江苏省清江中学2014-2015学年高二上学期期末考试数学(文)试题

江苏省清江中学2014-2015学年高二上学期期末考试文科数学试题时间：120分钟 满分：160分 参考公式：样本数据x 1，x 2，…，x n 的方差：2222121[()()()]n s x x x x x x n=-+-+⋅⋅⋅+-，其中x 为样本平均数；柱体体积公式：V Sh =柱体（S 是底面积，h 是高）．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题纸相应位．．．．．．置上．12．抛物线y x =的准线方程为 ▲ ． 3． 在校英语节演讲比赛中，七位评委老师为某班选手打出的 分数的茎叶图（如图所示），去掉一个最高分和一个最低分后， 所剩数据的方差为 ▲ ．6. 右图是一个算法流程图，则输出S 的值是 ▲ ．7 .已知曲线 ln y x =在点P 处的切线经过原点，则此切线的方程为 ▲ ． 8. 一只蚂蚁在高为3，两底分别为3和6的直角梯形区域内随机爬行，则其恰在离四个顶点距离都大于1的地方的概率为 ▲ ．9. 已知等比数列{}n a 中，有=成立．类似地，在等差数列{}n b 中，有______▲ ____成立．10. 已知32()1g x x x x =---,如果存在．．12,[0,2]x x ∈,使得12()()g x g x M -≥,则满足该不等式的最大整数M 11. “42a -<<”是“方程22142x y a a+=+-表示椭圆”的_____▲ 条件．（填“充分不必要”、 “必要不充分”、 “充要”、 “既不充分也不必要”）12. 函数()sin f x x x tx =-在[]0,π上单调递减，则实数t 的取值范围是 ▲ ．13. 椭圆22221()x y a b a b+=>>0的右焦点F ，其右准线与x 轴的交点为A ，在椭圆上存在点P 满足PF AF =，则222(ln ln )b b a a--的范围是 ▲ ．14. 函数1320142012()()20141x xf x x x R ++=+∈+,其导函数为/()f x ，则//(2015)(2015)(2015)(2015)f f f f ++---= ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出 文字说明、证明过程或演算步骤．15. （本小题满分14分）设p ：复数(12)(2)z m m i =-++在复平面上对应的点在第二或第四象限；q ：函数324()()63g x x mx m x =++++在R 上有极大值点和极小值点各一个．求使“p 且q ”为真命题的实数m 的取值范围．16. （本小题满分14分）高二年级从参加期末考试的学生中抽出60名学生，并统计了他们的物理成绩（成绩均为整数且满分为100分），把其中不低于50分的分成五段[)60,50，[)70,60…[]100,90后画出如下部分．．频率分布直方图.观察图形的信息，回答下列问题： （1）根据江苏省高中学业水平测试要求，成绩低于60分属于C 级，需要补考，求抽取的60名学生中需要补考的学生人数；（2）年级规定，本次考试80分及以上为优秀，估计这次考试物理学科优秀率； （3）根据（1），从参加补考的学生中任选一人，求该同学成绩不低于50分的概率.17. （本小题满分14分）．已知关于x 的一次函数y ＝mx ＋n . (1)设集合P ＝{－4，－1,1,2,3}和Q ＝{－4,3}，分别从集合P 和Q 中随机取一个数作为m 和n ，求函数y ＝mx ＋n 是减函数的概率；(2)实数m ，n 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n －1≤0，－1≤m≤1，－1≤n≤1，求函数y ＝mx ＋n 的图象经过一、二、四象限的概率．18. （本小题满分16分）如图，在半径为30cm 的半圆形（O 为圆心）铝皮上截取一块矩形材料ABCD ，其中点C 、D 在圆弧上，点A 、B 在两半径上，现将此矩形铝皮ABCD 卷成一个以BC 为母线的圆柱形罐子的侧面（不计剪裁和拼接损耗），设矩形的边长BC=xcm 圆柱的体积为Vcm 3．（1）写出体积V 关于x 的函数关系式；（2）当x 为何值时，才能使做出的圆柱形罐子体积V 最大？19. （本小题满分16分） 已知椭圆E:22221(0)x y a b a b+=>> ,以抛物线28y x =的焦点为顶点,且离心率为12(1)求椭圆E 的方程；(2)已知A 、B为椭圆上的点，且直线AB 垂直于x 轴，直线l ：4x =与x轴交于点N ，直线AF 与BN 交于点M.(ⅰ)求证：点M 恒在椭圆C 上； (ⅱ)求△AMN 面积的最大值．20. （本小题满分16分）（本小题满分16分）已知函数()ln ,()(0)af x xg x a x==>，设()()()F x f x g x =+（1）求函数()F x 的单调区间；(2）若以函数()(2)y F x x =≥图象上任意一点00(,)P x y 为切点的切线的斜率12k ≤恒成立，求实数a 的最小值；（3）是否存在实数b ，使得函数22()11ay g b x =+-+的图象与函数4()y f x =的图象在[1,]x e ∈恰有两个不同交点？若存在，求出实数b 的取值范围；若不存在，说明理由．江苏省清江中学2014-2015学年度第一学期期末考试高二数学试题（文科）答题纸一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题纸相应位．．．．．．置上．．．1 2 3 4 56 7 8 910 11 12 13 14二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤江苏省清江中学2014-2015学年度第一学期期末考试高二数学试题（文科） 参考答案与评分标准一、填空题：二、解答题：15. 解：∵复数(12)(2)z m m i =-++在复平面上对应的点在第二或第四象限， ∴(12)(2)0m m -+<，即2m <-或12m >. ………………5分 ∵函数324()()63g x x mx m x =++++在R 上有极大值点和极小值点各一个， ∴24()3203g x x mx m '=+++=有两个不同的解，即△＞0. 由△＞0，得m ＜－1或m ＞4 …………10分 要使“p 且q ”为真命题，则p ，q 都是真命题， ………………12分 ∴ 12,24214m m m m m m ⎧<->⎪<->⎨⎪<->⎩或解得或或． m ∴的取值范围为(,2)(4,)-∞-+∞． ………………14分16.解: （1）因为各组的频率和等于1,故低于50分的频率为：1.010)005.0025.003.02015.0(11=⨯+++⨯-=f ………………………………3分所以低于60分的人数为60(0.10.15)15⨯+=（人）……………………………….5分 （2）依题意，成绩80及以上的分数所在的第五、六组（低于50分的为第一组）， 频率和为 (0.0250.005)100.3+⨯=所以，抽样学生成绩的优秀率是30%……………………………………………………8分.于是，可以估计这次考试物理学科及格率约为30%……………………………………9分. （3）“成绩低于50分”及“[50,60)”的人数分别是6,9．所以从参加补考的学生中选一人，他成绩不低于50分的概率为：93155P == …………………14分 17. 解：(1)抽取的全部结果的基本事件有：(－4，－4)，(－4,3)，(－1，－4)，(－1,3)，(1，－4)，(1,3)，(2，－4)，(2,3)，(3，－4)，(3,3)，共10个基本事件，设使函数为减函数的事件为A ，则A 包含的基本事件有：(－4，－4)，(－4,3)，(－1，－4)，(－1,3)，共4个基本事件，所以，P (A )＝42105=.………………………………7分(2)m 、n 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n －1≤0，－1≤m ≤1，－1≤n ≤1的区域如图所示：要使函数的图象过一、二、四象限，则m<0，n ＞0，故使函数图象过一、二、四象限的(m ，n )的区域为第二象限的阴影部分，∴所求事件的概率为12772P ==. …………………………………………………14分 18. 解：（1）连结OC ，因为BC x =，所以OB =设圆柱底面半径为rr π=，即222900r x π=-，所以,2322900900x x x V r x x ππππ--=⋅=⋅⋅=其中030x <<.………………7分（2）由2/90030x V π-==，得x =,又在上/0V >,在上/0V <所以,3900x x V π-=在上是增函数,在上是减函数,所以,当x =, V 有最大值.. …………………16分19. 解：(1)因为抛物线28y x =的焦点为(2,0),又椭圆以抛物线焦点为顶点,(2)(i)证明：由题意得F(1,0)、N(4,0)． 设(,)A m n ，则(,)(0)B m n n -≠，22143m n +=. AF 与BN 的方程分别为：(1)(1)0,n x m y ---=(4)(4)0,n x m y ---=设00(,)M x y ，则有0000(1)(1)0(4)(4)0n x m y n x m y ---=⎧⎪⎨---=⎪⎩由上得00583,2525m n x y m m -==--，…6分 由于22220022(58)(3)434(25)3(25)x y m n m m -+=+=--222222(58)12(58)36914(25)4(25)m n m m m m -+-+-==--，所以点M 恒在椭圆C 上…………10分(ⅱ)解：设AM 的方程为1x ty =+，代入22143x y +=，得22(34)690t y ty ++-= 设1122(,),(,)A x y M x y，解方程得，1222333434t t y y t t -+--==++ (12)分122||34y y t -=+(1)λλ=≥(1)λλ=≥，则 1221212||1313y y λλλλ-==++，因为函数13y λλ=+在[1,)+∞上为增函数，所以，当10t λ==即时，13y λλ=+有最小值4，1213||||22AMN S FN y y ∆=⋅-== 231231291231223λλλλ⋅=⋅≤++，所以AMN ∆面积最大值为92．………………16分 20. 解：（1）()()()ln (0)a F x f x g x x x x =+=+>,/221()a x a F x x x x-=-=,…2分 因为0a >,/0(,),(,)F x a F a >∈+∞+∞解得所以（x ）在上是增函数；/0(,),(,)F x a F a >∈+∞+∞解得所以（x ）在上是增函数；所以,F(x)的单调递减区间为(0,a)，单调递增区间为(a,+∞). ……………4分（2）由/221()(2)ax aF x x x x x -=-=≥得/000201()(2)2x a k F x x x -==≤≥恒成立,即20012a x x ≥-+恒成立………………………6分因为当02x =时，20012x x -+取得最大值0，所以，0a ≥，所以，a 的最小值为0. (9)分（3）若22211()1122ay g b x b x =+-=+-+的图象与函数4()4ln y f x x ==的图象在[1,]x e ∈恰有两个不同交点，即2114ln 22x b x +-=在[1,]x e ∈有两个不同的根，亦即2114ln 22b x x =-+两个不同的根. ………………………11分。