江苏省扬州市高邮市中考数学一模试卷(含解析)

中考数学一模试卷一、选择题1．1不是﹣1的（）A．相反数B．绝对值C．倒数 D．平方数2．右图是某几何体的三视图，这个几何体是（）A．圆柱 B．三棱柱C．球D．圆锥3．体育委员把全班45名同学的体育锻炼时间，并绘制了如图所示的折线统计图，则全班45名同学一周的体育锻炼总时间的众数和中位数分别是（）A．9，9 B．9，10 C．18，9 D．18，184．已知不透明的袋中只装有黑、白两种球，这些球除颜色外都相同，其中白球有2个，黑球有n个，随机地从袋中摸出一个球，记录下颜色后，放回袋子中并摇匀，经过大量重复试验发现摸出白球的频率稳定在0.4附近，则n的值为（）A．2 B．3 C．4 D．55．若锐角α的正弦值为0.58，则（）A．α=30°B．α=45°C．30°＜α＜45°D．45°＜α＜30°6．如图，在平面直角坐标系上，△ABC的顶点A和C分别在x轴、y轴的正半轴上，且AB ∥y轴，点B（1，3），将△ABC以点B为旋转中心顺时针方向旋转90°得到△DBE，恰好有一反比例函数y=图象恰好过点D，则k的值为（）A．6 B．﹣6 C．9 D．﹣97．若数轴上的A、B、C三点表示的实数分别为a、1、﹣1，则|a+1|表示（）A．A、B两点间的距离B．A、C两点间的距离C．A、B两点到原点的距离之和D．A、C两点到原点的距离之和8．已知抛物线y=x2+bx+c的对称轴为x=2，若关于x的一元二次方程﹣x2﹣bx﹣c=0在﹣1＜x＜3的范围内有两个相等的实数根，则c的取值范围是（）A．c=4 B．﹣5＜c≤4 C．﹣5＜c＜3或c=4 D．﹣5＜c≤3或c=4二、填空题9．若a、b、c、d满足==，则= ．10．2016年11月10日，记者从民政部召开的会议了解到，目前全国农村留守儿童数量为902万人，“902万”用科学记数法表示为．11．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠B=137°，则∠AOC的度数为．12．如图，若棋盘中“帅”的坐标是（0，1），“卒”的坐标是（2，2），则“马”的坐标是．13．如图，已知射线OM，以O为圆心，以12cm为半径画弧，与射线OM交于点A，再以点A 为圆心，AO长为半径画弧，两弧交于点B，画射线OB，则扇形AOB的面积为cm2．14．若点A（﹣1，4）、B（m，4）都在抛物线y=a（x﹣3）2+h上，则m的值为．15．如图，△ABC中，AB=12，AC=8，AD、AE分别是其角平分线和中线，过点C作CG⊥AD 于F，交AB于G，连接EF，则线段EF的长为．16．如图，正方形ABCD的四个顶点A、B、C、D正好分别在四条平行线l1、l3、l4、l2上．若从上到下每两条平行线间的距离都是2cm，则正方形ABCD的面积为cm2．17．如图，点M是Rt△ABC的斜边AB的中点，连接CM，作线段CM的垂直平分线，分别交边CB和CA的延长线于点D、E，若∠C=90°，AB=20，tanB=，则DE= ．18．如图，点C在以AB为直径的半圆上，AB=4，AC=4，点D在线段AB上运动，点E与点D关于AC对称，DF⊥DE，DF交EC的延长线于点F，当点D从点A运动到点B时，线段EF扫过的面积是．三、解答题（本大题共有10小题，共96分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（4分）计算：﹣cos45°+（1﹣）2．20．（4分）因式分解：﹣3a3b+6a2b2﹣3ab3．21．（4分）先化简，再求值：（1﹣）÷，其中x=﹣2．22．（4分）解不等式组并写出它的所有非负整数解．23．（8分）体育中考前，抽样调查了九年级学生的“1分钟跳绳”成绩，并绘制成了下面的频数分布直方图王老师、张老师、李老师（女），姚老师四位数学老师报名参加了临城片青年教师优秀课选拔赛，将通过抽签决定上课节次，抽签时女士优先（1）先抽取的李老师不希望上第一节课，却偏偏抽到上第一节课的概率是；（2）在李老师已经抽到上第一节课的条件下，求抽签结果中，王老师比姚老师先上课的概率．25．（10分）快走是大众常用的健身方式，手机中的“乐动力”可以计算行走的步数与消耗的相应能量，对比数据发现小明步行1200步与小红步行9000步消耗的能量相同，若每消耗1千卡能量小明行走的步数比小红多2步，求小红每消耗1千卡能量可以行走多少步？26．（10分）如图，已知矩形ABCD的两条对角线相交于点O，过点A作AG⊥BD分别交BD、BC于点G、E．（1）求证：BE2=EG•EA；（2）连接CG，若BE=CE，求证：∠ECG=∠EAC．27．（10分）某商场经营某种品牌的玩具，进价是20元，根据市场调查：在一段时间内，销售单价是30元时，销售量是500件，而销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具．（1）不妨设该种品牌玩具的销售单价为x元（x＞40），请你分别用x的代数式来表示销售量y件和销售该品牌玩具获得利润w元，并把结果填写在表格中：（2）在（1）问条件下，若商场获得了8000元销售利润，求该玩具销售单价x应定为多少元．（3）在（1）问条件下，若玩具车规定该品牌玩具销售单价不低于35元，且商场要完成不少于350件的销售任务，求商场销售该品牌服装获得的最大利润是多少？28．（10分）如图，已知直线l与⊙O相离，OA⊥l于点A，交⊙O于点P，点B是⊙O上一点，连接BP并延长，交直线l于点C，使得AB=AC．（1）求证：AB是⊙O的切线；（2）PC=2，OA=4．①求⊙O的半径；②求线段PB的长．29．（12分）问题：探究一次函数y=kx+k+2（k是不为0常数）图象的共性特点，探究过程：小明尝试把x=﹣1代入时，发现可以消去k，竟然求出了y=2．老师问：结合一次函数图象，这说明了什么？小组讨论得出：无论k取何值，一次函数y=kx+k+2的图象一定经过定点（﹣1，2），老师：如果一次函数的图象是经过某一个定点的直线，那么我们把像这样的一次函数的图象定义为“点旋转直线”．已知一次函数y=（k+3）x+（k﹣1）的图象是“点选直线”（1）一次函数y=（k+3）x+（k﹣1）的图象经过的顶点P的坐标是．（2）已知一次函数y=（k+3）x+（k﹣1）的图象与x轴、y轴分别相交于点A、B①若△OBP的面积为3，求k值；②若△AOB的面积为1，求k值．30．（12分）如图，已知正方形ABCD、AEFG边长分别为cm、2cm，将正方形ABCD绕点A 旋转，连接BG、DE相交于点H．（1）判断线段BG、DE的数量关系与位置关系，并说明理由．（2）连接FH，在正方形ABCD绕点A旋转过程中，①线段DH的最大值是；②求点H经过路线的长度．参考答案与试题解析一、选择题1．1不是﹣1的（）A．相反数B．绝对值C．倒数 D．平方数【考点】17：倒数；14：相反数；15：绝对值．【分析】根据倒数的意义，相反数的意义，绝对值的性质，可得答案．【解答】解：1是﹣1的相反数，1是﹣1的绝对值，1是﹣1的负倒数，1是﹣1的平方数，故选：C．【点评】本题考查了倒数的意义，相反数的意义，绝对值的性质，熟记倒数的意义，相反数的意义，绝对值的性质是解题关键．2．右图是某几何体的三视图，这个几何体是（）A．圆柱 B．三棱柱C．球D．圆锥【考点】U3：由三视图判断几何体．【分析】由主视图和左视图确定是柱体，锥体还是球体，再由俯视图确定具体形状．【解答】解：根据主视图和左视图为矩形判断出是柱体，根据俯视图是三角形可判断出这个几何体应该是三棱柱，故选B．【点评】此题主要考查了由三视图判断几何体，主视图和左视图的大致轮廓为长方形的几何体为柱体，俯视图为几边形就是几棱柱．3．体育委员把全班45名同学的体育锻炼时间，并绘制了如图所示的折线统计图，则全班45名同学一周的体育锻炼总时间的众数和中位数分别是（）A．9，9 B．9，10 C．18，9 D．18，18【考点】VD：折线统计图；W4：中位数；W5：众数．【分析】根据众数与中位数的定义，找出出现次数最多的数，把这组数据从小到大排列，求出最中间两个数的平均数即可．【解答】解：由图可知，锻炼9小时的有18人，所以9在这组数中出现18次为最多，所以众数是9．把数据从小到大排列，中位数是第23位数，第23位是9，所以中位数是9．故选：A．【点评】此题考查了众数与中位数，众数是一组数据中出现次数最多的数；中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数，如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会出错．4．已知不透明的袋中只装有黑、白两种球，这些球除颜色外都相同，其中白球有2个，黑球有n个，随机地从袋中摸出一个球，记录下颜色后，放回袋子中并摇匀，经过大量重复试验发现摸出白球的频率稳定在0.4附近，则n的值为（）A．2 B．3 C．4 D．5【考点】X8：利用频率估计概率．【分析】根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．【解答】解：依题意有：=0.4，解得：n=3．故选B．【点评】此题考查了利用概率的求法估计总体个数，利用如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=是解题关键．5．若锐角α的正弦值为0.58，则（）A．α=30°B．α=45°C．30°＜α＜45°D．45°＜α＜30°【考点】T1：锐角三角函数的定义．【分析】由锐角三角函数为增函数，根据正弦值的范围确定出α的范围即可．【解答】解：∵锐角正弦函数为增函数，且＜sinα=0.58＜，∴30°＜α＜45°，故选C【点评】此题考查了锐角三角函数定义，熟练掌握锐角三角函数定义及正弦函数增减性是解本题的关键．6．如图，在平面直角坐标系上，△ABC的顶点A和C分别在x轴、y轴的正半轴上，且AB ∥y轴，点B（1，3），将△ABC以点B为旋转中心顺时针方向旋转90°得到△DBE，恰好有一反比例函数y=图象恰好过点D，则k的值为（）A．6 B．﹣6 C．9 D．﹣9【考点】G6：反比例函数图象上点的坐标特征；R7：坐标与图形变化﹣旋转．【分析】先根据旋转的性质得BD=BA=3，∠DBA=90°，则BD∥x轴，易得D（﹣2，3），然后利用待定系数法求反比例函数解析式．【解答】解：如图，∵△ABC以点B为旋转中心顺时针方向旋转90°得到△DBE，点B（1，3），AB∥y轴，∴BD=BA=3，∠DBA=90°，∴BD∥x轴，∴DF=3﹣1=2，∴D（﹣2，3）．∵反比例函数y=图象恰好过点D，∴3=，解得k=﹣6．故选B．【点评】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式：先设出含有待定系数的反比例函数解析式y=（k为常数，k≠0）；再把已知条件（自变量与函数的对应值）代入解析式，得到待定系数的方程；接着解方程，求出待定系数；然后写出解析式．也考查了旋转的性质．7．若数轴上的A、B、C三点表示的实数分别为a、1、﹣1，则|a+1|表示（）A．A、B两点间的距离B．A、C两点间的距离C．A、B两点到原点的距离之和D．A、C两点到原点的距离之和【考点】29：实数与数轴．【分析】根据题意，利用绝对值的性质得出结果即可．【解答】解：∵数轴上的A、B、C三点表示的实数分别为a、1、﹣1，∴|a+1|=|a﹣（﹣1）|表示A、C两点间的距离，故选B【点评】此题考查了实数与数轴，以及绝对值，熟练掌握绝对值的性质是解本题的关键．8．已知抛物线y=x2+bx+c的对称轴为x=2，若关于x的一元二次方程﹣x2﹣bx﹣c=0在﹣1＜x＜3的范围内有两个相等的实数根，则c的取值范围是（）A．c=4 B．﹣5＜c≤4 C．﹣5＜c＜3或c=4 D．﹣5＜c≤3或c=4【考点】HA：抛物线与x轴的交点；H4：二次函数图象与系数的关系．【分析】由对称轴x=2可求出b的值，然后分别求出x=﹣1和x=3时的函数值，列出不等式即可求出c的范围．【解答】解：由对称轴x=2可知：b=﹣4，∴抛物线y=x2﹣4x+c令x=﹣1时，y=c+5x=3时，y=c﹣3关于x的一元二次方程﹣x2﹣bx﹣c=0在﹣1＜x＜3的范围内有两个相等的实数根，当△=0时，即c=4，此时x=2，满足题意．当△＞0时，此时c＜4y=x2+bx+c在﹣1＜x＜3的范围内与x轴有交点，∴（c+5）（c﹣3）≤0，∴﹣5≤c≤3，当c=5时，此时x=﹣1或x=5，不满足题意，∴c的范围：﹣5＜c≤3或c=4故选（D）【点评】本题考查抛物线与x轴的交点，解题的关键将△分情况讨论，从而求出c的范围，本题属于难题．二、填空题9．若a、b、c、d满足==，则= ．【考点】S1：比例的性质．【分析】根据等比性质求解即可．【解答】解：∵ ==，∴==．故答案为：．【点评】本题考查了比例的性质，主要利用了等比性质．10．2016年11月10日，记者从民政部召开的会议了解到，目前全国农村留守儿童数量为902万人，“902万”用科学记数法表示为9.02×106．【考点】1I：科学记数法—表示较大的数．【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为整数，据此判断即可．【解答】解：902万=9.02×106．故答案为：9.02×106．【点评】此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，确定a与n的值是解题的关键．11．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠B=137°，则∠AOC的度数为86°．【考点】M6：圆内接四边形的性质．【分析】先根据圆内接四边形的性质求出∠D的度数，再由圆周角定理即可得出结论．【解答】解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠B=137°，∴∠D=180°﹣137°=43°，∴∠AOC=2∠D=86°．故答案为：86°．【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质，熟知圆内接四边形的对角互补是解答此题的关键．12．如图，若棋盘中“帅”的坐标是（0，1），“卒”的坐标是（2，2），则“马”的坐标是（﹣2，2）．【考点】D3：坐标确定位置．【分析】根据“帅”的坐标得出原点的位置，进而得出答案．【解答】解：根据题意可建立如图所示的平面直角坐标系，则“马”的坐标是（﹣2，2），故答案为：（﹣2，2）．【点评】此题主要考查了坐标确定位置，正确得出原点的位置是解题关键．13．如图，已知射线OM，以O为圆心，以12cm为半径画弧，与射线OM交于点A，再以点A 为圆心，AO长为半径画弧，两弧交于点B，画射线OB，则扇形AOB的面积为24πcm2．【考点】MO：扇形面积的计算．【分析】连接AB．△OAB是等边三角形，即可求得圆心角∠AOB的度数，根据扇形的面积公式即可求解．【解答】解：连接AB．∵OB=OA=AB，∴△OAB是等边三角形，∴∠BOA=60°，∴扇形AOB的面积是： =24π．故答案是：24π．【点评】本题考查了扇形的面积公式，注意到△OAB是等边三角形，求得圆心角∠AOB的度数是关键．14．若点A（﹣1，4）、B（m，4）都在抛物线y=a（x﹣3）2+h上，则m的值为7 ．【考点】H5：二次函数图象上点的坐标特征．【分析】根据函数值相等两点关于对称轴对称，可得答案．【解答】解：由点A（﹣1，4）、B（m，4）在抛物线y=a（x﹣3）2+h上，得（﹣1，4）与（m，4）关于对称轴x=3对称，m﹣3=3﹣（﹣1），解得m=7，故答案为：7．【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，利用函数值相等两点关于对称轴对称得出m﹣3=3﹣（﹣1）是解题关键．15．如图，△ABC中，AB=12，AC=8，AD、AE分别是其角平分线和中线，过点C作CG⊥AD 于F，交AB于G，连接EF，则线段EF的长为 2 ．【考点】KX：三角形中位线定理；KJ：等腰三角形的判定与性质．【分析】证明△AFG≌△AFC，得到AG=AC=8，根据三角形中位线定理得到EF=GB，得到答案．【解答】解：∵AD是∠BAC的平分线，∴∠GAF=∠CAF，∵CG⊥AD，∴∠AFG=∠AFC=90°，在△AFG和△AFC中，，∴△AFG≌△AFC，∴AG=AC=8，CF=FG，又CE=EB，∴EF=GB=（AB﹣AG）=2，故答案为：2．【点评】本题考查的是三角形中位线定理、全等三角形的判定和性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．16．如图，正方形ABCD的四个顶点A、B、C、D正好分别在四条平行线l1、l3、l4、l2上．若从上到下每两条平行线间的距离都是2cm，则正方形ABCD的面积为20 cm2．【考点】LE：正方形的性质；KD：全等三角形的判定与性质．【分析】过D点作直线EF与平行线垂直，与l1交于点E，与l4交于点F．易证△ADE≌△DFC，得CF=1，DF=2．根据勾股定理可求CD2得正方形的面积．【解答】解：作EF⊥l2，交l1于E点，交l4于F点．∵l1∥l2∥l3∥l4，EF⊥l2，∴EF⊥l1，EF⊥l4，即∠AED=∠DFC=90°．∵四边形ABCD为正方形，∴∠ADC=90°．∴∠ADE+∠CDF=90°．又∵∠ADE+∠DAE=90°，∴∠CDF=∠DAE，在△ADE与△DCF中，，∴△ADE≌△DCF，∴CF=DE=2．∵DF=4，∴CD2=22+42=20，即正方形ABCD的面积为20cm2．故答案为：20．【点评】本题考查正方形的性质和面积计算，根据平行线之间的距离构造全等的直角三角形是关键．17．如图，点M是Rt△ABC的斜边AB的中点，连接CM，作线段CM的垂直平分线，分别交边CB和CA的延长线于点D、E，若∠C=90°，AB=20，tanB=，则DE= ．【考点】T7：解直角三角形；KG：线段垂直平分线的性质．【分析】设AC=2k，BC=5k，根据勾股定理得到AB==k=20，得到BC=，连接DM，根据直角三角形的性质得到AM=CM=BM AB=10，由DE是线段CM的垂直平分线，得到CD=DM，根据相似三角形的性质得到CD=，根据勾股定理得到DN==2，于是得到结论．【解答】解：∵∠C=90°，tanB=，设AC=2k，BC=5k，∴AB==k=20，∴k=，∴BC=，连接DM，∵∠C=90°，点M是Rt△ABC的斜边AB的中点，∴AM=CM=BM AB=10，∴∠MCB=∠B，∵DE是线段CM的垂直平分线，∴CD=DM，∴∠DCM=∠DMC，∴△CDM∽△CMB，∴=，∴CD=，∵DE垂直平分CM，∴∠E+∠ECN=∠ECN+∠NCD=90°，∴∠E=∠NCD，∴△CDE∽△CDN，∴=，∵DN==2，∴DE==．故答案为：．【点评】本题考查了解直角三角形，线段的垂直平分线的性质，直角三角形的性质，熟练掌握线段的垂直平分线的性质是解题的关键．18．如图，点C在以AB为直径的半圆上，AB=4，AC=4，点D在线段AB上运动，点E与点D关于AC对称，DF⊥DE，DF交EC的延长线于点F，当点D从点A运动到点B时，线段EF扫过的面积是32 ．【考点】O4：轨迹；M5：圆周角定理；P2：轴对称的性质．【分析】当点D从点A运动到点B时，线段EF扫过的面积是△ABC面积的2倍，据此求出线段EF扫过的面积是多少即可．【解答】解：∵点C在以AB为直径的半圆上，∴∠ACB=90°，∴△ABC是直角三角形，∵AB=4，AC=4，∴BC==8，∴S△ABC=8×4÷2=16，∴线段EF扫过的面积是：16×2=32．故答案为：32．【点评】此题主要考查了轨迹问题，圆周角定理的应用，以及轴对称的性质和应用，要熟练掌握．三、解答题（本大题共有10小题，共96分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．计算：﹣cos45°+（1﹣）2．【考点】79：二次根式的混合运算；T5：特殊角的三角函数值．【分析】直接化简二次根式结合完全平方公式计算得出答案．【解答】解：﹣cos45°+（1﹣）2=4﹣+1+2﹣2=3+．【点评】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确应用完全平方公式是解题关键．20．因式分解：﹣3a3b+6a2b2﹣3ab3．【考点】55：提公因式法与公式法的综合运用．【分析】原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可．【解答】解：原式=﹣3ab（a2﹣2ab+b2）=﹣3ab（a﹣b）2．【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．21．先化简，再求值：（1﹣）÷，其中x=﹣2．【考点】6D：分式的化简求值．【分析】先将原式化简，然后将x的值代入即可求出答案．【解答】解：当x=﹣2时，∴原式=（1﹣）×=（1﹣）×==【点评】本题考查分式的运算，解题的关键是熟练运用分式运算法则，本题属于基础题型．22．解不等式组并写出它的所有非负整数解．【考点】CC：一元一次不等式组的整数解；CB：解一元一次不等式组．【分析】首先解每个不等式，两个不等式的解集的公共部分就是不等式组的解集，然后确定解集中的非负整数解即可．【解答】解：，解①得x≥﹣1，解②得x＜3．则不等式组的解集是﹣1≤x＜3．则不等式组的非负整数解是0，1，2．【点评】此题考查的是一元一次不等式组的解法．求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．23．体育中考前，抽样调查了九年级学生的“1分钟跳绳”成绩，并绘制成了下面的频数分布直方图（2017•高邮市一模）王老师、张老师、李老师（女），姚老师四位数学老师报名参加了临城片青年教师优秀课选拔赛，将通过抽签决定上课节次，抽签时女士优先（1）先抽取的李老师不希望上第一节课，却偏偏抽到上第一节课的概率是；（2）在李老师已经抽到上第一节课的条件下，求抽签结果中，王老师比姚老师先上课的概率．【考点】X6：列表法与树状图法．【分析】（1）直接利用概率公式求解；（2）画树状图展示所有6种等可能的结果数，再找出王老师比姚老师先上课的结果数，然后根据概率公式求解．【解答】解：（1）李老师抽到上第一节课的概率=；故答案为；（2）画树状图为：共有6种等可能的结果数，其中王老师比姚老师先上课的结果数为3，所以王老师比姚老师先上课的概率==．【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．25．（10分）（2017•高邮市一模）快走是大众常用的健身方式，手机中的“乐动力”可以计算行走的步数与消耗的相应能量，对比数据发现小明步行1200步与小红步行9000步消耗的能量相同，若每消耗1千卡能量小明行走的步数比小红多2步，求小红每消耗1千卡能量可以行走多少步？【考点】B7：分式方程的应用．【分析】设小红每消耗1千卡能量需要行走x步，则小明每消耗1千卡能量需要行走（x+2）步，根据数量关系消耗能量千卡数=行走步数÷每消耗1千卡能量需要行走步数结合小明步行12 000步与小红步行9 000步消耗的能量相同，即可得出关于x的分式方程，解之后经检验即可得出结论．【解答】解：设小红每消耗1千卡能量需要行走x步，则小明每消耗1千卡能量需要行走（x+2）步，根据题意，得=，解得x=6．经检验：x=6是原方程的解．答：小红每消耗1千卡能量需要行走6步．【点评】本题考查了分式方程的应用，根据数量关系消耗能量千卡数=行走步数÷每消耗1千卡能量需要行走步数列出关于x的分式方程是解题的关键．26．（10分）（2017•高邮市一模）如图，已知矩形ABCD的两条对角线相交于点O，过点A 作AG⊥BD分别交BD、BC于点G、E．（1）求证：BE2=EG•EA；（2）连接CG，若BE=CE，求证：∠ECG=∠EAC．【考点】S9：相似三角形的判定与性质；LB：矩形的性质．【分析】（1）由四边形ABCD是矩形，得到∠ABC=90°，得到∠ABC=∠BGE=90°，根据相似三角形的性质即可得到结论；（2）由（1）证得BE2=EG•EA，推出△CEG∽△AEC，根据相似三角形的性质即可得到结论．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC=90°，∵AE⊥BD，∴∠ABC=∠BGE=90°，∵∠BEG=∠AEB，∴△ABE∽△BGE，∴，∴BE2=EG•EA；（2）由（1）证得BE2=EG•EA，∵BE=CE，∴CE2=EG•EA，∴=，∵∠CEG=∠AEC，∴△CEG∽△AEC，∴∠ECG=∠EAC．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．27．（10分）（2017•高邮市一模）某商场经营某种品牌的玩具，进价是20元，根据市场调查：在一段时间内，销售单价是30元时，销售量是500件，而销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具．（1）不妨设该种品牌玩具的销售单价为x元（x＞40），请你分别用x的代数式来表示销售量y件和销售该品牌玩具获得利润w元，并把结果填写在表格中：（2）在（1）问条件下，若商场获得了8000元销售利润，求该玩具销售单价x应定为多少元．（3）在（1）问条件下，若玩具车规定该品牌玩具销售单价不低于35元，且商场要完成不少于350件的销售任务，求商场销售该品牌服装获得的最大利润是多少？【考点】HE：二次函数的应用；AD：一元二次方程的应用．【分析】（1）根据销售量与销售单价之间的变化关系就可以直接求出y与x之间的关系式；根据销售问题的利润=售价﹣进价就可以表示出w与x之间的关系；（2）根据以上关于利润的相等关系列方程求解可得；（3）根据销售单价不低于35元，销售量不少于350件建立不等式组求得x的范围，将函数解析式配方成顶点式，结合函数性质和x的范围求出其最大值即可．【解答】解：（1）由题意，得：y=500﹣10（x﹣30）=﹣10x+800，w=（﹣10x+800）（x﹣20）=﹣10x2+1000x﹣16000．故答案为：﹣10x+800，﹣10x2+1000x﹣16000．（2）根据题意，得：﹣10x2+1000x﹣16000=8000，整理，得：x2﹣100x+2400=0，解得：x=40或x=60，∵x＞40，∴x=60，答：该玩具销售单价x应定为60元；（3）由题意知，解得：35≤x≤45，∵w=﹣10x2+1000x﹣16000=﹣10（x﹣50）2+9000，∴当x＜50时，w随x的增大而增大，∴当x=45时，w取得最大值，最大值为﹣10（45﹣50）2+9000=8750，答：商场销售该品牌服装获得的最大利润是8750元．【点评】本题考查了一元二次方程的解法的运用，二次函数的解析式的运用，二次函数的顶点式的运用，解答时求出二次函数的解析式是关键．28．（10分）（2017•高邮市一模）如图，已知直线l与⊙O相离，OA⊥l于点A，交⊙O于点P，点B是⊙O上一点，连接BP并延长，交直线l于点C，使得AB=AC．（1）求证：AB是⊙O的切线；（2）PC=2，OA=4．①求⊙O的半径；②求线段PB的长．【考点】MR：圆的综合题．【分析】（1）连结OB，如图，由等腰三角形的性质得∠1=∠2，∠4=∠5，由OA⊥AC得∠2+∠3=90°，加上∠3=∠4，易得∠5+∠1=90°，即∠OBA=90°，于是根据切线的判定定理可得AB是⊙O的切线；（2）作OH⊥PB于H，如图，根据垂径定理得到BH=PH，设⊙O的半径为r，则PA=OA﹣OP=4﹣r，根据勾股定理得到AC，AB，然后根据相似三角形的性质即可得到结论．【解答】（1）证明：连结OB，如图，∵AB=AC，∴∠1=∠2，∵OA⊥AC，∴∠2+∠3=90°，∵OB=OP，∴∠4=∠5，而∠3=∠4，∴∠5+∠2=90°，∴∠5+∠1=90°，即∠OBA=90°，∴OB⊥AB，∴AB是⊙O的切线；（2）解：作OH⊥PB于H，如图，则BH=PH，设⊙O的半径为r，则PA=OA﹣OP=4﹣r，在Rt△PAC中，AC2=PC2﹣PA2=（2）2﹣（4﹣r）2，在Rt△OAB中，AB2=OA2﹣OB2=42﹣r2，而AB=AC，∴（2）2﹣（4﹣r）2=42﹣r2，解得r=1，即⊙O的半径为1；∴PA=3，∵∠3=∠4，∴Rt△APC∽Rt△HPO，∴=，即=，∴PH=，∴PB=2PH=．【点评】本题考查了切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．也考查了垂径定理和勾股定理．29．（12分）（2017•高邮市一模）问题：探究一次函数y=kx+k+2（k是不为0常数）图象的共性特点，探究过程：小明尝试把x=﹣1代入时，发现可以消去k，竟然求出了y=2．老师问：结合一次函数图象，这说明了什么？小组讨论得出：无论k取何值，一次函数y=kx+k+2的图象一定经过定点（﹣1，2），老师：如果一次函数的图象是经过某一个定点的直线，那么我们把像这样的一次函数的图象定义为“点旋转直线”．已知一次函数y=（k+3）x+（k ﹣1）的图象是“点选直线”（1）一次函数y=（k+3）x+（k﹣1）的图象经过的顶点P的坐标是（﹣1，﹣4）．（2）已知一次函数y=（k+3）x+（k﹣1）的图象与x轴、y轴分别相交于点A、B①若△OBP的面积为3，求k值；②若△AOB的面积为1，求k值．【考点】F8：一次函数图象上点的坐标特征．【分析】（1）先把一次函数y=（k+3）x+（k﹣1）整理为y=k（x+1）+3x﹣1的形式，再令x+1=0，求出y的值即可；（2）先用k表示出AB的坐标，再根据三角形的面积公式即可得出结论．【解答】解：（1）∵一次函数y=（k+3）x+（k﹣1）整理为y=k（x+1）+3x﹣1的形式，∴令x+1=0，则x=﹣1，∴y=﹣4，∴P（﹣1，﹣4）．故答案为：（﹣1，﹣4）；（2）∵一次函数y=（k+3）x+（k﹣1）的图象与x轴、y轴分别相交于点A、B。