最新数列通项公式的求法总结
数列通项公式方法大全很经典
解：当n = 2k (k N+)时,
当 ，
综合得：
例：{an}为首项为a1,公差为d的等差数列，求
解：
∵
∴
(7)分类讨论
（8）归纳—猜想—证明
此方法是针对数列{ }的其中几项符号与另外的项不同，而求各项绝对值的和的问题，主要是要分段求.
此种方法是针对无法求出通项或无法根据通项求出各项之和的数列，先用不完全归纳法猜出 的表达式，然后用数学归纳法证明之.
特征根法：
（1） 时， = · + ·
（2） 时， =（ + ·n）·
例5.数列{ }中， =2， =3，且2 = + （n∈N+，n≥2），求 .
[解] =2 －
∴ ∴
∴ =（ + ·n）· = + ·n
∴ ∴
∴
6．“已知 ，求 ”型
方法： = － （注意 是否符合）
例6.设 为{ }的前n项和， = （ －1），求 （n∈N+）
所以数列 的通项公式为
评注：本题解题的关键是把递推关系 转化为 ，进而求出 ，即得数列 的通项公式。
变式：已知数列 满足 ，求 的通项公式。
（4）待定系数法
例4已知数列 满足 ，求数列 的通项公式。
解：设 ④
将 代入④式，得 ，等式两边消去 ，得 ，两边除以 ，得 代入④式得 ⑤
由 及⑤式得 ，则 ，则数列 是以 为首项，以2为公比的等比数列，则 ，故 。
设
将⑩式代入 式，得 ，两边消去 并整理，得 ，则
，故
代入 式，得
由 及 式，
得 ，
则 ，
所以数列 是以 为首项，以5为公比的等比数列，则 ，因此
(完整版)求数列的通项公式方法总结
题型四：求数列的通项公式一.公式法：当题中已知数列是等差数列或等比数列，在求其通项公式时我们就可以直接利用等差或等比数列的公式来求通项，只需求得首项及公差公比。
二.当题中告诉了数列任何前一项和后一项的递推关系即：n a 和a n-1的关系时我们可以根据具体情况采用下列方法1、叠加法：一般地，对于型如)(1n f a a n n +=+类的通项公式，且)()2()1(n f f f +++Λ的和比较好求，我们可以采用此方法来求n a 。
即：11221()()()n n n n n a a a a a a a ---=-+-++-L 1a +(2)n ≥；【例1】已知数列{}n a 满足11211,2n n a a a n n +==++，求数列{}n a 的通项公式。
解：（1）由题知：121111(1)1n n a a n n n n n n +-===-+++ 112211()())n n n n n a a a a a +(a -a a ---∴=-+-++……1111111()()()121122n n n n =-+-++-+---…… 312n=- 2、叠乘法：一般地对于形如“已知a 1，且n1n a a +=f （n ）（f （n ）为可求积的数列）”的形式可通过叠乘法求数列的通项公式。
即：121121n n n n n a a a a a a a a ---=⋅⋅⋅⋅L (2)n ≥； 【例2】在数列｛n a ｝中，1a =1, (n+1)·1+n a =n ·n a ，求n a 的表达式。
解：由(n+1)·1+n a =n ·n a 得11+=+n n a a n n ， 1a a n =12a a ·23a a ·34a a …1-n n a a =n n n 11433221=-⋅⋅Λ 所以n a n 1= 3、构造法：当数列前一项和后一项即n a 和a n-1的递推关系较为复杂时，我们往往对原数列的递推关系进行变形，重新构造数列，使其变为我们学过的熟悉的数列（等比数列或等差数列）。
数列求通项公式归纳总结
数列求通项公式归纳总结数列是数学中常见的概念，在各个领域都有着广泛的应用。
通过观察数列的规律并找出通项公式，可以使我们更好地理解数列的性质，进而解决更复杂的问题。
本文将对数列求通项公式的方法进行归纳总结。
一、等差数列求通项公式等差数列是指数列中相邻两项之间的差值都相等的数列。
设等差数列的首项为a1，公差为d，第n项为an，则等差数列的通项公式可以表示为：an = a1 + (n - 1)d其中，n为正整数。
二、等比数列求通项公式等比数列是指数列中相邻两项之间的比值都相等的数列。
设等比数列的首项为a1，公比为r，第n项为an，则等比数列的通项公式可以表示为：an = a1 * r^(n-1)其中，n为正整数。
三、斐波那契数列求通项公式斐波那契数列是指数列中第一项为1，第二项为1，之后每一项都等于前两项之和的数列。
设斐波那契数列的第n项为Fn，则斐波那契数列的通项公式可以表示为：Fn = ( (1 + sqrt(5))^n - (1 - sqrt(5))^n ) / (2^n * sqrt(5))其中，sqrt(5)表示5的开平方。
四、完全平方数列求通项公式完全平方数列是指数列中每一项都是一个完全平方数的数列。
设完全平方数列的第n项为an，则完全平方数列的通项公式可以表示为：an = n^2其中，n为正整数。
五、特殊数列求通项公式除了常见的等差数列、等比数列、斐波那契数列和完全平方数列，还有许多特殊的数列。
对于这些特殊的数列，求通项公式的方法也不尽相同，需要根据具体的规律进行归纳总结。
总结：数列求通项公式是数学中的一个重要内容，有着广泛的应用价值。
通过观察数列的规律并应用相应的方法，可以找到数列的通项公式，从而解决更加复杂的问题。
本文对等差数列、等比数列、斐波那契数列、完全平方数列以及特殊数列的求通项公式进行了归纳总结。
希望读者能够通过本文的介绍，掌握数列求通项公式的方法，并能够运用于实际问题的解决中。
数列通项公式
数列通向公式的求解1、公式法：2、累加法：3、累乘法：4、a n与S n的关系：5、构造法：（1）、待定系数法：（2）、同除+待定系数：（3）、取倒数+待定系数：（4）、取对数+待定系数：（5）、连续三项：6、无穷递推关系式：（减去前n-1项剩下最后一项）7、连续两项：8、不动点法：→不动点：方程f(x)=x的根称为函数f(x)的不动点。
数列通项公式典例分析:1、已知数列{a n}满足_________________2、已知数列{a n}满足_________________3、已知数列{a n}满足___________;___________4、已知数列{a n}满足__________________5、已知数列{a n}满足_________________6、已知数列{a n}满足_____________7、已知数列{a n}满足________________8、已知数列{a n}满足______________9、已知数列{a n}满足_________________10、已知数列{a n}满足__________11、已知数列{a n}满足__________________12、已知数列{a n}满足_________________13、已知数列{a n}满足__________________14、已知数列{a n}满足__________________15、已知数列{a n}满足_____________________16、已知数列满足，，则=________17、设是首项为1的正项数列，且（=1，2，3，…），则=________18、在数列中，，，．则=______________19、数列中，，（n≥2）,则=______________20、已知数列的首项，，则=__________________21、设数列｛an｝满足,则=_______________22、已知数列满足且,则=___________23、设数列满足,则=______________。
数列通项公式的求法(最全)
非等差等比数列通 项公式的求法
构造法
构造法是一种常用 的数列通项公式求 法
构造法通过观察数 列的规律找出通项 公式
构造法需要一定的 数学基础和逻辑思 维能力
构造法可以应用于 非等差等比数列的 通项公式求法
数学归纳法
添加标题
定义：一种证明数学命题的方法通过证明一个命题对某个初始值成立并且假设对某个值 成立时可以推出对下一个值也成立从而证明命题对所有值都成立。
. 计算数列相邻项之间的差值得到差数列。 b. 观察差数列的规律寻找通项公式。 c. 验证通项公式的正确性。
适用范围：逐差法适用于等比数列、等差数列等有规律的数列。
单击此处输入你的项正文文字是您思想的提炼言简意赅的阐述观点。
注意事项：在使用逐差法时需要注意差数列的规律避免遗漏或错误。
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步骤： . 确定数列的通项公式的一般形式 b. 确定数列的起始项和公差或 公比 c. 代入通项公式建立方程组 d. 求解方程组得到待定系数的值
. 确定数列的通项公式的一般形式 b. 确定数列的起始项和公差或公比 c. 代入通项公式建立方程组 d. 求解方程组得到待定系数的值
应用：适用于求解非等差等比数列的通项公式 单击此处输入你的项正文文字是您思想的提炼,言简的阐述观点。
公式中的1表示首项d表示公差
公式法的适用范围：已知首项 和公差的等差数列
累加法
累加法原理：通过累加数列的前n项和得到通项公式 累加法公式：n=Sn-S(n-1)其中Sn为前n项和 累加法应用：适用于已知数列的前n项和求通项公式 累加法示例：例如已知数列{1,3,5,7,9}的前n项和为Sn=n^2则通项公式为n=2n-1
数列求通项公式方法大全
数列求通项公式方法大全数列是由一系列按特定规律排列的数字组成的序列。
求解数列的通项公式是找出数字之间的规律，从而可以用一个公式表示出数列中第N个数字与N的关系。
这样可以方便地计算数列中的任意项，而不需要逐个计算或列出所有的项。
以下是数列求通项公式的方法大全：1. 等差数列的通项公式：等差数列是指数列中相邻两项之间的差值保持恒定的数列。
根据等差数列的性质，可以得到通项公式为：an = a1 + (n - 1)d其中，an表示第n项，a1表示首项，d表示公差，n表示项数。
2. 等比数列的通项公式：等比数列是指数列中相邻两项之间的比值保持恒定的数列。
根据等比数列的性质，可以得到通项公式为：an = a1 * r^(n - 1)其中，an表示第n项，a1表示首项，r表示公比，n表示项数。
3. 斐波那契数列的通项公式：斐波那契数列是指数列中每一项都等于前两项之和的数列。
斐波那契数列的通项公式为：an = (phi^n - (-phi)^(-n)) / sqrt(5)其中，phi = (1 + sqrt(5)) / 2，an表示第n项。
4. 幂次数列的通项公式：幂次数列是指数列中每一项都是某个常数的指数函数。
幂次数列的通项公式为：an = a1 * (b^(n - 1))其中，an表示第n项，a1表示首项，b表示底数，n表示项数。
请注意，以上是一些常见的数列类型和其通项公式。
但实际上，还存在其他更复杂的数列类型，可能需要使用其他方法求解通项公式。
另外，在某些特定的数列中，可能无法找到通项公式，只能通过递推关系计算每一项。
举例说明：以等差数列为例，假设有一个等差数列的首项为2，公差为3。
现在需要求解数列中第10项的值。
根据等差数列的通项公式，可以得到：a10 = 2 + (10 - 1) * 3= 2 + 27= 29在这个例子中，我们利用等差数列的通项公式直接计算出了第10项的值。
如果没有通项公式，我们可能需要逐个计算前10项，而通项公式可以极大地简化计算过程。
数列求通项的方法总结
数列求通项的方法总结按一定次序排列的一列数称为数列，而将数列{an}的第n项用一个具体式子（含有参数n）表示出来，称作该数列的通项公式。
为大家总结数列求通项的方法，一起来看看吧！一、累差法递推式为：an+1=an+f(n)(f(n)可求和)思路：:令n=1,2,…,n-1可得a2-a1=f(1)a3-a2=f(2)a4-a3=f(3)……an-an-1=f(n-1)将这个式子累加起来可得an-a1=f(1)+f(2)+…+f(n-1)∵f(n)可求和∴an=a1+f(1)+f(2)+…+f(n-1)当然我们还要验证当n=1时,a1是否满足上式例1、已知数列{a}中,a1=1,an+1=an+2,求an解：令n=1,2,…,n-1可得a2-a1=2a3-a2=22a4-a3=23……an-an-1=2n-1将这个式子累加起来可得an-a1=f(1)+f(2)+…+f(n-1)∵f(n)可求和∴an=a1+f(1)+f(2)+…+f(n-1)当n=1时,a1适合上式故an=2n-1二、累商法递推式为：an+1=f(n)an（f(n)要可求积）思路：令n=1,2,…,n-1可得a2/a1=f(1)a3/a2=f(2)a4/a3=f(3)……an/an-1=f(n-1)将这个式子相乘可得an/a1=f(1)f(2)…f(n-1)∵f(n)可求积∴an=a1f(1)f(2)…f(n-1)当然我们还要验证当n=1时，a1是否适合上式例2、在数列{an}中,a1=2,an+1=(n+1)an/n,求an解：令n=1,2,…,n-1可得a2/a1=f(1)a3/a2=f(2)a4/a3=f(3)……an/an-1=f(n-1)将这个式子相乘后可得an/a1=2/1×3/24×/3×…×n/(n-1)即an=2n当n=1时，an也适合上式∴an=2n三,构造法1、递推关系式为an+1=pan+q(p,q为常数)思路：设递推式可化为an+1+x=p(an+x),得an+1=pan+(p-1)x,解得x=q/(p-1)故可将递推式化为an+1+x=p(an+x)构造数列{bn},bn=an+q/(p-1)bn+1=pbn即bn+1/bn=p,{bn}为等比数列.故可求出bn=f(n)再将bn=an+q/(p-1)代入即可得an例3、(06重庆)数列{an}中,对于n>1(nN)有an=2an-1+3,求an 解：设递推式可化为an+x=2(an-1+x),得an=2an-1+x,解得x=3 故可将递推式化为an+3=2(an-1+3)构造数列{bn},bn=an+3bn=2bn-1即bn/bn-1=2,{bn}为等比数列且公比为3bn=bn-1·3,bn=an+3bn=4×3n-1an+3=4×3n-1,an=4×3n-1-12、递推式为an+1=pan+qn(p,q为常数)思路：在an+1=pan+qn两边同时除以qn+1得an+1/qn+1=p/qan/qn+i/q构造数列{bn},bn=an/qn可得bn+1=p/qbn+1/q故可利用上类型的解法得到bn=f(n)再将代入上式即可得an例4、数列{an}中,a1+5/6,an+1=(1/3)an+(1/2)n,求an解：在an+1=(1/3)an+(1/2)n两边同时除以(1/2)n+1得2n+1an+1=(2/3)×2nan+1构造数列{bn},bn=2nan可得bn+1=(2/3)bn+1故可利用上类型解法解得bn=3-2×(2/3)n2nan=3-2×(2/3)nan=3×(1/2)n-2×(1/3)n3、递推式为：an+2=pan+1+qan（p,q为常数）思路：设an+2=pan+1+qan变形为an+2-xan+1=y(an+1-xan)也就是an+2=(x+y)an+1-(xy)an，则可得到x+y=p,xy=-q解得x,y，于是｛bn｝就是公比为y的等比数列（其中bn=an+1-xan）这样就转化为前面讲过的类型了．例5、已知数列{an}中,a1=1,a2=2,an+2=(2/3)·an+1+(1/3)·an,求an解：设an+2=(2/3)an+1+(1/3)an可以变形为an+2-xan+1=y(an+1-xan)也就是an+2=(x+y)an+1-(xy)an，则可得到x+y=2/3,xy=-1/3 可取x=1,y=-1/3构造数列｛bn｝，bn=an+1-an故数列｛bn｝是公比为-1/3的等比数列即bn=b1(-1/3)n-1b1=a2-a1=2-1=1bn=(-1/3)n-1an+1-an=(-1/3)n-1故我们可以利用上一类型的解法求得an=1+3/4×[1-(-1/3)n-1](nN*)例题1、利用sn和n的关系求an思路：当n=1时，an=sn当n≥2时,an=sn-sn-1例6、已知数列前项和s=n2+1,求{an}的通项公式.解：当n=1时，an=sn＝2当n≥2时,an=sn-sn-1＝n+1-[(n-1)2+1]=2n-1而n=1时，a1=2不适合上式∴当n=1时，an=2当n≥2时,an=2n-12、利用sn和an的关系求an思路：利用an=sn-sn-1可以得到递推关系式，这样我们就可以利用前面讲过的方法求解例７、在数列｛an｝中，已知sn=3+2an，求an解：即an=sn-sn-1=3+2an-(3+2an-1)an=2an-1∴｛an｝是以２为公比的等比数列∴an=a1·2n-1=-3×2n-12、用不完全归纳法猜想,用数学归纳法证明.思路:由已知条件先求出数列前几项，由此归纳猜想出an，再用数学归纳法证明例8、(xx全国高考)已知数列{an}中,an+1=a2n-nan+1,a1=2,求an解：由已知可得a1=2,a2=3,a3=4,a4=5,a5=6由此猜想an=n+1，下用数学归纳法证明：当n=1时，左边＝2，右边＝2，左边＝右边即当n=1时命题成立假设当n=k时，命题成立，即ak=k+1则ak+1=a2k-kak+1=(k+1)2-k(k+1)+1=k2+2k+1-k2-2k+1=k+2=(k+1)+1∴当n=k+1时，命题也成立．综合(1),(2),对于任意正整数有an=n+1成立即an=n+1。
求数列通项公式的十一种方法
求数列通项公式的十一种方法（方法全，例子全，归纳细）总述：一．利用递推关系式求数列通项的11种方法：累加法、累乘法、待定系数法、阶差法（逐差法）、迭代法、对数变换法、倒数变换法、换元法（目的是去递推关系式中出现的根号）、数学归纳法、不动点法（递推式是一个数列通项的分式表达式）、特征根法二。
四种基本数列：等差数列、等比数列、等和数列、等积数列及其广义形式。
等差数列、等比数列的求通项公式的方法是：累加和累乘，这二种方法是求数列通项公式的最基本方法。
三．求数列通项的方法的基本思路是：把所求数列通过变形，代换转化为等级差数列或等比数列。
四．求数列通项的基本方法是：累加法和累乘法。
五．数列的本质是一个函数，其定义域是自然数集的一个函数。
一、累加法1．适用于：1()n n a a f n +=+----------这是广义的等差数列累加法是最基本的二个方法之一。
2．若1()n n a a f n +-=(2)n ≥，则21321(1)(2) ()n n a a f a a f a a f n +-=-=-=两边分别相加得111()nn k a a f n +=-=∑例1已知数列{}n a 满足11211n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。
解：由121n n a a n +=++得121n n a a n +-=+则所以数列{}n a 的通项公式为2n a n =。
例2已知数列{}n a 满足112313n n n a a a +=+⨯+=，，求数列{}n a 的通项公式。
解法一：由1231n n n a a +=+⨯+得1231n n n a a +-=⨯+则11232211122112211()()()()(231)(231)(231)(231)32(3333)(1)33(13)2(1)313331331n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a n n n n --------=-+-++-+-+=⨯++⨯+++⨯++⨯++=+++++-+-=+-+-=-+-+=+-所以3 1.n n a n =+-解法二：13231n n n a a +=+⨯+两边除以13n +，得111213333n n n n n a a +++=++，则111213333n n n n n a a +++-=+，故 因此11(13)2(1)2113133133223n n n n na n n ---=++=+--⨯， 则21133.322n n n a n =⨯⨯+⨯-练习1.已知数列{}n a 的首项为1，且*12()n n a a n n N +=+∈写出数列{}n a 的通项公式.答案：12+-n n练习2.已知数列}{n a 满足31=a ，)2()1(11≥-+=-n n n a a n n ，求此数列的通项公式.答案：裂项求和n a n 12-=评注：已知a a =1,)(1n f a a n n =-+，其中f(n)可以是关于n 的一次函数、二次函数、指数函数、分式函数，求通项n a .①若f(n)是关于n 的一次函数，累加后可转化为等差数列求和; ②若f(n)是关于n 的二次函数，累加后可分组求和;③若f(n)是关于n 的指数函数，累加后可转化为等比数列求和; ④若f(n)是关于n 的分式函数，累加后可裂项求和。
求数列通项公式方法总结
求数列通项公式的方法总结：1)观察法。
例如1、3、5、7、9……2)公式法。
对于等差数列：a n=a1+(n-1)d;对于等比数列：a n=a1·q n-1。
3)形如a n+1=pa n+q,变形为（a n+1+k）=p(a n+k),其中k=q／(p-1)构造数列｛a n+k｝是以a1+k为首项，p为公比的等比数列。
4)形如a n+2=pa n+1+qa n,,变形为a n+2+ma n+1=n(a n+1+ma n),自行解出m和n构造数列｛a n+1+ma n｝是以a2+ma1为首项，n为公比的等比试列。
5)形如a n+1=pa n+q n,变形为a n+1/q n=p/q·a n/q n-1+1,再利用3）的步骤即可求出通项公式。
6)形如a n+1=pa n+q n+t n,变形为a n+1/q n=p/q·a n/q n-1+（t/q）n+1,则先忽略（t/q）n这一项,利用3）的方法配出3）的形式，然后再同时除以（t/q）n，再利用3）的步骤即可求出通项公式。
7)a n+1=ta n/(p+qa n)变形为1/a n+1=p/t·1/a n+q/t, 再利用3）的步骤即可求出通项公式。
8)利用s n-s n-1=a n的关系求出通项公式。
利用以上方法求通项公式时，要用到数列求和的方法，下面予以归纳：1)公式法。
对于等差数列s n=na1+n·(n-1)d或s n=n(a1+a n)/2,对于等比数列s n=a1·q n-I。
2)常用的几个基本求和公式a)1+2+3+……+n=n·(n+1)/2b)12+22+32+……+n2=n·(n+1)·(2n+1)/6c)13+23+33+……+n3=n2·(n+1)2/4d)1+3+5+……+（2n-1）=n23)倒序相加法。
主要用于等差数列或组合数列。
求数列通项的方法总结
求数列通项的方法总结
数列通项是指数列中任意一项与该数列的序号之间的关系。
求解数列
通项的方法主要有以下几种：
1. 直接法：根据数列中的一些已知条件和特点，直接推导出通项公式。
例如，对于等差数列an=a1+(n-1)d，其中a1是第一项，d是公差，n
是序号。
如果已知数列的首项和公差，可以直接根据该式求解通项。
2. 递推法：对于一些递推数列，可以通过前一项与后一项之间的关
系来推导出通项公式。
例如，斐波那契数列an=an-1+an-2，其中a1=a2=1，可以通过递推法求解出通项公式。
3. 求和法：对于一些数列，可以通过对数列进行求和，从而得到通
项公式。
例如，等差数列和公式Sn=(a1+an)×n/2，其中Sn是数列前n
项的和，a1是首项，an是最后一项。
通过反过程进行推导，可以求得通项。
4. 差分法：对于一些数列，可以通过数列中相邻项的差值与序号之
间的关系来推导出通项公式。
例如，对于二次数列an=n^2，可以通过差
分法求解出通项公式an=n^2-n+1
5. 代数法：对于一些复杂的数列，可以通过代数运算和方程求解的
方法来得到通项公式。
例如，对于给定的数列an=2^(n-1)，可以通过代
数法将an的表达式进行推导。
总之，求解数列通项的方法因数列的性质和特点而异。
不同的数列可
能需要不同的方法来求解，常用的方法包括直接法、递推法、求和法、差
分法和代数法等。
在实际问题中，根据数列的已知条件和特点选择适当的
方法可以更快地求解出数列的通项。
最新数列通项公式、前n项和求法总结(全)
一.数列通项公式求法总结：1.定义法 —— 直接利用等差或等比数列的定义求通项。
特征：适应于已知数列类型（等差或者等比）．例1．等差数列{}n a 是递增数列，前n 项和为n S ，且931,,a a a 成等比数列，255a S =．求数列{}n a 的通项公式.变式练习：1.等差数列{}n a 中,71994,2,a a a ==求{}n a 的通项公式2. 在等比数列{}n a 中,212a a -=,且22a 为13a 和3a 的等差中项,求数列{}n a 的首项、公比及前n 项和.2.公式法求数列{}n a 的通项n a 可用公式⎩⎨⎧≥⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=-2111n S S n S a n nn 求解。
特征：已知数列的前n 项和n S 与n a 的关系例2.已知下列两数列}{n a 的前n 项和s n 的公式，求}{n a 的通项公式。
（1）13-+=n n S n 。
（2）12-=n s n1. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且n S =2n 2+n ，n ∈N ﹡，数列{b }n 满足n a =4log 2n b +3，n ∈N ﹡.求n a ，n b 。
2. 已知数列{}n a 的前n 项和212n S n kn =-+（*k N ∈）,且S n 的最大值为8，试确定常数k 并求n a 。
3. 已知数列{}n a 的前n 项和*∈+=N n n n S n ，22.求数列{}n a 的通项公式。
3.由递推式求数列通项法类型1 特征：递推公式为)(1n f a a n n +=+对策：把原递推公式转化为)(1n f a a n n =-+，利用累加法求解。
例3. 已知数列{}n a 满足211=a ，nn a a n n ++=+211，求n a 。
1. 已知数列{}n a 满足11211n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。
数列求通项的方法总结
数列求通项的方法总结数列是数学中的一个重要概念，它在代数、微积分、概率论等领域都有着广泛的应用。
在数列的研究中，求数列的通项公式是一个重要的问题，因为它可以帮助我们更好地理解数列的规律和性质，从而解决各种数学问题。
本文将总结数列求通项的方法，希望能够对大家有所帮助。
一、等差数列求通项公式。
对于等差数列$a_1, a_2, a_3, \cdots, a_n$，如果它的公差为$d$，首项为$a_1$，那么它的通项公式可以表示为，$a_n = a_1 + (n-1)d$。
这个公式可以通过数学归纳法来证明，也可以通过观察数列的规律来得到。
二、等比数列求通项公式。
对于等比数列$b_1, b_2, b_3, \cdots, b_n$，如果它的公比为$q$，首项为$b_1$，那么它的通项公式可以表示为，$b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$。
这个公式也可以通过数学归纳法来证明，也可以通过观察数列的规律来得到。
三、常数数列求通项公式。
对于常数数列$c, c, c, \cdots, c$，它的通项公式非常简单，即为$c$。
因为它的每一项都是相等的，所以通项公式也就是它的首项。
四、其他数列求通项公式。
除了等差数列和等比数列之外，还有很多其他类型的数列，比如斐波那契数列、幂和数列、递推数列等等。
这些数列的通项公式可能会更加复杂，需要根据数列的特点和规律来进行推导和求解。
五、数列求通项的方法总结。
在实际应用中，我们通常会遇到各种各样的数列，求解它们的通项公式需要根据具体情况来进行分析和推导。
但总的来说，可以通过以下几种方法来求解数列的通项公式：1. 观察数列的规律，找出数列中相邻项之间的关系，从而推导出通项公式；2. 利用数学归纳法来证明数列的通项公式；3. 利用已知的数列类型的通项公式，对数列进行变形和组合，从而得到新的数列的通项公式；4. 利用数列的性质和特点，如等差数列的差分性质、等比数列的比值性质等，来求解数列的通项公式。
数列通项公式—常见9种求法
数列通项公式—常见9种求法数列通项公式是指能够直接给出数列中任意一项的公式。
找到数列通项公式可以帮助我们快速计算数列中的任意项，同时也能更好地理解数列的性质和规律。
在数学中，有多种方法可以求解数列通项公式，下面我们将介绍其中的9种常见方法。
1.递推关系法递推关系法是求解数列通项公式最常见的方法之一、当我们可以找到数列中每一项与前几项之间的关系时，可以利用递推关系求出通项公式。
例如，斐波那契数列中每一项都等于前两项的和，可以用递推关系f(n)=f(n-1)+f(n-2)来求解。
2.等差数列通项公式等差数列是指数列中每一项与前一项之差都相等的数列。
等差数列通项公式为an = a1 + (n-1)d，其中an表示第n项，a1表示第一项，d表示公差。
3.等比数列通项公式等比数列是指数列中每一项与前一项的比都相等的数列。
等比数列通项公式为an = a1 * r^(n-1)，其中an表示第n项，a1表示第一项，r 表示公比。
4.幂数列通项公式幂数列是指数列中每一项都是一个幂函数的形式。
幂数列通项公式为an = ar^(n-1)，其中an表示第n项，a表示一些常数，r表示递增的比值。
5.组合数列通项公式组合数列是指数列中每一项都是由组合数形成的数列。
组合数列通项公式可以通过求解组合数来获得。
6.一元多项式数列通项公式一元多项式数列是指数列中的每一项都是由一元多项式形成的数列。
可以利用多项式的相关性质和求解方法获得数列通项公式。
7.递推与线性常系数齐次差分方程法递推与线性常系数齐次差分方程法是利用递推关系和差分方程的性质求解数列通项公式的方法。
8.高阶递推关系法当数列中每一项与前面多个项之间有复杂的关系时，可以利用高阶递推关系进行求解。
9.查找数列在数学常数表中的表达式有些数列的通项公式可以在数学常数表中找到，例如斐波那契数列中的通项公式可以在黄金分割数相关的公式中找到。
以上是数列通项公式的9种常见求法，每种方法都可以根据不同的数列规律和特点进行选择和运用。
史上最全的数列通项公式的求法15种
史上最全的数列通项公式的求法15种一、等差数列（Arithmetic sequence）1.基本公式：一个等差数列的通项公式为：an = a1 + (n-1)d其中an代表数列的第n项，a1代表数列的首项，d代表数列的公差。
2.另一种形式：等差数列的通项公式还可以表示为：an = a + (n-1) * (a2-a1)/2其中an代表数列的第n项，a代表数列的首项，a1代表数列的第二项，a2代表数列的前两项。
二、等比数列（Geometric sequence）1.基本公式：一个等比数列的通项公式为：an = a1 * r^(n-1)其中an代表数列的第n项，a1代表数列的首项，r代表数列的公比。
2.另一种形式：等比数列的通项公式也可以表示为：an = a * q^n其中an代表数列的第n项，a代表数列的首项，q代表数列的公比。
三、斐波那契数列（Fibonacci sequence）1.基本公式：一个斐波那契数列的通项公式为：Fn=(φ^n-(1-φ)^n)/√5其中Fn代表数列的第n项，φ代表黄金分割比（约1.618）。
2.矩阵法：斐波那契数列的通项公式还可以通过矩阵的形式表示：Fn=(A^n*F0)，其中An是一个特定的矩阵，F0是初始向量。
四、调和数列（Harmonic sequence）1.基本公式：一个调和数列的通项公式为：an = 1/n其中an代表数列的第n项。
五、多项式数列（Polynomial sequence）一个多项式数列的通项公式为：an = an-1 + an-2 + ... + an-m其中an代表数列的第n项，an-1为前一项，an-2为前两项，an-m为前m项。
六、余弦数列（Cosine sequence）1.基本公式：一个余弦数列的通项公式为：an = a + b * cos(cn)其中an代表数列的第n项，a、b为常数，c为常数。
2.幂函数法：余弦数列的通项公式还可以表示为：an = a + b * cos(nθ)其中an代表数列的第n项，a、b为常数，θ为角度。
数列通项公式方法大全很经典
得113222n n n na a++=+，则113222n n n n a a ++-=，故数列{}2n na 是以1222a 11==为首项，得31(1)22n n a n =+-，所以数列{}na 的通项公式为31()222n n a n =-。
评注：本题解题的关键是把递推关系式1232n n n aa+=+´转化为113222n n n naa ++-=，说明数列{}2n n a1123221122()()()()[2(1)1][2(2)1](221)(211)12[(1)(2)21](1)1(1)2(1)12(1)(1)1n n n n n a a a a a a a a a a n n n n n n n n n n n ---=-+-++-+-+=-++-+++´++´++=-+-++++-+-=+-+=-++= 所以数列{}n a 的通项公式为2na n =。
评注：本题解题的关键是把递推关系式121n n a a n +=++转化为121n n a a n +-=+，进而求出11232211()()()()n n n n a a a a a a a a a ----+-++-+-1，数列通项公式的十种求法：（1）公式法（构造公式法）例1 已知数列{}n a 满足1232n n n a a +=+´，12a =，求数列{}n a 的通项公式。
的通项公式。
解：1232n n n aa +=+´两边除以12n +，以23为公差的为公差的等差数列等差数列，由等差数列的通项公式，是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出31(1)22n n a n =+-，进而求出数列{}na 的通项公式。
的通项公式。
（2）累加法例2 已知数列{}n a 满足11211n na a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。
的通项公式。
解：由121n n a a n +=++得121n n a a n +-=+则+，即得数列{}n a 的通项公式。
史上最全的数列通项公式的求法15种
史上最全的数列通项公式的求法15种数列是数学中很重要的一种数学对象，它是由一系列的数按照一定的顺序排列而成。
数列通项公式是数列中的每一项与项号之间的关系式，可以通过该公式来求出数列的任意一项。
下面将介绍15种常见的数列通项公式的求法。
1.等差数列：等差数列是一种公差为常数的数列，通项公式为an = a1 + (n - 1)d，其中a1为首项，d为公差。
2.等比数列：等比数列是一种比值为常数的数列，通项公式为an = a1 * r^(n - 1)，其中a1为首项，r为公比。
3. 斐波那契数列：斐波那契数列是一种特殊的数列，每一项是其前两项之和，通项公式为an = an-1 + an-2，其中a1 = 1，a2 = 14. 平方数列：平方数列是由平方数所组成的数列，通项公式为an = n^25. 立方数列：立方数列是由立方数所组成的数列，通项公式为an = n^36.等差立方数列：等差立方数列是一种公差为常数的立方数列，通项公式为an = a1 + (n - 1)^3，其中a1为首项。
7.等比立方数列：等比立方数列是一种比值为常数的立方数列，通项公式为an = a1 * r^(n - 1)^3，其中a1为首项，r为公比。
8. 焦比数列：焦比数列是一种特殊的数列，每一项是其前一项的反数，通项公式为an = -1 / an-1，其中a1为首项。
9. 调和数列：调和数列是一种特殊的数列，每一项是其前一项的倒数与项号之和的倒数，通项公式为an = 1 / (1 / a1 + n - 1)，其中a1为首项。
10. 初等数列：初等数列是一种特殊的数列，每一项是其前一项与项号之和的和，通项公式为an = an-1 + n，其中a1为首项。
11.等差等比数列：等差等比数列是一种既是等差数列又是等比数列的数列，通项公式为an = a1 * (1 + (n - 1)d)，其中a1为首项，d为公差。
12. 菲波拿契数列：菲波拿契数列是一种特殊的数列，每一项是其前一项与项号之和的差，通项公式为an = an-1 - n，其中a1为首项。
数列求通项公式的9种方法
例14
已知 满足+2 = 3+1 − 2 ，2 = 2, 1 = 1，求 的通项公式
九、奇偶分项求通项公式
核心思想：
n为奇数时，设n=2k-1
n为偶数时，设n=2k
例15 数列 满足 = ቊ
2，为奇数时
，求 的通项公式。
2 ，为偶数时
变式训练15
n2
a n ，求 {an } 的通项公式.
n
变式训练 6 已知数列 {an } 满足 a1 1 ， an1 2n an ，求 {an } 的通项公式.
变式训练 7 已知数列 {an } 满足 a1 1 ， an n(an1 an ) ，求 {an } 的通项公式.
四、加法构造
数列求通项公式常见的9种方法
知识复习
1、等差数列通项公式： an＝a1＋ (n－1)d
an＝am＋(n－m)d
2、等比数列通项公式： an＝ a1·
qn－1
am＝ a1·qn－m
一、利用 an 与 Sn 关系求 an
S1，
n＝1，
an＝
Sn－Sn－1， n≥2.
例1
n＋3.
已知数列{an}的前n项和Sn，求数列{an}的通项公式．(1)Sn＝2n－1；(2)Sn＝2n2＋
17
3
变式训练 10 已知数列 {an } 满足 a1
， an an1 5( n 2) ，求 {an } 的通项公式.
2
2
五、倒数构造
型如 an1
m an
(m pq 0) 的数列直接取倒数
pan q
例 8 已知数列 {an } 满足 a1 1 ， an1
求数列通项公式常用的七种方法
第二章 数列的概念与简单表示法一、公式法：已知或根据题目的条件能够推出数列{}n a 为等差或等比数列，根据通项公式()d n a a n 11-+=或11-=n n q a a 进行求解.二、前n 项和法：已知数列{}n a 的前n 项和n s 的解析式，求n a .三、n s 与n a 的关系式法：已知数列{}n a 的前n 项和n s 与通项n a 的关系式，求n a . 四、累加法：当数列{}n a 中有()n f a a n n =--1，即第n 项与第1-n 项的差是个有“规律”的数时，就可以用这种方法.五、累乘法：它与累加法类似 ，当数列{}n a 中有()1nn a f n a -=，即第n 项与第1-n 项的商是个有“规律”的数时，就可以用这种方法. 六、构造法：一次函数法：在数列{}n a 中有1n n a ka b -=+（,k b 均为常数且0k ≠），从表面形式上来看n a 是关于1n a -的“一次函数”的形式，这时用下面的方法:取倒数法：这种方法适用于11n n n ka a ma p--=+()2,n n N *≥∈（,,k m p 均为常数 0m ≠），两边取倒数后得到一个新的特殊(等差或等比)数列或类似于 1n n a ka b -=+的式子.取对数法：一般情况下适用于1k ln n a a -=（,k l 为非零常数）特征根法：形如递推公式为n n n qa pa a +=++12（其中p ，q 均为常数）。
不动点法若,0≠A B 且0-≠AD BC ，解+=+Ax Bx Cx D,设βα,为其两根。
I 、若αβ≠，数列{}αβ--n n a a 是等比数列； II 、若αβ=，数列1{}-n a a是等差数列。
七、“m n n c ba a +=+1（c b ,为常数且不为0，*,N n m ∈）”型的数列求通项n a .例题讲解：1：已知{}n a 是一个等差数列，且5,152-==a a ，求{}n a 的通项公式.2：已知数列{}n a 的前n 项和12-=nn s ，求通项n a .3：已知数列{}n a 的前n 项和n s 满足n n s a 311=+，其中11=a ，求n a . 4：()12,011-+==+n a a a n n ，求通项n a5：111,1n n na a a n -==- ()2,n n N *≥∈ 求通项n a6：已知111,21n n a a a -==+ ()2,n n N *≥∈ 求通项n a7：已知11122,2n n n a a a a --==+ ()2,n n N *≥∈ 求通项n a8：已知()2113,2n n a a a n -==≥ 求通项n a9: 数列{}n a 满足),0(025312N n n a a a n n n ∈≥=+-++， b a a a ==21,,求n a10.已知数列{}n a 满足1172,223+-==+n n n a a a a ，求数列{}n a 的通项公式。
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又∵a1＝3，∴a1＋2＝5， ∴{an＋2}是首项为 5，公比为 2 的等比数列， ∴an＋2＝5×2n－1， ∴an＝5×2n－1－2.
q
方法：递推式两边同时加上 p 1 , 构造出新的以p为公比的等比数列.
8．(2019·福建省高三质量检测)数列{an}的前 n 项和 Sn 满 足 Sn＝2an－n.求证数列{an＋1}是等比数列,并求 an.
＝2n2－n－[2(n－1)2－(n－1)]＝4n－3.
因为 n＝1 时，a1＝1 对上式也成立， 所以 an＝4n－3(n∈N*)．
三、知“递推关系式”求数列通项公式
类型一：an＋1＝an＋f(n)型
5.已知数列{an}满足
___n_2____n____1_5___．
a1＝15，an＋1n－an＝2(n∈N*)，则
an＝
解：由an＋1－an＝2，得 n
an＋1－an＝2n，
∵a1＝15，
∴当 n≥2 时，an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)
＝15＋2＋4＋…＋2(n－1)＝15＋2×nn－1＝n2－n＋15， 2
∵a1＝15 满足上式， ∴an＝n2－n＋15.
方法：叠加法
类型二：an＋1＝an·f(n)型源自四、其它类型求数列通项公式
9.设数列{an}满足 a1＋3a2＋…＋(2n－1)an＝2n,求{an}的通 项公式.
解：因为 a1＋3a2＋…＋(2n－1)an＝2n， 故当 n≥2 时，a1＋3a2＋…＋(2n－3)an－1＝2(n－1)． 两式相减得(2n－1)an＝2， 所以 an＝2n2－1(n≥2)． 又由题设可得 a1＝2， 从而{an}的通项公式为 an＝2n2－1.
所以 an＝a1×aa21×aa32×…×aan－n1
方法：叠乘法
＝1×1×2×…×(n－1)(n≥2)．
类型三：an＋1＝pan＋q 型
7.数列{an}中，a1＝3，an＋1＝2an＋2(n∈N*),求数列{an}的 通项公式.
解：(1)由 an＋1＝2an＋2(n∈N*)， 得 an＋1＋2＝2(an＋2)，
数列通项公式的求法,,
一、知“类型”求数列通项公式 ,,
1．(2019·新课标全国卷Ⅰ)设 Sn 为等差数列{an}的前 n 项
和．已知 S4＝0，a5＝5，则( A )
A．an＝2n－5
B．an＝3n－10
C．Sn＝2n2－8n D．Sn＝12n2－2n
解：设等差数列{an}的公差为
d，∵
S4＝0， a5＝5，
∴ 4a1＋4×2 3d＝0， a1＋4d＝5，
解得
a1＝－3， d＝2，
∴an＝a1＋(n－
1)d＝－3＋2(n－1)＝2n－5，Sn＝na1＋nn－ 2 1d＝n2－4n.
故选 A.
2．(2019·新课标全国卷Ⅲ)已知各项均为正数的等比数列
2n1
{an}的前 4 项和为 15，且 a5＝3a3＋4a1，则 an＝___________.
小结：利用“当n≥2时，an＝Sn－Sn－1”； 再检验a1.
Sn 4．已知数列{an}的前 n 项和为 Sn，数列 n 是首项为 1， 公差为 2 的等差数列,求数列{an}的通项公式.
解：(1)由题意可得：Sn＝1＋2(n－1)， n
可得 Sn＝2n2－n. 所以当 n≥2 时，an＝Sn－Sn－1
即 an＋1＋bn＋1＝12(an＋bn)．
又因为 a1＋b1＝1，
所以{an＋bn}是首项为
1，公比为1的等比数列． 2
由题设得 4(an＋1－bn＋1)＝4(an－bn)＋8，
即 an＋1－bn＋1＝an－bn＋2.
又因为 a1－b1＝1，
所以{an－bn}是首项为 1，公差为 2 的等差数列．
(2)由(1)知，an＋bn＝2n1－1，an－bn＝2n－1. 所以 an＝12[(an＋bn)＋(an－bn)]＝21n＋n－12， bn＝12[(an＋bn)－(an－bn)]＝21n－n＋12.
谢 谢！
10.(2019·新课标全国卷Ⅱ)已知数列{an}和{bn}满足 a1＝1，
b1＝0,4an＋1＝3an－bn＋4,4bn＋1＝3bn－an－4.
(1)证明：{an＋bn}是等比数列，{an－bn}是等差数列；
(2)求{an}和{bn}的通项公式． 解：(1)证明：由题设得 4(an＋1＋bn＋1)＝2(an＋bn)，
解：设等比数列{an}的公比为 q， 由 a5＝3a3＋4a1 得 q4＝3q2＋4，得 q2＝4， 因为数列{an}的各项均为正数，所以 q＝2， 又 a1＋a2＋a3＋a4＝a1(1＋q＋q2＋q3)＝a1(1＋2＋4＋8)＝15， 所以 a1＝1，
所以 an＝ 2n1 .
小结：等差设“d”;等比设“q”;最后解方程.
an 6．数列{an}满足 a1＝1，且数列 an－1 是首项为 1，公差为
1 的等差数列,则 an＝_1_×___1_×__2_×__…__×___(n__－__1_)_(n_≥__2_)_____.
an 解：因为数列 an－1 是首项为 1，公差为 1 的等差数列，
所以 an ＝n－1(n≥2)， an－1
二、知“Sn”求数列通项公式
3．(2019·湖南省湘东六校联考)已知数列{an}的前 n 项和 Sn 满足 Sn n2 ,求数列{an}的通项公式 an.
解：(1)由 Sn＝n2 得， 当 n≥2 时，an＝Sn－Sn－1＝n2－(n－1)2＝2n－1. 又 a1＝1 也满足上式， 所以 an＝2n－1.