【数学分析课件@北师大】1
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• 自然数:
– 0:=, 1:={} – 递归定义: n+1:={0,1,…,n} – 自然数集: N={0,1,…}, N+ ={1,2,…}
• 有限集: 如果集合A与某个自然数对等， 就说A是有限集. 约定: 空集是有限集 • 两个不同自然数是不对等的. 自然数可以 看成是有限集势的代表
可数集(I)
现代数学方法：集合论+公理化
• 集合是定义任何数学对象的原始概念。 数学上说，任何数学概念都是用集合定 义的，简单地说，任何数学对象都是某 种类型的集合。 • 数学系统都以公理化的形式和精神来陈 述的探索的。
数学严格性与实用的妥协
• 在现实的数学学习和从事数学研究的过 程中，人们并非真的能够和没有意义抽 象符号打交道，而是用人们能够赋予实 际意义的符号处理问题。因此不少时候 人们试图去给集合下“定义”，实际上 是让初学者理解其实际含义。 • 另一方面数学中所发现的悖论在不时地 提醒人们这种直观能够走多远。
习题一 (III)
• 7. 考虑映射f: XY, g: YZ. 定义f与g的 复合映射h=gº XZ为"xX, h(x)=g(f(x)) f: 证明:
– 如果f和g都是单射,则h是单射; – 如果f和g都是满射,则h是满射； – 如果f和g都是双射,则h是双射.
5. 集合的势
• • • • • 等势的概念 自然数和有限集 可数集 幂集 不可数集
• 映射的定义: 集合A, B的笛卡尔积AB的 子集f叫做集合A到集合B的映射, 如果下 列条件成立: "xA, ! (x,y) f • 映射、函数和变换等等说法在现代数学 的意义下是同义词，在实际使用中有所 侧重 • 映射的记法: f: AB, 或A^f B • 由集合A到集合B映射f是这样一个法则： "xA, ! yB与x对应, 记作y=f(x)
集合的差运算和余(补)运算
• 集合的差运算：由集合A中不在集合B中 的元素所组成的集合叫做集合A与集合B 的差，记作A\B, 也就是 A\B={xA | xB} • 对称差：AB=(AB)\(AB) • 设集合AE, E\A叫做A关于E的余集，当 E是公认的时候，简称为A的余集，记为 A.
3. 笛卡尔积
• 集合A和B的笛卡尔积C=AB表示所有元 素对(a,b)的集合, 其中aA, bB. 也就是 AB={(a,b) | aA, bB} • 笛卡尔积是定义种种数学概念的基本手 段之一
4. 映射和函数
• 映射的现代定义和传统定义 • 与映射相关的术语 • 映射的分类
映射的现代定义和传统定义
集合运算的性质 (II)
• • • • • 9. =E, E= 10. (aAa)= aAa 11. (aAa)= aAa 12. AB=(A\B)(B\A) 证明举例：3, 4, 5, 8, 10. 强调
– 如何证明集合相等 – 利用运算的定义
• 习题：6,7,9,11,12
• 数学的严密性在于：
– 交待清楚要讨论的问题或对象 – 交待清楚定义、证明或叙述中要用到的概念 和关系（叫做原始概念和原始关系） – 只利用这些概念和关系，遵循逻辑规则完成 对问题证明、叙述或模型的建立
• 数学的严格性是历史的，其逻辑性是在 科学和数学的发展中不断深化的
数学如何实现其严密性
• • • • 皮亚诺公理系统 ZFC公理集合论系统 现代数学方法：集合论+公理化 数学严格性与实用的妥协
幂集
• 幂集: 集合A的所有的子集所成的集合叫 做A的幂集, 记做P(A)或2^A • 幂集的势: 存在A到P(A)的单射, 但不存在 A到P(A)的双射 • 证明: 1. f(a)={a}给出AP(A)的单射; • 2. 设f:AP(A)是满射.令B={aA|af(a)}. 由f满,存在bA, f(b)=B. 则bBbB.
习题一 (I)
• • • • 1. 证明: P5, 集合并的性质 2. 证明: P6, 集合交的性质 3. 证明: P6-7, 集合运算的性质 4. 请用笛卡尔积的观点解释下列集合:矩 形区域、圆柱侧面、圆柱体、圆环面、 圆环体
习题一 (II)
• 5. 确定下列集合是否定义映射(说明理由)
– {(x,y)RR | x^2+y=1} – {(x,y)RR | x^2-y^2=1} – {(x,y)RR | xy=1}
习题二
• 1. 证明下列集合是可数的:
– 整数集Z – 笛卡尔坐标平面上的有理点, 即Q^2
等势的概念
• 如何说清有限集: 自然数的构造 • 数数的澄清和推广--等势: 如果两个集合 A和B之间存在双射,就说A与B是对等的 或等势的.记做A~B. • 等势的性质:
– 1. 自返性: A~A; – 2. 对称性: A~BB~A; – 3. 传递性: A~B, B~CA~C.
自然数和有限集
• 6. 考虑映射f: XY. 设AX, CY. 称f(A) ={f(x) | xA}为A在f下的像(集),f^{-1}(C) = {xX | f(x)C}为C在f下的原像(集). 证明:
– "A, BX, f(AB)=f(A)f(B), f(A B)f(A) f(B) – "C, DY, f^{-1}(CD)=f ^{-1}(C)f ^{-1}(D), f ^{-1}(C D)=f ^{-1}(C) f ^{-1}(D)
[0,1]的势
• 命题4. 线段I=[0,1]具有连续统的势 • 证明: 考虑[0,1]中实数的二进制表示,对于 形式为c1/2+…+ck/2^k形式的实数其表示 为0.c1c2…ck, 而不是0.c1…ck-1011…(1循环). 如此就得到[0,1)中的一个点对应到 N{0,1}的一个函数, 注意到事实2-4就可 以完成证明.
子集的表示方式和全集
• 设A是一个集合,其子集B通常用下面的形 式表示：B={xA | P(x)}, 其中P(x)表示x 在B中所要满足的条件 • 空集：不含任何元素的集合叫做空集,用 符号表示,空集是任何集合的子集： ={xA | x x} • 在数学的讨论中，常常涉及到的是某个 固定集合的子集，例如，实数的子集. 这 个固定集合叫做全集. 一般用E表示.
集合的交
• 集合A和B的交是由所有A和B的公共元素 组成的集合, 记为A B, 也就是 A B={x | xA且xB} • 集合交运算的性质：
– 交换律 A B= B A – 结合律A (B C)= (A B) C
• 集合族{Aa : aI}的交: aIAa=aAa={x | "aI, xAa} • I为自然数时的记法
2. 集合及其运算
• • • • • • • • 集合(直观描述) 集合相等和子集合 子集的表示方式和全集 常用数学符号和常用集合记号 集合的并 集合的交 集合的差运算和余(补)运算 集合运算的性质
集合(直观描述)
• 具有某种属性的对象总体(通常用大写字 母表示，如A,B等)，这些对象称为其元 素或点(通常用小写字母表示，如x,y等). • x是A的元素记为: xA (读作x属于A) • x不是A的元素记为: xA (读作x不属于A) • 集合的基本特性是，对于给定的集合A， 任何对象x, xA与xA中有且只有一个 成立.
集合的并
• 集合A和B的并是由A或B的所有元素组成 的集合, 记为AB, 也就是 AB={x | xA或xB} • 集合并运算的性质：
– 交换律 A B= B A – 结合律A (B C)= (A B) C
• 集合族{Aa : aI}的并： aIAa=aAa={x | aI, xAa} • I为自然数时的记法
皮亚诺系统
• 基本前提：自然数集合存在，在上面可 以定义相等 • 公理1. 1是自然数 • 公理2. 每个自然数可以定义惟一的后邻 • 公理3. 任何后邻都不会是1 • 公理4. 若两数的后邻相等，则两数相等 • 公理5. 归纳法成立
ZFC公理集合论系统
• 原始概念：集合 • 原始关系：属于 • 公理：外延公理（相等）、空集公理、 配对公理、并集公理、幂集公理、无穷 公理（归纳法）、公式F的替换公理、正 则公理、选择公理
与映射相关的术语
• 考虑映射f: AB. 有"xA, ! yB使得 (x,y)f.
– – – – – – 元素y叫做x在映射F下的像, 并且记为y=f(x) 元素x叫做元素y在映射f下的一个原像 A叫做映射f的定义域 f(A)={yB | xA, y=f(x)Hale Waihona Puke Baidu叫做f的值域 xA叫做自变量的值(简称自变量) y=f(x)叫做函数在x处的值
集合运算的性质 (I)
• • • • • • • • 1. AA 2. AB,(且)BA A=B 3. AB,BC AC 4. "A, A 5. (a Aa) B= a ( Aa B) 6. (a Aa) B= a ( Aa B) 7. AB AB = B, A B = A 8. AA=E, A A=
• 无限集: 不是有限集的集合叫做无限集 • 可数集: 与自然数集N等势的集合叫做可 数集 • 命题1. 有理数集Q={m/n | mZ, nN+}是 可数的 • 证明：利用高度h=|m|+n • 命题2. 可数集的子集是有限的或可数的
可数集(II)
• 命题3. 有限多个或可数多个可数集的并 集仍然是可数的 • 证明: 次对角排列法. • 事实1. 任何无限集都有可数子集 • 事实2.设A是无限集, B可数集,则AB~B • 说明: 有些数学书或文章中把有限或可数 集一起叫做至多可数的(at most countable) 或可列的(enumeratable),甚至就叫可数的
第一章 集合论初步
郇中丹 2006-2007学年第一学期 数学系2006级
集合论初步
• • • • • 1. 集合论和数学的严密性 2. 集合及其运算 3. 笛卡尔积 4. 映射和函数 5. 集合的势
1. 集合论和数学的严密性
• 什么是数学的严密性或逻辑性 • 数学如何实现其严密性
什么是数学的严密性或逻辑性
不可数集
• 不可数集: 不对等于N的无限集叫做不可 数的 • 连续统势: 与P(N)对等的集合叫做具有连 续统的势 • 事实3. F={f: N{0,1}}与P(N)等势 • 事实4. X={AP(N) | kN, "nk, nA} 是可数的 • 事实5. 在二进制中1=0.11….(1循环)
集合相等和子集合
• 集合相等：如果两个集合A和B有同样的 元素组成，就说集合A和B相等，记作A= B或B=A. • 子集合: 如果集合B的元素都是集合A的 元素，B叫做A的子集合(简称子集). 记作 BA (读作B包含于A)，或AB (读作A包 含B). • 命题： A= B当且仅当AB且AB.
映射的分类
• 考虑映射f: AB.
– 满射: 如果f(A)=B. f也叫做是映上的或覆盖 – 单射: 如果每个f(x)只有一个原像, 也就是若 f(x1)=f(x2), 则x1=x2. f也叫做是嵌入 – 双射: 如果f既是满射也是单射. f也叫做是双 方单值的. 此时可以定义逆映射f^{-1}: BA 使得若y=f(x), 则f^{-1}(y)=x, f^{-1}与f满足 "xA, f^{-1}f(x)=x; "yB, ff^{-1}(y)=y – 双射又叫双方单值对应或一一对应
常用数学符号和常用集合记号
• ：表示存在，读作“存在” (there exist(s)) • !：表示存在惟一的，读作“存在惟一 的” (there exists unique) • "：表示对于所有的或任意的，读作“对 于任意的”或“对于所有的” (for all) • ：表示能够推得，读作“蕴含” (imply) • 自然数N, 整数Z, 有理数Q, 实数R
– 0:=, 1:={} – 递归定义: n+1:={0,1,…,n} – 自然数集: N={0,1,…}, N+ ={1,2,…}
• 有限集: 如果集合A与某个自然数对等， 就说A是有限集. 约定: 空集是有限集 • 两个不同自然数是不对等的. 自然数可以 看成是有限集势的代表
可数集(I)
现代数学方法：集合论+公理化
• 集合是定义任何数学对象的原始概念。 数学上说，任何数学概念都是用集合定 义的，简单地说，任何数学对象都是某 种类型的集合。 • 数学系统都以公理化的形式和精神来陈 述的探索的。
数学严格性与实用的妥协
• 在现实的数学学习和从事数学研究的过 程中，人们并非真的能够和没有意义抽 象符号打交道，而是用人们能够赋予实 际意义的符号处理问题。因此不少时候 人们试图去给集合下“定义”，实际上 是让初学者理解其实际含义。 • 另一方面数学中所发现的悖论在不时地 提醒人们这种直观能够走多远。
习题一 (III)
• 7. 考虑映射f: XY, g: YZ. 定义f与g的 复合映射h=gº XZ为"xX, h(x)=g(f(x)) f: 证明:
– 如果f和g都是单射,则h是单射; – 如果f和g都是满射,则h是满射； – 如果f和g都是双射,则h是双射.
5. 集合的势
• • • • • 等势的概念 自然数和有限集 可数集 幂集 不可数集
• 映射的定义: 集合A, B的笛卡尔积AB的 子集f叫做集合A到集合B的映射, 如果下 列条件成立: "xA, ! (x,y) f • 映射、函数和变换等等说法在现代数学 的意义下是同义词，在实际使用中有所 侧重 • 映射的记法: f: AB, 或A^f B • 由集合A到集合B映射f是这样一个法则： "xA, ! yB与x对应, 记作y=f(x)
集合的差运算和余(补)运算
• 集合的差运算：由集合A中不在集合B中 的元素所组成的集合叫做集合A与集合B 的差，记作A\B, 也就是 A\B={xA | xB} • 对称差：AB=(AB)\(AB) • 设集合AE, E\A叫做A关于E的余集，当 E是公认的时候，简称为A的余集，记为 A.
3. 笛卡尔积
• 集合A和B的笛卡尔积C=AB表示所有元 素对(a,b)的集合, 其中aA, bB. 也就是 AB={(a,b) | aA, bB} • 笛卡尔积是定义种种数学概念的基本手 段之一
4. 映射和函数
• 映射的现代定义和传统定义 • 与映射相关的术语 • 映射的分类
映射的现代定义和传统定义
集合运算的性质 (II)
• • • • • 9. =E, E= 10. (aAa)= aAa 11. (aAa)= aAa 12. AB=(A\B)(B\A) 证明举例：3, 4, 5, 8, 10. 强调
– 如何证明集合相等 – 利用运算的定义
• 习题：6,7,9,11,12
• 数学的严密性在于：
– 交待清楚要讨论的问题或对象 – 交待清楚定义、证明或叙述中要用到的概念 和关系（叫做原始概念和原始关系） – 只利用这些概念和关系，遵循逻辑规则完成 对问题证明、叙述或模型的建立
• 数学的严格性是历史的，其逻辑性是在 科学和数学的发展中不断深化的
数学如何实现其严密性
• • • • 皮亚诺公理系统 ZFC公理集合论系统 现代数学方法：集合论+公理化 数学严格性与实用的妥协
幂集
• 幂集: 集合A的所有的子集所成的集合叫 做A的幂集, 记做P(A)或2^A • 幂集的势: 存在A到P(A)的单射, 但不存在 A到P(A)的双射 • 证明: 1. f(a)={a}给出AP(A)的单射; • 2. 设f:AP(A)是满射.令B={aA|af(a)}. 由f满,存在bA, f(b)=B. 则bBbB.
习题一 (I)
• • • • 1. 证明: P5, 集合并的性质 2. 证明: P6, 集合交的性质 3. 证明: P6-7, 集合运算的性质 4. 请用笛卡尔积的观点解释下列集合:矩 形区域、圆柱侧面、圆柱体、圆环面、 圆环体
习题一 (II)
• 5. 确定下列集合是否定义映射(说明理由)
– {(x,y)RR | x^2+y=1} – {(x,y)RR | x^2-y^2=1} – {(x,y)RR | xy=1}
习题二
• 1. 证明下列集合是可数的:
– 整数集Z – 笛卡尔坐标平面上的有理点, 即Q^2
等势的概念
• 如何说清有限集: 自然数的构造 • 数数的澄清和推广--等势: 如果两个集合 A和B之间存在双射,就说A与B是对等的 或等势的.记做A~B. • 等势的性质:
– 1. 自返性: A~A; – 2. 对称性: A~BB~A; – 3. 传递性: A~B, B~CA~C.
自然数和有限集
• 6. 考虑映射f: XY. 设AX, CY. 称f(A) ={f(x) | xA}为A在f下的像(集),f^{-1}(C) = {xX | f(x)C}为C在f下的原像(集). 证明:
– "A, BX, f(AB)=f(A)f(B), f(A B)f(A) f(B) – "C, DY, f^{-1}(CD)=f ^{-1}(C)f ^{-1}(D), f ^{-1}(C D)=f ^{-1}(C) f ^{-1}(D)
[0,1]的势
• 命题4. 线段I=[0,1]具有连续统的势 • 证明: 考虑[0,1]中实数的二进制表示,对于 形式为c1/2+…+ck/2^k形式的实数其表示 为0.c1c2…ck, 而不是0.c1…ck-1011…(1循环). 如此就得到[0,1)中的一个点对应到 N{0,1}的一个函数, 注意到事实2-4就可 以完成证明.
子集的表示方式和全集
• 设A是一个集合,其子集B通常用下面的形 式表示：B={xA | P(x)}, 其中P(x)表示x 在B中所要满足的条件 • 空集：不含任何元素的集合叫做空集,用 符号表示,空集是任何集合的子集： ={xA | x x} • 在数学的讨论中，常常涉及到的是某个 固定集合的子集，例如，实数的子集. 这 个固定集合叫做全集. 一般用E表示.
集合的交
• 集合A和B的交是由所有A和B的公共元素 组成的集合, 记为A B, 也就是 A B={x | xA且xB} • 集合交运算的性质：
– 交换律 A B= B A – 结合律A (B C)= (A B) C
• 集合族{Aa : aI}的交: aIAa=aAa={x | "aI, xAa} • I为自然数时的记法
2. 集合及其运算
• • • • • • • • 集合(直观描述) 集合相等和子集合 子集的表示方式和全集 常用数学符号和常用集合记号 集合的并 集合的交 集合的差运算和余(补)运算 集合运算的性质
集合(直观描述)
• 具有某种属性的对象总体(通常用大写字 母表示，如A,B等)，这些对象称为其元 素或点(通常用小写字母表示，如x,y等). • x是A的元素记为: xA (读作x属于A) • x不是A的元素记为: xA (读作x不属于A) • 集合的基本特性是，对于给定的集合A， 任何对象x, xA与xA中有且只有一个 成立.
集合的并
• 集合A和B的并是由A或B的所有元素组成 的集合, 记为AB, 也就是 AB={x | xA或xB} • 集合并运算的性质：
– 交换律 A B= B A – 结合律A (B C)= (A B) C
• 集合族{Aa : aI}的并： aIAa=aAa={x | aI, xAa} • I为自然数时的记法
皮亚诺系统
• 基本前提：自然数集合存在，在上面可 以定义相等 • 公理1. 1是自然数 • 公理2. 每个自然数可以定义惟一的后邻 • 公理3. 任何后邻都不会是1 • 公理4. 若两数的后邻相等，则两数相等 • 公理5. 归纳法成立
ZFC公理集合论系统
• 原始概念：集合 • 原始关系：属于 • 公理：外延公理（相等）、空集公理、 配对公理、并集公理、幂集公理、无穷 公理（归纳法）、公式F的替换公理、正 则公理、选择公理
与映射相关的术语
• 考虑映射f: AB. 有"xA, ! yB使得 (x,y)f.
– – – – – – 元素y叫做x在映射F下的像, 并且记为y=f(x) 元素x叫做元素y在映射f下的一个原像 A叫做映射f的定义域 f(A)={yB | xA, y=f(x)Hale Waihona Puke Baidu叫做f的值域 xA叫做自变量的值(简称自变量) y=f(x)叫做函数在x处的值
集合运算的性质 (I)
• • • • • • • • 1. AA 2. AB,(且)BA A=B 3. AB,BC AC 4. "A, A 5. (a Aa) B= a ( Aa B) 6. (a Aa) B= a ( Aa B) 7. AB AB = B, A B = A 8. AA=E, A A=
• 无限集: 不是有限集的集合叫做无限集 • 可数集: 与自然数集N等势的集合叫做可 数集 • 命题1. 有理数集Q={m/n | mZ, nN+}是 可数的 • 证明：利用高度h=|m|+n • 命题2. 可数集的子集是有限的或可数的
可数集(II)
• 命题3. 有限多个或可数多个可数集的并 集仍然是可数的 • 证明: 次对角排列法. • 事实1. 任何无限集都有可数子集 • 事实2.设A是无限集, B可数集,则AB~B • 说明: 有些数学书或文章中把有限或可数 集一起叫做至多可数的(at most countable) 或可列的(enumeratable),甚至就叫可数的
第一章 集合论初步
郇中丹 2006-2007学年第一学期 数学系2006级
集合论初步
• • • • • 1. 集合论和数学的严密性 2. 集合及其运算 3. 笛卡尔积 4. 映射和函数 5. 集合的势
1. 集合论和数学的严密性
• 什么是数学的严密性或逻辑性 • 数学如何实现其严密性
什么是数学的严密性或逻辑性
不可数集
• 不可数集: 不对等于N的无限集叫做不可 数的 • 连续统势: 与P(N)对等的集合叫做具有连 续统的势 • 事实3. F={f: N{0,1}}与P(N)等势 • 事实4. X={AP(N) | kN, "nk, nA} 是可数的 • 事实5. 在二进制中1=0.11….(1循环)
集合相等和子集合
• 集合相等：如果两个集合A和B有同样的 元素组成，就说集合A和B相等，记作A= B或B=A. • 子集合: 如果集合B的元素都是集合A的 元素，B叫做A的子集合(简称子集). 记作 BA (读作B包含于A)，或AB (读作A包 含B). • 命题： A= B当且仅当AB且AB.
映射的分类
• 考虑映射f: AB.
– 满射: 如果f(A)=B. f也叫做是映上的或覆盖 – 单射: 如果每个f(x)只有一个原像, 也就是若 f(x1)=f(x2), 则x1=x2. f也叫做是嵌入 – 双射: 如果f既是满射也是单射. f也叫做是双 方单值的. 此时可以定义逆映射f^{-1}: BA 使得若y=f(x), 则f^{-1}(y)=x, f^{-1}与f满足 "xA, f^{-1}f(x)=x; "yB, ff^{-1}(y)=y – 双射又叫双方单值对应或一一对应
常用数学符号和常用集合记号
• ：表示存在，读作“存在” (there exist(s)) • !：表示存在惟一的，读作“存在惟一 的” (there exists unique) • "：表示对于所有的或任意的，读作“对 于任意的”或“对于所有的” (for all) • ：表示能够推得，读作“蕴含” (imply) • 自然数N, 整数Z, 有理数Q, 实数R