数字信号处理7

积，如图7.8中阴影所示。当主瓣的中心ω 变化时，此曲 线左右移动，此面积也就发生变化。
图 7.8 由 -ωc 到ωc 区间曲线WR[ej(ω-θ)] 下的面积

当 ω =0时： 当ω 逐渐增大，随着图中不同正负、不同大小的旁瓣移出

和移入积分区间，使得H(ejω ) 的大小产生波动。

当
： H(ejω ) 取最大值，约为1.0895
统的冲激响应h(n) 是有限长度的。 将ai =h(i)(i=0,1,…,N-1) 代入(7.1)式得到：
(7.3)
将(7.3)式的两边进行z变换后，可以得到FIR滤波器的系统
函数：
(7 .4) 又由(7.4)式有：

因此，FIR滤波器的系统函数H(z)的极点都位于z=0处，为 N-1阶极点；而N-1个零点由冲激响应h(n)决定，一般来说， 可以位于有限 z 平面的任何位置。
图象必定是一条过原点的直线，即有：
θ (ω )
θ (ω )= -τ ω , τ 为一常数 (7.8) 0 ω
图7.1
时的图象
因为
故有：
（7.9）
由 (7.8) 式和 (7.9) 式有：
利用三角公式，由上式可以得到：
（7.10）
可以证明，当满足： 以及 0≤n≤N-1
(7.11) (7.12)
时，(7.10) 式成立。这就是说，如果 (7.11) 式和 (7.12) 式满足，便有：θ (ω )=-τ ω ，是ω 的线性函数，而且有
是因果窗，即定义在0≤n≤N-1区间，N可以是奇数或偶数，
但w(n)都是偶对称的。由7.2.3.2节可以知道，w(n)的频 谱可表示为： （7.36）

其中幅度函数W(ω ) 是ω 的实函数，而相位函数：
(7.37)

因此，对每种窗，只需考察其w(n) 和W(ω ) 的表示式。
7.3.3.1

矩形窗

(7.17)式说明冲激响应h(n) 关于中心点奇对称，无论N为 偶数还是奇数，对称中心都位于 。当N为奇数时
有
。

总的来说，当FIR滤波器的冲激响应h(n) 偶对称或者奇对 称时，此滤波器的相位特性是线性的，而且群延时是恒定 的，为τ = 。
7.2.3 线性相位FIR滤波器的特性

由冲激响应h(n)为偶对称或者奇对称的对称条件，可以导
，即恒相延时与恒群延时同时
成立。

(7.12)式说明冲激响应h(n)关于中心点偶对称，无论N为 偶数还是奇数，对称中心都位于 。
7.2.2.2

只要求恒群延时成立
若只要求群延时τ g(ω ) 为一常数，则相位特性是一条可 以不经过原点的直线，即：
（7.13）

并且有θ 0=±π /2（这在下面会给予解释），即有
，
因此有：

令m=N-1-n，则：

也即 (7.28)

因此，如果z=zi 是H(z)的零点，那末zi-1 也是H(z)的零点； 此外，由于h(n)为实序列，故zi* 也是H(z)的零点，由此 又得出(zi*)-1 也是零点。这四个零点构成了互为倒数、 互为复共轭对的四点组。

几种特殊情况：若
a）主瓣宽度尽量小，以使滤波器的过渡带尽量陡； b）旁瓣相对于主瓣越小越好，这样可使滤波器频响的肩峰 和波动减小。

然而，一般情况是，若选择的窗口频谱旁瓣较小，其主瓣 就会较宽，反之亦然。因此，常常要根据需要进行折衷的
选择。
7.3.3

几种常用窗函数
这里介绍几种常用窗函数，它们的长度均设为N，并且都
数的线性组合，故显然当ω =0时有H(ω )=0，也就是说， ω =0不可以在相应的滤波器的通带，因此，这种形式不能
够用于低通和带阻滤波器。
7.2.3.3

零点分布
如果FIR滤波器是线性相位的，则其N-1个零点在z平面上 的分布是有一定的规律的。

对 一 线 性 相 位 FIR 滤 波 器 有 ： 0≤n≤N-1
7.3.3.3

改进的升余弦窗——哈明(Hamming)窗
对升余弦窗作一点调整，得到： （7.47）

(7.48) 结果是，99.96% 的能量集中在主瓣内，而主 瓣宽度仍与汉宁窗相同。

显然，汉宁窗和哈明窗可以统一表示为：
(7.49)

对于汉宁窗，α =0.5；对于哈明窗，α =0.54。
7.3.3.4

其中Hd(ejω ) 是hd(n) 的傅里叶变换，也即理想的频响，
而WR(ejω ) 是矩形窗wR(n) 的频谱。
(7.34) WR(ejω )是ω 的偶函数。
图 7.7
矩形窗的频谱

由 (7.33) 式有：
（7.35）

式中积分等于θ 由 -ω c 到ω c区间曲线WR[ej(ω -θ )]下的面
7.3.1

窗口法的基本思想
用傅里叶反变换可以求得图7.6所示的理想低通滤波器的
冲激响应：
（7.29）

将此无限长的hd(n)截断就得到有限长的冲激响应h(n)：
(7.30)

这里已经假设了h(n)的长度N为奇数。(7.30)式等价于：
(7.31) 其中 (7.32)
7.3.2

理论分析
h(n) 是两个序列的乘积，故H(ejω ) 是这两个序列的傅 里叶变换的卷积，即： (7.33)
间为过渡带。
图 7.9 加矩形窗后的频响与理想频响的比较

因此，加窗后所得到的FIR滤波器的频响H(ejω ) 出现了过
渡带、肩峰以及通带和阻带内的波动。与这些特征有关的 因素：
1. 过渡带：正、负肩峰之间的过渡带的宽度等于窗函数频 谱的主瓣宽度。对于矩形窗频谱WR(ejω )，此宽度为4π /N。 因此，过渡带宽度与所选窗函数有关；而对于一定的窗函 数，增加窗口长度N可以使过渡带变陡。
7.2.1

恒延时滤波
数字滤波器的相延时为 (7.6)

数字滤波器的群延时为 (7.7)

所谓恒延时滤波就是要求 τ 变化的常量。
p(ω
) 或τ g(ω ) 是不随ω
7.2.2
7.2.2.1
线性相位FIR滤波器满足的条件
要求恒相延时与恒群延时同时成立
要使τ p(ω ) 与τ g(ω )都是不随ω 变化的常量，θ (ω ) 的
2．肩峰及波动：是由窗函数频谱的旁瓣引起的。旁瓣越多， 波动就越快；旁瓣相对值越大，波动就越厉害，肩峰也越 强。因此，肩峰及波动与所选窗函数有关。长度N的增加 能够使频响的波动加快，但是不能够改变肩峰和波动的相 对大小。

因此，加窗法设计FIR滤波器，h(n) 之长度也即窗口长度
N可以影响过渡带的宽度；而所选窗函数不仅可以影响过 渡带的宽度，还能影响肩峰和波动的大小。选择窗函数应 使其频谱：

由于FIR数字滤波器的极点都集中在单位园内的原点z=0处， 与系数h(n)无关，因此FIR滤波器总是稳定的，这是FIR数 字系统的一大优点。
7.2

线性相位FIR滤波器
FIR数字滤波器的频率响应为：
(7.5)

所谓线性相位滤波器，就是说此滤波器的相位特性，或者 说其频率响应H(ejω ) 的幅角θ (ω )，是频率ω 的线性函 数。
(7.32)式已给出以n=0为对称中心的非因果矩形窗wR(n)的 定义，下面是实际使用的因果矩形窗：
(7.38)

这个矩形窗的对称中心在(N-1)/2，它是wR(n)向右移位
(N-1)/2的结果，即有： (7.39)

这两个窗函数的频谱之间的关系： (7.40)

如果序列以n=0为对称中心，则其延时τ = 0，同时相位函 数θ (ω )=0。因此，对称中心也即延时为0的非因果矩形 窗的频谱是： (7.43)
(7.14)
θ(ω )

2
0

ω

2
图7.3
时的图象
由 (7.9) 式和 (7.14) 式可得：
利用三角公式，由上式可以得到： （7.15）
可以证明，当满足: 以及 0≤n≤N-1
(7.16) (7.17)
时，(7.15) 式成立。这就是说，如果 (7.16) 式和 (7.17)
式满足，便有 τ g(ω )=τ ，即恒群延时成立。 , 是ω 的线性函数，而且有
，则零点为单位圆上的复
共轭对；若zi 是不为0的实数，则零点为实轴上的倒数对； 若zi= 1或zi= -1，则零点为单点。
7.3

窗口法
从本节开始，讨论设计FIR数字滤波器的一些主要方法。 注意，FIR数字滤波器不能够借助于模拟滤波器的设计方 法来设计，而是直接逼近所要求的频率响应。窗口法是设 计FIR滤波器的重要的基本方法。
H(ej0)，此处称为上臂峰，或正肩峰。

当ω =ω c： 主瓣的中心移到了ω c处， 当 ：H(ejω ) 取最小值，约为 -0.0895
。

H(ej0)，此处称为下臂峰，或负肩峰。

ω 继续增大到π ，H(ejω ) 随着积分区间内旁瓣的移动而
在阻带内波动。

图7.9表示了H(ejω )在ω 由0到π 范围内变化的情况，图中 已经假定H(ej0)=1。在 与 之
出线性相位FIR数字滤波器的一些特性。
7.2.3.1

网络结构
根据h(n)的对称性可以简化FIR滤波器的网络结构，详见 下面8.3节。
7.2.3.2

频率响应
FIR滤波器的频率响应为:
(7.18)

如果FIR滤波器是线性相位的，那末h(n)具有对称性，由 此可以导出线性相位FIR数字滤波器频率响应的特有形式。