《线性代数A》期末复习题++答案

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线性代数期末考试题一、填空题（将正确答案填在题中横线上。

每小题 5 分，共 25 分）1 3 1 1.若0 5 x 0，则__________。

1 2 2x1 x2 x3 02．若齐次线性方程组x1 x2 x3 0 只有零解，则应满足。

x1x2x303．已知矩阵A，B，C (c ij )s n，满足 AC CB ，则 A 与 B 分别是阶矩阵。

4．已知矩阵A为 3 3的矩阵，且| A| 3，则| 2A|。

5．n阶方阵A满足A23A E 0 ，则A1。

二、选择题（每小题 5 分，共 25 分）6．已知二次型 f x12 x22 5x32 2tx1x2 2x1 x3 4x2 x3,当t取何值时，该二次型为正定？（）A. 40 B.4 4C. 0 t4 4 1t5t D. t2 5 5 5 51 42 1 2 37．已知矩阵A 0 3 4 , B 0 x 6 ,且 A ~ B ，求x的值（）0 4 3 0 0 5A.3B.-2C.5D.-58 ．设 A 为 n 阶可逆矩阵，则下述说法不正确的是（）A. A0B. A 1 0C.r (A) nD.A 的行向量组线性相关9 ．过点（ 0， 2， 4）且与两平面x 2z 1和 y 3z 2 的交线平行的直线方程为（）1xy 2 z 4A.312xy 2 z 4C.31 2x y2 z 4B.32 2x y2 z 4D.322103 1 ．已知矩阵 A, 其特征值为（）51A. 12, 2 4 B. C.12,24D.三、解答题（每小题 10 分，共 50 分）1 12,2, 22441 1 00 2 1 3 40 2 1 30 1 1 011.设B, C 0 2 1 且矩阵满足关系式0 0 1 1 00 10 0 0 2T X(C B)E，求。

a1 12212. 问 a 取何值时，下列向量组线性相关？111, 2a ,3。

2 1 21 a22x 1 x 2x 3 313.为何值时，线性方程组x 1 x 2x 3 2有唯一解，无解和有无穷多解？当方x 1 x 2x 32程组有无穷多解时求其通解。

线性代数期末考试试题A及解答

令正交矩阵，则，上述正交矩阵T所得正交变换即为所求-----------（12分）
3、此二次型矩阵特征值有负值，，故二次型不正定。--------------------（14分）
六、
1、证明： -------------（3分）
，故可逆，且 ----（5分）
2、证明：因为为正交矩阵且， ------------（1分）
-------（4分）
，故 -----------------（5分）
六证明题
1、若阶矩阵满足，求证可逆，并求。
2、设五阶正交矩阵满足，求证：矩阵的秩。
线性代数A参考答案及评分标准
一、填空
1、负；46。2、4；2；与。
3、；。4、。
5、 6、。
7、0；。8、；2；。
二、计算
1、 --（3分）=
--------------（5分）= ------------------（6分）
得到齐次线性方程组的基础解系
三、 --------（2分）
故时，，方程组有解---------（4分）
此时方程组的一般解为：，得一个特解
导出组的一个基础解系， -----------------（10分）
通解为（，为任意常数）…（12分）
四、，
得到的特征值 ---------------（4分）
三（12 ）设线性方程组，当为何值时能与对角形矩阵相似，求参数的值。
五（14 ）二次型
（1）写出二次型的矩阵。
（2）用正交变换法将此二次型化为标准形并写出所做的正交变换以及二次型的标准形。
（3）此二次型是否正定，说明理由。
5．四阶矩阵的行列式则，，的列向量组线性关。

2019-2020-1《线性代数》期末试卷(A)答案及评分标准

A卷2019-2020-1《线性代数》期末试卷(A)答案及评分标准《线性代数》期末试卷答案（32学时必修）专业班级姓名学号开课系室应用数学系考试日期 2016年1月15日题号一二三四五六七总分本题满分15 15 21 16 12 14 7本题得分阅卷人注意事项：1．请用黑色或蓝色笔在试卷正面答题（请勿用铅笔答题），反面及附页可作草稿纸；2．答题时请注意书写清楚，保持卷面清洁；3．本试卷共七道大题，满分100分；试卷本请勿撕开，否则作废；4. 本试卷正文共7页。

说明：试卷中的字母E 表示单位矩阵；*A 表示矩阵A 的伴随矩阵；)(A R 表示矩阵A 的秩；1-A 表示可逆矩阵A 的逆矩阵.一、填空题（请从下面6个题目中任选5个小题，每小题3分；若6个题目都做，按照前面5个题目给分）1．5阶行列式中，项4513523124a a a a a 前面的符号为【负】.2.设1352413120101311--=D ，)4,3,2,1(4=i A i 是D 的第4行元素的代数余子式，则4443424122A A A A +-+ 等于【 0 】.3．设102020103B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭，A 为34⨯矩阵，且()2A =R ，则()AB =R 【 2 】.4．若向量组123(1,1,0),(1,3,1),(5,3,)t ==-=ααα线性相关，则=t 【 1 】.5．设A 是3阶实的对称矩阵，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1m m α是线性方程组0=Ax 的解，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=m m 11β是线性方程组0)(=+x E A 的解，则常数=m 【 1 】.6．设A 和B 是3阶方阵，A 的3个特征值分别为0,3,3-，若AB B E =+，则行列式=+-|2|1E B 【 -8 】.二、选择题（共5个小题，每小题3分）1. 设A 为3阶矩阵，且21||=A ，则行列式|2|*-A 等于【 A 】.(A) 2-； (B) 21-； (C) 1-； (D) 2.2. 矩阵110120001⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭的逆矩阵为【 A 】．(A) 210110001-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭； (B)210110001⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭； (C) 110120001-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭； (D) 110110001⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭.3．设A 是n 阶非零矩阵，满足2A A =，若A E ≠，则【 A 】．(A) ||0A =； (B) ||1A =； (C) A 可逆； (D) A 满秩.4. 设300300026,110,001342A B ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪==- ⎪ ⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭1-=AB C ，则1C -的第3行第1列的元素为【D 】．(A) 4； (B) 8； (C) 0； (D) 1-.5．设323121232221321222222),,(x ax x ax x ax x x x x x x f +++++=，a 是使二次型),,(321x x x f 正定的正整数，则必有【 B 】．(A) 2=a ； (B) 1=a ； (C) 3=a ； (D) 以上选项都不对.三、求解下列各题(共3小题，每小题7分)1. 若,,αβγ线性无关，2,αβ+2k βγ+，3βγ+线性相关，求k . 解：因为2,αβ+2k βγ+与3βγ+线性相关，所以必定存在不全为零的数321，，λλλ，使得0=3+++2+2+321）（）（）（γβλγβλβαλk ----------2分整理得：0=3+++2+2+323211γλλβλλλαλ）（）（k 由于,,αβγ线性无关，因此可得=3+0=+2+20=323211λλλλλλk 由于321，，λλλ不全为零，即上述齐次线性方程组有非零解，因此0=30122001k ，由此得k = 6. ----------7分 2. 设()011201-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=A ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=03112211a B ，若2)(=+B AB R ，求a .解：由2)(=+B AB R 可知0=+B AB ，由此可得 0=+B E A又 02=122010012=+≠--E A----------2分因此 0=B因此可得 5=-a . ----------7分3. 设矩阵2001000240021603,A a B t -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪==- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且,A B 相似，求a 与t 的值．解：由,A B 相似可知,A B 的特征值相同，而易知B 的特征值为 -1,t ,3，因此A 的特征值也为 -1,t ,3 利用特征值的性质可得21132(4)3t a t a ++=-++⎧⎨-=-⎩ ----------5分解得12a t ==,. ----------7分四、（共2小题，每小题8分）1．求向量组123410311301,,,217242140⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭αααα的一个最大无关组，并将其余向量用这一最大无关组表示出来.解：令()123410311301,,,217242140A αααα⎛⎫ ⎪--⎪== ⎪ ⎪⎝⎭, 把A 进行行变换，化为行最简形， ()123410300110~00010000A C ββββ⎛⎫⎪⎪== ⎪⎪⎝⎭----------6分则421，，βββ是C 的列向量组的一个最大无关组，且421303ββββ++=，故421，，ααα是A 的列向量组的一个最大无关组，且421303αααα++=.----------8分2. 问a 满足什么条件，才能使得21403003A a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭共有两个线性无关的特征向量？解：由0=30030412=λλλλ----a E A ，得A 的特征值：3==2=321λλλ，要使A 有两个线性无关的特征向量，则特征值3对应一个线性无关的特征向量，即0=)3(x E A -的解空间的维数为1，则2=)3(E A R -， ----------6分而114300000A E a -⎛⎫⎪-= ⎪ ⎪⎝⎭，因此可知0≠a . ----------8分五、问λ为何值时，线性方程组13123123,4226423x x x x x x x x +=⎧⎪++=+⎨⎪++=+⎩λλλ无解，有无穷多解，并在有无穷多解时求出其通解．解：记方程组的增广矩阵为，则101412261423B ⎛⎫ ⎪=+ ⎪ ⎪+⎝⎭λλλ，对其进行行变换，化为行阶梯形：101012320001B λλλ⎛⎫ ⎪→--+ ⎪ ⎪-+⎝⎭，易知，当1≠λ时，3)(2)(=≠=B R A R ，方程组无解；当1=λ时，2)()(==B R A R ，方程组有无穷多解； ----------6分当1=λ时，101101210000B ⎛⎫⎪→-- ⎪ ⎪⎝⎭，与原方程组同解的方程组为1323121x x x x =-+⎧⎨=-⎩，由此可得原方程组的通解为()123112110x x k k R x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=+-∈ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. ----------12分六、求实二次型32312123222132184444),,(x x x x x x x x x x x x f -+-++=的秩，并求正交变换Py x =，化二次型为标准形．解：记二次型的矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=442442221A ,122~000,000A -⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ 故二次型f 的秩为1. ----------4分由0442442221=-------=-λλλλE A ，可得：0，9321===λλλ，当，91=λ求解0)9(=-x E A 的一个基础解系：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=11-211ξ，单位化：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=3232-311p ,当，032==λλ求解0=Ax 的一个基础解系：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=102-，01232ξξ，正交化：[][]⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==15452--，012222323322ηηηξηξηξη，单位化：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=3515541552-15452-35，0125132p p ， ----------12分令()321p p p P =，则可得正交变换Py x =，二次型的标准形为：232221321009),,(y y y y y y f ++=. ----------14分七、（请从下面2个题目中任选1个，若2个题目都做，按照第1题给分）1. “设A 是n 阶实的反对称矩阵，则对于任何n 维实的列向量α，α和αA 正交，且E A -可逆”．您认为该结论成立吗？请说明理由. 解：该结论成立。

线性代数考试(A)参考答案及评释学习资料

线性代数考试(A)参考答案及评释华南农业大学期末考试试卷（A 卷）2005学年第一学期考试科目：线性代数考试类型：闭卷考试时间：120分钟学号姓名年级专业这是题文这是参考答案填空题.（每小题3分，共30分）1.若行列式D 各行元素之和等于0，则该行列式等于0. 各行加到第一行上去, 则第一行全为零P98奇数阶实反对称阵的行列式为零P64定理2.7非齐次线性方程组有解的充要条件 41141222222n n n --**⎛⎫===⋅= ⎪⎝⎭A A A重要关系*=AA A E ( P34定理1.9); 1n -*=A A(p44题1.18)5.设()()1,1,5,3,9,2,3,5,TTαβ=--=---则α与β的距离为9.()8,3,2,29-===αβ由正交矩阵的定义T =A A E 立即得到1T -=A A 且1T ===A A A A E若λ是A 的特征值, 则1λ是1-A 的特征值, 因为()110x x x x λλ-=≠⇒=A A x . 参考P87定理4.4: ()ϕA 的特征值是()ϕλ.8．如果()222123123121323,,2246f x x x x x tx x x x x x x =+++++是正定的，则t 的取值范围是5t >.11212323t ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A 1231121110,10,123501223t t ∆=>∆==>∆==-> p100定理5.6由2=AA 推出()()22-+=-A E A E EEnglish!二、单选题（每题3分，共15分）1.n 元齐次线性方程组0,AX =秩()(),R A r r n =<则有基础解系且基础解系含（ D ）个解向量.（A ）n （B ）r （C ）r n - （D ）n r - P62 line 5: 基础解系含n r -个解向量2. 设四阶方阵A 的秩为2，则其伴随矩阵A *的秩为（ D ）（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）0.A的余子式(3阶子式)全为零.*A是零矩阵.3. 设A是n阶方阵，满足2A E=，则（ B ）（A）A的行列式为1 （B）,-+不同时可逆.A E A E=（D）A的特征值全是1 （C）A的伴随矩阵*A A2000或.A E A E A E A E A E=⇒+-=⇒+=-=4. 设n阶方阵,,A B C满足ABC E=，其中E是n阶单位阵，则必有（ C ）（A）ACB E== (D) BAC E= (C) BCA E= (B) CBA E()()A E.p7性质1.2, p35定理1.10=⇒=A BC E BC或者141231234142332,3,4333411111111111111110000111111000101111101111100010000010001001000100010000101001000000i r r i c c c c r r r r r r r r x x x x x x x x x x x xxxxx x x x x-=+++-+-↔↔-------+---==----+-----====.2.给定向量组()()121,1,1,1,1,1,1,1,TTαα==--()32,1,2,1Tα=， ()41,1,1,1,Tα=--求1234,,,αααα的一个最大无关组和向量组的秩.()213141434212341121112111110212,,,112100021111021011211121021202120002000200020000r r r r r r r r r r A αααα---+-⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪----- ⎪ ⎪==−−−→ ⎪⎪--⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪------⎪ ⎪−−−→−−−→ ⎪ ⎪--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭可见()1234,,,3R αααα=，124,,ααα是一个最大无关组。

完整版)线性代数试卷及答案

完整版)线性代数试卷及答案线性代数A试题（A卷）试卷类别：闭卷考试时间：120分钟考试科目：线性代数学号：______ 姓名：______题号得分阅卷人一．单项选择题（每小题3分，共30分）1.设A经过初等行变换变为B，则(B)。

(下面的r(A),r(B)分别表示矩阵A,B的秩)。

A) r(A)。

r(B)；(D)2.设A为n(n≥2)阶方阵且|A|=，则(C)。

A) A中有一行元素全为零；(B) A中必有一行为其余行的线性组合；(C) A有两行（列）元素对应成比例；(D) A的任一行为其余行的线性组合。

3.设A,B是n阶矩阵(n≥2),AB=O,则下列结论一定正确的是: (D)A) A=O或B=O。

(B) B的每个行向量都是齐次线性方程组AX=O的解。

(D) R(A)+R(B)≤n.4.下列不是n维向量组α1,α2.αs线性无关的充分必要条件是（A）A) 存在一组不全为零的数k1,k2.ks使得k1α1+k2α2+。

+ksαs≠O；(B) 不存在一组不全为零的数k1,k2.ks使得k1α1+k2α2+。

+ksαs=O(C) α1,α2.αs的秩等于s；(D) α1,α2.αs 中任意一个向量都不能用其余向量线性表示。

5.设n阶矩阵(n≥3)A=，若矩阵A的秩为n-1，则a必为（）。

11；(C) -1；(D)。

(A) 1；(B)6.四阶行列式a1a2a3a4b1b2b3b4的值等于（）。

A) a1a2a3a4+b1b2b3b4；(B) (a1a2-b1b2)(a3a4-b3b4)；(C)a1a2a3a4-b1b2b3b4；(D) (a2a3-b2b3)(a1a4-b1b4)。

1.设A为四阶矩阵且A=b，则A的伴随矩阵A的行列式为b^3.(C)2.设A为n阶矩阵满足A+3A+In=O，In为n阶单位矩阵，则A=−A−3In。

线性代数A期末复习题答案

一、填空题1.11111111---x 是关于x 的一次多项式，该式中一次项的系数是21111)1(32=--+。

2. 已知四阶行列式D 中第三列元素依次为1-，2，0，1，它们的余子式依次分别为5，3，7-，4，则1502)1(433323134343333323231313-=-+--=+++=M M M M A a A a A a A a D 。

3.已知a bc d c b d a D dbc a a b dc=，则14243444A A A A +++=11011a bc c bd dbc a bd =。

4.已知矩阵n s ij c C B A ⨯=)(,,满足CB AC =，则A 与B 分别是ns ,阶矩阵。

5.已知⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=40060852b A 是奇异阵，则=b 0。

6.设方阵A 满足0322=--E A A ，则=-1A )2(31E A -。

7.设⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=1100210000120025A ，则=-1A ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---31310032310000520021。

8. ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1011A ，k 为自然数，则=kA ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-101k 。

9.若A 为n 阶方阵，且E AA T =，则=A 11-或。

10. 若n 阶方阵A 的秩小于n ，则A 的行列式等于零。

11. 设A 为3阶方阵，且3=A ，则*1A A -+=36443111==+---A A A 。

12.已知⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=200020002A ，满足B A AB +=，则=B A =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛200020002。

13. 设A 为n 阶方阵，且2=A ，则=A 212+n ，=*A 12-n 。

14. 若A 为n 阶方阵，且E AA T =，1-=A 则=+E A 0。

15. 设A 为5阶方阵，且21=A ，试求=--1*)3(A A A A A 3231)(311*-=-=--。

线性代数期末试题及参考答案

线性代数期末试题及参考答案一、单项选择题<每小题3分，共15分）1．下列矩阵中，<）不是初等矩阵。

<A ）001010100 (B>100000010 (C>10002001(D>100012012．设向量组123,,线性无关，则下列向量组中线性无关的是<）。

<A ）122331,,<B ）1231,,<C ）1212,,23<D）2323,,23．设A 为n 阶方阵，且250AA E。

则1(2)A E <）(A> A E (B>EA (C>1()3A E (D>1()3A E 4．设A 为n m 矩阵，则有<）。

<A ）若n m，则b Ax 有无穷多解；<B ）若n m，则0Ax 有非零解，且基础解系含有m n个线性无关解向量；<C ）若A 有n 阶子式不为零，则b Ax 有唯一解；<D ）若A 有n 阶子式不为零，则0Ax仅有零解。

5．若n 阶矩阵A ，B 有共同的特征值，且各有n 个线性无关的特征向量，则< ）<A ）A 与B 相似<B ）AB ，但|A-B|=0<C ）A=B<D ）A 与B 不一定相似，但|A|=|B|二、判断题(正确填T ，错误填F 。

每小题2分，共10分>1．A 是n 阶方阵，R ，则有A A。

< ）2．A ，B 是同阶方阵，且0AB ，则111)(A B AB 。

< ）3．如果A 与B 等价，则A 的行向量组与B 的行向量组等价。

( >4．若B A,均为n 阶方阵，则当B A 时，B A,一定不相似。

( >5．n 维向量组4321,,,线性相关，则321,,也线性相关。

< ）三、填空题<每小题4分，共20分）1．0121n n。

2．A 为3阶矩阵，且满足A3,则1A=______，*3A。

线性代数A_复习题2011-1

4．0000000004321a a a a =（）(A) 4321a a a a (B ) －4321a a a a (C) 24321a a a a (D)－24321a a a a 6．设A 为n 阶行列式，则kA =（） (A)A k (B)Ak⋅ (C ) A kn(D) A kn⋅7．设A ，B 均为n (n>2) 阶行列式，则（）(A)B A B A +=+ (B) B A B A -=-(C ) B A AB ⋅= (D)B A OBA O ⋅=9．已知333231232221131211a a a a a a a a a =3，则232333132222321221123111352352352a a a a a a a a a a a a ---=（） (A) 18 (B ) －18 (C) －9 (D)2710．41332211000000a b a b b a b a =（）(A) 4321a a a a －4321b b b b (B) 4321a a a a +4321b b b b (C) (21a a －21b b )(43a a －43b b ) (D ) (41a a －41b b )(32a a －32b b )11．记行列式347534453542333322212223212---------------x x x xx x x x x x x x x x x x 为f(x)，则方程f(x)=0根的个数为(A) 1 (B ) 2 (C) 3 (D)4 12．设A 为n 阶方阵，则A =0的必要条件是 (A) A 的两行元素对应成比例(B ) A 中必有一行为其余行的线性组合 (C) A 中有一行元素全为零(D) A 中任一行为其余行的线性组合13．是A 三阶矩阵，A =2，A 的伴随矩阵为*A ，则*A 2=（）(A) 4 (B) 8 (C) 16 (D ) 3215．如果D=333231232221131211a a a a a a a a a =M ≠0， 2322213332311312111222222222a a a a a a a a a D =，那么1D =（） (A) 2M (B)－2M (C) 8M (D ) －8M16．如果D=333231232221131211a a a a a a a a a =1，1D = 333231312322212113121111324324324a a a a a a a a a a a a ---，那么1D =（） (A) 8 (B )－12 (C) 24 (D) －2417．已知11111321--x 是关于x 的一次多项式，该式中x 的系数为（） (A) -1 (B) 2 (C) 3 (D ) 119．已知a ，b 为整数，且满足081100000=-a bb a，则（） (A) a=1，b=0 (B )a=0，b=0 (C)a=0，b=1 (D) a=1，b=1 20．设A 为三阶矩阵，A =a, 则其伴随矩阵*A 的行列式*A=（）(A) a (B ) 2a (C) 3a (D) 4a 21．设A ，B ，C 为n 阶方阵，且ABC=I ，则（）(A) ACB=I (B)CBA=I (C) BAC=I (D ) BCA=I 22．设A 为n 阶可逆矩阵，*A 是A 的伴随矩阵，则（）（A ）A A =* （B ）1-*=n AA （C ）nA A=*（D ）1-*=AA23．设A ，B 均为n ×n 阶矩阵，则必有（）（A ）B A B A +=+ （B ）AB=BA（C ）BA AB = （D ）111)(---+=+B A B A24．设A ，B 为n 阶方阵，且AB= O ，则必有（）（A ）若r(A)=n, 则B=O （B ）若A ≠O, 则B=O（C ）或者A= O , 或者B=O （D ）O B A =+25．设A 是n ×m 阶矩阵，C 是n 阶可逆矩阵，r(A)=r ，B=AC ，r(B)= 1r ,则( ) （A ） r >1r （B ） r<1r（C ） r =1r （D ）1r 和r 的关系依而定 26．若A 为n 阶可逆矩阵，则下列各式正确的是（）（A ）112)2(--=A A （B ）O AA ≠*（C ）AAA 11)(--*=（D ）T T T A A ])[(])[(111---=27．设A ，B 均为n 阶非零矩阵，且AB ＝Ｏ，则A 和B 的秩（） (A) 必有一个等于零 (B)一个等于n ，一个小于n (C) 都等于n (D ) 都小于n28．设n 阶方阵A 经初等变化后所得方阵记为B ，则（） (A) B A = (B) B A ≠(C) B A ⋅>0 (D ) ，若0=A 则0=B 29．A ，B 均为n 阶矩阵，下列各式中成立的为（） (A) 2222)(B AB A B A ++=+ (B) T T T B A AB =)((C) O B O A O AB ===或则, (D ) ，若0=+AB A 则00=+=B I A ，或30．设A ，B ，B A +，11--+B A 均为n 阶可逆矩阵，则111)(---+BA等于（A ）11--+B A （B ）B A + （C ）B B A A 1)(-+ （D ）1)(-+B A31．设n 元齐次线性方程组AX=0的系数矩阵A 的秩为r ，则AX=0有非零解的充分必要条件是（）(A) r=n (B ) r<n (C) r ≥n (D) r>n 32．设A 是n 阶可逆矩阵，*A 是A 伴随矩阵，则（）(A ) 1-*=n AA (B) A A =* (C) nA A =* (D) 1-*=A A33．设n 阶矩阵A 非奇异(n ≥2)，*A 是A 伴随矩阵，则（） (A ) ()A A A n 2-**= (B) ()A A A n 1+**= (C) ()A AAn 1-**= (D) ()A AAn 2+**=34．设n 维向量⎪⎭⎫⎝⎛=21,0,0,21 α, 矩阵A=I －αα'，B=I+2αα'，其中I 为n 阶单位矩阵，则（A ）0 （B ）－Ｉ（C ）I （D ）I+αα'35．设A ，B 为同阶可逆矩阵，则 (A) AB=BA(B) 存在可逆矩阵P 使得B AP P =-1 (C) 存在可逆矩阵C 使得B AC C =' (D) 存在可逆矩阵P 和Q 使得B PAQ = 36．下列命题中不正确的是( ) (A) 初等矩阵的逆也是初等矩阵 (B ) 初等矩阵的和也是初等矩阵 (C) 初等矩阵都是可逆的 (D) 初等矩阵的转置仍初等矩阵38．设A 是任一阶方阵，*A 是A 伴随矩阵，又k 为常数，且k ≠0，±1，则必有()*kA =(A) *A k (B ) *-A kn 1(C) *A k n (D) *-A k139．设A ，B ，C 为n 阶方阵，若AB=BA ，AC=CA ，则ABC 等于（A ） BAC （B ）CBA （C ）BCA （D ）CAB40．622211211=a a a a 若，则12020221221112--a a a a 的值为（） (A) －12 (B )12 (C) 18 (D) 0 41．设A ，B 都是n 阶矩阵，且AB ＝Ｏ，则下列一定成立的为（）（A ）A= O , 或者B=O （B ）A ，B 都不可逆（C ）A ，B 中至少有一个不可逆（D ）A+B=O42．设A ，B 均为n 阶矩阵，且满足等式AB ＝Ｏ，则必有（）（A ），0=A 或0=B （B ）A= O , 或B=O（C ）A+B=O （D ）O B A =+ 44．设A ，B 均为n 阶可逆矩阵，则AB 的伴随矩阵*)(AB = (A) **B A (B) 11--B A AB(C) 11--A B (D ) **A B46．设A ，B 均为n 阶矩阵，且22))((B A B A B A -=-+，则必有（）（A ）A= B （B ）A=I （C ）AB=BA （D ）B=I 47．设A 为n 阶矩阵，且0≠=a A ，*A 是A 的伴随矩阵，则*A=（）（A ）1-n a （B ）1+n a （C ）n a （D ）a48．已知向量组⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2111α，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1302α，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=7033α与向量⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2211β，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=5122β，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=333x β等秩，则x=（）(A) －1 (B) －2 (C) 3 (D ) 1 49．设有向量组()4,2,1,11-=α，()2,1,3,02=α，()14,7,0,33=α，()0,2,2,14-=α，()10,5,1,25=α，则该向量组的极大线性无关组是( )(A) ;321,,ααα (B ) ;421,,ααα (C) ;521,,ααα (D) ;5421,,,αααα 50．已知向量组4321,,,αααα线性无关，则向量组4312ααα++，42αα-，43αα+，2αα+，3212ααα++的秩是（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 51．设A ，B 为n 阶方阵，A ≠0，AB=0则（）(A) B=0 (B ) 00==A B 或 (C) BA=0 (D) ()222B A B A +=-52．A ，B 为n 阶方阵，则（） (A) A 或B 可逆，必有AB 可逆 (B ) A 或B 不可逆，必有AB 不可逆 (C) A 且B 可逆，必有A+B 可逆(D) A 且B 不可逆，必有A+B 不可逆53．A 为n 阶方阵，则下列矩阵中是对称矩阵的有（） (A)A A '- (B)()阶矩阵为任意n C C CA ' (C )A A ' (D)A A '+254．设A 为三阶方阵，且2=A ，则*-+A A 14=（）(A) 214(B) 12 (C)6 (D ) 10855．设A ，B 为n 阶方阵，且()E AB =2，则下列各式中可能不成立的是（） (A )1-=B A (B)1-=B ABA (C)1-=A BAB (D)E BA =2)( 56．若由AB=AC 必能推出B=C （A ，B ，C 均为n 阶矩阵）则A 必须满足（） (A)A ≠O (B)A=O (C )0≠A (D) 0≠AB 57．A 为n 阶方阵，若存在n 阶方阵B ，使AB=BA=A ，则（） (A) B 为单位矩阵 (B) B 为零方阵 (C) A B =-1 (D ) 不一定 58．设A 为n ×n 阶矩阵，如果r(A)<n , 则(A) A 的任意一个行（列）向量都是其余行（列）向量的线性组合(B) A 的各行向量中至少有一个为零向量(C )A 的行（列）向量组中必有一个行（列）向量是其余各行（列）向量的线性组合 (D)A 的行（列）向量组中必有两个行（列）向量对应元素成比例 59．设向量组s ααα,,2,1 线性无关的充分必要条件是(A) s ααα,,2,1 均不为零向量(B) s ααα,,2,1 任意两个向量的对应分量不成比例 (C) s ααα,,2,1 中有一个部分向量组线性无关(D ) s ααα,,2,1 中任意一个向量都不能由其余S-1个向量线性表示60．向量组的秩就是向量组的 (A) 极大无关组中的向量 (B) 线性无关组中的向量 (C ) 极大无关组中的向量的个数 (D) 线性无关组中的向量的个数 61．下列说法不正确的是( ) (A ) 如果r 个向量r ααα,,2,1 线性无关，则加入k 个向量k βββ,,2,1 后，仍然线性无关 (B) 如果r 个向量r ααα,,2,1 线性无关，则在每个向量中增加k 个分量后所得向量组仍然线性无关 (C)如果r 个向量r ααα,,2,1 线性相关，则加入k 个向量后，仍然线性相关 (D)如果r 个向量r ααα,,2,1 线性相关，则在每个向量中去掉k 个分量后所得向量组仍然线性相关62．设n 阶方阵A 的秩r<n ，则在A 的n 个行向量中 (A ) 必有r 个行向量线性无关(B) 任意r 个行向量均可构成极大无关组 (C) 任意r 个行向量均线性无关(D) 任一行向量均可由其他r 个行向量线性表示 63．设方阵A 的行列式0=A ，则A 中 (A) 必有一行（列）元素为零 (B) 必有两行（列）成比例(C ) 必有一行向量是其余行（列）向量的线性组合 (D) 任一行向量是其余行（列）向量的线性组合 64．设矩阵A=),,,,(54321ααααα经过初等行变换后变为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=311012110231111A ，则A 的秩为3，i α为A 的第i 列向量, 且( )成立 (A ) s αααα++=214 (B) s αααα++=21423 (C) s αααα++-=2142 (D)列向量组线性无关 65．设n 元齐次线性方程组的一个基础解系为η1 ，η2 ，η3 ，η4则()也是该齐次线性方程组的基础解系（A ）1443,3221,,ηηηηηηηη----（B ）1443,3221,,ηηηηηηηη++++（C ）4321321,211,,ηηηηηηηηηη++++++（D ）1443,3221,,ηηηηηηηη--++66．设A 是m ×n 矩阵，齐次线性方程组AX=0仅有零解的充分必要条件是( ) (A )A 的列向量线性无关 (B)A 的列向量线性相关 (C)A 的行向量线性无关 (D)A 的行向量线性相关67．n 元线性方程组AX=b ，r （A ，b ）<n ，那么方程AX=b(A)无穷多组解 (B)有唯一解 (C)无解 (D )不确定 68．设向量组321,,ααα线性无关，则下列向量组中，线性无关的是(A) 133221,,αααααα-++(B) 3213221,,ααααααα++++(C ) 1332213,32,2αααααα+++(D) 321321321553,222,ααααααααα-++-++69．向量组s ααα,,,21 线性无关的充分条件是 (A)s ααα,,,21 均不为零向量(B)s ααα,,,21 中任意两个向量的分量均不成比例(C )s ααα,,,21 中任意一向量均不能由其余s-1个向量线性表示 (D)s ααα,,,21 中有一部分向量线性无关70．设m ααα,,,21 均为n 维向量, 那么下列结论正确的是( ) (A) 若02211=+++m m k k k ααα , 则m ααα,,,21 线性相关(B )若对任一组不全为零的数m k k k ,,,21 都有02211≠+++m m k k k ααα ,则m ααα,,,21 线性无关(C)若m ααα,,,21 线性相关则对任一组不全为零的数m k k k ,,,21 都有02211=+++m m k k k ααα(D) 若000021=+++m ααα , 则m ααα,,,21 线性无关 71．已知向量组4321,,,αααα线性无关则向量组 (A) 14433221,,,αααααααα++++线性无关 (B) 14433221,,,αααααααα----线性无关 (C) 14433221,,,αααααααα-+++线性无关 (D) 14433221,,,αααααααα--++线性无关72．当向量组m ααα,,,21 线性相关时, 使等式02211=+++m m k k k ααα 成立的常数m k k k ,,,21 为( )(A)任意一组常数(B)任意一组不全为零的常数(C )某些特定的不全为零的常数(D)唯一一组不全为零的常数 73．下列命题正确的是( )(A) 若向量组线性相关, 则其任意一部分向量也线性相关 (B) 线性相关的向量组中必有零向量(C) 向量组中部分向量线性无关, 则整个向量组必线性无关 (D ) 向量组中部分向量线性相关, 则整个向量组必线性相关74．如果向量b 可由向量组s ααα,,,21 线性表示, 则下列结论中哪个正确 (A )存在一组数s k k k ,,,21 , 使等式s s k k k b ααα+++= 2211成立(B)存在一组不全为零的数使s k k k ,,,21 , 使等式s s k k k b ααα+++= 2211成立 (C)存在一组全为零的数s k k k ,,,21 , 使等式s s k k k b ααα+++= 2211成立 (D)对b 的线性表达式唯一75．设向量组s ααα,,,21 的秩为r ，则 (A) 必定r<s(B) 向量组中任意小于r 个向量部分组无关 (C) 向量组中任意r 个向量线性无关 (D ) 向量组任意r+1个向量线性相关 76．设向量组Ⅰ: ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=3121111a a a α,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=3222122a a a α,⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=3323133a a a α 向量组Ⅱ: ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=413121111a a a a β,⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=423222122a a a a β,⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=433323133a aa a β, 则( ) (A) 向量组Ⅰ相关⇒Ⅱ相关 (B )Ⅰ无关⇒Ⅱ无关 (C)Ⅱ无关⇒Ⅰ无关 (D)Ⅰ相关⇒Ⅱ相关77．设向量组Ⅰ: ()1111,,c b a =α,()2222,,c b a =α,()3333,,c b a =α向量组Ⅱ:()11111,,,d c b a =β,()22222,,,d c b a =β,()33333,,,d c b a =β, 则( )(A) 向量组Ⅰ相关⇒Ⅱ相关 (B )Ⅰ无关⇒Ⅱ无关 (C)Ⅱ无关⇒Ⅰ无关 (D)Ⅰ相关⇒Ⅱ相关 78．若s ααα,,,21 为n 维向量组，且秩(s ααα,,,21 )=r, 则 (A) 任意r 个向量线性无关 (B ) 任意r+1个向量线性相关(C) 该向量组存在唯一极大无关组(D) 该向量组在s>r 时, 由若干个极大无关组79．设t ααα,,,21 和s βββ,,,21 为两个n 维向量组, 且秩(t ααα,,,21 )=秩(s βββ,,,21 )=r, 则 (A)两向量组等价, 也即可相互线性表出 (B)秩(t ααα,,,21 ,s βββ,,,21 )=r(C )当t ααα,,,21 被s βββ,,,21 线性表出时,两向量组等价 (D)当s=t 时,两向量组等价80．设向量s αααα+++= 21(s>1), 而s s ααβααβααβ-=-=-=,,,221 则( )(A )秩(s ααα,,,21 )=秩(s βββ,,,21 ) (B)秩(s ααα,,,21 )>秩(s βββ,,,21 ) (C)秩(s ααα,,,21 )<秩(s βββ,,,21 )(D)不能确定秩(s ααα,,,21 )与秩(s βββ,,,21 )间的关系 81．向量组s ααα,,,21 线性无关的充分条件是 (A) s ααα,,,21 均为非零向量(B) s ααα,,,21 中任意两个向量的分量不成比例(C ) s ααα,,,21 中任意一个向量不能被其余向量线性表示 (D) s ααα,,,21 中有一个部分组线性无关 82．设A 为n 阶方阵, 且r(A)=r<n, 则中 (A )必有r 个行向量线性无关 (B)任意r 个行向量线性无关 (C)任意r 个行向量构成极大无关组(D)任意一个行向量都能被其他r 个行向量线性表示 83．A 是m ×n 矩阵, r(A)=r 则A 中必( )(A)没有等于零的r-1阶子式至少有一个r 阶子式不为零 (B )有不等于零的r 阶子式所有r+1阶子式全为零 (C)有等于零的r 阶子式没有不等于零的r+1阶子式 (D)任何r 阶子式都不等于零任何r+1阶子式都等于零 84．设s ααα,,,21 和t βββ,,,21 均为nR 中向量，且秩（s ααα,,,21 ）=秩（t βββ,,,21 ）=r ，则（） (A)两个向量组相等价(B)秩(s ααα,,,21 ,t βββ,,,21 )=r(C )当s ααα,,,21 能被t βββ,,,21 线性表示时两向量组等价 (D)当s=t 时两向量组等价 85．能表成向量()1,0,0,01=α,()1,1,1,02=α,()1,1,1,13=α的线性组合的向量是（） (A) ()1,1,0,0 (B )()0,1,1,2 (C)()1,0,1,3,2- (D)()0,0,0,0,86．已知()3,2,11=α, ()2,1,32-=α,()x ,3,23=α 则x=（）时321,,ααα线性相关。

线性代数复习题部分参考答案

线性代数复习题部分参考答案线性代数试题（一）一、填空题（每小题4分）1.行列式4100031000210001的值 242.设a b 为实数，则当a= 0 且b= 0 时，10100--a b b a =03.10111111)(-=x x f 中，x 的一次项系数是 -1 4.已知矩阵A 3×2 B 2×3 C 3×3，则B A ⋅为 3 × 3 矩阵 5.A 为n 阶方阵，且d A =，则A K ⋅=d K n ⋅ 二、选择题（4分/题） 1.下列各式中 ④ 的值为0①行列式D 中有两列对应元素之和为0 ②行列式D 中对角线上元素全为0 ③行列式D 中有两行含有相同的公因子 ④D 中有一行与另一行元素对应成比例 2.设23⨯A 32⨯B 33⨯C ，则下列 ② 运算有意义 ①AC ②BC ③A+B ④AB -BC3.用一初等矩阵左乘一矩阵B ，等于对B 施行相应的 ① 变换 ①行变换 ②列变换 ③既不是行变换也不是列变换4.⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡1101001100001100001000101的秩为 ①①5 ②4 ③3 ④25.向量组r ααα⋅⋅⋅21线性无关的充要条件是 ②①向量组中不含0向量 ②向量组的秩等于它所含向量的个数 ③向量组中任意r -1个向量无关 ④向量组中存在一个向量，它不能由其余向量表出 6.向量组t βββ⋅⋅⋅21可由s ααα⋅⋅⋅21线性表出，且t βββ⋅⋅⋅21线性无关，则s 与t 的关系为 ④①s=t ②s>t ③s<t ④s≥t7.如果一个线性方程组有解，则只有唯一解的充要条件是它的导出组 ③ ①有解 ②设解 ③只有0解 ④有非0解8.当K= ④ 时，（2. 1. 0. 3）与（1. -1. 1. K ）的内积为2 ①-1 ②1 ③23 ④329.已知A 2=A ，则A 的特征值是 ③①λ=0 ②λ=1 ③λ=0或=λ1 ④λ=0和λ=110.1111111111111111b a a +-+的值为 ④ ①1 ②0 ③a ④-a 2b线性代数试题（二）一、填空题（4分/题）1.行列式21064153247308021的值为 0 2.二次型yz xy z y x yz x f 222)(2221-+-+=对应的实对称矩阵为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---110121011 3.10110111)(--=x x f 中x 的一次项系数是 -14.已知A 为3×3矩阵，且A =3，则A 2= 24二、选择题（4分/题） 1.下列各式中的值为0①行列式D 中有两列对应元素之和为0 ②行列式D 中对角线上元素全为0 ③行列式D 中有两行含有相同的公因子 ④D 中有一行与另一行元素对应成比例 2.设23⨯A 32⨯B 33⨯C ，则下列 ② 运算有意义 ①AC ②BC ③A+B ④AB -BC3. 向量组t βββ⋅⋅⋅21可由s ααα⋅⋅⋅21线性表出，且t βββ⋅⋅⋅21线性无关，则s 与t 的关系为 ④①s=t ②s>t ③s<t ④s≥t4.齐次线性方程组Ax=0是Ax=B 的导出组则①Ax=0只有零解,Ax=B 有唯一解 ②Ax=0有非零解,Ax=B 有无穷多解 ③U 是Ax=0的通解,X0是Ax=B 的一个解,则X0+U 是Ax=B 的通解 5.向量组)1.1.1(1=α )5.2.0(2=α )6.3.1(3=α是 ①①线性相关 ②线性无关 ③0321=++ααα ④02321=++ααα线性代数试题（三）一、填空题（4分/题）1.向量)1.0.0.1(=α )0.1.1.0(-=β，则2βα+= （2. 1. -1. 2）2.设aER bER ，则当a= 0 ，b= 0 时10100b a a b -=03.10111111)(-=x x f 中，x 的一次项系数是 1 4.已知A 为3×3矩阵，且1=A ，则A 2= 85.已知A3×3 B3×2 C2×4，则矩阵A.B.C 为 3 × 4 矩阵6.用一初等矩阵右乘矩阵C ，等价于对C 施行初等列变换7.向量组γααα⋅⋅⋅21.可由向量组s βββ⋅⋅⋅21线性表示且γααα⋅⋅⋅21.线性无关则 s ≤γ 8.如果线性方程组Ax=B 有解则必有)(A γ=)~(A γ9.行列式1111141111311112的值为 6 10.当K= 2 时（1. 0. 0. 1）与（a. 1. 5. 3）的内积为5 二、选择题（4分/题）1.已知矩阵满足A 2=3A ，则A 的特征值是 ③ ①λ=1 ②λ=0 ③λ=3或λ=0 ④λ=3和λ=02.如果一个线性方程组有解，则只有唯一解的充要条件是它的导出组 ③ ①有解 ②没解 ③只有零解 ④有非0解3.矩阵⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡1101001100001100001000101的秩为 ①①5 ②4 ③3 ④2 4.下列各式中 ④ 的值为0①行列式D 中有两列对应元素之和为0 ②D 中对角线上元素全为0 ③D 中有两行含有相同的公因子 ④D 中有一行元素与另一行元素对应成比例 5.向量组)1.1.1(1=α )5.2.0(2=α )6.3.1(3=α是 ①①线性相关 ②线性无关 ③0321=++ααα ④02321=++ααα三、复习题及参考答案1．若三阶行列式1231122331232226a a a b a b a b a c c c ---=，则 123123123a a ab b bc c c = 12 2．若方程组123123123000tx x x x tx x x x tx ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩有非零解，则t=⎽⎽⎽⎽1⎽⎽⎽。

线性代数复习题含答案

（C ）a +a ,a +a ,a +a （D ）a −a ,a −a ,a −a
1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3 1
分析：（A ）含有0 的向量组一定线性相关，0 +0a2 +0a3 0 ；
分析：∵A 的特征值是 1，2，−3 ．
∴ A −E 0 ， A −2E 0 ， A +3E 0 ．
∴ （A ）A −E ，（D ）A −2E ，（C ）A +3E 不可逆．
二．填空题
1．已知a31a21a13a5k a44 是 5 阶行列式中的一项且带正号，则i 5 ，k 2 ．
⎪ 21 1 22 2 2n n 2
⎨
⎪
n n−1 n−2 2 1 n n−1 n−2 2 1
共交换了n −2 次；……；r 与r 交换，共交换了 1 次．
2 1
( )
（A ）D D （B ）D =−D （C ）D =−1 2 D （D ）D =−1 D
（C ）一定无解（D ）不能确定是否有解
分析：系数行列式D 0 =⇒R A <n ，方程组无解或无穷多解
( )
( ) ( )
) 1 ( ) 1
⎛a11 a12 a13 ⎞
2 1 2 1 2 ( ) 1 2 ( ) 1
分析：r 依次与r ,r ,,r ,r 交换，共交换了n −1次（r 移到第 1 行）；r 依次与r ,,r ,r 交换，
1 2 3
----------------------- Page 2-----------------------
（A ）0,a ,a （B ）a ,2a ,a

线性代数试题A答案[大全5篇]

线性代数试题A答案[大全5篇]第一篇：线性代数试题A答案2006-2007学年第二学期线性代数试题A卷参考答案及评分标准一．填空题（本题满分12分，每小题3分）⎛1-20 0 -25 -111、1；2、-3；3、A=00 3 1 00-3⎝0⎫⎪0⎪2⎪；4、2 ⎪3⎪1⎪⎪3⎭二、选择题（本题满分12分，每小题3分，．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后的括号内）1．C；2．C；3．A；4、B 三．计算行列式（本题满分6分）解 1 10Dn=001-110010Λ00-111000-11=100010100200Λ03ΛΛ1Λ00Λ0100Λ00n3-1ΛΛ011ΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛ分Λn-1=n3分解2 10Dn=001-110010Λ00-111000=Dn-1+13分-1ΛΛ011ΛΛΛΛΛΛΛΛ-11=n3分四．（本题满分12分）解：⑴ 由等式A+B=AB，得A+B-AB+E=E，即(A-E)(B-E)=E3分因此矩阵A-E可逆，而且(A-E)=B-E．2分-1⑵ 由⑴知，A-E=(B-E)，即A=(B-E)+E-1-1A=(B-E)+E或A=B(B-E)-12分-1⎛0-10-30100⎛⎫⎛⎫⎪⎪1=200⎪+010⎪=-3 001⎪001⎪0⎝⎭⎝⎭⎝⎛1 1=-3 0 ⎝1210⎫0⎪⎪0⎪ 2分⎪2⎪⎪⎭1200⎫0⎪100⎫⎪⎛⎪0⎪+010⎪3分⎪⎪1⎪⎝001⎭⎪⎭五．（本题满分14分）解：110⎤⎡1⎡11⎢01⎥⎢0221⎥→⎢A=⎢⎢0-1a-3-2b⎥⎢0⎢⎥⎢321a-1⎣⎦⎣01110⎤1221⎥⎥4分0a-10b+1⎥⎥00a-10⎦所以，⑴ 当a≠1时，rA=r(A)=4，此时线性方程组有唯一解．2分⑵ 当a=1，b≠-1时，r(A)=2，rA=3，此时线性方程组无解．2分⑶ 当a=1，b=-1时，rA=r(A)=2，此时线性方程组有无穷多组解．2分此时，原线性方程组化为()()()⎧x1+x2+x3+x4=0 ⎨⎩x2+2x3+2x4=1因此，原线性方程组的通解为⎧x1=x3+x4-1⎪x=-2x-2x+1⎪234 ⎨x=x3⎪3⎪x4⎩x4=或者写为⎡x1⎤⎡1⎤⎡1⎤⎡-1⎤⎢x⎥⎢-2⎥⎢-2⎥⎢1⎥2⎢⎥=k⎢⎥+k⎢⎥+⎢⎥4分⎢x3⎥1⎢1⎥2⎢0⎥⎢0⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣0⎦⎣1⎦⎣0⎦⎣x3⎦六．（本题满分12分）3-λ解 A-λE=-101202-λ1=(2-λ)(3-λ)，2分03-λ所以得特征值λ1=2,λ2=λ3=32分⎛101⎫⎪对λ1=2，解方程组(A-2E)x=0，由A-2E=-101⎪，得特征向量001⎪⎝⎭⎛0⎫⎪ξ1=1⎪0⎪⎝⎭⎛0⎫⎪所以对应λ1=2的全部特征向量为c1 1⎪,c1≠03分0⎪⎝⎭⎛0 1对λ2=λ3=3，解方程组(A-3E)x=0，由A-3E=-0⎝01⎫1⎛10⎪r 1-1⎪−−→0 0100⎪0 ⎭⎝00⎫⎪⎪，⎪⎭⎛1⎫⎛1⎫⎪⎪得特征向量ξ2=-1⎪,全部特征向量为c2 -1⎪,c2≠03分0⎪0⎪⎝⎭⎝⎭A没有三个线性无关的特征向量，所以不能对角化.2分七．（本题满分12分）⎛1λ解：f的矩阵为A=λ4 -12⎝-1⎫⎪2⎪．…………2分 4⎪⎭因此，二次型f为正定二次型．⇔矩阵A为正定矩阵．⇔矩阵A的各阶顺序主子式全大于零．…………2分而矩阵A的各阶顺序主子式分别为D1=1>0，D2=1λ=4-λ2，…………2分λ41D3=A=λλ-12=-4(λ-1)(λ+2)．…………2分 44-12所以，二次型f 为正定二次型．⇔D2=4-λ2>0，且D3=-4(λ-1)(λ+2)>0由 D2=4-λ2>0，得-2<λ<2 ．由 D3=-4(λ-1)(λ+2)>0，得-2<λ<1 ．因此，得-2<λ<1 ．即，二次型f为正定二次型．⇔-2<λ<1…………4分八．（本题满分8分）已知三维向量空间的一组基为α1=(1，1，0)，α2=(1，0，1)，α3=(0，1，1)求向量β=(2，0，0)在上述基下的坐标．解：设向量β在基(α1，α2，α3)下的坐标为(x1，x2，x3)，则有x1α1+x2α2+x3α3=β，2分写成线性方程组的形式，有⎛1⎫⎛1⎫⎛0⎫⎛2⎫⎪⎪⎪⎪x1 1⎪+x2 0⎪+x3 1⎪=0⎪2分 0⎪1⎪1⎪0⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭即⎧x1+x2=2⎪⎨x1+x3=0，⎪x+x=03⎩2得唯一解x1=1，x2=1，x3=-1，3分，1，-1)．1分因此所求坐标为(1九．（本题满分12分）证法1：记A=(α1,α2,Λ,αm),B=(α1,α2,Λ,αm,β)，显然r(A)≤r(B).1°因为α1,α2,Λ,αm线性无关，知r(A)=m1分2°因为α1,α2,Λ,αm,β线性相关，知r(B)<m+1 1分因此r(B)=m，1分Ax=(α1,α2,Λ,αm)x=b有解且唯一。

线性代数A期末练习题五参考答案

13
4 3 =0 4
2、设 3 阶矩阵 A 的特征值为 1, −1,1 ，则行列式 A3 + 2 A − E = .
分析：记 f ( x) = x3 + 2x − 1，所以 f ( A) = A3 + 2 A − E ，由于 A 的特征值为 1, −1,1 ，
所以
f ( A) = A3 + 2A − E 的特征值分别为 f (1) =2, f (−1) =−4, f (1) =2 。故
1 1 1 1 1 1
(α1
,α1
+
α
2
,α1
+
α2
+
α3
)
= (α1
,α2
,α3
)
0
1
1
，
且
0
1
1 是可逆矩阵
0 0 1 0 0 1
所以 R (α1 ,α1 + α2 ,α1 += α2 + α3 ) R (α= 1 ,α2 ,α3 ) 3 ，且 α1 ,α2 ,α3 与
α1 ,α1 + α2 ,α1 + α2 + α3 等价，从而 α1 ,α1 + α2 ,α1 + α2 + α3 也是一组基础解系。
−3 2 0
0
0 =
1 4
−21
−54
−27
9 21 12
−3 2
3
6
2
−1
−1
1
2
五、设向量组 α1
=
1 4
，
α2
=
1
，
−6
α3
=
−2 2
， α4

线性代数a期末考试题及答案

线性代数a期末考试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 以下哪个矩阵是可逆的？A. 零矩阵B. 单位矩阵C. 对角矩阵D. 奇异矩阵答案：B2. 矩阵的秩是指：A. 矩阵的行数B. 矩阵的列数C. 矩阵中非零行的最大数目D. 矩阵中非零列的最大数目答案：C3. 如果一个矩阵A的行列式为0，则：A. A是可逆的B. A是不可逆的C. A是正定的D. A是负定的答案：B4. 以下哪个选项不是线性方程组解的性质？A. 唯一性B. 存在性C. 零解D. 非零解答案：D二、填空题（每题5分，共20分）1. 矩阵的________是矩阵中所有元素的和。

答案：迹2. 如果一个向量组线性无关，则该向量组的________等于向量的个数。

答案：秩3. 对于一个n阶方阵A，如果存在一个非零向量x使得Ax=0，则称x为矩阵A的________。

答案：零空间4. 一个矩阵的________是指矩阵中所有行向量或列向量的最大线性无关组的个数。

答案：秩三、解答题（每题10分，共60分）1. 已知矩阵A=\[\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}\]，求A的行列式。

答案：\[ \text{det}(A) = 1*4 - 2*3 = 4 - 6 = -2 \]2. 设A=\[\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}\]，B=\[\begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}\]，求AB。

答案：\[ AB = \begin{pmatrix} 1*2 + 2*1 & 1*0 + 2*3 \\ 3*2 +4*1 & 3*0 + 4*3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & 6 \\ 10 & 12 \end{pmatrix} \]3. 已知矩阵A=\[\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}\]，求A的特征值。

2009-2010学年第一学期线性代数A期末试卷A卷及参考答案

2.（6 分）设 n 阶方阵 A 满足 A2 + 9 A + 7 E = 0, ，求证 A − 2 E 可逆且求其逆．
⎛ 0 1 0 ⎞ ⎛ 1 0 0 ⎞ ⎛ 1 −4 3 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 3、（8 分）解矩阵方程 ⎜ 1 0 0 ⎟ X ⎜ 0 0 1 ⎟ = ⎜ 2 0 −1 ⎟ ． ⎜ 0 0 1 ⎟ ⎜ 0 1 0 ⎟ ⎜ 1 −2 0 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
浙江科技学院 2009-2010 学年第一学期线性代数A考试试卷A卷一、填空题（每小题 4 分，共 20 分）
1. 已知 4 阶行列式 D 的第二行元素分别为 1、2、3、4，与它们对应的余子式依次为 4、 −3 、2、 −1 ，则 D =__________ . 2. 设 A 是三阶方阵, A* 是其伴随矩阵, | A |=
第 3 页
⎛1 0 0 ⎞ ⎛ 1 2 1⎞ ⎜ ⎟ ⎟ −1 5.（8 分）解： A= (α 1 , α 2 , α 3 )= ⎜ 1 2 3 ⎟ ， B= ( β1 , β 2 , β 3 )= ⎜ ⎜- 1 1 3 ⎟， P = A B ， ⎜1 3 4 ⎟ ⎜ 0 1 - 1⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 2 1 ⎞ ⎛ 1 ⎜ ⎟ 由 ( A, B ) ⎯⎯ →( E , A B ), 求得P = A B = ⎜ 5 1 −14 ⎟ ⎜ −4 −1 10 ⎟ ⎝ ⎠
第 4 页
⎛ 1 0 5 ⎜ ⎜ 令 P = ( p1 , p2 , p3 ) = ⎜ −2 0 5 ⎜ 1 ⎜ 0 ⎝ 2 ⎞ 5⎟ 1 ⎟ ，则 P 为正交矩阵， 5⎟ ⎟ 0 ⎟ ⎠
从而 x = Py 为正交变换，使 f = − y12 + 2 y2 2 + 4 y32 四、证明题（6 分）证：设 k1α1 + k 2α 2 + k3α 3 + k 4 (α 5 − α 4 ) = 0, 由 R(I)=R(II)=3，得 α 4 可由 α 1 ,α 2 ,α 3 惟一线性表示，设为 α 4 = l1α1 + l2α 2 + l3α 3 , 代入得 (k1 − l1 k 4 )α 1 + (k 2 − l 2 k 4 )α 2 + (k 3 − l3 k 4 )α 3 + k 4α 5 = 0, 因为 α1 , α 2 , α 3 , α 5 线性无关, 所以 k1 − l1 k 4 = k 2 − l 2 k 4 = k 3 − l 3 k 4 = k 4 = 0, 从而 k1 = k 2 = k 3 = k 4 = 0 ,得证。

《线性代数》期末试卷A(含答案)

《线性代数》期末试卷 (综合卷)一、填空与选择题（本题满分30分，每空3分）1. 如果矩阵1232636A x x ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭正定，则x 的取值范围是( 9x > ).2. 设3阶方阵11133112k -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭A ，若存在3阶非零方阵B ，使得=0AB ，则k =( 3- )，方阵B 的秩()R =B ( 1 )，=B ( 0 ).3. 行列式10010010a bab a b ab a b aba b++=++( 432234a a b a b ab b ++++ ).4. 已知线性方程组()12312312321232320x x x x x a x x ax x ++=⎧⎪+++=⎨⎪+-=⎩无解，则=a ( -1 ).5. 设3阶方阵A 相似于方阵B ，若A 有特征值1,1,2,-，则+=B E ( -4 ).6. 已知123,,ααα线性相关，而234,,ααα线性无关，则1234,,,αααα中 (4α )不能用另外3个向量线性表示.7. 如果123,,ξξξ是向量组A 的极大无关组，则：( A )也是向量组A 的极大无关组. （A ）122331,,ξξξξξξ+++ （B ）1223321,,2ξξξξξξξ++++ （C ）1213321,,23ξξξξξξξ++++ （D ）1323321,,32ξξξξξξξ++++ 8. 123,,,αααβ线性无关,而123,,,αααγ线性相关,则( D ).(A) 123,,,αααβγ+c 线性相关. (B) 123,,,αααβγ+c 线性无关. (C) 123,,,αααβγ+c 线性相关. (D)123,,,αααβγ+c 线性无关.二、 (本题满分10分) 已知矩阵430210001⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭A ，3阶方阵B 满足()1*--=-B E A E ，求1-B . 解:()()()()1*---=--B E B E B E A E ，()()**---=B A E E A E E ，()**-=B A E A ，()**-=B A A EA A A ，()-=B A E A A E ，又2=A ，于是()22-=B E A E ，()122-=BE A E ，从而 ()131021112102223002-⎛⎫-- ⎪⎪ ⎪=-=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭B E A E A =。

线性代数A及答案

2005学年第2学期线性代数期末考试试卷（ A 卷）一. 填空题 (本题共有10个小题, 每小题3分)1. 设305021311121A ⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦，则矩阵A 的秩()r A =__________. 2. 设A 为3阶方阵，行列式2A =,则3A =________.3. 设矩阵20003101A x ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦与400020002B ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦相似，则x =_________. 4. 设A 是n 阶方阵且240A A E +-=, 则()1A E --=_________.5.()222,,2332f x y z x y z ayz =+++是正定二次型，则a 的取值范围是______.6. 若向量()1,2,0与(),,0x y 线性无关，则x 与y 的关系应为__________.7. 向量[]1,4,0,2T∂=与[]2,2,1,3Tβ=-的距离和内积分别为_________和___________.8. 设10246311A a -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦，B 为3阶非零矩阵，且0AB =，则a =___________.9. 设0是矩阵10102010A a ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦的特征值，则a =___________. 10. 在MA TLAB 软件中，det(A ) 表示求__________.二. 选择题（本题共有5个小题, 每个小题都给出代号 (A), (B), (C), (D) 的四个结论, 其中只有一个结论是正确的。

每小题3分。

）1. 设A 是n 阶方阵，则下列4个式子中表明A 是正交矩阵的式子为（）(A) 1AA E -=(B) AA E = (C) 1TA A -=(D) 1A =±2. 已知,A B ,C 为n 阶方阵，则下列性质不正确的是（）(A) AB BA = (B) ()()AB C A BC =(C)()A B C AC BC +=+(D) ()C A B CA CB +=+3. 已知方程组Ax b =对应的齐次方程组为0Ax =，则下列命题正确的是（）(A) 若0Ax =只有零解，则Ax b =一定有唯一解。

线性代数-期末测试题及其答案

线性代数期末考试题一、填空题（将正确答案填在题中横线上。

每小题5分，共25分）1. 若022150131=---x ，则=χ__________。

2．若齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++000321321321x x x x x x x x x λλ只有零解，则λ应满足。

3．已知矩阵n s ij c C B A ⨯=)(，，，满足CB AC =，则A 与B 分别是阶矩阵。

4．已知矩阵A 为3⨯3的矩阵，且3||=A ，则=|2|A 。

5．n 阶方阵A 满足032=--E A A ，则=-1A 。

二、选择题（每小题5分，共25分）6．已知二次型3231212322214225x x x x x tx x x x f +-+++=,当t 取何值时，该二次型为正定？（） A.054<<-t B.5454<<-t C.540<<t D.2154-<<-t7．已知矩阵B A x B A ~,50060321,340430241且⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=，求x 的值（）A.3B.-2C.5D.-58．设A 为n 阶可逆矩阵，则下述说法不正确的是（） A. 0≠A B. 01≠-A C.n A r =)( D.A 的行向量组线性相关9．过点（0，2，4）且与两平面2312=-=+z y z x 和的交线平行的直线方程为（）A.14322-=-=-z y x B.24322-=-=z y x C.14322+=+=-z y x D.24322+=+=z y x10．已知矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=1513A ,其特征值为（） A.4,221==λλ B.4,221-=-=λλ C.4,221=-=λλ D.4,221-==λλ三、解答题（每小题10分，共50分）11.设,1000110001100011⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=B ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=2000120031204312C 且矩阵X 满足关系式EX B C T=-)(，求X 。