幂函数、零点与函数的应用.板块二.函数的零点.教师版

f 1 0 ，所以 1 也是它的零点.由于函数 f x 在定义域 , 1.5 和(1， )
内是增函数，所以它共有 3 个零点.． 【答案】共有 3 个零点
【例12】 求函数 y x 3 2 x 2 x 2 的零点，并画出它的图象. 【考点】函数的零点 【难度】2 星 【题型】解答 【关键词】无 【解析】 因为 y x3 2 x 2 x 2 x 2 ( x 2) ( x 2) ( x 2)( x 1)( x 1)
f (3) ln 3 6 6 ln 3 0 .
∴ f (2) f (3) 0 ，即函数 f ( x) 的零点在区间(2,3). 所以选 B. 【答案】B
【例6】 函数 f x log 2 x 2 x 1 的零点必落在区间
A. , 1 1 8 4
x
函数 y x a 有两个交点,由图象可知当 0 a 1 时两函数只有一个交点,不符 合 , 当 a 1 时 , 因为函数 y a x (a 1) 的图象过点 (0,1),而直线 y x a 所过的 点（0，a）一定在点(0,1)的上方,所以一定有两个交点.所以实数 a 的取值范围是 {a | a 1} .
Δ (m 2)2 4(5 m) ≥ 0 m 2 16 ≥ 0 解得 4 2(m 2) 5 m 0 f (2) 0 m 2 2 m 2 2
m 4或m 4 ∴ m 5 即 5 m 4 . m 2
(0.8，1.5)内有无零点，并判断零点的个数.
【考点】函数的零点 【难度】2 星 【关键词】无 【解析】 通过作出 x 、 f x 的对应值表(如下). 【题型】解答
x
f x
-1.5 -1.25
-1 2
-0.5 2.25
0 1
0.5 -0.25
1 0
1.5 3.25
所以图象为
由上表和上图可知， f 1.5 0 ， f 1 0 ，即 f 1.5 f 1 0 ，说明这 个函数在区间 1.5, 1 内有零点.同样，它在区间(0 ，0.5)内也有零点 . 另外，
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板块二.函数的零点
典例分析
题型一：函数的零点
【例1】 若 f ( x) A．
1 2
x 1 ，则方程 f (4 x) x 的根是( x 1 B．－ C．2 2
【难度】1 星
)
D．－2 【题型】选择
【考点】函数的零点 【关键词】无 【解析】 【答案】A
【例2】 若函数 y ax 1 在 (0,1) 内恰有一解，则实数 a 的取值范围是（
范围是
.
【考点】函数的零点 【难度】2 星 【题型】填空 【关键词】无 【解析】 ∵在 [ 2, 0] 上存在 x0 ，使 f ( x0 ) 0 ， 则 f (2) f (0) 0 ，
2 ∴ (6m 4) (4) 0 ，解得 m . 3 2 所以， 实数 m 的取值范围是 (, ] . 3 点评：根的分布问题，实质就是函数零点所在区间的讨论，需要逆用零点存在 性定理，转化得到有关参数的不等式 2 【答案】 (, ] 3
－2 －3.51
－1.5 1.02
－1 2.37
－0.5 1.56
0 －0.38
0.5 1.23
1 2.77
1.5 3.45
2 4.89
【考点】函数的零点 【难度】2 星 【题型】解答 【关键词】无 【解析】 【答案】 （－2，－1.5） 、 （－0.5，0） 、 （0，0.5）内有零点 【例11】 画出函数 f ( x) 2 x3 3 x 1 的图象，判断函数在以下区间(-1.5，-1)，(0，0.5)，
）. D. 不能确定
【题型】选择
A. 0 个
B. 1 个
C. 2 个
【难度】1 星
【考点】二次函数的零点与方程 【关键词】无 【解析】 【答案】C
【例17】 函数 f ( x) x 2 5 x 6 的零点是 【考点】二次函数的零点与方程 【关键词】无 【解析】 【答案】2 或 3 【难度】1 星
是
.
【题型】填空
【考点】函数的零点 【难度】2 星 【关键词】2009 年，山东文，高考
x
【解析】 设函数 y a (a 0, 且 a 1} 和函数 y x a ,则函数
f x a x x a a 0且a 1 有两个零点 , 就是函数 y a (a 0, 且 a 1} 与
【答案】A
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题型二：二次函数的零点与方程
函数在方程中的应用主要是构造函数，确定方程的实根的个数、讨论方程的实 根的存在性和唯一性问题以及讨论方程的实根的范围问题 .主要方法是构造各种函 数，利用数形结合，观察函数图象的交点等等.
【例16】 函数 y 2 x 2 4 x 3 的零点个数（
在直角坐标系内描点连线，这个函数的图象如图所示.
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【答案】零点为-1，1，2
【例13】 函数 y f ( x ) 的图象是在 R 上连续不断的曲线，且 f (1) f (2) 0 ，则 y f ( x ) 在
区间 [1, 2] 上（
）. B. 有 2 个零点 D. 零点个数为 k， k N
所以函数的零点为-1，1，2 3 个零点把 x 轴分成 4 个区间：(-∞，-1)、(-1，1)、(1，2)、(2，+∞). 在这四个区间内，取 x 的一些值，以及零点，列出这个函数的对应值表：
x
y
-1.5 -4.38
-1 0
-0.5 1.88
0 2
0.5 1.13
1 2
1.5 -0.63
2 0
2.5 2.63
1 【题型】选择
【考点】函数的零点 【难度】3 星 【关键词】2009 年，福建文，高考 1 x 2 【解析】 f x 4 x 1 的零点为 x , f x ( x 1) 的零点为 x 1 , f x e 1 的 4
零 点 为 x0 ,
(2, 1) 内有零点，且仅有一个. 所以函数 f ( x) 的零点所在大致区间为 (2, 1) .
【答案】 （1） (0,1) （2） (2, 1)
【例10】 已知函数 f ( x) 图象是连续的，有如下表格，判断函数在哪几个区间上有零点.
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x
f x
用计算器或计算机作出 x, f ( x) 的对应值表或图象.
x f ( x)
-3 34
-2 13
-1 4
0 1
1 -2
2 -11
3 -32
由列表或图象可知， f (0) 0 ， f (1) 0 ，即 f (0) f (1) 0 ，说明函数 f ( x) 在区 间 (0,1) 内有零点，且仅有一个. 所以函数 f ( x) 的零点所在大致区间为 (0,1) . （2）易知函数 f ( x) e1 x 3x 2 在定义域 R 上是增函数. 用图形计算器或计算机作出图象. 由图象可知， f (2) 0 ， f (1) 0 ，即 f (2) f (1) 0 ，说明函数 f ( x) 在区间
）.
A. a 1 【考点】函数的零点 【关键词】无 【解析】 【答案】B
B. a 1
C. a 1 【难度】2 星
D. a 1 【题型】选择
【例3】 已知函数 f ( x) 3mx 4 ，若在 [ 2, 0] 上存在 x0 ，使 f ( x0 ) 0 ，则实数 m 的取值
【考点】函数的零点 【关键词】无 【解析】
B． （0，1）
C． （1，2）
D． （1，e）
【题型】选择
【难度】2 星
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【答案】B
【例8】 若 函 数 f x a x x a a 0且a 1 有 两 个 零 点 ， 则 实 数 a 的 取 值 范 围
.
【题型】填空
【例18】 方程 x2 m 2 x 5 m 0 的两根都大于 2，求实数 a 的取值范围 【考点】二次函数的零点与方程 【难度】2 星 【题型】解答 【关键词】无 【解析】 令 f x x 2 m 2 x 5 m ，要使 f x 0 的两根都大于 2，则应满足
【题型】填空
【考点】函数的零点 【难度】3 星 【关键词】2009 年，北京市石景山，高考一模 【解析】 【答案】①③④
【例15】 若函数 f x 的零点与 g x 4 2 x 2 的零点之差的绝对值不超过 0.25，则
x
f x 可以是
A. f x 4 x 1 C. f x e x 1 B. f x ( x 1) 2 D. f x ln x 2
【答案】 {a | a 1}
【例9】 利用函数的图象，指出下列函数零点所在的大致区间：
（1） f ( x) x3 2 x 1 ；
【考点】函数的零点 【关键词】无
（2） f ( x) e1 x 3x 2 .
【题型】解答
【难度】2 星
【解析】 （1）易知函数 f ( x) x3 2 x 1 在定义域 R 上是减函数.
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【例4】 函数 f ( x) 2 x 3 的零点所在区间为（
） C. （1，2） D. （2，3）
A. （ 1，0）
【考点】函数的零点 【关键词】无 【解析】
B. （0，1）
【难度】2 星