾓形9、若,则与的夹⾓为; = .10、已知, ,如果与的夹⾓为锐⾓,则的取值范围是11、 = 时,与垂直12、设向量其中,则的值是.13、已知向量与的夹⾓为,,则 = .14、已知,⑴求与的夹⾓;⑵求;⑶若,,求的⾯积.15、已知向量且.⑴求及;⑵若的最⼩值是,求的值.2.4平⾯向量的应⽤【学习⽬标】1.经历⽤向量⽅法解决某些简单的平⾯⼏何问题、⼒学问题与其他⼀些实际问题的过程,体会向量是⼀种处理⼏何问题、物理问题等的⼯具,发展运算能⼒2.运⽤向量的有关知识对物理中的问题进⾏相关分析和计算,并在这个过程中培养学⽣探究问题和解决问题的能⼒1.在△ABC中,AB=a,AC=b,当a•b <0时,△ABC为()A.直⾓三⾓形B.锐⾓三⾓形C.钝⾓三⾓形D.等腰三⾓形2.若向量a、b、c满⾜a +b+c=0,|a|=3,|b|=1,|c|=4,则a b+b c+c a等于()A. 11 B. 12 C. 13 D. 143.已知点,则∠BAC 的余弦值为.4.已知,且a 与b的夹⾓为钝⾓,则x的取值范围是.5.的顶点为,重⼼.求:(1)边上的中线长;(2)边上的⾼的长.6.已知O为△ABC所在平⾯内的⼀点,且满⾜,试判断△ABC的形状.7.已知,设C是直线OP上的⼀点,其中O为坐标原点.(1)求使取得最⼩值时向量的坐标;(2)当点C满⾜(1)时,求cos∠ACB.8、已知O为△ABC所在平⾯内的⼀点,且满⾜,试判断△ABC的形状.9、已知,设C是直线OP上的⼀点,其中O为坐标原点.(1)求使取得最⼩值时向量的坐标;(2)当点C满⾜(1)时,求cos∠ACB.平⾯向量测试卷命题⼈:蓝承⼀、选择题:本⼤题共8⼩题,每⼩题4分,共32分.在每⼩题给出的四个选项中,只有⼀项是符合题⽬要求的.1、设向量,,则下列结论中正确的是()A、 B、C、与垂直D、∥2、在平⾏四边形ABCD中,AC为⼀条对⾓线,若, ,则()A.(3,5) B.(2,4) C、(-2,-4) D.(-3,-5)3、义平⾯向量之间的⼀种运算“ ”如下,对任意的,,令,下⾯说法错误的是()A.若与共线,则B.C.对任意的,有D.4、已知向量a,b满⾜a•b=0,|a|=1,|b|=2,则|2a-b|=()A、8B、4C、2D、05、在中,,.若点满⾜,则()A. B. C. D.6、设点M是线段BC的中点,点A在直线BC外,则()A、8B、4C、 2D、17、中,点在上,平⽅.若,,,,则()A、 B、 C、 D 、8、已知和点满⾜ .若存在实数使得成⽴,则 =()A. 2 B. 3 C. 4 D. 5⼆、填空题:本⼤题共4⼩题,每⼩题4分,共16分.把答案填在答题卡的相应位置.9、如图,在中,,,则 = 。
(典型题)高中数学必修四第二章《平面向量》检测卷(答案解析)
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一、选择题1.已知向量a 、b 满足||||2a b a b ==⋅=,若,,1x y R x y ∈+=,则1|(1)|2x a xb ya y b ⎛⎫-+++- ⎪⎝⎭的最小值为( ) A .1 B .3 C .7 D .32.如图,在ABC 中,AD AB ⊥,2AD =,3DC BD =,则AC AD ⋅的值为( )A .3B .8C .12D .16 3.已知ABC 中,2AB AC ==,120CAB ∠=,若P 是其内一点,则AP AB ⋅的取值范围是( )A .(4,2)--B .(2,0)-C .(2,4)-D .(0,2)4.若向量a ,b 满足|a 10 ,b =(﹣2,1),a •b =5,则a 与b 的夹角为( ) A .90° B .60° C .45° D .30°5.已知正方形ABCD 的边长为2,EF 为该正方形内切圆的直径,P 在ABCD 的四边上运动,则PE PF ⋅的最大值为( )A 2B .1C .2D .226.已知ABC ,若对任意m R ∈,BC mBA CA -≥恒成立,则ABC 为( ) A .锐角三角形 B .钝角三角形 C .直角三角形 D .不确定 7.已知向量()a 1,2=,()b x,2=-,且a b ⊥,则a b +等于( ).A 5B .5C .42D 31 8.ABC 是边长为1的等边三角形,CD 为边AB 的高,点P 在射线CD 上,则AP CP ⋅的最小值为( )A .18- B .116- C .316- D .09.已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ,准线为l ,P 是l 上一点,Q 是直线PF 与C 的一个交点,若2FP QF =,则||QF =( )A .8B .4C .6D .310.已知ABC 的内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,向量(,)m a b b c =++,(,)n c b a =-,若//m n ,则C =( )A .56πB .23πC .3πD .6π 11.如图所示,在ABC 中,点D 在线段BC 上,且3BD DC =,若AD AB AC λμ=+,则λμ=( )A .12B .13C .2D .23 12.已知平面上的非零..向量a ,b ,c ,下列说法中正确的是( ) ①若//a b ,//b c ,则//a c ;②若2a b =,则2a b =±;③若23x y a b a b +=+,则2x =,3y =;④若//a b ,则一定存在唯一的实数λ,使得a b λ=.A .①③B .①④C .②③D .②④二、填空题13.已知ABC ,点P 是平面上任意一点,且AP AB AC λμ=+(,λμ∈R ),给出以下命题:①若1AB λ=,1AC μ=,则P 为ABC 的内心;②若1λμ==,则直线AP 经过ABC 的重心;③若1λμ+=,且0μ>,则点P 在线段BC 上;④若1λμ+>,则点P 在ABC 外; ⑤若01λμ<+<,则点P 在ABC 内.其中真命题为______14.已知平面向量,,a b c 满足()()||2,||2||a c b c a b a b -⋅-=-==.则c 的最大值是________.15.圆O 为△ABC 的外接圆,半径为2,若2AB AC AO +=,且OA AC =,则向量BA 在向量BC 方向上的投影为_____.16.已知正方形ABCD 的边长为4,若3BP PD =,则PA PB ⋅的值为_________________. 17.已知腰长为2的等腰直角△ABC 中,M 为斜边AB 的中点,点P 为该平面内一动点,若2PC =,则()()4PA PB PC PM ⋅+⋅⋅的最小值 ________.18.已知平面向量2a =,3b =,4c =,4d =,0a b c d +++=,则()()a b b c +⋅+=______. 19.在矩形ABCD 中,2AB =,1AD =,动点P 满足||1AP =,设向量AP AB AD λμ=+,则λμ+的取值范围为____________.20.在ABC △中,已知4CA =,3CP =,23ACB π∠=,点P 是边AB 的中点,则CP CA ⋅的值为_____.三、解答题21.已知ABC 中C ∠是直角,CA CB =,点D 是CB 的中点,E 为AB 上一点.(1)设CA a =,CD b =,当12AE AB =,请用a ,b 来表示AB ,CE . (2)当2AE EB =时,求证:AD CE ⊥.22.已知a ,b ,c 在同一平面内,且()1,2a =.(1)若35c =,且//a c ,求c ;(2)若2b =,且()()2a b a b +⊥-,求a 与b 的夹角的余弦值. 23.已知()()1,,3,2a m b ==-.(1)若()a b b +⊥,求m 的值;(2)若·1a b =-,求向量b 在向量a 方向上的投影.24.已知单位向量1e ,2e 的夹角为60︒,向量12a e e =+,21b e te =-,t R ∈. (1)若//a b ,求t 的值;(2)若2t =,求向量a ,b 的夹角.25.已知单位向量1e ,2e ,的夹角为23π,向量12a e e λ=-,向量1223b e e =+. (1)若//a b ,求λ的值;(2)若a b ⊥,求||a .26.已知△ABC 中,角A 、B 、C 的对边为a ,b ,c ,向量m (2cos sin )2C C =-,, n =(cos2sin )2C C ,,且m n ⊥. (1)求角C ; (2)若22212a b c =+,试求sin()A B -的值【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除一、选择题1.C解析:C【分析】利用已知条件求出向量a 、b 的夹角,建立直角坐标系把所求问题转化为解析几何问题.【详解】设a 、b 所成角为θ,由||||2==a b ,2a b, 则1cos 2θ=,因为0θπ≤≤ 所以3πθ=, 记a OA =,b OB =,以OA 所在的直线为x 轴,以过O 点垂直于OA 的直线为y 轴,建立平面直角坐标系,则()2,0A ,(B ,所以()2,0a OA ==,(1,b OB ==,()(1)2x a xb x -+=-,所以((1)2x a xb x -+=-=,表示点()P x 与点()2,0A 两点间的距离,由,,1x y R x y ∈+=113222ya y b y x ⎛⎫⎛⎛⎫+-=+=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭, 所以1322ya y b x ⎛⎫⎛+-=- ⎪ ⎝⎭,表示点()P x 与点3,22Q ⎛ ⎝⎭两点间的距离, ∴1|(1)|2x a xb ya y b ⎛⎫-+++- ⎪⎝⎭的最小值转化为 P 到,A Q 两点的距离和最小,()P x 在直线y =上, ()2,0A 关于直线y =的对称点为(R -,PQ PA ∴+的最小值为QR == 故选:C【点睛】关键点点睛:本题考查了向量模的坐标运算以及模转化为两点之间距离的转化思想,解题的关键是将向量的模转化为点()P x 到()2,0A 、32Q ⎛ ⎝⎭两点间的距离,考查了运算求解能力. 2.D解析:D【分析】利用AB 、AD 表示向量AC ,再利用平面向量数量积的运算性质可求得AC AD ⋅的值.【详解】()3343AC AD DC AD BD AD AD AB AD AB =+=+=+-=-, AD AB ⊥,则0⋅=AD AB ,所以,()224344216AC AD AD AB AD AD ⋅=-⋅==⨯=.【点睛】方法点睛:求两个向量的数量积有三种方法:(1)利用定义:(2)利用向量的坐标运算;(3)利用数量积的几何意义.具体应用时可根据已知条件的特征来选择,同时要注意数量积运算律的应用.3.C解析:C【分析】以A 为坐标原点,以过点A 垂直于BC 的直线为y 轴,建立平面直角坐标系,求出()3,1B --,()3,1C -,设(),P x y ,因为点P 是其内一点,所以3x 3-<<,10y -<<,计算3AP AB x y ⋅=--得最值,即可求解.【详解】建立如图所示的空间直角坐标系:则()0,0A ,因为120CAB ∠=,所以30ABC ACB ∠=∠=,可得2cos303= ,2sin301,所以()3,1B -- ,()3,1C -, 设(),P x y ,因为点P 是其内一点,所以33,10x y <<-<<,()(),3,13AP AB x y x y ⋅=⋅--=--, 当3x =1y =-时AP AB ⋅最大为((()3314-⨯--=,当3,1x y ==-时AP AB ⋅最小为(()3312--=-, 所以AP AB ⋅的取值范围是(2,4)-,故选:C【点睛】关键点点睛:本题解题的关键点是建立直角坐标系,将数量积利用坐标表示,根据点(),P x y 是其内一点,可求出,x y 的范围,可求最值.4.C【详解】 由题意可得22(2)15b =-+=,所以2cos ,52a b a b a b ⋅===⋅,又因为,[0,180]<>∈a b ,所以,45<>=a b ,选C.5.B解析:B【分析】作出图形,利用平面向量的线性运算以及数量积的运算性质可得出21P OP E PF =⋅-,求得OP 的最大值,由此可求得PE PF ⋅的最大值.【详解】如下图所示:由题可知正方形ABCD 的内切圆的半径为1,设该内切圆的圆心为O ,()()()()2221PE PF OE OP OF OP OP OE OP OE OP OE OP ⋅=-⋅-=-+⋅--=-=-,由图象可知,当点P 为ABCD 的顶点时,2OP 取得最大值2,所以PE PF ⋅的最大值为1.故选:B.【点睛】本题考查平面向量数量积最值的计算,考查计算能力,属于中等题.6.C解析:C【分析】在直线AB 上取一点D ,根据向量减法运算可得到DC CA ≥,由垂线段最短可确定结论.【详解】在直线AB 上取一点D ,使得mBA BD =,则BC mBA BC BD DC -=-=,DC CA ∴≥.对于任意m R ∈,都有不等式成立,由垂线段最短可知:AC AD ⊥,即AC AB ⊥, ABC ∴为直角三角形.故选:C .【点睛】本题考查与平面向量结合的三角形形状的判断,关键是能够利用平面向量数乘运算和减法运算的几何意义准确化简不等式.7.B解析:B【分析】由向量垂直可得0a b ⋅=,求得x ,及向量b 的坐标表示,再利用向量加法的坐标运算和向量模的坐标运算可求得模.【详解】 由a b ⊥,可得0a b ⋅=,代入坐标运算可得x-4=0,解得x=4,所以a b + ()5,0=,得a b +=5,选B. 【点睛】求向量的模的方法:一是利用坐标()22,a x y a x y =⇒=+,二是利用性质2a a =,结合向量数量积求解.8.C解析:C【分析】建立平面直角坐标系,()0,P t ,t ≤,则 223(2416⋅=-=--AP CP t t ,进而可求最小值.【详解】以D 点为坐标原点,DC 所在直线为y 轴,DA 所在直线为x 轴建立直角坐标系,1(,0)2A ,1(,0)2B -,(0,2C ,设()0,P t ,其中2t ≤1(,)2AP t =-,(0,CP t ==,223(16⋅==-AP CP t t ,当t =时取最小值为316-,所以AP CP ⋅的最小值为316-. 故选:C【点睛】本题考查了平面向量的数量积运算,用坐标法求最值问题,考查了运算求解能力,属于一般题目.9.D解析:D【分析】设点()1,P t -、(),Q x y ,由2FP QF =,可计算出点Q 的横坐标x 的值,再利用抛物线的定义可求出QF .【详解】设点()1,P t -、(),Q x y ,易知点()1,0F ,()2,FP t =-,()1,QF x y =--,()212x ∴-=-,解得2x =,因此,13QF x =+=,故选D.【点睛】本题考查抛物线的定义,解题的关键在于利用向量共线求出相应点的坐标,考查计算能力,属于中等题.10.B解析:B【分析】由//m n ,可得()()()0a b a c b b c +⨯--⨯+=.结合余弦定理,可求角C .【详解】(,),(,)m a b b c n c b a =++=-,且//m n ,()()()0a b a c b b c ∴+⨯--⨯+=,整理得222c a b ab =++. 又22212cos ,cos 2c a b ab C C =+-∴=-. ()20,,3C C ππ∈∴=. 故选:B.【点睛】本题考查向量共线的坐标表示和余弦定理,属于基础题.11.B解析:B【分析】 由向量的运算法则,化简得1344AD AB AC =+,再由AD AB AC λμ=+,即可求得,λμ 的值,即可求解.【详解】由向量的运算法则,可得34=+=+AD AB BD AB BC 313()444AB AC AB AB AC =+-=+, 因为AD AB AC λμ=+,所以13,44λμ==,从而求得13λμ=, 故选:B .【点睛】该题考查的是有关向量的基本定理,在解题的过程中,需要利用向量直角的关系,结合三角形法则,即可求得结果,属于基础题. 12.B解析:B 【分析】根据向量共线定理判断①④,由模长关系只能说明向量a ,b 的长度关系判断②,举反例判断③.【详解】对于①,由向量共线定理可知,//a b ,则存在唯一的实数1λ,使得1λa b ,//b c ,则存在唯一的实数2λ,使得2λb c ,由此得出存在唯一的实数12λλ⋅,使得12a c λλ=⋅,即//a c ,则①正确;对于②,模长关系只能说明向量a ,b 的长度关系,与方向无关,则②错误; 对于③,当a b =时,由题意可得()5x y a a +=,则5x y +=,不能说明2x =,3y =,则③错误;由向量共线定理可知,④正确;故选:B.【点睛】本题主要考查了向量共线定理以及向量的定义,属于中档题.二、填空题13.②④【分析】①可得在的角平分线上但不一定是内心;②可得在BC 边中线的延长线上;③利用向量线性运算得出可判断;④得出根据向量加法的平行四边形法则可判断;⑤令可判断【详解】①若则因为是和同向的单位向量则解析:②④【分析】①可得P 在BAC ∠的角平分线上,但不一定是内心;②可得P 在BC 边中线的延长线上;③利用向量线性运算得出=BP BC μ可判断;④得出()1CP CB AC λλμ=++-,根据向量加法的平行四边形法则可判断;⑤令1132=λμ=-,可判断.【详解】 ①若1ABλ=,1ACμ=,则AB AC AP ABAC=+,因为,AB AC ABAC是和,AB AC 同向的单位向量,则P 在BAC ∠的角平分线上,但不一定是内心,故①错误;②若1λμ==,则AP AB AC =+,则根据平行四边形法则可得,P 在BC 边中线的延长线上,故直线AP 经过ABC 的重心,故②正确;③若1λμ+=,且0μ>,则()1=AP AB AC AB AB AC μμμμ=-+-+,即()==AP AB AB AC AC AB μμμ--+-,即=BP BC μ,则点P 在线段BC 上或BC 的延长线上,故③错误;④若1λμ+>,()()11AP AB AC AC λλλμ=+-++-,整理可得()1CP CB AC λλμ=++-,10λμ+->,根据向量加法的平行四边形法则可判断点P 在ABC 外,故④正确;⑤若01λμ<+<,则令1132=λμ=-,,则1132AP AB AC =-+,则根据向量加法的平行四边形法则可判断点P 在ABC 外,故⑤错误. 故答案为:②④. 【点睛】本题考查向量基本定理的应用,解题的关键是正确利用向量的线性运算进行判断,合理的进行转化,清楚向量加法的平行四边形法则.14.【分析】设根据得到取中点为D 又由中点坐标得到再由得到的范围然后由求解【详解】设如图所示:因为所以取中点为D 因为所以解得所以所以点C 是以D 为圆心半径为的圆上运动又因为所以当AOB 共线时取等号所以所以【解析:3【分析】设,,OA a OB b OC c ===,根据||2,||2||a b a b -==,得到||2,||2||AB OA OB ==,取AB 中点为D ,又()()2a c b c CA CB -⋅-=⋅=,由中点坐标得到CD ==⎭2OA OB AB -≤=,得到||OA OD ⎛= 范围,然后由||||||||3c OC OD DC OD =≤+≤+.【详解】设,,OA a OB b OC c ===, 如图所示:因为||2,||2||a b a b -==, 所以||2,||2||AB OA OB ==, 取AB 中点为D ,因为()()2a c b c CA CB -⋅-=⋅=,所以2222||||24AB CB CA CB CA CB CA =-=+-⋅=, 解得228CB CA +=,所以22212322CB CA CD CB CA CB CA ⎛⎫+==++⋅= ⎪⎝⎭所以点C 是以D 3的圆上运动, 又因为2OA OB AB -≤=,所以2OB ≤,当A ,O ,B 共线时,取等号,所以2221||222OA OB OD OB OA OB OA ⎛⎫+==++⋅ ⎪⎝⎭, ()222112104322OB OA AB OB =+-=-≤, 所以||||||||333c OC OD DC OD =≤+≤+≤. 【点睛】关键点点睛:平面向量的中点坐标公式的两次应用:一是22CB CA CD ⎛⎫+= ⎪⎝⎭||2,||2||AB OA OB ==求得定值,得到点C 是以D 为圆心的圆上,实现数形结合;二是||2OA OD ⎛= ⎝⎭2OA OB AB -≤=确定范围,然后由||||||c OC OD DC =≤+求解.15.3【分析】根据向量关系即可确定的形状再根据向量投影的计算公式即可求得结果【详解】因为圆O 为△ABC 的外接圆半径为2若故可得是以角为直角的直角三角形又因为且外接圆半径是故可得则故向量在向量方向上的投影解析:3 【分析】根据向量关系,即可确定ABC 的形状,再根据向量投影的计算公式,即可求得结果.【详解】因为圆O 为△ABC 的外接圆,半径为2,若2AB AC AO +=, 故可得ABC 是以角A 为直角的直角三角形.又因为OA AC =,且外接圆半径是2, 故可得224BC OA AC ===,则AB =,AB cos ABC BC ∠==,故向量BA 在向量BC 方向上的投影为32AB cos ABC ⨯∠==. 故答案为:3. 【点睛】本题考查向量数量积的几何意义,属中档题.16.6【分析】建立平面直角坐标系求得点P 的坐标进而得到的坐标再利用数量积的坐标运算求解【详解】如图所示建立平面直角坐标系:则设因为解得所以所以所以故答案为:【点睛】本题主要考查平面向量的坐标表示和数量积解析:6 【分析】建立平面直角坐标系,求得点P 的坐标,进而得到,PA PB 的坐标,再利用数量积的坐标运算求解. 【详解】如图所示建立平面直角坐标系:则()()()()04,00,40,44A B C D ,,,,,设(),P x y ,()(),,4,4BP x y PD x y ==--, 因为3BP PD =,()()3434x x y y ⎧=⨯-⎪⎨=⨯-⎪⎩,解得33x y =⎧⎨=⎩,所以()3,3P ,所以()()3,1,3,3PA PB =-=--, 所以()()()33136PA PB ⋅=-⨯-+⨯-=, 故答案为:6. 【点睛】本题主要考查平面向量的坐标表示和数量积运算,还考查了运算求解的能力,属于中档题.17.【详解】如图建立平面直角坐标系∴当sin 时得到最小值为故选 解析:48322-【详解】如图建立平面直角坐标系,()((P 2cos θ2sin θA 22B22M 02-,,,,,,,∴()()((42cos θ2θ22cos θ2θ24PA PB PC PM ⎡⎤⋅+⋅=+⋅-++⎣⎦,,()(22cos θ2sin θ2cos θ2sin θ216sin θ322sin θ32⎡⎤⋅+=++⎣⎦,,, 当sin θ1=-时,得到最小值为48322-48322-18.【分析】根据得到然后两边平方结合求得再由求解即可【详解】因为所以所以所以因为所以故答案为:【点睛】本题主要考查平面向量的数量积运算还考查了运算求解的能力属于中档题解析:52【分析】根据0a b c d +++=,得到++=-a b c d ,然后两边平方结合2a =,3b =,4c =,4d =,求得⋅+⋅+⋅a b a c b c ,再由()()a b b c +⋅+=2⋅+⋅+⋅+a b a c b c b 求解即可. 【详解】因为0a b c d +++=, 所以++=-a b c d ,所以()()22++=-a b cd ,所以()()()()2222222+++⋅+⋅+⋅=-a b c a b a c b c d ,因为2a =,3b =,4c =,4d =, 所以132⋅+⋅+⋅=-a b a c b c , ()()a b b c +⋅+=252⋅+⋅+⋅+=a b a c b c b . 故答案为:52【点睛】本题主要考查平面向量的数量积运算,还考查了运算求解的能力,属于中档题.19.【分析】由已知得应用向量的运算律求出关系利用三角换元结合正弦函数的有界性即可求解【详解】在矩形中令其中最小值最大值分别为的取值范围为故答案为:【点睛】本题考查向量的模长以及向量的数量积运算解题的关键解析:⎡⎢⎣⎦. 【分析】由已知得2||1AP =,应用向量的运算律,求出,λμ关系,利用三角换元结合正弦函数的有界性,即可求解. 【详解】在矩形ABCD 中,,0AB AD AB AD ⊥∴⋅=22222222||()41AP AB AD AB AD λμλμλμ=+=+=+=,令12cos ,sin ,cos sin sin()22λθμθλμθθθϕ==+=+=+,其中1tan 2ϕ=,λμ+最小值、最大值分别为22-,λμ+的取值范围为55,⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. 故答案为:55,⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【点睛】本题考查向量的模长以及向量的数量积运算,解题的关键用换元法将问题转化为求三角函数的最值,属于中档题.20.6【分析】根据平方处理求得即可得解【详解】在中已知点是边的中点解得则故答案为:6【点睛】此题考查平面向量的基本运算关键在于根据向量的运算法则求出模长根据数量积的运算律计算求解解析:6 【分析】 根据()12CP CA CB =+,平方处理求得2CB =,()12CP CA CA CB CA ⋅=+⋅即可得解. 【详解】在ABC △中,已知4CA =,3CP 23ACB π∠=,点P 是边AB 的中点, ()12CP CA CB =+ ()222124CP CA CB CA CB =++⋅ 211316842CB CB ⎛⎫⎛⎫=++⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,解得2CB = 则()()21111162462222CP CA CA CB CA CA CB CA ⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅=+⋅=+⨯⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故答案为:6 【点睛】此题考查平面向量的基本运算,关键在于根据向量的运算法则求出模长,根据数量积的运算律计算求解.三、解答题21.(1)2AB b a =-,12CE a b =+;(2)证明见解析. 【分析】(1)求出2CB b =,利用AB CB CA =-与12CE CA AB =+化简可得答案; (2)以C 点为坐标原点,以CB ,CA 为x ,y 轴,建立如图所示平面直角坐标系,设()0,A a , 求出,2a AD a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,2,33a a CE ⎛⎫= ⎪⎝⎭, 可得0AD CE ⋅=,进而可得答案.【详解】(1)∵CA a =,CD b =,点D 是CB 的中点, ∴2CB b =,∴2AB CB CA b a =-=-,∵()1112222CE CA AE a AB a b a a b =+=+=+-=+. (2)以C 点为坐标原点,以CB ,CA 为x ,y 轴,建立如图所示平面直角坐标系,设()0,A a ,∴B 点坐标为(),0a ,另设点E 坐标为(),x y ,∵点D 是CB 的中点, ∴点D 坐标为,02a ⎛⎫⎪⎝⎭, 又∵2AE EB =,∴()(),2,x y a a x y -=--,∴23a x =,3a y =, 所以,2a AD a ⎛⎫=-⎪⎝⎭,2,33a a CE ⎛⎫= ⎪⎝⎭, 所以()20233a a aAD CE a ⋅=⨯+-⨯=, ∴AD CE ⊥.【点睛】方法点睛:平面向量数量积的计算问题,往往有两种形式,一是利用数量积的定义式,二是利用数量积的坐标运算公式,涉及几何图形的问题,先建立适当的平面直角坐标系,可起到化繁为简的妙用.22.(1)()3,6c =或()3,6c =--;(2)10-. 【分析】(1)设(),c x y =,由平面向量平行的坐标表示及模的坐标表示可得2y x=⎧=即可得解;(2)由平面向量垂直可得()()20a b a b +⋅-=,再由平面向量数量积的运算可得1a b ⋅=-,最后由cos ,a ba b a b⋅=⋅即可得解. 【详解】(1)设(),c x y =,因为()1,2a =,//a c ,35c =,所以235y x x y =⎧+=⎪⎩36x y =⎧⎨=⎩或36x y =-⎧⎨=-⎩, 所以()3,6c =或()3,6c =--;(2)因为()1,2a =,所以14a =+又()()2a b a b +⊥-,2b =,所以()()22225220a b a b aa b ba b +⋅-=+⋅-=+⋅-⨯=,所以1a b ⋅=-, 所以cos ,5a b a b a b⋅===⨯⋅【点睛】本题考查了平面向量共线及模的坐标表示,考查了平面向量数量积的应用及运算求解能力,属于中档题. 23.(1)8m =(2)【分析】(1)先得到()4,2a b m +=-,根据()a b b +⊥可得()0a b b +⋅=,即可求出m ;(2)根据·1a b =-求出m=2,再根据cos ,a b b a b b a b⋅=⋅求b 在向量a 方向上的投影.【详解】()()14,2a b m +=-;()a b b +⊥;()34220m ∴⋅--=;8m ∴=;()2321a b m ⋅=-=-;2m ∴=;()1,2a ∴=;b ∴在向量a 方向上的投影为cos ,55a b b a b b a b⋅=⋅==-.【点睛】本题主要考查了向量坐标的加法和数量积的运算,向量垂直的充要条件及向量投影的计算公式,属于中档题. 24.(1)1t =-;(2)23π. 【分析】(1)根据题意,设a kb =,则有122112()()e e k e te kte ke +=-=-+,分析可得11ktk=-⎧⎨=⎩,解可得t 的值;(2)根据题意,设向量a ,b 的夹角为θ;由数量积的计算公式可得a 、||b 以及a b , 由cos a b a bθ⋅=计算可得答案.【详解】(1)∵根据题意,向量12a e e =+,21b e te =-,若//a b ,则设a kb =, 则有122112()()e e k e te kte ke +=-=-+,则有11kt k =-⎧⎨=⎩,解可得1t =-;(2)根据题意,设向量a ,b 的夹角为θ;若2t =,则212b e e =-,则2221||(2)3b e e =-=,则||3b =, 又由12a e e =+,则2212||()3a e e =+=,则||3a =, 又由12213()(2)2a b e e e e =+-=-,则312cos 2||||3a b a b θ-===-⨯,又由0θπ,则23πθ=; 故向量a ,b 的夹角为23π. 【点睛】本题考查向量数量积的计算,涉及向量模的计算公式,属于基础题.25.(1)23-;(2 【分析】(1)由//a b ,所以存在唯一实数t,使得b ta =,建立方程组可得答案;(2)由已知求得12e e ⋅,再由a b ⊥得()()1212230e e e e λ-⋅+=,可解得λ,再利用向量的模的计算方法可求得答案. 【详解】(1)因为//a b ,所以存在唯一实数t,使得b ta =,即()121223e e t e e λ+=-, 所以23t tλ=⎧⎨=-⎩,解得23λ=-;(2)由已知得122111cos32e e π⋅=⨯⨯=-,由a b ⊥得()()1212230e e e e λ-⋅+=,即()12+32302λλ⎛⎫-⨯--= ⎪⎝⎭,解得4λ=,所以124a e e =-,所以22121212||416821a e e e e e e =-=+-⋅=||21a =.【点睛】本题考查向量平行的条件和向量垂直的条件,以及向量的模的计算,属于中档题.26.(1)60C =︒;(2. 【分析】(1)利用两个向量垂直的性质,两个向量数量积公式以及二倍角公式,求得cos C 的值,可得C 的值.(2)利用两角差的正弦公式,正弦定理和余弦定理化简,可得结果. 【详解】(1)由题意知,0m n =,即222cos2sin 02CC -=,21cos 2(1cos )0C C +--=, 22cos cos 10C C +-=,即cos 1C =-,或1cos 2C =, 因为0C π<<,所以60C =︒. (2)2222221122a b c a b c =+⇒-=,222222sin()sin cos sin cos 2222a a c b b b c a A B A B B A R ac R bc+-+--=-=- ()222214442a b c c sinC cR cR R -=====. 【点睛】本题主要考查两个向量数量积公式,两角差的正弦公式,正弦定理和余弦定理的应用,属于中档题.。
(压轴题)高中数学必修四第二章《平面向量》检测卷(有答案解析)
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一、选择题1.己知平面向量,a b 满足1a a b =-=,则32a b a b -++的最大值为( )A .4B .C .3+D .62.设向量a ,b ,c 满足||||1a b ==,12a b ⋅=,()()0a c b c -⋅-=,则||c 的最小值是( )A .12B .12C D .13.已知非零向量a →,b →夹角为45︒,且2a =,2a b -=,则b →等于( )A .B .2C D4.已知ABC 是边长为2的等边三角形,D ,E 分别是AC 、AB 上的两点,且AE EB =,2AD DC =,与CE 交于点O ,则下列说法正确的是( )A .1AB CD ⋅=- B .1233BD BC BA =+ C .3OA OB OC ++=D .ED 在BC 方向上的投影为765.已知(),0A a ,()0,C c ,2AC =,1BC =,0AC BC ⋅=,O 为坐标原点,则OB 的取值范围是( )A .(1⎤⎦B .(1⎤⎦C .1⎤⎦D .)1,+∞6.在ABC 中,4A π=,3B π=,2BC =,AC 的垂直平分线交AB 于D ,则AC CD ⋅=( )A .1-B .2-C .3-D .37.在空间直角坐标系中,(3,3,0)A ,(0,0,1)B ,点(,1,)P a c 在直线AB 上,则 ( ) A .11,3a c ==B .21,3a c ==C .12,3a c ==D .22,3a c ==8.已知a ,b 为单位向量,2a b a b +=-,则a 在a b +上的投影为( )A .13B .3-C .3D .39.在ABC 中,||:||:||3:4:5AB AC BC =,圆O 是ABC 的内切圆,且与BC 切于D 点,设AB a =,AC b =,则AD =( )A .2355a b + B .3255a b + C .2133a b +D .1233a b +10.设θ为两个非零向量,a b 的夹角,且6πθ=,已知对任意实数t ,b ta +的最小值为1,则b =( ) A .14B .12C .2D .411.直线0ax by c与圆22:4O x y +=相交于M ,N 两点,若222c a b =+,P 为圆O 上任意一点,则PM PN ⋅的取值范围为( ) A .[2,6]-B .[]2,4-C .[]1,4D .[1,4]-12.在直角梯形ABCD 中,0AD AB ⋅=,30B ∠=︒,23AB =,2BC =,13BE BC =,则( )A .1163AE AB AD =+ B .1263AE AB AD =+ C .5163AE AB AD =+ D .5166AE AB AD =+ 二、填空题13.已知ABC ,点P 是平面上任意一点,且AP AB AC λμ=+(,λμ∈R ),给出以下命题: ①若1ABλ=,1ACμ=,则P 为ABC 的内心;②若1λμ==,则直线AP 经过ABC 的重心; ③若1λμ+=,且0μ>,则点P 在线段BC 上; ④若1λμ+>,则点P 在ABC 外; ⑤若01λμ<+<,则点P 在ABC 内. 其中真命题为______14.如图,设圆M 的半径为2,点C 是圆M 上的定点,A ,B 是圆M 上的两个动点,则CA CB ⋅的最小值是________.15.已知||1,||3,0OA OB OA OB ==⋅=|,点C 在AOB ∠内,且30AOC ∠=︒,设(,) OC mOA nOB m n R =+∈,则mn等于.16.已知ABC的三边长3AC=,4BC=,5AB=,P为AB边上任意一点,则()CP BA BC⋅-的最大值为______________.17.已知ABC∆中,3AB=,5AC=,7BC=,若点D满足1132AD AB AC=+,则DB DC⋅=__________.18.已知向量()()2,3,1,2==-a b,若ma b+与2a b-平行,则实数m等于______. 19.已知点O是ABC∆内部一点,并且满足230OA OB OC++=,BOC∆的面积为1S,ABC∆的面积为2S,则12SS=______.20.如图,在四边形ABCD中,60B∠=︒,2AB=,6BC=,1AD=,若M,N是线段BC上的动点,且||1MN=,则DM DN⋅的取值范围为_________.三、解答题21.在ABC中,3AB=,6AC=,23BACπ∠=,D为边BC的中点,M为中线AD 的中点.(1)求中线AD的长;(2)求BM与AD的夹角θ的余弦值.22.在直角坐标系xoy中,单位圆O的圆周上两动点A B、满足60AOB∠=︒(如图),C 坐标为()1,0,记COAα∠=(1)求点A与点B纵坐标差A By y-的取值范围;(2)求AO CB ⋅的取值范围;23.在OAB 的边OA ,OB 上分别有一点P ,Q ,已知:1:2OP PA =,:3:2OQ QB =,连接AQ ,BP ,设它们交于点R ,若OA a =,OB b =.(1)用a 与b 表示OR ;(2)过R 作RH AB ⊥,垂足为H ,若1a =,2b =,a 与b 的夹角2,33ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,求BHBA的范围.24.如图,在ABC 中,1AB AC ==,120BAC ∠=.(Ⅰ)求AB BC 的值;(Ⅱ)设点P 在以A 为圆心,AB 为半径的圆弧BC 上运动,且AP x AB y AC →→→=+,其中,x y R ∈. 求xy 的最大值.25.如图,四边形ABOC 是边长为1的菱形,120CAB ∠=︒,E 为OC 中点.(1)求BC 和BE ;(2)若点M 满足ME MB =,问BE BM ⋅的值是否为定值?若是定值请求出这个值;若不是定值,说明理由.26.在ABC 中,D 是线段AB 上靠近B 的一个三等分点,E 是线段AC 上靠近A 的一个四等分点,4DF FE =,设AB m =,BC n =. (1)用m ,n 表示AF ;(2)设G 是线段BC 上一点,且使//EG AF ,求CG CB的值.【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除一、选择题 1.B 解析:B 【分析】利用1a a b =-=得到2cos ,b a b =〈〉,令[]cos ,,1,1t a b t =〈〉∈-,则2b t =,利用平面向量的运算法则得到29832a b a b t -+-=+,再利用基本不等式即可求解. 【详解】因为1a a b =-=, 所以22222cos ,1a a ba ab a b b =-=-〈〉+=,则2cos ,b a b =〈〉, 令[]cos ,,1,1t a b t =〈〉∈-, 所以2b t =, 则()23232a b a b -=-22124a a b t b =-+== ()2222a b a b a a b t b +=+=++22418t t =+=+,所以29832a b a b t -+-=+,利用基本不等式知:2a b a b +≤+≤,≤=,=此时2t =±.则32a b a b -++的最大值为 故选:B. 【点睛】思路点睛:利用已知条件得到2cos ,b a b =〈〉,令[]cos ,,1,1t a b t =〈〉∈-,则2b t =,把问题化为了单一变量的函数问题,再利用平面向量的运算法则得到29832a b a b t -+-=+,最后利用基本不等式即可解决.2.B解析:B 【分析】建立坐标系,以向量a ,b 的角平分线所在的直线为x 轴,使得a ,b 的坐标分别为122⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭,,221⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭,设c 的坐标为(),x y ,由已知可得2214x y ⎛+= ⎝⎭,表示以2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭为圆心,12为半径的圆,求出圆心到原点的距离,再减去半径即为所求 【详解】解:建立坐标系,以向量a ,b 的角平分线所在的直线为x 轴,使得a ,b 的坐标分别为12⎫⎪⎪⎝⎭,21⎫-⎪⎪⎝⎭,设c 的坐标为(),x y , 因为()()0a c b c -⋅-=,所以11,,022x y x y ⎫⎫--⋅---=⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭,化简得22124x y ⎛-+= ⎝⎭,表示以,02⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭为圆心,12为半径的圆, 则||c 的最小值表示圆上的点到原点的距离的最小值,因为圆到原点的距离为2,所以圆上的点到原点的距离的最小值为122-,故选:B【点睛】此题考查平面向量的数量积运算,解题的关键是写出满足条件的对应的点,考查数学转化思想,考查数形结合的思想,属于中档题3.A解析:A 【分析】根据数量积的运算,2a b →→-=两边平方即可求解. 【详解】2a b →→-=,=2a →,a →,b →夹角为45︒,2222()24a b a b a a b b →→→→→→→→∴-=-=-⋅+=, 2422||cos||44b b π→→∴-⨯+=,解得:||22b →= 故选:A 【点睛】本题主要考查了向量数量积的运算性质,数量积的定义,属于中档题.4.D解析:D 【分析】利用CE AB ⊥,判断出A 错误;由2AD DC =结合平面向量的基本定理,判断出选项B 错误;以E 为原点,EA ,EC 分别为x 轴,y 轴正方向建立平面直角坐标系,写出各点坐标,计算出OA OB OC ++的值,判断出选项C 错误;利用投影的定义计算出D 正确. 【详解】由题E 为AB 中点,则CE AB ⊥,0AB CE ⋅=,所以选项A 错误;由平面向量线性运算得2133BD BC BA =+,所以选项B 错误; 以E 为原点,EA ,EC 分别为x 轴,y 轴正方向建立平面直角坐标系,如图所示,()0,0E ,1,0A ,()1,0B -,(3C ,1233D ⎛ ⎝⎭,设()0,O y ,(3y ∈,()1,BO y =,123,33DO y ⎛=-- ⎝⎭, //BO DO ,所以,3133y y -=-,解:32y =, 32OA OB OC OE OE OE ++=+==,所以选项C 错误; 123,33ED ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭,(1,3BC =,ED 在BC 方向上的投影为127326BC BCED +⋅==,故选:D . 【点睛】本题考查平面向量数量积的应用,考查平面向量基本定理,考查投影的定义,考查平面向量的坐标表示,属于中档题.5.C解析:C 【分析】法一:将A ,C 视为定点,根据A 、C 分别在 x 轴、y 轴上,得到垂直关系, O 是AC 为直径的圆上的动点,AC 的中点为圆心M ,根据圆心M 和BO 的位置关系即可得取值范围. 法二:设B 的坐标,根据2AC =,1BC =得到224a c +=,()221x y c +-=,整理式子至()222251x a y x y ax cy -+=⇒+=++,利用均值不等式得出22OB x y d =+=,则212d d -≤即可算出距离的取值范围.【详解】解:法一:将A ,C 视为定点,OA OC ⊥,O 视为以AC 为直径的圆上的动点,AC 的中点为M ,当BO 过圆心M ,且O 在B ,M 之间时,OB 取得最小值21-,O 在BM 的延长线上时,OB 取得最大值21+. 故选:C法二:设(),B x y ,则224a c +=,()221x y c +-=,()222251x a y x y ax cy -+=⇒+=++,即221ax cy x y +=+-,()()2222222ax cy ac xy x y +≤++=+,取等号条件:ay cx =,令22OB x y d =+=,则22112{210d d d d d ≥-≤⇔--≤或201{210d d d <<⇔+-≥,解得2121d -≤≤+.故选:C 【点睛】本题考查向量的坐标运算和圆的基本性质,综合性强,属于中档题.6.C解析:C 【分析】由AC 的垂直平分线交AB 于D ,且4A π=可得ACD △为等腰直角三角形,且4A ACD π∠=∠=,2ADC BDC π∠=∠=;进而由2BC =可求出,,DB CD AC 的长,从而求出AC CD ⋅的值. 【详解】解:因为AC 的垂直平分线交AB 于D 、4A π=,所以ACD △为等腰直角三角形,4A ACD π∠=∠=,2ADC BDC π∠=∠=,在BDC 中,3B π=,2BDC π∠=,2BC =,所以1,3BD CD ==,所以3AD CD ==,26AC CD ==,所以32cos63()342AC CD AC CD π⋅=⋅=⨯⨯-=-.故选:C. 【点睛】本题主要考查平面向量的数量积,考查运算求解能力,属于基础题型.7.B解析:B 【解析】∵点P (a ,1,c )在直线AB 上, ∴存在实数λ使得AB BP λ=, ∴()()()0,0,13,3,0,1,1a c λ-=- , 化为()3,3,1(,,)a c λλλλ--=- ,∴3{31ac λλλλ-=-==- ,解得3{123a c λ=-==.本题选择B 选项.8.C解析:C 【分析】由题意结合平面向量数量积的运算可得13a b ⋅=,进而可得()b a a +⋅、a b +,代入投影表达式即可得解. 【详解】因为a ,b 为单位向量,所以1==a b , 又2a b a b +=-,所以()()222a ba b +=-所以22222242a a b b a a b b +⋅+=-⋅+,即121242a b a b +⋅+=-⋅+,所以13a b ⋅=,则()2263a b a b+=+=,()243a a b a a b ⋅+=+⋅=,所以a 在a b +上的投影为()4326a a b a b⋅+==+ 故选:C. 【点睛】本题考查了平面向量数量积的应用,考查了一个向量在另一个向量上投影的求解,属于中档题.9.B解析:B 【分析】由题得三角形是直角三角形,设3,4,5AB AC BC ===,设,=,,DB BF x AD AE y EC CF z =====求出,,x y z ,再利用平面向量的线性运算求解.【详解】因为||:||:||3:4:5AB AC BC =,所以ABC 是直角三角形,设3,4, 5.AB AC BC ===如图,设,=,,DB BF x AD AE y EC CF z =====由题得34,2,1,35x y y z x y z x z +=⎧⎪+=∴===⎨⎪+=⎩,所以2232()5555AD AB BD AB BC AB AC AB AB AC =+=+=+-=+3255a b =+. 故选:B 【点睛】本题主要考查平面向量的线性运算,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.10.C解析:C 【分析】由题意可知,2222()2b ta a t a bt b +=+⋅+,令222()2g t a t a bt b =+⋅+,由二次函数的性质可知,当22cos62b a b t aaπ⋅=-=-时,()g t 取得最小值1,变形可得22sin16b π=,从而可求出b 【详解】解:由题意可知,2222()2b ta a t a bt b +=+⋅+,令222()2g t a t a bt b =+⋅+, 因为2222224()44(cos 1)06a b a b a b π∆=⋅-=-<,所以()g t 恒大于零,所以当232cos622b b a b taaaπ⋅=-=-=-时,()g t 取得最小值1,所以22233321222b b bg a a b b a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-=-+⋅-+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭, 化简得2114b =,所以2b =, 故选:C 【点睛】此题考查平面向量数量积的运算,涉及二次函数的最值,考查转化思想和计算能力,属于中档题11.A解析:A 【分析】取MN 的中点A ,连接OA 、OP ,由点到直线的距离公式可得1OA =,于是推出1cos 2AON ∠=,1cos 2MON ∠=-,而||||cos 2OM ON OM ON MON ⋅=⋅∠=-,()()PM PN OM OP ON OP ⋅=-⋅-()224cos OM ON OPOP OM ON AOP =⋅+-⋅+=-∠,其中cos [1,1]AOP ∠∈-,从而得解. 【详解】解:取MN 的中点A ,连接OA 、OP ,则OA MN ⊥,∵222c a b =+,∴点O 到直线MN 的距离221OA a b==+,在Rt AON 中,1cos 2OA AON ON ∠==, ∴2211cos 2cos 12122MON AON ⎛⎫∠=∠-=⨯-=- ⎪⎝⎭, ∴1||||cos 2222OM ON OM ON MON ⎛⎫⋅=⋅∠=⨯⨯-=- ⎪⎝⎭,∴()()PM PN OM OP ON OP ⋅=-⋅-2()OM ON OP OP OM ON =⋅+-⋅+24222||||cos OP OA OP OA AOP =-+-⋅=-⋅∠24cos AOP =-∠,当OP ,OA 同向时,取得最小值,为242-=-; 当OP ,OA 反向时,取得最大值,为246+=. ∴PM PN ⋅的取值范围为[]2,6-. 故选:A. 【点睛】本题考查点到直线距离公式、向量的数量积运算、直线与圆的方程,考查函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想、数形结合思想,考查运算求解能力.12.C解析:C 【分析】先根据题意得1AD =,CD =2AB DC =,再结合已知和向量的加减法运算求解即可得的答案. 【详解】由题意可求得1AD =,CD =所以2AB DC =, 又13BE BC =, 则()1133AE AB BE AB BC AB BA AD DC =+=+=+++ 1111333AB AD DC ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭1111336AB AD AB ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭115116363AB AD AB AD ⎛⎫=-+=+ ⎪⎝⎭.故选:C. 【点睛】本题考查用基底表示向量,考查运算能力,是基础题.二、填空题13.②④【分析】①可得在的角平分线上但不一定是内心;②可得在BC 边中线的延长线上;③利用向量线性运算得出可判断;④得出根据向量加法的平行四边形法则可判断;⑤令可判断【详解】①若则因为是和同向的单位向量则解析:②④ 【分析】①可得P 在BAC ∠的角平分线上,但不一定是内心;②可得P 在BC 边中线的延长线上;③利用向量线性运算得出=BP BC μ可判断;④得出()1CP CB AC λλμ=++-,根据向量加法的平行四边形法则可判断;⑤令1132=λμ=-,可判断. 【详解】 ①若1ABλ=,1ACμ=,则AB AC AP ABAC=+,因为,AB AC ABAC是和,AB AC 同向的单位向量,则P 在BAC ∠的角平分线上,但不一定是内心,故①错误;②若1λμ==,则AP AB AC =+,则根据平行四边形法则可得,P 在BC 边中线的延长线上,故直线AP 经过ABC 的重心,故②正确;③若1λμ+=,且0μ>,则()1=AP AB AC AB AB AC μμμμ=-+-+,即()==AP AB AB AC AC AB μμμ--+-,即=BP BC μ,则点P 在线段BC 上或BC 的延长线上,故③错误;④若1λμ+>,()()11AP AB AC AC λλλμ=+-++-,整理可得()1CP CB AC λλμ=++-,10λμ+->,根据向量加法的平行四边形法则可判断点P 在ABC 外,故④正确;⑤若01λμ<+<,则令1132=λμ=-,,则1132AP AB AC =-+,则根据向量加法的平行四边形法则可判断点P 在ABC 外,故⑤错误. 故答案为:②④. 【点睛】本题考查向量基本定理的应用,解题的关键是正确利用向量的线性运算进行判断,合理的进行转化,清楚向量加法的平行四边形法则.14.【分析】延长BC 作圆M 的切线设切点为A1切线与BD 的交点D 结合数量积的几何意义可得点A 运动到A1时在上的投影最小设将结果表示为关于的二次函数求出最值即可【详解】如图延长BC 作圆M 的切线设切点为A1切 解析:2-延长BC ,作圆M 的切线,设切点为A 1,切线与BD 的交点D ,结合数量积的几何意义可得点A 运动到A 1时,CA 在CB 上的投影最小,设CP x =,将结果表示为关于x 的二次函数,求出最值即可. 【详解】 如图,延长BC ,作圆M 的切线,设切点为A 1,切线与BD 的交点D ,由数量积的几何意义,CA CB ⋅等于CA 在CB 上的投影与CB 之积,当点A 运动到A 1时,CA 在CB 上的投影最小; 设BC 中点P ,连MP ,MA 1,则四边形MPDA 1为矩形; 设CP =x ,则CD =2-x ,CB =2x ,CA CB ⋅=()()222224212x x x x x --⋅=-=--,[]02x ∈,, 所以当1x =时,CA CB ⋅最小,最小值为2-, 故答案为:2-. 【点睛】本题考查平面向量数量积的几何意义,考查了学生的作图能力以及分析问题解决问题的能力,属于中档题.15.【详解】方法一:①又②③将②③代入①得:所以点在内所以方法二:以直线OAOB 分别为轴建立直角坐标系则设又得即解得故答案为:3解析:【详解】 方法一:3cos 2OA OC AOC OA OC⋅∠==⋅, ① 又()2OA OC OA mOA nOB m OA m ⋅=⋅+==, ②22222222||()||||23OC mOA nOB m OA n OB mnOA OB m n =+=++⋅=+, ③将②③代入①22323m n=+,所以229m n =,点C 在AOB ∠内, 所以3mn=.以直线OA ,OB 分别为,x y 轴建立直角坐标系,则()(10,03A B ,, , 设()31cos30,sin 30=,22OC λλλ⎛⎫=︒︒ ⎪ ⎪⎝⎭,又()(()1,033OC mOA nOB m n m n =+=+=,得()31,=322m n λ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭,即 3=2132m nλλ⎧⎪⎪⎨⎪=⎪⎩, 解得3mn=. 故答案为:3.16.9【分析】根据题意建立直角坐标系用坐标法解决即可得答案【详解】解:根据题意如图建立直角坐标系∴∴∴∴的最大值为故答案为:【点睛】本题考查坐标法表示向量向量的数量积运算线性运算的坐标表示等是中档题解析:9 【分析】根据题意,建立直角坐标系,用坐标法解决即可得答案. 【详解】解:根据题意,如图建立直角坐标系,∴ ()0,3A ()4,0B ,()0,0C , ∴ ()4,3AB =-,()()()0,34,34,33CP CA AP CA AB λλλλλ=+=+=+-=-,[]0,1λ∈,∴ ()()()[]4,330,3990,9CP BA BC CP CA λλλ⋅-=⋅=-⋅=-∈∴()CP BA BC ⋅-的最大值为9.故答案为:9 . 【点睛】本题考查坐标法表示向量,向量的数量积运算,线性运算的坐标表示等,是中档题.17.【分析】根据以为一组基底由得到再由求解【详解】因为又因为所以所以故答案为:-12【点睛】本题主要考查平面向量基本定理和向量的线性运算还考查了运算求解的能力属于中档题 解析:12-【分析】 根据1132AD AB AC =+,以,AB AC 为一组基底,由2222()2BC AC AB AC AB AB AC =-=+-⋅,得到152AB AC ⋅=-,再由2111()()3223⎛⎫⎛⎫⋅=-⋅-=-⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭DB DC AB AD AC AD AB AC AC AB 求解.【详解】因为2222()2BC AC AB AC AB AB AC =-=+-⋅ 又因为3AB =,5AC =,7BC = 所以152AB AC ⋅=-,所以2111()()3223DB DC AB AD AC AD AB AC AC AB ⎛⎫⎛⎫⋅=-⋅-=-⋅-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22211251521294244AB AC AB AC --+⋅=---=-. 故答案为:-12 【点睛】本题主要考查平面向量基本定理和向量的线性运算,还考查了运算求解的能力,属于中档题.18.【分析】由向量坐标的数乘及加减法运算求出与然后利用向量共线的坐标表示列式求解【详解】解:由向量和所以由与平行所以解得故答案为:【点睛】本题考查了平行向量与共线向量考查了平面向量的坐标运算属于基础题解析:12-【分析】由向量坐标的数乘及加减法运算求出ma b +与2a b -,然后利用向量共线的坐标表示列式求解. 【详解】解:由向量(2,3)a =和(1,2)b =-,所以()()()2,31,221,32m m m b m a ++=-=-+,()()()22,321,24,1a b -=--=-,由ma b +与2a b -平行,所以4(32)(21)0m m ++-=. 解得12m =-. 故答案为:12-. 【点睛】本题考查了平行向量与共线向量,考查了平面向量的坐标运算,属于基础题.19.【分析】将化为再构造向量和得出比例关系最后求解【详解】因为所以分别取的中点则所以即三点共线且如图所示则由于为中点所以所以故答案为:【点睛】本题考查向量的线性运算但是在三角形中考查又和三角形面积综合在解析:16【分析】将230OA OB OC ++=化为()2OA OC OB OC +=-+,再构造向量()12OA OC +和()12OB OC +,得出比例关系,最后求解12.S S【详解】因为230OA OB OC ++=,所以()2OA OC OB OC +=-+,分别取AC ,BC 的中点D ,E ,则2OA OC OD +=,2OB OC OE +=. 所以2OD OE =-,即O ,D ,E 三点共线且2OD OE =.如图所示,则13OBC DBC S S ∆∆=,由于D 为AC 中点,所以12DBC ABC S S ∆∆=,所以16OBC ABC S S ∆∆=. 故答案为:16【点睛】本题考查向量的线性运算,但是在三角形中考查,又和三角形面积综合在一起,属于中档题.20.【分析】首先以点为原点建立空间直角坐标系利用向量的坐标表示再求取值范围【详解】如图建立平面直角坐标系当时取得最小值当时取得最大值所以的取值范围为故答案为:【点睛】关键点点睛:本题的关键是利用坐标法解解析:11,154⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】首先以点B 为原点,建立空间直角坐标系,利用向量的坐标表示DM DN ⋅,再求取值范围. 【详解】如图,建立平面直角坐标系,(3A ,(3D ,(),0M x ,()1,0N x +,(2,3DM x =--,(1,3DN x =--,[]0,5x ∈,()()212335DM DN x x x x ⋅=--+=-+231124x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭,当32x =时,取得最小值114,当5x =时,取得最大值15,所以DM DN ⋅的取值范围为11,154⎡⎤⎢⎥⎣⎦故答案为:11,154⎡⎤⎢⎥⎣⎦【点睛】关键点点睛:本题的关键是利用坐标法解决数量积的范围问题.三、解答题21.(1)332;(257【分析】 (1)由于()12AD AB AC =+,进而根据向量的模的计算求解即可; (2)由于3144BM AB AC =-+,()12AD AB AC =+,进而根据向量数量积得278BM AD ⋅=,故57cos BM AD BM AD θ⋅==. 【详解】解:(1)由已知,236cos 93AB AC π⋅=⨯=-, 又()12AD AB AC =+, 所以()222124AD AB AB AC AC =+⋅+()1279183644=-+=, 所以33AD =. (2)由(1)知,()131444BM AM AB AB AC AB AB AC =-=+-=-+, 所以()293117199361681616BM=⨯-⨯-+⨯=,从而319BM =. ()311442BM AD AB AC AB AC ⎛⎫⋅=-+⋅+= ⎪⎝⎭()3212799368888-⨯-⨯-+⨯=,所以2757cos 831933BM AD BM ADθ⋅=== 解法2:(1)以点A 为原点,AB 为x 轴,过点A 且垂直于AB 的直线为y 轴建系,则()0,0A ,()3,0B ,(C -,因为D 为边BC 的中点,所以0,2D ⎛ ⎝⎭,0,2AD ⎛= ⎝⎭,所以332AD =.(2)因为M 为中线AD 的中点,由(1)知,0,4M ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭,所以3,4BM ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭,所以9164BM ==,278BM AD ⋅=,所以27cos8BM AD BM AD θ⋅=== 【点睛】本题考查向量的数量积运算,向量夹角的计算,考查运算求解能力与化归转化思想,是中档题.本题解题的关键在于向量表示中线向量()12AD AB AC =+,进而根据向量模的计算公式计算.22.(1)[ 1.1]A B y y -∈-;(2)31,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. 【分析】(1)根据三角函数的定义写出点A 与点B 纵坐标,从而将A B y y -表示成关于α的三角函数;(2)写出向量数量积的坐标运算,即AO CB OA BC ⋅=⋅,再利用三角函数的有界性,即可得答案;【详解】由题意得:()sin ,sin 60A B y y αα︒==-,∴A B y y -()1sin sin 60sin sin cos 22ααααα︒⎛⎫=--=-⋅-⋅ ⎪ ⎪⎝⎭1sin sin 223πααα⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭ 02απ<,∴1sin 13πα⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭,∴[ 1.1]A B y y -∈-.(2)()()() (cos ,sin )1cos 60,sin 60AO CB OA BC αααα︒︒⋅=⋅=⋅---- ()()cos cos cos 60sin sin 60ααααα︒︒=-⋅--⋅- ()22133cos sin cos sin cos sin cos 2ααααααα=-+-⋅+⋅ 1cos 2α=-, 02απ≤<,3111cos 1cos 222αα∴-≤≤⇒-≤-≤, ∴31,22AO CB ⎡⎤⋅∈-⎢⎥⎣⎦. 【点睛】根据三角函数的定义及三角恒等变换、三角函数的有界性是求解本题的关键.23.(1)1162OR a b =+;(2)171,422⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【分析】(1)利用,,A R Q 三点共线和,,B R P 三点共线,结合平面向量共线定理,可构造方程组求得结果;(2)设BHt BA =,利用0BH AB ⋅=,结合平面向量线性运算将两个向量转化为用,a b 表示的向量,利用平面向量数量积的运算律可整理得到t 关于cos θ的函数形式,利用cos θ的范围即可求得结果.【详解】(1)设OR OA OQ λμ=+,,,A R Q 三点共线,1λμ∴+=,又:3:2OQ QB =,35OQ OB ∴=,35OR OA OB μλ∴=+;设OR mOP nOB =+,同理可得:1m n +=,3m OR OA nOB =+, ,OA OB 不共线,335m n λμ⎧=⎪⎪∴⎨⎪=⎪⎩,51331m n m n ⎧+=⎪∴⎨⎪+=⎩,解得:1212m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,1162OR OA OB ∴=+, 即1162OR a b =+. (2)设BH t BA =,则BH tBA =,()()1162RH BH BR tBA OR OB t OA OB OA OB ⎛⎫=-=--=--- ⎪⎝⎭ 11116262t OA t OB t a t b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-=-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭, 又AB OB OA b a =-=-,BH AB ⊥,0BH AB ∴⋅=,()2211112262623t a t b b a t a t b t a b ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴-+-⋅-=-+-+-⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦14134244cos 54cos cos 06363t t t t t θθθ⎛⎫=-+-+-=-+-= ⎪⎝⎭, 整理可得:134cos 138cos 136354cos 3024cos 33024cos t θθθθθ--===+---, 2,33ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,11cos ,22θ⎡⎤∴∈-⎢⎥⎣⎦,171,422t ⎡⎤∴∈⎢⎥⎣⎦, 即BHBA 的取值范围为171,422⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【点睛】思路点睛:本题考查了平面向量线性运算和数量积运算的综合应用,处理数量积运算问题时,通常利用线性运算将所求向量进行等价转化,利用模长和夹角已知的两个向量来表示所求向量,如本题中利用,a b 表示出,BH AB ,再结合数量积的运算律来进行求解. 24.(Ⅰ)32-;(Ⅱ)1. 【分析】(I )建立坐标系,求出向量坐标,代入数量积公式计算;(II )利用向量坐标运算,得到三角函数,根据三角函数求出最大值.【详解】(Ⅰ)()AB BC AB AC AB →→→→→⋅=⋅- 213122AB AC AB →→→=⋅-=--=-. (Ⅱ)建立如图所示的平面直角坐标系,则(1,0)B ,13(,)22C -. 设(cos ,sin )P θθ,[0,]3θ2π∈,由AP x AB y AC →→→=+,得13(cos ,sin )(1,0)(2x y θθ=+-. 所以3cos ,sin 22y x y θθ=-=. 所以3cos sin 3x θθ=+,33y θ=, 2232311sin cos sin 2cos 233333xy θθθθθ=+=+- 2311(2cos 2)3223θθ=-+ 21sin(2)363πθ=-+, 因为2[0,]3πθ∈,72[,]666πππθ-∈-. 所以,当262ππθ-=,即3πθ=时,xy 的最大值为1. 【点睛】本题主要考查了平面向量的数量积运算,向量的坐标运算,正弦型函数的图象与性质,属于中档题.25.(1)3BC =;72BE =;(2)是定值,78. 【分析】 (1)由()22BC AC AB =-,()2212BE BO BC ⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦,结合数量积公式得出BC 和BE ;(2)取BE 的中点N ,连接MN ,由ME MB =,得出MN BE ⊥,由BM BN NM =+,结合数量积公式计算BE BM ⋅,即可得出定值.【详解】(1)∵BC AC AB =-∴222211211cos1203BC AC AB AB AC =+-⋅=+-⨯⨯⨯︒=∴3BC =又()12BE BO BC =+ ∴()22211372132134424BE BO BC BO BC ⎛⎫=++⋅=++⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭ ∴7BE = (2)取BE 的中点N ,连接MN∵ME MB =,∴MN BE ⊥,且BM BN NM =+∴()BE BM BE BN NM BE BN BE NM ⋅=⋅+=⋅+⋅211177022248BE BE BE =⋅+==⨯= ∴78BE BM ⋅=(为定值)【点睛】本题主要考查了利用定义计算数量积以及模长,涉及了向量加减法的应用,属于中档题.26.(1)1135AF m n =+(2)310CG CB = 【分析】(1)依题意可得23AD AB =、14AE AC =,再根据DE AE AD =-,AF AD DF =+计算可得;(2)设存在实数λ,使得(01)CG CB λλ=<<,由因为//EG AF ,所以存在实数μ, 使AF EG μ=,再根据向量相等的充要条件得到方程组,解得即可;【详解】解:(1)因为D 是线段AB 上靠近B 的一个三等分点,所以23AD AB =. 因为E 是线段AC 上靠近A 的一个四等分点,所以14AE AC =, 所以1243DE AE AD AC AB =-=-. 因为4DF FE =,所以4185515DF DE AC AB ==-, 则2183515AF AD DF AB AC AB =+=+- 2111()15535AB AB BC AB BC =++=+. 又AB m =,BC n =. 所以11113535AF AB BC m n =+=+. (2)因为G 是线段BC 上一点,所以存在实数λ,使得(01)CG CB λλ=<<,则33()44EG EC CG AC CB AB BC BC λλ=+=+=+- 3333()()4444AB BC m n λλ=+-=+- 因为//EG AF ,所以存在实数μ, 使AF EG μ=,即1133[()]3544m n m n μλ+=+-, 整理得31,4331(),45μμλ⎧=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩解得310λ=,故310 CGCB.【点睛】本题考查平面向量的线性运算及平面向量共线定理的应用,属于中档题.。
第二章 平面向量单元检测(人教A版)(解析版)
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第二章 平面向量单元检测(人教A 版)单元测试【满分:100分 时间:80分钟】一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.(2019年镇海区月考)已知点A (0,1),B (3,2),向量AC →=(-4,-3),则向量BC →=( ) A .(-7,-4) B .(7,4) C .(-1,4) D .(1,4)【答案】 A【解析】 法一:设C (x ,y ), 则AC →=(x ,y -1)=(-4,-3),所以⎩⎪⎨⎪⎧x =-4,y =-2,从而BC →=(-4,-2)-(3,2)=(-7,-4).故选A .法二:AB →=(3,2)-(0,1)=(3,1),BC →=AC →-AB →=(-4,-3)-(3,1)=(-7,-4). 故选A .2.(2019年开福区月考)设a =(1,2),b =(1,1),c =a +k b .若b ⊥c ,则实数k 的值等于( ) A .-32B .-53C .53D .32【答案】 A【解析】 c =a +k b =(1+k,2+k ),又b ⊥c ,所以1×(1+k )+1×(2+k )=0,解得k =-32.3.(2019年香洲区月考)已知菱形ABCD 的边长为a ,∠ABC =60°,则BD →·CD →=( ) A .-32a 2B .-34a 2C .34a 2D .32a 2【答案】 D【解析】 由已知条件得BD →·CD →=BD →·BA →=3a ·a cos 30°=32a 2,故选D .4.(2019年文峰区月考)对任意向量a ,b ,下列关系式中不恒成立....的是( ) A .|a·b |≤|a ||b | B .|a -b |≤||a |-|b || C .(a +b )2=|a +b |2 D .(a +b )·(a -b )=a 2-b 2 【答案】 B【解析】 根据a·b =|a||b|cos θ,又cos θ≤1,知|a·b|≤|a||b|,A 恒成立.当向量a 和b 方向不相同时,|a -b |>||a|-|b||,B 不恒成立.根据|a +b |2=a 2+2a·b +b 2=(a +b )2,C 恒成立.根据向量的运算性质得(a +b )·(a -b )=a 2-b 2,D 恒成立.5.(2019年吉林期末)已知非零向量a ,b 满足|b|=4|a|,且a ⊥(2a +b ),则a 与b 的夹角为( ) A .π3B .π2C .2π3D .5π6【答案】 C【解析】 ∵a ⊥(2a +b ),∴a ·(2a +b )=0, ∴2|a |2+a ·b =0,即2|a |2+|a||b|cos 〈a ,b 〉=0.∵|b|=4|a|,∴2|a|2+4|a |2cos 〈a ,b 〉=0, ∴cos 〈a ,b 〉=-12,∴〈a ,b 〉=23π.6.(2019年上海)△ABC 是边长为2的等边三角形,已知向量a ,b 满足AB →=2a ,AC →=2a +b ,则下列结论正确的是( )A .|b |=1B .a ⊥bC .a ·b =1D .(4a +b )⊥BC →【答案】 D【解析】 在△ABC 中,由BC →=AC →-AB →=2a +b -2a =b ,得|b |=2.又|a |=1,所以a ·b =|a ||b |cos 120°=-1,所以(4a +b )·BC →=(4a +b )·b =4a ·b +|b |2=4×(-1)+4=0,所以(4a +b )⊥BC →,故选D .7.(2019年广元模拟)已知向量a =(2,1),a·b =10,|a +b|=50,则|b|=( ) A .0 B .2 C .5 D .25【答案】 C【解析】 因为a =(2,1),则有|a|=5,又a·b =10, 又由|a +b|=50,所以|a|2+2a·b +|b|2=50, 即5+2×10+|b|2=50, 所以|b|=5.8.(2019年海南期末)已知AD ,BE 分别为△ABC 的边BC ,AC 上的中线,设AD →=a ,BE →=b ,则BC →等于( )图1A .43a +23bB .23a +43bC .23a -43bD .-23a +43b【答案】 B【解析】 BC →=2BD →=2⎝⎛⎭⎫23BE →+13AD → =43BE →+23AD →=23a +43b . 9.(2019年雁峰区月考)设非零向量a ,b ,c 满足|a|=|b|=|c|,a +b =c ,则向量a ,b 的夹角为( ) A .150° B .120° C .60° D .30°【答案】 B【解析】 设向量a ,b 夹角为θ, |c|2=|a +b|2=|a|2+|b|2+2|a||b|cos θ,则cos θ=-12,又θ∈[0°,180°],∴θ=120°.故选B .10.(2019年红谷滩新区月考)在矩形ABCD 中,AB =3,BC =1,E 是CD 上一点,且AE →·AB →=1,则AE →·AC →的值为( )A .3B .2C .32D .33【答案】 B【解析】 设AE →与AB →的夹角为θ,则AE →与AD →的夹角为π2-θ,又AD →∥BC →,故有AE →与BC →夹角为π2-θ,如图.∵AE →·AB →=|AE →|·|AB →|·cos θ=3|AE →|·cos θ=1, ∴|A E →|·cos θ=33, ∴AE →·BC →=|AE →|cos ⎝⎛⎭⎫π2-θ=|AE →|sin θ=1,∴AE →·AC →=AE →·(AB →+BC →)=AE →·AB →+AE →·BC →=1+1=2.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,请把正确答案填在题中横线上) 11.(2019年海南期末)已知向量a =(m,4),b =(3,-2),且a ∥b ,则m =________. 【答案】 -6【解析】 ∵a =(m,4),b =(3,-2),a ∥b , ∴-2m -4×3=0,∴m =-6.12.(2019年邵阳模拟)已知向量a =(2,1),b =(1,-2),若m a +n b =(9,-8)(m ,n ∈R ),则m -n的值为________.【答案】 -3【解析】 ∵m a +n b =(2m +n ,m -2n ) =(9,-8),∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2m +n =9,m -2n =-8,∴⎩⎪⎨⎪⎧m =2,n =5,∴m -n =2-5=-3. 13.(2019年湖南模拟)已知向量a =(1,-1),b =(6,-4).若a ⊥(t a +b ),则实数t 的值为________. 【答案】 -5【解析】 ∵a =(1,-1),b =(6,-4),∴t a +b =(t +6,-t -4). 又a ⊥(t a +b ),则a ·(t a +b )=0,即t +6+t +4=0,解得t =-5.14.(2019年平湖市模拟)在△ABC 中,点M ,N 满足AM →=2MC →,BN →=NC →.若MN →=xAB →+yAC →,则x =________;y =________.【答案】 12 -16【解析】 ∵AM →=2MC →,∴AM →=23AC →.∵BN →=NC →,∴AN →=12(AB →+AC →),∴MN →=AN →-AM →=12(AB →+AC →)-23AC →=12AB →-16AC →. 又MN →=xAB →+yAC →,∴x =12,y =-16.三、解答题(本大题共3小题,共30分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)15.(2019年莲都区月考)(本小题满分10分)不共线向量a ,b 的夹角为小于120°的角,且|a|=1,|b|=2,已知向量c =a +2b ,求|c|的取值范围.【答案】 |c|2=|a +2b|2=|a|2+4a·b +4|b|2=17+8cos θ(其中θ为a 与b 的夹角). 因为0°<θ<120°, 所以-12<cos θ<1,所以13<|c|<5,所以|c |的取值范围为(13,5).16.(2019年大兴区月考)(本小题满分10分)设OA →=(2,-1),OB →=(3,0),OC →=(m,3). (1)当m =8时,将OC →用OA →和OB →表示;(2)若A ,B ,C 三点能构成三角形,求实数m 应满足的条件.【答案】 (1)m =8时,OC →=(8,3), 设OC →=λ1OA →+λ2OB →, ∴(8,3)=λ1(2,-1)+λ2(3,0) =(2λ1+3λ2,-λ1),∴⎩⎪⎨⎪⎧2λ1+3λ2=8,-λ1=3,解得⎩⎪⎨⎪⎧λ1=-3,λ2=143,∴OC →=-3OA →+143OB →.(2)若A ,B ,C 三点能构成三角形, 则有AB →与AC →不共线,又AB →=OB →-OA →=(3,0)-(2,-1)=(1,1), AC →=OC →-OA →=(m,3)-(2,-1)=(m -2,4), 则有1×4-(m -2)×1≠0, ∴m ≠6.17.(2019年西湖区期末)(本小题满分10分)已知a ,b ,c 在同一平面内,且a =(1,2). (1)若|c |=25,且c ∥a ,求c ; (2)若|b |=52,且(a +2b )⊥(2a -b ),求a 与b 的夹角. 【答案】 (1)∵c ∥a ,∴设c =λa , 则c =(λ,2λ). 又|c |=25,∴λ=±2, ∴c =(2,4)或(-2,-4). (2)∵(a +2b )⊥(2a -b ), ∴(a +2b )·(2a -b )=0. ∵|a |=5,|b |=52,∴a ·b =-52, ∴cos θ=a ·b|a ||b |=-1,又θ∈[0°,180°],∴θ=180°.。
人教A版高中数学必修4第二章 平面向量2.1 平面向量的实际背景及基本概念习题(4)
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2.1平面向量的实际背景及基本概念一、选择题1.【题文】下列各量中不是向量的是( ) A .浮力 B .风速 C .位移D .密度2.【题文】在下列判断中,正确的是( )①长度为的向量都是零向量;②零向量的方向都是相同的;③单位向量的长度都相等; ④单位向量都是同方向;⑤任意向量与零向量都共线. A .①②③ B .②③④ C .①②⑤ D .①③⑤3.【题文】若AB AD =且BA CD =,则四边形ABCD 的形状为( ) A .平行四边形 B .矩形 C .菱形 D .等腰梯形4.【题文】已知:如图,D ,E ,F 依次是等边三角形ABC 的边AB ,BC ,CA 的中点,在以A ,B ,C ,D ,E ,F 为起点或终点的向量中,与向量AD 共线的向量有()A .个B .个C .个D .个5.【题文】下列说法正确的有( )①方向相同的向量叫相等向量;②零向量的长度为;③共线向量是在同一条直线上的向量;④零向量是没有方向的向量;⑤共线向量不一定相等;⑥平行向量方向相同. A .个 B .个 C .个 D .个6.【题文】给出下列说法:①AB 和BA 的模相等;②方向不同的两个向量一定不平行;③向量就是有向线段;④0=0;⑤AB CD >,其中正确说法的个数是( )A. B. C. D.7.【题文】若四边形ABCD 是矩形,则下列说法中不正确的是 ( ) A .AB 与CD 共线B .AC 与BD 共线C .AD 与CB 是相反向量 D .AB 与CD 的模相等8.【题文】下列说法正确的是( )A .有向线段AB 与BA 表示同一向量 B .两个有公共终点的向量是平行向量C .零向量与单位向量是平行向量D .对任一向量,aa是一个单位向量 二、填空题9.【题文】如图,正六边形ABCDEF 中,点O 为中心,以,,,,,,A B C D E F O 为起点与终点的向量中,与向量AB 平行的向量有个(含AB ).10.【题文】给出下列四个条件:①=a b ;②=a b ;③与的方向相反;④0=a 或0=b ,其中能使a b 成立的条件有________.11.【题文】下列说法中,正确的是 . ①向量AB 的长度与BA 的长度相等;②向量a与向量b平行,则a与b的方向相同或相反;③两个有共同起点的单位向量,其终点必相同;④向量AB与向量CD是相等向量,则A、B、C、D能构成平行四边形.三、解答题12.【题文】如图,D,E,F分别是△ABC的边AB,BC,CA的中点,在以A,B,C,D,E,F为起点和终点的向量中:(1)找出与向量EF相等的向量;(2)找出与向量DF相等的向量.13.【题文】如图,在△ABC中,D,E分别是边AB,AC的中点,F,G分别是DB,EC 的中点,求证:向量DE与FG共线.14.【题文】如图,EF是△ABC的中位线,AD是BC边上的中线,在以A,B,C,D,E,F为端点的有向线段表示的向量中请分别写出:(1)与向量CD共线的向量;(2)与向量DF的模相等的向量;(3)与向量DE相等的向量.2.1平面向量的实际背景及基本概念参考答案与解析一、选择题1.【答案】D【解析】根据向量的定义,从大小和方向两个方面考虑,可知密度不是向量.考点:平面向量的概念.【题型】选择题【难度】较易2.【答案】D【解析】由零向量与单位向量的概念知①③⑤正确.考点:零向量与单位向量.【题型】选择题【难度】较易3.【答案】C【解析】四边形ABCD中,∵BA CD=,∴BA CD,且BA CD=,∴四边形ABCD是平行四边形.又AB AD=,∴平行四边形ABCD是菱形.考点:相等向量.【题型】选择题【难度】较易4.【答案】C【解析】∵D,E,F分别为AB,BC,CA的中点,∴AD∥EF ,∴与向量AD共线的向量有AB,FE,EF,DA,BA,BD,DB,共7个.考点:共线向量.【题型】选择题【难度】较易5.【答案】A【解析】长度相等且方向相同的向量叫做相等向量,故①错误;长度为的向量叫零向量,故②正确;通过平移能够移到同一条直线上的向量叫共线向量,故③错误;零向量的方向是任意的,故④错误;共线向量方向相同或相反,⑤正确;平行向量方向相同或相反,故⑥错误,因此②与⑤正确,其余都是错误的,故选C.考点:相等向量,共线向量.【题型】选择题【难度】一般6.【答案】B【解析】①正确,AB与BA是方向相反、模相等的两个向量;②错误,方向不同包括共线反向的向量;③错误,向量用有向线段表示,但二者并不等同;④错误,是一个向量,而为一数量,应为0=0;⑤错误,向量不能比较大小.只有①正确,故选B.考点:向量的有关概念.【题型】选择题【难度】一般7.【答案】B【解析】∵四边形ABCD是矩形,∴AB CD且AB CD=,AD CB,∴AB 与CD共线,且模相等,AD与CB是相反向量,∵AC与BD相交,∴AC与BD不共线,故B错误.考点:共线向量,相等向量.【题型】选择题【难度】一般 8. 【答案】C【解析】向量AB 与BA 方向相反,不是同一向量;有公共终点的向量的方向不一定相同或相反;当=0a 时,aa无意义,故A 、B 、D 错误.零向量与任何向量都是平行向量,C 正确.考点:平行向量;单位向量. 【题型】选择题 【难度】较难二、填空题 9. 【答案】10【解析】正六边形ABCDEF 中,点O 为中心,以,,,,,,A B C D E F O 为起点与终点的向量中,与向量AB 平行的向量有,,,,,,,,,AB BA OC CO OF FO CF FC DE ED ,共10个. 考点:平行向量. 【题型】填空题 【难度】较易 10.【答案】①③④【解析】因为与为相等向量,所以a b ,即①能够使a b 成立;=a b 并没有确定与的方向,即②不能够使ab 成立;与方向相反时,a b ,即③能够使a b 成立;因为零向量与任意向量共线,所以0=a 或0=b 时,a b 能够成立.故使a b 成立的条件是①③④.考点:平行向量. 【题型】填空题 【难度】一般11. 【答案】①【解析】对于①,向量AB 与BA 互为相反向量,长度相等,正确;对于②,因为零向量与任何向量平行,但零向量的方向是任意的,不能说方向相同或相反,所以②错误;对于③,两个有共同起点的单位向量,其终点不一定相同,因为方向不一定相同,所以③错误; 对于④,向量AB 与向量CD 是相等向量,则A 、B 、C 、D 可能在同一直线上,则A 、B 、C 、D 四点不一定能构成平行四边形,所以④错误.综上,正确的是①. 考点:平面向量的概念. 【题型】填空题 【难度】一般三、解答题 12.【答案】(1),BD DA (2),BE EC【解析】(1)∵E ,F 分别为BC ,AC 的中点, ∴EFBA ,且12EF BA =,又D 是BA 的中点, ∴EF BD DA ==,∴与向量EF 相等的向量是,BD DA .(2)∵D ,F 分别为BA ,AC 的中点, ∴DFBC ,且12DF BC =, 又E 是BC 的中点,∴DF BE EC ==, ∴与向量DF 相等的向量是,BE EC . 考点:共线向量.【题型】解答题【难度】较易13.【答案】详见解析【解析】证明:∵D,E分别是边AB,AC的中点,∴DE是△ABC的中位线,∴DE BC,∴四边形DBCE是梯形.又∵F,G分别是DB,EC的中点,∴FG是梯形DBCE的中位线,∴FG DE.∴向量DE与FG共线.考点:向量共线.【题型】解答题【难度】一般14.【答案】(1),,,,,,BD BC EF DB CB FE DC(2),,,,FD AE EA EB BE(3),CF FA【解析】根据三角形中位线的性质及共线向量及相等向量的概念即可得到:(1)与向量CD共线的向量为,,,,,,BD BC EF DB CB FE DC.(2)与向量DF的模相等的向量为,,,,FD AE EA EB BE.(3)与向量DE相等的向量为,CF FA.考点:相等向量,平行向量. 【题型】解答题【难度】一般。
(典型题)高中数学必修四第二章《平面向量》测试题(有答案解析)
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一、选择题1.如图,B 是AC 的中点,2BE OB =,P 是平行四边形BCDE 内(含边界)的一点,且(),OP xOA yOB x y R =+∈,则下列结论正确的个数为( )①当0x =时,[]2,3y ∈②当P 是线段CE 的中点时,12x =-,52y =③若x y +为定值1,则在平面直角坐标系中,点P 的轨迹是一条线段 ④x y -的最大值为1- A .1 B .2C .3D .42.若平面向量与的夹角为,,,则向量的模为( ) A .B .C .D .3.若12,e e 是夹角为60︒的两个单位向量,则向量1212,2a e e b e e =+=-+的夹角为( ) A .30B .60︒C .90︒D .120︒4.在AOB ∆中,0,5,25,OA OB OA OB AB ⋅===边上的高为,OD D 在AB 上,点E 位于线段OD 上,若34OE EA ⋅=,则向量EA 在向量OD 上的投影为( ) A .12或32B .1C .1或12D .325.已知1a ,2a ,1b ,2b ,()*k b k ⋅⋅⋅∈N是平面内两两互不相等的向量,121a a-=,且对任意的1,2i = 及1,2,,j k =⋅⋅⋅,{}1,2i j a b -∈,则k 最大值为( ) A .3B .4C .5D .66.在矩形ABCD 中,|AB |=6,|AD |=3.若点M 是CD 的中点,点N 是BC 的三等分点,且BN =13BC ,则AM ·MN =( ) A .6B .4C .3D .27.已知正方形ABCD 的边长为2,EF 为该正方形内切圆的直径,P 在ABCD 的四边上运动,则PE PF ⋅的最大值为( )A B .1C .2D .8.已知向量,a b 满足2(1,2),(1,)+==a b m b m ,且a 在b ,则实数m =( )A .2±B .2C .5±D 9.已知两个非零向量a ,b 的夹角为23π,且=2a b -,则·ab 的取值范围是( ) A .2,03⎛⎫- ⎪⎝⎭B .[)2,0-C .2,03⎡⎫-⎪⎢⎣⎭D .[)1,0-10.在直角梯形ABCD 中,0AD AB ⋅=,30B ∠=︒,AB =,2BC =,13BE BC =,则( )A .1163AE AB AD =+ B .1263AE AB AD =+ C .5163AE AB AD =+ D .5166AE AB AD =+ 11.已知向量a 、b 、c 满足0a b c ++=,且a b c <<,则a b ⋅、b c ⋅、a c ⋅中最小的值是( ) A .a b ⋅B .a c ⋅C .b c ⋅D .不能确定12.已知ABC 的内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,向量(,)m a b b c =++,(,)n c b a =-,若//m n ,则C =( )A .56πB .23π C .3π D .6π 二、填空题13.已知平面向量a ,b ,c ,d 满足1a b ==,2c =,0a b ⋅=,1c d -=,则2a b d ++的取值范围为______.14.已知向量1e ,2e 是平面α内的一组基向量,O 为α内的定点,对于α内任意一点P ,当12OP xe ye =+时,则称有序实数对(),x y 为点P 的广义坐标,若点A 、B 的广义坐标分别为()11,x y 、()22,x y ,对于下列命题: ① 线段A 、B 的中点的广义坐标为1212,22x x y y ++⎛⎫⎪⎝⎭;② A 、B③ 向量OA 平行于向量OB 的充要条件是1221x y x y =; ④ 向量OA 垂直于向量OB 的充要条件是12120x x y y +=. 其中的真命题是________(请写出所有真命题的序号)15.如图,在Rt ABC ∆中,2,60,90AB BAC B =∠=︒∠=︒,G 是ABC ∆的重心,则GB GC ⋅=__________.16.在平面内,定点,,A B C 满足DA DB DC ==,2DA DB DB DC DC DA ⋅=⋅=⋅=-,动点,P M 满足1AP PM MC ==,则2BM 的最大值为________.17.如图,设圆M 的半径为2,点C 是圆M 上的定点,A ,B 是圆M 上的两个动点,则CA CB ⋅的最小值是________.18.如图,在等腰三角形ABC 中,已知1AB AC ==,120A ∠=︒,E F 、分别是边AB AC 、上的点,且,AE AB AF AC λμ==,其中(),0,1λμ∈且41λμ+=,若线段EF BC 、的中点分别为M N 、,则MN 的最小值是_____.19.已知O 为ABC 内一点,且满足305OA OB OC =++,延长AO 交BC 于点D .若BD DC λ=,则λ=_____.20.已知平面向量a ,b 满足3a b +=,3a b -=,则向量a 与b 夹角的取值范围是______.三、解答题21.平面内给定三个向量(3,2),(1,2),(4,1)a b c ==-=. (1)求32a b c +-;(2)求满足a mb nc =+的实数m 和n ; (3)若()(2)a kc b a +⊥-,求实数k . 22.已知向量a 与b 的夹角为3π,且1a =,2b =. (1)求a b +;(2)求向量a b +与向量a 的夹角的余弦值. 23.已知向量,a b 满足:16,()2a b a b a ==⋅-=,. (1)求向量a 与b 的夹角; (2)求2a b -.24.如图,正六边形ABCDEF 的边长为1.M ,N 分别是BC ,DE 上的动点,且满足BM DN =.(1)若M ,N 分别是BC ,DE 的中点,求AM AN ⋅的值; (2)求AM AN ⋅的取值范围.25.已知向量()1,1,3,(0)2u sin x v sin x cos x ωωωω⎛⎫=-=+> ⎪⎝⎭且函数()f x u v =⋅,若函数f (x )的图象上两个相邻的对称轴距离为2π. (1)求函数f (x )的解析式; (2)将函数y =f (x )的图象向左平移12π个单位后,得到函数y =g (x )的图象,求函数g (x )的表达式并其对称轴;(3)若方程f (x )=m (m >0)在0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时,有两个不同实数根x 1,x 2,求实数m 的取值范围,并求出x 1+x 2的值.26.在ABC 中,D 是线段AB 上靠近B 的一个三等分点,E 是线段AC 上靠近A 的一个四等分点,4DF FE =,设AB m =,BC n =. (1)用m ,n 表示AF ;(2)设G 是线段BC 上一点,且使//EG AF ,求CG CB的值.【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除一、选择题 1.C 解析:C 【分析】利用向量共线的充要条件判断出①错,③正确;利用向量的运算法则求出OP ,求出x ,y 判断出②正确,利用三点共线解得④正确 【详解】当0x =时,OP yOB =,则P 在线段BE 上,故13y ≤≤,故①错 当P 是线段CE 的中点时,13()2OP OE EP OB EB BC =+=++ ()11153(2)32222OB OB AB OB OB OB OA OA OB =+-+=-+-=-+,故②对x y +为定值1时,A ,B ,P 三点共线,又P 是平行四边形BCDE 内(含边界)的一点,故P 的轨迹是线段,故③对如图,过P 作//PM AO ,交OE 于M ,作//PN OE ,交AO 的延长线于N , 则:OP ON OM =+;又OP xOA yOB =+;0x ∴≤,1y ≥;由图形看出,当P 与B 重合时:01OP OA OB =⋅+⋅;此时x 取最大值0,y 取最小值1;所以x y -取最大值1-,故④正确 所以选项②③④正确. 故选:C 【点睛】结论点睛:若OC xOA yOB =+,则,,A B C 三点共线1x y ⇔+=.2.C解析:C 【解析】,,又,,则,故选3.B解析:B 【分析】首先分别求出12a e e =+与122b e e =-+的数量积以及各自的模,利用数量积公式求之. 【详解】 由已知,1212e e ⋅=,所以(()1212)2e e e e +-+=32,|12e e +3,|122e e -+3, 设向量1212,2a e e b e e =+=-+的夹角为α,则312cos ,2333παα==∴=⋅.故答案为B 【点睛】(1)本题主要考查向量的夹角的求法,意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2) 求两个向量的夹角一般有两种方法,方法一:·cos ,ab a b a b=,方法二:设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ,θ为向量a 与b 的夹角,则121222221122cos x y x yθ=+⋅+.4.A解析:A 【解析】Rt AOB 中,0OA OB ⋅=,∴2AOB π∠=,∵5OA =,25OB =,∴225AB OA OB += , ∵AB 边上的高线为OD ,点E 位于线段OD 上,建立平面直角坐标系,如图所示; 则)5,0A、(025B ,、设(),D m n ,则OAD BAO ∽,∴OA ADAB OA=, ∴1AD =,∴15AD AB =, 即()(155,255m n =-,,求得45m =, ∴4525D ⎝⎭;则45254525OE OD λλ⎫===⎪⎪⎝⎭⎝⎭, 45255,EA ⎛⎫= ⎪ ⎪⎭;∵34OE EA ⋅=, ∴2454525354⎫⎫⋅-=⎪⎪⎪⎪⎭⎝⎭, 解得34λ=或14λ=;∴向量EA 在向量OD 上的投影为))452511ED OD OE λλ⎛⎫=-=-- ⎪⎪⎝⎭, 当34λ=时,5512ED ⎛== ⎝⎭;当14λ=时,353532ED ==⎝⎭. 即向量EA 在向量OD 上的投影为12或32,故选A.5.D解析:D 【分析】根据向量的几何意义把抽象问题具体化,转化到圆与圆的位置关系问题. 【详解】如图所示,设11OA a =,22OA a =,此时121A A =,由题意可知:对于任意的1,2i = 及1,2,,j k =⋅⋅⋅,{}1,2i j a b -∈, 作j j OB b =则有1j A B 等于1或2,且2j A B 等于1或2, 所以点(1,2,,)j B j k =同时在以(1,2)i A i =为圆心,半径为1或2的圆上,由图可知共有6个交点满足条件,故k 的最大值为6.故选:D. 【点睛】本题主要考查平面向量的线性运算和平面向量的应用.6.C解析:C 【分析】根据向量的运算法则,求得12AM AD AB =+,2132MN AD AB =-+,再结合向量的数量积的运算公式,即可求解. 【详解】由题意,作出图形,如图所示:由图及题意,根据向量的运算法则,可得12AM AD DM AD AB =+=+, 2132MN CN CM CB CD =-=-21213232BC DC AD AB =-+=-+,所以2212121||||23234AM MN AD AB AD AB AD AB ⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅-+=-⋅+⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭21936334=-⨯+⨯=.故选C .【点睛】本题主要考查了向量的运算法则,以及平面向量的数量积的运算,其中解答中熟练应用向量的运算法则和向量的数量积的运算公式是解答的关键,着重考查推理与运算能力.7.B解析:B 【分析】作出图形,利用平面向量的线性运算以及数量积的运算性质可得出21P OP E PF =⋅-,求得OP 的最大值,由此可求得PE PF ⋅的最大值. 【详解】 如下图所示:由题可知正方形ABCD 的内切圆的半径为1,设该内切圆的圆心为O ,()()()()2221PE PF OE OP OF OP OP OE OP OE OP OE OP ⋅=-⋅-=-+⋅--=-=-,由图象可知,当点P 为ABCD 的顶点时,2OP 取得最大值2,所以PE PF ⋅的最大值为1.故选:B. 【点睛】本题考查平面向量数量积最值的计算,考查计算能力,属于中等题.8.A解析:A 【分析】根据2(1,2),(1,)+==a b m b m 可得0,2m a ⎛⎫= ⎪⎝⎭,结合||cos a θ=,列出等式,即可解出答案. 【详解】因为向量,a b 满足2(1,2),(1,)a b m b m +==,22(0,)a a b b m =+-=,所以20,,22m m a a b ⎛⎫=⋅= ⎪⎝⎭,若向量,a b 的夹角为θ,则2225||(||cos )152m b a m a b θ=+⋅=⋅=, 所以42516160m m --=,即()()225440m m +-=,解得2m =±. 故选:A . 【点睛】本题主要考查向量的投影及平面向量数量积公式,属于中档题.平面向量数量积公式有两种形式,一是||||cos a b a b θ⋅=,二是1212a b x x y y ⋅=+,主要应用以下几个方面:(1)求向量的夹角,cos ||||a ba b θ⋅=⋅(此时a b ⋅往往用坐标形式求解);(2)求投影,a 在b 上的投影是||a bb ⋅;(3),a b 向量垂直则0a b ⋅=;(4)求向量ma nb +的模(平方后需求a b ⋅). 9.C解析:C 【分析】对=2a b -两边平方后,结合2·cos 3a b a b π=⋅进行化简可得:224a b b +⋅+=;由基本不等式可得222a b a b +⋅,于是推出403a b<⋅,再结合平面向量数量积即可得解. 【详解】因为2a b -=,所以 2224a a b b -⋅+=,所以2222cos 43b b a a π-⋅+=,即224a a b b +⋅+=, 由基本不等式的性质可知,222a ba b +⋅,403a b∴<⋅, 所以212·cos ,0323a b a b a b π⎡⎫=⋅⋅=-⋅∈-⎪⎢⎣⎭. 故选:C . 【点睛】本题主要考查平面向量数量积运算,考查利用基本不等式求最值,难度一般.对于平面向量的模长问题,一般采用平方处理,然后结合平面向量数量积的运算公式求解即可.10.C解析:C 【分析】先根据题意得1AD =,CD =2AB DC =,再结合已知和向量的加减法运算求解即可得的答案. 【详解】由题意可求得1AD =,CD =所以2AB DC =, 又13BE BC =, 则()1133AE AB BE AB BC AB BA AD DC =+=+=+++ 1111333AB AD DC ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭1111336AB AD AB ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭115116363AB AD AB AD ⎛⎫=-+=+ ⎪⎝⎭.故选:C. 【点睛】本题考查用基底表示向量,考查运算能力,是基础题.11.C解析:C 【分析】由0a b c ++=,可得2222222().2()a b c a b b c a b c =-+=-+、2222()a c b a c =-+,利用||||||a b c <<,即可比较. 【详解】解:由0a b c ++=,可得()c a b =-+,平方可得2222()a b c a b =-+. 同理可得2222()b c a b c =-+、2222()a c b a c =-+,||||||a b c <<,∴222a b c <<则a b 、b c 、a c 中最小的值是b c . 故选:C . 【点睛】本题考查了向量的数量积运算,属于中档题.12.B解析:B 【分析】由//m n ,可得()()()0a b a c b b c +⨯--⨯+=.结合余弦定理,可求角C . 【详解】(,),(,)m a b b c n c b a =++=-,且//m n ,()()()0a b a c b b c ∴+⨯--⨯+=,整理得222c a b ab =++. 又22212cos ,cos 2c a b ab C C =+-∴=-.()20,,3C C ππ∈∴=.故选:B. 【点睛】本题考查向量共线的坐标表示和余弦定理,属于基础题.二、填空题13.【分析】用几何意义求解不妨设则在圆心在原点半径为2的圆上设则在以为圆心半径为1的圆上运动后形成的轨迹是圆心在原点大圆半径为3小圆半径为1的圆环表示圆环内的点与定点的距离由图形可得最大值和最小值【详解解析:3⎡⎤⎣⎦【分析】用几何意义求解.不妨设()1,0a =,()0,1b =,(),c x y =,则(,)C x y 在圆心在原点,半径为2的圆上,设(),d x y '=',则(,)D x y ''在以C 为圆心半径为1的圆上,C 运动后,D 形成的轨迹是圆心在原点,大圆半径为3,小圆半径为1的圆环,2a b d ++表示圆环内的点D 与定点()2,1P --的距离,由图形可得最大值和最小值.【详解】令()1,0a =,()0,1b =,(),c x y =,设C 的坐标为(),x y ,C 的轨迹为圆心在原点,半径为2的圆上.设(),d x y '=',D 的坐标为(),x y '',D 的轨迹为圆心在原点,大圆半径为3,小圆半径为1的圆环上.()22,1a b d d ++=---表示D 与点()2,1P --的距离,由图可知,故2a b d ++的取值范围为0,53⎡⎤+⎣⎦. 故答案为:0,53⎡⎤+⎣⎦【点睛】本题考查向量模的几何意义,考查模的最值,解题关键是设()1,0a =,()0,1b =,(),c x y =,(),d x y '=',固定,a b 后得出了,C D 的轨迹,然后由模2a b d ++的几何意义得出最值.14.①③【分析】根据点的广义坐标分别为利用向量的运算公式分别计算①②③④得出结论【详解】点的广义坐标分别为对于①线段的中点设为M 根据=()=中点的广义坐标为故①正确对于②∵(x2﹣x1)A 两点间的距离为解析:①③ 【分析】根据点A 、B 的广义坐标分别为()11,x y 、()22,x y ,1112OA x e y e ∴=+,2122OB x e y e =+,利用向量的运算公式分别计算①②③④,得出结论.【详解】点A 、B 的广义坐标分别为()11,x y 、()22,x y ,1112OA x e y e ∴=+,2122OB x e y e =+,对于①,线段A 、B 的中点设为M ,根据OM =12(OA OB +)=12112211()()22x x e y y e +++∴中点的广义坐标为1212,22x x y y ++⎛⎫⎪⎝⎭,故①正确. 对于②,∵AB =(x 2﹣x 1)()1212e y y e +-,∴A 、B 12e ,故②不一定正确.对于③,向量OA 平行于向量OB ,则t OA OB =,即(11,x y )=t ()22,x y ,1221x y x y ∴=,故③正确.对于④,向量OA 垂直于向量OB ,则OA OB =0,221211221121220x x e x y x y e e y y e ∴+++=(),故④不一定正确.故答案为①③. 【点睛】本题在新情境下考查了数量积运算性质、数量积定义,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.15.【解析】分析:建立平面直角坐标系结合平面向量数量积的坐标运算整理计算即可求得最终结果详解:建立如图所示的平面直角坐标系则:由中心坐标公式可得:即据此有:结合平面向量数量积的坐标运算法则可得:点睛:求 解析:209-【解析】分析:建立平面直角坐标系,结合平面向量数量积的坐标运算整理计算即可求得最终结果.详解:建立如图所示的平面直角坐标系,则:()0,2A ,()0,0B ,()C ,由中心坐标公式可得:2003G ⎫++⎪⎪⎝⎭,即23G ⎫⎪⎭, 据此有:233GB ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭,4233GC ⎛⎫=-⎪⎭, 结合平面向量数量积的坐标运算法则可得:222203339GB GC ⎛⎛⎫⎛⎫⋅=--⨯-=- ⎪ ⎪⎝⎝⎭⎝⎭.点睛:求两个向量的数量积有三种方法:利用定义;利用向量的坐标运算;利用数量积的几何意义.具体应用时可根据已知条件的特征来选择,同时要注意数量积运算律的应用.16.【分析】由可得为的外心又可得为的垂心则为的中心即为正三角形运用向量的数量积定义可得的边长以为坐标原点所在直线为轴建立直角坐标系求得的坐标再设由中点坐标公式可得的坐标运用两点的距离公式可得的长运用三角 解析:494【分析】由DA DB DC ==,可得D 为ABC ∆的外心,又DA DB DB DC DC DA ⋅=⋅=⋅,可得D 为ABC ∆的垂心,则D 为ABC ∆的中心,即ABC ∆为正三角形.运用向量的数量积定义可得ABC ∆的边长,以A 为坐标原点,AD 所在直线为x 轴建立直角坐标系xOy ,求得,B C 的坐标,再设(cos ,sin ),(02)P θθθπ≤<,由中点坐标公式可得M 的坐标,运用两点的距离公式可得BM 的长,运用三角函数的恒等变换公式,结合正弦函数的值域,即可得到最大值. 【详解】解: 由DA DB DC ==,可得D 为ABC ∆的外心, 又DA DB DB DC DC DA ⋅=⋅=⋅,可得()0,(DB DA DC DC DB ⋅-=⋅ )0DA -=,即0DB AC DC AB ⋅=⋅=, 即有,DB AC DC AB ⊥⊥,可得D 为ABC ∆的垂心, 则D 为ABC ∆的中心,即ABC ∆为正三角形, 由2DA DB ⋅=-,即有||||cos1202DA DB ︒⋅=-, 解得||2DA =,ABC ∆的边长为4cos3023︒=以A 为坐标原点,AD 所在直线为x 轴建立直角坐标系xOy , 可得B(3,3),C(3,3),D(2,0)-, 由||1AP =,可设(cos ,sin ),(02)P θθθπ≤<,由PM MC =,可得M 为PC 中点,即有3cos 3sin (2M θθ++,则2223cos3sin||3=3+2BMθθ⎛⎫++⎛⎫-+⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝22(3cos)(33sin)376cos63sin4θθθθ-+-+=+=3712sin64πθ⎛⎫+-⎪⎝⎭=,当sin16πθ⎛⎫-=⎪⎝⎭,即23πθ=时,取得最大值,且为494.故答案为:494.【点睛】本题考查向量的定义和性质,以及模的最值的求法,注意运用坐标法,转化为三角函数的最值的求法,考查化简整理的运算能力,属于中档题.17.【分析】延长BC作圆M的切线设切点为A1切线与BD的交点D结合数量积的几何意义可得点A运动到A1时在上的投影最小设将结果表示为关于的二次函数求出最值即可【详解】如图延长BC作圆M的切线设切点为A1切解析:2-【分析】延长BC,作圆M的切线,设切点为A1,切线与BD的交点D,结合数量积的几何意义可得点A运动到A1时,CA在CB上的投影最小,设CP x=,将结果表示为关于x的二次函数,求出最值即可.【详解】如图,延长BC,作圆M的切线,设切点为A1,切线与BD的交点D,由数量积的几何意义,CA CB⋅等于CA在CB上的投影与CB之积,当点A运动到A1时,CA在CB上的投影最小;设BC中点P,连MP,MA1,则四边形MPDA1为矩形;设CP=x,则CD=2-x,CB=2x,CA CB⋅=()()222224212x x x x x--⋅=-=--,[]02x∈,,所以当1x =时,CA CB ⋅最小,最小值为2-, 故答案为:2-. 【点睛】本题考查平面向量数量积的几何意义,考查了学生的作图能力以及分析问题解决问题的能力,属于中档题.18.【分析】根据条件及向量数量积运算求得连接由三角形中线的性质表示出根据向量的线性运算及数量积公式表示出结合二次函数性质即可求得最小值【详解】根据题意连接如下图所示:在等腰三角形中已知则由向量数量积运算 解析:77【分析】根据条件及向量数量积运算求得AB AC ⋅,连接,AM AN ,由三角形中线的性质表示出,AM AN .根据向量的线性运算及数量积公式表示出2MN ,结合二次函数性质即可求得最小值. 【详解】根据题意,连接,AM AN ,如下图所示:在等腰三角形ABC 中,已知1AB AC ==,120A ∠=︒则由向量数量积运算可知1cos 11cos1202AB AC AB AC A ⋅=⋅=⨯⨯=- 线段EF BC 、的中点分别为M N 、则()()1122AM AE AF AB AC λμ=+=+ ()12AN AB AC =+ 由向量减法的线性运算可得11112222MN AN AM AB AC λμ⎛⎫⎛⎫=-=-+-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以2211112222MN AB AC λμ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦222211111111222222222AB AC AB AC λμλμ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+⨯-⨯-⨯⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭221111111112222222222λμλμ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+⨯-⨯-⨯- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭因为41λμ+=,代入化简可得22221312111424477MN μμμ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭因为(),0,1λμ∈且41λμ+=10,4μ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭所以当17μ=时, 2MN 取得最小值17因而minMN==故答案为: 7【点睛】本题考查了平面向量数量积的综合应用,向量的线性运算及模的求法,二次函数最值的应用,属于中档题.19.【分析】将已知条件转化为结合得到设列出关于的方程组由此求得【详解】由于所以所以即因为即化简得设所以解得故答案为:【点睛】本小题主要考查平面向量的基本定理考查平面向量的线性运算考查化归与转化的数学思想解析:53【分析】将已知条件转化为1539AO AB AC =+,结合BD DC λ=,得到111AD AB AC λλλ=+++,设AO k AD =,列出关于,k λ的方程组,由此求得λ. 【详解】 由于305OA OB OC =++,所以()()350OA AB AO AC AO +-+-=,所以935AO AB AC =+,即1539AO AB AC =+. 因为BD DC λ=,即()AD AB AC AD λ-=-, 化简得111AD AB AC λλλ=+++, 设11k k AO k AD AB AC λλλ==+++,所以1 13519kkλλλ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩,解得53λ=.故答案为:53【点睛】本小题主要考查平面向量的基本定理,考查平面向量的线性运算,考查化归与转化的数学思想方法,属于中档题.20.【分析】由已知得由得由不等式可知再由得最后由可得解【详解】由得即由得即由得由得所以故答案为:【点睛】本题考查了向量及其模的运算考查了向量的夹角公式和基本不等式考查了计算能力属于中档题解析:0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】由已知,得22222923a ab ba ab b+⋅⎧⎪⎨⎪+=-⋅+=⎩②①,由+①②,得226a b+=,由不等式可知3a b ≤,再由-①②,得32a b⋅=,最后由cos,a ba ba b⋅=可得解.【详解】由3a b+=,3a b-=,得()()2239baab⎧⎪⎨⎪-==+⎩,即22222923a ab ba ab b+⋅⎧⎪⎨⎪+=-⋅+=⎩②①由+①②,得226a b+=,即226a b+=由-①②,得32a b⋅=由222a b a b +≥,得3a b ≤1cos ,2a b a b a b⋅=≥所以,0,3a b π≤≤.故答案为:0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦【点睛】本题考查了向量及其模的运算,考查了向量的夹角公式和基本不等式,考查了计算能力,属于中档题.三、解答题21.(1)6;(2)58,99m n ==;(3)1118k =-.【分析】(1)利用向量加法的坐标运算得到()320,6a b c +-=,再求模长即可;(2)先写mb nc +的坐标,再根据a mb nc =+使对应横纵坐标相等列方程组,解方程组即得结果;(3)利用向量垂直则数量积为零,再利用数量积的坐标运算列关系求出参数即可. 【详解】解:(1)由(3,2),(1,2),(4,1)a b c ==-=,得3(9,6),(1,2),2(8,2)a b c ==-=∴()()32918,6220,6a b c +-=--+-=,∴23206a b c +-=+=;(2)()(),2,4,mb m m nc n n =-=, ∴()4,2mb nc n m m n +=-+,a mb nc =+,∴()4,2(3,2)a n m m n ==-+,故4322n m m n -=⎧⎨+=⎩,解得58,99m n ==;(3)(3,2),(4,)a kc k k ==,∴()34,2a kc k k +=++,(3,2),2(2,4)a b ==-,∴()25,2b a -=-,()()2a kc b a +⊥-,∴()()20a kc b a +⋅-=,即()()534220k k -+++=,解得1118k =-. 【点睛】 结论点睛:若()()1122,,,a x y b x y == ,则//a b 等价于12210x y x y -=;a b ⊥等价于12120x x y y +=.22.(1;(2. 【分析】(1)由已知利用平面向量数量积公式可得1a b ⋅=,平方后根据向量数量积的运算可求||a b +的值.(2)结合(1),根据已知条件,由向量夹角的余弦公式即可求解.【详解】(1)向量a 与b 的夹角为3π,且||1a =,||2b =, ∴||||cos a b a b a ⋅=<,112cos12132b π>=⨯⨯=⨯⨯=.222||()2142a b a b a b a b ∴+=+=++⋅=++=.(2)设向量a b +与向量a 的夹角θ,22()||27cos ||||||||||||71a b a a a b a a b a b a a b a a b a θ+⋅+⋅+⋅∴=====+⋅+⋅+⋅⨯. 【点睛】本题主要考查了向量数量积的运算及计算公式,向量夹角的余弦公式,属于中档题.23.(1)π3;(2) 【分析】(1)设向量a 与b 的夹角θ,利用向量的数量积公式计算()2a b a ⋅-=,可得向量的夹角;(2)利用向量的模长公式:2a a =,代入计算可得. 【详解】 (1)设向量a 与b 的夹角θ, ()16cos 12a b a a b θ⋅-=⋅-=-=,解得1cos 2θ=, 又[]0πθ∈,,π3θ∴= (2)由向量的模长公式可得:()222a b a b -=-==. 【点睛】 本题主要考查向量数量积公式的应用,向量模长的计算,求向量的模长需要熟记公式2a a =,考查学生的逻辑推理与计算能力,属于基础题.24.(1)118;(2)31.2⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【分析】 (1)首先以点A 为坐标原点建立平面直角坐标系.求AM ,AN 的坐标,再求数量积;(2)首先利用BM DN =,设BM DN t ==,表示向量AM ,AN ,利用数量积的坐标表示转化为二次函数求取值范围. 【详解】 (1)如图,以AB 所在直线为x 轴,以A 为坐标原点建立平面直角坐标系.因为ABCDEF 是边长为1的正六边形,且M ,N 分别是BC ,DE 的中点, 所以53,44M ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭,132N ⎛ ⎝, 所以5311848AM AN ⋅=+=. (2)设BM DN t ==,则[]0,1t ∈.所以31,22t M ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭,(13N t -. 所以()()223113*********t AM AN t t t t t ⎛⎫⋅=+⋅-+=-++=--+ ⎪⎝⎭. 当0t =时,AM AN ⋅取得最小值1;当1t =时,AM AN ⋅取得最大值32. 所以AM AN ⋅的取值范围为31.2⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本题考查数量积的坐标表示,重点考查计算能力,属于基础题型.25.(1)()26f x sin x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭;(2)()2g x sin x =, 对称轴为,42k x k Z ππ=+∈;(3)112m ≤<,,1223x x π+=. 【分析】 (1) 根据向量()1,1,3,(0)2u sin x v sin x cos x ωωωω⎛⎫=-=+> ⎪⎝⎭和函数()f x u v =⋅,利用数量积结合倍角公式和辅助角法得到,()26πω⎛⎫=-⎪⎝⎭f x sin x ,再根据函数f (x )的图象上两个相邻的对称轴距离为2π求解. (2)依据左加右减,将函数y =f (x )的图象向左平移12π个单位后,得到函数()22126g x sin x sin x ππ⎡⎤⎛⎫=+-= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦,令2,2ππ=+∈x k k Z 求其对称轴. (3)作出函数f (x )在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上图象,根据函数y =f (x )与直线y =m 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个交点求解.再令2,62x k k Z πππ-=+∈,求对称轴. 【详解】(1)()()21122ωωωωωω=-=-f x sin x sin x x sin x xcos x ,1222226πωωω⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭sin x cos x sin x ∵函数f (x )的图象上两个相邻的对称轴距离为2π, ∴22T π=, ∴2(0)2ππωω=>, ∴ω=1, 故函数f (x )的解析式为()sin 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭; (2)依题意,()22126g x sin x sin x ππ⎡⎤⎛⎫=+-= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦, 令2,2ππ=+∈x k k Z ,则,42ππ=+∈k x k Z , ∴函数g (x )的对称轴为,42ππ=+∈k x k Z ;(3)∵0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦, ∴52,666x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦, ∴12,162sin x π⎛⎫⎡⎤-∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦, 函数f (x )在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的草图如下,依题意,函数y =f (x )与直线y =m 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个交点,则112m ≤<, 令2,62x k k Z πππ-=+∈,则,32k x k Z ππ=+∈, ∴函数f (x )在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的对称轴为3x π=,则1223x x π+=. 【点睛】 本题主要考查了平面向量和三角函数,三角函数的图象和性质及其应用,还考查了数形结合的思想和运算求解的能力,属于中档题.26.(1)1135AF m n =+(2)310CG CB = 【分析】(1)依题意可得23AD AB =、14AE AC =,再根据DE AE AD =-,AF AD DF =+计算可得;(2)设存在实数λ,使得(01)CG CB λλ=<<,由因为//EG AF ,所以存在实数μ, 使AF EG μ=,再根据向量相等的充要条件得到方程组,解得即可;【详解】解:(1)因为D 是线段AB 上靠近B 的一个三等分点,所以23AD AB =.因为E 是线段AC 上靠近A 的一个四等分点,所以14AE AC =, 所以1243DE AE AD AC AB =-=-. 因为4DF FE =,所以4185515DF DE AC AB ==-, 则2183515AF AD DF AB AC AB =+=+- 2111()15535AB AB BC AB BC =++=+. 又AB m =,BC n =. 所以11113535AF AB BC m n =+=+. (2)因为G 是线段BC 上一点,所以存在实数λ,使得(01)CG CB λλ=<<, 则33()44EG EC CG AC CB AB BC BC λλ=+=+=+- 3333()()4444AB BC m n λλ=+-=+- 因为//EG AF ,所以存在实数μ,使AF EG μ=,即1133[()]3544m n m n μλ+=+-, 整理得31,4331(),45μμλ⎧=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩解得310λ=, 故310CGCB =. 【点睛】本题考查平面向量的线性运算及平面向量共线定理的应用,属于中档题.。
新版高中数学人教A版必修4习题:第二章平面向量 检测B(1)
![新版高中数学人教A版必修4习题:第二章平面向量 检测B(1)](https://img.taocdn.com/s3/m/94958158a45177232f60a2f5.png)
第二章检测(B )(时间:90分钟 满分:120分)一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1已知向量a =(1,2),b =(3,-1),c =(-2,4),则a (b ·c )=( )A .(-2,4)B .(-10,-20)C .(2,-4)D .(10,20)解析:∵a =(1,2),b =(3,-1),c =(-2,4),∴a (b ·c )=-10a =(-10,-20). 答案:B2已知点A (1,3),B (4,-1),则与向量AB⃗⃗⃗⃗⃗ 同方向的单位向量为( ) A .(35,-45)B .(45,-35)C .(-35,45)D .(-45,35)解析:与向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 同方向的单位向量为AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=(3,-4)√3+(-4)=(35,-45),故选A .答案:A3设点A (2,0),B (4,2),若点P 在直线AB 上,且|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2|AP ⃗⃗⃗⃗⃗ |,则点P 的坐标为( ) A .(3,1) B .(1,-1) C .(3,1)或(1,-1)D .无数多个解析:设P (x ,y ),由|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2|AP ⃗⃗⃗⃗⃗ |得AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2AP ⃗⃗⃗⃗⃗ 或AB⃗⃗⃗⃗⃗ =−2AP ⃗⃗⃗⃗⃗ . ∵AB⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,2),AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x −2,y), ∴由AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ,得(2,2)=2(x-2,y ),x=3,y=1,得P (3,1). 由AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =−2AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ,得(2,2)=-2(x-2,y ),x=1,y=-1,得P (1,-1). 答案:C4若向量α,β是一组基底,向量γ=x α+y β(x ,y ∈R ),则称(x ,y )为向量γ在基底α,β下的坐标,现已知向量a 在基底p =(1,-1),q =(2,1)下的坐标为(-2,2),则向量a 在另一组基底m =(-1,1),n =(1,2)下的坐标为( ) A .(2,0)B .(0,-2)C .(-2,0)D .(0,2)解析:∵a 在基底p ,q 下的坐标为(-2,2),∴a =-2p +2q =(2,4).设a =x m +y n ,则a =(-x+y ,x+2y )=(2,4),即{-x +y =2,x +2y =4,解得{x =0,y =2,∴a 在基底m ,n 下的坐标为(0,2). 答案:D5在平面直角坐标系xOy 中,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,1),AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,k),若三角形ABC 是直角三角形,则k 的可能值的个数是( ) A .1B .2C .3D .4解析:若∠A=90°,则AB⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =6+k =0,k =−6; 若∠B=90°,则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB⃗⃗⃗⃗⃗ ·(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=0,6+k −5=0,k =−1;若∠C=90°,则AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=0,k2−k +3=0,无解. 综上,k 可能取-6,-1两个数.故选B . 答案:B6在△ABC 中,点D 在线段BC 的延长线上,且BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,点O 在线段CD 上(与点C,D 不重合),若AO⃗⃗⃗⃗⃗ =xAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +(1−x)AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则x 的取值范围是( ) A .(0,12)B.(0,13)C .(-12,0)D.(-13,0)解析:由AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =xAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +(1−x)AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,得AO ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC⃗⃗⃗⃗⃗ =x(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ),∴CO ⃗⃗⃗⃗⃗ =xCB ⃗⃗⃗⃗⃗ =−2xCD ⃗⃗⃗⃗⃗ , 又点O 在线段CD 上(与点C ,D 不重合),∴0<-2x<1,∴−12<x <0.答案:C7已知菱形ABCD 的边长为2,∠BAD=120°,点E ,F 分别在边BC ,DC 上,BE=λBC ,DF=μDC.若AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AF⃗⃗⃗⃗⃗ =1,CE ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CF ⃗⃗⃗⃗⃗ =−23,则λ+μ=( ) A .12B.23C.56D.712解析:由于菱形边长为2,所以BE=λBC=2λ,DF=μDC=2μ,从而CE=2-2λ,CF=2-2μ.由AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =1, 得(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BE ⃗⃗⃗⃗⃗ )·(AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DF ⃗⃗⃗⃗⃗ )=AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·DF ⃗⃗⃗⃗⃗ +BE ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +BE ⃗⃗⃗⃗⃗ ·DF ⃗⃗⃗⃗⃗=2×2×cos120°+2·(2μ)+2λ·2+2λ·2μ·cos120° =-2+4(λ+μ)-2λμ=1, 所以4(λ+μ)-2λμ=3.由CE ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CF ⃗⃗⃗⃗⃗ =−23,得(2-2λ)·(2-2μ)·(-12)=−23, 所以λμ=λ+μ−23,因此有4(λ+μ)-2(λ+μ)+43=3,解得λ+μ=56,故选C .答案:C8在△ABC 中,已知向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 满足(AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |+AC⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|)·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,且AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |·AC⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AC⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=12,则△ABC 为( )A .等边三角形B .直角三角形C .等腰非等边三角形D .三边均不相等的三角形解析:因为AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |,AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |分别为AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 方向上的单位向量,故由(AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |+AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |)·BC⃗⃗⃗⃗⃗ =0可得BC ⊥AM (M 是∠BAC 的平分线与BC 的交点),所以△ABC 是以BC 为底边的等腰三角形,又AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |·AC⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=12,所以∠BAC=60°,所以△ABC 为等边三角形. 答案:A9若a ,b 是两个不共线的非零向量,a 与b 的起点相同,已知a ,t b ,13(a +b )三个向量的终点在同一条直线上,则t=( )A .13B.12C.23D.1解析:设OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ,OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =t b ,OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =13(a +b )=13OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +13tOB ⃗⃗⃗⃗⃗ .∵A,B,C 三点共线,∴13+13t=1,t =12.答案:B10已知点A ,B ,C 是直线l 上不同的三个点,点O 不在l 上,且实数x 满足x 2OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +xOB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,则由实数x 组成的集合为( ) A.⌀B.{-1}C .{-1-√52,-1+√52}D.{−1,0} 解析:由于AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,又AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∥AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则存在实数λ,使AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =λ(OB ⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ )=λOB ⃗⃗⃗⃗⃗ −λOA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以有λOA⃗⃗⃗⃗⃗ −λOB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,由于OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 和OB ⃗⃗⃗⃗⃗ 不共线,又x 2OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +xOB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0, 所以{x 2=λ,x =-λ.由于AC⃗⃗⃗⃗⃗ 是任意非零向量,则实数λ是任意实数,则等式λ2=λ不一定成立,所以实数x 满足x 2OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +xOB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0的集合为⌀. 答案:A二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在题中的横线上)11已知O 是直角坐标系的原点,A (2,2),B (4,1),在x 轴上有一点P ,使AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BP ⃗⃗⃗⃗⃗ 取得最小值,则点P 的坐标为 .解析:设P (x ,0),则AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x −3)2+1,故当x=3时取到最小值,故P (3,0). 答案:(3,0)12在平面直角坐标系中,O 为原点,A (-1,0),B (0,√3),C(3,0),动点D 满足|CD ⃗⃗⃗⃗⃗ |=1,则|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |的最大值是 . 解析:设动点D (x ,y ),则由|CD⃗⃗⃗⃗⃗ |=1,得(x-3)2+y 2=1,D 点轨迹为以(3,0)为圆心,半径为1的圆. 又OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x −1,y +√3), 所以|OA⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√(x -1)2+(y +√3)2,故|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |的最大值为点(3,0)与(1,−√3)之间的距离与1的和,即√(3-1)2+(0+√3)2+1=1+√7. 答案:1+√713在以OA 为边,OB 为对角线的矩形中,OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−3,1),OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,k),则实数k = . 解析:∵OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−3,1),OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,k),∴AB⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,k)−(−3,1)=(1,k −1). 又OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 为矩形相邻两边所对应的向量,∴OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AB⃗⃗⃗⃗⃗ , 即OA⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =−3×1+1×(k −1)=−4+k =0, 即k=4. 答案:414如图,点A ,B 是圆O 上的两点,∠AOB=60°,点D 是圆O 上异于A ,B 的任意一点,若OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =μOA ⃗⃗⃗⃗⃗ +λOB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则μ与λ的关系是 .解析:设圆的半径为r ,则OA=OB=OD=r.∵OD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =μOA ⃗⃗⃗⃗⃗ +λOB ⃗⃗⃗⃗⃗ , ∴OD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2=(μOA ⃗⃗⃗⃗⃗ +λOB ⃗⃗⃗⃗⃗ )2, 即r 2=μ2r 2+2λμr 2·cos60°+λ2r 2, 整理得μ2+λ2+λμ=1. 答案:μ2+λ2+λμ=115如图,在平面斜坐标系xOy 中,∠xOy=60°,平面上任一点P 在斜坐标系中的斜坐标是这样定义的:若OP⃗⃗⃗⃗⃗ =x e 1+y e 2(其中e 1,e 2分别为与x 轴、y 轴正方向相同的单位向量),则点P 的斜坐标为(x ,y ).若点P 的斜坐标为(3,-4),则点P 到原点O 的距离|PO|= .解析:|OP ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=(3e 1-4e 2)2=9|e 1|2-24e 1·e 2+16|e 2|2=9-24cos60°+16=13,所以|OP ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√13,所以点P 到原点O 的距离|PO|=√13. 答案:√13三、解答题(本大题共5小题,共45分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)16(8分)在四边形ABCD (A ,B ,C ,D 为顺时针排列)中,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(6,1),CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,−3),若BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ∥AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,且AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,求BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标. 解设BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x,y),则AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(6,1)+(x,y)+(−2,−3)=(x +4,y −2). 因为BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ∥AD ⃗⃗⃗⃗⃗ , 所以y (x+4)-x (y-2)=0, 整理得x=-2y.①AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(6,1)+(x,y)=(6+x,y +1),BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x −2,y −3). 又因为AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , 所以(6+x )(x-2)+(y+1)(y-3)=0, 整理得x 2+4x+y 2-2y-15=0, ② 由①②得{x =2,y =-1或{x =-6,y =3.所以BC⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标为(2,-1)或(-6,3).17(8分)已知向量a =(cos(-θ),sin(-θ)),b =(cos (π2-θ),sin (π2-θ)). (1)求证:a ⊥b ;(2)若存在不等于0的实数k 和t ,使x =a +(t 2+3)b ,y =-k a +t b 满足x ⊥y ,试求此时k+t 2t 的最小值.(1)证明∵a =(cos(-θ),sin(-θ))=(cos θ,-sin θ),b =(cos (π2-θ),sin (π2-θ))=(sin θ,cos θ),∴a ·b =(cos θ,-sin θ)·(sin θ,cos θ)=cos θsin θ-sin θcos θ=0. ∴a ⊥b .(2)解由x ⊥y ,得x ·y =0,即[a +(t 2+3)b ]·(-k a +t b )=0,∴-k a 2+(t 3+3t )b 2+[t-k (t 2+3)]a ·b =0, ∴-k|a |2+(t 3+3t )|b |2=0. 又|a |2=1,|b |2=1,∴-k+t 3+3t=0, ∴k=t 3+3t ,∴k +t 2t =t 3+t 2+3t t =t2+t +3=(t +12)2+114.故当t=−12时,k+t 2t 有最小值114.18(9分)已知向量a =(sin θ,cos θ-2sin θ),b =(1,2). (1)若a ∥b ,求tan θ的值; (2)若|a |=|b |,0<θ<π,求θ的值. 解(1)∵a ∥b ,∴2sin θ=cos θ-2sin θ,于是4sin θ=cos θ,故tan θ=14.(2)由|a |=|b |知,sin 2θ+(cos θ-2sin θ)2=5, 即sin 2θ-sin θcos θ=1. 若cos θ=0,又0<θ<π, 则θ=π2,等式成立.若cos θ≠0,sin 2θ-sin θcos θ=sin 2θ-sinθcosθsin 2θ+cos 2θ=tan 2θ-tanθtan 2θ+1=1,即tan θ=-1,∴θ=3π4. ∴θ的值为π2或3π4.19(10分)已知O 为坐标原点,直线y=x+a 与圆x 2+y 2=4分别交于A ,B 两点.若OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =−2,求实数a 的值.解由{x 2+y 2=4,y =x +a ,消去y 得,2x 2+2ax+a 2-4=0.设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则x 1,x 2是方程2x 2+2ax+a 2-4=0的解.由根与系数的关系,得x 1+x 2=-a ,x 1x 2=a 2-42.所以OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =x1x2+y1y2=x1x2+(x1+a)(x2+a)=2x1x2+a(x1+x2)+a2=a2−4−a2+a2=−2,所以a 2=2,即a=±√2.20(10分)在平面直角坐标系中,O 为坐标原点,A ,B ,C 三点满足OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =13OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +23OB ⃗⃗⃗⃗⃗ . (1)求证:A ,B ,C 三点共线;(2)求|AC⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||CB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |的值; (3)已知A (1,cos x ),B (1+cos x ,cos x ),x ∈[0,π2],f(x)=OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OC⃗⃗⃗⃗⃗ −(2m +23)|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |的最小值为−32,求实数m 的值.(1)证明∵OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =13OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +23OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴OC⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =23(OB ⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗), 即AC⃗⃗⃗⃗⃗ =23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ . ∴AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ∥AB⃗⃗⃗⃗⃗ . 又AC ,AB 有公共点A ,∴A ,B ,C 三点共线. (2)解由(1)得AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =23(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ), ∴13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =23CB ⃗⃗⃗⃗⃗ , ∴AC⃗⃗⃗⃗⃗ =2CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴|AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||CB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2.(3)解AB⃗⃗⃗⃗⃗ =(1+cos x ,cos x )-(1,cos x )=(cos x ,0). ∵x ∈[0,π2], ∴cos x ∈[0,1]. ∴|AB⃗⃗⃗⃗⃗ |=|cos x|=cos x. ∵AC⃗⃗⃗⃗⃗ =2CB ⃗⃗⃗⃗⃗ , ∴OC⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =2(OB ⃗⃗⃗⃗⃗ −OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ). ∴3OC⃗⃗⃗⃗⃗ =2OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =2(1+cos x ,cos x )+(1,cos x )=(3+2cos x ,3cos x ), ∴OC⃗⃗⃗⃗⃗ =(1+23cosx ,cosx). ∴f (x )=OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OC⃗⃗⃗⃗⃗ −(2m +23)|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ | =1+23cos x+cos 2x −(2m +23)cos x=(cos x-m)2+1-m2,cos x∈[0,1].当m<0时,当且仅当cos x=0时,f(x)取得最小值1,与已知最小值为−32相矛盾,即m<0不合题意; 当0≤m≤1时,当且仅当cos x=m时,f(x)取得最小值1-m2.由1-m2=−32,得m=±√102(舍去);当m>1时,当且仅当cos x=1时,f(x)取得最小值2-2m,由2-2m=−32,得m=74>1.综上所述,实数m的值为74.。
高中数学 第二章 《平面向量》测试题B卷 新人教A版必修4
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高中数学必修4 第二章 《平面向量》测试题B 卷考试时间:100分钟,满分:150分一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请把正确答案的代号填在题后的括号内(每小题5分,共50分).1.化简AB →+BD →-AC →-CD →等于 ( ) A.AD → B .0 C.BC → D.DA →2.已知MA →=(-2,4),MB →=(2,6),则12AB →= ( )A .(0,5)B .(0,1)C .(2,5)D .(2,1) 3.下列说法正确的是( )A .(a ·b )c =a (b ·c )B .a ·c =b ·c 且c ≠0,则a =bC .若a ≠0,a ·b =0,则b =0D .|a ·b |≤|a |·|b |4.设向量a =(1,0),b =(12,12),则下列结论中正确的是 ( )A .|a |=|b |B .a ·b =22C .a -b 与b 垂直D .a ∥b 5.如图,正方形ABCD 中,点E 、F 分别是DC 、BC 的中点,那么EF →= ( )A.12AB →+12AD → B .-12AB →-12AD → C .-12AB →+12AD → D.12AB →-12AD 6.已知△ABC 中,AB →=a ,AC →=b ,a ·b <0,S △ABC =154,|a |=3,|b |=5,则a 与b 的夹角为( )A .30°B .-150°C .150°D .30°或150°7.已知a 、b 、c 是共起点的向量,a 、b 不共线,且存在m 、n ∈R 使c =m a +n b 成立,若a 、b 、c 的终点共线,则必有( )A .m +n =0B .m -n =1C .m +n =1D .m +n =-18.已知点A (-1,1)、B (1,2)、C (-2,-1)、D (3,4),则向量AB →在CD →方向上的投影为( )A.322B.3152 C .-322D .-31529.设向量a ,b ,c 满足|a |=|b |=1,a ·b =-12,〈a -c ,b -c 〉=60°,则|c |的最大值等于 ( )A .2 B. 3 C. 2D .110.设A 1,A 2,A 3,A 4是平面直角坐标系中两两不同的四点,若A 1A 3→=λA 1A 2→(λ∈R ),A 1A 4→=μA 1A 2→(μ∈R ),且1λ+1μ=2,则称A 3,A 4调和分割A 1,A 2,已知点C (c,0),D (d,0),(c ,d∈R )调和分割点A (0,0),B (1,0),则下面说法正确的是( )A .C 可能是线段AB 的中点 B .D 可能是线段AB 的中点C .C ,D 可能同时在线段AB 上 D .C ,D 不可能同时在线段AB 的延长线上 二、填空题(每小题6分,共计24分).11.已知向量a 、b ,且AB →=a +2b ,BC →=-5a +6b ,CD →=7a -2b ,则A 、B 、C 、D 四点中一定共线的三点是____________.12.已知向量a =(1,1),b = (2,-3),若k a -2b 与a 垂直,则实数k 等于________. 13.已知向量a =(1,2),b =(1,0),c =(3,4).若λ为实数,(a +λb )∥c ,则λ的值为____________.14.正三角形ABC 边长为2,设BC →=2BD →,AC →=3AE →,则AD →·BE →=________.三、解答题(共76分).15.(本题满分12分)已知向量a =(1,2),b =(x,1) (1)若〈a ,b 〉为锐角,求x 的范围; (2)当(a +2b )⊥(2a -b )时,求x 的值.16.(本题满分12分)设e 1、e 2是正交单位向量,如果OA →=2e 1+m e 2,OB →=n e 1-e 2,OC →=5e 1-e 2,若A 、B 、C 三点在一条直线上,且m =2n ,求m 、n 的值. 17.(本题满分12分)已知a 和b 是两个非零的已知向量,当a +t b (t ∈R )的模取最小值时. (1)求t 的值;(2)已知a 与b 成45°角,求证:b 与a +t b (t ∈R )垂直.18.(本题满分12分)已知向量a =(3,-1),b =(12,32).(1)求证:a ⊥b ;(2)是否存在不等于0的实数k 和t ,使x =a +(t 2-3)b ,y =-k a +t b ,且x ⊥y ?如果存在,试确定k 和t 的关系;如果不存在,请说明理由.19.(本题满分14分)已知A (3,0),B (0,3),C (cos α,sin α).(1)若AC →·BC →=-1,求sin ⎝⎛⎭⎪⎫α+π4的值; (2)若|OA →+OC →|=13,且α∈(0,π),求OB →与OC →的夹角.20.(本题满分14分)如图,已知△ABC 的三个顶点坐标为A (0,-4),B (4,0),C (-6,2).(1)求△ABC 的面积;(2)若四边形的ABCD 为平行四边形,求D 点的坐标.高中数学必修4 第二章 《平面向量》测试题B 卷参考答案一、 选择题1. 【答案】B.【解析】 AB →+BD →-AC →-CD →=AD →-(AC →+CD →)=AD →-AD →=0. 2. 【答案】D.【解析】∵AB →=MB →-MA →=(4,2),∴12AB →=(2,1).3. 【答案】D.【解析】对于A :向量的数量积不满足结合律;对于B :向量的数量积不满足消去律;对于C :只要a 与b 垂直时就有a ·b =0;对于D :由数量积定义有|a ·b |=||a ||b |cos θ|≤|a ||b |,这里θ是a 与b 的夹角,只有θ=0或θ=π时,等号成立. 4. 【答案】C.【解析】 a =(1,0),b =(12,12),∴|a |=1,|b |=14+14=22,∴A 错误;∵a ·b =1×12+0×12=12,∴B 错误;∵a -b =(12,-12),∴(a -b )·b =12×12-12×12=0,∴C 正确;∵1×12-0×12=12≠0,∴D 错误.5. 【答案】 D【解析】 EF →=12DB →=12(AB →-AD →).6.【答案】 C【解析】由a ·b <0可知a ,b 的夹角θ为钝角,又S △ABC =12|a |·|b |sin θ,∴12×3×5×sin θ=154,∴sin θ=12⇒θ=150°. 7.【答案】 C【解析】设OA →=a ,OB →=b ,OC →=c ,∵a 、b 、c 的终点共线,∴设AC →=λAB →,即OC →-OA →=λ(OB →-OA →),∴OC →=(1-λ)OA →+λOB →, 即c =(1-λ)a +λb ,又c =m a +n b ,∴⎩⎪⎨⎪⎧1-λ=m ,λ=n ,∴m +n=1.8. 【答案】 A【解析】本题考查向量数量积的几何意义及坐标运算. 由条件知AB →=(2,1),CD →=(5,5),AB →·CD →=10+5=15. |CD →|=52+52=52,则AB →在CD →方向上的投影为|AB →|cos 〈AB →,CD →〉=AB →·CD →|CD →|=1552=322,故选A.9. 【答案】A.【解析】如图,设OA →=a , OB →=b ,OC →=c ,则CA →=a -c ,CB →=b -c .∵|a |=|b |=1,∴OA =OB =1. 又∵a ·b =-12, ∴|a |·|b |·cos∠AOB =-12, ∴cos∠AOB =-12.∴∠AOB =120°.又∵〈 a -c ,b -c 〉=60°,而120°+60°=180°,∴O 、A 、C 、B 四点共圆.∴当OC 为圆的直径时,|c |最大,此时∠OAC =∠OBC =90°,∴Rt △AOC ≌Rt △BOC ,∴∠ACO =∠BCO =30°,∴|OA |=12|OC |,∴|OC |=2|OA |=2.10. 【答案】D.【解析】依题意,若C ,D 调和分割点A ,B ,则有AC →=λAB →,AD →=μAB →,且1λ+1μ=2.若C是线段AB 的中点,则有AC →=12AB →,此时λ=12.又1λ+1μ=2,所以1μ=0,不可能成立.因此A 不对,同理B 不对.当C ,D 同时在线段AB 上时,由AC →=λAB →,AD →=μAB →知0<λ<1,0<μ<1,此时1λ+1μ>2,与已知条件1λ+1μ=2矛盾,因此C 不对.若C ,D 同时在线段AB 的延长线上,则AC →=λAB →时,λ>1,AD →=μAB →时,μ>1,此时1λ+1μ<2,与已知1λ+1μ=2矛盾,故C ,D 不可能同时在线段AB 的延长线上.二、 填空题11.【答案】A ,B ,D【解析】 BD →=BC →+CD →=(-5a +6b )+(7a -2b )=2a +4b =2(a +2b )=2AB →. 12.【答案】 -1【解析】 (k a -2b )·a =0,[k (1,1)-2(2,-3)]·(1,1)=0,即(k -4,k +6)·(1,1)=0,k -4+k +6=0, ∴k =-1. 13.【答案】 12【解析】 a +λb =(1,2)+λ(1,0)=(1+λ,2),∵(a +λb )∥c ,∴4(1+λ)-3×2=0,解得λ=12.14. 【答案】 -2【解析】 ∵AD →=AB →+BD →=AB →+12BC →,BE →=AE →-AB →=13AC →-AB →,∴AD →·BE →=(AB →+12BC →)·(13AC →-AB →)=13AB →·AC →+16BC →·AC →-12BC →·AB →-AB →2=13×2×2×12+16×2×2×12+12×2×2×12-22=-2.三、 解答题15. 解: (1)若〈a ,b 〉为锐角,则a ·b >0且a 、b 不同向.a ·b =x +2>0,∴x >-2当x =12时,a 、b 同向.∴x >-2且x ≠12(2)a +2b =(1+2x,4),(2a -b )=(2-x,3) (2x +1)(2-x )+3×4=0 即-2x 2+3x +14=0 解得:x =72或x =-2.16. 解: 以O 为原点,e 1、e 2的方向分别为x ,y 轴的正方向,建立平面直角坐标系xOy , 则OA →=(2,m ),OB →=(n ,-1),OC →=(5,-1), 所以AC →=(3,-1-m ),BC →=(5-n,0),又因为A 、B 、C 三点在一条直线上,所以AC →∥BC →, 所以3×0-(-1-m )·(5-n )=0,与m =2n 构成方程组⎩⎪⎨⎪⎧mn -5m +n -5=0m =2n ,解得⎩⎪⎨⎪⎧m =-1n =-12或⎩⎪⎨⎪⎧m =10,n =5.17. 解: (1)设a 与b 的夹角为θ,则|a +t b |2=|a |2+t 2|b |2+2t ·a ·b =|a |2+t 2·|b |2+2|a |·|b |·t ·c os θ=|b |2(t +|a ||b |cos θ)2+|a |2(1-cos 2θ).∴当t =-|a ||b |cos θ时,|a +t b |取最小值|a |sin θ.(2)∵a 与b 的夹角为45°,∴cos θ=22,从而t =-|a ||b |·22,b ·(a +t b )=a ·b +t ·|b |2=|a |·|b |·22-22·|a ||b |·|b |2=0,所以b 与a +t b (t ∈R )垂直,即原结论成立. 18. 解: (1)a ·b =(3,-1)·(12,32)=32-32=0,∴a ⊥b .(2)假设存在非零实数k ,t 使x ⊥y ,则[a +(t 2-3)b ]·(-k a +t b )=0, 整理得-k a 2+[t -k (t 2-3)]a ·b +t (t 2-3)b 2=0. 又a ·b =0,a 2=4,b 2=1.∴-4k +t (t 2-3)=0,即k =14(t 2-3t )(t ≠0),故存在非零实数k 、t ,使x ⊥y 成立, 其关系为k =14(t 3-3t )(t ≠0).19. 解:(1)∵AC →=(cos α-3,sin α),BC →=(cos α,sin α-3), ∴AC →·BC →=(cos α-3)cos α+sin α(sin α-3)=-1,得cos 2+sin 2α-3(cos α+sin α)=-1,∴cos α+sin α=23,∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫α+π4=23. (2)∵|OA →+OC →|=13,∴(3+cos α)2+sin 2α=13,∴cos α=12,∵α∈(0,π),∴α=π3,sin α=32,∴C ⎝ ⎛⎭⎪⎫12,32,∴OB →·OC →=332,设OB →与OC →的夹角为θ,则cos θ=OB →·OC →|OB →|·|OC →|=3323=32.∵θ∈[0,π],∴θ=π6即为所求的角.20. 解:如图,(1)作BC 边上的高为AE ,设E (x ,y ),∴AE →=(x ,y +4),BE →=(x -4,y ),BC →=(-10,2), 由AE →⊥BC →,则-10x +2(y +4)=0①由于BE →与BC →共线,则2(x -4)+10y =0② 由①②解得⎩⎪⎨⎪⎧x =1213y =813,因此S △ABC =12|BC →|·|AE →|=12·104·122+602132=26×122613=24. (2)设D (x ,y ),则AD →=(x ,y +4),BC →=(-10,2),由题意可知AD →=BC →,∴(x ,y +4)=(-10,2), 即⎩⎪⎨⎪⎧ x =-10y +4=2,∴⎩⎪⎨⎪⎧x =-10y =-2, 所以,所求点D 的坐标为(-10,-2).。
新人教A版必修4高中数学第二章平面向量周练(二)
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高中数学《第二章平面向量》周练2 新人教A版必修4(时间:80分钟满分:100分)一、选择题(每小题5分,共40分)1.如果e1、e2是平面α内两个不共线的向量,那么在下列各说法中错误的有( ).①λe1+μe2(λ,μ∈R)可以表示平面α内的所有向量;②对于平面α内的任一向量a,使a=λe1+μe2成立的λ,μ有无数多对;③若向量λ1e1+μ1e2与λ2e1+μ2e2共线,则有且只有一个实数k,使λ2e1+μ2e2=k(λ1e1+μ1e2);④若实数λ,μ使λe1+μe2=0,则λ=μ=0.A.①② B.②③C.③④ D.②解析②λ,μ只有一对;③λ1e1+μ1e2可能为0,则k 可能不存在或有无数个.答案 B2.下列向量中,能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是( ).A.e1=(0,0),e2=(1,-2)B.e1=(-1,2),e2=(5,7)12C .e 1=(3,5),e 2=(6,10)D .e 1=(2,-3),e 2=⎝ ⎛⎭⎪⎫12,-34解析 在选项A 中,e 1=0,它与平面内任意向量共线,不能作为基底,在选项C 中,e 2=2e 1,它们共线,不能作为基底;在选项D 中,e 1=4e 2,它们共线,不能作为基底.故选B. 答案 B3.已知三点A (-1,1),B (0,2),C (2,0),若AB →和CD →是相反向量,则D 点坐标是( ).A .(1,0) B.(-1,0) C .(1,-1) D.(-1,1)解析 设D (x ,y ),AB →=(0,2)-(-1,1)=(1,1), CD →=(x ,y )-(2,0)=(x -2,y ). ∵AB →+CD →=0,∴(1,1)+(x -2,y )=(0,0),3∴⎩⎪⎨⎪⎧x -1=0,y +1=0,∴⎩⎪⎨⎪⎧x =1,y =-1,即D (1,-1).答案 C4.已知向量a =(2,3),b =(-1,2),若m a +4b 与a -2b 共线,则m 的值为( ). A.12 B.2 C .-12D.-2解析 m a +4b =(2m -4,3m +8),a -2b =(4,-1), 由-(2m -4)-4(3m +8)=0,得m =-2. 答案D6.已知a =(3,4),b =(sin α,cos α),且a∥b ,则tan α=( ).4A.34B.-34C.43D.-43解析 由已知得,3cos α-4sin α=0,所以tan α=34,故选A. 答案 A7.(2012·厦门高一检测)若OP 1→=a ,OP 2→=b ,P 1P →=λPP 2→(λ≠-1),则OP →等于( ).A .a +λb B.λa +(1-λ)b C .λa +bD.11+λa +λ1+λb 解析 ∵OP →=OP 1→+P 1P →=OP 1→+λPP 2→=OP 1→+λ(OP 2→-OP →)=OP 1→+λOP 2→-λOP →, ∴(1+λ)OP →=OP 1→+λOP 2→,∴OP →=11+λOP 1→+λ1+λOP 2→=11+λa +λ1+λb .5答案 D8.已知OA →=a ,OB →=b ,∠AOB 的平分线OM 交AB 于点M ,则向量OM →可表示为( ).A.a |a |+b |b |B.λ⎝⎛⎭⎪⎫a |a |+b |b | C.a +b |a +b |D.|b |a +|a |b |a |+|b |解析 由向量加法的平行四边形法则知,向量OM →和分别与OA →、OB →同向的单位向量之和共线,∴OM →可表示成λ⎝⎛⎭⎪⎫a |a |+b |b |.(与OA →同向的单位向量即a|a |,与OB →同向的单位向量即b |b |)答案 B二、填空题(每小题5分,共20分)9.在平行四边形ABCD 中,E 和F 分别是边CD 和BC 的中点,若AC →=λAE →+μAF →,其中λ、μ∈R ,则λ+μ=________.6解析 设AB →=a ,AD →=b , 则AE →=12a +b ,AF →=a +12b ,又∵AC →=a +b ,∴AC →=23(AE →+AF →),即λ=μ=23,∴λ+μ=43.答案 4310.已知向量a =(x,1),b =(1,x )方向相反,则x =________. 解析 由题意知a 与b 共线,则x 2=1, ∴x =±1,又∵a 与b 反向, ∴x =-1. 答案 -111.在△ABC 中,AE →=15AB →,EF ∥BC ,EF 交AC 于F .设AB →=a ,AC →=b ,则BF →可以用a 、b 表示的形式是BF →=________. 解析 由题意,得AF →=15AC →=15b ,BF →=BA →+AF →=-a +15b .7答案 -a +15b三、解答题(每小题10分,共40分)13.(2012·保定高一检测)设e 1,e 2为两个不共线的向量,a =-e 1+3e 2,b =4e 1+2e 2,c =-3e 1+12e 2,试用b ,c 为基底表示向量a .解 设a =λ1b +λ2c ,λ1,λ2∈R ,则-e 1+3e 2=λ1(4e 1+2e 2)+λ2(-3e 1+12e 2),即-e 1+3e 2=(4λ1-3λ2)e 1+(2λ1+12λ2)e 2,8∴⎩⎪⎨⎪⎧4λ1-3λ2=-1,2λ1+12λ2=3,∴⎩⎪⎨⎪⎧λ1=-118,λ2=727,∴a =-118b +727c .14.设a =(6,3a ),b =(2,x 2-2x ),且满足a ∥b 的实数x 存在, 求实数a 的取值范围. 解 由a ∥b 得6(x 2-2x )-3a ×2=0, 即x 2-2x -a =0.根据题意,上述方程有实数解,故有Δ=4+4a ≥0. 即a ≥-1.15.已知点O (0,0),A (1,2),B (4,5),且OP →=OA →+tAB →,试问: (1)t 为何值时,P 在x 轴上?P 在y 轴上?P 在第二象限? (2)四边形OABP 能否成为平行四边形?若能,求出相应的t 值;若不能,请说明理由.解 OA →=(1,2),AB →=(3,3),OP →=(1,2)+t (3,3)=(1+3t,2+3t ). (1)若P 在x 轴上,则有2+3t =0,t =-23;9若P 在y 轴上,则有1+3t =0,t =-13;若P 在第二象限,则有⎩⎪⎨⎪⎧1+3t <0,2+3t >0,解得-23<t <-13.(2)PB →=(3-3t,3-3t ),若四边形OABP 是平行四边形,则有OA →=PB →,即有3-3t =1,且3-3t =2,这显然是不可能的,因此,四边形OABP 不可能是平行四边形. 16.已知A (-1,-1),B (1,3),C (4,9). (1)求证:A ,B ,C 三点共线;(2)若AC →=λ1CB →,BA →=λ2AC →,求λ1、λ2的值,并解释λ1,λ2的几何意义.(1)证明 ∵AB →=(2,4),AC →=(5,10),∴AC →=52AB →.又AC →、AB →有公共点A ,∴A ,B ,C 三点共线. (2)解 ∵CB →=(-3,-6),∴AC →=-53CB →,∴λ1=-53.同理,λ2=-25.10其几何意义分别为:λ1=-53表示|AC →|=53|CB →|,AC →与CB →反向;λ2=-25表示|BA →|=25|AC →|,且BA →与AC →反向.。
新课标人教版 必修4第二章平面向量单元测试题
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必修4第二章《平面向量》单元测试 姓名 班级一、选择题(每小题5分,共50分)1.在矩形ABCD 中,O 是对角线的交点,若OC e DC e BC 则213,5===A .)35(2121e e + B .)35(2121e e - C .)53(2112e e - D .)35(2112e e -( )2.对于菱形ABCD ,给出下列各式: ①BC AB =②||||BC AB =③||||BC AD CD AB +=-④||4||||22AB BD AC =+ 2其中正确的个数为 ( )A .1个B .2个C .3个D .4个3 ABCD 中,设d BD c AC b AD a AB ====,,,,则下列等式中不正确的是( )A .c b a =+B .d b a =-C .d a b =-D .b a c =-4.已知向量b a 与反向,下列等式中成立的是 ( )A .||||||b a b a -=-B .||||b a b a -=+C .||||||b a b a -=+D .||||||b a b a +=+5.已知平行四边形三个顶点的坐标分别为(-1,0),(3,0),(1,-5),则第四个点的坐标为 ( ) A .(1,5)或(5,-5) B .(1,5)或(-3,-5) C .(5,-5)或(-3,-5) D .(1,5)或(-3,-5)或(5,-5) 6.与向量)5,12(=d 平行的单位向量为 ( )A .)5,1312(B .)135,1312(--C .)135,1312(或 )135,1312(-- D .)135,1312(±± 7.若32041||-=-b a ,5||,4||==b a ,则b a 与的数量积为 ( )A .103B .-103C .102D .108.若将向量)1,2(=a 围绕原点按逆时针旋转4π得到向量b ,则b 的坐标为 ( )A . )223,22(-- B .)223,22( C .)22,223(-D .)22,223(-9.设k ∈R ,下列向量中,与向量)1,1(-=Q 一定不平行的向量是 ( )A .),(k k b =B .),(k k c --=C .)1,1(22++=k k dD .)1,1(22--=k k e10.已知12||,10||==b a ,且36)51)(3(-=b a ,则b a 与的夹角为 ( ) A .60° B .120° C .135° D .150° 二、填空题(每小题4分,共16分)11.非零向量||||||,b a b a b a +==满足,则b a ,的夹角为 .12.在四边形ABCD 中,若||||,,b a b a b AD a AB -=+==且,则四边形ABCD 的形状是 13.已知)2,3(=a ,)1,2(-=b ,若b a b a λλ++与平行,则λ= .14.已知e 为单位向量,||a =4,e a 与的夹角为π32,则e a 在方向上的投影为 . 三、解答题(每题14分,共84分)15.已知非零向量b a ,满足||||b a b a -=+,求证: b a ⊥16.已知在△ABC 中,)3,2(=AB ,),,1(k AC =且△ABC 中∠C 为直角,求k 的值.17、设21,e e 是两个不共线的向量,2121212,3,2e e CD e e CB e k e AB -=+=+=,若A 、B 、D 三点共线,求k 的值.18.已知2||=a 3||=b ,b a 与的夹角为60o,b a c 35+=,b k a d +=3,当当实数k 为何值时,⑴c ∥d ⑵d c ⊥19.如图,ABCD为正方形,P是对角线DB上一点,PECF为矩形,求证:①PA=EF;②PA⊥EF.20.如图,矩形ABCD内接于半径为r的圆O,点P是圆周上任意一点,求证:PA2+PB2+PC2+PD2=8r2.。
第二章平面向量单元综合测试卷(带答案新人教A版必修4 )
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第二章平面向量单元综合测试卷(带答案新人教A版必修4 )第二章平面向量单元综合测试卷(带答案新人教A版必修4 ) (120分钟 150分) 一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.(2013•三明高一检测)化简 - + - 得( ) A. B. C. D.0 2.已知a,b都是单位向量,则下列结论正确的是( ) A.a•b=1 B.a2=b2C.a∥b a=bD.a•b=0 3.已知A,B,C为平面上不共线的三点,若向量 =(1,1),n=(1,-1),且n• =2,则n• 等于( ) A.-2 B.2 C.0 D.2或-2 4.点C在线段AB上,且 = ,若 =λ,则λ等于( ) A. B. C.- D.- 5.若a=(1,2),b=(-3,0),(2a+b)∥(a-mb),则m= ( ) A.- B. C.2 D.-2 6.(2013•牡丹江高一检测)已知a+b=(1,2),c=(-3,-4),且b⊥c,则a在c方向上的投影是( ) A. B.-11C.-D.11 7.(2013•兰州高一检测)若|a|=1,|b|=2,c=a+b,且c⊥a,则向量a与b的夹角为( ) A.30° B.60° C.120° D.150° 8.已知△ABC满足2= • + • + • ,则△ABC是( ) A.等边三角形B.锐角三角形 C.直角三角形 D.钝角三角形9.(2013•西城高一检测)在矩形ABCD中,AB= ,BC=1,E是CD上一点,且• =1,则• 的值为( ) A.3 B.2 C. D. 10.已知向量a=(1,2),b=(2,-3).若向量c满足(c+a)∥b,c⊥(a+b),则c= ( ) A. B. C. D.11.(2013•六安高一检测)△ABC中,AB边上的高为CD,若 =a, =b,a•b=0,|a|=1,|b|=2,则 = ( ) A. a- b B. a- b C. a- b D. a- b 12.在△ABC所在平面内有一点P,如果 + + = ,则△PAB与△ABC 的面积之比是( ) A. B. C. D. 二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.请把正确答案填在题中的横线上) 13.已知a=(2,4),b=(-1,-3),则|3a+2b|= . 14.已知向量a=(1, ),b=(-2,2 ),则a与b的夹角是. 15.(2013•江西高考)设e1,e2为单位向量.且e1,e2的夹角为,若a=e1+3e2,b=2e1,则向量a在b 方向上的射影为. 16.(2013•武汉高一检测)下列命题中:①a∥b 存在唯一的实数λ∈R,使得b=λa;②e为单位向量,且a∥e,则a=±|a|e;③|a•a•a|=|a|3;④a与b共线,b与c共线,则a与c共线;⑤若a•b=b•c且b≠0,则a=c. 其中正确命题的序号是. 三、解答题(本大题共6小题,共70分,解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(10分)已知梯形ABCD中,AB∥CD,∠CDA=∠DAB=90°,CD=DA= AB. 求证:AC⊥BC. 18.(12分)(2013•无锡高一检测)设 =(2,-1), =(3,0), =(m,3). (1)当m=8时,将用和表示. (2)若A,B,C三点能构成三角形,求实数m应满足的条件. 19.(12分)在边长为1的等边三角形ABC中,设=2 , =3 . (1)用向量,作为基底表示向量 . (2)求• . 20.(12分)(2013•唐山高一检测)已知a,b,c是同一平面内的三个向量,其中a=(1,2). (1)若|b|=2 ,且a∥b,求b的坐标. (2)若|c|= ,且2a+c与4a-3c垂直,求a与c的夹角θ. 21.(12分)(能力挑战题)已知a=(1,cosx),b=(,sinx),x∈(0,π). (1)若a∥b,求的值. (2)若a⊥b,求sinx-cosx的值. 22.(12分)(能力挑战题)已知向量a,b满足|a|=|b|=1, |ka+b|= |a-kb|(k>0,k∈R). (1)求a•b 关于k的解析式f(k). (2)若a∥b,求实数k的值. (3)求向量a与b夹角的最大值.答案解析 1.【解析】选D. - + - = + - = - =0. 2.【解析】选B.因为a,b都是单位向量,所以|a|=|b|=1,所以|a|2=|b|2,即a2=b2.3.【解析】选B.因为n• =n•( - ) =n• -n• ,又n• =(1,-1)•(1,1)=1-1=0,所以n• =n• =2.4.【解析】选C.由 = 知,| |∶| |=2∶3,且方向相反(如图所示),所以 =- ,所以λ=- .5.【解析】选A.因为a=(1,2),b=(-3,0),所以2a+b=(-1,4),a-mb=(1+3m,2),又因为(2a+b)∥(a-mb),所以(-1)×2=4(1+3m),解得m=- . 【拓展提升】证明共线(或平行)问题的主要依据 (1)对于向量a,b,若存在实数λ,使得b=λa,则向量a与b共线(平行). (2)a=(x1,y1),b=(x2,y2),若x1y2-x2y1=0,则向量a∥b. (3)对于向量a,b,若|a•b|=|a|•|b|,则a与b共线. 向量平行的等价条件有两种形式,其一是共线定理,其二是共线定理的坐标形式.其中,共线定理的坐标形式更具有普遍性,不必考虑向量是否为零和引入参数的存在性及唯一性. 6.【解析】选C.a•c=[(a+b)-b]•c=(a+b)•c-b•c. 因为a+b=(1,2),c=(-3,-4),且b⊥c,所以a•c=(a+b)•c =(1,2)•(-3,-4)=1×(-3)+2×(-4)=-11,所以a在c方向上的投影是 = =- . 7.【解析】选C.因为c=a+b,c⊥a,所以c•a=(a+b)•a=a2+b•a=0,所以a•b=-a2=-|a|2=-12=-1,设向量a与b的夹角为θ,则cosθ= = =- ,又0°≤θ≤180°,所以θ=120°. 8.【解析】选C.因为= • + • + • ,所以2= • + • + • ,所以•( - - )= • ,所以•( - )= • ,所以• =0,所以⊥ ,所以△ABC是直角三角形. 【变式备选】在四边形ABCD中, =a+2b, =-4a-b, =-5a-3b,其中a,b不共线,则四边形ABCD为( ) A.平行四边形 B.矩形 C.梯形 D.菱形【解析】选C.因为 = + + =-8a-2b=2 ,所以四边形ABCD为梯形. 9.【解析】选B.如图所示,以A为原点,AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系. A(0,0),B( ,0),C( ,1),设点E 坐标为(x,1),则 =(x,1), =( ,0),所以• =(x,1)•( ,0)= x=1,x= ,所以• = •( ,1)= × +1×1=2. 10.【解析】选D.设c=(x,y),则c+a=(x+1,y+2), a+b=(1,2)+(2,-3)= ,因为(c+a)∥b,c⊥(a+b),所以即解得所以c= . 【误区警示】解答本题易混淆向量平行和垂直的坐标表示,导致计算错误. 11.【解析】选D.因为a•b=0,所以⊥ ,所以AB= = ,又因为CD⊥AB,所以△ACD∽△ABC,所以 = ,所以AD= = = ,所以 = = = (a-b)= a- b. 12.【解题指南】先对 + + = 进行变形,分析点P所在的位置,然后结合三角形面积公式分析△PAB与△ABC的面积的关系. 【解析】选A.因为 + + = = - ,所以2 + =0, =-2 =2 ,所以点P是线段AC的三等分点(如图所示). 所以△PAB与△ABC的面积之比是 . 13.【解析】因为3a+2b=3(2,4)+2(-1,-3) =(6,12)+(-2,-6)=(4,6),所以|3a+2b|= =2 . 答案:2 14.【解析】设a与b的夹角为θ,a•b=(1,)•(-2,2 )=1×(-2)+ ×2 =4, |a|= =2,|b|= =4,所以cosθ= = = ,又0°≤θ≤180°,所以θ=60°. 答案:60° 15.【解析】设a,b的夹角为θ,则向量a在b方向上的射影为|a|cosθ=|a| = ,而a•b=(e1+3e2)•2e1=2+6cos =5,|b|=2,所以所求射影为 . 答案: 16.【解析】①错误.a∥b且a≠0 存在唯一的实数λ∈R,使得b=λa;②正确.e为单位向量,且a∥e,则a=±|a|e;③正确. = = = ;④错误.当b=0时,a与b共线,b与c共线,则a与c不一定共线;⑤错误.只要a,c在b方向上的投影相等,就有a•b=b•c. 答案:②③17.【证明】以A为原点,AB所在直线为x轴,建立直角坐标系如图,设AD=1,则A(0,0),B(2,0), C(1,1),D(0,1),所以 =(-1,1), =(1,1),• =-1×1+1×1=0,所以AC⊥BC. 18.【解析】(1)当m=8时, =(8,3),设 =x +y ,则 (8,3)=x(2,-1)+y(3,0)=(2x+3y,-x),所以所以所以 =-3 + . (2)因为A,B,C三点能构成三角形,所以,不共线, =(1,1), =(m-2,4),所以1×4-1×(m-2)≠0,所以m≠6. 19.【解析】(1) = + =- + . (2) • = •(- + ) = •(- )+ • =| |•| |cos150°+ | |•| |cos30° = ×1× + × ×1× =- . 20.【解析】(1)设b=(x,y),因为a∥b,所以y=2x;① 又因为|b|=2 ,所以x2+y2=20;② 由①②联立,解得b=(2,4)或b=(-2,-4). (2)由已知(2a+c)⊥(4a-3c),(2a+c)•(4a-3c)=8a2-3c2-2a•c=0,又|a|= ,|c|= ,解得a•c=5,所以cosθ= = ,θ∈[0,π],所以a与c的夹角θ= . 21.【解题指南】一方面要正确利用向量平行与垂直的坐标表示,另一方面要注意同角三角函数关系的应用. 【解析】(1)因为a∥b,所以sinx= cosx⇒tanx= ,所以 = = =-2. (2)因为a⊥b,所以 +sinxcosx=0⇒sinxcosx=- ,所以(sinx-cosx)2=1-2sinxcosx= . 又因为x∈(0,π)且sinxcosx<0,所以x∈ ⇒sinx-cosx>0,所以sinx-cosx= . 22.【解题指南】(1)先利用a2=|a|2,将已知条件两边平方,然后根据数量积定义和运算律化简、变形求f . (2)先根据k>0和a∥b,判断a与b同向,再利用数量积的定义列方程求k的值. (3)先用求向量a与b夹角的公式表示出夹角的余弦值,再利用配方法求余弦值的最小值,最后根据余弦函数的单调性求夹角的最大值. 【解析】(1)由已知|ka+b|= |a-kb| 有|ka+b|2=( |a-kb|)2,k2a2+2ka•b+b2=3a2-6ka•b+3k2b2. 又因为|a|=|b|=1,得8ka•b=2k2+2,所以a•b= 即f(k)= (k>0). (2)因为a∥b,k>0,所以a•b= >0,则a与b同向. 因为|a|=|b|=1,所以a•b=1,即 =1,整理得k2-4k+1=0,所以k=2± ,所以当k=2± 时,a∥b. (3)设a,b的夹角为θ,则cosθ= =a•b = = = .当 = ,即k=1时,cosθ取最小值,又0≤θ≤π,所以θ= . 即向量a与b夹角的最大值为 .。
高中数学人教A版必修4习题:第二章平面向量2.4.1含解析
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2.4 平面向量的数量积2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义课时过关·能力提升基础巩固1在△ABC 中,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ <0,则△ABC 是( ) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形D.等边三角形解析:∵AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC⃗⃗⃗⃗⃗ =|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ||AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |cos A<0, ∴cos A<0.∴A 是钝角.∴△ABC 是钝角三角形. 答案:C2已知非零向量a ,b ,若a +2b 与a -2b 互相垂直,则|a ||b |等于( ) A .14B.4C.12D.2解析:因为a +2b 与a -2b 垂直,所以(a +2b )·(a -2b )=0,所以|a |2-4|b |2=0,即|a |2=4|b |2,所以|a |=2|b |. 答案:D3已知两个不共线的单位向量e 1,e 2的夹角为θ,则下列结论不一定正确的是( ) A .e 1在e 2方向上的投影为cos θ B .e 1·e 2=1C .e 12=e 22D .(e 1+e 2)⊥(e 1-e 2) 答案:B4若非零向量a ,b 满足|a +b |=|a -b |,则a 与b 所成角的大小为( ) A .30°B .45°C .90°D .120°解析:由|a +b |=|a -b |,得(a +b )2=(a -b )2,即a ·b =0,∴a ⊥b . 答案:C5已知向量a ,b 满足|a |=1,|b |=4,且a ·b =2√3,则a 与b 的夹角为( )A .π6B.π4C .π3D.π2解析:设a 与b 的夹角为θ,则cos θ=a ·b |a ||b |=2√31×4=√32.又0≤θ≤π,∴θ=π6. 答案:A6在△ABC 中,M 是BC 的中点,AM=3,点P 在AM 上,且满足AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =2PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,则PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·(PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +PC ⃗⃗⃗⃗⃗ )的值为( ) A.-4 B.-2C.2D.4解析:如图.∵AP⃗⃗⃗⃗⃗ =2PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , ∴|AP ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2|PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |. 又AM=3,∴|AP⃗⃗⃗⃗⃗ |=2,|PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=1. 又PB⃗⃗⃗⃗⃗ +PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , ∴PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·(PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +PC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·(2PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =−|AP ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=−4. 答案:A7已知向量a ,b 的夹角为60°,|a |=2,|b |=3,则|2a -b |= . 解析:a ·b =|a ||b |cos60°=3,则|2a -b |2=4a 2-4a ·b +b 2=13,所以|2a -b |=√13. 答案:√138已知|b |=5,a ·b =12,则向量a 在b 方向上的投影为 .解析:向量a 在b 方向上的投影为|a |·a ·b |a ||b |=a ·b |b |=125. 答案:1259已知|a |=10,|b |=12,a 与b 的夹角为120°,求: (1)a ·b ; (2)(3a )·(15b); (3)(3b -2a )·(4a +b ). 解(1)a ·b =|a ||b |cos θ=10×12×cos120°=-60.(2)(3a )·(15b)=35(a ·b )=35×(−60)=−36. (3)(3b -2a )·(4a +b ) =12b ·a +3b 2-8a 2-2a ·b =10a ·b +3|b |2-8|a |2=10×(-60)+3×122-8×102=-968.10已知|a |=5,|b |=4,a 与b 的夹角为60°,试问:当k 为何值时,向量k a -b 与a +2b 垂直? 分析可利用两个非零向量垂直的等价条件即数量积为零进行求解. 解∵(k a -b )⊥(a +2b ),∴(k a -b )·(a +2b )=0, 即k a 2+(2k-1)a ·b -2b 2=0,即k ×52+(2k-1)×5×4×cos60°-2×42=0,∴k =1415. ∴当k =1415时,向量k a -b 与a +2b 垂直.能力提升1设a ,b ,c 是三个向量,有下列命题: ①若a ·b=a ·c ,且a ≠0,则b=c ; ②若a ·b=0,则a=0或b=0; ③a ·0=0;④(3a+2b )·(3a-2b )=9|a|2-4|b|2. 其中正确的有( ) A.1个B.2个C.3个D.4个解析:①中,a ·b -a ·c =a ·(b -c )=0,又a ≠0,则b =c 或a ⊥(b -c ),即①不正确;②中,a ·b=0⇔a ⊥b 或a=0或b=0,即②不正确;③中,a ·0=0,即③不正确;④中,左边=9a 2-6a ·b +6b ·a -4b 2=9|a |2-4|b |2=右边,即④正确. 答案:A2定义:|a ×b |=|a ||b |sin θ,其中θ为向量a 与b 的夹角,若|a |=2,|b |=5,a ·b =-6,则|a ×b |等于( ) A .8 B .-8C .8或-8D .6解析:cos θ=a ·b |a ||b |=-62×5=−35. ∵θ∈[0,π],∴sin θ=45. ∴|a ×b |=2×5×45=8. 答案:A3如图,过点M (1,0)的直线与函数y=sin πx (0≤x ≤2)的图象交于A ,B 两点,则OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ )等于( ) A .1B .2C .3D .4解析:∵OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0),OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=2. 答案:B4已知非零向量a ,b 满足a ⊥b ,则函数f (x )=(x a +b )2(x ∈R )( ) A.既是奇函数又是偶函数 B.是非奇非偶函数C.是奇函数D.是偶函数解析:∵a ⊥b ,∴a ·b =0,∴f (x )=x 2|a |2+2x a ·b +|b |2=|a |2x 2+|b |2,定义域是R ,f (-x )=|a |2(-x )2+|b |2=|a |2x 2+|b |2=f (x ),∴f (x )是偶函数. 答案:D5已知平面向量a ,b 满足|a |=1,|b |=2,a 与b 的夹角为π3,以a ,b 为邻边作平行四边形,则此平行四边形的两条对角线中较短的一条的长度为 . 解析:a ·b =1×2×cos π3=1.平行四边形的两条对角线的长分别是|a +b |和|a -b |,|a +b |=√(a +b )2=√a 2+2a ·b +b 2=√7,|a -b |=√(a -b )2=√a 2-2a ·b +b 2=√3,则此平行四边形的两条对角线中较短的一条的长度为√3. 答案:√3 ★6如图,在平行四边形ABCD 中,AP ⊥BD ,垂足为点P ,且AP=3,则AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC⃗⃗⃗⃗⃗ = .解析:设AC 与BD 交于点O ,则AC⃗⃗⃗⃗⃗ =2AO ⃗⃗⃗⃗⃗ . 则AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·2AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =2AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·(AP ⃗⃗⃗⃗⃗ +PO ⃗⃗⃗⃗⃗ )=2(AP ⃗⃗⃗⃗⃗ 2−AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PO ⃗⃗⃗⃗⃗ ).∵AP ⊥BD ,∴AP ⊥PO ,AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PO ⃗⃗⃗⃗⃗ =0, 又AP=3,∴|AP⃗⃗⃗⃗⃗ |=3, ∴AP⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2AP ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=2×32=18. 答案:187如图,已知两个长度为1的平面向量OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 和OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,它们的夹角为2π3,点C 是以O 为圆心的劣弧AB 的中点.求:(1)|OA⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ |的值; (2)AB⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的值. 解(1)因为OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 和OB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的长度为1,夹角为2π3,所以OA⃗⃗⃗⃗⃗ ·OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ||OB ⃗⃗⃗⃗⃗ |cos 2π3=−12, 所以|OA⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ )2=√OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+2OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=1.(2)因为点C 是以O 为圆心的劣弧AB 的中点, 所以∠AOC=∠BOC =π3, 所以OA⃗⃗⃗⃗⃗ ·OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =12, 所以AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(OB ⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ )·(OC ⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ )=OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OC ⃗⃗⃗⃗⃗ −OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OA ⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OC ⃗⃗⃗⃗⃗ +OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =12−(-12)−12+1=32.★8设平面内两向量a 与b 互相垂直,且|a |=2,|b |=1,又k 与t 是两个不同时为零的实数.(1)若x =a +(t-3)b 与y =-k a +t b 垂直,求k 关于t 的函数关系式k=f (t ); (2)求函数k=f (t )的最小值.分析由x ⊥y ,得x ·y =0,即得到函数关系式k=f (t ),从而利用函数的性质求最小值. 解(1)因为a ⊥b ,所以a ·b =0. 又x ⊥y , 所以x ·y =0,即[a +(t-3)b ]·(-k a +t b )=0,-k a 2-k (t-3)a ·b +t a ·b +t (t-3)b 2=0. 因为|a |=2,|b |=1, 所以-4k+t 2-3t=0, 即k =14(t2−3t).(2)由(1)知,k =14(t2−3t)=14(t -32)2−916, 即函数k=f (t )的最小值为−916.。
高中数学第二章平面向量2.3.3平面向量的坐标运算练习(含解析)新人教A版必修4
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高中数学第二章平面向量2.3.3平面向量的坐标运算练习(含解析)新人教A版必修4A级基础巩固一、选择题1.已知向量i=(1,0),j=(0,1),对坐标平面内的任一向量a,给出下列四个结论:①存在唯一的一对实数x,y,使得a=(x,y);②若x1,x2,y1,y2∈R,a=(x1,y1)≠(x2,y2),则x1≠x2,且y1≠y2;③若x,y∈R,a=(x,y),且a≠0,则a的起点是原点O;④若x,y∈R,a≠0,且a的终点坐标是(x,y),则a=(x,y).其中正确结论的个数是( )A.1 B.2 C.3 D.4解析:由平面向量基本定理知①正确;若a=(1,0)≠(1,3),但1=1,故②错误;因为向量可以平移,所以a=(x,y)与a的起点是不是原点无关,故③错误;当a的终点坐标是(x,y)时,a=(x,y)是以a的起点是原点为前提的,故④错误.答案:A2.设向量a=(1,-3),b=(-2,4),c=(-1,-2),若表示向量4a,4b-2c,2(a -c),d的有向线段首尾相连能构成四边形,则向量d的坐标为( )A.(2,6) B.(-2,6) C.(2,-6) D.(-2,-6)解析:由题意,得4a+4b-2c+2(a-c)+d=0,则d=-4a-4b+2c-2(a-c)=-6a -4b+4c=(-2,-6).答案:D3.已知点A(1,3),B(4,-1),则与向量AB→同方向的单位向量为( )A.⎝⎛⎭⎪⎫35,-45B.⎝⎛⎭⎪⎫45,-35C.⎝⎛⎭⎪⎫-35,45D.⎝⎛⎭⎪⎫-45,35解析:AB→=(3,-4),则与AB→同方向的单位向量为AB→|AB→|=15(3,-4)=⎝⎛⎭⎪⎫35,-45.答案:A4.设向量a=(1,-3),b=(-2,4),若表示向量4a,3b-2a,c的有向线段首尾相接能构成三角形,则向量c等于( )A .(1,-1)B .(-1,1)C .(-4,6)D .(4,-6)解析:因为4a ,3b -2a ,c 对应有向线段首尾相接,所以4a +3b -2a +c =0,故有c =-2a -3b =-2(1,-3)-3(-2,4)=(4,-6).答案:D5.设向量a =(m ,n ),b =(s ,t ),定义两个向量a ,b 之间的运算“⊗”为a ⊗b =(ms ,nt ).若向量p =(1,2),p ⊗q =(-3,-4),则向量q =( )A .(-3,2)B .(3,-2)C .(-2,-3)D .(-3,-2)解析:设向量q =(x ,y ),根据题意可得x =-3,2y =-4,解得x =-3,y =-2,即向量q =(-3,-2).答案:D二、填空题6.设向量a ,b 满足a =(1,-1),|b |=|a |,且b 与a 的方向相反,则b 的坐标为________. 解析:因为向量a 与b 的方向相反,且|b |=|a |,所以b =-a =-(1,-1)=(-1,1).答案:(-1,1)7.作用于原点的两个力F 1=(1,1),F 2=(2,3),为使它们平衡,需加力F 3=________. 解析:因为F 1+F 2+F 3=0,所以F 3=-F 1-F 2=-(1,1)-(2,3)=(-3,-4).答案:(-3,-4)8.已知点A (-1,-5)和向量a =(2,3),若AB →=3a ,则点B 的坐标为________.解析:OA →=(-1,-5),AB →=3a =(6,9),故OB →=OA →+AB →=(5,4),故点B 的坐标为(5,4).答案:(5,4)三、解答题9.在平面直角坐标系xOy 中,向量a ,b ,c 的方向如图所示,且|a |=2,|b |=3,|c |=4,分别计算出它们的坐标.解:设a =(a 1,a 2),b =(b 1,b 2),c =(c 1,c 2),则a 1=|a |cos 45°=2×22= 2. a 2=|a |sin 45°=2×22=2, b 1=|b |cos 120°=3×⎝ ⎛⎭⎪⎫-12=-32,b 2=|b |sin 120°=3×32=332, c 1=|c |cos(-30°)=4×32=23, c 2=|c |sin(-30°)=4×⎝ ⎛⎭⎪⎫-12=-2. 所以a =(2,2),b =⎝ ⎛⎭⎪⎫-32,332,c =(23,-2). 10.已知向量AB →=(4,3),AD →=(-3,-1),点A (-1,-2).(1)求线段BD 的中点M 的坐标;(2)若点P (2,y )满足PB →=λBD →(λ∈R),求λ与y 的值.解:(1)设B (x 1,y 1),因为AB →=(4,3),A (-1,-2),所以(x 1+1,y 1+2)=(4,3),所以⎩⎪⎨⎪⎧x 1+1=4,y 1+2=3,所以⎩⎪⎨⎪⎧x 1=3,y 1=1.所以B (3,1). 同理可得D (-4,-3),设BD 的中点M (x 2,y 2),则x 2=3-42=-12,y 2=1-32=-1, 所以M ⎝ ⎛⎭⎪⎫-12,-1.(2)由PB →=(3,1)-(2,y )=(1,1-y ),BD →=(-4,-3)-(3,1)=(-7,-4), 又PB →=λBD →(λ∈R),所以(1,1-y )=λ(-7,-4)=(-7λ,-4λ),所以⎩⎪⎨⎪⎧1=-7λ,1-y =-4λ,所以⎩⎪⎨⎪⎧λ=-17,y =37.B 级 能力提升1.对于向量m =(x 1,y 1),n =(x 2,y 2),定义m ⊗n =(x 1x 2,y 1y 2).已知a =(2,-4),且a +b =a ⊗b ,那么向量b 等于( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫2,45 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫-2,-45 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫2,-45 D.⎝⎛⎭⎪⎫-2,45 解析:设b =(x ,y ),由新定义及a +b =a ⊗b ,可得(2+x ,y -4)=(2x ,-4y ),所以2+x =2x ,y -4=-4y .解得x =2,y =45,所以向量b =⎝ ⎛⎭⎪⎫2,45. 答案:A2.在△ABC 中,点P 在BC 上,且BP →=2PC →,点Q 是AC 的中点,若PA →=(4,3),PQ →=(1,5),则BC →=________.解析:PQ →-PA →=AQ →=(1,5)-(4,3)=(-3,2),因为点Q 是AC 的中点,所以AQ =QC →,所以PC →=PQ →+QC →=(1,5)+(-3,2)=(-2,7).因为BP →=2PC →,所以BC →=BP →+PC →=3PC →=3(-2,7)=(-6,21).答案:(-6,21)3.已知A (-2,4),B (3,-1),C (-3,-4).设AB →=a ,BC →=b ,CA →=c ,且CM →=3c ,CN →=-2b .(1)求3a +b -3c ;(2)求满足a =mb +nc 的实数m ,n 的值;(3)求M ,N 的坐标及向量MN →的坐标.解:由已知得a =(5,-5),b =(-6,-3),c =(1,8).(1)3a +b -3c =3(5,-5)+(-6,-3)-3(1,8)=(15-6-3,-15-3-24)=(6,-42).(2)因为mb +nc =(-6m +n ,-3m +8n )=a =(5,-5),所以⎩⎪⎨⎪⎧-6m +n =5,-3m +8n =-5,解得⎩⎪⎨⎪⎧m =-1,n =-1. (3)设O 为坐标原点,因为CM →=OM →-OC →=3c ,所以OM →=3c +OC →=(3,24)+(-3,-4)=(0,20),所以M (0,20).又因为CN →=ON →-OC →=-2b ,所以ON →=-2b +OC →=(12,6)+(-3,-4)=(9,2),所以N (9,2),所以MN →=(9,-18).。
第二章平面向量课时作业人教A版必修四第2章2.1.1、2.1.2、2.1.3课时作业
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基础达标1.下列说法正确的是( ).A .数量可以比较大小,向量也可以比较大小B .方向不同的向量不能比较大小,但同向的可以比较大小C .向量的大小与方向有关D .向量的模可以比较大小解析 A 中不管向量的方向如何,它们都不能比较大小,∴A 不正确;由A 的过程分析可知方向相同的向量也不能比较大小,∴B 不正确;C 中向量的大小即向量的模,指的是有向线段的长度,与方向无关,∴C 不正确;D 中向量的模是一个数量,可以比较大小,∴D 正确. 答案 D2.设O 为坐标原点,且|OM →|=1,则动点M 的集合是( ). A .一条线段 B .一个圆面 C .一个圆D .一个圆弧解析 动点M 到原点O 的距离等于定长1,故动点M 的轨迹是以O 为圆心,1为半径的圆. 答案 C3.如图,在四边形ABCD 中,若AB →=DC →,则图中相等的向量是( ).A.AD →与CB → B .OB →与OD → C.AC →与BD →D .AO →与OC →解析 ∵AB →=DC →,∴四边形ABCD 是平行四边形,∴AC 、BD 互相平分,∴AO →=OC →. 答案 D4.如图,在△ABC 中,若DE ∥BC ,则图中是共线向量的有 ________. 解析 观察图形,并结合共线向量的定义可得解. 答案 ED →与CB →,AD →与BD →,AE →与CE →5.在四边形ABCD 中,AB →∥CD →且|AB →|≠|CD →|,则四边形ABCD 的形状是________. 解析 ∵AB →∥CD →且|AB →|≠|CD →|,∴AB ∥DC ,但AB ≠DC ,∴四边形ABCD 是梯形. 答案 梯形6.下列说法:①平行向量一定相等;②不相等的向量一定不平行;③共线向量一定相等;④相等向量一定共线;⑤长度相等的向量是相等向量;⑥平行于同一个向量的两个向量是共线向量.其中,说法错误的是________. 答案 ①②③⑤⑥7.如图,在四边形ABCD 中,AB →=DC →,N 、M 分别是AD 、BC 上的点,且CN →=MA →.求证:DN →=MB →. 证明 ∵AB →=DC →, ∴|AB →|=|CD →|且AB ∥CD , ∴四边形ABCD 是平行四边形, ∴|DA →|=|CB →|,且DA ∥CB . 又∵DA →与CB →的方向相同,∴CB →=DA →.同理可证,四边形CNAM 是平行四边形, ∴CM →=NA →.∵|CB →|=|DA →|,|CM →|=|NA →|,∴|DN →|=|MB →|.∵DN ∥MB 且DN →与MB →的方向相同,∴DN →=MB →.能力提升8.以下命题:①若AB →=DC →,则A 、B 、C 、D 四点是平行四边形的四个顶点;②若m =n ,n =k ,则m =k ;③若m ∥n ,n ∥k ,则m ∥k ;④单位向量都是共线向量.其中,正确命题的个数是( ). A .0 B .1 C .2D .3解析 ①A 、B 、C 、D 四点可能共线;③当n =0时,命题不成立;④单位向量的模相等,但方向不确定,所以未必共线. 答案 B9.已知在边长为2的菱形ABCD 中,∠ABC =60°,则|BD →|=________. 解析 易知AC ⊥BD ,且∠ABD =30°,设AC 与BD 交于点O ,则AO =12AB =1.在Rt △ABO 中,易得|BO →|=3,∴|BD →|=2|BO →|=2 3. 答案 2 310.一辆汽车从A 点出发向西行驶了100 km 到达B 点,然后又改变方向向北偏西40°走了200 km 到达C 点,最后又改变方向,向东行驶了100 km 到达D 点.(1)作出向量AB →、BC →、CD →; (2)求|AD →|.解 (1)向量AB →、BC →、CD →如图所示:(2)由题意,易知AB →与CD →方向相反,故AB →与CD →共线,又|AB →|=|CD →|,∴在四边形ABCD 中,AB 綉CD .∴四边形ABCD 为平行四边形. ∴AD →=BC →,∴|AD |→=|BC →|=200 km.。
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平面向量单元测试(考试时间:120分钟;满分:150分)姓名:____________ 班级:____________ 成绩:____________一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,满分60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知a,b为两个单位向量,下列结论正确的是( )A.a与b相等B.若a与b平行,则a与b相等C.若a与b方向相同,则a与b相等D.|a+b|=22.下列四个等式中正确的是( )A.AB→+BA→=0B.AB→=OA→-OB→C.a·b-b·a=0D.(AB→+MB→)+BC→+OM→+CO→=AB→3.若OC→=23OA→+13OB→,则( )A.AC→=13AB→ B.AC→=23AB→C.AC→=-13AB→ D.AC→=-23AB→4.设a=(1,-2),b=(-3,4),c=(3,2),则(a+2b)·c等于( ) A.(-15,12) B.0C.-3 D.-115.已知a·b=-122,|a|=4,a与b的夹角为135°,则|b|为( ) A.12 B.3C.6 D.96.向量a=(n,1)与b=(4,n)共线且方向相同,则n等于( )A.12B.±12C .2D .±27.已知a =(1,2),b =(-3,2)且(k a +b )⊥(a -3b ),则k 的值为( ) A .17 B .18 C .19D .208.设非零向量a ,b ,c 满足|a |=|b |=|c |,a +b =c ,则a ,b 的夹角为( ) A .150° B .120° C .60°D .30°9.已知a =(λ,2),b =(-3,5)且a 与b 的夹角为钝角,则λ的取值范围是( )A .λ>103 B .λ≥103 C .λ<103D .λ≤10310.以方程组⎩⎨⎧x +y =a ,x 2+y 2=4的两组解(x 1,y 1),(x 2,y 2)分别为A ,B 两点的坐标,O 为坐标原点,且OA →·OB →=12,则a 的值为( )A .4B .-4C .4或-4D .不存在11.(2015年河南模拟)在△ABC 中,M 为BC 边上的任意一点,N 为AM 中点,AN →=λAB →+μAC →,则λ+μ的值为( )A.12 B.13 C.14D .112.(2015年安徽模拟)如图,半圆的直径AB =6,O 为圆心,C 为半圆上不同于A ,B 的任意一点,若P 为半径OC 上的动点,则(PA →+PB →)·PC →的最小值为( )A.92 B .9 C -92D .-9二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,满分20分)13.已知AB →=(2,-1),AC →=(-4,1),则BC →=__________________. 14.设a =(-4,3),b =(5,2),则2|a |2-12a ·b =______________.15.已知向量a =(1,1)与a +2b 的方向相同,则a ·b 的取值范围是__________________.16.在△ABC 中,|AC →|=5,|BC →|=3,|AB →|=6,则AB →·CA →=________________. 三、解答题(本大题共6小题,满分70分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤)17.(本题满分10分)若向量a 的始点为A (-2,4),终点为B (2,1),求: (1)向量a 的模;(2)与向量a 平行的单位向量的坐标; (3)与向量a 垂直的单位向量的坐标.18.(本题满分12分)已知a =3e 1-2e 2,b =4e 1+e 2,其中e 1=(1,0),e 2=(0,1).(1)求a ·b ,|a +b |; (2)求a 与b 的夹角的余弦值.19.(本题满分12分)已知△ABC 的三个顶点的坐标为A (-5,-1),B (4,1),C (0,4).(1)求△ABC的面积;(2)若四边形ABCD为平行四边形,求D点坐标.20.(本题满分12分)某一物体被两条等长的绳子挂在天花板上,如果物体受到的重力为G且|G|=680 N,两绳子的夹角为θ(0<θ<π),两绳子受到的拉力分别为F1,F2且|F1|=|F2|.(1)用θ表示|F1|,并说明θ增大时,|F1|的大小如何变化;(2)若绳子能够承受的最大拉力是680 N,那么θ在什么范围内绳子才不会断?21.(本题满分12分)在△ABC中,AB→=(-2,3),AC→=(1,m)且△ABC的一个内角为直角,求m的值.22.(本题满分12分)如图,设G为△ABO的重心,过G的直线与边OA,OB分别交于点P和Q.设OA→=a,OB→=b,OP→=x a,OQ→=y b.(1)用a,b表示GP→,QG→;(2)求函数y=f(x)的解析式;(3)判断函数y=f(x)在其定义域上的单调性,并求其值域.答案1.【答案】C2.【答案】D3.【答案】A4.【答案】C5.【答案】C6.【答案】C7.【答案】C8.【答案】B9.【答案】A【解析】设a 与b 的夹角为θ,则cos θ=a ·b |a ||b |=-3λ+10λ2+4×34.∵θ为钝角,∴cos θ<0且cos θ≠-1.即-3λ+10<0且-3λ+10λ2+4×34≠-1,解得λ>103.故选A.10.【答案】D 【解析】由⎩⎨⎧x +y =a ,x 2+y 2=4,得2x 2-2ax +a 2-4=0,∴x 1+x 2=a ,x 1x 2=a 2-42.∴OA →·OB →=x 1x 2+y 1y 2=x 1x 2+(a -x 1)(a -x 2)=2x 1x 2-a (x 1+x 2)+a 2 =a 2-4.∴a 2-4=12,∴a =4或a =-4. ∵Δ=4a 2-8(a 2-4)≥0, ∴-22≤a ≤2 2. ∴a =4或-4不合题意. 故选D. 11.【答案】A【解析】设BM →=tBC →,则AN →=12AM →=12(AB →+BM →)=12AB →+12BM →=12AB →+12tBC →=12AB →+t 2(AC →-AB →)=⎝ ⎛⎭⎪⎫12-t 2AB →+t 2AC →,∴λ=12-t 2,μ=t 2.∴λ+μ=12,故选A. 12.【答案】C【解析】∵圆心O 是直径AB 的中点,∴PA →+PB →=2PO →.∴(PA →+PB →)·PC →=2PO →·PC →.∵PO →与PC →共线且方向相反,∴(PA →+PB →)·PC →=2PO →·PC →=-2×|PO→|·|PC →|=-2×|PO →|×(3-|PO →|),∴当|PO →|=32时,(PA →+PB →)·PC →取最小值且最小值为-92,故选C.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,满分20分) 13.【答案】(-6,2)【解析】BC →=AC →-AB →=(-4,1)-(2,-1)=(-6,2). 14.【答案】57【解析】a 2=(-4)2+32=25,a ·b =-4×5+3×2=-14,∴2|a |2-12a ·b=2×25-12×(-14)=57.15.【答案】(-1,+∞)【解析】a =λ(a +2b )(λ>0),∴b =1-λ2λa ,∴a ·b =1-λ2λa 2=1-λ2λ×2=1-λλ=-1+1λ>-1,∴a ·b 的取值范围是(-1,+∞). 16.【答案】-26【解析】∵CB →=CA →+AB →,∴CB →2=CA →2+AB →2+2CA →·AB →,即32=52+62+2CA →·AB →,解得CA →·AB →=-26.17.【解析】(1)∵a =AB →=(2,1)-(-2,4)=(4,-3), ∴|a |=42+-2=5.(2)与向量a 平行的单位向量是±a |a |=±15(4,-3),即与向量a 平行的单位向量为45,-35或-45,35.(3)设与向量a 垂直的单位向量是e =(m ,n ),则4m -3n =0.又m 2+n 2=1,解得m =35,n =45或m =-35,n =-45.即与向量a 垂直的单位向量是35,45或-35,-45.18.【解析】(1)a =3e 1-2e 2=3(1,0)-2(0,1)=(3,-2),b =4e 1+e 2=4(1,0)+(0,1)=(4,1). ∴a ·b =4×3+(-2)×1=10.a +b =(7,-1),|a +b |=72+-2=50=5 2.(2)设a 与b 的夹角为θ,则 cos θ=a ·b |a ||b |=1013·17=10221221.19.【解析】(1)设AB 边上的高为CE ,E (x ,y ), 则CE →=(x ,y -4),AE →=(x +5,y +1),AB →=(9,2). 由于CE →⊥AB →,则9x +2(y -4)=0.① 又AE →与AB →共线,则2(x +5)-9(y +1)=0.② 由①②,解得x =1417,y =517,∴CE →=1417,-6317.∴S △ABC =12|AB →||CE →|=1285×142+632172=352. (2)设D (x ,y ),∵AD →=(x +5,y +1),BC →=(-4,3), 又AD →=BC →, ∴⎩⎨⎧x +5=-4,y +1=3,解得⎩⎨⎧x =-9,y =2.∴D (-9,2).20.【解析】(1)|F 1|=|G|2cos θ2=340cosθ2,∵0<θ<π,∴|F 1|=340cosθ2随θ增大而增大.(2)令|F 1|≤680,则cos θ2≥12.∵0<θ<π, ∴0<θ2≤π3, 即0<θ≤2π3.∴θ在0,2π3]时,绳子才不会断.21.【解析】当A =90°时,AB →·AC →=0,即-2+3m =0, ∴m =23.当B =90°时,BC →=BA →+AC →=(2,-3)+(1,m )=(3,m -3),BA →·BC →=0,6-3(m -3)=0,∴m =5.当C =90°时,CA →·CB →=0,3-m (3-m )=0, 即m 2-3m +3=0,此时m 无解.∴C 不可能为直角. 综上所述,m 的值为23或5.22.【解析】(1)OG →=23OM →=23×12(a +b )=13(a +b ),GP →=OP →-OG →=x a -13(a +b )=x -13a -13b ,QG →=OG →-OQ →=13(a +b )-y b =13a +13-y b .(2)∵GP →与QG →共线,a 与b 不共线,x -1313=-1313-y ,整理得y =x 3x -112≤x ≤1.(3)设12≤x 1<x 2≤1,则f (x 1)-f (x 2)=x 13x 1-1-x 23x 2-1=x 2-x 1x 1-x 2-.∵12≤x 1<x 2≤1,∴x 2-x 1>0,3x 1-1>0,3x 2-1>0.∴f (x 1)-f (x 2)>0,即f (x 1)>f (x 2),∴y =f (x )在[12,1]是单调递减函数.∴f (1)≤f (x )≤f 12,即12≤f (x )≤1,∴f (x )的值域为[12,1].。